Príklady a úlohy z krivkových integrálov

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Príklady a úlohy z krivkových integrálov"

Ἀνδρέας Ελευθερίου
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Príkldy úlohy z krivkových integrálov Riešené príkldy Príkld Vypočítjme krivkový integrál prvého druhu ds, pričom y = {(, y) R : ; y = e + e }. Riešenie. rivk s dá prmetrizovť npr. nsledujúcim spôsobom Derivovním podľ prmetr t dostneme = (t) = ln t, y = y(t) = t +, t ; e. t ( ) (t) + (y ) (t) = (t) = t, y (t) = t, 4t + ( t ) = + t. Z toho vyplýv, že krivk je hldká funkci f (, y) = y je spojitá n krivke. Ted krivkový integrál eistuje môžeme ho vypočítť nsledovne y ds = e (t) ( y(t) ) (t) + (y ) (t) dt = e ln t ( t + + t ) t e dt = ln t t dt = [ ln t ] e =. Príkld Nájdime kvdrtický moment homogénnej krivky, ktorá je obvodom štvorc so strnou dĺžky, vzhľdom k primke prechádzjúcej stredom protiľhlých strán štvorc. Riešenie. Stred štvorc pre jednoduchosť umiestníme do zčitku súrdnicovej sústvy ko n obr.?? krivku 3 y O 4 Obr. : rivk = 3 4., ktorá nie je hldká, rozdelíme n štyri čsti = 3 4 s nsledujúcimi prmetrizácimi : = t, y =, t ;, =, y =, : =, y = t, t ;, =, y =, 3 : = t, y =, t ;, =, y =, 4 : =, y = t, t ;, =, y =, ( ) + (y ) =, ( ) + (y ) =, ( ) + (y ) =, ( ) + (y ) =.

2 Ted krivk je po čstich hldká. Hľdný kvdrtický moment J je kvdrtickým momentom krivky vzhľdom k osi s konštntnou lineárnou hustotou γ. Vypočítme ho nsledovne J = γ y ds = γ y ds + y ds + y ds + y ds = 3 4 ( = γ ) ( dt + (t) ) dt + dt + = γ ( t) dt = ( ( ) 3 ( ) ) = γ. Príkld 3 Vypočítjme krivkový integrál druhého druhu orientovná elips s rovnicou + y b =. ( + y) d + ( y) dy, kde krivk je kldne Riešenie. Njvýhodnejši prmetrizáci elipsy vyplýv z jej vyjreni pomocou zovšeobecnených polárnych súrdníc. Tkto dostneme (t) = cos t, y(t) = b sin t, t π; π, (t) = sin t, y (t) = b cos t. ldná orientáci krivky je orientáciou súhlsnou so zvolenou prmetrizáciou. Hľdný krivkový integrál druhého druhu nájdeme s využitím uvedenej prmetrizácie tkto ( + y) d + ( y) dy = = π π π π [( cos t + b sin t) ( sin t) + ( cos t b sin t) (b cos t)] dt = [ ( + b ) cos t sin t + b(cos t sin t) ] dt = π π ( + b ) sin t + b cos t dt =. Príkld 4 Pomocou krivkového integrálu vypočítjme obsh rovinného útvru D ohrničeného slučkou krivky s rovnicou ( + y ) = y v prvom kvdrnte. Riešenie. V tejto úlohe je troch náročnejšie zistiť prmetrizáciu tvr krivky. Prmetrizáciu pri tkto lebo podobne zdných rovnicich kriviek je výhodné zvoliť nsledovne: Položíme y = t tento vzťh dosdíme do rovnice krivky vyjdríme ko funkciu t, t. j. Tkto dostávme prmetrizáciu ( + t ) = t = ( + t ) 4 = t. = ± t t + t, y = ±t + t, ktorou zistíme tvr krivky znázornený n obr.??. Slučke, ktorá nás zujím, zodpovedá intervl prmetr t ; + ) znmienk + v oboch prípdoch. Derivovním týchto vzťhov prmetrizácie podľ prmetr t dostneme 3t (t) = ( + t ) t, 3t t 3 y (t) = ( + t ) t.

3 t = 3 y t + NO t = D t = 3 Obr. : rivk ko hrnic ohrničenej oblsti D. Hľdný obsh A oblsti D bude A = y d + dy = = + = + ( t t + t 3t ( + t ) t + ) t + t 3t t 3 ( + t ) dt = t + t( 3t ) + 3t t 3 ( + t ) 3 dt = t v=+t ( + t dt = = ) + + dv = v t + t 3 ( + t ) 3 dt = [ ] + ( = v lim v + ) v + =. Úlohy n smosttné riešenie Úloh č. rivkový integrál prvého druhu Vypočítjte dné krivkové integrály. () (b) (c) (d) (e) (f) ds, kde je úsečk AB s krjnými bodmi A = (, ) B = (4, ). y ( + y) ds, kde je obvod trojuholník ABC s vrcholmi A = (, ), B = (, ) C = (, ). y ds, kde je obvod obdĺžnik OABC s vrcholmi O = (, ), A = (4, ), B = (4, ) C = (, ). ds, kde = {(, y) R : ; y = }. ds, kde = {(, y) R : ; y = ln }. ( + y ) ds, kde je menší z oblúkov kružnice + y = medzi bodmi (, ) (, ). 3

4 (g) (h) (i) (j) (k) (l) (m) (n) y ds, kde = {(, y) R : y ; y = }. + y ds, kde = {(, y) R : + y = }. + y + ds, kde je úsečk AB s krjnými bodmi A = (, ) B = (4, ). + y y ds, kde = {(, y) R : ( + y ) = ( y )}. ( y 4 3 ) ds, kde = {(, y) R : 3 + y 3 = 3 }. y ds, kde = {(, y) R : = 4(t sin t) y = 4( cos t) t π}. ( + y ) ds, kde = {(, y) R : = (cos t + t sin t) y = (sin t t cos t) t π}. + y ds, kde krivk zpísná v polárnych súrdnicich má rovnicu ρ = ebϕ pre ϕ ; π. Úloh č. Aplikácie krivkového integrálu prvého druhu Vypočítjte dĺžku krivky zdnej rovnicou. () ρ = sin 3 ( 3 ϕ), ϕ ; 3π. (b) + y =. Úloh č.3 Aplikácie krivkového integrálu prvého druhu () Určte hmotnosť čsti prboly : y = medzi bodmi (, ) (, 4), k hustot je v kždom bode primo úmerná štvorcu vzdilenosti od osi y v druhom koncovom bode s rovná ôsmim. (b) Vypočítjte hmotnosť oblúk elipsy s polosmi b, k s hustot v kždom bode číselne rovná vzdilenosti od osi. (c) Zistite polohu ťžisk logritmickej špirály : ρ = 5e ϕ, ϕ ; π. rivku povžujte z homogénnu. (d) Zistite polohu ťžisk čsti homogénnej steroidy : 3 + y 3 = z prvého kvdrntu. (e) Nájdite ťžisko homogénneho oblúk cykloidy : = (t sin t), y = ( cos t), t ; π. (f) Vypočítjte vzdilenosť ťžisk homogénneho kruhového oblúk s polomerom R stredovým uhlom α od stredu kružnice. (g) Zistite moment zotrvčnosti čsti homogénnej prboly dnej rovnicou y =, y vzhľdom k osi y. (h) Drôt má tvr kružnice s rovnicou + y = R. Nájdite moment zotrvčnosti vzhľdom n jeho priemer, k jeho hustot γ je dná vzťhom γ(, y) = + y. (i) Vypočítjte momenty zotrvčnosti homogénnej krivky dnej rovnicou ρ = p( + cos ϕ), ϕ ; π k obom súrdnicovým osim. 4

5 Úloh č.4 rivkový integrál druhého druhu Vypočítjte krivkové integrály. () (b) (c) (d) (e) (f) ( + y ) d + ( y ) dy, kde je obvod trojuholník ABC s vrcholmi A = (, ), B = (, ), C = (, ), pričom trojic (A, B, C) je usporidná v zmysle orientácie krivky. d + dy, kde je obvod štvorc ABCD s vrcholmi A = (, ), B = (, ), C = (, ), + y D = (, ), pričom trojic (A, B, C) je usporidná v zmysle orientácie krivky. (y + ) d + (y ) dy + y, kde je kldne orientovná kružnic so stredom v bode (, ) polomerom R. y d, kde je orientovný oblúk s rovnicou y = sin, ; π so zčitočným bodom (, ). ( y ) dy, kde je orientovný oblúk s rovnicou y =, ; π so zčitočným bodom (, 4). y d + ( ) dy, i =,, 3, kde kždá i je orientovnou krivkou so zčitočným bodom i A = (, ) koncovým bodom B = (, ), pričom je úsečk AB, je čsť prboly s rovnicou 4y = 3 je čsť prboly s rovnicou y =. (g) (y 6y 3 ) d + ( 9 y ) dy, i =,, 3, kde kždá i je orientovnou krivkou so zčitočným i bodom A = (, ) koncovým bodom B = (, ), pričom je úsečk AB, je čsť prboly s rovnicou y = 3 je čsť kubickej prboly s rovnicou y = 3. (h) ( y) d + dy, kde je orientovný oblúk cykloidy s prmetrickým vyjdrením = t sin t, y = cos t, t ; π so zčitočným bodom (, ). (i) d + rctg y dy, kde je orientovná polkružnic s rovnicou y = so zčitočným bodom (, ). y d + dy (j), kde je orientovný oblúk steroidy určený prmetrickými rovnicmi = y 5 3 cos 3 t, y = sin 3 t od bodu (, ) po bod (, ). Úloh č.5 Greenov vet Vypočítjte obsh rovinného obrzc ohrničeného dnou krivkou pomocou krivkového integrálu () y = 4 (b) ( + y) = y (c) 3 + y 3 = 3y,, y (d) 5 + y 5 = 5

6 (e) = 4 cos t cos 4t, y = 4 sin t sin 4t, t ; π Úloh č.6 Ďlšie plikácie () Nájdite pomocou krivkového integrálu ťžisko homogénnej tenkej dosky, ktorej hrnic je tvorená úsečkou AB, A = (, ), B = (π, ) krivkou dnou rovnicmi = t sin t, y = cos t, t ; π. (b) Nájdite pomocou krivkového integrálu ťžisko homogénnej tenkej dosky, ktorej hrnic je tvorená úsečkou AB, A = (, ), B = (, ) úsečkou AC, C = (, ) krivkou dnou rovnicou + y =. (c) Vypočítjte pomocou krivkového integrálu moment zotrvčnosti vzhľdom k osi homogénnej tenkej dosky, ktorej hrnic je tvorená úsečkou AB, A = (, ), B = (, ) úsečkou AC, C = (, ) krivkou s rovnicou + y =. (d) Vypočítjte prácu silového poľ f = y, f y = +y, k s hmotný bod premiestni z bodu A = (, ) do bodu B = (, ) po krivke i, pričom je primk s rovnicou y =, je prbol s rovnicou y = 3 je lomená čir AB, = (, ). (e) Silové pole pôsobí v kždom bode (, y) silou f = + y, f y =. Vypočítjte prácu poľ pri pohybe hmotného bodu po kružnici s polomerom R stredom v počitku súrdnicového systému proti smeru hodinových ručičiek. 6

Σχετικά έγγραφα

22 Špeciálne substitúcie, postupy a vzorce používané pri výpočte

22 Špeciálne substitúcie, postupy a vzorce používané pri výpočte Špeciálne substitúcie, postupy vzorce používné pri výpočte niektorých ďlších typov neurčitých integrálov. Pomocou vhodnej substitúcie tvru t = n + b (potom = tn b, = n tn dt) vypočítjte neurčitý integrál