ΒΙΒΛΙΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ

Transcript

1 ΒΙΒΛΙΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ 1 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 36, 3 ος στοίχος από κάτω): 1. Στην πρόσθεση που ακολουθεί να βρεθούν τα ψηφία που αντιπροσωπεύονται από τα γράμματα Α, Β, Γ, Δ και Ε. ΑΒΓ +ΔΑΓ Α Στην πρόσθεση που ακολουθεί να βρεθούν τα ψηφία που αντιπροσωπεύονται από τα γράμματα Α, Β, Γ και Δ. Λύση: ΑΑΒΓ +ΔΑΓ Λύση: η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 44, 3 ος στοίχος από κάτω): Χρησιμοποίησε παραδείγματα για να επιβεβαιώσεις ή να απορρίψεις την πρόταση αυτή. Δοκίμασε να επαληθεύσεις την πρόταση αυτή με δικά σου παραδείγματα. 3 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 69, 17 ος στοίχος από πάνω): Η προτεινόμενη δραστηριότητα έχει στόχο τη διαισθητική και εμπειρική εμπέδωση και κατανόηση της έννοιας της διαφοράς δύο ρητών (αρνητικών και θετικών) αριθμών και της ανάπτυξης της δεξιότητας του τρόπου υπολογισμού της, μέσα από τη διάταξη των θερμοκρασιών των διαφόρων μηνών του έτους από ένα συγκεκριμένο διάγραμμα, τον υπολογισμό των διαφορών μεταξύ του πιο κρύου και πιο ζεστού μήνα του έτους καθώς και τον υπολογισμό των διαφορών μεταξύ των θερμοκρασιών κάθε δύο διαδοχικών μηνών. Επί του προκειμένου είναι αναγκαίο αυτή η προσπάθεια να καταλήξει στον κανόνα που ορίζει την αφαίρεση των ρητών αριθμών ως πρόσθεση του αντιθέτου ρητού του αφαιρετέου στον μειωτέο, καθώς και στους κανόνες που ισχύουν για τον υπολογισμό αριθμητικών παραστάσεων με προσθέσεις και αφαιρέσεις και τον τρόπο που γίνεται η απαλοιφή των παρενθέσεων σε αυτές. Η προτεινόμενη δραστηριότητα έχει στόχο τη διαισθητική και εμπειρική εμπέδωση και κατανόηση της έννοιας της διαφοράς δύο ρητών (αρνητικών και θετικών) αριθμών και της ανάπτυξης της δεξιότητας του τρόπου υπολογισμού της. Το 1 ο ερώτημα έχει στόχο την άσκηση των μαθητών στην αξιοποίηση των πληροφοριών που περιέχονται σε ένα διάγραμμα. Το 2 ο ερώτημα είναι δυνατό να δώσει δύο δυνατότητες διαπραγμάτευσης. Η 1 η είναι να θεωρηθεί ότι η μεταβολή έχει ως αρχή τον ζεστότερο μήνα του χρόνου (Αύγουστο) και ως τέλος τον πλέον κρύο μήνα (Δεκέμβριο). Η 2 η είναι να θεωρηθεί ότι η μεταβολή έχει ως αρχή πλέον κρύο μήνα (Δεκέμβριο) και ως τέλος τον ζεστότερο μήνα του χρόνου (Αύγουστο). Στην 1 η περίπτωση η μεταβολή είναι αρνητικός αριθμός, ενώ στη 2 η είναι θετικός. Επομένως μπορεί να αναλυθεί διεξοδικά η έννοια του πρόσημου μιας μεταβολής. Με την ευκαιρία αυτή είναι δυνατό να γίνει διεξοδική συζήτηση για την έννοια του θετικού και αρνητικού πρόσημου, που μπορεί να οδηγήσει και στη κατανόηση των συμβάσεων που περικλείουν οι έννοιες του θετικού και αρνητικού πρόσημου. Το 3 ο ερώτημα δεν τέθηκε για να εξαντληθούν όλοι οι δυνατοί συνδυασμοί, διότι ο στόχος είναι να αποτελέσει έναυσμα ώστε η τάξη να λειτουργήσει ομαδοσυνεργατικά, δηλαδή να χωρισθεί σε ομάδες και αντικείμενο κάθε ομάδας να είναι δύο διαφορετικοί διαδοχικοί μήνες και στη συνέχεια να συζητηθούν τα επιμέρους αποτελέσματα από το σύνολο των μαθητών της τάξης. Ένα επιπλέον πλεονέκτημα της συγκεκριμένης δραστηριότητας είναι ότι εξαντλούνται όλοι οι συνδυασμοί της αφαίρεσης δύο ρητών. 4 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 70, 7 ος στοίχος από πάνω): 4. Βρες τις τιμές των x και y αν γνωρίζεις ότι: Α = x + ( 8) ( 3) και Β = 3 y +( 7) και ότι Α= Β και x y = 4.. Βρες τις τιμές των x και y αν γνωρίζεις ότι: Α = x + ( 8) ( 3) και Β = 3 y +( 7) και ότι Α=Β και x y = 4. 1

2 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 71, 14 ος και 16 ος στοίχοι από πάνω): [Υπόδειξη: Η συνολική ζημία στο ερχόμενο εξάμηνο θα είναι: ( ) (+6μήνες)= Άρα το αποθεματικό θα γίνει: = Η συνολική ζημιά στο περασμένο εξάμηνο ήταν: ( ) ( 6μήνες)= Άρα το αποθεματικό ήταν: = ]. [Υπόδειξη: Τα αποτελέσματα του ερχόμενου εξαμήνου θα είναι: ( ) (+6μήνες)= Άρα το αποθεματικό θα γίνει: = Τα αποτελέσματα του περασμένου εξαμήνου ήταν: ( ) ( 6μήνες)= Άρα το αποθεματικό ήταν: = ]. 6 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 72, 24 ος και 2 ος στοίχοι από πάνω): Το προτεινόμενο παράδειγμα εφαρμογή έχει σκοπό: να δείξει, στους μαθητές, τον τρόπο υπολογισμού του ρητού με κλασματική μορφή από τη μορφή που έχει ως δεκαδικός ή περιοδικός δεκαδικός ρητός αριθμός. Με την ανάπτυξη των δραστηριοτήτων και της εφαρμογής γίνεται προσπάθεια να γίνει κατανοητή η ύπαρξη αμφιμονοσήμαντης αντιστοιχίας των δύο μορφών (κλασματικής και δεκαδικής) των ρητών αριθμών. ΠΡΟΤΕΙΝΕΤΑΙ: Το προτεινόμενο παράδειγμα εφαρμογή έχει σκοπό: να δείξει, στους μαθητές, τον τρόπο υπολογισμού του ρητού με κλασματική μορφή από τη μορφή που έχει ως δεκαδικός ή περιοδικός δεκαδικός ρητός αριθμός. Με την ανάπτυξη των δραστηριοτήτων και της εφαρμογής γίνεται προσπάθεια να γίνει κατανοητή η αντιστοιχία των δύο μορφών (κλασματικής και δεκαδικής) των ρητών αριθμών. 7 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 73, 8 ος και 9 ος στοίχοι από πάνω): Τα δύο προτεινόμενα παραδείγματα εφαρμογές έχουν σκοπό: να δείξουν τον τρόπο εφαρμογής των ιδιοτήτων των δυνάμεων σε διάφορες περιπτώσεις καθώς και τον τρόπο υπολογισμού αριθμητικών παραστάσεων που έχουν δυνάμεις με εκθέτη φυσικό αριθμό. ΠΡΟΤΕΙΝΕΤΑΙ: Τα δύο προτεινόμενα παραδείγματα εφαρμογές έχουν σκοπό: να δείξουν τον τρόπο υπολογισμού αριθμητικών παραστάσεων που έχουν δυνάμεις με εκθέτη φυσικό αριθμό. 2

3 ΒΙΒΛΙΟ ΜΑΘΗΤΗ 1 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 6, 3 ος στοίχος από κάτω): Αιώνες τώρα με ρωτούν οι μάγοι ΠΡΟΤΕΙΝΕΤΑΙ (διαγραφή): Αιώνες τώρα ρωτούν οι μάγοι 2 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 11, 7 ος στοίχος από πάνω): Βρες τους έξι διαφορετικούς τριψήφιους αριθμούς που. Βρες όλους τους διαφορετικούς τριψήφιους αριθμούς που. 3 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 11, 11 ος στοίχος από κάτω): Η δυνατότητα αυτή υπάρχει γιατί η αξία ενός ψηφίου καθορίζεται μόνο από τη ΠΡΟΤΕΙΝΕΤΑΙ (διαγραφή): Η δυνατότητα αυτή υπάρχει γιατί η αξία ενός ψηφίου καθορίζεται και από τη 3 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 13, 14 ος στοίχος από κάτω): (ε) Από τον αριθμό 32 ως τον αριθμό 122 υπάρχουν 90 αριθμοί (ε) Από τον αριθμό 32 ως τον αριθμό 122 υπάρχουν 91 αριθμοί 4 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 1, 2 ος - 14 ος στοίχος από πάνω): Πρόσθεση είναι η πράξη με την οποία από δύο φυσικούς αριθμούς α και β, τους προσθετέους, βρίσκουμε ένα τρίτο φυσικό αριθμό γ, που είναι το άθροισμά τους: α + β = γ Ιδιότητες της πρόσθεσης: Το 0 όταν προστεθεί σε ένα φυσικό αριθμό δεν τον μεταβάλει Μπορούμε να αλλάζουμε τη σειρά των δύο προσθετέων ενός αθροίσματος (Αντιμεταθετική ιδιότητα) Μπορούμε να αντικαθιστούμε προσθετέους με το άθροισμά τους ή να αναλύουμε ένα προσθετέο σε άθροισμα (Προσεταιριστική ιδιότητα) Πρόσθεση Ιδιότητες της πρόσθεσης: Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το μηδέν ισούται με τον ίδιο τον αριθμό Αντιμεταθετική ιδιότητα (Μπορούμε να αλλάζουμε τη σειρά των δύο προσθετέων ενός αθροίσματος) Προσεταιριστική ιδιότητα α + 0 = 0 + α = α α + β = β + α (α+β)+γ = α+(β+γ) 1

4 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 1, 1 ος - 1 ος στοίχος από κάτω): Πολλαπλασιασμός είναι η πράξη με την οποία από δύο φυσικούς αριθμούς α και β, τους παράγοντες, βρίσκουμε ένα τρίτο φυσικό αριθμό γ, που είναι το γινόμενό τους: α β = γ Ιδιότητες του πολλαπλασιασμού: Το 1 όταν πολλαπλασιαστεί με ένα φυσικό αριθμό δεν τον μεταβάλει Μπορούμε να αλλάζουμε τη σειρά των παραγόντων ενός γινομένου (Αντιμεταθετική ιδιότητα) Μπορούμε να αντικαθιστούμε παράγοντες με το γινόμενό τους ή να αναλύουμε ένα παράγοντα σε γινόμενο (Προσεταιριστική ιδιότητα) Επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση Επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την αφαίρεση Πολλαπλασιασμός Ιδιότητες του πολλαπλασιασμού: Το γινόμενο ενός φυσικού αριθμού με τη μονάδα ισούται με τον ίδιο τον αριθμό Αντιμεταθετική ιδιότητα (Μπορούμε να αλλάζουμε τη σειρά των παραγόντων ενός γινομένου) Προσεταιριστική ιδιότητα Επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση Επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την αφαίρεση Το γινόμενο ενός φυσικού αριθμού επί το μηδέν ισούται με το μηδεν α 1 = 1 α = α α β = β α (α β) γ=α (β γ) α (β+γ)=α β+α γ α (β-γ)=α β-α γ α 0 = 0 α = 0 6 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 21, 2 ος στοίχος από πάνω): Ο Κωστάκης, η Ρένα και ο Δημήτρης έκαναν τις πράξεις στην αριθμητική παράσταση: 8 ( ) + ( ) + 10 και βρήκαν ο καθένας διαφορετικό αποτέλεσμα. Ο Κωστάκης βρήκε 1.312, η Ρένα 600 και ο Δημήτρης 180. Βρες ποιο από τα τρία αποτελέσματα είναι το σωστό. Μπορείς να μαντέψεις με ποια σειρά έκανε ο καθένας τις πράξεις; Διατύπωσε ένα κανόνα για την προτεραιότητα που πρέπει να τηρούμε όταν κάνουμε πράξεις σε μία αριθμητική παράσταση. Ο Κωστάκης, η Ρένα και ο Δημήτρης έκαναν τις πράξεις στην αριθμητική παράσταση: 4 (7+7 9)+20 και βρήκαν ο καθένας διαφορετικό αποτέλεσμα. Ο Κωστάκης βρήκε 33, η Ρένα 300 και ο Δημήτρης 24. Ποιος νομίζεις ότι έχει δίκιο; Δικαιολόγησε την απάντησή σου.. 2

5 7 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 2, 3 ος και 10 ος στοίχος από πάνω): Ο καθηγητής φυσικής αγωγής πρέπει να αποφασίσει με ποιο τρόπο μπορεί να παρατάξει τους 168 μαθητές του σχολείου για την παρέλαση. Για να αποφασίσει ο καθηγητής με ποιο τρόπο θα παρατάξει τους 168 μαθητές για την παρέλαση, πρέπει να διαιρέσει το 168 με τους αριθμούς 3, 4,, 6 και 7. ΠΡΟΤΕΙΝΕΤΑΙ (διαγραφή): Ο καθηγητής φυσικής αγωγής πρέπει να αποφασίσει με ποιο τρόπο μπορεί να παρατάξει τους 168 μαθητές του σχολείου. Για να αποφασίσει ο καθηγητής με ποιο τρόπο θα παρατάξει τους 168 μαθητές, πρέπει να διαιρέσει το 168 με τους αριθμούς 3, 4,, 6 και 7. 8 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 2, 7 ος στοίχος από κάτω): Στους φυσικούς αριθμούς η τέλεια διαίρεση είναι πράξη αντίστροφη του πολλαπλασιασμού, όπως είναι και η αφαίρεση πράξη αντίστροφη της πρόσθεσης. Στους φυσικούς αριθμούς η τέλεια διαίρεση είναι πράξη αντίστροφη του πολλαπλασιασμού, δηλαδή: αν =δ π τότε :δ=π ή :π=δ. 9 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 2, 3 ος στοίχος από κάτω): α:α α:α=1 10 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 26, 23 ος στοίχος από κάτω): 1. Σε μια δισκέτα μπορούν να αποθηκευτούν 11 φωτογραφίες. (α) Πόσες δισκέτες χρειάζονται για να αποθηκευτούν φιλμ των 36 στάσεων το καθένα; (β) Για πόσες φωτογραφίες θα μείνει χώρος στην τελευταία δισκέτα; Λύση: (α) Τα φιλμ των 36 στάσεων το καθένα έχουν συνολικά 36 = 180 φωτογραφίες. Η διαίρεση των 180 φωτογραφιών με τις 11 που μπορούν να αποθηκευτούν σε μια δισκέτα, έχει πηλίκο 16 και υπόλοιπο 4, δηλαδή έχουμε 180 = Έτσι χρειαζόμαστε 16 δισκέτες, περισσεύουν όμως 4 φωτογραφίες ακόμη, επομένως θα πρέπει να πάρουμε επιπλέον μία δισκέτα, άρα θα χρειασθούν 16+1=17 δισκέτες. (β) Αφού στην τελευταία δισκέτα θα αποθηκευτούν οι 4 φωτογραφίες, που περίσσεψαν, θα μείνει χώρος για 11 4 = 7 φωτογραφίες. 1. Στη μονάδα μνήμης μιας φωτογραφικής μηχανής μπορούν να αποθηκευτούν 11 φωτογραφίες. (α) Πόσες τέτοιες ίδιες μνήμες χρειάζονται για να αποθηκευτούν φωτογραφήσεις των 36 φωτογραφιών η καθεμία; (β) Για πόσες φωτογραφίες θα μείνει χώρος στην τελευταία μονάδα; Λύση: (α) Οι φωτογραφήσεις των 36 φωτογραφιών η καθεμιά είναι συνολικά 36 = 180 φωτογραφίες. Η διαίρεση των 180 φωτογραφιών με τις 11 που μπορούν να αποθηκευτούν σε μια μονάδα, έχει πηλίκο 16 και υπόλοιπο 4, δηλαδή έχουμε 180 = Έτσι χρειαζόμαστε 16 μονάδες, περισσεύουν όμως 4 φωτογραφίες ακόμη, επομένως θα πρέπει να πάρουμε επιπλέον μία μονάδα, άρα θα χρειασθούν 16+1=17 μονάδες μνήμης. (β) Αφού στην τελευταία μονάδα μνήμης θα αποθηκευτούν οι 4 φωτογραφίες, που περίσσεψαν, θα μείνει χώρος για 11 4 = 7 φωτογραφίες. 3

6 11 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 27, 9 ος και 10 ος στοίχος από πάνω): Πόσα πακέτα δώρων μπορεί να γίνουν με όλα τα διαθέσιμα είδη; Πόσα πακέτα δώρων μπορεί να γίνουν με τα λιγότερα δυνατά από κάθε είδος; Πόσα όμοια πακέτα δώρων μπορεί να γίνουν με όλα τα διαθέσιμα είδη; Πόσα το πολύ όμοια πακέτα δώρων μπορεί να γίνουν με όλα τα διαθέσιμα είδη; 12 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 27, 18 ος και 19 ος στοίχος από πάνω): Το μικρότερο από τα κοινά πολλαπλάσια δύο ή περισσότερων αριθμών, που δεν είναι μηδέν, το ονομάζουμε Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) των αριθμών αυτών. Το μικρότερο ( 0) από τα κοινά πολλαπλάσια δύο ή περισσότερων αριθμών ( 0) το ονομάζουμε Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) των αριθμών αυτών. 13 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 28, 6 ος στοίχος από κάτω): 3. Να βρεθεί αν διαιρούνται οι αριθμοί 1210, 772, 22, 13600, με 2, 3, 4,, 8, 9, 10, 2, 100. Λύση: ΠΡΟΤΕΙΝΕΤΑΙ (διαγραφή): 3. Να βρεθεί αν διαιρούνται οι αριθμοί 1210, 772, 22, 13600, με 2, 3, 4,, 9, 10, 2, 100. Λύση: η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 29, ΠΙΝΑΚΑΣ): 4

7 1 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 29, 1 ος στοίχος από κάτω): 16 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 31, 17 ος στοίχος από κάτω): Δύναμη: α ν = α α α α (ν φορές) Το α λέγεται βάση και το ν εκθέτης Δύναμη: α ν = α α α α (ν παράγοντες) Το α λέγεται βάση και το ν εκθέτης 17 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 31, 16 ος στοίχος από κάτω): Ευκλείδεια Διαίρεση: Δ = δ π+υ, ΠΡΟΤΕΙΝΕΤΑΙ (διαγραφή): Ευκλείδεια Διαίρεση: Δ = δ π+υ, 0 υ<δ υ<δ 18 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 31, 10 ος στοίχος από κάτω): Το μικρότερο από τα κοινά πολλαπλάσια που έχουν δύο αριθμοί λέγεται ΕΚΠ αυτών Το μικρότερο ( 0) από τα κοινά πολλαπλάσια που έχουν δύο αριθμοί ( 0) λέγεται ΕΚΠ αυτών 19 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 32, 13 ος στοίχος από πάνω): =322 ΠΡΟΤΕΙΝΕΤΑΙ (διαγραφή): =322

8 20 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 34, ολόκληρη η σελίδα και σελίδα 3, 1 ος - 9 ος στοίχος από πάνω): ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1η Ένα βράδυ τρεις φίλοι αγοράζουν μια πίτσα και την χωρίζουν σε οκτώ κομμάτια. Ο ένας έφαγε το ένα, ο δεύτερος τα τρία και ο τρίτος δύο κομμάτια από αυτά που περίσσεψαν. Μπορείς να βρεις το μέρος της πίτσας που έφαγε ο καθένας; Τι μέρος της πίτσας περίσσεψε; Αφού γνωρίζουμε ότι π.χ. ο πρώτος έφαγε το ένα κομμάτι από τα οκτώ της πίτσας, λέμε ότι έφαγε το 8 1 της πίτσας. Τότε ο δεύτερος έφαγε τα 8 3 και ο τρίτος τα 8 2 αυτής. Επομένως και οι τρεις μαζί έφαγαν 1+3+2=6 από τα οκτώ, δηλαδή τα 8 6 της πίτσας. Άρα, περίσσεψαν τα υπόλοιπα δύο κομμάτια από τα οκτώ, δηλαδή τα 8 2 της πίτσας. ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2η Παρατηρώντας το παρακάτω σχήμα, μπορείς να βρεις ποιο μέρος του μήκους του τμήματος ΑΒ είναι το μήκος του τμήματος ΑΚ; Να υπολογίσεις το μήκος του ΑΚ, αν γνωρίζουμε ότι το ΑΒ είναι 32cm; Να βρεις ζεύγη τμημάτων που το ένα να είναι: 1 3, 1 2, 2 3, 3 2, 4 3, 3 4 του άλλου. (α) Το τμήμα ΑΒ είναι χωρισμένο σε 8 ίσα μέρη, συνεπώς ένα από αυτά είναι το 1 του 8 ΑΒ και το ΑΚ θα είναι ίσο με τα 3 του ΑΒ. 8 (β) Επειδή το ΑΒ είναι 32cm, το 1 αυτού θα είναι: 1 32cm = 32 cm = 4cm Άρα το ΑΚ θα έχει μήκος: 3 4cm =12cm. (γ) Το μήκος του ΑΓ είναι το 1 του ΑΚ και το 1 του ΑΔ. Το ΑΔ είναι τα 2 του ΑΚ και το ΑΚ τα 3 του ΑΔ. Το ΑΕ είναι τα 4 3 του ΑΚ και το ΑΚ τα 3 4 του ΑΕ. ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3η Στο διπλανό σχήμα ένα τετράγωνο έχει χωριστεί, ανάλογα με το χρώμα, σε τριών ειδών μέρη. Μπορείς να βρεις τι κλάσμα του τετραγώνου είναι το καθένα μέρος του; Η λέξη «κλάσμα» προέρχεται από την αρχαία ελληνική λέξη «κλαίω ή κλω» που σημαίνει κόβω, τεμαχίζω κάτι. Το κλάσμα λοιπόν δηλώνει ότι έχουμε ένα κομμάτι δηλαδή ένα μέρος κάποιου πράγματος. Στα Μαθηματικά θεωρούμε ότι αυτό που μοιράζεται, μπορεί να χωριστεί σε ίσα μέρη. Έτσι, στα Μαθηματικά το «κλάσμα» πρέπει να δηλώνει σε πόσα ίσα μέρη χωρίσαμε το ολόκληρο (το «όλον») και πόσα από αυτά πήραμε. Στη συνέχεια θα θυμηθούμε όσα έχουμε ήδη μάθε για τα κλάσματα και θα επεκτείνουμε τις γνώσεις μας στις πράξεις των κλασμάτων. 6

9 Α.2.1. Η έννοια του κλάσματος Η λέξη «κλάσμα» προέρχεται από την αρχαία ελληνική λέξη «κλάω ή κλω» που σημαίνει κόβω, τεμαχίζω κάτι. Το κλάσμα λοιπόν δηλώνει ότι έχουμε ένα κομμάτι δηλαδή ένα μέρος κάποιου πράγματος. Στα Μαθηματικά θεωρούμε ότι αυτό που μοιράζεται, μπορεί να χωριστεί σε ίσα μέρη. Έτσι, στα Μαθηματικά το «κλάσμα» πρέπει να δηλώνει σε πόσα ίσα μέρη χωρίσαμε το ολόκληρο (το «όλον») και πόσα από αυτά πήραμε. (παρονομαστής όχι μηδέν) Στη συνέχεια θα θυμηθούμε όσα έχουμε ήδη μάθει για τα κλάσματα και θα επεκτείνουμε τις γνώσεις μας στις πράξεις των κλασμάτων. ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1η Τρεις φίλοι αγοράζουν μια πίτσα και τη χωρίζουν σε οκτώ κομμάτια. Ο ένας έφαγε το ένα κομμάτι, ο δεύτερος τα τρία και ο τρίτος δύο κομμάτια. Μπορείς να βρεις το μέρος της πίτσας που έφαγε ο καθένας; Τι μέρος της πίτσας περίσσεψε; ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2η Παρατηρώντας το παρακάτω σχήμα προσπάθησε: Να βρεις ποιο μέρος του μήκους του τμήματος ΑΒ είναι το μήκος του τμήματος ΑΚ. Να υπολογίσεις το μήκος του ΑΚ, αν γνωρίζουμε ότι το ΑΒ είναι 32cm. Να βρεις ζεύγη τμημάτων που το ένα να είναι: 1, 1, 2, 3, 4, 3 του άλλου ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3η Προσπάθησε να μοιράσεις τρεις σοκολάτες σε οκτώ παιδιά. Είναι προφανές ότι για να μοιραστούν οι τρεις σοκολάτες σε οκτώ παιδιά, πρέπει να γίνει η διαίρεση 3:8. Πρακτικά, για να γίνει το μοίρασμα αυτό, χρειάζεται πρώτα να χωριστεί μία σοκολάτα σε οκτώ (8) ίσα μέρη, ώστε κάθε κομμάτι να είναι το 1 της σοκολάτας. 8 Επειδή έχουμε τρεις (3) σοκολάτες, τελικά, το κάθε παιδί θα πάρει τα 3 8 από τις τρεις σοκολάτες. Επομένως το κλάσμα 3 8 και το πηλίκο 3:8 εκφράζουν την ίδια ποσότητα. Άρα μπορούμε να πούμε ότι το κλάσμα 3 παριστάνει το πηλίκο της διαίρεσης του αριθμητή διά του 8 παρονομαστή, δηλαδή: 3 3:8 8 =. ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 4η Στο διπλανό σχήμα ένα τετράγωνο έχει χωριστεί, ανάλογα με το χρώμα, σε τριών ειδών μέρη. Μπορείς να βρεις τι κλάσμα του τετραγώνου είναι το καθένα μέρος του; 7

10 21 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 3, ολόκληρη η σελίδα): Η λέξη «κλάσμα» προέρχεται από την αρχαία ελληνική λέξη «κλαίω ή κλω» που σημαίνει κόβω, τεμαχίζω κάτι. Το κλάσμα λοιπόν δηλώνει ότι έχουμε ένα κομμάτι δηλαδή ένα μέρος κάποιου πράγματος. Στα Μαθηματικά θεωρούμε ότι αυτό που μοιράζεται, μπορεί να χωριστεί σε ίσα μέρη. Έτσι, στα Μαθηματικά το «κλάσμα» πρέπει να δηλώνει σε πόσα ίσα μέρη χωρίσαμε το ολόκληρο (το «όλον») και πόσα από αυτά πήραμε. Στη συνέχεια θα θυμηθούμε όσα έχουμε ήδη μάθε για τα κλάσματα και θα επεκτείνουμε τις γνώσεις μας στις πράξεις των κλασμάτων. Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε Όταν ένα μέγεθος ή ένα σύνολο ομοειδών αντικειμένων χωρισθεί σε ν ίσα μέρη, το κάθε ένα από αυτά ονομάζεται νιοστό και συμβολίζεται με το ν 1. Κάθε τμήμα του μεγέθους ή του συνόλου αντικειμένων, που αποτελείται από κ τέτοια ίσα κ μέρη, συμβολίζεται με το κλάσμα και ν διαβάζεται «κάπα νιοστά». Η έννοια του κλάσματος επεκτείνεται και στην περίπτωση που ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή. Τότε το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το 1. Κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να έχει τη μορφή κλάσματος με παρονομαστή το 1. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1. Μια σοκολάτα ζυγίζει 120 gr και έχει 6 ίσα κομμάτια. (α) Ποιο μέρος της σοκολάτας είναι το κάθε κομμάτι; (β) Πόσα κομμάτια πρέπει να κόψουμε για να πάρουμε 40 gr; Λύση: (α) Το κάθε κομμάτι είναι το 1 της σοκολάτας. 6 1 = κ κ = κ = ν ν ν Είναι 3 8 >1 διότι 8> =, 1 =, 21 = 1 1 ν (β) Το βάρος κάθε κομματιού θα είναι το 1 6 του βάρους της σοκολάτας, δηλαδή 1 120gr= 120 gr=20gr. 6 6 Άρα τα 40gr είναι τα 2 6 της σοκολάτας. ηλαδή, πρέπει να κόψουμε 2 κομμάτια για να πάρουμε 40gr. 2. Το καμπαναριό μιας εκκλησίας έχει ύψος 20m, ενώ η εκκλησία έχει ύψος τα 3 του ύψους του καμπαναριού. Ποιο είναι το ύψος της εκκλησίας; Λύση: Το του ύψους του καμπαναριού είναι 20m, επομένως το 1 αυτού θα είναι 1 20m = 20 m = 4m. Τότε τα 3 θα είναι 3 4m = 12m. Άρα το ύψος της εκκλησίας θα είναι 12m. 8

11 Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε Το σύμβολο ν 1 (ν φυσικός, 0) που εκφράζει το ένα από τα ν ίσα μέρη, στα οποία χωρίζεται μία ποσότητα, ονομάζεται κλασματική μονάδα. Κλάσμα ή κλασματικός αριθμός ονομάζεται κάθε αριθμός κ ν όπου κ, ν φυσικοί αριθμοί και ν 0. Το κλάσμα κ ν εκφράζει τα κ μέρη από τα ν ίσα μέρη στα οποία έχει χωριστεί μία ποσότητα. Γενικά: κ = κi 1, όπου κ, ν φυσικοί αριθμοί και ν 0. ν ν Κάθε κλάσμα παριστάνει και το πηλίκο της διαίρεσης του αριθμητή διά του παρονομαστή. Γενικά ισχύει: κ = κ : ν, όπου κ, ν φυσικοί αριθμοί και ν 0. ν Κάθε φυσικός αριθμός κ μπορεί να έχει τη μορφή κλάσματος κ με παρονομαστή το 1, γιατί κ = κ :1=. 1 Η έννοια του κλάσματος επεκτείνεται και στην περίπτωση που ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή. Τότε το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το 1. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1. Το καμπαναριό μιας εκκλησίας έχει ύψος 20m, ενώ η εκκλησία έχει ύψος τα 3 του ύψους του καμπαναριού. Ποιο είναι το ύψος της εκκλησίας; Λύση: Όλο το ύψος του καμπαναριού, δηλαδή τα, είναι 20m, επομένως το 1 αυτού θα είναι 1 20m= 20 m=4m. Τότε τα 3 θα είναι 3 4m=12m. Άρα το ύψος της εκκλησίας θα είναι 12m. 1 = :8 8 = =, 1 =, 21 = Είναι 3 8 >1 διότι 8>3 22 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 36, αρίθμηση 1 ου και 11 ου στοίχου και 9 ος 10 ος στοίχος από πάνω): 3. Μια δεξαμενή πετρελαίου σε μια πολυκατοικία, χωράει 2000 lt. Ο διαχειριστής σε μια μέτρηση βρήκε ότι ήταν γεμάτη κατά τα 3. Πόσα λίτρα πετρέλαιο είχε η δεξαμενή; 4 Για να βρούμε την τιμή του μέρους ξεκινάμε από την τιμή του όλου που είναι η τιμή της μονάδας. 2. Μια δεξαμενή πετρελαίου σε μια πολυκατοικία, χωράει 2000 lt. Ο διαχειριστής σε μια μέτρηση βρήκε ότι ήταν γεμάτη κατά τα 3. Πόσα λίτρα πετρέλαιο είχε η δεξαμενή; 4 Ο παραπάνω τρόπος λύσης ονομάζεται αναγωγή στη μονάδα και μπορεί να εφαρμοστεί στην περίπτωση που είναι γνωστή η τιμή του όλου και ζητείται η τιμή του μέρους. Άλλος τρόπος λύσης είναι ο πολλαπλασιασμός του αριθμού που εκφράζει το μέρος επί τον αριθμό που εκφράζει το όλον (π.χ. 3 i 2.000lt = 1.00lt ). 4 9

12 23 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 36, αρίθμηση 1 ου και 11 ου στοίχου και 9 ος 10 ος στοίχος από πάνω): 4. Tα 3 του κιλού τυρί κοστίζουν 27. Πόσο κοστίζουν τα 8 του κιλού; 9 3. Tα 3 του κιλού ενός μπαχαρικού κοστίζουν 27. Πόσο κοστίζουν τα 8 του κιλού; 9 24 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 38, ος στοίχος από κάτω): Το κλάσμα εκείνο που δεν μπορεί να απλοποιηθεί (δεν υπάρχει κοινός διαιρέτης αριθμητή και παρονομαστή) λέγεται ανάγωγο. Το κλάσμα εκείνο που δεν μπορεί να απλοποιηθεί (δεν υπάρχει άλλος κοινός διαιρέτης αριθμητή και παρονομαστή εκτός από τη μονάδα) λέγεται ανάγωγο. 2 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 41, σχήμα 2 ης δραστηριότητας): 26 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 42, 12 ος 19 ος στοίχος από πάνω): 3. Να τοποθετηθούν στην ευθεία των αριθμών τα κλάσματα: (α) 2 και (β) 8. 3 Λύση: (α) Για το κλάσμα 2 3 γνωρίζουμε ότι: 0 < 2 < 3 =1. ηλαδή βρίσκεται μεταξύ των φυσικών αριθμών 0 και 1. Επειδή 3 3 ο παρονομαστής είναι ο αριθμός 3, η απόσταση των φυσικών 0 και 1 πρέπει να χωριστεί σε 3 ίσα μέρη. Το σημείο Β απέχει από το Ο απόσταση ίση με τα 3 2 του ΟΑ. Έτσι, το 3 2 τοποθετείται στο σημείο Β. (β) Για το κλάσμα 8 έχουμε ότι: 1 = < 8 3. Να τοποθετηθεί στην ευθεία των αριθμών το κλάσμα 8. Λύση: Για το κλάσμα 8 έχουμε ότι: = < < = 2. < 10 = 2. Καθένα, από τα τμήματα ΟΑ και 10

13 27 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 43, 3 ος στοίχος από πάνω): 1. Συμπλήρωσε τα παρακάτω κενά: (α) Για να συγκρίνουμε δύο κλάσματα πρέπει αυτά να είναι (β) Ένα κλάσμα είναι: (i) ίσο με 1, αν ο αριθμητής του είναι.... τον παρονομαστή, (ii) μικρότερο του 1, αν ο αριθμητής του είναι.. τον παρονομαστή, (iii) μεγαλύτερο του 1, αν ο αριθμητής του είναι.. τον παρονομαστή. α β (γ) Αν >, τότε.. γ γ ΠΡΟΤΕΙΝΕΤΑΙ (διαγραφή και αντικατάσταση): 1. Συμπλήρωσε τα παρακάτω κενά: (α) Ένα κλάσμα είναι: (i) ίσο με 1, αν ο αριθμητής του είναι.... τον παρονομαστή, (ii) μικρότερο του 1, αν ο αριθμητής του είναι.. τον παρονομαστή, (iii) μεγαλύτερο του 1, αν ο αριθμητής του είναι.. τον παρονομαστή. α β (β) Αν >, τότε.. γ γ 28 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 4, 7 ος στοίχος από πάνω): ΠΡΟΤΕΙΝΕΤΑΙ: Να προστεθεί: Ισχύουν όλες οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών στα κλάσματα 29 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 4, 7 ος στοίχος από πάνω): 3 3. Να υπολογισθεί η διαφορά και το άθροισμα των κλασμάτων 12 και Λύση: Άρα: 3 3 = = 1 3 και = = = = = 21. Επειδή 21 > 1 μπορεί να υπολογιστεί η διαφορά: = 6 : 6 60 : 6 = 10 1 και = = = 36 = Να υπολογισθεί η διαφορά και το άθροισμα των κλασμάτων 12 και Λύση: 3 Άρα: 12 = 12 = 2 60 και 7 20 = = Επειδή 2 > :12 3 = 60 :12 μπορεί να υπολογιστεί η διαφορά: : 4 1 = = = = : 4 1 και + 7 = = 46 = 46 : 2 = : η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 4, 1 ος στοίχος από κάτω): = = + =2+ 3 = = 2 i 4 3 = 2 i = 2i = 2i1 + 3 = =

14 31 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 46, 3 ος στοίχος από πάνω): Λύση: 1 = = = = = = Λύση: i = = 3 + = + = + = = η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 46, 4 ος 8 ος στοίχος από πάνω): 6. Την πρώτη ημέρα ένας κηπουρός κούρεψε το γκαζόν στο 1 2 μιας στρογγυλής πλατείας. Την δεύτερη ημέρα, εξαιτίας μιας δυνατής βροχής, κατάφερε να κουρέψει μόνο το 1 3. Λύση: Για να βρούμε το μέρους της πλατείας που κουρεύτηκε, στο τέλος της δεύτερης ημέρας, 6. Την πρώτη ημέρα ένας κηπουρός κούρεψε το γκαζόν στο 1 2 μιας στρογγυλής πλατείας. Την δεύτερη ημέρα, εξαιτίας μιας δυνατής βροχής, κατάφερε να κουρέψει μόνο το 1 του αρχικού γκαζόν. Ποιο μέρος 3 από το γκαζόν της πλατείας κουρεύτηκε μέχρι και το τέλος της δεύτερης ημέρας; Λύση: Για να βρούμε ποιο μέρος της πλατείας κουρεύτηκε, στο τέλος της δεύτερης ημέρας,.. 33 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 47, 8 ος 11 ος στοίχος από κάτω): Η χρονική αξία τoυ πρώτου και δεύτερου συμβόλου είναι και αντίστοιχα, ενώ κάθε ένα από τα σύμβολα (νότες), που είναι 4 στην αρχή καθορίζει πως κάθε μέτρο, κάθε διάστημα, δηλαδή, το οποίο περιέχει μία ενωμένα, έχουν εξ ορισμού αξία 1 8. Το κλάσμα 4 μουσική φράση, πρέπει να περιέχει σύμβολα (νότες) συνολικής αξίας 4 4. Πράγματι αριθμός κλάσμα καθορίζει το ρυθμό και επιτρέπει να εκτελείται ένα μουσικό κομμάτι συγχρονισμένα από τους μουσικούς. ΠΡΟΤΕΙΝΕΤΑΙ να γίνουν πιο μεγάλα τα κλάσματα που υπάρχουν μέσα στο κείμενο. Η χρονική αξία του πρώτου και δεύτερου συμβόλου είναι 1 4 και = 4 4. Με αυτόν τον τρόπο ο αντίστοιχα, ενώ κάθε ένα από τα σύμβολα (νότες), που είναι ενωμένα, έχουν εξ ορισμού αξία 1 8. Το κλάσμα 4 4 στην αρχή καθορίζει πως κάθε μέτρο, κάθε διάστημα, δηλαδή, το οποίο περιέχει μία μουσική φράση, πρέπει να περιέχει σύμβολα (νότες) συνολικής αξίας 4. Πράγματι = 4. Με αυτόν τον τρόπο ο αριθμός κλάσμα καθορίζει το ρυθμό και επιτρέπει να εκτελείται ένα μουσικό κομμάτι συγχρονισμένα από τους μουσικούς. 34 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 47, 10 ος στοίχος από πάνω): 1. Αντιστοίχησε σε κάθε πρόσθεση το σωστό αποτέλεσμα:

15 1. Αντιστοίχησε σε κάθε πρόσθεση το σωστό αποτέλεσμα: η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 48, 3 ος 11 ος στοίχος από πάνω): Ένας πεζόδρομος στρώθηκε με πλάκες. Τα 7 από τις πλάκες είναι χρωματιστές. Από αυτές τα 2 3 είναι κόκκινες. Ο πεζόδρομος έχει συνολικά 21 πλάκες, επομένως τα 7 αυτού είναι 1 πλάκες. Από αυτές τα 2 3, δηλαδή οι 10 είναι κόκκινες. Άρα οι κόκκινες είναι τα Παρατηρούμε, όμως, ότι οι κόκκινες πλάκες είναι τα 2 3 των του συνόλου. 7 2 Συνεπώς, θα έχουμε ότι είναι 10 2, δηλαδή: = 10 2 = Ένας πεζόδρομος στρώθηκε με πλάκες. Τα 7 από τις πλάκες είναι χρωματιστές. Από τις χρωματιστές τα 2 3 είναι κόκκινες. Ποιο είναι το μέρος όλου του πεζόδρομου που καταλαμβάνουν οι κόκκινες πλάκες; ( ΙΑΓΡΑΦΕΤΑΙ ΤΟ ΣΚΕΦΤΟΜΑΣΤΕ ΚΑΙ ΑΛΛΑΖΕΙ ΤΟ ΣΧΗΜΑ) του συνόλου. 36 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 48, 1 ος 6 ος στοίχος από κάτω): Ισχύουν όλες οι ιδιότητες των πράξεων των φυσικών αριθμών στα κλάσματα. Το 1 δεν μεταβάλλει το γινόμενο Αντιμεταθετική Προσεταιριστική Επιμεριστική Ισχύουν όλες οι ιδιότητες του πολλαπλασιασμού των φυσικών αριθμών στα κλάσματα. ( ΙΑΓΡΑΦΟΝΤΑΙ ΟΛΑ ΤΑ ΑΛΛΑ) 13

16 37 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 49, μετά τον 4 ο στοίχο από πάνω): ΠΡΟΤΕΙΝΕΤΑΙ: Να προστεθεί: Μπορεί να βρεθεί το γινόμενο με πιο απλό τρόπο; 38 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 49, 1 ος στοίχος από κάτω): 9. Όμοια: (α)( ) 83, (β)( ) 83, (δ) Όμοια: (α)( ) 83, (β)( ) 83, (γ) η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 0, σχήμα δραστηριότητας): ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔ είναι 8 1 m2. Προσπάθησε να βρεις το πλάτος α του ορθογωνίου. ΠΡΟΤΕΙΝΕΤΑΙ (διαγραφή). 40 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 1, 3 ος στοίχος από κάτω): Στον πάπυρο του Ριντ, βρήκαμε πώς οι Αρχαίοι Αιγύπτιοι υπολόγιζαν τα 2 3 ενός οποιουδήποτε κλάσματος με αριθμητή το 1 και παρονομαστή έναν περιττό αριθμό. Για παράδειγμα τα 2 3 του 1 7 θα είναι: i 3 7 = = i i 42 Εφάρμοσε τον παραπάνω κανόνα για τα κλάσματα 1, 1 9, 1 13 και επαλήθευσε τα αποτελέσματα. 41 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 6, 1 ος στοίχος από πάνω): Α.3.1. Δεκαδικά κλάσματα Δεκαδικοί αριθμοί Διάταξη δεκαδικών αριθμών Στρογγυλοποίηση Α.3.1. Δεκαδικά κλάσματα Δεκαδικοί αριθμοί Διάταξη δεκαδικών αριθμών Στρογγυλοποίηση 42 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 6, 1 ος στοίχος από πάνω): ΠΡΟΤΕΙΝΕΤΑΙ (να προστεθεί): Κάθε δεκαδικό κλάσμα γράφεται ως π.χ. 0,3, 8,2, 0,03 και 0,1004 αντίστοιχα δεκαδικός αριθμός με τόσα δεκαδικά ψηφία όσα μηδενικά έχει ο παρονομαστής του. 14

17 43 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 61, 3 ος στοίχος από πάνω): (0,11) 2 = 0,11 2 = 0,1322 3x2 = 6 (0,11) 2 = 0,11 2 = 0, x2 = 6 44 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 63, 8 ος στοίχος από κάτω): 3. Να κάνεις τις ακόλουθες πράξεις: (α) , (β) (γ) ΠΡΟΤΕΙΝΕΤΑΙ (διαγραφή). 4 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 63, 6 ος στοίχος από κάτω): Αναζήτησε κατάλληλες πηγές για να απαντήσεις στις παρακάτω ερωτήσεις: ΠΡΟΤΕΙΝΕΤΑΙ (αντικατάσταση αλλαγή θέσης): Αναζήτησε κατάλληλες πηγές για να απαντήσεις στις παρακάτω ερωτήσεις: 46 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 64, 20 ος στοίχος από πάνω και το σχήμα της δραστηριότητας): ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2η Η μάζα του κυπέλλου του σχήματος να μετρηθεί με μονάδα μέτρησης τα 0g, τα 100g, τα 00g και το 1Kg. ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2η Η μάζα του κυπέλλου του σχήματος να μετρηθεί με μονάδα μέτρησης τα 0g, τα 100g, τα 00g και το 1Kg. 47 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 6, 4 ος στοίχος από κάτω): Για τη μέτρηση του όγκου χρησιμοποιούμε και το dm 3 που ονομάζεται και λίτρο (lt). Το dm 3 ονομάζεται και λίτρο (lt) και συνήθως χρησιμοποιείται για τη μέτρηση όγκου υγρών. 1

18 48 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 67, 1 ος και 4 ος στοίχος από πάνω): 1. Να βρεθεί η περίμετρος του οικοπέδου του σχήματος: (α) σε μέτρα, (β) σε εκατοστά και (γ) σε χιλιόμετρα. Λύση: (α) Η περίμετρος του οικοπέδου, σε μέτρα, είναι ίση. ΠΡΟΤΕΙΝΕΤΑΙ (διαγραφή): 2. Να βρεθεί η περίμετρος του σχήματος: (α) σε μέτρα, (β) σε εκατοστά και (γ) σε χιλιόμετρα. Λύση: (α) Η περίμετρος, σε μέτρα, είναι ίση 49 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 69, μετά τον 4 ο στοίχο από πάνω): Δεκαδικό κλάσμα λέγεται το κλάσμα που έχει παρονομαστή μια δύναμη του 10. Δεκαδικό κλάσμα λέγεται το κλάσμα που έχει παρονομαστή μια δύναμη του 10 και μπορεί να γραφεί ως δεκαδικός αριθμός με τόσα δεκαδικά ψηφία όσα μηδενικά έχει ο παρονομαστής του. 0 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 73, 9 ος 11 ος στοίχος από πάνω): Παρατηρούμε ότι μπορούμε να διατυπώσουμε μια πρόταση με τη βοήθεια αριθμών και γραμμάτων, ενώ για να λύσουμε ένα πρόβλημα μπορούμε να δημιουργήσουμε μια ισότητα με γράμματα και αριθμούς. Τέτοιες ισότητες τις λέμε εξισώσεις. Παρατηρούμε ότι μπορούμε να διατυπώσουμε κάποιες προτάσεις με τη βοήθεια αριθμών και γραμμάτων, ενώ για να λύσουμε ορισμένα προβλήματα μπορούμε να δημιουργήσουμε μια ισότητα με γράμματα και αριθμούς. Τέτοιες ισότητες τις λέμε εξισώσεις. 1 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 73, 10 ος και 14 ος στοίχος από κάτω): Βάση των ορισμών των πράξεων οι λύσεις των εξισώσεων: x+α=β, x α=β, α x=β, α x=β, x:α=β και α:x=β είναι: x=β α, x=β+α, x=α β, x=β:α, x=β α και x=α:β. Βάση των ορισμών των πράξεων η εξίσωση: x+α=β έχει λύση την x=β α, -//- x α=β -//- x=β+α, -//- α x=β -//- x=α β, -//- α x=β -//- x=β:α, -//- x:α=β -//- x=β α, -//- α:x=β -//- x=α:β. 2 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 74, 14 ος στοίχος από κάτω): 9 α = 1 2 α = 1 Η εξίσωση: x+= 12 έχει λύση την x= 12 ή x=7 -//- y 2= 3 -//- y= 3+2 ή y= -//- 10 z= 1 -//- z= 10 1 ή z=9 -//- 7 φ= 14 -//- φ= 14:7 ή φ=2 -//- ω:= 4 -//- ω= 4 ή ω=20 -//- 24:ψ= 6 -//- ψ= 24:6 ή ψ=4 16

19 3 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 7, 12 ος στοίχος από πάνω): Ένα κατάστημα για να προσελκύσει πελατεία ανακοινώνει ότι ο πελάτης που θα αγοράσει τρία ίδια πακέτα προσφοράς ενός συγκεκριμένου προϊόντος θα έχει έκπτωση. Αν και τα τρία πακέτα κοστίζουν, με την έκπτωση, συνολικά 8, ποια είναι η αρχική αξία του κάθε πακέτου; Λύση: Έστω x η αρχική αξία του κάθε πακέτου. Τότε τα τρία πακέτα κοστίζουν 3 x και ο πελάτης που θα τα αγοράσει θα πληρώσει 3 x ή 8, δηλαδή είναι: 3 x = 8 ή 3 x = 8+ ή 3 x = 90 ή x = 90:3 ή x = 30. Άρα η αρχική αξία κάθε πακέτου είναι 30. Να περιγράψεις κάποιο πρόβλημα που να λύνεται με τη βοήθεια της εξίσωσης: 2x+800=1000 Λύση: Για παράδειγμα τα δύο παρακάτω προβλήματα περιγράφονται από την εξίσωση αυτή. Με τι ισούται η μία πλευρά του ορθογωνίου που έχει περίμετρο 1000m και του οποίου η άλλη πλευρά είναι 400m; Πόσο ζυγίζει καθένα από τα δύο κιβώτια, με τα οποία είναι φορτωμένο ένα αυτοκίνητο, που έχει βάρος 800kg, όταν η πλάστιγγα που ανέβηκε δείχνει 1000kg; Προσπάθησε να διατυπώσεις κι άλλα προβλήματα που λύνονται με τη παραπάνω εξίσωση; 4 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 76, 4 ος στοίχος από πάνω): 1. Η Χριστίνα ξόδεψε τα μισά της χρήματα για να αγοράσει 2 τετράδια και μαρκαδόρους. Αν είναι γνωστό ότι κάθε τετράδιο στοιχίζει 1 και οι μαρκαδόροι 3, ποιο είναι το ποσό των χρημάτων που είχε η Χριστίνα πριν από τις αγορές αυτές; 1. Η Χριστίνα ξόδεψε τα μισά της χρήματα για να αγοράσει 2 τετράδια και μαρκαδόρους. Αν είναι γνωστό ότι κάθε τετράδιο στοιχίζει 1 και όλοι οι μαρκαδόροι 3, ποιο είναι το ποσό των χρημάτων που είχε η Χριστίνα πριν από τις αγορές αυτές; 17

20 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 76, 11 ος στοίχος από κάτω): «ποσό νερού που καταναλώνεται» = «ποσό νερού δεξαμενής» ή αναλυτικότερα: ΠΡΟΤΕΙΝΕΤΑΙ να γραφεί με άλλη γραμματοσειρά. 6 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 77, 1 ος - 19 ος στοίχος από πάνω): 3. Τα οικόπεδα, που διαθέτει ένα μεσιτικό γραφείο, έχουν την ίδια τιμή και είναι όλα ορθογώνια παραλληλόγραμμα, με σταθερή περίμετρο 160m. Ποιο από αυτά συμφέρει να επιλέξουμε για αγορά; Λύση:Έστω το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓ με διαστάσεις α και β. Τότε η περίμετρος θα είναι: α +α + β + β ή 2α + 2β ή 2(α+β) Γνωρίζουμε, όμως, ότι: 2(α + β) = 160 Άρα θα είναι: α + β = 160:2 ή α + β = 80 Το πιο συμφέρον για αγορά είναι το οικόπεδο με το μεγαλύτερο δυνατό εμβαδόν. Το εμβαδόν του ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι: Ε = α β Φτιάχνουμε ένα πίνακα και δίνουμε διάφορες τιμές στα α και β: Παρατηρούμε ότι το ορθογώνιο με το μεγαλύτερο εμβαδόν είναι το τετράγωνο με διαστάσεις ίσες α = β = 40m. 3. Ένας εργάτης για μια εργασία πέντε ημερών συμφώνησε να πάρει προκαταβολή το μισό της αμοιβής του και το υπόλοιπο αυτής να το πληρωθεί όταν τελειώσει η εργασία. Αν η προκαταβολή ήταν 180, ποιο ήταν το μεροκάματό του; Λύση: Έστω ότι είναι x το μεροκάματο του εργάτη. Τότε η αμοιβή του εργάτη για την πενθήμερη εργασία θα είναι x και το μισό αυτής θα είναι x i. Συνεπώς η εξίσωση που περιγράφει το πρόβλημα θα 2 είναι: x i = ή i x = 180 ή x = 180 : ή x = 180i ή x = ή x = η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 78, ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ): 1. Να βρεις έναν αριθμό που έχει τέσσερα ίδια ψηφία και διαιρείται με το Η διαφορά της ηλικίας της κόρης από την μητέρα της είναι 2 χρόνια. Αν η κόρη είναι 18 ετών, πόσων ετών είναι η μητέρα; Αν, από μια ποσότητα κρασιού, αφαιρέσουμε 18 lt χωράει σε δοχεία των 7 lt. Αν γνωρίζεις ότι η ποσότητα είναι μικρότερη από 100 lt και μεγαλύτερη από 90 lt, πόσα lt είναι η αρχική ποσότητα του κρασιού; Πόσα δοχεία θα χρησιμοποιήσουμε; Ένας υπάλληλος αποταμιεύει κάθε μήνα το 1 1 του μισθού του. Αν αυξηθεί κατά το 1 ο μισθός του, ποιο μέρος του νέου του μισθού πρέπει να αποταμιεύει, ώστε να μην αυξηθεί το ποσό που αποταμιεύει κάθε μήνα; 13. Αυτή τη χρονιά η ηλικία ενός ανθρώπου είναι πολλαπλάσιο του 7 και την επόμενη χρονιά είναι πολλαπλάσιο του 9. Ποια είναι η ηλικία του; 18

21 ΠΡΟΤΕΙΝΕΤΑΙ: 1. Η διαφορά της ηλικίας της κόρης από την μητέρα της είναι 2 χρόνια. Αν η κόρη είναι 18 ετών, πόσων ετών είναι η μητέρα; Η ηλικία ενός πατέρα είναι τετραπλάσια από την ηλικία του γιου του. Οι δύο ηλικίες μαζί συμπληρώνουν μισό αιώνα. Πόσο χρονών είναι ο καθένας; Από μια ποσότητα κρασιού, αφαιρούμε 18lt. Η υπόλοιπη ποσότητα χωράει σε δοχεία των 7lt. Αν γνωρίζεις ότι η ποσότητα είναι μικρότερη από 100lt και μεγαλύτερη από 90lt, πόσα lt είναι η αρχική ποσότητα του κρασιού; Πόσα δοχεία θα χρησιμοποιήσουμε; Ένα κατάστημα προσφέρει τους υπολογιστές με έκπτωση 20%. Ο Γιώργος πήγε με τον πατέρα του και αγόρασαν έναν υπολογιστή και ένα κινητό τηλέφωνο αξίας 230 και πλήρωσαν συνολικά Ποια ήταν η αρχική αξία του υπολογιστή; 13. Αυτή τη χρονιά η ηλικία ενός ανθρώπου είναι πολλαπλάσιο του 7 και την επόμενη χρονιά είναι πολλαπλάσιο του 9. Αν γνωρίζουμε ότι δεν είναι αιωνόβιος ποια είναι η ηλικία του; 8 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 83, 1 ος και 2 ος στοίχος από κάτω): Να μελετήσεις τα εκλογικά αποτελέσματα στις τέσσερις τελευταίες εθνικές εκλογικές αναμετρήσεις στη χώρα μας και να υπολογίσεις, για κάθε μία από αυτές: (α) Τα ποσοστά των ψηφισάντων, (β) τα ποσοστά των έγκυρων ψηφοδελτίων, των άκυρων και των λευκών, (γ) των ποσοστών που έλαβε κάθε κόμμα σε όλη την επικράτεια της χώρας και (δ) των ποσοστών που έλαβε κάθε κόμμα σε κάθε φύλο χωριστά. ΠΡΟΤΕΙΝΕΤΑΙ (διαγραφή και αντικατάσταση): Να μελετήσεις τα εκλογικά αποτελέσματα στις τέσσερις τελευταίες εθνικές εκλογικές αναμετρήσεις στη χώρα μας και να υπολογίσεις, για κάθε μία από αυτές: (α) Τα ποσοστά των ψηφισάντων, (β) τα ποσοστά των έγκυρων ψηφοδελτίων, των άκυρων και των λευκών και (γ) τα ποσοστά που έλαβε κάθε κόμμα σε όλη την επικράτεια της χώρας. 9 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 84, 7 ος στοίχος από κάτω): 11. Μια αύξηση πληθυσμού από.000 στις είναι μια αύξηση 100% 12. Μια αύξηση 100, σε ένα είδος, που κόστιζε 400 είναι μια αύξηση, κατά 1% ΠΡΟΤΕΙΝΕΤΑΙ να διαγραφεί η 11 η ερώτηση: 11. Μια αύξηση 100, σε ένα είδος, που κόστιζε 400 είναι μια αύξηση, κατά 1% 60 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 91, 9 ος 16 ος στοίχος από πάνω): Λόγος δύο ομοειδών μεγεθών, που εκφράζονται με την ίδια μονάδα μέτρησης, είναι το πηλίκο των μέτρων τους. Η ισότητα λόγων ονομάζεται αναλογία. ύο σχήματα λέγονται όμοια όταν το ένα αποτελεί σμίκρυνση ή μεγέθυνση του άλλου. Ο λόγος της απόστασης δύο σημείων μιας εικόνας προς την πραγματική απόσταση των δύο αντίστοιχων σημείων του αντικειμένου, ονομάζεται κλίμακα Το πηλίκο δύο αριθμών λέγεται και λόγος των αριθμών αυτών. Η ισότητα λόγων ονομάζεται αναλογία. Ο λόγος της απόστασης δύο σημείων μιας εικόνας ενός αντικειμένου προς την απόσταση των δύο αντίστοιχων σημείων του ιδίου αντικειμένου, ονομάζεται κλίμακα. ύο σχήματα λέγονται όμοια όταν το ένα αποτελεί σμίκρυνση ή μεγέθυνση του άλλου. (π.χ. στην παραπάνω δραστηριότητα το ΑΒΓ είναι μεγέθυνση του ΕΖΘΗ με λόγο 2:1) 19

22 61 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 92, 12 ος στοίχος από πάνω): 3. Σε μια φωτογραφία το ύψος ενός ανθρώπου είναι 4cm, ενώ το πραγματικό του ύψος είναι 1,76m. Πόσο έχουν σμικρυνθεί όλα τα αντικείμενα της φωτογραφίας; 3. Σε μια φωτογραφία το ύψος ενός ανθρώπου είναι 4cm, ενώ το πραγματικό του ύψος είναι 1,76m. Πόσο έχει σμικρυνθεί η εικόνα του ανθρώπου στη φωτογραφία; 62 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 93, 3 ος ος στοίχος από πάνω): (α) Το τετράγωνο Α, με κλίμακα 1:9 (β) Το παραλληλόγραμμο Β, με κλίμακα 1:12 (γ) Το τρίγωνο Γ, με κλίμακα 2:7 (α) Το τετράγωνο Α, με κλίμακα 9:1 (β) Το παραλληλόγραμμο Β, με κλίμακα 12:1 (γ) Το τρίγωνο Γ, με κλίμακα 7:1 63 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 93, 9 ος στοίχος από πάνω): 3. Να υπολογίσεις τις απ ευθείας αποστάσεις των πόλεων που συνδέονται με αεροπορική 3. Να υπολογίσεις μερικές από τις απ ευθείας αποστάσεις των πόλεων που συνδέονται με αεροπορική.. 64 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 106, 3 ος και 12 ος στοίχος από πάνω): Ξεκινούν ταυτόχρονα από την Αθήνα: Το τέλος της διαδρομής είναι η πόλη της Χρυσούπολης Καβάλας, που απέχει 600Km. Ξεκινούν ταυτόχρονα από μία πόλη: Το τέλος της διαδρομής είναι μία άλλη πόλη, που απέχει 600Km, σε ευθεία γραμμή από την αφετηρία. 6 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 107, ος και 6 ος στοίχος από πάνω): ΠΡΟΤΕΙΝΕΤΑΙ (αντικατάσταση +1 επιπλέον στήλη): x y 66 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 107, 1 ος - ος στοίχος από κάτω): 20

23 ΠΡΟΤΕΙΝΕΤΑΙ (πρόσθεση διαγράμματος, χωρίς αριθμούς, από την επόμενη σελίδα): Στην περίπτωση που το α=1 τα x και y είναι αντίστροφοι αριθμοί. Τα σημεία που παριστούν τα ζεύγη (x,y) βρίσκονται σε μία καμπύλη γραμμή. Η καμπύλη αυτή ονομάζεται υπερβολή. Η υπερβολή δεν τέμνει ποτέ τους ημιάξονες Οx και Οy, διότι οι συντεταγμένες των σημείων της δεν παίρνουν ποτέ την τιμή η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 108, ΤΟ ΣΧΗΜΑ ΣΤΗ ΛΥΣΗ ΤΟΥ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΟΣ): 68 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 112, 22 ος στοίχος από πάνω): 6. Συμπλήρωσε τον διπλανό πίνακα ανάλογων ποσών x y η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 113, 20 ος και 31 ος στοίχος από πάνω): Να γνωρίσουν ότι η διαφορά α-β ορίζεται ως η μοναδική λύση της εξίσωσης β+x=α, δηλαδή ότι ισχύει η ισοδυναμία: β+x=α x=α-β Να γνωρίζουν ότι το πηλίκο α:β ορίζεται ως η μοναδική λύση της εξίσωσης β x=α, δηλαδή ότι ισχύει η ισοδυναμία: β x=α x=α:β ΠΡΟΤΕΙΝΕΤΑΙ (διαγραφή): Να γνωρίσουν ότι η διαφορά α-β ορίζεται ως η μοναδική λύση της εξίσωσης β+x=α Να γνωρίζουν ότι το πηλίκο α:β ορίζεται ως η μοναδική λύση της εξίσωσης β x=α 70 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 116, 2 ος - ος στοίχος από πάνω): Αν θεωρήσουμε αριστερά της αρχής Ο του ημιάξονα Οx των αριθμών, τον αντικείμενο αυτού ημιάξονα Οx, θα έχουμε τη δυνατότητα, με αυτόν τον τρόπο, να παραστήσουμε όλους τους ρητούς αριθμούς. Αν θεωρήσουμε αριστερά της αρχής Ο του ημιάξονα Οx των αριθμών, τον αντικείμενο αυτού ημιάξονα Οx, μπορούμε να παραστήσουμε τους αρνητικούς αριθμούς σε συμμετρικά σημεία, ως προς Ο, των αντιστοίχων σημείων που παριστάνουν τους θετικούς αριθμούς. Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να βρούμε σημεία που να παριστάνουν κλασματικούς ή δεκαδικούς αριθμούς. 21

24 71 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 117, 10 ος και 11 ος στοίχος από κάτω): 4. Στα ζεύγη αριθμών που ακολουθούν να βρεις ποιοι αριθμοί είναι ομόσημοι και ποιοι είναι ετερόσημοι: (α) 3 και +3, (β) 0 και, (γ) 2 και 4, (δ) 7 και +9, (ε) 2 και 1, (στ) 17 και 20, (ζ) 9 και 3,2 (η) 10, και 11, (θ) 0 και 100, (ι) +6,7 και +12,3. 4. Στα ζεύγη αριθμών που ακολουθούν να βρεις ποιοι αριθμοί είναι ομόσημοι και ποιοι είναι ετερόσημοι: (α) 3 και +3, (β) 2 και, (γ) 2 και 4, (δ) 7 και +9, (ε) 2 και 1, (στ) 17 και 20, (ζ) 9 και 3,2 (η) 10, και 11, (θ) 3 και 100, (ι) +6,7 και +12,3. 72 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 122, 6 ος στοίχος από πάνω): 22

25 73 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 122, 1 ος - 4 ος στοίχος από κάτω [παραδείγματα]): (+8,)+(+6,2) = +14,7 (-8,)+(-6,2) = -14,7 (+8,)+(-6,2) = +2,3 (-8,)+(+6,2) = +2,3 23

26 74 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 123, ος και 6 ος στοίχος από πάνω [παραδείγματα]): (+1,) + ( 2,3) = 0,8 ( 2,3) + (+1,) = 0,8 Αντιμεταθετική ιδιότητα (Μπορούμε να αλλάζουμε τη σειρά των δύο προσθετέων ενός αθροίσματος) ( 1,4) + [(+2,7) + ( 3,1)] = ( 1,4) + ( 0,4) = 1,8 [( 1,4)+ (+2,7)] + ( 3,1) = (+1,3) + ( 3,1) = 1,9 Προσεταιριστική ιδιότητα (+1,) + 0 = +1, 0 + ( 2,3) = 2,3 Το άθροισμα ενός ρητού με το μηδέν ισούται με τον ίδιο τον ρητό (+ 4 9 ) + ( 4 9 ) = 0 ή ( 4 9 ) + (+ 4 9 ) = 0 Το άθροισμα δύο αντίθετων αριθμών είναι μηδέν. 24

27 7 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 123, 11 ος και 12 ος στοίχος από πάνω): Το 0 όταν προστεθεί σε ένα ρητό δεν τον μεταβάλει Το άθροισμα ενός ρητού αριθμού με το μηδέν ισούται με τον ίδιο τον αριθμό. 76 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 126, ΤΟ ΣΧΗΜΑ ΤΗΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ): ΠΡΟΤΕΙΝΕΤΑΙ (αντικατάσταση το +20 με το +10): 2

28 77 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 130, 12 ος στοίχος από κάτω): (+1,) ( 2,2) = 3,3 ( 2,2) (+1,) = 3,3 Αντιμεταθετική ιδιότητα (Μπορούμε να αλλάζουμε τη σειρά των δύο παραγόντων ενός γινομένου) ( 0,) [(+2,2) ( 3,)] = ( 0,) ( 7,7) = +3,8 [( 0,) (+2,2)] ( 3,) = ( 1,1) ( 3,) = +3,8 1 (+1,) = (+1,) 1 = +1, 1 ( 2,2) = ( 2,2) 1 = 2,2 Προσεταιριστική ιδιότητα Το γινόμενο ενός ρητού αριθμού με τη μονάδα ισούται με τον ίδιο τον αριθμό. 0,1 ( ) + 1,8 ( ) = = ( 0,7) + ( 9,2) = 10 ή (0,1 + 1,8) ( ) = 2 ( ) = 10 (+3) (+ 3 1 ) = +(3 3 1 ) = 1 ( 3 2 ) ( 2 3 ) = +( ) = 1 ( 0,2) ( 4) = +(0,2 4) = 1 ( 1,3) 0 = 0 ή 0 (+ 3 2 ) = 0 Επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση και την αφαίρεση: Οι ρητοί α και β λέγονται αντίστροφοι αριθμοί, όταν είναι διάφοροι του μηδενός και το γινόμενό τους είναι ίσο με τη μονάδα: Το καθένα από τα α και β είναι αντίστροφο του άλλου Το γινόμενο ενός ρητού αριθμού επί το μηδέν ισούται με το μηδεν. 26

29 78 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 13, 7 ος στοίχος από πάνω): Γιατί δεν μπορούν να μοιραστούν εξίσου οι δύο σοκολάτες στα τρία παιδιά; Μπορούν να μοιραστούν εξίσου οι πέντε σοκολάτες στα τρία παιδιά; 79 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 13, 12 ος 19 ος στοίχος από πάνω): Τώρα, όμως, πρέπει να δούμε ποιο είναι το ακριβές αποτέλεσμα της διαίρεσης :3. Παρατηρούμε ότι η διαίρεση δεν είναι τέλεια. Δίνει πηλίκο 1 και αφήνει υπόλοιπο 2. Αν συνεχίσουμε τη διαίρεση θα πάρουμε πηλίκο το δεκαδικό αριθμό 1,666 Επειδή, όμως, το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι το ίδιο πάντα, τα δεκαδικά ψηφία επαναλαμβάνονται και είναι όλα ίσα με 6. Άρα δεν μπορούν να μοιραστούν εξίσου δύο σοκολάτες σε τρία παιδιά. Στην καθημερινή ζωή, που δεν απαιτείται πάντα ιδιαίτερη ακρίβεια, μπορούν να μοιραστούν «περίπου». Αν, όμως, ζητάμε απόλυτη ακρίβεια πρέπει να δούμε ποιο είναι το ακριβές αποτέλεσμα της διαίρεσης :3. Παρατηρούμε ότι η διαίρεση δεν είναι τέλεια. Δίνει πηλίκο 1 και αφήνει υπόλοιπο 2. Αν συνεχίσουμε τη διαίρεση θα πάρουμε πηλίκο το δεκαδικό αριθμό 1,666, διότι τα δεκαδικά ψηφία επαναλαμβάνονται και είναι όλα ίσα με 6. Άρα δεν μπορούν να μοιραστούν εξίσου, με απόλυτη ακρίβεια, πέντε σοκολάτες σε τρία παιδιά. 80 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 13, 21 ος 23 ος στοίχος από πάνω): ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2η Προσπάθησε να βρεις, με όση ακρίβεια μπορείς, το πηλίκο της διαίρεσης 101 διά 44. Βλέπουμε ότι διαίρεση 101:44 δεν είναι τέλεια. Δίνει ακέραιο πηλίκο 2 και υπόλοιπο 13. Αν συνεχίσουμε τη διαίρεση θα βρούμε το δεκαδικό αριθμό 2,2944 με άπειρα δεκαδικά ψηφία, τέτοια ώστε, μετά το δεύτερο δεκαδικό (το 9) να επαναλαμβάνονται συνεχώς τα ίδια δύο ψηφία ( και 4), δηλαδή , ,

30 81 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 13, 6 ος στοίχος από κάτω): Το πλήθος των επαναλαμβανόμενων δεκαδικών ψηφίων κάθε περιοδικού αριθμού, ονομάζεται περίοδος. Το τμήμα των επαναλαμβανόμενων δεκαδικών ψηφίων κάθε περιοδικού αριθμού, ονομάζεται περίοδος. 82 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 136, 12 ος στοίχος από πάνω): (α) Θέτουμε x = 0, 2 και έχουμε διαδοχικά: x = 0,222 10x = 2,222 10x = 2 + 0,222 10x = 2 + x (10 1)x = 2 9x = 2 2 x = ηλαδή: 0, 2 = ΠΡΟΤΕΙΝΕΤΑΙ: (α) Θέτουμε x = 0, 2 και έχουμε διαδοχικά: x = 0,222 10x = 2,222 10x = 2 + 0,222 10x = 2 + x 9x + x = 2 + x 9x = 2 2 x = ηλαδή: 0, 2 = (β) Αν x = 1, 64 έχουμε διαδοχικά: x = 1, x = 164, x = , x = x 1 (100 1)x = x = x = ηλαδή: 1, 64 = (β) Αν x = 1, 64 έχουμε διαδοχικά: x = 1, x = 164, x = , x = x 1 99x + x = x 99x = x = ηλαδή: 1, 64 = η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 137, 6 ος 8 ος στοίχος από πάνω): Κάθε μολυσμένο αρχείο μόλυνε, με τη σειρά του, τρία άλλα αρχεία μέσα σε μία ώρα λειτουργίας του υπολογιστή. Προσπάθησε να βρεις πόσα αρχεία θα έχουν μολυνθεί σε πέντε ώρες. Κάθε μολυσμένο αρχείο μόλυνε, πριν καταστραφεί, τρία άλλα αρχεία μέσα σε μία ώρα λειτουργίας του υπολογιστή. Προσπάθησε να βρεις πόσα μολυσμένα αρχεία υπάρχουν στο τέλος της ης ώρας. 84 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 139, 3 ος στοίχος από πάνω): Τι παρατηρείτε: ΠΡΟΤΕΙΝΕΤΑΙ να διαγραφεί. 8 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 140, 9 ος στοίχος από πάνω): 7 = 7 8 = 1 7, γνωρίζουμε ότι είναι και = 7 7 = 7 8 = 1, γνωρίζουμε ότι είναι και = 8 = 1 άρα, 1 = 1 = 1 άρα, 1 = 1 28

31 86 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 143, 1 ος στοίχος από πάνω): 0, gr. ΠΡΟΤΕΙΝΕΤΑΙ (αντικατάσταση του 03 με το 29): 0, gr. 87 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 143, 20 ος 23 ος στοίχος από πάνω): 0, gr = gr 23 θέσεις Για να βρούμε τον κατάλληλο ακέραιο εκθέτη της δύναμης του 10 μετράμε τις δεκαδικές θέσεις μετά την υποδιαστολή. 0, gr = 2, gr 23 θέσεις Για να βρούμε το φυσικό αριθμό ν (ο οποίος με αρνητικό πρόσημο είναι εκθέτης του 10) μετράμε πόσες θέσεις προς τα δεξιά πρέπει να μετακινηθεί η υποδιαστολή (ώστε να προκύψει ο δεκαδικός αριθμός α που έχει ακέραιο μέρος μεγαλύτερο ή ίσο του 1 και μικρότερο του 10). 88 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 144, 10 ος 14 ος στοίχος από πάνω): Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός α, β>0 α + β = +( α + β ) α, β>0 ή α,β<0 (ομόσημοι) α β=+ α β α, β<0 α + β = ( α + β ) α + β = ( α β ) αν α > β α<0<β ή β<0<α (ετερόσημοι) α β= α β α<0<β α + β = +( β α ) αν α < β Ιδιότητες του πολλαπλασιασμού Ιδιότητες της πρόσθεσης α β = β α (Αντιμεταθετική) α+β = β+α (Αντιμεταθετική) α (β γ) = (α β) γ (Προσεταιριστική) α+(β+γ) = (α+β)+γ (Προσεταιριστική) α 1 = 1 α = α α+0 = 0+α = α 1 α = 1 α = 1 (α και 1 αντίστροφοι) α+( α) = ( α)+α = 0 (α και α αντίθετοι) α α α ΠΡΟΤΕΙΝΕΤΑΙ (διαγραφή - αντικατάσταση): Πρόσθεση Ιδιότητες της πρόσθεσης α+β = β+α (Αντιμεταθετική) α+(β+γ) = (α+β)+γ (Προσεταιριστική) α+0 = 0+α = α α+( α) = ( α)+α = 0 (α και α αντίθετοι) α 0 = 0 Πολλαπλασιασμός Ιδιότητες του πολλαπλασιασμού α β = β α (Αντιμεταθετική) α (β γ) = (α β) γ (Προσεταιριστική) α 1 = 1 α = α 1 α = 1 α = 1 (α και 1 αντίστροφοι) α α α α 0 = 0 89 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 12, 4 ος στοίχος από πάνω): 1. Συμπλήρωσε τα παρακάτω κενά: (α) Ένα ευθύγραμμο τμήμα αποτελείται από τα Α και Β αλλά και τα... σημεία που βρίσκονται ανάμεσα σ αυτά τα δύο. 2. Συμπλήρωσε τα παρακάτω κενά: (α) Μία τεντωμένη κλωστή με άκρα Α και Β μας δίνει μια εικόνα της έννοιας του... 29

32 90 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 14, 14 ος στοίχος από πάνω): Ποιες γωνίες και ποια ευθύγραμμα σχήματα σχηματίζονται από τις ευθείες του διπλανού σχήματος; Ποιες γωνίες και τι είδους σχήματα σχηματίζονται από τις ευθείες του διπλανού σχήματος; 91 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 173, 4 ος στοίχος από κάτω): ιαδοχικές γωνίες λέγονται περισσότερες από δύο γωνίες, που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και καθεμιά από αυτές είναι εφεξής γωνία με την προηγούμενη ή την επόμενή της Οι γωνίες ΟΑ ˆ και ΑΟΒ ˆ και ˆ ΑΟΒ καθώς και οι γωνίες ˆ ΒΟΓ λέγονται διαδοχικές. ˆ ΑΟΒ και ˆ ΒΟΓ είναι εφεξής. Τότε οι γωνίες ˆ ΟΑ, 92 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 17, 7 ος στοίχος από κάτω): 1. Συμπλήρωσε τα παρακάτω κενά: (α) Δύο γωνίες που έχουν την ίδια κορυφή, μια κοινή πλευρά και δεν έχουν κανένα άλλο κοινό σημείο ονομάζονται... (β) Τρεις ή περισσότερες γωνίες, που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και καθεμιά από αυτές είναι εφεξής γωνία με τη προηγούμενη ή την επόμενη της λέγονται Σχεδίασε δύο γωνίες που να έχουν την ίδια κορυφή και μία κοινή πλευρά, οι οποίες (α) να είναι εφεξής και (β) να μην είναι εφεξής. 93 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 178, 4 ος στοίχος από πάνω):. Να αποδειχθεί ότι δύο κάθετες ευθείες σχηματίζουν τέσσερις ορθές γωνίες.. Να δικαιολογηθεί γιατί δύο κάθετες ευθείες σχηματίζουν τέσσερις ορθές γωνίες. 94 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 184, ΣΧΗΜΑ 1 ης ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ): ΠΡΟΤΕΙΝΕΤΑΙ να γίνει το ρέμα ευθύ. 9 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 184, ΣΧΗΜΑ 1 ης ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ): 30