Θεωρία Αριθμών με Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία. Ευαγγελόπουλος Δημήτρης

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Θεωρία Αριθμών με Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία. Ευαγγελόπουλος Δημήτρης"

Transcript

1 Θεωρία Αριθμών με Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Ευαγγελόπουλος Δημήτρης Φεβρουάριος 2013

2 2

3 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η Θεωρία Αριθμών είναι ο κλάδος των Μαθηματικών που ασχολείται με τις ιδιότητες των ακέραιων αριθμών, καθώς και με τα προβλήματα που προκύπτουν από τη μελέτη αυτή. Ο σκοπός αυτής της διπλωματικής εργασίας είναι μια συνοπτική μελέτη της Θεωρίας Αριθμών, κυρίως μέσω της κατανομής των πρώτων, με εφαρμογές στην Κρυπτογραφία. Ξεκινώντας το πρώτο κεφάλαιο περιέχει τη Βασική Θεωρία Αριθμών και συγκεκριμένα: το Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής, τον Αλγόριθμο της Διαίρεσης, τη Θεωρία Ισοτιμιών και κάποιες βασικές αριθμητικές συναρτήσεις. Στη συνέχεια το δεύτερο κεφάλαιο αναφέρεται στην απειρία των πρώτων. Ξεκινά με το θεώρημα του Ευκλείδη για την ύπαρξη άπειρων πρώτων αριθμών. Ακολουθούν το θεώρημα του Dirichlet, το Αίτημα του Bertrand και άλλες δύο παράγραφοι για τους δίδυμους πρώτους και την Εικασία του Goldbach. Έπειτα γίνεται μια εισαγωγή στην Αναλυτική Θεωρία Αριθμών. Αναφέρεται το Θεώρημα των Πρώτων Αριθμών και δίνεται μια σκιαγράφηση της στοιχειώδους απόδειξής του από τους Erdos και Selberg. Ακόμα παρουσιάζονται αρκετές ισοδύναμες μορφές του Θεωρήματος των Πρώτων Αριθμών. Τέλος, στην Κρυπτογραφία μελετάμε θεμελιώδεις μεθόδους και βασικούς αλγορίθμους σχετικά με την Πιστοποίηση Πρώτων Αριθμών (αλγόριθμοι Fermat, Miller- Rabin και Solovay-Strassen) και την Παραγοντοποίηση Ακεραίων σε Πρώτους Παράγοντες (αλγόριθμοι του Dixon και p-1 του Pollard). 3

4 4

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Βασική Θεωρία Αριθμών 1.1 Οι Αρχές της Καλής Διάταξης και της Μαθηματικής Επαγωγής Διαιρετότητα Το Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής Ισοδυναμίες Οι Συναρτήσεις π(x) και Λ(n) Η Απειρία των Πρώτων 2.1 Πόσοι Πρώτοι Υπάρχουν; Το Θεώρημα του Dirichlet Το Αίτημα του Bertrand Δίδυμοι Πρώτοι Η Εικασία του Goldbach Η Κατανομή των Πρώτων 3.1 Εισαγωγή Η Προσέγγιση του Chebyshev Οι Συναρτήσεις ψ(x) και θ(x) του Chebyshev Ισοδύναμες Μορφές του Θεωρήματος των Πρώτων Αριθμών Σκιαγράφηση της Στοιχειώδους Απόδειξης Εφαρμογές στην Κρυπρογραφία 4.1 Εισαγωγή Πιστοποίηση Πρώτου Αλγόριθμοι Πιστοποίησης Πρώτου Παραγοντοποίση σε Πρώτους Παράγοντες...89 Βιβλιογραφία 99 5

6 6

7 Chapter 1 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 1.1 ΟΙ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΑΛΗΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ Το πιο σημαντικό υποσύνολο ακεραίων είναι οι φυσικοί αριθμοί, δηλαδή οι αριθμοί {1, 2, 3,...}. Σε αυτή την παράγραφο θα αναφέρουμε δύο σημαντικές ιδιότητες αυτών των αριθμών: την αρχή της καλής διάταξης και την αρχή της μαθηματικής επαγωγής. Κάθε μία από τις παραπάνω μπορεί να αποδειχθεί αρκεί να αληθεύει η άλλη. Η αρχή της καλής διάταξης είναι η απλούστερη από τις δύο και είναι η εξής: Αρχή Καλής Διάταξης Εάν A είναι ένα μη κενό σύνολο φυσικών αριθμών, τότε το A έχει ένα ακριβώς ελάχιστο στοιχείο. Παράδειγμα Θα αποδείξουμε την αρχή καλής διάταξης για σύνολο S N 0, με N 0 = N {0}. Απόδειξη Θα δείξουμε ότι το S έχει ελάχιστο στοιχείο. Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: i)αν το μηδέν ανήκει στο S, τότε είναι μικρότερο από καθε φυσικό αριθμό που ανήκει στο S, επομένως έχουμε ελάχιστο στοιχείο. ii)αν το μηδέν δεν ανήκει στο S, τότε το S περιέχει μόνο φυσικούς αριθμούς 7

8 8 CHAPTER 1. ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ και από την αρχή καλής διάταξης, θα περιέχει ελάχιστο στοιχείο. Και στις δύο περιπτώσεις το S έχει ελάχιστο στοιχείο. Αρχή της Μαθηματικής Επαγωγής Εάν το S είναι ένα σύνολο από φυσικούς, με τις εξής ιδιότητες: 1 S αν n S τότε n + 1 S τότε όλοι οι ακέραιοι 1 ανήκουν στο S. Υπάρχουν, βέβαια, εναλλακτικές διατυπώσεις αυτής της αρχής. Για παράδειγμα, στην πρώτη ιδιότητα ο αριθμός 1 μπορεί να αντικατασταθεί από οποιονδήποτε φυσικό k, αν στο συμπέρασμα γίνει η ίδια αντικατάσταση. Επίσης η δεύτερη ιδιότητα μπορεί να αντικατασταθεί από την παρακάτω: ''αν 1, 2, 3,..., n S τότε n + 1 S (ισχυρή επαγωγή).'' Παράδειγμα Θα δείξουμε ότι το 1 είναι ο μικρότερος φυσικός. Απόδειξη 1ος Τρόπος(Χρήση Μαθηματικής Επαγωγής) Έστω S το σύνολο όλων των φυσικών που είναι μεγαλύτεροι ή ίσοι του 1. Έχουμε: i)1 S ii)αν k S τότε k + 1 > k 1 οπότε k + 1 S. Άρα από επαγωγή το S είναι το σύνολο όλων των φυσικών αριθμών και το 1 είναι το ελάχιστο στοιχείο. 2ος Τρόπος(Χρήση Καλής Διάταξης) Από αρχή καλής διάταξης το S θα έχει ελάχιστο στοιχείο, έστω s αυτό. Υποθέτουμε ότι s < 1 και έχουμε: 0 < s < 1 = 0 < s 2 < s. Τότε όμως το s δεν είναι το ελάχιστο στοιχείο. Καταλήξαμε σε άτοπο. Επομένως το 1 είναι ο μικρότερος φυσικός.

9 1.1. ΟΙ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΑΛΗΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ9 Παρατήρηση Όπως αναφέραμε και προηγουμένως η αρχή της καλής διάταξης και της μαθηματικής επαγωγής είναι ισοδύναμες. Για την απόδειξη αυτού του ισχυρισμού ο αναγνώστης παραπέμπεται στο [16].

10 10 CHAPTER 1. ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 1.2 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ Ορισμός Θεωρούμε τους ακέραιους a, b. Αν υπάρχει ακέραιος m τέτοιος ώστε b = ma λέμε ότι ο a διαιρεί τον b και ότι ο b είναι πολλαπλάσιο του a. Συμβολίζουμε a b. Αν ο a δεν διαιρεί το b συμβολίζουμε a b. Αν ο b > 1 είναι ένας ακέραιος του οποίου οι μόνοι παράγοντες είναι οι ±1, ±b τότε ο b ονομάζεται πρώτος. Σε κάθε άλλη περίπτωση ο b > 1 ονομάζεται σύνθετος. Θεώρημα Η διαιρετότητα έχει τις ακόλουθες ιδιότητες: i)a a ii)a b και b c τότε a c iii)a b και a c τότε a (mb + nc) για κάθε m, n Z iv)a b και b a τότε a = ±b v)a b και a > 0, b > 0 τότε a < b vi)a b τότε ac bc, για c Z, c 0 vii)a 0, a Z και 0 a μόνο εάν a = 0 viii)a b και c d τότε ac bd. Οι αποδείξεις είναι αρκετά απλές και για αυτό παραλείπονται, αλλά όλες βασίζονται στον ορισμό της διαιρετότητας, δηλαδή a b = b = ma, m Z Θα αναφέρουμε σαν παράδειγμα τις αποδείξεις των (i) και (ii). Για τις υπόλοιπες ο αναγνώστης παραπέμπεται σε οποιοδήποτε εισαγωγικό βιβλίο στη θεωρία αριθμών. Απόδειξη ii)αν a b και b c τότε υπάρχουν m, n Z τέτοιοι ώστε b = ma και c = nb. Όποτε c = nma και αφού nm Z έχουμε ότι a c. iii)αφού a b και a c τότε υπάρχουν ακέραιοι x, y τέτοιοι ώστε b = ax και

11 1.2. ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ 11 c = ay. Οπότε mb + nc = max + nay = a(mx + ny) και επειδή ο mx + ny είναι ακέραιος a (mb + nc). Το παραπάνω αναφέρει ότι αν ο a είναι ένας κοινός διαιρέτης των b, c τότε ο a διαιρεί κάθε γραμμικό συνδυασμό των b και c. Υπάρχουν όμως και περιπτώσεις όπου a b. Σε αυτές τις περιπτώσεις έχουμε το παρακάτω ισχυρό εργαλείο. Θεώρημα(Αλγόριθμος της Διαίρεσης) Έστω a, b ακέραιοι με b 0. Τότε υπάρχουν μοναδικοί ακέραιοι q και r, 0 r < b τέτοιοι ώστε a = bq + r. Οι αριθμοί q και r ονομάζονται πηλίκο και υπόλοιπο αντίστοιχα. Απόδειξη Έστω S το σύνολο όλων των ακέραιων της μορφής a + kb, k Z δηλαδή Παρατηρούμε ότι ο ακέραιος S = {..., a 2b, a b, a, a + b, a + 2b,...} a + ( a + 1) b είναι μη αρνητικός και ανήκει στο S. Από την αρχή καλής διάταξης το S περιέχει ένα ελάχιστο μη αρνητικό ακέραιο, έστω r αυτός. Τότε ο αριθμός r a είναι από κατασκευής πολλαπλάσιο του b και επομένως a = bq + r. Υποθέτουμε με απαγωγή σε άτοπο ότι r b. Τότε ο ακέραιος r b θα είναι ένας μη αρνητικός ακέραιος που ανήκει στο S, μικρότερος του r, το οποίο είναι αδύνατο.

12 12 CHAPTER 1. ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Άρα 0 r < b. Για να δείξουμε τη μοναδικότητα των q, r υποθέτουμε ότι υπάρχουν q 1, r 1 Z τέτοια ώστε a = bq 1 + r 1, 0 r < b. Τότε b(q 1 q) = r r 1 = b (r r 1 ). Όμως από ιδιότητες διαιρετότητας αν r r 1 τότε r r 1 b. Αλλά αυτό είναι αδύνατο μιας και b < r r 1 < b. Άρα r = r 1 και επειδή b(q 1 q) = r r 1 = 0 και b 0 θα είναι q = q 1. Επομένως οι q, r υπάρχουν και είναι μοναδικοί. Παρατήρηση Ο αλγόριθμος της διαίρεσης συχνά χρησιμοποιείται για να διαχωρίσουμε τους ακέραιους σε κλάσεις. Για παράδειγμα, αν a = 2q + 1 λέμε ότι ο a είναι περιττός, ενώ αν a = 2q+0 λέμε ότι ο a είναι άρτιος. Παρόμοιες κατηγοριοποιήσεις μπορούν να γίνουν με βάση τη διαίρεση ενός αριθμού με το 3, 4,.... Ορισμός(Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης) Έστω a, b Z, όχι και οι δύο μηδέν. Ο μεγαλύτερος θετικός ακέραιος που διαιρεί και τον a και τον b ονομάζεται μέγιστος κοινός διαιρέτης των a, b. Συμβολίζεται ως gcd(a, b). Παράδειγμα gcd(3, 9) = 3, gcd( 7, 21) = 7, gcd(0, 5) = 5 Ορισμός Αν gcd(a, b) = 1 τότε λέμε ότι οι αριθμοί a, b είναι πρώτοι προς αλλήλους (ή πρώτοι μεταξύ τους). Θεώρημα Για τους μη μηδενικούς ακέραιους a, b ο gcd(a, b) υπάρχει, είναι μοναδικός και

13 1.2. ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ 13 μπορεί να χαρακτηριστεί ως ο μικρότερος γραμμικός συνδυασμός των a, b. Απόδειξη Δοθέντων a, b Z, a, b 0 θεωρούμε το σύνολο: S = {ax + by > 0 : x, y Z} Το S είναι μη κενό μιας και για x = a, y = b είναι a 2 + b 2 > 0. Άρα το S έχει ελάχιστο στοιχείο, έστω d αυτό. Θα δείξουμε ότι το d είναι ο gcd(a, b). Πρώτα θα δείξουμε ότι ο d είναι κοινός διαιρέτης των a, b. Γνωρίζουμε ότι d = ax + by και ο d είναι ο μικρότερος τέτοιος γραμμικός συνδυασμός. Από τον αλγόριθμο της διαίρεσης του a με το d είναι Έστω ότι r 0. Τότε a = qd + r, 0 r < d. r = a qd = a q(ax + by) = (1 qx)a qyb > 0. Έτσι ο r είναι θετικός γραμμικός συνδυασμός των a, b, οπότε r S. Επίσης r < d. Επομένως καταλήγουμε σε άτοπο, αφού το d είναι το ελάχιστο στοιχείο του S. Άρα r = 0 και a = qd, δηλαδή d a. Εφαρμόζοντας τον αλγόριθμο της διαίρεσης του b με το d καταλήγουμε εντελώς ανάλογα στο ότι d b. Οπότε ο d είναι κοινός διαιρέτης των a, b. Έστω d 1 ένας άλλος κοινός διαιρέτης των a, b. Από ιδιότητες διαιρετότητας ο d 1 διαιρεί οποιονδήποτε γραμμικό συνδυασμό των a, b. Επομένως d 1 d. Άρα ο d είναι ο gcd(a, b). Για τη μοναδικότητα έχουμε: Έστω d 1 ένας άλλος gcd(a, b). Τότε d 1 > 0 και d 1 κοινός διαιρέτης των a, b. Έχουμε: i)d 1 d αφού d = gcd(a, b) ii)d d 1 αφού d 1 = gcd(a, b).

14 14 CHAPTER 1. ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Άρα από ιδιότητες διαιρετότητας d = ±d 1 και επειδή είναι και οι δύο θετικοί είναι d = d 1. Παρατήρηση Αν οι a, b είναι πρώτοι μεταξύ τους, τότε gcd(a, b) = 1 όπως είδαμε και στον ορισμό. Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι οι αριθμοί a, b είναι πρώτοι μεταξύ τους αν και μόνο αν το 1 μπορεί να εκφραστεί ως γραμμικός συνδυασμός των a, b. Πρόταση Αν d = gcd(a, b), οι ακέραιοι είναι πρώτοι μεταξύ τους. a d, b d Απόδειξη Από το προηγούμενο θεώρημα d = ma + nb, m, n Z. Οπότε 1 = ma d + nb d = ma d + n b d. Προφανώς η μονάδα είναι ο μικρότερος γραμμικός συνδυασμός των a d, b d. Άρα ( a gcd d d), b = 1 που σημαίνει ότι οι a d, b d είναι πρώτοι μεταξύ τους. Λήμμα Για κάθε c Z ισχύει ότι gcd(a, b) = gcd(a, b + ac).

15 1.2. ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ 15 Απόδειξη Έστω ότι gcd(a, b) = d και gcd(a, b + ac) = d 1. Ο d είναι ο ελάχιστος θετικός γραμμικός συνδυασμός των a, b. Γράφουμε d = ax + by. Ακόμα ο d 1 είναι γραμμικός συνδυασμός των a, b + ac, επομένως d 1 = ar + (b + ac)s = a(cs + r) + bs. Άρα ο d 1 είναι επίσης γραμμικός συνδυασμός των a, b, οπότε d 1 d. Από την άλλη, d 1 a και d 1 b + ac, δηλαδή d 1 b. Οπότε d 1 d, δηλαδή Τελικά d 1 = d, που σημαίνει ότι d 1 d. gcd(a, b) = gcd(a, b + ac). Λήμμα του Ευκλείδη Αν a bc και gcd(a, b) = 1, τότε a c. Απόδειξη Αφού gcd(a, b) = 1 μπορούμε να γράψουμε 1 = ax + by. Άρα Όμως a acx και a bcy οπότε c = acx + bcy. a c.

16 16 CHAPTER 1. ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ο Αλγόριθμος του Ευκλείδη Με τον αλγόριθμο του Ευκλείδη είμαστε ικανοί όχι μόνο να βρούμε τον μέγιστο κοινό διαιρέτη δύο αριθμών αλλά να τον γράψουμε και σαν γραμμικό συνδυασμό αυτών. Θεώρημα(Ευκλείδιος Αλγόριθμος) Έστω οι ακέραιοι a, b με a > 0. Μετά από τις διαδοχικές διαιρέσεις: b = q 1 a + r 1, 0 < r 1 < a a = q 2 r 1 + r 2, 0 < r 2 < r 1. r n 2 = q n r n 1 + r n, 0 < r n < r n 1 r n 1 = q n+1 r n το τελευταίο μη μηδενικό υπόλοιπο r n είναι ο gcd(a, b). Ακόμα, ο r n μπορεί να γραφεί σαν γραμμικός συνδυασμός των a, b, ακολουθώντας την αντίστροφη διαδικασία και κάνοντας διαδοχικές αντικαταστάσεις. Απόδειξη Κάνοντας διαδοχικές διαιρέσεις όπως διατυπώνονται στο θεώρημα, κάθε υπόλοιπο r i είναι μικρότερο από το προηγούμενο, αλλά παραμένει θετικό. Έτσι η ακολουθία των r i θα τελειώνει με ένα μηδενικό υπόλοιπο. Άρα υπάρχει τελευταίο μηδενικό υπόλοιπο r n. Θα δείξουμε ότι αυτό είναι και ο gcd(a, b): Από προηγούμενο λήμμα είναι gcd(a, b) = gcd(a, b q 1 a) = gcd(a, r 1 ) = gcd(r 1, a q 2 r 1 ) = gcd(r 1, r 2 ). Συνεχίζοντας την ίδια διαδικασία καταλήγουμε ότι gcd(a, b) = gcd(r n 1, r n ) = r n μιας και r n r n 1. Οπότε gcd(a, b) = r n. Για να εκφράσουμε το r n ως γραμμικό συνδυασμό των a, b έχουμε: r n = r n 2 q n r n 1 = r n 2 q n (r n 3 q n 1 r n 2 ) = (1+q n q n 1 )r n 2 q n r n 3 =...

17 1.2. ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ 17 Συνεχίζοντας με διαδοχικές αντικαταστάσεις θα έχουμε: r n = ax + by. Ακολουθεί ένα παράδειγμα για να γίνει κατανοητό πόσο απλός και εύχρηστος είναι ο αλγόριθμος του Ευκλείδη. Παράδειγμα Για το gcd(232, 136) έχουμε: 232 = Άρα Ακόμα 136 = = = = gcd(232, 136) = 8. 8 = = 40 2( ) = = 5(136 96) 2 96 = = = ( ) = Επομένως gcd(232, 136) = 8 =

18 18 CHAPTER 1. ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 1.3 ΤΟ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ Το Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής (ΘΘΑ) αποτελεί ένα από τα πιο σημαντικά αριθμοθεωρητικά αποτελέσματα. Αναφέρει ότι κάθε ακέραιος μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο πρώτων κατά μοναδικό τρόπο. Στον επόμενο πίνακα παρουσιάζεται αυτή η ιδιότητα για τους δέκα πρώτους ακέραιους: n Παραγοντοποίηση Όπως βλέπουμε από τον παραπάνω πίνακα κάθε αριθμός μέχρι το δέκα έχει ακριβώς μια πρώτη παραγοντοποίηση. Θα αποδείξουμε το θεώρημα για κάθε n N. Θεμελιώδες Θεώρημα Αριθμητικής Για κάθε n > 1 υπάρχουν πρώτοι p 1 p 2... p r τέτοιοι ώστε n = p 1 p 2... p r και η παραγοντοποίηση είναι μοναδική. Απόδειξη Πρώτα θα δείξουμε με επαγωγή στο n ότι κάθε ακέραιος έχει τουλάχιστον μια πρώτη παραγοντοποίηση. Μια τέτοια παραγοντοποίηση ισχύει για κάθε n 10. Υποθέτουμε ότι κάθε ακέραιος m, 1 m k, έχει μια πρώτη παραγοντοποίηση. Ο αριθμός k + 1 είναι είτε πρώτος είτε σύνθετος.

19 1.3. ΤΟ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ 19 Αν είναι πρώτος τότε η παραγοντοποίησή του είναι ο ίδιος ο αριθμός. Αν είναι σύνθετος τότε θα έχουμε: k + 1 = ab με 1 < a < k + 1 και 1 < b < k + 1. Αφού 1 < a k και 1 < b k από επαγωγική υπόθεση οι a, b έχουν μια πρώτη παραγοντοποίηση έστω: Οπότε a = p 1 p 2... p s, b = p 1p 2... p t. k + 1 = p 1 p 2... p s p 1p 2... p t. Έτσι ο k + 1 έχει τους παραπάνω πρώτους παράγοντες. Οπότε επαγωγικά κάθε ακέραιος έχει μια πρώτη παραγοντοποίηση. Τώρα θα δείξουμε ότι αυτή η παραγοντοποίηση είναι μοναδική. Θα χρησιμοποιήσουμε πάλι επαγωγή στο n. Από τον πίνακα παρατηρούμε ότι η παραγοντοποίηση για κάθε n 10 είναι μοναδική. Υποθέτουμε για κάθε ακέραιο m, 1 < m k, ότι μπορεί να αναπαρασταθεί κατά μοναδικό τρόπο ως γινόμενο πρώτων. Εξετάζουμε τον k + 1 και υποθέτουμε με απαγωγή σε άτοπο, ότι έχει δύο πρώτες παραγοντοποιήσεις: k + 1 = p 1 p 2... p u = p 1p 2... p v με p 1 p 2... p u και p 1 p 2... p v. Τότε p 1 k + 1 δηλαδή p 1 p 1 p 2... p u. Οπότε p 1 p i, για κάποιο i. Όμως αφού p 1, p i πρώτοι θα είναι p 1 = p i. Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία έχουμε p 1 = p j και επειδή p 1 = p i p 1 και p 1 = p i p 1 τότε p 1 = p 1. Τότε όμως ο k+1 p 1 είναι ακέραιος μικρότερος του k και p 2 p 3... p u = k + 1 p 1 = p 2p 3... p v.

20 20 CHAPTER 1. ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Από την επαγωγική υπόθεση είναι u = v, p 2 = p 2, p 3 = p 3,..., p u = p u. Άρα η πρώτη παραγοντοποίηση είναι μοναδική για κάθε n 1. Παρατήρηση Στην παραγοντοποίηση ενός ακέραιου n ένας συγκεκριμένος πρώτος p ενδέχεται να εμφανίζεται περισσότερες από μία φορές. Αν οι διαφορετικοί πρώτοι παράγοντες του n είναι οι p 1, p 2,..., p r και κάθε p i εμφανίζεται σαν παράγοντας a i φορές τότε γράφουμε n = p a 1 1 p a p a r r = r i=1 p a i i.

21 1.4. ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΕΣ ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΕΣ Θα κάνουμε μια αναφορά σε ένα σημαντικό κλάδο της Θεωρίας Αριθμών, τη θεωρία Ισοδυναμιών (ή Ισοτιμιών). Η θεωρία Ισοδυναμιών εισήχθη από τον Gauss και βοήθησε πολύ στην αντιμετώπιση προβλημάτων σχετικών με τη διαιρετότητα των ακεραίων. Θα μελετήσουμε κάποια βασικά στοιχεία παρακάτω. Ορισμός Θεωρούμε τους ακέραιους a, b, m με m > 0. Θα λέμε ότι ο a είναι ισοδύναμος με το b modulo m και συμβολίζουμε a b(modm) αν ο m διαιρεί τη διαφορά a b, δηλαδή Ειδικότερα: m (a b). a 0(modm) m a a b(modm) (a b) 0(modm). Αν m (a b) τότε λέμε ότι οι a, b είναι μη ισοδύναμοι modm. Συμβολίζουμε a b 0(modm). Παραδείγματα 1)17 12(mod5), (mod20), 11 1(mod12), 8 2(mod2). 2)Ο n είναι άρτιος αν και μόνο αν n 0(mod2). 3)Ο n είναι περιττός αν και μόνο αν n 1(mod2). 4)Αν a b(modm) και c m, c > 0, τότε a b(modc). Θεώρημα Η ισοτιμία είναι σχέση ισοδυναμίας, δηλαδή έχουμε: i)a a(modm) ii)αν a b(modm) τότε b a(modm) iii)αν a b(modm) και b c(modm) τότε a c(modm).

22 22 CHAPTER 1. ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Απόδειξη i)a a(modm) m (a a) m 0 που ισχύει από ιδιότητες διαιρετότητας. ii)a b(modm) m (a b) m (b a) b a(modm). iii)a b(modm) m (a b) και b c(modm) m (b c) τότε m (a b) + (b c) m (a c) a c(modm). Θεώρημα Αν a b(modm) και c d(modm) τότε: i)ax + cy bx + dy(modm), x, y Z ii)ac bd(modm). Απόδειξη i)αφού m (a b) και m (c d) έχουμε: m [x(a b)+y(c d)] m [(ax+cy) (bx+dy)] ax+cy bx+dy( mod m) ii)από (i) για x = c, y = b έχουμε ac bd = c(a b) + b(c d) 0(modm) οπότε ac bd(modm). Παρατήρηση Θέτοντας c = a και d = b στο (ii) του παραπάνω θεωρήματος και χρησιμοποιώντας επαγωγή έχουμε: a n b n (modm), n 1. Παραδείγματα 1)Είναι 19 11(mod4) (α) και 6 2(mod4) (β). Έχουμε: 25 13(mod4)

23 1.4. ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΕΣ (mod4) (mod4) αθροίζοντας, αφαιρώντας και πολλαπλασιάζοντας τις (α),(β) αντίστοιχα. 2)Κριτήριο διαιρετότητας δια 9. Ένας ακέραιος n > 0 είναι διαιρετός δια 9 αν και μόνο αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 9. Έχουμε n = a a a k a k όπου a 0, a 1,..., a k είναι τα ψηφία του n. Από το προηγούμενο θεώρημα έχουμε modulo 9: 10 1, ,..., 10 k 1(mod9). Άρα n a 0 + a 1 + a a k (mod9). Τα επόμενα θεωρήματα αναφέρουν μερικές ακόμα σημαντικές ιδιότητες των ισοτιμιών. Θεώρημα Αν c > 0, τότε a b(modm) ac bc(modcm). Απόδειξη Έχουμε a b(modm) m (a b) cm c(a b) ac bc(modcm). Θεώρημα (Νόμος Διαγραφής) Αν ac bc(modm) και d = gcd(m, c) τότε ( a b mod m d ).

24 24 CHAPTER 1. ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Απόδειξη Αφού ac bc(modm) έχουμε m c(a b) και επειδή d = gcd(m, c) θα είναι m d c (a b). d Όμως gcd ( m, c ) = 1 άρα d d m (a b) a b(mod m d d ). Παρατήρηση Ο νόμος της διαγραφής μας λέει ότι ένας κοινός παράγοντας c μπορεί να απαλοιφεί από μια ισοτιμία αρκεί να διαιρέσουμε και το modulo με τον d = gcd(c, m). Συγκεκριμένα, αν ένας κοινός παράγοντας και το modulo είναι πρώτοι μεταξύ τους τότε μπορεί ο κοινός παράγοντας να διαγραφεί από την ισοτιμία.

25 1.5. ΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ π(x) ΚΑΙ Λ(N) ΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ π(x) ΚΑΙ Λ(n) Σε αυτή την παράγραφο θα αναφερθούμε σε κάποιες συναρτήσεις, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε εκτενώς στη συνέχεια. Η πρώτη είναι ίσως η πιο σημαντική για αυτή την εργασία και ορίζεται ως εξής: Ορισμός Η συνάρτηση π(x) εκφράζει το πλήθος των πρώτων που δεν υπερβαίνουν τον πραγματικό αριθμό x. Μπορούμε να την εκφράσουμε ως π(x) = p x 1. Παρατηρούμε ότι ο παραπάνω τύπος δεν είναι αρκετός ώστε να προσδιορίσει τις τιμές της π(x). Τέτοιος τύπος δεν υπάρχει, αφού δεν γνωρίζουμε την κατανομή των πρώτων. Στο κεφάλαιο 3 θα χρησιμοποιήσουμε αρκετά τη συνάρτηση π(x) και θα αναφερθούμε στο θεώρημα των πρώτων αριθμών. Η μελέτη της συνάρτησης π(x) περιέχει άλλη μια συνάρτηση, η οποία μετρά όχι μόνο τους πρώτους, αλλά και τις δυνάμεις αυτών. Ακολουθεί ο ορισμός αυτής, που ονομάζεται συνάρτηση von Mangoldt. Ορισμός Η συνάρτηση Λ: N C ορίζεται για κάθε n N ως εξής: { ln p, αν n = p Λ(n) = r με p πρώτο και r N 0, σε κάθε άλλη περίπτωση. Θεώρημα Για κάθε n N έχουμε Λ(m) = ln n. m n Απόδειξη Η παραπάνω σχέση είναι προφανής για n = 1. Για την περίπτωση που n 2 έχουμε: Υποθέτουμε ότι n = p a 1 1 p a p a r r

26 26 CHAPTER 1. ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ είναι η πρώτη παραγοντοποίηση του n. Τότε οι μόνες μη μηδενικές συνεισφορές στο άθροισμα m n Λ(m) προέρχονται από τους φυσικούς αριθμούς m που είναι της μορφής Επομένως είναι m = p b j j, j = 1, 2,..., r, 1 b j a j. Λ(m) = m n r a j j=1 b j =1 ln p j = r j=1 ln p a j j = ln (p a 1 1 p a p ar r ) = ln n.

27 Chapter 2 Η ΑΠΕΙΡΙΑ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ 2.1 ΠΟΣΟΙ ΠΡΩΤΟΙ ΥΠΑΡΧΟΥΝ; Δύο πολύ σημαντικές ιδιότητες της ακολουθίας των πρώτων είναι ότι υπάρχουν πάρα πολλοί από αυτούς, αλλά η πυκνότητά τους είναι σχετικά μικρή. Η απάντηση στην ερώτηση ''πόσοι πρώτοι υπάρχουν;'' δίνεται από το εξής θεμελιώδες θεώρημα: Θεώρημα Υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί. Στην πραγματικότητα, υπάρχουν άπειροι σε κάθε αριθμητική πρόοδο. Ο παραπάνω ισχυρισμός αποδείχτηκε από τον Dirichlet. Θα επανέλθουμε σε αυτό αργότερα. Πρώτα θα δώσουμε μερικές αποδείξεις του θεμελιώδους θεωρήματός μας. Κάποιες από αυτές τις αποδείξεις οφείλονται σε διάσημους μαθηματικούς, ενώ άλλες σε κάποιους ''ξεχασμένους''. Κάποιες χρησιμοποιούν στοιχειώδεις μεθόδους, άλλες ανάλυση και άλλες προέρχονται από τελείως διαφορετικούς κλάδους. Υπάρχουν ακόμα περισσότερες αποδείξεις της απειρίας των πρώτων(...αλλά σίγουρα δεν είναι άπειρες!). Ξεκινώντας θα αναφέρουμε την πιο διάσημη και παλαιότερη, την απόδειξη του Ευκλείδη: Απόδειξη(Ευκλείδης) Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο. Υποθέτουμε λοιπόν ότι οι πρώτοι είναι πεπερασμένοι και ότι είναι κατά αύξουσα σειρά ακριβώς οι p 1, p 2,..., p r. 27

28 28 CHAPTER 2. Η ΑΠΕΙΡΙΑ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ Θεωρούμε τον αριθμό N που ορίζεται ως εξής: N = p 1 p 2... p r + 1 Ο N είναι είτε πρώτος είτε σύνθετος. Αν είναι πρωτος τότε N > p r, όπου p r ο μεγαλύτερος πρώτος, το οποίο είναι άτοπο. Αν είναι σύνθετος τότε από το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής θα έχει ένα πρώτο διαιρέτη έστω p. Όμως ο p δεν είναι κανένας από τους p i, i = 1, 2,..., r. Αν ήταν θα διαιρούσε και τον αριθμό N αλλά και το γινόμενο p 1 p 2... p r, επομένως θα διαιρούσε και τη διαφορά τους: N p 1 p 2... p r = 1, το οποίο είναι άτοπο. Έτσι το πεπερασμένο σύνολο {p 1, p 2,..., p r } δεν μπορεί να αναπαριστά όλους τους πρώτους. Η απόδειξη του Ευκλείδη γοητεύει με την απλότητά της. Άλλη μια αντίστοιχη απόδειξη είναι αυτή του ολλανδού μαθηματικού Thomas Joannes Stieltjes που διετύπωσε το Απόδειξη(Stieltjes) Υποθέτουμε ότι p 1, p 2,..., p r είναι όλοι οι πρώτοι. Θέτουμε N = p 1 p 2... p r και έστω ότι N = mn είναι μια παραγοντοποίηση του N, όπου m, n 1. Κάθε ένας από τους p i, διαιρεί ακριβώς έναν από τους αριθμούς m, n. Αν κάποιος διαιρούσε και τους δύο, έστω p k αυτός, τότε θα έπρεπε να ισχύει ότι p 2 k N, το οποίο είναι αδύνατο. Τότε όμως ο m + n δεν διαιρείται από κανέναν από τους p i, i = 1, 2,..., r, το οποίο όμως είναι άτοπο από το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής μιας και m + n 2. Η απόδειξη του Stieltjes κινήθηκε στο ίδιο μοτίβο με αυτή του Ευκλείδη. Από την άλλη μεριά ο Goldbach χρησιμοποίσε μια πολύ απλή και έξυπνη ιδέα: Ισχυρισμός Για να αποδείξουμε την απειρία των πρώτων είναι αρκετό να βρούμε μια άπειρη ακολουθία φυσικών αριθμών {a k } k N με a k > 1, οι οποίοι είναι πρώτοι μεταξύ τους.

29 2.1. ΠΟΣΟΙ ΠΡΩΤΟΙ ΥΠΑΡΧΟΥΝ; 29 Απόδειξη Έστω q i, i = 1, 2,... πρώτοι με q 1 a 1, q 2 a 2,.... Αφού οι αριθμοί a 1, a 2,... είναι πρώτοι μεταξύ τους δεν μπορούν να έχουν κοινό διαιρέτη. Οπότε q 1 q 2 q 3... και έτσι προκύπτουν άπειροι το πλήθος πρώτοι αριθμοί. Την παρακάτω απόδειξη την έγραψε ο Goldbach σε ένα γράμμα προς τον Euler το Χρησιμοποιεί τους αριθμούς Fermat και λέγεται ότι είναι η μόνη γραπτή απόδειξη του Goldbach: Απόδειξη(Goldbach) Σύμφωνα με τον προηγούμενο ισχυρισμό αρκεί να δείξουμε το εξής: ''Οι αριθμοί Fermat F n = 2 2n + 1, n 0, είναι πρώτοι μεταξύ τους.'' Για να το δείξουμε αυτό αρκεί να επαληθεύσουμε την αναδρομική σχέση: n 1 F k = F n 2, n 1. k=1 Πράγματι, αν m είναι ένας διαιρέτης κάποιου F k και του F n (k < n) τότε ο m θα διαιρεί και το 2(αφού 2 = F n n 1 k=1 F k).επομένως m = 1 ή m = 2. Όμως ο m δεν μπορεί να είναι 2 γιατί όλοι οι αριθμοί Fermat είναι περιττοί. Τώρα για να αποδείξουμε την αναδρομή θα κάνουμε επαγωγή στο n: Για n = 1 έχουμε F 0 = 3 και F 1 2 = 3. Επαγωγικά: n k=0 n 1 F k = ( F k ) F n = (F n 2)F n = (2 2n 1)(2 2n +1) = 2 2n+1 1 = F n+1 2 k=0 Συνοψίζοντας, οι αριθμοί Fermat είναι πρώτοι μεταξύ τους, επομένως οι πρώτοι είναι άπειροι το πλήθος. Παρατηρήσεις Βασιζόμενοι στην ιδέα της παραπάνω απόδειξης αξίζει να αναρωτηθούμε πώς μπορούμε να δημιουργήσουμε άπειρες ακολουθίες αριθμών που είναι πρώτοι μεταξύ τους. Το 1947 ο Bellman παρουσίασε μια μέθοδο δημιουργίας τέτοιων ακολουθιών. Η ιδέα είναι η εξής:

30 30 CHAPTER 2. Η ΑΠΕΙΡΙΑ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ Έστω f(x) ένα πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές. Έστω επίσης f 1 (x) = f(x) και ορίζουμε επαγωγικά f n+1 (x) = f(f n (x)), n 1. Υποθέτουμε ότι f(0) 0 και f n (0) = f(0), για κάθε n 2. Αν n 0 και gcd(n, f(0)) = 1 τότε gcd(f(n), f(0)) = 1. Υπό αυτές τις συνθήκες, αν gcd(n, f(0)) = 1 τότε οι ακέραιοι n, f 1 (n), f 2 (n),... είναι πρώτοι μεταξύ τους. Οι πέντε αρχικοί αριθμοί Fermat είναι οι F 0 = 3, F 1 = 5, F 2 = 17, F 3 = 257, F 4 = Παρατηρούμε ότι και οι πέντε είναι πρώτοι. Ο F 5 ήδη έχει 10 ψηφία και γενικά η ακολουθία αυξάνει πολύ γρήγορα. Όμως F 5 = = = δηλαδή ο F 5 είναι σύνθετος. Ένα σημαντικό πρόβλημα αποτελεί το αν ο F n είναι πρώτος ή σύνθετος. Συγκεκριμένα αποτελεί ανοικτό πρόβλημα, όπως και τα ερωτήματα: ''Υπάρχουν άπειροι το πλήθος Fermat πρώτοι;''(eisenstein 1844) ''Υπάρχουν άπειροι το πλήθος Fermat σύνθετοι;'' Ακολουθεί μια απόδειξη διαφορετική από τις προηγούμενες, η οποία κάνει χρήση ακέραιων πολυωνύμων. Έστω Z[x] το σύνολο των πολυωνύμων με ακέραιους συντελεστές και έστω N 0 = N {0}. Λήμμα Για κάθε μη σταθερό πολυώνυμο f(x) Z[x], το σύνολο των πρώτων διαιρετών των ακεραίων {f(k) : k N 0 } είναι άπειρο. Επομένως και το συνολικό πλήθος των πρώτων είναι άπειρο. Απόδειξη Θεωρούμε πολυώνυμο f(x) = a 0 + a 1 x a m x m, f(x) Z[x] και υποθέτουμε ότι για το σύνολο {f(k) : k N 0 }, το πλήθος των πρώτων που διαιρούν κάποιο f(k) είναι πεπερασμένο. Έστω P = {p 1, p 2,..., p n } το σύνολο των προαναφερθέντων πρώτων και έστω D = p 1 p 2... p n. Χωρίς βλάβη της γενικότητας, θεωρούμε ότι a 0 0. Επιλέγουμε t Z τέτοιο ώστε p t i f(0) = a 0, i = 1, 2,..., n. Από το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής και επειδή οι p i είναι όλοι οι πρώτοι αριθμοί θα είναι a 0 = p b 1 k1 p b 2 k2... p bm k m, όπου p k1, p k2,..., p km είναι αναδιάταξη των {p 1, p 2,..., p n },

31 2.1. ΠΟΣΟΙ ΠΡΩΤΟΙ ΥΠΑΡΧΟΥΝ; 31 m n και b 1, b 2,..., b m t. Άρα a 0 D t = p t 1p t 2... p t n. Τότε υπάρχει b Z τέτοιο ώστε D t = a 0 b. Για k > 1 έχουμε: f(kd 2t ) = m ( m ) a j k j D 2tj + a 0 = a 0 a j k j b 2j a 2j = M. j=1 Επιλέγοντας k αρκετά μεγάλο, ο ακέραιος M θα έχει ένα πρώτο διαιρέτη p > a 0 b. Τότε όμως p > D t = p t 1p t 2... p t n, δηλαδή p > p i, i = 1, 2,..., n και p f(kd 2t ). Επομένως p / P το οποίο μας οδηγεί σε άτοπο. Κλείνουμε την ενότητα των στοιχειωδών αποδείξεων με μια απόδειξη που οφείλεται στον Euler. Ο Euler έδειξε ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι επειδή μια συγκεκριμένη έκφραση που σχηματίζεται από όλους τους πρώτους τείνει στο άπειρο. Απόδειξη(Euler) Έστω με απαγωγή σε άτοπο ότι p 1, p 2,..., p n είναι όλοι οι πρώτοι.αφού < 1, i = 1, 2,..., n έχουμε: 1 p i 1 p k k=0 1 1 p k k=0 2 1 p k k=0 n j=1 = p 1 = p 2. = p n και πολλαπλασιάζοντας τις n εξισώσεις κατά μέλη έχουμε: n ( 1 ) = i=1 p k k=0 i n i= p i Το αριστερό μέλος της ισότητας είναι το άθροισμα των αντιστρόφων όλων των φυσικών αριθμών, με κάθε ένα να τον μετράμε μια φορά. Αυτός ο ισχυρισμός

32 32 CHAPTER 2. Η ΑΠΕΙΡΙΑ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ προκύπτει από το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής σύμφωνα με το οποίο κάθε φυσικός αριθμός γράφεται ως γινόμενο πρώτων παραγόντων κατά μοναδικό τρόπο. Επομένως: n ( 1 ) = i=1 p k k=0 i n=1 1 n και είναι γνωστό ότι η σειρά 1 n=1 αποκλίνει. Αντίθετα το δεξί μέλος είναι n προφανώς πεπερασμένο, οπότε καταλήγουμε σε άτοπο. Στη συνέχεια θα χρησιμοποιήσουμε αναλυτικές μεθόδους για την απόδειξη του βασικού μας θεωρήματος. Απόδειξη Έστω π(x) η συνάρτηση που έχει ήδη οριστεί, η οποία μετρά τον αριθμό των πρώτων που είναι μικρότεροι ή ίσοι με τον πραγματικό αριθμό x. Τοποθετούμε τους πρώτους p 1, p 2, p 3,... σε αύξουσα σειρά και θεωρούμε τη συνάρτηση ln x, η οποία ορίζεται ως ln x = x 1 dt. Θα συγκρίνουμε το εμβαδόν του χωρίου 1 t ανάμεσα στη γραφική παράσταση της f(t) = 1 και του οριζόντιου άξονα με t μια συνάρτηση σκαλοπάτι.

33 2.1. ΠΟΣΟΙ ΠΡΩΤΟΙ ΥΠΑΡΧΟΥΝ; 33 Για n x < n + 1 έχουμε: ln x n n 1 m, όπου το άθροισμα εκτείνεται σε όλα τα m N, που έχουν μόνο πρώτους διαιρέτες p x. Επειδή κάθε τέτοιο m μπορεί να γραφεί κατά μοναδικό τρόπο ως γινόμενο της μορφής p x pk p, βλέπουμε ότι το παραπάνω άθροισμα ισούται με ( 1 ). p k Αυτό ισχύει γιατί p x k 0 p x ( 1 ) = ( 1 p k ) ( )... ( p r p 2 r k ) και αν αναπτύξουμε τα γινόμενα προκύπτουν όλοι οι αντίστροφοι των φυσικών m γραμμένοι σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Επίσης είναι γνωστό ότι k 0, αφού 1 < 1.Επομένως έχουμε: p 1 p k = p 1 ln x 1 1 p x p = p x π(x) p p 1 = p k p k 1. k=1 Όμως γνωρίζουμε ότι p k k + 1 και έτσι: Άρα p k p k 1 = p k p k 1 ln x π(x) k=1 = p k k = k + 1 k. k + 1 k = π(x) + 1. Αλλά η συνάρτηση ln x δεν είναι φραγμένη, οπότε και η π(x) θα είνα μη φραγμένη, το οποίο σημαίνει ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι. Συνεχίζουμε αποδεικνύοντας πως οι πρώτοι αριθμοί όχι μόνο είναι άπειροι, αλλά και η σειρά 1 p αποκλίνει. Αυτή η απόδειξη επινοήθηκε από τον διάσημο p μαθηματικό Paul Erdős.

34 34 CHAPTER 2. Η ΑΠΕΙΡΙΑ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ Απόδειξη(Erdős) Έστω p 1, p 2, p 3,... η ακολουθία των πρώτων σε αύξουσα σειρά. Θα ονομάσουμε τους p 1, p 2,..., p k ''μικρούς'' πρώτους και τους p k+1, p k+2,... μεγάλους πρώτους. Υποθέτουμε με απαγωγή σε άτοπο ότι η σειρά p φυσικός αριθμός k τέτοιος ώστε i k+1 1 p i < 1 2. Επίσης για τυχαίο φυσικό αριθμό N έχουμε: i k+1 N p i < N 2. 1 p συγκλίνει.τότε υπάρχει Θέτουμε N b το πλήθος των φυσικών n N, οι οποίοι διαιρούνται από τουλάχιστον ένα μεγάλο πρώτο και N s το πλήθος των φυσικών n N, οι οποίοι έχουν μόνο μικρούς πρώτους διαιρέτες. Θα αποδείξουμε ότι για συγκεκριμένο N έχουμε: N b + N s < N, το οποίο θα είναι άτοπο, αφού εξ ορισμού είναι N b + N s = N. N Για να υπολογίσουμε το N b παρατηρούμε ότι το p i μετρά τους φυσικούς n N οι οποίοι είναι πολλαπλάσια του p i. Έτσι συνδυάζοντας αυτή τη σχέση με την i k+1 < N έχουμε: 2 N p i N b i k+1 N < N 2 Για το N s εργαζόμαστε ως εξής: Παρατηρούμε ότι για κάθε φυσικό αριθμό n έχουμε: p i n = p 2a 1 1 p 2a p 2a k k q 2b q 2b q 2b l+1 l = (p a 1 1 p a p a k k qb 1 1 q b q b l l )2 q 1 q 2... q l όπου p i, q i πρώτοι. Έτσι n = a 2 b με τον b ελεύθερο τετραγώνου. Οπότε κάθε n N που έχει μόνο μικρούς παράγοντες, το γράφουμε στη μορφή n = a 2 nb n, με τον b n ελεύθερο τετραγώνου. Τότε όμως όλοι οι b n θα είναι γινόμενο διαφορετικών μικρών (1)

35 2.1. ΠΟΣΟΙ ΠΡΩΤΟΙ ΥΠΑΡΧΟΥΝ; 35 πρώτων και θα είναι b n = 2 e 1 3 e 2... p e k k με e i = 0 ή 1. Έτσι υπάρχουν το πολύ 2 k επιλογές για το b n. Ακόμα, επειδή a n n N συμπεραίνουμε ότι υπάρχουν το πολύ N επιλογές για το a n. Άρα N s 2 k N. Όμως αφού η (1) ισχύει για κάθε n N αρκεί να βρούμε N τέτοιο ώστε 2 k N N 2 = 2k+1 N. Επιλέγοντας το N = 2 2k+2 προκύπτει ότι N b < N 2 και N s N 2 δηλαδή N b + N s < N, το οποίο είναι άτοπο. Όμως υποθέσαμε ότι η 1 p συγκλίνει, επομένως οι πρώτοι είναι άπειροι και p επιπλέον το άπειρο άθροισμα των αντιστρόφων τους αποκλίνει. Κλείνοντας το κεφάλαιο για την απειρία των πρώτων αξίζει να σημειώσουμε πως υπάρχουν και άλλες αποδείξεις, στις οποίες χρησιμοποιούνται έννοιες από τελείως ''απρόσμενους'' κλάδους των μαθηματικών, όπως η τοπολογία και η θεωρία κωδίκων. Θα καταγράψουμε την τοπολογική απόδειξη. Απόδειξη(τοπολογική) Κατασκευάζουμε μια τοπολογία στο Z ως εξής: Για a, b Z με b > 0 ορίζουμε N a,b = {a + nb : n Z}. Το σύνολο O Z καλείται ανοικτό αν O = ή αν για κάθε x O, υπάρχει b > 0 τέτοιο ώστε N x,b O. Τότε είναι προφανές ότι αυθαίρετες ενώσεις παραμένουν ανοικτό σύνολο. Για να δείξουμε ότι πεπερασμένες τομές είναι ανοικτό, θεωρούμε m θετικό ακέραιο και όποτε τα σύνολα O 1, O 2,..., O m είναι ανοικτά με y O 1 O 2... O m και N a,bi O i, τότε θέτουμε b = lcm (b 1, b 2,..., b m ) έτσι ώστε y N a,b O 1 O 2... O m. Επομένως έχουμε ορίσει μια τοπολογία στο Z. Ακολουθούν δύο ιδιότητες αυτής της τοπολογίας:

36 36 CHAPTER 2. Η ΑΠΕΙΡΙΑ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ 1)Κάθε μη-κενό ανοικτό σύνολο είναι άπειρο. 2)Κάθε σύνολο N a,b είναι κλειστό. Η πρώτη ιδιότητα προέρχεται από τον ορισμό που δώσαμε για τα ανοικτά. Η δεύτερη από το γεγονός ότι b 1 N a,b = Z\ i=1 N a+i,b μιας και το σύνολο N a,b είναι το συμπλήρωμα ενός ανοικτού συνόλου. Άρα είναι κλειστό. Όμως γνωρίζουμε ότι κάθε n Z με n 1, 0, 1 έχει τουλάχιστον ένα πρώτο διαιρέτη p. Έτσι κάθε n θα περιέχεται στο σύνολο Z\{ 1, 1} = N 0,p. p πρώτος Αν το πλήθος των πρώτων ήταν πεπερασμένο, τότε το p N 0,p θα ήταν πεπερασμένη ένωση και θα έπρεπε να είναι κλειστό από την ιδιότητα (2). Όμως το συμπλήρωμα ενός κλειστού συνόλου είναι ανοικτό, οπότε το σύνολο { 1, 1} θα ήταν ανοικτό και άπειρο από την ιδιότητα (1). Επομένως καταλήξαμε σε άτοπο που σημαίνει ότι το πλήθος των πρώτων είναι άπειρο. lcm=least common multiple( ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο) Για τον αναγνώστη που ενδιαφέρεται προτείνεται η μελέτη της απόδειξης μέσω της θεωρίας κωδίκων. Μπορεί να τη βρει στο [6], παράγραφος 3.1.6, σελ

37 2.2. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ DIRICHLET ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ DIRICHLET Το σύνολο των περιττών αριθμών περιέχει άπειρους πρώτους. Επομένως μοιάζει λογικό να αναρωτηθούμε πότε άλλες παρόμοιες ακολουθίες έχουν την ίδια ιδιότητα. Θα εξετάσουμε τις ακολουθίες της μορφής {an + b}. Αν οι a, b είχαν ένα κοινό διαιρέτη d, κάθε ένας όρος της ακολουθίας θα διαιρούνταν από το d και έτσι θα μπορούσαμε να έχουμε το πολύ ένα πρώτο στην {an + b}, (για n = 0). Έτσι μια αναγκαία συνθήκη για την ύπαρξη άπειρων πρώτων στις ακολουθίες που εξετάζουμε είναι η gcd(a, b) = 1. Ο Dirichlet απέδειξε ότι η παραπάνω συνθήκη είναι και ικανή, δηλαδή ότι αν gcd(a, b) = 1 με a, b N, τότε υπάρχουν άπειροι πρώτοι στην αριθμητική πρόοδο {an + b}. Αυτό το αποτέλεσμα μπορεί να μη μοιάζει τόσο σημαντικό σε κάποιον, ειδικότερα μετά το σύνολο των αποδείξεων της απειρίας των πρώτων που αναφέραμε. Παρ' όλα αυτά, λαμβάνοντας υπ' όψιν ότι σύμφωνα με το Prime Number Theorem (κεφάλαιο 3) η πυκνότητα των πρώτων γίνεται όλο και πιο μικρή όσο οι αριθμοί μεγαλώνουν, το θεώρημα του Dirichlet μοιάζει πολύ σημαντικό. Παρακάτω θα εξετάσουμε διάφορες περιπτώσεις του θεωρήματος του Dirichlet. Η απόδειξή του θα μπορούσε κάλλιστα να είναι το θέμα κάποιας άλλης διπλωματικής εργασίας. Αν κάποιος αναγνώστης ενδιαφέρεται μπορεί να ρίξει μια ματιά στο [3] κεφάλαιο 7. Θεώρημα Υπάρχουν άπειροι πρώτοι της μορφής 3n + 2. Απόδειξη Υποθέτουμε ότι p 1, p 2,..., p k είναι όλοι οι πρώτοι που είναι ισου πόλοιποι 2 mod 3 και έστω x = p 1 p 2... p k. Αν x 1 mod 3 τότε x mod 3 και θα υπάρχει πρώτος p i 2 mod 3, που θα διαιρεί τον x + 1. Όμως p i x = p 1 p 2... p k & p i x + 1,

38 38 CHAPTER 2. Η ΑΠΕΙΡΙΑ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ οπότε σύμφωνα με το συλλογισμό στην απόδειξη του Ευκλείδη καταλήγουμε σε άτοπο. Αν x 2 mod 3 τότε x mod 3 και όπως προηγουμένως θα υπάρχει πρώτος p i x + 3. Όμως πάλι p i x & p i x mod 3 που διαιρεί τον το οποίο είναι άτοπο αφού p i 3. Από τις δύο παραπάνω περιπτώσεις που κατέληξαν σε άτοπο συμπεραίνουμε ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι της μορφής 3n + 2. Θεώρημα Υπάρχουν άπειροι πρώτοι της μορφής 4n 1. Απόδειξη Με απαγωγή σε άτοπο υποθέτουμε ότι υπάρχουν πεπερασμένοι πρώτοι αυτής της μορφής. Θεωρούμε p τον μεγαλύτερο και θέτουμε N = p 1. Το γινόμενο p περιέχει ως παράγοντες όλους τους περιττούς πρώτους. Επειδή το N είναι της μορφής 4n 1 δεν μπορεί να είναι πρώτος αφού N > p. Επίσης κανένας πρώτος p δεν διαιρεί το N. Έτσι όλοι οι πρώτοι παράγοντες του N πρέπει να είναι μεγαλύτεροι του p. Όμως δεν γίνεται όλοι οι διαιρέτες του N να είναι της μορφής 4n + 1 γιατί το γινόμενο τέτοιων αριθμών είναι και αυτό της ίδιας μορφής. Επομένως τουλάχιστον ένας πρώτος παράγοντας του N θα είναι της μορφής 4n 1 μιας και οι 4n+2 και 4n είναι άρτιοι. Οπότε καταλήξαμε σε άτοπο και η υπόθεσή μας για την ύπαρξη πεπερασμένων πρώτων της μορφής 4n 1 είναι εσφαλμένη. Θεώρημα Υπάρχουν άπειροι πρώτοι της μορφής 6n + 5. Απόδειξη Εργαζόμαστε όπως προηγουμένως με p το μεγαλύτερο πρώτο της μορφής 6n + 5. Θεωρούμε τον αριθμό N = p 1.

39 2.2. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ DIRICHLET 39 Παρατηρούμε ότι κάθε πρώτος, εκτός των 2, 3, είναι της μορφής 6n + 1 και 6n + 5. Επίσης το γινόμενο δύο αριθμών της μορφής 6n + 1 είναι και αυτό της ίδιας μορφής.όμως N 1 mod 6 5 mod 6. Οπότε τουλάχιστον ένας πρώτος παράγοντας του N θα είναι της μορφής 6n+5 (αφού οι 6n, 6n + 2, 6n + 4 είναι άρτιοι). Επομένως υπάρχει πρώτος 6n + 5 > p το οποίο είναι άτοπο. Άρα οι πρώτοι της μορφής 6n + 5 είναι άπειροι. Θα δείξουμε και την απειρία των πρώτων της μορφής 8n + 5. Πρώτα θα αναφέρουμε χωρίς απόδειξη ένα σημαντικό θεώρημα: Θεώρημα Αν οι αριθμοί a, b δεν έχουν κοινούς διαιρέτες, τότε κάθε περιττός πρώτος διαιρέτης του a 2 + b 2 είναι της μορφής 4n + 1. Παρατήρηση Άμεσο αποτέλεσμα του παραπάνω θεωρήματος είναι ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι της μορφής 4n + 1. Θεώρημα Υπάρχουν άπειροι πρώτοι της μορφής 8n + 5. Απόδειξη Θεωρούμε τον αριθμό q = p Ο q είναι το άθροισμα δύο τετραγώνων, τα οποία δεν έχουν κοινούς διαιρέτες. Επίσης το τετράγωνο ενός περιττού αριθμού 2m + 1 είναι: (2m + 1) 2 = 4m 2 + 4m + 1 = 4m(m + 1) + 1. Οπότε ο περιττός p 2 είναι της μορφής 8n + 1 (αφού το γινόμενο των διαδοχικών m, m + 1 είναι άρτιος). Άρα ο q είναι της μορφής 8n+5. Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία μπορούμε να κατασκευάσουμε άπειρους πρώτους της μορφής 8n + 5. Τέλος ακολουθεί χωρίς απόδειξη το θεώρημα του Dirichlet:

40 40 CHAPTER 2. Η ΑΠΕΙΡΙΑ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ Θεώρημα Dirichlet Αν a > 0 και gcd(a, b) = 1 τότε υπάρχουν άπειροι πρώτοι στην αριθμητική πρόοδο an + b, n = 0, 1, 2,....

41 2.3. ΤΟ ΑΙΤΗΜΑ ΤΟΥ BERTRAND ΤΟ ΑΙΤΗΜΑ ΤΟΥ BERTRAND Έχουμε δει ότι η ακολουθία των πρώτων αριθμών είναι άπειρη. Παρ όλα αυτά γνωρίζουμε ότι τα κενά μεταξύ των πρώτων είναι πολύ μεγάλα. Στην πραγματικότητα μπορούμε να βρούμε όσους συνεχόμενους σύνθετους επιθυμούμε. Παρατηρούμε ότι για τους αριθμούς: (n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3,..., (n + 1)! + (n + 1) ισχύει ότι: [ ] [ ] [ ] 2 (n + 1)! + 2, 3 (n + 1)! + 3,..., (n + 1) (n + 1)! + (n + 1). Επομένως έχουμε n διαδοχικούς σύνθετους.για παράδειγμα, για n = 5 έχουμε: 2 722, 3 723, 4 724, 5 725, Υπάρχουν όμως και ανώτατα όρια για τα κενά στην ακολουθία των πρώτων. Ένα τέτοιο όριο, γνωστό και ως Αίτημα του Bertrand, αναφέρει ότι: ''Το κενό μέχρι τον επόμενο πρώτο δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερο από τον αριθμό που ξεκινήσαμε την αναζήτησή μας.'' Ο Joseph Bertrand είκασε και επαλήθευσε εμπειρικά για n < 3, 000, 000 αυτόν τον ισχυρισμό. Η πρώτη απόδειξη οφείλεται στον Pafnuty Chebyshev το Παρακάτω θα δώσουμε την απόδειξη του Αιτήματος του Bertrand όπως την διατύπωσε ο Paul Erdős σε ηλικία 19 ετών. Αίτημα του Bertrand Για κάθε n 1, υπάρχει κάποιος πρώτος p τέτοιος ώστε n < p 2n. Απόδειξη Θα υπολογίσουμε το μέγεθος των δυωνυμικών συντελεστών ( ) 2n n με σκοπό να δούμε ότι αν δεν είχαν κανένα πρώτο παράγοντα p με n < p 2n, τότε θα ήταν πολύ μικροί. Θα δουλέψουμε σε πέντε στάδια: 1)Πρώτα ελέγχουμε το αίτημα για n < Φυσικά δεν θα χρειαστεί να ελέγξουμε και τις 4000 περιπτώσεις. Αρκεί να παρατηρήσουμε ότι η: 2, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 83, 163, 317, 631, 1259, 2503, 4001

42 42 CHAPTER 2. Η ΑΠΕΙΡΙΑ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ είναι η ακολουθία των πρώτων, όπου κάθε ένας είναι μικρότερος από τον διπλάσιο του προηγούμενού του. Έτσι κάθε σύνολο {y : n < y 2n} με n 4000, περιέχει έναν από αυτούς τους 14 πρώτους. 2)Τώρα θα δείξουμε ότι p 4 x 1, x 2. (1) p x Θα χρησιμοποιήσουμε επαγωγή στο πλήθος των πρώτων. Πρώτα παρατηρούμε ότι αν q ο μεγαλύτερος πρώτος με q x τότε: p και 4 q 1 4 x 1. p x p = p q Έτσι αρκεί να δείξουμε την (1) για x = q, όπου q πρώτος. Για q = 2 έχουμε 2 4 που ισχύει. Θα ελέγξουμε τους περιττούς πρώτους q = 2m + 1. Έστω η επαγωγική υπόθεση ότι ισχύει για όλους τους ακέραιους x 2m. Για q = 2m + 1 έχουμε: p = ( ) 2m + 1 p p 4 m 4 m 2 2m = 4 2m m όπου p 2m+1 p m+1 προκύπτει από το ότι o m+1<p 2m+1 m+1<p 2m+1 ( ) 2m + 1 = m ( ) 2m + 1 p m (2m + 1)! m!(m + 1)! είναι ακέραιος, στον οποίο οι πρώτοι που περιέχονται στο γινόμενο είναι παράγοντες του αριθμητή (2m + 1)!, αλλά όχι του παρονομαστή m!(m + 1)!. Άρα ( ) 2m + 1 p, m m+1<p 2m+1 οπότε προκύπτει η ανισότητα. Επίσης είναι ( ) 2m m m

43 2.3. ΤΟ ΑΙΤΗΜΑ ΤΟΥ BERTRAND 43 μιας και ( ) 2m + 1 = m ( ) 2m + 1 m + 1 και 2m+1 k=0 ( ) 2m + 1 = 2 2m+1. k 3)Θα χρειαστούμε το θεώρημα του Legendre. Έχουμε: Θεώρημα Legendre Ο αριθμός n! περιέχει τον πρώτο παράγοντα p ακριβώς n p k k 1 φορές. Απόδειξη Από τον p διαιρούνται ακριβώς n παράγοντες του n!. p Από τον p 2 διαιρούνται ακριβώς n παράγοντες του n!. p 2 Οπότε προσθέτοντας τα παραπάνω ακέραια μέρη βρίσκουμε το ζητούμενο. Άρα από το θεώρημα Legendre ο αριθμός. ( ) 2n = (2n)! n n!n! περιέχει τον πρώτο παράγοντα p ακριβώς k 1 ( 2n n ) 2 p k p k φορές. Κάθε προσθετέος είναι το πολύ 1 αφού ισχύει: 2n n 2 < 2n ( n ) p k p k p 2 k p 1 = 2 k

44 44 CHAPTER 2. Η ΑΠΕΙΡΙΑ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ και είναι ακέραιος. Επίσης ) οι προσθετέοι για τους οποίους p k περιέχει το p ακριβώς ( 2n n > 2n μηδενίζονται. Επομένως ο k 1 ( 2n p k 2 n p k ) max{r : p r 2n} φορές. Άρα η μεγαλύτερη δύναμη του p που διαιρεί τον ( ) 2n n δεν μπορεί να ξεπερνά το 2n. Στην πραγματικότητα, οι πρώτοι p > ( 2n εμφανίζονται το πολύ μία φορά στο 2n ) n. Ακόμα, οι πρώτοι p με 2 n < p n δεν διαιρούν το ( ) 2n 3 n. Πράγματι, το ότι 3p > 2n συνεπάγεται ότι οι αριθμοί p και 2p είναι τα μόνα πολλαπλάσια του p που είναι παράγοντες του αριθμητή του ( ) 2n n = (2n)!. Ο παρονομαστής n!n! έχει δύο φορές παράγοντα τον p. 4)Τώρα μπορούμε να υπολογίσουμε το ( ) 2n n. Για n 3 γνωρίζουμε ότι ( ) 2n n 4 n οπότε έχουμε: 2n 4 n 2n ( 2n n ) p 2n 2n 2n<p 2 3 n p n<p 2n και επειδή δεν υπάρχουν περισσότεροι απο 2n πρώτοι p με p 2n έχουμε: 4 n (2n) 1+ 2n 2n<p 2 3 n p n<p 2n p p, n 3 (2) 5)Υποθέτουμε ότι δεν υπάρχει πρώτος p με n < p 2n. Έτσι το δεύτερο γινόμενο στο δεξί μέλος της (2) θα ισούται με τη μονάδα. Από (1), (2) έχουμε: δηλαδή 4 n (2n) 1+ 2n n n (2n) 1+ 2n Η (3) όμως δεν είναι σωστή για n αρκετά μεγάλο. Πράγματι, είναι γνωστό ότι a + 1 < 2 a, για a 2, οπότε: ( ) 6 6 ( 6 2n = 2n < 2n (3). ) < n n (4).

45 2.3. ΤΟ ΑΙΤΗΜΑ ΤΟΥ BERTRAND 45 Τότε για n 50 (δηλαδή 18 < 2 2n) από (3), (4) είναι: 2 2n (2n) 3(1+ 2n) < 2 6 2n( n) < n 2n = 2 20(2n)2/3. Άρα (2n) 1/3 < 20 το οποίο συνεπάγεται ότι n < 4000 και καταλήξαμε σε άτοπο. Άσκηση 1 Έστω p n ο νιοστός πρώτος. Να δείξετε ότι p n < 2 n για n 2. Λύση Θα εργαστούμε επαγωγικά στο n. Για n = 2 έχουμε p 2 = 3 < 2 2. Έστω ότι ισχύει για n = k, δηλαδή p k < 2 k. Θα δείξουμε ότι p k+1 < 2 k+1. Από το αίτημα του Bertrand υπάρχει πρώτος ανάμεσα στους p k και 2p k, οπότε p k+1 < 2p k. Όμως από επαγωγική υπόθεση p k < 2 k, άρα Άρα p n < 2 n για n 2. p k+1 < 2p k < 2 2 k = 2 k+1. Άσκηση 2 Χρησιμοποιώντας το Αίτημα του Bertrand θα δείξουμε ότι αν m 2 και m! = p a 1 1 p a p a r r, τότε a i = 1 για τουλάχιστον μια τιμή του i. Λύση Για m = 2 το παραπάνω προφανώς ισχύει. Για m > 2 θέτουμε m = 2k ή m = 2k + 1, αν ο m είναι άρτιος ή περιττός αντίστοιχα. Αν ο p είναι πρώτος μεταξύ των k και 2k τότε 2p > m. Επομένως ο εκθέτης του p στην παραγοντοποίηση του m! θα είναι ακριβώς 1.

46 46 CHAPTER 2. Η ΑΠΕΙΡΙΑ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ 2.4 ΔΙΔΥΜΟΙ ΠΡΩΤΟΙ Αν οι αριθμοί p και p + 2 είναι πρώτοι, τότε ονομάζονται δίδυμοι πρώτοι. Τα μικρότερα ζεύγη δίδυμων πρώτων είναι τα {3, 5}, {5, 7}, {11, 13}, {17, 19}. Δεν είναι γνωστό αν υπάρχουν άπειρα τέτοια ζεύγη, αλλά αν ελέγξουμε τη λίστα με τους πρώτους θα οδηγηθούμε στην εξής εικασία: Εικασία Υπάρχουν άπειρα ζεύγη δίδυμων πρώτων. Πολλοί μαθηματικοί έχουν ασχοληθεί με την παραπάνω εικασία. Το 1919 ο Brun απέδειξε το εξής: Θεώρημα Brun Έστω S το σύνολο των δίδυμων πρώτων. Τότε το άθροισμα ( 1 p + 1 ) p + 2 συγκλίνει. p S Παρατηρήσεις Αν το σύνολο S είναι πεπερασμένο, τότε το άθροισμα σίγουρα συγκλίνει. Το θεώρημα του Brun εκφράζει τη σπανιότητα των δίδυμων πρώτων, ακόμα και αν είναι άπειροι. Το άθροισμα ( 1 B = ( 1 + 5) ( 1 + 7) ) ( p + 1 ) +... p + 2 καλείται σταθερά του Brun. Η σταθερά του Brun έχει υπολογιστεί από διάφορους μαθηματικούς(shanks και Wrench(1974), Brent(1976), Nicely(1995)) και ισχύει ότι: B = Υπάρχει μεγάλος ανταγωνισμός για την εύρεση του μεγαλύτερου γνωστού ζεύγους δίδυμων πρώτων. Το 2000 οι Wassing, Jarai, Indlekofer ανακάλυψαν το μεγαλύτερο ζεύγος {p, p + 2}, με p =

47 2.4. ΔΙΔΥΜΟΙ ΠΡΩΤΟΙ 47 Άλλη μια εικασία υποστηρίζει ότι υπάρχουν άπειρες τριάδες πρώτων της μορφής p, p + 2, p + 6. Θεώρημα Υπάρχει μια 1 1 αντιστοιχία μεταξύ δίδυμων πρώτων και των φυσικών n για τους οποίους ο n 2 1 έχει ακριβώς τέσσερις διαιρέτες. Απόδειξη Έστω οι δίδυμοι πρώτοι p = x 1 και q = p + 2 = x + 1. Τότε x 2 1 = p q και προφανώς οι 1, p, q, p q είναι οι μόνοι διαιρέτες του p q = x 2 1. Αντίστροφα, ο αριθμός x 2 1 έχει από υπόθεση ακριβώς τέσσερις διαιρέτες και οι 1, x 1, x + 1, x 2 1 είναι διαιρέτες του και όλοι διαφορετικοί. Άρα είναι οι μόνοι διαιρέτες του x 2 1. Ακόμα, ο x 1 δεν μπορεί να έχει κανένα διαρέτη εκτός από τον εαυτό του και τη μονάδα, γιατί αν είχε θα ήταν και διαιρέτης του x 2 1. Άρα ο x 1 είναι πρώτος. Επίσης, ο x + 1 είναι πρώτος γιατί οι μόνοι του διαιρέτες είναι οι 1, x + 1. Θα μπορούσε να είναι και ο x 1 διαιρέτης του αλλά αν (x 1) (x + 1) = x = 3. Οπότε οι x 1, x + 1 είναι δίδυμοι πρώτοι. Θεώρημα Το 5 είναι ο μόνος πρώτος που εμφανίζεται σε δύο ζεύγη δίδυμων πρώτων. Απόδειξη Έστω ότι υπάρχει πρώτος p 5, ο οποίος εμφανίζεται σε δύο ζεύγη δίδυμων πρώτων. Τότε p 2, p, p + 2 είναι όλοι πρώτοι. Προφανώς είναι και οι τρεις περιττοί. Εξετάζουμε τις περιπτώσεις: i)αν p 0 mod 3, τότε p = 3k, άρα δεν είναι πρώτος.

48 48 CHAPTER 2. Η ΑΠΕΙΡΙΑ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ ii)αν p 1 mod 3, τότε p mod 3, δηλαδή p + 2 = 3k, άρα ο p + 2 δεν είναι πρώτος. iii)αν p 2 mod 3, τότε p 2 p mod 3, δηλαδή p 2 = 3k το οποίο είναι άτοπο αφού θα είναι p = 5. Οπότε το 5 είναι ο μόνος πρώτος που εμφανίζεται σε δύο ζεύγη δίδυμων πρώτων {3, 5}, {5, 7}. Τέλος, ο Leopold Kronecker διατύπωσε αλλά δεν απέδειξε ότι κάθε άρτιος αριθμός μπορεί να γραφεί με άπειρους τρόπους ως η διαφορά δύο πρώτων, το οποίο δείχνει την ύπαρξη άπειρων δίδυμων πρώτων. Ακολουθεί άλλη μια εικασία, ίσως η διασημότερη όλων των εποχών.

49 2.5. Η ΕΙΚΑΣΙΑ ΤΟΥ GOLDBACH Η ΕΙΚΑΣΙΑ ΤΟΥ GOLDBACH Σε ένα γράμμα του προς τον Euler το 1742 ο Christian Goldbach διατύπωσε ότι κάθε άρτιος αριθμός μεγαλύτερος του 2 είναι το άθροισμα δύο πρώτων. Αυτός ο ισχυρισμός είναι γνωστός ως η ''εικασία του Goldbach'' και έχει μελετηθεί εκτενώς τους περασμένους τρεις αιώνες. Ο διάσημος άγγλος μαθηματικός G.H. Hardy περιέγραψε την εικασία του Goldbach ως ένα από τα δυσκολότερα ανοιχτά προβλήματα των μαθηματικών. Εικασία του Goldbach Κάθε άρτιος αριθμός μεγαλύτερος του 2 είναι το άθροισμα δύο πρώτων. Ο Goldbach επίσης είκασε ότι κάθε περιττός αριθμός μεγαλύτερος του 7 ισούται με το άθροισμα τριών περιττών πρώτων. Παρότι ο ισχυρισμός αυτός παραμένει ανοιχτό πρόβλημα, ο Vinogradov απέδειξε το 1937 ότι όλοι οι αρκετά μεγάλοι περιττοί αριθμοί γράφονται σαν άθροισμα τριών περιττών πρώτων. Ακολουθούν δύο προτάσεις σχετικές με την εικασία του Goldbach: Πρόταση Η εικασία του Goldbach συνεπάγεται ότι κάθε περιττός μεγαλύτερος του 7 γράφεται ως άθροισμα τριών περιττών πρώτων. Απόδειξη Έστω n ένας περιττός αριθμός μεγαλύτερος του 7. Τότε ο n 3 είναι άρτιος και μεγαλύτερος του 4. Τότε από την εικασία του Goldbach ο n 3 γράφεται ως άθροισμα δύο πρώτων p και q. Επιπλέον οι p, q είναι περιττοί, αφού μόνο το 4 είναι το άθροισμα δύο άρτιων πρώτων. Οπότε n = 3 + p + q δηλαδή ο n γράφεται ως άθροισμα τριών περιττών πρώτων. Πρόταση Η εικασία του Goldbach είναι ισοδύναμη με το ακόλουθο: ''Κάθε φυσικός n > 5 είναι το άθροισμα τριών πρώτων.'' Απόδειξη Ας υποθέσουμε ότι η εικασία του Goldbach αληθεύει. Αν ο n > 5 είναι άρτιος τότε ο n 2 4 είναι άρτιος. Οπότε ο n 2 είναι το

50 50 CHAPTER 2. Η ΑΠΕΙΡΙΑ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ άθροισμα p + q δύο πρώτων. Επομένως ο n = 2 + p + q είναι το άθροισμα τριών πρώτων. Αν ο n > 5 είναι περιττός τότε ο n 3 4 είναι άρτιος. Οπότε ο n 3 γράφεται ως p + q με p, q πρώτους. Άρα ο n = 3 + p + q είναι το άθροισμα τριών πρώτων. Αντίστροφα, υποθέτουμε ότι κάθε φυσικός n 5 είναι το άθροισμα τριών πρώτων. Έστω n 4 άρτιος. Τότε ο n + 2 είναι το άθροισμα τριών πρώτων. Όμως αφού ο n + 2 είναι άρτιος, τουλάχιστον ένας από τους τρεις πρώτους θα είναι το 2. Έτσι n + 2 = p + q + 2 για κάποια p, q. Επομένως: n = p + q δηλαδή ο n γράφεται ως άθροισμα δύο πρώτων.

51 Chapter 3 Η ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ 3.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως είδαμε στο πρώτο κεφάλαιο η συνάρτηση π(x) μετρά το πλήθος των πρώτων μέχρι τον αριθμό x. Επίσης, αφού οι πρώτοι είναι άπειροι ισχύει ότι π(x) καθώς x. Πώς κατανέμονται όμως στον άξονα των πραγματικών αριθμών; Ποια είναι η συμπεριφορά της π(x) ως συνάρτηση του x; Αυτές οι ερωτήσεις αποτέλεσαν έναυσμα για βαθειά μελέτη για πολλούς μαθηματικούς. Το 1792 και το 1798 ο Gauss και ο Legendre διατύπωσαν την εικασία ότι η π(x) είναι ασυμπτωτικά ίση με την x ln x, δηλαδή π(x) ln x lim x x = 1. Ο Gauss κοιτώντας τη λίστα των πρώτων μέχρι το 3,000,000 παρατήρησε ότι η συνάρτηση των πρώτων αριθμών συνδέεται στενά με τη συνάρτηση Li(x), η οποία δίνεται από τον τύπο: Ακόμα απέδειξε ότι Li(x) = x 2 1 ln t dt. π(x) Li(x). Αν στο παραπάνω ολοκλήρωμα εφαρμόσουμε παραγοντική ολοκλήρωση παρατηρούμε ότι καθώς x η Li(x) είναι ασυμπτωτικά ίση με την x ln x. 51

52 52 CHAPTER 3. Η ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ Σύμφωνα με τα παραπάνω ο Gauss διατύπωσε το εξής: Θεώρημα Πρώτων Αριθμών (Prime Number Theorem) Αν π(x) είναι η συνάρτηση των πρώτων αριθμών, τότε π(x) ln x lim x x = 1. Ο Legendre κοιτώντας και αυτός τη λίστα των πρώτων είκασε ότι π(x) x ln x Χρειάστηκε να περάσουν περίπου 100 χρόνια για να γίνει η εικασία του Gauss θεώρημα. Το 1896 ο Hadamard και ο de la Vallée Poussin, ανεξάρτητα, απέδειξαν αυτό που είναι πλέον γνωστό ως Θεώρημα των Πρώτων Αριθμών. Οι πρώτες αυτές αποδείξεις ήταν αναλυτικές μιας και χρησιμοποιούσαν μιγαδική ανάλυση. Αργότερα, το 1949, ο Erdős και ο Selberg απέδειξαν το Θεώρημα των Πρώτων Αριθμών χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μεθόδους. Στο τέλος του κεφαλαίου θα παρουσιάσουμε μια σκιαγράφηση αυτής της απόδειξης. Η πρώτη σοβαρή απόπειρα για την απόδειξη του σπουδαίου θεωρήματος είχε γίνει από τον Chebyshev το Παρότι δεν τα κατάφερε έδωσε δύο σημαντικά εργαλεία. Απέδειξε ότι υπάρχουν σταθερές A 1, A 2 με < A 1 < 1 και 1 < A 2 < τέτοιες ώστε: A 1 < π(x) ln x x < A 2. π(x) ln x Ακόμα απέδειξε ότι αν το έχει όριο αυτό θα πρέπει να είναι το 1. x Το 1882 ο Sylvester βελτίωσε τις σταθερές του Chebyshev σε A 1 = και A 2 = Ο Riemann ήταν άλλος ένας διάσημος μαθηματικός που προσπάθησε να δώσει απόδειξη του θεωρήματος. Στήριξε τις μελέτες του στη συνάρτηση ζήτα (zeta function) που εισήγαγε. Αν και δεν ολοκλήρωσε την απόδειξη, οι ιδιότητες της συνάρτησης ζήτα που διατύπωσε ήταν το εφαλτήριο για να τα καταφέρουν οι Hadamard και de la Vallée Poussin. Ένα άλλο σημαντικό ερώτημα σχετικό με την κατανομή των πρώτων είναι το

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

a = a a Z n. a = a mod n.

a = a a Z n. a = a mod n. Αλγεβρα Ι Χειμερινο Εξαμηνο 2017 18 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Πράξεις: Πράξεις στο σύνολο S, ο πίνακας της πράξης, αντιμεταθετικές πράξεις. Προσεταιριστικές πράξεις, το στοιχείο a 1 a 2 a n. Η πράξη «σύνθεση

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων. Κρυπτογραφία. Θεωρία αριθμών Αλγεβρικές δομές. Χρήστος Ξενάκης

Πανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων. Κρυπτογραφία. Θεωρία αριθμών Αλγεβρικές δομές. Χρήστος Ξενάκης Πανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Κρυπτογραφία Θεωρία αριθμών Αλγεβρικές δομές Χρήστος Ξενάκης Το σύνολο των ακεραίων Ζ = {..., -2, -1, 0, 1, 2,...} Το σύνολο των φυσικών Ν = {0, 1, 2,...}

Διαβάστε περισσότερα

* * * ( ) mod p = (a p 1. 2 ) mod p.

* * * ( ) mod p = (a p 1. 2 ) mod p. Θεωρια Αριθμων Εαρινο Εξαμηνο 2016 17 Μέρος Α: Πρώτοι Αριθμοί Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Διαιρετότητα: Διαιρετότητα, διαιρέτες, πολλαπλάσια, στοιχειώδεις ιδιότητες. Γραμμικοί Συνδυασμοί (ΓΣ). Ενότητα 2. Πρώτοι

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Οι Φυσικοί Αριθμοί. Παρατήρηση: Δεν στρογγυλοποιούνται αριθμοί τηλεφώνων, Α.Φ.Μ., κωδικοί αριθμοί κλπ. Πρόσθεση Φυσικών αριθμών

Οι Φυσικοί Αριθμοί. Παρατήρηση: Δεν στρογγυλοποιούνται αριθμοί τηλεφώνων, Α.Φ.Μ., κωδικοί αριθμοί κλπ. Πρόσθεση Φυσικών αριθμών Οι Φυσικοί Αριθμοί Γνωρίζουμε ότι οι αριθμοί είναι ποσοτικές έννοιες και για να τους γράψουμε χρησιμοποιούμε τα αριθμητικά σύμβολα. Οι αριθμοί μετρούν συγκεκριμένα πράγματα και φανερώνουν το πλήθος της

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΤΕΥΧΟΣ 6ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 501-600 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς

Διαβάστε περισσότερα

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Η έννοια της ακολουθίας Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Δηλαδή: f : A B Η ακολουθία είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Κρυπτογραφία. Κωνσταντίνου Ελισάβετ

Κρυπτογραφία. Κωνσταντίνου Ελισάβετ Κρυπτογραφία Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ησυνάρτησηφ(.) του Euler Για κάθε ακέραιο n> 0, έστω φ(n) το πλήθος των ακεραίων στο διάστημα [1, n] που

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί. q Z, a = b q + r.

2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί. q Z, a = b q + r. Κεφάλαιο 2 Θεωρία Αριθμών Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Hardy and Wright 1979 και Graham, Knuth, and Patashnik 1994. 2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί Θεώρημα 2.1 Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης;

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης; 10. Τι ονομάζουμε Ευκλείδεια διαίρεση και τέλεια διαίρεση; Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: Δ = δ π + υ. Ο αριθμός Δ λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 7 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. Βρείτε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ησυνάρτησηφ(.) του Euler Για κάθε ακέραιο n> 0, έστω φ(n) το πλήθος των ακεραίων στο διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία

Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Σημειώσεις Διαλέξεων Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Επιμέλεια σημειώσεων: Καλογερόπουλος Παναγιώτης

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 10: Αριθμητική υπολοίπων - Κυκλικές ομάδες: Διαιρετότητα - Ευκλείδειος αλγόριθμος - Κατάλοιπα Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: την αποδεικτική μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για την οποία πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η αλήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Η συνάρτηση φ(.) του Euler Για κάθε ακέραιο n > 0, έστω φ(n) το πλήθος των ακεραίων στο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 11: Αριθμητική υπολοίπων-δυνάμεις Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ...11 1.1 Βασικές θεωρητικές γνώσεις... 11 1.. Λυμένα προβλήματα... 19 1. Προβλήματα προς λύση... 4 1.4 Απαντήσεις προβλημάτων Πραγματικοί αριθμοί... 0 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,

Διαβάστε περισσότερα

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457.

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457. 1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο ξεκινάει από τη σελίδα κ και τελειώνει στη σελίδα λ, από πόσες

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ασύμμετρα Κρυπτοσυστήματα κλειδί κρυπτογράφησης k1 Αρχικό κείμενο (m) (δημόσιο κλειδί) Αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

> ln 1 + ln ln n = ln(1 2 3 n) = ln(n!).

> ln 1 + ln ln n = ln(1 2 3 n) = ln(n!). η Διάλεξη: Άρρητοι αριθμοί Το σύνολο Q των ρητών αριθμών είναι το Q = { m n : m Z, n N}. αριθμός που δεν είναι ρητός λέγεται άρρητος. Ενας πραγματικός Ασκηση: Αποδείξτε ότι το άθροισμα και το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 17 Οκτωβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 17 Οκτωβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Οκτωβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 5 Νοεμβρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Shmei seic JewrÐac Arijm n

Shmei seic JewrÐac Arijm n Shmei seic JewrÐac Arijm n Tm ma Majhmatik n Paneist mio Ajhn n Aj na, 2013 ii Perieqìmena Εισαγωγή 1 1 Διαιρετότητα και πρώτοι αριθμοί 3 1.1 Το σύνολο των ακεραίων......................... 3 1.2 Διαιρετότητα

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 1. Οι ρητοί αριθμοί Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, και τις πράξεις (πρόσθεση - πολλαπλασιασμό)μεταξύ αυτών. Οι φυσικοί αριθμοί είναι επίσης διατεταγμένοι με κάποια

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία

Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Σημειώσεις Διαλέξεων Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Επιμέλεια σημειώσεων: Ζωή Παρασκευοπούλου Νίκος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) Τμήμα Θ. Αποστολάτου & Π. Ιωάννου 1 Σειρές O Ζήνων ο Ελεάτης (490-430 π.χ.) στη προσπάθειά του να υποστηρίξει

Διαβάστε περισσότερα

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος 73 3. Συμπαγείς χώροι 3. Συμπαγείς χώροι και βασικές ιδιότητες Οι συμπαγείς χώροι είναι μια από τις πιο σημαντικές κλάσεις τοπολογικών χώρων. Η κλάση των συμπαγών χώρων περιλαμβάνει τα κλειστά διαστήματα,b

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Αν μια συνάρτηση f είναι : συνεχής στο κλειστό [α,β] παραγωγίσιμη στο ανοιχτό (α,β) f(α)=f(β) f 0 τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ : σημαίνει ότι υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 3 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Αφού ϐρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 17-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Την προηγούμενη φορά αναφέραμε (και αποδείξαμε στην περίπτωση n = 2) το θεώρημα που λέει ότι, αν n N, n 2, τότε για κάθε y 0 υπάρχει μοναδική μηαρνητική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 13 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμένες σελίδες του βιβλίου

Ορισμένες σελίδες του βιβλίου Ορισμένες σελίδες του βιβλίου 7. Θεωρούμε το σύνολο αναφοράς 0,,. Να οριστούν τα σύνολα: Α. των τριψηφίων αριθμών που σχηματίζουν τα στοιχεία του Ω. Β. των τριψηφίων αριθμών με διαφορετικά ψηφία Γ. των

Διαβάστε περισσότερα

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a.

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a. 1. Τα θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα Με τον όρο θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα εννοούμε τα σύνολα N των φυσικών αριθμών, Z των ακεραίων, Q των ρητών και R των πραγματικών. Από αυτά, το σύνολο N είναι πρωτογενές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στο μάθημα Ανάλυση Ι & Εφαρμογές 26 Φεβρουαρίου 2015

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στο μάθημα Ανάλυση Ι & Εφαρμογές 26 Φεβρουαρίου 2015 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στο μάθημα Ανάλυση Ι & Εφαρμογές 26 Φεβρουαρίου 25 Απαντήστε και στα 4 προβλήματα με σαφήνεια και απλότητα. Όσοι έχουν πάρει προβιβάσιμο βαθμό στην Πρόοδο (πάνω

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα.

Ασκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα. Ασκήσεις 0 Ασκήσεις Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα o H -στήλη του P P είναι E αν και μόνο αν η -στήλη του P είναι ιδιοδιάνυσμα του που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Η θεωρία και τι προσέχουμε. x, ισχύει: lim f (x) f ( ).

Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Η θεωρία και τι προσέχουμε. x, ισχύει: lim f (x) f ( ). Κεφάλαιο 4 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα 411 Ερώτηση θεωρίας 1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Πότε μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (, ) αβ; Απάντηση Μια συνάρτηση f θα λέμε

Διαβάστε περισσότερα

x 2 + y 2 = z 2 x = 3, y = 4, z = 5 x 2 + y 2 = z 2 (2.1)

x 2 + y 2 = z 2 x = 3, y = 4, z = 5 x 2 + y 2 = z 2 (2.1) Πυθαγόρειες Τριάδες Χριστίνα Ιατράκη Ημερομηνία παράδοσης -10-014 1 Εισαγωγικά Ορισμός 1.1 Πυθαγόρεια τριάδα καλείται κάθε τριάδα ακέραιων (x, y, z) που είναι μη τετριμμένη λύση της εξίσωσης Μια τέτοια

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 5-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Τώρα θα μιλήσουμε για την έννοια της περιοχής, η οποία έχει κεντρικό ρόλο στη μελέτη της έννοιας του ορίου (ακολουθίας και συνάρτησης). Αν > 0, ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ).

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ). Κεφάλαιο 4 Συναρτήσεις μεταξύ μετρικών χώρων 4.1 Συνεχείς συναρτήσεις Εστω (X, ρ) και (Y, σ) δύο μετρικοί χώροι. Στην 2.2 δώσαμε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης f : X Y σε κάποιο σημείο x 0 X:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις Επαναληψης

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις Επαναληψης ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις Επαναληψης ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 22 Μαΐου 2013 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί η γραµµική

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ Μαθηματικά Πληροφορικής 4ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης.

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Παρεμβολή και Παρεκβολή Εισαγωγή Ορισμός 6.1 Αν έχουμε στη διάθεσή μας τιμές μιας συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις 5 Τέσσερις πράξεις 5 Σύστημα πραγματικών αριθμών 5 Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών 6 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Απειροστικού Λογισμού ΙΙ Πρόχειρες Σημειώσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Περιεχόμενα Υπακολουθίες και ακολουθίες Cuchy Σειρές πραγματικών αριθμών 3 3 Ομοιόμορφη συνέχεια 3 4 Ολοκλήρωμα

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1 Κεφάλαιο 2: Στοιχεία Λογικής - Μέθοδοι Απόδειξης 1. Να αποδειχθεί ότι οι λογικοί τύποι: (p ( (( p) q))) (p q) και p είναι λογικά ισοδύναμοι. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι: (p ( (( p) q))) (p q) p, ή με άλλα

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα

Διαβάστε περισσότερα

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων 4ο Κεφάλαιο 9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμοί Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής ν αx όπου α R, * ν N και x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

A N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις

A N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΑΣΚΗΣΗ η Αν α +β +γ = αβγ και α + β + γ, να δείξετε ότι το πολυώνυμο P()=(α β) +(β γ) + γ α είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Από την ταυτότητα του Euler α +β +γ -αβγ = (α + β + γ)[(α-β)

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων Προβληµατα

Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Μιχάλης Κολουντζάκης Τµήµα Μαθηµατικών και Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης Βούτες 700 3 Ηράκλειο 6 Απριλίου 205 Πολλές από τις παρακάτω ασκήσεις είναι από το ϐιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη

Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Φεβρουαρίου Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Μαρτίου Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό είναι να

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Ολοκλήρωση Εισαγωγή Έστω ότι η f είναι μία φραγμένη συνάρτηση στο πεπερασμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΠΡΩΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΠΡΩΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΚΟΣΤΟ ΠΡΩΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, --3 Μ. Παπαδημητράκης. Τώρα θα δούμε μια ακόμη εφαρμογή του Κριτηρίου του Ολοκληρώματος. Παράδειγμα. Γνωρίζουμε ότι η αρμονική σειρά αποκλίνει στο +, το οποίο φυσικά σημαίνει

Διαβάστε περισσότερα

Όριο και συνέχεια πραγματικής συνάρτησης

Όριο και συνέχεια πραγματικής συνάρτησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Όριο και συνέχεια πραγματικής συνάρτησης Αγνοώ το πώς με βλέπει ο κόσμος αλλά στον εαυτό μου, φαίνομαι σαν να μην ήμουν τίποτα άλλο από ένα αγοράκι που παίζει στην ακρογιαλιά και κατά καιρούς

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Παραγώγιση Εισαγωγή Ορισμός 7. Αν y f x είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Διαιρετότητα Μαθαίνω Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού α είναι όλοι οι αριθμοί που προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμό του με όλους τους φυσικούς αριθμούς, δηλαδή οι αριθμοί: 0, α, 2 α, 3 α, 4 α,... Το μηδέν

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Δομές και Αριθμοθεωρία

Αλγεβρικές Δομές και Αριθμοθεωρία Κεφάλαιο 9 Αλγεβρικές Δομές και Αριθμοθεωρία 9.1 Εισαγωγή Θα παρουσιάσουμε κάποια στοιχεία από Θεωρία Αριθμών και ελάχιστα από Θεωρία Ομάδων. Οι γνώσεις αυτές είναι οι ελάχιστες απαραίτητες για την κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Ημιαπλοί Δακτύλιοι Είδαμε στο κύριο θεώρημα του προηγούμενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισμα απλών προτύπων Εδώ θα χαρακτηρίσουμε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 2ο. οι πράξεις και οι ιδιότητές τους

Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 2ο. οι πράξεις και οι ιδιότητές τους οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Μερικές ακόμη ταυτότητες (επιπλέον από τις αξιοσημείωτες που βρίσκονται στο σχολικό βιβλίο) ) Διαφορά δυνάμεων με ίδιο εκθέτη: ειδικά αν ο εκθέτης ν είναι άρτιος υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθµών για το Λύκειο. Ασκήσεις

Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθµών για το Λύκειο. Ασκήσεις Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθµών για το Λύκειο Σηµειώσεις Προετοιµασίας για Μαθηµατικούς ιαγωνισµούς Ασκήσεις Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Νοέµβριος 2012 1 Ασκησεις στη Θεωρια Αριθµων 1 Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ιαιρετότητα Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών «Ο Αλγόριθµος της ιαίρεσης» Αριθµητική Υπολοίπων 0 r < d και a = d q +r

ιαιρετότητα Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών «Ο Αλγόριθµος της ιαίρεσης» Αριθµητική Υπολοίπων 0 r < d και a = d q +r ιαιρετότητα Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών ο a διαιρεί τον b: συµβολισµός: a b Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς a b και a c a (b + c) a b a bc, για κάθε c Z +

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 15 Νοεμβρίου Ασκηση 1. Να ευρεθεί η τάξη τού στοιχείου a τής ομάδας (G, ), όπου. (4) a = ( 1 + i 3)/2, (G, ) = (C, ),

Α Δ Ι. Παρασκευή 15 Νοεμβρίου Ασκηση 1. Να ευρεθεί η τάξη τού στοιχείου a τής ομάδας (G, ), όπου. (4) a = ( 1 + i 3)/2, (G, ) = (C, ), Α Δ Ι Α - Φ 4 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 15 Νοεμβρίου

Διαβάστε περισσότερα

n 5 = 7 ε (π.χ. ορίζοντας n0 = 1+ ε συνεπώς (σύμϕωνα με τις παραπάνω ισοδυναμίες) an 5 < ε. Επομένως a n β n 23 + β n+1

n 5 = 7 ε (π.χ. ορίζοντας n0 = 1+ ε συνεπώς (σύμϕωνα με τις παραπάνω ισοδυναμίες) an 5 < ε. Επομένως a n β n 23 + β n+1 Θέμα 1 (α) Υποθέτουμε (προς απαγωγή σε άτοπο) ότι το σύνολο A έχει μέγιστο στοιχείο, έστω a = max A Τότε, εϕόσον a A, έχουμε a R Q και a M Ομως ο αριθμός μητρώου M είναι ρητός αριθμός, άρα (εϕόσον ο a

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάμε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων Αυτές συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2

με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2 Άσκηση 75 Σε έναν οργανισμό, αρχικά υπάρχουν 04800 βακτήρια. Μετά από 1 ώρα υπάρχουν 10400 βακτήρια, μετά από ώρες 5100 βακτήρια, και γενικά ο αριθμός των βακτηρίων υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα. α) Πόσα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α.1. 1) Ποιοι φυσικοί αριθμοί λέγονται άρτιοι και ποιοι περιττοί; ( σ. 11 ) 2) Από τι καθορίζεται η αξία ενός ψηφίου σ έναν φυσικό αριθμό; ( σ. 11 ) 3) Τι

Διαβάστε περισσότερα

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ Μαθηματικά Πληροφορικής 2ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης.

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 1: Εισαγωγή- Χαρακτηριστικά Παραδείγματα Αλγορίθμων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Μορφές αποδείξεων. Μαθηματικά Πληροφορικής 2ο Μάθημα. Μορφές αποδείξεων (συνέχεια) Εξαντλητική μέθοδος

Μορφές αποδείξεων. Μαθηματικά Πληροφορικής 2ο Μάθημα. Μορφές αποδείξεων (συνέχεια) Εξαντλητική μέθοδος Μορφές αποδείξεων Μαθηματικά Πληροφορικής ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ. Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ. Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ 1)Ποιοι αριθμοί ονομάζονται άρτιοι και ποιοι περιττοί ; Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι που δεν διαιρούνται

Διαβάστε περισσότερα