ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Συναρτήσεις

Transcript

1 24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Συναρτήσεις Στόχοι Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται συναρτήσεις του Excel που έχουν εφαρµογή σε οικονοµικά και επιχειρησιακά προβλήµατα. Προσδοκώµενα αποτελέσµατα Με βάση το υλικό που παρουσιάζεται σε αυτό το κεφάλαιο θα πρέπει να είστε σε θέση να: Εκτελείτε µαθηµατικούς υπολογισµούς χρησιµοποιώντας τις ενσωµατωµένες συναρτήσεις Αναλύετε δεδοµένα χρησιµοποιώντας τις στατιστικές συναρτήσεις του Excel Εντοπίζετε καταχωρήσεις σε µεγάλα σύνολα δεδοµένων χρησιµοποιώντας τις συναρτήσεις Αναζήτησης και αναφοράς Ελέγχετε την ορθότητα εκφράσεων µέσω των Λογικών συναρτήσεων Χρησιµοποιείτε οικονοµικές συναρτήσεις για να αξιολογείτε επιχειρηµατικά σχέδια, να υπολογίζετε την εξόφληση δανείου κλπ. Έννοιες - κλειδιά Συνάρτηση Μαθηµατικές & Τριγωνοµετρικές συναρτήσεις Στατιστικές συναρτήσεις Συναρτήσεις Αναζήτησης και Αναφοράς Λογικές συναρτήσεις Οικονοµικές συναρτήσεις Εισαγωγικές παρατηρήσεις Το Excel περιλαµβάνει ένα µεγάλο αριθµό συναρτήσεων φύλλου εργασίας, οι οποίες εκτελούν υπολογισµούς µε συγκεκριµένη σειρά ή δοµή. Οι συναρτήσεις δέχονται τιµές εισόδου οι οποίες ονοµάζονται ορίσµατα της συνάρτησης και επιστρέφουν το αποτέλεσµα απλών ή πολύπλοκων υπολογισµών. Οι συναρτήσεις φύλου εργασίας του Excel είναι οργανωµένες στις εξής κατηγορίες

2 25 Financial (Οικονοµικές) Logical (Λογικές) Text (Κειµένου) Date & Time (Ηµεροµηνίας και ώρας) Lookup & Reference (Αναζήτησης και αναφοράς) Math & Trig (Μαθηµατικών και τριγωνοµετρίας) Statistical (Στατιστικές) Engineering (Μηχανολογικές) Database (Βάση δεδοµένων) Cube (Κύβου) Information (Πληροφοριών) User defined (Συναρτήσεις χρήστη) Στις παραγράφους που ακολουθούν θα εστιάσουµε σε κατηγορίες συναρτήσεων και σε συναρτήσεις οι οποίες χρησιµοποιούνται συνήθως σε επιχειρησιακά και οικονοµικά προβλήµατα. ΕΝΟΤΗΤΑ 2.1 Γενικά για τις συναρτήσεις Η εισαγωγή συνάρτησης σε φύλλο εργασίας επιτυγχάνεται µε δύο τρόπους: Καταχωρώντας το σύµβολο ισότητας =, ακολουθούµενο από το όνοµα της συνάρτησης και τα ορίσµατά της. Μέσω του οδηγού εισαγωγής συνάρτησης ο οποίος εκκινείται µέσω του πλήκτρου συντόµευσης της εφαρµογής Insert Function (Εισαγωγή συνάρτησης): Η ενεργοποίηση της εφαρµογής Insert Function έχει σαν αποτέλεσµα την εµφάνιση ενός πλαισίου διαλόγου στο οποίο ο χρήστης επιλέγει αρχικά την κατηγορία στην οποία ανήκει η συνάρτηση που θέλει να εισάγει και στη συνέχεια επιλέγει τη συγκεκριµένη συνάρτηση από έναν κατάλογο συναρτήσεων που είναι διαθέσιµες στην κατηγορία που επιλέχθηκε.

3 26 Η δοµή µιας συνάρτησης ξεκινά µε ένα σύµβολο ισότητας (=), που ακολουθείται από το όνοµα της συνάρτησης, µια αριστερή παρένθεση, τα ορίσµατα της συνάρτησης διαχωρισµένα µε κόµµα και µια δεξιά παρένθεση. Τα ορίσµατα µπορούν να είναι αριθµοί, κείµενο, λογικές τιµές, όπως TRUE ή FALSE, πίνακες, τιµές σφάλµατος, όπως #Ν/Α ή αναφορές κελιών. Το όρισµα που καθορίζετε πρέπει να παράγει µια έγκυρη τιµή για αυτό το όρισµα. Τα ορίσµατα µπορούν ακόµη να είναι σταθερές, τύποι ή άλλες συναρτήσεις. Σε ορισµένες περιπτώσεις, κρίνεται σκόπιµο να δηµιουργήσουµε µία µαθηµατική σχέση τύπο, που περιέχει µία συνάρτηση. Σε τέτοιες περιπτώσεις το πλαίσιο διαλόγου Insert Function (Εισαγωγή συνάρτησης) σάς βοηθά να εισαγάγετε συναρτήσεις, καθώς η εκκίνησή του εµφανίζει το όνοµα της συνάρτησης, τα ορίσµατά της, µια περιγραφή της συνάρτησης και του κάθε ορίσµατος, το τρέχον αποτέλεσµα της συνάρτησης και το τρέχον αποτέλεσµα ολόκληρου του τύπου (βλέπε Εικόνα 2 παρακάτω). Επίσης, ίσως χρειαστεί να χρησιµοποιήσετε µια συνάρτηση ως ένα από τα ορίσµατα κάποιας άλλης συνάρτησης. Οι συναρτήσεις αυτές καλούνται ένθετες συναρτήσεις και ένας τύπος είναι δυνατό να περιέχει µέχρι 64 επίπεδα ένθετων συναρτήσεων. Στην παρακάτω εικόνα εµφανίζονται οι διαθέσιµες συναρτήσεις από την κατηγορία Μαθηµατικές & Τριγωνοµετρικές από την οποία θέλουµε να χρησιµοποιήσουµε τη συνάρτηση COMBIN. Επιλέγουµε της συνάρτηση COMBIN και κάνουµε «κλικ» στο

4 27 ΟΚ. Φαίνεται το πλαίσιο διαλόγου µε τίτλο Function Arguments (Ορίσµατα συνάρτησης) που ακολουθεί την επιλογή µας. Στο πλαίσιο διαλόγου φαίνονται τα ορίσµατα της συνάρτησης (Number, Number_chosen), η λειτουργία της συνάρτησης (The number of combinations for a given number of items), η περιγραφή των ορισµάτων (Number_chosen is the number of items in each combination) και το αποτέλεσµα της συνάρτησης (6) αλλά και το αποτέλεσµα τύπου (Formula result = 6) που στην προκειµένη περίπτωση ταυτίζονται εφόσον η συνάρτηση COMBIN δεν είναι ένθετη. Περαιτέρω βοήθεια για τη συνάρτηση π.χ. ποια σχέση υπολογισµού χρησιµοποιείται κλπ. µπορεί να αναζητηθεί µέσω του σχετικού συνδέσµου Help on this function (Βοήθεια για αυτήν τη συνάρτηση). Εικόνα 2 Πλαίσιο διαλόγου εισαγωγής συνάρτησης Γραµµή τύπων Εµφάνιση µόνο του πλαισίου του ορίσµατος Εισαγωγή συνάρτησης Ορίσµατα Αποτέλεσµα συνάρτησης Περιγραφή ορίσµατος Περιγραφή συνάρτησης Αποτέλεσµα τύπου Η περίπτωση της απευθείας πληκτρολόγησης της συνάρτησης αφορά συνηθίζεται από εξοικειωµένους χρήστες που γνωρίζουν το όνοµα της συνάρτησης και τη σύνταξή της. Σε αυτή την περίπτωση, πληκτρολογώντας com εµφανίζονται οι συναρτήσεις που έχουν όνοµα που ξεκινάει από com,

5 28 και κατά την επιλογή της συνάρτησης εµφανίζονται οι λεπτοµέρειες σύνταξής της. Σε αυτή τη φάση µπορεί κανείς να ζητήσει βοήθεια µεταφέροντα το δείκτη στο υπογραµµισµένο όνοµα της συνάρτησης. Σηµειώνεται ότι όταν τα ορίσµατα της συνάρτησης, π.χ. Number, Number_chosen (βλέπε Εικόνα 2 παραπάνω) εµφανίζονται µε έντονους χαρακτήρες, είναι υποχρεωτικά ορίσµατα, ενώ σε περίπτωση που κάποιο όρισµα εµφανίζεται µε κανονικούς χαρακτήρες είναι προαιρετικό. Σηµειώνεται επίσης ότι τα ορίσµατα των συναρτήσεων χωρίζονται µε, ή ; ανάλογα µε τις Τοπικές ρυθµίσεις και ρυθµίσεις γλώσσας του υπολογιστή που χρησιµοποιείται. Ο χρήστης καλείται να κάνει τις ανάλογες προσαρµογές ή να χρησιµοποιεί το σύµβολο διαχωρισµού που είναι συµβατό µε τις ρυθµίσεις του υπολογιστή που χρησιµοποιεί. ΕΝΟΤΗΤΑ 2.2 Μαθηµατικές & Τριγωνοµετρικές συναρτήσεις Η κατηγορία αυτή περιλαµβάνει µαθηµατικές και τριγωνοµετρικές συναρτήσεις. Η παρουσίαση των συναρτήσεων αυτής της κατηγορίας θα περιοριστεί στις συναρτήσεις που χρησιµοποιούνται συνήθως σε επιχειρησιακά και οικονοµικά προβλήµατα. Ο Πίνακας 1 δίνει µία περιγραφή της χρήσης κάθε συνάρτησης και της σύνταξής της: Πίνακας 1 Μαθηµατικές και Τριγωνοµετρικές συναρτήσεις Συνάρτηση ABS(number) COMBIN(number, number_chosen) EXP(number) Χρήση επιστρέφει την απόλυτη τιµή ενός αριθµού. αποδίδει τον αριθµό των συνδυασµών για δεδοµένο πλήθος στοιχείων. Χρησιµοποιήστε τη συνάρτηση COMBIN, για να υπολογίσετε τον συνολικό αριθµό των οµάδων πλήθους στοιχείων number_chosen που µπορούν να σχηµατιστούν από ένα πλήθος στοιχείων number. αποδίδει το e στη δύναµη του καθορισµένου αριθµού. Η συνάρτηση αυτή είναι χρήσιµη για

6 29 τον υπολογισµό της παρούσας (ή της µελλοντικής) αξίας ταµειακών ροών υπό το καθεστώς συνεχούς σύνθετου ανατοκισµού. FACT(number) GCD(number1, number2, ) ΙΝΤ(number) LCM(number1, number2, ) LN(number), LOG10(number) RAND() RANDBETWEEN(bottom,top) αποδίδει το παραγοντικό ενός αριθµού. Το παραγοντικό ενός αριθµού ισούται µε 1*2*3*...*αριθµός. επιστρέφει το µέγιστο κοινό διαιρέτη των αριθµών number1, number2, αντίστοιχα. αποδίδει το ακέραιο µέρος ενός αριθµού, επιστρέφει το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθµών number1, number2, αποδίδει το φυσικό λογάριθµο ενός αριθµού. Προσοχή, η συνάρτηση δεν ορίζεται όταν το number είναι αρνητικός αριθµός. Χρησιµοποιείστε τη συνάρτηση LOG10(number) για να υπολογίσετε το δεκαδικό λογάριθµο ενός αριθµού. επιστρέφει έναν τυχαίο αριθµό µεγαλύτερο ή ίσο του 0 και µικρότερο του 1, οµοιόµορφα κατανεµηµένο. Κάθε φορά που υπολογίζετε το φύλλο εργασίας, αποδίδεται ένας νέος τυχαίος αριθµός. αποδίδει ένα τυχαίο αριθµό µεταξύ των αριθµών που καθορίζετε. ROUND(number, number_digits) στρογγυλοποιεί τον αριθµό number σε καθορισµένο αριθµό ψηφίων number_digits. SQRT(number) αποδίδει τη θετική τετραγωνική ρίζα του δεδοµένου αριθµού. Προσοχή, η συνάρτηση δεν

7 30 ορίζεται για αρνητικά number. SUM(number1, number2, ) SUMIF(number1, number2, ) SUMPRODUCT(array1, array2, ) προσθέτουν όλους τους αριθµούς σε µία περιοχή κελιών και τα κελιά εκείνα που καθορίζονται από µία δεδοµένη συνθήκη/δεδοµένα κριτήρια αντίστοιχα. προσθέτουν όλους τους αριθµούς σε µία περιοχή κελιών που καθορίζονται από µία δεδοµένη συνθήκη/δεδοµένα κριτήρια αντίστοιχα. αποδίδει το άθροισµα των γινοµένων των αντίστοιχων αριθµητικών στοιχείων πίνακα ή περιοχής. Στην Εικόνα 3 φαίνεται η εκτέλεση των συναρτήσεων σε περιβάλλον Excel.

8 31 Εικόνα 3 Εκτέλεση Μαθηµατικών και Τριγωνοµετρικών συναρτήσεων Παράδειγµα 1 / ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Στα πλαίσια της ανάλυσης χαρτοφυλακίου επενδύσεων η συνολική απόδοση του χαρτοφυλακίου υπολογίζεται ως το άθροισµα των αποδόσεων των επιµέρους στοιχείων του. ηλαδή για ένα χαρτοφυλάκιο µε τέσσερα περιουσιακά στοιχεία A, B, C, D που συµµετέχουν στο χαρτοφυλάκιο µε συντελεστές στάθµισης w A, w B, w C, w D και έχουν αποδόσεις r A, r B, r C, r D αντίστοιχα, η συνολική απόδοση του χαρτοφυλακίου είναι: rp = wara + wbrb + wcrc + wdrd Στην εικόνα που ακολουθεί εµφανίζεται ο υπολογισµός της συνολικής απόδοσης χαρτοφυλακίου µέσω της συνάρτησης SUMPRODUCT.

9 Συναρτήσεις πίνακα, πίνακες και συναρτήσεις πινάκων Μία ιδιαίτερη µορφή συναρτήσεων είναι οι συναρτήσεις πίνακα. Συναρτήσεις αυτής της µορφής συναντούµε σχεδόν σε όλες τις κατηγορίες των συναρτήσεων του Excel. Η εκτέλεση αυτών των συναρτήσεων διαφέρει σε δύο σηµεία σε σχέση µε τις απλές συναρτήσεις: Η καταχώρησή τους πρέπει να γίνει σε ένα εύρος κελιών το οποίο επιλέγουµε πριν από την καταχώρησή Η εκτέλεση τους γίνεται πιέζοντας το συνδυασµό των πλήκτρων CTRL+SHIFT+ENTER Αναφέρουµε την ιδιαιτερότητα αυτών των συναρτήσεων µε την ευκαιρία της παρουσίασης των συναρτήσεων που χρησιµοποιούνται για την επεξεργασία αλγεβρικών πινάκων. Θα συναντήσουµε ωστόσο συναρτήσεις σε άλλες κατηγορίες η εφαρµογή των οποίων ακολουθεί το σχήµα που µόλις περιγράψαµε. Οι συναρτήσεις που ακολουθούν πλην της MDETERM πρέπει να εισάγονται ως τύποι πινάκων. Ως τύπος πίνακα ορίζεται ο τύπος που εκτελεί πλήθος υπολογισµών σε ένα ή περισσότερα σύνολα τιµών και στη συνέχεια επιστρέφει είτε ένα µόνο αποτέλεσµα είτε ένα πλήθος αποτελεσµάτων. Οι τύποι πινάκων εµφανίζονται ένθετοι µέσα σε άγκιστρα { } και εισάγονται µε χρήση του συνδυασµού πλήκτρων CTRL+SHIFT+ENTER. Ποιο αναλυτικά τα βήµατα που ακολουθούνται για την εισαγωγή οποιουδήποτε τύπου πίνακα είναι τα ακόλουθα: Βήµα 1: Βήµα 2: Επιλέγουµε το κελί (ή την περιοχή των κελιών) όπου επιθυµούµε να εµφανίζεται το αποτέλεσµα του τύπου Επιλέγουµε τον τύπο/συνάρτηση πίνακα π.χ. TRANSPOSE

10 33 για αναστροφή διανύσµατος ή πίνακα, µέσω της εφαρµογής Εισαγωγή συνάρτησης Βήµα 3: Εισάγουµε τα ορίσµατα του τύπου/συνάρτησης προσδιορίζοντας το εύρος των κελιών που περιέχουν τον προς επεξεργασία πίνακα Βήµα 4: Για τον υπολογισµό του αποτελέσµατος πιέζουµε συνδυαστικά τα πλήκτρα CTRL+SHIFT+ENTER Πίνακας 2 Συναρτήσεις πινάκων Συνάρτηση MDETERM(array) TRANSPOSE(array) MMULT(array1, array2) MINVERSE(array) Χρήση αποδίδει την ορίζουσα ενός πίνακα αποδίδει µια κατακόρυφη περιοχή κελιών ως οριζόντια περιοχή ή το αντίθετο αποδίδει τον πίνακα του γινοµένου δύο πινάκων. Το αποτέλεσµα είναι ένας πίνακας µε τον αριθµό γραµµών του πίνακα array1 και τον αριθµό στηλών του πίνακα array2. αποδίδει τον αντίστροφο πίνακα του πίνακα που περιέχεται στο όρισµα.

11 34 Εικόνα 4 Εκτέλεση συναρτήσεων πινάκων Παράδειγµα 2 / ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Η επίλυση συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων είναι µια διαδικασία που απαιτείται συχνά σε διάφορους υπολογισµούς στη χρηµατοοικονοµική. Η δυνατότητα να εκφραστούν τα συστήµατα γραµµικών εξισώσεων µε τη βοήθεια πινάκων και οι συναρτήσεις που παρέχει το Excel διευκολύνουν σε µεγάλο βαθµό αυτό το έργο. Έστω ότι ζητείται να επιλυθεί το εξής σύστηµα γραµµικών εξισώσεων: 3x 1 42 x x 33x 3x x x 3 2x 3 3 = 1 = 7 = 1 Το σύστηµα µπορεί να γραφεί µε τη βοήθεια πινάκων στη µορφή:

12 x1 1 A X = B x = x3 1 και να λυθεί στην περίπτωση που ο Α είναι αντιστρέψιµος (deta 0) ως: 1 A X = B X = A B Η εντολή =MMULT(MINVERSE(A37:C39),E37:E39) υπολογίζει τον πίνακα Χ. ΕΝΟΤΗΤΑ 2.3 Στατιστικές συναρτήσεις Η κατηγορία αυτή περιλαµβάνει συναρτήσεις που είναι ιδιαίτερα χρήσιµες για τη στατιστική και οικονοµετρική ανάλυση. Η στατιστική επεξεργασία δεδοµένων µπορεί να γίνει µε δύο τρόπους: είτε µε τη χρήση των σχετικών στατιστικών συναρτήσεων είτε µε τη χρήση του εργαλείου Data Analysis (Ανάλυση εδοµένων). Οι παράγραφοι που ακολουθούν παρουσιάζουν τέσσερις βασικές κατηγορίες στατιστικών συναρτήσεων: στατιστικές συναρτήσεις που χρησιµοποιούνται για την περιγραφική ανάλυση δεδοµένων, στατιστικές συναρτήσεις κατανοµών πιθανοτήτων, στατιστικές συναρτήσεις που χρησιµοποιούνται για τον έλεγχο υποθέσεων και στατιστικές συναρτήσεις που χρησιµοποιούνται στην ανάλυση παλινδρόµησης Το πλήκτρο συντόµευσης για τις στατιστικές συναρτήσεις βρίσκεται στο µενού More Functions (Περισσότερες συναρτήσεις).

13 Στατιστικές συναρτήσεις για την περιγραφική ανάλυση δεδοµένων Για την περιγραφική ανάλυση δεδοµένων χρησιµοποιούνται συναρτήσεις οι οποίες υπολογίζουν κατά κύριο λόγο µέτρα κεντρικής τάσης/θέσης, διασποράς, ασυµµετρίας, κύρτωσης και την κατανοµή συχνότητας. Πίνακας 3 Στατιστικές συναρτήσεις για την περιγραφική ανάλυση δεδοµένων Συνάρτηση ΜΑΧ(number1,number2, ) ΜΙΝ(number1,number2, ) Χρήση επιστρέφει την µέγιστη ενός συνόλου ορισµάτων (παραβλέποντας λογικές τιµές και κείµενο) επιστρέφει την ελάχιστη τιµή ενός συνόλου ορισµάτων (παραβλέποντας λογικές τιµές και κείµενο) AVERAGE(number1,number2, ) αποδίδει τον αριθµητικό µέσο όρο των ορισµάτων της MEDIAN(number1,number2, ) MODE(number1,number2, ) PERCENTILE(array,k) επιστρέφει τη διάµεσο αποδίδει την επικρατούσα τιµή των ορισµάτων της αποδίδει το k εκατοστηµόριο τιµών, σε µια περιοχή. QUART(array,quart) αποδίδει το τεταρτηµόριο ενός συνόλου δεδοµένων που ορίζονται από το array. Το quart παίρνει τις τιµές 0,1,2,3, ή 4 προκειµένου να υπολογίσει ελάχιστη τιµή, 25%, 50%, 75% τεταρτηµόριο και µέγιστη τιµή αντίστοιχα. STDEV(number1,number2, ) SKEW(number1,number2, ) υπολογίζει τη µέση απόκλιση τετραγώνου βάσει ενός δείγµατος (παραβλέποντας λογικές τιµές και κείµενο). αποδίδει την ασυµµετρία µιας κατανοµής.

14 37 KURT(number1,number2, ) αποδίδει την κύρτωση µιας κατανοµής. Η συνάρτηση FREQUENCY(data_array, bins_array) επιστρέφει ως αποτέλεσµα έναν πίνακα ο οποίος απεικονίζει την κατανοµή συχνότητας. Έτσι, πρέπει να καταχωρηθεί ως τύπος πίνακα. Αναλυτικά η εφαρµογή της συνάρτησης FREQUENCY ακολουθεί τα εξής βήµατα: Βήµα 1: Επιλέγουµε την περιοχή των κελιών στην οποία θα καταχωρηθούν τα αποτελέσµατα. Η περιοχή αυτή θα πρέπει να υπερβαίνει κατά ένα στοιχείο τον αριθµό των στοιχείων του ορίσµατος bins_array. Το επιπλέον στοιχείο του επιστρεφόµενου πίνακα αποδίδει το πλήθος οποιωνδήποτε τιµών υπεράνω του ανώτατου διαστήµατος. Βήµα 2: Επιλέγουµε τη συνάρτηση FREQUENCY µέσω της εφαρµογής Εισαγωγή συνάρτησης Βήµα 3: Βήµα 4: Εισάγουµε τα ορίσµατα της συνάρτησης προσδιορίζοντας το εύρος των κελιών που περιέχουν τα δεδοµένα για τα οποία επιθυµούµε να υπολογίσουµε τις συχνότητες (data_array) καθώς και το εύρος των κελιών στο οποίο ορίζονται οι κλάσεις (bins_array) Για τον υπολογισµό του αποτελέσµατος πιέζουµε συνδυαστικά τα πλήκτρα CTRL+SHIFT+ENTER

15 38 Εικόνα 5 Εκτέλεση στατιστικών συναρτήσεων για την περιγραφική ανάλυση δεδοµένων Παράδειγµα 3 / ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο πίνακας που ακολουθεί δείχνει µέσες ετήσιες τιµές πετρελαίου για τα έτη (πηγή ΟΠΕΚ) σε δολάρια ανά βαρέλι. Έτος $/βαρέλι Στην εικόνα που ακολουθεί υπολογίζεται η µέγιστη και η ελάχιστη µέση ετήσια τιµή και η κατανοµή συχνοτήτων για το διάστηµα

16 Στατιστικές συναρτήσεις κατανοµών πιθανοτήτων Μια από τις πλέον διαδεδοµένες πρακτικές προσέγγισης επιχειρησιακών και οικονοµικών προβληµάτων αποτελεί η χρήση θεωρητικών κατανοµών πιθανοτήτων για την περιγραφή πραγµατικών φαινοµένων και καταστάσεων. Στην κατηγορία των Στατιστικών συναρτήσεων του Excel περιλαµβάνονται συναρτήσεις οι οποίες υπολογίζουν µεγέθη όπως η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής, η συνάρτηση πιθανότητας, το αντίστροφο της αθροιστικής κατανοµής για πλήθος θεωρητικών κατανοµών, π.χ. την τυποποιηµένη κανονική κατανοµή, την κανονική κατανοµή, τη διωνυµική, την κατανοµή χ2, την κατανοµή t Student, την κατανοµή F κ.α. Ο Πίνακας 4 συνοψίζει µερικές από αυτές. Πίνακας 4 Στατιστικές συναρτήσεις κατανοµών πιθανοτήτων Συνάρτηση BINOMDIST(number_s,trials,proba bility_s,cumulative) CRITBINOM (trials,probability_s,alpha) Χρήση αποδίδουν την πιθανότητα δυωνυµικής κατανοµής, επιστρέφει ποσοστιαία σηµεία, δηλαδή των αριθµό των επιτυχιών για τις οποίες η αθροιστική πιθανότητα έχει συγκεκριµένη τιµή.

17 40 HYPGEOMDIST(sample_s, number_sample,population_s,numbe r_pop) POISSON(x, mean, cumulative) NORMDIST(x, mean, standard_dev, cumulative), NORMSDIST(x) αποδίδουν την υπεργεωµετρική κατανοµή αποδίδει την κατανοµή Poisson επιστρέφουν την κανονική και την τυποποιηµένη κανονική κατανοµή NORMSINV(probability) η οποία υπολογίζει το αντίστροφο της τυποποιηµένης κανονικής κατανοµής Στην ίδια κατηγορία περιλαµβάνονται και συναρτήσεις που υπολογίζουν το αντίστροφο µιας συνάρτησης κατανοµής, όπως EXPONDIST(x, lambda, cumulative) την εκθετική κατανοµή CHIDIST(x,deg_freedom) τη µονόπλευρη πιθανότητα της κατανοµής χ 2 TDIST(x,deg_freedom, tails) FDIST(x, x,deg_freedom1, x,deg_freedom2) την κατανοµή t Student αντίστοιχα κατανοµή F

18 41 Εικόνα 6 Εκτέλεση στατιστικών συναρτήσεων κατανοµών πιθανοτήτων Στατιστικές συναρτήσεις για τον έλεγχο υποθέσεων Οι έλεγχοι υποθέσεων συνιστούν ένα από τα σηµαντικότερα εργαλεία της στατιστικής συµπερασµατολογίας. Το Excel έχει µία γκάµα στατιστικών συναρτήσεων οι οποίες χρησιµοποιούνται στα πλαίσια ελέγχων υποθέσεων. Πίνακας 5 Στατιστικές συναρτήσεις για τον έλεγχο υποθέσεων Συνάρτηση ΖTEST(array, x, sigma) TTEST(array1, array2, tails, type) Χρήση αποδίδει τη δίπλευρη τιµή p ενός ελέγχου z. Ο έλεγχος z παράγει ένα τυπικό αποτέλεσµα ελέγχου του x, ως προς το σύνολο των δεδοµένων (πίνακα), και επιστρέφει τη δίπλευρη πιθανότητα κανονικής κατανοµής. αποδίδει την πιθανότητα που σχετίζεται µε έναν

19 42 έλεγχο t του Student. Tα ορίσµατα array1, array2 είναι τα σύνολα των δεδοµένων. Το όρισµα tails καθορίζει πόσες ουρές έχει η κατανοµή (1 ή 2 για µονοκατάληκτο ή δικατάληκτο έλεγχο αντίστοιχα). Τype είναι το είδος του ελέγχου t που θα εκτελεστεί: 1, ανά ζεύγη, 2, ίση διακύµανση (µε τις ίδιες στατιστικές διαφορές) δύο δειγµάτων, 3, άνιση διακύµανση δύο δειγµάτων. FTEST(array1, array2) CHTEST(actual_range, expected_range) αποδίδει το αποτέλεσµα ενός ελέγχου F, τη µονόπλευρη πιθανότητα, να µην διαφέρουν σηµαντικά οι διακυµάνσεις δύο συνόλων δεδοµένων. επιστρέφει τον έλεγχο της ανεξαρτησίας. Αποδίδει την τιµή από κατανοµή χ 2 για τη στατιστική και τους ανάλογους βαθµούς ελευθερίας.

20 43 Εικόνα 7 Εκτέλεση στατιστικών συναρτήσεων για τον έλεγχο υποθέσεων Στατιστικές συναρτήσεις για την ανάλυση παλινδρόµησης Μεταξύ των στατιστικών συναρτήσεων του Excel περιέχονται και συναρτήσεις που χρησιµοποιούνται στην ανάλυση παλινδρόµησης. Η στατιστική επεξεργασία δεδοµένων µπορεί να γίνει µε δύο τρόπους: είτε µε τη χρήση των σχετικών στατιστικών συναρτήσεων είτε µε τη χρήση του εργαλείου της Ανάλυσης εδοµένων. Στην ενότητα αυτή παρουσιάζονται τα εργαλεία του Excel που χρησιµοποιούνται στην ανάλυση παλινδρόµησης. Πίνακας 6 Στατιστικές συναρτήσεις για την ανάλυση παλινδρόµησης Συνάρτηση INTERCEPT(known_y's, known_x's) SLOPE(known_y's, known_x's) Χρήση υπολογίζει το σηµείο στο οποίο θα τέµνει µια γραµµή τον άξονα y, χρησιµοποιώντας τιµές των ορισµάτων known_y's και known_x's. υπολογίζει την κλίση της γραµµής γραµµικής

21 44 παλινδρόµησης που προσαρµόζεται στα σηµεία δεδοµένων των ορισµάτων known_y's και known_x's. RSQ(known_y's, known_x's) PEARSON(array1, array2) FORECAST(x, known_y's, known_x's) STEYX(known_y's, known_x's) αποδίδει τον συντελεστή προσδιορισµού της γραµµικής παλινδρόµησης. υπολογίζει το συντελεστή συσχέτισης Pearson υπολογίζει µια τιµή του y για µία δεδοµένη τιµή του x εντός ή εκτός δείγµατος, χρησιµοποιώντας γραµµική παλινδρόµηση. αποδίδει το τυπικό σφάλµα της προβλεπόµενης τιµής του y για κάθε τιµή του x στην παλινδρόµηση. Εικόνα 8 Εκτέλεση στατιστικών συναρτήσεων για την ανάλυση παλινδρόµησης Επιπλέον των συναρτήσεων που περιγράφονται στον παραπάνω πίνακα στη διάθεση του χρήστη είναι και η συνάρτηση πίνακα LINEST(known_y's, known_x's, const,

22 45 stats) η οποία επιστρέφει πρόσθετα στοιχεία της ανάλυσης παλινδρόµησης. Στην παρακάτω εικόνα φαίνεται ο τρόπος εκτέλεσής της: Η παρακάτω εικόνα δείχνει τη µορφή µε την οποία επιστρέφει το Excel το αποτέλεσµα της εκτέλεσης της συνάρτησης LINEST. Τα αποτελέσµατα εµφανίζονται στα κελιά Ι61:J65 οι τίτλοι στα κελιά H61:H65 και K61:K65 έχουν προστεθεί προκειµένου να εξηγήσουµε τι αντιπροσωπεύει η τιµή στο κάθε κελί από τον πίνακα των αποτελεσµάτων που επιστρέφει η LINEST. Συγκεκριµένα τις εκτιµήσεις των συντελεστών, Alpha (σταθερός όρος) και Beta (συντελεστής κλίσης), τα τυπικά τους σφάλµατα [Beta (SE), Alpha (SE)], τον συντελεστή προσδιορισµού R 2 (RSQ) το τυπικό σφάλµα εκτίµησης της τιµής του y (STEYX), τη στατιστική τιµή F, τους βαθµούς ελευθερίας (N-K), το άθροισµα των τετραγώνων της παλινδρόµησης (Regression SS) και το άθροισµα των καταλοίπων της παλινδρόµησης (Residual SS).

23 46 Σηµειώνεται ότι η συνάρτηση LINEST(known_y's, known_x's, const, stats) είναι συνάρτηση πίνακα και θα πρέπει να εκτελείται ως τέτοια, δηλαδή θα πρέπει να εισάγεται σε ένα εύρος κελιών µεγέθους 5x2 και να εκτελείται πιέζοντας συνδυαστικά τα πλήκτρα CTRL+SHIFT+ENTER Μία συγγενής συνάρτηση της LINEST(known_y's, known_x's, const, stats) είναι LOGEST(known_y's, known_x's, const, stats) η οποία υπολογίζει µια εκθετική καµπύλη που προσαρµόζεται στα δεδοµένα σας και αποδίδει έναν πίνακα τιµών που περιγράφει την καµπύλη. Επειδή η συνάρτηση αυτή επιστρέφει έναν πίνακα τιµών, πρέπει να εισάγεται ως τύπος πίνακα. ΕΝΟΤΗΤΑ 2.4 Συναρτήσεις Αναζήτησης και Αναφοράς Οι συναρτήσεις Αναζήτησης και Αναφοράς επιτρέπουν τη διερεύνηση ενός πίνακα στοιχείων και τον εντοπισµό δεδοµένων µε βάση κάποιο κριτήριο αναζήτησης. Πίνακας 7 Συναρτήσεις Αναζήτησης και Αναφοράς Συνάρτηση VLOOKUP(lookup_value, table_array, col_index_num, range_lookup) Χρήση αναζητά µια τιµή στην πρώτη αριστερά στήλη ενός πίνακα και επιστρέφει την τιµή του κελιού που βρίσκεται στην ίδια γραµµή και σε δεδοµένη στήλη του πίνακα. Χρησιµοποιήστε τη συνάρτηση VLOOKUP, όταν οι τιµές σύγκρισης

24 47 βρίσκονται σε µια στήλη αριστερά από τα δεδοµένα που θέλετε να εντοπίσετε. ΗLOOKUP(lookup_value, table_array, col_index_num, range_lookup) MATCH(lookup_value, lookup_array, match_type) INDEX(array, row_num, column_num) αναζητά µία τιµή στην πρώτη γραµµή ενός πίνακα τιµών και αποδίδει την τιµή του κελιού που βρίσκεται στην αντίστοιχη στήλη και σε δεδοµένη γραµµή. Χρησιµοποιήστε τη συνάρτηση HLOOKUP, όταν οι τιµές που συγκρίνετε βρίσκονται στην πρώτη γραµµή ενός πίνακα δεδοµένων και τα δεδοµένα που θέλετε βρίσκονται σε συγκεκριµένη γραµµή, χαµηλότερα. αποδίδει τη σχετική θέση ενός στοιχείου σε έναν πίνακα, το οποίο συµφωνεί µε µια δεδοµένη τιµή κατά συγκεκριµένη σειρά. Χρησιµοποιείται αντί των συναρτήσεων LOOKUP όταν θέλουµε να εντοπίσουµε τη θέση ενός στοιχείου και όχι το ίδιο το στοιχείο. αποδίδει την τιµή ενός στοιχείου πίνακα, το οποίο επιλέγεται από τους δείκτες γραµµής και στήλης.

25 48 Εικόνα 9 Εκτέλεση στατιστικών συναρτήσεων για την ανάλυση παλινδρόµησης Παράδειγµα 4 / ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Υποθέστε ότι οι οριακοί συντελεστές φορολόγησης δίνονται στον πίνακα που ακολουθεί (π.χ. για εισόδηµα ως 8,000 ο οριακός συντελεστής φορολόγησης είναι 15% κοκ). Η εντολή =VLOOKUP(B7,A2:B5,2) αναζητά στην αριστερή στήλη του πίνακα A2:B5 την τιµή του κελιού Β7 (=15,000 ) και επιστρέφει µία τιµή που βρίσκεται στην ίδια γραµµή σε µία προκαθορισµένη στήλη στήλη 2. Ο πίνακας A2:B5 θα πρέπει να είναι ταξινοµηµένος κατά αύξουσα σειρά. Η παράµετρος range_lookup είναι µια λογική τιµή που παίρνει την τιµή TRUE ή παραλείπεται για να βρεθεί το κατά προσέγγιση ταίριασµα στην πρώτη στήλη ή την τιµή FALSE για να βρεθεί το ακριβές ταίριασµα. Στην παρακάτω εικόνα φαίνεται η εκτέλεση της εντολής =MATCH(B10,B2:B5). Στην παρακάτω εικόνα φαίνεται η εκτέλεση της εντολής =INDEX(A2:B5,B11,B12).

26 49 Εικόνα 10 Εκτέλεση συναρτήσεων Αναζήτησης και Αναφοράς ΕΝΟΤΗΤΑ 2.5 Λογικές συναρτήσεις Η ανάπτυξη σχέσεων υπολογισµού σε φύλλα εργασίας είναι απαραίτητο πολλές φορές να γίνεται µε τέτοιο τρόπο ώστε να λαµβάνει µέριµνα για τυχόν διαφορετικές περιπτώσεις. Πίνακας 8 Λογικές συναρτήσεις Συνάρτηση AND(logical1, logical2,...) IF(logical_test, value_if_true, value_if_false) IFERROR(value,value_if_error) OR(logical1, logical2,...) Χρήση ελέγχει αν όλα τα ορίσµατα είναι TRUE (αληθή) και επιστρέφει την τιµή TRUE (αληθής) αποδίδει µία τιµή, αν η συνθήκη που καθορίζετε είναι TRUE (αληθής), και µία άλλη τιµή, αν είναι FALSE (ψευδής). επιστρέφει την τιµή που ορίζετε εφόσον ο τύπος επιστρέφει σφάλµα ή την τιµή του τύπου αν δεν υπάρχει σφάλµα. ελέγχει αν κάποιο από τα ορίσµατα είναι TRUE

27 50 ή FALSE και επιστρέφει την τιµή FALSE µόνο όταν όλα τα ορίσµατα είναι FALSE. Εικόνα 11 Εκτέλεση Λογικών συναρτήσεων Παράδειγµα 5 / ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ας εξετάσουµε για παράδειγµα τους παρακάτω τύπους οµολογιών µέγιστης διάρκειας 3 ετών. Κάθε µια από τις οµολογίες έχει τρεις πιθανές ταµειακές ροές για τον κάτοχό της: µηδενική ταµειακή ροή (στην περίπτωση που η οµολογία έχει λήξει), ταµειακή ροή ίση µε το τοκοµερίδιο της οµολογίας, ή τέλος ταµειακή ροή που ισούται µε το τοκοµερίδιο συν το ονοµαστικό ποσό της οµολογίας. Οι συνθήκη λοιπόν που θα πρέπει να εξεταστεί είναι αν ο υπολογισµός γίνεται σε χρονική στιγµή που η οµολογία έχει λήξει, είναι στην καταληκτική της ηµεροµηνία ή βρίσκεται σε µία χρονική στιγµή πριν από τη λήξη της. Η αντιµετώπιση του προβλήµατος που περιγράφηκε περιλαµβάνει τη χρήση της εντολής IF µε την εξής σύνταξη: =IF($B11<C$6,C$5,IF($B11=C$6, 100+C$5,0)) στο κελί C11. Στην προκειµένη περίπτωση γίνεται χρήση ένθετου IF καθώς εξετάζονται τρεις διαφορετικές περιπτώσεις. Η χρήση περισσότερων ένθετων IF είναι δυνατή εφόσον αυτό απαιτείται από τις συνθήκες του προβλήµατος. Αντιγράφοντας την εντολή στα κελιά C11:G13 προκύπτει ο πίνακας που φαίνεται στην παρακάτω εικόνα.

28 51 ΕΝΟΤΗΤΑ 2.6 Οικονοµικές συναρτήσεις Σκοπός της ενότητας αυτής να παρουσιάσει τις βασικές οικονοµικές συναρτήσεις του Excel. Αρχικά παρουσιάζονται θεµελιώδη θέµατα χρηµατοοικονοµικής διοίκησης όπως ο υπολογισµός της ΚΠΑ (Καθαρής Παρούσας Αξίας), του ΕΒΑ (Εσωτερικού Βαθµού Απόδοσης), των δόσεων για την εξόφληση ενός δανείου, της ΜΑ (Μελλοντικής Αξίας) και των αποσβέσεων ιαχρονική αξία του χρήµατος Η αξιολόγηση επενδυτικών έργων και προγραµµάτων, η αποτίµηση περιουσιακών στοιχείων και η ανάλυση χρηµατοδοτήσεων έχουν τις έννοιες της παρούσας και της µελλοντικής αξίας στον πυρήνα της αναλυτικής τους προσέγγισης. To Excel περιέχει µία σειρά συναρτήσεων που µας επιτρέπουν να πραγµατοποιήσουµε τους σχετικούς υπολογισµούς.

29 52 Πίνακας 9 Οικονοµικές συναρτήσεις διαχρονική αξία του χρήµατος Συνάρτηση PV(rate, nper, pmt, fv, type) FV(rate, nper, pmt, fv, type) Χρήση επιστρέφει την παρούσα αξία µιας σειράς πληρωµών µε σταθερό όρο. Rate είναι το επιτόκιο ανά περίοδο. Nper είναι το επιτόκιο της περιόδου πληρωµής. Pmt είναι η σταθερή πληρωµή. Fv είναι η µελλοντική αξία ή το υπόλοιπο που θέλετε να έχετε µετά την καταβολή της τελευταίας πληρωµής. Type είναι ο αριθµός 0 ή 1 και επισηµαίνει πότε πρέπει να καταβάλλονται οι πληρωµές. 0 ή παράλειψη της τιµής σηµαίνει οι πληρωµές είναι ληξιπρόθεσµες, 1 η σειρά πληρωµών είναι προκαταβλητέα. συνάρτηση FV(rate, nper, pmt, pv, type) επιστρέφει τη µελλοντική αξία µιας επένδυσης µε βάση περιοδικές, σταθερές πληρωµές και σταθερό επιτόκιο. Τα ορίσµατα rate, nper και.type λειτουργούν όπως και στην PV. Pv είναι η παρούσα αξία ή το εφάπαξ ποσό που αντιπροσωπεύει µια σειρά µελλοντικών πληρωµών σε τρέχουσες τιµές. Σηµειώνεται πως αν παραλειφθεί το όρισµα pmt, πρέπει να συµπεριλάβετε το όρισµα pv και αντιστρόφως. Οι σειρές πληρωµών που αναλύονται µε τις συναρτήσεις PV και FV, είναι οµοιόµορφες έχουν δηλαδή σταθερό όρο, προκαταβλητέες ή ληξιπρόθεσµες, ωστόσο η πληρωµή πραγµατοποιείται σε στιγµή κεφαλαιοποίησης και η προσαρµογή του επιτοκίου θα πρέπει να γίνει από το χρήστη. Αν για παράδειγµα οι

30 53 πληρωµές είναι µηνιαίες µε ετήσιο επιτόκιο 4% και το πρόγραµµα έχει διάρκεια 4 έτη, χρησιµοποιήστε το 4%/12 για το όρισµα rate και το 4*12 για το όρισµα nper. PMT(rate, nper, pv, fv, type) υπολογίζει το ποσό της συνολικής δόσης τοκοχρεολύσιο - για την εξόφληση του δανείου µε βάση σταθερές πληρωµές και σταθερό επιτόκιο. Τα ορίσµατα έχουν την ίδια εξήγηση µε αυτά των συναρτήσεων PV και FV. IPMT(rate, per, nper, pv, fv, type) PPMT(rate, per, nper, pv, fv, type) υπολογίζει την πληρωµή τόκου. Προσέξτε το ένα επιπλέον όρισµα, per, το οποίο προσδιορίζει την περίοδο για την οποία θέλετε να υπολογίσετε τον τόκο ή το χρεολύσιο (πρέπει να είναι µεταξύ 1 και nper). υπολογίζει το χρεολύσιο της περιόδου nper. Εικόνα 12 Εκτέλεση Οικονοµικών συναρτήσεων σχετικών µε τη διαχρονική αξία του χρήµατος

31 54 Παράδειγµα 6 / ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Να υπολογίσετε το ποσό που συσσωρεύεται από κατάθεση 1,000 στο τέλος κάθε έτους σε ένα τραπεζικό λογαριασµό που αποδίδει σταθερό επιτόκιο 3% σε ετήσια βάση, στο τέλος του 5 ου έτους στο λογαριασµό σας. Οι υπολογισµοί γίνονται µε την εφαρµογή της συνάρτησης: FV(3%,5,-1000) που επιστρέφει 5, Παράδειγµα 7 / ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Θέλουµε να ανοίξουµε ένα τραπεζικό λογαριασµό µε 1,000 πληρωτέα στην αρχή του έτους. Θα ακολουθήσουν καταθέσεις του ίδιου ύψους στην αρχή των ετών 1,2,3 και 4. Να υπολογίσετε το ποσό που θα έχει συσσωρευτεί στον τραπεζικό λογαριασµό στην αρχή του 5 ου έτους. Μαθηµατικά η σχέση υπολογισµού είναι η εξής: ΜΑ = 1,000 (1 + 3%) + 1,000 (1 + 3%) 5 + 1,000 (1 + 3%) 2 + 1,000 (1 + 3%) 4 + 1,000 (1 + 3%) Εναλλακτικά µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τη συνάρτήση FV(rate, nper, pmt, pv, type). Θα πρέπει ωστόσο να είµαστε προσεκτικοί µε τα ορίσµατα. Εδώ η αρχική κατάθεση εισάγεται ως πληρωµή στο έτος 0 στο Β30 ενώ το όρισµα type της συνάρτησης FV στο D38 εισάγεται η τιµή 1 υποδηλώνοντας ότι οι πληρωµές γίνονται στην αρχή της περιόδου. Στο προηγούµενο παράδειγµα η αρχική κατάθεση εµφανίζεται µέσω του ορίσµατος pv της συνάρτησης FV στο C18. Εδώ το όρισµα type αµελείται αφού αναπαριστά αποκλειστικά τον χρονισµό των σταθερών πληρωµών. Παράδειγµα 8 / ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Να υπολογίσετε τον πίνακα εξόφλησης τοκοχρεολυτικού δανείου ύψους 10,000 µε επιτόκιο 7% σταθερό. Η καταβολή των δόσεων θα γίνεται σε ετήσια βάση για τα επόµενα 6 χρόνια. Οι υπολογισµοί θα γίνουν µε βάση τις συναρτήσεις PMT (τοκοχρεολυτική δόση), IPMT (τόκος), PPMT (χρεολύσιο). Το όρισµα rate και στις τρεις συναρτήσεις είναι το επιτόκιο του δανείου ανά περίοδο για παράδειγµα για επιτόκιο 7% και τριµηνιαίες πληρωµές θα πρέπει να δοθεί η τιµή 7%/4. Το όρισµα pv επίσης πρέπει να δοθεί προσεκτικά. Αντιπροσωπεύει την παρούσα αξία µίας σειράς µελλοντικών πληρωµών ή 1 3

32 55 εισπράξεων. Εφόσον δεν υπάρχουν µελλοντικές πληρωµές παρά µόνο είσπραξη τη χρονική στιγµή 0, θα πρέπει να καταχωρηθεί µε το σωστό πρόσηµο. Η εφαρµογή των συναρτήσεων µε τα σωστά ορίσµατα δίνει το αποτέλεσµα που φαίνεται στην εικόνα: Το ποσό των 2, αντιπροσωπεύει το ποσό που πρέπει να καταβάλλεται σε ετήσια βάση για την αποπληρωµή του δανείου µε τους όρους που περιγράφτηκαν παραπάνω. Το ποσό αυτό µπορεί να αναλυθεί περαιτέρω και να υπολογιστεί το ποσό που καταβάλλεται για την αποπληρωµή των τόκων και το ποσό που καταβάλλεται για την αποπληρωµή του κεφαλαίου. Παράδειγµα 9 / ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Να υπολογίσετε: τις µηνιαίες τοκοχρεολυτικές πληρωµές δανείου $10,000 που εξοφλείται σε 10 µήνες µε επιτόκιο 8% την τοκοχρεολυτικοί δόση αν η πληρωµή πραγµατοποιείται στην αρχή κάθε µήνα το ύψος της πληρωµής που πρέπει να πραγµατοποιείτε σε µηνιαία βάση έτσι ώστε να συγκεντρώσετε το ποσό των $50,000 σε 18 χρόνια. Το επιτόκιο του λογαριασµού είναι 6%. Οι υπολογισµοί γίνονται µε την εφαρµογή των συναρτήσεων: PMT(8%/12, 10, 10000) που επιστρέφει -$1, PMT(8%/12, 10, 10000, 0, 1) που επιστρέφει -$1,030.16

33 56 PMT(6%/12, 18*12, 0, 50000) που επιστρέφει -$ Εποµένως, αν πληρώνετε $ σε µηνιαία βάση σε λογαριασµό επιτοκίου 6% για 18 χρόνια θα έχετε στο τέλος της περιόδου $50,000. Παράδειγµα 10 / ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Να υπολογίσετε: το χρεολύσιο και τον τόκο του πρώτου µήνα για δάνειο 2000 που εξοφλείται µε µηνιαίες δόσεις σε διάστηµα 2 ετών µε επιτόκιο 10% το χρεολύσιο και τον τόκο της 10 ης πληρωµής σε δάνειο που εξοφλείται µε ετήσιες δόσεις σε διάστηµα 10 ετών µε επιτόκιο 8%: Οι υπολογισµοί γίνονται µε την εφαρµογή των συναρτήσεων: PPMT(10%/12, 1, 24, 2000) που επιστρέφει -$75.62 PPMT(8%, 10, 10, ) που επιστρέφει -$27, Αποσβέσεις Το Excel διαθέτει µία σειρά συναρτήσεων που υπολογίζουν την απόσβεση περιουσιακών στοιχείων µε διάφορες µεθόδους. Ο υπολογισµός των αποσβέσεων είναι απαραίτητος σε µεγάλο αριθµό χρηµατοοικονοµικών και λογιστικών εφαρµογών. Στις παραγράφους που ακολουθούν θα εξετάσουµε γνωστές µεθόδους υπολογισµού της απόσβεσης περιουσιακών στοιχείων. Η συνάρτηση SLN(cost, salvage, life) αποδίδει τη σταθερή απόσβεση ενός παγίου σε µια χρονική περίοδο µέθοδος σταθερής απόσβεσης (straight line depreciation). Τα ορίσµατα της συνάρτησης αφορούν το αρχικό κόστος του παγίου (cost), την τελική ή υπολειµµατική του αξία (salvage) και το συνολικό χρόνος απόσβεσης του παγίου (µερικές φορές αναφέρεται ως ωφέλιµος χρόνος ζωής του παγίου). Η συνάρτηση SYD(cost, salvage, life, per) αποδίδει την απόσβεση παγίου σε συγκεκριµένη χρονική περίοδο, βάσει του αθροίσµατος των ετών απόσβεσης µέθοδος του αθροίσµατος των ετών ζωής. Το επιπλέον όρισµα per είναι η χρονική περίοδος απόσβεσης και πρέπει να χρησιµοποιεί τις ίδιες µονάδες µε το όρισµα life. Η συνάρτηση DDB(cost, salvage, life, period, factor) υπολογίζει τη φθίνουσα απόσβεση µε βάση το διπλάσιο συντελεστή σταθερής απόσβεσης - µέθοδος φθίνουσας απόσβεσης µε εφαρµογή σταθερού συντελεστή στην αναπόσβεστη αξία. Το όρισµα

34 57 factor είναι ο ρυθµός µε τον οποίο φθίνει ο συντελεστής σταθερής απόσβεσης. Εάν παραλειφθεί το όρισµα factor, θεωρείται ίσο µε 2. Πίνακας 10 Οικονοµικές συναρτήσεις αποσβέσεις Συνάρτηση SLN(cost, salvage, life) SYD(cost, salvage, life, per) DDB(cost, salvage, life, period, factor) Χρήση αποδίδει τη σταθερή απόσβεση ενός παγίου σε µια χρονική περίοδο µέθοδος σταθερής απόσβεσης (straight line depreciation). Τα ορίσµατα της συνάρτησης αφορούν το αρχικό κόστος του παγίου (cost), την τελική ή υπολειµµατική του αξία (salvage) και το συνολικό χρόνος απόσβεσης του παγίου (µερικές φορές αναφέρεται ως ωφέλιµος χρόνος ζωής του παγίου). αποδίδει την απόσβεση παγίου σε συγκεκριµένη χρονική περίοδο, βάσει του αθροίσµατος των ετών απόσβεσης µέθοδος του αθροίσµατος των ετών ζωής. Το επιπλέον όρισµα per είναι η χρονική περίοδος απόσβεσης και πρέπει να χρησιµοποιεί τις ίδιες µονάδες µε το όρισµα life. υπολογίζει τη φθίνουσα απόσβεση µε βάση το διπλάσιο συντελεστή σταθερής απόσβεσης - µέθοδος φθίνουσας απόσβεσης µε εφαρµογή σταθερού συντελεστή στην αναπόσβεστη αξία. Το όρισµα factor είναι ο ρυθµός µε τον οποίο φθίνει ο συντελεστής σταθερής απόσβεσης. Εάν παραλειφθεί το όρισµα factor, θεωρείται ίσο µε 2.

35 58 Εικόνα 13 Εκτέλεση Οικονοµικών συναρτήσεων σχετικών µε τις αποσβέσεις Παράδειγµα 11 / ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Στην παρακάτω εικόνα φαίνεται ο υπολογισµός των αποσβέσεων παγίου αξίας 100,000 για διάστηµα 10 ετών.

36 59 Οι υπολογισµοί έχουν γίνει µε την εισαγωγή της συνάρτησης =SLN($C$2,$C$3,$B$19) στα κελιά C10:C19, της συνάρτησης =SYD($C$2,$C$3,$C$4,B10) στο κελί D10 και την αντιγραφή του στα κελιά D11:D19 και την εισαγωγή της συνάρτησης =DDB($C$2,$C$3,$C$4,B10) στο E10 και αντιγραφή στα E11:E19. Οι αποσβέσεις θα πρέπει να έχουν άθροισµα όσο το κόστος του παγίου. Αυτό επαληθεύουµε στα κελιά C22 (=SUM(C10:C19)), D22 (=SUM(D10:D19). Στην περίπτωση της µεθόδου του διπλά φθίνοντος υπολοίπου θα πρέπει το υπόλοιπο να συνυπολογιστεί στην επόµενη περίοδο. Έτσι το κελί Ε20 είναι =C2-SUM(E10:E19) Αξιολόγηση επενδύσεων: Καθαρή Παρούσα Αξία και Εσωτερικός Βαθµός Απόδοσης Στις παραγράφους που ακολουθούν θα συζητήσουµε τις συναρτήσεις υπολογισµού της Καθαρής Παρούσας Αξίας (Net Present Value, NPV) και του Εσωτερικού Βαθµού

37 60 Απόδοσης (Internal Rate of Return, IRR). Οι συναρτήσεις αυτές αναφέρονται στην υλοποίηση δύο βασικών µεθόδων αξιολόγησης επενδύσεων. Πίνακας 11 Οικονοµικές συναρτήσεις Αξιολόγηση επενδύσεων Συνάρτηση NPV(rate, value1, value2, ) XNPV(rate, values, dates) IRR(values, guess) Χρήση επιστρέφει την καθαρή παρούσα αξία µιας επένδυσης µε βάση ένα προεξοφλητικό επιτόκιο και µια σειρά περιοδικών µελλοντικών πληρωµών (αρνητικές τιµές) και εισοδηµάτων (θετικές τιµές). Σηµειώνεται ότι συνήθως η επένδυση αρχίζει µία περίοδο πριν από την ηµεροµηνία της ταµειακής ροής του ορίσµατος value1 και λήγει µε την τελευταία ταµειακή ροή της λίστας. Έχεί δηλαδή κάποιο αρχικό κόστος που πραγµατοποιείται τη χρονική στιγµή 0. Σ αυτή την περίπτωση η πρώτη τιµή πρέπει να προστεθεί στο αποτέλεσµα της NPV και να µην περιληφθεί στα ορίσµατα των τιµών. επιστρέφει την καθαρή παρούσα αξία µιας επένδυσης οι µελλοντικές πληρωµές δεν είναι περιοδικές επιστρέφει τον εσωτερικό βαθµό απόδοσης µιας σειράς περιοδικών ταµειακών ροών. Values είναι ένας πίνακας ή αναφορά κελιών που περιέχει αριθµούς (ποσά ταµειακών ροών), για τους οποίους θέλετε να υπολογίσετε το συντελεστή εσωτερικής απόδοσης. Πρέπει να περιέχει τουλάχιστον µία θετική και µία αρνητική τιµή. Guess είναι µια πρόβλεψη που κάνετε για το αποτέλεσµα της συνάρτησης IRR.

38 61 MIRR(values, finance_rate,reinvest_rate) ΧIRR(values, dates, guess) αποδίδει την τροποποιηµένη εσωτερική απόδοση για µια σειρά ταµειακών ροών. Η συνάρτηση MIRR συνυπολογίζει τόσο το κόστος της επένδυσης όσο και το επιτόκιο κατά την εκ νέου επένδυση των ροών. επιστρέφει τον εσωτερικό βαθµό απόδοσης µιας σειράς µη περιοδικών ταµειακών ροών. Η συνάρτηση NPV είναι παρόµοια µε τη συνάρτηση PV που συζητήθηκε παραπάνω. Η βασική διαφορά είναι ότι η PV επιτρέπει την πραγµατοποίηση ταµειακών ροών στο τέλος ή στην αρχή της περιόδου. Ωστόσο οι ταµειακές ροές της PV πρέπει να είναι σταθερές σε όλη τη διάρκεια της επένδυσης πράγµα που δεν είναι απαραίτητο να ισχύει µε την NPV. Το Excel χρησιµοποιεί επαναληπτική µέθοδο αρχίζοντας µε την τιµή του ορίσµατος guess, η συνάρτηση IRR εκτελεί επαναληπτικούς υπολογισµούς, µέχρι το αποτέλεσµα να συγκλίνει µε ακρίβεια της τάξης του 0, Εάν η συνάρτηση IRR δεν µπορεί να συγκλίνει σε αποτέλεσµα µετά από 20 επαναλήψεις, αποδίδει την τιµή σφάλµατος #ΑΡΙΘ!. Στις περισσότερες περιπτώσεις, δεν χρειάζεται να συµπεριλάβετε το όρισµα guess για τον υπολογισµό της συνάρτησης IRR (θεωρείται ίσο µε 10%).

39 62 Εικόνα 14 Εκτέλεση Οικονοµικών συναρτήσεων σχετικών µε την αξιολόγηση επενδύσεων Παράδειγµα 12 / ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ας υποθέσουµε ότι µία επένδυση διάρκειας 5 ετών θα µας αποφέρει µε βεβαιότητα 100 στο τέλος κάθε έτους, ξεκινώντας από το τρέχον έτος. Ας υποθέσουµε επίσης ότι µία εναλλακτική επένδυση π.χ. κατάθεση σε τράπεζα, προσφέρει ετήσιο επιτόκιο 4% για κατάθεση διάρκειας 5 ετών το οποίο αποδίδεται σε ετήσια βάση. Η τελευταία υπόθεση καθιστά το κόστος ευκαιρίας της επένδυσης ίσο µε 4%. Να υπολογίσετε την Παρούσα Αξία της σειράς πληρωµών 100 χρησιµοποιώντας τις συναρτήσεις PV και NPV. Στη συνέχεια να υπολογίσετε την ΚΠΑ της επένδυσης. Να υπολογίσετε επίσης και τον ΕΒΑ. Ο υπολογισµός της ΠΑ και της ΚΠΑ στο Excel πραγµατοποιείται µε την ίδια συνάρτηση, την NPV(rate, value1, value2,...) η οποία αποδίδει την παρούσα αξία µιας επένδυσης µε βάση ένα προεξοφλητικό επιτόκιο και µια σειρά µελλοντικών πληρωµών (αρνητικές τιµές) και εισοδηµάτων (θετικές τιµές). Για να υπολογιστεί η ΚΠΑ πρέπει να προστεθεί η ταµειακή ροή που πραγµατοποιείται τη χρονική στιγµή 0. Στην εικόνα που ακολουθεί υπολογίζεται η ΠΑ της επένδυσης που περιγράφτηκε.

40 63 Από τους παραπάνω υπολογισµούς προκύπτει ότι η ΠΑ της επένδυσης είναι Αν η επένδυση αυτή προσφέρεται προς 460, είναι προφανές ότι δε συνιστά µία συµφέρουσα επένδυση. Ο υπολογισµός της ΚΠΑ της επένδυσης µε βάση το παρακάτω σχήµα: οδηγεί σε αρνητική τιµή, γεγονός που επιβεβαιώνει την ακαταλληλότητα της επένδυσης. Ο ΕΒΑ υπολογίζεται ως την εικόνα:

41 64 Παράδειγµα 13 / ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Θέλετε να ξεκινήσετε µία επιχείρηση στο χώρο εστίασης. Εκτιµάτε ότι το αρχικό κόστος της επιχείρησης είναι $70,000 και οι καθαρές ταµειακές ροές για τα πέντε πρώτα χρόνια θα είναι: $12,000, $15,000, $18,000, $21,000, και $26,000 αντίστοιχα. Να υπολογίσετε τον ΕΒΑ της επένδυσης µετά από 2, 4 και 5 χρόνια.. Καταχωρήστε τις πληρωµές στα κελιά Β1 ως Β6 καθέτως. Για να υπολογίσετε τον ΕΒΑ για τα δύο πρώτα χρόνια πληκτρολογήστε: IRR(B1:B3,-10%) το οποίο επιστρέφει % Για να υπολογίσετε τον ΕΒΑ για τα τέσσερα πρώτα χρόνια πληκτρολογήστε: IRR(B1:B5) το οποίο επιστρέφει -2.12% Για να υπολογίσετε τον ΕΒΑ της επένδυσης, πληκτρολογήστε: IRR(B1:B6) το οποίο επιστρέφει 8.66% Παράδειγµα 14 / ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Έστω επενδυτικό πρόγραµµα µε αρχικό κόστος 145, ταµειακές ροές 100 για τα τέσσερα πρώτα χρόνια και ταµειακή ροή τον πέµπτο χρόνο. Να υπολογίσετε την ΚΠΑ για τιµές προεξοφλητικού επιτοκίου από 0% ως 40% ανά 2.5%. Τι συµπέρασµα βγάζετε για τον ΕΒΑ. Ενώ στις περισσότερες περιπτώσεις επενδυτικών έργων η ΚΠΑ από µαθηµατικής πλευράς είναι µία µονότονη συνάρτηση (αύξουσα ή φθίνουσα) είναι χρήσιµο να δηµιουργείται η γραφική παράσταση που την απεικονίζει ως συνάρτηση του r. Αυτό

42 65 επιτρέπει να διαπιστωθεί αν υπάρχουν πολλαπλοί ΕΒΑ και στην περίπτωση που υπάρχουν να γίνεται γνωστή και η περιοχή στην οποία θα αναζητηθεί ο σωστός ΕΒΑ. Σε τέτοιες περιπτώσεις είναι χρήσιµο να προσδιορίσουµε και το προαιρετικό όρισµα της συνάρτησης IRR(values, guess), guess, προσδιορίζοντας ουσιαστικά σε ποια περιοχή τιµών προεξόφλησης πρέπει να υπολογιστεί ο ΕΒΑ.

43 66 Παράδειγµα 15 / ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Υποθέστε ότι είστε ο ιδιοκτήτης ενός ιχθυοπωλείου για τα τελευταία 5 χρόνια. Όταν ξεκινήσατε δανειστήκατε $120,000 µε επιτόκιο 10% για να αγοράσετε ένα αλιευτικό σκάφος. Τα αλιεύµατα σας έχουν αποδώσει $39,000, $30,000, $21,000, $37,000, και $46,000 για κάθε ένα από τα χρόνια. Τα κέρδη από την επιχείρησή σας τα επενδύσατε µε επιτόκιο 12% ετησίως. Να υπολογίσετε τον προσαρµοσµένο ΕΒΑ της επένδυσης µετά από 3 και 5 χρόνια. Ποιος είναι ο προσαρµοσµένος ΕΒΑ αν η επένδυσή των κερδών σας αποδίδει 14% ετησίως. Για να υπολογίσετε τον προσαρµοσµένο ΕΒΑ για τα τρία πρώτα χρόνια πληκτρολογήστε: MIRR(B1:B6, 10%, 12%) επιστρέφει % Για να υπολογίσετε τον προσαρµοσµένο ΕΒΑ της επένδυσης πληκτρολογήστε: MIRR(B1:B4, 10%, 12%) επιστρέφει % Για να υπολογίσετε τον προσαρµοσµένο ΕΒΑ της επένδυσης πληκτρολογήστε αν η επένδυσή των κερδών σας αποδίδει 14% ετησίως: MIRR(B1:B6, 10%, 14%) επιστρέφει % ΕΝΟΤΗΤΑ 2.7 Έλεγχος τύπου Η δηµιουργία µαθηµατικών εκφράσεων µε τη χρήση διευθύνσεων κελιών και η χρήση συναρτήσεων µε πολλαπλά ορίσµατα δηµιουργεί την ανάγκη για την ύπαρξη εργαλείων ελέγχου. Το Excel µας δίνει τη δυνατότητα ελέγχου των τύπων που έχουν διαµορφωθεί µε µία σειρά επιλογών που είναι διαθέσιµες στο µενού Formulas στην κατηγορία Formula Auditing (Έλεγχος τύπου). Βασικές πρακτικές ελέγχου περιλαµβάνουν τον εντοπισµό των κελιών από τα οποία εξαρτάται ο τύπος σε ενεργό κελί ή ο εντοπισµός τον κελιών που χρησιµοποιούν στους υπολογισµούς τους το περιεχόµενο του ενεργού κελιού. Στην εικόνα που ακολουθεί φαίνεται το αποτέλεσµα της εφαρµογής της λειτουργίας Trace Precendents (Ανίχνευση προηγούµενων), πλήκτρο κελί D12. στο ενεργό

44 67 Στην εικόνα που ακολουθεί φαίνεται το αποτέλεσµα της εφαρµογής της λειτουργίας Trace Dependents (Ανίχνευση εξαρτηµένων), πλήκτρο κελί D5. στο ενεργό Για να απαλλαγούµε από τα βέλη που έχουν εµφανιστεί πιέζουµε το πλήκτρο Remove Arrows (Κατάργηση βελών). Η επιλογή Show Formulas (Εµφάνιση τύπων) εµφανίζει τον τύπο αντί του αποτελέσµατός του στα κελιά Η Error Checking (Έλεγχος σφαλµάτων) ελέγχει για κοινά σφάλµατα στον τύπο. Η Evaluate Formula (Υπολογισµός τύπου) υπολογίζει κάθε τµήµα του τύπου ξεχωριστά. Μία πολύ χρήσιµη εφαρµογή είναι η Watch Window (Παράθυρο παρακολούθησης) η οποία επιτρέπει την παρακολούθηση των τιµών και των τύπων

45 68 επιλεγµένων κελιών σε µία οθόνη παρακολούθησης όπως αυτή που φαίνεται στην παρακάτω εικόνα. Η εφαρµογή αυτή επιτρέπει την παρακολούθηση κελιών χωρίς να χρειάζεται να µετακινείται στα διαφορετικά σηµεία ενός σύνθετου φύλλου εργασίας. ΣΥΝΟΨΗ Στο κεφάλαιο αυτό: Συζητείται η έννοια της συνάρτησης φύλλου εργασίας, η δοµή και η σύνταξή τους Παρουσιάζονται βασικές µαθηµατικές συναρτήσεις που συναντώνται σε επιχειρησιακά και οικονοµικά προβλήµατα Γίνεται εκτενής αναφορά σε στατιστικές συναρτήσεις οι οποίες χρησιµοποιούνται στην ανάλυση δεδοµένων είχνεται η χρήση συναρτήσεων Αναζήτησης και αναφοράς για τον εντοπισµό καταχωρήσεων σε µεγάλα σύνολα δεδοµένων Παρουσιάζονται λογικές συναρτήσεις οι οποίες χρησιµοποιούνται για τον έλεγχο της ορθότητας εκφράσεων Συζητείται η εφαρµογή οικονοµικών συναρτήσεων για την αξιολόγηση επενδυτικών προγραµµάτων, εξόφληση δανείων κλπ.

46 69 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Άσκηση Αυτοαξιολόγησης 1 / ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι ετήσιες αποδοχές την πρώτη χρονιά µετά την αποφοίτηση 50 αποφοίτων ενός προγράµµατος ιοίκησης Επιχειρήσεων. Φαίνεται επίσης και ο βαθµός πτυχίου. Μισθός ΜΟ Μισθός ΜΟ 21, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

47 70 Να υπολογιστούν ο αριθµητικός µέσος, η διάµεσος, το εύρος, το ενδοτεταρτηµοριακό εύρος, η τυπική απόκλιση των δεδοµένων µισθού και βαθµού πτυχίου καθώς και ο συντελεστής ασυµµετρίας. Να κατασκευασθούν για τα δεδοµένα Πίνακας Κατανοµής Συχνοτήτων χρησιµοποιώντας τάξεις εύρους 1,000 για τους µισθούς, µε κάτω όριο της πρώτης τάξης το 19,000 και άνω όριο της τελευταίας τάξης το 26,000 και τάξεις εύρους 0.5 για τους βαθµούς, µε κάτω όριο της πρώτης τάξης το 6 και άνω όριο της τελευταίας τάξης το 9.5. Να υπολογίσετε πόσο αυξάνεται ο πρώτος µισθός ενός αποφοίτου όταν αυξάνεται κατά µία µονάδα ο βαθµός του πτυχίου του. Άσκηση Αυτοαξιολόγησης 2 / ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μία εταιρεία πετρελαιοειδών θέλει να αξιολογήσει ένα νέο πρόγραµµα εξόρυξης πετρελαίου. Στα πλαίσια της τεχνοοικονοµικής ανάλυσης οι µηχανικοί της εταιρείας έχουν εκτιµήσει την µελλοντική ποσότητα εξόρυξης πετρελαίου για τα έτη : Έτος Εκ. βαρ καθώς και τα ποσά που απαιτείται να επενδυθούν τα τέσσερα πρώτα χρόνια στα πλαίσια αυτού του προγράµµατος: Έτος Εκ. $ Η αξιολόγηση του έργου θα πρέπει να λάβει υπόψη ότι: - Το 10% της ποσότητα του πετρελαίου που θα απαντλείται θα παραδίδεται στην κυβέρνηση του κράτους όπου γίνεται η εξόρυξη - Το κόστος µεταφοράς του πετρελαίου είναι $2.5/βαρέλι και αναµένεται να αυξάνεται µε ρυθµό 5% σε ετήσια βάση. - εν υπάρχουν άλλα λειτουργικά έξοδα. - Ο φόρος για την εταιρεία υπολογίζεται ως εξής: o Αν δεν υπάρχουν κέρδη ο φόρος είναι µηδενικός δεν υπάρχει πίστωση. o Για κέρδη µέχρι $50,000,000 ο φόρος είναι 35%. o Για κέρδη που υπερβαίνουν τα $50,000,000 ο φόρος είναι 50%.

48 71 Οι φόροι πληρώνονται µε καθυστέρηση 1 έτους. Να υπολογίστε την ΚΠΑ του επιχειρηµατικού σχεδίου αν το επιτόκιο προεξόφλησης για την εταιρεία είναι 25%.

49 72 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Άσκηση Αυτοαξιολόγησης 1 / ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Η λύση της άσκησης φαίνεται στην παρακάτω εικόνα. Τα αρχικά δεδοµένα καταχωρούνται στα κελιά Α2:Β51. Η πρώτη στήλη περιλαµβάνει τους µισθούς ενώ η δεύτερη τους αντίστοιχους Μέσους Όρους το βαθµό πτυχίου δηλαδή. Τα κελιά Ε3:F13 περιλαµβάνουν τα περιγραφικά στατιστικά για τις δύο οµάδες δεδοµένων. ηλαδή αριθµητικούς µέσους, διάµεσους, εύρη, και ενδοτεταρτηµοριακά εύρη, τυπικές αποκλίσεις και ο συντελεστές ασυµµετρίας. Σηµειώνεται πως τα µεγέθη αυτά µπορούν να υπολογιστούν για τη µία οµάδα δεδοµένων, για παράδειγµα για τους µισθούς. Στη συνέχεια τα κελιά Ε3:Ε13 µπορούν να αντιγραφούν στην περιοχή που ορίζεται από τα κελιά F3:F13.

50 73 Σύµφωνα µε την εκφώνηση κατασκευάζονται δύο Πίνακες Κατανοµής Συχνοτήτων. Οι πίνακες χρησιµοποιούν της συνάρτηση FREQUENCY µε τα κατάλληλα κάθε φορά ορίσµατα. Υπενθυµίζεται ότι η συνάρτηση FREQUENCY εκτελείται ως συνάρτηση πίνακα, πιέζοντας δηλαδή συνδυαστικά τα πλήκτρα CTRL+SHIFT+ENTER. Το τρίτο ερώτηµα της άσκησης απαιτεί την εκτίµηση των παραµέτρων της γραµµής παλινδρόµησης: Μισθός= α +β ΜΟ+ε Σύµφωνα µε την παλινδρόµηση αυτή ο πρώτος µισθός ενός αποφοίτου αυξάνεται κατά β όταν αυξάνεται κατά µία µονάδα ο βαθµός του πτυχίου του. Η εκτίµηση της παραµέτρου β µπορεί να γίνει µε τη χρήση της συνάρτησης SLOPE, εκτελώντας δηλαδή την εντολή =SLOPE(A2:A51,B2:B51) στο κελί Ε37. Σύµφωνα µε τα δεδοµένα της άσκησης ο πρώτος ετήσιος µισθός είναι αυξηµένος κατά περίπου 315 για κάθε επιπλέον µονάδα στο βαθµό πτυχίου. Άσκηση Αυτοαξιολόγησης 2 / ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Στην εικόνα που ακολουθεί φαίνεται η λύση της άσκησης. Τα κελιά Β2:Β9 περιλαµβάνουν τις τιµές των παραµέτρων του προβλήµατος. Αποτελεί καλή πρακτική οργάνωσης ενός προβλήµατος η αναφορά σε κελιά που περιλαµβάνουν τις τιµές των παραµέτρων αντί της εισαγωγής των τιµών των παραµέτρων σε τύπους. Οι στήλες D, E, F περιλαµβάνουν τα δεδοµένα της άσκησης. Η στήλη G περιλαµβάνει τον υπολογισµό της ποσότητας πετρελαίου που παραµένει στην εταιρεία για εµπορική εκµετάλλευση. Συγκεκριµένα στο κελί G5 πληκτρολογούµε τον τύπο =(1- $B$2)*E5. Προσέξτε ότι η αναφορά στο κελί B2 έχει σταθεροποιηθεί έτσι ώστε κατά την αντιγραφή της στα κελιά G6:G19 ο τύπος να χρησιµοποιεί ως ποσοστό παρακράτησης αυτό που εµφανίζεται στο κελί Β2. Το κελί Η5 περιέχει µία αναφορά στο κελί Β3 ενώ το κελί Η6 υπολογίζεται µέσω της σχέσης =(1+$B$4)*H5. Το περιεχόµενο αυτό αντιγράφεται στα κελιά Η7:Η19. Το κόστος µεταφοράς σε εκ. $ στο κελί Ι5 είναι =H5*G5 το οποίο αντιγράφουµε στα κελιά Ι6:Ι19. Στο κελί J5 το κέρδος προ φόρων σε εκ. $ υπολογίζεται µέσω του τύπου =G5*$B$8-I5 το οποίο αντιγράφουµε στα κελιά J6:J19 για να υπολογίσουµε τα κέρδη προ φόρων για τα επόµενα έτη. Στο κελί Κ6 υπολογίζεται ο φόρος. Χρησιµοποιούµε ένθετο IF µε την εξής σύνταξη: =IF(J5<=0,0,IF(J5<=$B$5,J5*$B$6,$B$5*$B$6+(J5-$B$5)*$B$7)). Παρατηρήστε το