, όπου D ( ) ( ) ( ) i i i. ανήκουν στην καμπύλη 2 και καθορίζουν τα ύψη των παραλληλογράμμων. με συντεταγμένες ( ( ))

Transcript

1 Έστω διάστημα B= ( b ) Df όπου D f το πεδίο ορισμού της y f ( x) διαμέριση ( B) = { t i n: t < t r n t = t = b} n i r r+ n n ( b ] ( x x ] = Το ολοκλήρωμα της y = f ( x) στο B άθροισμα του εμβαδού ( Π i ) των n παραλληλογράμμων i ύψος f ( x i ) και μήκος βάσης xi = xi+ xi i= i i+ = και Τότε θα έχουμε θα είναι περίπου ίσο για μεγάλο n με το Π για i n με b n n x= f x x Π = f x x i i i i= i= με συντεταγμένες ( ) Τα σημεία A i για i n xi f x i ανήκουν στην καμπύλη = xy : x D y= f x και καθορίζουν τα ύψη των { f } παραλληλογράμμων Π i Όταν πάρουμε το όριο για n του παραπάνω αθροίσματος ζητάμε το όριο f ( xi) xi = l να είναι ένας μοναδικός πραγματικός αριθμός ανεξάρτητος του i= τρόπου που έγινε η διαμέριση n ( B) της y = f ( x) στο B θα είναι του B Τότε το ολοκλήρωμα κατά Riemnn n f ( x) = xlim f ( xi) xi = l n B i = Prtition Υποθέτουμε ότι η f έχει πεπερασμένο αριθμό ασυνεχειών στο B Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση

2 διάστατη γενίκευση του ολοκληρώματος κατά Riemnn: Έστω παραλληλόγραμμο του { } = xy < x< bc< y< D και διαμέριση ( x) ( y) ( B ) B nm n m = όπου B ( x) ( b ) = και διαμερίσεων των B ( y) ( x) B και : f = ( c ) και η ( y) B Το διπλό ολοκλήρωμα της z f( xy ) nm Τότε θα έχουμε ( b ] ( c n m ] ( x i x i ] ( y j y + j+ = i= j= είναι το καρτεσιανό γινόμενο των = στο παραλληλόγραμμο που έχει πεπερασμένο αριθμό ασυνεχειών θα είναι περίπου ίσο για μεγάλα n και m με Π για i n και το άθροισμα του όγκου Vol ( Π ij ) των nm πρισμάτων ij j m με ύψος f ( xi y j) και εμβαδόν βάσης xi yj = ( xi+ xi)( yj+ xj) b n m n m x= y= c ( ) ( ) f x y yx Vol Π = f x y y x ij i j j i i= j= i= j= Τα σημεία A ij για i n και j m με συντεταγμένες x y f ( x y ) i j i j 3 3 { xyx : xy Df y f xy } ανήκουν στην επιφάνεια και είναι τα ύψη των πρισμάτων = = Π ij Όταν πάρουμε το όριο για nm (τότε x= sup x και y = sup y ) του παραπάνω διπλού αθροίσματος ζητάμε το όριο λ ( ) i i f xi yj yj xi να i= j= = j j Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση

3 είναι ένας μοναδικός πραγματικός αριθμός ανεξάρτητος του τρόπου που έγινε η z= f xy διαμέριση ( ) του Τότε το ολοκλήρωμα κατά Riemnn της nm στο θα είναι n m ( ) lim ( ) f x y yx = f x y y x = λ n m i = j = i j j i n m m n Επειδή Vol ( Π ij ) = Vol ( Πij ) δηλαδή ο τρόπος που αθροίζουμε τους i= j= j= i= όγκους Vol ( Π ij ) δεν παίζει ρόλο στον υπολογισμό του λ θα έχουμε ότι b b ( ) = λ = ( ) f x y yx f x y xy x= y= c y= c x= Το ίδιο θα ισχύει εάν το παραλληλόγραμμο έχει άπειρο εμβαδό δηλαδή κάποιο από τα ή c (ή και τα δύο) τείνει στο ή (ή και ταυτόχρονα) κάποιο από τα b ή (ή και τα δύο) τείνει στο + Για παράδειγμα εάν η f( xy ) είναι πυκνότητα και ( ) F xy η αντίστοιχη αθροιστική συνάρτηση κατανομής είναι εμφανές από τα παραπάνω ότι θα έχουμε: f x y yx = f x y xy = x= y= y= x= x y y f u v vu = f u v uv = F x y x y u= v= v= u= x Τα ίδια ισχύουν και για οποιαδήποτε διάστατη ( ) γενίκευση του ολοκληρώματος κατά Riemnn Παρατηρήστε ότι τότε υπάρχουν! τρόποι εναλλαγής της ολοκλήρωσης που όλοι όμως εφόσον το πεδίο ολοκλήρωσης = b b οδηγούν στο ίδιο αποτέλεσμα είναι της μορφής Έστω τώρα ότι το πεδίο ολοκλήρωσης είναι γενικά καμπυλόγραμμο δηλαδή για = {( xy ) : x b fl( x) y fh( x) } ( xy) c y g( y) x g( y) = < < < < { : l h } = < < < < Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 3

4 Τότε θα έχουμε ότι το ολοκλήρωμα f ( ) x y yx (είτε το f ( ) σημαίνει το ίδιο πράγμα) θα είναι η κοινή τιμή των ολοκληρωμάτων x y xy που Παράδειγμα b fh( x) gh( y ) f ( x y) y x = f ( x y) x y l l x= y= f x y= c x= g y Δίνεται η συνάρτηση z= f( xy ) = x + y για ( ) Να βρεθεί το ολοκλήρωμα της z f( xy ) = ( xy ) : < x< < y< 4 { } xy = στο χωρίο (η ολοκλήρωση να γίνει και με τους δύο τρόπους εξωτερικά ως προς x και εξωτερικά ως προς y ) Να βρεθεί η πυκνότητα f ( ) στην f( xy ) δηλαδή η f ( ) f ( xy ) Cf ( xy )( xy ) xy με στήριγμα το που αντιστοιχεί xy θα πρέπει να είναι τέτοια ώστε = για σταθερό C > αλλου Το ολοκλήρωμα της z f( xy ) = στο χωρίο θα είναι: Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 4

5 f x y yx = x + y y x = 3x + x = 7 + = x= y= x= f x y xy = x + y x y = + y x = 7 + = y= x= x= Θέλουμε f ( xy ) ( ) C x + y xy = elsewhere Ολοκληρώνοντας και τα δύο μέλη της προηγούμενης εξίσωσης στο παίρνουμε = f ( x y) yx = C f ( x y) yx = 8C C = 8 και η ζητούμενη πυκνότητα είναι f ( xy) Παράδειγμα ( x + y) ( xy ) = 8 elsewhere Δίνεται η συνάρτηση z= f( xy ) = x + y για ( ) Να βρεθεί το ολοκλήρωμα της z f( xy ) = ( xy ) : < x< < y< x { } xy = στο καμπυλόγραμμο χωρίο (η ολοκλήρωση να γίνει και με τους δύο τρόπους) Να βρεθεί η αντίστοιχη πυκνότητα f xy με στήριγμα στο 3 Να βρεθούν οι περιθώριες πυκνότητες f ( x ) και Το ολοκλήρωμα της z= f( xy ) στο χωρίο θα είναι: f y { xy : x y x } = < < < < x 6 f ( x y) yx = ( x + y ) y x = x ( x ) + ( x ) x 3 x= y= x= = x + x x x = x= Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 5

6 Επειδή έχουμε { } { } = xy : < x< < y< x = xy : y< x< < y< 4 θα 4 4 f x y xy x y x y y y y x 3 y= x= y y= 5/ 3/ 7 6 y + y y + x = / / ( ) = ( + ) = ( 7 ) + ( ) 4 y= Θέλουμε f ( xy ) ( ) C x + y xy = elsewhere ολοκληρώνοντας και τα δύο μέλη της προηγούμενης εξίσωσης στο παίρνουμε 6 5 = f ( x y) = C f ( x y) yx = C C = 5 6 και η ζητούμενη πυκνότητα είναι f ( xy) 3 Για την f x έχουμε x 5 ( x + y) ( xy ) = 6 elsewhere 5 5 f x f x y y x y y x x x y= y= ή ότι x + x x < x< f ( x) = elsewhere f y έχουμε 6 4 = ( ) = ( + ) = + Για την 5 5 f y f x y x x y x x x x x= x= y ή ότι 5 5/ 3/ 7 y + y y + < y< 4 f ( y) = elsewhere 6 4 = ( ) = ( + ) = + Οι περιθώριες πυκνότητες φαίνονται στο παρακάτω σχήμα Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 6

7 Άσκηση Δίνεται η από κοινού αθροιστική συνάρτηση κατανομής για > και b > F ( xy ) x by ( e )( e )( xy ) + = elsewhere Να βρεθεί η από κοινού σππ f ( ) P{ + < } Να βρεθούν οι πιθανότητες P{ } P{ < < } και P{ > > } καθώς και οι πιθανότητες P{ } και { } xy καθώς και η πιθανότητα P > ( ) F ( xy ) ( x+ by) f x y = = be xy για xy> { } ( ) P f x y yx + < = όπου { xy : x y x y } = + < < < < < Για b και εσωτερική ολοκλήρωση ως προς y έχουμε x x by P{ + < } = be e y x x= y= ( ) x by x x b x y= x= x= = e e x = e e x Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 7

8 e be e = e x e e x = e e = b b x b ( bx ) b x= x= b b Εναλλακτικά για b αλλά με εσωτερική ολοκλήρωση ως προς x θα έχουμε y x by P{ + < } = be e y x y= x= ( ) by x y by y = b e e y = b e e x x= y= y= by bx b ( ) e be e = b e x be e x = e be = b b y= y= Για = b παίρνοντας το όριο για b έχουμε b be e P + < = lim = lim e + e b b b e e = + e b { } = + Παρατήρηση: Εμφανώς ισχύει e > + για κάθε > b b < + e < εφόσον είναι γνωστό ότι Η εξίσωση του επιπέδου που περνάει από τα σημεία ( ) ( ) 3 P ( b c ) του P b c P b c και Υποθέτουμε ότι τα σημεία P P και P 3 δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία δηλαδή ορίζουν ένα επίπεδο ( ) στον 3 Έστω r r και r 3 τα διανύσματα θέσης των σημείων P P και P 3 δηλαδή r s = i s + b s j+ ck s για 3 P xyz με διάνυσμα θέσης r θα έχουμε ότι ο όγκος V του παραλληλεπιπέδου που ορίζεται από τα τρία διανύσματα PP = r r PP = r rκαι PP 3= r3 rθα είναι s = Εάν x yb zc V = PP PP PP = rr r r r r = b b c c 3 3 b b c c Επειδή όμως τα σημεία P P και P 3 ορίζουν ένα επίπεδο στον 3 θα έχουμε V = και η εξίσωση του επιπέδου ( ) που περνάει από τα σημεία P P και P 3 θα είναι: Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 8

9 x yb zc : b b c c = b b c c Παράδειγμα Να βρεθεί η εξίσωση του επιπέδου P( ) P ( b ) και P3 c ( ) που περνάει από τα σημεία x y z b b b = ( x) y + z = c c c bc( x ) + cy + bz = x + y + z = b c x y z = xyz : + + = b c Έτσι έχουμε ότι 3 Η εξίσωση της ευθείας ( ) που περνάει από τα σημεία P( b ) P ( b ) 3 του Έστω r r τα διανύσματα θέσης των σημείων P P δηλαδή rs = i s + bs j για s = Εάν Pxy ( ) ( ) με διάνυσμα θέσης r θα έχουμε ότι i j k x yb x yb x y b k b b b b b b = = = x y b = b b b b x y b = xy : = b b b b Έτσι έχουμε ότι Παράδειγμα Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας ( ) ( ) P P b ( ) που περνάει από τα σημεία Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 9

10 θέτοντας = b = b = b = x y η προηγούμενη εξίσωση δίνει + = b Παράδειγμα Να βρεθούν οι ομοιόμορφες κατανομές στα παρακάτω χωρία: = {( xy ) : < x< bc < y< } 3 = {( xy ) :< x< y< } 4 = {( xyz ) 3 :< x< y< z< } 5 ( ) : 6 3 { } { } = xy < x< < y< x = xy y< x< < y< : : 4 { x y x y x y } { x y z : x y z x y z } = < < < < + < = < < < < < < + + < x y = xy : < x< < y< b + < b x y z = xyz : < x< < y< b < z< c + + < b c = xy : x + y < R { } { xyz 3 : x y z R } 9 = + + < Σε όλες τις περιπτώσεις ζητάμε C > τέτοιο ώστε στις δύο διαστάσεις να έχουμε f ( xy ) ( xy) C = με C = A elsewhere και A = x y ενώ στις τρείς C ( xyz ) fz xyz = με C = V elsewhere και V διαστάσεις b b C = A = y x = ( c) x = ( b )( c) x= y= c x= έτσι έχουμε ότι < x< bc < y< f ( xy ) ( b )( c = ) elsewhere = x b b c < < c< y< = x y z Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση

11 Οι περιθώριες πυκνότητες είναι: f x = < x< b c< y< = y < x< b = x b ( ) b c b y= και παρατηρούμε ότι ισχύει c f xy = f x f y δηλαδή οι τμ και είναι ανεξάρτητες Προφανώς και f ( y) = ( c< y< ) = ( y c) x 4 C = A = y x = x x = 3 ( ) x= y= x= 4 4 ή ισοδύναμα ( ) f ( xy) 4 C = x y = y y = 3 έτσι έχουμε y= x= y x= 3 < x< < y< x = 4 elsewhere Οι περιθώριες πυκνότητες είναι: x και 3 3 f ( x) = y = ( x ) < x < 4 4 y= Εμφανώς f ( xy) f ( x) f ( y) 3 3 f y = x = y < y < x= y και οι τμ και είναι εξαρτημένες C = A = y x = x x = 3 ισοδύναμα x= y= x x= y C = x y = yy = y= x= x= < x< y< f ( xy ) = elsewhere C = V = z y x = y y x = 4 ισοδύναμα C 6 x= y= x z= y x= y= x z y = z y x = 6 z= y= x= 6 3 < x< y< z< fz ( xyz ) = elsewhere 3 3 Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση

12 x C = A = y x = x x = 5 x= y= x= x+ y< < x< < y< f ( xy ) = elsewhere x xy x 6 x= y= z= x= y= C = V = z y x = x y y x x= 3 = ( x) x = x+ y+ z < < x< < y< < z < fz ( xyz ) = elsewhere 7 x b x C A y x b x b = = = = x= y= x= x y + < < x< < y< b f ( xy ) = b b elsewhere 8 x x y x b c b b x y C V z y x c y x = = = b x= y= z= x= y= x x bc x bc = c b b x = x b = 6 x= x= 6 x y z + + < < x< < y< b < z < c fz ( xyz ) = bc b c elsewhere 9 R R x R C = A = 4 y x = 4 R x x x= y= x= θέτοντας x= Rsin ( ϑ ) έχουμε ότι R x = Rcos( ϑ ) και x R cos( ϑ ) π / = 4 cos ( ϑ) ϑ Επειδή ( ϑ) ( ϑ) ( ϑ) ( ϑ) C R ϑ= π / ϑ= ( ) C = R + cos ϑ ϑ = πr και = που δίνει cos = cos sin = cos έχουμε Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση

13 x + y < R f ( xy ) = π R elsewhere R R x R x y R R x C = V = 8 z y x = 8 R x y y x θέτοντας y R x sin ( ϑ ) x= y= z= x= y= = έχουμε ότι = sin ( ϑ) = cos( ϑ) και y = R x cos ( ϑ ) R x y R x R x που δίνει R π/ R π/ 4 3 ( ϑ) ϑ ( ϑ) ϑ π και C = 8 R x cos x = 8 R x x cos = R 3 x= ϑ= x= ϑ= 3 x + y + z < R 3 fz ( xyz ) = 4π R elsewhere Συνδιασπορά (covrince) και συντελεστής συσχέτισης (correltion coefficient) H συνδιασπορά είναι ένα μέτρο της από κοινού μεταβολής δύο τυχαίων μεταβλητών και ορίζεται σαν { } ( ) = ( )( ) Cov Εάν Cov( ) = λέμε ότι οι τμ και είναι (γραμμικά) ασυσχέτιστες Εάν = τότε ( ) { } Cov = = Vr που είναι η μέση τιμή της τετραγωνικής απόκλισης της από τον μέσο όρο της Δεν είναι δύσκολο να δείξουμε ότι Πρόταση Εάν και από κοινού συνεχείς ( ) ~ f ( ) είτε από κοινού ~ p έχουμε ότι: διακριτές Cov( ) = ( ) ( ) ( ) Εάν και ανεξάρτητες τμ Cov( ) = (το αντίστροφο γενικά δεν ισχύει) Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 3

14 {( )} { } ( ) = + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) Για κάθε συνάρτηση g των τμ και ισχύει ότι ( ) ~ ( ) { ( )} ( ) ( ) f g g x y f x y yx = x= y= = ( ) ~ p ( ) { g( )} g( xy ) p ( xy ) x y Έτσι για παράδειγμα έχουμε ότι στη από κοινού συνεχή περίπτωση { } = x f ( x y) yx = x f ( x y) y x = x f ( x) x x= y= x= y= x= και στην από κοινού διακριτή περίπτωση { } = xp ( x y) = x p ( x y) = xp( x) x y x y x Εάν και ανεξάρτητες τμ θα έχουμε x= y= x= y= { } = = xy f x y yx xy f x f y yx { } { } x= y= = x f x x y f y y = Cov = Παρομοίως στην από κοινού διακριτή περίπτωση { } = xyp ( x y) = xp ( x) yp ( y) x y x y { } { } Cov( ) = = Παράδειγμα Για τις παρακάτω διακριτές συναρτήσεις να υπολογιστεί το είναι συναρτήσεις μάζας πιθανότητας C > έτσι ώστε να p ( xy ) p ( xy ) ( xy) { } C = elsewhere ( xy) { } { } C = elsewhere Να υπολογιστεί και στις δύο περιπτώσεις το covrince των και Είναι οι και ανεξάρτητες; Υπολογίζουμε εύκολα ότι C = /3 Οι περιθώριες κατανομές είναι Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 4

15 ~ /3 /3 /3 και ~ /3 /3 ( ) ( ) ( ) Cov( ) = = /3 = /3 = ενώ οι τμ και είναι εξαρτημένες εφόσον υπάρχει τουλάχιστον ένα p xy p x p y για παράδειγμα ( xyγια ) το οποίο p ( ) = p( ) p( ) = 3 3 Υπολογίζουμε εύκολα ότι C = /6 Οι περιθώριες κατανομές είναι ~ /3 /3 /3 και ~ / / p xy p x p y 6 3 ( ) = = = για κάθε ( ) { } { } και είναι ανεξάρτητες από όπου και Ορίζουμε τον συντελεστή συσχέτισης σαν xy δηλαδή οι Cov = ( ) Vr ( ) Cov ρ ( ) = ή συντομογραφικά Vr ρ σ = σ σ Πρόταση Ανισότητα Cuchy Schwrtz: Ισχύει ότι ρ ( ) ( ) ( ) ( ) { } Ορίζουμε τη μη αρνητική συνάρτηση g ( ) ( ) g = + * * = = g ( ) ( ) ενώ = ( ) * * g ( ) = ( ) > min g( ) = g( ) = ( ) από όπου και ( ) ( ) ( ) ( ) ότι Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 5

16 U = Θέτουμε V = τότε από Cuchy Schwrtz για τις τμ U και V έχουμε ( UV ) ( U ) ( ) {( )( )} { } ( ) { } Vr ( ) Cov Cov( ) Vr ( ) Vr ( ) ρ ( ) Vr Correltion is expresse on rnge from + to - known s the correltion coefficient In perfect positive correltion expresse s + n increse or ecrese in one vrible lwys preicts the sme irectionl chnge for the secon vrible If two vribles sometimes but not lwys chnge in tnem the correltion is expresse s greter thn zero but less thn + Vlues below zero express negtive correltion: As the vlue of one vrible increses the other ecreses Zero inictes lck of correltion: There is no tenency for the vribles to fluctute in tnem either positively or negtively Exmples of positively correlte vribles inclue: Hours spent stuying n gre point verges Euction n income levels 3 Poverty n crime levels 4 Evlute stress levels n bloo pressure reings 5 Smoking n lung isese There s common tenency to think tht correltion between vribles mens tht one cuses or influences the chnge in the other one However correltion oes not imply custion There my be n unknown fctor tht influences both vribles similrly Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 6

17 Για παράδειγμα εάν οι τμ και είναι θετικές δηλαδή P{ > } b P> { } = και παρατηρήσουμε log ( ) = log ( ) + b = e Παράδειγμα Δείξτε ότι εάν = + b τότε Cov( ) Vr ( ) > sgn ( ) = > < = και = και ( ) sgn ( ) ( ) = ( + ) = ( ( + )) ( + ) Cov Cov b b b ( ) = + b b = V r Vr ( ) Vr ( ) ρ ( ) = = = sgn ( ) Vr ρ = όπου Πρόταση Εάν ο μετασχηματισμός y = T x είναι ένα προς ένα για x B έχουμε: ( y) f ( x) x = f ( T ( y) ) y B T B T y όπου το διάστημα T( B ) είναι προσανατολισμένο κατά την έννοια ότι εάν B= ( b ) και T τότε T( B) = T( ) T( b) ενώ εάν T τότε T( B) = T( b) T( ) Πράγματι εάν B= ( b ) Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 7

18 T b B x= y= T ( y) b T f ( x) x = f ( x) x = f ( T ( y) ) y y Εάν T T ( y) T ( y) = και T( ) T( b) y y < που δίνει T ( y) f ( x) x = f ( T ( y) ) y με T( B) = T( ) T( b) B T B y Εάν T T ( y) T ( y) = και T( ) T( b) y y > που δίνει T b ( y) b T f ( x) x = f ( x) x = f ( T ( y) ) y y B x= y= T T( ) y= T b T B T y T y = f ( T ( y) ) y = f ( T ( y) ) y y y όπου T( B) ( T( b) T( ) ) Εάν = Μετασχηματισμοί πυκνοτήτων είναι συνεχής τμ έτσι ώστε ~ f ( ) και ο μετασχηματισμός = T( ) είναι αντιστρέψιμος 3 ( Ω) στο χώρο καταστάσεων της τμ τότε ορίζουμε την πυκνότητα της τμ με τον εξής τρόπο: f ( y) = f ( T ( y) ) T ( y) y και ο χώρος καταστάσεων της τμ είναι T( ) Πράγματι = { } = { } F y P y PT y Ω = Ω 3 Δηλαδή το T είναι συνάρτηση Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 8

19 { } ( ) P T y T F T y T = = P{ T y } T F ( T y ) T Παραγωγίζοντας ως προς y παίρνουμε: ( ) f T y T y / y T f ( y) = f ( T y ) T ( y) / y T = f ( T ( y) ) T ( y) y ( Ω ) = T( ( Ω )) y Η τελευταία ισότητα ισχύει επειδή T( T ( y) ) = y T ( T ( y) )( T ) ( y) = ( T ) ( y) = T ( T ( y) ) που σημαίνει ότι T και ( T ) έχουν το ίδιο πρόσημο άρα T και T έχουν την ίδια μονοτονία Την τελευταία εξίσωση χρησιμοποιώντας διαφορικά μπορούμε x να την γράψουμε και ως y = y / x Πρόταση Εάν η τμ Z παρακάτω: έχει συνάρτηση κατανομής F Z που αντιστρέφεται τότε έχουμε τα Έστω ότι ~ ( ) τότε η τμ F Z ( ) Z συμβολικά F Z ( ) = Z Αντίστροφα η τμ = FZ ( Z) ακολουθεί την ομοιόμορφη κατανομή στο συμβολικά F ( Z ) = ( ) ( ) : Για να δείξουμε ότι Z { } = Z { Z } F x = P x = P F x και επειδή Z F παίρνουμε = έχει την ίδια κατανομή με την τμ αρκεί να δείξουμε ότι F ( x) F ( x) ( x) { } F x = P F x = f y y FZ Z = : Z Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 9

20 Όμως ~ ( ) f ( y) = ( < y< ) και F ( x) ( ) FZ x FZ x Z F x = < y < y = y = F x που δίνει ( ) : Για να δείξουμε ότι F ( Z) ( ) αρκεί να δείξουμε ότι για < y < Πράγματι = Z = ( ) ( ) f y = f F y F y = f F y F F y Z Z Z Z Z Z Z Z ( Z ) fz F y = = f F y ( Z ) εφόσον Z F f y = < y< f > και Z : [ ] Z f y = είναι ένα προς ένα Έτσι παίρνουμε ότι Εάν ο μετασχηματισμός T δεν είναι αντιστρέψιμος στο χώρο καταστάσεων Ω της τμ τότε θα πρέπει να αθροίσουμε τον μετασχηματισμό της πυκνότητας πάνω σε κάθε κλάδο x= T i ( y) της αντίστροφης στο αν η T ( y) έχει s κλάδους στο ( Ω ) θα έχουμε ( ) s s f x f Ti y f ( y) = = = f Ti y Ti y y= Tx T x i= T T ( y) i= y i( i ) { } ( j ) j όπου x T ( y) Ts ( y) ιδιότητα T T ( y) x Ω δηλαδή οι κλάδοι 4 (προεικόνες) του x που έχουν την = για = s Άσκηση Εάν η τμ έχει πυκνότητα f και στήριγμα το να βρεθεί η πυκνότητα της = T στις εξής περιπτώσεις: τμ T ( ) = + b όπου και b πραγματικοί αριθμοί k T = 4 Brnches ή pre imges Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση

21 3 T( ) = b T( ) T ( ) T ( y) = = = = y b f ( y) = f ( T ( y) ) T ( y) = f y = k = ρ + = T T ( y) y / k = { ± } k = ρ y k k = ρ + k + k / k f ( y) = y f ( y ) < y< k k = ρ / k k + k { } k+ k+ k+ / / / / k k k k k k f y = y f y + y f ( y ) = y k f ( y ) + f ( y ) y > k k k 3 Επειδή σε αυτή την περίπτωση η T( x) = T( ) = T ( ) { ± } T ( y) = y = ( ) + > f y f y f y y Αλλιώς = δεν είναι αντιστρέψιμη θα έχουμε = { } = { } = { } = { } { < } F y P y P y P y y P y P y Επειδή P{ y} F ( y ) < = αλλά F παντού συνεχής έχουμε ότι P{ < y} = F ( y) και έτσι F ( y) = F ( y) F ( y) Παραγωγίζοντας την προηγούμενη εξίσωση ως προς y έχουμε: f y = f y + f y Παράδειγμα Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση

22 Εάν ~ ( ) και = T ( ) = + b δείξτε ότι ( y b + b) > f ( y) = ( y + bb ) < Επίσης να βρεθεί η κατανομή της τμ όταν = T( ) = e Εάν ~ N ( ) και = T( ) = δείξτε ότι f ( y) G ( y / /) 3 Εάν ~ N ( ) και = T = δείξτε ότι = y / f y = HN y = e y > (όπου το HN σημαίνει hlf norml) π Επειδή y = T ( x) = x + b έχουμε x T ( y) f ( y) y b = = που δίνει yb yb yb = = < < y b< y< + b > y b + b > = = + b< y< b < y + b b < x Όταν y = T( x) = e έχουμε x T ( y) log ( y) = = τότε ( y) f ( log ) log ( log ) y = y = < y < = ( < y< e) y y y Επειδή y T( x) x = = έχουμε x T { } y y y = με αποτέλεσμα = ( ) + ( ) ( ) f y N y y N y y y y y/ = N( y ) = e y > y π y Επίσης επειδή Γ ( /) = π και / ( /) Γ( /) / y / f y y = e = G y b G y b y e y Γ ( / /) by = > ( ) παίρνουμε Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση

23 Παρατήρηση: Η πυκνότητα f ( y) G ( y / /) = είναι ειδική περίπτωση της οικογένειας κατανομών χι τετράγωνο 5 με n βαθμούς ελευθερίας χ n ( y) = G ( y n //) Εδώ έχουμε f ( y) = χ ( y) 3 f ( y) = f ( y) + f ( y) = N( y ) + N( y ) y / y / = e = e y > π π Άσκηση Εάν ~ N ( ) και = = + δείξτε ότι f ( y) N( y µσ ) T σ µ = Εάν ~ N ( ) και = T = σ + µ δείξτε ότι exp y µ y µ > f ( y) = σ π σ otherwise Επίσης δείξτε ότι σε αυτή περίπτωση έχουμε f ( y) N( y µσ ) ( y > µ ) Δηλαδή η τμ είναι η περικομμένη (truncte) κανονική κατανομή στο µ διάστημα ~ N µσ και 3 Εάν Επειδή y = T( x) = σ x+ µ έχουμε x T ( y) yµ yµ f ( y) = N σ y σ y µ = exp = N( y µσ ) y σ π σ = T = e να βρεθεί η κατανομή της y µ = = που δίνει σ Επειδή y y = T x = σ x + µ έχουμε = σ x + µ > µ έτσι παίρνουμε: y µ > = = σ και y µ < = = σ x x+ T+ y x x T y 5 Chi squre with one egree of freeom Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 3

24 f ( y) = f T ( y) T y + f T y T y y y ( + ) + ( ) yµ yµ = N + N σ σ σ σ exp y µ y µ y µ > = N = σ π σ σ σ otherwise Έστω ότι f ( y) N( y µσ ) ( y µ ) f ( y) CN( y µσ ) ( y µ ) > τότε υπάρχει C > τέτοιο ώστε = > Ολοκληρώνοντας στο έχουμε ( µσ ) ( µ ) = f y y = C N y y > y C = C N ( y µσ ) y = C = από όπου y= µ f y N y y exp ( y ) µ y > µ otherwise = µσ > µ = σ π σ x 3 Όταν y = T( x) = e έχουμε x T ( y) log ( y) = = τότε log y log y µ f ( y) = N( log ( y) µσ ) = exp y > y y σ π σ Η προηγούμενη πυκνότητα είναι η πυκνότητα της λογαριθμοκανονικής ~ LN µσ (lognorml) κατανομής και συμβολίζεται με Άσκηση π π ~ Δείξτε ότι εάν τότε T ( ) ( ) C = = tn ~ Ποίος είναι ο μετασχηματισμός T για τον οποίο έχουμε Z T ( ) ~ C( b) b ; rctn ( y) = για > και π π f ( y) = rctn ( y) y π rctn y π = < < = < π y π y y < = + + C y Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 4

25 Στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό και έχουμε z z b fz ( z) = C = = C y b b y b π b + z Δηλαδή Z = T = by + με b > Z = T T = btn + και ο ζητούμενος μετασχηματισμός είναι ο T = T T Άσκηση T Να βρεθεί μετασχηματισμός τέτοιος ώστε T( ) ~ f f y y y / = ( < < ) και f ( x) e x ( x ) = > = για ~ f με Υποθέτοντας ότι ο άγνωστος μετασχηματισμός T είναι αντιστρέψιμος και u y = x= T y έχουμε ότι θέτοντας u / u / e u = y e u = y για y < < και u( y) x = > Ολοκληρώνοντας παίρνουμε ολοκλήρωσης Εκτελώντας τα ολοκληρώματα παίρνουμε u / e u = y y + C όπου C η σταθερά της e C y u C y u / / = =log ενώ θα πρέπει να ισχύει y e / C y > ή ότι < C Επειδή θα πρέπει y < θέτουμε C = από όπου παίρνουμε u / = y και επειδή u( y) Εναλλακτικά Η ασκ της είναι F ( x) ( e x ) ( x ) F = e = ( ) = x τελικά θα έχουμε y = ( e x ) = > και γνωρίζουμε ότι Η ασκ της είναι F ( y) y ( y ) ( y ) = = < < + τότε ( ) ( ) ( ) F = < < + = Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 5

26 Έτσι = e = ή ότι ( e ) Παρατήρηση: Η προηγούμενη ισότητα είναι ισότητα σε κατανομή (ή στοχαστική ισότητα) Μπορούμε να κάνουμε όλες τις σύνηθεις πράξεις ταυτόχρονα και στα δύο μέλη της στοχαστικής εξίσωσης που ισοδυναμεί με το ότι εάν = και g( ) = g( ) για κάθε g: ( Ω) Όμως δεν μπορούμε να αλλάξουμε μέλη δηλαδή εάν = τότε αυτό δεν σημαίνει ότι = ούτε να πολλαπλασιάσουμε ας πούμε και τα δύο μέλη με το δηλαδή εάν = τότε αυτό δεν σημαίνει ότι = Για παράδειγμα εάν οι τμ και είναι ανεξάρτητες τυπικές κανονικές δηλαδή έχουμε = = N ( και C( ) = Ορίζουμε την υπό συνθήκη κατανομή της τμ ~ F δοθέντος του P( { x} B) ενδεχομένου B σαν FB ( x B) = P{ x B} = P B Η F B είναι συνάρτηση κατανομής της τμ = [ B] P( { } B) P( B) FB ( B) = = = P( B) P( B) P( { } B) P( B) FB ( B) = = = P( B) P( B) P( { < b} B) ({ } \{ }) 3 P{ < b B} = = P( B) P( B) P( { b} B\ { } B) P( { b} B) P( { } B) = = P( B) P( B) P( B) = F ( b B) F ( B) B B Παράδειγμα: Να δειχθεί ότι εάν B { α β} x F ( x) F ( ) FB ( x B) = α < x β F ( β ) F ( ) x β P b B = < και ~ F τότε και f ( x B) f ( x) ( α < x β) B Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 6

27 Από τον ορισμό έχουμε F ( x B) B επειδή { } { } { } { } ({ } { α < β} ) P{ α < β} P x = x x α < β = α < x α < x β θα έχουμε: α < β x β x P( ) x F ( x) F ( ) FB ( x B) = P{ α < x} α < x β = α < x β P{ α < β} F ( β) F ( ) P{ α < β} x β F ( β ) F ( ) x β F ( β ) F ( ) x x F ( x) F ( ) f ( x) = α < x β fb ( x B) = α < x β β F ( β ) F ( ) f ( x) x β α x β f ( x) fb ( x B) = ( α < x β) f( x) ( α < x β β ) f x Πρόταση α Εάν ο μετασχηματισμός y = T( x) όπου x= ( x x ) και y ( y y ) T : x T y είναι ένα προς ένα για x D T = με τότε υπάρχει μοναδική λύση = Χρησιμοποιώντας τις συντεταγμένες των x και y έχουμε: Έστω T ( ) : T : ( ) ( ) y = y x x x = x y y y = y x x x = x y y ( ) I f x x xx = z = f x x στο χωρίο D T το ολοκλήρωμα της συνάρτησης Τότε μπορεί να αποδειχθεί ότι Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 7

28 = T ( ) ( ( ) ( )) f x y y x y y Jc T y y ( x x ) ( ) xi Όπου Jc ( T ) et = = η ορίζουσα του Ιακωβιανού πίνακα y j y y x i του αντίστροφου μετασχηματισμού y j Πολυδιάστατοι μετασχηματισμοί πυκνοτήτων Έστω ότι = ( ) και ( ) = δύο διανυσματικές τμ που συνδέονται με τον αντιστρέψιμο μετασχηματισμό T : κατά την έννοια Δηλαδή T( ) T ( ) T Ω Ω Ω = T Ω = = και χρησιμοποιώντας συντεταγμένες έχουμε: ( ) ( ) ( ) y = y x x x = x y y T : T : y = y x x x = x y y ( ) Τότε μπορεί να αποδειχθεί ότι εάν ο T είναι ένα προς ένα στο χωρίο ( Ω) θα έχουμε: όπου Jc ( T ) ( T ) ( ) = ( ) ( ) f y y f x y y x y y J c η ορίζουσα του Ιακωβιανού (Jcobin) πίνακα του αντίστροφου μετασχηματισμού Για την Ιακωβιανή ορίζουσα ισχύει ότι Jc T ( ) ( ) xi y y yi x x = et = Jc T = et y j x j Παράδειγμα Να βρεθούν οι ομοιόμορφες κατανομές στα παρακάτω χωρία χρησιμοποιώντας πολικές και σφαιρικές συντεταγμένες {( xy ) : x y R } = + < Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 8

29 { xyz 3 : x y z R } = + + < ( ρϕ ) ρcos( ϕ) ( ρϕ ) ρsin ( ϕ) x x x x = = T : Jc ( T ρ ϕ ) = = ρ y = y = yρ yϕ π R = C f ( x y) yx = C ρ ρϕ = C π R C = πr x= y= ϕ= ρ= ( ρϕϑ ) ρcos( ϕ) sin ( ϑ) ( ρϕϑ ) ρcos( ϑ) x= x = x x x ρ ϕ ϑ ρ ϕ ϑ T : y = y ρϕϑ = ρsin ϕ sin ϑ Jc T = y y y = ρ sin ϑ z z zρ zϕ z = = ϑ π = C f x y z zyx = C ρ sin ϑ ρϑϕ Z x= y= z= ϕ= ϑ= ρ= π π R 4 3 ϕ sin ( ϑ) ϑ ρ ρ π 3 ϕ= ϑ= ρ= = C = C R Εάν ο T δεν είναι ένα προς ένα στο χωρίο ( Ω ) τότε όπως και στην μονοδιάστατη περίπτωση θα έχουμε: ( x) f f ( y) = f x( y) Jc T y Tx Jc T = = y= Tx π R Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 9

30 Η πυκνότητα της W = + : Δίνονται οι τμ ~ f και ~ f που είναι οι συντεταγμένες τμ (περιθώριες) της από κοινού ( ) ~ f Θέλουμε να βρούμε την πυκνότητα της W = + Θεωρούμε τον μετασχηματισμό w = w xy = x+ y x = x wz = z T T Jc ( T ) = = z = z xy = x y = y wz = w z : : Η πυκνότητα W Z f της δτμ ( ) W Z είναι f wz = f x wz y wz JcT = f zw z WZ Για να βρούμε την πυκνότητα W προς Z : W f της τμ W περιθωριοποιούμε την f z= = ( ) f w f z w z z W Z Στην ειδική περίπτωση που και είναι μεταξύ τους ανεξάρτητες έχουμε: = ( ) f w f z f w z z W z= wz ως Σε αυτή την περίπτωση η πυκνότητα f είναι η συνέλιξη των πυκνοτήτων W f και f f = f = f f W + Είναι εμφανές ότι η συνέλιξη είναι αντιμεταθετική δηλαδή f f = f f εφόσον f+ = f+ Για να το δούμε αυτό αρκεί να εφαρμόσουμε τον μετασχηματισμό u = w z ( ) = ( ) = ( ) f f w f z f w z z f w u f u u z= u= z= = f w z f z z = f z f w z z = f f w Παράδειγμα z= Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 3

31 Δίνονται οι ανεξάρτητες εκθετικές τμ ~ Exp ( ) και ~ πυκνότητα της τμ W = + Exp b να βρεθεί η = ( ) = ( ) = ( ) ( ) f w f f w f z f w z z Exp z Exp w z b z W z= z= z b wz bw b z = e z > be w z > z = be e z > w z > z z= w bw ( b ) z be e z = z= z= Έχουμε ότι > και b > Πιο συγκεκριμένα εάν = b= λ λw λ λ λw f w = f f w = e z = we w > W w z= Και αναγνωρίζουμε ότι W ~ G ( λ ) νόμος της τμ W είναι = + Δηλαδή για = b= λ έχουμε ότι ο ( λ) ( λ) ( λ) W = + ~ G + G ~ G Για θετικά b έχουμε w bw ( bz ) b w bw fw ( w) = ( f f)( w) = be e z = ( e e ) w > b z= Συνολικά λοιπόν για την κατανομή της W = + έχουμε ( λ) G w = b = λ fw( w) = f+ ( w) = b w bw ( e e ) b b Παρατηρούμε ότι: bw w b b w bw > b fw ( w) e e w> C = fw ( w) = ( e e ) b b w b b bw ( w < b f bw W w e e w> C = fw w = e e ) b b Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 3

32 Δείξαμε ότι εάν οι τμ ~ G ( λ ) και ~ ( ) + είναι G ( ) κατανομή του αθροίσματος ii δείξουμε επαγωγικά ότι εάν i ~ ( ) Άσκηση G λ είναι ανεξάρτητες η G λ για i n λ Δεν είναι δύσκολο να Εάν δίνονται οι ανεξάρτητες τμ ~ G ( λ ) και ~ ( ) W = + ~ G ( λ) + G ( b λ) G ( + b λ) B( b ) που ορίζεται σαν ( ) = ( ) n i i= = τότε ~ G ( n λ ) G b λ δείξτε ότι: = και ότι το ολοκλήρωμα bet b για B b w w w > και b > μπορεί να εκφρασθεί με τη χρήση gmm συναρτήσεων στην μορφή: Γ( ) Γ( b) B( b ) = Γ + b ( ) ( k ) k = για k E λ λ M t = t < λ λ t k και λ λx f x x e x = > Γ ( ) b λ b λ y f y y e y ( b) = > Γ Η τμ W = + έχει πυκνότητα f που είναι η συνέλιξη των W f και f = ( ) = ( ) = ( λ) ( λ) f w f f w f z f w z z G z G w z b z W z= b λ λz λ ( ) z= b λ( wz) b = z e z > wz e w z > z Γ Γ z= + b λ = < < Γ z= w ( ) Γ( b) b λw z w z e z w z + b + b λw w b λw λ e b λ = z ( w z) e z = z ( w z) z Γ Γ b Γ Γ b z= z= b b λw λ + + b z= wx w e = Γ( ) Γ( b) x= ( ) x x x b Θέτοντας B ( b) = x ( x) x παίρνουμε W v= ( ) ( ) Γ( b) = Γ b B b λ + + b λw f w w e Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 3

33 Θα υπολογίσουμε την ποσότητα B( b ) χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι η f W είναι πυκνότητα ( ) λ + ( ) ( b) b b w B ( b + + ) B ( b τ ) e = Γ( ) Γ( b) λ λ ( ) ( b τ= Γ Γ ) τ= B( b ) Γ( ) Γ( b) ( b) από όπου B( b ) ( ) Γ( b) ( b) B b = = Γ Γ b + b λw fw w w w e w w= w= τ= λ λ τ τ e τ + b τ = = Γ Γ + τ = Γ + Αντικαθιστώντας την έκφραση για το B( b ) στην f έχουμε W λ Γ + + b + b λw fw ( w) = w e = G w + b ( b) και έτσι W = + ~ G ( + b λ ) ( λ ) k k k λ λx λ + k λx x x ( ) ( = = ) x= + k + k τ + k τ E = x f x x = x x e x = x e x Γ Γ τ= λx λ τ τ λ e = = Γ( ) λ λ x ( ) λ = Γ x= Γ ( + k) ( + k )( + k ) ( + )( ) Γ( ) k k Γ( ) λ Γ( ) λ ( + k )( + k ) ( + )( ) ( ) ( k ) = = = = k λ k λ τ e τ ( ) ( ) ( k ) k k t t k t k t M ( t) = E( e ) = E( ) = = k k= k! k= k! λ k= k! λ Επειδή ( ) ( k ) ( + k )( + k ) ( + )( ) = k! k! ( ) ( ) k k+ k ( = = ) k! k παίρνουμε k Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 33

34 ( k ) t k k t t M t λ = = t λ k k! λ k = + = < = k= λ λ λ t Άσκηση Δείξτε ότι ισχύει: { S T t} { S t} { T t} { S t T t} { S T t} = { S t} { T t} = = ω { } ( ω) ( ω) ( ω) ( ω) ( ω) ( ω) S T t S T t S T t T S t ω ( { S t} { T t} ) \ ( { S t} { T t} ) { S t} { T t } = S t T t ω { } ( ω) ( ω) { } { } ( ω) ( ω) ( ω) ( ω) ( ω) ( ω) ( ω) ( ω) S tt > t S T t S T t S T t T t S > t T S t Από τις περιπτώσεις S( ω) T( ω) t και T( ω) S( ω) t έχουμε ότι ω { S t} { T t} Από την S( ω) tt ( ω) > tέχουμε { S t} { T > t} = { S t} { T t} ω και T t S t { S t} { T t} { S t} { T t} Συνολικά λοιπόν ω { S T t} είναι ισοδύναμο με το ω ({ } { } ) ({ } { }) { } { } ω ω > ω > = { } { } S t T t S t T t S t T t = S t T t Πρόταση Η πυκνότητα της περιπτώσεις: W ( ) = g όταν και από κοινού συνεχείς στις g( ) = g( ) = / 3 g( ) = min { } 4 g( ) = mx { } Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 34

35 Έχουμε ~ f και ~ βρούμε την πυκνότητα της W f για τις περιθώριες της από κοινού = Θεωρούμε τον μετασχηματισμό ~ f Θα w w( x y) xy x= x wz = z = = T T w Jc ( T ) w z = zxy ( ) = x y= y( wz ) = z z z z : : = = Η πυκνότητα W Z f της δτμ ( ) W Z είναι w = ( ) = fwz wz f x wz y wz JcT f z z z Για να βρούμε την πυκνότητα W προς Z : f της τμ W περιθωριοποιούμε την f w fw( w) = f z z z z z= W Z Στην ειδική περίπτωση που και είναι μεταξύ τους ανεξάρτητες έχουμε: w fw ( w) = f ( z) f z z z z= Για την πυκνότητα της W = / Θεωρούμε τον μετασχηματισμό: x= x wz = z w= wxy ( ) = x/ y z T T Jc ( T ) z w w w : : z = = z= zxy = x y= y( wz ) = w Η πυκνότητα W Z f της δτμ ( ) W Z είναι wz ως z z f ( wz ) = f ( x( wz ) y( wz )) JcT = f z w w WZ Για να βρούμε την πυκνότητα W προς Z : f της τμ W περιθωριοποιούμε την f w z fw( w) = f z z z w z= W Z wz ως Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 35

36 Κάνοντας τον μετασχηματισμό z = uw έχουμε για w > u f w f uw u wu f uw u u u = ( ) = ( ) W w u= u= Ενώ για w < u f w f uw u wu f uw u u u = ( ) = ( ) W w u= u= Δηλαδή και στις δύο περιπτώσεις έχουμε: fw ( w) = f ( uw u) u u u= Στην ειδική περίπτωση που και είναι μεταξύ τους ανεξάρτητες έχουμε: f w = f uw f u u u W u= Σημειώνουμε ότι μπορούμε να πάρουμε κατ ευθείαν το προηγούμενο αποτέλεσμα εάν θεωρήσουμε τον μετασχηματισμό w= x/ y και z = y (αντί για z = x) Πράγματι w = w x y = x / y x = x w z = wz z w : : = = z = z xy = y y = y wz = z T T Jc T z f wz = f x wz y wz JcT = f wzz z WZ f w = f zw u z z Που δίνει: W z= 3 Για την πυκνότητα της min { } { w} = { w} { w} Παίρνοντας πιθανότητες έχουμε W= = Θεωρούμε το ενδεχόμενο = ({ } { }) = { } + { } ({ } { }) F w P w w P w P w P w w W Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 36

37 { } { } { } ( ) = P w + P w P w w = F w + F w F w w Δηλαδή η ασκ της W = είναι F ( w) = F ( w) + F ( w) F ( ww) Παραγωγίζοντας έχουμε την πυκνότητα της W W ( ) ( ) F xy F xy fw ( w) = f ( w) + f ( w) x y x= w x= w y= w y= w Όπου για την παράγωγο ως προς w της F ( ) ( ) ( ) αποτέλεσμα FGxy H xy F G F H = + x G x H x ww χρησιμοποιήσαμε το γνωστό Εάν οι τμ και είναι ανεξάρτητες θα έχουμε F ( xy) F ( xf ) ( y) πυκνότητα απλοποιείται = και η = + ( ) ( ) f w f w f w f w F w f w F w W = f w F w + f w F w = f w S w + f w S w Όπου = = και S w F w f u w u u S = w = F w = f u w u u οι = συναρτήσεις επιβίωσης (survivl) των και αντιστοίχως Επίσης παρατηρούμε ότι εάν και είναι ανεξάρτητες = = + ( F ( w) )( F ( w) ) S ( w) S ( w) S w F w F w F w F w F w W W = = 4 Για την πυκνότητα της mx { } { w} = { w} { w} Παίρνοντας πιθανότητες έχουμε W W= = Θεωρούμε το ενδεχόμενο ({ } { }) { } ( ) F w = P w w = P w w = F w w και η ασκ της W = είναι F ( w) F ( ww) W = Παραγωγίζοντας έχουμε την πυκνότητα της W Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 37

38 f W ( w) ( ) ( ) F xy F xy = + x y x= w x= w y= w y= w Εάν οι τμ και είναι ανεξάρτητες τότε F ( w) F ( w) F ( w) γίνεται f w = f w F w + f w F w W = η πυκνότητα W Παρατηρήστε ότι: οι κατανομές των minimum και mximum των τμ των και στην περίπτωση που και είναι ανεξάρτητες έχουν τις εξής συμμετρίες: W W = = + SW w S w S w = min { } fw w f w S w f w S w = = + FW w F w F w = mx { } fw w f w F w f w F w Στην ακόμα πιο ειδική περίπτωση όπου οι και είναι ανεξάρτητες και ταυτοτικά κατανεμημένες (IID inepenent n ienticlly istribute) εάν F η κοινή ασκ S η κοινή σε και f η κοινή σππ τότε W W = = SW w S w = min { } fw w f w S w = = FW w F w = mx { } fw w f w F w Άσκηση Δίνονται οι ανεξάρτητες εκθετικές τμ ~ Exp ( ) και ~ πυκνότητα της τμ W όταν: g( ) = g( ) = / 3 g( ) = min { } 4 g( ) = mx { } Exp b να βρεθεί η Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 38

39 Άσκηση Εάν οι τμ και είναι ανεξάρτητες τυπικές κανονικές δηλαδή έχουμε = N και C( ) = = τότε = Θα δείξουμε ότι N( ) = Θα δείξουμε ότι C( ) Μετασχηματισμοί μαζών πιθανότητας Εάν είναι διακριτή τμ έτσι ώστε ~ p P{ } μετασχηματισμός = T( ) είναι αντιστρέψιμος 6 ( Ω) = = και ο στο χώρο καταστάσεων της τμ τότε ορίζουμε την μάζα της τμ με τον εξής τρόπο: p y = p T y και ο χώρος καταστάσεων της μετασχηματισμένης τμ είναι T( ) Ω = Ω Παράδειγμα Εάν η τμ ~ Po( λ ) ακολουθεί την κατανομή Poisson με μέση τιμή λ και = T( ) = 3 τότε = T ( ) = ( + 3) και ( ( 3 ) ) p y = p T y = Po y + λ ( y ) 3 e λ λ + + = y 3 = { } ( y + 3 )! Εάν = ( ) και ( ) = δύο από κοινού διακριτές δτμ που συνδέονται με τον αντιστρέψιμο μετασχηματισμό T : κατά την έννοια 6 Δηλαδή το T είναι συνάρτηση Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 39

40 T ( ) Ω Ω Ω = T Ω Για κάθε x ( Ω) θα έχουμε y T( x) x T ( y) = = ή χρησιμοποιώντας συντεταγμένες: y = f( x x) x = g( y y) T : T : y = f ( x x ) x = g ( y y ) Τότε η συνάρτηση μάζας πιθανότητας p ( y y) = P { = y = y} δίνεται από την σχέση ( ) = { = = } ( ) ( ) p y y P y y { } = P f = y f = y Λύνοντας το σύστημα ( ) ( ) f = y f = y f ( ) = y ως προς παίρνουμε τη μοναδική λύση ( ) ( ) = g y y = g y y = g y y ( ) Έτσι μπορούμε να εκφράσουμε το από κοινού ενδεχόμενο { f( ) = y f ( ) = y} στη μορφή { = g( y y) = g ( y y) } Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 4

41 Τελικά παίρνοντας πιθανότητες έχουμε: ( ) = ( ) ( ) p y y p g y y g y y Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 4