ΤΜΗΜΑΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ Μαθηματικά για Οικονομολόγους II-Μάθημα 3 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ

Transcript

1 ΤΜΗΜΑΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ Μαθηματικά για Οικονομολόγους II-Μάθημα 3 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ

2 ΣτόχοιτουΜαθήματος Μελέτη της Θεωρίας και κατανόηση της έννοιας της ορίζουσας. Εφαρμογές σε οικονομικά προβλήματα και συσχέτιση των μαθηματικών με την οικονομική θεωρία αλλά και με μαθήματα που θα χρησιμοποιήσουν την συγκεκριμένη έννοια(π.χ οικονομετρία).

3 ΈννοιαΟρίζουσαςΙ(Περίπτωση2x2 πίνακα Στην περίπτωση του υπολογισμού του αντίστροφου a b ενός πίνακα Α A = εισαγάγαμε τον τύπο: A 1 1 d -b ad bc -c a = Η ποσότητα ad bc c d ονομάζεται ορίζουσα του πίνακα Ακαιαποτελείμιααπότιςβασικέςέννοιεςγιατον υπολογισμό πινάκων καθώς και για την λύση γραμμικών συστημάτων όπως θα παρατηρήσουμε και στην συνέχεια.

4 ΈννοιαΟρίζουσαςσεπίνακα2x2 Έστω A a a a a = M ( F) ΗορίζουσατουΑείναιοαριθμός Για παράδειγμα, 2 1 A= det( A) = 2*4 ( 1)3= Στη συνέχεια θα ορίσουμε την ορίζουσα mxn πίνακα και για το σκοπό αυτό χρειαζόμαστε την έννοια της απεικόνισης. 2 A= det A= aa aa

5 ΣΗΜΕΙΩΣΗ Όπως έχουμε καθιερώσει σε προηγούμενα κεφάλαια, με FπαριστάνουμεένααπότασύνολαR καιc. A MF ( ) n Επίσης με στοιχείααπότοf. το σύνολο των nxn πινάκων με Ο συμβολισμός που θα επικρατήσει για λόγους χρηστικότητας θα είναι A M n

6 ΈννοιαΟρίζουσαςΙΙ Ορίζουσα είναι μία απεικόνιση η οποία ικανοποιεί τις εξής ιδιότητες: 1. Εάνδύογραμμέςτουπίνακαταυτίζονταιτότεη ορίζουσα του είναι μηδέν. 2. Η ορίζουσα του μοναδιαίου πίνακα είναι Εάν det: M ( F) F: A det A a1 a1 a ai = λ x+ µ y deta= det = λ det + µ det a i x y an an an n

7 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ Ας θεωρήσουµε 2 διανύσµατα x1 y1 x=, y= x y 2 2 E 1 ( )( ) 1 1 Axy = xx+ yy yx+ y x x y xx yy Ε x 1 = det( A ) 2 Ζ y A B Γ

8 ΈννοιαΟρίζουσαςΙΙI H ΟρίζουσαενόςπίνακαΑσυμβολίζεταιως A= det( A) Για κάθε τετραγωνικό πίνακα υπάρχει μια μοναδική απεικόνιση όπου ισχύει ότι: ij n i= 1 ( ) i+ j a ( A) det( A) = 1 ij det ij, j=1,2,...,n A (n-1)x(n-1) ΕΛΑΣΣΟΝΑ ΟΡΙΖΟΥΣΑ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΚΑΤΑ LAPLACE

9 Ελάσσων Ορίζουσα Να υπολογιστούν οι ελάσσων ορίζουσες των παρακάτω πινάκων: a a a a a A = B = G = a a a ,, a 21 a a31 a32 a 33 Τι σηµαίνει ο συµπαράγοντας (cofactor) C ij = 1 A, j=1,2,...,n ( ) i+ j ij

10 Ι ΙΑΖΟΥΣΕΣΚΑΙΜΗΙ ΙΑΖΟΥΣΕΣΜΗΤΡΕΣ- ΠΙΝΑΚΕΣ Συνδέοντας σε αυτήν την περίπτωση τις ορίζουσες µε τους πίνακες θα πρέπει να ορίσουµε τα εξής: Ένας πίνακας θα καλείται ιδιάζων (singular) εάν η ορίζουσα του ισούται µε το µηδέν και µη ιδιάζων εάν ισχύει το αντίστροφο.

11 ΠΡΟΣΑΡΤΗΜΕΝΟΣΠΙΝΑΚΑΣ- ΑΛΓΕΒΡΙΚΟΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ Έστωπίνακας. Γιακάθε(i,j) πουπαίρνουντιμέςαπό1 έωςn συμβολίζουμε με Aij τον(n-1)x (n-1) πίνακα που προκύπτειαπότοναανδιαγράψουμετηνi γραμμήκαι j στήλη. Ο προσαρτημένοςπίνακαςτουαείναιο adja είναιοnxn πίνακαςπουστηθέσητου(i,j)έχειτο στοιχείο + ( 1) i j Η ποσότητα A M n i+ j ( 1) det( ) A ij ονομάζεται αλγεβρικό συμπλήρωμα του Α και συμβολίζεται συνήθως με cij- Cij. Ποια τα αλγεβρικά συμπληρώματα της 2x2 μήτρας;

12 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να υπολογιστεί ο προσαρτημένος πίνακας του πίνακα Α A= adja= Έχουμε ότι Ποια τα αλγεβρικά συμπληρώματα ενός 3x3 πίνακα;

13 ΠΑΡ ΕΙΓΜΑ Η αγορά τσαγιού και καφέ περιγράφονται από τις παρακάτω συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς. Μπορείτε να υπολογίσετε το αντίστοιχο σηµείο ισορροπίας; D = 100 5P+ 3 P, S = 10+ 2P t t c t t D = 120 8P + 2 P, S = 20+ 5P c c t c c

14 ΠΡΟΤΑΣΗ(Τριγωνικός Πίνακας) Γιακάθετριγωνικόπίνακαάνωήκαικάτω ισχύει ότιηορίζουσατουςισούταιμετοάθροισματων διαγώνιων στοιχείων του. det A= a11a a nn Η ορίζουσα διαγωνίου πίνακα ισούται με το γινόμενο των διαγώνιων στοιχείων του.

15 Θεώρημα (ανάπτυγμα ορίζουσας ως προς μια γραμμή ή στήλη) Εάν A= ( a ij ) είναι ένας nxn πίνακας και i,j τότε με Αij συμβολίζουμε τον(n-1)x(n-1) πίνακα που προκύπτει από τον Α εάν διαγράψουμε την i γραμμή και την j στήλη. det A= ( 1) a det A+ ( 1) a det A ( 1) a det A i+ 1 i+ 2 in + i1 i1 i2 i2 in in det A= ( 1) a det A+ ( 1) a det A ( 1) a det A j+ 1 j+ 2 j+ n 1j 1j 2j 2j nj nj

16 ΣΗΜΕΙΩΣΗ Η πρώτη από τις δυο προηγούμενες ταυτότητες λέγεταιτοανάπτυγματηςορίζουσαςτουαωςπρος την i γραμμή. Παρατηρούμε ότι τα στοιχεία που εμφανίζονται στο δεξιόμέλοςείναιταστοιχείατηςi γραμμής. Όμοιαη δεύτερη ταυτότητα λέγεται το ανάπτυγμα της ορίζουσαςωςπροςτηj στήλη.

17 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να υπολογιστεί η ορίζουσα του παρακάτω πίνακα: B= Ο γραµοισοδύναµος πίνακας µας δίνει την ίδια τιµή ορίζουσας?

18 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έστω ο πίνακας Θα έχουμε ότι: c = ( 1) det( A ) = a i+ j c = ( 1) det( A ) = a a a = a21 a22 Νακάνετετοίδιογιατονπίνακα a a a B a a a a a a = A

19 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΑνοπίνακαςΑέχειμιαμηδενικήγραμμή, τότεdetα=0. ΑνοπίνακαςΑέχειδυογραμμέςανάλογες, τότεdetα=0. ΑνοπίνακαςΑείναιάνωτριγωνικός(ήκάτωτριγωνικός), τότεη ορίζουσατουαείναιτογινόμενοτωνδιαγωνίωνστοιχείων. Ιδιαίτερα η ορίζουσα του μοναδιαίου πίνακα είναι ίση με 1. n det( A) = (det A) λ λ Εάν προσθέσουμε στα στοιχεία μιας γραμμής ενός πίνακα Α το πολλ/σιο στοιχείων μιας άλλης γραμμής τότε η ορίζουσα δεν αλλάζει. Εάν ένας πίνακας προκύπτει με εναλλαγή γραμμών από άλλον πίνακα τότε η ορίζουσα του αλλάζει πρόσημο. Για κάθε άνω ή κάτω τριγωνικό ισχύει (Καλό θα ήταν να κάνατε τις αποδείξεις) det( A) = a11a a nn

20 ΠΡΟΤΑΣΗ πίνακα Α Μ 1.det( A ) = det t A n Προσοχή για κάθε πίνακα Α οι προτάσεις και οι τύποι που αναφέρονται στις γραµµές της ορίζουσάς του ισχύουν και για τις στήλες του πίνακα Α. k 2.det( A ) = (det A) 3.det( AB) = (det A)(det B) k 4.det A = det A

21 Θεώρημα (κριτήριοαντιστρέψιμου πίνακα) Ένας πίνακας A M n είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο εάν η ορίζουσα του είναι διαφορετική του μηδενός Παράδειγμα B= 2 4 1, D=

22 A ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣΠΙΝΑΚΑΣ Ένας πίνακας Α θα καλείται αντιστρέψιμος να και μόνο εάν η ορίζουσα του είναι διαφορετική του μηδενός. Εάν υπάρχει ο αντίστροφος πίνακας του Α τότε: 1 c 1 1 = adja= deta deta n k= 1 c n1 c M 1n K c O M L p+ w ( 1) a det( A ) = 0, q p qw pw AadjA = adja A= deta I c nn Η εύρεση του αντίστροφου πίνακα µπορεί να γίνει και µε την µέθοδο Gauss-Jordan 1 [ A/ I]... I / A = =

23 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣΙ 1. Να υπολογιστεί ο αντίστροφος(εάν υπάρχει του παρακάτω πίνακα) B= Να υπολογιστούν οι παρακάτω ορίζουσες 1+ a b c d a b 2c 1 1 b c d 1 a A= 1 b a c 2 c, B, Z = =, 1 b c 1 d 0 1 a 0 1 2b c a b + 1 b c d a

24 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣΙΙ Μια επιχείρηση παράγει δύο εκροές τις y1,y2 χρησιμοποιώντας δύο εισροές τις x1,x2. Πως θα συμβολίζεται την ποσότητα της i εισροής που απαιτείται γιατηνπαραγωγή1 μονάδαςj;εάνοπίνακαςεισροών εκροών δίνεται ως 3 1 και υποθέσουμε ότι η A= 2 5 επιχείρηση παράγει 20 και 15 μονάδες αντίστοιχα ποια τα επίπεδα εισροών; Εάν τώρα γνωρίζουμε τα επίπεδα εισροώνότιείναι30 και25 μονάδεςαντίστοιχαποιατα επίπεδα εκροών;

25 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΑΡΤΗΣΗ I Από το Λύκειο είναι γνωστή η έννοια των διανυσµάτων και των πράξεων µεταξύ αυτών. Μάλιστα γνωρίζουµε ότι n ο χώρος R είναι διανυσµατικός χώρος. ύο βασικές έννοιες που θα πρέπει να γνωρίζουµε είναι οι παρακάτω: n 1. Το διάνυσµα x= au καλείται 1 1+ au au = n n au i i i= 1 γραµµικός συνδυασµός των διανυσµάτων u1 = u11, u12,..., u1, u2 = u21, u22,..., u2,..., u = u 1, u 2,..., u µε συντελεστές ( ) ( ) ( ) n n n n n nn a1, a2,..., an x au J στοιχείο 1 1 au = au j j n nj Εάν α=ο x=0 Το αντίστροφο;

26 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΑΡΤΗΣΗ ΙI Τα διανύσµατα u = u, u,..., u, u = u, u,..., u,..., u = u, u,..., u ( ) ( ) ( ) n n n n1 n2 nn θα καλούνται γραµµικώς εξαρτηµένα εάν υπάρχουν πραγµατικοί αριθµοί k k k = i i = i= 1 au au au au a1, a 2,..., ak ώστε: ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ (εάν η παραπάνω σχέση ισχύει µόνο για..) a1 = a 2 =... = a k = 0

27 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΑΡΤΗΣΗ ΙI-Ι ΙΟΤΗΤΕΣ 1. Εάν τα διανύσµατα u είναι γραµµικώς 1, u2,..., un εξαρτηµένα τότε τουλάχιστον ένα από αυτά µπορεί να γραφεί ως γραµµικός συνδυασµός των υπολοίπων και αντίστροφα. 2. Εάν ν διανύσµατα u1, u2,..., un είναι γραµµικώς εξαρτηµένα τότε και τα κ διανύσµατα θα είναι γραµµικώς εξαρτηµέναu1, u2,..., un,..., ut,..., uk 3. Εάν ένα από τα ν διανύσµατα είναι το µηδενικό τότε τα διανύσµατα είναι γραµµικώς εξαρτηµένα.

28 ΟΡΙΣΜΟΙ ιάσταση ενός διανυσµατικού χώρου R λέγεται ο µέγιστος αριθµός γραµµικών ανεξάρτητων διανυσµάτων του R. Η διάσταση του χώρου καλείται και βαθµός (rank). Το σύνολο των διανυσµάτων{ u } 1, u2,..., un λέγεται βάση ενός διανυσµατικού χώρου όταν τα διανύσµατα 1 2 είναι γραµµικώς ανεξάρτητα και κάθε στοιχείο του χώρου µπορεί να γραφεί ως γραµµικός συνδυασµός των u 1, u 2,..., un u, u,..., u n

29 ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ & ΑΛΛΑ Ι Το µήκος ενός διανύσµατος (norm) ουσιαστικά παριστάνει απόσταση (π.χ Ευκλείδιες αποστάσης) αλλά για ένα διανυσµατικό χώρο είναι µια πραγµατική συνάρτηση: w:a R: 1.w(x) 0, x A 2.w(ax)=aw(x), x Aa, R 3.w(x+y) w(x)+w(y), x, y A Τι είναι ο µετρικός χώρος;

30 ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ & ΑΛΛΑ ΙΙ Εσωτερικό γινόµενο: εάν x= x, x,..., x, y= y, y,..., y A ( ) ( ) 1 2 n 1 2 n τότε x y xy i= Ι ΙΟΤΗΤΕΣ 1 n = i i 1. x y= y x 2. ax y= a x y ( ) ( ) 3.( x+ y) z= x z+ y z 4. x y 0 5. x x= x x= 0 6. θ = τοξσυν x y x y

31 ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ & ΑΛΛΑ ΙΙΙ Εξωτερικό γινόµενο:το γινόµενο ενός διανύσµατος στήλης µε ένα διάνυσµα γραµµής που καταλήγει σε µια τετραγωνική µήτρα. εάν y1 y ( ) 2 x= x1, x2,..., xn, y= A.. yx 1 1 yx 1 2 yx 1 3 yx 1 n yn yx 2 1 yx 2 2 yx 2 3 yx 2 n yx= yx yx yx yx n 1 n 2 n 3 n n

32 ΒΑΘΜΟΣ ΠΙΝΑΚΑ Βαθµός ενός πίνακα Α καλείται ο µέγιστος αριθµός των γραµµικώς ανεξαρτήτων γραµµών ή στηλών του (r(a)). Θεώρηµα: Ο βαθµός προσδιορίζεται από την τάξη της µεγαλύτερης µη µηδενικής ορίζουσας. 1. r I = ni, M Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ( ) t t t 2. r( A) = r( A ) = r( AA) = r( AA ) 3. r( A+ B) max r( A), r( B) { } 4. r( AB) max r( A), r( B) { } 5. r( A) = tr( A), A ταυτοδύναµη 6. Α διαγώνια r(a)=? n

33 ΑΣΚΗΣΗ Μια κλειστή οικονοµία περιγράφεται από ένα σύστηµα εξισώσεων που δίνουν τις συνθήκες ισορροπίας στις αγορές αγαθών και χρήµατος, τις σχέσεις IS και LM.Η αγορά χρήµατος LM και η αγορά αγαθών περιγράφονται από τις σχέσεις (C η δαπάνη του καταναλωτή,t τα φορολογικά έσοδα,y το συνολικό προϊόν,i οι επενδυτικές δαπάνες,r το επιτόκιο,g οι δηµόσιες δαπάνες,l η ζήτηση χρήµατος,m η σταθερή προσφορά χρήµατος: C= ( Y T) T= Y I = 65 R G= 94 L= 5Y 50R M = 1500 hint Y = C+ I+ G M = L

34 Τιναδιαβάσω Κεφάλαιο 6 Ξεπαπαδέα-Κεφάλαιο 5 από Chiang Σημειώσεις από το Ασκήσεις φροντιστηρίου.