ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ Σηµειώσεις για το µάθηµα ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Θεοδόσης ηµητράκος e-mal: Σάµος

2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι έννοιες του «τυχαίου» και του «πιθανού» είναι σήµερα λίγο-πολύ γνωστές και εξηγούνται µε τη διαίσθηση και την κοινή λογική Ο µεγάλος Γάλλος αθηµατικός Laplae έγραψε ότι: «Οι Πιθανότητες δεν είναι τίποτε άλλο παρά η µετατροπή της κοινής λογικής σε µαθηµατικές εκφράσεις» Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ο κλάδος των Μαθηµατικών που µελετά τα τυχαία ή στοχαστικά φαινόµενα δηλαδή εκείνα τα φαινόµενα που εξελίσσονται σε συνθήκες αβεβαιότητας Χαρακτηριστικό παράδειγµα τυχαίου φαινοµένου είναι η ρίψη ενός νοµίσµατος Αν ρίξουµε ένα νόµισµα φορές οι εµφανίσεις γραµµάτων και κεφαλών εναλλάσσονται µε έναν ακανόνιστο και απρόβλεπτο τρόπο Οι Πιθανότητες χρησιµοποιούνται σε πολλές επιστήµες και σε πολλές δραστηριότητες της καθηµερινής µας ζωής Αποτελέσµατα της Θεωρίας Πιθανοτήτων χρησιµοποιούνται στη Στατιστική στην Επιχειρησιακή Έρευνα στην Αναλογιστική Επιστήµη στην Οικονοµετρία στη Φυσική στη Βιολογία στην Ιατρική και αλλού Τα στοιχήµατα στηρίζονται στη λογική των Πιθανοτήτων Το ίδιο συµβαίνει και µε τους µηχανισµούς που προσπαθούν να αξιολογήσουν την ικανότητα των µαθητών µέσω tests Ιστορικά η αυστηρή εφαρµογή της Θεωρίας των Πιθανοτήτων έγινε αρχικά σε παιχνίδια τύχης Οι Αιγύπτιοι από το πχ χρησιµοποιούσαν τον «αστράγαλο» ένα κόκκαλο ζώου µε τέσσερις πλευρές για να παίζουν παιχνίδια τύχης Ο «αστράγαλος» αποτέλεσε τον πρόγονο του γνωστού ζαριού το οποίο εµφανίστηκε για πρώτη φορά γύρω στα πχ Στην Κίνα µεταξύ του 7 ου και του ου αιώνα µχ εµφανίστηκαν τυχερά παιχνίδια που βασίζονταν σε κάρτες τραπουλόχαρτα Μέσα από τα τυχερά παιχνίδια άρχισε να αναπτύσσεται η ιδέα της συχνότητας εµφάνισης ορισµένων αποτελεσµάτων και εποµένως της πιθανότητας Η ουσιαστική ανάπτυξη της Θεωρίας Πιθανοτήτων ξεκίνησε από τις επιστολές των asal - και Femat - γύρω στα µχ οι οποίες περιείχαν τον υπολογισµό πιθανοτήτων σε αρκετά παραδείγµατα από τυχερά παιγνίδια Ένα από τα προβλήµατα που απασχόλησαν τους asal και Femat ήταν το περίφηµο πρόβληµα του Chevale de ee Ένα ζάρι ρίχνεται τέσσερις φορές και δύο ζάρια ρίχνονται είκοσι τέσσερις φορές Το ερώτηµα είναι αν η πιθανότητα εµφάνισης ενός άσσου τουλάχιστον µία φορά στις τέσσερις ρίψεις του ενός ζαριού ισούται µε την πιθανότητα εµφάνισης ενός ζεύγους άσσων τουλάχιστον µία φορά στις είκοσι τέσσερις ρίψεις των δύο ζαριών Η απάντηση στο ερώτηµα είναι αρνητική Το πρώτο βιβλίο Πιθανοτήτων µε τίτλο O alulatos Games of Chae γράφτηκε από τον Γερµανό Chsta Hughes 9-9 Εξέχουσα θέση στη ραγδαία ανάπτυξη και στην εξέλιξη της Θεωρίας Πιθανοτήτων στη πορεία του χρόνου κατέχουν πολλοί διάσηµοι Μαθηµατικοί αλλά και άλλοι επιστήµονες όπως µεταξύ άλλων οι James eoull -7 baham de ove 7-7 ee Smo Laplae Smeo Des osso 78-8 και al Fedh Gauss Μεταγενέστεροι είναι οι afut Chebshev 8-89 de aov 8-9 Rhad Vo ses 88-9 και de olmogoov 9-987

3 Στις σηµειώσεις αυτές θα αναλύσουµε τις σηµαντικότερες έννοιες της Θεωρίας Πιθανοτήτων Στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζουµε τα βασικότερα στοιχεία της Συνδυαστικής Ανάλυσης τα οποία είναι απαραίτητα για την κατανόηση των εννοιών του επόµενου κεφαλαίου Στο δεύτερο κεφάλαιο δίνονται οι διάφοροι ορισµοί της πιθανότητας µαζί µε βασικές έννοιες και σχετικά θεωρήµατα Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζουµε την έννοια της τυχαίας µεταβλητής και µελετάµε τις σηµαντικότερες ιδιότητές της Στο τέταρτο κεφάλαιο µελετούµε τις πιθανογεννήτριες τις ροπογεννήτριες και τις χαρακτηριστικές συναρτήσεις Στο πέµπτο κεφάλαιο παρουσιάζουµε τον Ισχυρό Νόµο των Μεγάλων Αριθµών και το Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα Στο έκτο κεφάλαιο κάνουµε µία εισαγωγή στις διανυσµατικές τυχαίες µεταβλητές Η εισαγωγή κάθε καινούργιας έννοιας διανθίζεται µε κατάλληλα σχετικά παραδείγµατα Εκτός των παρόντων σηµειώσεων ως βιβλία για παραιτέρω µελέτη προτείνουµε µεταξύ άλλων τα ακόλουθα: [] Γ Ρούσσα Θεωρία Πιθανοτήτων Μετάφραση: ηµήτριος Ιωαννίδης Εκδόσεις Ζήτη 99 [] S Ross Fst Couse obablt Seod dto amlla ublshg Compa 98 [] Hoel S ot C Stoe Εισαγωγή στη Θεωρία Πιθανοτήτων Μετάφραση: πόστολος Γιαννόπουλος Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Κρήτης [] Μ Κούτρα Εισαγωγή στις Πιθανότητες Θεωρία και Εφαρµογές εύτερη Έκδοση Εκδόσεις Αθ Σταµούλη Μέρος Ι Μέρος ΙΙ [] G Roussas Couse athematal Statsts Seod dto adem ess 997 [] Σ Κουνιά & Χ Μωυσιάδη Θεωρία Πιθανοτήτων Ι: Κλασσική πιθανότητα Μονοδιάστατες Κατανοµές Εκδόσεις Ζήτη Θεσσαλονική 999 [7] R Spegel Πιθανότητες και Στατιστική Μετάφραση: Σωτήριος Κ Περσίδης Gaw-Hll New Yo ΕΣΠΙ Αθήνα 977 [8] Ε Ξεκαλάκη & Ι Πανάρετου Πιθανότητες και Στοιχεία Στοχαστικών Ανελίξεων η Έκδοση Αθήνα 99 [9] Α Χ Χαραλαµπίδη Θεωρία Πιθανοτήτων και εφαρµογές Εκδόσεις Συµµετρία Αθήνα 99 [] Τ Παπαϊωάννου Εισαγωγή στις Πιθανότητες Εκδόσεις Σταµούλη Αθήνα [] S Ross Βασικές αρχές θεωρίας Πιθανοτήτων Μετάφραση και επιστηµονική επιµέλεια: Βαγγέλης Φελουζής η Έκδοση Εκδόσεις Κλειδάριθµος Αθήνα [] Θ Π Ξένου Πιθανότητες Εκδόσεις Ζήτη Θεσσαλονίκη

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα αναπτύξουµε µε συντοµία τα βασικά εργαλεία της Συνδυαστικής Ανάλυσης ή απλά Συνδυαστικής Η Συνδυαστική είναι µία ιδιαίτερη περιοχή των Μαθηµατικών Είναι εξαιρετικά χρήσιµη διότι προσφέρει τεχνικές υπολογισµού του πλήθους των στοιχείων πληθικού αριθµού ή πληθαρίθµου πεπερασµένων συνόλων ή υποσυνόλων τους µε συγκεκριµένες ιδιότητες χωρίς να καταφεύγουµε κάθε φορά σε πλήρη καταγραφή Αυτές οι τεχνικές αναφέρονται συνήθως ως µέθοδοι απαρίθµησης Το υλικό από το πεδίο της Συνδυαστικής που θα παρουσιάσουµε σ αυτό το κεφάλαιο είναι εκείνο που κρίνεται απολύτως απαραίτητο για να αντιµετωπισθούν ικανοποιητικά αντίστοιχα προβλήµατα της θεωρίας πιθανοτήτων των επόµενων κεφαλαίων Βασική αρχή απαρίθµησης Έστω ότι κατά την απαρίθµηση των στοιχείων ενός συνόλου ισχύουν οι εξής δύο υποθέσεις: α η διαδικασία της απαρίθµησης µπορεί να χωριστεί σε διαφορετικές φάσεις οι οποίες µπορούν να εκτελεστούν διαδοχικά η µία µετά την άλλη β το πλήθος των δυνατών επιλογών σε κάθε φάση είναι πλήρως καθορισµένο όταν είναι γνωστά τα αποτελέσµατα όλων των προηγούµενων φάσεων Τότε η απαρίθµηση µπορεί να γίνει µε τη χρήση µίας βασικής αρχής της Συνδυαστικής που είναι γνωστή µε την ονοµασία Βασική Αρχή Απαρίθµησης ή Πολλαπλασιαστική Αρχή Βασική Αρχή Απαρίθµησης ή Πολλαπλασιαστική Αρχή Αν το στοιχείο a µπορεί να επιλεγεί µε v διαφορετικούς τρόπους και για κάθε επιλογή του a το στοιχείο a µπορεί να επιλεγεί µε v διαφορετικούς τρόπους και για κάθε επιλογή των στοιχείων a a a το στοιχείο a µπορεί να επιλεγεί µε v διαφορετικούς τρόπους τότε όλα τα στοιχεία συγκεκριµένη σειρά κατά v v v τρόπους a a a µπορούν να επιλεγούν διαδοχικά και µε αυτή τη Εφαρµογή Ρίψη τριών νοµισµάτων Χωρίζουµε το πείραµα T σε τρεις φάσεις T T και T όπου η φάση T είναι η ρίψη του οστού νοµίσµατος Για το ο νόµισµα έχουµε δύο δυνατά αποτελέσµατα Για το ο νόµισµα έχουµε δύο δυνατά αποτελέσµατα Για το ο νόµισµα οµοίως έχουµε δύο δυνατά αποτελέσµατα Σύµφωνα µε τη βασική αρχή απαρίθµησης για τη ρίψη των τριών νοµισµάτων έχουµε δυνατά

5 αποτελέσµατα Γενικεύοντας το παραπάνω αποτέλεσµα για τη ρίψη νοµισµάτων τα δυνατά αποτελέσµατα είναι Εφαρµογή Ρίψη δύο ζαριών Χωρίζουµε το πείραµα T σε δύο φάσεις T T όπου η φάση T είναι η ρίψη του οστού ζαριού Για τη ρίψη του ου ζαριού έχουµε έξι δυνατά αποτελέσµατα και για τη ρίψη του ου ζαριού έχουµε οµοίως έξι δυνατά αποτελέσµατα Σύµφωνα µε τη βασική αρχή απαρίθµησης για τη ρίψη των δύο ζαριών έχουµε δυνατά αποτελέσµατα είναι δυνατά αποτελέσµατα Γενικεύοντας το παραπάνω αποτέλεσµα για τη ρίψη ζαριών τα Εφαρµογή Έστω ότι κάποιος διαθέτει πέντε κοστούµια τρία ζευγάρια παπούτσια και δύο καπέλα Κατά πόσους διαφορετικούς τρόπους µπορεί να ντυθεί; Απάντηση Εφαρµόζουµε τη βασική αρχή απαρίθµησης Μπορεί να ντυθεί µε τρόπους Εφαρµογή Έστω το σύνολο J s s s } Πόσα διαφορετικά υποσύνολα του συνόλου J µπορούµε να κατασκευάσουµε; { N Απάντηση Θεωρούµε το στοιχείο s Το στοιχείο αυτό µπορεί να συµπεριληφθεί ή όχι στο υποσύνολο του συνόλου J που κατασκευάζουµε Οµοίως για τα στοιχεία s s Σύµφωνα µε τη βασική αρχή απαρίθµησης N N ο ζητούµενος αριθµός των υποσυνόλων που µπορούµε να κατασκευάσουµε είναι Παράδειγµα Σε ένα χορό υπάρχουν δεκαπέντε άνδρες και δέκα γυναίκες Πόσα είναι τα δυνατά ζευγάρια ανδρών-γυναικών; Απάντηση Από τη βασική αρχή απαρίθµησης τα δυνατά ζευγάρια είναι Παράδειγµα Πόσοι διαφορετικοί αριθµοί αυτοκινήτου είναι δυνατοί εάν το κάθε πλαίσιο έχει επτά θέσεις από τις οποίες οι τρεις πρώτες µπορούν να συµπληρωθούν µε γράµµατα και οι υπόλοιπες τέσσερις µπορούν να συµπληρωθούν µε αριθµούς; Το ίδιο πρόβληµα µε τον περιορισµό ότι δεν µπορεί να επαναληφθεί ο ίδιος αριθµός ή το ίδιο γράµµα στο πλαίσιο Απάντηση

6 ειγµατοληψία Έστω ότι έχουµε αντικείµενα Ασχολούµαστε µε τρόπους επιλογής αντικειµένων από τα δείγµα µεγέθους Έστω ότι έχουµε µία κάλπη µε σφαιρίδια Η λήψη σφαιριδίων από τον πληθυσµό των σφαιριδίων ονοµάζεται δειγµατοληψία samplg Οι τρόποι δειγµατοληψίας είναι: α Χωρίς επανατοποθέτηση Όταν τα σφαιρίδια λαµβάνονται διαδοχικά χωρίς να τοποθετούνται πάλι στην κάλπη β Με επανατοποθέτηση Όταν η λήψη ενός σφαιριδίου γίνεται αφού προηγουµένως τοποθετούνται πάλι στην κάλπη όλα τα σφαιρίδια που ήδη λήφθηκαν Τα δείγµατα που λαµβάνονται µπορεί να είναι: α ιατεταγµένα Όταν σηµειώνεται η σειρά µε την οποία λαµβάνονται τα σφαιρίδια β Μη-διατεταγµένα Όταν η σειρά αυτή δεν σηµειώνεται Οι σχηµατισµοί που προκύπτουν µε την επιλογή ενός συγκεκριµένου αριθµού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν µας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή τους ή συνδυασµοί αν δεν µας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφής τους Αρχικά θα µελετήσουµε τις διατάξεις µε το Θεώρηµα και στη συνέχεια τους συνδυασµούς µε το Θεώρηµα Θεώρηµα ιατεταγµένα δείγµατα- ιατάξεις Ο αριθµός των διατεταγµένων δειγµάτων µεγέθους σε δειγµατοληψία χωρίς επανατοποθέτηση διατάξεις χωρίς επαναλήψεις είναι για L! L σε δειγµατοληψία µε επανατοποθέτηση διατάξεις µε επαναλήψεις είναι Απόδειξη Η η σφαίρα µπορεί να ληφθεί µε τρόπους η η σφαίρα µπορεί να ληφθεί µε τρόπους η οστή σφαίρα µπορεί να ληφθεί µε τρόπους Σύµφωνα µε τη βασική αρχή απαρίθµησης ο αριθµός των δειγµάτων µεγέθους χωρίς επανατοποθέτηση είναι L Η η σφαίρα µπορεί να επιλεγεί µε τρόπους η η σφαίρα µπορεί να επιλεγεί µε τρόπους η οστή σφαίρα µπορεί να επιλεγεί µε τρόπους Σύµφωνα µε τη βασική αρχή απαρίθµησης ο αριθµός των δειγµάτων µεγέθους µε επανατοποθέτηση είναι L Θεώρηµα Μη-διατεταγµένα δείγµατα-συνδυασµοί Ο αριθµός των µη-διατεταγµένων δειγµάτων µεγέθους

7 7 σε δειγµατοληψία χωρίς επανατοποθέτηση συνδυασµοί χωρίς επαναλήψεις συµβολίζεται µε Σ και είναι!!! Σ σε δειγµατοληψία µε επανατοποθέτηση συνδυασµοί µε επαναλήψεις συµβολίζεται µε N και είναι N Απόδειξη Έστω ο ζητούµενος αριθµός Ο αριθµός των διατεταγµένων δειγµάτων µεγέθους είναι Από ένα συγκεκριµένο δείγµα µεγέθους µπορούµε να σχηµατίσουµε! διατεταγµένα δείγµατα µεγέθους Άρα ο αριθµός των µη-διατεταγµένων δειγµάτων είναι! Αυτό προκύπτει διότι η διαδικασία της επιλογής των µη-διατεταγµένων δειγµάτων µπορεί να γίνει σε δύο βήµατα Στο πρώτο βήµα γίνεται η επιλογή των στοιχείων του δείγµατος από τα Στο δεύτερο βήµα γίνεται η τοποθέτηση των στοιχείων µε όλες τις δυνατές διαφορετικές µεταθέσεις Το πρώτο βήµα πραγµατοποιείται µε v τρόπους και για κάθε αποτέλεσµα του πρώτου βήµατος υπάρχουν! v διαφορετικοί τρόποι πραγµατοποίησης του δεύτερου βήµατος Σύµφωνα µε τη Βασική αρχή απαρίθµησης η ολοκλήρωση του πρώτου και του δεύτερου βήµατος γίνεται µε! v v τρόπους Όµως!! v v Συνεπώς! ] [ ] [!! L L L L!!! Βλέπε Βιβλίο [] σελ 8-9 Ισχύει ότι Μία προσεγγιστική τιµή του! για µεγάλο δίνεται από τον τύπο του Stlg σύµφωνα µε τον οποίον:! e π όπου eείναι η σταθερά του ule 7 e

8 Παράδειγµα Μία κάλπη περιέχει οκτώ αριθµηµένα σφαιρίδια Ανασύρουµε τέσσερα σφαιρίδια τυχαία χωρίς επανατοποθέτηση Πόσοι τρόποι υπάρχουν ώστε ο µικρότερος αριθµός να είναι ο τρία; Πόσοι είναι αυτοί οι τρόποι αν η δειγµατοληψία γίνεται µε επανατοποθέτηση; Λύση Χωρίζουµε το πείραµα σε δύο φάσεις T είναι η φάση της επιλογής του τρία Τον αριθµό τρία µπορώ να το επιλέξω µε έναν τρόπο T είναι η φάση της επιλογής τριών σφαιριδίων από πέντε Αυτό γίνεται µε τρόπους Σύµφωνα µε τη βασική αρχή απαρίθµησης οι τρόποι είναι Αν η δειγµατοληψία γίνεται µε επανατοποθέτηση τότε µε παροµοίους συλλογισµούς σύµφωνα µε τη βασική αρχή απαρίθµησης προκύπτει ότι οι τρόποι είναι Παράδειγµα έκα χαρτιά επιλέγονται από πενήντα δύο παιγνιόχαρτα Σε πόσες περιπτώσεις περιλαµβάνεται τουλάχιστον ένας άσσος; ακριβώς ένας άσσος; τουλάχιστον δύο άσσοι; Λύση Από πενήντα δύο χαρτιά επιλέγουµε δέκα µε να µην υπάρχει άσσος επιτυγχάνεται µε ένας άσσος 8 τρόπους Από τα πενήντα δύο χαρτιά η περίπτωση τρόπους Άρα µε 8 τρόπους υπάρχει τουλάχιστον Χωρίζουµε το πείραµα σε δύο φάσεις Καταρχήν από τέσσερις άσσους πρέπει να τραβήξουµε έναν µε τρόπους φάση T Έστω T η φάση της επιλογής των άλλων εννέα χαρτιών Η επιλογή αυτών των χαρτιών µπορεί να γίνει µε 8 ένας άσσος είναι 9 8 τρόπους Άρα από τη βασική αρχή απαρίθµησης οι περιπτώσεις να εµφανιστεί ακριβώς 9 Αν από τους τρόπους επιλογής δέκα χαρτιών από πενήντα δύο αφαιρέσουµε τους τρόπους για ένα ακριβώς άσσο και τις περιπτώσεις για τις οποίες δεν υπάρχει άσσος λαµβάνουµε τους τρόπους για την επιλογή δύο 8 8 τουλάχιστον άσσων Οι περιπτώσεις είναι 9 8

9 Κατανοµή σφαιριδίων σε κληρωτίδες Έστω ότι έχουµε διακεκριµένες κληρωτίδες και σφαιρίδια Μας ενδιαφέρει ο αριθµός των τρόπων µε τους οποίους τα σφαιρίδια µπορούν να κατανεµηθούν στις κληρωτίδες Θεώρηµα Κατανοµή σφαιριδίων σε κληρωτίδες Ο αριθµός των τρόπων που διακεκριµένα σφαιρίδια µπορούν να κατανεµηθούν σε κληρωτίδες είναι όταν δεν επιβάλλεται κανένας περιορισµός! Σ ; όταν η υπ αριθµόν κληρωτίδα επιβάλλεται να περιέχει ακριβώς!! L! σφαιρίδια όπου και Απόδειξη Προφανής από τη Βασική αρχή απαρίθµησης µε διότι για το κάθε ένα από τα σφαιρίδια υπάρχουν επιλογές Υπάρχουν τρόποι που µπορούν να ληφθούν τα σφαιρίδια τρόποι που µπορούν να ληφθούν τα σφαιρίδια Σύµφωνα µε τη βασική αρχή απαρίθµησης ο αριθµός των τρόπων είναι τρόποι που µπορούν να ληφθούν τα σφαιρίδια L!!!!! L!!!!!! L! Παράδειγµα Οκτώ δάσκαλοι πρόκειται να διορισθούν σε τέσσερα σχολεία Πόσοι είναι οι δυνατοί τρόποι κατανοµής τους αν σε κάθε σχολείο πρέπει να διορισθούν δύο δάσκαλοι; Λύση Εφαρµογή του Θεωρήµατος για 8 δασκάλους και σχολεία µε τον περιορισµό 8! 8! σε κάθε σχολείο Οι δυνατοί τρόποι κατανοµής τους είναι!!!!! 9

10 Παράδειγµα Πενήντα δύο χαρτιά µοιράζονται σε τέσσερα άτοµα α Με πόσους τρόπους µπορεί να γίνει η κατανοµή έτσι ώστε το κάθε άτοµο να πάρει δέκα τρία χαρτιά; β Με πόσους τρόπους µπορεί να γίνει η κατανοµή έτσι ώστε το κάθε άτοµο να πάρει δέκα τρία χαρτιά µέσα στα οποία να υπάρχει ένας άσσος; Λύση α Εφαρµογή του Θεωρήµατος για χαρτιά σε άτοµα µε τον περιορισµό! χαρτιά Οι δυνατοί τρόποι κατανοµής είναι! β Χωρίζουµε το πείραµα σε δύο φάσεις Έστω T η φάση της κατανοµής των χαρτιών ώστε να σταλούν τέσσερις άσσοι στα τέσσερα άτοµα Αυτό µπορεί να γίνει µε!!!!! τρόπους T είναι η φάση της κατανοµής των υπόλοιπων σαράντα οκτώ χαρτιών στα τέσσερα άτοµα από δώδεκα στο καθένα Οι τρόποι κατανοµής για 8! αυτή τη φάση είναι!!!! Σύµφωνα µε τη βασική αρχή απαρίθµησης οι δυνατοί τρόποι κατανοµής είναι! 8!! 8!!!!!!!!!! Ασκήσεις Άσκηση Σε ένα χέρι του πόκερ επιλέγουµε τυχαία πέντε χαρτιά από πενήντα δύο παιγνιόχαρτα Σε πόσες περιπτώσεις ένα χέρι του πόκερ α περιέχει µόνο «Σπαθιά»; β περιέχει µόνο ενός χρώµατος χαρτιά; γ περιέχει χαρτιά µόνο δύο χρωµάτων; δ περιέχει χαρτιά όλων των χρωµάτων; Λύση α Τα «Σπαθιά» είναι δέκα τρία Μπορούµε να επιλέξουµε πέντε παιγνιόχαρτα από τα οποία και τα πέντε να είναι «Σπαθιά» µε τρόπους β Τα χρώµατα είναι τέσσερα Μπορούµε να επιλέξουµε ένα χρώµα µε τρόπους Από τα παιγνιόχαρτα του ενός χρώµατος µπορούµε να επιλέξουµε πέντε χαρτιά µε απαρίθµησης ένα χέρι του πόκερ περιέχει µόνο ενός χρώµατος χαρτιά σε τρόπους Συνεπώς σύµφωνα µε τη βασική αρχή περιπτώσεις γ Τα χρώµατα είναι τέσσερα Μπορούµε να επιλέξουµε δύο από τα τέσσερα χρώµατα µε τρόπους Από τα πέντε χαρτιά που θα επιλέξουµε για να είναι χαρτιά µόνο δύο χρωµάτων θα πρέπει να είναι πχ δύο του ενός χρώµατος και τρία του άλλου χρώµατος ή ένα του ενός χρώµατος και τέσσερα του άλλου χρώµατος κλπ Άρα όλες οι περιπτώσεις στις οποίες µπορούµε να έχουµε χαρτιά µόνο δύο χρωµάτων από τα πέντε χαρτιά που θα

11 επιλέξουµε είναι Συνεπώς από τη βασική αρχή απαρίθµησης σε ένα χέρι του πόκερ µπορούµε να επιλέξουµε χαρτιά µόνο δύο χρωµάτων µε τρόπους δ Χωρίζουµε το πείραµα της επιλογής των πέντε χαρτιών σε πέντε φάσεις Έστω T η φάση της επιλογής ενός χρώµατος Το ένα από τα τέσσερα χρώµατα µπορεί να επιλεγεί µε τρόπους Έστω T η φάση της επιλογής δύο χαρτιών από τα δέκα τρία του ενός χρώµατος Η φάση T µπορεί να πραγµατοποιηθεί µε τρόπους Έστω T T και T οι φάσεις της επιλογής ενός χαρτιού από κάθε ένα από τα υπόλοιπα τρία χρώµατα Κάθε µία από τις φάσεις T T και T µπορεί να πραγµατοποιηθεί µε τρόπους Σύµφωνα µε την βασική αρχή απαρίθµησης σε ένα χέρι του πόκερ µπορούµε να επιλέξουµε χαρτιά όλων των χρωµάτων σε περιπτώσεις Άσκηση Αποδείξτε την γνωστή σχέση x x όπου x R και φυσικός αριθµός α µε επαγωγή β µε κάποιο συνδυαστικό επιχείρηµα Λύση α Με επαγωγή Για ισχύει διότι x x x x Έστω ότι ισχύει για δηλαδή x x Θα δείξουµε ότι ο τύπος ισχύει επίσης για δηλαδή x x Κάνοντας χρήση της υπόθεσης ότι ο τύπος ισχύει για µπορούµε να γράψουµε διαδοχικά x x x x x x x x x x x x x x

12 Η σχέση ισχύει διότι!!!!!!!!!!!!!!!!!! Χρησιµοποιώντας την παραπάνω σχέση και τις ισότητες παίρνουµε x x x x x Η τελευταία ισότητα µπορεί να γραφεί σε συνεπτυγµένη µορφή ως εξής: x x Αποδείχτηκε το ζητούµενο για συνεπώς σύµφωνα µε την αρχή της επαγωγής ο τύπος ισχύει για όλες τις µη-αρνητικές τιµές του β Με συνδυαστικό επιχείρηµα Αφού x x x L x το πλήθος φορές για να βρούµε το ανάπτυγµα x ως άθροισµα δυνάµεων των x θα πρέπει από κάθε παράγοντα x να διαλέξουµε είτε το x είτε το και να τα πολλαπλασιάσουµε µεταξύ τους Αν το x επιλεγεί από παράγοντες τότε το θα επιλεγεί από τους υπόλοιπους παράγοντες και εκτελώντας τον πολλαπλασιασµό θα προκύψει το µονώνυµο x Όµως η επιλογή του x µπορεί να γίνει µε διαφορετικούς τρόπους όσοι και οι τρόποι επιλογής παραγόντων από τις διαθέσιµες Εποµένως το µονώνυµο x εµφανίζεται συνολικά φορές δηλαδή ο γενικός όρος του αθροίσµατος θα είναι της µορφής x Συνεπώς x x Άσκηση Έστω Ω το σύνολο των διατεταγµένων δεκάδων µε στοιχεία ή Για παράδειγµα ω Ω α Πόσα στοιχεία του Ω έχουν στην η θέση; β Πόσα στοιχεία του Ω έχουν στην η και η θέση; γ Πόσα στοιχεία του Ω έχουν τουλάχιστον δύο θέσεις µε εκεί; δ Πόσα στοιχεία του Ω έχουν ακριβώς πέντε κάπου στη -άδα τους; ε Τι ποσοστό των στοιχείων του Ω έχουν ακριβώς πέντε κάπου στη -άδα τους;

13 Λύση α Τα στοιχεία του Ω µε στην η θέση είναι L 9 β Τα στοιχεία του Ω µε στην η και η θέση είναι L 8 γ Τα στοιχεία του Ω που έχουν τουλάχιστον δύο θέσεις µε εκεί είναι διότι µία -άδα είναι αυτή που δεν περιέχει και είναι αυτές που περιέχουν το σε µία από τις δέκα θέσεις! δ Τα στοιχεία του Ω που έχουν ακριβώς πέντε κάπου στην δεκάδα τους είναι!! µπορούµε να έχουµε ακριβώς πέντε σε δέκα θέσεις µε τρόπους ε Το ποσοστό των στοιχείων του Ω που έχουν ακριβώς πέντε κάπου στη -άδα τους είναι διότι Άσκηση Έστω ότι έχετε δέκα αντίγραφα του ίδιου βιβλίου καθώς και δέκα διαφορετικά µεταξύ τους βιβλία α Πόσες διαφορετικές µη διατεταγµένες δεκάδες βιβλίων εξ αυτών των είκοσι υπάρχουν; β Πόσες διαφορετικές µη διατεταγµένες δεκάδες βιβλίων εξ αυτών των είκοσι υπάρχουν µε τουλάχιστον τρία διαφορετικά µεταξύ τους βιβλία; Λύση α Για να φτιάξουµε τις διαφορετικές µη διατεταγµένες δεκάδες βιβλίων από τα είκοσι βιβλία που διαθέτουµε µπορούµε να επιλέξουµε βιβλία από τα δέκα που είναι διαφορετικά µεταξύ τους και από τα υπόλοιπα δέκα βιβλία που είναι όµοια Η επιλογή βιβλίων από τα δέκα που είναι διαφορετικά µεταξύ τους µπορεί να γίνει µε διατεταγµένων δεκάδων βιβλίων είναι ίσος µε τρόπους όπου Συνεπώς ο συνολικός αριθµός των διαφορετικών µη β Για να φτιάξουµε τις διαφορετικές µη διατεταγµένες δεκάδες βιβλίων από τα είκοσι βιβλία που διαθέτουµε έτσι ώστε η κάθε δεκάδα να έχει τρία τουλάχιστον διαφορετικά µεταξύ τους βιβλία έχουµε δύο τρόπους Σύµφωνα µε τον πρώτο τρόπο µπορούµε να επιλέξουµε βιβλία από τα δέκα που είναι διαφορετικά µεταξύ τους και από τα υπόλοιπα δέκα βιβλία που είναι όµοια όπου Ο συνολικός αριθµός των διαφορετικών µη διατεταγµένων δεκάδων βιβλίων µε τουλάχιστον τρία διαφορετικά µεταξύ τους βιβλία που επιλέγουµε µε αυτόν τον πρώτο τρόπο είναι Επιπλέον σύµφωνα µε το δεύτερο τρόπο διαφορετικές µη διατεταγµένες δεκάδες βιβλίων µε τρία τουλάχιστον διαφορετικά µεταξύ τους βιβλία προκύπτουν αν από τη δεκάδα των όµοιων βιβλίων επιλέξουµε ένα βιβλίο και από την δεκάδα των διαφορετικών µεταξύ τους βιβλίων

14 επιλέξουµε δύο διαφορετικά µεταξύ τους βιβλία Σύµφωνα µε τη βασική αρχή απαρίθµησης ο συνολικός αριθµός των διαφορετικών βιβλίων που επιλέγουµε µε αυτόν το δεύτερο τρόπο είναι Συνεπώς ο συνολικός αριθµός των διαφορετικών µη διατεταγµένων δεκάδων βιβλίων µε τρία τουλάχιστον διαφορετικά µεταξύ τους βιβλία όπως προκύπτει και από τους δύο τρόπους είναι ίσος µε Άσκηση Έστω ότι ένα σύνολο Ω έχει N στοιχεία Βρείτε πόσα υποσύνολα του Ω µε ή λιγότερα στοιχεία υπάρχουν όταν: α N β N } { Απαντήστε στα α β όταν Λύση α Τα υποσύνολα του Ω µε ή λιγότερα στοιχεία είναι N L L L L Για Για την τέταρτη ισότητα χρησιµοποιούµε τις σχέσεις Επιπλέον από την Άσκηση έχουµε ότι β Με παρόµοιο τρόπο όπως στο ερώτηµα α τα υποσύνολα του Ω µε ή λιγότερα στοιχεία είναι N L L L L!! Για 8!! 9

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό ορίζονται βασικές έννοιες όπως πείραµα τύχης δειγµατικός χώρος και ενδεχόµενο ή γεγονός Παρουσιάζονται οι διάφοροι ορισµοί της πιθανότητας διατυπώνονται και αποδεικνύονται τα κλασσικότερα θεωρήµατα της Θεωρίας Πιθανοτήτων όπως το Προσθετικό Θεώρηµα το Πολλαπλασιαστικό Θεώρηµα το Θεώρηµα Ολικής Πιθανότητας και το Θεώρηµα του aes Παρουσιάζονται επίσης το Θεώρηµα Συνέχειας και οι έννοιες της δεσµευµένης πιθανότητας και των ανεξάρτητων ενδεχοµένων Πείραµα τύχης δειγµατικός χώρος και στοιχεία θεωρίας συνόλων Πείραµα είναι µία ενέργεια που εκτελείται κάτω από ορισµένες συνθήκες και µπορεί να επαναληφθεί οσεσδήποτε φορές κάτω από τις ίδιες πάντοτε συνθήκες και µετά την συµπλήρωση της παρατηρούνται κάποια αποτελέσµατα ιακρίνουµε δύο είδη πειραµάτων τα αιτιοκρατικά detemst και τα τυχαία adom Αιτιοκρατικά είναι τα πειράµατα εκείνα όπου η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελούνται καθορίζει πλήρως το αποτέλεσµα Πείραµα τύχης adom expemet είναι ένα πείραµα το αποτέλεσµα του οποίου επηρεάζεται από την τύχη Το χαρακτηριστικό ενός πειράµατος τύχης είναι ότι σε µία εκτέλεσή του δεν µπορούµε να προβλέψουµε µε βεβαιότητα το αποτέλεσµα που θα εµφανιστεί Απλά παραδείγµατα πειραµάτων τύχης είναι η ρίψη ενός νοµίσµατος το πέταγµα ενός ζαριού το τράβηγµα ενός παιγνιόχαρτου από τα πενήντα δύο παιγνιόχαρτα µιας τράπουλας και η καταγραφή των τηλεφωνηµάτων που εξυπηρετούνται από ένα τηλεφωνικό κέντρο εντός δοθέντος χρονικού διαστήµατος Ένα σύνολο set είναι µία καλώς ορισµένη συλλογή διακεκριµένων αντικειµένων Το σύνολο των δυνατών αποτελεσµάτων που µπορούν να εµφανιστούν σε µία εκτέλεση ενός πειράµατος τύχης καλείται δειγµατικός χώρος sample spae και συνήθως συµβολίζεται µε Ω Για παράδειγµα στη ρίψη ενός ζαριού ο δειγµατικός χώρος είναι Ω { } και στη ρίψη ενός νοµίσµατος ο δειγµατικός χώρος είναι Ω { Κ Γ} όπου µε Κ συµβολίζουµε την ένδειξη «κεφαλή» και µε Γ συµβολίζουµε την ένδειξη «γράµµατα» Τα αποτελέσµατα ενός τυχαίου πειράµατος µπορούν να περιγραφούν µε πολλούς και διάφορους τρόπους Έτσι σε ένα πείραµα τύχης αντιστοιχούν περισσότεροι του ενός δειγµατικοί χώροι Για παράδειγµα ας θεωρήσουµε µία έκθεση κινητών τηλεφώνων στην οποία εργάζονται δύο πωλητές Α και Β Έστω ότι στην έκθεση υπάρχουν προς πώληση δύο µόνο κινητά τηλέφωνα Αν µας ενδιαφέρει ο αριθµός των κινητών τηλεφώνων που θα πουληθούν από καθένα από τους δύο πωλητές σε ένα συγκεκριµένο χρονικό διάστηµα πχ µέσα στην επόµενη εβδοµάδα τότε ένας κατάλληλος δειγµατικός χώρος είναι ο Ω {}

16 Το ζεύγος x Ω δηλώνει ότι ο πωλητής Α θα πουλήσει x κινητά τηλέφωνα ενώ ο πωλητής Β θα πουλήσει κινητά τηλέφωνα Αν όµως µας ενδιαφέρει µόνο ο συνολικός αριθµός κινητών τηλεφώνων που θα πουληθούν στο συγκεκριµένο χρονικό διάστηµα τότε θα µπορούσε να χρησιµοποιηθεί ως δειγµατικός χώρος το σύνολο Ω { } Το στοιχείο ω Ω δηλώνει το συνολικό αριθµό κινητών τηλεφώνων που πουλήθηκαν Τα στοιχεία ενός δειγµατικού χώρου Ω καλούνται δειγµατικά σηµεία ή δειγµατοσηµεία sample pots Το γεγονός ότι το στοιχείο ω ανήκει στο σύνολο Ω συµβολίζεται µε ω Ω Η άρνηση αυτού του γεγονότος συµβολίζεται µε ω Ω Λέµε ότι ένα σύνολο S ' είναι υποσύνολο subset ενός συνόλου S και γράφουµε S' S αν για κάθε s S' ισχύει ότι s S Λέµε ότι ένα σύνολο και γράφουµε S' S αν S' S και αν υπάρχει στοιχείο s S τέτοιο ώστε θεωρίας συνόλων επεξηγούνται γραφικά µε τη βοήθεια των διαγραµµάτων του Ve S ' είναι γνήσιο υποσύνολο ενός συνόλου S s S' Οι διάφορες έννοιες της Θεωρούµε το σύνολο Ω ως βασικό σύνολο ή σύνολο αναφοράς Το σύνολο αυτό θα είναι διαφορετικό ανάλογα µε το πρόβληµα που θα µας απασχολεί Όλα τα υπόλοιπα σύνολα θα είναι υποσύνολα του Ω Έστω C Ω Το συµπλήρωµα omplemet του συνόλου αναφορικά µε το Ω συµβολίζεται µε και είναι { Ω : ω } ένωση uo των συνόλων ω Έστω I ένα οποιοδήποτε σύνολο δεικτών και τα σύνολα Ω I Η I I συµβολίζεται µε U τουλάχιστον I} Η τοµή teseto των συνόλων I {ω Ω :ω για όλα τα I} I και είναι Ισχύει ότι: { ω Ω : ω και ω } και είναι Η διαφορά dffeee των συνόλων και Αντιµεταθετικός νόµος U {ω Ω :ω για ένα I I συµβολίζεται µε I C C και C C Προσεταιριστικός νόµος C C και C C Επιµεριστικοί νόµοι U I I I και I I U I Νόµοι De oga I και είναι συµβολίζεται µε Έστω I µία οικογένεια υποσυνόλων του δειγµατικού χώρου Ω Τα στοιχεία σύνολα του I καλούνται ενδεχόµενα ή γεγονότα evets και το I καλείται γεγονότων σ feld αν ισχύει ο ακόλουθος ορισµός σ πεδίο ή σ άλγεβρα ή σ σώµα ενδεχοµένων ή

17 Ορισµός σ -σώµα Έστω Ω ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης Το σύνολο I καλείται σ -πεδίο ενδεχοµένων ή γεγονότων αν Ω I αν I τότε I και αν I I τότε U I δηλαδή η οικογένεια I των υποσυνόλων του Ω είναι κλειστή για την πράξη της ένωσης αριθµήσιµου πλήθους συνόλων Παράδειγµα Θεωρούµε το τυχαίο πείραµα της ρίψης ενός ζαριού Ο δειγµατικός χώρος του πειράµατος είναι Ω { } Ως σύνολο I µπορούµε να θεωρήσουµε είτε το δυναµοσύνολο powe set του Ω δηλαδή το σύνολο I { όλα τα υποσύνολα του Ω } είτε το σύνολο I {Ω{}{}{}{}{}{ } } Παρατηρούµε ότι και τα δύο σύνολα ικανοποιούν τον ορισµό του σ σώµατος Αν για ένα πείραµα τύχης µε δειγµατικό χώρο Ω και σηµείο ω είναι τέτοιο ώστε 7 σ πεδίο ενδεχοµένων I ισχύει ότι το δειγµατικό ω I τότε λέµε ότι το ενδεχόµενο συνέβη ous ηλαδή λέµε ότι το ενδεχόµενο συνέβη αν το αποτέλεσµα του πειράµατος τύχης ανήκει στην οικογένεια υποσυνόλων I Στο παράδειγµα της ρίψης ενός ζαριού θεωρούµε ως σ πεδίο ενδεχοµένων το δυναµοσύνολο του Ω Τότε λέµε ότι το ενδεχόµενο { άρτιο αποτέλεσµα} { } συνέβη αν εµφανιστεί το αποτέλεσµα outome ή το αποτέλεσµα ή το αποτέλεσµα διότι τότε για παράδειγµα το δειγµατικό σηµείο είναι τέτοιο ώστε I Το ίδιο συµβαίνει για τα δειγµατικά σηµεία και Τα ενδεχόµενα της µορφής {ω} καλούνται απλά ενδεχόµενα ενώ εκείνα που περιέχουν τουλάχιστον δύο δειγµατικά σηµεία καλούνται σύνθετα ενδεχόµενα Τα ενδεχόµενα Ω και καλούνται το βέβαιο και το αδύνατο ενδεχόµενο ull evet αντίστοιχα για προφανείς λόγους Έστω τα ενδεχόµενα C Ω Παρακάτω θα δούµε τον τρόπο µε τον οποίο κάποιες καθηµερινές εκφράσεις µπορούν να γραφούν ως σχέσεις συνόλων Μόνο το ενδεχόµενο συµβαίνει C Τουλάχιστον ένα από τα ενδεχόµενα C συµβαίνει C Τουλάχιστον δύο ενδεχόµενα συµβαίνουν C C Και τα τρία ενδεχόµενα συµβαίνουν C Το πολύ ένα ενδεχόµενο συµβαίνει C C C C Τα ενδεχόµενα συµβαίνουν αλλά όχι το C C 7 Κανένα από τα τρία ενδεχόµενα δεν συµβαίνει C C

18 8 Το πολύ δύο ενδεχόµενα συµβαίνουν C 9 Ακριβώς δύο ενδεχόµενα συµβαίνουν C C C Το πολύ τρία ενδεχόµενα συµβαίνουν Ω Παράδειγµα Ένας πωλητής θέλει να επισκεφτεί τέσσερις πόλεις a β γ δ προκειµένου να πάρει παραγγελίες από τους προµηθευτές της εταιρείας Αφού δοθεί κατάλληλος δειγµατικός χώρος για την περιγραφή της σειράς επίσκεψης των τεσσάρων πόλεων από τον πωλητή να γραφούν αναλυτικά τα επόµενα ενδεχόµενα: : ο πωλητής επισκέπτεται πρώτη την πόλη a : ο πωλητής ξεκινάει από την πόλη a και τελειώνει µε την πόλη β : ο πωλητής επισκέπτεται διαδοχικά τις πόλεις β και γ : ο πωλητής επισκέπτεται διαδοχικά τις πόλεις a β και γ Λύση Ο δειγµατικός χώρος Ω αποτελείται από ακολουθίες της µορφής π π π όπου π συµβολίζει την οστή κατά σειρά πόλη που επισκέφθηκε ο πωλητής Εποµένως Ω π π π π : π { a β γ } για και π π π } { δ π π { aβγδ aβδγ aγβδ aγδβ aδβγ aδγβ βaγδ βaδγ βγaδ βγδa βδaγ βδγa γaβδ γaδβ γβaδ γβδa γδ aβ γδβa δaβγ δaγβ δβaγ δβγa δγaβ δγβa} Για τα ενδεχόµενα και έχουµε { aβγδ aβδγ aγβδ aγδβ aδβγ aδγβ} { aγδβ aδγβ} { βγaδ βγδa aβγδ δβγa aδβγ δaβγ } { aβγδ δaβγ } Παράδειγµα Σκοπεύουµε να µετρήσουµε τον αριθµό των φορών που θα βρέξει στο Καρλόβασι τον επόµενο Ιανουάριο και το συνολικό ποσό της βροχόπτωσης σε χιλιοστά α Να δοθεί κατάλληλος δειγµατικός χώρος Ω για την περιγραφή των µετρήσεων β Να περιγραφούν τα επόµενα ενδεχόµενα: : Θα βρέξει φορές και το συνολικό ποσό της βροχόπτωσης θα είναι τουλάχιστον χιλιοστά : Θα βρέξει το πολύ φορές : Θα βρέξει έως 8 φορές και το συνολικό ποσό της βροχόπτωσης θα είναι έως χιλιοστά : Θα βρέξει τουλάχιστον 7 φορές και το συνολικό ποσό της βροχόπτωσης θα είναι έως χιλιοστά : Το συνολικό ποσό της βροχόπτωσης θα είναι το πολύ 8 χιλιοστά γ Να περιγραφούν τα επόµενα ενδεχόµενα 8

19 Λύση α Ας συµβολίσουµε µε τον αριθµό των φορών που θα βρέξει και µε x το συνολικό ποσό της βροχόπτωσης σε χιλιοστά Τότε Ω { x : x [ } β Οι περιγραφές των ενδεχοµένων είναι: { x : x [ } {} { x : x } { x : 8 x [ ]} { x : 7 x [ ]} {} { x : x 8]} γ Από το β προκύπτει { x : x [ 8]} {} { x : x 8]} { x : x []} { x : x [8]} { x : x [ 8]} Ο κλασσικός ο στατιστικός και ο αξιωµατικός ορισµός της πιθανότητας Έστω ένα πείραµα τύχης µε πεπερασµένο δειγµατικό χώρο Ω ω ω } και έστω ότι όλα τα απλά { ενδεχόµενα { ω } έχουν την ίδια «δυνατότητα» πιθανότητα να συµβούν η οποία είναι ίση µε D Ως σ πεδίο ενδεχοµένων I θεωρούµε το δυναµοσύνολο του Ω Ισχύει ότι Ω { ω } Άρα Ω { ω } D D U Έστω ένα ενδεχόµενο µε πλήθος στοιχείων s δηλαδή b b b } Τότε s { b } µε { b } D { s s όπου είναι το πλήθος στοιχείων του Ω Άρα sd s ίνουµε τον ακόλουθο κλασσικό ορισµό της πιθανότητας Ορισµός Κλασσικός ορισµός της πιθανότητας Έστω ένα πείραµα τύχης µε πεπερασµένο δειγµατικό χώρο Ω ω ω } και έστω ότι όλα τα απλά ενδεχόµενα { ω } έχουν την ίδια ακριβώς «δυνατότητα» { # να συµβούν Η πιθανότητα ενός ενδεχοµένου ορίζεται ως εξής: όπου µε # και # Ω # Ω συµβολίζουµε το πλήθος των στοιχείων των συνόλων και Ω αντίστοιχα Παράδειγµα Ένα δοχείο περιέχει έξι λευκούς και πέντε µαύρους βώλους Εάν τραβήξουµε τυχαία δύο βώλους από το δοχείο ποια είναι η πιθανότητα α να είναι και οι δύο λευκοί; β να είναι ο ένας λευκός και ο άλλος µαύρος; Λύση Χρησιµοποιούµε τον κλασσικό ορισµό της πιθανότητας 9

20 α Έστω η ζητούµενη πιθανότητα ύο βώλοι από τους έντεκα που υπάρχουν στο δοχείο µπορούν να επιλεγούν µε τρόπους ύο λευκοί βώλοι από τους έξι που υπάρχουν στο δοχείο µπορούν να επιλεγούν µε τρόπους Άρα β Από τη βασική αρχή απαρίθµησης αν είναι η ζητούµενη πιθανότητα µε παρόµοιους συλλογισµούς έχουµε Παράδειγµα Μία εταιρεία διαθέτει φορτηγά από τα οποία τα είναι ρυπογόνα εκπέµπουν καυσαέρια εκτός των φυσιολογικών ορίων Ο τεχνικός της εταιρείας διαλέγει στην τύχη από τα φορτηγά και τους κάνει έλεγχο καυσαερίων Ποια είναι η πιθανότητα να εντοπίσει α ακριβώς ρυπογόνα φορτηγά; β το πολύ ρυπογόνα φορτηγά; γ τουλάχιστον ρυπογόνο και µη ρυπογόνο φορτηγό; Λύση Συµβολίζουµε µε X ρ } τα ρυπογόνα φορτηγά που διαθέτει η εταιρεία και µε { ρ X µ } τα µη ρυπογόνα φορτηγά της Ο δειγµατικός χώρος Ω του πειράµατος αποτελείται από { µ όλες τις δυνατές επιλογές στοιχείων φορτηγών από το σύνολο X X X των φορτηγών της εταιρείας Εποµένως Ω Τα ευνοϊκά αποτελέσµατα για το ενδεχόµενο : εντοπίζονται ακριβώς τρία ρυπογόνα φορτηγά προκύπτουν αν επιλέξουµε τρία ρυπογόνα φορτηγά από το σύνολο X και τρία µη ρυπογόνα από το σύνολο X Οι τρόποι επιλογής των ρυπογόνων φορτηγών από τα v X που v υπάρχουν είναι Αντίστοιχα οι τρόποι επιλογής των µη ρυπογόνων φορτηγών από τα v v X που υπάρχουν είναι Σύµφωνα µε τη Βασική Αρχή Απαρίθµησης θα έχουµε

21 Εποµένως η ζητούµενη πιθανότητα είναι ίση µε % Ω β Ορίζουµε τα ξένα ανά δύο µεταξύ τους ενδεχόµενα : εντοπίζονται ακριβώς ρυπογόνα και µη ρυπογόνα φορτηγά για Η ζητούµενη πιθανότητα είναι Όµως και Άρα % γ Το ενδεχόµενο που µας ενδιαφέρει εκφράζεται ως Η αντίστοιχη πιθανότητα θα είναι ίση µε 9% Η πιθανότητα ενός ενδεχοµένου µπορεί να οριστεί εναλλακτικά ως η οριακή σχετική συχνότητα lmtg elatve feque εµφάνισης του ενδεχοµένου Έστω ότι σε επαναλήψεις ενός πειράµατος τύχης εµφανίζονται συµβολίζεται µε φορές αποτελέσµατα που περιέχονται στο ενδεχόµενο Ο λόγος συνήθως f και καλείται σχετική συχνότητα εµφάνισης του ενδεχοµένου στις επαναλήψεις ενός πειράµατος τύχης κάτω από τις ίδιες συνθήκες Η σχετική συχνότητα µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένα ποσοτικό µέτρο έκφρασης του βαθµού βεβαιότητας για την εµφάνιση του ενδεχοµένου Όταν ένα πείραµα τύχης επαναλαµβάνεται µεγάλο αριθµό φορών η σχετική συχνότητα εµφάνισης ενός ενδεχοµένου σταθεροποιείται γύρω από κάποια τιµή που καλείται οριακή σχετική συχνότητα και µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένα µέτρο του βαθµού βεβαιότητας για την εµφάνιση του ενδεχοµένου Ο ακόλουθος ορισµός της πιθανότητας αποδίδεται στον Vo ses και είναι γνωστός ως ο στατιστικός ορισµός της πιθανότητας

22 Ορισµός Στατιστικός ορισµός της πιθανότητας Έστω Ω ένας δειγµατικός χώρος και ένα ενδεχόµενο του Ω Αν είναι ο αριθµός εµφανίσεων του ενδεχοµένου σε επαναλήψεις του πειράµατος τότε ορίζουµε ως πιθανότητα εµφάνισης του ενδεχοµένου το όριο lm lm f Η έννοια του ορίου στον παραπάνω ορισµό δεν είναι αυστηρή αλλά αποδίδει συµβολικά το γεγονός της σταθεροποίησης της σχετικής συχνότητας όταν αυξάνεται σηµαντικά ο αριθµός των επαναλήψεων του πειράµατος Όπως είναι φανερό η προσέγγιση του Vo ses για τον ορισµό της πιθανότητας δεν µπορούσε να αποτελέσει τη βάση για µία αυστηρή µαθηµατική ανάπτυξη της Θεωρίας Πιθανοτήτων εν είναι δυνατή σε αρκετές περιπτώσεις ενδεχοµένως λόγω κόστους ή και χρόνου η επανάληψη ενός πειράµατος πολλές φορές Σε κάποιες περιπτώσεις ίσως να µην είναι δυνατόν να εντοπιστεί το όριο του λόγου f Ο διαπρεπής Ρώσος Μαθηµατικός olmogoov εξέλαβε τρεις ιδιότητες της πιθανότητας ως αξιώµατα Ολόκληρη η Θεωρία Πιθανοτήτων αναπτύχθηκε αυστηρά µε λογικούς µαθηµατικούς συλλογισµούς οι οποίοι ξεκινούν από τα αξιώµατα αυτά Ο olmogoov αντιστοίχισε σε κάθε ενδεχόµενο µία αριθµητική ποσότητα η οποία καλείται πιθανότητα του ενδεχοµένου Όρισε µία πραγµατική συνολοσυνάρτηση µε πεδίο ορισµού το σ πεδίο γεγονότων I και πεδίο τιµών κάθε φορά ένα οποιοδήποτε υποσύνολο του συνόλου των πραγµατικών αριθµών R Ο ορισµός που ακολουθεί είναι ο καθιερωµένος ορισµός της πιθανότητας οφείλεται στον olmogoov και καλείται αξιωµατικός ορισµός Ορισµός Αξιωµατικός ορισµός της πιθανότητας κατά olmogoov Μία πιθανότητα είναι µία συνολοσυνάρτηση : I R που έχει τις ακόλουθες ιδιότητες: Είναι µη-αρνητική δηλαδή για κάθε ενδεχόµενο I Μη-αρνητικότητα της πιθανότητας Ισχύει ότι Ω Η πιθανότητα να συµβεί το βέβαιο ενδεχόµενο Ω είναι ίση µε τη µονάδα Είναι σ προσθετική δηλαδή για οποιαδήποτε ανά δύο ξένα µεταξύ τους ασυµβίβαστα ενδεχόµενα mutuall exlusve evets U Αξίωµα της σ προσθετικότητας I δηλαδή τέτοια ώστε για κάθε I µε ισχύει ότι

23 Σύµφωνα µε τον olmogoov η πιθανότητα είναι µία πραγµατική συνολοσυνάρτηση µε πεδίο ορισµού µία οικογένεια συνόλων το σύνολο όλων των ενδεχοµένων του πειράµατος και πεδίο τιµών ένα οποιοδήποτε υποσύνολο των πραγµατικών αριθµών Ορισµός Πιθανοθεωρητικός χώρος Έστω ένα πείραµα τύχης µε δειγµατικό χώρο Ω σ πεδίο γεγονότων I και έστω µία πιθανότητα επί του I Η τριάδα Ω I καλείται πιθανοθεωρητικός χώρος pobablt spae Συνέπειες του ορισµού της πιθανότητας Μερικές συνέπειες του αξιωµατικού ορισµού της πιθανότητας είναι: δηλαδή το αδύνατο γεγονός έχει πιθανότητα ίση µε µηδέν ΩΩ Άρα Ω Ω Πεπερασµένη προσθετικότητα Αν είναι ανά δύο ξένα µεταξύ τους ενδεχόµενα τότε ισχύει ότι U Θέτουµε για άρα U U Η δεύτερη ισότητα είναι συνέπεια της ιδιότητας του Ορισµού της πιθανότητας και ο δεύτερος προσθετέος του αθροίσµατος της τρίτης ισότητας είναι προφανώς µηδενικός Το συµπλήρωµα ενός ενδεχοµένου έχει πιθανότητα Ω Ω Μία πιθανότητα είναι µία µη φθίνουσα συνάρτηση δηλαδή αν τότε Ισχύει ότι: Για οποιοδήποτε ενδεχόµενο ισχύει ότι: Προφανώς Ω Από το έχουµε ότι Ω Μία οποιαδήποτε πιθανότητα είναι υπό-προσθετική δηλαδή U Η τελευταία ανισότητα είναι γνωστή ως ανισότητα του oole oole s equalt Έχουµε ότι: U Από την σ προσθετικότητα της ισχύει ότι:

24 U Η ανισότητα είναι συνέπεια της Ιδιότητας 7 Έστω δύο ενδεχόµενα Ω Ισχύει ότι Προσθετικός νόµος ddtve law Είναι Άρα Όµως Ω Ω Εποµένως Η σχέση προκύπτει µε χρήση της Για τρία ενδεχόµενα Ω C ισχύει ότι C C C C C Στις σελίδες -8 του βιβλίου του Ρούσσα παρατίθεται η γενίκευση και η επαγωγική απόδειξη του Προσθετικού Νόµου 7 Παράδειγµα Έστω ένα πείραµα τύχης µε δειγµατικό χώρο Ω και σ πεδίο ενδεχοµένων I Έστω δύο ενδεχόµενα τέτοια ώστε και Βρείτε τις ακόλουθες πιθανότητες: α Tουλάχιστον ένα ενδεχόµενο συµβαίνει β όνο το ενδεχόµενο συµβαίνει γ Oύτε το ενδεχόµενο συµβαίνει ούτε το ενδεχόµενο συµβαίνει δ Tο πολύ ένα από τα δύο ενδεχόµενα συµβαίνει Λύση α β γ ] [ δ ] [

25 Παράδειγµα 7 Έστω δύο ενδεχόµενα και είξτε ότι η πιθανότητα να συµβεί ακριβώς ένα από τα δύο ενδεχόµενα είναι ίση µε Λύση Θέλουµε να βρούµε την πιθανότητα του ενδεχοµένου Όµως Άρα ισχύει ότι Όµως Ω Όµοια αφού Εποµένως Παράδειγµα 8 Από τον έλεγχο που έγινε σε µία ηµέρα σε ένα µεγάλο αριθµό οδηγών βρέθηκε ότι το 7% των οδηγών δε φορούσε ζώνη ασφαλείας το % των οδηγών δεν είχε πυροσβεστήρα στο αυτοκίνητο ενώ στο % των οδηγών διαπιστώθηκαν και οι δύο παραβάσεις Την επόµενη µέρα ελέγχεται ένας οδηγός και θεωρούµε τα ενδεχόµενα : ο οδηγός δεν φοράει ζώνη ασφαλείας και : ο οδηγός δεν έχει πυροσβεστήρα στο αυτοκίνητό του Να υπολογιστεί η πιθανότητα των ενδεχοµένων Λύση Επειδή το µέγεθος του δείγµατος είναι µεγάλο από το στατιστικό ορισµό της πιθανότητας προκύπτει προσεγγιστικά ότι στον πληθυσµό των οδηγών οι πιθανότητες των ενδεχοµένων και είναι ίσες µε 7 Εποµένως 8 [ ] 9 [ ] Το θεώρηµα Συνέχειας Μία πραγµατική συνάρτηση f : R R είναι συνεχής αν και µόνο αν για οποιαδήποτε συγκλίνουσα ακολουθία πραγµατικών αριθµών x } ισχύει lm f x f lm x Η συνάρτηση πιθανότητας είναι µία συνεχής { συνάρτηση Πριν παρουσιάσουµε το Θεώρηµα Συνέχειας χρειαζόµαστε την έννοια της µονότονης mootoe αύξουσας ή φθίνουσας ακολουθίας ενδεχοµένων easg o deeasg sequee of evets

26 Ορισµός Μία ακολουθία ενδεχοµένων λέγεται αύξουσα φθίνουσα και γράφουµε αν αντίστοιχα αν Γράφουµε U lm αν και lm αν I Αν θεωρήσουµε ως δειγµατικό χώρο το σύνολο Ω R των πραγµατικών αριθµών και ορίσουµε τις ακολουθίες ενδεχοµένων και είναι φανερό ότι η ακολουθία { } είναι αύξουσα ενώ η ακολουθία { } είναι φθίνουσα Επιπλέον ισχύει ότι lm [ ] και lm {} Θεώρηµα Θεώρηµα Συνέχειας Αν η ακολουθία ενδεχοµένων είναι µονότονη δηλαδή είτε αύξουσα είτε φθίνουσα τότε lm lm Απόδειξη ιακρίνουµε δύο περιπτώσεις η περίπτωση Έστω ότι η ακολουθία είναι αύξουσα Θέτουµε Τα σύνολα { } είναι ξένα ανά δύο µεταξύ τους Τότε U U και U U Άρα lm U U lm lm U lm U lm lm lm η περίπτωση Έστω ότι η ακολουθία Εφαρµόζοντας την πρώτη περίπτωση έχουµε διαδοχικά lm lm lm lm και είναι φθίνουσα Τότε η ακολουθία είναι αύξουσα U I I Εποµένως lm I Συνεπώς lm lm Παράδειγµα 9 Θεωρούµε έναν πληθυσµό ατόµων που µπορούν να αναπαράγουν απογόνους Ο αριθµός των ατόµων που αρχικά υπάρχουν στον πληθυσµό συµβολίζεται µε X και καλείται µέγεθος της µηδενικής γενιάς Όλοι οι απόγονοι της µηδενικής γενιάς συνιστούν την πρώτη γενιά και το µέγεθος της πρώτης γενιάς συµβολίζεται µε X Γενικά έστω ότι µε X συµβολίζουµε το µέγεθος της οστής γενιάς Αν για κάποιο

27 ισχύει ότι X τότε X Συνεπώς στην περίπτωση αυτή η ακολουθία X είναι µία αύξουσα ακολουθία ενδεχοµένων και εποµένως το όριο lm { X } υπάρχει Από το Θεώρηµα Συνέχειας ισχύει ότι: { lm{ X } } { X } { lm { X } U ο πληθυσµός κάποτε θα αφανιστεί} Οι τελευταίες ισότητες µας λένε ότι για κάποιο αρκετά µεγάλο η «οριακή» πιθανότητα ότι η γενιά δεν θα έχει κανένα άτοµο ισούται µε την πιθανότητα του «τελικού» αφανισµού του πληθυσµού οστή Παράδειγµα Ας υποθέσουµε ότι έχουµε έναν αρχικό πληθυσµό του οποίου τα άτοµα είναι δυνατόν πριν πεθάνουν να γεννήσουν απογόνους σχηµατίζοντας έτσι τις επόµενες γενιές Αν η πιθανότητα να εξαφανιστεί ο πληθυσµός στην οστή γενιά λόγω θανάτου όλων των ατόµων του πληθυσµού πριν προλάβουν να παράγουν απογόνους είναι ίση µε exp ποια είναι η πιθανότητα να ζήσει ο πληθυσµός για πάντα; Λύση Αν συµβολίσουµε µε τα ενδεχόµενα : ο πληθυσµός εξαφανίζεται κατά την οστή γενιά είναι προφανές ότι η ακολουθία ενδεχοµένων { } είναι αύξουσα δηλαδή Το ενδεχόµενο εξαφάνισης του πληθυσµού σε κάποια γενιά περιγράφεται από την ένωση U lm και έχει πιθανότητα εµφάνισης U lm lm lm exp e Εποµένως η ζητούµενη πιθανότητα είναι ίση µε U e 88 Παράδειγµα Έστω ότι ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης περιγράφεται από το σύνολο Ω R των πραγµατικών αριθµών και ότι οι πιθανότητες των ενδεχοµένων a a όπου a R δίνονται από τον τύπο Να υπολογιστεί η πιθανότητα του απλού ενδεχοµένου {a} Λύση Η ακολουθία των ενδεχοµένων { } είναι µία φθίνουσα ακολουθία ενδεχοµένων επειδή Επιπλέον ισχύει ότι a} lm Εφαρµόζουµε το Θεώρηµα της Συνέχειας της συνάρτησης πιθανότητας { και έχουµε lm lm lm 7

28 εσµευµένη πιθανότητα Θεωρούµε το τυχαίο πείραµα της ρίψης ενός ζαριού Ισχύει ότι της ρίψης του ζαριού θα είναι άρτιο τότε { } ίνουµε τον ακόλουθο ορισµό { } Αν είναι γνωστό ότι το αποτέλεσµα Ορισµός εσµευµένη πιθανότητα Έστω Ω ένας δειγµατικός χώρος και ένα ενδεχόµενο του Ω τέτοιο ώστε > Για κάθε ενδεχόµενο του Ω η δεσµευµένη πιθανότητα odtoal pobablt του δοθέντος του gve ορίζεται ως εξής: Γνωρίζουµε λοιπόν ότι το αποτέλεσµα της ρίψης του ζαριού θα είναι άρτιο και ζητάµε την πιθανότητα να εµφανιστεί το αποτέλεσµα Θεωρούµε το ενδεχόµενο { } και το ενδεχόµενο {} Τότε {} {} Παράδειγµα Θεωρούµε τις οικογένειες µε δύο παιδιά Έστω ότι µε συµβολίζουµε το αγόρι και µε το κορίτσι Ο δειγµατικός χώρος είναι Ω { } Θεωρούµε ότι το «πρώτο» σύµβολο της δυάδας που αναπαριστά το δειγµατικό σηµείο του Ω δηλώνει το µεγαλύτερο σε ηλικία παιδί Θεωρούµε τα ενδεχόµενα παιδιά ίδιου φύλου { } και C τουλάχιστον ένα αγόρι { } Ποια είναι η πιθανότητα τα παιδιά να είναι του ίδιου φύλου αν γνωρίζουµε ότι τουλάχιστον ένα είναι αγόρι; C Λύση Ζητάµε την πιθανότητα C Έχουµε C ενώ C Παράδειγµα Έστω ότι ένα δοχείο περιέχει δεκαπέντε λευκούς δέκα κίτρινους και πέντε µαύρους βώλους ιαλέγουµε τυχαία ένα βώλο από το δοχείο Ποια είναι η πιθανότητα να είναι κίτρινος αν γνωρίζουµε ότι δεν είναι µαύρος; Λύση Έστω και τα ενδεχόµενα επιλογής κίτρινου και µαύρου βώλου αντίστοιχα Ζητάµε την πιθανότητα Έχουµε 8

29 9 Παράδειγµα Ένας φίλος µας ρίχνει ένα ζάρι φορές και µας δίνει την πληροφορία ότι εµφανίστηκε τουλάχιστον ένα Ποια είναι η πιθανότητα να έχουν εµφανιστεί δύο ή περισσότερα ; Λύση Στο δειγµατικό χώρο του πειράµατος ας ορίσουµε τα ενδεχόµενα: : εµφανίστηκαν δύο ή περισσότερα : εµφανίστηκε τουλάχιστον ένα : δεν εµφανίστηκε κανένα : εµφανίστηκε ακριβώς ένα Ζητάµε τη δεσµευµένη πιθανότητα για την οποία µπορούµε να γράψουµε διότι Για τον υπολογισµό της πιθανότητας έχουµε Για τον υπολογισµό της πιθανότητας παρατηρούµε ότι διότι τα ενδεχόµενα και είναι ξένα ανά δύο µεταξύ τους Ισχύει ότι 9 9 Εποµένως 9 Συνεπώς 9 9 Θεώρηµα Πολλαπλασιαστικό θεώρηµα Αν είναι ενδεχόµενα τέτοια ώστε > I τότε L I I I * Απόδειξη Με επαγωγή Για η αποδεικτέα σχέση * ισχύει Έστω ότι η * ισχύει για Θα δείξουµε ότι ισχύει για I I I I L I I Το θεώρηµα ισχύει Παράδειγµα Έστω ότι µία κάλπη περιέχει δέκα σφαιρίδια εκ των οποίων τα πέντε είναι µαύρα τα τρία είναι κόκκινα και τα δύο είναι άσπρα Επιλέγουµε χωρίς επανατοποθέτηση τέσσερα σφαιρίδια Θεωρούµε τα

30 ενδεχόµενα : το πρώτο σφαιρίδιο είναι µαύρο : το δεύτερο σφαιρίδιο είναι κόκκινο : το τρίτο σφαιρίδιο είναι άσπρο και : το τέταρτο σφαιρίδιο είναι µαύρο Να βρεθεί η πιθανότητα να πραγµατοποιηθούν και τα τέσσερα ενδεχόµενα Λύση Ζητάµε την πιθανότητα Χρησιµοποιούµε το Θεώρηµα και έχουµε ότι Όµως Συνεπώς Θεώρηµα Ολικής Πιθανότητας και Θεώρηµα aes Ας θεωρήσουµε το εξής πρόβληµα Σε ένα πείραµα τύχης έχουµε ορίσει δύο ενδεχόµενα και υπάρχει η δυνατότητα να υπολογίσουµε τις δεσµευµένες πιθανότητες καθώς επίσης και την πιθανότητα εµφάνισης του ενδεχοµένου Χρησιµοποιώντας αυτά τα στοιχεία θα µπορούσαµε να υπολογίσουµε τη µη-δεσµευµένη πιθανότητα του ενδεχοµένου ; Η απάντηση είναι καταφατική δίνεται από το παρακάτω θεώρηµα το οποίο παρουσιάζουµε στη γενική του µορφή και είναι γνωστό ως Θεώρηµα Ολικής Πιθανότητας Total obablt Theoem Θεώρηµα Θεώρηµα Ολικής Πιθανότητας Αν οποιοδήποτε ενδεχόµενο ισχύει ότι ξένα ανά δύο µεταξύ τους ενδεχόµενα τότε για Τα ενδεχόµενα I αποτελούν διαµέριση του Ω δηλαδή είναι τέτοια ώστε U Ω Απόδειξη Είναι Ω U U Άρα U Η δεύτερη ισότητα προκύπτει από τη συνέπεια του αξιωµατικού ορισµού της πιθανότητας κατά olmogoov πεπερασµένη προσθετικότητα διότι για κάθε ισχύει ότι

31 Παράδειγµα Ένα αεροπλάνο έχει συντριβεί σε µία περιοχή που διαιρείται σε δάσος βουνό και θάλασσα Οι πιθανότητες το αεροπλάνο να έπεσε σε δάσος βουνό και θάλασσα είναι αντίστοιχα Θ και Οι πιθανότητες ευρέσεως του αεροπλάνου είναι α αν έπεσε σε δάσος β αν έπεσε σε θάλασσα Θ και γ αν έπεσε σε βουνό Να βρεθεί η πιθανότητα ευρέσεως του αεροπλάνου Λύση Ο δειγµατικός χώρος είναι Ω { Θ } όπου Θ και είναι ξένα ανά δύο µεταξύ τους ενδεχόµενα και είναι τέτοια ώστε Θ Ω Χρησιµοποιούµε το Θεώρηµα για να υπολογίσουµε την πιθανότητα ευρέσεως του αεροπλάνου Έχουµε Θ Θ Παράδειγµα 7 Περίπου % των ανδρών και % των γυναικών πάσχουν από αχρωµατοψία Ποια είναι η πιθανότητα ένα άτοµο που επιλέγεται στην τύχη από το ακροατήριο µιας διάλεξης να πάσχει από αχρωµατοψία αν στην αίθουσα υπάρχουν άνδρες και 7 γυναίκες; Λύση Ορίζουµε τα ενδεχόµενα : το άτοµο που επιλέχθηκε πάσχει από αχρωµατοψία : το άτοµο που επιλέχθηκε είναι άνδρας : το άτοµο που επιλέχθηκε είναι γυναίκα Τα ενδεχόµενα αποτελούν διαµέριση του δειγµατικού χώρου Ω του πειράµατος τύχης της επιλογής ενός ατόµου από το ακροατήριο της διάλεξης Εφαρµόζουµε το Θεώρηµα Ολικής Πιθανότητας και έχουµε Όµως Συνεπώς Παράδειγµα 8 Έστω ότι µία κάλπη περιέχει επτά κόκκινα και τρία µαύρα σφαιρίδια Επιλέγουµε τυχαία δύο σφαιρίδια Έστω αντίστοιχα το ενδεχόµενο το οστό σφαιρίδιο να είναι κόκκινο µαύρο Να βρεθεί η πιθανότητα αν η εξαγωγή των σφαιριδίων πραγµατοποιείται και µε τους δύο τρόπους δηλαδή µε επανατοποθέτηση και χωρίς επανατοποθέτηση Λύση Έστω ότι η εξαγωγή γίνεται µε επανατοποθέτηση 7 7 Τότε και

32 Έστω ότι η εξαγωγή γίνεται χωρίς επανατοποθέτηση Χρησιµοποιούµε το Θεώρηµα Ολικής Πιθανότητας και έχουµε Σε αυτή την περίπτωση Ένα πολύ συνηθισµένο και βασικό πρόβληµα της Θεωρίας Πιθανοτήτων είναι ο υπολογισµός των εκ των υστέρων πιθανοτήτων από τις εκ των προτέρων µη δεσµευµένες πιθανότητες και τις δεσµευµένες πιθανότητες I όπου I είναι ένα οποιοδήποτε σύνολο δεικτών Η γενική έκφραση υπολογισµού είναι µία εφαρµογή του Θεωρήµατος Ολικής Πιθανότητας και αποδίδεται στον Thomas aes aes Theoem ο οποίος έζησε τον 8 ο αιώνα Θεώρηµα Θεώρηµα του aes Αν ξένα ανά δύο µεταξύ τους ενδεχόµενα τέτοια ώστε Ω U και κάποιο ενδεχόµενο τότε για κάθε } { Απόδειξη Είναι Παράδειγµα 9 Έστω µία ασφαλιστική εταιρεία που διαθέτει κάποιους οδηγούς εκ των οποίων κάποιοι είναι ασφαλείς οδηγοί κάποιοι είναι µέτριοι οδηγοί και κάποιοι είναι κακοί οδηγοί Η πιθανότητα να είναι κάποιος οδηγός ασφαλής µέτριος και κακός είναι αντίστοιχα και Αν είναι το ενδεχόµενο να έχουµε κάποιο ατύχηµα κατά τη διάρκεια ενός έτους τότε και Να βρεθεί η πιθανότητα να είναι κάποιος ασφαλής οδηγός αν δεν έχει κανένα ατύχηµα κατά τη διάρκεια ενός έτους Λύση Ζητάµε την πιθανότητα ] [ ] [ ] [ ] [

33 Παράδειγµα Είναι γνωστό ότι το ενός πληθυσµού έχει µία ασθένεια δηλαδή Για τη διάγνωση της ασθένειας έχει επινοηθεί ένα ιατρικό τεστ το οποίο είναι θετικό και είναι σωστό µε πιθανότητα 9 ενώ βγαίνει θετικό και είναι λανθασµένο µε πιθανότητα δηλαδή Θ 9 και Θ οθέντος ότι το τεστ βγαίνει θετικό ποια είναι η πιθανότητα να είναι ένα άτοµο του πληθυσµού ασθενή; Λύση Ζητάµε την πιθανότητα Θ Εφαρµόζουµε το Θεώρηµα aes Ο δειγµατικός χώρος είναι Ω { } Ισχύει ότι και Ω Τότε Θ 9 Θ Θ Θ 9 99 Παράδειγµα Η µητέρα της Πόπης τη ρωτάει πόσα χρήµατα έχει στο πορτοφόλι της Εκείνη της απαντάει ότι έχει ένα χαρτονόµισµα των ευρώ ή ένα των ευρώ χωρίς να θυµάται τι από τα δύο Η µητέρα τοποθετεί στο πορτοφόλι της ένα χαρτονόµισµα των ευρώ χωρίς να το γνωρίζει η Πόπη Όταν αργότερα η Πόπη βγάζει από το πορτοφόλι της ένα χαρτονόµισµα παρατηρεί ότι είναι των ευρώ Ποια είναι η πιθανότητα το χαρτονόµισµα που έµεινε στο πορτοφόλι να είναι των ευρώ; Λύση Πριν από την εξαγωγή του χαρτονοµίσµατος των ευρώ το πορτοφόλι της Πόπης περιείχε είτε ένα χαρτονόµισµα των ευρώ και ένα χαρτονόµισµα των ευρώ ενδεχόµενο Π είτε δύο χαρτονοµίσµατα των ευρώ ενδεχόµενο Π µε αντίστοιχες πιθανότητες Π Π Ορίζουµε το ενδεχόµενο : η Πόπη έβγαλε ένα χαρτονόµισµα των ευρώ από το πορτοφόλι της Ζητάµε την πιθανότητα Π Χρησιµοποιούµε το Θεώρηµα του aes και έχουµε Π Π Π Π Π Π Π 7 Ανεξάρτητα ενδεχόµενα Υπάρχουν περιπτώσεις στις οποίες η γνώση ότι συνέβη ή δεν συνέβη ένα ενδεχόµενο δε δίνει καµία πληροφορία για την εµφάνιση ή µη ενός ενδεχοµένου Για να είναι δύο ενδεχόµενα > ανεξάρτητα µεταξύ τους θα πρέπει µε >

34 Λέµε ότι το ενδεχόµενο είναι ανεξάρτητο από το ενδεχόµενο και από την τελευταία ισότητα έπεται ότι και το ενδεχόµενο είναι ανεξάρτητο από το ενδεχόµενο ίνουµε τους ακόλουθους ορισµούς Ορισµός Ανεξάρτητα ενδεχόµενα ύο ενδεχόµενα είναι στοχαστικά ή στατιστικά ανεξάρτητα stohastall o statstall depedet αν και µόνο αν Στην αντίθετη περίπτωση αν δηλαδή ισχύει ότι τα ενδεχόµενα καλούνται εξαρτηµένα depedet Ορισµός Πλήρως ανεξάρτητα ενδεχόµενα Τα ενδεχόµενα του ίδιου δειγµατικού χώρου Ω καλούνται πλήρως ανεξάρτητα αν για κάθε επιλογή διαφορετικών δεικτών σύνολο { } και για κάθε ισχύουν οι ισότητες: από το L L { } Παρατήρηση Για τον έλεγχο της πλήρους ανεξαρτησίας των ενδεχοµένων ο αριθµός των σχέσεων που πρέπει να ελεγχθούν είναι Για να ελεγχθεί η ανεξαρτησία δύο ενδεχοµένων από τα χρειάζεται να ελεγχθούν σχέσεις για την ανεξαρτησία τριών ενδεχοµένων από τα χρειάζεται να ελεγχθούν σχέσεις για την ανεξαρτησία ενδεχοµένων από τα χρειάζεται να ελεγχθούν σχέσεις δηλαδή µία σχέση Όµως L Για παράδειγµα για ενδεχόµενα του ίδιου δειγµατικού χώρου Ω και για τον έλεγχο της πλήρους ανεξαρτησία τους χρειάζεται να ελέγξουµε αν ισχύουν οι ακόλουθες τέσσερις ισότητες: και Προφανώς όταν το αυξάνει ο αριθµός θα γίνεται υπερβολικά µεγάλος µε αποτέλεσµα να είναι αρκετά δύσκολος ο έλεγχος όλων των ισοτήτων που απαιτούνται για την εξασφάλιση της πλήρους ανεξαρτησίας ενδεχοµένων Στην πράξη από τη φύση του πειράµατος και την περιγραφή των ενδεχοµένων είµαστε σε θέση να πούµε κατά πόσο δύο ή περισσότερα ενδεχόµενα είναι ανεξάρτητα ή εξαρτηµένα Για παράδειγµα στο τυχαίο πείραµα της ρίψης δύο ζαριών οποιοδήποτε ενδεχόµενο σχετίζεται µόνο µε το