ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ Σηµειώσεις για το µάθηµα ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Θεοδόσης ηµητράκος e-mal: Σάµος 0

2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι έννοιες του «τυχαίου» και του «πιθανού» είναι, σήµερα, λίγο-πολύ γνωστές και εξηγούνται µε τη διαίσθηση και την κοινή λογική Ο µεγάλος Γάλλος Mαθηµατικός Laplae έγραψε ότι: «Οι Πιθανότητες δεν είναι τίποτε άλλο παρά η µετατροπή της κοινής λογικής σε µαθηµατικές εκφράσεις» Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ο κλάδος των Μαθηµατικών που µελετά τα τυχαία ή στοχαστικά φαινόµενα, δηλαδή εκείνα τα φαινόµενα που εξελίσσονται σε συνθήκες αβεβαιότητας Χαρακτηριστικό παράδειγµα τυχαίου φαινοµένου είναι η ρίψη ενός νοµίσµατος Αν ρίξουµε ένα νόµισµα 000 φορές οι εµφανίσεις γραµµάτων και κεφαλών εναλλάσσονται µε έναν ακανόνιστο και απρόβλεπτο τρόπο Οι Πιθανότητες χρησιµοποιούνται σε πολλές επιστήµες και σε πολλές δραστηριότητες της καθηµερινής µας ζωής Αποτελέσµατα της Θεωρίας Πιθανοτήτων χρησιµοποιούνται στη Στατιστική, στην Επιχειρησιακή Έρευνα, στην Αναλογιστική Επιστήµη, στην Οικονοµετρία, στη Φυσική, στη Βιολογία, στην Ιατρική και αλλού Τα στοιχήµατα στηρίζονται στη λογική των Πιθανοτήτων Το ίδιο συµβαίνει και µε τους µηχανισµούς που προσπαθούν να αξιολογήσουν την ικανότητα των µαθητών µέσω tests Ιστορικά, η αυστηρή εφαρµογή της Θεωρίας των Πιθανοτήτων έγινε αρχικά σε παιχνίδια τύχης Οι Αιγύπτιοι από το 000 πχ χρησιµοποιούσαν τον «αστράγαλο», ένα κόκκαλο ζώου µε τέσσερις πλευρές, για να παίζουν παιχνίδια τύχης Ο «αστράγαλος» αποτέλεσε τον πρόγονο του γνωστού ζαριού το οποίο εµφανίστηκε για πρώτη φορά γύρω στα 600 πχ Στην Κίνα µεταξύ του 7 ου και του 0 ου αιώνα µχ εµφανίστηκαν τυχερά παιχνίδια που βασίζονταν σε κάρτες τραπουλόχαρτα Μέσα από τα τυχερά παιχνίδια άρχισε να αναπτύσσεται η ιδέα της συχνότητας εµφάνισης ορισµένων αποτελεσµάτων και εποµένως της πιθανότητας Η ουσιαστική ανάπτυξη της Θεωρίας Πιθανοτήτων ξεκίνησε από τις επιστολές των asal 6-66 και Femat γύρω στα 60 µχ οι οποίες περιείχαν τον υπολογισµό πιθανοτήτων σε αρκετά παραδείγµατα από τυχερά παιγνίδια Ένα από τα προβλήµατα που απασχόλησαν τους asal και Femat ήταν το περίφηµο πρόβληµα του Chevale de Mee Ένα ζάρι ρίπτεται τέσσερις φορές και δύο ζάρια ρίπτονται είκοσι-τέσσερις φορές Το ερώτηµα είναι αν η πιθανότητα εµφάνισης ενός άσσου τουλάχιστον µία φορά στις τέσσερις ρίψεις του ενός ζαριού ισούται µε την πιθανότητα εµφάνισης ενός ζεύγους άσσων τουλάχιστον µία φορά στις είκοσι-τέσσερις ρίψεις των δύο ζαριών Η απάντηση στο ερώτηµα είναι αρνητική Το πρώτο βιβλίο Πιθανοτήτων µε τίτλο O alulatos Games of Chae γράφτηκε από τον Γερµανό Chsta Hughes Εξέχουσα θέση στη ραγδαία ανάπτυξη και στην εξέλιξη της Θεωρίας Πιθανοτήτων στη πορεία του χρόνου κατέχουν πολλοί διάσηµοι Μαθηµατικοί αλλά και άλλοι επιστήµονες όπως, µεταξύ άλλων, οι James eoull 6-70, baham de Move 667-7, ee Smo Laplae 79-87, Smeo Des osso και Kal Fedh Gauss Μεταγενέστεροι είναι οι afut Chebshev 8-89, de Maov 86-9, Rhad Vo Mses 88-9 και de Kolmogoov

3 Στις σηµειώσεις αυτές θα αναλύσουµε τις σηµαντικότερες έννοιες της Θεωρίας Πιθανοτήτων Στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζουµε τα βασικότερα στοιχεία της Συνδυαστικής Ανάλυσης τα οποία είναι απαραίτητα για την κατανόηση των εννοιών του επόµενου κεφαλαίου Στο δεύτερο κεφάλαιο δίνονται οι διάφοροι ορισµοί της πιθανότητας µαζί µε βασικές έννοιες και σχετικά θεωρήµατα Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζουµε την έννοια της τυχαίας µεταβλητής και µελετάµε τις σηµαντικότερες ιδιότητές της Στο τέταρτο κεφάλαιο κάνουµε µία εισαγωγή στη θεωρία των διανυσµατικών τυχαίων µεταβλητών µελετώντας διεξοδικά έννοιες που σχετίζονται µε τη θεωρία των διδιάστατων διανυσµατικών τυχαίων µεταβλητών όπως για παράδειγµα, µεταξύ άλλων, τη συνδιακύµανση, το συντελεστή συσχέτισης, τις περιθώριες κατανοµές και τις δεσµευµένες κατανοµές Στο πέµπτο κεφάλαιο µελετούµε τις ροπογεννήτριες Στο έκτο κεφάλαιο παρουσιάζουµε τον Ισχυρό Νόµο των Μεγάλων Αριθµών και το Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα Η εισαγωγή κάθε καινούργιας έννοιας διανθίζεται µε κατάλληλα σχετικά παραδείγµατα Σκοπός των παρόντων σηµειώσεων είναι να διευκολύνουν την παρακολούθηση των φοιτητών που δεν θα χρειάζεται να αντιγράφουν ό,τι γράφεται στον πίνακα Επίσης θα τους διευκολύνουν στη µελέτη της ύλης που διδάχτηκε σε συνδυασµό µε τα διδακτικά βιβλία Επισηµαίνεται ότι το παρόν κείµενο είναι υπό διαρκή εξέλιξη Θα εκτιµούσαµε ιδιαιτέρως οποιαδήποτε πρόταση για τη βελτίωσή του όπως και τυχόν παρατηρήσεις σχετικά µε ορθογραφικά/τυπογραφικά σφάλµατα, λάθη στις ασκήσεις και κάθε φύσεως πρόβληµα Εκτός των παρόντων σηµειώσεων, ως βιβλία για παραιτέρω µελέτη προτείνουµε, µεταξύ άλλων, τα ακόλουθα: [] Γ Ρούσσα, Θεωρία Πιθανοτήτων, Μετάφραση: ηµήτριος Ιωαννίδης, Εκδόσεις Ζήτη, 99 [] S M Ross, Fst Couse obablt, Seod Edto, Mamlla ublshg Compa, 98 [] Hoel, S ot, C Stoe, Εισαγωγή στη Θεωρία Πιθανοτήτων, Μετάφραση: πόστολος Γιαννόπουλος, Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Κρήτης, 00 [] Μ Κούτρα, Εισαγωγή στις Πιθανότητες, Θεωρία και Εφαρµογές, εύτερη Έκδοση, Εκδόσεις Αθ Σταµούλη, Μέρος Ι, 00, Μέρος ΙΙ, 00 [] G Roussas, Couse Mathematal Statsts, Seod Edto, adem ess, 997 [6] Σ Κουνιά & Χ Μωυσιάδη, Θεωρία Πιθανοτήτων Ι: Κλασσική πιθανότητα, Μονοδιάστατες Κατανοµές, Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονική, 999 [7] R M Spegel, Πιθανότητες και Στατιστική, Μετάφραση: Σωτήριος Κ Περσίδης, MGaw-Hll, New Yo, ΕΣΠΙ, Αθήνα, 977 [8] Ε Ξεκαλάκη & Ι Πανάρετου, Πιθανότητες και Στοιχεία Στοχαστικών Ανελίξεων, η Έκδοση, Αθήνα, 99 [9] Α Χ Χαραλαµπίδη, Θεωρία Πιθανοτήτων και εφαρµογές, Εκδόσεις Συµµετρία, Αθήνα, 990 [0] Τ Παπαϊωάννου, Εισαγωγή στις Πιθανότητες, Εκδόσεις Σταµούλη, Αθήνα, 000

4 [] S M Ross, Βασικές αρχές θεωρίας Πιθανοτήτων, Μετάφραση και επιστηµονική επιµέλεια: Βαγγέλης Φελουζής, η Έκδοση, Εκδόσεις Κλειδάριθµος, Αθήνα, 0 [] Θ Π Ξένου, Πιθανότητες, Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη, 0 Ο ιδάσκων Θεοδόσης ηµητράκος Σάµος 0

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Στοιχεία Συνδυαστικής Ανάλυσης 0 Εισαγωγή 7 Βασική αρχή απαρίθµησης 7 ειγµατοληψία 8 Κατανοµή σφαιριδίων σε κληρωτίδες Ασκήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η έννοια της Πιθανότητας 0 Εισαγωγή 0 Πείραµα τύχης, δειγµατικός χώρος και στοιχεία θεωρίας συνόλων 0 Ο κλασσικός, ο στατιστικός και ο αξιωµατικός ορισµός της πιθανότητας Συνέπειες του ορισµού της πιθανότητας 8 Το θεώρηµα Συνέχειας εσµευµένη πιθανότητα 6 Θεώρηµα Ολικής Πιθανότητας και Θεώρηµα aes 6 7 Ανεξάρτητα ενδεχόµενα 9 8 ύο δηµοφιλή προβλήµατα πιθανοτήτων 9 Ασκήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τυχαίες Μεταβλητές 0 Εισαγωγή Τυχαίες Μεταβλητές Η συνάρτηση κατανοµής και οι ιδιότητές της 6 ιακριτές και συνεχείς τυχαίες µεταβλητές 7 Παραδείγµατα διακριτών τυχαίων µεταβλητών 60 Παραδείγµατα συνεχών τυχαίων µεταβλητών 67 6 Προτάσεις, εφαρµογές και προβλήµατα 76

6 7 Μέση τιµή 78 8 Ροπές τυχαίων µεταβλητών 80 9 Ανισότητες ροπών και πιθανοτήτων 8 0 Ασκήσεις 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ζεύγη τυχαίων µεταβλητών 0 Εισαγωγή 9 Ζεύγη τυχαίων µεταβλητών 9 Ζεύγη διακριτών διανυσµατικών τυχαίων µεταβλητών 9 Ζεύγη συνεχών διανυσµατικών τυχαίων µεταβλητών 9 Ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές 99 Μέση τιµή και διασπορά δύο τυχαίων µεταβλητών 0 6 Συνδιακύµανση δύο τυχαίων µεταβλητών 0 7 Συντελεστής συσχέτισης δύο τυχαίων µεταβλητών 07 8 Εύρεση της κατανοµής συναρτήσεων τυχαίων µεταβλητών 0 9 εσµευµένη συνάρτηση πιθανότητας και δεσµευµένη συνάρτηση πυκνότητας 0 εσµευµένη µέση τιµή 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ροπογεννήτριες 0 Εισαγωγή Ροπογεννήτριες Παραδείγµατα υπολογισµών 6 Κατανοµή του αθροίσµατος ανεξάρτητων τυχαίων µεταβλητών 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Ο Ισχυρός Νόµος των Μεγάλων Αριθµών και το Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα 60 Εισαγωγή 6 Όρια ακολουθιών τυχαίων µεταβλητών 6 Ο Ισχυρός Νόµος των Μεγάλων Αριθµών 6 Το Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα 6

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 0 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα αναπτύξουµε µε συντοµία τα βασικά εργαλεία της Συνδυαστικής Ανάλυσης ή απλά Συνδυαστικής Η Συνδυαστική είναι µία ιδιαίτερη περιοχή των Μαθηµατικών Είναι εξαιρετικά χρήσιµη διότι προσφέρει τεχνικές υπολογισµού του πλήθους των στοιχείων πληθικού αριθµού ή πληθαρίθµου πεπερασµένων συνόλων ή υποσυνόλων τους µε συγκεκριµένες ιδιότητες, χωρίς να καταφεύγουµε κάθε φορά σε πλήρη καταγραφή Αυτές οι τεχνικές αναφέρονται συνήθως ως µέθοδοι απαρίθµησης Το υλικό από το πεδίο της Συνδυαστικής που θα παρουσιάσουµε σ αυτό το κεφάλαιο είναι εκείνο που κρίνεται απολύτως απαραίτητο για να αντιµετωπισθούν ικανοποιητικά αντίστοιχα προβλήµατα της θεωρίας πιθανοτήτων των επόµενων κεφαλαίων Βασική αρχή απαρίθµησης Έστω ότι κατά την απαρίθµηση των στοιχείων ενός συνόλου ισχύουν οι εξής δύο υποθέσεις: α η διαδικασία της απαρίθµησης µπορεί να χωριστεί σε διαφορετικές φάσεις οι οποίες µπορούν να εκτελεστούν διαδοχικά η µία µετά την άλλη β το πλήθος των δυνατών επιλογών σε κάθε φάση είναι πλήρως καθορισµένο όταν είναι γνωστά τα αποτελέσµατα όλων των προηγούµενων φάσεων Τότε η απαρίθµηση µπορεί να γίνει µε τη χρήση µίας βασικής αρχής της Συνδυαστικής που είναι γνωστή µε την ονοµασία Βασική Αρχή Απαρίθµησης ή Πολλαπλασιαστική Αρχή Βασική Αρχή Απαρίθµησης ή Πολλαπλασιαστική Αρχή Αν το στοιχείο a µπορεί να επιλεγεί µε v διαφορετικούς τρόπους και για κάθε επιλογή του a το στοιχείο a µπορεί να επιλεγεί µε v διαφορετικούς τρόπους,, και για κάθε επιλογή των στοιχείων a, a,, a, το στοιχείο a µπορεί να επιλεγεί µε v διαφορετικούς τρόπους, τότε όλα τα στοιχεία, συγκεκριµένη σειρά, κατά v v v τρόπους a a,, a µπορούν να επιλεγούν διαδοχικά και µε αυτή τη Εφαρµογή Ρίψη τριών νοµισµάτων Χωρίζουµε το πείραµα T σε τρεις φάσεις, T,T και T όπου η φάση T,,, είναι η ρίψη του οστού νοµίσµατος Για το ο νόµισµα έχουµε δύο δυνατά αποτελέσµατα Για το ο νόµισµα έχουµε δύο δυνατά αποτελέσµατα Για το ο νόµισµα οµοίως έχουµε δύο δυνατά αποτελέσµατα Σύµφωνα µε τη βασική αρχή απαρίθµησης για τη ρίψη των τριών νοµισµάτων έχουµε δυνατά 7

8 αποτελέσµατα Γενικεύοντας το παραπάνω αποτέλεσµα για τη ρίψη νοµισµάτων τα δυνατά αποτελέσµατα είναι Εφαρµογή Ρίψη δύο ζαριών Χωρίζουµε το πείραµα T σε δύο φάσεις T,T όπου η φάση T,, είναι η ρίψη του οστού ζαριού Για τη ρίψη του ου ζαριού έχουµε έξι δυνατά αποτελέσµατα και για τη ρίψη του ου ζαριού έχουµε οµοίως έξι δυνατά αποτελέσµατα Σύµφωνα µε τη βασική αρχή απαρίθµησης για τη ρίψη των δύο ζαριών έχουµε δυνατά αποτελέσµατα είναι 6 6 δυνατά αποτελέσµατα Γενικεύοντας το παραπάνω αποτέλεσµα για τη ρίψη ζαριών τα Εφαρµογή Έστω ότι κάποιος διαθέτει πέντε κοστούµια, τρία ζευγάρια παπούτσια και δύο καπέλα Κατά πόσους διαφορετικούς τρόπους µπορεί να ντυθεί; Απάντηση Εφαρµόζουµε τη βασική αρχή απαρίθµησης Μπορεί να ντυθεί µε 0 τρόπους Εφαρµογή Έστω το σύνολο J s, s,, s } Πόσα διαφορετικά υποσύνολα του συνόλου J µπορούµε να κατασκευάσουµε; { N Απάντηση Θεωρούµε το στοιχείο s Το στοιχείο αυτό µπορεί να συµπεριληφθεί ή όχι στο υποσύνολο του συνόλου J που κατασκευάζουµε Οµοίως για τα στοιχεία s,, s Σύµφωνα µε τη βασική αρχή απαρίθµησης N N ο ζητούµενος αριθµός των υποσυνόλων που µπορούµε να κατασκευάσουµε είναι Παράδειγµα Σε ένα χορό υπάρχουν δεκαπέντε άνδρες και δέκα γυναίκες Πόσα είναι τα δυνατά ζευγάρια ανδρών-γυναικών; Απάντηση Από τη βασική αρχή απαρίθµησης τα δυνατά ζευγάρια είναι 0 0 Παράδειγµα Πόσοι διαφορετικοί αριθµοί αυτοκινήτου είναι δυνατοί εάν το κάθε πλαίσιο έχει επτά θέσεις από τις οποίες οι τρεις πρώτες µπορούν να συµπληρωθούν µε γράµµατα και οι υπόλοιπες τέσσερις µπορούν να συµπληρωθούν µε αριθµούς; Το ίδιο πρόβληµα µε τον περιορισµό ότι δεν µπορεί να επαναληφθεί ο ίδιος αριθµός ή το ίδιο γράµµα στο πλαίσιο Απάντηση

9 ειγµατοληψία Έστω ότι έχουµε αντικείµενα Ασχολούµαστε µε τρόπους επιλογής αντικειµένων από τα δείγµα µεγέθους Έστω ότι έχουµε µία κάλπη µε σφαιρίδια Η λήψη σφαιριδίων από τον πληθυσµό των σφαιριδίων ονοµάζεται δειγµατοληψία samplg Οι τρόποι δειγµατοληψίας είναι: α Χωρίς επανατοποθέτηση Όταν τα σφαιρίδια λαµβάνονται διαδοχικά χωρίς να τοποθετούνται πάλι στην κάλπη β Με επανατοποθέτηση Όταν η λήψη ενός σφαιριδίου γίνεται αφού προηγουµένως τοποθετούνται πάλι στην κάλπη όλα τα σφαιρίδια που ήδη λήφθηκαν Τα δείγµατα που λαµβάνονται µπορεί να είναι: α ιατεταγµένα Όταν σηµειώνεται η σειρά µε την οποία λαµβάνονται τα σφαιρίδια β Μη-διατεταγµένα Όταν η σειρά αυτή δεν σηµειώνεται Οι σχηµατισµοί που προκύπτουν µε την επιλογή ενός συγκεκριµένου αριθµού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν µας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή τους ή συνδυασµοί αν δεν µας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφής τους Αρχικά θα µελετήσουµε τις διατάξεις µε το Θεώρηµα και στη συνέχεια τους συνδυασµούς µε το Θεώρηµα Θεώρηµα ιατεταγµένα δείγµατα- ιατάξεις Ο αριθµός των διατεταγµένων δειγµάτων µεγέθους σε δειγµατοληψία χωρίς επανατοποθέτηση διατάξεις χωρίς επαναλήψεις είναι και για,, L,,! L, Στη δεύτερη περίπτωση λέµε ότι έχουµε µεταθέσεις pemutatos σε δειγµατοληψία µε επανατοποθέτηση διατάξεις µε επαναλήψεις είναι Απόδειξη Η η σφαίρα µπορεί να ληφθεί µε τρόπους, η η σφαίρα µπορεί να ληφθεί µε τρόπους,, η οστή σφαίρα µπορεί να ληφθεί µε τρόπους Σύµφωνα µε τη βασική αρχή απαρίθµησης ο αριθµός των δειγµάτων µεγέθους χωρίς επανατοποθέτηση είναι L, 9

10 Η η σφαίρα µπορεί να επιλεγεί µε τρόπους, η η σφαίρα µπορεί να επιλεγεί µε τρόπους,, η οστή σφαίρα µπορεί να επιλεγεί µε τρόπους Σύµφωνα µε τη βασική αρχή απαρίθµησης ο αριθµός των δειγµάτων µεγέθους µε επανατοποθέτηση είναι L Θεώρηµα Μη-διατεταγµένα δείγµατα-συνδυασµοί Ο αριθµός των µη-διατεταγµένων δειγµάτων µεγέθους σε δειγµατοληψία χωρίς επανατοποθέτηση συνδυασµοί χωρίς επαναλήψεις συµβολίζεται µε! είναι Σ,!! Σ σε δειγµατοληψία µε επανατοποθέτηση συνδυασµοί µε επαναλήψεις συµβολίζεται µε N, και είναι N, Απόδειξη Έστω M ο ζητούµενος αριθµός Ο αριθµός των διατεταγµένων δειγµάτων µεγέθους είναι, Από ένα συγκεκριµένο δείγµα µεγέθους µπορούµε να σχηµατίσουµε! διατεταγµένα δείγµατα µεγέθους Άρα ο αριθµός των µη-διατεταγµένων δειγµάτων είναι Αυτό προκύπτει διότι η διαδικασία! της επιλογής των µη-διατεταγµένων δειγµάτων µπορεί να γίνει σε δύο βήµατα Στο πρώτο βήµα γίνεται η επιλογή των στοιχείων του δείγµατος από τα Στο δεύτερο βήµα γίνεται η τοποθέτηση των στοιχείων µε, όλες τις δυνατές διαφορετικές µεταθέσεις Το πρώτο βήµα πραγµατοποιείται µε, και v τρόπους και για κάθε αποτέλεσµα του πρώτου βήµατος υπάρχουν v! διαφορετικοί τρόποι πραγµατοποίησης του δεύτερου βήµατος Σύµφωνα µε τη Βασική αρχή απαρίθµησης η ολοκλήρωση του πρώτου και του δεύτερου βήµατος, γίνεται µε v v! τρόπους Όµως, v v,!, Συνεπώς,! M!,!!! L [ L ] [ L ]! L! Βλέπε Βιβλίο [], σελ 8-9 0

11 Ισχύει ότι, 0, Μία προσεγγιστική τιµή του! για µεγάλο δίνεται από τον τύπο του Stlg σύµφωνα µε τον οποίον:! π, όπου e είναι η σταθερά του Eule, e e 7 Παράδειγµα Μία κάλπη περιέχει οκτώ αριθµηµένα σφαιρίδια Ανασύρουµε τέσσερα σφαιρίδια τυχαία χωρίς επανατοποθέτηση Πόσοι τρόποι υπάρχουν ώστε ο µικρότερος αριθµός να είναι ο τρία; Πόσοι είναι αυτοί οι τρόποι αν η δειγµατοληψία γίνεται µε επανατοποθέτηση; Λύση Χωρίζουµε το πείραµα σε δύο φάσεις T είναι η φάση της επιλογής του τρία Τον αριθµό τρία µπορώ να το επιλέξω µε έναν τρόπο T είναι η φάση της επιλογής τριών σφαιριδίων από πέντε Αυτό γίνεται µε τρόπους Σύµφωνα µε τη βασική αρχή απαρίθµησης οι τρόποι είναι Αν η δειγµατοληψία γίνεται µε επανατοποθέτηση τότε µε παροµοίους συλλογισµούς, σύµφωνα µε τη βασική αρχή απαρίθµησης, προκύπτει ότι 6 οι τρόποι είναι Παράδειγµα έκα χαρτιά επιλέγονται από πενήντα-δύο παιγνιόχαρτα Σε πόσες περιπτώσεις περιλαµβάνεται τουλάχιστον ένας άσσος; ακριβώς ένας άσσος; τουλάχιστον δύο άσσοι; Λύση Από πενήντα δύο χαρτιά επιλέγουµε δέκα µε να µην υπάρχει άσσος επιτυγχάνεται µε ένας άσσος 8 0 τρόπους Από τα πενήντα δύο χαρτιά η περίπτωση 0 τρόπους Άρα, µε τρόπους υπάρχει τουλάχιστον Χωρίζουµε το πείραµα σε δύο φάσεις Καταρχήν από τέσσερις άσσους πρέπει να τραβήξουµε έναν µε τρόπους φάση T Έστω T η φάση της επιλογής των άλλων εννέα χαρτιών Η επιλογή αυτών των χαρτιών µπορεί να γίνει µε 8 ένας άσσος είναι 9 8 τρόπους Άρα από τη βασική αρχή απαρίθµησης οι περιπτώσεις να εµφανιστεί ακριβώς 9

12 Αν από τους τρόπους επιλογής δέκα χαρτιών από πενήντα δύο αφαιρέσουµε τους τρόπους για ένα ακριβώς άσσο και τις περιπτώσεις για τις οποίες δεν υπάρχει άσσος, λαµβάνουµε τους τρόπους για την επιλογή δύο 8 8 τουλάχιστον άσσων Οι περιπτώσεις είναι Παράδειγµα Πόσες δυνατές εκδοχές υπάρχουν στο καθένα από τα παρακάτω πειράµατα; Εγκαθιστούµε ένα πρόγραµµα διαδοχικά σε δέκα υπολογιστές Επιλέγουµε µε τη σειρά από τα αντικείµενα, χωρίς επανατοποθέτηση Στρίβουµε ένα κέρµα έξι φορές Επιλέγουµε 0 άτοµα από 00 για µία δηµοσκόπηση, χωρίς επανατοποθέτηση Ρίχνουµε ένα ζάρι 7 φορές 6 Βάζουµε ανθρώπους να κάτσουν σε µία σειρά 7 Μοιράζουµε µε τη σειρά 8 φύλλα από µία συνηθισµένη τράπουλα φύλλων 8 Ρίχνουµε ένα κέρµα φορές και ένα ζάρι φορές Λύση Έχουµε 0 επιλογές για τον πρώτο υπολογιστή, 9 για τον δεύτερο, κοκ Το πλήθος των µεταθέσεων είναι 0! 68800! 09! Το πλήθος των διατεταγµένων τριάδων είναι 0! 9! Κάθε µία από τις 6 ρίψεις µπορεί να καταλήξει σε αποτελέσµατα, άρα το πλήθος των επαναληπτικών διατάξεων είναι 6 00 Εφόσον δεν µας ενδιαφέρει η σειρά επιλογής, το πλήθος των συνδυασµών είναι 0 Κάθε ζαριά έχει 6 δυνατά αποτελέσµατα, συνεπώς από την πολλαπλασιαστική αρχή έχουµε επαναληπτικές διατάξεις 7 6 δυνατές 6 Έχουµε επιλογές για τον πρώτο που θα επιλέξουµε, επιλογές για τον δεύτερο κοκ Συνεπώς έχουµε συνολικά! µεταθέσεις 7 Παρατηρούµε ότι τα φύλλα µοιράζονται µε τη σειρά, συνεπώς ψάχνουµε για διατεταγµένες 8-άδες Έχουµε επιλογές για το πρώτο χαρτί, επιλογές για το δεύτερο χαρτί κοκ, συνεπώς έχουµε διαφορετικές 8-άδες! 8! 8 Κάθε κέρµα έχει δυνατά αποτελέσµατα και κάθε ζάρι 6 δυνατά αποτελέσµατα, άρα από την πολλαπλασιαστική αρχή έχουµε δυνατές εκδοχές

13 Κατανοµή σφαιριδίων σε κληρωτίδες Έστω ότι έχουµε διακεκριµένες κληρωτίδες και σφαιρίδια Μας ενδιαφέρει ο αριθµός των τρόπων µε τους οποίους τα σφαιρίδια µπορούν να κατανεµηθούν στις κληρωτίδες Θεώρηµα Κατανοµή σφαιριδίων σε κληρωτίδες Ο αριθµός των τρόπων που διακεκριµένα σφαιρίδια µπορούν να κατανεµηθούν σε κληρωτίδες είναι όταν δεν επιβάλλεται κανένας περιορισµός! Σ ;,,,, όταν η υπ αριθµόν κληρωτίδα επιβάλλεται να περιέχει ακριβώς!! L! σφαιρίδια, όπου 0,,,, και Απόδειξη Προφανής από τη Βασική αρχή απαρίθµησης µε K, διότι για το κάθε ένα από τα σφαιρίδια υπάρχουν επιλογές Υπάρχουν τρόποι που µπορούν να ληφθούν τα σφαιρίδια, τρόποι που µπορούν να ληφθούν τα σφαιρίδια,, Σύµφωνα µε τη βασική αρχή απαρίθµησης ο αριθµός των τρόπων είναι τρόποι που µπορούν να ληφθούν τα σφαιρίδια L!!!!! L! K! K!!!! L! Παράδειγµα 6 Οκτώ δάσκαλοι πρόκειται να διορισθούν σε τέσσερα σχολεία Πόσοι είναι οι δυνατοί τρόποι κατανοµής τους αν σε κάθε σχολείο πρέπει να διορισθούν δύο δάσκαλοι; Λύση Εφαρµογή του Θεωρήµατος για 8 δασκάλους και σχολεία µε τον περιορισµό 8! 8! σε κάθε σχολείο Οι δυνατοί τρόποι κατανοµής τους είναι!!!!!

14 Παράδειγµα 7 Πενήντα δύο χαρτιά µοιράζονται σε τέσσερα άτοµα α Με πόσους τρόπους µπορεί να γίνει η κατανοµή έτσι ώστε το κάθε άτοµο να πάρει δέκα τρία χαρτιά; β Με πόσους τρόπους µπορεί να γίνει η κατανοµή έτσι ώστε το κάθε άτοµο να πάρει δέκα τρία χαρτιά µέσα στα οποία να υπάρχει ένας άσσος; Λύση α Εφαρµογή του Θεωρήµατος για χαρτιά σε άτοµα µε τον περιορισµό! χαρτιά Οι δυνατοί τρόποι κατανοµής είναι! β Χωρίζουµε το πείραµα σε δύο φάσεις Έστω T η φάση της κατανοµής των χαρτιών ώστε να σταλούν τέσσερις άσσοι στα τέσσερα άτοµα Αυτό µπορεί να γίνει µε!!!!! τρόπους T είναι η φάση της κατανοµής των υπόλοιπων σαράντα οκτώ χαρτιών στα τέσσερα άτοµα από δώδεκα στο καθένα Οι τρόποι κατανοµής για 8! αυτή τη φάση είναι!!!! Σύµφωνα µε τη βασική αρχή απαρίθµησης οι δυνατοί τρόποι κατανοµής είναι! 8!! 8!!!!!!!!!! Παράδειγµα 8 Η οµάδα µας παίζει στην έδρα της 9 διαδοχικά παιχνίδια µε αντίπαλες οµάδες Τα µατς είναι «στηµένα» και έχει προαποφασιστεί να έχουµε νίκες, ισοπαλίες και ήττες Με πόσους τρόπους µπορεί να γίνει αυτό; Λύση Τα 9 µατς µοιράζονται σε τρεις κατηγορίες των τεσσάρων, τριών και δύο Συνεπώς, υπάρχουν 9,, 9!!!! 60 Ασκήσεις Άσκηση Σε ένα χέρι του πόκερ επιλέγουµε τυχαία πέντε χαρτιά από πενήντα δύο παιγνιόχαρτα Σε πόσες περιπτώσεις ένα χέρι του πόκερ α περιέχει µόνο «Σπαθιά»; β περιέχει µόνο ενός χρώµατος χαρτιά; γ περιέχει χαρτιά µόνο δύο χρωµάτων; δ περιέχει χαρτιά όλων των χρωµάτων; Λύση α Τα «Σπαθιά» είναι δεκατρία Μπορούµε να επιλέξουµε πέντε παιγνιόχαρτα από τα οποία και τα πέντε να είναι «Σπαθιά» µε τρόπους

15 β Τα χρώµατα είναι τέσσερα Μπορούµε να επιλέξουµε ένα χρώµα µε τρόπους Από τα παιγνιόχαρτα του ενός χρώµατος µπορούµε να επιλέξουµε πέντε χαρτιά µε απαρίθµησης ένα χέρι του πόκερ περιέχει µόνο ενός χρώµατος χαρτιά σε τρόπους Συνεπώς, σύµφωνα µε τη βασική αρχή περιπτώσεις γ Τα χρώµατα είναι τέσσερα Μπορούµε να επιλέξουµε δύο από τα τέσσερα χρώµατα µε τρόπους Από τα πέντε χαρτιά που θα επιλέξουµε για να είναι χαρτιά µόνο δύο χρωµάτων θα πρέπει να είναι πχ δύο του ενός χρώµατος και τρία του άλλου χρώµατος ή ένα του ενός χρώµατος και τέσσερα του άλλου χρώµατος κλπ Άρα, όλες οι περιπτώσεις στις οποίες µπορούµε να έχουµε χαρτιά µόνο δύο χρωµάτων από τα πέντε χαρτιά που θα επιλέξουµε είναι Συνεπώς, από τη βασική αρχή απαρίθµησης σε ένα χέρι του πόκερ µπορούµε να επιλέξουµε χαρτιά µόνο δύο χρωµάτων µε τρόπους δ Χωρίζουµε το πείραµα της επιλογής των πέντε χαρτιών σε πέντε φάσεις Έστω T η φάση της επιλογής ενός χρώµατος Το ένα από τα τέσσερα χρώµατα µπορεί να επιλεγεί µε τρόπους Έστω T η φάση της επιλογής δύο χαρτιών από τα δεκατρία του ενός χρώµατος Η φάση T µπορεί να πραγµατοποιηθεί µε τρόπους Έστω T,T και T οι φάσεις της επιλογής ενός χαρτιού από κάθε ένα από τα υπόλοιπα τρία χρώµατα Κάθε µία από τις φάσεις T,T και T µπορεί να πραγµατοποιηθεί µε τρόπους Σύµφωνα µε την βασική αρχή απαρίθµησης σε ένα χέρι του πόκερ µπορούµε να επιλέξουµε χαρτιά όλων των χρωµάτων σε περιπτώσεις Άσκηση Αποδείξτε την γνωστή σχέση, όπου, R και φυσικός αριθµός α 0 µε επαγωγή β µε κάποιο συνδυαστικό επιχείρηµα

16 6 Λύση α Με επαγωγή Για ισχύει διότι Έστω ότι ισχύει για, δηλαδή 0 Θα δείξουµε ότι ο τύπος ισχύει επίσης για, δηλαδή 0 Κάνοντας χρήση της υπόθεσης ότι ο τύπος ισχύει για, µπορούµε να γράψουµε διαδοχικά K K Η σχέση,,,, K ισχύει διότι!!!!!!!!!!!!!!!!!! Χρησιµοποιώντας την παραπάνω σχέση και τις ισότητες, 0 παίρνουµε K Η τελευταία ισότητα µπορεί να γραφεί σε συνεπτυγµένη µορφή ως εξής: 0 Αποδείχτηκε το ζητούµενο για, συνεπώς σύµφωνα µε την αρχή της επαγωγής, ο τύπος ισχύει για όλες τις µη-αρνητικές τιµές του β Με συνδυαστικό επιχείρηµα Αφού, L το πλήθος φορές, για να βρούµε το ανάπτυγµα ως άθροισµα δυνάµεων των, θα πρέπει από κάθε παράγοντα να διαλέξουµε είτε το είτε το και να τα πολλαπλασιάσουµε µεταξύ τους Αν το επιλεγεί από παράγοντες,,,, 0 K τότε το θα επιλεγεί από τους υπόλοιπους παράγοντες και εκτελώντας τον

17 πολλαπλασιασµό θα προκύψει το µονώνυµο, 0,, K, Όµως η επιλογή του µπορεί να γίνει µε διαφορετικούς τρόπους, όσοι και οι τρόποι επιλογής παραγόντων από τις διαθέσιµες Εποµένως, το µονώνυµο εµφανίζεται συνολικά φορές, δηλαδή ο γενικός όρος του αθροίσµατος θα είναι της µορφής, 0,, K, Συνεπώς, 0 Άσκηση Έστω Ω το σύνολο των διατεταγµένων δεκάδων µε στοιχεία 0 ή Για παράδειγµα ω 0,,, 0, 0, 0, 0,,, Ω α Πόσα στοιχεία του Ω έχουν στην η θέση; β Πόσα στοιχεία του Ω έχουν στην η και 0 η θέση; γ Πόσα στοιχεία του Ω έχουν τουλάχιστον δύο θέσεις µε εκεί; δ Πόσα στοιχεία του Ω έχουν ακριβώς πέντε, κάπου στη 0-άδα τους; ε Τι ποσοστό των στοιχείων του Ω έχουν ακριβώς πέντε, κάπου στη 0-άδα τους; Λύση α Τα στοιχεία του Ω µε στην η θέση είναι L 9 β Τα στοιχεία του Ω µε στην η και 0 η θέση είναι L 8 6 γ Τα στοιχεία του Ω που έχουν τουλάχιστον δύο θέσεις µε εκεί είναι 0 0 0, διότι µία 0-άδα είναι αυτή που δεν περιέχει και 0 είναι αυτές που περιέχουν το σε µία από τις δέκα θέσεις 0 0! δ Τα στοιχεία του Ω που έχουν ακριβώς πέντε κάπου στην δεκάδα τους είναι,!! µπορούµε να έχουµε ακριβώς πέντε σε δέκα θέσεις µε 0 τρόπους 0 ε Το ποσοστό των στοιχείων του Ω που έχουν ακριβώς πέντε κάπου στη 0-άδα τους είναι 0 0 διότι Άσκηση Έστω ότι έχετε δέκα αντίγραφα του ίδιου βιβλίου καθώς και δέκα διαφορετικά µεταξύ τους βιβλία α Πόσες διαφορετικές µη διατεταγµένες δεκάδες βιβλίων εξ αυτών των είκοσι υπάρχουν; β Πόσες διαφορετικές µη διατεταγµένες δεκάδες βιβλίων εξ αυτών των είκοσι υπάρχουν µε τουλάχιστον τρία διαφορετικά µεταξύ τους βιβλία; Λύση α Για να φτιάξουµε τις διαφορετικές µη διατεταγµένες δεκάδες βιβλίων από τα είκοσι βιβλία που διαθέτουµε µπορούµε να επιλέξουµε βιβλία από τα δέκα που είναι διαφορετικά µεταξύ τους και 0 από τα υπόλοιπα δέκα βιβλία που είναι όµοια Η επιλογή βιβλίων από τα δέκα που είναι διαφορετικά µεταξύ τους 7

18 µπορεί να γίνει µε διατεταγµένων δεκάδων βιβλίων είναι ίσος µε 0 τρόπους, όπου 0 0 Συνεπώς, ο συνολικός αριθµός των διαφορετικών µη β Για να φτιάξουµε τις διαφορετικές µη διατεταγµένες δεκάδες βιβλίων από τα είκοσι βιβλία που διαθέτουµε, έτσι ώστε η κάθε δεκάδα να έχει τρία τουλάχιστον διαφορετικά µεταξύ τους βιβλία, έχουµε δύο τρόπους Σύµφωνα µε τον πρώτο τρόπο, µπορούµε να επιλέξουµε βιβλία από τα δέκα που είναι διαφορετικά µεταξύ τους και 0 από τα υπόλοιπα δέκα βιβλία που είναι όµοια, όπου 0 Ο συνολικός αριθµός των διαφορετικών µη διατεταγµένων δεκάδων βιβλίων µε τουλάχιστον τρία διαφορετικά µεταξύ τους βιβλία, που 0 0 επιλέγουµε µε αυτόν τον πρώτο τρόπο είναι Επιπλέον, σύµφωνα µε το δεύτερο τρόπο, διαφορετικές µη διατεταγµένες δεκάδες βιβλίων µε τρία τουλάχιστον διαφορετικά µεταξύ τους βιβλία προκύπτουν, αν από τη δεκάδα των όµοιων βιβλίων επιλέξουµε ένα βιβλίο και από την δεκάδα των διαφορετικών µεταξύ τους βιβλίων επιλέξουµε δύο διαφορετικά µεταξύ τους βιβλία Σύµφωνα µε τη βασική αρχή απαρίθµησης, ο συνολικός 00 αριθµός των διαφορετικών βιβλίων που επιλέγουµε µε αυτόν το δεύτερο τρόπο είναι Συνεπώς, ο συνολικός αριθµός των διαφορετικών µη διατεταγµένων δεκάδων βιβλίων µε τρία τουλάχιστον διαφορετικά µεταξύ τους βιβλία, όπως προκύπτει και από τους δύο τρόπους, είναι ίσος µε 0 Άσκηση Έστω ότι ένα σύνολο Ω έχει N στοιχεία Βρείτε πόσα υποσύνολα του Ω µε ή λιγότερα στοιχεία υπάρχουν όταν: α N β N, {,, K } Απαντήστε στα α, β όταν Λύση α Τα υποσύνολα του Ω µε ή λιγότερα στοιχεία είναι N L L L L 0 0 Για, 0 8

19 9 Για την τέταρτη ισότητα χρησιµοποιούµε τις σχέσεις, 0, Επιπλέον από την Άσκηση, έχουµε ότι 0 β Με παρόµοιο τρόπο όπως στο ερώτηµα α, τα υποσύνολα του Ω µε ή λιγότερα στοιχεία είναι N L L L L!! 0 Για, 68 6! 0! 9

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 0 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό ορίζονται βασικές έννοιες όπως πείραµα τύχης, δειγµατικός χώρος και ενδεχόµενο ή γεγονός Παρουσιάζονται οι διάφοροι ορισµοί της πιθανότητας, διατυπώνονται και αποδεικνύονται τα κλασσικότερα θεωρήµατα της Θεωρίας Πιθανοτήτων όπως το Προσθετικό Θεώρηµα, το Πολλαπλασιαστικό Θεώρηµα, το Θεώρηµα Ολικής Πιθανότητας και το Θεώρηµα του aes Παρουσιάζονται επίσης το Θεώρηµα Συνέχειας και οι έννοιες της δεσµευµένης πιθανότητας και των ανεξάρτητων ενδεχοµένων Πείραµα τύχης, δειγµατικός χώρος και στοιχεία θεωρίας συνόλων Πείραµα είναι µία ενέργεια που εκτελείται κάτω από ορισµένες συνθήκες και µπορεί να επαναληφθεί οσεσδήποτε φορές κάτω από τις ίδιες πάντοτε συνθήκες και µετά την συµπλήρωση της παρατηρούνται κάποια αποτελέσµατα ιακρίνουµε δύο είδη πειραµάτων, τα αιτιοκρατικά detemst και τα τυχαία adom Αιτιοκρατικά είναι τα πειράµατα εκείνα όπου η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελούνται καθορίζει πλήρως το αποτέλεσµα Πείραµα τύχης adom epemet είναι ένα πείραµα το αποτέλεσµα του οποίου επηρεάζεται από την τύχη Το χαρακτηριστικό ενός πειράµατος τύχης είναι ότι, σε µία εκτέλεσή του, δεν µπορούµε να προβλέψουµε µε βεβαιότητα το αποτέλεσµα που θα εµφανιστεί Απλά παραδείγµατα πειραµάτων τύχης είναι η ρίψη ενός νοµίσµατος, το πέταγµα ενός ζαριού, το τράβηγµα ενός παιγνιόχαρτου από τα πενήντα δύο παιγνιόχαρτα µιας τράπουλας και η καταγραφή των τηλεφωνηµάτων που εξυπηρετούνται από ένα τηλεφωνικό κέντρο εντός δοθέντος χρονικού διαστήµατος Ένα σύνολο set είναι µία καλώς ορισµένη συλλογή διακεκριµένων αντικειµένων Το σύνολο των δυνατών αποτελεσµάτων που µπορούν να εµφανιστούν σε µία εκτέλεση ενός πειράµατος τύχης καλείται δειγµατικός χώρος sample spae και συνήθως συµβολίζεται µε Ω Για παράδειγµα, στη ρίψη ενός ζαριού ο δειγµατικός χώρος είναι Ω {,,,,, 6} και στη ρίψη ενός νοµίσµατος ο δειγµατικός χώρος είναι Ω { Κ, Γ} όπου µε Κ συµβολίζουµε την ένδειξη «κεφαλή» και µε Γ συµβολίζουµε την ένδειξη «γράµµατα» Τα αποτελέσµατα ενός τυχαίου πειράµατος µπορούν να περιγραφούν µε πολλούς και διάφορους τρόπους Έτσι σε ένα πείραµα τύχης αντιστοιχούν περισσότεροι του ενός δειγµατικοί χώροι Για παράδειγµα, ας θεωρήσουµε µία έκθεση κινητών τηλεφώνων στην οποία εργάζονται δύο πωλητές Α και Β Έστω ότι στην έκθεση υπάρχουν προς πώληση δύο µόνο κινητά τηλέφωνα Αν µας ενδιαφέρει ο αριθµός των κινητών τηλεφώνων που θα πουληθούν από καθένα από τους δύο πωλητές σε ένα συγκεκριµένο χρονικό διάστηµα πχ µέσα στην επόµενη εβδοµάδα τότε ένας κατάλληλος δειγµατικός χώρος είναι ο Ω {0,0,0,,,0,,,,0,0,} 0

21 Το ζεύγος, Ω δηλώνει ότι ο πωλητής Α θα πουλήσει κινητά τηλέφωνα, ενώ ο πωλητής Β θα πουλήσει κινητά τηλέφωνα Αν όµως µας ενδιαφέρει µόνο ο συνολικός αριθµός κινητών τηλεφώνων που θα πουληθούν στο συγκεκριµένο χρονικό διάστηµα, τότε θα µπορούσε να χρησιµοποιηθεί ως δειγµατικός χώρος το σύνολο Ω {0,, } Το στοιχείο ω Ω δηλώνει το συνολικό αριθµό κινητών τηλεφώνων που πουλήθηκαν Τα στοιχεία ενός δειγµατικού χώρου Ω καλούνται δειγµατικά σηµεία ή δειγµατοσηµεία sample pots Το γεγονός ότι το στοιχείο ω ανήκει στο σύνολο Ω συµβολίζεται µε ω Ω Η άρνηση αυτού του γεγονότος συµβολίζεται µε ω Ω Λέµε ότι ένα σύνολο S ' είναι υποσύνολο subset ενός συνόλου S και γράφουµε S' S αν για κάθε s S' ισχύει ότι s S Λέµε ότι ένα σύνολο και γράφουµε S' S αν S' S και αν υπάρχει στοιχείο s S τέτοιο ώστε θεωρίας συνόλων επεξηγούνται γραφικά µε τη βοήθεια των διαγραµµάτων του Ve S ' είναι γνήσιο υποσύνολο ενός συνόλου S s S' Οι διάφορες έννοιες της Θεωρούµε το σύνολο Ω ως βασικό σύνολο ή σύνολο αναφοράς Το σύνολο αυτό θα είναι διαφορετικό ανάλογα µε το πρόβληµα που θα µας απασχολεί Όλα τα υπόλοιπα σύνολα θα είναι υποσύνολα του Ω Έστω,, C Ω Το συµπλήρωµα omplemet του συνόλου αναφορικά µε το Ω συµβολίζεται µε και είναι { Ω : ω } ένωση uo των συνόλων ω Έστω I ένα οποιοδήποτε σύνολο δεικτών και τα σύνολα Ω, I Η I, I συµβολίζεται µε U τουλάχιστον I} Η τοµή teseto των συνόλων I {ω Ω :ω για όλα τα I} I και είναι Ισχύει ότι: { ω Ω : ω και ω } και είναι Η διαφορά dffeee των συνόλων και Αντιµεταθετικός νόµος U {ω Ω :ω για ένα I, I συµβολίζεται µε I C C και C C Προσεταιριστικός νόµος C C και C C Επιµεριστικοί νόµοι U I I I και I I U I Νόµοι De Moga I και είναι, συµβολίζεται µε Έστω I µία οικογένεια υποσυνόλων του δειγµατικού χώρου Ω Τα στοιχεία σύνολα του I καλούνται ενδεχόµενα ή γεγονότα evets και το I καλείται γεγονότων σ feld αν ισχύει ο ακόλουθος ορισµός σ πεδίο ή σ άλγεβρα ή σ σώµα ενδεχοµένων ή

22 Ορισµός σ -σώµα Έστω Ω ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης Το σύνολο I καλείται σ -πεδίο ενδεχοµένων ή γεγονότων αν Ω I αν I τότε I και αν I, I τότε U I δηλαδή η οικογένεια I των υποσυνόλων του Ω είναι κλειστή για την πράξη της ένωσης αριθµήσιµου πλήθους συνόλων Παράδειγµα Θεωρούµε το τυχαίο πείραµα της ρίψης ενός ζαριού Ο δειγµατικός χώρος του πειράµατος είναι Ω {,,,,, 6} Ως σύνολο I µπορούµε να θεωρήσουµε είτε το δυναµοσύνολο powe set του Ω, δηλαδή το σύνολο I { όλα τα υποσύνολα του Ω } είτε το σύνολο I {Ω,{},{},{,},{,,,,6},{,,,,6},{,,,6 }, } Παρατηρούµε ότι και τα δύο σύνολα ικανοποιούν τον ορισµό του σ σώµατος Αν για ένα πείραµα τύχης µε δειγµατικό χώρο Ω και σηµείο ω είναι τέτοιο ώστε σ πεδίο ενδεχοµένων I ισχύει ότι το δειγµατικό ω I τότε λέµε ότι το ενδεχόµενο συνέβη ous ηλαδή, λέµε ότι το ενδεχόµενο συνέβη αν το αποτέλεσµα του πειράµατος τύχης ανήκει στην οικογένεια υποσυνόλων I Στο παράδειγµα της ρίψης ενός ζαριού θεωρούµε ως σ πεδίο ενδεχοµένων το δυναµοσύνολο του Ω Τότε λέµε ότι το ενδεχόµενο { άρτιο αποτέλεσµα} {,, 6} συνέβη αν εµφανιστεί το αποτέλεσµα outome ή το αποτέλεσµα ή το αποτέλεσµα 6, διότι τότε, για παράδειγµα, το δειγµατικό σηµείο είναι τέτοιο ώστε I Το ίδιο συµβαίνει για τα δειγµατικά σηµεία και 6 Τα ενδεχόµενα της µορφής {ω} καλούνται απλά ενδεχόµενα ενώ εκείνα που περιέχουν τουλάχιστον δύο δειγµατικά σηµεία καλούνται σύνθετα ενδεχόµενα Τα ενδεχόµενα Ω και καλούνται το βέβαιο και το αδύνατο ενδεχόµενο ull evet, αντίστοιχα, για προφανείς λόγους Έστω τα ενδεχόµενα,, C Ω Παρακάτω θα δούµε τον τρόπο µε τον οποίο κάποιες καθηµερινές εκφράσεις µπορούν να γραφούν ως σχέσεις συνόλων Μόνο το ενδεχόµενο συµβαίνει, C Τουλάχιστον ένα από τα ενδεχόµενα,, C συµβαίνει, C Τουλάχιστον δύο ενδεχόµενα συµβαίνουν, C C Και τα τρία ενδεχόµενα συµβαίνουν, C Το πολύ ένα ενδεχόµενο συµβαίνει, C C C C 6 Τα ενδεχόµενα, συµβαίνουν αλλά όχι το C, C 7 Κανένα από τα τρία ενδεχόµενα δεν συµβαίνει, C C

23 8 Το πολύ δύο ενδεχόµενα συµβαίνουν, C 9 Ακριβώς δύο ενδεχόµενα συµβαίνουν, C C C 0 Το πολύ τρία ενδεχόµενα συµβαίνουν, Ω Παράδειγµα Ένας πωλητής θέλει να επισκεφτεί τέσσερις πόλεις a, β, γ, δ προκειµένου να πάρει παραγγελίες από τους προµηθευτές της εταιρείας Αφού δοθεί κατάλληλος δειγµατικός χώρος για την περιγραφή της σειράς επίσκεψης των τεσσάρων πόλεων από τον πωλητή, να γραφούν αναλυτικά τα επόµενα ενδεχόµενα: : ο πωλητής επισκέπτεται πρώτη την πόλη a, : ο πωλητής ξεκινάει από την πόλη a και τελειώνει µε την πόλη β, : ο πωλητής επισκέπτεται διαδοχικά τις πόλεις β και γ, : ο πωλητής επισκέπτεται διαδοχικά τις πόλεις a, β και γ Λύση Ο δειγµατικός χώρος Ω αποτελείται από ακολουθίες της µορφής π π π, όπου π,,,,, συµβολίζει την οστή κατά σειρά πόλη που επισκέφθηκε ο πωλητής Εποµένως Ω π π π π : π { a, β, γ, } για και π π π } { δ π π { aβγδ, aβδγ, aγβδ, aγδβ, aδβγ, aδγβ, βaγδ, βaδγ, βγaδ, βγδa, βδaγ, βδγa, γaβδ, γaδβ, γβaδ, γβδa, γδ aβ, γδβa, δaβγ, δaγβ, δβaγ, δβγa, δγaβ, δγβa} Για τα ενδεχόµενα,, και έχουµε { aβγδ, aβδγ, aγβδ, aγδβ, aδβγ, aδγβ}, { aγδβ, aδγβ}, { βγaδ, βγδa, aβγδ, δβγa, aδβγ, δaβγ }, { aβγδ, δaβγ } Παράδειγµα Σκοπεύουµε να µετρήσουµε τον αριθµό των φορών που θα βρέξει στο Καρλόβασι τον επόµενο Ιανουάριο και το συνολικό ποσό της βροχόπτωσης σε χιλιοστά α Να δοθεί κατάλληλος δειγµατικός χώρος Ω για την περιγραφή των µετρήσεων β Να περιγραφούν τα επόµενα ενδεχόµενα: : Θα βρέξει φορές και το συνολικό ποσό της βροχόπτωσης θα είναι τουλάχιστον χιλιοστά : Θα βρέξει το πολύ 0 φορές : Θα βρέξει 6 έως 8 φορές και το συνολικό ποσό της βροχόπτωσης θα είναι έως 0 χιλιοστά : Θα βρέξει τουλάχιστον 7 φορές και το συνολικό ποσό της βροχόπτωσης θα είναι 0 έως χιλιοστά : Το συνολικό ποσό της βροχόπτωσης θα είναι το πολύ 8 χιλιοστά γ Να περιγραφούν τα επόµενα ενδεχόµενα,,,,

24 Λύση α Ας συµβολίσουµε µε τον αριθµό των φορών που θα βρέξει και µε το συνολικό ποσό της βροχόπτωσης σε χιλιοστά Τότε Ω {, : 0,,, K, [0, } β Οι περιγραφές των ενδεχοµένων, K, είναι: {, : [, }, {0,0} {, : 0, 0, }, {, : 6 8, [, 0]}, {, : 7, [0, ]}, {0,0} {, :, 0, 8]} γ Από το β προκύπτει {, : [, 8]}, {0,0} {, : 0, 0,8]}, {6, : [,0]}, {, :, [0,8]}, {6, : [, 8]} Παράδειγµα Ένα κουτί περιέχει µία άσπρη µπάλα και πανοµοιότυπες µαύρες µπάλες α Επιλέγουµε µία µπάλα στην τύχη και χωρίς να την ξαναβάλουµε στο κουτί επιλέγουµε άλλη µία δηλαδή έχουµε επιλογή χωρίς επανατοποθέτηση Περιγράψτε τον δειγµατικό χώρο Ω αυτού του πειράµατος β Αν η επιλογή άσπρης µπάλας µας δίνει κέρδος 0 ευρώ και η επιλογή µαύρης µπάλας µας δίνει κέρδος ευρώ, περιγράψτε το ενδεχόµενο συνολικά στις δύο επιλογές να κερδίσουµε 0 ευρώ γ Αν, αφού επιλέξουµε την πρώτη µπάλα, την ξαναβάλουµε στο κουτί πριν επιλέξουµε τη δεύτερη, έχουµε επιλογή µε επανατοποθέτηση και προκύπτει ένα διαφορετικό πείραµα Περιγράψτε τον δειγµατικό χώρο αυτού του πειράµατος και το ενδεχόµενο συνολικά στις δύο επιλογές να κερδίσουµε ευρώ Λύση α Ο δειγµατικός χώρος του πειράµατος είναι Ω { ΑΜ, ΜΑ, ΜΜ} Στην απάντηση µας υποθέτουµε ότι οι µαύρες είναι πανοµοιότυπες, δεν µπορούµε να τις διακρίνουµε µεταξύ τους Αν µπορούσαµε να τις διακρίνουµε, τότε ο δειγµατικός χώρος θα ήταν ο Ω { ΑΜ, ΑΜ, ΑΜ, ΜΑ, Μ Α, ΜΑ, ΜΜ, ΜΜ, Μ Μ, Μ Μ, ΜΜ, Μ } Μ β Το ενδεχόµενο να κερδίσουµε συνολικά 0 ευρώ είναι το Α {ΜΜ} γ Ο νέος δειγµατικός χώρος είναι ο Ω { ΑΜ, ΜΑ, ΑΑ, ΜΜ} και το ζητούµενο ενδεχόµενο είναι το Β { ΑΜ, ΜΑ} Ο κλασσικός, ο στατιστικός και ο αξιωµατικός ορισµός της πιθανότητας Έστω ένα πείραµα τύχης µε πεπερασµένο δειγµατικό χώρο Ω ω, K, ω } και έστω ότι όλα τα απλά { ενδεχόµενα { ω },, K έχουν την ίδια «δυνατότητα» πιθανότητα να συµβούν η οποία είναι ίση µε D, Ως σ πεδίο ενδεχοµένων I θεωρούµε το δυναµοσύνολο του Ω Ισχύει ότι Ω { ω } Άρα, Ω { ω } D D U

25 Έστω ένα ενδεχόµενο µε πλήθος στοιχείων s, δηλαδή b, b, K, b } Τότε s { b } µε { b } D, { s s όπου είναι το πλήθος στοιχείων του Ω Άρα, sd s ίνουµε τον ακόλουθο κλασσικό ορισµό της πιθανότητας Ορισµός Κλασσικός ορισµός της πιθανότητας Έστω ένα πείραµα τύχης µε πεπερασµένο δειγµατικό χώρο Ω ω, K, ω } και έστω ότι όλα τα απλά ενδεχόµενα { ω },, K έχουν την ίδια ακριβώς «δυνατότητα» {, # να συµβούν Η πιθανότητα ενός ενδεχοµένου ορίζεται ως εξής:, όπου µε # και # Ω # Ω συµβολίζουµε το πλήθος των στοιχείων των συνόλων και Ω, αντίστοιχα Παράδειγµα Ένα δοχείο περιέχει έξι λευκούς και πέντε µαύρους βώλους Εάν τραβήξουµε τυχαία δύο βώλους από το δοχείο ποια είναι η πιθανότητα α να είναι και οι δύο λευκοί; β να είναι ο ένας λευκός και ο άλλος µαύρος; Λύση Χρησιµοποιούµε τον κλασσικό ορισµό της πιθανότητας α Έστω η ζητούµενη πιθανότητα ύο βώλοι, από τους έντεκα που υπάρχουν στο δοχείο, µπορούν να επιλεγούν µε τρόπους ύο λευκοί βώλοι, από τους έξι που υπάρχουν στο δοχείο, µπορούν να επιλεγούν 6 6 µε τρόπους Άρα, β Από τη βασική αρχή απαρίθµησης, αν είναι η ζητούµενη πιθανότητα, µε παρόµοιους συλλογισµούς, 6 έχουµε Παράδειγµα 6 Μία εταιρεία διαθέτει φορτηγά, από τα οποία τα 0 είναι ρυπογόνα εκπέµπουν καυσαέρια εκτός των φυσιολογικών ορίων Ο τεχνικός της εταιρείας διαλέγει στην τύχη 6 από τα φορτηγά και τους

26 κάνει έλεγχο καυσαερίων Ποια είναι η πιθανότητα να εντοπίσει α ακριβώς ρυπογόνα φορτηγά; β το πολύ ρυπογόνα φορτηγά; γ τουλάχιστον ρυπογόνο και µη ρυπογόνο φορτηγό; Λύση Συµβολίζουµε µε X ρ, K, } τα 0 ρυπογόνα φορτηγά που διαθέτει η εταιρεία και µε { ρ0 X µ, K, } τα µη ρυπογόνα φορτηγά της Ο δειγµατικός χώρος Ω του πειράµατος αποτελείται από { µ όλες τις δυνατές επιλογές 6 στοιχείων φορτηγών από το σύνολο X X X των φορτηγών της εταιρείας Εποµένως Ω Τα ευνοϊκά αποτελέσµατα για το ενδεχόµενο : εντοπίζονται ακριβώς τρία 6 ρυπογόνα φορτηγά, προκύπτουν αν επιλέξουµε τρία ρυπογόνα φορτηγά από το σύνολο X και τρία µη ρυπογόνα από το σύνολο X Οι τρόποι επιλογής των ρυπογόνων φορτηγών από τα v X 0 που v 0 υπάρχουν είναι Αντίστοιχα, οι τρόποι επιλογής των µη ρυπογόνων φορτηγών από τα v v X που υπάρχουν είναι Σύµφωνα µε τη Βασική Αρχή Απαρίθµησης, θα έχουµε 0 0 Εποµένως, η ζητούµενη πιθανότητα είναι ίση µε % Ω 6 β Ορίζουµε τα ξένα ανά δύο µεταξύ τους ενδεχόµενα : εντοπίζονται ακριβώς ρυπογόνα και 6 µη ρυπογόνα φορτηγά, για 0, K,6 Η ζητούµενη πιθανότητα είναι 6 Όµως, 0, και Άρα, 0 % 6 6

27 γ Το ενδεχόµενο που µας ενδιαφέρει εκφράζεται ως Η αντίστοιχη πιθανότητα θα είναι ίση µε % 6 Η πιθανότητα ενός ενδεχοµένου µπορεί να οριστεί εναλλακτικά ως η οριακή σχετική συχνότητα lmtg elatve feque εµφάνισης του ενδεχοµένου Έστω ότι σε επαναλήψεις ενός πειράµατος τύχης εµφανίζονται συµβολίζεται µε φορές αποτελέσµατα που περιέχονται στο ενδεχόµενο Ο λόγος συνήθως f και καλείται σχετική συχνότητα εµφάνισης του ενδεχοµένου στις επαναλήψεις ενός πειράµατος τύχης κάτω από τις ίδιες συνθήκες Η σχετική συχνότητα µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένα ποσοτικό µέτρο έκφρασης του βαθµού βεβαιότητας για την εµφάνιση του ενδεχοµένου Όταν ένα πείραµα τύχης επαναλαµβάνεται µεγάλο αριθµό φορών, η σχετική συχνότητα εµφάνισης ενός ενδεχοµένου σταθεροποιείται γύρω από κάποια τιµή που καλείται οριακή σχετική συχνότητα και µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένα µέτρο του βαθµού βεβαιότητας για την εµφάνιση του ενδεχοµένου Ο ακόλουθος ορισµός της πιθανότητας αποδίδεται στον Vo Mses και είναι γνωστός ως ο στατιστικός ορισµός της πιθανότητας Ορισµός Στατιστικός ορισµός της πιθανότητας Έστω Ω ένας δειγµατικός χώρος και ένα ενδεχόµενο του Ω Αν είναι ο αριθµός εµφανίσεων του ενδεχοµένου σε επαναλήψεις του πειράµατος, 0, τότε ορίζουµε ως πιθανότητα εµφάνισης του ενδεχοµένου το όριο lm lm f Η έννοια του ορίου στον παραπάνω ορισµό δεν είναι αυστηρή αλλά αποδίδει συµβολικά το γεγονός της σταθεροποίησης της σχετικής συχνότητας όταν αυξάνεται σηµαντικά ο αριθµός των επαναλήψεων του πειράµατος Όπως είναι φανερό η προσέγγιση του Vo Mses για τον ορισµό της πιθανότητας δεν µπορούσε να αποτελέσει τη βάση για µία αυστηρή µαθηµατική ανάπτυξη της Θεωρίας Πιθανοτήτων εν είναι δυνατή, σε αρκετές περιπτώσεις, ενδεχοµένως λόγω κόστους ή και χρόνου, η επανάληψη ενός πειράµατος πολλές φορές Σε κάποιες περιπτώσεις ίσως να µην είναι δυνατόν να εντοπιστεί το όριο του λόγου f Ο διαπρεπής Ρώσος Μαθηµατικός Kolmogoov εξέλαβε τρεις ιδιότητες της πιθανότητας ως αξιώµατα Ολόκληρη η Θεωρία Πιθανοτήτων αναπτύχθηκε αυστηρά µε λογικούς µαθηµατικούς συλλογισµούς οι οποίοι ξεκινούν από τα 7

28 αξιώµατα αυτά Ο Kolmogoov αντιστοίχισε σε κάθε ενδεχόµενο µία αριθµητική ποσότητα η οποία καλείται πιθανότητα του ενδεχοµένου Όρισε µία πραγµατική συνολοσυνάρτηση µε πεδίο ορισµού το σ πεδίο γεγονότων I και πεδίο τιµών κάθε φορά ένα οποιοδήποτε υποσύνολο του συνόλου των πραγµατικών αριθµών R Ο ορισµός που ακολουθεί είναι ο καθιερωµένος ορισµός της πιθανότητας, οφείλεται στον Kolmogoov και καλείται αξιωµατικός ορισµός Ορισµός Αξιωµατικός ορισµός της πιθανότητας κατά Kolmogoov Μία πιθανότητα είναι µία συνολοσυνάρτηση : I R που έχει τις ακόλουθες ιδιότητες: Είναι µη-αρνητική, δηλαδή 0 για κάθε ενδεχόµενο I Μη-αρνητικότητα της πιθανότητας Ισχύει ότι Ω Η πιθανότητα να συµβεί το βέβαιο ενδεχόµενο Ω είναι ίση µε τη µονάδα Είναι σ προσθετική, δηλαδή για οποιαδήποτε ανά δύο ξένα µεταξύ τους ασυµβίβαστα ενδεχόµενα mutuall elusve evets, U Αξίωµα της σ προσθετικότητας I δηλαδή τέτοια ώστε για κάθε, I, µε, ισχύει ότι Σύµφωνα µε τον Kolmogoov η πιθανότητα είναι µία πραγµατική συνολοσυνάρτηση µε πεδίο ορισµού µία οικογένεια συνόλων το σύνολο όλων των ενδεχοµένων του πειράµατος και πεδίο τιµών ένα οποιοδήποτε υποσύνολο των πραγµατικών αριθµών Ορισµός Πιθανοθεωρητικός χώρος Έστω ένα πείραµα τύχης µε δειγµατικό χώρο Ω, σ πεδίο γεγονότων I και έστω µία πιθανότητα επί του I Η τριάδα Ω, I, καλείται πιθανοθεωρητικός χώρος pobablt spae Συνέπειες του ορισµού της πιθανότητας Μερικές συνέπειες του αξιωµατικού ορισµού της πιθανότητας είναι: 0, δηλαδή το αδύνατο γεγονός έχει πιθανότητα ίση µε µηδέν ΩΩ K Άρα Ω Ω K 0 Πεπερασµένη προσθετικότητα Αν,, K, είναι ανά δύο ξένα µεταξύ τους ενδεχόµενα, τότε ισχύει ότι U Θέτουµε για,, K, άρα U U 8

29 9 Η δεύτερη ισότητα είναι συνέπεια της ιδιότητας του Ορισµού της πιθανότητας και ο δεύτερος προσθετέος του αθροίσµατος της τρίτης ισότητας είναι προφανώς µηδενικός Το συµπλήρωµα ενός ενδεχοµένου έχει πιθανότητα Ω Ω Μία πιθανότητα είναι µία µη φθίνουσα συνάρτηση, δηλαδή αν τότε Ισχύει ότι: Για οποιοδήποτε ενδεχόµενο ισχύει ότι: 0 Προφανώς, Ω Από το έχουµε ότι 0 Ω 6 Μία οποιαδήποτε πιθανότητα είναι υπό-προσθετική, δηλαδή U Η τελευταία ανισότητα είναι γνωστή ως ανισότητα του oole oole s equalt Έχουµε ότι: K U Από την σ προσθετικότητα της ισχύει ότι: K K U Η ανισότητα είναι συνέπεια της Ιδιότητας 7 Έστω δύο ενδεχόµενα, Ω Ισχύει ότι Προσθετικός νόµος, ddtve law Είναι Άρα Όµως, Ω Ω Εποµένως, Η σχέση προκύπτει µε χρήση της Για τρία ενδεχόµενα Ω C,, ισχύει ότι C C C C C Στις σελίδες 6-8 του βιβλίου του Ρούσσα παρατίθεται η γενίκευση και η επαγωγική απόδειξη του Προσθετικού Νόµου 7

30 0 Παράδειγµα 7 Έστω ένα πείραµα τύχης µε δειγµατικό χώρο Ω και σ πεδίο ενδεχοµένων I Έστω δύο ενδεχόµενα, τέτοια ώστε, και 6 Βρείτε τις ακόλουθες πιθανότητες: α Tουλάχιστον ένα ενδεχόµενο συµβαίνει β Mόνο το ενδεχόµενο συµβαίνει γ Oύτε το ενδεχόµενο συµβαίνει, ούτε το ενδεχόµενο συµβαίνει δ Tο πολύ ένα από τα δύο ενδεχόµενα συµβαίνει Λύση α 6 β 6 γ ] [ δ 6 6 ] [ Παράδειγµα 8 Έστω δύο ενδεχόµενα και είξτε ότι η πιθανότητα να συµβεί ακριβώς ένα από τα δύο ενδεχόµενα είναι ίση µε Λύση Θέλουµε να βρούµε την πιθανότητα του ενδεχοµένου Όµως, 0 Άρα, ισχύει ότι Όµως, Ω Όµοια,, αφού Εποµένως, Παράδειγµα 9 Από τον έλεγχο που έγινε σε µία ηµέρα σε ένα µεγάλο αριθµό οδηγών βρέθηκε ότι το 70% των οδηγών δε φορούσε ζώνη ασφαλείας, το 0% των οδηγών δεν είχε πυροσβεστήρα στο αυτοκίνητο, ενώ στο 0% των οδηγών διαπιστώθηκαν και οι δύο παραβάσεις Την επόµενη µέρα ελέγχεται ένας οδηγός και θεωρούµε τα ενδεχόµενα : ο οδηγός δεν φοράει ζώνη ασφαλείας και : ο οδηγός δεν έχει πυροσβεστήρα στο αυτοκίνητό του Να υπολογιστεί η πιθανότητα των ενδεχοµένων,,,,

31 Λύση Επειδή το µέγεθος του δείγµατος είναι µεγάλο, από το στατιστικό ορισµό της πιθανότητας προκύπτει προσεγγιστικά ότι στον πληθυσµό των οδηγών οι πιθανότητες των ενδεχοµένων, και είναι ίσες µε 07, 0, 0 Εποµένως, 08, [ ] 0, 0, 09, [ ] 0 Το θεώρηµα Συνέχειας Μία πραγµατική συνάρτηση f : R R, είναι συνεχής αν και µόνο αν για οποιαδήποτε συγκλίνουσα ακολουθία πραγµατικών αριθµών }, ισχύει lm f f lm Η συνάρτηση πιθανότητας είναι µία συνεχής { συνάρτηση Πριν παρουσιάσουµε το Θεώρηµα Συνέχειας χρειαζόµαστε την έννοια της µονότονης mootoe αύξουσας ή φθίνουσας ακολουθίας ενδεχοµένων easg o deeasg sequee of evets Ορισµός Μία ακολουθία ενδεχοµένων λέγεται αύξουσα φθίνουσα και γράφουµε αν K K αντίστοιχα, αν K K Γράφουµε U lm, αν και lm, αν I Αν θεωρήσουµε ως δειγµατικό χώρο το σύνολο Ω R των πραγµατικών αριθµών και ορίσουµε τις ακολουθίες ενδεχοµένων, 6 και,,,, K, είναι φανερό ότι η ακολουθία { } είναι αύξουσα ενώ η ακολουθία { } είναι φθίνουσα Επιπλέον ισχύει ότι lm [, 6] και lm {} Θεώρηµα Θεώρηµα Συνέχειας Αν η ακολουθία ενδεχοµένων είναι µονότονη δηλαδή είτε αύξουσα, είτε φθίνουσα, τότε lm lm Απόδειξη ιακρίνουµε δύο περιπτώσεις η περίπτωση Έστω ότι η ακολουθία είναι αύξουσα Θέτουµε,, K,,, K Τα σύνολα { } είναι ξένα ανά δύο µεταξύ τους Τότε U U και U U Άρα, lm U U lm lm U

32 lm U lm lm η περίπτωση Έστω ότι η ακολουθία lm Εφαρµόζοντας την πρώτη περίπτωση, έχουµε διαδοχικά lm lm lm lm και είναι φθίνουσα Τότε η ακολουθία είναι αύξουσα U I I Εποµένως, lm I Συνεπώς, lm lm Παράδειγµα 0 Θεωρούµε έναν πληθυσµό ατόµων που µπορούν να αναπαράγουν απογόνους Ο αριθµός των ατόµων που αρχικά υπάρχουν στον πληθυσµό συµβολίζεται µε X 0 και καλείται µέγεθος της µηδενικής γενιάς Όλοι οι απόγονοι της µηδενικής γενιάς συνιστούν την πρώτη γενιά και το µέγεθος της πρώτης γενιάς συµβολίζεται µε X Γενικά, έστω ότι µε X συµβολίζουµε το µέγεθος της οστής γενιάς Αν για κάποιο, ισχύει ότι X 0, τότε X 0 Συνεπώς, στην περίπτωση αυτή, η ακολουθία X είναι µία αύξουσα ακολουθία ενδεχοµένων και εποµένως το όριο lm { X 0} υπάρχει Από το Θεώρηµα Συνέχειας, ισχύει ότι: { lm{ X 0} } { X 0} { lm { X 0} U ο πληθυσµός κάποτε θα αφανιστεί} Οι τελευταίες ισότητες µας λένε ότι, για κάποιο, αρκετά µεγάλο η «οριακή» πιθανότητα ότι η γενιά δεν θα έχει κανένα άτοµο ισούται µε την πιθανότητα του «τελικού» αφανισµού του πληθυσµού οστή Παράδειγµα Ας υποθέσουµε ότι έχουµε έναν αρχικό πληθυσµό του οποίου τα άτοµα είναι δυνατόν πριν πεθάνουν να γεννήσουν απογόνους σχηµατίζοντας έτσι τις επόµενες γενιές Αν η πιθανότητα να εξαφανιστεί ο πληθυσµός στην οστή γενιά λόγω θανάτου όλων των ατόµων του πληθυσµού πριν προλάβουν να παράγουν απογόνους είναι ίση µε ep, ποια είναι η πιθανότητα να ζήσει ο πληθυσµός για πάντα; Λύση Αν συµβολίσουµε µε,,, K τα ενδεχόµενα : ο πληθυσµός εξαφανίζεται κατά την οστή γενιά είναι προφανές ότι η ακολουθία ενδεχοµένων { } είναι αύξουσα, δηλαδή K K Το

33 ενδεχόµενο εξαφάνισης του πληθυσµού σε κάποια γενιά περιγράφεται από την ένωση U lm και έχει πιθανότητα εµφάνισης U lm lm lm ep e Εποµένως η ζητούµενη πιθανότητα είναι ίση µε U e Παράδειγµα Έστω ότι ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης περιγράφεται από το σύνολο Ω R των πραγµατικών αριθµών και ότι οι πιθανότητες των ενδεχοµένων a, a,,, K, όπου a R δίνονται από τον τύπο,,, K Να υπολογιστεί η πιθανότητα του απλού ενδεχοµένου {a} Λύση Η ακολουθία των ενδεχοµένων { } είναι µία φθίνουσα ακολουθία ενδεχοµένων επειδή K K Επιπλέον ισχύει ότι a} lm Εφαρµόζουµε το Θεώρηµα της Συνέχειας της συνάρτησης πιθανότητας { και έχουµε lm lm lm 0 εσµευµένη πιθανότητα Θεωρούµε το τυχαίο πείραµα της ρίψης ενός ζαριού Ισχύει ότι } της ρίψης του ζαριού θα είναι άρτιο, τότε } { ίνουµε τον ακόλουθο ορισµό { Αν είναι γνωστό ότι το αποτέλεσµα 6 Ορισµός εσµευµένη πιθανότητα Έστω Ω ένας δειγµατικός χώρος και ένα ενδεχόµενο του Ω τέτοιο ώστε > 0 Για κάθε ενδεχόµενο του Ω, η δεσµευµένη πιθανότητα odtoal pobablt του δοθέντος του gve ορίζεται ως εξής: Γνωρίζουµε λοιπόν ότι το αποτέλεσµα της ρίψης του ζαριού θα είναι άρτιο και ζητάµε την πιθανότητα να εµφανιστεί το αποτέλεσµα Θεωρούµε το ενδεχόµενο {,,6} και το ενδεχόµενο {} Τότε {} 6 {,,6}

34 Παράδειγµα Θεωρούµε τις οικογένειες µε δύο παιδιά Έστω ότι µε συµβολίζουµε το αγόρι και µε K το κορίτσι Ο δειγµατικός χώρος είναι Ω {, K, K, KK} Θεωρούµε ότι το «πρώτο» σύµβολο της δυάδας που αναπαριστά το δειγµατικό σηµείο του Ω δηλώνει το µεγαλύτερο σε ηλικία παιδί Θεωρούµε τα ενδεχόµενα παιδιά ίδιου φύλου {, KK} και C τουλάχιστον ένα αγόρι {, K, K} Ποια είναι η πιθανότητα τα παιδιά να είναι του ίδιου φύλου αν γνωρίζουµε ότι τουλάχιστον ένα είναι αγόρι; C Λύση Ζητάµε την πιθανότητα C Έχουµε C, ενώ C Παράδειγµα Έστω ότι ένα δοχείο περιέχει δεκαπέντε λευκούς, δέκα κίτρινους και πέντε µαύρους βώλους ιαλέγουµε τυχαία ένα βώλο από το δοχείο Ποια είναι η πιθανότητα να είναι κίτρινος αν γνωρίζουµε ότι δεν είναι µαύρος; Λύση Έστω K και M τα ενδεχόµενα επιλογής κίτρινου και µαύρου βώλου, αντίστοιχα Ζητάµε την 0 0 K M K πιθανότητα K M Έχουµε K M 0 0 M M M 0 Παράδειγµα Ένας φίλος µας ρίχνει ένα ζάρι 0 φορές και µας δίνει την πληροφορία ότι εµφανίστηκε τουλάχιστον ένα 6 Ποια είναι η πιθανότητα να έχουν εµφανιστεί δύο ή περισσότερα 6; Λύση Στο δειγµατικό χώρο του πειράµατος, ας ορίσουµε τα ενδεχόµενα: : εµφανίστηκαν δύο ή περισσότερα 6, : εµφανίστηκε τουλάχιστον ένα 6, : δεν εµφανίστηκε κανένα 6, : εµφανίστηκε ακριβώς ένα 6 Ζητάµε τη δεσµευµένη πιθανότητα για την οποία µπορούµε να γράψουµε, διότι Για τον υπολογισµό της πιθανότητας έχουµε Για τον υπολογισµό της πιθανότητας παρατηρούµε ότι 0 0, διότι τα ενδεχόµενα 0 και είναι ξένα ανά δύο µεταξύ τους Ισχύει ότι 0 Εποµένως, Συνεπώς,

35 Θεώρηµα Πολλαπλασιαστικό θεώρηµα Αν,,,, K είναι ενδεχόµενα τέτοια ώστε 0 > I τότε L I I I * Απόδειξη Με επαγωγή Για,, η αποδεικτέα σχέση * ισχύει Έστω ότι η * ισχύει για Θα δείξουµε ότι ισχύει για I I I I L I I Το θεώρηµα ισχύει Παράδειγµα 6 Έστω ότι µία κάλπη περιέχει δέκα σφαιρίδια εκ των οποίων τα πέντε είναι µαύρα τα τρία είναι κόκκινα και τα δύο είναι άσπρα Επιλέγουµε χωρίς επανατοποθέτηση τέσσερα σφαιρίδια Θεωρούµε τα ενδεχόµενα : το πρώτο σφαιρίδιο είναι µαύρο, : το δεύτερο σφαιρίδιο είναι κόκκινο, : το τρίτο σφαιρίδιο είναι άσπρο και : το τέταρτο σφαιρίδιο είναι µαύρο Να βρεθεί η πιθανότητα να πραγµατοποιηθούν και τα τέσσερα ενδεχόµενα Λύση Ζητάµε την πιθανότητα Χρησιµοποιούµε το Θεώρηµα και έχουµε ότι Όµως,, 0, 9, 8 7 Συνεπώς, Λήµµα Ιδιότητες δεσµευµένης πιθανότητας Έστω Ω ένας δειγµατικός χώρος και µία συνάρτηση πιθανότητας Έστω C,, τρία ενδεχόµενα του Ω και D ένα ενδεχόµενο τέτοιο ώστε 0 > D Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες: D D D D D

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ Σηµειώσεις για το µάθηµα ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Θεοδόσης ηµητράκος e-mal: dmtheo@aegeag Σάµος ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι έννοιες του «τυχαίου»

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου

Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Σχολή Ναυτικών οκίµων Ακ. Ετος 2018-2019 Ορισµός Πιθανότητας Στοιχεία Συνδυαστικής Κλασικός Ορισµός της Πιθανότητας Εστω Ω ο δειγµατοχώρος ενός πειράµατος

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ιαδικασίες, Κ. Πετρόπουλος. Τµ. Επιστήµης των Υλικών

ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ιαδικασίες, Κ. Πετρόπουλος. Τµ. Επιστήµης των Υλικών Τµ. Επιστήµης των Υλικών Χώρος Πιθανότητας Συµµετρικός Χώρος Πιθανότητας 1 Θεωρούµε ότι ο δειγµατοχώρος Ω είναι πεπερασµένος, Ω= {ω 1,ω 2,...,ω n }. 2 Κάθε δειγµατοσηµείο έχει τις ίδιες ευκαιρίες εµφάνισης

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος

1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος 1. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος Κάθε πείραμα στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως το αποτέλεσμα λέγεται αιτιοκρατικό πείραμα. Τέτοια πειράματα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

P (A) = 1/2, P (B) = 1/2, P (C) = 1/9

P (A) = 1/2, P (B) = 1/2, P (C) = 1/9 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-1: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 011 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις εύτερης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : /11/011 Ηµεροµηνία Παράδοσης : 1/11/011

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 15 Οκτωβρίου 2009 ΚΛΑΣΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ De Moivre Ο κλασικός ορισµός της πιθανότητας αφορά πεπερασµένους δειγµατικούς χώρους και

Διαβάστε περισσότερα

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων . Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων Tα διάφορα επιστημονικά μοντέλα ή πειράματα ή γενικότερα τα φυσικά φαινόμενα μπορεί να θεωρηθεί ότι εντάσσονται σε δύο μεγάλες κατηγορίες: τα προσδιοριστικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 12 Οκτωβρίου 2009 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΑ ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ Ενωση ενδεχοµένων Η ένωση δύο ενδεχοµένων A και B (ως προς ένα δειγµατικό χώρο Ω), συµβολιζόµενη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης. Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης. Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Ασκηση 1. Σε κάθε περίπτωση πρέπει να χρησιµοποιήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

(1) 98! 25! = 4 100! 23! = 4

(1) 98! 25! = 4 100! 23! = 4 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-17: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 5 Συνδυαστική Ανάλυση και Εισαγωγή στις ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές Επιµέλεια

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 0 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο - Συνδυαστική Ανάλυση Επιµέλεια : Σοφία Σαββάκη Θεωρία. Η ϐασική αρχή της απαρίθµησης

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθµηση Υπολογισµός (µε συνδυαστικά επιχειρήµατα) του πλήθους των διαφορετικών αποτελεσµάτων ενός «πειράµατος». «Πείραµα»: διαδικασία µ

Συνδυαστική Απαρίθµηση Υπολογισµός (µε συνδυαστικά επιχειρήµατα) του πλήθους των διαφορετικών αποτελεσµάτων ενός «πειράµατος». «Πείραµα»: διαδικασία µ Συνδυαστική Απαρίθµηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθµηση Υπολογισµός

Διαβάστε περισσότερα

(1) 98! 25! = 4 100! 23! = 4

(1) 98! 25! = 4 100! 23! = 4 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 5 Συνδυαστική Ανάλυση ΙΙ και Εισαγωγή στις ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 19 Οκτωβρίου 2009 ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΗ ΘΕΜΕΛΙΩΣΗ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ορισµός Εστω Ω δειγµατικός χώρος στοχαστικού (τυχαίου) πειράµατος (ή ϕαινοµένου).

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου

Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Σχολή Ναυτικών οκίµων Ακ. Ετος 2018-2019 εσµευµένη Πιθανότητα Πολλαπλασιαστικός Νόµος Ανεξάρτητα Γεγονότα Θεώρηµα Ολικής Πιθανότητας Κανόνας Bayes

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΑΛΓΕΒΡΑ - Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Επιμέλεια: Παπαδόπουλος Παναγιώτης Πείραμα τύχης 1 η δραστηριότητα Ρίξτε ένα κέρμα 5 φορές και καταγράψτε την πάνω όψη του: 1 η ρίψη:, 2 η ρίψη:, 3 η ρίψη:

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }.

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }. 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα Τύχης Ένα πείραμα του οποίου δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνεται φαινομενικά τουλάχιστον κάτω από

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1 ο. Πιθανότητα-Έννοιες και Ορισµοί. Στο µάθηµα αυτό θα αναφερθούµε σε βασικές έννοιες και συµβολισµούς της θεωρίας πιθανοτήτων.

Μάθηµα 1 ο. Πιθανότητα-Έννοιες και Ορισµοί. Στο µάθηµα αυτό θα αναφερθούµε σε βασικές έννοιες και συµβολισµούς της θεωρίας πιθανοτήτων. Μάθηµα 1 ο Πιθανότητα-Έννοιες και Ορισµοί Στο µάθηµα αυτό θα αναφερθούµε σε βασικές έννοιες και συµβολισµούς της θεωρίας πιθανοτήτων. http://compus.uom.gr/inf267/index.php 1 Εισαγωγικά Βασικές Έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΜΣ στη «Ναυτιλία» Τμήμα Β art time Χαράλαμπος Ευαγγελάρας hevangel@unipi.gr Η έννοια της Πιθανότητας Ο όρος πιθανότητα είναι συνδέεται άμεσα με τη μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ Τµ. Επιστήµης των Υλικών Βασικές Αρχές Αρχή της Απαρίθµησης Εστω ότι ϑέλουµε να εκτελέσουµε ένα έργο Τ και το έργο εκτελείται σε κάποιες ϐαθµίδες, οι οποίες ϐαθµίδες εκτελούνται σε υποέργα, T j, j = 1,

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής. Θεωρία Πιθανοτήτων. Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος

Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής. Θεωρία Πιθανοτήτων. Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής 1 Θεωρία Πιθανοτήτων Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος 2 Περιεχόμενα Έννοια πιθανότητας Ορισμοί πιθανότητας Τρόπος υπολογισμού Πράξεις πιθανοτήτων Χρησιμότητα τους 3 Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου

Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Σχολή Ναυτικών οκίµων Ακ. Ετος 2018-2019 Εισαγωγικά Βασικοί Ορισµοί Πράξεις Γεγονότων Σχεδιάγραµµα της Υλης Βασικές Εννοιες της Θεωρίας Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ . Να βρείτε το δειγµατικό χώρο της ρίψης ενός ζαριού.. Επιλέγουµε ένα µαθητή Λυκείου και σηµειώνουµε το φύλο και την τάξη του. Να βρείτε το δειγµατικό χώρο Ω του πειράµατος. 3. Τραβάµε ένα φύλλο από µία

Διαβάστε περισσότερα

P( n, k) P(5,5) 5! 5! 10 q! q!... q! = 3! 2! = 0! 3! 2! = 3! 2!

P( n, k) P(5,5) 5! 5! 10 q! q!... q! = 3! 2! = 0! 3! 2! = 3! 2! HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Φροντιστήριο στη Συνδυαστική (#8) Άσκηση 1 Με πόσους τρόπους µπορούµε να δηµιουργήσουµε συµβολοσειρές που αποτελούνται από τρεις παύλες και δύο τελείες; Άσκηση 1, 1 η προσέγγιση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΓΕΡΓΙΟΣ Ε. ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ [] ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΡΙΑ: Πείραμα Τύχης Κάθε πείραμα κατά στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθµηση

Συνδυαστική Απαρίθµηση Συνδυαστική Απαρίθµηση ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου, Θ. Λιανέας Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθµηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ρίχνουµε ένα νόµισµα τρείς φορές (i) Να βρείτε τον δειγµατικό χώρο του πειράµατος τύχης. (ii) Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχοµένων: Α: Οι τρεις ενδείξεις είναι ίδιες. Β:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. ΗΙΗ ΗΟΑΙΑ ΑΙΗΙΟ ΗΗ ΕφαοαΝαα Πόχεε Σεώε Παόε Κεφάαο 2 οναα,νααναφνααώ,νυπώ ανεπνανχοογανώ Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση

Διαβάστε περισσότερα

Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Θεωρία πιθανοτήτων. Θεωρία Πιθανοτήτων. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017.

Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Θεωρία πιθανοτήτων. Θεωρία Πιθανοτήτων. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017. HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 02/05/2017 Θεωρία πιθανοτήτων Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 04-May-17 1 1 04-May-17 2 2 Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Στον προτασιακό και κατηγορηματικό

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Πολλαπλασιαστική αρχή (multiplicatio rule). Έστω ότι ένα πείραμα Ε 1 έχει 1 δυνατά αποτελέσματα. Έστω επίσης ότι για κάθε ένα από αυτά τα δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 19/04/2016 Το υλικό των Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 1 Συνδυαστική 2 Πείραµα Πείραµα: Οποιαδήποτε διαδικασία που µπορεί να οδηγήσει σε ένα αριθµό παρατηρήσιµων

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα 1 Λυµένες Ασκήσεις Ασκηση 1 Στρίβουµε ένα νόµισµα δύο ϕορές. Υποθέτοντας ότι και τα τέσσερα στοιχεία του δειγµατοχώρου Ω {(K, K, (K, Γ, (Γ, K, (Γ, Γ} είναι ισοπίθανα, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Μέτρο Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Τµ. Επιστήµης των Υλικών εσµευµένες Πιθανότητες Εστω (Ω, A, P) ένας πιθανοθεωρητικός χώρος. Αξιωµατικός Ορισµός της Πιθανότητας (Kolmogorov) Θεωρούµε (Ω, A) έναν µετρήσιµο χώρο. Ενα πιθανοθεωρητικό µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }.

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα Αν δηλαδή ω,,, ω2 ωκ είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος

Διαβάστε περισσότερα

Βιομαθηματικά BIO-156. Θεωρία Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2016

Βιομαθηματικά BIO-156. Θεωρία Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2016 Βιομαθηματικά IO-56 Θεωρία Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 06 lika@biology.uo.gr Ορισμοί Τυχαίο Πείραμα: κάθε πείραμα που είναι δυνατόν να επαναληφθεί με το ίδιο σύνολο υποθέσεων και του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ κεφ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Σε ένα συρτάρι υπάρχουν δύο κάρτες, μία άσπρη και μία κόκκινη Παίρνουμε στην τύχη μία κάρτα από το συρτάρι, καταγράφουμε το χρώμα της και την ξαναβάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων 6 Απριλίου 2009 1 Συνδυαστική Η ϐασική αρχή µέτρησης µας λέει ότι αν σε ένα πείραµα που γίνεται σε δύο ϕάσεις και στο οποίο υπάρχουν n δυνατά αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.)

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.) 3 Οριακά θεωρήµατα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (ΚΟΘ) Ένα από τα πιο συνηθισµένα προβλήµατα που ανακύπτουν στη στατιστική είναι ο προσδιορισµός της κατανοµής ενός µεγάλου αθροίσµατος ανεξάρτητων τµ Έστω Χ Χ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 21 Οκτωβρίου 2009 ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η ανάγκη εισαγωγής της δεσµευµένης πιθανότητας αναφύεται στις περιπτώσεις όπου µία µερική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ανδρεσάκης Δ. ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ανδρεσάκης Δ. ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΛΓΕΡ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙ 1 Tα πειράματα των οποίων δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνονται (φαινομενικά τουλάχιστον) κάτω από τις ίδιες συνθήκες

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα. Πρόλογος Ιστορική εξέλιξη της πιθανοκρατικής αντίληψης... 13

Περιεχόµενα. Πρόλογος Ιστορική εξέλιξη της πιθανοκρατικής αντίληψης... 13 Περιεχόµενα Πρόλογος... 11 Ιστορική εξέλιξη της πιθανοκρατικής αντίληψης... 13 1.1 Εισαγωγή...13 1.2 ειγµατοχώρος και γεγονότα...18 1.3 Τεχνικές απαρίθµησης...20 1.4 Μεταθέσεις στοιχείων διαφορετικών ειδών

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 2ης Διάλεξης 1 Σύνοψη προηγούμενου μαθήματος 2 Αξιωματικός ορισμός και απαρίθμηση 3 Διατάξεις - Συνδυασμοί 4 Παραδείγματα υπολογισμού πιθα

Περιεχόμενα 2ης Διάλεξης 1 Σύνοψη προηγούμενου μαθήματος 2 Αξιωματικός ορισμός και απαρίθμηση 3 Διατάξεις - Συνδυασμοί 4 Παραδείγματα υπολογισμού πιθα Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (2η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 54 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Α ΕΝΟΤΗΤΑ. Πιθανότητες. Α.1 (1.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Α.2 (1.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα. Η έννοια της πιθανότητας

Α ΕΝΟΤΗΤΑ. Πιθανότητες. Α.1 (1.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Α.2 (1.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα. Η έννοια της πιθανότητας Α ΕΝΟΤΗΤΑ Πιθανότητες Α.1 (1.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα Α.2 (1.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Η έννοια της πιθανότητας Α.1 Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα. Απαραίτητες γνώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 1 η : Βασικές Έννοιες Πιθανότητας Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Α.Π.Θ. Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 10/05/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/11/2016 1 1 Θεωρία πιθανοτήτων 5/11/2016 2 2 Γιατί πιθανότητες; Στον προτασιακό και κατηγορηµατικό λογισµό µιλήσαµε

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

MEΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Y= g( X1, X2,..., Xn)

MEΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Y= g( X1, X2,..., Xn) MEΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ g( Έστω τυχαίες µεταβλητές οι οποίες έχουν κάποια από κοινού κατανοµή Ας υποθέσουµε ότι επιθυµούµε να προσδιορίσουµε την κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής g( Η θεωρία των ένα-προς-ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 2ο Κανόνες Απαρίθμησης (συνέχεια) 2 ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ ΜΕ ΔΙΑΦΑΝΕΙΕΣ, ΒΙΒΛΙΟ & ΔΕΙΓΜΑ ΘΕΜΑΤΩΝ www.unipi.gr/faculty/mkoutras/index.htm

Διαβάστε περισσότερα

Βιομαθηματικά BIO-156

Βιομαθηματικά BIO-156 ιομαθηματικά IO-56 Θεωρία Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 03 lika@biology.uo.gr Ορισμοί Τυχαίο Πείραμα: κάθε πείραμα που είναι δυνατόν να επαναληφθεί με το ίδιο σύνολουποθέσεωνκαιτουοποίουτο αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης. Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης. Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Ασκηση 1. (i Υποθέτοντας ότι επιτρέπονται επαναλήψεις

Διαβάστε περισσότερα

(365)(364)(363)...(365 n + 1) (365) k

(365)(364)(363)...(365 n + 1) (365) k ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 21//2016 Ηµεροµηνία Παράδοσης :

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ Αριθµητικός Μέσος: όπου : αριθµός παρατηρήσεων ιάµεσος: εάν άρτιος εάν περιττός M + + M + Παράδειγµα: ηλ.: Εάν :,,, M + + 5 + +, 5 Εάν :,, M + Επικρατούσα Τιµή:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 26 Οκτωβρίου 2009 Η διερεύνηση, σε γενικές γραµµές, της δεσµευµένης πιθανότητας και η σύγκρισή της µε την απόλυτη πιθανότητα αποκαλύπτει

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Οι μελέτες φυσικών φαινομένων ή πραγματικών προβλημάτων καταλήγουν είτε σεπροσδιοριστικά

Οι μελέτες φυσικών φαινομένων ή πραγματικών προβλημάτων καταλήγουν είτε σεπροσδιοριστικά Εισαγωγή Οι μελέτες φυσικών φαινομένων ή πραγματικών προβλημάτων καταλήγουν είτε σεπροσδιοριστικά μοντέλα, είτε σε στοχαστικά ή αλλοιώς πιθανοτικά μοντέλα. προσδιοριστικά μοντέλα : επιτρέπουν προσδιορισμό

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÈÅÌÅËÉÏ ÇÑÁÊËÅÉÏ ÊÑÇÔÇÓ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÈÅÌÅËÉÏ ÇÑÁÊËÅÉÏ ÊÑÇÔÇÓ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 07 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι f ( x) + g( x) = f ( x) + g ( x), για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

#(A B) = (#A)(#B). = 2 6 = 1/3,

#(A B) = (#A)(#B). = 2 6 = 1/3, Κεφάλαιο 4 Πιθανότητες και συνδυαστική Οπως είδαμε σε κάποια παραδείγματα των προηγουμένων κεφαλαίων, συχνά συναντάμε καταστάσεις όπου όλες οι δυνατές εκφάνσεις ενός τυχαίου πειράματος έχουν την ίδια πιθανότητα.

Διαβάστε περισσότερα

3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ. Σχετική συχνότητα ενδεχοµένου Α : 2. Ιδιότητες της f, λ το πλήθος απλών ενδεχοµένων :

3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ. Σχετική συχνότητα ενδεχοµένου Α : 2. Ιδιότητες της f, λ το πλήθος απλών ενδεχοµένων : 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΘΕΩΡΙΑ. Σχετική συχνότητα ενδεχοµένου Α : Είναι το πηλίκο f κ A = ν ενδεχόµενου Α σε ν το πλήθος εκτελέσεις του πειράµατος όπου κ το πλήθος των πραγµατοποιήσεων του. Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς

Διαβάστε περισσότερα

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ω Ν ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ0 e-mail@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηµατικών µε πολλά

Διαβάστε περισσότερα

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

3.2. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 154 156 Α ΟΜΑ ΑΣ

3.2. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 154 156 Α ΟΜΑ ΑΣ . Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 54 56 Α ΟΜΑ ΑΣ. Από µία τράπουλα µε 5 φύλλα παίρνουµε ένα στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων : i) Το φύλλο είναι 5 ii) Το φύλλο δεν είναι 5 i) εχόµαστε

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ.ΣΠ. ΛΥΚΟΥΔΗΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ.ΣΠ. ΛΥΚΟΥΔΗΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θεωρία Πιθανοτήτων Εάν οι συνθήκες τέλεσης ενός πειράματος καθορίζουν πλήρως το αποτέλεσμα του, τότε το πείραμα λέγεται αιτιοκρατικό. Είναι γνωστό ότι το αποσταγμένο νερό βράζει στους 100 βαθμού κελσίου.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 5o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Στρατηγικές

Στοχαστικές Στρατηγικές Στοχαστικές Στρατηγικές 3 η ενότητα: Εισαγωγή στα στοχαστικά προβλήματα διαδρομής Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος 2018-2019 Χειμερινό Εξάμηνο Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2012 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης. Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2012 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης. Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-1: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 01 ιδάσκων : Π Τσακαλίδης Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : /10/01 Ηµεροµηνία Παράδοσης : /11/01

Διαβάστε περισσότερα

Βασικά στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων

Βασικά στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων Η έννοια του Πειράµατος Τύχης. 9 3 Το σύνολο των πιθανών εκβάσεων ενός πειράµατος τύχης καλείται δειγµατοχώρος ήδειγµατικόςχώρος (sample space)καισυµβολίζεταιµεωήµε S.Έναστοιχείοω ή s του δειγµατικού χώρου

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ

Περιεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (3η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 38 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Έννοια πιθανότητας Ορισμοί πιθανότητας Τρόπος υπολογισμού Πράξεις πιθανοτήτων Χρησιμότητα τους

Πιθανότητες. Έννοια πιθανότητας Ορισμοί πιθανότητας Τρόπος υπολογισμού Πράξεις πιθανοτήτων Χρησιμότητα τους Πιθανότητες Έννοια πιθανότητας Ορισμοί πιθανότητας Τρόπος υπολογισμού Πράξεις πιθανοτήτων Χρησιμότητα τους «Πείραμα» Tύχης Οτιδήποτε συμβαίνει και δεν γνωρίζουμε από πριν το ακριβές αποτέλεσμά του. Απασχόλησαν

Διαβάστε περισσότερα

5.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

5.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 1 5.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα Είναι τα απλά ενδεχόµενα για τα οποία κάποιο εξ αυτών δεν έχει πλεονέκτηµα έναντι των άλλων όσον αφορά την επιλογή του. Με άλλα λόγια

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 1 Συνδυαστική ανάλυση Η συνδυαστική ανάλυση είναι οι διάφοροι μέθοδοι και τύποι που χρησιμοποιούνται στη λύση προβλημάτων εκτίμησης του πλήθους των στοιχείων ενός πεπερασμένου συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική

Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική 2 ο Εξάμηνο Ασκήσεις Πράξης 1 Θεωρία Συνόλων - Δειγματικός Χώρος Άσκηση 1: Να βρεθούν και να γραφούν με συμβολισμούς της Θεωρίας Συνόλων οι δειγματοχώροι των τυχαίων πειραμάτων:

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα)

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Πείραμα: διαδικασία που παράγει πεπερασμένο σύνολο αποτελεσμάτων Πληθικός αριθμός συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ

Περιεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ 3ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 3ο Μάθημα Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει.

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 3: Σειρές πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα. Εστω ( ) µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε

Διαβάστε περισσότερα

5. 2 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

5. 2 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ-ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ 69 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα τύχης- Δειγματικός χώρος Ένα πείραμα το οποίο όσες φορές και αν το επαναλάβουμε, δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ Σηµειώσεις για το µάθηµα ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΗ Θεοδόσης ηµητράκος e-mail: dimitheo@aegean.gr

Διαβάστε περισσότερα

B A B A A 1 A 2 A N = A i, i=1. i=1

B A B A A 1 A 2 A N = A i, i=1. i=1 Κεφάλαιο 2 Χώρος πιθανότητας και ενδεχόμενα 2.1 Προκαταρκτικά Εστω ότι κάποιος μας προτείνει να του δώσουμε δυόμισι ευρώ για να παίξουμε το εξής παιχνίδι: Θα στρίβουμε ένα νόμισμα μέχρι την πρώτη φορά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. 8. * Αν Ω είναι ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης,

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. 8. * Αν Ω είναι ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης, 3ο Κεφάλαιο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν Ω είναι δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης, τότε Ρ (Ω) = 1. 2. * Αν Α είναι ενδεχόµενο ενός πειράµατος τύχης τότε, 0 Ρ (Α) 1. 3. *

Διαβάστε περισσότερα

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ] Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες και Στοχαστικές ιαδικασίες Θόρυβος µετρήσεων είκτης Χρηµατιστηρίου Σήµα Πληροφορίας (φωνή, data) Ατµοσφαιρικός Θόρυβος Πως δηµιουργείται

Πιθανότητες και Στοχαστικές ιαδικασίες Θόρυβος µετρήσεων είκτης Χρηµατιστηρίου Σήµα Πληροφορίας (φωνή, data) Ατµοσφαιρικός Θόρυβος Πως δηµιουργείται Πιθανότητες και Στοχαστικές ιαδικασίες Θόρυβος µετρήσεων είκτης Χρηµατιστηρίου Σήµα Πληροφορίας (φωνή, data) Ατµοσφαιρικός Θόρυβος Πως δηµιουργείται το τυχαίο I do not believe that God rolls dice Μακροσκοπική

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ. 1. Πείραµα τύχης : Το πείραµα του οποίου δε µπορούµε να προβλέψουµε µε ακρίβεια το αποτέλεσµα.

3.1 ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ. 1. Πείραµα τύχης : Το πείραµα του οποίου δε µπορούµε να προβλέψουµε µε ακρίβεια το αποτέλεσµα. 1 3.1 ΕΙΓΜΤΙΚΟΣ ΧΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝ ΘΕΡΙ 1. Πείραµα τύχης : Το πείραµα του οποίου δε µπορούµε να προβλέψουµε µε ακρίβεια το αποτέλεσµα. 2. ειγµατικός χώρος : Το σύνολο των δυνατών αποτελεσµάτων του πειράµατος

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Τοπικές έννοιες Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα

3/10/2016. Στατιστική Ι. 1 η Διάλεξη

3/10/2016. Στατιστική Ι. 1 η Διάλεξη Στατιστική Ι 1 η Διάλεξη 1 2 Φαινόμενα Πειράματα Αιτιοκρατικά Προσδιοριστικά Τυχαία Στοχαστικά Ένα αιτιοκρατικό πείραμα, κάθε φορά που εκτελείται, έχει το ίδιο αποτέλεσμα το οποίο μπορεί να προβλεφθεί

Διαβάστε περισσότερα