Καµπύλες που γεµίζουν τον χώρο

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Καµπύλες που γεµίζουν τον χώρο"

Transcript

1 Καµπύλες που γεµίζουν τον χώρο ήµητρα ιαµαντοπούλου και ήµητρα Πιλίτσου Περίληψη Περιγράφουµε δύο κλασσικές συνεχείς, 1-1 και επί συναρτήσεις f : [0, 1] [0, 1] : την καµπύλη του Peano και την καµπύλη του Lebesgue. Στη συνέχεια περιγράφουµε την απόδειξη του ϑεωρήµατος των Hahn και Mazurkiewicz: Ενα υποσύνολο A του R n είναι εικόνα µιας συνεχούς απεικόνισης f : [0, 1] R n αν και µόνον αν είναι συµπαγές, συνεκτικό και ασθενώς τοπικά συνεκτικό. 1 Εισαγωγή Ενα από τα σηµαντικότερα αποτελέσµατα στην ιστορία των µαθηµατικών, που δηµοσιεύτηκε το 1878 από τον G. Cantor ( ), ήταν ότι κάθε δύο πεπερασµένης διάστασης λείες πολλαπλότητες 1 έχουν, ως σύνολα, τον ίδιο πληθάριθµο. Πιο συγκεκριµένα, έδειξε ότι µπορεί να οριστεί µια 1-1 και επί συνάρτηση f : R R την οποία και κατέγραψε. Αυτό το αποτέλεσµα γέννησε πολλά ερωτήµατα : Είναι δυνατόν να ϐρεθεί µια 1-1 και επί συνάρτηση f : [0, 1] [0, 1] η οποία να είναι και συνεχής ; Την απάντηση την έδωσε ο E. Netto ( ) το 1879, αποδεικνύοντας πως µια τέτοια συνάρτηση είναι πάντα µη συνεχής. Αν µειώσουµε τις απαιτήσεις µας αφαιρώντας την υπόθεση ότι η f είναι 1-1 τότε είναι δυνατό να ϐρούµε µια f : R R ή ισοδύναµα f : [0, 1] [0, 1] επί και συνεχή ; Ο µαθηµατικός G. Peano κατασκεύασε το 1890 µια τέτοια συνάρτηση. Σήµερα, απεικονίσεις µε τις παραπάνω ιδιότητες ονοµάζονται καµπύλες που γεµίζουν το χώρο ή καµπύλες Peano. Άλλα παραδείγµατα τέτοιων απεικονίσεων δόθηκαν από τους D. Hilbert (1891), E. H. Moore (1900), H. Lebesgue (1904), W. Sierpiński (191), G. Pólya (1913) και άλλους. Με το [0, 1] να αποτελεί συνεχή εικόνα του [0, 1] προέκυψε το Ϲήτηµα κάτω από ποιές προϋποθέσεις ένα υποσύνολο του R n είναι συνεχής εικόνα ενός διαστήµατος του R. Το 1908, ο A. Schoenflies ϐρήκε ένα κριτήριο, το οποίο µπορούσε να εφαρµοστεί µόνο στην περίπτωση του R. Η περαιτέρω µελέτη αυτού του ερωτήµατος οδήγησε στην τοπολογική έννοια της τοπικής συνεκτικότητας, και το 1913 οι H. Hann και S. Mazurkiewicz έδωσαν πλήρη απάντηση, ο ένας ανεξάρτητα από τον άλλον : ένα σύνολο είναι συνεχής εικόνα ενός ευθύγραµµου τµήµατος αν και µόνο αν είναι συµπαγές, συνεκτικό και τοπικά συνεκτικό. Μάλιστα, το κριτήριο αυτό δεν περιορίζεται στα υποσύνολα του R n, αλλά ισχύει γενικότερα για κάθε χώρο Hausdorff. 1 Λείες πολλαπλότητες ονοµάζουµε τους χώρους που µοιάζουν τοπικά µε κάποιον Ευκλείδειο χώρο R n. 1

2 Εµείς ϑα µελετήσουµε την καµπύλη του Peano για την ιστορική της σηµασία, καθώς και ένα αντίστοιχο παράδειγµα καµπύλης, αυτό του Lebesgue, που σχετίζεται άρρηκτα µε την απόδειξη του ϑεωρήµατος των Hann-Mazurkiewicz. Στο δεύτερο µέρος της εργασίας δίνουµε την απόδειξη του ϑεωρήµατος των Hann-Mazurkiewicz. Καµπύλες που γεµίζουν το χώρο.1 Η καµπύλη του Peano Ο Peano όρισε µια απεικόνιση f p : [0, 1] [0, 1] χρησιµοποιώντας τον τελεστή kt j :== t j, t j = 0, 1,, ως εξήσ: (1) f p (0 3 t 1 t t 3 t 4...) = (0 3 t 1 (k t t 3 )(k t +t 4 t 5 )..., 0 3 (k t 1 t )(k t 1+t 3 t 4...), όπου k ν = k k k, ν-ϕορές. Αποδεικνύεται ότι η απεικόνιση αυτή είναι καλώς ορισµένη, επί και συνεχής. Θα ακολουθήσει µια εναλλακτική περιγραφή της καµπύλης, όπου και ϑα αποδειχτούν οι παραπάνω ιδιότητες. Παρόλο που ο Peano ήταν αυτός που ανακάλυψε την πρώτη καµπύλη που γεµίζει το χώρο, ο µαθηµατικός D. Hilbert ( ) ήταν ο πρώτος που διαπίστωσε το 1891 την ύπαρξη µιας γενικής γεωµετρικής διαδικασίας που επιτρέπει την κατασκευή µιας ολόκληρης οικογένειας καµπυλών που γεµίζουν το χώρο. Η διαδικασία αυτή ϐασιζόταν στον εξής συλλογισµό : αν είναι εφικτό να ϐρεθεί συνεχής και επί απεικόνιση από το διάστηµα [0, 1] στο [0, 1], τότε - χωρίζοντας το [0, 1] σε 4 ίσα υποδιαστήµατα και το [0, 1] σε 4 ίσα τετράγωνα - κάθε ένα από αυτά τα υποδιαστήµατα απεικονίζεται συνεχώς και επί σε ένα από τα υποτετράγωνα. Επαναλαµβάνοντας τη διαδικασία επ άπειρον, τα [0, 1] και [0, 1] χωρίζονται σε n ίσα διαστήµατα και τετράγωνα αντίστοιχα. Ο D. Hilbert υπέδειξε πως τα υποτετράγωνα µπορούν να διευθετηθούν µε τέτοιο τρόπο ώστε : (α) διαδοχικά διαστήµατα να απεικονίζονται σε γειτονικά τετράγωνα µε µία πλευρά κοινή, και (ϐ) οι σχέσεις εγκλεισµού να διατηρούνται (δηλαδή, αν ένα διάστηµα αντιστοιχεί σε ένα τετράγωνο τότε τα υποδιαστήµατα του πρώτου αντιστοιχούν στα υποτετράγωνα του δεύτερου).

3 Σχήµα 1: Καµπύλη του Hilbert Αυτό υποδηλώνει πως και άλλες καµπύλες που γεµίζουν το χώρο µπορούν να προκύψουν από την ίδια γενική διαδικασία, δεδοµένου ότι ένα επίπεδο σχήµα µπορεί να διαιρεθεί σε µια σειρά από αντίγραφα. Παρατήρηση.1. Γενικότερα, στις καµπύλες που γεµίζουν το χώρο δεν εξετάζουµε µόνο την περίπτωση όπου η εικόνα του [0, 1] είναι το [0, 1] αλλά και οποιοδήποτε υποσύνολο του R µε ϑετικό περιεχόµενο Jordan (δηλαδή, τρίγωνο, παραλληλόγραµµο κλπ). Ετσι λοιπόν, ενώ δεν έχουµε καµία ένδειξη γεωµετρικής ερµηνείας από τον Peano, ο Hilbert ϕαίνεται να εµπνεύστηκε την παραπάνω διαδικασία παρατηρώντας τα εξήσ: Σύµφωνα µε την (1) έχουµε ότι f p (0 3 00t 3 t 4 t 5...) = (0 3 0ξ ξ 3 ξ 4..., 0 3 0η η 3 η 4...), το οποίο σηµαίνει ότι το διάστηµα [0, 1/9] απεικονίζεται στο τετράγωνο 1 όπως ϕαίνεται στην παρακάτω εικόνα. Με τον ίδιο τρόπο, η f p (0 3 01t 3 t 4 t 5...) = (0 3 0ξ ξ 3ξ 4..., 0 3 1η η 3η 4...) δηλώνει ότι το διάστηµα [1/9, /9] απεικονίζεται [ ] στο τετράγωνο. Επαναλαµβάνοντας την ίδια j 1 διαδικασία ϐλέπουµε ότι το διάστηµα 9, j 9, j = 1,,..., 9 απεικονίζεται στο τετράγωνο j. Σχήµα : Η απεικόνιση του Peano 3

4 Ετσι λοιπόν, µπορούµε να πάρουµε την καµπύλη του Peano µε µια επαγωγική διαδικασία, όπου στο n-οστό ϐήµα χωρίζουµε το [0, 1] σε 3 n ίσα υποδιαστήµατα και τα απεικονίζουµε στα 3 n υποτετράγωνα µε την σειρά που υποδεικνύεται στο επόµενο σχήµα (για n = 1, και 3): Σχήµα 3: Γεωµετρική κατασκευή της καµπύλης του Peano Είναι εύκολο να δούµε ότι ικανοποιούνται οι απαιτήσεις (α) και (ϐ) της προηγούµενης γενικής µεθόδου. Ορίζεται έτσι µια ακολουθία συναρτήσεων f n : [0, 1] [0, 1], όπου κάθε f n είναι µια συνεχής συνάρτηση και καθώς προχωράµε «έρχονται ολοένα και πιο κοντά» (ϐλέπε παραπάνω f 1, f, f 3 ). Λήµµα.. Για κάθε n, m > N έχουµε sup f n (x) f m (x) < 9 min{n,m}. x [0,1] Ως εκ τούτου, η f n συγκλίνει οµοιόµορφα σε µια συνάρτηση f : [0, 1] [0, 1]. Απόδειξη. Χωρίς περιορισµό της γενικότητας µπορούµε να υποθέσουµε ότι n > m. Για να πάµε από την f m στην f n τροποποιούµε κατάλληλα την f m µέσα σε κάθε ένα από τα 3 m τετράγωνα. Σε κάθε τετράγωνο η απόσταση µεταξύ δύο σηµείων είναι το πολύ όσο και το µήκος της διαγωνίου, δηλαδή 9 m. Η f : [0, 1] [0, 1] που δίνεται από την f(x) = lim n f n (x) είναι η καµπύλη Peano. Η συνέχεια της f προκύπτει από την οµοιόµορφη σύγκλιση και το γεγονός ότι οι f n είναι συνεχείς συναρτήσεις, σύµφωνα µε το επόµενο ϑεώρηµα : Θεώρηµα.3. Εστω (f n ) ακολουθία συνεχών συναρτήσεων f n : [0, 1] [0, 1] n που συγκλίνει οµοιόµορφα στην f. Τότε, η f(x) = lim n f n (x) είναι συνεχής. Απόδειξη. Εστω x 0 [0, 1] και ε > 0. Θέλουµε να ϐρούµε δ > 0 τέτοιο ώστε : αν x x 0 < δ τότε f(x) f(x 0 ) < ε. 4

5 Αφού f n f οµοιόµορφα, υπάρχει ϕυσικός n 0 τέτοιος ώστε f n f < ε 3. Η f n 0 είναι συνεχής, άρα είναι συνεχής στο x 0. Συνεπώς, υπάρχει δ > 0 τέτοιο ώστε : αν x x 0 < δ τότε f n0 (x) f n0 (x 0 ) < ε 3. Τότε, για κάθε x (x 0 δ, x 0 + δ) έχουµε f(x) f(x 0 ) f(x) f n0 (x) + f n0 (x) f n0 (x 0 ) + f n0 (x 0 ) f(x 0 ) f f n0 + f n0 (x) f n0 (x 0 ) + f n0 f < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε. Συνεπώς, η f είναι συνεχής στο x 0. Τώρα, δείχνουµε ότι η f είναι επί: Απόδειξη. Παρατηρούµε ότι η n-οστή καµπύλη f n περνά µέσα από τα κέντρα όλων των 3 n τετραγώνων. Ως εκ τούτου, κάθε z = (x, y) [0, 1] απέχει από κάποιο σηµείο f n (u n ) στην εικόνα της f n, απόσταση µικρότερη από 3 n, δηλαδή z f n (u n ) 3 n. Περνώντας σε υπακολουθία µπορούµε να υποθέσουµε ότι κάποια u sn u [0, 1]. Από την οµοιόµορφη σύγκλιση έχουµε f(u) z f(u) f(u sn ) + f(u sn ) f sn (u sn ) + f sn (u sn ) z f(u) f(u sn ) + f f sn + f sn (u sn ) z f(u) f(u sn ) + 3 sn + 3 sn 0, λόγω της συνέχειας της f στο u. Συνεπώς, το z = (x, y) ανήκει στην κλειστή ϑήκη της εικόνας της f. Οπως ϑα δούµε και παρακάτω, η εικόνα συµπαγούς συνόλου µέσω µιας συνεχούς συνάρτησης είναι κλειστό σύνολο. Ετσι, τελικά, το (x, y) ανήκει στην εικόνα της f.. Η καµπύλη του Lebesgue Ο ορισµός της καµπύλης του Lebesgue ϐασίζεται στο σύνολο του Cantor, το οποίο είναι το σύνολο των x [0, 1] που έχουν τριαδικό ανάπτυγµα στο οποίο δεν εµφανίζεται το ψηφίο 1. Γεωµετρικά, το σύνολο του Cantor προκύπτει ως εξήσ: Ορίζουµε C 0 = [0, 1] και C 1 = [ 0, 1 3] [ 3, 1]. Συνεχίζουµε µε τον ίδιο τρόπο, δηλαδη χωρίζουµε κάθε διάστηµα του C 1 σε τρία ίσα υποδιαστήµατα και αφαιρούµε το ανοικτό µεσαίο διάστηµα. Επαναλαµβάνοντας αυτή τη διαδικασία, παίρνουµε µια ϕθίνουσα ακολουθία C n, n = 0, 1,,... κλειστών υποσυνόλων του [0, 1]. Κάθε C n είναι η ένωση n κλειστών ξένων διαστηµάτων µήκους 1/3 n. Το σύνολο C = n=1 C n ονοµάζεται σύνολο Cantor και είναι τέλειο σύνολο δηλαδή είναι κλειστό και 5

6 κάθε σηµείο του είναι σηµείο συσσώρευσης. Επιπλέον, είναι και συµπαγές ως κλειστό και ϕραγµένο υποσύνολο του R. Ο Lebesgue όρισε µια συνάρτηση l : C [0, 1] ως εξήσ: l(0 3 (a 1 )(a )(a 3 )...) = (0 a 1 a 3 a 5..., 0 a a 4 a 6...). Πρόταση.4. Η l είναι επί του [0, 1]. Απόδειξη. Εστω p [0, 1]. Τότε, οι συντεταγµένες του p µπορούν να εκφραστούν στο δυαδικό σύστηµα ως εξήσ: p = (0 a 1 a a 3..., 0 b 1 b b 3...). Αν ϑεωρήσουµε το t = 0 3 (a 1 )(b 1 )(a )(b )..., ϐλέπουµε ότι f(t) = p. Πρόταση.5. Η l είναι συνεχής. Απόδειξη. Θα δείξουµε ότι αν y x < 1 3 n+1 τότε () l(y) l(x) < Πράγµατι, αν y x < 1 3 n+1 τότε τα πρώτα n τριαδικά ψηφία των x, y ϑα είναι ίδια. Ετσι τα πρώτα n δυαδικά ψηφία των συντεταγµένων των l(x), l(y) ϑα είναι ίδια, άρα καταλήγουµε στο συµπέρασµα. n. Ο Lebesgue επέκτεινε αυτή τη συνάρτηση σε όλο το [0, 1] ϑέτοντας l(x) = l(x) αν x C, και l(x) = (l(b n ) l(a n )) x a n b n a n + l(a n ) αν x (a n, b n ) [0, 1]\C, όπου (a n, b n ) είναι τα ανοικτά διαστήµατα που αφαιρέθηκαν στην κατασκευή του συνόλου Cantor. Πρόταση.6. Η l είναι επί, καθώς η l είναι επί, και είναι συνεχής. Απόδειξη. Η l είναι συνεχής στα διαστήµατα (a n, b n ) αφού είναι γραµµική. Μένει να δείξουµε τη συνέχεια στα σηµεία του C. Καθώς το C είναι τέλειο σύνολο, υπάρχουν τρεις περιπτώσεισ: (i) Το x να είναι σηµείο συσσώρευσης από δεξιά. (ii) Το x να είναι σηµείο συσσώρευσης από αριστερά. (iii) Το x να είναι σηµείο συσσώρευσης και από τις δύο πλευρές. 6

7 Αρκεί να ασχοληθούµε µε την πρώτη περίπτωση. Εφόσον το x είναι σηµείο συσσώρευσης από δεξιά, ϑα είναι το δεξί άκρο κάποιου ανοικτού διαστήµατος (a n, b n ) που αφαιρέθηκε κατά την κατασκευή του C. Εχουµε εξασφαλίσει τη συνέχεια από τα αριστερά καθώς η l είναι γραµµική εκεί. Θεωρούµε 0 < δ < 1 3 n+1 και x < y µε y x < δ. Τότε : (α) Αν y C τότε σύµφωνα µε την (). l(y) l(x) = l(y) l(x) < n, (ϐ) Αν y [0, 1] \ C τότε y (a n, b n ) = (a, b) µε x < a < b < x + δ και τελικά l(y) l(x) = a (l(b) l(a))y + l(a) l(y) b a 1 ( l(b) l(y) (y a) + l(a) l(y) (b y)) b a < 1 b a Συνεπώς, η ell είναι συνεχής στο x. (y a + b y) = n n. Σχήµα 4: Οι τρείς πρώτες προσεγγίσεις της καµπύλης του Lebesgue 3 Το ϑεώρηµα Hahn-Mazurkiewicz Οπως αναφέρθηκε και στην εισαγωγή, µε το [0, 1] να αποτελεί συνεχή εικόνα του [0, 1] προέκυψε το ερώτηµα ποιές συνθήκες απαιτούνται προκειµένου ένα σύνολο να ϐρεθεί στη ϑέση του [0, 1]. Το 1908 ο µαθηµατικός A. Schoenflies διατύπωσε έναν χαρακτηρισµό για τέτοια σύνολα που αφορά όµως µόνο υποσύνολα του Ευκλείδειου επιπέδου. Οι H. Hahn και S. Mazurkiewicz το 1913, σε ανεξάρτητες µελέτες, κατέληξαν σε έναν ολοκληρωµένο χαρακτηρισµό για υποσύνολα του R n που µπορεί να επεκταθεί και σε γενικότερους χώρους. Αποτελούσε ουσιαστικά µια γενίκευση της κατασκευής της καµπύλης Lebesgue. Τα στοιχεία που έκαναν µια τέτοια κατασκευή εφικτή ήταν δύο. Πρώτον, το [0, 1] µπορεί να ϑεωρηθεί 7

8 ως συνεχής εικόνα του συνόλου Cantor και δεύτερον, είναι δυνατή η επέκταση αυτής της συνεχούς απεικόνισης από το C σε ολόκληρο το [0, 1]. Ο F. Hausdorff απέδειξε ότι κάθε συµπαγές σύνολο είναι συνεχής εικόνα του συνόλου Cantor. Οµως η συµπάγεια δεν καθιστά ένα σύνολο συνεχή εικόνα του [0, 1] καθώς δύο ακό- µα συνθήκες είναι αναγκαίες όπως ϑα δούµε : η συνεκτικότητα και η τοπική συνεκτικότητα (Hahn-Mazurkiewicz). Τέλος, ο Hahn, µε τη συµβολή της µαθήτριάς του Marie Torhorst, έδειξε πώς το παραπάνω αποτέλεσµα στον R, συγκεκριµένα, είναι ισοδύναµο µε τον χαρακτηρισµό του Schoenflies. Για να συνεχίσουµε, ϑα χρειαστούµε κάποιες ϐασικές έννοιες και ϑεωρήµατα. Ορισµός 3.1. Ενα A R n ονοµάζεται συµπαγές αν κάθε ανοικτή του κάλυψη, δηλαδή κάθε οικογένεια ανοικτών συνόλων (U j ) j J τέτοια ώστε A j J U j έχει µία πεπερασµένη υποκάλυψη {U j1, U j,..., U jk } µε A k i=1 U j i. Αποδεικνύεται ότι, ισοδύναµα, ένα A R n είναι συµπαγές αν κάθε ακολουθία (x n ) στο A έχει υπακολουθία (x kn ) που συγκλίνει σε κάποιο a A. Θεώρηµα 3.. Ενα A R n είναι συµπαγές αν και µόνο αν είναι κλειστό και ϕραγµένο (έπεται άµεσα από το Θεώρηµα των Bolzano-Weierstrass). Θεώρηµα 3.3. Αν η f : A R n είναι συνεχής και το A είναι συµπαγές υποσύνολο του R m τότε το f(a) είναι συµπαγές. Απόδειξη. Εστω (y n ) ακολουθία στο f(a). Για κάθε y n υπάρχει x n στο A: y n = f(x n ). Παίρνουµε έτσι ακολουθία (x n ) στο A και αφού το A είναι συµπαγές υπάρχει υπακολουθία (x kn ) που συγκλίνει σε κάποιο x 0 A. Η f είναι συνεχής, άρα από την αρχή της µεταφοράς y kn = f(x kn ) f(x 0 ) f(a). Η (y n ) έχει λοιπόν υπακολουθία που συγκλίνει σε σηµείο του f(a). Άρα, το f(a) είναι συµπαγές. Ορισµός 3.4. Ενα A R n ονοµάζεται συνεκτικό αν δεν υπάρχουν ανοικτά σύνολα U, V R n τέτοια ώστε : (i) U A και V A. (ii) (U A) (V A) = A. (iii) (U A) (V A) =. Ο ορισµός αναδιατυπώνεται ως εξήσ: ένα A R n είναι συνεκτικό αν και µόνο αν δεν υπάρχουν υποσύνολά του X και Y ανοικτά στο A, µε τις εξής ιδιότητεσ: A = X Y, X, Y και X Y =.(Αρκεί να ϑέσουµε X = U A και Y = V A). Θεώρηµα 3.5. Αν η f : A R n είναι συνεχής και το A είναι συνεκτικό υποσύνολο του R m τότε το f(a) είναι συνεκτικό. 8

9 Απόδειξη. Εστω ότι το f(a) δεν είναι συνεκτικό. Τότε υπάρχουν ανοικτά U, V R n τέτοια ώστε : U f(a), V f(a), (U f(a)) (V f(a)) = f(a) και (U f(a)) (V f(a)) =. Αφού όµως η f είναι συνεχής τότε τα σύνολα Q = f 1 (U), U = f 1 (V ) είναι ανοικτά υποσύνολα του A και έχουν τις ιδιότητεσ: A = X Y, X, Y και X Y =, δηλαδή το A είναι µη συνεκτικό µε ϐάση την αναδιατύπωση του ορισµού. Άτοπο από την υπόθεση. Θεώρηµα 3.6. Ενα A R είναι συνεκτικό αν και µόνο αν είναι διάστηµα. Απόδειξη. ( =) Εστω A διάστηµα το οποίο είναι µη συνεκτικό. Τότε υπάρχουν ανοικτά U, V R που ικανοποιούν τις σχέσεις U A, V A, (U A) (V A) = A και (U A) (V A) =. Χωρίς ϐλάβη της γενικότητας έστω a A U και b A V. Εφόσον το A είναι διάστηµα, για κάθε t [a, b] έχουµε ότι t A. Θέτουµε T = {t [a, b] : t A U}.Το T γιατί a T και είναι ϕραγµένο. Εστω t 0 = sup T [a, b]. Εστω ότι t 0 A V. Το V είναι ανοικτό σύνολο άρα υπάρχει δ > 0 τέτοιο ώστε (t 0 δ, t 0 ] A V. Από τον ορισµό του t 0 και από τον χαρακτηρισµό του supremum υπάρχει t A U, a t b τέτοιο ώστε t 0 δ < t t 0. Ετσι ϑα έχουµε ότι t (A U) (A V ) =. Άτοπο. Εστω ότι t 0 A U. Το U είναι ανοικτό και b > t 0, άρα υπάρχει δ > 0 τέτοιο ώστε [t 0, t 0 + δ) A U. Άτοπο, από τον ορισµό του t 0. Ετσι λοιπόν ϐρήκαµε a < t 0 < b µε t 0 / (A U) (A V ) = A. Άτοπο. (= ) Εστω A συνεκτικό υποσύνολο του R που δεν είναι διάστηµα. Τότε υπάρχουν a, b A και z / A µε a < z < b. Θεωρούµε τα σύνολα U = {x R : x < z} και V = {x R : x > z}. Παρατηρήστε ότι a U και b V. Τα U, V είναι ανοικτά και ισχύουν U A, V A, (U A) (V A) = A και (U A) (V A) =. Άτοπο. Μπορούµε τώρα να δώσουµε την απόδειξη του ϑεωρήµατος του Netto. Θεώρηµα 3.7 (Netto). Μια συνεχής και επί συνάρτηση f : [0, 1] [0, 1] δεν µπορεί να είναι 1 1. Απόδειξη. Εστω ότι η f είναι 1 1. Τότε ϑα υπάρχει η f 1 = g και ϑα είναι συνεχής (άρα η f είναι οµοιοµορφισµός): Εστω A ένα κλειστό υποσύνολο του [0, 1]. Εφόσον είναι ϕραγµένο, ϑα είναι συµπαγές. Εχουµε ότι f(a) = g 1 (A) και ότι κάθε συνεχής συνάρτηση στέλνει συµπαγή σύνολα σε συµπαγή σύνολα. Κάθε συµπαγές υποσύνολο του [0, 1] είναι κλειστό. Ετσι, η εικόνα κλειστού συνόλου µέσω της g 1 ϑα είναι κλειστό σύνολο και τελικά δουλεύοντας µε συµπληρώµατα, η εικόνα ανοικτού ϑα είναι ανοικτό σύνολο. Άρα η g είναι συνεχής. Ο οµοιοµορφισµός διατηρεί την συνεκτικότητα, όπως αποδείχτηκε παραπάνω. ιαλέγουµε ένα y [0, 1] τέτοιο ώστε f 1 (y) = x και x (0, 1). Τότε ο περιορισµός της f 1 από το [0, 1] \ {y} στο [0, x) (x, 1] είναι συνεχής και απεικονίζει συνεκτικό σύνολο σε µη συνεκτικό σύνολο. Άτοπο. Το ϑεώρηµα αυτό απεδείχθη το 197 από τον Hausdorff και το 198, ανεξάρτητα, από τον Alexandroff. 9

10 Θεώρηµα 3.8 (Hausdorff). Κάθε συµπαγές υποσύνολο του R n είναι συνεχής εικόνα του συνόλου Cantor. Απόδειξη. Εστω A R n συµπαγές και έστω η κάλυψή του που δίνεται από τις B(a, 1), a A. ηλαδή, ϑεωρούµε την κάλυψη A a A B(a, 1). Λόγω της συµπάγειας του A υπάρχει πεπερασµένη υποκάλυψη A n 1 i=1 B(a i, 1), όπου επαναλαµβάνουµε στοιχεία της κάλυψης αν είναι απαραίτητο ώστε το συνολικό του πλήθος να ϑεωρηθεί δύναµη του. Για κάθε i ϑεωρούµε το A i = B(a i, 1) A, όπου B(x, δ) είναι η κλειστή µπάλα µε κέντρο x και ακτίνα δ, και παίρνουµε την κάλυψη A i B(a, 1/). a B(a i,1) A Μπορούµε πάλι, να περάσουµε σε υποκαλύψεις A i n j=1 B(a i,j, 1/), όπου ο n είναι ανεξάρτητος από το i = 1,..., n 1. Θέτουµε A i,j = B(a i,j, 1/) B(a i, 1) A, και συνεχίζουµε αυτήν την διαδικασία, υποδιπλασιάζοντας την ακτίνα των µπαλών σε κάθε ϐήµα. Παρατηρούµε ότι για κάθε επιλογή δεικτών 1 k s ns, s 1, η ακολουθία A k1, A k1,k,..., A k1,k,...,k m,... είναι ϕθίνουσα. Αφού οι διάµετροι αυτών των συνόλων ϕθίνουν στο 0 έχουµε m=1 A k1,k,...,k m = {a} για κάποιο a A. Αφού κάθε σηµείο του A, για κάθε m 1, ανήκει σε κάποιο από τα σύνολα A k1,k,...,k m, όλα τα σηµεία του A προκύπτουν ως τοµές τέτοιων ϕθινουσών ακολουθιών. Μπορούµε να αντιστοιχίσουµε κάθε ακολουθία {a t } t=1 που έχει όρους 0 ή 1 σε µια ακολουθία αριθµών 1 k m nm ως εξήσ: για κάθε m ϑέτουµε k m = n m j=1 a j+n1 + +n m 1 j 1 10

11 {1,..., nm }. Με ϐάση αυτήν την αντιστοίχιση, και το προηγούµενο σχήµα καλύψεων, ορί- Ϲουµε f : C A ως εξήσ: f(0 3 (a 1 )(a )(a 3 )...) = το µοναδικό σηµείο του m=1 A k1,k,...,k m. Από την προηγούµενη παρατήρηση, η f είναι επί του A. Μπορούµε να δείξουµε ότι είναι και συνεχήσ: αν y x < 1 3 n+1 τότε τα πρώτα n ψηφία στα τριαδικά αναπτύγµατα των x και y συµπίπτουν. Θεωρούµε m τέτοιον ώστε n 1 + n + + n m n < n 1 + n + + n m + n m+1. Τότε, τα f(x) και f(y) ανήκουν και τα δύο στο A k1,k,...,k m, το οποίο έχει διάµετρο µικρότερη από m 1. Άρα, f(y) f(x) < 1 m. Άρα, για δοθέν ε > 0 επιλέγουµε πρώτα m τέτοιο 1 ώστε < ε m και κατόπιν n n 1 + n + + n m και ϑέτοντας δ = 1 3 n+1 εξασφαλίζουµε ότι αν x y < δ τότε f(y) f(x) < ε. Για την διατύπωση και την απόδειξη του ϑεωρήµατος Hahn-Mazurkiewicz ϑα χρειαστούµε διάφορες παραλλαγές της έννοιας της συνεκτικότητας. Ορισµός 3.9. Ενα A R n ονοµάζεται τοπικά συνεκτικό αν για κάθε a A και για κάθε ανοιχτή περιοχή U του a στο A, υπάρχει συνεκτική περιοχή V U του a. Ορισµός Εστω A R n. Ενα E A ονοµάζεται συνεκτική συνιστώσα του A αν είναι µη κενό µεγιστικό συνεκτικό υποσύνολο του A, δηλαδή αν για κάθε συνεκτικό σύνολο E 1 µε E E 1 A ισχύει E = E 1. Παρατηρήσεις (α) Κάθε συνεκτική συνιστώσα είναι κλειστό σύνολο (γιατί αν το E A είναι συνεκτικό τότε και το E είναι συνεκτικό). (ϐ) Αν το A είναι ανοικτό τότε οι συνεκτικές συνιστώσες του είναι ανοικτά σύνολα. Ορισµός 3.1. Ενα A R n ονοµάζεται ασθενώς τοπικά συνεκτικό αν για κάθε a A και για κάθε ανοιχτή περιοχή U A του a, υπάρχει ανοιχτή περιοχή V U του a τέτοια ώστε αν x V τότε τα x, a ανήκουν στην ίδια συνεκτική συνιστώσα του U. Ειδικότερα : για κάθε a A και για κάθε η > 0 υπάρχει 0 < ε < η τέτοιο ώστε αν x B(a, ε) τότε τα x, a ανήκουν στην ίδια συνεκτική συνιστώσα του A B(a, η). Λήµµα Ενα A R n είναι ασθενώς τοπικά συνεκτικό αν και µόνο αν είναι τοπικά συνεκτικό. Απόδειξη. ( =) Προφανές από ορισµό. (= ) Αρκεί να δείξουµε ότι οι συνεκτικές συνιστώσες όλων των ανοιχτών υποσυνόλων του A είναι ανοιχτά σύνολα. Εστω U A ανοικτό. Εστω C µια συνεκτική συνιστώσα του U, έστω c C και έστω U c U µια ανοιχτή περιοχή του c. Λόγω της ασθενούς τοπικής 11

12 συνεκτικότητας υπάρχει ανοιχτή περιοχή V c U c του c τέτοια ώστε αν x V c τότε τα c, x ανήκουν στην ίδια συνεκτική συνιστώσα του U c. Ειδικότερα, τα c, x ανήκουν στο C. Τότε V c C, δηλαδή το C είναι ανοιχτό. Τώρα µπορούµε να πάρουµε για V στον ορισµό τη συνεκτική συνιστώσα του U που περιέχει το a. Παρατήρηση Παρόλο που η ασθενής τοπική συνεκτικότητα είναι ισοδύναµη έννοια µε αυτήν της τοπικής συνεκτικότητας, η ασθενής τοπική συνεκτικότητα σε σηµείο δεν συνεπάγεται τοπική συνεκτικότητα στο σηµείο αυτό. Ορισµός Ενα A R n ονοµάζεται οµοιόµορφα ασθενώς τοπικά συνεκτικό αν για κάθε ε > 0 υπάρχει η (0, ε) τέτοιο ώστε αν a, a A και a a < η τότε τα a, a ανήκουν στην ίδια συνεκτική συνιστώσα του B(a, ε) B(a, ε) A. Λήµµα Αν το A R n είναι συµπαγές και ασθενώς τοπικά συνεκτικό τότε είναι οµοιό- µορφα ασθενώς τοπικά συνεκτικό. Απόδειξη. Εστω ότι το A δεν είναι οµοιόµορφα ασθενώς τοπικά συνεκτικό. Τότε υπάρχουν ε > 0, η s 0 και a s a s < η s τέτοια ώστε τα a s, a s να ανήκουν σε διαφορετικές συνιστώσες του B(a s, ε) B(a s, ε) A. Από συµπάγεια µπορούµε να υποθέσουµε ότι τα a s και a s συγκλίνουν σε κάποιο (απαραίτητα το ίδιο) σηµείο a. Από την ασθενή τοπική συνεκτικότητα στο a για την περιοχή B(a, ε) παίρνουµε 0 < η < ε τέτοιο ώστε αν x B(a, η) τότε τα x, a ανήκουν στην ίδια συνεκτική συνιστώσα του B(a, ε). Παίρνουµε s αρκετά µεγάλο ώστε η s < η και a a s < η, a a s < η. Τότε τα a s και a s ανήκουν στην ίδια συνεκτική συνιστώσα του B(a, η) και τελικά στην ίδια συνεκτική συνιστώσα του B(a s, ε) B(a s, ε) A. Άτοπο. Ορισµός Ενα A R n ονοµάζεται συνεκτικό κατά µονοπάτια αν για κάθε a, b A υπάρχει µια συνεχής απεικόνιση f : [0, 1] A τέτοια ώστε f(0) = a και f(1) = b (δηλαδή αν οποιαδήποτε δύο σηµεία του µπορούν να ενωθούν µε ένα συνεχές µονοπάτι του οποίου η εικόνα περιέχεται στο A). Ορισµός Ενα A R n ονοµάζεται οµοιόµορφα συνεκτικό κατά µονοπάτια αν για κάθε ε > 0 υπάρχει η (0, ε) τέτοιο ώστε αν a, a A και a a < η τότε υπάρχει συνεχής απεικόνιση f : [0, 1] B(a, ε) B(a, ε) A µε f(0) = a και f(1) = a. Ορισµός Ενα A R n ονοµάζεται τοπικά συνεκτικό κατά µονοπάτια αν για κάθε a A και για κάθε ανοικτή περιοχή U του a στο A υπάρχει περιοχή V U του a που είναι συνεκτικό κατά µονοπάτια σύνολο. Ορισµός 3.0. Ενα A R n ονοµάζεται οµοιόµορφα τοπικά συνεκτικό κατά µονοπάτια αν για κάθε ε > 0 υπάρχει η (0, ε) τέτοιο ώστε αν a, a A και a a < η τότε υπάρχει συνεχής f : [0, 1] B(a, ε) B(a, ε) µε f(0) = a και f(1) = a. 1

13 Λήµµα 3.1. (α) Αν ένα σύνολο είναι συνεκτικό και τοπικά συνεκτικό κατά µονοπάτια τότε είναι συνεκτικό κατά µονοπάτια. (ϐ) Αν ένα σύνολο είναι οµοιόµορφα τοπικά συνεκτικό κατά µονοπάτια τότε είναι και τοπικά συνεκτικό κατά µονοπάτια. Απόδειξη. Το (ϐ) είναι ϕανερό από τους ορισµούς. Για το (α) έστω a A και P a A το σύνολο όλων των σηµείων του A που µπορούν να ενωθούν µε το a µέσω ενός συνεχούς µονοπατιού. Το P a είναι ανοικτό λόγω της τοπικής συνεκτικότητας κατά µονοπάτια. Εχουµε ότι A = P ai. Τότε, το συµπλήρωµα του P a είναι ανοικτό σύνολο, άρα το P a κλειστό. Ενα κλειστό και ανοικτό σύνολο είναι συνεκτική συνιστώσα και εφόσον το A είναι συνεκτικό σύνολο ϑα έχουµε ότι P a = A. Μπορούµε τώρα να αποδείξουµε το ϑεώρηµα Hahn-Mazurkiewicz. Θεώρηµα 3. (Hahn-Mazurkiewicz). Ενα A R n είναι εικόνα µιας συνεχούς απεικόνισης f : [0, 1] R n αν και µόνον αν είναι συµπαγές, συνεκτικό και ασθενώς τοπικά συνεκτικό. Απόδειξη. (= ) Από το Θεώρηµα 3.3 και το Θεώρηµα 3.5 το A = f([0, 1]) είναι συµπαγές και συνεκτικό. Εστω ότι υπάρχει a A για το οποίο η συνθήκη της ασθενούς τοπικής συνεκτικότητας δεν ισχύει, δηλαδή υπάρχουν ε > 0 και η n > 0 µε η n 0 και a n B(a, η n ) A τέτοια ώστε τα a και a n να µην ανήκουν στην ίδια συνεκτική συνιστώσα του B(a, ε). Λόγω κατασκευής έχουµε ότι a n a. Εστω x n [0, 1] στοιχείο της αντίστροφης εικόνας του a n µέσω της f. Από την συµπάγεια του [0, 1] υπάρχει υπακολουθία (x kn ) της (x n ) τέτοια ώστε x kn x [0, 1] µε f(x) = a, από την αρχή της µεταφοράς. Από τη συνέχεια της f έχουµε ότι υπάρχει δ 0 τέτοιο ώστε x y < δ = f(x) f(y) < ε. Παίρνοντας N αρκετά µεγάλο ώστε x x kn < ε έχουµε ότι το ευθύγραµµο τµήµα [x, x kn ] (ή [x kn, x]) απεικονίζεται στο B(a, ε) A. ηλαδή, τα a, a kn ανήκουν στην ίδια συνεκτική συνιστώσα του B(a, ε) A. Άτοπο από την υπόθεση. ( =) Αφού το A είναι συµπαγές, εφαρµόζοντας το ϑεώρηµα του Hausdorff ϐρίσκουµε µια συνεχή συνάρτηση g : C A. Αφού το A είναι οµοιόµορφα συνεκτικό κατά µονοπάτια, µπορούµε να ϐρούµε ϕθίνουσα ακολουθία {η s } ϑετικών αριθµών ώστε : αν a a < η s τότε υπάρχει συνεχής καµπύλη που περιέχεται στο B(a, s ) B(a, s ) A. Από τη συνέχεια της g και τη συµπάγεια του C, υπάρχει ϕθίνουσα ακολουθία {δ s } ϑετικών αριθµών ώστε αν x, y C και x y < δ s τότε g(y) g(x) < η s. Αν (a k, b k ) είναι ένα από τα ανοικτά διαστήµατα του [0, 1] \ C τέτοιο ώστε δ s+1 b s a s < δ s, τότε µπορούµε να ϐρούµε συνεχή καµπύλη γ k : [a k, b k ] A που η εικόνα της περιέχεται στο B(g(a k ), s ) B(g(b k ), s ) A και συνδέει τα g(a k ) και g(b k ). Ορίζουµε f : [a, b] A ϑέτοντας f(x) = g(x) αν x C και f(x) = γ k (x) αν x (a k, b k ) [0, 1] \ C. 13

14 Η f είναι συνεχής στο [0, 1] \ C, και για τη συνέχεια στα σηµεία του C διακρίνουµε τρείς περιπτώσεισ: (i) Το x να είναι σηµείο συσσώρευσης του C από δεξιά. (ii) Το x να είναι σηµείο συσσώρευσης του C από αριστερά. (iii) Το x να είναι σηµείο συσσώρευσης του C και από τις δύο πλευρές. Αρκεί να ασχοληθούµε µε την πρώτη περίπτωση, και συγκεκριµένα τη συνέχεια από δεξιά : ϑεωρούµε δ µε 0 < δ < δ s και y > x µε y x < δ. Τότε, είτε y C ή y (a k, b k ) [0, 1]\C, και b k x < δ s. Αν y C τότε y x < δ s, άρα f(y) f(x) = g(y) g(x) η s. Αν y / C, τότε το y ανήκει στην εικόνα µιας καµπύλης που περιέχεται στην B(g(x), s ), άρα f(y) f(x) 1 s. Άρα, για δοθέν ε > 0 µπορούµε να επιλέξουµε s N τέτοιο ώστε min {η s, s } < ε και, επιλέγοντας δ = δ s ϐλέπουµε ότι αν y x < δ s τότε f(y) f(x) < ε. Αναφορές [1] A. P. M. Kupers, On space-filling curves and the Hahn-Mazurkiewicz theorem. [] H. Sagan, Space-filling curves, Universitext Series, Springer-Verlag,

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Φεβρουαρίου, 3 Θ. (α ) Εστω A, B µη κενά ϕραγµένα σύνολα πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν inf A

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

f(x) f(c) x 1 c x 2 c

f(x) f(c) x 1 c x 2 c Μαθηματικός Λογισμός Ι Φθινόπωρο 2014 Σημειώσεις 1-12-14 Μ. Ζαζάνης 1 Πραγματικές Συναρτήσεις και Ορια Εστω S R ένα υποσύνολο του R και f : S R μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το S και τιμές στους πραγματικούς

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 2015 Περιεχόµενα 1 Μέτρο Lebesgue 3 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue........................... 3

Διαβάστε περισσότερα

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/ A Π α ν ε π ι ς τ ή µ ι ο Α ι γ α ί ο υ Σ χ ο λ ή Θ ε τ ι κ ώ ν Ε π ι ς τ η µ ώ ν Τ µ ή µ α Μ α θ η µ α τ ι κ ώ ν Πτυχιακή εργασία Εκπονητής Χουσαΐνοβ Αλέξανδρος Α.Μ. 311/1997130 Σάµος, 2002 Τίτλος : Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Το ϑεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue στο R

Το ϑεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue στο R Το ϑεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue στο R Μαρία Μαστροθεοδώρου και Αγγελική Χαντζηθάνου Περίληψη Το κεντρικό αποτέλεσµα της εργασίας είναι ότι µια συνάρτηση f είναι απόλυτα συνεχής στο [, b] αν και µόνο

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

n = r J n,r J n,s = J

n = r J n,r J n,s = J Ανάλυση Fourer και Ολοκλήρωμα Lebesgue (2011 12) 4ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Υποδείξεις 1. Εστω E [a, b] με µ (E) = 0. Δείξτε ότι το [a, b] \ E είναι πυκνό υποσύνολο του [a, b]. Υπόδειξη. Θεωρήστε ένα μη κενό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2...

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Β.ΒΛΑΧΟΥ, Α. ΣΟΥΡΜΕΛΙΔΗΣ Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Πατρών Φθινόπωρο 2013 1 Θα θέλαμε να αναφέρουμε ότι για την συγγραφή αυτών των σημειώσεων χρησιμοποιήσαμε ιδιαίτερα α)το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 2 Ορια και συνέχεια συναρτήσεων 2.1 Πραγµατικές συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Εννοιες Σ αυτό το κεφάλαιο ϑα αναφερθούµε συνοπτικά σε ϐασικές έννοιες για σύνολα και απεικονίσεις. Επιπλέον, ϑα αναφερθούµε στη µέθοδο της επαγωγής, η οποία αποτελεί µία από τις

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο, σελ 6-6 Α Θεωρία (ορισµός) σχολικό βιβλίο, σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 )

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 ) Συνέχεια Συνάρτησης Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 1 εκεµβρίου 013 1 Ορισµός Ορισµός 1.1 Μια πραγµατική συνάρτηση f : A R λέµε ότι είναι συνεχής στο x 0 A αν και µόνο αν : x x 0 fx

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Μετρικών Χώρων Θέµης Μήτσης

Θεωρία Μετρικών Χώρων Θέµης Μήτσης Θεωρία Μετρικών Χώρων Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Ηρακλειο Περιεχόµενα Μετρικοί χώροι 5 Σύγκλιση ακολουθιών 7 Ανοιχτά και κλειστά σύνολα 9 Συνεχείς συναρτήσεις 13 Κλειστότητα, σηµεία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x.

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x. 3 Ορια συναρτήσεων 3. Εισαγωγικές έννοιες. Ας ϑεωρήσουµε την συνάρτηση f () = όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 0: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = /. ϕυσικό να αναζητήσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Η τροχιά του δυναµικού συστήµατος µε αρχική συνθήκη X γράφεται

Η τροχιά του δυναµικού συστήµατος µε αρχική συνθήκη X γράφεται Απόδειξη Θεωρήµατος Poincare-Bendixson Το δυναµικό σύστηµα είναι στο επίπεδο, προσδιορίζεται από το διάνυσµατικό πεδίο ταχυτήτων v(x), και οι τροχιές ικανοποιούν την δυνα- µική: ẋ = v(x). Η τροχιά του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (Θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο σελ 6-6 Α Θεωρία (Ορισµός) σχολικό βιβλίο σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a 7 Έστω Το θεώρηµα του Tylor στη µια µεταβλητή Ι ανοικτό διάστηµα Ι και : Ι φορές διαφορίσιµη συνάρτηση στο Ι, (. Γράφουµε, ( = + +... + +,, Ι, όπου!, είναι το υπόλοιπο Tylor ( κέντρου και τάξης και ( Ρ

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4. Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Infimum. Ορισμός κάτω φράγματος συνόλου A. Ορισμός infimum του συνόλου A. Το σύνολο A R είναι κάτω φραγμένο αν. k R : x A k x.

Infimum. Ορισμός κάτω φράγματος συνόλου A. Ορισμός infimum του συνόλου A. Το σύνολο A R είναι κάτω φραγμένο αν. k R : x A k x. Infimum Ορισμός κάτω φράγματος συνόλου A Το σύνολο A R είναι κάτω φραγμένο αν k R : x A k x k = κάτω φράγμα Ορισμός infimum του συνόλου A inf A = infimum του συνόλου A Το μεγαλύτερο από τα κάτω φράγματα

Διαβάστε περισσότερα

1 1 + nx. f n (x) = nx 1 + n 2 x 2. x2n 1 + x 2n

1 1 + nx. f n (x) = nx 1 + n 2 x 2. x2n 1 + x 2n Οι ασκήσεις αυτές έχουν σκοπό να βοηθήσουν τους φοιτητές στην μελέτη τους για το μάθημα «Ανάλυση ΙΙ» του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αιγαίου. Συνιστούμε στους φοιτητές να επεξεργαστούν αυτές

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 3η Θεωρία Γραφηµάτων

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 3η Θεωρία Γραφηµάτων ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ Ε ρ γ α σ ί α η Θεωρία Γραφηµάτων Α π α ν τ ή σ ε ι ς Ε ρ ω τ η µ ά τ ω ν Ερώτηµα. Στο παρακάτω γράφηµα µε βάρη, να βρεθεί το µήκος του µικρότερου µονοπατιού

Διαβάστε περισσότερα

8 Ακρότατα και µονοτονία

8 Ακρότατα και µονοτονία 8 Ακρότατα και µονοτονία Πρόταση 8.1. Εστω ότι η y = f (x) είναι συνεχής σε κάποιο διάστηµα I και έχει παράγωγο σε κάθε εσωτερικό σηµείο του I. 1. Η y = f (x) είναι σταθερή στο I αν και µόνο να είναι f

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Συναρτήσεις, Ορια, Συνέχεια ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των συναρτήσεων,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι κάθε ηµιαπλός δακτύλιος είναι δακτύλιος του Art. Επειδή υπάρχουν παραδείγµατα δακτυλίων του Art που δεν είναι ηµιαπλοί, πχ Z 2, > 1, τίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Γιάννης Σαραντόπουλος Αθήνα 7 Οκτωβρίου 5 Περιεχόµενα Συµβολισµός

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX 1.7 διαταξεις (σελ. 17) Παράδειγµα 1 Θα πρέπει να κάνουµε σαφές ότι η επιλογή των λέξεων «προηγείται» και «έπεται» δεν έγινε απλώς για λόγους αφαίρεσης. Μπορούµε δηλαδή να ϐρούµε διάφορα παραδείγµατα στα

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 19/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 1 1 Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Μη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, Lipschitz, Picard.

Μη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, Lipschitz, Picard. Μη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, ipschitz, Picard. Νίκος Σταµάτης nstam84@gmail.com 7 Φεβρουαρίου 212 Περίληψη Σε αυτή την εργασία παρουσιάζουµε µια αναλυτική απόδειξη του ϑεωρήµατος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n Κεφάλαιο 8 Η οµάδα S n Στο κεφάλαιο αυτό ϑα µελετήσουµε την οµάδα µεταθέσεων ή συµµετρική οµάδα S n εφαρµόζοντας τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κε- ϕάλαια. Η σηµαντικότητα της S n εµφανίστηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων

Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων Θεωρείστε ένα απειροστό απλό χωρίο στο χώρο τόσο µικρό ώστε να µπορεί να θεωρηθεί ότι βρίσκεται σε ένα επίπεδο Έστω ότι το χωρίο αυτό περικλείει εµβαδόν µέτρου Το έργο που

Διαβάστε περισσότερα

Κουβεντιάζοντας µε τις ασκήσεις

Κουβεντιάζοντας µε τις ασκήσεις Κουβεντιάζοντας µε τις ασκήσεις Μαθηµατικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου (Θέµατα σε όλη τη ύλη) Άσκηση 2 η Αν f συνεχής στο [1, 11], παραγωγίσιµη στο (1, 11) και f(1)=1, f(11)=11 δείξτε ότι υπάρχουν α, β στο (1,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις στην Συναρτησιακή Ανάλυση Κανονική εξεταστική 2009 (μπορεί να περιέχουν λάθη)

Λύσεις στην Συναρτησιακή Ανάλυση Κανονική εξεταστική 2009 (μπορεί να περιέχουν λάθη) Λύσεις στην Συναρτησιακή Ανάλυση Κανονική εξεταστική 009 (μπορεί να περιέχουν λάθη) (L) Θέμα 1 α) i Ένα σύνολο A X λέγεται γραμμικά ανεξάρτητο αν κάθε πεπερασμένο υποσύνολό του είναι γραμμικά ανεξάρτητο.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

D 1 D, D n+1 D n, D n G n, diam(d n ) < 1 n. B := ρ(x n, x m ) diam(d m ) < 1 m.

D 1 D, D n+1 D n, D n G n, diam(d n ) < 1 n. B := ρ(x n, x m ) diam(d m ) < 1 m. Σηµειώσεις Συναρτησιακής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Περιεχόµενα 1. Το ϑεώρηµα κατηγορίας του Baire 4 2. Χώροι Banach 5 3. Φραγµένοι γραµµικοί τελεστές 8 4. Χώροι πεπερασµένης

Διαβάστε περισσότερα

1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΑ

1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΑ Μια Εισαγωγή στη Θεωρία Παιγνίων Κώστας Στροπωνιάτης ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ A ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΑΜΟΣ 1 Επιβλέπων Βαγγέλης Φελουζής Επιτροπή Χρήστος Νικολόπουλος Νίκος Παπαλεξίου 2 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n 236 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 16 Ιανουαρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0.

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 23 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1o A. Για x x έχουµε: f (

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης

Θεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης Θεωρια Αριθµων Θεωρητικα Θεµατα Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html 2 Απριλίου 2013 Το παρόν κείµενο

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Μαθηµατική επαγωγή. 11 Επαγωγή

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Μαθηµατική επαγωγή. 11 Επαγωγή Επαγωγή HY8- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, /03/06 Μαθηµατική Επαγωγή Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University

Διαβάστε περισσότερα

Thanasis Kehagias, 2009

Thanasis Kehagias, 2009 Μέρος II Αναλυτικη Γεωµετρια 33 34 Το παρον τευχος περιεχει συντοµη ϑεωρια, λυµενες και αλυτες ασκησεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Κατα τη γνωµη µου, για τους περισσοτερους ανθρωπους, ο µονος τροπος εξοικειωσης

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό πλάνο. Μαθηµατικά για Πληροφορική. Παράδειγµα αναδροµικού ορισµού. οµική επαγωγή ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. 3ο Μάθηµα

Γενικό πλάνο. Μαθηµατικά για Πληροφορική. Παράδειγµα αναδροµικού ορισµού. οµική επαγωγή ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. 3ο Μάθηµα Γενικό πλάνο Μαθηµατικά για Πληροφορική 3ο Μάθηµα Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 14/10/2008 1 Παράδειγµα δοµικής επαγωγής 2 Ορισµός δοµικής

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 1 / 36

ιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 1 / 36 ιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 1 / 36 Γνωριµία ιδάσκων: Ορέστης Τελέλης e-mail: telelis@unipi.gr

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ολοκλήρωση

Αριθµητική Ολοκλήρωση Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291 ΠΡΩΤΗ ΆΣΚΗΣΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 9 Ηµεροµηνία: 3/5/003 Άσκηση ώστε όλες τις υποοµάδες των Z και Ζ 5 * Προκειµένου να δώσουµε τις υποοµάδες θα πρέπει αρχικά να ορίσουµε τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

Θεµέλια των Μαθηµατικών. Προαπαιτούµενες έννοιες για µια εισαγωγή στον Απειροστικό Λογισµό. Φεβρουάριος 2014

Θεµέλια των Μαθηµατικών. Προαπαιτούµενες έννοιες για µια εισαγωγή στον Απειροστικό Λογισµό. Φεβρουάριος 2014 Θεµέλια των Μαθηµατικών Προαπαιτούµενες έννοιες για µια εισαγωγή στον Απειροστικό Λογισµό Επιµέλεια: Νίκος Σκούταρης, nskoutaris@gmail.com Φεβρουάριος 2014 ii Θεµέλια των Μαθηµατικών Το κείµενο αυτό περιέχει

Διαβάστε περισσότερα