, όπου D. το πεδίο ορισμού της y f ( x). Τότε θα έχουμε ( ) ( ) ( ) i i i. ανήκουν στην καμπύλη 2 και καθορίζουν τα ύψη των παραλληλογράμμων
|
|
- Πάτροκλος Τρικούπης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Έστω διάστημα B= ( b ) Df όπου D f το πεδίο ορισμού της f ( x) και διαμέριση ( B) = { t i n: t < t r n t = t = b} Τότε θα έχουμε n i r r+ n n ( b ] ( x x ] = Το ολοκλήρωμα της = f ( x) στο B άθροισμα του εμβαδού ( Π i ) των n παραλληλογράμμων i ύψος f ( x i ) και μήκος βάσης xi = xi+ xi i= i i+ = θα είναι περίπου ίσο για μεγάλο n με το Π για i n με b n n x= f x x Π = f x x i i i i= i= με συντεταγμένες ( ) Τα σημεία A i για i n xi f x i ανήκουν στην καμπύλη = x : x D = f x και καθορίζουν τα ύψη των { f } παραλληλογράμμων Π i Όταν πάρουμε το όριο για n του παραπάνω αθροίσματος (τότε x= supi xi ) ζητάμε το όριο f ( xi) xi = l να είναι ένας μοναδικός i= πραγματικός αριθμός ανεξάρτητος του τρόπου που έγινε η διαμέριση n ( B) B Τότε το ολοκλήρωμα κατά Riemnn της = f ( x) στο B θα είναι n f ( x) = xlim f ( xi) xi = l n B i = του Prtition Υποθέτουμε ότι η f έχει πεπερασμένο αριθμό ασυνεχειών στο B Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση
2 διάστατη γενίκευση του ολοκληρώματος κατά Riemnn: Έστω παραλληλόγραμμο του { } = x < x< bc< < D και διαμέριση ( x) ( ) ( B ) B nm n m = όπου B ( x) ( b ) = και διαμερίσεων των B ( ) ( x) B και : f = ( c ) και η ( ) B Το διπλό ολοκλήρωμα της z f( x ) nm Τότε θα έχουμε ( b ] ( c n m ] ( x i x i ] ( j + j+ = i= j= είναι το καρτεσιανό γινόμενο των = στο παραλληλόγραμμο που έχει πεπερασμένο αριθμό ασυνεχειών θα είναι περίπου ίσο για μεγάλα n και m με Π για i n και το άθροισμα του όγκου Vol ( Π ij ) των nm πρισμάτων ij j m με ύψος f ( xi j) και εμβαδόν βάσης xi j = ( xi+ xi)( j+ xj) b n m n m x= = c ( ) ( ) f x x Vol Π = f x x ij i j j i i= j= i= j= Τα σημεία A ij για i n και j m με συντεταγμένες x f ( x ) i j i j 3 3 { xx : x Df f x } ανήκουν στην επιφάνεια και είναι τα ύψη των πρισμάτων = = Π ij Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση
3 Όταν πάρουμε το όριο για nm (τότε x= sup x και = sup ) του παραπάνω διπλού αθροίσματος ζητάμε το όριο λ ( ) i i f xi j j xi να i= j= = είναι ένας μοναδικός πραγματικός αριθμός ανεξάρτητος του τρόπου που έγινε η z= f x διαμέριση ( ) του Τότε το ολοκλήρωμα κατά Riemnn της nm στο θα είναι j j n m ( ) lim ( ) f x x = f x x = λ n m i = j = i j j i n m m n Επειδή Vol ( Π ij ) = Vol ( Πij ) δηλαδή ο τρόπος που αθροίζουμε τους i= j= j= i= όγκους Vol ( Π ij ) δεν παίζει ρόλο στον υπολογισμό του λ θα έχουμε ότι b b ( ) = λ = ( ) f x x f x x x= = c = c x= Το ίδιο θα ισχύει εάν το παραλληλόγραμμο έχει άπειρο εμβαδό δηλαδή κάποιο από τα ή c (ή και τα δύο) τείνει στο ή (ή και ταυτόχρονα) κάποιο από τα b ή (ή και τα δύο) τείνει στο + Για παράδειγμα εάν η f( x ) είναι πυκνότητα και ( ) F x η αντίστοιχη αθροιστική συνάρτηση κατανομής είναι εμφανές από τα παραπάνω ότι θα έχουμε: f x x = f x x = x= = = x= x f u v vu = f u v uv = F x x u= v= v= u= x Τα ίδια ισχύουν και για οποιαδήποτε διάστατη ( ) γενίκευση του ολοκληρώματος κατά Riemnn Παρατηρήστε ότι τότε υπάρχουν! τρόποι εναλλαγής της ολοκλήρωσης που όλοι όμως εφόσον το πεδίο ολοκλήρωσης = b b οδηγούν στο ίδιο αποτέλεσμα είναι της μορφής Έστω τώρα ότι το πεδίο ολοκλήρωσης είναι γενικά καμπυλόγραμμο δηλαδή για = Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 3
4 {( x ) : x b fl( x) fh( x) } ( x) c g( ) x g( ) = < < < < { : l h } = < < < < Τότε θα έχουμε ότι το ολοκλήρωμα f ( ) x x (είτε το f ( ) σημαίνει το ίδιο πράγμα) θα είναι η κοινή τιμή των ολοκληρωμάτων x x που b fh( x) gh( ) f ( x ) x = f ( x ) x l l x= = f x = c x= g Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση = ( ) = + για ( ) z f x x x Να βρεθεί το ολοκλήρωμα της z f( x ) = ( x ) : < x< < < 4 = στο χωρίο { } (η ολοκλήρωση να γίνει και με τους δύο τρόπους εξωτερικά ως προς x και εξωτερικά ως προς ) Να βρεθεί η πυκνότητα f ( ) f( x ) δηλαδή η f ( ) Cf( x ) ( x ) f ( x ) x με στήριγμα το που αντιστοιχεί στην x θα πρέπει να είναι τέτοια ώστε = για σταθερό C > αλλου Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 4
5 3 Να βρεθεί η από κοινού αθροιστική συνάρτηση κατανομής F ( ) Χρησιμοποιώντας την F ( x ) βρείτε τις περιθώριες αθροιστικές συναρτήσεις κατανομής F ( x ) και F ( ) x Το ολοκλήρωμα της z f( x ) = στο χωρίο θα είναι: f x x = x + x = 3x + x = 7 + = x= = x= f x x = x + x = + = 7 + = = x= x= Θέλουμε f ( x ) ( ) C x + x = elsewhere Ολοκληρώνοντας και τα δύο μέλη της προηγούμενης εξίσωσης στο παίρνουμε = f ( x ) x = C ( x + ) x = 8C C = 8 και η ζητούμενη πυκνότητα είναι: ( x + ) ( x ) f x = 8 elsewhere 3 Θα δείξουμε ότι η F ( ) = {( x ) : < x< < < 4} που είναι το στήριγμα της f ( ) l = {( x ) : x < < 4} u = {( x ) : < x< 4} = ( ) : 4 { } m x x x έχει διαφορετική αναπαράσταση στα χωρία x Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 5
6 x F ( x ) = ( u + v ) vu 8 x u= v= = u ( ) + ( ) u = ( x )( ) + ( x )( ) u= ϕ( ) ϕ( x ) 7 3 F ( x ) = ( ) ( ) l u + v vu = u= v= x F ( x ) = ( ) ( ) u u + v vu = x + x u= v= 4 ϕ( 4) ϕ( x4) 63 F ( x ) = 7 m u + v vu = + = u= v= έτσι παίρνουμε: Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 6
7 3 3 ( x)( ) + ( x)( ) ( x ) ( ) + ( ) ( x ) l F ( x ) = ( x ) + ( x ) ( x ) u 8 3 ( x ) m αλλού Παρατηρούμε ότι 4 = = + = f ( x) f ( x ) ( x ) x = = 63 + < < f ( x) = 8 3 αλλού x 3x x x F x f u u u u x x F x u = = 3 + = ( ) + ( ) = ( ) u= u= οπότε και 3 63 ( x ) + ( x ) < x< 8 3 lim F ( x ) = F( x) = x αλλού Επίσης έχουμε ότι x= x= 7 f( ) = f ( x ) = ( x + ) x = f ( ) = αλλού + < < 7 F f v v v v F x l = = + = ( ) + ( ) = ( ) v= v= Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 7
8 από όπου 3 ( ) + ( ) < < lim F ( x ) = F ( ) = 4 x αλλού Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση = ( ) = + για ( ) z f x x x Να βρεθεί το ολοκλήρωμα της z f( x ) = ( x ) : < x< < < x = στο καμπυλόγραμμο χωρίο { } (η ολοκλήρωση να γίνει και με τους δύο τρόπους) Να βρεθεί η αντίστοιχη πυκνότητα f x με στήριγμα στο 3 Να βρεθούν οι περιθώριες πυκνότητες f ( x ) και Το ολοκλήρωμα της z= f( x ) στο χωρίο θα είναι: f { x : x x } = < < < < x 6 f ( x ) x = ( x + ) x = x ( x ) + ( x ) x 3 x= = x= = x + x x x = x= Επειδή έχουμε { } { } = x : < x< < < x = x : < x< < < 4 θα 4 4 f x x x x x 3 = x= = 5/ 3/ x = / / ( ) = ( + ) = ( 7 ) + ( ) 4 = Θέλουμε f ( x ) ( ) C x + x = elsewhere Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 8
9 ολοκληρώνοντας και τα δύο μέλη της προηγούμενης εξίσωσης στο παίρνουμε 6 5 = f ( x ) = C ( x + ) x = C C = και η ζητούμενη πυκνότητα είναι ( x + ) ( x ) f x = 6 elsewhere 3 Για την f x έχουμε x 5 5 f x f x x x x x = = ή ότι x + x x < x< f ( x) = elsewhere f έχουμε 6 4 = ( ) = ( + ) = + Για την 5 5 f f x x x x x x x x= x= ή ότι 5 5/ 3/ < < 4 f ( ) = elsewhere 6 4 = ( ) = ( + ) = + Οι περιθώριες πυκνότητες φαίνονται στο παρακάτω σχήμα Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 9
10 Άσκηση Δίνεται η από κοινού αθροιστική συνάρτηση κατανομής για F ( x ) x b ( e )( e )( x ) + = elsewhere > και b > Να βρεθεί η από κοινού σππ f ( ) P{ + < } Να βρεθούν οι πιθανότητες P{ } P{ < < } και P{ > > } καθώς και οι πιθανότητες P{ } και { } x καθώς και η πιθανότητα P > ( ) F ( x ) ( x+ b) f x = = be x για x> { } ( ) P f x x + < = όπου { x : x x } = + < < < < < Για b και εσωτερική ολοκλήρωση ως προς έχουμε x x b P{ + < } = be e x x= = ( ) x b x x b x = x= x= = e e x = e e x Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση
11 e be e = e x e e x = e e = b b x b ( bx ) b x= x= b b Εναλλακτικά για b αλλά με εσωτερική ολοκλήρωση ως προς x θα έχουμε x b P{ + < } = be e x = x= ( ) b x b = b e e = b e e x x= = = b bx b ( ) e be e = b e x be e x = e be = b b = = Για = b παίρνοντας το όριο για b έχουμε b be e P + < = lim = lim e + e b b b e e = + e b { } = + Παρατήρηση: Εμφανώς ισχύει e > + για κάθε > b b < + e < εφόσον είναι γνωστό ότι Η εξίσωση του επιπέδου που περνάει από τα σημεία ( ) ( ) 3 P ( b c ) του P b c P b c και Υποθέτουμε ότι τα σημεία P P και P 3 δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία δηλαδή ορίζουν ένα επίπεδο ( ) στον 3 Έστω r r και r 3 τα διανύσματα θέσης των σημείων P P και P 3 δηλαδή r s = i s + b s j+ ck s για 3 P xz με διάνυσμα θέσης r θα έχουμε ότι ο όγκος V του παραλληλεπιπέδου που ορίζεται από τα τρία διανύσματα PP = r r PP = r rκαι PP 3= r3 rθα είναι s = Εάν x b zc V = PP PP PP = rr r r r r = b b c c 3 3 b b c c Επειδή όμως τα σημεία P P και P 3 ορίζουν ένα επίπεδο στον 3 θα έχουμε V = και η εξίσωση του επιπέδου ( ) που περνάει από τα σημεία P P και P 3 θα είναι: Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση
12 : x b zc b b c c = b b c c Παράδειγμα Να βρεθεί η εξίσωση του επιπέδου ( ) που περνάει από τα σημεία P( ) P ( b ) και P ( c ) 3 x z b b b = ( x) + z = c c c bc( x ) + c + bz = x + + z = b c x z = xz : + + = b c Έτσι έχουμε ότι 3 Η εξίσωση της ευθείας ( ) που περνάει από τα σημεία P( b ) P ( b ) 3 του Έστω r r τα διανύσματα θέσης των σημείων P P δηλαδή rs = i s + bs j για s = Εάν Px ( ) ( ) με διάνυσμα θέσης r θα έχουμε ότι i j k x b x b x b k b b b b b b = = = x b = b b b b x b = x : = b b b b Έτσι έχουμε ότι Παράδειγμα Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας ( ) που περνάει από τα σημεία P( ) P ( b ) Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση
13 θέτοντας = b = b = b = x η προηγούμενη εξίσωση δίνει + = b Παράδειγμα Να βρεθούν οι ομοιόμορφες κατανομές στα παρακάτω χωρία: { x : x bc } { } { x : x } { xz 3 : x z } { x : x x } { x z 3 : x z x z } = < < < < { } = x : < x< < < x = x : < x< < < 4 = < < < = < < < < = < < < < + < = < < < < < < + + < x = x : < x< < < b + < b x z = xz : < x< < < b < z< c + + < b c = x : x + < R { } { xz 3 : x z R } 9 = + + < Σε όλες τις περιπτώσεις ζητάμε C > τέτοιο ώστε στις δύο διαστάσεις να έχουμε f ( x ) ( x) C = με C = A elsewhere και A = x ενώ στις τρείς C ( xz ) fz xz = με C = V elsewhere και V διαστάσεις b b C = A = x = ( c) x = ( b )( c) x= = c x= έτσι έχουμε ότι < x< bc < < f ( x ) ( b )( c = ) elsewhere = x b b c < < c< < = x z Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 3
14 Οι περιθώριες πυκνότητες είναι: f x = < x< b c< < = < x< b = x b ( ) b c b = και παρατηρούμε ότι ισχύει c f x = f x f δηλαδή οι τμ και είναι ανεξάρτητες Προφανώς και f ( ) = ( c< < ) = ( c) x 4 C = A = x = x x = 3 ( ) x= = x= 4 4 ή ισοδύναμα ( ) f ( x) 4 C = x = = 3 έτσι έχουμε = x= x= 3 < x< < < x = 4 elsewhere Οι περιθώριες πυκνότητες είναι: x και 3 3 f ( x) = = ( x ) < x < 4 4 = Εμφανώς f ( x) f ( x) f ( ) 3 3 f = x = < < x= και οι τμ και είναι εξαρτημένες C = A = x = x x = 3 ισοδύναμα x= = x x= C = x = = = x= x= < x< < f ( x ) = elsewhere C = V = z x = x = 4 ισοδύναμα C 6 x= = x z= x= = x z = z x = 6 z= = x= 6 3 < x< < z < fz ( xz ) = elsewhere 3 3 Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 4
15 x C = A = x = x x = 5 x= = x= x+ < < x< < < f ( x ) = elsewhere x x x 6 = = = (( ) ) C V z x x x x= 3 = ( x) x = 6 x= = z= x= = 6 3 x+ + z < < x< < < < z < fz ( xz ) = elsewhere 7 x b x C A x b x b = = = = x= = x= x + < < x< < < b f ( x ) = b b elsewhere 8 x x x b c b b x C V z x c x = = = b x= = z= x= = x x bc x bc = c b b x = x b = 6 x= x= 6 x z + + < < x< < < b < z < c fz ( xz ) = bc b c elsewhere 9 R R x R C = A = 4 x = 4 R x x x= = x= θέτοντας x= Rsin ( ϑ ) έχουμε ότι R x = Rcos( ϑ ) και x R cos( ϑ ) π / = 4 cos ( ϑ) ϑ Επειδή ( ϑ) ( ϑ) ( ϑ) ( ϑ) C R ϑ= π / ϑ= ( ) C = R + cos ϑ ϑ = πr και = που δίνει cos = cos sin = cos έχουμε Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 5
16 x + < R f ( x ) = π R elsewhere R R x R x R R x C = V = 8 z x = 8 R x x θέτοντας R x sin ( ϑ ) x= = z= x= = = έχουμε ότι = sin ( ϑ) = cos( ϑ) και = R x cos ( ϑ ) R x R x R x που δίνει R π/ R π/ 4 3 ( ϑ) ϑ ( ϑ) ϑ π και C = 8 R x cos x = 8 R x x cos = R 3 x= ϑ= x= ϑ= 3 x + + z < R 3 fz ( xz ) = 4π R elsewhere Συνδιασπορά (covrince) και συντελεστής συσχέτισης (correltion coefficient) H συνδιασπορά είναι ένα μέτρο της από κοινού μεταβολής δύο τυχαίων μεταβλητών και ορίζεται σαν { } ( ) = ( )( ) Cov Εάν Cov( ) = λέμε ότι οι τμ και είναι (γραμμικά) ασυσχέτιστες Εάν = τότε ( ) { } Cov = = Vr που είναι η μέση τιμή της τετραγωνικής απόκλισης της από τον μέσο όρο της Δεν είναι δύσκολο να δείξουμε ότι Πρόταση Εάν και από κοινού συνεχείς ( ) ~ f ( ) είτε από κοινού ~ p έχουμε ότι: διακριτές Cov( ) = ( ) ( ) ( ) Εάν και ανεξάρτητες τμ Cov( ) = (το αντίστροφο γενικά δεν ισχύει) Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 6
17 { } ( ( ) )( ( ) ) = { + } = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) Για κάθε συνάρτηση g των τμ και ισχύει ότι ( ) ~ ( ) { ( )} ( ) ( ) f g g x f x x = x= = = ( ) ~ p ( ) { g( )} g( x ) p ( x ) x Έτσι για παράδειγμα έχουμε ότι στη από κοινού συνεχή περίπτωση { } = x f ( x ) x = x f ( x ) x = x f ( x) x x= = x= = x= και στην από κοινού διακριτή περίπτωση { } = xp ( x ) = x p ( x ) = xp( x) x x x Εάν και ανεξάρτητες τμ θα έχουμε x= = x= = { } = = x f x x x f x f x { } { } x= = = x f x x f = Cov = Παρομοίως στην από κοινού διακριτή περίπτωση { } = xp ( x ) = xp ( x) p ( ) x x { } { } Cov( ) = = Παράδειγμα Για τις παρακάτω διακριτές συναρτήσεις να υπολογιστεί το είναι συναρτήσεις μάζας πιθανότητας C > έτσι ώστε να p ( x ) p ( x ) ( x) { } C = elsewhere ( x) { } { } C = elsewhere Να υπολογιστεί και στις δύο περιπτώσεις το covrince των και Είναι οι και ανεξάρτητες; Υπολογίζουμε εύκολα ότι C = /3 Οι περιθώριες κατανομές είναι Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 7
18 ~ /3 /3 /3 και ~ /3 /3 ( ) ( ) ( ) Cov( ) = = /3 = /3 = ενώ οι τμ και είναι εξαρτημένες εφόσον υπάρχει τουλάχιστον ένα p x p x p για παράδειγμα ( xγια ) το οποίο p ( ) = p( ) p( ) = 3 3 Υπολογίζουμε εύκολα ότι C = /6 Οι περιθώριες κατανομές είναι ~ /3 /3 /3 και ~ / / p x p x p 6 3 ( ) = = = για κάθε ( ) { } { } και είναι ανεξάρτητες από όπου και Ορίζουμε τον συντελεστή συσχέτισης σαν x δηλαδή οι Cov = ( ) Vr ( ) Cov ρ ( ) = ή συντομογραφικά Vr ρ σ = σ σ Πρόταση Ανισότητα Cuch Schwrtz: Ισχύει ότι ρ ( ) ( ) ( ) ( ) { } Ορίζουμε τη μη αρνητική συνάρτηση g ( ) ( ) g = + * * = = g ( ) ( ) ενώ = ( ) * * g ( ) = ( ) > min g( ) = g( ) = ( ) από όπου και ( ) ( ) ( ) ( ) ότι Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 8
19 Εναλλακτικά θα μπορούσαμε να παρατηρήσουμε ότι ( ) ( ) ( ) g Disc = 4 4 από όπου και πάλι U = Θέτουμε V = τότε από Cuch Schwrtz για τις τμ U και V έχουμε ( UV ) ( U ) ( ) {( )( )} { } ( ) { } Vr ( ) Cov Cov( ) Vr ( ) Vr ( ) ρ ( ) Vr Correltion is expresse on rnge from + to - known s the correltion coefficient In perfect positive correltion expresse s + n increse or ecrese in one vrible lws preicts the sme irectionl chnge for the secon vrible If two vribles sometimes but not lws chnge in tnem the correltion is expresse s greter thn zero but less thn + Vlues below zero express negtive correltion: As the vlue of one vrible increses the other ecreses Zero inictes lck of correltion: There is no tenenc for the vribles to fluctute in tnem either positivel or negtivel Exmples of positivel correlte vribles inclue: Hours spent stuing n gre point verges Euction n income levels 3 Povert n crime levels 4 Evlute stress levels n bloo pressure reings 5 Smoking n lung isese There s common tenenc to think tht correltion between vribles mens tht one cuses or influences the chnge in the other one However correltion oes not impl custion There m be n unknown fctor tht influences both vribles similrl Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 9
20 Για παράδειγμα εάν οι τμ και είναι θετικές δηλαδή P{ > } b P> { } = και παρατηρήσουμε log ( ) = log ( ) + b = e Παράδειγμα Δείξτε ότι εάν b > sgn ( ) = > < = και = + τότε Cov ( ) = Vr ( ) και ( ) sgn ( ) ( ) = ( + ) = ( ( + )) ( + ) Cov Cov b b b = + b b = Vr Vr ( ) Vr ( ) ρ ( ) = = = sgn ( ) Vr ρ = όπου Πρόταση Εάν ο μετασχηματισμός = T x είναι ένα προς ένα για x B έχουμε: f ( x) x = f ( T ( ) ) T ( ) = f ( T ( ) ) x B T B T B T ( ) Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση
21 όπου το διάστημα T( B ) είναι προσανατολισμένο κατά την έννοια ότι εάν B= ( b ) και T τότε T( B) = ( T( ) T( b) ) ενώ εάν T τότε T( B) = ( T( b) T( ) ) Πράγματι εάν B= ( b ) T b B x= = T ( ) b T f ( x) x = f ( x) x = f ( T ( ) ) Εάν T T ( ) T ( ) = και T( ) T( b) < που δίνει T ( ) f ( x) x = f ( T ( ) ) με T( B) = ( T( ) T( b) ) B T B Εάν T T ( ) T ( ) = και T( ) T( b) > που δίνει T b ( ) b T f ( x) x = f ( x) x = f ( T ( ) ) B x= = T T( ) = T b T B T T = f ( T ( ) ) = f ( T ( ) ) όπου T( B) ( T( b) T( ) ) = Μετασχηματισμοί πυκνοτήτων Εάν είναι συνεχής τμ έτσι ώστε ~ f ( ) και ο μετασχηματισμός = T( ) είναι αντιστρέψιμος 3 ( Ω) στο χώρο καταστάσεων της τμ τότε ορίζουμε την πυκνότητα της τμ με τον εξής τρόπο: f ( ) = f ( T ( ) ) T ( ) και ο χώρος καταστάσεων της τμ είναι T( ) Ω = Ω 3 Δηλαδή το T είναι συνάρτηση Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση
22 Πράγματι = { } = { } F P PT { } ( ) P T T F T T = = P{ T } T F ( T ) T Παραγωγίζοντας ως προς παίρνουμε: ( ) f T T / T f ( ) = f ( T ) T ( ) / T = f ( T ( ) ) T ( ) ( Ω ) = T( ( Ω )) Η τελευταία ισότητα ισχύει επειδή T( T ( ) ) = T ( T ( ) )( T ) ( ) = ( T ) ( ) = T ( T ( ) ) που σημαίνει ότι T και ( T ) έχουν το ίδιο πρόσημο άρα T και T έχουν την ίδια μονοτονία Την τελευταία εξίσωση χρησιμοποιώντας διαφορικά μπορούμε x να την γράψουμε και ως = / x Πρόταση Εάν η τμ παρακάτω: Z έχει συνάρτηση κατανομής F Z που αντιστρέφεται τότε έχουμε τα Έστω ότι ~ ( ) τότε η τμ F Z ( ) Z συμβολικά F Z ( ) = Z Αντίστροφα η τμ = FZ ( Z) ακολουθεί την ομοιόμορφη κατανομή στο συμβολικά F ( Z ) = ( ) ( ) : Για να δείξουμε ότι Z = Z { Z } { } F x = P x = P F x = έχει την ίδια κατανομή με την τμ αρκεί να δείξουμε ότι F ( x) F ( x) = : Z Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση
23 και επειδή Z F παίρνουμε FZ ( x) { } F x = P F x = f Z Όμως ~ ( ) f ( ) = ( < < ) και F ( x) ( ) FZ x FZ x Z F x = < < = = F x που δίνει ( ) : Για να δείξουμε ότι F ( Z) ( ) αρκεί να δείξουμε ότι για < < Πράγματι = Z = ( ) ( ) = = ( Z ) ( Z ) f f F F f F F F Z Z Z Z Z Z Z fz F = = f F Z εφόσον Z F f = < < f > και Z : [ ] Z f = είναι ένα προς ένα Έτσι παίρνουμε ότι Εάν ο μετασχηματισμός T δεν είναι αντιστρέψιμος στο χώρο καταστάσεων Ω της τμ τότε θα πρέπει να αθροίσουμε τον μετασχηματισμό της πυκνότητας πάνω σε κάθε κλάδο x= T i ( ) της αντίστροφης στο αν η T ( ) έχει s κλάδους στο ( Ω ) θα έχουμε ( ) s s f x f Ti f ( ) = = = f Ti Ti = Tx T x i= T T ( ) i= i( i ) { } ( j ) j όπου x T ( ) Ts ( ) ιδιότητα T T ( ) x Άσκηση Εάν η τμ τμ T( ) Ω δηλαδή οι κλάδοι 4 (προεικόνες) του x που έχουν την = για = s έχει πυκνότητα f και στήριγμα το να βρεθεί η πυκνότητα της = στις εξής περιπτώσεις: 4 Brnches ή pre imges Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 3
24 T ( ) = + b όπου και b πραγματικοί αριθμοί k T 3 T( ) = = b T( ) T ( ) T ( ) = = = = b f ( ) = f ( T ( ) ) T ( ) = f = k = ρ + = T T ( ) / k = { ± } k = ρ k k = ρ + k + k / k f ( ) = f ( ) < < k / k k + k k = ρ k+ k+ k+ / k / k / k / k { } k k f = f + f = k f + f > k k k 3 Επειδή σε αυτή την περίπτωση η T( x) = T( ) = T ( ) { ± } T ( ) = = ( ) + > f f f Αλλιώς = δεν είναι αντιστρέψιμη θα έχουμε = { } = { } = { } = { } { < } F P P P P P Επειδή P{ } F ( ) < = αλλά F παντού συνεχής έχουμε ότι P{ < } = F ( ) και έτσι F ( ) = F ( ) F ( ) Παραγωγίζοντας την προηγούμενη εξίσωση ως προς έχουμε: f = f + f Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 4
25 Παράδειγμα Εάν ~ ( ) και = T ( ) = + b δείξτε ότι ( b + b) > f ( ) = ( + bb ) < Επίσης να βρεθεί η κατανομή της τμ όταν = T( ) = e Εάν ~ N ( ) και = T( ) = δείξτε ότι f ( ) G ( / /) 3 Εάν ~ N ( ) και = T = δείξτε ότι = / f = HN = e > (όπου το HN σημαίνει hlf norml) π Επειδή = T ( x) = x + b έχουμε x T ( ) f ( ) b = = που δίνει b b b = = < < b< < + b > b + b > = = + b< < b < + b b < x Όταν = T( x) = e έχουμε x T ( ) log ( ) = = τότε ( ) f ( log ) log ( log ) = = < < = ( < < e) Επειδή T( x) x = = έχουμε x T { } = με αποτέλεσμα = ( ) + ( ) ( ) f N N / = N( ) = e > π Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 5
26 Επίσης επειδή Γ ( /) = π και / ( /) Γ( /) / / f = e = G b G b e Γ ( / /) b = > ( ) παίρνουμε Παρατήρηση: Η πυκνότητα f ( ) G ( / /) = είναι ειδική περίπτωση της οικογένειας κατανομών χι τετράγωνο 5 με n βαθμούς ελευθερίας χ n ( ) = G ( n //) Εδώ έχουμε f ( ) = χ ( ) 3 f ( ) = f ( ) + f ( ) = N( ) + N( ) / / = e = e > π π Άσκηση Εάν ~ N ( ) και = = + δείξτε ότι f ( ) N( µσ ) T σ µ = Εάν ~ N ( ) και = T = σ + µ δείξτε ότι exp µ µ > f ( ) = σ π σ otherwise Επίσης δείξτε ότι σε αυτή περίπτωση έχουμε f ( ) N( µσ ) ( > µ ) Δηλαδή η τμ είναι η περικομμένη (truncte) κανονική κατανομή στο µ διάστημα ~ N µσ και 3 Εάν Επειδή = T( x) = σ x+ µ έχουμε x T ( ) µ µ f ( ) = N σ σ µ = exp = N( µσ ) σ π σ = T = e να βρεθεί η κατανομή της µ = = που δίνει σ 5 Chi squre with one egree of freeom Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 6
27 Επειδή = T x = σ x + µ έχουμε = σ x + µ > µ έτσι παίρνουμε: µ > = = σ και µ < = = σ x x+ T+ x x T f ( ) = f T ( ) T + f T T ( + ) + ( ) µ µ = N + N σ σ σ σ exp µ µ µ > = N = σ π σ σ σ otherwise Έστω ότι f ( ) N( µσ ) ( µ ) f ( ) CN( µσ ) ( µ ) > τότε υπάρχει C > τέτοιο ώστε = > Ολοκληρώνοντας στο έχουμε ( µσ ) ( µ ) = f = C N > C = C N ( µσ ) = C = από όπου = µ exp µ > µ f = N µσ ( > µ ) = σ π σ otherwise x 3 Όταν = T( x) = e έχουμε x T ( ) log ( ) = = τότε log log µ f ( ) = N( log ( ) µσ ) = exp > σ π σ Η προηγούμενη πυκνότητα είναι η πυκνότητα της λογαριθμοκανονικής ~ LN µσ (lognorml) κατανομής και συμβολίζεται με Άσκηση Δείξτε ότι Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 7
28 π π εάν ~ τότε T ( ) ( ) C = = tn ~ Ποίος είναι ο μετασχηματισμός T για τον οποίο έχουμε Z T ( ) ~ C( b) b ; Δείξτε ότι εάν ~ C ( ) τότε και / ~ C ( ) f ( ) = rctn ( ) rctn ( ) = για > και π π π rctn π = < < = < π π < = + + C Στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό και έχουμε z z b fz ( z) = C = = C b b b π b + z Δηλαδή ( ) tn T = T T Z = T = b + με b > Z = T T = b + και ο ζητούμενος μετασχηματισμός είναι ο Εάν Z = / θα έχουμε z fz ( z) = f ( ( z) ) = f = f = = f z = C z z z z z z z π + z Άσκηση Να βρεθεί μετασχηματισμός / f ( ) ( ) = < < και f ( x) e x ( x ) ( ) T τέτοιος ώστε = T( ) ~ f για ~ f με = > Υποθέτοντας ότι ο άγνωστος μετασχηματισμός T είναι αντιστρέψιμος και u = x= T έχουμε ότι θέτοντας u / u / e u = e u = για < < και u( ) x = > Ολοκληρώνοντας παίρνουμε ολοκλήρωσης Εκτελώντας τα ολοκληρώματα παίρνουμε u / e u = + C όπου C η σταθερά της Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 8
29 e C u C u / / = =log ενώ θα πρέπει να ισχύει e / C > ή ότι < C Επειδή θα πρέπει < θέτουμε C = από όπου παίρνουμε u / = και επειδή u( ) Εναλλακτικά Η ασκ της είναι F ( x) ( e x ) ( x ) F = e = ( ) = x τελικά θα έχουμε = ( e x ) = > και γνωρίζουμε ότι Η ασκ της είναι F ( ) ( ) ( ) = = < < + τότε ( ) ( ) ( ) Έτσι F = < < + = = e = ή ότι ( e ) Παρατήρηση: Η προηγούμενη ισότητα είναι ισότητα σε κατανομή (ή στοχαστική ισότητα) Μπορούμε να κάνουμε όλες τις σύνηθεις πράξεις ταυτόχρονα και στα δύο μέλη της στοχαστικής εξίσωσης που ισοδυναμεί με το ότι εάν = και g( ) = g( ) για κάθε g: ( Ω) Όμως δεν μπορούμε να αλλάξουμε μέλη δηλαδή εάν = τότε αυτό δεν σημαίνει ότι = ούτε να πολλαπλασιάσουμε ας πούμε και τα δύο μέλη με το δηλαδή εάν = τότε αυτό δεν σημαίνει ότι = Για παράδειγμα εάν οι τμ και είναι ανεξάρτητες τυπικές κανονικές δηλαδή έχουμε = = N ( και C( ) = Ορίζουμε την υπό συνθήκη κατανομή της τμ ~ F δοθέντος του P( { x} B) ενδεχομένου B σαν FB ( x B) = P{ x B} = P B Η F B είναι συνάρτηση κατανομής της τμ = [ B] P( { } B) P( B) FB ( B) = = = P( B) P( B) Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 9
30 P( { } B) P( B) FB ( B) = = = P( B) P( B) P( { < b} B) ({ } \{ }) 3 P{ < b B} = = P( B) P( B) P( { b} B\ { } B) P( { b} B) P( { } B) = = P( B) P( B) P( B) = F ( b B) F ( B) B B Παράδειγμα: Να δειχθεί ότι εάν B { α β} x F ( x) F ( ) FB x B = α < x β F ( β ) F ( ) x β ( ) f ( x B) f ( x) ( α < x β) B 3 ( ) B = ( B ) ( ) B P b B = < και ~ F τότε Από τον ορισμό της υπό συνθήκη κατανομής της τμ ~ F δοθέντος του P( { x} { α < β} ) ενδεχομένου B έχουμε FB ( x B) = και επειδή P α < β x { x} { α < β} = { α < x} α < x β { α < β} x β παίρνουμε ( ) { } { } P x FB ( x B) = P α < x α < x β P{ α < β} P α < β x β { } Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 3
31 x x F ( x) F ( ) F ( x) F ( ) = α < x β = α < x β F ( β) F ( ) F ( β) F ( ) F x β F β x β F ( β ) F ( ) Για την πυκνότητα της υπό συνθήκη κατανομής έχουμε x f ( x) fb ( x B) = α < x β β f ( x) α x β f ( x) = ( α < x β) f ( x) ( α < x β β ) f x α 3 Για την υπό συνθήκη μέση τιμή θα έχουμε B = x f B x B x = x f ( x) ( α < x β) x β f = x f β α f u u α και επειδή β x x α ( x) β x B f x x f x x f x x ( ) = ( ) = = B B α ( ) = ( ) = = x B x f x x x f x x x f x x B B α τελικά παίρνουμε ( ) B = ( B ) ( ) B β Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 3
32 Εφαρμογή Στη θεωρία χρηματοπιστωτικού κινδύνου ορίζουμε την κατανομή F των αποδόσεων ενός χαρτοφυλακίου (istribution of portfolio returns or profit n loss istribution) Επίσης ορίζουμε ως Vlue t Risk για επίπεδο εμπιστοσύνης α την ποσότητα VR α α ( ) = Percentile( ; α ) Το VR ( ) θεωρείται ένα μέτρο κινδύνου για το χαρτοφυλάκιο Εμφανώς εάν q = VR α ( ) τότε { } q F q = P q = f x x = Ένα άλλο μέτρο κινδύνου που βασίζεται στο Vlue t Risk είναι το Expecte α α ES = VR Shortfll που ορίζεται σαν α Τότε ( ) ( { } q ) q ( { q} ) f q ES = q = = x f ( x) x u u Πρόταση Εάν ο μετασχηματισμός T( x) T : είναι ένα προς ένα για κάθε x T = με x D T τότε υπάρχει μοναδική = Χρησιμοποιώντας τις συντεταγμένες των x και έχουμε: λύση = όπου x= ( x x ) και ( ) ( ) ( ) ( ) = x x x = x T : T : = x x x = x ( ) Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 3
33 Εάν f x x x x = το ολοκλήρωμα της συνάρτησης z f ( x x ) μπορεί να αποδειχθεί ότι = στο χωρίο D T Τότε = T ( ) ( ( ) ( )) f x x Jc T Όπου Jc ( T ) ( x x ) ( ) et x i = = η ορίζουσα του Ιακωβιανού πίνακα j x i του αντίστροφου μετασχηματισμού j Συμβολικά θα είχαμε: ( ) = = = ( ) f x x f x T f x Jc T x T T Πολυδιάστατοι μετασχηματισμοί πυκνοτήτων Έστω ότι = ( ) και ( ) = δύο διανυσματικές τμ που συνδέονται με τον αντιστρέψιμο μετασχηματισμό T : κατά την έννοια Δηλαδή T( ) T ( ) T ( ) Ω Ω Ω = T Ω = = και χρησιμοποιώντας συντεταγμένες έχουμε: ( ) ( ) ( ) = x x x = x T : T : = x x x = x ( ) Τότε μπορεί να αποδειχθεί ότι εάν ο T είναι ένα προς ένα στο χωρίο ( Ω) θα έχουμε: Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 33
34 όπου Jc ( T ) ( T ) ( ) = ( ) ( ) f f x x J c η ορίζουσα του Ιακωβιανού (Jcobin) πίνακα του αντίστροφου μετασχηματισμού Για την Ιακωβιανή ορίζουσα ισχύει ότι Jc T ( ) ( ) xi i x x = et = Jc T = et j x j Παράδειγμα Να βρεθούν οι ομοιόμορφες κατανομές στα παρακάτω χωρία χρησιμοποιώντας πολικές και σφαιρικές συντεταγμένες { x : x R } { xz 3 : x z R } = + < = + + < ( ρϕ ) ρcos( ϕ) ( ρϕ ) ρsin ( ϕ) x x x x = = T : Jc ( T ρ ϕ ) = = ρ = = ρ ϕ π R = C f ( x ) x = C ρ ρϕ = C π R C = πr x= = ϕ= ρ= Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 34
35 ( ρϕϑ ) ρcos( ϕ) sin ( ϑ) ( ρϕϑ ) ρcos( ϑ) x= x = x x x ρ ϕ ϑ ρ ϕ ϑ T : = ρϕϑ = ρsin ϕ sin ϑ Jc T = = ρ sin ϑ z z zρ zϕ z = = ϑ π = C f x z zx = C ρ sin ϑ ρϑϕ Z x= = z= ϕ= ϑ= ρ= π π R 4 3 ϕ sin ( ϑ) ϑ ρ ρ π 3 ϕ= ϑ= ρ= = C = C R Εάν ο T δεν είναι ένα προς ένα στο χωρίο ( Ω ) τότε όπως και στην μονοδιάστατη περίπτωση θα έχουμε: ( x) f f ( ) = f x( ) Jc T Tx Jc T = = = Tx π R Η πυκνότητα της W = + : Δίνονται οι τμ ~ f και ~ f που είναι οι συντεταγμένες τμ (περιθώριες) της από κοινού ( ) ~ f Θέλουμε να βρούμε την πυκνότητα της W = + Θεωρούμε τον μετασχηματισμό w = w x = x+ x = x wz = z T T Jc ( T ) = = z = z x = x = wz = w z : : Η πυκνότητα W Z f της δτμ ( ) W Z είναι f wz = f x wz wz JcT = f zw z WZ Για να βρούμε την πυκνότητα W προς Z : f της τμ W περιθωριοποιούμε την f W Z wz ως Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 35
36 W z= = ( ) f w f z w z z Στην ειδική περίπτωση που και είναι μεταξύ τους ανεξάρτητες έχουμε: = ( ) f w f z f w z z W z= Σε αυτή την περίπτωση η πυκνότητα f είναι η συνέλιξη των πυκνοτήτων W f και f f = f = f f W + Είναι εμφανές ότι η συνέλιξη είναι αντιμεταθετική δηλαδή f f = f f εφόσον f+ = f+ Για να το δούμε αυτό αρκεί να εφαρμόσουμε τον μετασχηματισμό u = w z ( ) = ( ) = ( ) f f w f z f w z z f w u f u u z= u= z= = f w z f z z = f z f w z z = f f w z= Παράδειγμα Δίνονται οι ανεξάρτητες εκθετικές τμ πυκνότητα της τμ W = + ~ Exp ( ) και ~ Exp b να βρεθεί η = ( ) = ( ) = ( ) ( ) f w f f w f z f w z z Exp z Exp w z b z W z= z= z b wz bw b z = e z > be w z > z = be e z > w z > z z= w bw ( b ) z be e z z= = z= Έχουμε ότι > και b > Πιο συγκεκριμένα εάν = b= λ λw λ λ λw f w = f f w = e z = we w > W w z= Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 36
37 Και αναγνωρίζουμε ότι W ~ G ( λ ) νόμος της τμ W είναι = + Δηλαδή για = b= λ έχουμε ότι ο ( λ) ( λ) ( λ) W = + ~ G + G ~ G Για θετικά b έχουμε w bw ( bz ) b w bw fw ( w) = ( f f)( w) = be e z = ( e e ) w > b z= Συνολικά λοιπόν για την κατανομή της W = + έχουμε ( λ) G w = b = λ fw( w) = f+ ( w) = b w bw ( e e ) b b Παρατηρούμε ότι: bw w b b w bw > b fw ( w) e e w> C = fw ( w) = ( e e ) b b w b b bw ( w < b f bw W w e e w> C = fw w = e e ) b b Δείξαμε ότι εάν οι τμ ~ G ( λ ) και ~ ( ) + είναι G ( ) κατανομή του αθροίσματος ii δείξουμε επαγωγικά ότι εάν i ~ ( ) G λ είναι ανεξάρτητες η G λ για i n λ Δεν είναι δύσκολο να n i i= = τότε ~ G ( n λ ) Άσκηση Εάν δίνονται οι ανεξάρτητες τμ ~ G ( λ ) και ~ ( ) G b λ δείξτε ότι: W = + ~ G ( λ) + G ( b λ) G ( + b λ) B( b ) που ορίζεται σαν ( ) = ( ) = και ότι το ολοκλήρωμα bet b για B b w w w > και b > μπορεί να εκφρασθεί με τη χρήση gmm συναρτήσεων στην μορφή: Γ( ) Γ( b) B( b ) = Γ + b Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 37
38 ( ) ( k ) k = για k E λ λ M t = t < λ λ t k και λ λx f x x e x = > Γ ( ) b λ b λ f e ( b) = > Γ Η τμ W = + έχει πυκνότητα f που είναι η συνέλιξη των W f και f = ( ) = ( ) = ( λ) ( λ) f w f f w f z f w z z G z G w z b z W z= b λ λz λ ( ) z= b λ( wz) b = z e z > wz e w z > Γ Γ z= + b λ = < < Γ z= w ( ) Γ( b) b λw z w z e z w z + b + b λw w b λw λ e b λ = z ( w z) e z = z ( w z) z Γ Γ b Γ Γ b z= z= b b λw λ + + b z= wx w e = Γ( ) Γ( b) x= ( ) x x x b Θέτοντας B ( b) = x ( x) x παίρνουμε W v= ( ) ( ) Γ( b) = Γ b B b λ + + b λw f w w e Θα υπολογίσουμε την ποσότητα B( b ) χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι η f W είναι πυκνότητα ( ) λ + ( ) ( b) B b = = Γ Γ b + b λw fw w w w e w w= w= + b + b ( ) B ( b τ ) + b τ τ= λw B b λ τ τ e = = Γ( ) Γ( b) λ λ ( ) ( b τ= Γ Γ ) τ= B( b ) Γ( ) Γ( b) ( b) από όπου B( b ) ( ) Γ( b) ( b) = Γ Γ + τ = Γ + e τ Αντικαθιστώντας την έκφραση για το B( b ) στην f έχουμε W λ Γ + + b + b λw fw ( w) = w e = G w + b ( b) ( λ ) Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 38
39 και έτσι W = + ~ G ( + b λ ) k k k λ λx λ + k λx x x ( ) ( = = ) x= + k + k τ + k τ E = x f x x = x x e x = x e x Γ Γ τ= λx λ τ τ λ e = = Γ( ) λ λ x ( ) λ = Γ x= Γ ( + k) ( + k )( + k ) ( + )( ) Γ( ) k k Γ( ) λ Γ( ) λ ( + k )( + k ) ( + )( ) ( ) ( k ) = = = = k λ k λ τ e τ ( ) ( ) ( k ) k k t t k t k t M ( t) = E( e ) = E( ) = = k k= k! k= k! λ k= k! λ Επειδή ( ) ( k ) ( + k )( + k ) ( + )( ) = k! k! ( ) ( ) k k+ k ( = = ) k! k παίρνουμε ( k ) t k k t t M t λ = = t λ k k! λ k = + = < = k= λ λ λ t Άσκηση Δείξτε ότι ισχύει: { S T t} { S t} { T t} { S t T t} { S T t} = { S t} { T t} = = ( ω) ( ω) ( ω) ( ω) S T t ω { S T t} S( ω) T( ω) t T S t ω ( { S t} { T t} ) \ ( { S t} { T t} ) ({ S t} { T t} ) = { S t} { T t} k Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 39
40 ω { } ( ω) ( ω) ( ω) ( ω) ( ω) ( ω) ( ω) ( ω) ( ω) ( ω) S tt > t S T t S T t S T t T t S > t T S t Από τις περιπτώσεις S( ω) T( ω) t και T( ω) S( ω) t έχουμε ότι ω { S t} { T t} Από την S( ω) tt ( ω) > tέχουμε { S t} { T > t} = { S t} { T t} ω και T t S t { S t} { T t} { S t} { T t} Συνολικά λοιπόν ω { S T t} είναι ισοδύναμο με το ω ({ } { } ) ({ } { }) { } { } ω ω > ω > = { } { } S t T t S t T t S t T t = S t T t Πρόταση Η πυκνότητα της περιπτώσεις: W ( ) = g όταν και από κοινού συνεχείς στις g( ) = g( ) = / 3 g( ) = min { } 4 g( ) = mx { } Έχουμε ~ f και ~ βρούμε την πυκνότητα της W f για τις περιθώριες της από κοινού = Θεωρούμε τον μετασχηματισμό ~ f Θα w w( x ) x x= x wz = z = = T T Jc ( T ) w z z z : : w = = z= zx = x = ( wz ) = z Η πυκνότητα W Z f της δτμ ( ) W Z είναι w fwz wz = f x wz wz JcT = f z z z Για να βρούμε την πυκνότητα W προς Z : f της τμ W περιθωριοποιούμε την f W Z wz ως Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 4
41 w fw( w) = f z z z z z= Στην ειδική περίπτωση που και είναι μεταξύ τους ανεξάρτητες έχουμε: w fw ( w) = f ( z) f z z z z= Για την πυκνότητα της W = / Θεωρούμε τον μετασχηματισμό: x= x wz = z w= wx ( ) = x/ z T T Jc ( T ) z w w w : : z = = z= zx = x = ( wz ) = w Η πυκνότητα W Z f της δτμ ( ) W Z είναι z z f ( wz ) = f ( x( wz ) ( wz )) JcT = f z w w WZ Για να βρούμε την πυκνότητα W προς Z : Κάνοντας τον μετασχηματισμό z f της τμ W περιθωριοποιούμε την f w z fw( w) = f z z z w z= = uw έχουμε για w > u f w f uw u wu f uw u u u = ( ) = ( ) W w u= u= Ενώ για w < u f w f uw u wu f uw u u u = ( ) = ( ) W w u= u= Δηλαδή και στις δύο περιπτώσεις έχουμε: fw ( w) = f ( uw u) u u u= W Z wz ως Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 4
42 Στην ειδική περίπτωση που και είναι μεταξύ τους ανεξάρτητες έχουμε: f w = f uw f u u u W u= Σημειώνουμε ότι μπορούμε να πάρουμε κατ ευθείαν το προηγούμενο αποτέλεσμα εάν θεωρήσουμε τον μετασχηματισμό w= x/ και z = (αντί για z = x) Πράγματι w = w x = x / x = x w z = wz z w : : = = z = z x = = wz = z T T Jc T z f wz = f x wz wz JcT = f wzz z WZ f w = f zw u z z Που δίνει: W z= 3 Για την πυκνότητα της min { } { w} = { w} { w} Παίρνοντας πιθανότητες έχουμε W W= = Θεωρούμε το ενδεχόμενο = ({ } { }) = { } + { } ({ } { }) { } { } { } ( ) F w P w w P w P w P w w = P w + P w P w w = F w + F w F w w Δηλαδή η ασκ της W = είναι F ( w) = F ( w) + F ( w) F ( ww) Παραγωγίζοντας έχουμε την πυκνότητα της W W ( ) ( ) F x F x fw ( w) = f ( w) + f ( w) x x= w x= w = w = w Όπου για την παράγωγο ως προς w της F ( ) FGx ( ( ) H( x )) F G F H αποτέλεσμα = + x G x H x ww χρησιμοποιήσαμε το γνωστό Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 4
43 Εάν οι τμ και είναι ανεξάρτητες F ( x) = F ( xf ) ( ) πυκνότητα απλοποιείται = + f w f w f w f w F w f w F w W θα έχουμε και η ( ) = f w F w + f w F w = f w S w + f w S w Όπου = = και S w F w f u u S w u= w = F w = f u u u= w οι συναρτήσεις επιβίωσης (survivl) των και αντιστοίχως Επίσης παρατηρούμε ότι εάν και είναι ανεξάρτητες = = + F ( w) F w S w S w S w F w F w F w F w F w W W ( )( ) = = 4 Για την πυκνότητα της mx { } { w} = { w} { w} Παίρνοντας πιθανότητες έχουμε W W= = Θεωρούμε το ενδεχόμενο ({ } { }) { } ( ) F w = P w w = P w w = F w w και η ασκ της W = είναι F ( w) F ( ww) W = Παραγωγίζοντας έχουμε την πυκνότητα της W f W ( w) ( ) ( ) F x F x = + x x= w x= w = w = w Εάν οι τμ και είναι ανεξάρτητες τότε F ( w) F ( w) F ( w) γίνεται f w = f w F w + f w F w W = η πυκνότητα W Παρατηρήστε ότι: οι κατανομές των minimum και mximum των τμ των και στην περίπτωση που και είναι ανεξάρτητες έχουν τις εξής συμμετρίες: Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 43
44 W W = = + SW w S w S w = min { } fw w f w S w f w S w = = + FW w F w F w = mx { } fw w f w F w f w F w Στην ακόμα πιο ειδική περίπτωση όπου οι και είναι ανεξάρτητες και ταυτοτικά κατανεμημένες (IID inepenent n ienticll istribute) εάν F η κοινή ασκ S η κοινή σε και f η κοινή σππ τότε W W = = SW w S w = min { } fw w f w S w = = FW w F w = mx { } fw w f w F w Άσκηση Δίνονται οι ανεξάρτητες εκθετικές τμ πυκνότητα της τμ W όταν: ~ Exp ( ) και ~ Exp b να βρεθεί η g( ) = g( ) = / 3 g( ) = min { } 4 g( ) = mx { } Άσκηση Εάν οι τμ και είναι ανεξάρτητες τυπικές κανονικές δηλαδή έχουμε = N και C( ) = = τότε = Θα δείξουμε ότι N( ) = Θα δείξουμε ότι C( ) Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 44
45 Μετασχηματισμοί μαζών πιθανότητας Εάν είναι διακριτή τμ έτσι ώστε ~ p P{ } μετασχηματισμός = T( ) είναι αντιστρέψιμος 6 ( Ω) = = και ο στο χώρο καταστάσεων της τμ τότε ορίζουμε την μάζα της τμ με τον εξής τρόπο: p = p T και ο χώρος καταστάσεων της μετασχηματισμένης τμ είναι T( ) Ω = Ω Παράδειγμα Εάν η τμ ~ Po( λ ) ακολουθεί την κατανομή Poisson με μέση τιμή λ και = T( ) = 3 τότε = T ( ) = ( + 3) και ( ( 3 ) ) p = p T = Po + λ λ ( 3) λ + + e = 3 = { } ( + 3 )! Εάν = ( ) και ( ) = δύο από κοινού διακριτές δτμ που συνδέονται με τον αντιστρέψιμο μετασχηματισμό T : κατά την έννοια T Ω Ω Ω = T Ω Για κάθε x ( Ω) θα έχουμε T( x) x T ( ) συντεταγμένες: ( ) ( ) = = ή χρησιμοποιώντας ( ) = f x x x = g T : T : = f x x x = g ( ) 6 Δηλαδή το T είναι συνάρτηση Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 45
46 Τότε η συνάρτηση μάζας πιθανότητας p ( ) = P { = = } δίνεται από την σχέση ( ) = { = = } ( ) ( ) p P { } = P f = f = Λύνοντας το σύστημα ( ) ( ) f = f = f ( ) = ως προς παίρνουμε τη μοναδική λύση ( ) ( ) = g = g = g ( ) Έτσι μπορούμε να εκφράσουμε το από κοινού ενδεχόμενο { f( ) = f ( ) = } στη μορφή { = g( ) = g ( ) } Τελικά παίρνοντας πιθανότητες έχουμε: ( ) = ( ( ) ( )) p p g g Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 46
, όπου D ( ) ( ) ( ) i i i. ανήκουν στην καμπύλη 2 και καθορίζουν τα ύψη των παραλληλογράμμων. με συντεταγμένες ( ( ))
Έστω διάστημα B= ( b ) Df όπου D f το πεδίο ορισμού της y f ( x) διαμέριση ( B) = { t i n: t < t r n t = t = b} n i r r+ n n ( b ] ( x x ] = Το ολοκλήρωμα της y = f ( x) στο B άθροισμα του εμβαδού ( Π
Διαβάστε περισσότεραΟρισμός : Η συνάρτηση X : Ω είναι μετρήσιμη εάν 1. της τυχαίας μεταβλητής X : Ω, είναι το πεδίο τιμών της X. Δηλαδή είναι το υποσύνολο του { }
Ορισμός : Η συνάρτηση : Ω είναι μετρήσιμη εάν B B B B = ω Ω : ω B = B { όπου { { Μία μετρήσιμη συνάρτηση : Ω ονομάζεται τυχαία μεταβλητή Ορισμός: Ο χώρος καταστάσεων της τυχαίας μεταβλητής : Ω είναι το
Διαβάστε περισσότεραΟρισμός : Η συνάρτηση X : Ω είναι μετρήσιμη εάν 1. της τυχαίας μεταβλητής X : Ω, είναι το πεδίο τιμών της X. Δηλαδή είναι το υποσύνολο του { }
Ορισμός : Η συνάρτηση : Ω είναι μετρήσιμη εάν B B B B = ω Ω : ω B = B { όπου { { Μία μετρήσιμη συνάρτηση : Ω ονομάζεται τυχαία μεταβλητή Ορισμός: Ο χώρος καταστάσεων της τυχαίας μεταβλητής : Ω είναι το
Διαβάστε περισσότεραX = συνεχης. Είναι εμφανές ότι αναγκαία προϋπόθεση για την ύπαρξη της ροπογεννήτριας
Ροπογεννήτριες (mome geerig fucios), πιθανογεννήτριες (robbiliy geerig fucios) και χαρακτηριστικές συναρτήσεις (chrcerisic fucios) Η ροπογεννήτρια συνάρτηση της τμ είναι η πραγματική συνάρτηση πραγματικής
Διαβάστε περισσότεραΟρίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, T ( ) μεταξύ τους ανεξάρτητα. Τότε
Η πολυδιάστατη κανονική κατανομή Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, διανύσματος X X X ), όπου X ~ N (,) και όλα τα X μεταξύ τους ανεξάρτητα Τότε ( ) (,, ) (, )
Διαβάστε περισσότεραΟρίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, T ( ) μεταξύ τους ανεξάρτητα. Τότε
Η πολυδιάστατη κανονική κατανομή Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, διανύσματος =, όπου ~ N ( 0, και όλα τα μεταξύ τους ανεξάρτητα Τότε = (,, = ( 0, ( 0, f x f
Διαβάστε περισσότεραΤυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία
Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία Θα γενικεύσουμε την έννοια της τυχαίας μεταβλητής από συνάρτηση στο R σε συνάρτηση στο R n. Ακολούθως, θα επεκτείνουμε τις έννοιες με τις οποίες ασχοληθήκαμε μέχρι τώρα
Διαβάστε περισσότερα{ } } ( ) (, ) (, ) (, ) ( x) ( ) ( ) ( ) Άσκηση 21. Άσκηση 22. π π π. Δείξτε ότι εάν xi x. για i = 1, 2 τότε έχουμε ότι οι τ.μ u = x1+ x2.
Άσκηση Δείξτε ότι εάν ~ G (, b v για, τότε έχουμε ότι οι τ.μ u και είναι ανεξάρτητες και u ~ G (, b, v ~ Be(, Η από κοινού των και είναι (, π e e e ( b b b. Ορίζουμε τον ένα-προς-ένα μετασχηματισμό T u
Διαβάστε περισσότεραX 1 X 2. X d X = 2 Y (x) = e x 2. f X+Y (x) = f X f Y (x) = f X (y)f Y (x y)dy. exp. exp. dy, (1) f X+Y (x) = j= σ2 2) exp x 2 )
Εστω X : Ω R d τυχαίο διάνυσμα με ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ X Εχουμε δει ότι η γνώση της κατανομής καθεμιάς από τις X, X,, X d δεν αρκεί για να προσδιορίσουμε την κατανομή του X, αφού δεν περιέχει
Διαβάστε περισσότερα( () () ()) () () ()
ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /011 1 Έστω r = r( t = ( x( t, ( t, z( t, t I = [ a, b] συνάρτηση C τάξης και r = r( t = r ( t = x ( t + ( t z ( t είναι μία διανυσματική + Nα αποδείξετε ότι:
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση 1: Λύση: Για το άθροισμα ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: Έτσι η διασπορά της Ζ=Χ+Υ είναι:
Άσκηση 1: Δύο τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ έχουν στατιστικές μέσες τιμές 0 και διασπορές 25 και 36 αντίστοιχα. Ο συντελεστής συσχέτισης των 2 τυχαίων μεταβλητών είναι 0.4. Να υπολογισθούν η διασπορά του
Διαβάστε περισσότερα( () () ()) () () ()
ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /011 1 Έστω r = r( t = ( x( t ( t z( t t I = [ a b] συνάρτηση C τάξης και r = r( t = r ( t = x ( t + ( t z ( t είναι μία διανυσματική + Nα αποδείξετε ότι: d 1 1
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα διπλών oλοκληρωμάτων Γ. Λυχναρόπουλος
Παραδείγματα διπλών oλοκληρωμάτων Γ. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Να υπολογισθεί με τρόπους το ολοκλήρωμα I d d 0 Η ολοκλήρωση, όπως φαίνεται από τα άκρα ολοκλήρωσης, γίνεται πάνω στο ορθογώνιο χωρίο R 0,,
Διαβάστε περισσότερα = 1 A A = A A. A A + A2 y. A = (A x, A y ) = A x î + A y ĵ. z A. 2 A + A2 z
Οκτώβριος 2017 Ν. Τράκας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Διάνυσμα: κατεύθυνση (διεύθυνση και ϕορά) και μέτρο. Συμβολισμός: A ή A. Αναπαράσταση μέσω των συνιστωσών του: A = (A x, A y ) σε 2-διαστάσεις και
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ
Διαβάστε περισσότεραDIPLA KAI TRIPLA OLOKLHRWMATA
Kefˆlio 8 IPLA KAI TRIPLA OLOKLHRWMATA Σημειώσεις Γ. Γεωργίου, ΜΑΣ. 8. iplˆ oloklhr mt 8.. iplì olokl rwm se orjog nio Ορίζουμε πρώτα το διπλό ολοκλήρωμα (double integrl), R[,b]X[,d] d f(, ) da R πάνω
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 D (, ) :9 0, 4 0 (, ) :
Διαβάστε περισσότεραΗ Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου
Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων.
Χώρος Διανύσματα Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Καρτεσιανές συντεταγμένες και διανύσματα στο χώρο. Στο σύστημα καρτεσιανών (ή ορθογώνιων) συντεταγμένων κάθε
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 Να υπολογίσετε το κάθε όριο αν υπάρχει ή να
Διαβάστε περισσότεραΤΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. n S f x, y,z ΔV (1) n i i i i i 1
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο ΤΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Τα τριπλά ολοκληρώματα ορίζονται με τρόπο ανάλογο με τα διπλά ολοκληρώματα. Ισχύουν ανάλογα θεωρήματα ολοκληρωσιμότητας και ανάλογες ιδιότητες. Θεωρούμε μια συνάρτηση f,,
Διαβάστε περισσότεραΚατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής Y=g(X) Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ13 ( 1 )
Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής =() Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( ) Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής Έστω τ.μ. Χ με γνωστή κατανομή. Δηλαδή
Διαβάστε περισσότεραX = = 81 9 = 9
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (11η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 35 Σύνοψη
Διαβάστε περισσότεραΟλοκληρώματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Ολοκληρώματα. τεχνικές. 108 ασκήσεις. εκδόσεις.
Ολοκληρώματα Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Ολοκληρώματα τεχνικές 08 ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglkos.gr / / 0 9 εκδόσεις Καλό πήξιμο Τα πάντα για τα Ολοκληρώματα
Διαβάστε περισσότερα6. Ορισμένο Ολοκλήρωμα
6. Ορισμένο Ολοκλήρωμα 6. Γενικά Ορισμοί Έστω ότι η f() είναι συνεχής συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα [,]. Χωρίζουμε το διάστημα [,] σε n υποδιαστήματα επιλέγοντας n+ σημεία τέτοια ώστε = < < < n-
Διαβάστε περισσότεραΓια να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :
Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α ΜΕΡΟΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Α ΜΕΡΟΣ Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ α) Να δείξετε ότι f()=+e -, β) Να βρείτε το όριο lim ( lim f(y)) y γ) Να δείξετε
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ερώτηση θεωρίας 1 ΘΕΜΑ Α Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΙόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής
Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής Μαθηματικός Λογισμός Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παναγιώτης Βλάμος Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική
Διαβάστε περισσότεραΕπισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας
Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2014 1 Από κοινού συνάρτηση πιθανότητας μιας δισδιάστατης διακριτής τυχαίας μεταβλητής Με λόγια, η f ( x, y) δίνει την πιθανότητα να εμφανισθεί
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΙΧΑΛΗΣ ΜΑΓΚΟΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΙΧΑΛΗΣ ΜΑΓΚΟΣ . ΔΙΑΒΑΖΩ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ Σελ.303: Ορισμός (Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα) Σελ.304: Απόδειξη του
Διαβάστε περισσότεραΟλοκληρώματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Ολοκληρώματα. τεχνικές. 108 ασκήσεις. εκδόσεις.
Ολοκληρώματα Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Ολοκληρώματα τεχνικές 08 ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglkos.gr / / 0 7 εκδόσεις Καλό πήξιμο τηλ. Οικίας : 0-60.78
Διαβάστε περισσότερα2 η Εργασία Ημερομηνία Αποστολής : 21 Ιανουαρίου Άσκηση 1. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τον Κανόνα του L Hopital:
η Εργασία Ημερομηνία Αποστολής : Ιανουαρίου 7 Άσκηση. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τον Κανόνα του L Hopil: α. β. γ. lim 6 lim lim sin. (Υπόδειξη: χωρίς να την αποδείξετε, χρησιμοποιήστε
Διαβάστε περισσότεραx R, να δείξετε ότι: i)
ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν: f ( ), f ( ) για κάθε R και f ( ) f ( ) α) Να βρείτε τον τύπο της f για κάθε R g( ) β) Αν g είναι
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις
Διαβάστε περισσότεραk ) 2 P = a2 x 2 P = 2a 2 x y 2 Q = b2 y 2 Q = 2b 2 y z 2 R = c2 z 2 R = 2c 2 z P x = 2a 2 Q y = 2b 2 R z = 2c 2 3 (a2 +b 2 +c 2 ) I = 64π
Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Πέμπτο σετ ασκήσεων, Λύσεις Άσκηση 1 Το θεώρημα Gauss γενικά διατυπώνεται ως: F dv = ( F η)dσ (1) V Για την άσκηση όπου μας δίνεται η σφαίρα x + y + z 4 = Φ, το κάθετο διάνυσμα η,
Διαβάστε περισσότεραMAJ. MONTELOPOIHSH II
MAJ MONTELOPOIHSH II ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 009 ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΙV Οι ασκήσεις είναι από το βιβλίο του Simon Haykin Θα ακολουθήσει ακόμη ένα φυλλάδιο τις επόμενες μέρες Άσκηση
Διαβάστε περισσότεραHMY 795: Αναγνώριση Προτύπων
HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 2 Επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων Τυχαίες μεταβλητές: Βασικές έννοιες Τυχαία μεταβλητή: Μεταβλητή της οποίας δε γνωρίζουμε με βεβαιότητα την τιμή (σε αντίθεση με τις
Διαβάστε περισσότερα3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ 68 Να γράψετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της, τις ευθείες, και τον άξονα, όταν για κάθε
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 9 Ιουνίου (διάρκεια ώρες και λ) Διαβάστε προσεκτικά και απαντήστε
Διαβάστε περισσότερα< F ( σ(h(t))), σ (h(t)) > h (t)dt.
ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ IV, /6/9 Θέμα 1. Εστω : a 1, β 1 ] R μια C 1 καμπύλη. Μια C 1 καμπύλη ρ : a, β] R λέγεται αναπαραμετρικοποίηση της αν υπάρχει h : a, β] a 1, β 1 ], 1 1 επί και
Διαβάστε περισσότερα( ) S( x ) 2 ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( )
Ορίζουμε την πληροφορία κατά Fsher ( σαν το ποσό της πληροφορίας που περιέχει η παρατήρηση για την παράμετρο Συμβολίζοντας με S( την λογαριθμική παράγωγο της πιθανοφάνειας ως προς την παράμετρο (score
Διαβάστε περισσότερα3. Κατανομές πιθανότητας
3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.
Διαβάστε περισσότεραI. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr
I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΔηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής
D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Να βρεθούν τα όρια, αν υπάρχουν: lim i) (,) (0,0) + ii) lim (,) (0,0) + iii) 3 lim 3 (,) (0,0) 6 + lim iv) (,) (0,0) + + lim sin + sin v) (,) (0,0)
Διαβάστε περισσότεραΕυκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x
Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται
Διαβάστε περισσότεραΑπειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις πρώτου φυλλαδίου ασκήσεων.
Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο 208-9.. Για καθεμία από τις ανισότητες Λύσεις πρώτου φυλλαδίου ασκήσεων. x + > 2, x x +, x x+2 > x+3 3x+, (x )(x 3) (x 2) 2 0 γράψτε ως διάστημα ή ως ένωση διαστημάτων
Διαβάστε περισσότερα2 η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση
η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση --8 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Άσκηση η Υπολογίστε τα κάτωθι όρια: cos α) β) γ) δ) ε) sin 5 α) Εφαρμόζουμε τον κανόνα L Hospital μια φορά (απροσδιοριστία της μορφής /)
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται
Διαβάστε περισσότεραa ) a ) = lim f( a + h u ) f( a ) = lim (2) h = 0 f( a + h u ) f( a ) hdf( a )( u ) lim = 0 lim u ) f( a + h lim = 0 u ) = 0 lim = Df( a )( u ) lim
1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ Κατευθυνόμενη Παράγωγος Κατευθυνόμενη Παράγωγος: Ορισμός 1: Εστω f : U R 2 R μία πραγματική συνάρτηση δύο μεταβλητών με U ανοικτό, a = (a, b) U και u = (u, v) μία κατεύθυνση του R 2 (δηλαδή
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΕπισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας
Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2015 Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2015 1 Από κοινού συνάρτηση πιθανότητας μιας δισδιάστατης διακριτής τυχαίας μεταβλητής
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί
Κεφάλαιο 5 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί 5 Γενικά Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Μία σχέση μεταξύ των στοιχείων δύο συνόλων Α,Β αντιστοιχίζει στοιχεία του Α με στοιχεία του Β άλλου μέσω ενός κανόνα που μπορεί να
Διαβάστε περισσότεραI.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ
I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ.Δεύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σημεία καμπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7.Δεύτερη πλεγμένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισμός
Διαβάστε περισσότεραM. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) =
Εισαγωγή στην ανάλυση Fourier και τις γενικευμένες συναρτήσεις * M. J. Lighthill μετάφραση: Γ. Ευθυβουλίδης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΟΥΣ FOURIER 2.1. Καλές
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση την» ορίζεται στο τότε δεν μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 2017
Πανεπιστηµιο Πατρων Πολυτεχνικη Σχολη Τµηµα Μηχανικων Η/Υ & Πληροφορικης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 217 Θ1. Θεωρούµε την συνάρτηση f(x, y, z) = 1 + x 2 + 2y 2 z. (αʹ) Να ϐρεθεί
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14
Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες ( ) Ονοματεπώνυμο Τμήμα ΘΕΜΑ 1. x x. x x x ( ) + ( 20) + ( + 4) = ( + ) + ( 10 + ) + ( )
Ονοματεπώνυμο Τμήμα ο Ερώτημα Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώματα α) ( + + ) e d β) + ( + 4)( 5) 5 89 ΘΕΜΑ d Απάντηση α) θέτω u = + +και υ = e, επομένως dυ = e και du = ( + ) d. ( + + ) e d= u dυ =
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Διανύσματα - Διανυσματικές Συναρτήσεις
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Διανύσματα - Διανυσματικές Συναρτήσεις Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος a) Να βρεθεί η ευθεία που διέρχεται από το σημείο P (5,,3) και είναι παράλληλη προς το διάνυσμα iˆ+ 4ˆj kˆ
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Πιθανότητες Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΟλοκληρώματα. ΗΥ111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ
ΗΥ- Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Ολοκληρώματα Εφαρμογές Ολοκληρωμάτων Υπολογισμός μήκους Υπολογισμός εμβαδού Υπολογισμός όγκου Χρήση σε Τύπους/Μετρικές Φυσική Πιθανότητες Γραφική Θέματα Αναγνώρισης προτύπων
Διαβάστε περισσότεραΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 6 Τι ονομάζουμε αρχική μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ ονομάζουμε κάθε
Διαβάστε περισσότεραΑπειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις ενδέκατου φυλλαδίου ασκήσεων.
Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο 8-9. Λύσεις ενδέκατου φυλλαδίου ασκήσεων.. (i) Βρείτε μία παράγουσα της + στο (, + ). Ποιές είναι όλες οι παράγουσες της + στο (, + ); (ii) Βρείτε μία παράγουσα
Διαβάστε περισσότεραΘεωρητική μηχανική ΙΙ
ΟΣΑ ΓΡΑΦΟΝΤΑΙ ΕΔΩ ΝΑ ΤΑ ΔΙΑΒΑΖΕΤΕ ΜΕ ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΒΛΕΜΜΑ. ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΛΑΘΗ. Θεωρητική μηχανική ΙΙ Να δειχθεί ότι αν L x, L y αποτελούν ολοκληρώματα της κίνησης τότε και η L z αποτελεί ολοκλήρωμα της
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ
ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2016 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
Διαβάστε περισσότεραΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙΙ Χειμερινό εξάμηνο Ασκήσεις 1.
ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙΙ Χειμερινό εξάμηνο -7 Ασκήσεις Αποδείξτε την ανισότητα Cuch-Schwr Για R Δείξτε ότι η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν τα διανύσματα και είναι συγγραμμικά Αποδείξτε την τριγωνική ανισότητα
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις f, g όταν: x x 2 x x. x x g x. ln x ln x 1 και
Α ΟΜΑΔΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις, όταν: () με R και (). Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Το πεδίο ορισμού της είναι A R. Επομένως A A R Α Θα εξετάσουμε αν για κάθε R ισχύει.
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα (2) Διανυσματικοί Χώροι
Παραδείγματα () Διανυσματικοί Χώροι Παράδειγμα 7 Ελέγξτε αν τα ακόλουθα σύνολα διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητα ή όχι: α) v=(,4,6), v=(,,), v=(7,,) b) v=(,4), v=(,), v=(4,) ) v=(,,), v=(5,,), v=(5,,)
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Πελοποννήσου
Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Τυχαία Μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) ονομάζεται η συνάρτηση που απεικονίζει το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος στο σύνολο
Διαβάστε περισσότερα1 3 (a2 ρ 2 ) 3/2 ] b V = [(a 2 b 2 ) 3/2 a 3 ] 3 (1) V total = 2V V total = 4π 3 (2)
Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Δεύτερο σετ ασκήσεων, Λύσεις Άσκηση 1 Για την επίλυση της άσκησης και την εύρεση του ζητούμενου όγκου, αρχικά αναγνωρίζουμε ότι ο τόπος ολοκλήρωσης, είναι ο κύκλος x + y = b, ο οποίος
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Διανυσματικής Ανάλυσης
Ασκήσεις Διανυσματικής Ανάλυσης ) Το ύψος h σε χιλιόμετρα ενός βουνού δίνεται από την σχέση h 4 == 4. α) Ένας πεζοπόρος βρίσκεται στο σημείο (,,) και κινείται προς την διεύθυνση της μεγίστης κατάβασης.
Διαβάστε περισσότερα2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων.
Ένα μέτρο πιθανότητας πάνω στο δειγματικός χώρο Ω, είναι μία συνάρτηση P ( ), που αντιστοιχεί σε υποσύνολα του Ω έναν αριθμό στο [ 0, ], με τις εξής ιδιότητες:. P ( Ω ). 2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης
Διαβάστε περισσότεραΜηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών
Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή Γεωμετρικός Πυρήνας Γεωμετρικός Πυρήνας Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών Γεωμετρικός Πυρήνας Εξομάλυνση Σημεία Καμπύλες Επιφάνειες
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ 6. a2 x 2 y 2. = y
ΛΥΣΕΙΣ 6. Οι ασκήσεις από το βιβλίο των Marsden - romba. 7.5. Θεωρούμε την παραμετρικοποίηση rx, y = x, y, a 2 x 2 y 2, όπου το x, y διατρέχει τον δίσκο στο xy-επίπεδο που ορίζεται από την x 2 +y 2 a 2.
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος
/8/5 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες.5) Υπολογίστε το διπλό ολοκλήρωμα / I y dyd συντεταγμένες. Επίσης σχεδιάστε το χωρίο ολοκλήρωσης. Λύση: Το
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β κύκλος 6-7 ) Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : α) Να δείξετε ότι f()=+e -, f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ β) Να βρείτε το όριο ( y f(y)) γ) Να δείξετε
Διαβάστε περισσότεραΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. 0 F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3.
ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Έστω Χ = (Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ. Χ την: F(x) = P(X 1 x 1,, X x ), x = (x 1,,x ) T 1. 0 F(x) 1, x.. Η F είναι μη
Διαβάστε περισσότερα1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό
1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1.1 Όρια ακολουθιών Λέμε ότι η ακολουθία { n } συγκλίνει με όριο R αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει ακέραιος N = N(ϵ) τέτοιος ώστε (1.1) n < ϵ για κάθε n > N, και
Διαβάστε περισσότεραΘεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:
Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Βρείτε το διάνυσμα με άκρα το Α(3,-,5) και Β(5,,-) ΑΒ=< 5 3, ( ), 5 >=
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 36 Κεφάλαιο 3ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ. Σ 4. Λ. Λ 3. Λ 4. Λ 3. Σ 4. Σ 43. Σ 4. Λ 5. Σ 44. Σ 5. Σ 6. Σ 45. Λ 6.
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Επιχειρήσεων Ι
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 4: Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 07-08 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Συμπερασματολογία
Στατιστική Συμπερασματολογία Διαφάνειες 1 ου κεφαλαίου Βιβλίο: Κολυβά Μαχαίρα, Φ. & Χατζόπουλος Στ. Α. (2016). Μαθηματική Στατιστική, Έλεγχοι Υποθέσεων. [ηλεκτρ. βιβλ.] Αθήνα: Σύνδεσμος Ελληνικών Ακαδημαϊκών
Διαβάστε περισσότερα4 η ΕΚΑ Α. = g(t)dt, x [0, 1] i) είξτε ότι F(x) > 0 για κάθε x (0, 1] ii) είξτε ότι f(x)g(x) > F(x) για κάθε x (0, 1] και G(x) για κάθε x (0, 1]
ΜΑΘΗΜΑ 48 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 η ΕΚΑ Α 3. Έστω f συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο [, ], µε f() >. ίνεται επίσης συνάρτηση g συνεχής στο [, ], για την οποία ισχύει g() > για κάθε [, ] Ορίζουµε τις
Διαβάστε περισσότεραΓ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες
Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΣυνεχείς Κατανομές. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Συνεχείς Κατανομές. τεχνικές. 30 ασκήσεις.
Συνεχείς Κατανομές Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Συνεχείς Κατανομές τεχνικές 0 ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglos.gr / 0 / 0 6 εκδόσεις Καλό πήξιμο τηλ. Οικίας
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Αντίστροφη συνάρτηση. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση 1-1. Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις
ΜΑΘΗΜΑ 5. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση - Αντίστροφη συνάρτηση Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση :Α R λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, Α µε ισχύει
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος Ι. Λυχναρόπουλος
/4/05 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) Αν z z 0 δείξτε ότι: z z ( z ) Παραγωγίζουμε την z z 0 ως προς θεωρώντας ότι η z είναι συνάρτηση των και : z z z z z z 0 () z
Διαβάστε περισσότεραΣυνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/2017. Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης. dy dx = 2y + x 2 y 2 2x
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/017 Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης dx y + x y. x Παρατηρούμε ότι η δ.ε. είναι ομογενής. Πράγματι, dx y x + 1 x y x y x + 1 (
Διαβάστε περισσότεραΜέρος IV. Πολυδιάστατες τυχαίες μεταβλητές. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ15 ( 1 )
Μέρος IV Πολυδιάστατες τυχαίες μεταβλητές Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( ) Πολυδιάστατες μεταβλητές Πολλά ποσοτικά χαρακτηριστικά που σχετίζονται με
Διαβάστε περισσότερα2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων.
Ένα μέτρο πιθανότητας πάνω στο δειγματικός χώρο Ω, είναι μία συνάρτηση P ( ) που αντιστοιχεί σε υποσύνολα του Ω, έναν αριθμό στο [ 0, ], με τις εξής ιδιότητες: P ( Ω ) 2 Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ενότητα 6: Διπλά Ολοκληρώματα Δρ. Περικλής Παπαδόπουλος Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε Κάντε κλικ για
Διαβάστε περισσότεραΟΙ πιο πάνω έννοιες εκφράζουν όπως λέμε τη μονοτονία της συνάρτησης.
3 Μονοτονία συναρτήσεων 3 Μονοτονία συναρτήσεων 3Α Μονοτονία συνάρτησης Έστω f μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Γνησίως αύξουσα συνάρτηση Η συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα στο Δ αν για κάθε, Δ, με
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι ΜΕΡΟΣ Α (Σ. ΧΑΤΖΗΣΠΥΡΟΣ) . Δείξτε ότι η στατιστική συνάρτηση T = X( n)
ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι ΜΕΡΟΣ Α (Σ. ΧΑΤΖΗΣΠΥΡΟΣ) Θέμα ο (Παρ..3.4, Παρ..4.3, Παρ..4.8.) Εάν = ( ) τυχαίο δείγμα από την ομοιόμορφη ( 0, ) X X,, X. Δείξτε ότι η στατιστική συνάρτηση T = X = το δειγματικό
Διαβάστε περισσότερα