Η Πιθανοθεωρητικη Μεθοδος

Transcript

1 Τζιατζιος Νικολαος Η Πιθανοθεωρητικη Μεθοδος Μεταπτυχιακη Εργασια Πανεπιστήµιο Αιγαίου, Τµήµα Μαθηµατικών Σάµος 2 Ιουνίου 2005

2

3 Εισηγητης : Τσολοµύτης Αντώνης Επιτροπη Ανούσης Μιχάλης Τσολοµύτης Αντώνης Φελουζής Ευάγγελος

4

5 Στη µνήµη του αγαπηµένου µου πατέρα

6

7 Περιεχόµενα Πρόλογος ix Η πιθανοθεωρητική µέθοδος Στοιχεία ϑεωρίας πιθανοτήτων 2 Τριγωνικά Πολυώνυµα 6 2 Προσεγγιστικές ισοπεριµετρικές ανισότητες 2 Συγκέντρωση του µέτρου 22 Η ανισότητα των Prékopa-Leindler 8 23 Η ανισότητα των Brunn-Minkowski Ισοπεριµετρική ανισότητα στον Ευκλείδειο χώρο Ισοπεριµετρική ανισότητα στη σφαίρα 3 26 Ισοπεριµετρική ανισότητα στο χώρο του Gauss 35 3 Συγκέντρωση του µέτρου σε χώρους γινόµενα 4 3 Η ανισότητα του Talagrand 4 4 Αθροίσµατα ανεξάρτητων τυχαίων µεταβλητών 5 4 Η ανισότητα του Hoeffding Η ανισότητα του Bernstein 56 5 Η µέθοδος των martingales 6 5 Εισαγωγή 6 52 Η ανισότητα του Azuma Συγκέντρωση του µέτρου στο χώρο των µεταθέσεων 68

8 viii Περιεχόµενα Βιβλιογραφία 73

9 Πρόλογος Ο όρος «πιθανοθεωρητική µέθοδος» χρησιµοποιείται για ένα γενικό σχήµα απόδειξης Το Ϲητούµενο είναι να αποδείξουµε την ύπαρξη κάποιας δοµής µε προκαθορισµένες ιδιότητες Αντί να κατασκευάσουµε συγκεκριµένο πα- ϱάδειγµα τέτοιας δοµής, κατασκευάζουµε µια οικογένεια υποψηφίων δοµών Την εφοδιάζουµε µε ένα µέτρο πιθανότητας και εξετάζοντας την τυπική συ- µπεριφορά των µελών της οικογένειας αποδεικνύουµε ότι, µε ϑετική πιθανότητα έχουν τις ιδιότητες που Ϲητάµε Η πιθανοθεωρητική µέθοδος εµφανίζεται όλο και συχνότερα σε διάφορους κλάδους των µαθηµατικών, χρησιµοποιείται για την απόδειξη προτάσεων που κατ αρχήν µοιάζουν να µην έχουν καµία σχέση µε τη ϑεωρία πιθανοτήτων Η µέθοδος χρησιµοποιείται συστηµατικά στην συνδυαστική, τη ϑεωρία αριθ- µών, την αρµονική ανάλυση και την ασυµπτωτική γεωµετρική ανάλυση Τελειώνοντας, ϑα ήθελα να ευχαριστήσω τα µέλη της εξεταστικής επιτροπής κο Ανούση Μιχάλη και κο Φελουζή Ευάγγελο για τον χρόνο που διάθεσαν και τις εύστοχες παρατηρήσεις τους Τον κο Γιαννόπουλο Αποστόλη, ο οποίος µου έδωσε την ιδέα για το ϑέµα της εργασίας, µε τις διαλέξεις και τις σηµειώσεις του στα πλαίσια του ϑερινού σχολείου που πραγµατοποιήθηκε στο Καρλόβασι Σάµου το καλοκαίρι του 2004 Ιδιαίτερα ϑα ήθελα να ευχαριστήσω τον εισηγητή αυτής της µεταπτυχιακής εργασίας κο Τσολοµύτη Αντώνη, χωρίς τον οποίο η εκπόνησή της ϑα καθίστατο αδύνατη Ν Τζιάτζιος, Σάµος 2005

10

11 Κεφάλαιο Η πιθανοθεωρητική µέθοδος Στοιχεία ϑεωρίας πιθανοτήτων Σε αυτή την παράγραφο ϑα δούµε µερικά ϐασικά στοιχεία από τη ϑεωρία πιθανοτήτων Ορισµός Εστω Ω µη κενό σύνολο και A µια µη κενή οικογένεια υποσυνόλων του Ω Η A λέγεται σ-άλγεβρα του Ω αν ικανοποιεί τα εξής : (i) Ω A (ii) Αν A A τότε και Ω\A A (iii) Αν A, A 2,, A n, A τότε και n= A n A Παρατήρηση : Αν A, A 2,, A n, A από τους κανόνες De Morgan προκύπτει ότι και n= A n A Ορισµός 2 Εστω A σ-άλγεβρα του Ω Η απεικόνιση P : A R λέγεται µέτρο πιθανότητας στην A αν ικανοποιεί τα εξής : (i) P(Ω) = (ii) P(A) 0, για κάθε A A (iii) Αν A, A 2,, A n, A ξένα µεταξύ τους, τότε P ( ) A n = P(A n ) n= Ορισµός 3 Η τριάδα (Ω, A, P) λέγεται χώρος πιθανότητας, όταν το Ω είναι µη κενό σύνολο n=

12 2 Η πιθανοθεωρητική µέθοδος η A είναι σ-άλγεβρα στο Ω το P είναι µέτρο πιθανότητας στην A Τα στοιχεία της A λέγονται ενδεχόµενα και τα στοιχεία του Ω λέγονται στοιχειώδη ή απλά ενδεχόµενα Αν το A είναι ενδεχόµενο, τότε ο αριθµός P(A) είναι η πιθανότητα του A Παράδειγµα : Εστω Ω πεπερασµένο σύνολο και A το δυναµοσύνολο του Ω Αν p : Ω [0, ] µια συνάρτηση µε την ιδιότητα p(ω) =, ω Ω τότε η απεικόνιση P : A [0, ] µε P(A) = p(ω) ω A είναι ένα µέτρο πιθανότητας Ενα µέτρο πιθανότητας αυτού του είδους είναι η οµοιόµορφη κατανοµή στο Ω Σε αυτή την περίπτωση η πιθανότητα κάθε ενδεχοµένου A είναι P = A Ω, όπου µε B συµβολίζουµε τον πληθάριθµο ενός πεπερασµένου συνόλου B Μια σηµαντική ιδιότητα του µέτρου πιθανότητας, που ϑα χρησιµοποιούµε συχνά στο εξής, είναι η υποαθροιστικότητα, η οποία εκφράζεται από το πα- ϱακάτω λήµµα Λήµµα Εστω A, A 2,, A n A, τότε P ( n ) n A i P(A i ) Απόδειξη : Θέτουµε B = A και για κάθε i = 2,, n ϑέτουµε Τότε προφανώς B i = A i \(A A 2 A i ) n B i = n A i, P(B i ) P(A i ) και τα ενδεχόµενα B,, B n είναι ξένα µεταξύ τους Από την προσθετικότητα του µέτρου έχουµε P ( n ) ( n ) n n A i = P B i = P(B i ) P(A i )

13 Στοιχεία θεωρίας πιθανοτήτων 3 Ορισµός 4 Τα ενδεχόµενα A, B λέγονται ανεξάρτητα αν P(A B) = P(A)P(B) Γενικότερα, τα ενδεχόµενα A,, A n λέγονται ανεξάρτητα αν για κάθε σύνολο δεικτών I {,, n} έχουµε P ( ) A i = P(A i ) i I Ορισµός 5 Εστω A, B ενδεχόµενα µε P(B) > 0 Η δεσµευµένη πιθανότητα του A δεδοµένου του B ορίζεται ως i I P(A B) = P(A B) P(B) Παρατηρείστε ότι αν A, B ανεξάρτητα τότε P(A B) = P(A) Ορισµός 6 Εστω (Ω, A, P) χώρος πιθανότητας και X : Ω R µια συνάρτηση Η X λέγεται πραγµατική τυχαία µεταβλητή αν για κάθε a R το σύνολο {ω Ω : X(ω) a} είναι στοιχείο της A Ορισµός 7 Εστω X πραγµατική τυχαία µεταβλητή ορίζεται να είναι η ποσότητα E(X) = X(ω)dP(ω) Ω Η µέση τιµή της X Παρατήρηση : Αν ο χώρος πιθανότητας είναι πεπερασµένος, τότε κάθε συνάρτηση X : Ω R είναι τυχαία µεταβλητή και έχει µέση τιµή E(X) = p(ω)x(ω) ω Ω Στο εξής ϑα χρησιµοποιούµε συχνά την εξής σηµαντική ιδιότητα : Αν E(X) a τότε υπάρχει ω Ω τέτοιο ώστε X(ω) a Πράγµατι, έστω ότι αυτό δεν ισχύει Τότε για κάθε ω Ω έχουµε ότι X(ω) < a και συνεπώς X(ω)dP(ω) < adp(ω) E(X) < ap(ω) = a, Ω Ω πράγµα που είναι άτοπο αφού υποθέσαµε ότι E(X) a Εντελώς ανάλογα δείχνουµε και ότι αν E(X) < a τότε υπάρχει ω Ω τέτοιο ώστε X(ω) < a

14 4 Η πιθανοθεωρητική µέθοδος Ορισµός 8 Οι τυχαίες µεταβλητές X και Y λέγονται ανεξάρτητες αν για κάθε Ϲευγάρι A, B υποσυνόλων του R ισχύει P(X A και Y B) = P(X A)P(Y B) Για να ελέγξουµε την ανεξαρτησία δύο τυχαίων µεταβλητών αρκεί να ϑεωρήσουµε σύνολα της µορφής A = (, a] και B = (, b] όπου a, b R ηλαδή, αν για κάθε a, b R ισχύει τότε οι X και Y είναι ανεξάρτητες P(X a και Y b) = P(X a)p(y b) Λήµµα 2 Εστω X, Y τυχαίες µεταβλητές και a, b R Τότε E(aX + by ) = ae(x) + be(y ) Η απόδειξη είναι άµεση συνέπεια της γραµµικότητας του ολοκληρώµατος Ορισµός 9 Εστω A ενδεχόµενο Ορίζουµε τη δείκτρια τυχαία µεταβλητή I A (ω) του A ως εξής : {, αν ω A I A (ω) = 0, αν ω A Παρατήρηση : Ισχύει ότι E(I A ) = P(A) Πράγµατι, E(I A ) = I A (ω)dp(ω) Ω = I A (ω)dp(ω) + I A (ω)dp(ω) A Ω\A = dp(ω) + 0dP(ω) A Ω\A = dp(ω) A = P(A) Λήµµα 3 Αν X, Y ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές τότε E(XY ) = E(X)E(Y ) Απόδειξη : (Για πεπερασµένους χώρους) Εστω V X και V Y τα (πεπερασµένα) σύνολα τιµών των X και Y αντίστοιχα Επειδή X, Y είναι ανεξάρτητες, για κάθε a V X και για κάθε b V Y έχουµε P(X = a και Y = b) = P(X = a)p(y = b)

15 Στοιχεία θεωρίας πιθανοτήτων 5 Τώρα, E(XY ) = abp(x = a και Y = b) a V X, b V Y = abp(x = a)p(y = b) a V X, b V Y ( )( ) = ap(x = a) a V X bp(y = b) b V Y = E(X)E(Y ) Η απόδειξη στη γενική περίπτωση είναι ανάλογη, αλλά τεχνικά δυσκολότερη

16 6 Η πιθανοθεωρητική µέθοδος 2 Τριγωνικά Πολυώνυµα Ορισµός 0 Εστω p, η p-νόρµα της f ορίζεται ως, ( f p = 2π 2π 0 f (x) p dx Θεώρηµα (Ανισότητα Hölder): Εστω g, h : [0, 2π] R ολοκληρώσιµες συναρτήσεις, αν p > και q συζυγής εκθέτης του p δηλαδή + =, τότε p q ισχύουν τα εξής : ) p (i) 2π 2π 0 ( gh 2π 2π 0 ) ( p g p 2π 2π 0 h q ) q (ii) Αν p, q, r και r = ap + ( a)q για a (0, ) Τότε, 2π 2π 0 f r = 2π 2π 0 ( f p ) a( f q ) a ( 2π 2π Θα αποδείξουµε το εξής ϑεώρηµα του Uchiyama 0 ) a ( 2π ) a f p f q 2π 0 Θεώρηµα 2 Υπάρχει σταθερά c > 0 ώστε να ισχύουν τα εξής : Αν A = {n < < n N } N, τότε υπάρχει E {,, N} τέτοιο ώστε, e in jx c N j E Απόδειξη : Θεωρούµε τον χώρο E N = 2 {, }N, για κάθε ε E N 2 έχουµε ε = (ε,, ε N ) όπου ε i = ±, για κάθε i =,, N (Παρατήρηση : ο χώρος E N 2 είναι οι κορυφές του κύβου κέντρου 0) Εφοδιάζουµε τον EN 2 µε το οµοιόµορφο µέτρο πιθανότητας, δηλαδή αν A E N 2 τότε, P(A) = A E N = A 2 2 N όπου B ο πληθάριθµος του συνόλου B Θεωρούµε τη συνάρτηση f ε (x) = N ε j e injx, ε E N 2 j=

17 2 Τριγωνικά Πολυώνυµα 7 Η απόδειξη του ϑεωρήµατος ϑα γίνει σε τρία ϐήµατα Βήµα : ε E N 2, f ε 2 2 f ε 2/3 f ε 4/3 4 Βήµα 2: ε E N 2, f ε 2 2 = N Βήµα 3: Υπάρχει ε E N 2 τέτοιο ώστε f ε 4 4 2N 2 Αν ισχύουν τα παραπάνω τότε για το τελευταίο ε έχουµε, N = f ε 2 2 f ε 2/3 f ε 4/3 4 ( 2N 2) /3 fε 2/3 Ετσι έχουµε ϐρει N /3 2 /3 f ε 2/3 f ε 2 N f ε (x) = N ε j e in jx j= τέτοιο ώστε f ε 2 N Θέτουµε, E = {j N : ε j = } και E 2 = {j N : ε j = } Τότε, f ε (x) = e injx e injx j E j E 2 Οπότε, N 2 e injx e injx e injx + j E j E 2 j E N για i = ή i = j E i e injx e injx j E 2 Απόδειξη ϐήµατος : Αφού 2 = από την ανισότητα Hölder παίρνουµε, 3 3 f 2 2 = 2π ( 2π 2π 0 2π 0 f (x) 2 dx = 2π ) 2/3 ( f (x) dx 2π 2π 0 2π f 2 2 f 2/3 f 4/3 4 0 f (x) f (x) dx f (x) 4 dx ) /3

18 8 Η πιθανοθεωρητική µέθοδος Απόδειξη ϐήµατος 2: Γενικά, ισχύει ότι ( n ) 2 n x i = x i x j j, Άρα, f ε 2 2 = 2π f ε (x) 2 dx = 2π N ε j e in jx 2 dx 2π 0 2π 0 j= = 2π ( N N ) ε k e in kx ε j e in jx dx 2π = 2π 0 k= j= N 2π ε k ε j e i(n k n j )x dx k, j= 0 Παρατηρούµε ότι, όταν k 2π j τότε, e i(n k n j )x dx = 0 Συνεπώς µένουν µόνο 0 οι όροι όταν k = j και άρα και n k = n j Οπότε έχουµε f ε 2 2 = 2π N j= ε 2 j 2π 0 e 0 dx = 2π 2π N = N j= Απόδειξη ϐήµατος 3: Με όµοιο τρόπο δείχνουµε ότι, ( N 2 ( ) 2 f ε (x) 4 = ε j ε k e i(n k n j )x) = r ε (s)e isx j, k= s Z όπου r ε (s) = ε j ε k {(j,k): n j n k =s} Παρατηρούµε ότι r ε (0) = N και r ε ( s) = r ε (s) Τώρα ϑα δείξουµε ότι ( f ε (x) 4 4 = r ε (s) ) 2 s Z

19 2 Τριγωνικά Πολυώνυµα 9 Πράγµατι, f ε (x) 4 4 = 2π 2π = 2π = 2π = 2π 0 2π f ε (x) 4 dx ( N 2 ε j ε k e i(n k n j )x) dx 0 j, k= 2π 0 2π 0 ( ) 2 r ε (s)e isx dx s Z ( r ε (s)r ε (t)e )dx i(s+t)x s,t Z = ( r ε (s)r ε (t) 2π s,t Z = r ε (s)r ε ( s) = s Z ( r ε (s) ) 2 s Z Τώρα ϑα υπολογίσουµε την µέση τιµή της f ε 4 4 2π 0 e i(s+t)x dx E( f ε (x) 4 4) = E ( (r ε (s)) 2) = E ( r ε (s) 2) Αν s = 0 τότε E(r ε (s) 2 ) = E(r ε (0) 2 ) = E(N 2 ) = N 2 Αν s 0 τότε, s Z E ( r ε (s) 2) ( ( = E = n j nk=s n j n k =s ε i ε k ) 2 ) n j2 n k2 =s s Z ) E ( (ε j ε k )(ε j2 ε k2 ) ) Οµως E ( (ε j ε k )(ε j2 ε k2 ) ) 0 j = j 2 και k = k 2 Άρα E ( r ε (s) 2) = E ( (ε j ε k ) 2) = n j n k =s n j n k =s = {(j, k) : nj n k = s}

20 0 Η πιθανοθεωρητική µέθοδος Τελικά σε κάθε περίπτωση έχουµε ότι, E( f ε (x) 4 4) = N 2 + {(j, k) : n j n k = s} s 0 = N 2 + {(j, k) : nj n k 0} = N 2 + {(j, k) : j k} = N 2 + N 2 N 2N 2 Άρα υπάρχει ε E N 2 τέτοιο ώστε f ε(x) 4 4 2N 2 Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη του ϑεωρήµατος µε σταθερά c = 2

21 Κεφάλαιο 2 Προσεγγιστικές ισοπεριµετρικές ανισότητες 2 Συγκέντρωση του µέτρου Μέχρι στιγµής χρησιµοποιήσαµε την πιθανοθεωρητική µέθοδο για να αποδείξουµε την ύπαρξη κάποιων συνόλων µε µια συγκεκριµένη ιδιότητα Αυτό το πετύχαµε ορίζοντας κατάλληλο χώρο πιθανότητας (Ω, A, P) και κατάλληλη τυχαία µεταβλητή X : Ω R για την οποία Ϲητούσαµε να υπάρχει ω Ω τέτοιο ώστε X(ω) a, όπου a κατάλληλος πραγµατικός αριθµός Υπολογίζοντας τη µέση τιµή της X αν καταφέρουµε να δείξουµε ότι E(X) a, τότε εξασφαλίζουµε την ύπαρξη του ω Σε πολλά προβλήµατα όµως, ϑέλουµε να αποδείξουµε την ύπαρξη κάποιας δοµής που έχει περισσότερες από µία ιδιότητες Η εφαρµογή της πιθανοθεωρητικής µεθόδου µπορεί να µας οδηγήσει στην εξής κατάσταση : Σε κατάλληλο χώρο πιθανότητας (Ω, A, P) ορίζουµε τυχαίες µεταβλητές X,, X k : Ω R και Ϲητάµε την ύπαρξη ω Ω τέτοιο ώστε X (ω) a,, X k (ω) a k, όπου a i R, για κάθε i =,, k Αν πετύχουµε να δείξουµε ότι E(X ) a,, E(X k ) a k εξασφαλίζουµε ότι υπάρχουν ω,, ω k Ω ώστε X (ω ) a,, X k (ω k ) a k Το ερώτηµα που τίθεται είναι αν µπορούµε να ϐρούµε ω = ω = = ω κ Ω Η ιδέα για να πετύχουµε την ύπαρξη τέτοιου ω είναι να εκτιµήσουµε την απόκλιση των τυχαίων µεταβλητών X i από τη µέση τιµή τους E(X i ), δηλαδή να ϐρούµε καλά άνω ϕράγµατα για πιθανότητες της µορφής P({ω Ω : X i E(X i ) > t i }), t i > 0

22 2 Προσεγγιστικές ισοπεριµετρικές ανισότητες Αν το καταφέρουµε αυτό, ξεκινώντας από τον υπολογισµό των E(X i ) για κατάλληλα t i > 0 µπορούµε να δείξουµε ότι k P( X i E(X i ) > t i ) < Συνεπώς από την υποαθροιστικότητα του µέτρου πιθανότητας ϑα έχουµε ότι P ( k ) k ( X i E(X i ) ) > t i P( X i E(X i ) > t i ) < Άρα, k {ω Ω : X i E(X i ) t i } = P ( k ) ( X i E(X i ) ) t i > 0, οπότε υπάρχει ω Ω ώστε X i E(X i ) t i, για κάθε i =,, k Αυτό που καταφέραµε να δείξουµε είναι ότι υπάρχει ω Ω που να ικανοποιεί ταυτόχρονα τις X E(X ) + t,, X k E(X k ) + t k Σκοπός µας σε αυτό το κεφάλαιο είναι να κατασκευάσουµε τα κατάλληλα εργαλεία για να µπορούµε να εκτιµήσουµε την P( X E(X) t), δηλαδή να ϐρίσκουµε καλά άνω ϕράγµατα για αυτή τη πιθανότητα Για το σκοπό αυτό ϑα ορίσουµε τη διασπορά τυχαίας µεταβλητής και ϑα δούµε δύο ανισότητες που ϑα µας ϐοηθήσουν στην εκτίµηση που ϑέλουµε να πετύχουµε Ορισµός 2 Εστω (Ω, A, P) χώρος πιθανότητας και X : Ω R τυχαία µεταβλητή Η διασπορά της X ορίζεται ως Var(X) = E[(X E(X)) 2 ] = E(X 2 ) (E(X)) 2 Λήµµα 2 (Ανισότητα Markov) Εστω X µια µη αρνητική τυχαία µεταβλητή Τότε για κάθε t > 0, P(X t) E(X) t

23 2 Συγκέντρωση του µέτρου 3 Απόδειξη : Εστω t > 0 Τότε E(X) = X(ω)dP(ω) Ω X(ω)dP(ω) {ω Ω:X(ω) t} tdp(ω) {ω Ω:X(ω) t} = t dp(ω) Άρα έπεται το Ϲητούµενο {ω Ω:X(ω) t} = tp({ω Ω : X(ω) t}) P(X t) E(X) t Πόρισµα 2 Αν φ γνησίως αύξουσα συνάρτηση µε ϑετικές τιµές, τότε για κάθε τυχαία µεταβλητή X 0 και για κάθε t R έχουµε P(X t) = P(φ(X) φ(t)) E(φ(X)) φ(t) Θεώρηµα 2 (Ανισότητα Chebyshev) Εστω (Ω, A, P) χώρος πιθανότητας και X : Ω R τυχαία µεταβλητή Τότε για κάθε t > 0 P( X E(X) t) Var(X) t 2 Απόδειξη : Εστω t > 0, ϑα εφαρµόσουµε την ανισότητα Markov για την τυχαία µεταβλητή X E(X) P( X E(X) t) = P( X E(X) 2 t 2 ) E( X E(X) 2 ) t 2 = Var(X) t 2 Γενικότερα, για φ(t) = t q, t 0, q > 0 έχουµε P( X E(X) t) E( X E(X) q ) t q Στη συνέχεια αυτού του κεφαλαίου ϑα ορίσουµε τη συνάρτηση συγκέντρωσης σε ένα µετρικό χώρο πιθανότητας και ϑα δούµε, πώς σε συνδυασµό µε τη µέθοδο των προσεγγιστικών ισοπεριµετρικών ανισοτήτων µπορούµε να πετύχουµε άνω ϕράγµατα για την πιθανότητα απόκλισης από τη µέση τιµή

24 4 Προσεγγιστικές ισοπεριµετρικές ανισότητες Ορισµός 22 Εστω (X, d) ένας µετρικός χώρος Εστω A η Borel σ-άλγεβρα υποσυνόλων του X Αν µ : A [0, ] είναι ένα µέτρο πιθανότητας, τότε η τετράδα (X, A, d, µ) λέγεται µετρικός χώρος πιθανότητας Υπενθύµιση (µετρικού χώρου): Ενα σύνολο X εφοδιασµένο µε µια µετρική d λέγεται µετρικός χώρος Μια µετρική d στον X είναι µια συνάρτηση d : X X R ώστε για κάθε x, y, z X να ισχύουν τα εξής : (i) d(x, y) = 0 x = y (ii) d(x, y) = d(y, x) (συµµετρία) (iii) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) (τριγωνική ανισότητα) Ορισµός 23 Εστω A A Για κάθε t > 0 ορίζουµε την t-επέκταση του A να είναι το σύνολο A t = {x X : d(x, A) t} όπου d(x, A) = inf{d(x, y) : y A} Σε κάθε µετρικό χώρο πιθανότητας το ισοπεριµετρικό πρόβληµα διατυπώνεται ως εξής : Εστω (X, A, d, µ) µετρικός χώρος πιθανότητας Για δοσµένα 0 < a < και t > 0 ϑεωρούµε όλα τα A A µε µέτρο µ(a) a και την t- επέκτασής τους A t Να ϐρεθούν εκείνα τα A για τα οποία ελαχιστοποιείται το µ(a t ), δηλαδή να ϐρεθεί το inf{µ(a t ) : A A, µ(a) a} Αν µπορεί να λυθεί το ισοπεριµετρικό πρόβληµα για κάποιο Ϲευγάρι (a, t), αν υποθέσουµε ότι B A είναι µια λύση του, τότε για κάθε A A µε µ(a) a έχουµε (2) µ(a t ) µ(b t ) Η ανισότητα αυτή είναι η ισοπεριµετρική ανισότητα για τα δοσµένα a και t Σε πολλά ισοπεριµετρικά προβλήµατα η λύση τους είναι δύσκολη ή και πολλές ϕορές αδύνατη Σε αυτήν την περίπτωση για τον σκοπό µας είναι αρκετή µια ασθενέστερη µορφή της (2), δηλαδή µας αρκεί να ϐρούµε ένα καλό κάτω ϕράγµα για το inf{µ(a t ) : A A, µ(a) a} Οι ανισότητες που επιτυγχάνουν ένα τέτοιο κάτω ϕράγµα λέγονται προσεγγιστικές ισοπεριµετρικές ανισότητες Η σχέση των προσεγγιστικών ισοπεριµετρικών ανισοτήτων µε το πρόβληµα της εκτίµησης της πιθανότητας απόκλισης από το µέσο ϑα ϕανεί µε τον επό- µενο ορισµό και το επόµενο ϑεώρηµα

25 2 Συγκέντρωση του µέτρου 5 Ορισµός 24 Εστω (X, A, d, µ) µετρικός χώρος πιθανότητας Η συνάρτηση συγκέντρωσης του χώρου X είναι η συνάρτηση α(x, t) := inf{µ(a t ) : µ(a) /2} Ορισµός 25 Για µιά συνάρτηση f : X R ορίζουµε µέσο Lévy της f να είναι ένας αριθµός M f για τον οποίο ισχύει µ({x X : f (x) M f }) /2 και µ({x X : f (x) M f }) /2 Παρατήρηση : Αν η f είναι συνεχής τότε ο µέσος Lévy είναι µοναδικός Θεώρηµα 22 Εστω (X, A, d, µ) µετρικός χώρος πιθανότητας Αν f : X R είναι µια συνάρτηση Lipschitz µε σταθερά, δηλαδή αν f (x) f (y) d(x, y) για κάθε x, y X, τότε µ({x X : f (x) M f > t}) 2α(X, t) Απόδειξη : Θεωρούµε τα σύνολα A = {x X : f (x) M f } B = {x X : f (x) M f } και τις t-επεκτάσεις τους Εστω y A t τότε υπάρχει x A ώστε d(x, y) t Αφού η f είναι Lipschitz µε σταθερά έχουµε Οπότε, d(x, y) f (y) f (x) d(x, y) f (y) = f (y) f (x) + f (x) d(x, y) + M f M f t Οµοια, αν y B t τότε υπάρχει x B τέτοιο ώστε d(x, y) t, οπότε f (y) = f (y) f (x) + f (x) d(x, y) + M f M f + t ηλαδή, αν y A t B t f (x) M f t Άρα, A t B t {x X : f (x) M f t} {x X : f (x) M f t} c (A t B t ) c {x X : f (x) M f > t} A c t B c t

26 6 Προσεγγιστικές ισοπεριµετρικές ανισότητες µ({x X : f (x) M f > t}) µ(a c t B c t ) µ({x X : f (x) M f > t}) µ(a c t ) + µ(b c t ) (22) µ({x X : f (x) M f > t}) µ(a t ) + µ(b t ) Οµως από τον ορισµό της συνάρτησης συγκέντρωσης έχουµε µ(a t ) α(x, t) και µ(b t ) α(x, t) Αντικαθιστώντας στη (22) παίρνουµε το Ϲητούµενο µ({x X : f (x) M f > t}) α(x, t) + α(x, t) = 2α(X, t) Αξίζει να σηµειώσουµε ότι ισχύει και το αντίστροφο του ϑεωρήµατος Πρόταση 2 Εστω (X, A, d, µ) µετρικός χώρος πιθανότητας Αν για κάποιο t > 0 και για κάθε συνάρτηση f : X R µε σταθερά Lipschitz έχουµε µ({x X : f (x) M f > t}) η, τότε α(x, t) η Απόδειξη : Εστω A A µε µ(a) /2 Θεωρούµε τη συνάρτηση f (x) = d(x, A) = inf{d(x, y) : y A} Η f είναι Lipschitz µε σταθερά Πράγµατι, έστω x A, y A A και ε > 0, τότε d(x, A) d(x, x A ) d(x, A) + ε και d(y, A) d(y, y A ) d(y, A) + ε Εχουµε f (x) f (y) = d(x, A) d(y, A) d(x, y A ) d(y, y A ) + ε d(x, y) + ε Οµοίως δείχνουµε ότι f (y) f (x) d(x, y) + ε Άρα f (x) f (y) d(x, y) Επίσης ο µέσος Lévy της f είναι M f = 0 Πράγµατι, µ({x X : f (x) 0}) = µ({x X : d(x, A) 0}) = µ(x) = /2 Θέλουµε να δείξουµε και ότι µ({x X : f (x) 0}) /2 Εχουµε, µ({x X : f (x) 0}) = µ({x X : d(x, A) = 0})

27 2 Συγκέντρωση του µέτρου 7 Οµως αν x A τότε d(x, A) = 0 Άρα {x X : d(x, A) = 0} A Συνεπώς µ({x X : d(x, A) = 0}) µ(a) /2 Από την υπόθεση παίρνουµε µ({x X : f (x) 0 > t}) η µ({x X : d(x, A) > t}) η µ(a c t ) η µ(a t ) η Εστω ε > 0 τότε, α(x, t) ε = (inf{µ(a t ) : µ(a) /2} + ε) µ(a t ) η Συνεπώς α(x, t) η

28 8 Προσεγγιστικές ισοπεριµετρικές ανισότητες 22 Η ανισότητα των Prékopa-Leindler Θεώρηµα 23 (Ανισότητα Prékopa-Leindler): Εστω h, f, g : R n R + τρεις µετρήσιµες και ολοκληρώσιµες συναρτήσεις και a, b R ώστε a, b 0 και a + b = Αν h(ax + by) f (x) a g(y) b Τότε, ( h R n R n f ) a ( R n g ) b Η απόδειξη του ϑεωρήµατος ϑα γίνει επαγωγικά, ϑα το αποδείξουµε αρχικά για n = και αυτό ϑα γίνει µε τη ϐοήθεια τριών ληµµάτων τα οποία διατυπώνονται και αποδεικνύονται παρακάτω Λήµµα 22 Εστω A, B µη κενά µετρήσιµα υποσύνολα του R Τότε, m(a + B) ma + mb, όπου m το µέτρο Lebesgue και A + B = {a + b : a A, b B} Απόδειξη : Θα διακρίνουµε τις εξής δύο περιπτώσεις Τα A, B να είναι ϕραγµένα και τουλάχιστον ένα από τα A, B όχι ϕραγµένο Περίπτωση I: Εστω A, B µη κενά µετρήσιµα και ϕραγµένα υποσύνολα του R Αφού A, B ϕραγµένα και µη κενά, υπάρχει το sup A και το inf B Εστω ε > 0, τότε υπάρχει x A A : sup A ε < x A Εχουµε x A A 0 A x A (µε A x A εννοούµε το σύνολο A {x A }) Εστω x A τότε, x x A x (sup A ε) = (x sup A) + ε ε, αφού x sup A 0 Αυτό που δείξαµε είναι ότι αν x A x x A ε, άρα A x A (, ε] Εργαζόµαστε εντελώς ανάλογα και στο σύνολο B Εστω ε > 0, τότε y B B : y B < inf B + ε Εχουµε y B B 0 B y B Εστω y B τότε, y y B y (inf B + ε) = (y inf B) ε ε, αφού y inf B 0 Ετσι δείξαµε ότι αν y B y y B ε Άρα B y B [ ε, ) Τώρα το µέτρο Lebesgue είναι αναλλοίωτο στις µεταθέσεις, δηλαδή για κάθε λ R, ma = m(a + λ) Ετσι έχουµε ότι m(a + B) = m((a + B) (x A + y B )) = m((a x A ) + (B y B ))

29 22 Η ανισότητα των Prékopa-Leindler 9 Αφού 0 A x A έπεται ότι (A x A ) + (B y B ) {0} + (B y B ) = B y B Οµοίως επειδή 0 B y B έπεται ότι Άρα, (A x A ) + (B y B ) {0} + (A x A ) = A x A (A x A ) + (B y B ) ( (A x A ) + {0} ) ( (B y B ) + {0} ) = (A x A ) (B y B ) Άρα m((a x A ) + (B y B )) m((a x A ) (B y B )) m(a + B) = m((a x A ) + (B y B )) m((a x A ) (B y B )) = m(a x A ) + m(b y B ) m((a x A ) (B y B )) m(a) + m(b) 2ε, αφού (A x A ) (B y B ) [ ε, ε] οπότε m((a x A ) (B y B )) m([ ε, ε]) = 2ε Αφήνοντας το ε να πάει στο 0 παίρνουµε το Ϲητούµενο m(a + B) ma + mb Περίπτωση II: Εστω A ή B µη ϕραγµένα Εδώ ϑα διακρίνουµε δύο υποπεριπτώσεις Αν ma = ή mb = τότε προφανώς m(a + B) ma + mb Εστω τώρα ότι ma < και mb < Ορίζουµε I n = ( (n + ), n] [n, n + ), n N Παρατηρούµε ότι τα I n είναι ξένα µεταξύ τους για κάθε n N και ότι I n = R Αφού I n ξένα, τότε και I n A ξένα και I n B ξένα Εχουµε, A = (I n A) n= n=

30 20 Προσεγγιστικές ισοπεριµετρικές ανισότητες Πράγµατι, (I n A) = ( ) I n A = R A = A n= n= Οµοίως δείχνουµε και ότι B = (I n B) n= Από την αθροιστικότητα του µέτρου παίρνουµε ( > ma = m (I n A) ) = n= και ( > mb = m (I n B) ) = n= Άρα οι σειρές συγκλίνουν, οπότε έχουµε ότι m(i n A) n= m(i n B) n= ε > 0, N N : n N m(i i A) n m(i i A) < ε m(i i A) < ε i=n + Οµοίως, ε > 0, N 2 N : n N 2 i=n 2 + m(i i B) < ε Για N = max{n, N 2 } παίρνουµε m(i i A) < ε i=n+ και i=n+ m(i i B) < ε Θέτουµε A N = A [ N, N] A και B N = B [ N, N] B Παρατηρούµε ότι ισχύουν οι εξής σχέσεις : m(a\a N ) = i=n+ m(i i A) < ε και m(b\b N ) = m(i i B) < ε i=n+

31 22 Η ανισότητα των Prékopa-Leindler 2 Τα A N και B N είναι ϕραγµένα, άρα από περίπτωση I έχουµε m(a N + B N ) ma N + mb N = ma m(a\a N ) + mb m(b\b N ) ma + mb ε ε = ma + mb 2ε Τώρα A A N και B B N A + B A N + B N Άρα m(a + B) m(a N + B N ) ma + mb 2ε Τελικά καθώς το ε πηγαίνει στο 0 παίρνουµε το Ϲητούµενο περίπτωση δείξαµε ότι m(a + B) ma + mb Άρα σε κάθε Λήµµα 23 Εστω f : R R + µετρήσιµη, ολοκληρώσιµη και µη αρνητική συνάρτηση Τότε, f (x)dx = R 0 m{x R : f (x) y}dy Απόδειξη : Το λήµµα αυτό αποδεικνύεται µε µια απλή εφαρµογή του ϑεω- ϱήµατος Fubini Ορίζω A = {(x, y) : f (x) y} Τα σηµεία του A αποτελούν τα ευθύγραµµα τµήµατα µεταξύ των σηµείων (x, 0) και (x, f (x)), για κάθε x R Εστω X A η χαρακτηριστική συνάρτηση του A (δηλαδή X A (x) = αν x A και X A (x) = 0 διαφορετικά) Από το ϑεώρηµα Fubibi έχουµε, > f (x)dx = X A (x, y)dxdy R R 2 ( ) = X A (x, y)dx dy Κρατώντας το y σταθερό παίρνουµε : Άρα = 0 ( ) X A (x, y)dx dy X A (x, y) = (x, y) A f (x) y X A (x, y)dx = m{x R : f (x) y} Αντικαθιστώντας στην προηγούµενη σχέση παίρνουµε το Ϲητούµενο f (x)dx = m{x R : f (x) y}dy R 0

32 22 Προσεγγιστικές ισοπεριµετρικές ανισότητες Λήµµα 24 (Ανισότητα αριθµητικού γεωµετρικού µέσου): Εστω λ [0, ] και x, y R µε x, y 0 Τότε λx + ( λ)y x λ y λ Απόδειξη : Αν x = 0 ή y = 0 ή λ = 0 προφανώς ισχύει Εστω τώρα x 0 και y 0 και λ 0 Θέλουµε να δείξουµε ότι : λx + ( λ)y x λ y λ x y λ + ( λ) x λ y λ x λ y λ ( x ) λ ( y ) λ λ + ( λ) y x Θέτουµε z = x y > 0 Άρα αρκεί να δείξουµε ότι : λz λ + ( λ), z > 0, λ [0, ] zλ λz + ( λ)z z λ λz + ( λ) z λ 0 Ορίζουµε g(z) = λz + ( λ) z λ, z > 0 Η g είναι παραγωγίσιµη, άρα g (z) = 0 λ λ z λ = 0 λ ( z λ ) = 0 z =, αφού υποθέσαµε ότι λ 0 Τώρα παρατηρούµε ότι z >, g (z) > 0 και z <, g (z) < 0 Άρα στο z = η g έχει ελάχιστο, εποµένως g(z) g() = λ + ( λ) λ = 0 λz + ( λ) z λ 0

33 22 Η ανισότητα των Prékopa-Leindler 23 Είµαστε έτοιµοι τώρα να αποδείξουµε την ανισότητα Prékopa-Leindler Απόδειξη : Αρχικά ϑα το δείξουµε για n = Εστω t > 0, ισχυριζόµαστε ότι {z R : h(z) t} a{x R : f (x) t} + b{y R : g(y) t} Πράγµατι, έστω x {x R : f (x) t} και y {y R : g(y) t} Από υπόθεση έχουµε h(ax + by) f (x) a g(y) b t a t b = t a+b = t = t Άρα ax + by {z R : h(z) t} Ετσι αποδείχτηκε ο ισχυρισµός Από το λήµµα 22 παίρνουµε : m{z R : h(z) t} m(a{x R : f (x) t} + b{y R : g(y) t}) am({x R : f (x) t}) + bm({y R : g(y) t}) Από την γραµµικότητα του ολοκληρώµατος συνεπάγεται ότι a 0 0 m{z R : h(z) t}dt m{x R : f (x) t}dt + b 0 m{y R : g(y) t}dt Το λήµµα 23 και η ανισότητα αριθµητικού γεωµετρικού µέσου µας δίνουν το Ϲητούµενο ( ) a ( b h a f + b g f g) R R R R R Επαγωγικό ϐήµα : Εστω h, f, g όπως στο ϑεώρηµα k = n, δηλαδή, ( ) a ( ) b h f g R n R n R n Εστω ότι ισχύει για Θέλουµε να το αποδείξουµε για k = n Για κάθε s R ορίζουµε τις συναρτήσεις h s, f s, g s : R n R + µε h s (w) = h(w, s), f s (w) = f (w, s), g s (w) = g(w, s) Για κάθε x, y R n και s 0, s R από την υπόθεση έπεται ότι h as +bs 0 (ax + by) = h(ax + by, as + bs 0 ) = h(a(x, s ) + b(y, s 0 )) ( f (x, s ) ) a( g(y, s 0 ) ) b = ( f s (x) ) a(g s0 (y) ) b

34 24 Προσεγγιστικές ισοπεριµετρικές ανισότητες ηλαδή δείξαµε ότι, Η επαγωγική υπόθεση µάς δίνει, h as +bs 0 (ax + by) ( f s (x) ) a(g s0 (y) ) b H(as + bs 0 ) := ( R n h as +bs 0 R n f s ) a ( = F(s ) a G(s 0 ) b R n g s0 Εφαρµόζουµε τώρα ξανά την επαγωγική υπόθεση για n = και για τις συναρτήσεις H, F, G Εχουµε ότι, h = h as0 +bs R n R R n = = = ( ( ( H R F R R R n f ) a ( G R R n f s ) a ( ) b ) a ( R n g ) b R R n g s0 ) b ) b

35 23 Η ανισότητα των Brunn-Minkowski Η ανισότητα των Brunn-Minkowski Ορισµός 26 Εστω A, B µη κενά υποσύνολα του R n Ορίζουµε το άθροισµα Minkowski των A και B να είναι το σύνολο Επιπλέον για κάθε t 0 ορίζουµε A + B = {a + b : a A, b B} ta = {ta : a A} Θεώρηµα 24 (Ανισότητα Brunn-Minkowski) Εστω K, T δύο µη κενά υποσύνολα του R n Τότε, (23) K + T /n K /n + T /n Παρατήρηση : Η ανισότητα (23) εκφράζει το γεγονός ότι ο όγκος είναι κοίλη συνάρτηση ως προς το άθροισµα Minkowski Για το λόγο αυτό γράφεται συχνά στη µορφή (24) λk + ( λ)t /n λ K /n + ( λ) T /n, όπου λ (0, ) Θα δούµε πρώτα µια άλλη µορφή του ϑεωρήµατος 24 η οποία ονοµάζεται ασθενής ανισότητα Brunn-Minkowski Θεώρηµα 25 (Ασθενής ανισότητα Brunn-Minkowski) Εστω Εστω K, T δύο µη κενά υποσύνολα του R n και λ (0, ) Τότε, (25) λk + ( λ)t K λ T λ Η ανισότητα αυτή παρόλο που είναι ασθενέστερη της (23), έχει το πλεονέκτηµα ότι είναι ανεξάρτητη της διάστασης n Απόδειξη : Η απόδειξη ϑα γίνει µε µια απλή εφαρµογή του ϑεωρήµατος 23 Εστω K, T δύο µη κενά υποσύνολα του R n και λ (0, ) Ορίζουµε τις εξής χαρακτηριστικές συναρτήσεις f = X K, g = X T, h = X λk+( λ)t Θα δείξουµε ότι οι συναρτήσεις αυτές ικανοποιούν τις προϋποθέσεις του ϑεω- ϱήµατος 23 Πράγµατι, προφανώς οι h, f, g : R n R + είναι µετρήσιµες και ολοκληρώσιµες Αρκεί να δείξουµε ότι h(λx + ( λ)y) f (x) λ g(y) λ

36 26 Προσεγγιστικές ισοπεριµετρικές ανισότητες Αν x K ή y T τότε f (x) = 0 ή g(y) = 0 Άρα h(λx + ( λ)y) 0 = f (x) λ g(y) λ Αν x K και y T τότε λx + ( λ)y λk + ( λ)t, άρα f (x) = g(y) = h(λx + ( λ)y) = Εποµένως, h(λx + ( λ)y) = = λ λ = f (x) λ g(y) λ Τώρα εφαρµόζουµε το ϑεώρηµα 23 για τις συναρτήσεις h, f, g και παίρνουµε, λk + ( λ)t = X λk+( λ)t R n = δηλαδή το αποτέλεσµα = ( ( R n h R n f R n X K ) λ ( ) λ ( = K λ T λ, R n g ) λ R n X T Απόδειξη :(της Ανισότητας Brunn-Minkowski) Εστω K, T µη κενά υποσύνολα του R n και λ (0, ) Αν K = T = 0 τότε η (23) είναι προφανής Εστω ότι K 0 και T 0 Θα εφαρµόσουµε το ϑεώρηµα 25 για τα εξής σύνολα : K = K K, T /n = T και για λ = T /n Παρατηρούµε ότι K = T = Πράγµατι, K = K ( ) n = K = K K = K /n K /n ) λ K /n K /n + T /n Οµοίως δείχνουµε και ότι T = Συνεπώς από την (25) έχουµε ότι (26) λk + ( λ)t Οµως, λk + ( λ)t =

37 K /n K /n + T /n 23 Η ανισότητα των Brunn-Minkowski 27 ( K K + /n K /n K /n + T /n ) T T /n = K /n K K /n ( K /n + T /n ) + ( K /n + T /n K /n )T T /n ( K /n + T /n ) K /n T /n K + K /n T /n T K /n T /n ( K /n + T /n ) = K + T K /n + T /n Αντικαθιστώντας στην (26) παίρνουµε K + T K /n + T /n ( ) n K + T K /n + T /n Από όπου συνεπάγεται το Ϲητούµενο : K + T ( K /n + T /n) n, K + T /n K /n + T /n =

38 28 Προσεγγιστικές ισοπεριµετρικές ανισότητες 24 Ισοπεριµετρική ανισότητα στον Ευκλείδειο χώρο Ορισµός 27 Εστω A µη κενό υποσύνολο του R n, η επιφάνεια κατά Minkowski (A) του A ορίζεται ως (A) := lim inf t 0 + A t A t Θεώρηµα 26 Εστω A µη κενό συµπαγές υποσύνολο του R n Τότε (27) ( ) (A) n (B) ( ) A n B όπου B = B(0, ) η µοναδιαία Ευκλείδεια µπάλα κέντρου 0 και ακτίνας Το ϑεώρηµα 26 εκφράζει την ισοπεριµετρική ανισότητα στον Ευκλείδειο χώρο, µας δείχνει µε άλλα λόγια ότι, από όλα τα µη κενά συµπαγή υποσύνολα του Ευκλείδειου χώρου που έχουν δεδοµένο σταθερό όγκο, η µπάλα έχει τη µικρότερη επιφάνεια Αντίστροφα, αν κρατήσουµε την επιφάνεια σταθερή τότε η µπάλα έχει το µεγαλύτερο όγκο Απόδειξη : Παρατηρούµε ότι A t = A + tb Πράγµατι, έστω x A t, επειδή το A είναι συµπαγές έπεται ότι υπάρχει y A ώστε Άρα x y = d(x, A) t x y tb x y + tb A + tb x A + tb (28) A t A + tb Αντίστροφα, έστω x A + tb, υπάρχουν x A A και x B B ώστε x = x A + tx B x x A = tx B Εχουµε Άρα d(x, A) x x A = t x B t x A t (29) A + tb A t Από τις σχέσεις (28) και (29) παίρνουµε ότι A t = A + tb Χρησιµοποιώντας την ανισότητα Brunn-Minkowski έχουµε A t A t = = lim inf t 0 + A + tb A t A t A t ( A /n + tb /n ) n A t lim inf t 0 + = ( A /n + t B /n ) n A t

39 24 Ισοπεριµετρική ανισότητα στον Ευκλείδειο χώρο 29 Το όριο στο δεξί µέλος µας δίνει απροσδιόριστη µορφή 0 0 Del Hospital ως προς t παίρνουµε Εφαρµόζοντας (A) n( A /n + t B /n ) n (0 + B /n ) 0 lim inf t 0 + lim inf n( A /n + t B /n ) n B /n t 0 + n( A /n + 0) n B /n Τελικά παίρνουµε την εξής ανισότητα (20) (A) n A n n B /n Τώρα ϑα υπολογίσουµε την επιφάνεια της µοναδιαίας µπάλας (B) Συνεπώς, (B) = lim inf t 0 + = lim inf t 0 + = lim inf t 0 + = lim inf t 0 + B t B t B + tb B t (t + )B B t (t + ) n B B n(t + ) n B 0 = lim inf t 0 + = lim inf n(t + ) n B t 0 + = n B (B) = n B = n = (B) B Αντικαθιστώντας στην (20) παίρνουµε το Ϲητούµενο ( (A) (B) (A) (B) B (A) (B) ) n n A n B n n ( A B ) n t A n n B /n

40 30 Προσεγγιστικές ισοπεριµετρικές ανισότητες Πόρισµα 22 Εστω A µη κενό συµπαγές υποσύνολο του R n και r > 0 ώστε A = rb Τότε (A) (rb) Απόδειξη : Με όµοιο τρόπο, όπως υπολογίσαµε την επιφάνεια της µπάλας, δείχνουµε ότι (rb) = nr n B Πράγµατι, (rb) = lim inf t 0 + = lim inf t 0 + = lim inf t 0 + (rb) t rb t rb + tb rb t (r + t) n B r n B = lim inf t 0 + n(r + t) n B 0 = nr n B Αντικαθιστώντας στην (20) και χρησιµοποιώντας την υπόθεση παίρνουµε το Ϲητούµενο : (A) n A n n B /n = = n rb n n B /n = nr n B n n B /n = nr n B = (rb) t Πρόταση 22 Αν A = B τότε για κάθε t 0, Ευκλείδεια µπάλα A t B t, όπου B η µοναδιαία Απόδειξη : Το αποτέλεσµα αυτό είναι άµεση συνέπεια της ανισότητας Brunn-Minkowski A t /n = A + tb /n A /n + tb /n = B /n + t B /n = (t + ) B /n = (t + )B /n = B + tb /n = B t /n Ετσι δείξαµε ότι A t /n B t /n από όπου έπεται το Ϲητούµενο : A t B t

41 25 Ισοπεριµετρική ανισότητα στη σφαίρα 3 25 Ισοπεριµετρική ανισότητα στη σφαίρα Θεωρούµε το µετρικό χώρο πιθανότητας (S n, A, ρ, σ) όπου, S n = {x R n : x 2 = } η µοναδιαία σφαίρα στον R n A, η Borel σ-άλγεβρα υποσυνόλων της S n Εφοδιάζουµε την S n µε τη γεωδαισιακή µετρική ρ Η απόσταση δύο σηµείων x, y S n, δηλαδή το ρ(x, y), είναι η κυρτή γωνία xôy στο επίπεδο που ορίζεται από την αρχή των αξόνων O και τα x, y Αν ρ(x, y) = θ τότε sin θ 2 = x y 2 2 Συνεπώς, ρ(x, y) = 2 arcsin x y 2 2 Η γεωδαισιακή µετρική ρ είναι ισοδύναµη µε την Ευκλείδεια µετρική και συνδέονται µέσω της σχέσης 2 π ρ(x, y) x y 2 ρ(x, y) Πράγµατι, γενικά για κάθε x [0, π ] ισχύει 2 sin x x Εποµένως 2 π αφού θ [0, π] (είναι κυρτή γωνία) έχουµε ότι θ [0, π ] Άρα θ π 2 sin θ 2 θ 2 2 π θ 2 x y 2 2 θ 2 = 2 π ρ(x, y) x y 2 ρ(x, y) Για κάθε σύνολο Borel A S n ορίζουµε το µέτρο πιθανότητας σ ορί- Ϲοντας σ(a) := Ã B όπου B = B(0, ) η µοναδιαία Ευκλείδεια µπάλα και Ã := {sx : x A, 0 s } Το σ(a) είναι το ποσοστό που καταλαµβάνει η επιφάνεια του A, πάνω στην επιφάνεια της σφαίρας

42 32 Προσεγγιστικές ισοπεριµετρικές ανισότητες ιατύπωση ισοπεριµετρικού προβλήµατος : ίνονται a (0, ) και t > 0 Ανάµεσα σε όλα τα Borel σύνολα A S n για τα οποία σ(a) = a, να ϐρεθούν εκείνα για τα οποία ελαχιστοποιείται η επιφάνεια σ(a t ) της t-επέκτασης του A Η απάντηση δίνεται από το ακόλουθο ϑεώρηµα Θεώρηµα 27 Εστω a (0, ) και B(x, r) = {y S n : ρ(x, y) r} µια µπάλα στην S n ώστε σ(b(x, r)) = a Τότε για κάθε A S n µε σ(a) = a και για κάθε t > 0 έχουµε σ(a t ) σ(b(x, r) t ) = σ(b(x, r + t)) ηλαδή η µπάλα στην S n είναι η λύση του ισοπεριµετρικού προβλήµατος Εµείς ϑα αποδείξουµε την προσεγγιστική ισοπεριµετρική ανισότητα στην ειδική περίπτωση όπου a =, η οποία διατυπώνεται µέσω του ϑεωρήµατος 2 28 Θεώρηµα 28 Εστω A S n µε σ(a) = 2 και έστω t > 0 Τότε σ(a t ) π 8 e t 2 n 2 Παρατήρηση : Οσο µικρό t > 0 και αν διαλέξουµε η ακολουθία e t2 n 2 τείνει στο 0 όταν η διάσταση n πηγαίνει στο άπειρο και µάλιστα µε ταχύ ϱυθµό (εκθετικά ως προς n) Εποµένως το ποσοστό της σφαίρας που µένει έξω από την t-επέκταση οποιουδήποτε συνόλου A S n µε σ(a) = είναι 2 «σχεδόν µηδενικό» Η απόδειξη του ϑεωρήµατος 28 ϑα γίνει µε την ϐοήθεια του εξής λήµµατος Λήµµα 25 Θεωρούµε το οµοιόµορφο µέτρο πιθανότητας µ B στην Ευκλείδεια µοναδιαία µπάλα B = B(0, ), δηλαδή για κάθε σύνολο Borel A B µ B (A) = A B Αν A, C συµπαγή υποσύνολα της B και d(a, C) := min{ a c 2 : a A, c C} = ρ > 0 Τότε min{µ B (A), µ B (C)} e ρ 2 n 8

43 25 Ισοπεριµετρική ανισότητα στη σφαίρα 33 Απόδειξη : Θεωρούµε το σύνολο A+C Από την ανισότητα Brunn-Minkowski 2 έχουµε ότι A + C min{ A, C } 2 Άρα, Συνεπώς, A + C A+C 2 min{ A, C } 2 B min { A B, A } B ( ) A + C (2) µ B min{µ B (A), µ B (C)} 2 Εστω τώρα, a A και c C Επειδή A B και C B έχουµε a 2 και c 2 Από τον κανόνα του παραλληλογράµµου παίρνουµε Εποµένως, a + c a c 2 2 = 2 a c 2 2 = a + c 2 2 = 2 a c 2 2 a c ρ 2 = 4 ρ 2 = a + c ( ) ρ2 / (22) A + C 2 ( ) ρ2 /2 B 4 Από τις σχέσεις (2) και (22) παίρνουµε min{µ B (A), µ B (C)} µ B ( A + C 2 ) ) µb (( ρ2 /2 ) B = ( ρ2 και επειδή γενικά ισχύει ότι x e x παίρνουµε το Ϲητούµενο min{µ B (A), µ B (C)} ( e ρ ) n/2 = e ρ2 n 8 4 ) n/2 Απόδειξη :(του Θεωρήµατος 28) Εστω A S n µε σ(a) = και έστω 2 t > 0 Θέτουµε C = S n \A t και ϑεωρούµε τα υποσύνολα της µοναδιαίας σφαίρας A = {ρa : a A, 2 ρ } και C = {ρc : c C, 2 ρ }

44 34 Προσεγγιστικές ισοπεριµετρικές ανισότητες Παρατηρούµε ότι (23) d(a, C ) sin t 2 t π Πράγµατι, Επειδή min{µ B (A ), µ B (C )} = µ B (C ) από το λήµµα 25 έχουµε µ B (C ) e ρ 2 n 8 = C e ρ2 n 8 B και από τη σχέση (23) παίρνουµε ότι (24) C e t2 n 8π 2 B Τώρα υπολογίζουµε και ϐρίσκουµε ότι (25) C = ( 2 n ) C Πράγµατι, αν C 2 = 2 C = C 2 = 2 n C Οµως C = C + C 2 = C = ( 2 n ) C Συνδυάζοντας τις τελευταίες σχέσεις παίρνουµε σ(a c t ) = σ(s n \A t ) = σ(c) = C B = C ( 2 n ) B t 2 n ( 2 n ) B e 8π 2 B Άρα, t σ(a t ) 2 n e t σ(a t ) 2 n e 2 n 8π 2 = 2 n 8π 2

45 26 Ισοπεριµετρική ανισότητα στο χώρο του Gauss Ισοπεριµετρική ανισότητα στο χώρο του Gauss Θα µελετήσουµε το µετρικό χώρο πιθανότητας Γ n = (R n, A, 2, γ n ), όπου A, η Borel σ-άλγεβρα του R n 2, η Ευκλείδεια µετρική στον R n γ n, µέτρο πιθανότητας που έχει συνάρτηση πυκνότητας την γ n (x) = e x 2 2 /2 (2π) n/2 ηλαδή αν A µη κενό Borel υποσύνολο του R n, τότε το µέτρο του A είναι γ n (A) = e x 2 2 /2 dx (2π) n/2 Το γ n λέγεται µέτρο του Gauss και ο µετρικός χώρος πιθανότητας Γ n είναι ο n-διάστατος χώρος του Gauss Θα δούµε δύο σηµαντικές ιδιότητες του µέτρου του Gauss (i) Είναι µέτρο γινόµενο, δηλαδή γ n (x,, x n ) = γ n (x ) γ n (x n ) Απόδειξη : γ n (x,, x n ) = = (2π) n/2 e (x,,x n ) 2 2 /2 A (2π) /2 (2π) = ( 2 /2) e x ( (2π) /2 (2π) = γ (x ) γ n (x n ) 2 e x /2 e x2 n /2 /2 2 e x /2 (ii) Είναι αναλλοίωτο ως προς τους ορθογώνιους µετασχηµατισµούς ηλαδή, αν A A και U O(n) = {U n n πίνακες : UU t = I} τότε γ n (U(A)) = γ n (A) Απόδειξη : γ n (U(A)) = (2π) n/2 e x 2 2 /2 dx U(A) Θέτουµε x = Uy U(A), άρα y A και dx = J dy = det U dy Συνεπώς, γ n (U(A)) = e Uy 2 2 /2 det U dy A n /2)

46 36 Προσεγγιστικές ισοπεριµετρικές ανισότητες Οµως, det U = και Uy 2 2 = y 2 2 Πράγµατι, Άρα, Uy 2 = Uy, Uy = y, U t Uy γ n (U(A)) = A = y, y = y 2 e y 2 2 /2 dy = γ n (A) Η ισοπεριµετρική ανισότητα στο χώρο του Gauss, εκφράζεται µέσω του παρακάτω ϑεωρήµατος Θεώρηµα 29 Εστω a (0, ) και έστω H = {x R n : x, θ λ} ένας ηµίχωρος του R n, όπου θ S n και λ R, µε γ n (H) = a Τότε για κάθε t > 0 και για κάθε υποσύνολο Borel A του R n µε γ n (A) = a έχουµε γ n (A t ) γ n (H t ) ηλαδή ο ηµίχωρος H είναι η λύση του ισοπεριµετρικού προβλήµατος Πόρισµα 23 Αν γ n (A) /2, τότε για κάθε t > 0 γ n (A t ) 2 e t2 /2 ηλαδή, α(γ n, t) 2 e t2 /2 Απόδειξη : Από το ϑεώρηµα 29 έχουµε ότι (26) γ n (A t ) γ n (H t ) όπου H ηµίχωρος του R n µε γ n (H) = /2 Αφού το γ n είναι αναλλοίωτο ως προς τους ορθογώνιους µετασχηµατισµούς, µπορούµε να υποθέσουµε ότι H = {x R n : x 0}, οπότε H t = {x R n : x t} Θα υπολογίσουµε το µέτρο του H t γ n (H t ) = = = (2π) n/2 (2π) n/2 (2π) n/2 e x 2 2 /2 dx H t e x2 /2 e x2 2 /2 e x2 n /2 dx dx 2 dx n ( n e x2 /2 e dx) x2 /2 dx t t

47 26 Ισοπεριµετρική ανισότητα στο χώρο του Gauss 37 Θέτουµε I = e x2 /2 dx = I 2 = R e R 2 Κάνοντας την αλλαγή µεταβλητής r 2 = x 2 + y 2, παίρνουµε I 2 = 2π 0 0 e r2 /2 rdrdθ = 2π Άρα I = 2π Αντικαθιστώντας έχουµε Οπότε, γ n (H t ) = 2π t 0 e s2 /2 ds x 2 +y 2 2 dxdy (27) γ n (H t ) = e s2 /2 ds 2π Θεωρούµε τη συνάρτηση F(x) = e x2 /2 x t e s2 /2 ds e r2 /2 rdr = 2π Παραγωγίζοντας ϑα δείξουµε ότι η F(x) είναι ϕθίνουσα στο [0, ) Πράγµατι, Τώρα, x F (x) = xe x2 /2 e s2 /2 ds = διότι s x /s /x Άρα xe x2 /2 x x x e s2 /2 ds s se s2 /2 ds x e s2 /2 ds F (x) 0 Εποµένως από την ανισότητα F(t) F(0) παίρνουµε ότι (28) e t2 /2 π e s2 /2 ds 2 t x e s2 /2 ds Συνδυάζοντας τις σχέσεις (26), (27) και (28) προκύπτει το Ϲητούµενο : γ n (A t ) γ n (H t ) = e s2 /2 ds 2π t 2π π 2 e t2 /2 = 2 e t2 /2

48 38 Προσεγγιστικές ισοπεριµετρικές ανισότητες Για την απόδειξη της προσεγγιστικής ισοπεριµετρικής ανισότητας χρησι- µοποιήσαµε την ισοπεριµετρική ανισότητα Τώρα ϑα αποδείξουµε ένα γενικότερο αποτέλεσµα της προσεγγιστικής ισοπεριµετρικής ανισότητας για το χώρο του Gauss χρησιµοποιόντας την ανισότητα Prékopa-Leindler Θεώρηµα 20 Εστω A µη κενό Borel υποσύνολο του R n Τότε (29) /4 dγ n (x) γ n (A) R n e d(x,a)2 όπου d(x, A) = inf{ x y 2 : y A} Εποµένως αν γ n (A) = /2 τότε για κάθε t > 0 (220) γ n (A t ) 2e t2 /4 Απόδειξη : Θεωρούµε τις εξής συναρτήσεις m, f, g : R n R + µε f (x) = e d(x,a)2 /4 γ n (x), g(x) = X A (x)γ n (x), m(x) = γ n (x) Οι f, g, m είναι προφανώς µετρήσιµες και ολοκληρώσιµες Αν ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις της ανισότητας Prékopa-Leindler, τότε ( R n m ) 2 R n f R n g Οµως Άρα, ( R n m ) 2 ( ) 2 ( 2 = γ n (x)dx = e x 2 2 dx) /2 = R n R (2π) n n/2 R n e d(x,a)2 f g R n R n /4 γ n (x)dx X A (x)γ n (x)dx R n /4 dγ n (x) γ n (x)dx R n e d(x,a)2 R n e d(x,a)2 R n e d(x,a)2 A /4 dγ n (x) γ n (A) /4 dγ n (x) γ n (A)

49 26 Ισοπεριµετρική ανισότητα στο χώρο του Gauss 39 Άρα αρκεί να δείξουµε ότι ικανοποιείται η προϋπόθεση της ανισότητας Prékopa- Leindler, δηλαδή ότι ( x + y ) 2 m f (x)g(x) 2 Ισοδύναµα ότι ( x + y ) 2 γ n e d(x,a) 2 /4 γ n (x)x A (y)γ n (y) 2 ( x+y e /2) 2 (2π) n e d(x,a) 2 /4 (2π) n/2 e x 2 2 /2 X A (y) x+y e e d(x,a) 2 /4 x 2 2 /2 y 2 2 /2 X A (y) e y 2 2 /2 (2π) n/2 Αν y A, τότε το δεξιό µέλος είναι 0 και η ανισότητα ισχύει τετριµµένα Αν y A τότε X A (y) =, άρα αρκεί να δείξουµε ότι x + y 2 d(x, A)2 2 4 x y x y 2 2 d(x, A) 2 + x + y 2 Οµως d(x, A) x y 2 και από τον κανόνα του παραλληλογράµµου έχουµε x + y 2 + d(x, A) 2 x + y 2 + x y 2 = 2 x y 2 2, δηλαδή το Ϲητούµενο Για να δείξουµε την (220) αν γ n (A) = /2 από την ανισότητα Markov έχουµε e d(x,a)2/4 dγ n (x) e d(x,a)2 /4 dγ n (x) R n {x R n :d(x,a)>t} e t2 /4 dγ n (x) {x R n :d(x,a)>t} = e t2 /4 γ n ({x R n : d(x, A) > t}) Άρα γ n ({x R n : d(x, A) > t}) e t2 /4 R n e d(x,a)2 γ n (A c t ) e t2 /4 γ n (A) = 2 2e t /4 /4 dγ n (x) γ n (A t ) 2e t2 /4

50

51 Κεφάλαιο 3 Συγκέντρωση του µέτρου σε χώρους γινόµενα 3 Η ανισότητα του Talagrand Ο µετρικός χώρος πιθανότητας που ϑα µελετήσουµε σε αυτό το κεφάλαιο είναι ο (E n 2, d n, µ n ) όπου E n = 2 {, }n το σύνολο των κορυφών του κύβου στον R n Το τυπικό στοιχείο του E n 2 είναι ε = (ε,, ε n ) µε ε i = ± για κάθε i =,, n Εφοδιάζουµε τον E n 2 µε το οµοιόµορφο µέτρο πιθανότητας µ n Αν A υποσύνολο του E n 2 τότε µ n(a) = A /2 n, όπου A ο πληθάριθµος του συνόλου A Εστω x = (x,, x n ) και y = (y,, y n ) στοιχεία του E n 2 µε x i, y i = ± για κάθε i =,, n Ορίζουµε την µετρική d n στον E n 2 ως d n (x, y) = n {i n : x i y i } = 2n n x i y i Η d είναι µετρική διότι : (i) d n (x, y) = 0 x = y Πράγµατι, d n (x, y) = 0 n {i n : x i y i } = 0 {i n : x i y i } = 0 x i = y i, i =,, n x = y

52 42 Συγκέντρωση του µέτρου σε χώρους γινόµενα (ii) Η d n (x, y) = d n (y, x) είναι προφανής (iii) (Τριγωνική ανισότητα) d n (x, y) d n (x, z) + d n (z, y) Πράγµατι, d n (x, y) = 2n = 2n 2n = 2n n x i y i n (x i z i ) + (z i y i ) n ( x i z i + z i y i ) n x i z i + 2n = d n (x, z) + d n (z, y) n z i y i Παρατηρούµε ότι οι τιµές που µπορεί να πάρει η µετρική d n (x, y) είναι πεπερασµένες το πλήθος : 0, /n, 2/n,, Η t-επέκταση ενός υποσυνόλου A του E n 2 είναι το σύνολο A t = {x E n : 2 d n(x, A) t} Αν το t παίρνει τιµές µέσα από ένα σύνολο της µορφής [k/n, (k+)/n] η t-επέκτασή του παραµένει αµετάβλητη, εποµένως οι τιµές του t που παρουσιάζουν ενδιαφέρον είναι της µορφής t = k/n για k =,, n Το ισοπεριµετρικό πρόβληµα στο µετρικό χώρο πιθανότητας (E n 2, d n, µ n ) διατυπώνεται ως εξής : ίνονται ένας ϕυσικός m {, 2,, 2 n } και t = k/n για k =,, n Από όλα τα A E n 2 µε A = m να ϐρεθούν εκείνα για τα οποία ελαχιστοποιείται το µ n (A t ) ηλαδή, για ποιά A E n 2 η k/n-επέκταση A k/n έχει το µικρότερο πλήθος στοιχείων Η απάντηση στο ισοπεριµετρικό πρόβληµα είναι η παρακάτω ισοπεριµετρική ανισότητα Θεώρηµα ) 3 (Ισοπεριµετρική ανισότητα) Εστω A E n 2 Τότε για κάθε s =,, n έχουµε l k=0 ( n k µ n (A s/n ) 2 n l+s k=0 ( ) n = µ n (B(x, l/n) s/n ) = µ n (B(x, (l + s)/n)) k µε A = m = ηλαδή η µπάλα B(x, s/n) = {y E n : 2 d n(x, y) s/n} είναι η λύση του ισοπεριµετρικού προβλήµατος Εµείς ϑα αποδείξουµε την εξής προσεγγιστική ισοπεριµετρική ανισότητα : Θεώρηµα 32 Εστω A E n 2 Αν µ n(a) /2 και t > 0, τότε µ n (A c t ) 2e t2 n/2

53 3 Η ανισότητα του Talagrand 43 ηλαδή για τη συνάρτηση συγκέντρωσης του E n 2 έχουµε α(en 2, t) 2e t2 n/2 Η απόδειξη του ϑεωρήµατος ϐασίζεται στην ανισότητα του Talagrand Ορισµός 3 Κυρτή ϑήκη ενός συνόλου A R n είναι το µικρότερο κυρτό σύνολο που περιέχει το A Συµβολικά conv(a) = { m t i y i : y i A, t i [0, ], m t i =, m N } Θεώρηµα 33 (Ανισότητα Talagrand) Εστω A µη κενό υποσύνολο του E n 2 Για κάθε x E n 2 ορίζουµε τη συνάρτηση Φ A (x) := min{ x y 2 : y conv(a)} Τότε E(e Φ2 A /8 ) = E n 2 e Φ2 A /8 dµ n (x) µ n (A) Πριν δώσουµε την απόδειξη του ϑεωρήµατος 33 ϑα δούµε πως µέσω αυτού αποδεικνύεται η προσεγγιστική ισοπεριµετρική ανισότητα Η συνάρτηση Φ A και η συνάρτηση απόστασης d n (x, A) = min { 2n συγκρίνονται µε το παρακάτω λήµµα n } x i y i : y A Λήµµα 3 Για κάθε µη κενό υποσύνολο A του E n 2 και για κάθε x En 2 έχουµε 2 nd n (x, A) Φ A (x) Απόδειξη : Εστω x E n 2 Για κάθε y A έχουµε x y, x = n x i (x i y i ) Οµως διακρίνοντας περιπτώσεις για τις τιµές των x i, y i = ± παρατηρούµε ότι x i (x i y i ) = x i y i Άρα x y, x = n x i y i = 2nd n (x, y) 2nd n (x, A) Τώρα από την ανισότητα Cauchy-Schwarz για κάθε y conv(a) έχουµε x y, x x y 2 x 2 = x y 2 n

54 44 Συγκέντρωση του µέτρου σε χώρους γινόµενα Άρα 2nd n (x, A) x y, x n x y 2 2 nd n (x, A) x y, x x y 2 και από τον ορισµό της Φ A έπεται το Ϲητούµενο Απόδειξη :(Θεωρήµατος 32) Εστω A E n 2 µε µ n(a) /2 Αν Από το λήµµα 3 έχουµε ότι Άρα x A t x A c t d n (x, A) > t Φ A (x) 2 nd n (x, A) 2t n A c t {x E n 2 : Φ A (x) 2t n} µ n (A c t ) µ n ({x E n 2 : Φ A (x) 2t n}) Από την ανισότητα Markov παίρνουµε E(e Φ2 A /8 ) = e Φ2 A /8 dµ n (x) E n 2 {x E n 2 : Φ A(x) 2t e Φ2 A /8 dµ n (x) n} {x E n 2 : Φ A(x) 2t e 4t2n/8 dµ n (x) n} = e t2 n/2 µ n ({x E n 2 : Φ A (x) 2t n}) Άρα µ n (A c t ) µ n ({x E n 2 : Φ A (x) 2t n}) e t2 n/2 E n 2 e Φ2 A (x)/8 dµ n (x) Τώρα από το ϑεώρηµα 33 παίρνουµε µ n (A c t ) e t2 n/2 δηλαδή το Ϲητούµενο E n 2 e t2 n/2 µ n (A) e t2 n/2 /2 2e t2 n/2, e Φ2 A (x)/8 dµ n (x)

55 3 Η ανισότητα του Talagrand 45 Απόδειξη : (Θεωρήµατος 33) Η απόδειξη ϑα γίνει επαγωγικά ως προς το πλήθος των σηµείων του συνόλου A Αν A = δηλαδή A = {y}, τότε για κάθε x E n 2, Φ A(x) = x y 2 Άρα E(e Φ2 A (x)/8 ) = E(e x y 2 2 /8 ) = e x y 2 2 n 2 /8 x E n 2 Παρατηρούµε ότι αν το x διαφέρει από το y σε i το πλήθος συντεταγµένες (i =,, n), τότε x y 2 2 = 4i Πράγµατι, για τις συντεταγµένες που είναι ίδιες έχουµε x i y i = 0 Για i =, δηλαδή αν το x διαφέρει από το y σε µία συντεταγµένη, έστω την i-οστή, έχουµε x y 2 2 = (x y ) (x i y i ) (x n y n ) 2 = (x i y i ) 2 = 2 2 = 4 = 4i Εστω ότι ισχύει για i το πλήθος συντεταγµένες, δηλαδή x y 2 2 = (x y ) (x i y i ) 2 = 4i Θα δείξουµε ότι ισχύει για i + Πράγµατι, x y 2 2 = (x y ) (x i y i ) 2 + (x i+ y i+ ) 2 = 4i + (x i+ y i+ ) 2 = 4i + 4 = 4(i + ) Τώρα το πλήθος ( των x E n 2 που διαφέρουν από το y σε i το πλήθος συντεταγµένες είναι n ), για τα υπόλοιπα όταν x i i = y i έχουµε ότι x y 2 = 0 Άρα, E(e x y 2 2 /8 ) = 2 n = 2 n n ( ) n e 4i/8 + 0 i n ( ) n (e /2 ) i n i i i=0 i=0 = 2 ( + n e/2 ) n = ( + e /2 2 ( + e ) n ( + 3 ) n = 2 n = 2 2 µ n (A) Η τελευταία ισότητα είναι σωστή αφού, A = οπότε µ n (A) = /2 n ) n

56 46 Συγκέντρωση του µέτρου σε χώρους γινόµενα Εστω τώρα ότι A 2 Στην περίπτωση που n = αναγκαστικά A = E 2 = {, } Εποµένως για κάθε x E 2 x A Φ A(x) = 0 Άρα, E(e Φ2 A (x)/8 ) = E(e 0 ) = = µ (A), αφού µ (A) = A /2 = 2/2 = ηλαδή το Ϲητούµενο ισχύει σαν ισότητα Για το επαγωγικό ϐήµα ϑεωρούµε A E n+ 2 µε A 2 Χωρίς περιορισµό της γενικότητας υποθέτουµε ότι όπου A = (A {}) (A { }) A = {x E n 2 : (x, ) A} και A = {x E n 2 : (x, ) A} Επίσης µπορούµε να υποθέσουµε ότι A, A µη κενά και ότι A A Θα χρειαστούµε δύο λήµµατα Λήµµα 32 Για κάθε x E n 2, ισχύει Φ A ((x, )) Φ A (x) Απόδειξη : Εστω y conv(a ) τέτοιο ώστε Φ A (x) = x y 2 Εχουµε ότι y = n t ix i όπου t i 0 µε n t i = και x i A Τότε (x i, ) A και n ( n t i (x i, ) = t i x i, n ) t i = (y, ) ηλαδή δείξαµε ότι (y, ) conv(a) Αφού x y 2 = (x, ) (y, ) 2 παίρνουµε ότι Φ A ((x, )) = min{ (x, ) (y, ) 2 : (y, ) conv(a), A E n+ 2 } (x, ) (y, ) 2 = x y 2 = Φ A (x), δηλαδή το Ϲητούµενο Λήµµα 33 Για κάθε x E n 2 και για κάθε 0 a, ισχύει Φ 2 A((x, )) 4a 2 + aφ 2 A (x) + ( a)φ 2 A (x)

57 3 Η ανισότητα του Talagrand 47 Απόδειξη : Εστω z i conv(a i ) µε i = ± Οπως και προηγουµένως δείχνουµε ότι (z i, i) conv(a) Αφού το conv(a) είναι κυρτό ισχύει z := a(z, ) + ( a)(z, ) = (az + ( a)z, 2a ) conv(a) Εχουµε ότι, (x, ) z 2 2 = (x az ( a)z, 2a) 2 2 = (x az ( a)z, 0) (0, 2a) 2 2 = x ax az + ax ( a)z a 2 = a(x z ) + ( a)(x z ) a 2 (a x z 2 + ( a) x z 2 ) 2 + 4a 2 a x z ( a) x z a 2 Η τελευταία ανισότητα ισχύει διότι, ϑέτοντας a = b (a + b = ) και x z 2 = x 0, x z 2 = y 0 αρκεί να δείξουµε ότι (ax 0 + by 0 ) 2 ax by 2 0 a 2 x b 2 y abx 0 y 0 ax by 2 0 2abx 0 y 0 ax 2 0( a) + by 2 0( b) 2a( a)x 0 y 0 a( a)x a( a)y 2 0 2a( a)x 0 y 0 a( a)(x y 2 0) Αν a = 0 ισχύει τετριµµένα, διαφορετικά αρκεί να δείξουµε ότι 2x 0 y 0 x y 2 0 (x 0 y 0 ) 2 0 που ισχύει Τώρα που τα z i conv(a i ) είναι τυχαία έχουµε Φ 2 A((x, )) (x, ) z 2 2 a x z ( a) x z a 2 aφ A (x) + ( a)φ A (x) + 4a 2, δηλαδή το Ϲητούµενο

58 48 Συγκέντρωση του µέτρου σε χώρους γινόµενα Επιστρέφουµε τώρα την απόδειξη του ϑεωρήµατος 33 Από τα λήµµατα 32 και 33 παίρνουµε ότι E(e Φ2 A (x)/8 ) = = = 2 n+ x E n+ 2 2 n+ x E n 2 2 n+ x E n 2 2 n+ x E n 2 e Φ2 A (x)/8 e Φ2 A ((x,))/8 + 2 n+ x E n 2 e Φ2 A (x)/8 + 2 n+ x E n 2 e Φ2 A (x)/8 + ea 2n+ Από την ανισότητα Hölder παίρνουµε ότι Θέτουµε και E(e Φ2 A (x)/8 ) e Φ2 A ((x, ))/8 e (aφ2 A (x)+( a)φ 2A (x)+4a2 )/8 2 /2 x E n 2 e Φ2 A (x)/8 2 n+ x E n 2 + ) a ( /2( 2 ea e Φ2 A (x)/8 2n+ x E n 2 x E n 2 e (aφ2 A (x)+( a)φ 2A (x))/8 e Φ2A (x)/8 ) a = 2 E(eΦ2 A (x)/8 ) + 2 ea2 /2 ( E(e Φ2 A (x)/8 ) ) a( E(e Φ 2A (x)/8 ) ) a u = E(e Φ2 A (x)/8 ), v = u = E(e Φ2A (x)/8 ), v = µ n (A ) µ n (A ) Από την επαγωγική υπόθεση έχουµε u v και u v Επίσης επειδή υποθέσαµε ότι A A ισχύει v v Αντικαθιστώντας στην προηγού- µενη ανισότητα παίρνουµε E(e Φ2 A (x)/8 ) 2 u + 2 ea2 /2 (u ) a (u ) a = 2 v 2 v + 2 ea2 /2 (v ) a (v ) a ( + ( e a2 /2 v ) a ) v Θέτουµε g(a) = 2 v ( + ( e a2 /2 v ) a ) v

59 3 Η ανισότητα του Talagrand 49 Θα ελαχιστοποιήσουµε τη συνάρτηση g(a) Παραγωγίζοντας παίρνουµε g (a) = ( 2 v e a2 /2 v ) a ( a + ln v ) v v Οπότε g (a) = 0 a = ln v v Εύκολα ελέγχει κανείς ότι στο παραπάνω a η g έχει ελάχιστο Επιλέγουµε a 0 = v v (τιµή κοντά στην ελάχιστη) Επειδή v v έχουµε ότι 0 a 0 Αντικαθιστώντας το a 0 παίρνουµε (3) E(e Φ2 A (x)/8 ) ( 2 v + e a2 0 /2 ( a 0 ) ) a 0 Θα χρειαστούµε και το ακόλουθο λήµµα Λήµµα 34 Για κάθε 0 a έχουµε (32) + e a2 /2 ( a) a 4 2 a Απόδειξη : Η (32) µε απλές πράξεις γράφεται ισοδύναµα g(a) = ln(2 + a) ln(2 a) a 2 /2 (a ) ln( a) 0 Παραγωγίζοντας ϐλέπουµε ότι g > 0 και g (0) = 0 Άρα η g αύξουσα στο [0, ] και επειδή g(0) = 0 έπεται το Ϲητούµενο Οµως, Τώρα από το λήµµα 34 και τη σχέση (3) παίρνουµε Εποµένως, E(e Φ2 A (x)/8 ) v 2 = 4 2 a 0 = 2 /v + /v = µ n+ (A i {i}) = A i {i} 2 n+ = 2 E(e Φ2 A (x)/8 ) = 2v + v /v 2 µ n (A ) + µ n (A ) A i 2 n = 2 µ n(a i ) 2 2µ n+ (A {}) + 2µ n+ (A { }) µ n+ ((A {}) (A { })) µ n+ (A) Αυτό ολοκληρώνει το επαγωγικό ϐήµα και την απόδειξη του ϑεωρήµατος 33

60 50 Συγκέντρωση του µέτρου σε χώρους γινόµενα

61 Κεφάλαιο 4 Αθροίσµατα ανεξάρτητων τυχαίων µεταβλητών Σε αυτό το κεφάλαιο ϑα ασχοληθούµε µε ανισότητες για αθροίσµατα ανεξάρτητων τυχαίων µεταβλητών Σκοπός µας είναι να πετύχουµε άνω ϕράγ- µατα για την πιθανότητα απόκλισης από την µέση τιµή ηλαδή, ανισότητες για την πιθανότητα (4) P( S n E(S n ) t) όπου S n = X + + X n και οι X i είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές για κάθε i =,, n Παρατήρηση : Αν X,, X n ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές τότε και E(X X n ) = E(X ) E(X n ) Var(X + + X n ) = Var(X ) + + Var(X n ) Από την ανεξαρτησία και την ανισότητα Chebyshev µπορούµε να πάρουµε ένα πρώτο άνω ϕράγµα για την (4) P( S n E(S n ) t) Var(S n n) = Var(X i) t 2 t 2 Αν ϑέσουµε σ 2 := n n Var(X i ) (το σ 2 είναι η διασπορά της τυχαίας µεταβλητής S n ) παίρνουµε ( n ( n ) ) P X i E X i t nσ2 t 2

62 52 Αθροίσµατα ανεξάρτητων τυχαίων µεταβλητών και κάνοντας την αλλαγή µεταβλητής ϑέτοντας tn όπου t, προκύπτει ότι ( n ) (42) P (X n i EX i ) t σ2 nt 2 Το ερώτηµα που τίθεται είναι αν µπορούµε να περιµένουµε καλύτερα άνω ϕράγµατα από αυτό της (42) Μια απάντηση δίνεται από το κεντρικό οριακό ϑεώρηµα το οποίο υπό κάποιες ισχυρές προϋποθέσεις µας δίνει ότι ( ( n P σ n n ) ) (X i EX i ) y 2 2π y e y /2 Για να συγκρίνουµε µε την (42) κάνουµε την αλλαγή µεταβλητής ϑέτοντας t n/y όπου t και παίρνουµε ότι ( n ) P (X n i EX i ) t e nt2 /2σ 2 το οποίο είναι καλύτερο άνω ϕράγµα από αυτό της ανισότητας (42) Στη συνέχεια αυτού του κεφαλαίου ϑα δούµε ανισότητες που δίνουν καλύτερα άνω ϕράγµατα από αυτό της ανισότητας Chebyshev