UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA V NITRE. Matematici vo vetách a definíciách

Transcript

1 UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA V NITRE Mrek Vrg Luci Záhumeská Mtemtici vo vetách defiíciách NITRA 008

2 UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA V NITRE FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED KATEDRA MATEMATIKY Mrek Vrg Luci Záhumeská Mtemtici vo vetách defiíciách NITRA 008

3 Obsh Úvod Abelove kritérium.... Abelov erovosť Abelov trsformáci Abelov vet Archimedov vlstosť prirodzeých čísel Beroulliho difereciál rovic Beroulliho logritmické derivovie Beroulliho metód Beroulliho erovosť Bietov vzorec Bolzov vet Bolzov Weierstrssov vet Buňkovského erovosť Ctorov pricíp do seb zpdjúcich itervlov Cuchyho Bolzov podmiek kovergecie Cuchyho Buňkovského erovosť Cuchyho Hdmrdov vzorec Cuchyho defiíci limity fukcie Cuchyho itegrále kritérium Cuchyho kodezčé kritérium Cuchyho (AG) erovosť Cuchyho odmociové kritérium Cuchyho súči rdov Cuchyho vet Cuchyho vet o medzihodote Cuchyho zčitočé podmieky Čebyševov erovosť d Alembertove podielové kritérium

4 9. Drbouxove itegrále súčty Drbouxov vet Descrtov súrdicová sústv Dirichletov fukci Dirichletove kritérium Dirichletov pricíp Eulerove číslo Eulerov formul Eulerov koštt Eulerov metód Eulerov multiplikátor Eulerov substitúci Fermtov vet Fibocciho postuposť Fubiiho vet Gussov tvr komplexého čísl Gussov Ostrogrdského vet Guldiove vety Hmiltoov bl operátor Heieho Ctorov vet Heieho defiíci limity fukcie l Hospitlovo prvidlo Hölderov erovosť Jcobiho determit Jeseov erovosť Jugov erovosť Lgrgeov fukci Lgrgeov metód vriácie koštát Lgrgeov vet o stredej hodote Lplceov itegrál Lplceov operátor Lplceov rovic Leibizov rd

5 6. Leibizove kritérium Leibizov vzorec Liouvilleov vzorec Lipschitzov podmiek Mikowského erovosť Moivreov vet Newtoov itegrál Newtoov Leibizov formul Newtoov biomická formul Newtoove prvidlo Oresmeho vzorec Ostrogrdského metód Psclov trojuholík Poissoov itegrál Rbeho kritérium Riemov fukci Riemov itegrál Riemov rd Riemov vet Rolleov vet Schwrzov vet Stirligov vzorec Stokesov vet Tylorov rd Tylorov vet Weierstrssove kritérium rovomerej kovergecie Weierstrssov vet o mxime miime Weierstrssov vet o ohričeosti Wroského determit... 6 Litertúr... 7 Príloh

6 Úvod Niet v živote ič krjšieho ko predášť študovť mtemtiku. S. D. Poisso Táto publikáci je určeá predovšetkým študetom kdemických predmetov v probácii s mtemtikou Ktedre mtemtiky FPV UKF. Obshuje dôležité vety (Abelov, Cuchyho, Lgrgeov...), vzorce (Cuchy Hdmrdov, Leibizov, Newtoov...), či erovosti (Beroulliho, Buňkovského, Jesoov...), s ktorými s čitteľ môže stretúť skúškch z mtemtickej lýzy počs prvých pitich semestrov štúdi. Keďže š kih má byť predovšetkým pomôckou teoretickú čsť skúšky, obshuje j dôkzy všetkých uvedeých závžých tvrdeí. Nvyše obshuje j defiície rôzych pojmov spojeých s memi mtemtikov (Beroulliho difereciál rovic, Eulerov multiplikátor, Riemov itegrál, Ostrogrdského metód, Tylorov rd...), ktoré sú tiež eodlučiteľe spojeé s predáškmi z mtemtickej lýzy. Obzvlášť zrejme potešíme študetov probácie mtemtik fyzik, ktorí tu ájdu mohé rovice záme z mtemtickej fyziky (Guss Ostrogrdského vet, Lplceov rovic, Stirligov vzorec...). Ako čitteľ isto postrehol, všetky heslá uvedeé v tejto publikácii sú spojeé s meom iektorého z mtemtických velikáov. Preto záverečú čsť tvorí príloh obshujúc krátke medilóy tu spomeutých mtemtikov. Npoko si dovoľujeme poďkovť recezetom tejto publikácie prof. RNDr. Jozefovi Fulierovi, CSc. prof. RNDr. Zoltáovi Zlbiovi, CSc. z ich ceé pripomieky vylepšeie šej práce. Autori - 0 -

7 . Abelove kritérium Vet (Abelove kritérium): Nech postuposť { } = koverguje. Potom je kovergetý j rd Dôkz. je mootó ohričeá, ech číselý rd b. = b = Z ohričeosti postuposti { } = vyplýv, že existuje tké číslo M > 0, že pre kždé N pltí M. Nech ε > 0. Z kovergecie rdu b vyplýv, že existuje tké prirodzeé číslo s, = že pre všetky > s, N, pre kždé p N 0 pltí p ε b <. M + k k= 0 3 p ε Využitím Abelovej erovosti dostávme: + kb+ k ( + p) < + <ε. 3M k= 0 Z Cuchyho - Bolzovej podmieky kovergecie už vyplýv, že rd koverguje. = b - -

8 . Abelov erovosť Vet (Abelov erovosť): Nech pre reále čísl i pltí i i + (resp. i i + ) pre kždé i =,,...,. Nech b+ b + + b B, kde i =,,...,.. Potom b i i B( + ) i= Dôkz. Z erovostí, ktoré plti pre dé reále čísl i vyplýv, že kždý rozdiel i i + (i =,,..., ) má rovké zmieko. Využitím Abelovej trsformácie dostávme: b B + B B + = i i i i+ i i i+ i= i= i= = B + B Abelov trsformáci Vet (Abelov trsformáci): S = b + b + + b, kde i, b i R (i =,,..., ). Nech Nech B = b + b + + b j Dôkz., kde j =,,...,. Potom pltí j Ozčme S = b + b+ + b, kde i, b i R (i =,,..., ). b i i= i i+ Bi+ B i= i=. Keďže pltí B = b, B = b+ b,..., B = b+ b + + b, zrejme pltí j b = B, b = B B,..., b = B B. Dosdeím do súčtu S dostávme: = + ( ) + + ( ) S B B B B B. - -

9 Po rozásobeí usporidí získvme: S = B + B + + B + B 3 b i i= ( i i+ ) Bi+ B. i= i=, resp. Pozámk. Abelov trsformáci je istou lógiou itegroviu metódou per prtes. Túto lógiu si všimeme ešte vic, k uvedeú trsformáciu zpíšeme v tvre i( Bi Bi ) = ( B B) ( i i+ ) Bi. i= i= 4. Abelov vet Vet (Abelov): Nech je dý potečý rd x. = (i) Ak rd x koverguje v bode α R, potom bsolúte koverguje = v kždom bode itervlu ( α ; α ). (ii) Ak rd x diverguje v bode β R, potom diverguje v kždom bode = itervlu ( ; β ) ( β ; ). Dôkz. (i) Nech rd α koverguje, ech x ( α ; α ). Máme ukázť, že potom = rd x bsolúte koverguje. = - 3 -

10 Keďže rd α je kovergetý, z utej podmieky kovergecie vyplýv, že = lim α = 0. To zmeá, že postuposť { } α je kovergetá, preto je ohričeá, tj. = existuje tké číslo K R, že pre všetky N pltí: α < K. Ďlej dostávme x x = α < K α x α. Rd = α x x K je geometrický rd s kvocietom q = <, tj. kovergetý α geometrický rd. Keďže x K x α, z porovávcieho kritéri vyplýv, že j rd = x koverguje, tj. rd x bsolúte koverguje. = (ii) Dôkz urobíme sporom. Predpokldjme, že existuje číslo ξ ( ; β ) ( β ; ) tké, že rd ξ koverguje. = Z prvej čsti Abelovej vety potom dostávme, že rd x koverguje v kždom = bode itervlu ( ξ ; ξ ), ted j v čísle β. Tým dostávme spor. Pozámk. Niekedy býv ko Abelov vet zývý dôsledok vyššie uvedeej vety: Vet: Nech M je obor kovergecie potečého rdu týchto troch možostí: = x. Potom ste práve jed z - 4 -

11 (i) (ii) (iii) M = {0}, tj. obor kovergecie je jedoprvková moži; M = ( ρ; ρ), ρ R, tj. obor kovergecie je itervl; M = R, tj. potečý rd koverguje v kždom reálom čísle. 5. Archimedov vlstosť prirodzeých čísel Vet (Archimedov vlstosť prirodzeých čísel): Nech R. Potom existuje tké prirodzeé číslo, pre ktoré pltí >. Dôkz. Tvrdeie dokážeme sporom. Predpokldjme, že vet epltí tj. existuje tké reále číslo, že pre všetky prirodzeé čísl pltí. To zmeá, že moži N je zhor ohričeá. Kždá eprázd podmoži reálych čísel (zrejme N, N R), ktorá je zhor ohričeá, má suprémum. Ozčme ξ = sup N. * Zrejme pltí ξ < ξ. Potom le z druhej vlstosti suprém možiy vyplýv, že existuje tké 0 N, pre ktoré pltí 0 > ξ, resp. 0 + > ξ. Z defiície prirodzeých čísel všk vyplýv, že 0 + = N. Keďže > ξ, dostávme spor s prvou vlstosťou suprém možiy. Náš predpokld bol esprávy, tj. pltí dá vet. Pozámk. Archimedov vlstosť prirodzeých čísel s iekedy uvádz vo všeobecejšej verzii: Vet: Nech R +, b R. Potom existuje tké prirodzeé číslo, že pltí > b. * Nech M je eprázd podmoži možiy reálych čísel, ktorá je zhor ohričeá. Číslo S zývme suprémum možiy M, píšeme S = sup M, k: () pre kždý prvok x M pltí x S, () pre kždé reále číslo s < S existuje tký prvok x M, že pltí x > s

12 6. Beroulliho difereciál rovic Defiíci: Nech fukcie p(x), q(x) sú defiové itervle J, pričom pre kždé x J pltí q(x) 0. Nech α 0, α. Potom difereciálu rovicu tvru y + p( x) y = q( x) y α zývme Beroulliho difereciálou rovicou. Pozámk. Beroulliho difereciálu rovicu riešime tk, že ju substitúciou y α z = prevedieme lieáru difereciálu rovicu. Riešeie lieárej difereciálej rovice prvého rádu Beroulliho, Eulerovou či Lgrgeovou metódou sme popísli iých miestch. 7. Beroulliho logritmické derivovie Vet (Beroulliho logritmické derivovie): Nech fukcie ƒ, g sú diferecovteľé ejkej možie D, ech ƒ(x) > 0. Potom g g f pre všetky x D pltí: f f g = l f + g f. Dôkz. l Hoci dôkz môžeme urobiť prepisom expoeciálu fukciu ( f g = e g f ) ásledým derivovím zložeej fukcie, ukážeme, ko postupovl pri riešeí tohto problému pá Beroulli. Ozčme dostávme g y = f. Potom zrejme pltí l y = gl f. Derivovím tejto rovosti f y = g l f + g. y f Odtiľ už máme f y y g g f = g l f + g, resp. f f g l f g f = + f

13 8. Beroulliho metód Beroulliho metódu využívme výpočet lieárej difereciálej rovice prvého rádu y + p( x) y = q( x). Hľdjme riešeie v tvre y u( x) v( x) =, kde u, v sú ejké fukcie. Potom zrejme y = u v+ uv. Po dosdeí do dej difereciálej rovice dostávme u v + uv + p x uv = u v + u v + p x v = q x Židme, by pltilo v + p( x) v= 0 súčse uv q( x) Riešeimi týchto difereciálych rovíc sú fukcie v pxdx =, resp. e Odtiľ pre hľdú fukciu y pltí =. pxdx u = q x e dx+ c. pxdx pxdx y = e q( x) e dx+ c, kde c R.. 9. Beroulliho erovosť Vet (Beroulliho erovosť): Nech N, ech h >. Potom pltí ( h) Dôkz. Tvrdeie dokážeme mtemtickou idukciou. Nech =. ( + h) = + h + h. + + h

14 Predpokldjme, že erovosť pltí pre = k, dokážme jej pltosť j pre = k +. Počítjme: k+ k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + h = + h + h + kh + h = + k+ h+ kh + k+ h. 0. Bietov vzorec Vet (Bietov vzorec): Pre - tý čle Fibocciho postuposti { } F = pltí F = 5 Dôkz.. Njskôr pozmejme, že rekureté vyjdreie čleov Fibocciho postuposti má tvr F =, F =, F = F + F, kde N. Tvrdeie dokážeme pomocou mtemtickej idukcie. Nech =. Z Bietovho vzorc dostávme F =. Nech vzorec pltí pre kždé prirodzeé číslo tké, že < k. Potom zrejme pre = k, resp. pre = k pltí F k = k 5 k, resp. F k = k k Overme, či potom pltí F = F + F, tj. F k + Fk Fk. Počítjme: = + F k + F k = k 5 k k 5 k = - 8 -

15 - 9 - = = k k k k = = k k = + + = k k = + + = k k = + + = k k = + = k k k F. Pozámk. Ukážeme, ko ájsť všeobecý čle Fibocciho postuposti { } F =, k pozáme jej rekureté vyjdreie F =, F =, F F F = +, kde N. Predpokldjme, že uvedeému rekuretému vzťhu vyhovuje ejká geometrická postuposť { } = q, kde q R. Položme q F =, z rekuretého vzorc dosteme rovicu q q = 0. Jej riešeimi sú čísl 5 + = q, 5 = q. Rekuretému vzorcu F F F = + ted vyhovujú jedk obe postuposti { } = q, { } = q, jedk ich ľubovoľá lieár kombiáci { } = + β α q q. Reále čísl α, β všk vyberieme tk, by boli spleé zčitočé podmieky, tj. F = q q β + α = súčse F = q q β + α =.

16 Riešeím tejto sústvy dostávme α =, 5 β =. Potom pre všeobecý čle 5 Fibocciho postuposti { } F = pltí F = Bolzov vet Vet (Bolzov): Nech fukci ƒ je spojitá itervle ; b, ech pltí ƒ().ƒ(b) < 0. Potom existuje spoň jedo číslo β (; b), pre ktoré pltí ƒ(β) = 0. Dôkz. Nech fukci ƒ je spojitá itervle ; b, ech pltí ƒ() > 0, ƒ(b) < 0. Ozčme M = {x ; b ; ƒ(x) > 0}, β = sup M. Keďže ƒ() > 0, fukci ƒ je kldá ejkom prvom okolí bodu, podobe, keďže ƒ(b) < 0, fukci ƒ je záporá ejkom ľvom okolí bodu b. Odtiľ z defiície čísl β vyplýv, že β (; b). Predpokldjme, že ƒ(β) > 0. Potom by existovlo tké okolie V(β), že pre všetky x V(β) pltí: ƒ(x) > 0. To zmeá, že existuje tké číslo ξ V(β), ξ > β, pre ktoré pltí ƒ(ξ) > 0. Tým dostávme spor s defiíciou čísl β. Alogicky vylúčime možosť ƒ(β) < 0. Z predpokldov vety ted vyplýv, že musí pltiť ƒ(β) = 0. Pozámk. Geometrická iterpretáci: Ak fukci ƒ spĺň predpokldy Bolzovej vety, potom v itervle (; b) leží spoň jedo číslo β, v ktorom fukci ƒ pretí os o x (obrázok )

17 y ƒ() y = ƒ(x) β b x ƒ(b) Obrázok. Bolzov vet.. Bolzov - Weierstrssov vet Vet (Bolzov - Weierstrssov): Z kždej ohričeej postuposti možo vybrť kovergetú podpostuposť. Dôkz. = Nech je dá postuposť { x}. Uvžujme sledové dve možosti: () Obor hodôt postuposti { x} = je koečá moži. Ak je obor hodôt postuposti { x} = koečá moži, ejký čle α s v ej chádz ekoeče veľ krát. Z dej postuposti môžeme ted vybrť košttú podpostuposť { α } =, ktorá je kovergetá. () Obor hodôt postuposti { x} = je ekoečá moži. Postuposť { } x = je ohričeá, tj. ech pre všetky N pltí: x b. Itervl ; b, ktorý obshuje ekoeče veľ čleov postuposti { x} = rozdeľme dve - -

18 polovice. Aspoň jede z itervlov ; + b + b, ; b obshuje ekoeče veľ čleov postuposti { } x = (k by ob obshovli koečý počet čleov, obor hodôt x = postuposti { } by bol koečá moži), ozčme ho ; b. Itervl ; b opäť rozdeľme dve polovice. Alogicky spoň jede z itervlov ; + b + b ;, b obshuje ekoeče veľ čleov postuposti { } x =, ozčme ho ; b. Pokrčujúc v tomto procese po k krokoch dosteme itervl ; b, ktorý obshuje ekoeče veľ čleov postuposti { } x =. Pre tkto vytvoreý systém itervlov pltí k+ ; bk+ k; bk (k =,,...), b lim k k = lim = 0. Z Ctorovho pricípu do seb zpdjúcich k k k itervlov potom vyplýv, že pltí lim = lim b = ξ. súčse ( b ) k Vytvorme terz podpostuposť { x k } k k k. Z čle x zoberme ľubovoľý čle = k k x = postuposti { } z itervlu ; b. Z čle x zoberme ľubovoľý čle x = postuposti { } z itervlu ; b, pre ktorý pltí >. Alogicky z čle x k zoberme ľubovoľý čle postuposti { x} = z itervlu ; b, pre ktorý k k pltí k > k. Keďže pre kždé k N pltí x b súčse lim = lim b =ξ, z vety k k k k k k k o limite zovretej postuposti dostávme lim x k k =ξ (tj. šli sme kovergetú x = ). podpostuposť postuposti { } Pozámk. Ekvivletá formuláci Bolzovej - Weierstrssovej vety je sledová: - -

19 Vet: Kždá ekoečá ohričeá podmoži reálych čísel má spoň jede hromdý bod. * 3. Buňkovského erovosť Vet (Buňkovského erovosť): Nech fukcie ƒ, g sú itegrovteľé itervle ; b. b b b f x g x dx f x dx g x dx. Potom pltí: Dôkz. Keďže fukcie ƒ, g sú itegrovteľé itervle ; b, fukci (, ) z x y = f x g y f y g x je itegrovteľá itervle ; b ; b. Zrejme pltí z (x, y) 0, odkiľ vyplýv, že z bb bb bb (, ) z x y dxdy = f x g y f y g x dxdy = x, y dxdy 0. Počítjme: b b b b b b = f x dx g y dy f x g x dx f y g y dy+ f y dy g x dx= b b b = f ( x) dx g ( x) dx f ( x) g ( x) dx 0. Z posledej erovosti už ľhko dosteme Buňkovského erovosť. Pozámk. Buňkovského erovosť j špeciálym prípdom Hölderovej erovosti pre p = q =. * Nech M, M, M R. Hovoríme, že bod je hromdým bodom možiy M, k v kždom jeho okolí existuje ekoeče veľ bodov možiy M od eho rôzych

20 4. Ctorov pricíp do seb zpdjúcich itervlov Vet (Ctorov pricíp do seb zpdjúcich itervlov): Nech je dá postuposť uzvretých itervlov { } = (i) + ; b+ ; b pre všetky N; (ii) ( b ) lim = 0. ; b, pre ktorú pltí: Potom existuje jedié číslo ξ, ktoré ptrí do kždého itervlu ; b ; vyše pltí lim = lim b =ξ. Dôkz. Dôkz existecie čísl ξ = Z predpokldov vety vyplýv, že postuposť { } je eklesjúc zhor ohričeá (príkld číslom b ), tj. kovergetá. Nvyše pltí lim = sup. b = Alogicky dostávme, že postuposť { } je erstúc zdol ohričeá (príkld číslom ), tj. kovergetá. Nvyše pltí lim b Z podmieky (ii) máme: = if b. 0 = lim b = lim b lim = if b sup, tj. if b = sup =ξ. Z vlstosti ifim (resp. suprém) vyplýv, že pre kždé N pltí ξ b, tj. číslo ξ leží v kždom itervle ; b. Dôkz jedozčosti čísl ξ Nech existuje číslo ξ ξ, ktoré leží v kždom itervle ; b. Potom le pltí b ξ ξ >, tj. lim ( b ) 0. Tým dostávme spor

21 5. Cuchyho-Bolzov podmiek kovergecie Vet (Cuchyho - Bolzov podmiek kovergecie): Postuposť { } = je kovergetá práve vtedy, keď pre kždé ε > 0 existuje tké číslo 0 N, že pre všetky, m > 0,, m N, pltí m <ε. Dôkz. Keďže ide o ekvivleciu, dôkz musíme uskutočiť v oboch smeroch. ) Predpokldjme jskôr, že postuposť { } = je kovergetá, ozčme lim, m N, pltí =. Potom pre kždé ε > 0 existuje tké číslo 0 N, že pre všetky, m > 0, ε < súčse m ε <. ε ε Počítjme: m = ( ) + ( m) + m < + =ε, tj. Cuchyho - Bolzov podmiek je spleá. ) Predpokldjme, že postuposť { } = spĺň Cuchyho - Bolzovu podmieku kovergecie. Zvoľme ε =, m = 0. Potom môžeme písť, že pre kždé N, > 0 pltí <, tj. ( ; + ) Odtiľ vyplýv, že postuposť { } = je ohričeá. To zmeá, že z ej môžeme vybrť kovergetú podpostuposť { k } ; Počítjme:. Ak ozčíme = lim k, potom = lim = lim + lim + lim = 0. k k k k Odtiľ vyplýv, že ( ) lim = 0, resp. lim =. Postuposť { } = je ted kovergetá

22 Pozámk. Keďže pojem limity postuposti je veľmi úzko spojeý s existeciou súčtu ekoečého číselého rdu, doplíme j Cuchyho - Bolzovu podmieku kovergecie číselých rdov: Vet: Číselý rd je kovergetý práve vtedy, keď pre kždé ε > 0 existuje tké = prirodzeé číslo 0, že pre kždé > 0, N, pre kždé p N pltí <ε p Dôkz le zčíme. Číselý rd je kovergetý (resp. má súčet), k koverguje jeho postuposť čistočých súčtov { s } =, pre ktorej čley pltí s = Pre výrz v bsolútej hodote zrejme pltí = s + s p p, tj. uvedeá podmiek zbezpečuje kovergeciu postuposti { s } = + p zrejme hrá úlohu čísl m z pôvodej vety). (prirodzeé číslo S pojmom limity je zvizá tiež rovomerá kovergeci fukcioálych postupostí. V tomto prípde má Cuchyho - Bolzov podmiek sledový tvr: Vet: Postuposť fukcií { } f x = je rovomere kovergetá itervle J vtedy le vtedy, k pre kždé ε > 0 existuje tké prirodzeé číslo 0, že pre kždé, m > 0,, m N, pre kždý prvok x J pltí f ( x) f ( x) Nzčme dôkz. Nech jskôr postuposť { f ( x) } rovomere koverguje = itervle J k fukcii f ( x ), tj. pre kždé ε > 0 existuje tké 0 N, že pre kždé m <ε., m > 0 pre kždé x J pltí f ( x) f ( x) <, f ( x) f ( x) ε m ε <. Potom f x f x = f x f x + f x f x f x f x + f x f x <ε. m m m - 6 -

23 Nopk, ech pre kždé ε > 0 existuje tké 0 N, že pre kždé, m > 0 pltí ε f( x) fm( x) <, ech x J je pevé. To zmeá, že číselá postuposť { m } f x = koverguje, ozčme lim f ( x) f ( x) m m =. Potom lim m = <ε, tj. { } f x f x f x f x m ε f x = rovomere koverguje. 6. Cuchyho - Buňkovského erovosť Vet (Cuchyho - Buňkovského erovosť): Nech m, = m b sú koečé rdy s ezáporými člemi. = Potom pltí: Dôkz. m m m b b = = =. Pre kždé =,,..., m pre kždé x R zrejme pltí ( x b) 0 týchto m erovostí dostávme m m m m x + b = x + b x+ b 0. = = = = Diskrimit tejto kvdrtickej erovice musí byť ekldý, tj. pltí m m m b b = = = 4 4 0, odtiľ už dostávme m m m b b = = =. Pozámk. Cuchyho - Buňkovského erovosť j špeciálym prípdom Hölderovej erovosti pre p = q = Sčítím

24 7. Cuchyho - Hdmrdov vzorec Vet (Cuchyho - Hdmrdov vzorec): Nech je dý potečý rd x. Ozčme L limsup = = resp. L limsup + =. Potom pre polomer kovergecie R potečého rdu x pltí = R = L (k L > 0), resp. R = (k L = 0), resp. R = 0 (k L = ). Dôkz. Ozčme L= limsup. Uvžujme jskôr možosť L = 0. Zoberme ľubovoľé číslo x 0, číslo ε tk, by pltilo 0 < ε <. Z prvej vlstosti limsup N, pltí * vyplýv, že existuje tké prirodzeé číslo, že pre všetky >, ε <. Odtiľ dostávme x x < ε. Rd ε je kovergetý geometrický rd. Z porovávcieho kritéri potom vyplýv, = že rd x je bsolúte kovergetý pre zvoleé x. Keďže číslo x bolo = ľubovoľé, pre polomer kovergecie rdu x pltí R =. = * Nech je dá postuposť { } =. Nech ε > 0. Potom L = limsup práve vtedy, keď: () existuje tké prirodzeé číslo, že pre všetky >, N, pltí () pre kždé 0 N existuje tké prirodzeé číslo m, m > 0, že pltí m < L+ε; > L ε.

25 Nech pltí L =. Potom musí existovť postuposť { k } =, pre ktorú pltí lim k k k =. To zmeá, že pre kždé x 0 existuje tké prirodzeé číslo k, že pre všetky k > k, k N, pltí k k x, resp. k x. k Z posledej erovosti vyplýv, že rd x emôže spĺňť utú podmieku = kovergecie ( lim x = 0 ). Rd čísle x, tj. pre jeho polomer kovergecie pltí R = 0. 3 Nech 0 < L <. Nech reále číslo x je tké, že pltí x x L < +ε. Defiujme číslo x ted diverguje v ľubovoľom reálom = q = L+ε x, tj. q <. <. Zoberme ε > 0 tk, by pltilo L Opäť z vlstosti lim sup všetky >, N, pltí vyplýv, že existuje tké prirodzeé číslo, že pre < L+ε. Pre > potom pltí: x < x L+ε = q, resp. x < q, kde 0 < q <. Rd q je kovergetý geometrický rd. Z porovávcieho kritéri potom vyplýv, = že rd x je bsolúte kovergetý pre zvoleé x. = Zvoľme terz reále číslo x tk, by pltilo x x > > 0 L ε, tj. ( L ) x ε >. >. Vyberme ε > 0 tk, by pltilo L - 9 -

26 Z vlstosti lim sup k= vyplýv, že existuje tká postuposť { k }, že pltí k k > L ε. Odtiľ dostávme k > x ( L ε ), resp. x k >. k k Z posledej erovosti vyplýv, že rd kovergecie, tj. v zvoleom reálom čísle x diverguje. Záver: Nech x R. Rd x espĺň utú podmieku = x koverguje v kždom reálom čísle, pre ktoré pltí = x < súčse diverguje v kždom reálom čísle, pre ktoré pltí x L >. To L zmeá, že pre jeho polomer kovergecie dostávme R =. L Pozámk. Pri výpočtoch čsto používme Cuchyho - Hdmrdov vzorec v limitom tvre, tj: Vet: Nech je dý potečý rd x. Nech existujú limity lim + L = = resp. L= lim. Potom pre polomer kovergecie R potečého rdu 0), resp. R = (k L = 0), resp. R = 0 (k L = ). Nzčme dôkz. Počítjme: + u+ + x + lim lim x lim u x = = = L x. x pltí = R = (k L > L Z d Alembertovho kritéri kovergecie vyplýv, že rd x koverguje v kždom = reálom čísle x, pre ktoré pltí x < diverguje v kždom reálom čísle x, pre L

27 ktoré pltí x >. To zmeá, že oborom kovergecie je itervl L pre polomer kovergecie pltí R =. L ; L L, tj. 8. Cuchyho defiíci limity fukcie Defiíci: Nech R {± } je hromdý bod defiičého oboru D(ƒ) fukcie ƒ. Hovoríme, že číslo L je limitou fukcie ƒ v bode, píšeme lim x f x = L, k pre kždé okolie U(L) bodu L existuje tké okolie V ( ) * bodu, že pre všetky x V ( ) pltí, že ƒ(x) U(L). Pozámk. Cuchyho defiíciu limity môžeme prepísť pomocou tzv. ε - δ symboliky (okolie bodu je totiž dé jeho polomerom): Nech R {± } je hromdý bod defiičého oboru D(ƒ) fukcie ƒ. Hovoríme, že číslo L je limitou fukcie ƒ v bode, píšeme lim x f x = L, k pre kždé ε > 0 existuje δ > 0, že pre všetky x D(ƒ) pltí: k x < δ, potom ƒ(x) L < ε. Ak by sme uvžovli le o prvom resp. ľvom okolí bodu, tj. V ( ) ( ; ) resp. V ( ) ( ; ) + = +δ = δ, hovoríme o limite sprv resp. zľv fukcie ƒ v bode ; vtedy píšeme lim f ( x) = L resp. lim x + x f x = L. * Okolie V ( ) = V ( ) { } zývme prstecovým (resp. rýdzim) okolím bodu

28 y L + ε y = ƒ(x) L L ε δ + δ x Obrázok. Cuchyho defiíci limity fukcie. 9. Cuchyho itegrále kritérium Vet (Cuchyho itegrále kritérium): Nech je rd s ezáporými člemi. Nech existuje erstúc kldá fukci ƒ = defiová itervle ; ) tká, že pre kždé N pltí ƒ() =. Potom rd koverguje práve vtedy, keď koverguje evlstý itegrál = f x dx. Dôkz. Z mootóosti fukcie ƒ vyplýv existeci Riemovho evlstého itegrálu t F() t = f ( x) dx pre kždé t ; )

29 Fukci F je eklesjúc, preto existuje vlstá (lebo evlstá) limit lim t F t = f x dx. () Uvžujme terz rd tohto rdu pltí: b tký, že pre kždé N pltí b = f ( x) dx. Pre súčet = b = ( b + b + + b ) = lim f ( x) dx+ f ( x) dx+ + f ( x) dx = 3 + lim = + = lim f x dx= lim F + = f x dx. + To zmeá, že rd b koverguje práve vtedy, keď koverguje evlstý itegrál = f x dx. Ďlej, keďže ƒ je erstúc fukci, pre kždé číslo x ; +, kde N, pltí: f dx f x dx f dx, tj. ƒ() ƒ(x) ƒ( + ). Odtiľ dostávme: ( + ) f b f +, resp. b +. Z posledej erovosti už ľhko ukážeme pltosť itegráleho kritéri. Ak koverguje rd =, súčse b, z porovávcieho kritéri (keďže ide o rdy s ezáporými člemi) vyplýv, že potom koverguje j rd b =, tj. koverguje j evlstý itegrál f x dx

30 Ak koverguje evlstý itegrál f x dx, to zmeá že koverguje j rd b. = Keďže b +, z porovávcieho kritéri vyplýv, že potom koverguje j rd. = Pozámk. Uvedeé kritérium môžeme použiť j pri sumách typu = K. Vtedy rozhoduje x dx. o chrktere rdu kovergeci či divergeci evlstého itegrálu f K 0. Cuchyho kodezčé kritérium Vet (Cuchyho kodezčé kritérium): Nech rd je rd s ezáporými člemi, pre ktorý pltí = Potom rd Dôkz. koverguje práve vtedy, keď koverguje rd = k. k k= 0 s Nech { } = je postuposť čistočých súčtov rdu, ech { } = = σ je postuposť čistočých súčtov rdu Nech k. Potom pltí: s k k + = k. k k= 0... ( k k... k ) =

31 ... ( k k... k ) = k = k =σ. k Z erovosti s σ k vyplýv, že k koverguje rd k= 0 k k, potom koverguje j rd =, resp. k diverguje rd Nech > k. Potom pltí: s k = =, potom diverguje j rd k. k k= 0... ( k k... k ) = ( k k... k ) = = k ( k ) k = k > = σ k. Z erovosti s σ k vyplýv, že k koverguje rd =, potom koverguje j rd k= 0 k k, resp. k diverguje rd k= 0 k k, potom diverguje j rd. =. Cuchyho (AG) erovosť Vet (Cuchyho AG erovosť): x+ x + + x Nech x i 0 (i =,,..., ). Potom pltí Dôkz. Hľdjme vizý extrém fukcie x + x + + x =. Lgrgeov fukci má tvr x x x. u x, x,, x = x x x z podmieky

32 (,,,, ) (,,, ) ( ) L x x x λ = u x x x +λ x + x + + x = = x x x +λ x + x + + x. Položíme prciále derivácie podľ všetkých premeých rové ule, potom dostávme: xx x L 3 u = 0 u x +λ= +λ= = λ x x ( xx x ) L xx x u = +λ= +λ= 0 u = λx, x x..., 3 ( xx x ) L xx x u = +λ= +λ = 0 u = λx, x x ( xx x ) L = x + x + + x = 0. λ Odtiľ dostávme x = x = = x, preto x = x = = x =. Dá s ukázť, že v stcioárom bode Λ ; ; ; dobúd fukci L (resp. fukci u) mximum (resp. vizé mximum), tj. pltí x+ x + + x x x x = =, čo bolo treb ukázť. Pozámk. Cuchyho erovosť vyjdruje vzťh medzi ritmetickým geometrickým priemerom čísel, preto s v litertúre ozčuje j ko AG erovosť.,

33 . Cuchyho odmociové kritérium Vet (Cuchyho odmociové kritérium): Nech (i) je rd s ezáporými člemi. = Ak existuje číslo q (0; ) prirodzeé číslo 0 tké, že pre všetky N, 0 pltí q, tk rd koverguje. = (ii) Ak pre ekoeče veľ N pltí, tk rd Dôkz. diverguje. = (i) Nech pre kždé 0, N, pltí q, kde q (0; ). Odtiľ pre kždé 0 dostávme q. To zmeá, že zčíjúc idexom 0 k rdu = existuje mjortý kovergetý geometrický rd = q. Z porovávcieho kritéri potom vyplýv, že rd koverguje. = (ii) Nech pre ekoeče veľ N pltí, tj. existuje ekoeče veľ čleov rdu, pre ktoré. Potom pltí lim 0, tj. ie je spleá utá podmiek kovergecie rd Pozámk. je ted divergetý. = Uvedeé kritérium používme pri výpočtoch čsto v jeho limitej forme:

34 Vet: Nech pltí: je rd s ezáporými člemi, ech existuje limit lim = = c. Potom (i) (ii) Ak c <, rd Ak c >, rd koverguje. = diverguje. = (Ak eexistuje limit lim, položíme c = lim sup ). 3. Cuchyho súči rdov Defiíci: Súčiom rdov c = b zývme rd = c =, pre ktorého čley pltí = b, c = b + b, c3 = b 3+ b + 3b,..., c = b + b + + b = b k k+ k=,..., tj. b = c = b. k k+ = = = = k= Pozámk. Motiváciou k defioviu Cuchyho súčiu rdov je ásobeie mociých rdov. Totiž, k vyásobíme rdy = 0 x = + x+ x + 0 bx = b0 + bx + bx +, = 0 dosteme rd b + b+ b x+ b + b+ b x Ak dosdíme x =, dosteme práve Cuchyho súči

35 4. Cuchyho vet Vet (Cuchyho): Nech pre fukcie ƒ, g pltí: (i) ƒ, g sú spojité itervle ; b, (ii) ƒ, g sú diferecovteľé itervle (; b), (iii) pre všetky x (; b) pltí g (x) 0. Potom existuje spoň jedo číslo γ (; b), pre ktoré pltí f γ f b f = g γ g b g. Dôkz. Cuchyho vetu dosteme ko primy dôsledok Rolleovej vety plikovej fukciu f ( ) g( ) f b h( x) = f ( x) g( x) g( ) g b itervle ; b. Pre fukciu h totiž pltí: () h je spojitá itervle ; b ; (b) h je diferecovteľá itervle (; b); (c) h() = h(b). Preto existuje spoň jedo číslo γ (; b), pre ktoré pltí f ( ) g( ) f b h ( γ ) = f ( γ) g γ = g b 0. Odtiľ už máme Ešte pozmejme, že podmiek g() g(b) vyplýv z podmieky (iii). Ak by totiž pltilo g() = g(b), podľ Rolleovej vety by existovlo spoň jedo číslo ρ ; b tké, že g (ρ) = 0. Pozámk. Geometrický výzm Cuchyho vety: Ak fukcie ƒ, g spĺňjú predpokldy Cuchyho vety, potom krivke K dej prmetrickými rovicmi x = ƒ(t), y = g(t), t b, existuje spoň jede bod Γ[ƒ(γ); g(γ)], < γ < b, v ktorom je dotyčic t rovobežá s primkou prechádzjúcou bodmi A[ƒ(); g()], B[ƒ(b); g(b)] (obrázok 3) f γ f b f = g γ g b g.

36 y g(γ) Γ t B A K ƒ(γ) x Obrázok 3. Cuchyho vet. 5. Cuchyho vet o medzihodote Vet (Cuchyho vet o medzihodote): Nech fukci ƒ je spojitá itervle ; b, ech mi{ƒ(), ƒ(b)} K mx{ƒ(), ƒ(b)}. Potom existuje spoň jedo číslo c ; b, pre ktoré pltí ƒ(c) = K. Dôkz. Tvrdeie zrejme pltí v prípdoch, k ƒ() = ƒ(b), lebo K = ƒ(), lebo K = ƒ(b). Predpokldjme, že ƒ() < ƒ(b). Cuchyho vet o medzihodote je potom dôsledkom Bolzovej vety plikovej fukciu G(x) = ƒ(x) K. Totiž fukci G je zrejme spojitá itervle ; b, vyše pltí G() = ƒ() K < 0 súčse G(b) = ƒ(b) K > 0. To zmeá, že potom existuje tký bod c (; b), pre ktorý pltí G(c) = 0, resp. ƒ(c) = K

37 6. Cuchyho zčitočé podmieky Defiíci: Nech fukci y = ƒ(x) je riešeím difereciálej rovice F(x, y, y,..., y () ) = 0 itervle J. Hovoríme, že fukci ƒ spĺň Cuchyho zčitočé podmieky (resp. je =,..., riešeím Cuchyho úlohy) v bode J, k pltí f ( ) = b0, f ( ) b ( ) f = b. Pozámk. Ak fukci y = ƒ(x) je všeobecým riešeím difereciálej rovice - tého rádu F(x, y, y,..., y () ) = 0, obshuje vzájom ezávislých prmetrov. Pre jedoduchosť uvžujme =. Ak fukci g(x) je všeobecým riešeím difereciálej rovice F(x, y, y ) = 0, ktorá vyše spĺň Cuchyho zčitočú podmieku g() = b, ide o tú itegrálu krivku, ktorá prechádz bodom Θ[; b]. 7. Čebyševov erovosť Vet (Čebyševov erovosť): Nech i, b i R (i =,,..., ), pričom pltí i i + súčse b i b i + (resp. i i + súčse b i b i + ). Potom pltí ( )( b + b + + b ) ( b + b + + b ). Dôkz. Tvrdeie dokážeme pomocou mtemtickej idukcie. Nech =. Overme, že potom pltí ( )( b b ) ( b b ) Počítjme: ( )( b b ) ( b b ) b b b b ( b b) ( b b ) = + = + = ( )( b b ) =, 0-4 -

38 čo bolo treb ukázť. Nvyše, z dokázej erovosti vyplýv, že b + b b + b, resp. všeobece b r s + b s r b r r + b s s (r, s =,,..., ), čo použijeme v druhej čsti dôkzu. Predpokldjme, že pltí erovosť zistime, či potom pltí j ( )( b + b + + b ) ( b + b + + b ), ( )( b + b + + b ) ( + )( b + b + + b + b ) Počítjme: + + i + i + i= i= ( )( ) b + b + + b = + b + b = i bi + bi b+ i + b+ i= i= i= i= = b i i+ + ( b+ b + + b) + b+ ( ) + + b+ = i= = b i i + ( + b + b + ) + ( + b + b+ ) + + ( + b + b+ ) + + b+ i= b i i + ( b + + b+ ) + ( b + + b+ ) + + ( b + + b+ ) + + b+ = i= + i i [ + + ] + + i i i= i= = b + b + b + + b + b + b = + b. Pozámk. Ak pltí i i + súčse b i b i + (resp. i i + súčse b i b i + ), kde i =,,...,, potom má Čebyševov erovosť tvr ( )( b + b + + b ) ( b + b + + b )

39 8. d Alembertove podielové kritérium Vet (d Alembertovo podielové kritérium): Nech (i) je rd s kldými člemi. = Ak existuje číslo q (0; ) prirodzeé číslo 0 tké, že pre všetky N, 0 pltí + q, tk rd koverguje. = (ii) Ak pre ekoeče veľ N pltí +, tk rd Dôkz. diverguje. = (i) Nech pre kždé 0, N, pltí + q, kde q (0; ). Odtiľ dostávme:, q, q q To zmeá, že zčíjúc idexom 0 k rdu existuje mjortý kovergetý = geometrický rd koverguje. = q 0. Z porovávcieho kritéri potom vyplýv, že rd (ii) Nech pre ekoeče veľ N pltí +, tj. +. Postuposť = kldých čísel { } = je ted eklesjúc, tj. lim 0. Keďže ie je spleá utá podmiek kovergecie, rd Pozámk. je divergetý. = Uvedeé kritérium používme pri výpočtoch j v jeho limitej forme:

40 Vet: Nech je rd s kldými člemi, ech existuje limit lim + = = d. Potom pltí: (i) Ak d <, rd koverguje. = (ii) Ak d >, rd diverguje. = (Ak eexistuje limit lim +, položíme = ). + d lim sup 9. Drbouxove itegrále súčty Defiíci: Nech D { x x x } = 0,, je deleie itervlu ; b, pre ktorého delice body pltí = x < x < x < < x = b 0. Ďlej ozčme { } { } m = if f x ; x x ; x, i i i M = sup f x ; x x ; x (kde i =,,... ). Potom číslo i i i (, ) = i( i i ) s( f, D) = mi( xi xi ) S f D M x x i= zývme horým (dolým) i= Drbouxovým itegrálym súčtom prislúchjúcim fukcii ƒ deleiu D. 30. Drbouxov vet Vet (Drbouxov): Nech fukci ƒ je diferecovteľá itervle ; b. Potom pre kždé číslo ξ R, ƒ () > ξ > ƒ (b) (resp. ƒ () < ξ < ƒ (b)), existuje tký bod c (; b), že pltí ƒ (c) = ξ (tj. fukci ƒ (x) dobúd všetky hodoty medzi ƒ () ƒ (b))

41 Dôkz. Predpokldjme jskôr, že čísl ƒ () ƒ (b) mjú rôze zmiek. Nech príkld pltí ƒ () > 0, ƒ (b) < 0. Dokážeme, že potom existuje tké číslo γ (; b), pre ktoré pltí ƒ (γ) = 0. Z diferecovteľosti fukcie ƒ vyplýv, že fukci ƒ je spojitá itervle ; b. Podľ Weierstrssovej vety potom existuje tké číslo γ (; b), že fukci ƒ dobúd v bode γ svoje mximum. Podľ Fermtovej vety potom pltí ƒ (γ) = 0. Uvžujme terz všeobecý prípd. Zoberme ľubovoľé reále číslo ξ, ktoré leží medzi číslmi ƒ (), resp. ƒ (b). Pre určitosť ech pltí ƒ () > ξ > ƒ (b). Vytvorme fukciu ϕ(x) = ƒ(x) xξ. Fukci ϕ je spojitá diferecovteľá itervle ; b, pričom pre jej deriváciu pltí ϕ (x) = ƒ (x) ξ. Zrejme ϕ (b) = ƒ (b) ξ > 0 súčse ϕ (b) = ƒ (b) ξ < 0. Z prvej čsti dôkzu vyplýv, že existuje tké číslo c (; b), pre ktoré pltí ϕ (c) = ƒ (c) ξ = 0, resp. ƒ (c) = ξ. Pozámk. O fukciách, pre ktoré pltí Drbouxov vet hovoríme, že mjú Drbouxovu vlstosť, resp. že sú drbouxovské. 3. Descrtov súrdicová sústv Ortoormálu súrdicovú sústvu zývme Descrtov súrdicová sústv. Jej zčitok obyčje zčíme písmeom O, súrdicové osi symbolmi o x, o y (v rovie), resp. o x, o y, o z (v priestore). Súrdicmi ľubovoľého bodu B[x; y] sú dĺžky úsečiek OX B, OY B ; kde X B (Y B ) je kolmý priemet bodu B súrdicovú os x (y) O je zčitok súrdicového systému

42 o z o y z y B [x; y] B [x; y; z] O x o x O x o x y o y Obrázok 4. Descrtov súrdicová sústv v rovie resp. priestore. Pozámk. Čsto s použív tiež ozčeie krteziásk súrdicová sústv (lt. Crtesius = Descrtes). Okrem Descrtovej súrdicovej sústvy pozáme j iekoľko ďlších súrdicových systémov, z ktorých iektoré tu popíšeme. Polár súrdicová sústv Nech je dý bod P (pól), orietová polprimk PJ. o y M [ϕ ; r] r ϕ P J o x Obrázok 5. Polár súrdicová sústv

43 Nech je dý bod M[ϕ ; r]. Potom: ϕ uhol, ktorý zvier sprievodič bodu M s polárou osou, tj. ϕ = MPJ ; ϕ 0; π ; r vzdileosť bodu M od pólu, tj. r = MP ; r 0; ). Ak stotožíme pól so zčitkom krteziáskej sústvy poláru os s osou o x (pozri obrázok 5), potom pre krteziáske súrdice x, y resp. poláre súrdice ϕ, r bodu M pltí: x = r cos ϕ, y = r si ϕ. Cylidrická súrdicová sústv Nech je dá krteziásk súrdicová sústv Oxy, ech os z je kolmá roviu xy prechádz bodom O. o z M [ϕ ; r ; z] ϕ O r z o y M o x Obrázok 6. Cylidrická súrdicová sústv. Nech je dý bod M[ϕ ; r ; z]. Potom: ϕ, r poláre súrdice prvouhlého priemetu M bodu M do roviy xy; z vzdileosť bodu M od roviy xy; z ( ; )

44 Po vhodom zvedeí Descrtovej súrdicovej sústvy (pozri obrázok 6) dostávme vzťhy plté pre krteziáske súrdice x, y, z resp. cylidrické súrdice ϕ, r, z bodu M: x = r cos ϕ, y = r si ϕ, z = z. 3 Sférická súrdicová sústv Nech je dá krteziásk súrdicová sústv Oxy, ech orietová polprimk z je kolmá roviu xy prechádz bodom O. o z M [r ; ϕ; ϑ] O ϕ ϑ r o y M o x Obrázok 7. Sférická súrdicová sústv. Nech je dý bod M[r ; ϕ ; ϑ]. Potom: r vzdileosť bodu M od zčitku súrdicovej sústvy O; r 0; ); ϕ uhol, ktorý zvier polprimk OM s kldou čsťou osi o x (M je priemet bodu M do roviy xy); ϕ 0; π); ϑ uhol, ktorý zvier polprimk OM s kldou čsťou osi o z ; ϑ 0; π). Po vhodom zvedeí Descrtovej súrdicovej sústvy (pozri obrázok 7) dostávme vzťhy plté pre krteziáske súrdice x, y, z resp. sférické súrdice r, ϕ, ϑ bodu M: x = r si ϑ cos ϕ, y = r si ϑ si ϕ, z = r cos ϑ

45 3. Dirichletov fukci Defiíci: Dirichletovou fukciou zývme fukciu χ dú predpisom χ( x) Pozámk. ; = 0; Alytický zápis Dirichletovej fukcie má tvr : ( x) lim lim cos k (! x) χ χ = π. k x Q. x R Q Vidíme, že Dirichletov fukci je chrkteristickou fukciou možiy rcioálych čísel. 33. Dirichletove kritérium Vet (Dirichletove kritérium): Nech je dý číselý rd b. Nech { } = = je mootó postuposť, pre ktorú pltí lim 0 ohričeá. =. Nech postuposť { } B = čistočých súčtov rdu b je = Potom rd Dôkz. b je kovergetý. = Z ohričeosti postuposti čistočých súčtov { B} = vyplýv, že existuje tké reále číslo B > 0, že pre kždé N pltí B B. Pre ľubovoľé =, 3,... ľubovoľé p N 0 potom pltí + p bi = B+ p B B+ p + B B. i=

46 Nech ε > 0. Z podmieky lim = 0 vyplýv, že existuje tké prirodzeé číslo m, že pre kždé > m, N, pltí ε <. 6B Aplikovím Abelovej erovosti sumu + p ( + ) b i i B + p <ε. i= + p b i i dostávme: i= Z Cuchyho - Bolzovej podmieky kovergecie potom vyplýv, že rd kovergetý. b je = 34. Dirichletov pricíp Ak máme vložiť m predmetov do zásuviek, pričom m >, potom existuje spoň jed zásuvk, v ktorej sú spoň dv predmety. 35. Eulerove číslo Defiíci: Limitu postuposti + = zývme Eulerove číslo ozčujeme e, tj. e = lim +. Pozámk. Ukážme, že tkto defiové Eulerove číslo existuje

47 = Vytvorme pomocú postuposť { y } klesjúc zdol ohričeá. Počítjme: + y + = = = + y = = + > + =, tj. y > y =. Ukážeme o ej, že je * Zrejme pre všetky N pltí Keďže postuposť { y} = jej limitu symbolom e, tj. je klesjúc zdol ohričeá, je kovergetá. Ozčme + lim + = e. Potom pltí + + lim lim + = = e. + N záver ešte doplňme, že číslo e je ircioále, pričom pltí e, Eulerov formul Vet (Eulerov formul): Nech x R, i =. Potom pltí: e = cos x+ isi x. ix * Využívme Beroulliho erovosť ( h) k + + kh, kde k N, h >

48 Dôkz. Mcluriov rd fukcie ƒ má tvr y = si x, y = cos x dostávme rdy ( ) x f x = f ( 0). Pre fukcie y = e x,! = 0 e x x x x!!! = =, = x x x si x= x + = ( ), 3! 5!! = 4 = 0 ( ) x x x cos x = + = ( ). *! 4!! V Mcluriovom rde pre expoeciálu fukciu položme x = it, kde i imgiár jedotk (i = ), t R. Dostávme (premiesteím čleov bsolúte kovergetého rdu s emeí súčet rdu): Pozámk. e it = 0 ( it) it ( it) ( it) ( it) 3 4 = = =!!! 3! 4! t t t t = + + i t + = cost+ isit! 4! 3! 5!. i Pre t = π dostávme e π + = 0, čo je rovosť zám ko jkrjši formul mtemtiky. Z uvedeej formuly môžeme odvodiť Eulerove vzorce j pre goiometrické fukcie síus, resp. kosíus dostávme: it it it it e + e e e cost = = cosh it; si t = = sih it = isih it. i i * Pomocou d Alembertovho kritéri s ľhko presvedčíme, že všetky tri uvedeé fukcioále rdy bsolúte kovergujú pre všetky x R

49 37. Eulerov koštt Defiíci: Číslo C = lim l zývme Eulerov koštt. Pozámk. Ukážme, že tkto defiová Eulerov koštt skutoče existuje. Uvžujme postuposť { } c + c = l + < 0 + = tj. postuposť { c} c, kde c l = = Potom pltí *, je klesjúc. Ďlej pltí c = + + l l l l l l + > = = l + l + l + + l l = l... l = l ( + ) l = 3 3 = l + > > 0, + = tj. postuposť { c} je zdol ohričeá. Kždá klesjúc zdol ohričeá postuposť je kovergetá, ozčme lim c = C. O čísle C evieme, či je rcioále lebo ircioále. Pre jeho hodotu pltí C 0,5776 * Zo vzťhov + < e < + + l + < < + l +, po zlogritmoví dostávme ( ) odkiľ už vyplývjú erovosti l < + <, ktoré sme využili v dôkze

50 38. Eulerov metód Eulerovu metódu využívme výpočet lieárej difereciálej rovice prvého rádu Túto rovicu vyásobíme fukciou ( x) resp. itegrčý fktor), dostávme y + p( x) y = q( x). pxdx µ = e (zývou Eulerov multiplikátor, p( x) dx p( x) dx p( x) dx y e + p x e y = q x e. N ľvej stre je zrejme deriváci súčiu dvoch fukcií, tj. p( x) dx ye = q ( x) e Po zitegroví získvme riešeie p x dx pxdx pxdx y = e q( x) e dx+ c, kde c R Eulerov multiplikátor Defiíci: Nech je dá difereciále rovic tvru P ( x) dx Q( y) dy 0 + =, ktorá ie je exktá. Fukciu µ = µ(x, y) zývme Eulerov multiplikátor (itegrčý fktor), k difereciál rovic ( x y) P ( x) dx Pozámk. µ, +µ x, y Q y dy = 0 je exktá. Difereciálu rovicu M ( x) dx N ( y) dy 0 + = zývme exktou, k jej ľvá str je totálym difereciálom ejkej fukcie F(x, y), tj. pltí M x dx + N y dy = df x, y = 0. Exktosť difereciálej rovice zisťujeme overeím podmieky M y N = x (čo je ekvivleté s podmiekou F F = x y y x

51 40. Eulerov substitúci Nech je dý itegrál (, + + ) (i) Nech > 0. Potom substitúciu R x x bx c dx, kde R je ejká rcioál fukci. x + bx + c = t ± x, pomocou ktorej možo vypočítť uvedeý itegrál, zývme. Eulerov substitúci. (ii) Nech polyóm x + bx + c má dv rôze reále koree, ech c > 0. Potom substitúciu x + bx + c = xt ± c, pomocou ktorej možo vypočítť uvedeý itegrál, zývme. Eulerov substitúci. Pozámk. Nčrteme ďlší postup, ktorý by sledovl pri výpočte dého itegrálu. V oboch prípdoch z Eulerových substitúcií vyjdríme premeú x, áslede vypočítme difereciál dx. Dosdeím do itegrálu (, + + ) t dt. z ejkej rcioálej fukcie R *, tj. R * R x x bx c dx získme itegrál 4. Fermtov vet Vet (Fermtov): Nech fukci ƒ je v bode α diferecovteľá, ech má v tomto bode lokály extrém. Potom ƒ (α) = 0. Dôkz. Nech fukci ƒ má v bode α lokále mximum, ech δ > 0. Pre kždé x α δ ( ; α+δ ) zrejme pltí ƒ(x) ƒ(α). Ďlej pre kždé x (α δ; α) pltí x ( α; α+δ ) pltí f x f x α α f x f x α α 0, logicky pre kždé

52 Potom pre jedostré derivácie v bode dostávme f resp. f ( α) f x f α = lim 0. x α+ x α + ( α) f x f α = lim 0, x α x α Keďže existuje ƒ (α), musí pltiť ƒ (α) = 0. Pozámk. Geometrický výzm Fermtovej vety: Ak fukci ƒ spĺň predpokldy Fermtovej vety, potom dotyčic v bode Φ[α; ƒ(α)] ku grfu fukcie ƒ je rovobežá so súrdicovou osou o x (obrázok 8). y Φ t y = ƒ(x) α α x Φ t Obrázok 8. Fermtov vet. 4. Fibocciho postuposť Defiíci: F = Postuposť čísel { } zývme Fibocciho postuposťou. dú rekuretým vzorcom F =, F =, F = F + F,

53 Pozámk. Z rekuretého zápisu je zrejmé, že kždý čle postuposti je súčtom dvoch predchádzjúcich čleov. Pomocou mtemtickej idukcie možo overiť, že pltí F + F + + F = F +. 0 Všeobecý čle Fibocciho postuposti je dý Bietovým vzorcom, ktorý je uvedeý iom mieste. 43. Fubiiho vet Vet (Fubiiho): Nech ƒ: z = ƒ(x, y) je spojitá fukci defiová možie D. Nech D je ohričeá krivkmi x =, x = b, y = ϕ(x), y = ψ(x); kde < b, ϕ, ψ sú spojité fukcie itervle ; b, pričom pre kždé x ; b pltí ϕ(x) ψ(x). b ψ( x) f x y dx dy = f x y dy dx ϕ. Potom pltí (, ) (, ) Dôkz. D x b ψ( x) ID = f x y dy dx ϕ( x). Njskôr ozčme (, ) Rozdeľme oblsť D primkmi rovobežými so súrdicovými osmi oblstí s, s,..., s. Potom pltí I I I... I I = =. D s s s si i= Ozčme m i (M i ) jmešiu (jväčšiu hodotu fukcie ƒ(x, y) oblsti (i =,,..., ). Potom pltí: m s I M s, s m s I M s,..., s m s I M s. s si Ďlej ozčme U i (resp. V i ) te bod oblsti si, v ktorom fukci ƒ(x, y) dobúd jmešiu (resp. jväčšiu) hodotu, tj. ƒ(u i ) = m i súčse ƒ(v i ) = M i

54 Predchádzjúce erovosti potom možo zpísť v tvre ( U ) ( V ) f s I f s, s ( U ) ( V ) f s I f s,..., s ( U ) ( V ) f s I f s. s f s I f s, resp. Sčítím týchto erovostí dostávme ( U ) ( V ) f ( Ui) si ID f ( Vi) si. i= i= i i si i i i= i= i= N ľvej prvej stre tejto erovosti stoj itegrále súčty fukcie ƒ(x, y) oblsti D. V prípde existecie dvojého itegrálu f (, ) D x y dx dy, tieto súčty kovergujú pre dim s i 0 * ezávisle od výberu bodov U i, V i tiež ezávisle od spôsobu rozdelei oblsti D, pričom pltí dim si 0 i f ( i) si f ( x y) dx dy, súčse lim U =, = dim si 0 i f ( Vi) si f ( x y) dxdy. lim =, = D D I = f x y dxdy, resp. Z vyššie uvedeej rovosti potom už vyplýv, že (, ) b ψ( x) f ( x, y) dx dy = f ( x, y) dy dx ϕ. D x D D * Nech ρ je metrik defiová možie D, ech A[x ; y ], B[x ; y ] sú ľubovoľá body z oblsti s i. Potom dimetrom oblsti si ozčujeme číslo dim s sup ( AB, ) = ρ. i

55 44. Gussov tvr komplexého čísl Defiíci: Nech je dé komplexé číslo z = x + iy. Jeho zápis vo forme z r( cos isi ) = ϕ+ ϕ, kde x = r cosϕ, y = rsi ϕ, zývme Gussov tvr komplexého čísl. Pozámk. Geometrické zázoreie komplexého čísl z = x + iy s zýv Argdov digrm (obrázok 9). o y y r ϕ x o x Obrázok 9. Gussov tvr komplexého čísl. 45. Gussov - Ostrogrdského vet Vet (Gussov - Ostrogrdského): FYZ Plošý itegrál vektorovej fukcie A= A( x, y, z) cez uzvretú plochu Σ je rový objemovému itegrálu divergecie tejto vektorovej fukcie cez celý objem Γ ohričeý plochou Σ, tj. pltí AdS = divadv. Σ Γ FYZ Guss - Ostrogrdského vet ptrí medzi dôležité vzorce mtemtickej fyziky. Z tohto dôvodu ebudeme precíze formulovť jej mtemtické predpokldy, le budeme predpokldť, že všetky tu potrebé derivácie resp. itegrály existujú. Podobe dôkz ebude mtemticky úple korektý, čitteľovi poskyteme le jeho hlvú ideu

56 Dôkz. Nech je dá vektorová fukci A= A( x, y, z) Σ zývme potom plošý itegrál AdS. Σ. Tokom vektor A uzvretou plochou Uvžujme terz ifiitezimálu kocku Ω EFGHKLMN, tj. kocku s ekoeče mlými hrmi dĺžky dx, dy, dz (obrázok 0). Túto kocku vhode umiestime do priestoru, to zmeá tk, že jej hry sú rovobežé so súrdicovými osmi. Nech E[x; y; z]. N M K[x; y; z + dz] L A A ;A ;A ( x y z) H[x + dx; y; z] G E[x; y; z] F[x; y + dy; z] Obrázok 0. Gussov - Ostrogrdského vet. Tok vektor smerujúci do kocky ozčíme zmiekom +, tok vektor smerujúci vo z kocky ozčíme zmiekom. Potom pre tok vektor A vchádzjúci do stey EFLK pltí: (EFLK) = A ds = A dy dz, kde symbolom EFLK x A v strede stey EFLK. Alogicky pre tok vektor A vychádzjúci zo stey HGMN pltí: (HGMN) = A HGMN x v strede stey HGMN. dy dz, kde symbolom EFLK A x sme ozčili hodotu vektor HGMN A x sme ozčili hodotu vektor A

57 Keďže dx je dosttoče mlé, zrejme pltí EFLK HGMN Ax Ax Ax + dx. * x Pre príspevok toku vektor A od stie EFLK HGMN potom pltí Ax Ax (EFLK) + (HGMN) = dx dy dz = dv, x x kde symbolom dv sme ozčili elemet objemu. Pre príspevok toku vektor A od ďlších stie by sme logicky dostli (EHKN) + (FGML) = resp. Ay Ay dx dy dz = dv, y y Az Az (EFGH) + (KLMN) = dx dy dz = dv. z z Pre tok vektor A celým povrchom kocky tk dostávme Ω A A x y Az AdS = + + dv= AdV= divadv. x y z Potom pre ľubovoľý objem Γ ohričeý uzvretou plochou Σ pltí AdS = divadv. Σ Γ 46. Guldiove vety Vet (. Guldiov vet): Hldký homogéy oblúk K pri rotácii okolo osi o x, ktorú epretí, vytvorí plochu, ktorej plošý obsh je rový súčiu dĺžky tohto oblúk dĺžky kružice, ktorú pri rotácii opíše jeho ťžisko, tj. P= πϑ dk ; kde P povrch rotčej plochy, ϑ y-ová súrdic ťžisk, d K dĺžk oblúk. * Využívme vzorec približý výpočet fukčej hodoty pomocou difereciálu fukcie, tj. ƒ(x) ƒ() + ƒ ().h, kde x V(), h

58 Dôkz. Nech oblúk K je dý prmetrickými rovicmi x = ϕ(t), y = ψ(t), ech t α; β. Potom pre povrch rotčej plochy, ktorá vzike rotáciou tohto oblúk okolo osi o x pltí (ľvá str vyššie uvedeého vzorc): β () () () P= π ψ t ϕ t + ψ t dt. α Ozčme symbolom µ merú dĺžkovú hmotosť oblúk K (keďže oblúk je homogéy, µ µ(t), resp. µ cost.) Pre y-ovú súrdicu ťžisk tohto oblúk pltí β () () () µ ψ t ϕ t + ψ t dt α ϑ=. Potom β () () µ ϕ t + ψ t dt α β () () () µ ψ t ϕ t + ψ t dt β α πϑ dk = π () t () t dt β ϕ + ψ, α µ ϕ () t + ψ () t dt α čo je výrz zhodý s výrzom ľvej stre vzorc z. Guldiovej vety. Vet (. Guldiov vet): { } Nech je dá elemetár oblsť U [ x, y] R ; x ; b 0 g( x) y f ( x) =. Objem teles, ktoré vytvorí oblsť U pri rotácii okolo osi o x je rový súčiu plošého obshu tejto oblsti dĺžky kružice, ktorú pri rotácii opíše jej ťžisko, tj. V = πϑ SU ; kde V objem rotčého teles, ϑ y-ová súrdic ťžisk, S U obsh elemetárej oblsti U. Dôkz. Pre objem teles, ktoré vzike rotáciou elemetárej oblsti U okolo osi o x pltí (ľvá str vyššie uvedeého vzorc): - 6 -

59 b. V =π f x g x dx Ozčme symbolom σ merú plošú hmotosť oblsti U. Pre y-ovú súrdicu ťžisk tejto oblsti pltí ϑ= b σ f x g x dx. Potom b σ f ( x) g( x) dx b σ f x g x dx b πϑ SU = π ϑ = b f ( x) g( x) dx, σ f ( x) g( x) dx čo je výrz zhodý s výrzom ľvej stre vzorc z. Guldiovej vety. 47. Hmiltoov bl operátor Defiíci: Nech jedotkové vektory i, j, k sú bázou trojrozmerého krteziáskeho súrdicového systému. Potom operátor i + j + k x y z zývme Hmiltoov bl operátor *. Pozámk. Nbl operátor ko vektor v rozmerom priestore R má tvr,,,. x x x * Vo fyzike (predovšetkým v oblsti kvtovej mechiky) s pod ozčeím Hmiltoov operátor (hmiltoiá) čsto rozumie operátor Hˆ = + U( r) m ; kde ħ Plckov koštt (pričom ħ, J.s), m hmotosť elemetárej čstice, Lplceov operátor, U poteciál eergi elemetárej čstice, r polohový vektor čstice

60 Ak Hmiltoov bl operátor plikujeme ejkú skláru fukciu ƒ, dostávme f f f f = i + j + k = grd f (grdiet fukcie ƒ). x y z Ak Hmiltoov bl operátor skláre plikujeme ejkú vektorovú fukciu V = V V V ( x, y, z) V V x y V z, dostávme V = + + = divv (divergeci fukcie.v ). x y z Ak Hmiltoov bl operátor vektorovo plikujeme ejkú vektorovú fukciu W, W W z y W W x Wz y Wx dostávme W = i + j + k = rotw y z z x x y (rotáci fukcie W ). 48. Heieho - Ctorov vet Vet (Heieho - Ctorov): Ak je fukci ƒ spojitá uzvretom itervle ; b, potom je rovomere spojitá tomto itervle. Dôkz. Dôkz urobíme sporom. Predpokldjme ted, že fukci ƒ je spojitá ; b, le ie je rovomere spojitá. To zmeá, že existuje tké ε > 0, že pre kždé δ > 0 existujú body α, β ; b, pre ktoré pltí α β < δ súčse ƒ(α) ƒ(β) ε. Voľme postupe { α }, { β } = = Z postuposti { } δ=, kde N. Dosteme tk postuposti bodov ; b, pre ktoré pltí = α β < súčse f f α β ε. α možo vybrť kovergetú podpostuposť { α } k = ktorú pltí lim α = c, kde c ; b. k, pre

61 k = Pomocou tej istej rstúcej postuposti prirodzeých čísel { } môžeme vybrť j podpostuposť { k } = β c β α + α c. k k k k β tkú, že pre kždé N pltí Keďže lim β α lim, dostávme lim β α = 0. Ďlej pltí k k k k lim αk c = 0, preto tiež lim β k 0 c =. Súčse pre všetky N pltí f f ( c) f ( c) f α + β ε, čo zmeá, že emôže súčse pltiť lim f ( α ) = f ( c) tiež lim f f ( c) β =. Keďže všk pltí lim α k = c, lim β k = c, dostávme spor so spojitosťou fukcie ƒ v bode c. 49. Heieho defiíci limity fukcie Defiíci: Nech R {± } je hromdý bod defiičého oboru D(ƒ) fukcie ƒ. Hovoríme, že číslo L je limitou fukcie ƒ v bode, píšeme lim postuposť { } Pozámk. =, D(ƒ), lim Ak by sme uvžovli o postuposti { } f x = L, k pre kždú x =,, pltí lim f ( ) = L. =, kde pre kždé N pltí resp., hovoríme o limite sprv resp. zľv fukcie ƒ v bode ; píšeme lim x + = resp. lim f x L x f x = L

62 50. l Hospitlovo prvidlo Vet (l Hospitlovo prvidlo): Nech fukcie ƒ, g sú defiové ejkom okolí V ( ) bodu R {±}. Nech pltí lim f ( x) = lim g( x) = 0 (resp. lim f ( x) lim g( x) x V ( ) limit x x lim x x x = =). Nech pre kždé existujú koečé derivácie ƒ (x), g (x); pričom g (x) 0. Nech existuje f g ( x) ( x) Potom existuje j Dôkz.. lim x ( x) f g x pltí lim f x f x = lim g x g x x x () Predpokldjme jskôr, že pltí f ( x) g( x) lim = lim = 0 ; R. x x Položme ƒ() = g() = 0 (hodot limity fukcie v bode ezávisí od fukčej hodoty v bode ). Fukcie ƒ, g potom spĺňjú okolí V() predpokldy Cuchyho vety. Totiž (i) ƒ, g sú spojité okolí V() (pltí lim f ( x) = f ( ) = 0, g( x) g( ) x. lim = = 0, x spojitosť v osttých bodoch x V() vyplýv z existecie ƒ (x) resp. g (x)); (ii) ƒ, g sú diferecovteľá V(); (iii) pre všetky x V() pltí g (x) 0. Preto existuje spoň jedo číslo γ V(), tj. < γ < x (lebo x < γ < ), pre ktoré pltí ( γ) f x f x f f = =. g x g x g g γ Zrejme pre x pltí γ. Potom ( γ) ( γ) ( γ) ( γ) f x f f f x lim = lim = lim = lim. x g x x g γ g x g x

63 (b) Nech pltí f ( x) g( x) lim = lim = 0 ; =. x x Položme z x =. Pre x zrejme pltí z 0, tj. lim f x = lim g 0 x z =, 0 z logicky lim g x = lim g 0 x z =. Použitím l Hospitlovho prvidl dostávme 0 z f f f z z z lim lim lim z = = = lim = lim g( x) g x z z z z f x f x x z 0 z 0 z 0 x g g g () Predpokldjme, že pltí lim f ( x) lim g( x) x x = =, R.. Zvoľme čísl x, z V ( ) tk, by pltilo < x < z. Potom itervle x; z fukcie ƒ, g spĺňjú predpokldy Cuchyho vety, tj. existuje spoň jedo ξ x; z, že pltí ( ξ) f x f z f =. g x g z g ξ Odtiľ dostávme ( z) f f ( ξ) f ( x) f ( z) f ( x) f x = = g ( ξ) g( x) g( z) g( x) g z g x ( z) ( x) g z f ( x) f ( ξ) g x = g( x) g ( ξ) f f Keďže lim x f g ( x) ( x). existuje, ozčme pltí ξ, odkiľ máme vyplýv, že pre kždé ε > 0 pltí lim x f g ( x) ( x), resp. = L. Ďlej ξ x; z, tj. pre x f ξ lim = L. Z Cuchyho defiície limity potom ξ g ξ f ξ L <ε, tj. g ξ f ξ L ε< < L+ε. g ξ

64 Ďlej keďže lim f ( x) lim g( x) ε > 0 pltí x x = =, zrejme pltí ( z) ( x) g z g x ε< < +ε. f f ( z) ( x) g z g x lim =, tj. pre kždé x f f Využitím uvedeých erovostí dostávme: ( L ) ( z) ( x) g z f ( ξ) g x ε ε < < +ε +ε g ( ξ) f f ( L ) ( x) ( L ), resp. f ε ε < < ( L+ε )( +ε ), kde ε > 0 je ľubovoľé reále číslo. g x Odtiľ už vyplýv, že lim x f ( x) g x Uvžujme ešte možosť L =, tj. = L, resp. lim x f g z predchádzjúcej čsti dôkzu vyplýv, že g x g x lim = lim = 0, odkiľ x f x x f x lim x f lim f x f x = lim g x g x x x ( x) ( x) ( x) g x =. Potom zrejme pltí =. (b) Predpokldjme, že pltí lim f ( x) lim g( x) x x = =, =.. ( x) ( x) g lim = 0 x f Pltosť l Hospitlovho prvidl v tomto prípde by sme opäť ukázli využitím substitúcie z = dôkzu (). x

65 5. Hölderov erovosť Vet (Hölderov erovosť): Nech ƒ g sú fukcie itegrovteľé itervle ; b, ech p >, ech číslo q je defiové rovosťou + =. p q b b p b q q p Potom pltí Dôkz.. f x g x dx f x dx g x dx p Pre jedoduchosť ozčme f p f ( x) dx, q p q b V erovosti b + * (pltej pre, b 0) položme p q b p q b q g f x dx. ( x) f =, f p g x b =. g q Potom pre ľubovoľé x ; b pltí p f x g x f x g x +. p q f g p f q g p q p q q Po zitegroví dostávme b b b p q f ( x) g ( x) dx f ( x) dx + g ( x) dx = + = p q f g p f q g p q, p q p q b odkiľ máme f x g x dx f g p q, čo je dokzová erovosť. * Nech x 0, y 0. Nech pre čísl p, q pltí x y + =. Vytvorme fukciu F( x, y) xy p q = p q. p q Možo ukázť, že fukci F dobúd mximále hodoty v kždom bode krivky p x y =, tj. pre všetky [ x, y] R0 R0 + + p pltí F( x y) F( x x ),, = 0, resp p q x y xy p + q.

66 Pozámk. N tomto mieste doplíme Hölderovu erovosť pre rdy: Vet: Nech x i, y i R (pre i =,,... ). Nech p >, ech číslo q je defiové vzťhom + =. p q Potom pltí p p q q xy i i xi yi i= i= i=. Dôkz je logický. Pre jedoduchosť ozčme x p p p xi, i= y q i= y q i q. V erovosti p q b b p + q položíme xi =, x p b = y y i q (i =,,... ). Potom pltí xi yi xi yi +. p q x y p x q y p q p q p q Po sčítí týchto erovostí pre i =,,... máme: p q xy i i xi y p q i p q i= px p i= qy q i= + = + = x y p q. Odtiľ už dostávme i= x y x y i i p q, čo je vlste dokzová erovosť. N záver pozmeáme, že po limitom prechode pre dosteme Hölderovu erovosť pre ekoečé rdy: p p q q xy i i xi yi i= i= i=

67 5. Jcobiho determit Defiíci: Nech sú dé diferecovteľé fukcie y = f ( x x x ), y f ( x x x ) (,, ) y = f x x x. Potom determit,, =,,,..., (,, ) J f f f = f f f x x x f f f x x x f f f x x x zývme Jkobiho determit (jkobiá) fukcií ƒ, ƒ,..., ƒ. 53. Jeseov erovosť Vet (Jeseov erovosť): Nech fukci ƒ je kovexá (kokáv) itervle J, ech x i J (i =,, ) sú vzájom rôze body. Nech pre čísl λ i, 0 < λ i < (i =,, 3, ), pltí λ i =. i=. Potom f λ x λ f ( x ) f λ x λ f ( x ) i i i i i i i i i= i= i= i= Dôkz. Vetu dokážeme mtemtickou idukciou. Nech =. Predpokldjme, že ƒ je kovexá fukci, tj. chceme ukázť, že pltí f λ x +λ x λ f x +λ f x, kde λ + λ =

68 Pre trojicu bodov A[; ƒ()], B[b; ƒ(b)], C[c; ƒ(c)] ležicich grfe kovexej fukcie ƒ, kde < b < c, pltí f b f f c f b b c b (tj. bod B[b; ƒ(b)] leží pod primkou prechádzjúcou bodmi A[; ƒ()], C[c; ƒ(c)]). Položme v tomto vzťhu = x, c = x, b = λ x+λ x; ech λ + λ =. Počítjme: ( λ +λ ) ( λ +λ ) λ x +λ x x λ ( x x ) f x x f x f x x f x = ( ) ( λ +λ ) ( ) ( λ +λ ) x x x ( x x ) f x f x x f x f x x = λ λ λ. Odtiľ dostávme f ( x x ) f ( x x ) f ( x ) f ( x ) λ +λ λ +λ = λ +λ λ +λ. Nech vet pltí pre prirodzeé číslo, overme jej pltosť pre +. Počítjme: f λ x +λ x + +λ x +λ x = λ x+λ x+... +λx = f ( λ +λ λ ) +λ+ x+ λ +λ λ λ x+λ x+... +λx ( λ +λ λ ) f +λ + f ( x+ ) = λ +λ λ = ( λ +λ λ ) λ λ λ f x+ x x +λ+ f ( x+ ) λ +λ λ λ +λ λ λ +λ λ ( λ +λ λ ) λ λ λ f ( x) + f ( x) + f ( x) +λ + f ( x+ ) = λ +λ λ λ +λ λ λ +λ λ =λ f x +λ f x + +λ f x +λ f x

69 54. Jugov erovosť Vet (Jugov erovosť): Nech > 0, b > 0, p >, p + q = pq. Potom pltí p q b b p + q. Dôkz. Pri dôkze využijeme erovosť x ( x ) α α * pltú pre x > 0, kde 0 < α <. Položme x =, b α=, p q = p p. Počítjme: p p p p b b = =. b p b p b b p p b Po preásobeí číslom b dostávme b b. p p Po usporidí využitím defiície čísl q získvme: p p p p q b b = b + b = +, čo je dokzová Jugov erovosť. p p p q Pozámk. Dôkz môžeme urobiť j sledove: Zlogritmovím erovosti dostávme p q b l b = l + l b l + p q p q. Ak ozčíme x =, x = b, λ =, p λ =, posledý vzťh dostávme primo z Jeseovej erovosti využitím q kokávosti fukcie ƒ(x) = l x. * Nech x > 0. Vytvorme fukciu α g x = x α x+α. Ľhko ukážeme, že fukci g dobúd globále mximum pre x =, tj. pre všetky x > 0 pltí: g(x) g() = 0, resp. x ( x ) α α.

70 55. Lgrgeov fukci Defiíci: Nech je dá fukci f y f ( x x x ) = defiová možie D R. Nech :,, moži M, M, M D, je dá väzbou ( ) (,,, λ ) = (,, ) +λ (,, ) g x, x, x = 0. Potom fukciu L x x x f x x x g x x x zývme Lgrgeovou fukciou. Číslo λ R zývme Lgrgeov multiplikátor. Pozámk. Lgrgeovu fukciu využívme pri hľdí vizých extrémov fukcie ƒ možie M. Totiž k má v ejkom bode A lokály extrém fukci L( x, x, x, λ) má v bode A vizý extrém fukci f f ( x x x ) =,,. Ak je moži M dá väzbmi g ( x, x, x ) = 0, ( ) g x, x, x = 0, potom má Lgrgeov fukci tvr m, potom g x, x, x = 0,..., ( λ λ ) = +λ ( ) +λ ( ) + +λ ( ) L x,... x,,..., f x,... x g x, x g x, x... g x, x. m m m 56. Lgrgeov metód vriácie koštát Pomocou Lgrgeovej metódy vriácie koštát riešime lieáre difereciále rovice - tého rádu s prvou strou, tj. ( ) ( y + p x y + p x y ) p x y + p x y = q x, k sú záme riešei dej difereciálej rovice bez prvej stry, tj. ( ) ( y + p x y + p x y ) p x y + p x y = 0. Popíšeme teto postup

71 Nech =. Nech je dá lieár difereciále rovic prvého rádu, tj. y + p( x) y = q( x). Njskôr riešme difereciálu rovicu bez prvej stry: 0 y + p x y =. Riešeím tejto seprovteľej difereciálej rovice je fukci pxdx y = ce, kde c R. V sledujúcom kroku vriujeme košttu c, tj. zmeíme ju z fukciu c c( x). Predpokldáme ted, že lieár difereciál rovic s prvou strou bude mť riešeie tvru Vypočítme y dosdíme, dostávme resp. Odtiľ dostávme pxdx y = c x e. p( x) dx p( x) dx p( x) dx c x e c x p x e + p x c x e = q x, pxdx c x e = q x. pxdx c x = q x e dx+ k, kde k R. Hľdé riešeie lieárej difereciálej rovice prvého rádu s prvou strou má potom tvr p( x) dx p( x) dx y = e q( x) e dx+ k

72 Nech =. Predpokldjme, že hľdáme riešeie lieárej difereciálej rovice druhého rádu s prvou strou, tj. y + x y + b x y = q x pričom pozáme riešei y, y difereciálej rovice y + y + by = 0. Keďže fukcie y, y sú prtikuláre riešei difereciálej rovice bez prvej stry, fukci je jej všeobecým riešeím. y = cy+ ky, kde c, k R, Opäť vriujeme koštty c, k, tj. položíme c C( x) = C, riešeie difereciálej rovice s prvou strou v tvre Potom zrejme pltí y = C y+ Cy + K y + Ky. Položme *, k K x = K, hľdáme y = Cy+ Ky. (R) Cy + Ky =. (I) 0 Ďlej y = C y + Cy + K y + Ky. Dosďme y, y do šej difereciálej rovice. Po úprve dostávme ( ) ( ) C y + y + by + K y + y + by + C y + K y = q x. Fukcie y, y sú riešei difereciálej rovice bez prvej stry, tj. obe zátvorky sú rové ule. Potom Cy + Ky = q x. (II) * Ďlej budeme pre jedoduchosť písť le ( x), b b( x) o fukcie (podobe v ďlšom epíšeme rgumety fukcií C, K) Čitteľ ech pmätá fkt, že ide

73 Využitím Crmmerových vzorcov zo sústvy rovíc (I) (II) dostávme 0 y q x y C = dx+ c, y y y y y 0 y q x K = dx+ k. y y y y Dosdeím týchto výrzov do (R) dostávme všeobecé riešeie lieárej difereciálej rovice druhého rádu s prvou strou. 3 Nech N. Zovšeobecime predchádzjúci prípd. Nech je dá lieár difereciál rovic - tého rádu s prvou strou ( ) ( y + p x y + p x y ) p x y + p x y = q x, ech fukcie y, y,..., y sú lieáre ezávislé riešei difereciálej rovice bez prvej stry Ozčme ( ) ( y + p x y + p x y ) p x y + p x y = 0. y y... y y y... y W = y y... y, y... y 0 y... y k k+ y... y 0 y... y k k+ W = y... y 0 y... y k k k ( ) ( ) ( y y... y ) y... y q x y... y k k+ k k+ Potom všeobecým riešeím dej lieárej difereciálej rovice - tého rádu s prvou strou je fukci kde c i R (i =,,..., ). W W W y = dx+ c y + dx+ c y + + dx+ c y W W W...,

74 57. Lgrgeov vet o stredej hodote Vet (Lgrgeov vet o stredej hodote): Nech pre fukciu ƒ pltí: (i) ƒ je spojitá itervle ; b, (ii) ƒ je diferecovteľá itervle (; b). λ = Potom existuje spoň jedo číslo λ (; b), pre ktoré pltí f f ( ) f b b Dôkz. Lgrgeov vet je primym dôsledkom Rolleovej vety plikovej fukciu f ( ) f b g( x) = f ( x) x b itervle ; b. Pre fukciu g totiž pltí: () g je spojitá itervle ; b ; (b) g je diferecovteľá itervle (; b); (c) g() = g(b). Preto existuje spoň jede bod λ (; b), pre ktorý pltí f b g ( λ ) = f ( λ) = b f ( ) 0. Odtiľ už máme f λ = f ( ) f b b Pozámk. Geometrický výzm Lgrgeovej vety (obrázok ): Ak fukci ƒ spĺň itervle ; b predpokldy Lgrgeovej vety, potom existuje spoň jede bod λ (; b) tký, že dotyčic t ku grfu fukcie ƒ zostrojeá v bode Λ[λ; ƒ(λ)] je rovobežá s primkou prechádzjúcou bodmi A[; ƒ()], B[b; ƒ(b)]

75 y ƒ(b) Λ B y = ƒ(x) t ƒ() A λ b x Obrázok. Lgrgeov vet. 58. Lplceov itegrál Defiíci: Itegrál tvru Pozámk. x e dx zývme Lplceov itegrál. 0 Vzhľdom párosť fukcie y e x = zrejme pltí 0 x x e dx= e dx. Odtiľ vyplýv, že pltí x e dx= π (pozri výpočet Poissoovho itegrálu)

76 59. Lplceov operátor Defiíci: Nech je dý priestor R 3. Lplceovým operátorom (lplciáom) zývme operátor + + x y z. Pozámk. Nech ƒ = ƒ(x, y, z) je dvkrát diferecovteľá fukci. Potom f f f f = + + x y z. Ak budeme uvžovť priestor R, lplciá má tvr x x x Ďlej pozmejme, že pltí = =, kde - Hmiltoov bl operátor. 60. Lplceov rovic Defiíci: Nech ƒ: u = ƒ(x, y, z) je dvkrát diferecovteľá fukci. Prciálu difereciálu rovicu ƒ = 0, resp. f f f + + = 0, zývme Lplceovou rovicou. x y z 6. Leibizov rd Defiíci: Číselý rd = ( ) + = + + zývme Leibizov rd

77 Pozámk. Pomocou Leibizovho kritéri s možo presvedčiť, že Leibizov rd koverguje. Pre jeho súčet pltí = ( ) + π =. 4 Uvžujme fukcioály rd ( ) = + x. Ľhko overíme, že pre jeho obor kovergecie M pltí M = ;. Pomocou vety o zámee sumácie itegrálu dostávme: + x + + ( ) = ( ) x dx = ( ) x dx = dx = rctgx + c =, = = + x kde c R. Ak položíme x = 0, pre itegrčú košttu máme c = 0. Ak položíme x =, dostávme = ( ) + π = rctg = Leibizove kritérium Vet (Leibizove kritérium): Nech rd má tieto vlstosti: = (i) je rd so striedvými zmiekmi (tj. pltí sg = + = sg, N); (ii) pre kždé N pltí + > 0 ; (iii) lim = 0. Potom rd koverguje. = - 8 -

78 Dôkz. s = Nech > 0. Z postuposti čistočých súčtov { } { } k, 4, k= 6 s s s s. Ukážeme, že je eklesjúc zhor ohričeá. Pre kždé k N pltí k+ k k+ k+ k vyberme podpostuposť s = s + + s (z predpokldov totiž vyplýv, že k + > 0, k + < 0, k+ k+, tj. k+ k+ 0 je eklesjúc. k k= + ), tj. postuposť { s } Pre kždé k N tiež pltí s = < k k k k (z predpokldov vety totiž vyplýv, že kždá zátvork je ekldá, vyše k < 0), tj. k k= postuposť { s } je zhor ohričeá. Kždá eklesjúc zhor ohričeá postuposť má vlstú limitu, ozčme ted lim s k k = s. k+ k= Uvžujme terz postuposť { s } k+ k k+. Pre kždé k N zrejme pltí s = s +. Potom využijúc predpokld (iii) dostávme lim s = lim s + = s+ 0 = s. k k+ k k+ k s = Odtiľ už vyplýv, že pre postuposť čistočých súčtov { } pltí lim s = s, tj. rd so striedvými zmiekmi je kovergetý. = 63. Leibizov vzorec Vet (Leibizov vzorec): Nech fukcie u = u(x), v = v(x) mjú derivácie ž do tého rádu. Potom pltí: 0, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( uv = u v + u v + u v + + u v + uv ) - 8 -

79 = k. tj. ( ) ( k ) ( k uv u v ) k= 0 Dôkz. Leibizov vzorec dokážeme pomocou mtemtickej idukcie. Nech =. Potom uv = u v + uv = u v + uv. 0 Nech vzorec pltí pre = k, overíme jeho pltosť pre = k +. Počítjme: ( uv) ( k ) ( uv) ( k) = = + k ( k ) k ( k ) k ( k ) k ( k ) k u v u v u v uv uv ( k ) = = 0 k k k ( k+ ) ( k) k ( k) ( k ) k ( k ) ( k = u v u v u v u v u v u ) v k ( k ) ( k) k ( k) ( k+ + u v uv uv uv ) = k k k ( k + ) k k ( k ) k k ( k ) k k (... k k u v u v u v uv uv k + = ) = 0 0 k k k k+ ( k + ) k+ ( k ) k+ ( ) k+ ( k ) k+ ( k + = u v u v u v uv uv ) k k Liouvilleov vzorec Vet (Liouvilleov vzorec): Nech fukcie p i = p i (x) (i =,,..., ) sú spojité itervle (; b), ech je dá difereciál rovic ( ) ( y + p x y + p x y ) p x y + p x y =

80 Nech fukcie y, y,..., y sú riešei tejto difereciálej rovice itervle (; b), ech x, x 0 (; b). Potom pre Wroského determit týchto fukcií pltí x W( x) = W( x0) exp p( x) dx. x 0 Dôkz. Pre jedoduchosť uvžujme =, tj. ech je dá difereciál rovic y + p x y + p x y =. 0 Nech fukcie y, y sú riešei tejto difereciálej rovice itervle (; b). Potom pltí y + p ( x) y + p ( x) y = súčse 0 Vyásobme prvú rovicu fukciou dostávme ( y y y y ) p ( x) ( y y y y ) y + p x y + p x y =. 0 y, druhú fukciou ( ) y + =. 0 Pre wroskiá fukcií y, y pltí W = y y y y = y y y y.. Potom ich sčítím y y W = = yy yy, ďlej y y Porovím týchto výrzov s výrzmi v zátvorkách v predchádzjúcej rovici dostávme pre wroskiá vzťh W = pw. Riešeím tejto difereciálej rovice je fukci x W( x) = Cexp p ( x) dx, kde C R. x 0 Nech x 0 (; b). Po dosdeí dostávme W(x 0 ) = C, resp. potom x W( x) = W( x0) exp p( x) dx. x

81 Pozámk. Dôsledkom Liouvilleovho vzorc je tvrdeie, že k sú fukcie y, y,..., y lieáre (e)závislé v spoň jedom bode itervlu (; b), potom sú lieáre (e)závislé celom tomto itervle. 65. Lipschitzov podmiek Defiíci: Nech fukci ƒ: z = ƒ(x, y) je defiová oblsti K = (x 0 ε; x 0 + ε) (x 0 δ; x 0 + δ); kde ε > 0, δ > 0. Hovoríme, že fukci ƒ spĺň Lipschitzovu podmieku, k existuje tké číslo L > 0, že pre kždú dvojicu bodov A [ x; y ], B [ ; ] (, ) (, ) f xy f xy Ly y. x y z oblsti K pltí Pozámk. Ľhko ukážeme, že fukci ƒ spĺň Lipschitzovu podmieku, k je oblsti K f ohričeá fukci y. Totiž, ech A [ x; y ], B [ ; ] x y je dvojic bodov z oblsti K. Z Lgrgeovej vety potom vyplýv, že existuje tký bod ( y ; y ) f f ( xy, ) f( xy, ) = y y y ( x, λ). λ, že pltí: f Keďže fukci je ohričeá oblsti K, existuje tké číslo L > 0, že pre kždý y bod X [ u; ] v K pltí f y X L. Odtiľ už dostávme (, ) (, ) f xy f xy Ly y

82 66. Mikowského erovosť Vet (Mikowského erovosť): Nech ƒ g sú fukcie itegrovteľé itervle ; b, ech p >. b p p b p p b p p f x g x dx f x dx g x dx. Potom pltí + + Dôkz. Zrejme pltí b b p p f x + g x dx= f x + g x f x + g x dx b b p p. f x f x + g x dx+ g x f x + g x dx Defiujme číslo q, pre ktoré pltí p q Hölderovej erovosti dostávme + =, resp. q( p ) = p. Využitím b f x + g x dx p b p b q b p b q p q ( p ) p q ( p f x dx f x g x dx g x dx f x g x ) dx = = f ( x) dx + g( x) dx f ( x) + g( x) dx b p p b p p b p q. Po vydeleí výrzom + Mikowského erovosť. q b p f x g x dx využijúc defiíciu čísl q dosteme

83 Pozámk. Doplňme ešte Mikowského erovosť pre rdy: Vet: Nech x i, y i R (pre i =,,... ), ech p >. Potom pltí p p p p p p xi + yi xi + yi i= i= i=. Dôkz je logický. Zrejme pltí p p p p xi + yi = xi + yi xi + yi xi xi + yi + yi xi + yi i= i= i= i=. Defiujme číslo q, pre ktoré pltí q( p ) erovosti plikujeme Hölderovu erovosť pre rdy. Dostávme: = p. N ob sčítce prvej stre p p p q( p ) q q q q( p ) q xi + yi xi xi + yi + yi xi + yi = i= i= i= i= i= = + + p q p p q q xi yi xi yi i= i= i=. Po vydeleí výrzom p q xi + yi využijúc defiíciu čísl q dosteme i= Mikowského erovosť pre rdy. N záver pozmeáme, že po limitom prechode pre dosteme Mikowského erovosť pre ekoečé rdy: p p p p p p xi + yi xi + yi i= i= i=

84 67. Moivreov vet Vet (Moivreov): Nech z C, z = r(cos ϕ + i si ϕ), N. Potom pltí ( cos si ) ( cos si ) z = r ϕ+ i ϕ = r ϕ+ i ϕ. Dôkz. Vetu dokážeme pomocou mtemtickej idukcie. Nech =. Potom r( cos ϕ+ isi ϕ ) = r( cos ϕ+ isi ϕ). Nech vet pltí pre prirodzeé číslo, overíme jej pltosť pre +. Využitím idukčého predpokldu súčtových vzorcov goiometrických fukcií dostávme: + ( cos si ) ( cos si ) ( cos si ) r ϕ+ i ϕ = r ϕ+ i ϕ r ϕ+ i ϕ = ( cos si ) ( cos si ) = r ϕ+ i ϕ r ϕ+ i ϕ = + ( cos cos si si ) ( si cos cos si ) = r ϕ ϕ ϕ ϕ + i ϕ ϕ+ ϕ ϕ = + = r cos + ϕ + isi + ϕ. 68. Newtoov itegrál Defiíci: Nech F je primitív fukci k fukcii ƒ itervle (; b). Potom číslo F(b) F() zývme Newtoovým itegrálom fukcie ƒ v hricich od po b. b. Píšeme: ( N) f ( x) dx= F( b) F( )

85 69. Newtoov - Leibizov formul Vet (Newtoov - Leibizov formul): Nech fukci ƒ je riemovsky itegrovteľá itervle (; b). Nech existuje k fukcii ƒ itervle (; b) primitív fukci F. b. Potom pltí: f ( x) dx= F( b) F( ) Dôkz. Defiujme fukciu G( x) x = f t dt (itegrál ko fukci horej hrice), kde x ; b. Fukci G je primitívou fukciou k fukcii ƒ itervle ; b, pretože dg dx d dx x pltí = f () t dt = f ( x) *. Keďže F G sú dve primitíve fukcie k fukcii ƒ itervle ; b, líši s le x o košttu, tj. G(x) = F(x) + c, resp. () Položme x =. Potom () 0 x () = f t dt F x F. f t dt = F x + c, kde c R. f t dt = = F + c, tj. c = F(). Odtiľ máme Ak položíme x = b, dostávme Newtoovu Leibizovu formulu: b = f x dx F b F. * Nech ƒ(x) je spojitá fukci defiová R, ech g(x), h(x) sú diferecovteľé fukcie R. g( x) d Potom pltí: f () t dt = f g x g x dx, resp. () d dx f t dt = f g( x) g ( x) f h( x) h ( x). g x hx

86 70. Newtoov biomická formul Vet (Newtoov biomická formul): Nech, b R, ech N. Potom pltí: k k + b = + b+ b + + b + + b + b 0 k. Dôkz. Dôkz vykoáme mtemtickou idukciou vzhľdom. Nech =. Potom zrejme pltí + b = + b= + b. 0 Predpokldjme, že vet pltí pre prirodzeé číslo, overme jej pltosť pre +. Počítjme: + ( b) ( b) ( b) + = + + =... k k... b b b b b = ( + b) = 0 k + = + b+ b + + b + b b+ b + b + + b + b = = + + b+ + b b + b = = + b+ b + + b + b 0 +. * * V posledom kroku sme využili, že pltí + = = 0 0, + = = +, súčse + + =. k k + k

87 7. Newtoove prvidlo Vet (Newtoove prvidlo): Nech ƒ(x) je polyóm stupň, ech c R +. Nech pltí ƒ(c) > 0, ƒ (c) > 0,, ƒ () (c) > 0. Potom číslo c je horé ohričeie reálych koreňov rovice ƒ(x) = 0. Dôkz. Nech x > c, tj. x = c + h, pričom h > 0. Ukážeme, že číslo x emôže byť koreňom rovice ƒ(x) = 0. Podľ Tylorovej vety pre polyóm ƒ(x) pltí ( ) f c f c f c f ( x) = f ( c+ h) = f ( c) + h+ h + + h + R+.!!! Keďže st. ƒ =, pltí R + = 0. Ďlej z predpokldov vety vyplýv, že ƒ(c) > 0, ƒ (c) > 0,, ƒ () (c) > 0. Podobe, keďže h > 0, potom j h k > 0 (k =,,..., ). Potom pltí ƒ(x) > 0, tj. číslo x (ľubovoľé číslo väčšie ko c) ie je koreňom rovice ƒ(x) = Oresmeho vzorec Vet (Oresmeho vzorec): Pre súčet rdu = = pltí 4 = 4. = Dôkz. Pre súčet ekoečého geometrického rdu pltí (pre x < ). x x x = 0 = = x - 9 -

88 Zderivovím tejto rovosti dostávme x x x x = Ak položíme v tomto vzťhu x =, dosteme Oresmeho vzorec. 73. Ostrogrdského metód Ostrogrdského metódou počítme itegrály typu f x dx ; kde ƒ, g sú g x polyomické fukcie, pre ktoré pltí st. ƒ(x) < st. g(x). α Nech pltí α β g x x... x x px q... x pmx qm = ; kde β m i R, α i, β j N, p j 4q < 0. j Potom pltí Ostrogrdského formul: f x P x R x dx = + dx g x Q x ; S x kde pre polyomické fukcie P, Q, R, S pltí: α α β... ( )...( m m) β Q x = x x x + p x+ q x + p x+ q (tj. polyóm Q(x) má rovké koree reále i komplexé ko polyóm g(x), le s ásobosťou o jedotku mešou), st. P(x) = st. Q(x),...( )...( m m) S x = x x x + p x+ q x + p x+ q (tj. polyóm S(x) má rovké koree reále i komplexé ko polyóm g(x), le jedoduché), st. R(x) = st. S(x). m - 9 -

89 Zderivovím Ostrogrdského formuly dostávme f ( x) P( x) R x = + g( x) Q( x) S x, odkiľ metódou eurčitých koeficietov * vypočítme koeficiety polyómov P(x) resp. R(x). Npoko itegrál rozkldom elemetáre zlomky. R x dx je itegrál rýdzo rcioálej fukcie, ktorý vypočítme S x 74. Psclov trojuholík Defiíci: Schému kombičých čísel tvru k, tj. schému čísel * Metód eurčitých koeficietov je zložeá tom, že pre polyómy = , U x x x x 0 vtedy, keď: () = m; () 0 = b 0, = b,..., = b m m m m... 0 V x = b x + b x + + b x+ b pltí U(x) = V(x), práve

90 3 3, zývme Psclov trojuholík. Pozámk. Čísl v - tom ridku Psclovho trojuholík sú koeficiety, ktoré dostávme pri umoceí dvojčle - tú. Kždý koeficiet v ( + ) - om ridku Psclovho trojuholík dosteme ko súčet + dvoch čísel stojcich d ím v - tom ridku, tj. + = k k+ k+ 75. Poissoov itegrál Defiíci: Itegrál tvru Pozámk. x e dx zývme Poissoov itegrál. Pltí x e dx= π. Ozčme I = exp( x ) dx. Potom zrejme tiež pltí = exp( ) vyplýv, že = exp( ). I x y dx dy π Trsformáciou do polárych súrdíc dostávme exp 0 0 I y dy. Odtiľ. I = r r dr dϕ

91 Počítjme: ( r ) π R exp I = dϕ exp( r ) rdr = π lim exp ( r ) rdr = π lim =π R R I = x dx= π. Potom pre Poissoov itegrál pltí exp R Rbeho kritérium Vet (Rbeho kritérium): Nech je rd s ezáporými člemi. = (i) Ak pre kždé N pltí + r >, potom dý rd koverguje. (ii) Dôkz. Ak pre kždé N pltí +, potom dý rd diverguje. (i) Z erovosti + r dostávme r + = + + r > +, tj. postuposť { } = je klesjúc. Nvyše jej čley sú ezáporé, tj. je zdol ohričeá. Odtiľ vyplýv, že postuposť { } = je kovergetá, ozčme lim = L. Z vyššie uvedeých erovostí ďlej pltí r + b,

92 tj. rd b je mjortý rd k rdu ( r ) +. = = Ozčme { } = β postuposť čistočých súčtov rdu b. Potom: = ( ) ( 3 )... β = b = = k=, odkiľ máme b = lim β = L, tj. rd = b koverguje. = Potom koverguje j rd ( r ) = +, resp. j rd. = (ii) Z erovosti + vyplýv, že + +, tj. postuposť { } = je eklesjúc. Nvyše pre = dostávme , odkiľ máme. Z porovávcieho kritéri potom z divergecie rdu = vyplýv j divergeci rdu Pozámk.. = Uvedeé kritérium čsto používme j v jeho limitej forme: Vet: = = Nech pltí: je rd s ezáporými člemi, ech existuje lim = r = +. Potom

93 (i) (ii) Ak r >, rd Ak r <, rd koverguje. = diverguje. = (Ak eexistuje limit lim, položíme + r = limsup Riemov fukci Defiíci: Riemovou fukciou R(x) zývme fukciu defiovú vzťhmi R x p ; x=, p Z, q N, NSD( p, q) = = q q. 0; x R Q 78. Riemov itegrál Defiíci: b Ozčme f ( x) dx= sup S( f, D), f ( x) dx= if s( f, D), kde S(ƒ, D) ( s( f, D )) je horý (dolý) Drbouxov itegrály súčet. b b Ak pltí b f x dx= f x dx= I, potom číslo I zývme Riemovým itegrálom fukcie ƒ v hricich od po b. b Píšeme I = R f x dx

94 79. Riemov rd Defiíci: Číselý rd tvru Pozámk. = α, kde α > 0, zývme Riemov rd. V iektorej litertúre býv tkýto rd zývý Dirichletov rd. Špeciále pre α = hovoríme o hrmoickom rde (kždý jeho čle okrem prvého je hrmoickým priemerom dvoch susedých čleov, tj. = +. + Pomocou Cuchyho itegráleho kritéri možo ukázť, že Riemov rd je kovergetý pre α > divergetý pre 0 < α. Totiž: () Nech α. Potom t t ; α> dx = lim dx = lim = lim = ( ) α. α α ; 0<α< α x t α t t x α α x t (b) Nech α =. Potom x x t t dx = lim dx = lim [ l x] = lim [ l t l] =. t t t

95 80. Riemov vet Vet (Riemov): Nech rd je reltíve kovergetý. Potom pltí: = (i) Rd zvoleé reále číslo ρ. možo prerovť tk, že jeho súčtom bude ľubovoľé vopred = (ii) Rd možo prerovť tk, že ový rd bude divergovť. = (iii) Rd Dôkz. možo prerovť tk, že ový rd bude oscilovť. = (i) Njskôr pre kždé N ozčme + = mx{ 0; }, mi{ 0; } = (rd sme rozdelili kldé záporé čley). Zrejme pltí + = = = =. Keďže rd je reltíve kovergetý, rdy = + = i divergujú, tj. = + = = súčse =. = Nech ρ > 0. Nájdime tké N, že pltí >ρ súčse ρ (existeci vyplýv z toho, že pltí + = = ). Ďlej z rdu vyberme prvých čleov tk, by pltilo = <ρ,

96 súčse ρ (existeci tkého N vyplýv z toho, že pltí = ). = Opäť z rdu súčse + = vyberme čley po ejké 3 N tk, by pltilo >ρ, ρ. Pokrčovím v tomto procese dosteme rd Pre jeho postuposť čistočých súčtov pltí s, s, s,, s (k =,,...) k k+ s > ρ, s < ρ, s > ρ, pričom odchýlk od čísl ρ kždého čle postuposti s k k+ + eprevyšuje posledý čle mi vytvoreého rdu, tj. ± + + ρ s k k+ k (symbolom ± k + sme ozčili čle rdu s dolým idexom k +, ktorého horý idex epozáme). Rd je kovergetý, preto pltí lim 0 = Pre k zrejme pltí k +, tj. ± k + lim = 0. = (utá podmiek kovergecie)

97 Odtiľ dostávme lim ρ s 0 k+ =, resp. lim s k+ k + k + = ρ. Zoberme terz ľubovoľú postuposť čistočých súčtov { s } = mi vytvoreého rdu. Z koštrukcie tohto rdu vyplýv, že existuje tké k N, že pltí s s s lebo + + k k+ k+ k+ s s s. + + k k+ k+ k+ Z vety o limite ohričeej postuposti dostávme lim s = ρ. k (ii) Zvoľme postuposť reálych čísel { } =, pre ktorú pltí lim k =. Vyberme prvých čleov rdu + = tk, by pltilo > k, ozčme = b. Ďlej vyberme čley rdu + = tk, by pltilo > k, ozčme = b. Alogicky vyberme čley rdu > k, ozčme 3 + = tk, by pltilo = b. 3 B = Ozčme { } postuposť čistočých súčtov tkto vytvoreého rdu b. = Zrejme pre kždé N pltí B k, tj. lim B =. Rd b =, ktorý vzikol prerovím rdu =, ted diverguje. (iii) Nech K N je tké číslo, že pre kždé N pltí K (existeci čísl K vyplýv z toho, že postuposť { } = je kovergetá, preto ohričeá)

98 Zoberme jmešie tké prirodzeé číslo, pre ktoré pltí > K, ozčme = c. Nech je jmešie prirodzeé číslo, pre ktoré pltí < K, ozčme = c. Ďlej zoberme jmešie tké prirodzeé číslo 3, že pltí > + K 3, ozčme = 3 c. 3 Podobe ech 4 je jmešie prirodzeé číslo, pre ktoré pltí < 3 K 4, ozčme = 4 c. 4 Ozčme { } C = postuposť čistočých súčtov tkto vytvoreého rdu c. = Zrejme pltí lim C k =, lim C k k k C = =. Postuposť { } ted emá limitu, tj. rd c =, ktorý vzikol prerovím rdu =, osciluje. 8. Rolleov vet Vet (Rolleov): Nech pre fukciu ƒ pltí: (i) ƒ je spojitá itervle ; b, (ii) ƒ je diferecovteľá itervle (; b), (iii) ƒ() = ƒ(b). Potom existuje spoň jedo číslo ρ (; b), pre ktoré pltí ƒ (ρ) = 0. Dôkz. Z predpokldu (i) z Weierstrssovej vety vyplýv, že fukci ƒ dobúd itervle ; b mximum M tiež miimum m

99 Ak M = m = ƒ() = ƒ(b), fukci ƒ je košttá itervle ; b. Potom pre ľubovoľý bod ρ (; b) pltí ƒ (ρ) = 0. Nech fukci ƒ ie je košttá. Potom fukci dobúd svoje mximum (miimum) v ejkom bode ρ (; b), tj. dobúd v tomto bode lokály extrém. Podľ Fermtovej vety potom pltí ƒ (ρ) = 0. Pozámk. Geometrický výzm Rolleovej vety (obrázok ): Ak fukci ƒ spĺň itervle ; b predpokldy Rolleovej vety, potom existuje spoň jedo číslo ρ (; b) tké, že dotyčic t ku grfu fukcie ƒ zostrojeá v bode Π[ρ; ƒ(ρ)] je rovobežá so súrdicovou osou o x. y Π t y = ƒ(x) ƒ() = ƒ(b) ρ b x Obrázok. Rolleov vet. 8. Schwrzov vet Vet (Schwrzov): Nech fukci ƒ(x, y) je defiová ejkom okolí bodu M(x; y), ech má v okolí tohto bodu spojité prciále derivácie Potom pltí f ( M) f ( M) xy =. yx f x, f y, f xy, f yx

100 Dôkz. Ozčme A= f ( x+ x, y+ y) f ( x+ x, y) f ( x, y+ y) f ( x, y). Defiujme pomocú fukciu ( x) f ( x, y y) f ( x, y) A =ϕ ( x+ x) ϕ ( x). ϕ = +, potom zrejme pltí Keďže fukci ƒ x je defiová v okolí bodu M, fukci ϕ je diferecovteľá itervle x; x + x. Využitím Lgrgeovej vety dostávme A= x ϕ x, kde x (x; x + x). N záklde defiície fukcie ϕ pltí ( x ) f ( x, y y) f ( x, y) ϕ = +. Keďže fukci ƒ xy je defiová v okolí bodu M, fukci ƒ x je diferecovteľá itervle y; y + y. Opäť použijeme Lgrgeovu vetu dostávme (, ) (, ) (, ) f x y+ y f x y = y f x y, kde y (y; y + y). x x xy Potom A x y f ( x, y) =. Opäť uvžujme výrz xy (, ) (, ) (, ) (, ) A = f x+ x y+ y f x+ x y f x y+ y f x y. Defiujme pomocú fukciu ( y) f ( x x, y) f ( x, y) A=ψ ( y+ y) ψ ( y). x ψ = +. Potom zrejme pltí Keďže fukci ƒ y je defiová v okolí bodu M, fukci ψ je diferecovteľá itervle y; y + y. Využitím Lgrgeovej vety dostávme A = y ψ y, kde y (y; y + y). N záklde defiície fukcie ψ pltí ( y) f ( x x, y) f ( x, y) ψ = +. Keďže fukci ƒ yx je defiová v okolí bodu M, fukci ƒ y je diferecovteľá itervle x; x + x. Opäť použijeme Lgrgeovu vetu dostávme f y ( x x, y) fy ( x, y) x fyx ( x, y) Potom A= y x f ( x, y). + =, kde x (x; x + x). yx y x y

101 Porovím výrzov x y f ( x, y) A y x f ( x, y) xy (, ) (, ) yx = =, dostávme f x y = f x y. Odtiľ po limitom prechode máme lim f x, y = lim f x, y. x 0 xy x 0 y 0 y 0 yx xy Keďže tieto prciále derivácie sú podľ predpokldov Schwrzovej vety spojité, pltí x 0 y 0 =, resp. lim f ( x, y) f ( x, y) lim f x, y f x, y xy xy x 0 y 0 N záver ted dostávme f ( xy, ) f ( xy, ) xy yx yx =. =. Pozámk. Niekedy býv ko Schwrzov vet ozčová silejši formuláci uvedeého tvrdei: Vet: Nech fukci ƒ(x, y) má v bode M(x; y) diferecovteľé prciále derivácie Potom pltí f ( M) f ( M) xy =. yx yx yx f x, f y. 83. Stirligov vzorec Vet (Stirligov vzorec): Nech. Potom pltí! π e Dôkz. (resp.! lim = ). π e Njskôr uskutočíme pomocé výpočty. Uvžujme itegrál f( x) I = e dx. Predpokldjme, že fukci ƒ má ostré globále mximum v bode, tj. pltí ƒ () = 0, ƒ () < 0. Využitím Tylorovho rozvoj dostávme f ( x) f ( ) λ( x ), kde sme λ= f. použili ozčeie

102 Potom λ f( ) ( x ) I e e dx, resp. po substitúcii y = x máme f ( ) λy I e e dy. 0 0 Nech > 0. Keďže jväčší príspevok do tohto itegrálu vytvár úzk oblsť v okolí bodu, môžeme dolú hricu itegrálu rozšíriť do. Dostávme: f( x) f( ) y f( ) f( ) I = λ π π e dx e e dy = e = e λ f 0 Terz môžeme pristúpiť k dôkzu Stirligovho vzorc. Počítjme metódou per prtes sledový itegrál: x u = x u = x x x x = = + = x x 0 0 v = e v= e 0 0. ** J x e dx x e x e dx x e dx Pokrčujme ďlej: x u = x u = x x x *. J = x e dx = x e + x e dx= x x 0 0 v = e v= e 0 0 x = x e dx. Pokrčovím v tomto postupe ľhko ukážeme, že pltí x J = x e dx=!. 0 Nech. Keďže x l x = e, využitím vzorc pre J dostávme x+ l x e dx=!. 0 exp y dy počítme substitúciou z = y λ. Ak využijeme hodotu Poissoovho * Itegrál ( λ ) itegrálu, ktorého výpočet sme ukázli iom mieste, dostávme ** Využitím l Hospitlovho prvidl dostávme ( ) x π exp λ y dy =. λ x x x! lim xe 0 = lim = lim = lim =... = lim = 0. x x x x x x x x x e e e e

103 Položme ƒ(x) = x + l x. Fukci ƒ dobúd ostré globále mximum v bode =. Zrejme pltí ƒ() = + l = l e, ƒ () =. Dosdeím do vzorc pre itegrál I dostávme + e dx π e. 0 x l x Porovím oboch výsledkov získvme! π e. Pozámk. Vo fyzike s čsto použív ko Stirligov proximáci formul! e. Nzčme dôkz tohto tvrdei. Opäť uvžujme. Zrejme pltí l! = l 3... = l+ l + l l = l k. Pre hodoty k s hodoty logritmov z sebou idúcich prirodzeých čísel líši le k= eptre, preto túto sumu môžeme približe hrdiť itegrálom, tj. Pomocou formuly per prtes dostávme u = u = k v= l k v = e k l! l kdk. l kdk = [ kl k] dk l = l, resp. l! l Odtiľ už vyplýv, že pltí! e. e

104 84. Stokesov vet Vet (Stokesov): FYZ Krivkový itegrál vektorovej fukcie A= A( x, y, z) po uzvretej krivke Λ je rový plošému itegrálu rotácie tejto vektorovej fukcie cez plochu Σ ohričeú krivkou Λ, tj. pltí Adl = rot AdS. Dôkz. Λ Σ Nech je dá vektorová fukci A= A( x, y, z) krivkou Λ zývme potom krivkový itegrál. Cirkuláciou vektor A uzvretou Adl. Uvžujme terz ifiitezimály štvorec Ω KLMN, tj. štvorec s ekoeče mlými strmi dĺžky dx, dy (obrázok 3). Teto štvorec vhode umiestime do priestoru, tj. tk, že jeho stry sú rovobežé so súrdicovými osmi celý leží v rovie z = cost. Nech K[x; y; z]. Λ N[x; y + dy; z] M[x + dx; y + dy; z] A= A x;y; ( z) K[x; y; z] L[x + dx; y; z] Obrázok 3. Stokesov vet. FYZ Stokesov vet ptrí medzi dôležité vzorce mtemtickej fyziky. Z tohto dôvodu ebudeme precíze formulovť jej mtemtické predpokldy, le budeme predpokldť, že všetky tu potrebé derivácie resp. itegrály existujú. Podobe dôkz ebude mtemticky úple korektý, čitteľovi poskyteme le jeho hlvú ideu

105 Počítjme cirkuláciu vektor A po obvode celého štvorc. Dostávme: KL LM MN NK KL MN LM NK A dl = A dx + A dy A dx A dy = A A dx + A A dy. x y x y x x y y KL MN Ax Keďže stry dx, resp. dy sú dosttoče mlé, zrejme pltí Ax Ax dy, y LM NK Ay resp. Ay Ay dx. * x Potom pltí Ay A A x y A A x y Ax A dl = dxdy dydx= dxdy= dsz, x y x y x y resp. A A ( rot ) y x Adl = dsz = A ds z z x y, Ω kde symbolom (rot A ) z sme ozčili z-ovú súrdicu rotácie vektor A, symbolom ds z elemet obshu. Ak by sme áš ifiitezimály štvorec umiestili do roviy x = cost., resp. y = cost., logicky by sme získli resp. A A ( rot ) z y Adl = dsx = A ds x x y z, Ω A A ( rot ) x z Adl = dsy = A ds y y z x. Ω V prípde všeobece orietovej uzvretej priestorovej krivky Λ, ktorá ohričuje plochu Σ, potom pltí Λ A dl ( rot A) dsx ( rot A) ds y ( rot A) ds = + + z = rot A ds. x y z Σ * Využívme vzorec približý výpočet fukčej hodoty pomocou difereciálu fukcie, tj. ƒ(x) ƒ() ƒ ().h, kde x V(), h

106 85. Tylorov rd Defiíci: Nech ƒ je fukci defiová v ejkom okolí O(c) bodu c R, ech má v bode c derivácie ľubovoľého rádu. Potom rd f = 0! ( ) ( c) ( x c ) zývme Tylorov rd fukcie ƒ so stredom v bode c. Pozámk. V prípde, že c = 0, hovoríme o Mcluriovom rde fukcie ƒ. 86. Tylorov vet Vet (Tylorov): Nech fukci ƒ má derivácie ejkom okolí U(c) bodu c ž do rádu +, ech x U(c). Potom existuje číslo ξ ležice medzi bodmi c, x tké, že pltí: ( ) f c f c f c f ( x) = f ( c) + x c + x c + + x c + R+ x,!!! kde + ( + ) ( ξ) ( +! ) f R x = x c +. Dôkz. Njskôr hľdjme polyomickú fukciu g(x) jvic - tého stupň v tvre = + ( ) + ( ) + + ( ) g x x c x c x c, 0 ktorá v okolí bodu c jlepšie proximuje fukciu ƒ. Túto podmieku zrelizujeme tk, že poždujeme, by pltilo: g(c) = ƒ(c), g (c) = ƒ (c), g (c) = ƒ (c),..., g () (c) = ƒ () (c)

107 Derivovím polyómu g(x) ásledým dosdeím x = c dostávme jedotlivé koeficiety i (i =,,... ): f ( c) To zmeá, že pre polyóm g pltí 0 =, ( c) f =,! ( ) ( c) f =,...,! f c f c f c g( x) = f ( c) + x c + x c + + x c.!!! Teto polyóm využijeme v dôkze Tylorovej vety. f x g x M x c + Nech M je číslo defiové rovosťou Ďlej defiujme fukciu () () () f dokázá, k ukážeme, že M = = +. ht f t gt M t c + ( ) ( c) f =.! =, kde t U(c). Vet bude ( + ) ( ξ) ( +! ) Postupým derivovím fukcie h dostávme: () () () h t = f t g t M + t c, () () () h t f t g t M t c = +,..., ( ) ( () ) ( h t = f () t g ) () t M ( + ) 3 ( t c). pre ejké ξ ležice medzi bodmi c x. Keďže st. g(x) =, pre ďlšiu deriváciu pltí: ( + ) ( + h () t = f ) () t M ( +! ). To zmeá, že dôkz bude ukočeý, k zistíme, že ( ) h + ξ = 0 pre ejké ξ ležice medzi bodmi c x. Vzhľdom podmieky g(c) = ƒ(c), g (c) = ƒ (c), g (c) = ƒ (c),..., g () (c) = ƒ () (c) pltí h(c) = h (c) = h (c) =... = h () (c) = 0. Číslo M bolo vybré tk, by pltilo h(x) = 0, tj. záklde Rolleovej vety existuje číslo ξ ležice medzi c x, pre ktoré pltí h (ξ ) = 0. Alogicky záklde Rolleovej vety pltej pre fukciu h existuje číslo ξ ležice medzi c ξ, pre ktoré pltí h (ξ ) =

108 Po + krokoch zistíme, že existuje číslo ξ + ležice medzi c ξ, pre ktoré pltí ( ) ξ =. Potom stčí položiť ξ ξ +. h Pozámk. Vzťh vo vete ( ) f c f c f c f ( x) = f ( c) + x c + x c + + x c + R+ x!!! zývme Tylorov vzorec, + ( + ) ( ξ) ( +! ) f R x = x c + zývme zvyšok po - tom člee v Tylorovom vzorci *. V špeciálom prípde pre c = 0 hovoríme o Mcluriovom vzorci, tj. ( ) f 0 f 0 f 0 f ( x) = f ( 0) + x+ x + + x + R+ ( x).!!! * Uvedeý výrz R + (x) presejšie zývme zvyšok v Lgrgeovom tvre. Uvedieme j ďlšie tvry: Cuchyho tvr zvyšku Schlömilchov tvr itegrály tvr ( + ) f c+ϑ( x c) + R+ x = ϑ x c, kde 0 < ϑ < ;! ( + ) ( ξ) + f p p R+ x = x ξ x c, kde p > 0;! p x ( + ) () t f R+ x = x t dt.! c - -

109 87. Weierstrssove kritérium Vet (Weierstrssove kritérium rovomerej kovergecie): Nech je itervle J dý fukcioály rd f ( x) =. Nech existuje kovergetý číselý rd s ezáporými člemi tký, že pre kždé N pre všetky x J = pltí f ( x). Potom fukcioály rd f ( x) bsolúte rovomere. Dôkz. Nech existuje kovergetý číselý rd s ezáporými člemi N pre všetky x J pltí dostávme, číselý rd f ( x) fukcioály rd f ( x) f x itervle J koverguje = tký, že pre kždé =. Z porovávcieho kritéri okmžite bsolúte koverguje pre kždé x J. To zmeá, že = bsolúte koverguje itervle J. = Zostáv ám dokázť rovomerú kovergeciu. Ozčme súčty rdov f ( x) = s( x), = = A. Ďlej ozčme = { } s x = postuposť čistočých súčtov fukcioáleho rdu f ( x), { } = číselého rdu. = = σ postuposť čistočých súčtov Zvoľme ε > 0. Keďže lim σ = A, existuje tké prirodzeé číslo 0, že pre všetky 0, N, pltí σ A = + + = + + <ε

110 Potom pre kždé N, 0, pre kždé x J pltí: s x s x = f x + f x + f x + f x <ε, čo je defiíci rovomerej kovergecie fukcioáleho rdu f ( x) itervle J. = 88. Weierstrssov vet o mxime miime Vet (Weierstrssov vet o mxime miime): Ak je fukci ƒ spojitá uzvretom itervle ; b, potom tomto itervle dobúd mximum i miimum. Dôkz. Nech ƒ je fukci spojitá itervle ; b. Dokážme existeciu mx ƒ( ; b ). Keďže ƒ( ; b ) R, ƒ( ; b ), existuje sup ƒ( ; b ). Ďlej existuje postuposť { y } lim y = sup ƒ( ; b ). =, kde y ƒ( ; b ), pre ktorú pltí Zvoľme postuposť { x} =, x ; b, tkú, že pre kždé N pltí ƒ(x ) = y. Z postuposti { x} = pltí lim x k možo vybrť kovergetú podpostuposť { xk } = w, kde w ; b. Zo spojitosti fukcie ƒ potom dostávme lim f ( x ) lim y f ( w) ƒ(w) = sup ƒ( ; b ). k =, pre ktorú = =, tj. Nvyše ƒ(w) ƒ( ; b ), tj. ƒ(w) = mx ƒ( ; b ). Fukci ƒ ted dobúd mximum itervle ; b práve v bode w

111 89. Weierstrssov vet o ohričeosti Vet (Weierstrssov vet o ohričeosti): Ak je fukci ƒ spojitá uzvretom itervle ; b, potom je tomto itervle ohričeá. Dôkz. Dôkz vykoáme sporom. Nech fukci ƒ ie je ohričeá itervle ; b pr. zhor. Potom pre kždé N existuje tké x ; b, že pltí ƒ(x ) >. Postuposť { x} = má spoň jedu hromdú hodotu, ozčme ju ϑ. Potom existuje ejká vybrá postuposť { xk }, pre ktorú pltí lim xk = = ϑ. Keďže pre kždé N pltí x b, potom j ϑ ; b. Zo spojitosti fukcie ƒ potom vyplýv, že lim f ( x ) f Z voľby postuposti { x} = k = ϑ. všk vyplýv, že pltí lim f x lim =, čo je k spor. Pozámk. Ak by sme chceli ukázť, že fukci ƒ je ohričeá j zdol, zvolíme tkú postuposť { y } =, pre ktorej čley pltí ƒ(y ) <

112 90. Wroského determit Defiíci: Nech fukcie ƒ, ƒ,..., ƒ mjú itervle J derivácie ž do rádu. Potom determit (,, ) f f f f f f W f f f = f f f ( ) ( ) ( ) f f f zývme Wroského determit (wroskiá) fukcií ƒ, ƒ,..., ƒ. Pozámk. Wroského determit používme vyšetreie lieárej závislosti ( W ( f, f, f ) = 0), resp. ezávislosti ( W f, f, f 0) fukcií f, f, f

113 Litertúr [] Brtsch, H. J: Mtemtické vzorce; Acdemi, Prh, 006, ISBN [] Budiský, B., Chrvát, J.: Mtemtik I; Brtislv: Alf, Prh: SNTL, 987 [3] Feym, R. P., Leighto, R. B., Sds, M.: Feymove predášky z fyziky /3; Frgmet, Prh, 00, ISBN [4] Fichtegoľc, G. M.: Kurs differeciľogo i itegrľogo isčisleij I; Nuk, Moskv, 96 [5] Fulier, J.: Fukcie fukčé mysleie vo vyučoví mtemtickej lýzy; Prírodovedec, Nitr, 00 [6] Fulier, J., Šedivý, O.: Motiváci tvorivosť vo vyučoví mtemtiky; Prírodovedec, Nitr, 00, ISBN [7] Fulier,J., Vrábel, P: Difereciály počet; Prírodovedec, Nitr, 997 [8] Kluváek, I., Mišík, L., Švec, M.: Mtemtik I; SVTL, Brtislv, 959 [9] Kvsic, J.: Mtemtický prát fyziky; Acdemi, Prh, 997, ISBN [0] Kudrjvcev, L. D.: Kurs mtemtičeskogo liz; Vysšj škol, Moskv, 98 [] Piskuov, N. S.: Differeciľoje i itegrľoje isčisleij; Gosudrstveoje izdteľstvo techiko - teoretičeskoj litertury, Moskv, 957 [] Vrg, M.: Problémové úlohy v mtemtickej lýze (Difereciály počet); diplomová prác [3] Vrábel, P., Fulier, J., Vrábelová, M., Fáziková, V.: Mtemtická lýz (cvičei z difereciálych rovíc, z možého itegrálu teórie miery); PF, Nitr, 99 [4] Vrábel, P., Šedivý, O., Fulier, J.: Mtemtická lýz I, PF, Nitr, 983 [5] Zdroj pre čsť Príloh [6]

114 P r í l o h

115 Niels Herik Abel (5.8.80, Fridoe, Nórsko , Frold, Nórsko) Abel vyrstl v Nórsku v období veľkých ekoomických problémov krjiy, chudob zče zsihl j do jeho život. Demotivový chbou úrovňou ktedrálej školy, ktorej s brtom študovli, spočitku prospievl ib ko priemerý študet s výrzejším záujmom ib o mtemtiku fyziku. Jeho ďlšie štúdium všk výzme ovplyvil príchod ového učiteľ mtemtiky, Bert Holmboe, ktorý v Abelovi videl obrovský poteciál. S jeho podporou s Abel zhĺbil do číti textov vysokoškolskej mtemtiky, zčl študovť práce Euler, Newto, d'alembert, b j Lgrge Lplce. Holmboe tiež zorgizovl medzi svojimi kolegmi fičú zbierku, by umožil ádejému mtemtikovi štúdium uiverzite. Vďk pomoci podpore svojho učiteľ tk Abel v roku 8 úspeše spromovl, vyše s uiverzite dostl do prize ďlšieho výzmého vedc, profesor stroómie Christopher Hstee, ktorý s rovko stl Abelovým podporovteľom i meceášom. V posledom roku štúdií s Abel zčl veovť riešeiu rovíc piteho stupň z pomoci rdikálov. V roku 8 už veril, že objvil ich riešeie, tk posll svoju prácu dáskemu mtemtikovi Ferdidovi Degeovi. Až eskôr objvil vo svojich výpočtoch chybu. Následe zčl publikovť svoje výsledky o fukcioálych rovicich itegráloch v čsopise, ktorý zložil práve Hstee, pričom vo svojom treťom príspevku prezetovl prvé riešeie itegrálej rovice. K riešeiu rovíc piteho stupň s opäť vrátil ž v roku 84. Práve vtedy dokázl, že všeobecá rovic piteho stupň ie je riešiteľá lgebricky. V ďlších rokoch s veovl skúmiu trscedetých eliptických fukcií, svoje výsledky publikovl i predášl v Dásku, Nemecku, Frcúzsku i Tlisku, kde s stretol s vicerými výzmými mtemtikmi. V roku 86 poskytol formulovím Abelovej vety zovšeobeceie Eulerovho vzťhu pre eliptické itegrály. N svojich cestách po Európe s priek poskytutému grtu veľmi zdlžil, tk s vrátil späť do Nórsk, kde zčl prcovť uiverzite. V roku 88 s Abelovi dostl do rúk Jcobiho prác o trsformácii eliptických itegrálov, o ktorej rýchlo dokázl, že sú dôsledkmi jeho vlstých záverov. N ejký čs s tk Abel pohrúžil do súťžei s Jcobim v objvoví výsledkov v oblsti teórie eliptických fukcií, ie všk dlho. Abelovo zdrvie bolo už zče podlomeé prekoými vážymi chorobmi i životom v chudobe, čo viedlo k jeho skorej smrti. V roku 830 jemu i Jcobimu Prížsk kdémi udelil hlvú ceu pre ezedbteľý príos mtemtike. Archimedes zo Syrkúz (87 p..l., Syrkúzy, Sicíli p..l., Syrkúzy, Sicíli) Archimed ozčujú historici z jväčšieho mtemtik svojej doby. Hoci je zámy predovšetkým svojimi objvmi prktickými vyálezmi v oblsti mechiky, kou bol príkld Archimedov skrutk, čistú mtemtiku povžovl z jvýzmejšiu vedu. Mldosť strávil štúdiom s Euklidovými sledovíkmi v Alexdrii, pričom práve počs tohto obdobi tm spozl moho mtemtikov, preto ie je prekvpujúce, že práve im do Alexdrie posiell výsledky svojho bádi. S týmto jeho zvykom je spojeá i zujímvá leged. Archimedes v predslove origiálu jedej zo svojich prác údje uviedol, že obsh ím formulových viet posiell svojim priteľom do Alexdrie, le bez dôkzov týchto tvrdeí. Podľ všetkého iektorí z ich zčli Archimedove výsledky vyhlsovť z svoje, preto (v záujme ich odhlei) im pri prvej príležitosti zsll j tvrdei, ktoré boli espráve. Origiálym spôsobom tk usvedčil tých, ktorí predstierli schoposť objviť všetko, všk bez dôkzu. Historici I

116 Archimed ozčujú z mtemtik, ktorý položil zákldy ifiitezimáleho počtu, ktoré eskôr rozviedli doviedli do dokolosti ďlší vedci. Upltňovl totiž metódu exhustácie rú formu itegrovi, pomocou ktorej dospel k vicerým výzmým výsledkom predovšetkým v oblsti geometrie. Prese proximovl hodotu čísl π, stovil metódu presý výpočet druhých odmocí čísel objvil tiež systém vyjdrovie veľkých čísel. Archimedes bol zbitý v druhej púskej voje v roku p..l. počs obliehi Syrkúz Rimmi. Jeho mtemtické práce s vo svete rozšírili ž omoho eskôr po jeho smrti, v období stroveku s ich štúdiu veovli zrejme ib mtemtici v Alexdrii, čoho dôkzom sú odkzy Archimedove práce, ktoré možo ájsť príkld v dielch Pppus či Heró. Jcob (Jcques) Beroulli ( , Bzilej, Švjčirsko , Bzilej, Švjčirsko) Jcob Beroulli bol strší brt emeej zámeho Joh Beroulliho strýko Diel Beroulliho. Bol to le práve Jcob, ktorý zložil v rodie Beroulliovcov mtemtickú trdíciu, hoci s musel podvoliť vôli svojich rodičov vyštudovť filozofiu teológiu, popri tomto štúdiu s veovl mtemtike stroómii. Po získí titulu z teológie v roku 676 zčl Jcob Beroulli veľ cestovť, vďk čomu získl veľ výzmých kotktov mohol tk itezíve korešpodovť s popredými mtemtikmi. V roku 687 získl Jcob v Bzileji miesto profesor, áslede zčl spolu s mldším brtom Johom študovť Leibizovu prácu o difereciálom počte z roku 684. Beroulliovci s tk stli prvými, kto s pokúsil pochopiť plikovť Leibizove poztky teórie. Ich spoluprác s le čoskoro zmeil rivlitu, bol to zrejme Johov smochvál, ktorá koiec viedl k Jcobovmu vyhláseiu, že jeho mldší brt je ib jeho žikom, ktorý ib opkuje to, čo ho jeho učiteľ učil. Ich vzájomé osočovie evrživosť preikli prostredíctvom tlče j verejosť v roku 697 s ich styky defiitíve prerušili. V rokoch Jcob Beroulli publikovl päť štúdií o ekoečých rdoch, v jeho práci z roku 690 s zse po prvý krát objvil pojem itegrálu, v roku 696 Jcob Beroulli vyriešil ko prvý rovicu, ktorú des pozáme pod ázvom Beroulliho rovic. Jcob bol tiež jede z prvých mtemtikov, ktorí zčli používť poláre súrdice, vo vyššej lýze presdzovl plikovie formálych metód bol fsciový vlstosťmi logritmickej špirály, ktorej tvr je vytesý j jeho áhrobom kmei. Joh Beroulli ( , Bzilej, Švjčirsko.. 748, Bzilej, Švjčirsko) Hoci Joh Beroulli študovl uiverzite ko väčši Beroulliovcov medicíu, čoskoro zčl (j pod vplyvom stršieho brt Jcob) prejvovť záujem o mtemtiku. Po dvoch rokoch, ktoré brti spolu strávili štúdiom Leibizových spisov, s Joh dostl v mtemtike brtovu úroveň. V roku 69 s v Príži stretol s l'hospitlom, ktorý Joh požidl, by mu vysvetlil Leibizove jovšie metódy poztky. Joh Beroulli l'hospitl učil Leibizove závery, ich vyučovcie hodiy pokrčovli j po Johovom odchode z Príž vo forme korešpodecie. l'hospitl dávl Johovi Beroullimu z poskytuté hodiy vysoký fičý hoorár, veď koiec v roku 696 vydl svoju výzmú prácu z oblsti mtemtickej lýzy zložeú práve vyučovcích hodiách, ktoré mu dávl Joh. Túto skutočosť le vo svojej práci ezmieil, preto s Beroulli cítil dotkutý, po l'hospitlovej smrti v roku 704 vyhlásil, že utorom l'hospitlovej kihy je vlste o II

117 (predpokldá s, že tk eurobil ešte z l'hospitlovho život práve kvôli štedrej fičej odmee, ktorá ho ko epísá dohod istým spôsobom zväzovl k mlčlivosti). Dôkzy o Beroulliho utorstve boli objveé ž v roku 9, keďže súčsťou spomíej práce je i l'hospitlovo prvidlo, záklde uvedeého jej skutočým utorom by ml byť práve Joh Beroulli. V práci z roku 694 Beroulli zviedol metódu itegrovi po čstich vďk svojmu poímiu itegrovi ko iverzej operácie k derivoviu dosihol výzmé úspechy j pri riešeí difereciálych rovíc. Od polovice 90. rokov 7. storoči Joh jeho brt Jcob súperili o pozíciu lepšieho mtemtik spomedzi ich dvoch, táto rivlit zče pozčil j ich rodié vzťhy. Po Jcobovej smrti v roku 705 ho Joh hrdil mieste profesor v Bzileji, o iekoľko rokov eskôr zčl Joh v mtemtike súperiť pre zmeu s vlstým syom Dielom. S Dielom s v 30. rokoch 8. storoči sporil o utorstvo myšlieok uvedeých v jeho diele Hydrodymik, rozdiel od sporu s l'hospitlom všk z tohto pomyselého súboj vyšiel Joh Beroulli ko porzeý. Joh Beroulli bol le priek svojej komplikovej povhe svojho čsu ozčový z Archimed svojho obdobi, toto pomeovie je vyryté j jeho áhrobku. Jcques Philippe Mrie Biet (.. 786, Rees, Frcúzsko , Príž, Frcúzsko) Biet s stl v roku 807 učiteľom Polytechickej uiverzite, o rok eskôr s stl sistetom profesor plikovej lýzy deskriptívej geometrie. Bietove pôsobeie poste školského išpektor, ktoré získl v roku 86, ovplyvil revolúci v roku 830, ktorá vyvrcholil bdikáciou kráľ Krol X. Keďže bol vic spojeý s predchádzjúcim režimom ež s tým ovo stoleým, v ovembri tohto roku bol z miest išpektor odvolý. Vo svojich mtemtických textoch s Biet zoberl teóriou mtíc, v ktorej v roku 8 odvodil prvidlo súčiu mtíc, ko j teóriou čísel výzme prispel k rozvoju teórie Euklidovho lgoritmu. Aktívy bol le j v odboroch fyziky stroómie, keďže 30 rokov tiež pôsobil ko profesor stroómie, do tomto odboru ptrí vic ež 50 jeho vedeckých príspevkov. Berrd Plcidus Joh Nepomuk Bolzo ( , Prh, Česká republik , Prh, Česko) Berrd Bolzo študovl Krlovej uiverzite v Prhe filozofiu, fyziku mtemtiku. Ako sám uvádzl, zujíml s jmä o filozofiu mtemtiky, s veľkou obľubou dokzovl práve tké tvrdei, ktorých prvdivosť bol ozčová z zjvú. V roku 800 zčl vyše v Prhe študovť j teológiu, počs tohto štúdi vyprcovl dizertčú prácu z geometrie, ktorú v roku 804 úspeše obhájil. V tom istom roku tiež získl profesorské miesto filozofickej fkulte Krlovej uiverzity, keďže bol všk skôr voľomyšliekár, viedeská vlád trvl jeho suspedoví, čo le dosihl ž o 5 rokov eskôr. Zároveň všk ridil sledovť Bolzovu poštu, ko j zákz publikovi. Až zčitku 40. rokov 9. storoči mohol opäť vystupovť ko ktívy čle Českej kráľovskej vedeckej spoločosti, ktorej roky j predsedl. Čoskoro všk podľhol respirčým problémom, ktoré ho trápili už iekoľko rokov. Bolzove vedecké myšlieky preikli svetlo svet ž po jeho smrti. Väčši jeho prác zostl vo forme rukopisov ž do roku 86 prípde dlhšie, tk výrzejšie eovplyvili vývoj III

118 mtemtiky. Bolzov teóri mtemtického ekoeč všk predstihl Ctorovu teóriu ekoečých moží. Teto mtemtik tiež predstvil prvý príkld fukcie, ktorá je spojitá v kždom bode, všk v židom ie je diferecovteľá i príkldy jedozčého prirdei prvkov ekoečej možiy prvkom jej vlstej podmožiy. Bolzo s pokúsil oslobodiť mtemtickú lýzu od závislosti od pojmu limity sžil s ich hrdiť ritmetickými predstvmi. Dokázl vetu o stredej hodote, defiovl tiež Cuchyho postuposť. Teto pojem s pritom v Cuchyho prácch, po ktorom je pomeový, objvil ž o 4 roky eskôr, historici všk pokldjú z eprvdepodobé, že by Cuchy iekedy čítl Bolzovu prácu. Viktor Jkovlevič Buňkovskij ( , Br, Ukrji.. 889, Petrohrd, Rusko) Buňkovskij študovl prcovl uiverzite v Príži pod vedeím Cuchyho, zoberl s teóriou čísel, geometriou i plikovou mtemtikou. N jr roku 85 v Príži odovzdl obhájil tri doktorské dizertácie. O rok eskôr odišiel do Petrohrdu, by tm šíril ové poztky vedeckej mtemtiky stl s výzmou postvou mtemtickej vedy v Rusku. 34 rokov pôsobil ko profesor uiverzite v Petrohrde, písl vic ež 50 odborých prác z mtemtiky mechiky. Njväčšiu slávu mu všk priiesol objv Cuchyho Schwrzovej erovosti, ktorú predstvil v moogrfii z roku 859 t.j. 5 rokov predtým, ež ju vo svojich publikáciách prezetovli Cuchy lebo Schwrz. Keďže všk mtemtická termiológi ie je jedotá, v iektorých krjiách je Buňkovským objveá erovosť zám ko Cuchyho Schwrzov, kým v iých mu jeho zásluh ebol odopretá esie jeho meo, resp. meo všetkých troch zámych mtemtikov. Buňkovského esporý príos oceil j Petrohrdská kdémi vied, ktorá mu v roku 875 udelil ceu i medilu z vyikjúcu prácu v oblsti mtemtiky. Georg Ferdid Ludwig Philipp Ctor ( , Petrohrd, Rusko , Hlle, Nemecko) Už Ctorove výsledky reálej škole vyzdvihovli jeho jediečé mtemtické schoposti obzvlášť v oblsti trigoometrie. Hoci uiverzite zčl študovť polytechiku, o roky eskôr prestúpil zčl s veovť štúdiu mtemtiky. N uiverzite s spritelil s Hermom Schwrzom, vštevovl predášky Weierstrss i Kroecker. V roku 867 obhájil dizertčú prácu z oblsti teórie čísel už o roky eskôr bol hbilitový v rovkej oblsti. N iú oblsť mtemtiky s zčl orietovť v Hlle, km prestúpil zároveň so svojím hbilitovím. Vplyvom Heieho, ktorý bol jedým z jeho strších kolegov, s zčl zujímť o mtemtickú lýzu. Heie mu predostrel otvoreý problém dôkzu jediečosti vyjdrei fukcie z pomoci trigoometrického rdu, o ktorý s eúspeše pokúšl iele o sám, le j Dirichlet, Lipschitz či Riem. Ctor tvrdeie dokázl už v príli 870. O 3 roky eskôr dokázl, že moži rcioálych čísel je spočítteľá, že moži reálych čísel spočítteľá ie je, tiež že lgebrických čísel je ib koečý počet. Zvedeím pojmu krdiáleho čísl tiež spresil predstvu o ekoeče. Následe s veovl dokzoviu vicerých tvrdeí, ktorých obshom bolo zväčš jedozčé prirdeie bodov priestoru istému itervlu číselej osi. Niekoľko rokov s Ctor veovl teórii moží, z ktorej zkldteľ je povžový, stl s j IV

119 objviteľom prvého z prdoxov tejto teórie. V 80. rokoch 9. storoči všk zčl trpieť duševými chorobmi. Zujímvosťou je, že v týchto depresívych obdobich s Ctor odvrcl od mtemtiky, sústreďovl s glickú litertúru, filozofovl sžil s dokázť, že skutočým utorom Shkesperových hier bol Frcis Bco. Ctor koiec zomrel počs prvej svetovej vojy v stóriu ifrkt. Augusti Louis Cuchy ( , Príž, Frcúzsko , Sceux, Frcúzsko) Cuchyho detstvo bolo pozčeé politickými udlosťmi vo Frcúzsku z koc 8. storoči. Npriek áročej životej situácii všk Augustiovi otec zbezpečil to jlepšie vzdelie sy iele sám vyučovl, le prvidelými hosťmi v ich dome boli j Lplce Lgrge, ktorí s ujli vzdelávi mldého Cuchyho v mtemtike. Po dvoch rokoch itezíveho štúdi klsických jzykov s Cuchymu dostlo polytechického vzdeli, v roku 80 zčl prcovť pre Npoleoovu flotilu. Jeho som všk bol kdemická kriér, preto s zčl veovť mtemtickému výskumu, keď mu to čs dovoľovl. Študovl symetrické fukcie, v roku 84 publikovl moogrfiu o určitom itegráli, ktorá s eskôr stl zákldom jeho teórie komplexej fukcie. Položil zákldy reálej i komplexej lýzy, skúml kovergeciu divergeciu ekoečého rdu, difereciále rovice i determity. Miesto uiverzite všk stále emohol získť. Situáci s zmeil ž v roku 87, keď s záklde jeho výsledkov z Cuchyho postvil frcúzsk kdémi vied. Cuchy tk mohol koeče predášť metódy itegrovi, ktoré objvil, všk dosiľ epublikovl, sformulovl presú defiíciu itegrálu, vyprcovl precízu štúdiu podmieok kovergecie ekoečého rdu. V roku 8 všetky podrobe rozprcové zákldé vety lýzy publikovl v učebom texte pre študetov polytechiky. V roku 89 ko prvý defiovl komplexú fukciu komplexej premeej. Cuchy všk priek svojej geilite eml dobré vzťhy s iými mtemtikmi. Kvôli jeho silej ktolíckej viere bol mohými povžový z bláz, Abel o ňom rz dokoc písl, že Cuchy je pomäteec, všk je mometále jediý, kto vie, ko treb robiť mtemtiku. V roku 834 s Cuchy stretol v Prhe s Bolzom (po Bolzovom liehí), čo eskôr rozvírilo diskusie, že Cuchyho defiíci spojitosti je vlste Bolzovou zásluhou. Njprvdepodobejšie všk je, že Cuchy defiovl spojitosť ešte pred, ezávisle Bolzovi. Fktom le zostáv, že Cuchy písl 789 mtemtických prác iekoľko mtemtických termíov dodes esie jeho meo. Pfutij Ľvovič Čebyšev ( , Oktovo, Rusko , Petrohrd, Rusko) Hoci teto mtemtik prežil svoj život v Rusku, všetky jeho mtemtické práce vyšli vo frcúzštie, ktorá bol v tom období prirodzeým jzykom mtemtickú komuikáciu medziárodej úrovi, ko j jvhodejším prostriedkom udrživie kotktu s popredými svetovými mtemtikmi. Jeho prvá prác vyšl v roku 843 pojedávl o možých itegráloch, o rok eskôr vydl príspevok tému kovergecie Tylorovho rdu. Kovergeciou s zoberl j vo svojej dizertčej práci (849), z ktorú dostl od Akdémie vied j oceeie. V práci z roku 854 po prvýkrát predstvil Čebyševov mohočle, ktorý eskôr zovšeobecil, vytvoril všeobecú teóriu ortogoálych mohočleov. Čebyšev tiež prispel k rozvoju teórie prvdepodobosti býv ozčový j z predstviteľ ruskej školy, ktorý v ej položil zákldy teórie proximácie. V

120 Je Le Rod d'alembert (7.. 77, Príž, Frcúzsko , Príž, Frcúzsko) D Alembert bol emželským dieťťom, ktoré mtk krátko po pôrode zechl schodoch jedého z prížskych kostolov. Pokrsteý bol preto práve meom svätc, ktoré esie j kostol, pred ktorým ho šli. Keďže jeho mtk ho ikdy euzl z svojho, výchovu mu preto zbezpečil otec Louis-Cmus Destouches. D Alembert tk žil v dome pi Rousseu ž do dovŕšei dospelosti. Je D Alembert spočitku študovl pod meom Je- Bptiste Dremberg, čoskoro si všk meo zmeil to, pod ktorým je zámy dodes. Po mturite študovl teológiu, medicíu, i právo, jediým odborom, ktorý ho le skutoče zujíml, bol mtemtik. Le veľmi málo cestovl, väčšiu svojho život strávil prácou pre Prížsku kdémiu vied Frcúzsku kdémiu. Hovoril o sebe, že je v prvom rde mtemtikom, ie fyzikom, pričom mechiku (ktorou s zoberl) povžovl z rovkú čsť mtemtiky, kou sú i lgebr či geometri. V roku 744 publikovl svoje závery o rovovážom stve pohybe kvplí, k svojmu jvýzmejšiemu projektu s le dostl ž o roky eskôr, keď spolu s Diderotom zčli sprcovávť Ecyklopédiu. N Ecyklopédii prcovl iekoľko rokov, väčši jeho mtemtických príspevkov je práve jej obshom. Bol le tiež priekopíkom štúdi prciálych difereciálych rovíc, položil zákldy ich plikácie j vo fyzike. Možosti metód predstveých D Alembertom videl j Euler, ktorý ich rozprcovl doviedol do dokolosti. Nešťstie, dovtedy pomere eutrále vzťhy týchto dvoch mtemtikov s čoskoro vyhrotili, koľko D Alembert dobudol pocit, že mu Euler krde ápdy, eprizáv mu z e zásluhy. Rovko chldé vzťhy ml všk D Alembert s väčšiou ľudí zo svojho okoli. Teto mtemtik bol le jedým z prvých, ktorí pochopili dôležitosť fukcií, jeho poímie limity ho zčitku 50. rokov 8. storoči priviedlo k objveiu metódy skúmi kovergecie fukcií zámej des ko D Alembertovo podielové kritérium (publikové v 5. zväzku Opuscules mthémtiques). Od polovice 50. rokov 8. storoči s už veovl omoho vic litertúre filozofii ež mtemtike, lebo ko sám uviedol vo svojej korešpodecii mu to už jeho myseľ eumožňovl. Keďže bol zámy everici, D Alembert je pochový v klsickom eozčeom hrobe. Je Gsto Drboux ( , Nimes, Frcúzsko , Príž, Frcúzsko) Podobe ko u iých mtemtikov, j Drbouxov mtemtický tlet bol objveý v škole. Drboux s zujíml o ortogoále systémy už počs štúdi uiverzite publikovl svoju prvú prácu o ortogoálych plochách. Výzme prispel k rozvoju difereciálej geometrie lýzy, pri formuloví svojich výsledkov vychádzl z prác Mogeho, Guss, Dupi sprcovl ich sebe vlstou, kretívou formou. Geerlizovl Kummerove výsledky prezetovl defiovie systému z pomoci jediej rovice. Zujímvosťou všk je, že svoje výsledky prediesol Akdémii vied , t.j. prese v deň, kedy Moutrd ozámil objveie toho istého systému. V roku 870 písl príspevok o difereciálych rovicich druhého stupň, v ktorom predstvil itegrál des pomeový po ňom Drbouxov itegrál. V roku 875 zse poskytol svoj výkld Riemovho itegrálu, zviedol horé dolé itegrále súčty defiovl tiež, že fukci je itegrovteľá práve vtedy, k rozdiel horých dolých itegrálych súčtov koverguje k ule. V rokoch 887 ž 896 VI

121 Drboux písl 4 zväzky o ifiitezimálej geometrii, ktorá obshovl sumrizovl tkmer všetky jeho dovtedjšie výsledky závery. Historici s zhodujú, že Drbouxov poteciál spočívl predovšetkým v jeho schoposti kombiovť záľubu v geometrii so silou lytického myslei. Okrem už zmieeých oblstí s Drboux zoberl j teóriou fukcií, lgebrou, kiemtikou dymikou. Z svoju prácu získl moho vyzmeí. Reé Descrtes ( , L Hye (des Descrtes), Frcúzsko.. 650, Štokholm, Švédsko) Reé Descrtes bol frcúzsky filozof mtemtik, ktorý svojimi myšliekmi ovplyvil veľké možstvo vedcov z jrôzejších vedých oblstí. Počs 0. rokov 7. storoči veľmi veľ cestovl vštívil tkmer kždú krjiu Európy. Až v roku 68 s zveý večým cestovím rozhodol usdiť v Holdsku, kde zotrvl sledujúcich 0 rokov. Neustále udrživl itezívy kotkt s priteľmi vedcmi, z všetkých spomeňme jbližšieho z priteľov, Merse. Práve títo priteli podecovli Descrt, by svoje práce publikovl prezetovl svoje myšlieky j vereje, čo s mtemtikovi po udlostich spojeých s Glileom ezdlo práve rozumé. Jeho jvplyvejšou prácou v mtemtike s stlo dielo Geometri, ktoré vyšlo ko súčsť iej práce v roku 637. V ej prezetovl plikácie lgebry v geometrii, touto prácou tiež položil zákldy lytickej geometrie. Npísl j iekoľko filozofických prác, spordicky vštevovl Príž. Počs dvoch tkýchto ávštev s dokoc stretol s Psclom, ob rzy s le s ím pohádl, koľko Descrtes tvrdil, že vákuum jedoducho emôže existovť. V roku 949 s smotej švédskej kráľovej podrilo Descrt presvedčiť, by s presťhovl do Štokholmu, hoci sťhovie predtým dlho odmietl. Zujímvosťou je, že ž švédsk kráľová tiež rušil Descrtom celoživotý zvyk ešte z čis školy keďže ml už ko dieť chtré zdrvie, bolo mu umožeé vstávť kždý deň ž o, teto režim si zchovl tkmer po celý svoj život. Prdoxe, zrejme práve táto zme ho stál život. Ib po iekoľkých mesicoch stráveých v chldom švédskom Štokholme, pleí si poviosti chodiť kždé ráo do kráľovského plác pitu hodiu rú, kedy s kráľová chcel veovť geometrii, zomrel Descrtes zápl pľúc. Joh Peter Gustv Lejeue Dirichlet ( , Düre, Frcúzske impérium(des Nemecko) , Göttige, Nemecko) Dirichletov vášeň pre mtemtiku s zčl prejvovť už počs štúdi Gymáziu v Boe. Celé svoje vreckové väčšiou miul ákup mtemtických kižiek, jeho školské hodotei ho prvidele opisovli ko pozorého vzorého študet s výrzým záujmom o históriu mtemtiku. Po ukočeí stredoškolského štúdi s všk Dirichlet rozhodol ísť študovť uiverzitu do Frcúzsk, keďže úroveň emeckého školstv veľmi updl. Jeho ďlšiu prácu výrze ovplyvil kotkt s výzmými mtemtikmi, kými boli Fourier, Lplce, Legedre, Poisso, Guss, či jeho dlhoročý priteľ Jcobi. V roku 85 s zviditeľil dôkzom Veľkej Fermtovej vety pre = 5. Následe bol pobádý, by s uchádzl o miesto emeckej uiverzite, všk to potrebovl hbilitáciu hoci by Dirichlet mohol prácu poľhky predložiť, i tk by emohol byť hbilitový, pretože eml doktorát i evedel po ltisky, čo bol jed z požidvok v 9. storočí. Situáciu všk prompte vyriešil VII

122 Kolísk uiverzit, ktorá Dirichletovi udelil čestý doktorát umožil mu hbilitáciu. Hoci teto postup vyvoll vicero kotroverzých rekcií emeckých profesorov Dirichletovu dresu, dlhé roky pôsobil vicerých uiverzitách ko výimočý pedgóg. Ďlej s veovl j výskumu v oblsti teórie čísel v roku 837 sformulovl j moderú defiíciu fukcie. Preslávili ho tiež jeho príspevky tému podmieok kovergecie trigoometrických rdov o využití týchto rdov reprezetáciu ľubovoľých fukcií. Dirichlet je tiež vďk svojim prácm povžový z zkldteľ teórie Fourierových rdov. Historici mtemtiky uvádzjú, že s Dirichletom zčl v Berlíe zltá ér mtemtiky. Leohrd Euler ( , Bzilej, Švjčirsko , Petrohrd, Rusko) Leohrdov otec Pul vyštudovl teológiu, predstvovl si pre svojho sy rovkú budúcosť. Posll ho preto študovť uiverzitu v Bzileji, by s priprvil svoj stávjúci kňzský úrd. Joh Beroulli, Pulov priteľ ešte z čis vysokej školy, le skoro odhlil Leohrdove mtemtické die, keďže mu poskytovl súkromé hodiy, presvedčil Pul, by mu umožil študijý prestup. Po úspešom ukočeí štúdi mtemtiky čkl Leohrd Euler vhodé miesto v kdemickej sfére, ktoré mu poúkli v ruskom Petrohrde ktoré stúpil v roku 87. Prvé tri roky si tu dokoc privyrábl ko zdrvotík ruského ámoríctv, keď le v roku 830 získl profesorské miesto Akdémii, mohol rmádu opustiť. O 3 roky eskôr le Euler váže ochorel, prekol ťžkú horúčku áslede s objvili Eulerove problémy so zrkom (iektoré zdroje le uvádzjú, že ťžká horúčk, ktorá ho postihl bol skôr dôsledkom eustáleho preťžovi zrku ko príčiou jeho eskoršej slepoty). N zčitku 40. rokoch 8. storoči Euler odišiel z Rusk do Berlí, kde pôsobil tkmer 5 rokov, počs ktorých písl približe 380 vedeckých člákov jrôzejšie témy. Až v roku 766 s vrátil zov do Petrohrdu, krátko to úple oslepol. I priek slepote všk bol vďk svojej feomeálej pmäti schopý ďlšej vedeckej ktivity, z tohto obdobi dokoc pochádz si ž polovic jeho vedeckých prác. Ešte j 50 rokov po jeho smrti ml Akdémi v Petrohrde stále čo vydávť spomedzi jeho dosiľ epublikových diel. Eulerov vedecký záber bol skutoče široký, prispievl do oblstí ko lytická geometri, trigoometri, geometri, mtemtická lýz i teóri čísel. Rovko s zoberl stroómiou, krtogrfiou i mechikou. Zviedol tiež rôze mtemtické symboly, spomeňme príkld ozčeie fukcií f( x ) (734), grécke písmeo π pre Ludolfovo číslo, pre sumáciu (755) i ozčeie koečých diferecií. V roku 77 stovil tiež Eulerovo číslo z zákld prirodzeého logritmu v roku 777 ozčil druhú odmociu z - písmeom i. V 30. rokoch 8. storoči Euler vyriešil zámy Bzilejský problém, dokzovl Fermtove tvrdei popri ich riešeí zviedol j tzv. Eulerovu fukciu ϕ. V roku 735 predstvil Eulerovu košttu, ktorú vypočítl s presosťou 6 destiých miest. V liste z Stirligovi Euler tiež popísl formulu, ktorá býv des iekedy ozčová j ko Euler Mcluriov, keďže rovký vzťh pre súčet pomly kovergujúcich rdov odvodil ezávisle Eulerovi j Mcluri, ko sám Euler uviedol, eml jmeší záujem priprviť Mcluri o prvestvo tohto objvu. Prelomový príos ml le Euler j v mtemtickej lýze študovl metódy itegrovi i derivácie, v práci kľúčového výzmu Itroductio i lysi ifiitorum (748) Euler precizovl pojem fukcie chrkterizovl mtemtickú lýzu ko skúmie fukcií. Po prvýkrát v ej tiež predstvil Eulerovu formulu e = cos x+ isi x, s jej pomocou vyviul kompletú teóriu logritmovi komplexých čísel. ix VIII

123 Pierre de Fermt ( , Beumot-de-Lomge, Frcúzsko.. 665, Cstres, Frcúzsko) Pierre de Fermt bol právik vlády úrdík pooreý do štúdi skúmi mtemtiky. Ml zvláštu záľubu viedol rozsihlu korešpodeciu s vicerými frcúzskymi mtemtikmi tohto obdobi, ktorých ezozmovl so svojimi výsledkmi primo, le posiell im kési ámety zmysleie, tvrdei, pričom od dresátov očkávl, že dospejú k záverom, ktoré o sám už predtým získl resp. dokázl. Nie všetci všk k tomu pristupovli s pochopeím, mohí jeho listy povžovli j z provokáciu. Sáď jrozporuplejší vzťh ml Fermt s Descrtom po tom, čo Fermt spochybil jeho teóriu lomu svetl. Fermt oprvil jeho tvrdei, svoju chybu Descrtes uzl, všk od tej chvíle s eustále usilovl o štrbeie Fermtovej reputácie ko mtemtik, ko vplyvý vedec pádl jeho tvrdei spochybňovl jeho mtemtické umeie. Npoko s Fermt vplyvom svojho prcového vyťžei v rokoch prestl vereje gžovť v mtemtike. Práve v tomto období všk itezíve prcovl problémoch z teórie čísel. Njzámejším z jeho výsledkov z tohto obdobi je Veľká Fermtov vet, ktorej kompletý dôkz podl ž o vic ež 300 rokov eskôr v roku 994 britský mtemtik Adrew Wiles. Rovko le Fermt stál j pri formuloví zákldov mtemtickej lýzy, o všetky jeho mtemtické práce výsledky eboli publikové, keďže Fermt ich odmietl uviesť do publikovteľej formy. Zujímvosťou tiež je, že počs morovej epidémie, ktorým s kzil j sám Fermt, bol vydá v roku 653 mylá iformáci o jeho smrti. Tieto iformácie boli áslede demetové, Fermt s dožil ešte vic ež 0 rokov, počs ktorých pokrčovl v korešpodoví s ďlšími vedcmi svojej doby. Leordo Piso Fibocci (70, Pis, Tlisko 50, Pis, Tlisko) Fibocci bol spočitku ib prezývk des už zámeho mtemtik, ktorého vlsté meo bolo Leordo Piso. Niektoré literáre zdroje uvádzjú tiež jeho ďlší pseudoym Bigollo, ktorý si iekedy uvádzl, čo v preklde zmeá zháľč lebo cestovteľ. Väčši historikov s prikláň skôr k druhému výzmu tohto me, koľko Leordo so svojim otcom veľ cestovl. N cestách po Európe si všíml rôzorodé mtemtické systémy jedotlivých krjí, čo prehĺbilo jeho záujem o mtemtiku. Po ávrte do Pisy okolo roku 00 písl iekoľko výzmých mtemtických prác, keďže le Fibocci žil ešte v období pred vyálezom kíhtlče, zchovli s ib odpisy 4 jeho diel. Jeho teoretický príos mtemtike bol stovky rokov igorový ( zvláštosťou je, že o 300 rokov eskôr s jeho závery objvili v prácch istého Murolic), medzi súčsíkmi bol zámy skôr svojimi prktickými plikácimi, či riešei problémov z bežého život. Fibocciho králičí problém ho le priviedol k odvodeiu des už po ňom pomeovej Fibbociho postuposti publikovej v roku 0 v diele Liber Abci (Kih počtov), ktorá šl svoje uplteie v mohých iých oblstich. V uvedeom diele, ktoré vychádzlo prevže z rbských zdrojov, predstvil rbskú pozičú desitkovú sústvu, dielo tiež prispelo k zvedeiu rbských číslic v európskych krjiách. Prác z roku 5 Liber qudrtorum (Kih štvorcov) je povžová z jeho jvýzmejšie dielo, zoberá s teóriou čísel, okrem mohých iých problémov IX

124 rieši otázku odvodei metódy hľdi Pytgorejských trojíc. Táto prác mu vyiesl ozčeie jeho osoby z jvýzmejšieho mtemtik, ktorý prispel k rozvoju teórie čísel v období od čis Dioft ž do 7. storoči, v ktorom tejto teórii prcovl Fermt. Guido Fubii ( , Beátky, Tlisko , New York, USA) Otec tohto mtemtik bol učiteľom mtemtiky, k ej priviedol j svojho sy. Fubiiho študijé výsledky z mtemtiky boli výboré, tk ho jeho učiteli podecovli k výskumu v oblsti geometrie. Už v roku 900 predložil doktorskú dizertáciu o eliptických priestoroch, tieto jeho výsledky rozprcovl j jeho učiteľ Bichi vo svojej štúdii o roky eskôr. Následe s Fubii rozhodol zostť v Pise špirovť miesto uiverzitého učiteľ. Zároveň s tiež rozhodol epokrčovť v rozprcováví témy svojej dizertčej práce, le uprimil s úple odlišú oblsť. Od difereciálej geometrie prešiel k lýze, zčl s zoberť difereciálymi rovicmi, lytickými fukcimi, fukcimi vic komplexých premeých prcovl tiež vyjdreí dvojých itegrálov z pomoci dvoch jedoduchých itegrálov. V roku 939 vplyvom politických udlostí Fubii so svojou rodiou emigrovl do USA, kde priek svojmu chtrému zdrviu ešte iekoľko rokov vyučovl študetov v New Yorku. Joh Crl Friedrich Guss ( , Bruswick, Nemecko , Göttige, Nemecko) Gussove mtemtické die spozorovli už učiteli zákldej škole, keď mldý Guss origiálym spôsobom vypočítl súčet prvých 00 prirodzeých čísel. Vo výzmých objvoch pokrčovl j počs svojho uiverzitého štúdi, pričom z jvýzmejší z tohto obdobi je povžová koštrukci 7- uholík le z pomoci prvítk kružidl. Počs svojho život s le zoberl rôzymi mtemtickými i fyzikálymi disciplími vráte teórie čísel, lýzy, difereciálej geometrie, geodézie, stroómie i optiky. Npríkld témou jeho dizertčej práce bol zákldá vet lgebry, kým áslede zčl publikovť práce zoberjúce s teoretickou stroómiou (istý čs bol dokoc riditeľom observtóri). Do tejto oblsti prestl prispievť po roku 87, hoci v pozorovich pokrčovl j ďlej. Od zčitku 9. storoči s Guss zoberl myšliekou možosti existecie eeuklidovskej geometrie, túto tému s všk vyjdrovl ib veľmi optre, jeho predstvy boli formulové le váge. Domievl s totiž, že jeho reputáci by utrpel, k by s dú tému vyjdril jse. Azd jväčšiu pozorosť veovl Guss difereciálej geometrii, tejto mtemtickej oblsti veovl j jvic svojich publikácii. V 30. rokoch s zoberl mgetickým poľom Zeme štúdiom jeho vlstostí, pričom prese v tomto období v spolupráci s Weberom objvili j Kirchhoffove zákoy spolu tiež vyviuli primitívy typ telegrfu schopý odosielť správy do vzdileosti 5000 stôp. V roku 837 s všk Guss zplietol do istého politického kofliktu, áslede bol úteý opustiť Göttige jeho ktivít výrze ubudlo. Kuriozitou všk je, že Guss eskoršie písl iekoľko listov ko rekcie objvy rôzych vedcov v jeho oblstich košttujúce, že o terjšie objvy svojich kolegov odhlil už dávo, le epovžovl z potrebé o ich publikovť. X

125 Pul Guldi ( , Skt Glle, Švjčirsko , Grz, Rkúsko) Pul Guldi bol pôvode pokrsteý meom Hbkkuk Guldi, keď le kovertovl ktolícku vieru, meo si zmeil. Pôvodým povolím bol zltík, veovl s tomu všk ib iekoľko rokov. Potom s stl učiteľom, pôsobil príkld v Ríme, Grzi, 5 rokov j ko profesor vo Viedi. Z jeho korešpodecie s zchovli listy, ktoré si vymieňl s Keplerom, zoberli s všk prekvpivo výhrde ábožeskou temtikou, ie mtemtikou i stroómiou. Njvýzmejši Guldiov prác pozostáv z vic zväzkov. V prvom rozoberl pojem ťžisk, pričom jväčšiu pozorosť veovl lýze zemského ťžisk, súčsťou druhého bol z lýzy zám Guldiov vet tretí s zoberl kužeľmi, hrolmi rotčými telesmi. I z tohto prehľdu je bdteľé, že ťžiskom jeho práce bolo prevže štúdium objemov ťžíc. Jcques Slomo Hdmrd ( , Versilles, Frcúzsko , Príž, Frcúzsko) Až do piteho ročík bol Hdmrd žikom, ktorý vyikl vo všetkých predmetoch okrem mtemtiky. V roku 875 zmeil jeho postoj k mtemtike vede vôbec ový učiteľ mtemtiky. V úspešom štúdiu mtemtiky pokrčovl Hdmrd j uiverzite pod vedeím mtemtikov ko Drboux lebo Hermite, v roku 89 obhájil dizertčú prácu tému fukcií defiových z pomoci Tylorovho rdu. V tom istom roku s j ožeil, presťhovl s do Bordeux, kde oslil ko svojim vedeckým výskumom, tk j svojim pedgogickým mjstrovstvom. Počs 4 rokov stráveých v Bordeux publikovl 9 kvlitých prác, v ktorých pokryl široké spektrum tém. Prvdepodobe jvýzmejším výsledkom z tohto obdobi je dôkz vety o prvočíslch z roku 896, ko j erovosť determitov ešte z roku 893. Mtice, ktorých determity vystupujú v erovosti, boli eskôr pomeové ko Hdmrdove mtice. Počs svojho pôsobei v Príži Hdmrd zse publikovl práce z oblsti dvoj- j trojrozmerej geometrie, ktorý mli výzmý vplyv ďlšie vyučovie mtemtiky vo Frcúzsku. V sledujúcich rokoch s veovl j ďlším oblstim, ko príkld elsticite, optike lebo hydrodymike veľ cestovl po celom svete. Počs svojho život písl približe 300 vedeckých prác, ko j moho diel, ktoré boli svojou formou i obshom prístupé širokej verejosti. V roku 96 všk Hdmrd vo svojich 96. rokoch utrpel posledú ru osudu, keď jeho vuk trgicky zhyul podobe, ko pred rokmi jeho dvj syovi v prvej svetovej, tretí sy v druhej svetovej voje krátko to zomrel. XI

126 Sir Willim Row Hmilto ( , Dubli, Írsko , Dubli, Írsko) Hmiltoov prvý kotkt s vyššou mtemtikou s odohrl v jeho triástich rokoch prostredíctvom Clirutovej Algebry. Jeho veľkou výhodou s čoskoro stl vyikjúc zlosť frcúzštiy, vďk ktorej mohol už v tkom rom veku zčť študovť j práce Newto i Lplce. V Lplceovej Nebeskej mechike šiel dokoc v roku 8 chybu, čím s dostl do povedomi Joh Brikleyho, vtedjšieho kráľovského stroóm Írsk, ktorý ho ozčil z prvého mtemtik tkého mldého veku. V roku 87 bol Hmilto vyše ešte počs jeho vysokoškolského štúdi vymeový z profesor stroómie Triity College (ml vtedy ib rokov), zároveň s profesúrou získl j titul kráľovského stroóm Írsk, ko j privilégium sídliť v Dusikskom observtóriu. V priebehu sledujúcich pitich rokov publikovl 3 čsti jeho štúdie zoberjúcej s chrkteristickou rovicou optiky, prediesol Írskej kráľovskej kdémii príspevok tému vyjdrei komplexých čísel v tvre lgebrických dvojíc, t.j. v tvre usporidých dvojíc reálych čísel. Neskôr s pokúšl j o objv trojíc, dokoc s trduje histork, že bol tký posdutý touto myšliekou, že i jeho deti s ho kždý deň pri rňjkách pýtli, či už vie ásobiť lgebrické trojice. V roku 834 mu vyšl prác O Geerl Method i Dymics (O všeobecej metóde v dymike), v ktorej plikovl chrkteristickú rovicu v dymike, predstvil hmiltoiá H. Zujímvá príhod je spojeá j s objvom kvterióov. Hmilto údje prišiel formulu pre kvterióy práve prechádzke so žeou , eodoll pokušeiu vytesť ho do kmeň Broomskeho most, po ktorom prechádzli. Keďže Hmilto predpokldl, že kvterióy budú mť v mtemtickej fyzike prim revolučý výzm, tejto problemtike s veovl do koc svojho život. N spomíý most v roku 958 Írsk kráľovská kdémi umiestil pmätú plketu. Heirich Edurd Heie ( , Berlí, Nemecko , Hlle, Nemecko) Heie s ko mohí budúci mtemtici veovl už gymáziu jitezívejšie mtemtike. Počs jeho uiverzitých štúdií mu predášli tkí velikái ko Guss Dirichlet, v Berlíe tiež spozl moho výzmých mtemtikov 9. storoči, kými boli Weierstrss, Kummer či Kroecker. Kotkt s týmito osobosťmi mtemtiky udrživl Heie po celý život, čo ho ešte veľkrát priviedlo do Berlí. V roku 84 obhájil dizertčú prácu veovú Dirichletovi o roky eskôr bol uiverzite v Boe hbilitový. Bezprostrede po jeho vymeoví z profesor publikovl tému prciálych difereciálych rovíc ďlej s veovl teórii čísel mtemtickej lýze. Zoberl s sumáciou rdov, reťzovými zlomkmi, eliptickými fukcimi, dokázl Heie Borelovu vetu zviedol tiež pojem rovomerej spojitosti. Úspechy žl j ko pedgóg, medzi študetmi bol veľmi obľúbeý hlve pre jsosť jeho výkldu, ko j ávod štúdium zdôrzňovl, že pre študetov ie je postčujúce čítie kíh príručiek, z kľúčové pre mtemtik povžovl štúdium prístupov k problémom z origiálych zdrojov. XII

127 Guillume Frçois Atoie Mrquis de L'Hospitl (66, Príž, Frcúzsko.. 704, Príž, Frcúzsko) Teto mtemtik zčíl ko dôstojík kvlérie, zo svojej fukcie všk odstúpil pre krátkozrkosť zčl s veovť mtemtike. Tú mu jede rok predášl dokoc j Joh Beroulli. Njväčšiu slávu L'Hospitlovi priiesl vôbec prvá učebic difereciáleho počtu, ktorú vydl v roku 696. V úvode tejto publikácie prizl podiel jej sprcoví Leibizovi Jcobovi i Johovi Beroullimu, všk poskytuté zákldy ozčil z svoje vlsté myšlieky. V tejto práci predstvil j des už celom svete záme L'Hospitlovo prvidlo určeé hľdie limity rcioálych fukcií, ktorých meovteľ i čitteľ v dom bode kovergujú k ule. Otto Ludwig Hölder (.. 859, Stuttgrt, Nemecko , Lipsko, Nemecko) Hölder počs štúdi uiverzite v Berlíe vštevovl predášky Weierstrss, Kroecker i Kummer, čo mlo zrejme vplyv j jeho ďlšie výskumé ktivity v oblsti lýzy i lgebry. V dizertčej práci s zoberl lytickými fukcimi sumčými procesmi s využitím ritmetických prostriedkov, o roky eskôr (v roku 884) už zčl predášť uiverzite v Göttigee. Krátko po svojom prijtí ešte v roku 884 tu objvil erovosť, ktorá je des pomeová po ňom Hölderovu erovosť. Ďlej s zoberl kovergeciou Fourierových rdov, študovl Gloisovu teóriu rovíc zčl s veovť j teórii grúp. Vo svojej práci z roku 889 prvýkrát prezetovl fktorovú grupu, hoci si tohto objvu sám ebol vedomý. Jedozče objsil pojem fktorovej grupy, o ktorom prehlásil, že ie je i ový, i áročý štúdium, le jeho výzm bol dosiľ edoceeý. Následe tiež dokázl pltosť Jordovej Hölderovej vety, študovl utomorfizmy i možosti rozšírei tvrdeí o grupách. Po roku 900 s ešte veovl štúdiu geometrie, koci svojej kdemickej kriéry s zoberl už vic filozofickými otázkmi ež mtemtikou. XIII

128 Crl Gustv Jcob Jcobi ( , Postupim, Nemecko , Berlí, Nemecko) Nemecký mtemtik Jcobi s už ko dvásťročý prejvovl ko eobyčjý tlet, ktorý v priebehu jedého kdemického rok bsolvovl štúdium gymáziu v Postupime. Keďže le Berlísk uiverzit prijíml študetov ž od 6 rokov, Jcobi musel ž do roku 8 zotrvť v tej istej triede gymázi. Keď áslede stúpil uiverzitu, dosihol výimočé výsledky v ltičie, gréčtie i histórii, le jvic vyikl v mtemtike. Vzhľdom k ktuále ízkej úrovi uiverzitého vzdelávi v Nemecku, Jcobi s mtemtike štúdiu prác popredých mtemtikov veovl smoštúdiom. Po ukočeí poviého stupň umožňujúceho učiť s Jcobiho vierovyzie (bol žid) stlo prekážkou, by mohol vyučovť uiverzite, preto Jcobi v roku 85 kovertovl stl s kresťom. Počs svojho pôsobei emeckých uiverzitách uskutočil iekoľko objvov v oblsti teórie čísel. Zároveň s Abelom tiež ezávisle sebe tkmer v rovkom čse priiesli pozoruhodé poztky o eliptických fukciách, ktoré s stli zákldom ovej teórie. Touto skutočosťou bol veľmi potešeý prdoxe práve Legedre, expert eliptické fukcie, ktorý s rdosťou sledovl pretekie s dvoch mldých tletových mtemtikov v bádí. Jcobi le tktiež relizovl výzmý výskum v oblsti difereciálych rovíc prvého stupň, ktorého výsledky plikovl v dymike; dôležité výsledky získl j pri štúdiu determitov. Jcobi ebol prvý, kto študovl fukcioály determit, ktorý je des pomeový po ňom, po prvýkrát s o ňom vo svojej práci z roku 85 zmieil Cuchy. Jcobi mu všk v roku 84 veovl dlhú štúdiu, dokázl v ej ko prvý o jkobiáe vicero tvrdeí. O roky eskôr le Jcobimu digostikovli cukrovku, ktorá zbrzdil jeho prcové sdeie, lekár mu v záujme jeho zdrvi odporučil pobyt v Tlisku. Nň le eml dosttok fičých prostriedkov, tk mu pomohol Dirichlet, ktorý ich pre eho získl. Tlisk klím Jcobimu skutoče pomohl, opäť zčl publikovť. Po ávrte do Nemeck pôsobil ešte iekoľko rokov v Berlíe, jeho podlomeé zdrvie mu le už edovolilo predášť pričsto. Joh Ludwig Willim Vldemr Jese ( , Nkskov, Dásko , Copehge, Dásko) Hoci Jese svoju prvú mtemtickú štúdiu písl už ko uiverzitý študet, bol jedým z mtemtikov, ktorý s mtemtikou jej objvovím zoberli ib vo voľom čse. V oblsti výskumu mtemtiky bol v postte smouk, ikdy ebol zmestý v kdemickej sfére. Celý život prcovl v telefoickej spoločosti, by si zrobil fičé prostriedky mohol s relizovť ko mtemtik. Npriek tomu, že bol mtemtik mtér, pričiil s o dôkz Riemovej hypotézy, študovl ekoečé rdy i erovosti plté pre kovexé fukcie. Svoje jzámejšie tvrdeie záme ko Jeseov erovosť publikovl j s jej dôkzom v roku 906 v Acte mthemtice. XIV

129 Heirich Wilhelm Ewld Jug ( , Esse, Nemecko 953, Hlle, Nemecko) Heirich Jug študovl uiverzite v Mrburgu mtemtiku, fyziku chémiu, jeho učiteľmi boli j slávi mtemtici ko príkld Georg Frobeius lebo Herm Schwrz. V roku 899 pod vedeím Schottkeho obhájil dizertčú prácu zároveň bsolvovl štáte skúšky, ktoré mu umožili vyučovť gymáziu. Už o 3 roky eskôr predložil j svoju hbilitčú prácu v roku 908 bol meový v Kieli profesorom. Po skočeí prvej svetovej vojy získl miesto Uiverzite v Dorpte, odkiľ o roky eskôr prestúpil uiverzitu v Hlle, kde pôsobil ž do odchodu do dôchodku. Vo svojich vedeckých prácch s teto emecký mtemtik zoberl predovšetkým lgebrickými fukcimi, jeho jvýzmejši prác Úvod do teórie lgebrických fukcií dvoch premeých priiesl možstvo poztkov o týchto fukciách defiových d poľom komplexých čísel. Joseph-Louis Lgrge ( , Turí, Tlisko , Príž, Frcúzsko) Lgrgeovi rodiči pláovli pre svojho sy kriéru právik, čomu s sprvu Lgrge ebráil. Počs štúdi uiverzite v Turíe bol jeho jobľúbeejším predmetom ltiči, geometriu spočitku povžovl z udú. Záujem o mtemtiku v ňom prebudil ž Hlleyho prác z roku 693 o plikáciách lgebry v optike. Hoci Lgrge s do mtemtiky skutoče pohrúžil, jeho zčitok bol pomere rozpčitý, pozčeý hlve skutočosťou, že bol v tomto odbore smouk, emohol profitovť zo štúdi pod vedeím popredých mtemtikov. Npriek tomu už v roku 754 výrzou mierou prispel k položeiu zákldov vričého počtu (pomeovl ho ž Euler v roku 766), ko devätásťročý ohúril Euler výimočými ovými myšliekmi. Už v tk mldom veku bol dokoc vymeový z profesor. Od roku 756 bol Lgrge j čleom Kráľovskej kdémie vied v Turíe, bol tiež hlvým prispievteľom odborého čsopisu vydávého kdémiou Mélges de Turi v jej iekoľko prvých ročíkoch. V treťom ročíku vydom v roku 766 publikovl príspevok o využití itegrálu pri riešeí difereciálych rovíc, poukzovl ich plikácie vo fyzike, predstvil metódy riešei systémov lieárych difereciálych rovíc zviedol tiež Lgrgeovu fukciu. Keď mu už ko tridsťročému mldíkovi bolo zvereé vedeie mtemtickej sekcie Berlískej kdémii po Eulerovi, estretlo s to s pochopeím prevže strších čleov kdemickej obce, ktorý s cítili ukrivdeý. O správosti tohto kroku ich le presvedčili vysoko kvlité vedecké práce, ktoré publikovl sledujúcich 0 rokov počs svojho pôsobei v Berlíe, ko j Lgrgeovi prvidele udeľové oceei od Prížskej kdémie vied. Moho rokov s tu veovl stroómii, mechike, dymike, prvdepodobosti, teórii čísel (v roku 77 dokázl príkld Wilsoovu vetu) i mtemtickej lýze. V Berlíe ml totiž vytvoreé výboré podmieky svoju vedeckú prácu, koľko ml v zmluve uvedeú kluzulu, podľ ktorej bol zbveý poviosti učiť. Z Berlí odišiel ž v roku 787 do Príž, kde s stl čleom Prížskej kdémie vied zotrvl tu ž do koc svojej vedeckej kriéry. Prežil tu i frcúzsku revolúciu jej dôsledky, kým ií to šťstie emli. V septembri roku 793 bol totiž vydý príkz, záklde ktorého mli byť všetci obyvteli rodeí ide ež vo Frcúzsku ztkutí ich mjetok skofiškový. Lgrge vtedy zchráil Lvoisier, ktorý z eho iterveovl. Prdoxe, práve XV

130 Lvoisier 7 ďlších ľudí revolučý súd v máji sledujúceho roku odsúdil smrť gilotíou. Lgrgeovi bol vzápätí odobrtá výsd evyučovť, výsledkom čoho bol dvojzväzková publikáci jeho predášok z mtemtickej lýzy. N prelome storočí Lgrge ešte vydl prvú teóriu fukcie reálej premeej, v ktorej všk veovl ib málo pozorosti priestoru kovergecii. Pierre-Simo Lplce ( , Beumot-e-Auge, Frcúzsko , Príž, Frcúzsko) Lplce bol jskôr poslucháčom teológie, keď bol le odhleý jeho mtemtický tlet, štúdium prerušil vo svojich 9. rokoch odišiel do Príž. Tu veľmi skoro ohúril D Alembert, i vďk jeho podpore s už čoskoro stl profesorom mtemtiky. Zčl produkovť možstvo pozoruhodých mtemtických príspevkov tému mxim miim kriviek, z oblsti itegráleho počtu i difereciálych rovíc, pričom s sústreďovl predovšetkým lýzu možostí ich plikácie v mtemtickej stroómii teórii prvdepodobosti. Svoje jvýzmejšie práce, ktoré z eho urobili jedého z jvplyvejších vedcov, publikovl v 80. rokoch 8. storoči. V roku 787 tiež prišiel zároveň s Lgrgeom do Príž, obj s stli člemi Akdémie vied, priek (lebo práve opk vďk) ich vzájomej rivlite s svojimi myšliekmi vzájome výrze ovplyvňovli. Ai Lplceove vzťhy s iými kolegmi eboli srdečé, to prvdepodobe j vplyvom Lplceovej politickej orietácie, ktorá s meil zároveň so striedjúcimi s politickými predstviteľmi krjiy. Populritu mu rovko ezískl i jeho tvrdohlvosť, keď tvrdošije odmietl kékoľvek pochybeie vo svojich fyzikálych teóriách. Npriek všetkému, Lplce dokázl stbilitu soláreho systému, postvil pevé zákldy teórie mtemtickej prvdepodobosti vo svojej výzmej päťzväzkovej práci Nebeská mechik (799) plikovl Lplceovu rovicu ( hoci je pomeová po ňom, bol zám už predtým). Objvili s tu tiež Legedrove fukcie, ktoré boli moho rokov záme j ko Lplceho koeficiety. Gottfried Wilhelm vo Leibiz ( , Lipsko, Nemecko , Hover, Nemecko) Leibiz zčl študovť uiverzite vo veku 4 rokov, čo bolo j vtedjšie pomery pomere skoro. Jeho študijým odborom bol filozofi, ktorej vyučovie bolo dosť vysokej úrovi, tiež v dom období pomere chbo vyučová mtemtik. Liebiz ukočil bklárske štúdium titulom z práv, mgisterské štúdium prácou z filozofie, v ktorej skúml vzťh filozofie práv používjúc pritom j mtemtické myšlieky, hbilitovl s rovko z filozofie. Liebizovým cieľom le bolo vštíviť Príž, pretože si pril získl vic kotktov vo vedeckej sfére. N prelome rokov 7. storoči zčl prcovť vývoji kejsi formy klkulčky, ktorá, ko dúfl, by ho mohl dostť do povedomi vedcov. V roku 67 koiec zčl v Príži študovť mtemtiku fyziku pod vedeím Christi Huyges, keďže dobudol dojem, že jeho mtemtické vedomosti ie sú tké, ké by si pril, zdvojásobil svoje úsilie preikúť do tohto odboru. Práve v tomto období tiež vyprcovl svoje zákldy mtemtickej lýzy, v rukopise z. ovembr 675 po prvýkrát použil des už bežú mtemtickú symboliku pre itegrál deriváciu. V sledujúcom roku vzikol v dôsledku korešpodečého edorozumei spor medzi Leibizom Newtoom. Newto XVI

131 totiž písl Leibizovi o svojich výsledkoch v itegrálom difereciálom počte, le svoje metódy epopísl. Po obdrží Newtoovho listu si Leibiz uvedomil, že by ml publikovť svoje kompleté výsledky v dom odbore vráte metód (zrejme by tk predišiel sporom o prvestvo objvov). Vo svojej odpovedi Newtoovi črtol zákldé pricípy difereciáleho počtu popísl tiež prvidlo derivovi istého typu fukcie. No v ďlšom liste z 4. októbr 676 už Newto Leibiz síce slušou formou, le jse obviil, že si Leibiz privlstil jeho metódy. Až v roku 684 áslede Leibiz publikovl svoju rozsihlu prácu o difereciálom, o roky eskôr j o itegrálom počte. Leibiz le vo svojich štúdiách o derivácii ikdy euvžovl ko o limite. Spor s Newtoom s všk vyhrotil ž omoho eskôr, keď v roku 7 Keill v jedom zo svojich príspevkov obviil Leibiz z plgiátorstv. Leibiz písl Kráľovskej spoločosti v Lodýe list židjúc, by prvili ujmu, ktorú mu spôsobil Keill svojim tvrdeím v imi vydávom čsopise, dôsledkom čoho bolo zrideie rdy, ktorá ml rozhodúť o sporom utorstve. Zsdutie rdy bolo zmipulové, jej závery eobjektíve, pričom oficiálu správu o výsledom rozhodutí v prospech Newto dokoc písl odpublikovl smotý Newto zčitku roku 73. Spor s Keillom všk pokrčovl j ďlej v tlči vo forme rôzych pmfletov, ktoré koiec prestl regovť Leibiz s odôvodeím, že emôže odpovedť idiotovi. Newto s Leibizom si svoj koflikt zrejme ešte dlhšie objsňovli vo svojej súkromej korešpodecii. Bez zveličovi pritom môžeme povedť, že Leibiz viedol počs svojho život korešpodeciu s tkmer 600 európskymi vedcmi. Joseph Liouville ( , Sit-Omer, Frcúzsko , Príž, Frcúzsko) Liouville s už počs svojho štúdi stretol s kpcitmi ko Ampére, Poisso či de Pruy. Po ukočeí školy s vydl kdemickú dráhu, zčl publikovť vedecké štúdie prcovl j ko pedgóg uiverzite i iekoľkých súkromých školách. Npriek svojmu týždeému úväzku približe 40 hodí s vedeckej úrovi zoberl príkld elektrodymikou, itegrovím lgebrických fukcií lebo prciálymi difereciálymi rovicmi. Ako uvádzjú historické zdroje, Liouville rozdelil svoj rok dve disjukté čsti letú etpu, počs ktorej prcovl výskume písl štúdie, obdobie od ovembr do júl, počs ktorého učil plil si dmiistrtíve poviosti. V roku 836 tiež Liouville zložil odborý mtemtický čsopis Jourl de Liouville, ktorý bol v 9. storočí pre rozvoj frcúzskej mtemtiky výzmým prátom. V 40. rokoch 9. storoči s le Liouville zčl gžovť v politike, čo istú dobu zredukovlo jeho vedecké ktivity. Jeho politická prehr vo voľbách v roku 849 ho všk priviedl späť k vede, hoci po tejto udlosti ztrpkol vic s poddávl j svojim zdrvotým problémom, stl s utorom ešte iekoľkých dôležitých mtemtických objvov. Ešte v roku 844 dokázl existeciu trscedetých čísel z pomoci reťzových zlomkov, v roku 85 uverejil výsledky o trscedetých číslch získé už bez závislosti reťzových zlomkoch. V tejto štúdii odvodil trscedeté, tzv. Liouvilleovo číslo , kde číslo je! mieste, všde ide je číslic 0; ktoré mu priieslo emlú publicitu. Liouvilleov mtemtický záber bol skutoče široký, od mtemtickej fyziky cez stroómiu ž po rôze odvetvi tzv. čistej mtemtiky. Celkovo písl vic ež 400 odborých prác, z ktorých približe 00 spdá do oblsti teórie čísel. XVII

132 Rudolf Otto Sigismud Lipschitz ( , Köigsberg, Nemecko , Bo, Nemecko) N Lipschitzových výsledkoch je pozoruhodé, že s dokázl veovť vysokej úrovi heď vicerým oblstim výzme prispel k rozvoju teórie čísel, zoberl s štúdiom Fourierových postupostí, Besselových fukcií i difereciálych rovíc, skúml kvterióy, geerlizovl poztky Cliffordovej lgebry prcovl j získví objvov v mechike. Teto mtemtik s le stl jzámejším vďk odvodeiu tzv. Lipschitzovej podmieky erovosti zbezpečujúcej jediečosť riešei difereciálej rovice y' = f (x, y). Doplil tk Peove tvrdeie o existecii tohto riešei, ktorý ím špecifikovl podmieky existecie spoň jedého riešei uvedeej difereciálej rovice. Herm Mikowski ( , Alexots (des Kus), Litv.. 909, Göttige, Nemecko) Hoci obj rodiči Herm Mikowského boli Nemci, Herm s rodil území vtedjšieho Ruského impéri. Keď ml 8 rokov, rodi s vrátil späť do Nemeck, tu s prejvil j Mikowského mtemtický tlet. Už gymáziu študovl práce Dirichlet, Guss i Dedekid; uiverzite s zse spritelil s Dvidom Hilbertom, s ktorým s vzájome profesioále výzme ovplyvňovli. Počs štúdi uiverzite s Mikowski zujíml o kvdrtické formy, ko ib osemášťročý preprcovl Eisesteiovu teóriu kvdrtických foriem, s ktorej pomocou získl prvú ceu Akdémie vied v Príži z vyriešeie problému vyjdrei celého čísl z pomoci pitich štvorcových čísel. Tým zčl Mikowského kriér mtemtik. Neskôr s popri svojom kdemickom pôsobeí zčl zoberť prevže mtemtickou fyzikou, predstvil ové poímie priestoru čsu, položil tiež mtemtické zákldy teórie reltivity. Zsdil kedysi povžový z ezávislý čs priestor do štvorrozmerého čsopriestorového kotiu, ktoré s stlo východiskom pre všetky eskoršie mtemtické práce o reltivite. Primáre výsledky le Mikowski dosihol v skúmí geometrických čísel, ktoré zčl v roku 890, kompletá prác Geometri čísel bol prvýkrát publiková ž po jeho smrti v roku 90. V roku 907 ešte vydl prácu Dioftické proximácie: úvod do teórie čísel, v ktorej s zoberl plikácimi geometrických čísel v teórii dioftických proximácii lgebrickými číslmi. XVIII

133 Abrhm de Moivre ( , Vitry-le-Frçois, Frcúzsko , Lodý, Veľká Britái) Teto mtemtik študovl spočitku mtemtické mteriály sám, po prvýkrát s mu dostlo formále vzdávie s v mtemtike ž počs štúdi fyziky uiverzite, keď brl súkromé hodiy od Ozm. Moivreho život bol pozčeý ábožeským presledovím protesttov, ktoré s vo Frcúzsku rozpútlo v roku 685, kedy bol Moivre j uväzeý. Ai životopisci prese evedi, kedy bol Moivre prepusteý z väzby, fktom le zostáv, že bezprostrede po tom emigrovl Moivre do Aglick. Hoci s Moivre svojou emigráciou oslobodil od ábožeskej perzekúcie, v Aglicku zostl vždy ib cudzicom, ko väčši prisťhovlcov bol diskrimiový. Npriek svojim mtemtickým schopostim i podpore odporúčim osobostí kými boli Hlley či Newto, do koc svojho život ezískl miesto uiverzite, po celý život tu pôsobil ib ko súkromý učiteľ mtemtiky. Npriek tomu s le v roku 697 stl čleov Kráľovskej vedeckej spoločosti, v roku 70 bol dokoc meový čleom komisie, ktorá ml rozhodúť spory Newto Leibiz o pozíciu zkldteľ mtemtickej lýzy. Svojimi vedeckými prácmi s Moivre stl priekopíkom lytickej geometrie i teórie prvdepodobosti. Azd jvic le Moivreho preslávil Moivreov vet, výzmá hlve z hľdisk rozvoj teórie komplexých čísel. Vo forme, v kej s použív dodes s po prvýkrát objvil v Moivreho práci z roku 7, príbuzý vzorec všk Moivre predstvil už v jedej zo svojich skorších prác z roku 707. Ako už bolo zmieeé, priek Moivreho zjvej erudovosti ikdy ezískl v Aglicku vedecké miesto jeho mlý príjem z pôsobei súkromého učiteľ zpríčiil, že zomrel v chudobe. Zujímvá je i trdová histork, podľ ktorej Moivre, podobe ko Crd, predpovedl deň svojej smrti. Údje sebe spozorovl, že kždú oc spl o 5 miút dlhšie ko tú predchádzjúcu, sumáciou ritmetickej postuposti vypočítl, že zomrie v deň, keď bude spť 4 hodí. Sir Isc Newto ( , Woolsthorpe, Veľká Britái , Lodý, Veľká Britái) Život Isc Newto je možé rozdeliť do troch čsových úsekoch obdobie, počs ktorého študovl, ktoré zkočil ziskom svojho prvého kdemického postu; obdobie rokov , ktoré bolo chrkteristické jeho bohtou vedeckou čiosťou objvmi; posledú životé etpu strávil ko vlády úrdík v Lodýe le s okrjovým záujmom o vedecký výskum. Hoci stredoškolské hodotei Newto chrkterizovli ko skôr ečiého, epozorého žik, pred zčitkom uiverzitého štúdi s evidete jeho postoj k vzdeláviu s zmeil. Záujem o mtemtiku s v ňom údje prebudil jeseň roku 663 pri štúdiu publikácie z strológie prdoxe práve vtedy, keď zistil, že mtemtickému rozmeru tejto kihy erozumel. Keď s s podobými problémmi stretol j pri iých publikáciách, zčl študovť Euklid. Následe s pohrúžil do číti diel ďlších mtemtikov, po roku 665 už zčl produkovť vlsté objvy v oblsti mtemtiky, optiky, fyziky j stroómie. Nezávisle Leibizovi položil zákldy difereciáleho i itegráleho počtu, objvil kľúčovú myšlieku vzájomej iverzosti týchto dvoch operácií, šiel metódy riešei problémov hľdi miim mxim fukcie, dĺžky kriviek, dotyčíc ku krivkám, pod. Rozsihlu prácu o mtemtickej lýze skompletizovl v roku 67, všk sám ju ikdy epublikovl, po prvýkrát vyšl ž v roku 736 v jej glickom preklde Joh Colso. Zároveň tiež dosihol výzmé výsledky vo XIX

134 fyzike i ebeskej mechike, ktorých zhrutím bol všeobecá teóri grvitácie. Už v roku 666 tiež pozl tri, des už záme ko Newtoove pohybové zákoy, objvil tiež pôsobeie odstredivej sily. V 70. rokoch 7. storoči Newto experimetovl j s optikou, i tu objvil ové zákoy. O tieto tvrdei s všk sporil s Hookeom, ktorý Newto obviil, že ukrdol jeho výsledky výskumu v optike (podobe, ko s sám Newto v tkmer rovkom čse hádl s Leibizom o to, ktorý z ich dvoch objvil difereciály itegrály počet). Ďlších 0 rokov s Newto ešte veovl fyzikálym stroomickým problémom. Svoje závery všk rovko ko iekoľkokrát predtým tkmer epublikovl, kým ho Hlley epresvedčil, by tk so zákldmi svojej ovej fyziky j ich plikácimi v stroómii urobil. V roku 687 tk ešte vyšli Newtoove Zákldy, ktoré ho psovli z popredú medziárodú osobosť vedeckého výskumu. Nicol d' Oresme (33, Allemge, Frcúzsko , Lisieux, Frcúzsko) Oresme bsolvovl štúdium teologickej fkulte v Príži, iekoľko rokov tiež pôsobil ko kňz. Jeho blízkym priteľom bol frcúzsky pric Krol, ktorý bol v roku 36 koruový z kráľ Krol V. Bezprostrede po jeho koruovácii s Oresme stl jeho dvorým kpláom, ko j rdcom. Od roku 370 s preto zdrživl hlve v Príži, rdil kráľovi vo fičých záležitostich, veovl s tiež prekldiu Aristotelových výzmých prác z ltičiy do frcúzštiy. Do frcúzskeho jzyk tým uviedol vicero ových techických termíov, z jeho prácu s Krol V. odvďčil vysväteím Oresmeho z biskup v roku 378. V mtemtike Oresme vytvoril istú obdobu lytickej geometrie ešte pred jej objveím Descrtom (pričom ie je vylúčeé, že práve jeho prácmi s Descrtes išpirovl pri jej odvodzoví), keď objvil logický vzťh medzi hodotmi premeých uvedeých v tbuľke ich grfickým zázoreím. Zviedol tk použitie grfu z účelom zázorei hodôt premeej, ktorej hodot závisí od hodoty iej premeej. Oresme bol tiež prvý, kto použil zlomkový expoet zoberl s j ekoečými rdmi. Zujímvosťou rovko je, že Oresmemu sú zväčš prizávé zásluhy i z objv zákou o voľom páde ešte pred jeho objveím Glileom, lebo z zstávie tvrdei, že Zem s točí tkmer 00 rokov pred Koperikom. Keďže le svoje domieky, ktoré vyjdril esúhlsom s Aristotelovou teóriou o sttickosti šej pléty predpokldmi o rotácii Zeme, v závere tej istej práce j poprel, emohol byť povžový z plohodotého utor tejto teórie. Michil Vsilievič Ostrogrdskij ( , Poltv, Ukrji.. 86, Poltv, Ukrji) Ostrogrdskij s chcel spočitku vydť vojeskú dráhu, rdu rodičov s všk rozhodol získť jskôr vysokoškolské vzdelie áslede s pokúsiť o dobré zmestie v štátych službách. Šiel preto študovť fyziku mtemtiku uiverzitu do Krkov. Po bsolvoví záverečých štátych skúšok v roku 80 s Ostrogrdskému le stl emilá vec miister ábožeských vecí árodého vzdelávi odmietol skúšku potvrdiť židl o jeho preskúšie. Celá kuz bol le ib esprvodlivým dôsledkom suspedovi jedého z Ostrogrdského učiteľov záklde ábožeských dôvodov, keďže všk Ostrogrdskij preskúšie odmietol, vysokoškolský titul mu ikdy udeleý ebol. Zechuteý týmito udlosťmi odišiel do Príž, kde vštevovl predášky Lplce, Fourier, Legedre, Poisso i Cuchyho, čo mlo emlý vplyv jeho odborý rst. Zčl publikovť štúdie XX

135 fyzikále i mtemtické témy, v mtemtike s zoberl itegrálym počtom, dvojými itegrálmi, difereciálymi rovicmi ich riešeím i lgebrou, pričom rozšíril Abelove závery o lgebrické fukcie ich itegrály. Nejký čs pôsobil j v ruskom Petrohrde, pre svoje výsledky vo fyzikálom výskume býv tiež ozčový z zkldteľ ruskej školy teoretickej mechiky. Svoj espleý cieľ stúpiť do vojeských služieb zrelizovl spoň čistoče, keď zčl vyučovť vojeských školách. Blise Pscl ( , Clermot, Frcúzsko , Príž, Frcúzsko) Blise Pscl bol syom mtérskeho mtemtik Étie Pscl. Jeho otec ho vyučovl sám, kuriozitou je, že zo svojho domu odstráil všetky mtemtické mteriály, pretože s rozhodol, že Blise do svojich 5 rokov mtemtiku študovť ebude. To le ib vystupňovlo Blisovu zvedvosť, te s rozhodol preskúmť sám geometriu. V svojich. rokoch dokázl, že súčet vútorých uhlov trojuholík je 80, čo jeho otec rezigovl, dovolil mu študovť práce Euklid od jeho štrástich ho dokoc brávl svoje stretuti s Merseom. V rokoch Pscl prcovl jedom zo svojich dôležitých vyálezov vyviul prvú digitálu klkulčku, zývú Psclí, ktorá pripomíl mechickú klkulčku skoštruovú v 40. rokoch 0. storoči. Potom zčl Pscl experimetovť s tmosférickým tlkom, v roku 647 dokázl, že existuje vákuum (kvôli ktorému s dostl iekoľkokrát do kofliktu s Descrtesom, ktorý dokoc o Psclovi v jedom zo svojom listov kolegovi písl, že Pscl má zrejme vákuum v hlve). Hoci Pscl ebol prvý mtemtik, ktorý s zoberl des už zámym Psclovým trojuholíkom, jeho dielo Rozprv o ritmetickom trojuholíku bolo jvýzmejším príspevkom túto tému, jeho prác o biomických koeficietoch tk priviedl Newto k objveiu všeobecého zei biomickej vety. Niekoľko výzmých viet sprcovl Pscl j o projektívej geometrii, jeho korešpodeciu s Fermtom mohí pokldjú z položeie zákldov teórie prvdepodobosti. Pscl všk zomrel pomere skoro, vo veku ib 39 rokov po tom, čo s mu rozšírili metstázy zhubého ádoru žlúdk do mozgu. Siméo Deis Poisso ( , Pithiviers, Frcúzsko , Sceux, Frcúzsko) Poissoov otec si pre svojho sy pril kriéru lekár, ktorá by mu zbezpečil bezstrostú budúcosť. Keďže le Poisso po mohých prekoých detských chorobách trpel poruchmi koordiácie, hlve poruchmi jemej motoriky rúk, vyše o medicíu i ejvil záujem, toto povolie ebolo pre Poiso tým správym. Počs štúdi polytechickej škole le prejvil záujem o mtemtiku, jeho učiteli Lplce Lgrge zrz spozorovli jeho tlet. Poissovi bolo jsé, že v deskriptívej geometrii pre svoj motorický hdicp úspech edosihe, všk v osttých oblstich boli reále. V posledom ročíku štúdi dokoc písl tk kvlitú štúdiu z teórie rovíc, že od Poisso áslede evyždovli pre úspešé ukočeie štúdi vykoie záverečých skúšok. Výsledky jeho výskumov predstvovli príspevky rôze témy plikovej mtemtiky. Poisso síce evytvoril žide ové komplexé mtemtické teórie, výzme všk prispel k rozvoju mtemtických teórií iých čsto to bol práve o, kto ko prvý poukázl ich výzm, hoci tieto jeho XXI

136 ktivity mohí mtemtici povžovli z mrhie tkým mtemtickým tletom. V roku 837 príkld vydl výzmú prácu z teórie prvdepodobosti, v ktorom s po prvýkrát objvilo Poissoovo rozdeleie. Jeho meo s spáj i s ďlšími mtemtickými pojmmi, príkld Poissoov itegrál, Poissoov rovic (teóri prvdepodobosti), Poissoov kvociet (elsticit), lebo Poissoov koštt (elektri). Poisso publikovl do 400 mtemtických štúdií, z jvýzmejšie sú všk povžové práce o určitých itegráloch práce zdokoľujúce tvrdei o Fourierových rdoch. Zámy je tiež Poissoov výrok, že život je dobrý ib dve veci objvovie mtemtiky, jej vyučovie. Joseph Ludwig Rbe ( , Brody, Hlič.. 859, Zürich, Švjčirsko) Keďže Rbeho rodiči boli chudobí, Rbe bol úteý si svoje živobytie zrábť od rého veku poskytovím súkromých hodí. V roku 80 zčl študovť vo Viedi mtemtiku. N jeseň roku 83 s presťhovl do Zürichu, už o roky eskôr s tu stl profesorom mtemtiky. Vo vedeckej mtemtike s zoberl prevže mtemtickou lýzou, v rokoch študovl publikovl o difereciálom i itegrálom počte. Jeho meo je le záme hlve vďk po ňom pomeovom Rbeho kritériu, rozšíreiu D Alembertovho kritéri, ktoré je určeé zisťovie kovergecie ekoečých rdov. Georg Friedrich Berhrd Riem ( , Breselez, Nemecko , Selsc, Tlisko) Riem už počs štúdi gymáziu prejvil veľký záujem o mtemtiku, riditeľ školy mu dokoc umožil študovť mtemtické mteriály z jeho vlstej súkromej kižice. N uiverzite v Götigee, kde študovl, Riemovi predášl Guss, počs jeho pobytu uiverzite v Berlíe vštevovl hodiy Steier, Jcobiho, Dirichlet j Eisestei. Prostredíctvom Weber Listig zse získl ceé poztky z teoretickej fyziky i topológie. Témou Riemovej dizertčej práce, ktorú obhájil v roku 85, s áslede stl teóri komplexej premeej, pričom v ej zviedol topologické metódy do teórie komplexej fukcie. Pri dokzoví iektorých tvrdeí svojej práce Riem využil vričý pricíp, ktorý s učil počs stáže uiverzite v Berlíe Dirichletovej predáške, preto ho zvl Dirichletovým pricípom. Ako uvádzjú historici, Dirichletov pricíp le v skutočosti esformulovl ko prvý Dirichlet, koľko j Guss, Gree lebo Thomso ho v tom čse tiež už používli. N Gussovo odporúčie Riem získl miesto uiverzite v Götigee, do iekoľko mesicov tu vyprcovl j svoju hbilitčú prácu, v ktorej s ďlej veovl fukciám. Práve tu vyslovil po prvýkrát podmieku itegrovteľosti fukcie, defiovl j itegrál, ktorý des zývme po ňom Riemovým itegrálom. Počs svojho pôsobei v Götigee s stl tiež čleom Berlískej kdémie vied, v tohto období s zčl zoberť problémom vyjdrei počtu prvočísel meších ež dé číslo. N zčitku 60. rokov 9. storoči s všk prejvili Riemove zdrvoté problémy, Riem rdu svojho lekár iekoľkokrát odišiel do Tlisk kvôli jeho teplejšiemu podebiu. Npriek tomu jeho zdrvie chrdlo, Riem zomrel vo veku edožitých 40 XXII

137 rokov údje odpočívjúc pod figovíkom, premýšľjúc d svojou rozprcovou prácou, ktorú už estihol dokočiť. Michel Rolle ( , Ambert, Frcúzsko , Príž, Frcúzsko) Rolle získl ib zákldé formále vzdelie z väčšej miery s vzdelávl sám. Kým odišiel do Príž, kde zčl prcovť ko pisár, pôsobil vo svojom rodisku ko sistet vicerých právych zástupcov. Ako mtemtik s zoberl dioftickou lýzou, lgebrou i geometriou. V roku 68 si získl obdiv kráľovského dvor, keď vyriešil mtemtický problém stoleý Ozmom, Je-Bptiste Volbert mu z jeho objv udelil štipedium. V roku 685 s tiež stl čleom Kráľovskej kdémie vied. Njväčšie uzie mu le priieslo sformulovie dôkz Rolleovej vety publikovej v roku 69 v ie príliš výzmej kihe. Rolle tiež zviedol ozčeie x pre -tú odmociu zo zákldu x. Herm Amdus Schwrz ( , Hermsdorf, Poľsko , Berlí, Nemecko) Predmetom Schwrzovho záujmu i štúdi bol spočitku chémi, o pod vplyvom Kummer Weierstrss si Schwrz zmeil študijý odbor z chémie mtemtiku. V roku 86 vštevovl Weierstrssove predášky z itegráleho počtu, jeho pozámky z týchto hodí s zchovli dodes. Schwrzov záujem o geometriu s tk čoskoro spojil s vedomosťmi z mtemtickej lýzy, táto kombiáci viedl k mohým výzmým objvom. Počs svojho pôsobei v Berlíe pod Weierstrssovým vedeím s Schwrz zoberl štúdiom povrchov s miimálym obshom, v roku 865 objvil tzv. Schwrzov miimály povrch. Jed z vplyvých Schwrzových prác bol publiková pri príležitosti Weierstrssových 70. rodeí, obshovl špeciály prípd Cuchyho Schwrzovej erovosti (resp. Cuchyho Schwrzov Buňkovského erovosť). Vicero Schwrzových objvov predstvovli isté kokréte závery lebo metódy, ktoré eskôr viedli iých vedcov k objvom všeobece pltých tvrdeí o skúmom probléme. Čsom všk vyučovcie poviosti profesor Berlískej uiverzite pohltili väčšiu Schwrzovho čsu, ktorému tk ezostlo veľ priestoru mtemtický výskum, po roku 89 už publikovl ib veľmi málo. Málo záme o Schwrzovi tiež je, že bol kpitáom dobrovoľého hsičského zboru istý čs tiež prcovl j ko sistet predostu železičej stice. Jmes Stirlig (69, Grde, Škótsko , Ediburgh, Škótsko) O prvých dvdsitich rokoch Stirligovho život je ib veľmi málo iformácií. S určitosťou s vie ib to, že v roku 70 odcestovl do Oxfordu, by s tu zpísl uiverzitu. Objvili s síce tiež iformácie, že Stirlig študovl uiverzite v Glsgowe, je to všk ib málo prvdepodobé. Keďže le Stirlig symptizovl s jkobitmi, bol obvieý z korešpodecie s imi (pričom jkobiti práve pláovli revolúciu), prvdepodobe štúdium v Oxforde edokočil, le ejký čs tu určite pobudol. Následe strávil Stirlig iekoľko rokov v Beátkch, i s týmto jeho pobytom je spojeá leged údje z Tlisk odišiel z obvy o svoj život, pretože odhlil iektoré zo sklárskych výrobých tjomstiev, tk by sklári mohli mť záujem o jeho odstráeie. Po ávrte do Glsgow s pokúsil získť miesto učiteľ v Lodýe, čo s mu s podporou jeho priteľ Newto j podrilo. Kocom roku 74 tk odcestovl do Lodý, kde zotrvl sledujúcich 0 rokov. Tieto roky strávil z hľdisk mtemtiky veľmi ktíve, výsledkom jeho pobytu bol j jeho jvýzmejši prác Methodus Differetilis publiková v roku XXIII

138 730. Pojedávl v ej o ekoečých rdoch, ich sumácii i iterpolácii, pričom jedým z hlvých cieľov tejto kihy bolo preskúmť metódy urýchľujúce kovergeciu. V tomto diele s tiež po prvýkrát objvil des po Stirligovi pomeová symptotická rovic pre!. Neskôr s Stirlig ešte zoberl fyzikálymi problémmi, ko príkld skúmím zemskej grvitácie. V roku 735 s stl mžérom Škótskej bskej spoločosti, keďže táto prác bol čsovo pomere áročá, ezostávlo Stirligovi už toľko čsu mtemtický výskum ko v predošlom období. George Gbriel Stokes ( , Skree, Írsko.. 903, Cmbridge, Veľká Britái) George Stokes vyrstl v sile ábožesky zložeej rodie všetci jeho brti s vydli dráhu kňz. George le zčl vštevovť školu v Dublie, svojho učiteľ mtemtiky veľmi rýchlo presvedčil o svojom dí, keď vyriešil viceré áročé geometrické problémy. Vo veku 6 rokov odišiel do glického Bristolu, by s tujšej fkulte priprvovl štúdium mtemtiky uiverzite v Cmbridge. Už počs štúdi s Stokes zčl orietovť problémy z mtemtickej fyziky v duchu tvrdeí svojich učiteľov, že mtemtik je jediý vhodý ástroj skúmi štruktúry okolitého mteriáleho svet. Po ukočeí štúdi s stl súkromým učiteľom veovl s výskumu hlve v oblsti hydrodymiky i zemskej grvitácie. V roku 849 Stokes získl v Cmbridge miesto profesor mtemtiky, publikovl vicero výzmých objvov týkjúcich s teórie lomu svetl o roky eskôr popísl vo fudmetálom príspevku o hydrodymike záko viskozity. V roku 85 potom pomeovl popísl jv fluorescecie, po roku 857 s prestl itezíve zoberť mtemtickým výskumom. Kompleté Stokesove mtemtické fyzikále štúdie boli publikové v pitich zväzkoch, prvé tri z ich vydl sám postupe v rokoch 880, , posledé vydl po jeho smrti v roku 905 Sir. Joseph Lrmor. Brook Tylor ( , Edmoto, Veľká Britái , Lodý, Veľká Britái) Rodi Brook Tylor bol pomere dobre fiče zbezpečeá, čo umožilo Brookovi študovť dom pod vedeím súkromého učiteľ. Bol výborým študetom, to j v období jeho štúdi Cmbridgeskej uiverzite. Už počs školy písl iekoľko kvlitých mtemtických prác, ktoré všk boli publikové ž v roku 74. V roku 7 s Tylor stl čleom Kráľovskej spoločosti, o dv roky eskôr bol zvoleý z jej tjomík. Práve v tomto období, v rokoch 7 74, publikovl 3 príspevkov, z ktorých tkmer kždý pojedávl o iej téme. Z historického hľdisk jvýzmejšie práce Brook Tylor vyšli v roku 75 prvá pod ltiským ázvom Methodus icremetorum direct et ivers, druhá s titulom Lier Perspective. Predmetom druhej meovej publikácie bol deskriptív projektív geometri, mohí ju povžujú z fudmetálu prácu pokldjúcu zákldy teórií uvedeých disciplí. V prvej zmieeej práci Tylor zse rozprcovl svoj jzámejší mtemtický objv po ňom pomeový Tylorov rozvoj. V skutočosti s le po prvýkrát zmieil o Tylorovej vete už v liste dresovom Mchiovi z , v ktorom tiež dresátovi opisuje, ko ho objvil. Zujímvosťou všk je, že Tylor ebol jediý, kto ju objvil. Špeciále prípdy XXIV

139 Tylorovho vzorc odvodili ezávisle sebe vzájom i Tylorovi j ií mtemtici, ko príkld Jmes Gregory, Newto, Leibiz, Joh Beroulli lebo Moivre. Výzmosť Tylorovej vety le zostl epozou ž do roku 77, kedy ju Lgrge vyhlásil z jede zo zákldých pricípov difereciáleho počtu. Termí Tylorov rd použil prvdepodobe po prvý rz dresu Tylorovho objvu Lhuilier v roku 786. Krl Theodor Wilhelm Weierstrss ( , Ostefelde, Nemecko , Berlí, Nemecko) Weierstrss zčl jskôr študovť právo, ekoomiku fičíctvo, pretože jeho otec si pril, by s zmestl v Pruskej dmiistrtíve. Weierstrss chcel le študovť mtemtiku, tk, vo vútri bojujúc sám so sebou či poslúchuť otc lebo s vzoprieť jeho želiu, strávil 4 roky svojho štúdi v ezáujme o študový odbor, zče si poškodil psychické i fyzické zdrvie pitím. Zo štúdi bol áslede v roku 838 vylúčeý, pretože ebsolvovl povié predmety evykol záverečé skúšky. V roku 839 s potom zpísl kdémiu, by tu študovl mtemtiku, v ktorej štúdiu bol obzvlášť úspešý. Už o roky eskôr bsolvovl potrebé skúšky, stl s učiteľom gymáziu, kde le okrem mtemtiky musel vyučovť j ďlšie predmety. Do povedomi vedcov mtemtikov s dostl ž svojou prácou z roku 854 o belových fukciách. O roky eskôr publikovl svoju teóriu iverzie hypereliptických itegrálov, čo odštrtovlo jeho kdemickú kriéru, keďže mu bezprostrede po uverejeí tohto príspevku iekoľko uiverzít poúklo miesto. Vybrl si Berlí, kde iekoľko rokov pútvo predášl o plikáciách Fourierových rdov itegrálov v mtemtickej fyzike, teóriu eliptických fukcií, úvod do mtemtickej lýzy j itegrály počet. Od roku 850 le Weierstrss trpel závrtmi iými kútymi ochoreimi, čo viedlo k jeho celkovému kolpsu v roku 86. Npriek itezívemu liečeiu ikdy celkom evyzdrvel jeho predášky po tomto roku boli chrkteristické tým, že Weierstrss predášl sedic, kým vybrý študet miesto eho zpisovl tbuľu. Weierstrss je čsto ozčový z otc moderej lýzy, ktorý vymyslel test kovergecie rdov, rozprcovl teóriu periodických fukcií, fukcií reálej premeej, eliptických fukcií, belových fukcií i vričý počet. Azd jzámejší s stl pre svoj príspevok k rozprcoviu teórie komplexých fukcií pomocou mociových rdov. Josef-Mri Hoëé de Wroski ( , Wolszty, Poľsko , Neuilly d Seiou, Frcúzsko) Mldý Josef Hoëé vštevovl školy v Pozi Vršve, le jeho štúdium bolo prerušeé v roku 794, keď s ko podporučík stl čleom Koščuškovej rmády Polikov bojujúcich z ezávislosť svojej krjiy. Armádu všk Rusi Prusi porzili vicerých bojovíkov, vráte Wroského, zjli priútili bojovť v ruskom vojsku. Ruskú rmádu opustil Wroski v roku 797 ďlšie roky strávil v Nemecku štúdiom filozofie vicerých uiverzitách. Následe odišiel do Frcúzsk, v roku 80 s ožeil, zujímvosťou je, že ž v tomto roku prijl meo Wroski, pod ktorým je des zámy. Svoje vedecké štúdie jčstejšie podpisovl Hoëé Wroski; práce písé v jeho zčitkoch le eboli veľmi vysoko ceeé iektoré dokoc epriášli i správe tvrdei, ko príkld publikáci z roku 8 presvedčujúc, že kždá rovic má lgebrické riešeie. Wroského vystúpei či ávštevy vedeckých spoločostí boli XXV