Základy lineárneho programovania

Transcript

1 FAKULTA MATEMATIKY FYZIKY A INFORMATIKY UK Zákldy lieáreho progrovi Vldiír To Brtislv 2008

2 Autor: Vldiír To Názov: Zákldy lieáreho progrovi Lektor: Já Plesík Vydvteľ: Kižičé edičé cetru FMFI UK Rok vydi: 2008 Miesto vydi: Brtislv Vydie v elektroicko tvre: Prvé Počet strá: 68 ISBN

3 Obsh Úvod 4. Typické úlohy lieáreho progrovi 4. Úloh optiáleho pláovi výroby 4.2 Úloh o výžive 6.3 Úloh o rezo pláe 7.4 Doprvá úloh 8 2. Všeobecá foruláci úloh lieáreho progrovi 9 2. Zákldé pojy lieáreho progrovi Zázorňovie trsforčých procesov Zákldé vlstosti trsforčých procesov 2.4 Cvičei 3 3. Ďlšie príkldy úloh LP 7 3. Úloh výrobého pláovi s ohričeýi preeýi Pláovie výroby v zdých kvtittívych poeroch Pláovie výroby s polotovri Prirďovcí problé Úloh výberu portfóli Rozložeie rizik pôžičiek Optilizáci osevých plôch Optilizáci počtu súprv (kopletov) Cvičei Ekvivleté tvry úloh lieáreho progrovi Všeobecý tvr úlohy lieáreho progrovi Nerovicový tvr úlohy LP Koický tvr úlohy LP iu (iiu) Štdrdý tvr úlohy LP Cvičei Grfická etód riešei úloh LP Milizčý problé úloh o zesi Miilizčý problé úloh o výžive Cvičei Techik riešei úloh LP sipleovou etódou Prípuste eliiový tvr úlohy LP Riešeie koickej úlohy v prípusto tvre Kritériá optiálosti eohričeosti Riešeie všeobecej úlohy LP dvojfázovou etódou Cvičei Dulit v úlohách lieáreho progrovi Ekooická foruláci duálej úlohy Všeobecá foruláci duálej úlohy Slbá vet o dulite Príkld Vet Silá vet o dulite Vet o kopleetárosti Overeie optiálosti riešei poocou duálej úlohy Ekooická iterpretáci duálych preeých Príkld 55 2

4 7. Cvičei Riešeie úloh LP poocou MS Ecel Riešeie úlohy o pláoví výroby s polotovri Alýz citlivosti úlohy LP záklde jej riešei počítčo Cvičei Prípdové štúdie Reklá strtégi Výrobá strtégi Výrob ropy 67 3

5 ÚVOD Teto študijý tet je určeý pre študetov Mžérskej tetiky Fkulte tetiky, fyziky ifortiky Uiverzity Koeského v Brtislve. V tete sú vyložeé zákldé pojy lieáreho progrovi (skrátee LP), pričo dôrz je kldeý odelovie úloh z pre ko úloh LP. Sipleový lgoritus je vyložeý ko špeciály prípd Gussovej Jordovej eliiácie s optre voleý pivoto. Dulit je defiová pre všeobecú úlohu LP. Je podá ekooická iterpretáci duálej úlohy výz duálych resp. tieňových cie pre prktické rozhodovie žérov v pri. Lieáre progrovie je tetická etód riešei úloh, ktorá uľhčuje žéro robiť optiále rozhoduti. Všeobece ožo tieto úlohy chrkterizovť tk, že treb určiť optiálu hodotu lieárej fukcie ožie riešeí sústvy lieárych rovíc erovíc. K úlohá tohto typu vedú ohé prktické probléy. Prvú tkúto úlohu sforulovl v roku 939 ruský tetik Leoid Vitljevič Ktorovič pri riešeí probléov z drevárskeho prieyslu vrhol etódu riešei istej triedy úloh LP. V roku 947 George Berrd Dzig pri riešeí probléov logistiky v erickej ráde vrhol sipleovú etódu riešei všeobecej úlohy LP je povžový z zkldteľ lieáreho progrovi. Odvtedy s lieáre progrovie stlo jedou z jpoužívejších etód riešei úloh z ohých oblstí to jä ekooických. Preto j v sledujúco prgrfe uvediee úlohy ekooického chrkteru, ktoré sú čsto uvádzé v litertúre. TYPICKÉ ÚLOHY LINEÁRNEHO PROGRAMOVANIA. Úloh optiáleho pláovi výroby V stolárskej dieli s vyrábjú štyri druhy výrobkov stoly, stoličky, píscie stoly kihovičky. Mjiteľ diele chce určiť, koľko stolov, stoličiek, píscích stolov kihovičiek usí vyrobiť, by optiále využil zdroje, ktorýi dispouje. N zhotoveie uvedeých predetov s používjú dv typy dosiek. N sklde je k dispozícii 500 etrov dosiek prvého 000 etrov dosiek druhého typu. K dispozícii je ďlej 800 prcových hodí. N výrobu kždého stol, stoličky, píscieho stol kihovičky treb 5,, 9 2 etrov dosiek prvého typu, 2, 3, 4 eter dosiek druhého typu 3, 2, 5 0 prcových hodí. Zisk je vyklkulový 2 z stôl, 5 z stoličku; 5 z píscí stôl 0 z kihovičku. O osttých potrebých výrobých teriáloch výrobých prostriedkoch budee predpokldť, že sú k dispozícii v dosttočo ožstve pre kékoľvek ožstvo výroby. Pri zchoví uvedeých podieok treb určiť tký výrobý plá, by bol dosihutý iály zisk. Uvedeé údje ožo zpísť do prehľdej tbuľky (tbuľk.). Tbuľk. Výrobky stoly stoličky píscie stoly kihovičky Zisk Dispoibilé Zdroje Dosky. Typu Dosky 2. Typu Prcové hodiy Ako se uviedli, treb zistiť, ké ožstvá stolov, stoličiek, píscích stolov kihovičiek s á z dých podieok vyrobiť. Tieto ožstvá sú ezáe, preto ich zvee rozhodovcie preeé ozčíe ko, 2, 3 4 (pre jedoduchosť predpokldáe, že počty výrobkov eusi byť celé čísl). 4

6 Cieľ výrobej ktivity (ilizáciu celkového zisku) vyjdríe teticky poocou lieárej fukcie rozhodovcích preeých, ktorú zýve účelová fukci. Keďže zisk z jedého vyrobeého stol predstvuje 2, zisk zo všetkých vyrobeých stolov bude 2, zisk zo všetkých vyrobeých stoličiek 5 2 tď. Tkto ôžee vyjdriť celkový zisk zo všetkých výrobkov poocou fukcie z() = Výrob jedotlivých výrobkov závisí od ožstv dosiek prcových hodí, ktoré sú k dispozícii. Keď uvžujee príkld o spotrebe dosiek. typu, ktorých je k dispozícii 500, z tbuľky. vidíe, že s spotrebúvjú pri výrobe všetkých druhov výrobkov. Pretože výrobu jedého stol treb 5 etrov dosky. typu, celková spotreb pre všetky vyrobeé stoly bude 5. N stoličky, píscie stoly kihovičky bude celková spotreb obdobe 2, 9 3, 2 4. Keďže áe k dispozícii le 500 etrov tohto typu dosky, celková spotreb výrobu všetkých štyroch výrobkov eôže toto ožstvo presihuť, čo ožo teticky vyjdriť ko Rovký spôsobo ožo zohľdiť ohričei týkjúce s druhého typu dosiek prcových hodí, ktoré sú k dispozícii: Pri forulácii úlohy treb vziť do úvhy ešte skutočosť, že ie je ožé vyrábť záporé ožstvá výrobkov, čo vyjdríe tzv. podieki ezáporosti. Tieto podieky treb zviesť pre preeé, 2, 3 4, ted, 2, 3, 4 0 Kopletý zápis uvedeej úlohy lieáreho progrovi je tkýto: ilizovť z() = , 2, 3, 4 0. Metódi lieáreho progrovi, ktoré v ďlšo uvediee, je ožé vyriešiť túto úlohu získť optiále riešeie * 800 * * * * =, 2 = 0, 3 = 0, 4 = 0, z ( ) = Optiále riešeie tkto skoštruovej úlohy uožňuje rozhodúť (vytvoriť plá), ké zložeie fiálej produkcie bude z pohľdu jiteľ diele jvýhodejšie (bstrhujee prito od podieky celočíselosti vypočítého riešei). V toto príklde by to bol výrob 266,667 ks stolov. Stoličky, píscie stoly kihovičky by s prito v dieli vôbec evyrábli. Tkýto výrobý plá by priiesol celkový zisk vo výške Všeobecá foruláci úloh určeie optiáleho výrobého pláu je z() = c j j j= i j j j= b i pre všetky i =, 2,, j 0 pre všetky j =, 2,, kde počet druhov výrobkov, počet výrobých fktorov (suroví, kpcít strojov, prcových hodí pod.), ktoré s pri výrobe 5

7 používjú, j ožstvo produkcie j-tého výrobku, pre j =, 2,,, c j oceeie j-tého výrobku (jedotkový zisk, ce výrobku pod.), pre j =, 2,,, ij počet jedotiek i-tého výrobého fktor spotrebového výrobu jedotky j-tého výrobku, i =, 2,,, j =, 2,,, b i dispoibilé ožstvo i-tého výrobého fktor, i =, 2,,. V toto type úloh (ko j vo všetkých sledujúcich) je potrebé určiť vektor * = ( *, * 2,, * ) tk, by s dosihl iál (lebo iiál) hodot účelovej fukcie pri zdých ohričujúcich podiekch..2 Úloh o výžive V ráci predpísej diéty v eocici jú deti získť určité ožstvá látok dôležitých pre ich výživu z obiliových pokrov, podávých v ráci rňjok. Pri zostvoví jedáleho lístk ožo voliť edzi dvo beže podávýi polotovri z obilí (K, C) lebo s rozhodúť pre ejkú ich zes. Z rňjok by deti li získť priješo g tiíu, 6 g icíu 400 klórií. Jede dg polotovru K obshuje 0, g tiíu, g icíu 0 klórií. Jede dg polotovru C obshuje 0, g tiíu, 0,2 g icíu 50 klórií. Ce dg polotovru K je 5 euro-cetov, ce dg polotovru C je 4 euro-cety. Treb určiť, v ko ožstve s usi kúpiť produkty rňjky pre jedo dieť, by s dosihl potrebá skldb výživy by ákldy pre eocicu boli iiále. Pretože ožo predpokldť, že vzťhy edzi ožstvo podávých obiliových produktov získýi ožstvi tiíu, icíu klórii sú lieáre, ôžee skoštruovť úlohu lieáreho progrovi vyriešeí ktorej určíe diétu s iiályi ákldi. Túto úlohu zostrojíe podobý spôsobo ko v predchádzjúcich prípdoch. Nezáe sú prito ožstvá: polotovru K 2 polotovru C, ktoré treb kúpiť ktoré usi byť ezáporé (eožo kupovť záporé ožstvá polotovrov). Zápis tejto úlohy LP je sledový: i z() = , 0, 2 6 0, , 2 0 Optiále riešeie úlohy, ktoré iilizuje ákldy diétu je: * = 5, * 2 = 5, z(*) = 45. Všeobecú foruláciu úloh iilizáciu ákldov pri spleí určitých iiálych požidviek ožo zpísť tkto: i z() = = c j j j ijj bi pre i =, 2,, j= j 0 pre j =, 2,, kde počet polotovrov, počet látok dôležitých pre výživu, j ožstvo j-tého polotovru, j =,2,,, c j ce j-tého polotovru, j =, 2,,, ij ožstvo jedotiek i-tej látky dôležitej pre výživu, ktoré obshuje jedotk j-tého polotovru, i =, 2,,, j =, 2,,, b i iiále poždové ožstvo i-tej látky dôležitej pre výživu, i =, 2,,. 6

8 .3 Úloh o rezo pláe Stolársk fir vyráb ltkové oploteie záhrd. N sklde á k dispozícii lty dlhé 200 c. Pri výrobe 0 etrov plotu potrebuje fir prese 200 ltiek dlhých 80 c, 3 00 ltiek dlhých 50 c 500 ltiek dlhých 30 c. Keďže ce drev je vysoká, ožo relizovť le tie pláy rezi, pri ktorých odpd ie je väčší ko 20 c. Úlohou je zostviť tký plá rezi, by bol odpd iiály. Skôr ko pristúpie k forulácii úlohy LP, usíe zistiť, ký spôsobo ožo lty s dĺžkou 200 c rezť tk, by boli spleé podieky zo zdi. Vytvoríe si zoz všetkých spôsobov rezi, ktorý bude podkldo pre koštrukciu príslušej úlohy LP (v tbuľke.2). Tbuľk.2 Dĺžk Spôsoby rezi Poždový lty S S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 S 9 počet kusov 80 c c c Odpd Preeé, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 budú ozčovť počty lát dlhých 200 c, ktoré s budú rezť spôsobi S, S 2, S 3, S 4, S 5, S 6, S 7, S 8, S 9. Poto ožo pri zdých podiekch podiekch ezáporosti forulovť úlohu LP: i z() = = = = 500, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 0. Optiále riešeie úlohy je (opäť eberiee do úvhy požidvku celočíselosť optiáleho riešei): * = 500 * 2 = 200 * 4 = 0 * 5 = 675 * 6 = 0 * 7 = 0 * 8 = 0 * 9 = 0 z(*)= Všeobecá foruláci uvedeej úlohy je i z() = c j j j= j= = b, i =, 2,, ij j i j 0, j =, 2,, kde počet spôsobov rezi lát s dĺžkou 200 c, počet druhov lát, ktoré treb rezť z lát dlhých 200 c, j ožstvo lát s dĺžkou 200 c, ktoré treb rezť j-tý spôsobo, j =, 2,,, c j odpd vzikjúci j-tý spôsobo rezi lát dlhých 200 c, j =, 2,,, ij počet lát i-tého druhu, ktoré s režú pri rezí lát dlhých 200 c j-tý spôsobo rezi, i =, 2,,, j = l, 2,,, b i poždové ožstvo lát i-tého druhu, i =, 2,,..4 Doprvá úloh Predpokldje, že istý podik á 4 skldy, z ktorých dodáv tehly tro veľkoodberteľo. Kpcit jedotlivých skldov je 300, 200, (tisíc) tehál (pre zjedodušeie zápisu budee od 7

9 tisícok bstrhovť). Odberteli pre svoje potreby poždujú dodť zo skldov 700, (tisíc) tehál. Preprvé ákldy (v eurách) jedej tisícky tehál z jedotlivých skldov k odberteľo sú zdé v tbuľke.3. Tbuľk.3 O O 2 O 3 S 4 S S 3 6 S V záuje podiku je preprvovť tehly z jedotlivých skldov k odberteľo z čo jižšie preprvé ákldy. Tkto je úlohou prirdiť kpcity jedotlivých skldov podiku k odberteľo určiť optiály plá doprvy (iilizovť preprvé ákldy). Ozče ko ij ožstvo tehál preprveých z i-tého skldu k j-téu odberteľovi. Poto ôžee uvedeú úlohu zpísť v tvre: i z() = = = = 00 Optiále riešeie úlohy je, 2, 3, 2, 22, 23, 3, 32, 33, 4, 42, 43 0 * = 00 * 2 = 00 * 3 = 00 * 2 = 200 * 22 = 0 * 23 = 0 * 3 = 0 * 32 = 00 * 33 = 0 * 4 = 400 * 42 = 0 * 43 = 0 z( * ) = Všeobecá foruláci doprvej úlohy je i z() = c i j i j j= i j= i= i j pre všetky i =, 2,, ij = bj pre všetky j =, 2,, i= ij 0 pre všetky i =, 2,, ; j =, 2,, kde počet skldov (dodávteľov), počet odberteľov, ij ožstvo tehál (v tisícoch), ktoré s preprví z i-tého skldu k j-téu odberteľovi, i =, 2,,, j =, 2,, c ij ákldy preprvu jedého tisíc tehál z i-tého skldu k j-téu odberteľovi, i =, 2,,, j =, 2,, ; i počet tehál, ktoré sú k dispozícii v i-to sklde, i =, 2,,, b j poždové ožstvo tehál j-tý odberteľo, j =, 2,,. V tejto úlohe s ožstvo tehál, ktoré dodáv podik zo svojich skldov odberteľo, rová ožstvu tehál, ktoré odberteli poždujú. V tkoto prípde hovoríe o vybilcovej doprvej úlohe. Ak počet tehál, ktoré dodáv podik odberteľo, ie je rovký ko ožstvo tehál poždových odberteľi, ide o úlohu evybilcovú vtedy sú príslušé štruktúre ohričei v tvre 8

10 erovíc. Úlohy tohto typu jú ohé zovšeobecei, ktoré sú v literrúre uvádzé pod ázvo distribučé probléy. Uvedeé príkldy chrkterizujú iektoré zákldé typy úloh lieáreho progrovi, s ktorýi s čsto stretáve v pri. Prv ež uvediee ďlšie úlohy, ktoré ukzujú široké ožosti použiti lieáreho progrovi sforulujee si všeobecú etodiku uľhčujúcu rozpozť, že dý prktický problé je ožé sforulovť ko úlohu lieáreho progrovi áslede vytvoriť jeho tetický odel. 2 VŠEOBECNÁ FORMULÁCIA ÚLOH LINEÁRNEHO PROGRAMOVANIA 2. Zákldé pojy lieáreho progrovi V predchádzjúcich príkldoch, ktoré s prvý pohľd úple líšili, s pri tetickej forulácii závislostí edzi vstupýi výstupýi veličii ukázlo, že sú to vlste úlohy tej istej povhy líši s le ázvi jedotlivých veličí vystupujúcich v úlohách. Aby se s ohli stručejšie vyjdrovť o celej triede úloh lieáreho progrovi, zvediee spoločé ázvy pre chrkteristické prvky kždej úlohy lieáreho progrovi. V doterz uvedeých úlohách se uvžovli isté čiosti (produkci iekoľkých druhov výrobkov, ákup tovru, rezie lát, resp. prevoz teriálu). Tieto čiosti poeujee spoločý ázvo trsforčé procesy. V kokrétych situáciách budee trsforčé procesy zývť vhodýi prívlstki vystihujúcii dú úlohu. Tk príkld v úlohách výrobého pláovi budee trsforčé procesy zývť výrobé procesy. Kždý trsforčý proces využív určité zdroje (výrobé prostriedky), z ktorých kždý je pre dý trsforčý proces buď vstupo (k je spotrebovávý ), lebo výstupo (k je vyrábý). Kždý trsforčý proces ožo previesť v isto objee (s istou itezitou). Aby se to ohli kvtittíve vyjdriť, usíe pre kždý proces zvoliť erú jedotku, poocou ktorej ôžee určovť obje tohto procesu. Počet jedotiek výsledku uskutočeého trsforčého procesu zýve úroveň trsforčého procesu (lebo tiež jeho itezit). Je to ted jeho ožstvo vyjdreé poocou jeho erej jedotky. Npríkld, keď v úlohe o výžive je erou jedotkou ákup l kg tovru, poto úroveň uskutočeého ákupu zodpovedá počtu kilogrov kúpeého tovru. 2.2 Zázorňovie trsforčých procesov Uvžuje o ejko výrobo procese V, ktoro s podieľjú výrobé prostriedky P,, P. Ak áe určeé eré jedotky pre tieto čiitele, tk uskutočeí procesu V jedotkovej úrovi s spotrebuje lebo vyrobí isté ožstvo i prostriedku P i (i =,, ) toto číslo zýve techologický koeficiet výrobého procesu V pre výrobý prostriedok P i. Výrobý proces V, ktorý zhrňuje prostriedky P,, P bude pre še účely úple chrkterizový usporidou -ticou techologických koeficietov, to zeá -zložkový vektoro (,, ), ktorý zýve vektor techológie procesu V. V ticových operáciách ( iekedy j v tete) ho budee povžovť buď z ridkový vektor [,, ] (t.j. ticu typu ) lebo z stĺpcový vektor (t.j. ticu typu ) M Pri opise trsforčých procesov z hľdisk lieáreho progrovi s ezujíe o techologickú stráku prebiehjúcich procesov, le sledujee le preeu vstupov výstupé prostriedky. Ak z použitých prostriedkov P,, P v trsforčo procese V prvých r prostriedkov sú vstupy zvyšé prostriedky P r,, P sú výstupy, ôžee trsforčý proces V scheticky zázoriť vo všeobecej podobe tkto: 9

11 P P r vstupy P r Trsforčý proces V P výstupy N toto digre sú šípki jse rozlíšeé vstupy od výstupov. Aby se j vo vektore techológie (,, ) od seb odlíšili vstupy výstupy, v zložitejších úlohách je výhodé odlíšiť zieko koeficiety vstupých prostriedkov (zýve ich koeficiety spotreby) od koeficietov výstupých prostriedkov (ktoré zýve koeficiety výroby). Sú dve ožosti ko to urobiť. Keď pozeráe trsforčý proces zvok tk jeho vstupy z vokjšieho prostredi ubúdjú preto ich povžujee z záporé čísl. Výstupy trsforčého procesu opk do vokjšieho prostredi pribúdjú preto ich povžujee z kldé čísl. Iý pohľd je zvútr systéu, v ktoro prebieh trsforčý proces. Z tohto pohľdu opk vstupy do systéu pribúdjú preto ich pri tkoto uhle pohľdu beriee ko kldé čísl opk výstupy serujú zo systéu do okolitého prostredi čiže zejú pre systé úbytok príslušé techologické koeficiety beriee preto ko záporé čísl. Ak s ejký prostriedok trsforčo procese epodieľ, príslušý techologický koeficiet položíe rový ule. Vektor techológie uprveý podľ iektorej z uvedeých ziekových dohôd budee zývť ziekový vektor techológie, rozdiel od vektor techológie zvedeého prv, v ktoro ie sú rozlíšeé koeficiety spotreby koeficiety výroby. Trsforčé procesy sú zákldýi zložki kždej úlohy lieáreho progrovi. Všiie si preto podrobejšie, ko sú chrkterizové tieto procesy v príkldoch..4. Uvžuje jprv jede zo 4 výrobých procesov z príkldu., v ktoro pre kokrétosť ech ide o výrobu kihovičky, výrobu ktorej s použív 2 kusov dosiek typu D, dosk typu D 2, 0 hodí práce P predjo výrobku s dosihe zisk Z v hodote 0. Scheticky ôžee zázoriť trsforčý proces preey vstupov D, D 2, P zisk Z tkto: 2kusov D kus D 2 0 hod P Výrob kihovičky 0 Z Vektor techológie výroby kihovičky je ted (0, 2,, 0), respektíve v ziekovo tvre (0, 2,, 0) podľ. kovecie, lebo ( 0, 2,, 0) podľ 2. kovecie. V príklde.2 išlo o ákup 2 tovrov, v ktorých s chádzjú tri poždové látky. Všiie si ákup dg tovru K keď z ceu 5 získe 0, g tiíu (T), g icíu (N) 0 klórií (I). Poto proces ákupu tovru K je vyjdreý schéou: Ce 5 Nákup dg K 0. g T g N 0 kl. ziekový vektor techológie pre teto proces podľ. ziekovej kovecie je ( 5, 0.,, 0). Pri iilizácii cey ákupu je kritério efektívosti veľkosť veličiy vstupe, rozdiel od predchádzjúceho príkldu, v ktoro s efektívosť erl výstupou veličiou. 0

12 V úlohe.3 o rezí teriálu je vstupou veličiou procesu rezi, jed lt (L) štdrdej dĺžky 2 pričo poždujee, by odrezé kusy L, L 2, L 3, li dĺžku porde 80 c, 50 c, 30 c. Druhý spôsob rezi (S 2 ) pri ktoro vziká odpd (O) 20 c á toto schetické zázoreie kus L kus L Rezie lty spôsobo S 2 2 kusyl 2 0 kusov L 3 20 c O Keď z jedotkovú itezitu tohto procesu povžujee rozrezie lty, poto ziekový vektor techológie je (,, 2, 0, 20). Z kritériu efektívosti se zvolili iilizáciu odpdu (veličiu výstupe). V doprvej úlohe.4 je trsforčý proceso prevoz zo skldu S i ku odberteľovi O j. Uvžuje o trsforčo procese prevozu zo skldu S 3 odberteľovi O, ktorého jedotková úroveň zeá prevoz 000 tehál s preprvýi ákldi 6. Teto trsforčý proces ôžee zázoriť tkto: 000 tehiel v S 3 Nákldy 6 Prevoz z S 3 k O 000 tehiel u O Ak iilizujee preprvé ákldy, tk kritério efektívosti je opäť veliči vstupe. 2.3 Zákldé vlstosti trsforčých procesov Všiie si zákldé vlstosti trsforčých procesov, ktoré s vyskytujú v lieárych optilizčých odeloch. V prvo rde kždý trsforčý proces v úlohe lieáreho progrovi usí ť vlstosť proporcioálosti, to zeá, že ožstvo spotrebových, resp. vyrobeých prostriedkov, ktoré s podieľjú do trsforčo procese je prio úeré itezite tohto procesu. Ted, k trsforčý proces s vlstosťou proporcioálosti je pri jedotkovej itezite chrkterizový vektoro techológie = (,, ) tk pri prevedeí tohto procesu úrovi h, ožstvo vyrobeých resp. spotrebových prostriedkov s rová h,, h. V úlohách lieáreho progrovi sprvidl ide o vic trsforčých procesov. Koečú postuposť trsforčých procesov zvee výrob. Nech výrob V pozostáv z trsforčých procesov V,, V. Ak j je pláová úroveň procesu V j (j =,, ), tk vektor = (,, ) zýve výrobý plá výroby V jeho zložky zýve rozhodovcie preeé Určiť výrobý plá pre výrobu V ted zeá určiť s kou itezitou treb vykoávť jedotlivé výrobé procesy. V lieáro progroví s zoberáe tkýi výrobi, ktoré jú vlstosť ditívosti. Hovoríe, že V je ditív výrob, k pre kždý výrobý prostriedok, ktorý s výrobe V podieľ, pltí, že celkové ožstvo tohto prostriedku vstupujúce do výroby V s rová súčtu ožstiev tohto pro-

13 striedku vstupujúcich do jedotlivých trsforčých procesov výroby V. Hovoríe, že výrob V je lieár, k je ditív kždý trsforčý proces, ktorý s ej podieľ, je proporcioály. Výrob V je úple chrkterizová vektori techológie jedotlivých trsforčých procesov. Zvyčje tieto vektory techológie zpisujee ko stĺpce tice tkto vytvoreú ticu zýve štruktúr tic výroby V. V prípde, že kždý vektor techológie je v ziekovo tvre všetky ziek sú určeé podľ tej istej ziekovej kovecie, príslušú štruktúru ticu zýve zieková štruktúr tic. Postup pri vytvárí lieáreho optilizčého odelu si ôžee zhrúť do týchto bodov:. Určíe súbor trsforčých procesov, z ktorých s skúý systé skldá pre kždý z týchto procesov určíe kvtittívu erú jedotku, poocou ktorej viee vyjdriť obje (itezitu), v ko s uvžový trsforčý proces prevádz. O kždo trsforčo procese usíe zistiť, či á vlstosť proporcioálosti. 2. Určíe súbor prostriedkov, ktoré s podieľjú spoň jedo z uvžových trsforčých procesov ktoré sú k dispozícii le v obedzeo ožstve. Vhode zvolíe erú jedotku pre jedotlivé výrobé prostriedky. Určíe techologické koeficiety kždého trsforčého procesu vzhľdo použité výrobé prostriedky. Zistíe, či súhr trsforčých procesov splňuje podieku ditívosti. 3. Jede z použitých prostriedkov zvolíe z kritériu efektívosti poocou jeho techologických koeficietov zostvíe lieáru účelovú fukciu. 4. Pre kždý výrobý prostriedok určíe jeho dispoibilé ožstvo resp. poždové ožstvo určíe bilčý vzťh celkovej spotreby kždého výrobého prostriedku k jeho dispoibiléu ožstvu, ktorý je vyjdreý jedou z troch ožých relácií: =,,, ktoré budee v prípde potreby ozčovť jedý sybolo. 5. Získé údje zpíšee v štruktúrej tbuľke úlohy. Štruktúr tbuľk úlohy LP Výrobé Trsforčé procesy Dispoibilé resp. prostriedky V V j V Bilčé vzťhy poždové ožstvo Z c c j c Opt P j b P i i ij i = b i P j b V prvo ridku štruktúrej tbuľky budee vždy uvádzť koeficiety výrobého prostriedku, ktorý budee optilizovť. Poždový výsledok optilizácie je buď iu lebo iiu Opt je spoločý sybol pre tieto dve operácie. Tedeciu optilizácie se ozčili zko. Z uvedeej štruktúrej tbuľky úlohy LP je jedoduché zostviť tetický odel dej úlohy. K tou stčí už le špecifikovť, ktoré zo štruktúrych preeých,..., usi spĺňť podieky ezáporosti (ech ich idey tvori ožiu J) dostee teto tetický odel: z podieok z = c c opt (2.) K b M M M K = b i i i M K M M K b (2.2) j 0 (j J) (2.3) 2

14 K touto tetickéu odelu s viže sledová zužívá teriológi. Lieáru fukciu z(,..., ) ezávisle preeých defiovú vzťho (2.) zýve účelová (resp. kriteriál) fukci. Ohričei (2.2) zýve štruktúre ohričei ohričei (2.3) zýve podieky ezáporosti. Rozhodovciu preeú, pre ktorú ie je eplicite uvedeé ohričeie zieko zýve voľá preeá. Vektor := (,, ) spĺňjúci všetky štruktúre ohričei (to zeá rovice erovice sústvy (2.2)) súčse spĺň podieky ezáporosti (2.3) zýve prípusté riešeie sústvy (2.2), resp. prípusté riešeie príslušej úlohy lieáreho progrovi. Možiu všetkých usporidých -tíc, ktoré splňujú ohričei úlohy (to zeá * * * podieky (2.2) (2.3)), zýve oži prípustých riešeí vektor = (, K, ), v ktoro účelová fukci (2.) dobúd poždový etré (iu lebo iiu) zýve optiále riešeie úlohy. Pre určitý zvoleý bod ôže byť iektoré ohričeie spleé ko rovosť. Vtedy hovoríe, že je to ktíve ohričeie úlohy v do bode. 2.4 Cvičei. Fir Golf s.r.o. je lá fir, ktorá vyráb športové potreby prostriedky hrie golfu. Veľkoodberteľ firu Golf presvedčil, že trhu je záuje o dv druhy vkov golfové plice. Nie veľi drhé vky predávé ko štdrdý odel drhé vky s obchodý ázvo delue odel. Veľkoodberteľ verí trhu toľko, že od firy Golf odkúpi celú štvrťročú produkciu golfových vkov z kokurecie schopé cey. Podrobá lýz výroby vkov ukázl, že ožstvá jedotlivých výrobých prostriedkov potrebých výrobu jedého golfového vku celkové dispoibilé ožstvá jedotlivých výrobých čiiteľov sú dé sledovou tbuľkou Model Výrobé čiitele zdé v hodiách práce štdrd delue Dispoibilé ožstvo Strihie frbeie 7/0 630 Zošívie /2 5/6 600 Koečá úprv 2/3 708 Kotrol bleie /0 /4 35 Zisk [ ] 0 9. Zostvte štruktúru tbuľku úlohy jej záklde utvorte tetický odel tejto úlohy ko úlohy lieáreho progrovi, poocou ktorej ôže fir Golf s.r.o. určiť výrobý plá dosihutie iáleho zisku b. Účtové oddeleie firy Golf záklde svojich prepočtov zistilo, že zisk z jedého vku typu delue je 8. Ako treb zeiť lieáry odel vytvoreý v. k predpokldáe, že ostté údje ostli ezeeé? c. N trhu suroví s objvil ový teriál, použitie ktorého uoží zvýšeie zisku z jedého vku typu štdrd 20. Ako s zeí úloh LP vytvoreá v. k teto teriál eovplyví ostté techologické koeficiety? d. K dispozícii je ové šicie zrideie, použitie ktorého skráti čs zošívi o 20%. Ako treb zeiť optilizčý odel zostveý v? 2. Fir vyrábjúc športové potreby á vo svojo výrobo progre j výrobu dvoch typov bsebllových rukvíc, štdrdú rukvicu pre hráčov v poli záchytú rukvicu pre zchyteie eodrzeej lopty. Fir á k dispozícii 900 hodí v oddeleí strihie zošívie, 300 hodí v oddeleí koečú úprvu, 00 hodí v oddeleí pre bleie epedovie. Čsové ory pre výrobu kždého typu rukvíc ko j jedotkový zisk sú dé v sledujúcej tbuľke. Čs výroby [hod] Model Strihie zošívie Koečá úprv Bleie epedovie Zisk [ ] 3

15 Štdrdý /2 /8 5 Záchytý 3/2 /3 /4 8 Zostvte štruktúru tbuľku úlohy z ej utvorte úlohu LP, ktorej vyriešeie uoží ilizovť zisk firy. 3. Jurj Jáošík zdedil edávo veľkú suu peňzí, z ktorých čsť chce použiť zložeie poistého fodu pre svoje dve deti. Teto fod á dve ivestičé ožosti: dlhopisový fod lebo kciový fod. Predpokldé výosy počs trvi ivestície sú 3% v dlhopisovo fode 0% v kciovo fode. Pri kejkoľvek ivestovej čistke svojho dedičstv J.J. chce spoň 30% ivestovej čistky ivestovť do dlhopisového fodu. Okre toho chce fody skobiovť tk by celkový výos bol spoň 7,5%.. Sforulujte úlohu LP, ktorá uoží určiť koľko percet použitej čistky dedičstv bude ivestových do jedotlivých fodov. b. Je dobrý riešeí ivestovť čo jvic do jziskovejšieho fodu pri spleí osttých podieok úlohy? 4. Fir Tráviček s.r.o. vyráb rôze výrobky údržbu trávikov edzi ktorýi sú j dve záe hojivá trávik. Kždé z týchto hojív je zesou dvoch suroví ozčeých K40 K50, ktorých zásob v uvžovo období je porde 900 kg 400 kg. N výrobu kg výrobku s ázvo Trávová zeleň s spotrebuje 3/5 kg K40 2/5 kg K50. N výrobu kg druhého výrobku zývého Pestový trávik s spotrebuje ¾ kg K40 ¼ kg K50. Eistujúce obedzeie oblový teriál uožňuje vyrobiť iále 500 kg výrobku Pestový trávik. Zisk z kg oboch výrobkov je 3. Sforulujte úlohu LP, ktorá uoží stoviť vyrábé ožstvá jedotlivých výrobkov ilizujúce zisk firy. 5. Ivestičo-pordeská fir sprvuje j kciové portfóliá svojich zákzíkov. Jej ový zákzík požidl firu o správu svojho portfóli do ktorého chce ivestovť Počitočá ivestičá strtégi zákzík je obedziť svoje portfólio le kobiáciu dvoch typov kcií, ktorých chrkteristiky sú uvedeé v tejto tbuľke Akci Ce Ročý výos Rizikový z kciu z kcie Ide U.S. Oil ,50 Hub prop ,25 Rizikový ide kcie je ohodoteie poerého rizik dých dvoch ivestičých ožostí. Pre dé údje ted U.S. Oil je dvojásobe rizikovejší ko Hub properties. Z dôvodov obedzei celkového rizik, ivestičá fir s vyhýb ivestoviu príliš veľkej čsti portfóli do ožého vysoko-ziskového ktív všk s príliš vysoký riziko. Fir si preto stovil horú hricu 000 kcií U.S. Oil. Koľko kcií kždého typu á fir kúpiť by ilizovl ročý výos portfóli ového zákzík. 6. Fir ToM s.r.o. chce rozšíriť svoj sortiet o výrobu dvoch druhov oáčok sls, eickú jeú, ktoré chce dodávť do veľkoobchodov Morve Zápdo Slovesku. Obe oáčky sú v podstte zesou rjčí, rjčiovej šťvy rjčiového pretlku. Jeá sls je zložeá z 50% celých rjčí, 30% rjčiovej šťvy 20% pretlku. Meická sls, ktorá á hrubšie dužitejšie zložeie obshuje 70% celých rjčí, 0% šťvy 20% pretlku. Kždý pohár vyrobeej slsy váži 0,70 kg. V určito výrobo cykle ToM ôže kúpiť jvic 280 kg celých rjčí, 30 kg rjčiovej šťvy 00 kg rjčiového pretlku, ktorých cey v z jede kg sú porde 0.96, Ce koreí iých prísd je približe 0.0 jede pohár. ToM kupuje prázde poháre z ceu 0.02 z kus ákldy etikety pleie sú odhdové vo výške 0.03 z kždý pohár. ToM á s odberteľi zluve dohodutú predjú ceu.59 z kždý pohár jeej slsy.85 z kždý pohár eickej slsy. Sforulujte úlohu lieáreho progrovi, ktorá uoží spoločosti ToM určiť výrobu týchto dvoch typov slsy tk, by dosihl iály celkový zisk. 4

16 7. Poľohospodárske družstvo pestuje kukuricu obilie pôde s rozlohou 500 h. Hektár kukurice priáš pre družstvo zisk 00 hektár obili dáv zisk 200. V dôsledku vládych obedzeí osevá ploch kukurice eôže prekročiť rozlohu 200 h. N sejbu á družstvo k dispozícii 200 hodí, pričo zsitie h kukurice treb 2 h zsitie h obili treb 6 h. Zostve úlohu LP vyriešeí ktorej ožo určiť, koľko hektárov kukurice koľko h obili á družstvo zsiť, k chce ilizovť svoj zisk? 8. Autokli s.r.o. otuje dv typy klitizčých zrideí do utoobilov, odel X odel Y. Údje z iulosti ukzujú, že otáž odelu X trvá 3 hodiy otáž odelu Y trvá 5 hodí. Mesče á fir k dispozícii 600 hodí otážeho čsu. Mžet firy stovil, že sledujúci esic usi otovť spoň 25 klitizácií kždého typu.. Sforulujte vo fore lieárych ohričeí všetky podieky zo zdi úlohy. b. Keď fir á zisk 40 z kždého otového odelu X zisk z odelu Y je 50, kú účelovú fukciu bude usieť ilizovť výrobý žér by fir dosihl iály zisk? c. Ako s zei ohričei úlohy k žet bude dodtoče poždovť, by s v sledujúco esici otovlo spoň toľko kusov odelu Y ko odelu X? 9. Spoločosť ochru ztúlých zviert poskytuje preocovie ztúlý doáci zviertá. Ich špecilitou je poskytovie dobrej potrvy pre prijté zviertá. Dobre vyvážeá potrv pre psov je zesou dvoch zčkových krív, ktorých zložeie je určeé sledovou tbuľkou. Krivo Ce [ /kg] Proteiy[%] Tuky[%] BB 0, CC 0, Spoločosť chce zostviť potrvu pre psov tk, by v deej dávke bolo spoň 50 dg proteíov spoň 30 dg tukov. Zostvte úlohu LP získie poždovej potrvy s iiályi ákldi. 0. Jozef chce prihojiť svoj trávik správy ožstvo potrebých látok. N záklde lýzy pôdy, iest poľohospodársk getúr u odporučil by počs vegetčého obdobi dodl do pôdy spoň 60 dg dusík, 24 dg fosforečov 40 dg sodík. Treti hojiv á byť pliková v áji, ďlši treti v júli posledá treti v septebri. V záhrdkárskych potrebách predávjú v súčsosti zlceé hojivo z 4 v 20 kg bleí, ktoré obshuje zes uvedeých látok v percetuálo poere Ďlšie 40 kg bleie predávé z ceu 5 je zes, v ktorej sú poždové látky zstúpeé percetuály poero svojich hotostí Jozef by chcel vedieť, koľko blíkov kždého z týchto dvoch typov hojiv usí kúpiť, by ohol iešť zes vyhovujúcu odporúči getúry prito zpltil čo jeej. Zostvte úlohu LP vyriešeie Jozefovho probléu.. Spoločosť Zdrvá výživ chce vyviúť ízkotučé ľhké jedlo, ktoré á byť zesou dvoch typov cereálií s rôzy obsho vláki, tukov bielkoví. Nsledujúc tbuľk uvádz ožstvo týchto látok v dekgre cereálií. Typ cereálie Vláki [g] Tuky [g] Bielkoviy [g] A B,5 3 3 Požidvky Zdrvej výživy sú, že dg ľhkého jedl usí obshovť spoň,7 g vláki, jvic 2,8 g tukov ie vic ko 3,6 g bielkoví. Ce cereálie A je 2 /kg ce B je 2,50 /kg. Spoločosť chce určiť, koľko usí kúpiť jedotlivých cereálií, by získl poždové zložeie ľhkého jedl prito l čo jižšie ákldy. Zostve úlohu LP vyriešeie tohto probléu. 2. Spoločosť P&G vyráb dv výrobky, ktoré predáv ko suroviy firá vyrábjúci toleté ydlá, prcie prostriedky ié ydlové prostriedky. N záklde prieskuu trhu lýzy terjších skldových zásob vedeie firy určilo, že v sledujúco esici treb vyrobiť spolu spoň 350 litrov dých dvoch výrobkov. Tktiež treb spliť objedávku hlvého odberteľ 25 litrov výrobku. Výrob litr výrobku vyžduje 2 h práce výrobku 2 vyžduje h práce. 5

17 V sledujúco esici á P&G k dispozícii 600 h čsu sprcovie. Výrobé ákldy liter sú pre výrobok 2 pre výrobok 2 sú 3. Sforulujte úlohu LP určeie výrobého pláu sledujúci esic s iiályi výrobýi ákldi. 3. Fir Fotoche vyráb dv druhy vývojky fotogrfie. Výrob kždého litr vývojky stojí firu. N záklde lýzy skldových zásob prijtých objedávok výrobu vývojky pre jbližší esic žet Fotocheu určil, že v sledujúcich dvoch týždňoch treb vyrobiť spoň 30 litrov vývojky spoň 20 litrov vývojky 2. V súčsosti je sklde 80 kilogrov suroviy, ktorá po 2 týždňoch podlieh skze. V prípde potreby je ožé objedť potrebé ožstvo suroviy. N výrobu jedého litr vývojky resp. 2 s spotrebuje kg resp. 2 kg uvedeej suroviy. Mžet firy Fotoche chce určiť výrobý plá s iiályi výrobýi ákldi, v ktoro by bol využitá všetk skldová surovi plil by poždové výrobé kvóty.. Sforuljte túto úlohu výrobého pláovi ko úlohu lieáreho progrovi utvorte ziekovú štruktúru tbuľku. b. Zostrojte tetický odel tejto úlohy. c. Ako by s zeil odel k by ebolo ožé dokúpiť potrebú suroviu? 4. Spoločosť NOW Coputer chce určiť ké ožstvo osobých počítčov NOW-00 d NOW- 200 á vyrábť počs určitého obdobi. Ob odely používjú ikroprocesor Motorol. Čs potrebý zložeie počítč NOW-00 je.5 hodiy zložeie kždého NOW-200 treb 3 hodiy. Fir á k dispozícii 3000 icroprocesorov 6000 hodí fodu prcového čsu skldie v do výrobo období. Mžet firy určil, že spoň 25% celkovej produkcie usi tvoriť počítče NOW-200. Z predj kždého počítč NOW-00 je zisk 500 z kždého počítč NOW-200 je zisk 750 žet predpokldá že fir predá ľubovoľé ožstvo, ktoré vyrobí. Zostvte úlohu lieáreho progrovi, ktorá uoží určiť koľko kusov kždého odelu á fir vyrobiť. 5. Pizz s. r. o. je výrobc rzeých pizz výrobkov. Spoločosť á zisk z kždej štdrdej pizze,50 z kždej vyrobeej pizze delue. Kždá pizz obshuje kobiáciu plicej zesi zesi oblohu. Fir á terz k dispozícii 50 kg plky 50 kg oblohy. Kždá štdrdá pizz potrebuje 0 dg plky 4 dg oblohy. Kždá pizz delue potrebuje 0 dg plky 8 dg oblohy. N záklde dopytu v iulosti, ožo počítť s predjo spoň 50 štdrdých pizzí spoň 25 pizzí delue. Koľko pizzí jedotlivých typov á fir vyrobiť k chce ilizovť svoj zisk. Zostvte LP odel tohto probléu. 6. Vedúci lého obchodu s potrvii rozýšľ ko čo jlepšie využiť 20 2 policich pre uiesteie elkoholických ápojov. Obchod predáv dv druhy elko. Záe zčky lokále doáce výrobky. Vedúci chce vyhrdiť spoň 60% priestoru pre zčkové výrobky bez ohľdu zisk spoň 0% pre lokále výrobky. Zostvte úlohu LP pre kždú z sledujúcich situácií:. Zčkové výrobky sú ziskovejšie ko lokále. b. Ob typy geerujú rovký zisk. c. Lokále výrobky sú ziskovejšie. 7. Pekár á 30 kg úky 5 blíčkov kvsíc. N pečeie jedého veľkého pecň chleb potrebuje 5 kg úky jede blíček kvsíc. Kždý peceň ôže byť predý z. Pekár ôže dokúpiť úku z 0,4 z kilogr, lebo predť evyužitú úku z tú istú ceu. Sforulujte úlohu LP ktorá uoží pekárovi ilizovť čistý zisk. 8. Fir vyrábjúc výstroj epedícií vyráb špeciále oblečeie pre horolezcov, lyžirov vysokohorských turistov. Fir s rozhodl vyrábť dve ové vetrovky Chopok Gerlch určeé pre veľi chldé počsie. Kždá vetrovk Gerlch potrebuje 30 iút v striži 45 iút zošívie. Kždá vetrovk typu Chopok potrebuje 20 i vystrihovi 5 i šiti. Celkovo á fir k dispozícii 20 h čsu strihi 20 h čsu zošívi. Nákldy prácu teriál sú 50 pre kžú vetrovku typu Gerlch 50 pre Chopok. Mloobchodá ce uvádzá v predjo ktlógu je 250 pre jedu vetrovku typu Gerlch 200 pre vetrovku typu Chopok. Keďže fir je presvedčeá o výiočosti vetrovky Gerlch, tk pre zviditeľeie s trhu chce by s- 6

18 poň 20% celkovej produkcie tvoril výrob vetrovky typu Gerlch. Priesku trhu ukzuje, že fir ôže predť ľubovoľé ožstvo oboch typov vetroviek. Zostvte úlohu LP, ktorá uoží fire ilizovť čistý zisk. 9. Vedeie firy poskytujúcej služby v oblsti otechológií chce vyviúť odel prideľovi čsu techikov edzi prvidelých zákzíkov ových zákzíkov. V dvojtýždňovo pláovco období á fir k dispozícii 80 hodí čsu techikov. Požidvk plei fičých tokov vyžduje, by kždý techik vygeerovl spoň 800 hotovosti počs 2 týždňov. Čs techik počs jedej hodiy s prvidelý zákzíko vygeeruje príje 25 z hodiu. Avšk hodi práce techik s ový zákzíko zeá príje le 8 pretože techik vykoáv čiosti, ktoré s edjú účtovť. Aby boli zbezpečeé j služby pre ových zákzíkov, usí i byť veové spoň 60% čsu, ktorý je veový stály zákzíko. Fir chce stoviť tký spôsob rozdelei čsu techikov edzi stálych ových zákzíkov, by bolo obslúžeý iály počet zákzíkov. Prito vybveie jedého stáleho zákzík treb 50 iút vybveie ového zákzík treb hodiu. Zostvte úlohu LP vyriešeie tohto probléu. 20. Plstik Nitr vyráb plstové výrobky pre utoobilový počítčový prieysel. Jej jväčší kotrkto je výrob plstových schráok pre preosé tlčire veľkej počítčovej firy. Tieto schráky sú vyrábé dvoch lisovcích strojoch. Stroj L-00 á výrobú kpcitu 20 schráok z hodiu stroj L-200 kpcitu 40 schráok z hodiu. Ob stroje používjú výrobu tú istú cheickú suroviu. L-00 spotrebuje výrobu 40 kg suroviy z hodiu L-200 spotrebuje 50 kg suroviy z hodiu. Počítčová fir chce by v sledujúco týždi Plstik vyrobil čo jvic schráok z grtovú ceu 8 z kždú dodú schráku. Žiľ sledujúci týždeň á väčši prcovíkov Plstiky dlhodobo pláovú dovoleku počs ktorej prebieh údržb všetkých zrideí vo fire. V dôsledku toho je v sledujúco týždi k dispozícii le 5 hodí práce lisu L-00 0 hodí práce lisu L-200. V dôsledku veľkých ákldov stveie týchto lisov pred spusteí vo výrobe, vedeie Plstiky požduje, by lis po spusteí bežl spoň 5 hodí. Dodávteľ cheickej suroviy pre výrobu schráok ozáil fire, že sledujúci týždeň ôže dodť jvic 000 kg cheickej suroviy z jedotkovú ceu 6. Okre teriálových ákldov s výrobou súvisi j prevádzkové ákldy lisov to hodiové ákldy prevádzku L-00 sú 50 prevádzk L-200 stojí 75 /h. Zostrojte štruktúru tbuľku tejto úlohy jej záklde zostrojte odel LP, ktorý uoží stoviť iály zisk Plstiky v budúco týždi. 3 ĎALŠIE PRÍKLADY ÚLOH LP 3. Úloh výrobého pláovi s ohričeýi preeýi. V úlohe. predpokldje dodtočé ohričei odbyt výrobkov. Mjiteľovi diele ôže byť príkld záe, že záklde objedávok usí vyrobiť iiále 50 stolov, iiále 50 stoličiek 5 kihovičiek. Z prieskuu trhu vie, že epredá vic ko 00 stolov, 200 stoličiek, 50 píscích stolov 0 kihovičiek. Predchádzjúcu tbuľku. zápisu pôvodej úlohy ožo poto rozšíriť sledove: Tbuľk 3. Výrobky Stoly Stoličky Píscie stoly Kihovičky Zisk Dispoibilé zdroje Dosky. Typu Dosky 2. Typu Prcové hodiy Mi. ožstvá M. ožstvá

19 Keď zoberiee do úvhy ohričei, ktoré s týkjú dodtočých podieok ožstvo poždových výrobkov, tktiež iále relizovteľé ožstvo trhu, uvedeú úlohu ôžee zpísť v tvre (ďlej budee používť sledujúci zápis úlohy LP, kde je vždy ko prvá uvedeá účelová fukci, poto štruktúre podieky rozhoduti záver podieky ezáporosti, k to vyplýv zo zdi úlohy, špeciále podieky pre preeé): ilizovť z() = Optiále riešeie tejto odifikovej úlohy je: * = 00, * 2 = 00, * 3= 50, * 4 = 0, z(*) = Všeobecú foruláciu úlohy ožo rozšíriť tvr. z() = c j j j= i j j j= b i pre všetky i =, 2,, j 0 pre iektoré j {, 2,, } j D j pre iektoré j {, 2,, }, kde D j = [d j, e j ] je itervl ohričujúci ožosti predj j-teho výrobku. Predchádzjúc foruláci úlohy lieáreho progrovi o optiálo výrobo pláe uožňovl ájsť optiále riešeie probléu techicko-techologickej báze. Uveďe ďlej odifikáciu tkejto úlohy, ktorá bude zohľdňovť ohričei, vyplývjúce z lýzy odbytových ožosti, skldovcích priestorov pod. 3.2 Pláovie výroby v zdých kvtittívych poeroch Podik vyráb tri druhy chldičiek s objeo 50 l, 250 l 500. Vyklkulový čistý jedotkový zisk z produkcie jedotlivých chldičiek je 5, ,50. O predj 50 l chldičiek je záuje j v zhričí. Prito čistý jedotkový zisk z predj tohto druhu chldičiek v zhričí je vyklkulový 2,50. N záklde výrobých kpcít ôže podik vyrobiť celkovo esče jvic chldičiek. Mrketigový priesku zistil, že doáci trh bsorbuje celkovo iále chldičiek. Pred distribúciou jedotlivé predje do zhriči podik uskldňuje vyrobeé chldičky v do esici vo vlsto sklde. Veľkokpcitá chldičk (500 l) zberá 2 2 skldovej plochy, chldičky s ešou kpcitou zberjú 2 skldovej plochy. Kpcit skldu je prito Pretože ožo predpokldť, že dopyt po chldičkách doáco trhu s zvýši, plá je dodť eport iále 25 % z celkovej produkcie všetkých druhov chldičiek určeých doáci trh. Pretože je veľký dopyt po 50 l chldičkách, počet vyrobeých chldičiek s objeo 250 l 500 l eôže prevýšiť polovicu iále ožého počtu chldičiek. Cieľo podiku je pri zdých podiekch produkcie odbytu ilizovť zisk z vyrobeých chldičiek. Ozče, 2, 3 počet vyrobeých chldičiek objeu 50 l, 250 l 500 l, ktoré sú koci esic predé doáco trhu. Počet 50 l chldičiek vyrobeých v do esici predých do zhriči ozče 4. Poto dú úlohu ôžee zpísť v sledujúco tvre 8

20 z() = ,50 3 2, ,25 0,25 2 0, , 2, 3, 4 0 Pri koštrukcii štvrtého ohričei se vychádzli z predpokldu, že eport je určeých iále 25 % z celkovej produkcie chldičiek určeých doáci trh. Túto podieku ožo teticky vyjdriť ko 4 0,25( 2 3 ) z toho 0,25 0,25 2 0, Všiie si, že 25% se zobrli z celkovej doácej produkcie ie z hodoty 3500, ktorá predstvuje iálu doácu produkciu. Optiále riešeie tejto úlohy je: * = 000, * 2 = 2 500, * 3 = 0, * 4 = 500, z(*) = Pláovie výroby s polotovri Fir vyráb tri druhy výrobkov A, B, C. Výrobky A, B ôžu byť buď fiályi výrobki lebo polotovri, ktoré s používjú vo výrobe fiálych výrobkov. Výrobok C je le fiály výrobko. Vo výrobe s používjú dve liitujúce suroviy S, S 2, ktorých dispoibilé ožstvá sú porde erých jedotiek (. j.). Osttých výrobých čiiteľov je dosttok. N sklde je 500. j. polotovru A. Podľ zlúv s odberteľi usí fir dodť spoň 400 jedotiek výrobku A odbyt zvyšých dvoch výrobkov ie je liitový. Techologické koeficiety jedotkové predjé cey (v ) sú zdé v sledujúcej tbuľke (v ktorej ziek koeficietov sú určeé z hľdisk vútrofireého, čiže spotrebovávé výrobé čiitele sú ozčeé klde, lebo do výroby prichádzjú výstupy jú záporé zieko, lebo z výroby odchádzjú). Zostvte úlohu lieáreho progrovi, určeie pláu výroby predj, ktorý zbezpečí iály čistý zisk. Výrobé Výrobky čiitele A B C Surovi S 3 2 0,5 Surovi S 2 0,8 4 Polotovr P A 2 3 Polotovr P B 0,8 Predjá ce Čistý zisk závisí od vyrobeého ožstv výrobkov A, B, C, ktoré ozčíe porde, 2, 3 ich predého ožstv, ktoré ozčíe porde, 2, 3. Budee ted uvžovť o šiestich trsforčých procesoch, pre ktoré zostvíe ziekovú štruktúru tbuľku v ktorej ziek koeficietov určíe z hľdisk vútropodikového, podobe ko vo vyššie uvedeej tbuľke. Výrobé Výrob Predj Relčé Disp./požd. Čiitele A B C A B C Ziek ožstvo Surovi S 3 2 0, Surovi S 2 0, Polotovr P A Polotovr P B 0,

21 Odbyt tov. A Cey 0 6 6, M Pri tvorbe ceových koeficietov v posledo ridku se predpokldli, že suroviy sú už kúpeé ich espotrebové ožstvo ie je ožé ejko využiť (pr. odpredť) ted ákldy e je ožé povžovť z uŕtveé ákldy (suk costs). Pri výpočte čistého zisku všk usíe zohľdiť ltertíve ákldy (opportuity costs) polotovry A, B, ktoré ôžu byť prio predé ko výrobky k s espotrebujú vo výrobe. N výrobu výrobku A s používjú le suroviy, ktoré ejú žide ltertíve využitie ted ákldy výrobu A sú ulové. Pri výrobe jedotkového ožstv výrobku B s okre suroví spotrebujú j dve jedotky polotovru A, ktorého predjo se ohli dosihuť príje 6. Podobe výrobu jedotkového ožstv výrobku C s spotrebujú 3 jedotky polotovru A, ktorého ltertívy predjo se ohli dosihuť príje 24,8 jedotky polotovru B, čo predstvuje ltertíve ákldy vo výške,8 2 = 37,8. Celkové ltertíve ákldy výrobu jedej jedotky výrobku C sú ted 6,8. Keďže z hľdisk vútropodikového tieto ákldy predstvujú úbytok ich zieko v ziekovej štruktúrej tbuľke je záporé. Tržb z predj predstvuje príje firy preto jej zieko je kldé. N záklde vytvoreej štruktúrej tbuľky ôžee zostviť túto úlohu LP: z = , , , , , 2, 3,, 2, 3 0. Táto úloh všk eá optiále riešeie, keďže jväčší zisk je z predj výrobku C, ktorý okre podieok ezáporosti ie je žide ohričeie. V prktických probléoch všk eohričeosť zostveej úlohy čsto zeá, že iektoré obedzujúce podieky eboli pri tvorbe odelu zohľdeé. Tk je tou j v toto prípde, lebo predé ožstvo eôže byť väčšie ko je vyrobeé ožstvo, lebo židy výrobok C ebol sklde. Ted do štruktúrej tbuľky usíe dopliť ridok liitujúci odbyt výrobku C. To á uoží sforulovť odbytové ohričeie pre výrobok C v tvre Podobe pre výrobky A, B by bolo treb stoviť odbytové ohričei. Ľhko s všk ožo presvedčiť, že tieto sú už dôsledko ohričeí uvedeých prv. 3.4 Prirďovcí problé Podik á k dispozícii 3 druhy strojov S, S 2, S 3, ktorých vyráb 3 druhy výrobkov V, V 2, V 3. Počet strojových hodí, ktoré ozčujú, ko dlho prebieh výrob i-tého druhu výrobku j-to stroji, sú uvedeé v tbuľke 3.2. Tbuľk 3.2 S S 2 S 3 V V V Úlohou je prirdiť výrobu jedotlivých druhov výrobkov stroje S, S 2, S 3 tk, by počet strojových hodí, ktorý je potrebý vykoie všetkých prác, bol iiály. Ozče prirdeie výroby i-tého výrobku k j-téu stroju ko ij. Prito ij =, k je i-tá výrob prirdeá j-téu stroju, v opčo prípde ij = 0. Mtetická foruláci úlohy LP je poto tkáto: i z() =

22 2 3 = = = 2 3 = = =, 2, 3, 2, 22, 23, 3, 32, 33, {0, } Optiále riešeie úlohy je * = 0 * 2 = * 3 = 0 * 2 = 0 * 22 = 0 * 23 = * 3 = * 32 = 00 * 33 = 0 z(*) = 00 Všeobece ožo prirďovcí problé zpísť v tvre z() = c i j i= j= j= i= i j = pre všetky j =, 2,, i j = pre všetky i =, 2,, i j ij {0, } pre všetky i =, 2,, ; j =, 2,, Z uvedeého je zrejé, že prirďovcí problé je jedou z ožých odifikácií doprvej úlohy spdá do triedy úloh zývé distribučé probléy. Podiek by štruktúre preeé dobúdli le biáre hodoty je špeciály prípdo dodtočých podieok preeé v úlohe LP, ktoré ožo vo všeobeco prípde zpísť v tvre j D j pre (iektoré) j {,..., }. V prípde, že D j := {0, ±, ±2,...} pre všetky j {,..., } hovoríe o úlohe celočíselého progrovi jej riešeie vyžduje špeciále lgority. 3.5 Úloh výberu portfóli Problé výberu portfóli vziká príkld vtedy, keď treb rozdeliť určitú suu peňzí edzi vicero ivestičých ožostí. Zložki výberu ôžu byť rôze druhy ceých ppierov, dlhopisy, rozličé projekty získie lebo zrideie ových podikov. Svojou podsttou s probletik výberu portfóli rdí k lokčý (prirďovcí) probléo. Tkúto úlohu ožo forulovť rôzych úrovich tetickej zložitosti pri plikácii rôzych etód riešei. Npríkld účelová fukci ilizáciu býv čstejšie elieár ko lieár. Ďlej le ilustráciu ožosti použiti lieáreho progrovi uvediee veľi zjedodušeý problé výberu portfóli, ktorý je zložeý predpokldoch lierity. Predpokldje, že vedeie podiku s rozhodlo ivestovť Fičé oddeleie podiku poskyte údje o očkávých výosoch zo všeobecých kcií, preferových kcií, dlhopisov podiku, štátych dlhopisov úspor v bke. Jedotlivé údje o očkávých ročých výosoch z jedotlivých ožostí ivestovi uvádze v tbuľke 3.3. Tbuľk 3.3 Možosti ivestovi Očkávý ročý výos Všeobecé kcie 4 % Preferové kcie 7 % 2

23 Dlhopisy podiku % Štáte dlhopisy 6 % Úspory v bke 5 % Predpokldje ďlej, že uvedeé výosy sú reltíve stbilé, ted pre horizot prijíého rozhoduti sú koštté (teto predpokld je veľi zjedodušujúci, pretože rozhodutie v podobých otázkch vyžduje v pri prihlidť j rizikový fktor pre kždú z ivestičých ožostí). Ako ciele rozhoduti sú stoveé určité podieky, ktoré treb pri ivestoví suy peňzí brť do úvhy:. Ivestovie do všeobecých preferových kcií eôže byť väčšie ko 25 % celkových dispoibilých ivestičých prostriedkov (0 000 ). 2. Ivestovie do štátych dlhopisov eôže byť ešie ko ožstvo úspor v bke. 3. Ivestovie do dlhopisov podiku štátych dlhopisov eôže byť väčšie ko 50 % celkových vyložeých ivestícií. Cieľo vedei podiku je prijť tké rozhodutie, by bol ilizový očkávý ročý výos, zároveň by s rešpektovli všetky stoveé podieky. Preeé, 2, 3, 4 5 budú predstvovť ožstvá ivestičých prostriedkov, ktoré jú byť prideleé ákup všeobecých kcií, preferových kcií, dlhopisov podiku, štátych dlhopisov lebo úspory v bke. Poto ožo úlohu LP forulovť tkto: z() = 0,04 0,07 2 0, 3 0,06 4 0, , 2, 3, 4, 5 0 Posledé ohričeie se dostli z tretej podieky ivestovie do dlhopisov podiku štátych dlhopisov (eôže byť väčšie ko 50 % celkových ivestičých prostriedkov), čo ožo teticky vyjdriť v tvre po úprve Optiále riešeie úlohy je 3 4 0,5( ) * = * 2 = 0 * 3 = * 4 = * 5 = z(*) = Rozložeie rizik pôžičiek Bk zridil pobočku, ktorá á slúžiť ko peňžý ústv pre študetov. Vyčleil prito pre študetov 5 il. pôžičky, ktoré ôžu dobudúť tri zákldé fory: pôžičk štúdiu s ručiteľo, pôžičk štúdiu bez ručiteľ pôžičk ákup bytu. Bk poskytuje pôžičky záklde určitých podieok. Ročé zúročeie pôžičky štúdiu s ručiteľo je 5 % z požičej suy, bez ručiteľ 8 % z požičej suy ákup bytu je ročý úrok z požičej suy 9 %. N záklde predchádzjúcich skúseostí s žet bky rozhodol, že ie vic ko 0 % z celkového rozpočtu určeého pôžičky je ožé použiť štúdiu bez ručiteľ, ie vic ko 25 % ákup bytu, le jeej 30 % z rozpočtu usí byť poskytutých pôžičky určeé štúdiu (s ručiteľo j bez ručiteľ). Okre toho bk poskytuje j bežé koerčé pôžičky podikteľo. Ročý úrok je 0 % z požičej suy. Kždá pôžičk priáš prito pre bku určité riziko. Alytické oddeleie bky určilo odhd rizik pre jedotlivé pôžičky ( štúdiu s ručiteľo, štúdiu bez ručiteľ, byt podikteľo) :4:3:. Portfólio rozložei rizik pôžičiek esie prekročiť hodotu,75 z celkovej vypožičej suy. Úlohou je určiť tkú skldbu pôžičiek, ktorá by priiesl bke iály výos z úrokov. Zápis úlohy LP (v il. eur): 22

24 z() = 0,05 0,08 2 0,09 3 0, ,5 3 3, ,75 2,25 2,25 3 0,75 4 0, 2, 3, 4 0 Pite ohričeie vychádz z predpokldu; že pri odhduto poere rizik pôžičiek :4:3: esie portfólio jeho rozložei prekročiť hodotu,75 z celkovej vypožičej suy: ,75( ) po úprve 0,75 2,25 2,25 3 0, Optiále riešeie úlohy je (v il. ) * = 3 * 2 =,5 * 3 = 0 * 4 = 0,5 z(*) =, Optilizáci osevých plôch Iý príkldo využiti lieáreho progrovi ôže byť oblsť poľohospodárskej produkcie. Predpokldje, že poľohospodársk fr á vo vlstíctve 200 h pôdy boity A 95 h pôdy boity B. Túto pôdu chce osiť tro poľohospodárskyi plodii P, P 2, P 3 tk, by ákldy osev boli iiále. Údje o prieerých výosoch, pláovej iiálej potrebe ákldoch osev jedotlivých plodí sú uvedeé v tbuľke 3.4. Tbuľk 3.4 Nákldy osev (v ) Prieeré výosy (t/h) P P 2 P 3 P P 2 P 3 Boit A ,7 2,9 3, Boit B ,9 2,4 2,4 Miiál potreb (t) Úlohou je určiť osev i-tej plochy j-tou kultúrou výere ij. Poto ožo úlohu zpísť v tvre: i z() = ,7 2, ,9 2 2, , 3 2, , 2, 3, 2, 22, 23 0 Optiále riešeie úlohy je * = 94,59 * 2 = 8,63 * 3 = 96,77 * 2 = 0 * 22 = 72,9 * 23 = 0 z(*) = , Optilizáci počtu súprv (kopletov) Podik vyráb súprvu, ktorú tvori 3 výrobky V, V 2, V 3 poocou 4 techológií. N ich výrobu spotrebúv suroviu S, ktorej á k dispozícii jedotiek. Ďlej sú produkciu výrobkov po- 23

25 trebé 3 polovýrobky P, P 2, P 3, ktoré podik vyráb j spotrebúv vo vlstej réžii. Zčitočá zásob polovýrobku P je 500 jedotiek polovýrobku P jedotiek. Polovýrobok P 2 ie je zčitku uvžového obdobi k dispozícii. V súprve usi byť výrobky v poere 5:2:3. Techologické koeficiety spotreby pre jedotlivé výrobky polovýrobky uvádze v tbuľke 3.5. Tbuľk 3.5 Techológi Surovi S Polovýrobok P Polovýrobok P Polovýrobok P Výrobok V Výrobok V Výrobok V N rozlíšeie ožstiev vstupov výstupov vo výrobo procese záporé hodoty v tbuľke ozčujú spotrebu suroviy lebo polovýrobkov P, P 2, P 3 v jedotlivých techológiách. Kldé hodoty vyjdrujú ožstvo vyprodukových jedotiek príslušých polovýrobkov hotových výrobkov prostredíctvo jedotlivých techológií. Preeé, 2, 3, 4 budú ozčovť hľdé itezity využiti jedotlivých výrobých techológií. Ďlej zvediee preeú 5, ktorá bude ozčovť počet súprv. Cieľo je zbezpečiť výrobu iáleho počtu súprv. Pretože výrobok V je produkový všetkýi 4 výrobýi techológii v jedej súprve usí byť 5 jedotiek tohto výrobku, príslušé ohričei ožo zpísť ko z čoho lebo obrátee Ohričeie je v tvre (resp. ), pretože počet vyprodukových jedotiek výrobku V esie byť eší ko celkový počet vyrábých súprv ásobeý pitii. Rovký spôsobo ožo zpísť podieky výroby výrobkov V 2 V 3. Úlohu lieáreho progrovi poto ožo zpísť v tvre M z() = , 2, 3, 4, 5 0 Optiále riešeie úlohy je (v úlohe opäť pre zjedodušeie zedbáve požidvku celočíselosti): * = 2 57,9 * 2 = 46,95 * 3 = 0 * 4 = 2 266,95 * 5 = 3 043,50 z(*) = 3 043,503 V prípde riešei úlohy poocou lgoritov celočíselého progrovi by optiály riešeí bolo 24

26 * = 2 57 * 2 = 47 * 3 = 0 * 4 = * 5 = z(*) = Tu je ieste upozoreie, že celočíselé riešeie ie je vždy ožé dostť zokrúhleí riešei s reályi zložki, tk ko to áhodou vyšlo v uvedeo príklde. V litertúre s čsto uvádzjú j ié oblsti využiti úloh lieáreho progrovi, príkld pri ziešví leteckých bezíov, pri rdičej terpii v oblsti edicíy, pri kotrole zečistei ovzduši, pri výstvbe veľkých vodých diel podobe. 3.9 Cvičei. Prcový deň policjo oddeleí estskej čsti Petržlk je rozdeleý do štyroch prcových zie: od 2:00 do 8:00, od 8:00 do 24:00, od 24:00 do 6:00 koiec od 6:00 do 2:00. N jedotlivých zeách je potrebý sledujúci počet prcovíkov: 5 prcovíkov od 6:00 do 2:00, 2 prcovíkov od 2:00 do 8:00, 6 od 8:00 do 24:00 5 od 24:00 do 6:00. Všetci prcovíci prcujú vždy dve šesťhodiové prcové zey. Prcovíci prcujúci v po sebe idúcich zeách dostávjú 2 z hodiu, ztiľ čo prcovíci, ktorých prcové zey esledujú po sebe dostávjú 8 z hodiu. Zostvte úlohu LP ktorá uoží určiť iiále ákldy, pri ktorých sú spleé podieky obsdeosť prcových zie policjo oddeleí. 2. Fir Moet vyráb štyri typy ráov obrzy, ktoré ozčíe R, R2, R3, R4. Tieto štyri typy s líši veľkosťou, tvro ožstvo použitého terilu. Kždý typ vyžduje určité ožstvo odborej práce, kov sklo v ožstve udo v tejto štruktúrej tbuľke, pod ktorou je ridok udávjúci iály odbyt jedotlivých ráov: R R2 R3 R4 Dispoibilé ožstvo Prác [h] Kov [kg] Sklo [kg] Zisk [ ] Odbyt [ks] Zostve úlohu LP, ktorá uoží určiť výrobý plá s iály zisko. 3. Potrviársk fir vyráb dv druhy koláčov: syrový koláč jblkový koláč. V ľubovoľo di ôže pekáreň upiecť jvic 65 koláčov. Nákldy výrobu jedého koláč, deý dopyt po koláčoch, ktorý usí byť uspokojeý čs sú uvedeé v Tbuľke.Koláče ôžu byť skldové ákldy skldovie počs jedého dň čii 50 cetov z syrový koláč 40 cetov z jblkový koláč. Zostvte úlohu LP, ktorej riešeie určí s kýi iiályi ákldi je ožé uspokojiť dopyt v troch sledujúcich dňoch. Tbuľk Deň Deň 2 Deň 3 Dopyt Nákldy Dopyt Nákldy Dopyt Nákldy Syrový Jblkový Istá cheická fir vyráb tri cheikálie, ktoré ozčíe A, B, C. Tieto cheikálie sú vyrábé prostredíctvo dvoch výrobých procesov: 2. Jed hodi čiosti procesu stojí 4 vyprodukuje 3 jedotky A, jedotku B jed. C. Nákldy jedu hodiu čiosti procesu 2 sú vyrobí s jedotk A jed. B. N uspokojeie požidviek spotrebiteľov treb dee vyrobiť spoň 0 jedotiek A, 5 jedotiek B 3 jedotky C. Určte koľko hodí dee usi bežť jedotlivé výrobé procesy k jú byť spleé požidvky spotrebiteľov. 5. Fir výrobu futblových lôpt s usí rozhodúť, koľko lôpt vyrobí kždý esic počs šesťesčého pláovcieho obdobi. Predpokldý dopyt pre sledujúcich šesť esicov je vyjdreý čísli: 000, 500, 3000, 3500, 2500, 000. Fir chce čs uspokojiť uvedeý dopyt pričo vie, že oetále á sklde 500 kusov lôpt uspokojeie dopytu ôže použiť výrobu v bežo esici ko j skldové zásoby. Výrobé kpcity uožňujú vyrobiť iále 3000 lôpt v kždo esici uskldiť ožo jvic 000 lôpt. Predpokldé výrobé ákldy 25

27 jedu loptu v sledujúcich šiestich esicoch sú: 2,50, 2,55, 2,70, 2,80, 2,85, 2,95. Mesčé ákldy skldovie jedej lopty sú 5% výrobých ákldov v do esici, čo predstvuje ákldy skldovie plus vizé fičé zdroje. Predjú ceu lopty fir epovžuje z relevtú pre stoveie výrobého pláu, lebo predpokldá, že všetok dopyt bude uspokojeý v do esici, bez ohľdu to ká je ce lopty. Zostvte úlohu LP, ktorá fire uoží stoviť tký výrobý plá, ktorý iilizuje celkové ákldy - výrobé plus skldovcie. 6. Pri rieke Váh sú tri továre, ozče ich T, T2, T3, ktoré zečisťujú rieku vypúšťí odpdu obshujúceho dv typy zečisťujúcich látok L, L2. Ak sú látky z kždej továre pred vypusteí do rieky uprveé, zoreie rieky s zíži. Úprv kždej toy odpdu z továre T stojí 50 úprvou s zíži obsh látky L o 0, toy látky L2 o 0,45 toy. Nákldy úprvu kždej toy odpdu z továre T2 sú 00 úprvou s zíži obsh L o 0,2 toy látky L2 o 0,25 toy. Nákldy úprvu kždej toy odpdu z továre T3 sú 200, čí s zíži obsh L o 0,4 toy L2 o 0,3 toy. Štát chce zížiť zečisteie rieky látkou L spoň o 30 to látkou L2 spoň o 40 to. Určte ko dosihuť poždové zížeie zečistei rieky s iiályi ákldi. 7. Odevá fir vyráb košele ohvice. N ušitie košele s spotrebuje 2 2 látky jedy ohvice 3 2.V dchádzjúcich dvoch esicoch usi byť čs spleé tieto objedávky: v prvo esici 000 košieľ 500 ohvíc; v druho esici 200 košieľ 400 ohvíc. V jedotlivých esicoch sú k dispozícii tieto zdroje: v prvo esici v druho esici látky. Látku, ktorú espotrebujú vo výrobe v prvo esici ožo použiť v druho esici. V kžo esici výrobu kždého z dvoch rtiklov sú jedotkové ákldy 4 v rido prcovo čse 8 pri práci dčs. V jedo esici ôže byť v rido prcovo čse vyrobeých jvic 2500 kusov odevu ľubovoľé ožstvo v dčsových hodiách. N koci kždého esic odevy sklde sú zťžeé skldovýi ákldi 3 z kus. Zostvte úlohu LP určeie výrobého pláu, ktorý uoží spliť včs zdé objedávky s iiályi ákldi. Predpokldáe, že zčitku prvého esic je sklde 00 košieľ 200 ohvíc čiosti ôžu byť vykoé 5 strojoch. Kždý stroj ôže byť prirdeý jvic jedej čiosti. Čs potrebý vykoie čiosti kždo stroji je dý v sledujúcej buľke. Zostvte úlohu LP poocou ktorej je ožé urobiť tké prirdeie čiostí strojov, ktoré bude iilizovť čs potrebý dokočeie čiostí. Stroj Čiosť Fir vyráb dv druhy prféov Brutte Chelle. Suroviu potrebú výrobu oboch druhov kupuje fir z 35 /kg. Sprcoví kg suroviy v lbortóriu počs hodiy s získ 3 dcl toletej vody Brute 4 dcl toletej vody Chelle. Toletá vod Brute s predáv z 7 /dcl toletá vod Chelle s predáv z 6 /dcl. Fir á ožosť ďlší lbortóry sprcoví toletej vody získť luusý prfé. Lbortóry sprcoví dcl toletej vody počs 3 hodí s dodtočýi ákldi 4 s získ dcl prféu Brutte, ktorý s predáv z 8 /dcl. Lbortóry sprcoví dcl toletej vody Chelle počs 2 hodí s dodtočýi ákldi 4 s získ dcl prféu Chelle, ktorý s predáv z 4 /dcl. Ročý fod prcového čsu lbortóri firy je 6000 hod. fir á ožosť kúpiť roče jvic 4 toy zákldej suroviy. Sforulujte úlohu LP, ktorá uoží fire ilizovť jej ročý čistý zisk. Predpokldje, že ce lbortórych prác tvorí fié ákldy. 26

28 4 EKVIVALENTNÉ TVARY ÚLOH LINEÁRNEHO PROGRAMOVANIA Ako se videli v predchádzjúcich odsekoch, tetická foruláci úloh lieáreho progrovi ôže viesť k rôzy tvro ohričujúcich podieok k jedéu z dvoch cieľov. Cieľo úlohy ôže byť buď ilizáci iektorého prostriedku (úlohu vtedy zýve ilizčou úlohou), lebo je cieľo iilizáci ( vtedy hovoríe, že je to úloh iilizčá). Všetky tieto úlohy sú všk špeciály prípdo sledujúcej všeobecej úlohy lieáreho progrovi. 4. Všeobecý tvr úlohy lieáreho progrovi Hovoríe, že úloh lieáreho progrovi je vo všeobeco tvre, k jej tetická foruláci je sledujúc: Treb ájsť -ticu čísel (,, ), v ktorej dobúd poždovú etreálu hodotu (optiálu hodotu, ktorú ozčíe sybolo opt, ktorý predstvuje buď ilizáciu lebo iilizáciu) lieár fukci preeých, zývá účelová fukci z podieok z = c c opt (3.) K = b M M M K = b r r r K b r, r, r M M M K b (3.2) j 0 (j J) (3.3) kde 0 r J {,, } je oži ideov tých preeých, ktoré spĺňjú podieky ezáporosti ôže byť poprípde j prázd. Nerovicové ohričei ôžu ť ziek erovosti oboch typov. V teoretických úvhách budee iekedy uvžovť le o erovicich toho istého typu, čo všk eovplyví pltosť záverov j pre všeobecý prípd. Kokréte úlohy lieáreho progrovi s ôžu od uvedeého všeobecého tvru líšiť v to, že s v ich evyskytujú rovicové ohričei lebo erovicové ohričei. Tktiež s eusi eplicite vyskytovť podieky ezáporosti (k J = Ø), hoci ie je vylúčeé, že tieto sú iplicite zhruté v ohričeich (3.2). 4.2 Nerovicový tvr úlohy LP Je to špeciály prípd úlohy 4., v ktorej je r = 0 (to zeá, chýbjú rovicové ohričei), prípdé ohričei ziek preeých sú zhruté v štruktúrych ohričeich. Ted je to úloh, v ktorej treb určiť optiu účelovej fukcie z = c j j opt j = pri ohričeich K b M M M K b 27

29 Kždá úloh LP je ekvivletá s úlohou LP v erovicovo tvre, ktorá á rovkú ožiu prípustých riešeí ted j ožiu optiálych riešeí. Totiž kždú rovicu L = b Možo hrdiť ekvivletou sústvou dvoch erovíc L b L b Tkúto trsforáciu úlohy LP v ktorej (iektoré) rovice hrdíe erovici zvee trsforáci typu. 4.3 Koický tvr úlohy LP iu (iiu) Je to špeciály tvr erovicovej úlohy LP v ktorej ilizujee účelovú fukciu pričo všetky erovosti v štruktúrych ohričeich sú typu všetky preeé sú ezáporé. Ted je to úloh LP v tvre z = c j = j K b M M M K b,. 2,..., 0 Mticový tvr jej zápisu je {c T A b, 0}, kde vektory povžujee z stĺpcové vektory. Koická úloh iiu á podobý tvr, le účelová fukci s iilizuje všetky erovosti sú typu.v ticovo tvre ju ožo zpísť ko i{ c T A b, 0}. Úlohy LP v koicko tvre jú tú výhodu, že s pre e jedoducho forulujú dokzujú iektoré tvrdei z teórie dulity. Koická úloh iiu je ekvivletá s koickou úlohu iu, lebo iilizáciu účelovej fukcie z() ožo zeiť ilizáciu opčej účelovej fukcie z() záklde idetity i z() = ( z()) Túto idetitu ožo zreje zpísť v ekvivleto tvre z() = i ( z()) trsforáciu úlohy LP záklde iektorej z týchto dvoch idetít zvee trsforáci typu 2. Okre toho kždú erovicu L b ožo vyásobeí zeiť erovicu ( ) L ( ) b trsforáciu úlohy LP v ktorej (iektoré) ohričei preásobíe číslo zvee trsforáci typu 3. Budee hovoriť, že dve úlohy LP sú ekvivleté k jedu z ich ožo pretrsforovť druhú použití trsforácií typu 3 koečý počet krát. Zreje ekvivleté úlohy LP jú rovkú ožiu prípustých i optiálych riešeí. Obrátee všk úlohy s rovkou ožiou prípustých riešeí eusi byť ekvivleté. j 4.4 Štdrdý tvr úlohy LP Hoci erovicové tvry úloh LP sú výhodé z teoretického hľdisk, prktické lgority pre riešeie úloh lieáreho progrovi sú všk vyprcové zväčš pre úlohy s ohričujúcii podie- 28

30 ki v rovicovo tvre, v ktorých všetky preeé splňujú podieky ezáporosti. Sú to ted úlohy zpísé v tvre z = c opt j = j K = b M M M K = b,. 2,..., 0 Ako se už uviedli rovice ožo pretrsforovť erovice použití trsforácie typu 2 s tý istý počto preeých. Obrátee to všk epltí erovice ožo previesť rovice le z ceu zvýšei počtu preeých (k chcee zchovť lieárosť použitých vzťhov). Nerovicu je ožo hrdiť dvo lieáryi ohričeii L b i i i L v= b i i i i j v 0 Preeú v i zýve doplková preeá predstvuje hodotu o ktorú treb dopliť ľvú stru erovice by vzikl rovosť. Podobe erovicu L b i i i ožo uprviť rovicu k od ľvej stry odčíte ezáporú preeú v i ted dú erovicu je ožo hrdiť dvo ohričeii L v= b i i i i vi 0 Preeú v i zýve prebytková preeá predstvuje hodotu o ktorú ľvá str erovice prevyšuje prvú stru tejto erovice. Doplkové prebytkové preeé zýve spoločý ázvo sklzové preeé (resp.rezervé preeé, keďže udávjú s kou rezervou je dé erovicové ohričeie spleé oproti ohričeiu s rovosťou). Trsforáciu úlohy LP v ktorej (iektoré) erovice hrdíe rovici s využití sklzových preeých zýve trsforáci typu 4. Ešte si všiie ko ožo voľé preeé v úlohe LP pretrsforovť úlohu s ezáporýi preeýi. Z vlstostí reálych čísel je záe, že kždé reále číslo ožo vyjdriť ko rozdiel dvoch ezáporých reálych čísel pričo toto vyjdreie ie je jedozčé, pr. 8 = 8 0 = 9 = 23 7 podobe 5 = 0 5 = 2.6 7,6. Túto ejedozčosť odstráie tk, že si zvediee dve fukcie reáleho rguetu : = (0, ) : = (0, ) Z ktorých prvú zýve kldá čsť čísl druhú záporá čsť čísl čo je sáď trochu zvádzjúce, lebo obe tieto hodoty sú ezáporé reále čísl. Ľhko ožo overiť že pltí idetit = trsforáciu úlohy LP v ktorej se všetky voľé preeé hrdili rozdielo dvoch ezáporých preeých zvee trsforáci typu 5. Budee hovoriť, že ejká úloh LP, U 2, vzikl redukciou úlohy U (lebo tiež, že U je redukovteľá U 2 ) k úlohu U 2 ožo dostť z dej úlohy U použití trsforácií typu 5 koečý počet krát. Ted ekvivletosť úloh LP je špeciály prípd vzťhu redukovteľosti. Redukovteľosť všk vo všeobecosti ezchováv ožiu prípustých riešeí. Aj v prípde redukovej úlohy všk viee kždéu prípustéu (resp. optiáleu) riešeiu (, -, v) redukovej úlohy jedo-jedozče prirdiť prípusté (resp. optiále) riešeie pôvodej úlohy to tk, že jedoducho vyecháe všetky sklzové preeé tvorice vektor v pôvodý vektor štruktúrych preeých dostee zo vzťhu =. Ted všetky úlohy LP uvedeé v sú redukovteľé i 29

31 jed druhú. Špeciále kždá úloh LP je redukovteľá štdrdú úlohu LP. To využijee to, že keď v ďlšo tete uvediee ejkú etódu riešei pre jede z uvedeých tvrov úloh, bude ožé touto etódou (spoň pricipiále) vyriešiť ľubovoľú úlohu LP. 4.5 Cvičei. Uprvte sledové úlohy LP koický tvr () Mi 2 2 (b) M (c) Mi , = 3 2 = , 0 2 0, Úlohy z predchádzjúceho cvičei redukujte štdrdý tvr. 3. K úlohá zostveý v Cvičeich 2.4 utvorte redukciu štdrdý tvr. Vysvetlite výz prípdých sklzových preeých, ktoré ste pri redukcii useli použiť. 5 GRAFICKÁ METÓDA RIEŠENIA ÚLOH LP Grfické riešeie úloh LP je vhodé le pre úlohy s dvo lebo tro štruktúryi preeýi slúži jä pre lepšie pochopeie postupu ich riešei, ko j pri geoetrickej iterpretácii sipleovej etódy. Reále úlohy LP jú čstokrát stovky preeých i štruktúrych ohričeí tkéto úlohy je ožé riešiť le lgebrickou etódou s využití účiých lgoritov ipleetových počítčoch. Nájdeie optiáleho riešei úlohy LP s dvo preeýi grfickou etódou budee ilustrovť sledujúco príklde. 5. Milizčý problé úloh o zesi Výskuý ústv testuje dv druhy prieyselých hojív H H 2, ktorých kobiáciou by s lo zbezpečiť zvýšeie hektárových úrod. Prieyselé hojivá s vyrábjú z 5 druhov suroví. Tri zdroje á ústv obedzeé špeciálu prísdu vyrábú osobitou techológiou, elektrickú eergiu vápik. Pri výrobe toy prvého druhu hojiv s spotrebuje kg špeciálej prísdy 4 kwh elektrickej eergie, pričo ko odpd zoste kg vápik. Pri výrobe t druhého druhu hojiv s spotrebuje kg špeciálej prísdy, uvoľí s eergi, ktorá poocou geerátor zbezpečí vyprodukovie 4 kwh elektrickej eergie spotrebujú s 4 kg vápik. Ústv á k dispozícii 0 kg špeciálej prísdy, z elektrickej siete ôže odoberť iále 20 kwh k dispozícii je 0 kg vápik vyrobeého vo vlstej réžii. Vzhľdo zložeie pôdy by kobiáci hojív l obshovť iiále 6 kg horčík, pričo t hojiv H ho obshuje 2 kg H 2 kg. Ak sú predjé cey prvého hojiv 300. druhého 800., treb určiť, ká skldb výroby hojív priesie výskuéu ústvu iály príje. Ak ilizujee príje v stovkách euro ôžee túto úlohu zpísť v tvre. z() = () (2) (3) (4) 0 (5) 2 0 (6) 30

32 Jedotlivé erovice z ohričeí úlohy zkreslíe do obrázku 5. určíe oblsť ich riešei. Pretože usi byť spleé podieky ezáporosti ( j 0) pripusté hodoty preeých 2 leži v prvo kvdrte dvojrozerého priestoru (prieik ohričeí (5) (6)). (4) Obr. 5. Kždá z erovíc rozdeľuje dvojrozerý priestor (roviu) dv polpriestory (polroviy). V jedo je erovic spleá, v druho ie. Hricou, rozdeľujúcou dv zodpovedjúce polpriestory, je prik, ktorej je príslušá erovic spleá ko rovosť. Polpriestor, ktorý zodpovedá príslušý erovici, určujee záklde splei, resp. esplei zodpovedjúcej erovice pre iektorý vybrý bod io hričej priky. Ak v zvoleo bode je erovosť spleá, tk celý polpriestor, určeý hričou prikou týto bodo je ožiou všetkých riešeí dej erovice. Ak erovosť pre teto zvoleý bod epltí, tk ožiou riešeí dej erovice je tá z dvoch polroví určeých hričou prikou, ktorá teto bod eobshuje. Npríkld erovic 2 0 rozdeľuje roviu dve polroviy. Prito hricou, ktorá ich rozdeľuje je prik určeá rovicou 2 = 0, ktorá je obrázku 5. ozčeá číslo. Pod touto prikou leží polpriestor, kde je erovic 2 0 spleá, lebo z vybrý bod ôžee zvoliť príkld počitok súrdicovej sústvy (0, 0) pre ktorý pltí 0 0 < 0. Možiu všetkých riešeí tejto erovice budú ted tvoriť body, ktoré s chádzjú tej istej stre hričej priky ko vybrý bod. Rovký spôsobo ožo postupovť j pri ďlších troch erovicich. Oblsť, ktorá vyhovuje všetký erovici (štruktúry ohričei podiek ezáporosti), je ožiou prípustých riešeí úlohy ozčíe ju Θ. Táto oblsť vzikl ko prieik šiestich polroví. Všeobece ožiu, ktorá je prieiko koečého počtu uzvretých polpriestorov (defiových lieáryi erovici) zýve polyedrická oži. Polyedrická oži á vždy koečý počet krjých bodov ( obr. 5. l sú to vrcholy A, B, C, D, E) Ukáže si obrázku 5. iektoré vlstosti úloh LP. Moži prípustých riešeí je obrázku 5. vypleý päťuholík ozčeý Θ. Jeho vrcholy A, B, C, D, E predstvujú bázické prípusté riešei. Bod F je bázický riešeí, le bázický eprípustý riešeí, pretože evyhovuje podiek (3) (6). Počet bodov, ktoré tvori ožiu prípustých riešeí obrázku 5., je ekoečý. V teórii lieáreho progrovi s dokzuje, že k á úloh LP optiále riešeie eistuje j krjý bod v ktoro účelová fukci dobúd svoje optiu. Preto pri hľdí riešei úlohy LP stčí ájsť krjý bod ožiy prípustých riešeí, v ktoro účelová fukci dobúd optiálu hodotu. Účelová fukci úlohy 5. dobúd svoju iálu (resp. iiálu) hodotu v iektoro krjo bode polyedrickej ožiy, ktorej je defiová. Stčí ted preskúť hodoty, ktoré účelová fukci dobúd vo vrcholoch A, B, C, D, E, porovť ich. Vo všeobecosti všk pri použití grfickej etódy riešei eusíe skúť hodoty účelovej fukcie vo všetkých krjých bodoch, le le v krjo bode, ktorý je jďlej v sere orálového vektor c, lebo účelovú fukciu z() =

33 je ožé geoetricky iterpretovť poocou jej vrstevíc, čiže priok ktorých táto fukci dobúd koštté hodoty. Vrstevici tejto lieárej fukcie sú rovobežé priky ktoré sú kolé vektor c = (3, 8), ktorý určuje ser jrýchlejšieho rstu hodoty fukcie z() (t. zv. orálový vektor). V zčitku súrdicového systéu zostrojíe kolicu vektor c, ktorá predstvuje úrovňovú priku (vrstevicu) účelovej fukcie ktorej dobúd hodotu z() = 0. Túto úrovňovú priku posúve v sere vektor c, pričo zodpovedjúce hodoty z() rstjú. Posu je ohričeý ožiou krjých (bázických) prípustých riešeí tk, by žide bod ožiy prípustých riešeí eležl d úrovňovou prikou, ktorá prechádz cez teto bod. V toto bode účelová fukci dobúd svoju iálu hodotu. N obrázku 5. je to bod D so súrdici * = 6 * 2 = 4. Súrdice bodu optiáleho riešei ožo vypočítť záklde priesečík priok určeých rovici 2 = = 0 Bod D je optiály riešeí úlohy, pričo optiálu hodotu účelovej fukcie získe po dosdeí súrdíc *, * 2 do účelovej fukcie, ted z(*) = = Miilizčý problé úloh o výžive Pri iilizčých úlohách lieáreho progrovi predchádzjúci postup odifikujee tk, že iio je krjý bod ožiy prípustých riešeí, v ktoro pri posue úrovňovej priky v sere vektor c žide bod ožiy prípustých riešeí eleží pod úrovňovou prikou, prechádzjúcou cez teto bod. Uvžuje o problée výživy, ktorý se sforulovli v odseku.3. Pre túto úlohu je hľdý optiály riešeí bod, ktorý leží priesečíku priok určeých rovici 0, 0, 2 = 0,2 2 = 6. Vyriešeí týchto dvoch rovíc s dvo ezáyi určíe súrdice bodu optiáleho riešei * = 5 * 2 = 5. Hodot účelovej fukcie po dosdeí hodôt *, * 2 je z(*) = Cvičei. Sú dé tri účelové fukcie v úlohách LP s dvoi rozhodovcíi preeýi:. z = (b) z = (c) z = Určte sericu (vrstevíc) kždej z týchto účelových fukcií zostrojte ich grf pre z = Zázorite v rovie sledové percetuále ohričei v úlohách LP s dvo rozhodovcíi preeýi.. 0,25( 2 ) (b) 2 0,75( 2 ) (c) 0,5( 2 ) 3. V kždo z prípdov () (f) určte ožiu prípustých riešeí dej sústvy ohričeí 32

34 () (b) (c) = , 2 0 (d) (e) (f) , , = 200, 2 0, Pre kždú z sledujúcich úloh zistite, či stáv optilit, eohričeosť lebo eprípustosť dej úlohy. () M (b) M 2 (c) Mi , , 2 0, 2 0 Viete ohričei dej úlohy uprviť tk, by úloh zeil svoj chrkter iektorý zo zvyšých dvoch? 5. Zázorite v rovie ožiy prípustých riešeí v úlohách LP z Cvičei Geoetrickou etódou vyriešte príkld () z Cvičei Koľko vkov kždého typu bude fir vyrábť? b. Aký je celkový zisk firy? c. Koľko hodí v kždo oddeleí bude spotrebových v optiálej výrobe? d. Aké sú hodoty sklzových preeých pre kždú operáciu vo výrobe? Tieto otázky zodpovedzte j pre prípdy (b) (d) v Geoetrickou etódou vyriešte príkldy z Cvičei 2.4 zodpovedzte tieto otázky. Aké je optiále riešeie dej úlohy? b. Aká je optiál hodot účelovej fukcie? c. Urobte bilciu využiti všetkých zdrojov v optiálo riešeí. d. Aké sú hodoty sklzových preeých pre erovicové štruktúre ohričei? e. Ekooicky iterpretujte hodotu kždej sklzovej preeej v optiálo riešeí. f. Ktoré ohričei sú ktíve v ájdeo optiálo riešeí? g. Je ájdeé optiále riešeie jediý riešeí dej úlohy? 6 TECHNIKA RIEŠENIA ÚLOH LP SIMPLEXOVOU METÓDOU Sipleová etód riešei úloh LP je jzáejšou uiverzálou etódou riešei úloh LP. Túto etódu rozprcovl v roku 947 George B. Dzig odvtedy s s veľký úspecho použív pri riešeí ekooických i techických probléov. Zákldá výpočtová relizáci sipleovej etódy je zá ko sipleový lgoritus. Teto lgoritus je v podstte dobre zá Gussov Jordov 33

35 eliičá etód riešei sústv lieárych rovíc s optrou voľbou vedúceho prvku eliiácie pivot. Postup riešei rôzych typov úloh LP poocou sipleového lgoritu ukážee príkldoch s lý počto preeých, všk týto lgorito ipleetový počítči je ožé riešiť j úlohy veľkých rozerov. 6. Prípuste eliiový tvr úlohy LP Sipleový lgoritus je vhodý riešeie ľubovoľej úlohy LP. Je zložeý Gussovej Jordovej etóde riešei sústvy lieárych rovíc preto skôr ko zčee ejkú úlohu týto lgorito riešiť usíe ju trsforácii typu -5 z 4 uprviť prípustý štdrdý tvr. To zeá, že všetky ohričei úlohy (okre ohričeí ziek preeých) usi ť tvr rovíc s ezáporou prvou strou. Pre tkúto sústvu rovíc s ezáyi ôžu stť dv prípdy: ) V kždej eulovej rovici (t. j. rovici, ktorá ie je tvru 0 0 = b) sústvy ohričeí s chádz spoň jed eliiová preeá, t. j. preeá s jedotkový koeficieto, ktorá á vo všetkých osttých rovicich sústvy ulové koeficiety. Tkúto sústvu rovíc zýve eliiová sústv. b) Sústv rovíc ie je v eliiovo tvre. Všiie si jprv ďlší postup riešei v prípde ). Ak s v sústve rovíc vyskytuje ulová rovic s eulovou prvou strou, tk sústv je sporá, to z. eá žide riešeie ted i optilizčá úloh eá prípusté riešeie. Ak tká situáci este, tk sústv á r eulových rovíc (0 r ) r ideticky ulových rovíc. Z lieárej lgebry je záe, že r je hodosť tice koeficietov sústvy. Riešei = (,..., ), tkejto sústvy je ožé jedoducho získť sledove. V kždej eulovej rovici si zvolíe jedu z eliiových preeých (zreje r) získe sústvu r preeých { i,,, } i K 2 i r, ktorú zvee oži bázických preeých jej prvky zýve bázické preeé. Možiu bázických ideov budee ozčovť B := {i,..., i r }. Zvyšé preeé zvee ebázické preeé ožiu ideov všetkých ebázických preeých ozčíe N := {, 2,..., } \ B. Záeou pordi rovíc ôžee zreje dosihuť to, že bázická preeá i k je eliiová v k-tej rovici sústvy k =, 2,..., r (k r ) vtedy ulové rovice sú koci sústvy. Po zvoleí bázických preeých vyechí ulových rovíc, ôžee (v prípde, že r ) eliiovú sústvu zpísť v tvre = b i j j j N M (6.) = b ir rj j r j N Tkáto eliiová sústv je vhodá určeie všetkých jej riešeí. Jedo riešeie dostee k všetky ebázické preeé položíe rové ule, t. j. j = 0 (j N) poto bázické preeé jú hodoty rové prvý strá sústvy (6.), čiže i = b k k (k =,2,..., r). Tkto získé riešeie zýve bázické riešeie eliiovej sústvy (6.). Bázické riešei sú veľi dôležité v sipleovej etóde riešei úloh teto poje zvádze pre ľubovoľú sústvu lieárych rovíc. Riešeie sústvy lieárych rovíc A = b zýve bázické riešeie dej sústvy rovíc, keď stĺpcové vektory tice A, ktoré prislúchjú eulový zložká riešei sú lieáre ezávislé vektory. Vo všeobeco riešeí eliiovej sústvy (6.), zvoleé bázické preeé dobúdjú v ejko riešeí (,..., ) hodoty v závislosti od hodôt r ebázických preeých. Ted j hodot účelovej fukcie z = c... c závisí v podstte le od hodôt ebázických preeých. Keď v rovici z = c... c dosdíe z bázické preeé ich vyjdreie zo sústvy (6.) poocou ebázických preeých, dostee pre účelovú fukciu vyjdreie z = c j j b0. Môžee ted povžovť z z ďlšiu preeú defiovú rovicou j N 34

36 z c = b j N ktorú zvee účelová rovic úlohy LP. Keď sústvu (6.) rozšírie o účelovú rovicu, dostee sústvu rovíc z c = b j N = b i j j j N M = b ir rj j r j N j (6.2) Tkýto tvr zýve eliiový tvr úlohy LP. Keď v eliiovo tvre sú prvé stry ezáporé pre tie rovice, ktoré obshujú ezáporé bázické preeé, poto (6.2) zvee prípuste eliiový tvr úlohy LP. Tkýto tvr je výhodé zpísť v tvre tbuľky, pre ktorú je všeobece zužívý ázov Sipleová tbuľk. M... i... k i... i r P.S. z c c b 0 i b M M i k k k b k M M r r b r i r V záhlví prvého stĺpc zčíe, či preeú z treb ilizovť lebo iilizovť. V prvo stĺpci sú uvedeé bázické preeé v pordí určeo rovici v ktorých sú jedotlivé preeé eliiové. V posledo stĺpci sú prvé stry rovíc prípuste eliiovej úlohy LP, čo ozčuje j skrtk v jedo záhlví. V záhlví osttých stĺpcov sú preeé v stoveo pordí (k sú ideové tk v pordí rstúcich ideov). Prvý ridok sipleovej tbuľky (ktorý zýve j účelový ridok, resp. z-ridok) á výzé postveie v sipleovo lgorite preto se ho oddelili od osttých ridkov prerušovou čirou. Sipleová tbuľk podobe ko jej zodpovedjúc eliiová sústv, sú jedozče určeé ožiou bázických ideov (resp. preeých). Zákldý sipleový lgorito ožo riešiť le úlohy LP, ktoré sú (po prípdej trsforácii) v prípuste eliiovo tvre. Preto j v prípde b) budee postupovť tk, že jprv si zostvíe poocú úlohu, ktorá bude v prípuste eliiovo tvre jej vyriešeí získe prípuste eliiový tvr pôvodej úlohy. V ďlšo kokrétych príkldoch ukážee ko postupujee pri výpočte úloh LP sipleový lgorito. j j j Riešeie koickej úlohy v prípusto tvre Pre ilizčú koickú úlohu {c T A b, 0}, v ktorej sú všetky bsolúte čley prvých strách ohričeí ezáporé t.j. b 0, ožo zvedeí doplkových preeých iheď získť prípuste eliiovú sústvu rovíc ted j počitočú sipleovú tbuľku. Zobere si opäť úlohu o zesi z odseku 5., v ktorej vyecháe štruktúre ohričeie typu, ktoré vyjdrovlo požidvku iiále ožstvo horčík. Túto podieku by síce bolo ožé jedoducho pretrsforovť vyásobeí erovicu, všk tá by l záporú prvú stru ko ukážee v sledujúco odseku tkéto úlohy vyždujú riešeie etódou dvoch fáz. Pozeje tiež, že z grfického riešei úlohy 5. uvedeého obrázku 5. je vidieť, že optiále riešeie toto ohričeie eá vplyv, pretože iu s dobúd v krjo bode D, ktorý zoste krjý bodo j po vyechí tohto ohričei. Uvžuje ted sledovú úlohu: 35

37 z() = (6.3) 4 2 0, 2 0 Zvedeí doplkových preeých v, v 2, v 3 túto úlohu redukujee štdrdú úlohu LP z = v = v 2 = 20 (6.4) 4 2 v 3 = 0, 2, v, v 2, v 3 0 Prípusté bázické riešeie. Sústv rovicových ohričeí v redukovej štdrdej úlohe (6.4) je už v prípuste eliiovo tvre z bázické preeé ožo (jedozče) zvoliť doplkové preeé v, v 2, v 3. Keďže tieto preeé sú v účelovej fukcii už eliiové, doplíe rovicové ohričei o účelovú rovicu s eliiovou preeou z, ktorú zvolíe z ďlšiu bázickú preeú dostee prípuste eliiovú sústvu rovíc, Tejto sústve prislúch sledová sipleová tbuľk z = 0 (0) 2 v = 0 () v 2 = 20 (2) 4 2 v 3 = 0 (3) ktorá obshuje bázické riešeie M 2 v v 2 v 3 = 0, 2 = 0 z z = 0 v v = 0 v v 2 = 20 v v 3 = 0 Keďže toto riešeie spĺň j podieky ezáporosti je to prípusté bázické riešeie redukovej úlohy (6.4), v ktoro = 0, 2 = 0 je prípustý riešeí pôvodej koickej úlohy (6.3). Toto prípusté riešeie ie je všk z hľdisk ilizácie preeej z optiále, lebo ie je ťžké ájsť prípusté riešeie úlohy (6.3), v ktoro je hodot z väčši. Zlepšovie bázického riešei. Ukážee postup, ktorý v eliiovej sústve (0) (3) ožo ájsť ďlšie bázické riešeie dej sústvy s spoň tkou hodotou optilizovej preeej z ( v edegeerovo prípde lepšou hodotou z) kú á v práve eliiovej sústve (0) (3). Z účelovej rovice (0) vidíe, že keď poecháe = 0, tk hodot (optilizovej) preeej bude z = 8 2 ted keby se zväčšovli hodotu preeej 2, poto by s zväčšovl j hodot z to dokoc 8-krát rýchlejšie ko sotá hodot 2, Podobe záporý koeficiet 3 v účelovej rovici zčuje, že zvýšeí hodoty sotej preeej by s zvýšil hodot z všk eej rýchlo ko v prvo prípde. Preto z ovú bázickú (t. j. eliiovú) preeú zvolíe 2 zýve ju preeá vstupujúc do bázy. Ze 2 bude ť všk z ásledok j zeu osttých preeých (okre o ktoro predpokldáe, že si poechá hodotu = 0) usíe dbť to, by 36

38 v ovo riešeí boli spleé poždové ohričei ziek. V šo prípde ted 2, v, v 2, v 3 usi zostť ezáporé čo zeá že usi pltiť vzťhy v = v 2 = v = Tieto erovosti budú pre 2 0 spleé práve vtedy, k 2 zvolíe z itervlu 0 2 i{0/, 0/4} = 2,5. Pretože chcee čo jvic zvýšiť hodotu z = 8 2, zvolíe z 2 horú hricu určeého itervlu položíe 2 = 2,5 (= i{0, 0/4}). Voľbu ovej hodoty záklde iiáleho podielu prvých strá s príslušýi kldýi koeficieti vedúceho stĺpc zýve prvidlo iiálych podielov. V ovo riešeí z bázy vylúčie bázickú preeú vystupujúcu v rovici, kde s podľ prvidl iiálych podielov dobudlo iiu. Tkúto preeú zýve preeá vystupujúc z bázy.ak s iiu dobude vo vicerých rovicich tk z vystupujúcu preeú zvolíe jedu z ich. Nové riešeie je ted = 0, 2 = 2,5, z = 20 v = 7,5, v 2 = 30, v 3 = 0. Prechod ové riešeie je ožé urobiť prio zo sústvy (0) (3) tk, že prevediee so sústvou Gussovu Jordovu eliiáciu, s vedúci prvko eliiácie 4, ktorý je koeficieto pri 2 v štvrtej rovici (v tej, kde s dobudol iiály podiel). Po eliiácii dostee ďlší prípuste eliiový tvr úlohy s príslušou sipleovou tbuľkou M 2 V v 2 v 3 z 5 2v 3 = 20 z /4 v /4v 3 = 5/2 (6.5) v 5/4 0 0 /4 5/2 3 v 2 v 3 = 30 v /4 2 /4v 3 = 5/2 2 /4 0 0 /4 5/2 s bázickýi preeýi z, v, v 2, 2. Záporý koeficiet 5 v účelovej rovici (v z-ridku sipleovej tbuľky) zčuje, že ešte by bolo ožé zvýšiť hodotu z, keby se šli prípusté riešeie s kldou hodotou. Ak tká hodot eistuje, usí spĺňť poždové ziekové ohričei ktuálych bázických preeých v, v 2, 2, ted 5 5 v = v = = Keďže v úlohe poždujee by 0 tk tieto erovosti budú spleé keď 0 i{6, 0} = 6. Njväčšie zvýšeie preeej z dosihee keď z zvolíe horú hricu ájdeého itervlu, čiže záklde prvidl iiálych podielov áe = 6. Tk dostee ďlšie prípusté riešeie = 6, 2 = 4, z = 50 v = 0, v 2 = 2, v 3 = 0. 37

39 Toto riešeie ôžee dostť j Gussovou Jordovou eliiáciou zo sústvy (6.5) s vedúci prvko eliiácie 5/4 v druhej rovici (čou zodpovedá hrdeie vystupujúcej preeej v vstupujúcou preeou v prislúchjúcej sipleovej tbuľke (6.5)). Dostee tk ďlší prípuste eliiový tvr (6.6) s príslušou sipleovou tbuľkou M 2 v v 2 v 3 z 4v v 3 = 50 z /5v /5v 3 = 6 (6.6) 0 4/5 0 /5 6 2/5v v 2 8/5v 3 = 2 v /5 8/5 2 2 /5v /5v 3 = /5 0 /5 4 Keď chcee zistiť podobý postupo ko prv, či je ešte ožé zvýšiť hodotu z usíe v účelovej rovici hľdť preeú so záporý koeficieto. Avšk v účelovej rovici eliiovej sústvy (6.6) sú už všetky koeficiety ezáporé ted eáe ožosť ďlej zvyšovť hodotu z. Preto dosihutá hodot z = 50 je jlepšou ožou hodotou, čiže se šli iu účelovej fukcie. Toto pozorovie o ezáporosti koeficietov v účelovej rovici ôžee zreje zovšeobeciť pre ľubovoľý prípuste eliiový tvr. Pre iilizčú úlohu je situáci podobá o optiálosti dosihutého bázického riešei svedči ekldé koeficiety v účelovej rovici. Tý se dospeli k dôležitéu kritériu pre posúdeie optiálosti bázického riešei. 6.3 Kritériá optiálosti eohričeosti. Ak v účelovej rovici prípuste eliiovej sústvy (resp.v účelovo ridku sipleovej tbuľky) ilizčej (iilizčej) úlohy LP sú všetky koeficiety ezáporé (ekldé), tk prisluchjúce bázické riešeie je už optiály riešeí. Treb pozeť, že uvedeé kritériu je le postčujúcou podiekou optiálosti. Vo výiočých prípdoch ôže byť ktuále bázické riešeie optiále j keď toto kritériu ie je spleé. V procese výpočtu úlohy LP sipleový lgorito s ôže vyskytúť j situáci keď síce viee určiť preeú vstupujúcu do bázy, le koeficiety pri tejto preeej sú vo všetkých ohričeich ekldé, tkže eviee prvidlo iiálych podielov určiť preeú vystupujúcu z bázy. V tkejto situácii pltí sledové tvrdeie: Ak všetky koeficiety vstupujúcej preeej (vedúceho stĺpc sipleovej tbuľky) sú ekldé, tk účelová fukci ie je ohričeá edobúd koečé optiu. 6.4 Riešeie všeobecej úlohy LP dvojfázovou etódou V predchádzjúco postupe riešei príkldu 5. se vyechli ohričeie obshujúce erovosť, keďže táto erovosť kzil prípustosť koického tvru dej úlohy. Terz ukážee ko ožo riešiť úlohy v erovicovo tvre obshujúce ob typy erovostí. V úlohe z odseku 5. bol jed erovic tvru Odčítí prebytkovej preeej v 4 0 z ľvej stry dostee rovicu 2 2 v 4 = 6, ktorá všk po zrdeí do sústvy ohričeí (6.4) eobshuje eliiovú preeú. Preto do tejto rovice zvediee ďlšiu ezáporú preeú, ktorú zýve poocá (resp. uelá) preeá ozčíe ju w. Táto preeá v osttých rovicich i v účelovej fukcii evystupuje (presejšie povedé vystupuje v ich s ulovýi koeficieti). Pôvodú úlohu 5. tý uprvíe tvr z = 0 38

40 2 v = v 2 = 20 (6.7) 4 2 v 3 = v 4 w = 6, 2, v, v 2, v 3, v 4, w 0 Je zrejé, že pôvodá úloh 5. á prípusté riešeie (, 2 ) práve vtedy, keď uprveá úloh (6.7) á prípusté riešeie v ktoro poocá preeá dobúd ulovú hodotu w = 0. Tkéto riešeie sústvy (6.7) ájdee tk, že v. fáze budee iilizovť lieáru fukciu p = w ožie všetkých prípustých riešeí sústvy (6.7). Ak výsledko tejto poocej iilizácie je ulová hodot poocej fukcie p = 0, tk ôžee pokrčovť 2. fázou, v ktorej ilizujee pôvodú účelovú fukciu z. Aby se ohli zčť. fázu doplíe do sústvy (6.7) rovicu p w = 0 všk v tvre s eliiovou poocou preeou w, čiže z w dosdíe jej vyjdreie poocou osttých preeých w = v 4 dostee 39

41 prípuste eliiovú sústvu rovíc ktorej prislúch sipleová tbuľk 2 v v 2 v 3 v 4 w P.S. z = 0 z v = 0 v v 2 = 20 (6.8) v v 3 = 0 v v 4 w = 6 w 2 6 p 2 2 v 4 = 6 p 2 6 kde prázde iest v sipleovej tbuľke zázorňujú ulové koeficiety. (6.8) určuje bázické riešeie z = 0, v = 0, v 2 = 20, v 3 = 0, w = 6, p = 6 pre ulové hodoty ebázických preeých = 2 = v 4 = 0. Hodot p = 6 ie je iiál, čo zčujú kldé koeficiety pri 2 v poocej rovici. Môžee preto hocktorú z ich zviesť do bázy iesto iektorej z terjších bázických preeých. Ak s rozhodee zviesť do bázy preeú, tk záklde prvidl iiálych podielov vidíe, že z bázy vystúpi preeá w, keďže iiál hodot i{0/, 20/4, 6/2} = 6/2 s dobúd v pitej rovici, v ktorej je terz eliiovou preeou w. Po urobeí Gussovej Jordovej eliiácie s vedúci prvko 2 v pitej rovici dostee ďlšiu prípuste eliiovú sústvu resp. príslušú sipleovú tbuľku 2 v v 2 v 3 v 4 w P.S. z 3/2 2 3/2v 4 3/2w = 9 z 3/2 3/2 3/2 9 /2 2 v /2v 4 /2w = 7 v /2 /2 / v 2 2v 4 2w = 8 (6.9) v /2 2 v 3 /2v 4 /2w =3 v 3 9/2 /2 /2 3 /2 2 /2v 4 /2w = 3 /2 /2 /2 3 p w = 0 p 0 Keďže poocá účelová fukci záklde vyššie uvedeého kritéri optiálosti už dosihl iiu vic toto iiu je rové ule, získli se prípusté riešeie štdrdej úlohy (6.7) tý j pôvodej úlohy z odseku 5.. Môžee ted ridok pre poocú účelovú fukciu p vyechť rovko ko j stĺpec obshujúci poocú preeú w. Môže stť prípd, že poocá preeá s ulovou hodotou w = 0 je bázickou preeou po ukočeí prvej fázy. Pred jej vyechí je treb hrdiť ju v báze z iektorú štruktúru preeú. To ie je ožé v prípde, že v ridku prislúchjúceu tkejto poocej preeej sú po ukočeí prvej fázy le ulové prvky. To le zeá, že pôvodá rovic do ktorej se poocú preeú zviedli, je lieárou kobiáciou osttých rovíc ted je v sústve ohričeí dbytočá tkéto dbytočé ohričeie je ožé vyechť. Tý s zíži počet bázických preeých o jedotku pričo s ezeí oži prípustých riešeí. Pokrčujee 2. fázou, v ktorej ilizujee preeú z v tkto zredukovej sústve rovíc (sipleovej tbuľke): 2 v v 2 v 3 v 4 P.S. z 3/2 2 3/2v 4 = 9 Z 3/2 3/2 9 /2 2 v /2v 4 = 7 v ½ / v 2 2v 4 = 8 (6.0) v /2 2 v 3 /2v 4 = 3 v 3 9/2 /2 3 /2 2 /2v 4 = 3 ½ /2 3 40

42 ktorá obshuje bázické riešeie = 3, 2 = 0, z = 9, v = 7, v 2 = 8, v 3 = 3. Hodot z = 9 ie je ešte optiál, ko zčujú záporé koeficiety v z-ridku. Zvoľe 2 z preeú vstupujúcu do bázy poto záklde prvidl iiálych podielov i{7/(/2), 3/(9/2), 3/(/2)} = 26/9 vidíe, že z bázy vystúpi preeá v 3. Po urobeí eliiácie s vedúci prvko 9/2 dostee ďlšiu prípuste eliiovú sústvu resp. sipleovú tbuľku 2 v v 2 v 3 v 4 P.S. z 3/9 v 3 20/9 v 4 = 250/9 z 3/9 20/9 250/9 v /9 v 3 5/9 v 4 = 50/9 v /9 5/9 50/9 v 2 4/3 v 3 4/3 v 4 = 76/3 (6.) v 2 4/3 4/3 76/3 2 2/9 v 3 /9 v 4 = 26/9 v 3 2/9 /9 26/9 /9 v 3 4/9 v 4 = 4/9 /9 4/9 4/9 obshujúcu bázické riešeie = 4/9, 2 = 26/9, z = 250/9, v = 50/9, v 2 = 76/3, v 3 = 0 = v 4. Záporý koeficiet 20/9 v z-ridku zčuje, že ešte je ožosť zvýšiť hodotu preeej z k do bázy zvediee v 4 iesto v po eliiácii s vedúci prvko 5/9 dostee 2 v v 2 v 3 v 4 P.S. z 4 v v 3 = 50 z /5 v /5 v 3 v 4 = 0 v 4 9/5 /5 0 2/5 v v 2 8/5 v 3 = 2 (6.2) v 2 2/5 8/5 2 2 /5 v /5 v 3 = 4 2 /5 /5 4 4/5 v /5 v 3 = 6 4/5 /5 6 Keďže v z-ridku sú už všetky koeficiety ezáporé, prípuste eliiová sústv rovíc ( ted j zodpovedjúc sipleová tbuľk) obshuje optiále riešeie * = 6, * 2 = 4, z* = 50 v * = 0, v * 2 = 2, v * 3 = 0. Ted iál hodot účelovej fukcie z* = 50 v príklde 5. s dobúd pre * = 6, * 2 = 4. Uvedeý spôsob výpočtu dvojfázovou sipleovou etódou ožo ázore iterpretovť obrázku 5.. V prvej fáze se šli krjý bod A ožiy prípustých riešei Θ. V ďlších iteráciách se postupe prechádzli krjé body B, C, D v bode D se dosihli optiu. Prechod od jedého krjého bodu k susedéu krjéu bodu je geoetrickou podsttou sipleovej etódy, ktorej lgebrickou relizáciou je práve uvedeý výpočet poocou sipleových tbuliek, lebo čo je to isté poocou prípuste eliiových sústv rovíc. Dvojfázovou etódou je ožé vyriešiť ľubovoľú úlohu LP s rovicovýi štruktúryi ohričeii tk, že do kždej rovice, ktorá eobshuje eliiovú preeú doplíe jedu ďlšiu poocú preeú v prvej fáze iilizujee poocú účelovú fukciu, ktorá je rová súčtu všetkých poocých preeých. Keď po ukočeí prvej fázy poocá účelová fukci dosihe iiálu hodotu ul, ôžee pokrčovť v optilizácii pôvodej účelovej fukcie. Treb všk upozoriť j situáciu, ktorá ôže stť v prvej fáze sipleovej etódy ktorá zeá, že druhú fázu etreb vôbec robiť. Nsledujúce kritériu poskytuje rozpozávcie zeie, kedy tká situáci ste. Kritériu eprípustosti Keď iiál hodot poocej účelovej fukcie je kldá, poto pôvodá úloh eá prípusté riešeie ted i optiále riešeie. 4

43 6.5 Cvičei. Vyriešte sipleový lgorito sledové úlohy LP () M (b) Mi 2 2 (c) M ½ ½ = , 2 0, 2 0, 2, 3 0 V úlohách (), (b) porovjte riešeie s ich grfický riešeí v rovie. 2. Vyriešte sipleový lgorito tieto úlohy LP () M (b) M 2 (c) Mi , , 2 0, Vyriešte sipleový lgorito úlohy z Cvičei 2.4, porovjte ich riešeie s grfický riešeí zodpovedzte tieto otázky. Aké je optiále riešeie dej úlohy? b. Aká je optiál hodot účelovej fukcie? c. Aké sú hodoty sklzových preeých pre erovicové štruktúre ohričei? d. Ktoré ohričei sú ktíve v ájdeo optiálo riešeí? e. Ekooicky iterpretujte hodotu kždej sklzovej preeej v optiálo riešeí. 7 DUALITA V ÚLOHÁCH LINEÁRNEHO PROGRAMOVANIA 7. Ekooická foruláci duálej úlohy Uvžuje o výrobej jedotke, ktorá vyráb výrobkov, ktoré ozčíe čísli j =, 2,...,. N výrobu týchto výrobkov je treb použiť výrobých čiiteľov, ktoré budee ozčovť čísli i =, 2,...,. Rideie výrobej jedotky ôže byť koplikové v závislosti od dyických (čsovo závislých) podieok trhu suroví trhu odbytu. Poere relistický odel ridei výrobej jedotky všk získe k si zvolíe ejký čsový úsek (poere krátke obdobie), v ktoro s okolité podieky veľi eei ôžee ted povžovť z košttá sledové vstupé veličiy (pre všetky i =, 2,..., j =, 2,..., ): b i dispoibilé ožstvo i-teho výrobého čiiteľ; ozče (b,..., b ) =: b. q i trhová jedotková ce i-teho výrobého čiiteľ; ozče (q,..., q ) =: q. p j predjá jedotková ce j-teho výrobku; ozče (p,..., p ) =: p. ij počet jedotiek i-teho výrobého čiiteľ spotrebového výrobu jedotkového ožstv j-teho výrobku; ozče j = ( j,..., j ) j-ty stĺpec techologickej tice A = [ ij ]. Budee predpokldť, že výrob i predj s uskutočňujú v ekooicko prostredí dokolej kokurecie to z., že výrobá jedotk je poere lá jej čiosť eá vplyv trhové cey vstupov lebo výstupov, ktoré sú v uvžovo čsovo horizote koštté. Budee uvžovť o dvoch optilizčých úlohách úzko súvisicich s efektívy rideí výroby. 42

44 I. Úloh optiistického výrobého žér. Výrobý žér chce určiť tký výrobý plá, = (, 2,..., ), ktorý pri dých dispoibilých ožstvách výrobých čiiteľov techologických podiekch výroby ilizuje celkový zisk z predj vyrobeej produkcie. Prie výrobé ákldy výrobu jedej jedotky j- teho tovru sú rové cee použitých výrobých prostriedkov, čo je vyjdreé číslo q L q = q = : q j j i ij i= Ak predpokldáe, že ostté vedľjšie ákldy sú oproti výrobý ákldo zedbteľé, tk zisk z výroby predj jedej jedotky j-teho tovru je ted celkový zisk z produkcie je c j = p j q j z = c L c = c = : c j j j= kde c = p qa je vektor jedotkových výosov uvžových tovrov. Avšk pri stovoví výrobého pláu esú byť prekročeé dispoibilé ožstvá výrobých čiiteľov ted optiistický žér zistí iály zisk vyriešeí tejto úlohy LP: II. Úloh pesiistického kotrolór z = c A b 0. V kcelárii súsedicej s kceláriou žér sedí účtovík, ktorého úlohou je posudzovť vhodosť produkcie z hľdisk efektíveho využiti výrobých prostriedkov. Nákldová lýz je kopliková záležitosť ridi s ohýi prvidli, ktoré účtovík usí ovládť. Pre še účely všk budee posudzovť ákldy le z hľdisk ich vplyvu dosihutie iáleho zisku. Ak účtovík oceí jedotkové ožstvo výrobého prostriedku i =, 2,..., ceou u i (ktorá vo všeobecosti ôže byť iá ko jeho ákupá ce q i ), tk ltertív hodot b i jedotiek i-teho výrobého prostriedku bude u i b i ted celková ltertív hodot dispoibilých zdrojov je w= ub = u b i= i Cieľo účtovík je stoviť ltertíve (vútoré) cey vstupov tk by iilizovl ich celkovú ceu w. Vzhľdo še predpokldy o okolito prostredí všk tieto cey eôže stoviť príliš ízke. Presejšie, ltertíve cey usi pokryť spoň ákldy potrebé získie výrobých prostriedkov, čiže usí pltiť u i q i (i =,, ). Keby totiž pre iektorý výrobok pltilo u i < q i tk kokurečá fir v odvetví by poúkl odkúpeie i-teho výrobého prostriedku z ceu u í (u i, q i ) osttých výrobých prostriedkov spoň z ich účtové cey q i zrelizovú produkciu by predl s vyšší zisko ko pri ákupe všetkých výrobých prostriedkov z ich účtové cey. To je le v spore s jedotou trhovou ceou vstupov. Podobe ltertív hodot produkcie jedotkového ožstv j-teho výrobku usí byť spoň tká ko je jeho jedotková predjá ce, čiže usí pltiť u i ij pj ( j=, K, ) i= Keby totiž pltil erovosť < pre ejký výrobok j, poto kokurečá fir by odkúpil zdroje z cey u i, ktoré sú spoň tké ko účtové cey vstupov z ich by zrelizovl výrobu tovrov i j 43

45 pričo j-ty tovr by ohl predť z ceu p j (u j, p j ) (ižšiu ko je trhová ce p j ), čo je opäť v spore s predpokldo jedotých trhových cie. Ted účtovík rieši sledovú úlohu vyriešeie ktorej uoží stoviť tké ltertíve cey zdrojov, ktoré iilizujú celkové (ltertíve) výrobé ákldy: w = u b i ua p u q. Ak zvediee ovú preeú y := u q, tk táto úloh á tvr (pri ozčeí c = p qa): y b i ya c y 0. Túto úlohu zýve duál úloh (o iilizácii ákldov) k úlohe optiistického žér (o ilizácii zisku). Pre tkúto dvojicu úloh pltí, že pri optiálo výrobo pláe správe stoveých ltertívych ceách výrobých čiiteľov, je iály zisk rový iiály ákldo. Ukážee v ďlšo, že pre tieto úlohy plti j ďlšie tvrdei, ktoré jú dôležitú ekooickú iterpretáciu uľhčujú prijť správe žérske rozhoduti. 7.2 Všeobecá foruláci duálej úlohy V predchádzjúco odseku se k forulácii duálej úlohy prišli záklde ekooických úvh. Prirodzeý spôsobo dospejee k poju duálej úlohy vtedy, keď chcee určiť ejké približé riešeie dej úlohy. Uvžuje o všeobecej úlohe LP z c L c (7.) = L b M M L b s s s (7.2) M s, s L s, = s L = b M b (7.3),, r 0 (pre ejké r ) (7.4) Predpokldje, že by á stčilo ájsť ejkú horú hricu z*, ktorú eôže účelová fukci z prekročiť. t. j., hľdáe z* tk, by pltilo z z*. Problé, ko ájsť ejké horé ohričeie účelovej fukcie z ( tý j jej iálej hodoty z ) s dá vyriešiť tkto: Nerovice (7.2), ktoré sú typu vyásobíe ezáporýi čísli y,, y i 0 erovice typu vyásobíe ekldýi čísli y i,..., y s 0. Zvyšé rovice vyásobíe čísli y s,, y, ktoré ejú ohričeie zieko. Dostee sústvu ohričeí, v ktorej sú už všetky erovicové ohričei rovkého typu 44

46 45 s s s s s s s s s s s s b y y y b y y y b y y y b y y y = K M M K K M M K,, Keď sčíte ľvé prvé stry týchto ohričeí, dostee erovosť (y y ) (y y ) y b y b (7.5) Ak výrzy v zátvorkách budú splňovť vzťhy r r r r r r r c y y c y y c y y c y y = = K M M K K M M K (7.6) tk vyásobeí prvých r erovíc ezáporýi čísli,, r 0 vyásobeí zvyšých rovíc čísli r,,, ie ute ezáporýi, dostee vzťhy r r r r r r r r r r r r r c y y c y y c y y c y y = = K M M K K M M K Ich sčítí dostáve erovosť c c (y y ) (y y ) (7.7) Vidíe, že ľvá str erovosti (7.5) s rová prvej stre erovosti (7.7), preto pltí erovosť c c y b y b (7.8) Ak ted čísl y,, y sú riešeí sústvy (7.6), pričo erovosti (7.2), ktoré sú typu se ásobili ezáporýi čísli erovosti, ktoré sú typu se ásobili ekldýi čísli, t. j. y 0,, y s 0 tk veliči z* := y b y b je horý ohričeí účelovej fukcie z = c c ko vidieť zo vzťhu (7.8). Sozreje, že by se chceli ájsť horé ohričeie z*, ktoré leží čo jbližšie k hodote z. To le zeá, že usíe riešiť sledujúcu úlohu. Treb určiť čísl y,, y tk, by lieár fukci z* = y b y b (7.9) dobúdl iiu prito by boli spleé ohričei r r r c y y c y y K M M K (7.0)

47 y r y r K y r = r K y M c = c (7.) y 0,, y s 0 (7.2) Tkto vytvoreú úlohu lieáreho progrovi určeie ješieho horého ohričei ilizčej úlohy (7.) (7.4) zvee duál úloh pôvodú úlohu zýve priár úloh. Úple podobe by se ohli defiovť duálu úlohu k iilizčej úlohe. Tk príkld ku koickej úlohe iiu z = c T i A b 0 je duálou úlohou koická úloh iu á tvr z* = b T y A T y c y 0. Vidíe, že duál úloh je utvoreá poocou tých istých koštát [ ij ] =: A, (b i,) =: b, (c j ) =: c ko j priár úloh ľhko s zistí, že prechod od priárej úlohy k duálej s urobí podľ sledujúcich prvidiel.. Kždéu ohričeiu priárej úlohy (okre ohričeí ziek preeých) prirdíe práve jedu duálu preeú, ted ich počet je rový počtu štruktúrych ohričeí priárej úlohy. 2. Absolúte čley (prvé stry) v priárych ohričeich zoberiee z koeficiety duálej účelovej fukcie, ktorú budee iilizovť (ilizovť) k priár úloh bol iu (iiu). 3. Koeficiety priárej účelovej fukcie použijee ko prvé stry duálych ohričeí. 4. Mtic techologických koeficietov priárej úlohy je v duálej úlohe trspoová (koeficiety v stĺpcoch priárej úlohy sú v duálej úlohe koeficieti v ridkoch). 5. ) Kždéu ohričeiu priárej ilizčej úlohy typu (typu ) zodpovedá ezáporá (ekldá) duál preeá v iilizčej úlohe, opk. b) Kždéu ohričeiu priárej iilizčej úlohy typu (typu ) zodpovedá ezáporá (ekldá) duál preeá v ilizčej úlohe, opk. c) Všetký ohričei priárej úlohy (ilizčej j iilizčej) typu = zodpovedjú preeé duálej úlohy voľé v zieku ( ôžu byť kldé, záporé j rové 0). 6. ) Kždej ezáporej (ekldej) preeej priárej ilizčej úlohy zodpovedá v duálej iilizčej úlohe ohričeie typu (typu ). b) Kždej ezáporej (ekldej) preeej priárej iilizčej úlohy zodpovedá v duálej ilizčej úlohe ohričeie typu ). c) Preeý v priárej úlohe voľý v zieku zodpovedjú v duálej úlohe ohričei typu =. Uvedeé prvidlá ožo prehľde usporidť do tbuľky 7., resp. do tbuľky 7.b. Tbuľk 7. Priár úloh Milizovť koeficiety účelovej fukcie prvky prvej stry i-tý ridok tice techol. koeficietov Duál úloh Miilizovť prvky prvej stry koeficiety účelovej fukcie i-tý stĺpec tice techol. Koeficietov 46

48 j-tý stĺpec tice techol. koeficietov j-tý ridok tice techol. Koeficietov i-té ohričeie typu i-tá preeá y i 0 i-té ohričeie typu i-tá preeá y i 0 i-té ohričeie typu = i-tá preeá voľá j-tá preeá j 0 j-té ohričeie typu j-tá preeá j 0 j-té ohričeie typu j-tá preeá voľá j-té ohričeie typu = Tbuľk 7.b Priár úloh Duál úloh Miilizovť Milizovť koeficiety účelovej fukcie prvky prvej stry prvky prvej stry koeficiety účelovej fukcie i-tý ridok tice techol. koeficietov i-tý stĺpec tice techol. Koeficietov j-tý stĺpec tice techol. koeficietov j-tý ridok tice techol. Koeficietov i-té ohričeie typu i-tá preeá y i 0 i-té ohričeie typu i-tá preeá y i 0 i-té ohričeie typu = i-tá preeá voľá j-tá preeá j > 0 j-.te ohričeie typu j-tá preeá j 0 j-té ohričeie typu j-tá preeá voľá j-té ohričeie typu = N záklde uvedeých prvidiel ožo zpísť duálu úlohu k všeobecej úlohe LP v toto syetricko tvre, kde S {, 2,, } T {, 2,, }. (7.3) Priár úloh z() = c j j j= b Duál úloh i g(y) = i= y b i S y i 0 i j j i j= ijj = bi i S y i 0 (7.4) j= j 0 j T j 0 j T i= i= y i i c ij i j y = c ij i j Pre štdrdú úlohu dostáve podľ uvedeých prvidiel túto duálu dvojicu úloh zpísú v ticovo tvre: Priár úloh z() = c T A = b Duál úloh i g(y) = y T b A T y c 0 y 0 Medzi priárou duálou úlohou eistujú hlboké súvislosti, ktorýi s zoberá teóri lieáreho progrovi. Terz si všiee le to, ko súvisi prípusté, resp. optiále riešei duálej dvojice úloh. 47

49 7.3 Slbá vet o dulite Nech ˆ = (,, ) je prípustý riešeí všeobecej úlohy (7.) (7.4) iu vektor ŷ = (y,, y ) je prípustý riešeí duálej úlohy (7.9) (7.2) iiu. Poto pltí: () Hodot priárej účelovej fukcie z v bode ˆ, je eši lebo rová hodote duálej účelovej fukcie z* v bode ŷ, to zeá c c y b y b. (b) V prípde rovosti uvedeých hodôt účelových fukcií, prípusté riešei ˆ, ŷ sú už optiályi riešeii duálej dvojice úloh. D ô k z. () Vyplýv v podstte z defiície duálej úlohy. Keďže ŷ je prípustý riešeí duálej úlohy, splňuje duále ohričei (7.0) (7.2). Ich vyásobeí zložki priáreho riešei (pričo,, r 0) sčítí dostee c y j j i i j= i= i= yi K i (7.5) Prípusté riešeie ˆ splňuje priáre ohričei (7.2) (7.4) po vyásobeí týchto ohričeí čísli y,, y (pričo y,, y s 0) sčítí dostee i= y ii K yii yibi (7.6) i= i= Poroví (7.5) (7.6) dostee poždovú erovosť. (b) Pre ľubovoľé prípusté riešeie priárej úlohy pltí erovosť dokázá v čsti () z() z*(ŷ). Keďže z*(ŷ) = z(ˆ), pltí tiež z() z(ˆ) pre kždé ted ˆ je iále riešeie priárej úlohy. Podobe s dokáže iiálosť riešei ŷ. Táto vet á zčý prktický výz, lebo k dospejee sipleový lgorito k ejkéu prípustéu riešeiu, o ktoro chcee dokázť, že je optiály riešeí, stčí ájsť tké prípusté riešeie duálej úlohy, ktoré dáv rovkú hodotu účelovej fukcie, ko je hodot priárej účelovej fukcie v predpokldo optiálo riešeí. Z doterjšieho výkldu s zdá, že určeie optiáleho riešei duálej úlohy treb ju od zčitku riešiť. Ukážee všk, že stčí vyriešiť jedu z duálej dvojice úloh z optiálej sipleovej tbuľky ožo iheď určiť optiále riešeie duálej úlohy. Ukážee si to sledujúco príklde. 7.4 Príkld Uvžuje sledovú duálu dvojicu úloh: Priár úloh Duál úloh z =2 3 2 z* = 20y 2y 2 6y 3 i y y y y 2y 2 4y y 2y 2 6y 3 3 Riešeí priárej úlohy poocou sipleového lgoritu dostáve tkúto postuposť sipleových tbuliek 2 v v 2 v 3 z v v v

50 Táto východisková tbuľk obshuje prípuste eliiový tvr pôvodej priárej úlohy s bázickýi preeýi v, v 2, v 3. Po prvo kroku sipleového lgoritu dostee tbuľku Po druho kroku už dostee optiálu tbuľku 2 v v 2 v 3 z 0,5 0 0, ,5 0, v 2 0 0,5 0 2 v v v 2 v 3 z 0 0 0,5 0, ,5 0, ,5 0 2 v ktorá obshuje optiále riešeie * = 2, * 2 = 4, * 3 = 0, z * = 6 s hodoti doplkových preeých v = 0 = v 2, v 3 = 8.V tejto optiálej tbuľke hodoty reltívych oceeí počitočých bázických preeých v z-ridku udávjú optiále riešeie duálej úlohy y * = 0,5 = y * 2, y * 3 = 0. O to, že skutoče je to optiále riešeie duálej úlohy s ôžee presvedčiť riešeí duálej úlohy k vychádze zo sipleovej tbuľky, rozšíreej o poocú účelovú fukciu p, ktorú budee v prvej fáze iilizovť y y 2 y 3 v v 2 w w 2 z* w w p Po druho kroku sipleového lgoritu dostee tbuľku y y 2 y 3 v v 2 w w 2 z* y 3 0 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 y 0, ,25 0 0,25 0,75 P Pretože poocá účelová fukci dosihl ulové iiu, ôžee ju v ďlšej iilizácii z* vyechť. Poocé preeé w, w 2 si všk v tbuľke poecháe, lebo ko ďlej uvidíe, súvisi s riešeí pôvodej priárej úlohy. Po ďlšej iterácii dostee už optiálu sipleovú tbuľku y y 2 y 3 v v 2 w w 2 z* y ,5 0,5 0,5 y 0 2 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 ktorá obshuje optiále riešeie y * = 0,5; y 2 * = 0,5; y 3 * = 0; z* = 6; v = 0 = v 2 ; w = 0 = w 2. Keď si všiee optiále tbuľky duálej dvojice úloh vidíe, že v optiálej tbuľke priárej úlohy v stĺpcoch prislúchjúcich jedotkový vektoro zo zčitočej tbuľky s v účelovo z-ridku chádzjú hodoty duálych preeých y, y 2, y 3. Podobe je tou v optiálej tbuľke duálej úlohy, kde s v prvo ridku pod poocýi preeýi, ktoré tvorili vo východiskovej tbuľke bázu, chádzjú optiále hodoty priárych preeých * = 2, 2 * = 4. Tieto hodoty so záporý zieko s chádzjú j pod doplkovýi preeýi v, v 2, pretože vo východiskovej tbuľke tieto vektory s rovli vektoro bázických preeých, le so záporý zieko. Ukážee, že toto je vlstosť kždej optiálej sipleovej tbuľky. 49

51 7.5 Vet Optiále hodoty duálych preeých určíe z optiálej sipleovej tbuľky priárej úlohy, ko koeficiety účelovej fukcie (prvého ridku tbuľky), prislúchjúce preeý zčitočej jedotkovej bázy v priárej úlohe. D ô k z. Kvôli jedoduchšieu zápisu ho urobíe pre koickú úlohu LP. z = c K c M K K,, 0 b M b (b i 0) Zvedeí doplkových preeých v,, v dostee zčitočý prípuste eliiový tvr z c c = 0 (7.7) M K K v O v = b M = b V koečo kroku sipleového lgoritu účelová rovic bude ť tvr (7.8) z c c c v c v = z (7.9) kde z = z(), c j 0 (j =,, ). Posledá erovosť pltí v dôsledku iálosti hodoty z. (Pri iilizácii by v optiále eliiovo tvre uselo byť c j 0). Sipleový lgoritus spočív v to, že vhodé ásobky rovice, v ktorej bol zvoleý vedúci prvok eliiácie pričitujee k osttý rovici. Ted rovicu (7.9) ožo dostť prio tk, že k účelovej rovici (7.7) pripočíte lieáru kobiáciu zvyšých rovíc, pričo koeficiety lieárej kobiácie sú vhode zvoleé čísl y,, y.to zeá, že Tieto vzťhy ôžee prepísť v tvre c j = y j y j c j = 0 (j =,, ) c i = y i 0 (i =,, ) (7.20) z = y b y b (7.2) y y c y y c y,, y 0 To zeá, že koeficiety y i, ktoré s podľ (7.20) rovjú tý koeficieto v (7.9), ktoré prislúchjú doplkový preeý v i, sú prípustý riešeí duálej úlohy. Hodot duálej účelovej fukcie z* s pre toto riešeie rová hodote z v dôsledku (7.2) podľ slbej vety o dulite vektor (y,, y ) je optiály riešeí duálej úlohy. V teórii lieáreho progrovi s dokzuje, že optrou voľbou vedúceho prvku eliiácie ožo zručiť, že k úloh LP á optiále riešeie, tk vždy ho ožo určiť koečý počto sipleových iterácií ted eistuje optiál sipleová tbuľk, ktorá ho obshuje. Podľ vety 7.5 všk optiál tbuľk obshuje zároveň optiále riešeie duálej úlohy. V kobiácii so slbou vetou o dulite ôžee teto výsledok ešte zosiliť. Ak predpokldáe, že priár j duál úloh jú prípuste riešei tk pri riešeí priárej úlohy sipleový lgorito eôže stť prípd eohričeosti, lebo slbá vet o dulite zručuje ohričeosť v sere optilizácie. Preto po ko- 50

52 ečo počte krokov sipleový lgoritus skočí optiálou sipleovou tbuľkou. Ted ko bezprostredý dôsledok koečosti sipleového lgoritu dostáve pltosť tejto vety. 7.6 Silá vet o dulite ) Ak úloh LP á optiále riešeie, tk j úloh k ej duál á optiále riešeie optiále hodoty účelových fukcií sú rovké. b) Ak priár j duál úloh jú prípusté riešei, tk obe jú j optiále riešei optiále hodoty účelových fukcií sú rovké. c) Ak spoň jed z dvojice duálych úloh eá prípusté riešeie, poto i jed z ich eá optiále riešeie. Mioridy výz pre pochopeie ekooickej podstty duálych preeých á sledujúc vet. 7.7 Vet o kopleetárosti Prípusté riešei, y priárej duálej úlohy sú optiályi riešeii práve vtedy keď sú spleé dve podieky: Ak pre vektor je i-te priáre ohričeie spleé ko ostrá erovosť tk i-tá zložk duáleho riešei y s rová ule, čo ožo zpísť vo fore iplikácie ijj < bi i j= y = 0 Ak po dosdeí vektor y je j-te duále ohričeie spĺeé ko ostrá erovosť, tk j-tá zložk priáreho riešei s rová ule, čiže ijyi > cj j 0 i= =. D ô k z. Kvôli jedoduchšieu zápisu urobíe dôkz pre kooickú duálu dvojicu zpísú v ticovo tvre Priár úloh z() = c T A b Duál úloh i g(y) = y T b y T A c T 0 y 0 kde všetky vektory povžujee z stĺpcové vektory trspoové vektory sú ted ridkové vektory. Pre tkúto duálu dvojicu úloh podieky chrkterizujúce optiálosť (čo tvrdí vet) ožo zpísť v tvre 0 = y T ( b A) 0 = ( y T A c T ). (*) Čísl α : = y T ( b A), β : = ( y T A c T ) sú ezáporé, lebo sú skláry súčio ezáporých vektorov pre ich súčet pltí T T α β = y b c 0. T = T Ak plti vzťhy (*), tk α β = 0 ted y b c, čo podľ slbej vety o dulite zeá, že, y sú optiále riešei priárej duálej úlohy. Obrátee, k, y sú optiále riešei, tk T T podľ silej vety o dulite usí pltiť y b c. Ted α β = 0, čo vzhľdo ezáporosť = čísel α, β zeá, že s obe rovjú ule preto plti vzťhy (*) vyjdrujúce utú podieku v tvrdeí vety. 5

53 7.8 Overeie optiálosti riešei poocou duálej úlohy Pri riešeí sústvy lieárych rovíc s ôžee dosdeí jedoducho presvedčiť, či vektor čísel získých riešeí dej sústvy je skutoče riešeí. Pri úlohách lieáreho progrovi je situáci zložitejši, lebo dosdeí získého riešei do ohričujúcich podieok s presvedčíe jvýš o to, že získé riešeie je prípustý riešeí, všk eáe zručeé, že eeistuje ié prípusté riešeie, ktoré by dlo lepšiu hodotu účelovej fukcie. Ukážee, ko ožo poere jedoducho overiť optiálosť ejkého prípustého riešei úlohy LP s využití duálej úlohy vety o kopleetárosti. Vrťe s k príkldu 3.5 v ktoro bolo uvedeé optiále riešeie * = 2500, * 2 = 0, * 3 =2500, * 4 = 2500, * 5 =2500, z * = 650. Optrý ivestor by s chcel uistiť, že tkéto portfólio je skutoče jlepšie. Aj z predpokldu, že k touto riešeiu se dospeli riešeí teoreticky bezchybou sipleovou etódou, tk ko pri kždej ľudskej čiosti j pri robeí sipleových iterácií je ožosť urobei chyby. Ukážee ko s ožo presvedčiť že dé riešeie * je skutoče jlepšie. Prípustosť riešei * = (2500, 0, 2500, 2500, 2500) overíe prio dosdeí do priárych ohričeí. N overeie optiálosti stčí ájsť prípusté riešeie y duálej úlohy, ktoré spĺň podieky kopleetárosti: i * < b i y i = 0, * j > 0 j y = c j kde i je vektor koeficietov b i je prvá str v i-to ohričeí priárej úlohy, j je vektor koeficietov c j je prvá str v j-to ohričeí duálej úlohy. Keďže pre prípusté riešeie * sú všetky priáre ohričei spleé ko rovosť, prvá iplikáci á euožňuje určiť ulové hodoty (iektorých) duálych preeých. Vzhľdo to, že *, * 3, * 4, * 5, > 0 bude., 3., duále ohričeie spleé ko rovosť určeie duálych preeých dostáve túto sústvu rovíc y y 2 y 4 = 0,04 y y 4 = 0, y y 3 y 4 = 0,06 y y 3 y 4 = 0,05 Táto sústv á jedié riešeie y = 0,055, y 2 = 0,04, y 3 = 0,05, y 4 = 0,055, pre ktoré je hodot duálej účelovej fukcie g(y) = 0000y 2500y 2 rová 650. A ted zdlivo se potvrdili optiálosť priáreho riešei. Avšk ie je tou tk, lebo ájdeé riešeie espĺň druhé ohričeie duálej úlohy, ktoré á tvr y y 2 y 4 0,07. To le zeá, že predložeé prípusté riešeie priárej úlohy ie je optiále. Vzhľdo ivritosť ohričeí voči záee 2 je zrejé, že riešeie v ktoro je * = 0, * 2 = 2500, je tiež prípusté s hodotou účelovej fukcie z * = 750 s využití vety o kopleetrite ôžee ájsť prípusté riešeie duálej úlohy s rovkou hodotou účelovej fukcie. 7.9 Ekooická iterpretáci duálych preeých Tvrdeie vety o kopleetárosti ožo sforulovť v tvre iplikácie: * ijj < bi y* i = 0. j= Táto iplikáci zeá, že k iektorý výrobý prostriedok ie je v optiálo riešeí úple využitý, jeho optiále oceeie je ulové. To zeá, eá židu ceu z hľdisk zlepšei hodoty účelovej fukcie. Ekvivlete ožo túto iplikáciu vyjdriť poocou jej kotrpozície v tvre y* i 0 * = b j= ij j i ekooicky to ožo iterpretovť tk, že eulovú ceu ôže ť le te výrobý prostriedok, ktorý je úple využitý. Aplikáciou vety o kopleetárosti duálu úlohu dostáve pltosť iplikácie 52

54 * j > 0 * ijyi = cj, ktorú ožo využiť pri overoví optiálosti dého prípustého riešei priárej úlohy. Vo všeobecosti k uvedeý iplikáciá obráteé iplikácie eplti pre ľubovoľé optiále riešei. V teórii LP s všk dokzuje, že eistuje dvojic optiálych riešeí, pre ktoré ožo iplikácie hrdiť ekvivlecii. V dôsledku uvedeej ekooickej iterpretácie vety o kopleetárosti, v litertúre s čsto ožo stretúť s jej ázvo ko vet o rovováhe cie. Ďlši ekooická iterpretáci duálej úlohy súvisí s vetou o dulite, uožňuje kvtittíve vyjdriť dôležitosť jedotlivých výrobých prostriedkov z hľdisk zlepšei optilizového cieľ. Ak, y sú optiále riešei duálej dvojice úloh, tk z vety o dulite viee, že s rovjú optiále hodoty ich účelových fukcií c = z = b y. Ak zeíe le dispoibilé ožstvo b i i-teho výrobého prostriedku o jedotkové ožstvo to zeá z b i b i, zeí s optiále riešeie ové optiále riešeie s hodotou účelovej fukcie z = c. Ak s prito ezeí duále optiále riešeie čiže y = y, tk pltí i= z = c = y (b,, b i,..., b ) = y b y i = z y i. Ted optiál duál preeá y i zčuje, o koľko s zeí optiál hodot priárej účelovej fukcie, k áe k dispozícii o jedu jedotku i-teho prostriedku vic. Treb si všk uvedoiť, že hodotu priárej účelovej fukcie eožo zlepšovť le zvyšoví dispoibilého ožstv jedého prostriedku. Nd určitou hricou s zeí j duále optiále riešeie y ové riešeie y y pričo ová hodot duálej preeej poklese ulu y i = 0. Ted zvyšovie b i už ebude vplývť zlepšovie hodoty priárej účelovej fukcie. Pozeje, že optiálu hodotu duálej preeej pre ejké ohričeie ôžee určiť ko reltívu zeu hodoty účelovej fukcie vyvolú tkou (eulovou) zeou bsolúteho čle zodpovedjúceho ohričei, ktoré zchová bázické idey priáreho riešei tý j ezeeé duále riešeie t. j. Δz yi = i =, 2,,. Δ b i Duále preeé ted určujú, koľko je dispoibilé ožstvo výrobých prostriedkov obedzujúce z hľdisk zvýšei (resp. zížei) účelovej fukcie. Preto s optiále hodoty duálych preeých zývjú j duále cey. Keďže duále preeé ôžu byť ko kldé tk j záporé, ie vždy duál ce zeá zlepšeie hodoty účelovej fukcie. V ekooických lýzch je všk jdôležitejši práve iforáci o zlepšeí hodoty účelovej fukcie. Preto ekoóovi zviedli poje tieňová ce, ktorá je defiová ko hodot výrobého prostriedku, o ktorú s zlepší hodot účelovej fukcie k zvýšie o jedu jedotku dispoibilé (resp poždové) ožstvo dého výrobého prostriedku (zdroj). V ilizčých úlohách sú tieňové cey rovké ko duále cey, koľko záporá duál preeá y i < 0 zeá, že ze z z = y i je záporá čo pre ilizčú úlohu vyjdruje zhoršeie jej hodoty. Pre iilizčú úlohu všk záporá ze zeá zlepšeie jej hodoty preto z tieňovú ceu usíe zobrť záporú hodotu duálej cey. Podobe kldá hodot duálej preeej pre iilizčú úlohu zeá zvýšeie iilizovej priárej účelovej fukcie ted jej zhoršeie preto z tieňovú ceu treb zobrť jej záporú hodotu. Závero ted ožo povedť, že pre iilizčé úlohy s tieňové cey rovjú zápore vztý duály ceá. V sledujúco príklde ukážee iterpretáciu dulity v lýze výsledkov riešei priárej úlohy LP. 7.0 Príkld Výrobý podik chce ilizovť svoj zisk z výroby dvoch výrobkov V V 2, ktoré vyráb z dvoch suroví S, S 2, ktoré á k dispozícii le v ohričeo ožstve 400 erých jedotiek (.j.) 53

55 suroviy S 200.j. suroviy S 2. Okre suroví je liitujúci fktoro výroby j fod strojových hodí H, v rozshu 600 hod. Techologické koeficiety pre výrobok V sú pre S, S 2 H dé vektoro (6, 3, 2) pre výrobok V 2 vektoro (4, 2, 3). Čistý zisk z predj jedej jedotky výrobku V je 25 z predj V 2 je zisk 30. Úloh LP (ozče ju úloh ) pre teto problé á tvr: z() = , 2 0 Grfickou etódou ožo ľhko určiť že optiály výrobý plá spočív vo výrobe * = 200 jedotiek výrobku V * 2 = 50 jedotiek výrobku V 2. Predpokldje, že vyrábjúci podik (ozče ho podik ) dostl zujívú pouku. Iý výrobc (ozče ho podik 2) á záuje odkúpiť tieto suroviy pre svoje potreby prejť si j strojový prk (fod strojových hodí) podiku pre svoje výrobé ktivity. Vziká ted otázk, z kú ceu bude pre podik výhodé odpredť suroviy prejť strojový prk, by bol zisk z predj suroví z preáju spoň tký veľký ko v prípde relizácie vlstého výrobého procesu, by j podik 2 bol ochotý túto ceu zpltiť. N teto účel je výhodé sforulovť iú úlohu lieáreho progrovi v ktorej vystupujú ko rozhodovcie preeé u, oceeie jedotky suroviy S, u 2, oceeie jedotky suroviy S 2 u 3 oceeie jedotky fodu prcového čsu H. Preeé u i budee ďlej zývť duále preeé, v litertúre s čsto použív j poje duále, resp. tieňové cey. Keďže oceeiu jedotky S zodpovedá duál preeá u, celkové oceeie všetkých 400 jedotiek suroviy S je 400u. Rovko ožo ohodotiť j suroviu S fod strojových hodí H. Spotreb jedotlivých suroví fodu strojových hodí vo výrobo procese je dá techologickýi koeficieti, tk hodot suroviy S spotrebovej pri celkovej výrobe V je 6u, pri celkovej výrobe V 2 je to 4u 2. Podobe ožo určiť j hodotu suroviy S 2 fodu strojových hodí H. Východiskové iforácie sú uvedeé v tbuľke 7.2. Oceeie jedotky dispoibilého zdroj Hodot dispoibilých zdrojov Hodot dispoibilých zdrojov spotrebových pri výrobe V Hodot dispoibilých zdrojov spotrebových pri výrobe V 2 Tbuľk 7.2 Surovi S Surovi S 2 Strojové hodiy H u u 2 u 3 400u 200u 2 600u 3 6u 3u 2 2u 3 4u 2u 2 3u 3 Je zrejé, že podik 2 s bude sžiť odkúpiť suroviy prejť si strojový prk z čo jižšie cey. To zeá, že chce dosihuť tké hodoty u, u 2, u 3, ktoré zejú iilizáciu celkového oceei suroví strojového prku. Teto cieľ podiku 2 ožo vyjdriť poocou účelovej fukcie duálej úlohy lieáreho progrovi i g(u) = 400u 200u 2 600u 3 Iý cieľ á všk podik. Te epredá suroviy S S 2, epreje strojový prk z cey, pri ktorých by bol ce dispoibilých zdrojov (suroviy fod strojového čsu) spotrebových výrobu jedej jedotky výrobku V eši, ko zisk, ktorý á z jedej vyrobeej jedotky V. Pri výrobe V prito podik spotrebúv 6 jedotiek S, (celková hodot 6u ) 3 jedotky S 2 (celková hodot 3u 2 ) využív dve jedotky H (celková hodot 2u 3 ). Poto hodot spotrebových dispoibilých zdrojov pri výrobe jedej jedotky V je 54

56 6u 3u 2 2u 3 Pretože jedotkový zisk z výrobku V je 25, podik eôže predť suroviy prejť svoje strojové zrideie z tké cey, pri ktorých by bol hodot spotrebových dispoibilých zdrojov výrobu jedej jedotky V eši ko zisk 25. To ožo vyjdriť poocou vzťhu 6u 3u 2 2u 3 25 Rovký spôsobo ožo určiť j druhú podieku, pre ktorú pltí 4u 2u 2 3u 3 30 Je zrejé, že cey, ktoré jú byť zplteé z jedotlivé suroviy z preájo strojového zridei, eôžu byť záporé, ted zodpovedjúce duále preeé u, u 2, u 3 0 Úlohu lieáreho progrovi sforulovú záklde predchádzjúcich predpokldov ožo zpísť v tvre (ozče ju ko úloh 2): i g(u) = 400u 200u 2 600u 3 6u 3u 2 2u u 2u 2 3u 3 30 u, u 2, u 3 0 Riešeie tejto úlohy LP poskyte duále cey (optiále hodoty duálych preeých u i ) z ktoré podik bude ochotý suroviy S, S 2 predť podik 2 tieto suroviy kúpiť, resp. podik ochotý prejť svoj strojový prk podik 2 ájoé zpltiť. Z predchádzjúceho výkldu viee, že hodoty duálych preeých ožo ekooicky iterpretujú j ko ier deficitosti zdrojov. Je preto pre vedeie podiku dôležité pozť riešeie duálej úlohy. Keďže pozáe optiále riešeie priárej úlohy ôžee určeie riešei duálej úlohy využiť vetu o rovováhe cie. Duále ohričei usi byť pre optiále riešeie spleé ko rovosti ted ôžee ich určiť riešeí sústvy rovíc 6u 3u2 2u 3 = 25 4u 2u 2 3u 3 = 30 Keďže v priárej úlohe je v optiálo riešeí tretie ohričeie spleé ko ostr erovosť (lebo zostáv evyužitých 50 hodí strojového čsu), je duál ce strojových hodí ulová ted u 3 = 0 sústv s zredukuje dve rovice s dvoi ezáyi, ktorej riešeie je 7 4 u * * * = u2 = u3 = Po dosdeí hodôt duálych preeých do účelovej fukcie duálej úlohy (úloh 2) vidíe, že je rovká ko hodot priárej účelovej fukcie v priáre prípusto riešeí * = 200 * 2 = 50 ted áe overeé že získé prípusté riešei sú optiályi riešeii. Tieto hodoty bolo ožé získť j pri riešeí priárej úlohy sipleový lgorito, lebo podľ vety 7.5 duále cey s chádzjú v účelovo ridku ko reltíve oceei vektorov, ktoré tvorili v úvodej tbuľke východiskovú bázu riešei (pôvodé jedotkové vektory). Prejdie terz k iterpretácii duálych preeých v optiálo riešeí tohto príkldu ko idikátorov deficitosti zdrojov resp. ko ožosti ďlšieho zvýšei optiálej hodoty priárej účelovej fukcie. Podľ vypočítého výrobého progru treb vyrábť výrobky V j V 2, pričo s úple spotrebujú suroviy S S 2 z fodu strojových hodí H oste k dispozícii ešte 50 jedotiek. Tkto s ib 3. štruktúre ohričeie espĺň ko rovic (zostli voľé zdroje) zodpovedjúc hodot u* 3 = 0. Duálu ceu prvého ohričei u * = 7/2 ožo iterpretovť tk, že k vzrstie ožstvo suroviy S o jedu jedotku, vzrstie j hodot priárej účelovej fukcie o 3,50. Alogicky hodot u * 2 = 4/3 zeá, že árst ožstv suroviy S 2 o jedu jedotku spôsobí árst hodoty účelovej fukcie o,33. To zodpovedá ekooickej iterpretácii duálych cie, podľ ktorej kždá ze i-tého prvku prvej stry o jedotku vedie k zee hodoty účelovej fukcie o hodotu u* i. Ted hodot duálych cie (duálych preeých v optiálo riešeí) je pre podik sigálo, že deficitosť suroviy S ôže spôsobovť väčšie strty ko deficitosť suroviy S 2 To 55

57 ôže byť ipulzo pre orietáciu pri zásoboví ďlšieho výrobého procesu jedotlivýi surovii. V ekooickej iterpretácii duálych preeých ko cie z ktoré ôže podik predť svoje zdroje kokurečéu podiku vidíe, že podik eôže predť jedu jedotku suroviy S z eej ko 3,50 jedu jedotku suroviy S 2 z eej ko,33, pretože tržb z predj by bol ižši ko zisk, ktorý by dosihol pri výrobe ( ásledo predji) výrobkov V V 2 podľ optiáleho výrobého pláu. Pre fod strojového čsu H s zodpovedjúc duál preeá rová ule, pretože pri výrobe podľ optiáleho výrobého pláu je ho dosttok, tk by s jeho preájo ezížil zisk z vlstej výroby. 7. Cvičei. Utvorte duále úlohy k týto úlohá LP () M (b) Mi 2 2 (c) M ½ ½ = , 2 0, 2 0, 2, Určte riešeie duálych úloh zostveých v príklde to buď sipleový lgorito, lebo záklde vety o rovováhe cie v prípde, že pozáte optiále riešeie príslušej priárej úlohy. 3. Poocou príslušých duálych úloh overte optiálosť riešeí deklrových ko optiále v úlohách v Poocou príslušých duálych úloh overte optiálosť riešeí úloh z Cvičei 2.4, ktoré buď zovu vyriešite, lebo využijete optiále riešei týchto úloh získé prv buď grfickou etódou lebo sipleový lgorito. 8 RIEŠENIE ÚLOH LP POMOCOU MS EXCEL Tbuľkové klkulátory sú vhodé robeie efektívych operácií s vektori tici. Keďže tieto operácie sú jdro sipleovej etódy riešei úloh LP, boli vyviuté špecilizové progrové blíky, ktoré uožňujú riešiť úlohy LP j o tisícoch rozhodovcích preeých ohričeí. Tieto špecilizové progry sú väčšiou dosť drhé preto je výhodé vedieť, že poere efektíve riešeie úloh LP poskytuje j odul Riešiteľ (v glickej verzii MS Office á teto odul ázov Solver), ktorý je súčsťou tbuľkového klkulátor Microsoft Ecel te uožňuje riešiť väčšiu úloh, s ktorýi s stretáve v pri. Postup riešei ejkej úlohy LP poocou tbuľkového klkulátor pozostáv z vicerých krokov.. Vstupy. Do súvislej obdĺžikovej oblsti ktíveho prcového listu klkulátor (v ďlšo to bude MS Ecel) zdáe ridky úplej štruktúrej tice úlohy, čiže techologické koeficiety využiti jedotlivých zdrojov v jedotlivých trsforčých procesoch vystupujúcich v úlohe. Zvlášť zdáe stĺpcový vektor dispoibilých ožstiev jedotlivých zdrojov Dohod o frbách: Hoci to ie je evyhuté, z dôvodov prehľdosti je výhodé vyzčiť vstupy prcovo liste frebe tk, že pole buiek obshujúce štruktúru ticu dáe do odrého obdĺžik, ktorý ešte vyplíe ejkou frbou, pr. bledý odtieňo šedej. Rovko frebe vyzčíe stĺpcec dispoibilých ožstiev. 2. Preeé buky. Zodpovedjú rozhodovcí preeý úlohy v prcovo liste tvori ridkový vektor ohričeý červeý obdĺžiko 56

58 3. Cieľová buk. Zodpovedá hodote účelovej fukcie pre oetály obsh preeých buiek. V prcovo liste jej obsho je skláry súči ridkového vektor preeých buiek s ridkový vektoro ceových koeficietov v štruktúrej tbuľke. V šo zápise LP odelov ju zvyčje ozčujee z dôležitosť tejto buky v šej frebej dohode vyzčíe dvojitý čiery okrjo čo je dôležité pre tlčeú verziu výstupov pre zvýrzeie obrzovke počítč je ožé zvýrziť cieľovú buku pr. červeou výplňou. 4. Ľvé stry ohričeí. Utvoríe stĺpcový vektor buiek, z ktorých kždá obshuje skláry súči ridkového vektor preeých buiek s ridkový vektoro techologických koeficietov pre určitý zdroj. 5. Bilčé vzťhy. V štruktúrej tbuľke se dispoibilé ožstvo určitého zdroj dli do súvisu s jeho využití pre ejké hodoty rozhodovcích preeých poocou bilčého ziek, ktoré vyjdrovlo vzťh edzi ľvou prvou strou dého štruktúreho ohričei. Tieto bilčé vzťhy s pre Ecel ezdávjú prio do prcového listu, le s otvorí sostté dilógové oko odulu Riešiteľ, v ktoro s zdjú všetky ohričei úlohy v predpíso foráte. V toto dilógovo oke je ožé zdávť j špeciále typy podieok jedotlivé rozhodovcie preeé ko príkld ich celočíselosť resp biárosť. 6. Spusteie progru Riešiteľ. Po zdí všetkých vyššie opísých údjov o úlohe, soté riešeie úlohy spočív v spusteí progru Riešiteľ poocou tlčidl Rieš v jeho dilógovo oke. Predtý je všk uté stviť v ďlšo dilógovo podoke, že chcee teto odul používť riešeie úlohy lieáreho progrovi, pretože teto odul rieši itertívyi etódi j úlohy elieáre. 7. Výsledok riešei. Riešiteľ vypíše správu o výsledku riešei dej úlohy. Optiále riešeie je uložeé v dilógovo oke, ktoré s otvorí klikutí príslušé tlčidlo v oke progru Riešiteľ. 8. Riešeie úlohy o pláoví výroby s polotovri Ukážee ko poocou progru Riešiteľ, ktorý je súčsťou tbuľkového klkulátor Ecel v MS Office, ožo riešiť úlohy LP bežého rozshu. Kokréty postup ukážee vyriešeí príkldu 3.3 o optiálo výrobo pláe. z = , , , , , 2, 3,, 2, 3 0. Tejto úlohe prislúch úplá (zieková) štrktúr tbuľk, ktorú zvyčje vytváre prv ko tetický odel, le ich vzájoá súvislosť je evidetá. Výrobé Výrob Predj Relčé Disp./požd. Čiitele A B C A B C ziek Možstvo Surovi S 3 2 0, Surovi S 2 0, Polotovr P A Polotovr P B 0, Odbyt tov. C 0 Odbyt tov. A Cey 0 6 6, M N ižšie uvedeo obrázku je ukázý prcový list v Eceli, ktorý obshuje vstupé údje tohto príkldu po vykoí čiostí. 4 vo vyššie uvedeo postupe. Je zrejé, že je to vlste zie- 57

59 ková štruktúr tbuľk dopleá o ridok rozhodovcích preeých (buky C3:H3) o stĺpec ľvých strá ohričeí, ktoré sú v bukách I5:I0 prcového listu. ) Do buiek C5:H0 se uložili hodoty techologických koeficietov pre jedotlivé zdroje. Do buiek C:H se uložili ceové koeficiety účelovej fukcie. Do stĺpc K5:K0 se uložili dispoibilé resp. poždové ožstvá jedotlivých zdrojov. b) Buky pre výrobý plá obshujú ktuále ulové hodoty preto j použité hodoty zdrojov sú ulové. V týchto bukách všk zčitku ôžu byť ľubovoľé čísl Riešiteľ ájde postupýi iterácii optiále riešeie (k eistuje). c) Cieľová buk obshuje ktuálu hodotu účelovej fukcie pre dý výrobý plá. Túto hodot je skláry súčio vektor pre výrobý plá C3:H3 s ceový vektoro C:H. N výpočet tejto hodoty v Eceli eistuje fukci SUMPRODUCT ted do cieľovej buky I3 uložíe vzorec =SUMPRODUCT(C:H, $C$3:$H$3) d) Ľvé stry ohričeí sú obsho buiek I5:I0 obshujú skláry súči vektor výrobého pláu s ridkový vektoro techologických koeficietov pre dý zdroj. Tieto buky obshujú ted podobý vzorec ko cieľová buk I3, ktorý do ich ôžee vpísť buď prio, lebo jedoduchšie skopíroví obshu cieľovej buky I3. Tk príkld obsho buky I5 je výrz =SUMPRODUCT(C5:H5, $C$3:$H$3). Terz by l sledovť krok 5 v ktoro by se zdli progru Riešiteľ ohričei úlohy vyzvli ho vyriešeie zdej úlohy. Avšk je vhodé ešte predtý urobiť iekoľko pokusov so zostveý odelo v Eceli. Tkéto pokusy á uoži zistiť, či bol tetický odel správe zdý do tbuľkového klkulátor zároveň iekoľko odhdov výrobého pláu á uoží urobiť si predstvu o ožo optiálo riešeí. Možo príkld zistiť, ký zisk dáv výrob ( ásledý predj) výrobku A v čo jväčšo ožstve. Keďže pri jeho výrobe s spotrebovávjú le suroviy S S 2 ľhko určíe, že iále ožo vyrobiť 4000 jedotiek výrobku A. Preto do buky C3 zpíšee číslo 4000 dostee tkýto obsh prcového listu 58

60 Vidíe, že tkýto výrobý plá spotrebuje celú zásobu. suroviy, všk ulové ožstvo druhej suroviy, lebo toto ožstvo je obsho buky I6. To je všk veľi zepokojujúce, lebo zreje s lo spotrebovť 0, = 3200 jedotiek suroviy S 2. Ted pri zdáví údjov do prcového listu vzikl chy. V toto prípde je to jed z veľi čstých chýb pri zdáví destiých čísel do tbuľkového klkulátor. Totiž destiá čirk použitá oddeleie celej destiej čsti je síce v zhode s prvidli zápisu čísel Slovesku, le v glosských krjiách je teto účel používá destiá bodk. Preto použitie destiej čirky spôsobí, že Ecel iterpretuje číslo 0,8 v buke C6 ie ko číslo le ko zkový reťzec v she kovertovť ho číslo u podľ svojich vútorých prvidiel prirdí číselú hodotu 0. Ľhko s ôžee o to presvedčiť keď by se príkld do preeej buky E3 zpísli číslo 00, čo by lo ovplyviť cieľovú buku I3 všk jej hodot zoste stále rová ule. Preto usíe Ecelu zčiť, že ie je v glosskej krjie le Slovesku, lebo s prispôsobiť glosskej kovecii iesto destiej čirky použiť destiú bodku. Pre jedo kokréte použitie je jedoduchšie použiť destiú bodku dostee tk teto prcový list 59

61 Terz už hodoty buiek I5 I6 sú v poridku všk hodoty buiek I7 I9 ie sú zreje správe, lebo s ezohľdili záporé ziek techologických koeficietov. To je spôsobeé tý, že pri zápise techologických koeficietov se skopírovli štruktúru tbuľku z wordovského dokuetu, kde zieko íus bolo vytvoreé ko dvojitý edzerovík. Tý je spôsobeé, že Ecel opäť iterpretuje hodoty v bukách C7, D8 E9 ko uly (podobe j hodoty buiek D E). Musíe preto správe zpísť záporé čísl v prcovo liste tý, že použijee edzerovík le rz pred záporý číslo. Tý dostee už správe prcový list s východiskovýi údji pre šu úlohu. Vidíe ted, že lé eperietovie s eicii s buki á uožilo odhliť viceré skryté chyby pri prepise tetického odelu do tbuľkového klkulátor. Terz už ôžee pristúpiť k zdiu ohričeí v dilógových okách progru Riešiteľ. Použitie progru Riešiteľ. 60

62 Teto progr ožo vyvolť z pouky Tools v ktorej klikee položku Riešiteľ (resp. Solver). V ovej verzii Ecelu, ktorý je súčsťou blík MS Office 2007 ožo Riešiteľ vyvolť z pouky Dt vej je záložk Alýz v ej je položk Riešiteľ, ktorú keď klikee spustí s progr Riešiteľ. Ak teto odul ebol ešte ištlový v položke Dt eá Riešiteľ záložku vtedy ho treb doištlovť poocou Add-is v záložke Ecell optios. Poto treb opäť zvolť teto už doištlový progr obrzovke s á objví toto oko: Nstvie s kurzoro do poľ pre Set Trget Cell zpíšee t ozčeie buky v ktorej s chádz v šo prcovo liste cieľová buk, čiže sybol $I$3. To isté se ohli dosihuť keby se boli klikli kurzoro buku I3 ktívo prcovo liste. Následe vyzčíe, že cieľo šej úlohy je ilizáci. Poto v poli Guess zpíšee preeé buky to jedoducho vyzčeí buiek C3:H3 prcovo liste. Npoko klikutí tlčidlo Add pridáe ohričei úlohy postupý zdáví jedotlivých relácií edzi použitýi zdroji uvedeýi v stĺpci I dispoibilýi ožstvi v stĺpci K. Tý dostee tkto vypleé dilógové oko Riešiteľ: Ešte usíe otvoriť ďlšie dilógové oko klikutí tlčidlo Optios v otvoreo oke vyzčíe, že chcee riešiť úlohu etódi lieáreho progrovi tktiež v prípde, že všetky rozhodovcie preeé sú ezáporé, tk to vyzčíe v príslušo zškrtávco štvorčeku. Tk dostee tkto vypleé dilógové oko. 6

63 Keď v ňo klikee OK dostee s do zákldého dilógového oke Riešiteľ áe všetko priprveé spusteie progru Riešiteľ, ktorý s vysží určiť postupýi iterácii ooptiále riešeie. Trvie výpočtu v sekudách je vyedzeé rozsho M Tie počet iterácii je vyedzeý políčko Itertios v druho dilógovo oke Riešiteľ. V zákldo dilógovo oke ted spustíe Riešiteľ klikutí tlčidlo Rieš (Solve) tker okžite Riešiteľ podá správu o výsledku riešei v toto dilógovo oke: Klikutí OK uchováe výsledé riešeie v ktívo prcovo liste ktorý vyzerá sledove: To zeá, že iály zisk dosihee výrobou 4000 jedotiek výrobku A jeho ásledý predjo. Čísl, ktoré sú veľi blízke ule ôžu byť po výpočte v Ecelli zpísé poocou epoeciáleho zápisu tk ko príkld v buke G3. Tie sozreje z prktického hľdisk sú ulové. Tý se úple vyriešili zdý príkld optiáleho pláovi výroby s polotovri. 62