UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY TEÓRIA FOURIEROVÝCH RADOV
|
|
- Ιολανθη Ζαΐμης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY TEÓRIA FOURIEROVÝCH RADOV Bratislava Marti Varísky
2 UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY TEÓRIA FOURIEROVÝCH RADOV Evidečé číslo: 8d45c-a97e-457-b6-aaca84dda Študijý program: Ekoomická a fiačá matematika Pracovisko: Katedra aplikovaej matematiky a štatistiky Vedúci záverečej práce: RNDr. Ľubica Kossaczká, CSc. Bratislava Marti Varísky
3
4 Prehláseie Česte prehlasujem, že som predložeú bakalársku prácu spracoval samostate s použitím uvedeej literatúry a ďalších iformačých zdrojov. V Bratislave, podpis autora práce
5 Moje poďakovaie patrí RNDr. Ľubici Kossaczkej, CSc. za odboré kozultácie a jej odború pomoc pri realizácii mojej bakalárskej práce.
6 ABSTRAKT VARÍNSKY, Marti: [Bakalárska práca]. Teória Fourierových radov. Uiverzita Komeského. Fakulta matematiky, fyziky a iformatiky, Katedra aplikovaej matematiky a štatistiky. Vedúci: RNDr. Ľubica Kossaczká, CSc. Bratislava: FMFI UK,. počet s. Táto bakalárska práca struče a výstiže sumarizuje základe teoretické pozatky o teórii Fourierových radov, ako aj základé pozatky z matematickej aalýzy potrebé a ujaseie pojmov a súvislostí v tejto tematike. Ďalej sú v práci uvedeé riešeia vzorových príkladov, pri výpočte ktorých sa využíva teória Fourierových radov, ako aj príklady aplikácie Fourierových radov v rôzych oblastiach matematiky a fyziky.
7 ABSTRACT VARINSKY, Marti: [Bachelor thesis]. Fourier Series. Uiverzita Komeského. Faculty of mathematics, physics ad iformatics, Katedra aplikovaej matematiky a štatistiky. Supervisor: RNDr. Ľubica Kossaczká, CSc. Bratislava: FMFI UK,. počet s. This bachelor thesis cocisely summarizes the basic theoretical kowledge about the theory of Fourier Series ad also the basic kowledge from mathematical aalysis required for eplaatio of cocepts ad cotets i this theme. Furthermore, there are solutios of model eamples, which use the theory of Fourier Series for calculatig ad also eamples of aplicatios of Fourier Series i various areas of mathematics ad physics.
8 OBSAH. Úvod...8. Trigoometrické Fourierove rady Periodické fukcie...9 Harmoické fukcie...9 Trigoometrické polyómy a rady... Vety o kovergeciách radov... Trigoometrický fudametály systém...4 Fourierov rad fukcie periódy...5 Kovergecia Fourierových radov...7 Kosíusové a síusové rady... Besselova erovosť... Parsevalova rovosť...4. Príklady Aplikácie Fourierových radov Fourierove rady v hudbe...4 Izoperimeetrický problém Záver Použitá literatúra...4
9 . ÚVOD Teória Fourierových radov je jasým dokladom toho, že vývoj ových matematických teórií je často krát dôsledkom potrieb prae a iých prírodých vied. Samotý rozvoj teórie Fourierových radov ovplyvil tak ako ďalší rozvoj matematických metód v prai, tak aj rozvoj teoretických základov matematickej aalýzy, hlave prehĺbeie a precizovaie pojmov fukcia a itegrál. Išpiráciou pre moju bakalársku prácu boli predášky Matematickej aalýzy(4) a Fakulte matematiky, fyziky a iformatiky. Moja baklárska práca sa zaoberá teóriou Fourierových radov a jej aplikáciou a výpočet rôzych praktických píkladov. Prvá kapitola predstavuje stručý rešerž základých pojmov a vedomostí z matematickej aalýzy, ktoré úzko súvisia s teóriou Fourierových radov, ako aj samotých pozatkov o Fourierových radoch, a v koečom dôsledku Besselovej erovosti a Parsevalovej rovosti. V druhej kapitole uvádzam kokréte riešeia príkladov, pri riešeí ktorých vychádzame hlave z Parsevalovej rovosti a tabuľky trigoometrických rozvojov, spomeutej v. kapitole. Tretia kapitola je zameraá a využitie teórie Fourierových radov v prai a zaoberá sa popísaím základej myšlieky pri mou zvoleých aplikáciách Fourierových radov. 9
10 . Trigoometrické Fourierove rady Periodické fukcie Fukcia f() je periodická, ak eistuje eulová koštata T, že pre každé platí: f(t) f() Číslo T azývame periódou fukcie. Výsledkom elemetáryh operácii ako súčet, rozdiel, ásobeie a deleie fukcií s periódou T je zvyčaje tiež fukcia s touto periódou. Príklad grafu periodickej fukcie Súčase aj ľubovoľé ásobky k.t ( k R, k ) periódy T sú periódami vyššie uvedeej fukcie f(). Uvažujme teraz T >. Potom pre každú fukciu f() s periódou T platí: Ak f() je itegrovateľá a ľubovoľom itervale dĺžky T, potom je itegrovateľá a každom itervale takejto dĺžky, pričom hodota itegrálu zostáva ezmeeá. Pre ľubovoľé a, b platí: a T a f ( )d b T f ( )d b Harmoické fukcie Periodické fukcie tvaru y() A.si( ω. ϕ ) azývame harmoickými fukciami s periódou T ω,kde A je jej amplitúdou, ω -frekvecia, ϕ -fáza. Pre ľubovoľé platí: A.si[ ω ( ) ϕ ] A.si[ ω. ϕ ] A.si [ ω. ϕ ] ω
11 Na základe trigoometrickej formuly / si( α ± β ) si α cos β ± cos α si β /: A.si( ω. ϕ ) A.(cos ω. si ϕ si ω. cos ϕ ) Nech aa.si ϕ, ba.cos ϕ,potom každá harmoická fukcia môže byť zapísaá v tvare: a.cos ω b.si ω Príklad:.si( ) cos si Ukazuje sa však praktické zadať periódu T priamo rovú l. T l ω, ω l Harmoická fukcia s periódou T l má teda tvar: a.cos b.si l l Trigoometrické polyómy a rady Uvažujme harmoické fukcie.k.k b k. si l l a k. cos s frekveciami.k a periódami l ω k (pre k,,,... ) Tk l ωk k Teda výraz s () A k (a k. cos.k.k bk. si ) l l kde A koštata, je ako súčet fukcií s periódou l tiež fukcia s periódou l. Fukcia s () sa azýva trigoometrický polyóm tého rádu. Defiujme fukciu f() vzťahom: f() A k Nech (a k. cos.k.k bk. si ) l l. t.l t.l T (alebo ). Potom pre fukciu ϕ (t ) f( ) platí: l ϕ (t) A k (a k. cos k.t bk si k.t )
12 Defiícia absolúte itegrovateľej fukcie Nech fukcia f() je merateľá a <a,b>. Hovoríme, že fukcia f() je absolúte itegrovateľá a <a,b>, keď fukcia f ( ) je itegrovateľá a <a,b>. b Eistecia itegrálu b f ( ) d zaručuje aj eisteciu itegrálu a f ( ). a Veta Nech je fukcia f() a itervale <a,b> všade diferecovateľá, s výimkou koeče veľa bodov,,,, m, takých, že a< < < < < m <b a eistuje f () itegrovateľá a <a,b>. Potom platí: b f(b) f(a) f ( )d a Veta Majme fukcie f() a ϕ (), spojité a diferecovateľé (až a koeče veľa bodov) a <a,b>. Naviac ech derivácie f () a ϕ () sú absolúte itegrovateľé. Potom platí: b f ( ).ϕ ( )d a ϕ b [f() ()] b a - f ( )ϕ ( )d a Ak uvažujeme fukcie f (), f (), f (),, f () itegrovateľé a <a,b>, potom aj súčet týchto fukcií je itegrovateľý a platí: b a k [ f k ( )]d b k a f k ( ) d Podľa: Fourierreihe, Tolstow, I. Kapitola, 4, straa 7 Podľa: Fourierreihe, Tolstow, I. Kapitola, 4, straa 8
13 Vety o kovergeciách radov Skúmajme teraz ekoečý rad fukcií: f () f () f () f k () k f k ( ). Te sa azýva kovergetý, ak eistuje limita lim s () postuposti jeho čiastočých (parciálych) súčtov s () f k ( ) a má koečú hodotu s(), ktorá sa azýva súčtom k (kovergetého) radu k Rad k f k ( ). f k ( ) koverguje rovomere a itervale <a,b> k fukcii s(), ak ε > s( ) s ( ) ε. > N a < a, b > : N Na základe teórie kovergetosti a rovomerej kovergetosti radov majú veľký výzam asledujúce vety: I. Ak sú čley fukcioáleho radu spojité a <a,b> a f k ( ) a daom itervale k rovomere koverguje, potom: a) je súčet radu je tiež spojitá fukcia b) rad je po častiach itegrovateľý, b a k [ II. Ak rad k b f k ( )]d s ( )d a b k a f k ( ) d f k ( ) koverguje, jeho čley sú diferecovateľé a rad k f () f () f () f () k f k ( )
14 rovomere koverguje a <a,b>, potom f k ( ) s () k k f k ( ). V ďalšom sa budeme zaoberať pre zjedodušeie fukciami s periódou. Trigoometrický fudametály systém Pod pojmom trigoometrický fudametály systém rozumieme systém asledových fukcií:, cos, si, cos, si, cos,..., cos, si,... pričom všetky tieto fukcie majú spoločú periódu. Pre ľubovoľé celé čísla a m ( m) potom platia asledujúce vzťahy: cos. cos md si. si md si. cos md Teda itegrál ásobku dvoch ľubovoľých rôzych fukcií ášho systému a itervale <-, > je rový ule. Z defiície ortogoality máme, že fukcie ϕ () a ψ b () a itervale <a,b> sa azývajú ortogoále, ak ϕ ( ).ψ ( )d. a Na základe tejto defiície ám vyplýva, že aj fukcie predchádzajúceho trigoometrického systému sú avzájom (párovo) ortogoále, teda aj systém je ortogoály (a každom ľubovoľom itervale <a, a >). Tieto ortogoále vzťahy fukcií síus a kosíus využíva aj teória fourierových radov, akoľko fourierov rad sa chápe ako rozvoj periodickej fukcie f() z hľadiska koečého súčtu fukcií síus a kosíus. 4
15 Fourierove rady Začiatočé úvahy o myšlieke fourierových radov sa črtajú v Eulerových a Beroulli-ho prácach, Ale teória fourierových radov sa reále začala formovať až s podrobou prácou Fouriera o tepelej vodivosti začiatkom 9. storočia. Fourier si všimol, že periodické fukcie ie je rozumé rozvíjať do Taylorovho radu mociových fukcií typu,,,,..., m,... Pretože ie sú periodické. A rozvíja ( -) periodické fukcie do fukcioáleho radu, ktorého bázové fukcie sú periodické fukcie si, cos, si, cos,.... Fourierov rad fukcie periódy Fukcia f() periódy sa dá teda apísať v tvare fukcioáleho radu, ktorého bázové fukcie sú práve spomíaé periodické fukcie, a teda: a f() (a k k. cos k bk. si k ) ( *) Na základe jedozačosti určeia fukcie f() si ďalej staviame úlohu výpočtu jedotlivých koeficietov a, a k a b k pre k,,... Za týmto cieľom predpokladáme, že áš rozvoj fukcie f() do fukcioáleho radu je po častiach itegrovateľý, ako aj rady, ktoré dostaeme asledujúcimi výpočtami. a f ( )d. d k ak. cos kd bk. si kd Práve a základe už spomíaej ortogoality dostávame vzťah: f ( )d.a Vyjadrime ďalej vzťah pre ďalší koeficiet a : a f() ( a. cos k b. si k ) k f ( ). cos d k a. cos d k a. cos k. cos d b. k k k si k. cos d 5
16 Pre k je pravá straa rová ule (opäť z vlastosti trigoometrického fudametáleho systému), teda f ( ). cos d a. cos d, Kde a pravej strae je itegrál prislúchajúci koeficietu a. f ( ). cos d a. Aalogicky dostávame vzťah pre koeficiet b úpravou výrazu: f ( ). si d : f ( ). si d b. pre,,,,... Ak je teda f() itegrovateľá a dá sa rozviť do trigoometrického radu, pričom predpokladáme, že teto rad a rady, ktoré z eho vzikli ásobeím s cos a si (,,,...) sú po častiach itegrovateľé, sme schopí vypočítať hodoty a a b zo vzťahu ( *). Tieto koeficiety a a b sa azývajú Fourierove koeficiety fukcie f(). Príslušý trigoometrický rad s týmito koeficietami sa azýva Fourierov rad. Treba tiež poukázať, že sme rozoberali prípad itegrovateľej fukcie f() s periódou.teda môžeme uvažovať ľubovoľý iterval dĺžky, a ktorom budeme fukciu itegrovať. Teda všeobece: a a. f ( ). cos d,,,,... a a b. f ( ). si d,,,,... a 6
17 Kovergecia Fourierových radov Zásadou otázkou v teórii Fourierových radov je problém kovergecie týchto radov. Vráťme sa teda späť do teoretických pozatkov z matematickej aalýzy, aby sme mohli eskôr popísať základé vety, ktoré zhŕňajú základé výsledky skúmaia problematiky.. Zadefiujme si pojem espojitosť.druhu. Defiícia. Bod, v ktorom eistujú vzájome rôze vlasté limity fukcie y f() zprava a zľava, tj. lim f () lim f(), sa azýva bodom espojitosti. druhu fuckie f(). Číslo lim f () - lim f() sa azýva skok fukcie f() v bode. Ako príklad môžeme uvažovať fukciu f() - pre < pre pre >,kde bod je bodom espojitosti.druhu. Graf fukcie f() Vykresleé cez 7
18 . Hladké a po častiach hladké fukcie Defiícia 4: Fukcia f() sa azýva hladká (spojite diferecovateľá) a itervale <a,b>, ak má a daom itervale spojitú deriváciu. Graficky to zameá, že sa smer dotyčice v bodoch v priebehu krivky meí plyulo. Teda grafom hladkej fukcie je epretržitá krivka bez zlomov. Defiícia 5: Spojitá fukcia f() sa azýva po častiach hladká a itervale <a,b>, keď teto iterval vieme rozdeliť a mešie pod-itervaly tak, že fukcia f() je a každom z ich- v zmysle predchádzajúcej defiície hladká. Aj espojitú fukciu f() azývame po častiach hladkou a <a,b> v prípade, ak fukcia f() má a tomto itervale body espojitosti. druhu, a to le koeče veľa takých bodov. Po krátkom výťahu z aalýzy sa teraz môžeme ďalej veovať kovergecii Fourierových radov. Ak bod je bodom hladkosti fukcie f(), tak potom jej Fourierov rad bodove koverguje k f() v bode, tj. f() a k bk. si k. a k. cos T T k Tvrdeie6: Ak bod je bodom espojitosti. druhu po častiach hladkej fukcie f s periódou, pričom eistujú limity zprava a zľava, tj. f( ), f( ), potom Fourierov rad koverguje k aritmetickému priemeru medzi f( ) a f( ),tj. a ( a k. cos k k bk. si k ) f( ) f( ) Tvrdeie7: Nech f je spojitá a (, ) a periodická s periódou.nech f je absolúte itegrovateľá a <, >. Potom Fourierov rad príslušý k fukcii f rovomere koverguje k f a itervale (, ). 4 Podľa: Fourierreihe, Tolstow, I. Kapitola, 9, straa 7 Podľa: Fourierreihe, Tolstow, I. Kapitola, 9, straa 7 6 Podľa: Fourierreihe, Tolstow, I. Kapitola,, straa 8 7 Malá ecyklopédia matematiky, Obzor-Bratislava, 978, Fourierove rady, Veta 5, straa
19 V prai sa však zvyčje stretávame so situáciou, že fukcia f, ktorú chceme rozviť pomocou Fourierovho radu, je defiovaá iba a itervale <, >, resp. (, ). V takom prípade musíme ajprv zostrojiť periodické pokračovaie f * fukcie f. Ukážme to a príklade8: Nech f() a itervale (, ). Pre (-,) položme f * () f(-); f * ( ) f * (- ), f * () Pre <(k-),(k) > (k ±, ±, ±,...), položme f * () f * (-k ). Ak teraz vypočítame čísla a,b, ktoré azývame aj Fourierovými koeficietmi fuckie f *, dostaeme: f * () ~ 4 cos cos... cos( ).... ( ) Teda podľa predošlého tvrdeia ám vyplýva rovosť medzi pravou straou výrazu a hodotou z itervalu <, >. 8 Z Malá ecyklopédia matematiky, Obzor-Bratislava, 978, Fourierove rady, straa 67 9
20 Kosíusové a síusové rady Majme daú páru fukciu f() a itervale <-, > (alebo tiež páru periodickú fukciu). Keďže fukcia cos (,,,, ) je zjave pára fukcia, bude aj f().cos pára (Podľa vlastosti: Súči dvoch párych alebo dvoch epárych fukcií je párou fukciou.) Obdobe sa môžeme zaoberať súčiom f().si, ktorý je pre,,,... epárou fukciou, akoľko aj samotá fukcia si (,,,...) je epára. (Využijúc vlastosť: Súči párej fukcie s epárou ám dáva epáru fukciu.) Použime už vyššie odvodeé vzorce pre výpočet Fourierových koeficietov fukcie f().. f ( ). cos d a. f ( ). cos d,,,,... b. f ( ). si d,,,,... Teda vidíme, že Fourierov rad prislúchajúci k párej fukcii f() obsahuje le čley s fukciou kosíus v určitom tvare. Obdobe, uvažujúc epáru fukciu f() a itervale <-, > (alebo tiež epáru periodickú fukciu), majú jej Fourierove koeficiety asledujúci tvar: a. f ( ). cos d,,,,.... f ( ). si d b. f ( ). si d,,,,... Teda Fourierov rad prislúchajúci k epárej fukcii f() obsahuje čley s fukciou síus v určitom tvare.
21 Príklad. Rozložte fukciu tvaru f() A. B. C pre - < < do Fourierovho radu, pričom ech A.B.C sú koštaty. Príklad fukcie f() pre peve zvoleé koštaty A,B,C9 Počítajme teda Fourierove koeficiety a,a a b. a f ( )d A ( A B C ) d C. a. f ( ). cos d ( A. f ( ). si d metódu per partes// B C ) cos d //počas ďaľšieho výpočtu využijeme krát metódu per partes// b ( A 4A.( ) B C ) si d //opäť pri výpočte využijeme B.( ) Výpočtom kokrétych Fourierových koeficietov fukcie f() a dosadeím do predpisu pre Fourierovu radu fukcie sme dospeli k asledujúcemu riešeiu: f() A. B. C a ( a. cos b.si ) A si cos C 4 A. ( ). B. ( ). 9 Z: Fourierreihe, Tolstow, I. Kapitola, 4, straa 8
22 Príklad. Pozrime sa teraz a Fourierov rad fukcie f() A. B. C pre < <. Príklad fukcie f() pre peve zvoleé koštaty A,B,C Zmeeím hraíc itervalu sa ám budú meiť aj hodoty itegrálov, v ktorých vystupujú fukcie sius a kosíus, čo aše hodoty Fourierových koeficietov ovplyví asledove: 4 A a. B C a 4A b - (A B) Teda po dosadeí ových hodôt dostávame asledový tvar Fourierovho radu fukcief(): f() A. B. C a ( a. cos b.si ) 4 A cos si ( 4 A B ). B C 4 A. Z: Fourierreihe, Tolstow, I. Kapitola, 4, straa 8
23 Besselova erovosť Ozačeie: L (-, )- priestor fukcií itegrovateľých s.mociou a (-, ). Defiícia: Ak fukcie f,g sú itegrovateľé s druhou mociou a itervale <a,b>, potom b (f,g) f ( ) g ( )d a azývame skalárym súčiom týchto fukcií. Z defiície ortogoality spomeutej v časti o trigoometrickom fudametálom systéme vyplýva, že skaláry súči fukcie f() so samou sebou, pričom fukcia f je itegrovateľá a < a,b >, je ezáporý. Teda : (f, f). (Pretože itegrál z ezáporej fukcie je ezáporý). Defiícia: Normou fukcie f azveme číslo f ( f, f ), pričom fukcia f je ormovaá práve vtedy, ak f. Defiícia: Nech {ϕ } je ortogoála postuposť a itervale < a,b >, f je itegrovateľá a < a,b >. Potom čísla c ( f,ϕ ) ( f,ϕ ) (ϕ, ϕ ) ϕ azývame Fourierovými koeficietami fukcie f vzhľadom k postuposti {ϕ c ϕ Fourierovým radom fukcie f vzhľadom k postuposti {ϕ Defiícia: Nech f a g } a radu }. sú itegrovateľé fukcie a itervale < a,b >. Potom kvadratickou odchýlkou fukcií f, g azveme číslo: b f g [ f ( ) g ( )] d. a Veta: Nech {ϕ } je ortogoála postuposť a itervale < a,b > a f je itegrovateľá a < a,b >. Potom pre každé,,, má ajmešiu kvadratickú odchýlku od fukcie f tá zo všetkých lieárych kombiácií fukcií ϕ, ϕ,, ϕ, ktorej koeficiety sú práve Fourierovými koeficietami fukcie f vzhľadom k postuposti {ϕ }.
24 Pre každé takéto,,,... platí pre príslušé Fourierové koeficiety c k fukcie f tzv. Besselova idetita, f k z ktorej s ohľadom a f k ck ϕ k f k k c k ϕ k k ck ϕ ck ϕ k vyplýva Besselova erovosť: f pre ľubovoľé Ν Pre trigoometrický fudametály systém:, cos, si, cos, si, cos,..., cos, si,... dostávame: d cos cos d d (,,,...) si si (,,,...) Nech f() L (-, ) je daá fukcia. Aplikovaím a trigoometrický fudamet. systém adobúda Besselova erovosť tvar: a f ( )d (a cos b si ) alebo a f ( )d (a ) b Odkiaľ dostávame: f ( )d a (a b ) teda tvar, ktorý Besselova erovosť adobúda pre prípad trigoometrického fudametáleho systému. 4
25 Parsevalova rovosť Nech je trigoometrický systém úplý, pričom fukcia f: R R je periodická s periódou T a po častiach spojitá, L (, ) a a k bk. si k a k. cos T T k Potom Besselova erovosť sa zužuje a rovosť, rad k a k ak bk je jej Fourierov rad. ak bk je kovergetý a platí: T f ( ) d T Tabuľka trigoometrických rozvojov Pre počítaie príkladov s tematikou Fourierových radov je pre ás viac ež výhodé používať tabuľku trigoometrických rozvojov. Preto sú v asledujúcej tabuľke sústredeé iektoré vypočítaé rozvoje, z ktorých budeme v ďaľšom počítaí vychádzať.. cos log si ( < < ). si ( < < ). cos 6 si y log si dy ( ) ( ) cos log cos (- < < ) ( ) si (- < < ) 6. ( ) Tolstow: Fourierreihe, IV. Kapitola,, straa 7 5
26 7. ( ) cos (- ) ( ) si (- ) cos( ) log tg ( < < ). si( ) 4 ( < < ) cos( ). ( ) 8 ( ) si( ). 8 ( ) ( ) 6
27 . Príklady Príklad 4 Spočítajte: Riešeie: Z tabuľky ( vzťah 7.) vieme, že: ( ) cos (- ) Teda ak pravú strau rovosti chápeme ako fukciu f() a ľavú strau ako jej Fourierov rad s Fourierovými koeficietami: a, b, a ( ), môžeme použiť zeie Parsevalovej rovosti: 4 ( ) (. 7 ) 95 4 d Príklad Spočítajte: ( ) 4 Riešeie: Aalogicky podľa príkaldu jede použijeme z tabuľky (vzťah ). cos( ) ( ) 8 Pričom : a, b, a ( ) 4 ( ( ) ) ( ). Potom použitím Parsevalovej rovosti dostávame: d 8 ( 4 ) 4 4 d
28 Príklad ( ) Spočítajte: 4 Riešeie: Teto výraz vieme asledove upraviť: ( ) 4 ( ) 4 - ( ) 4 ( ) 4 /použijúc riešeia z predchádzajúcich Príklad a Príklad/ Príklad4 Spočítajte: 6 Riešeie: Postupujeme aalogicky podľa riešeia Príkladu. Z tabuľky (vzťah 8) vieme, že platí: ( ) si (- ) Aplikáciou Vety o parsevalovej rovosti a teto vzťah, pričom pre Fourierove koeficiety platí: a, a, b 6, sa dostávame k asledujúcemu výpočtu. 6 d 7 ( 4 ) 4 6 d
29 Príklad5 Spočítajte: ( ) 6 Riešeie: si( ) ( ) 8 Z tabuľky (vzťah ): Pre Fourierove koeficiety dostávame: a, a, b ( ) 6 8 d ( 4 ( ), teda: ( ) ) 4 d Príklad6 Spočítajte: ( ) 6 Riešeie: Teto výraz vieme asledove upraviť: ( ) 6 ( ) 6 - ( ) 6 ( ) /použijúc riešeia z predch. Príklad4 a Príklad5/
30 Príklad7 Nájdite hodotu itegrálu: log si d Riešeie: Graf fukcie l og si Skôr, ako budeme počítať hodotu tohto itegrálu, ukážme eisteciu evlastého itegrálu log si d a teda že eistuje limita: ε log si ε log si d /per partes/ l ( si ) - ε ε d pre ε :. l( si ). cos d si ε ε ε lim. l (si ). si ε ε ε ε lim ε. l ( si ) l (si ). si ε lim ε ε si l t. l t t lim t. l t lim t /L Hospital/ lim t t t t Vykresleé cez
31 Teraz sa zaoberajme ε. l( si ). cos d pre ε. si Máme dokázaú eisteciu itegrálu: l( si )d l( si )d <. Teda aj l( si ).g ( )d eistuje, kde g() je ľubovoľá ohraičeá, spojitá fukcia. V ašom prípade: g() A preto log si si.. cos L (, ) ( priestor fukcií itegrovateľých s. mociou ) Teda môžeme počítať aj Besselovou erovosťou aj s Parsevalovou rovosťou. Z tabuľky trigoometrických rozvojov (vzťah): cos log si ( < < ) Teda vyplývajúc z tejto rovosti a využitím Parsevalovej rovosti: a log si d (a ) b / pričom a, b, a /z tabuľky (vzťah6)/ / d 6 A teda: log si d 6 6 Leže my máme rátať itegrál le a itervale <, >, ale zo symetria fukcie teda dostaeme: log si d 6 Tolstow: Fourierreihe, III.Kapitola, 4, straa 84
32 Príklad8 Nájdite hodotu itegrálu: log cos d Graf fukcie l og cos 4 Postupujeme obdobe ako pri príklade 7. Potrebujeme ukázať eisteciu evlastého itegrálu log cos d a teda že eistuje limita: log ε cos d pre ε. Kedže táto fukcia je le istým posuutím vzhľadom a fukciu v predchádzajúcom príklade, bude teto itegrál eistovať ( L (, ) ). Podľa tabuľky (vzťah5) a Parsevalovej rovosti: ( ) cos log cos (- < < ) log cos d /viď príklad7/ 6. Teda tak ako v predošlom príklade je hodota zadaého itegrálu rová 4. Vykresleé cez
33 Príklad9 Nájdite hodotu itegrálu: log tg d Graf fukcie l og tg d 5 Skôr, ako budeme počítať hodotu tohto itegrálu, ukážme eisteciu evlastého itegrálu log tg d. Na základe vzorcov: l tg l l si l cos. cos si Nakoľko sme v príklade 7 a príklade 8 ukázali, že obe fukcie l si, aj l cos sú itegrovateľé s. mociou, tak aj pre ich rozdiel platí: L (, ), čo ám opäť umožňuje použiť Parsevalovu rovosť. 5 Vykresleé cez
34 Z tabuľky (vzťah9): cos( ) log tg pre ( < < ) Použitím Parsevalovej rovosti dostávame: log tg d. ( ) Na výpočet súčtu dohoto radu využijeme opať tabuľku trigoometrických rozvojov si( ) 4 (vzťah): ( < < ) ( ) 4 d 4 4
35 4.Aplikácia Fourierových radov Jedým z ajčastejších využití teórie Fourierovych radov je riešeie problémov s hraičou hodotou v parciálych diferečých roviciach, ako apríklad pri úlohách o tepelej vodivosti a rôzych iých fyzikálych úlohách. Veujme sa teraz bližšie využitiu Fourierových radov v hudbe, a to v aalýze a sytéze hudobého tóu. Fourierove rady v hudbe Akékoľvek zmey tlaku v určitom prostredí (mechaické vleie), ktoré sú spôsobeé periodickým, mechaickým kmitaím pružého telesa sa ozačujú výrazom tó. Ako je ale možé, že ľudské ucho vie rozlíšiť tó tej istej výšky zahraý a dvoch rozličých ástrojoch? Farba tóu fyzikále závisí od tóového spektra 6 Rozličé hudobé ástroje majú odlišú farbu tóu a teda majú rôzy tvar kmitaia chvejúceho sa telesa a teda rôze tzv. tóové spektrum, ktoré určuje práve to, ktoré čiastkové tóy zejú súčase s tóom a v akom pomere. Nasledujúce grafy ám popisujú odchýlku od stáleho tlaku zvuku pre flautu a violu (pri hraí rovakého tóu) ako fukciu času. Vyjadrime tieto krivky ako : t t t t b si... P(t) a a cos b si a L L L L 6 Malá kiha o hudbe,.kapitola- Všeobecá hudobá áuka, straa 8 5
36 Takto sme tó vyjadrili ako súčet jedoduchých čiastkových tóov, ktoré azývame alikvotými a zejú súčase so základým tóom a ktorých frekvecie sú postupe -, -,...,- ásobkom frekvecie základého tóu. Rozdiel v počutom zvuku medzi dvoma ástrojmi môžeme teda pripísať rôzym veľkostiam Fourierových koeficietov príslušých kriviek. Popri aalyzovaí zvuku kovečých hudobých ástrojov, ám teória Fourierových radov umožňuje sytetizáciu zvukov. Myšlieka za hudobými sytetizátormi je v možosti kombiácie rôzych alikvotých tóov a vytvoreie bohatšieho tóu cez zdôrazeie istých alikvótov určeím väčšej hodoty Fourierových koeficietov. Izoperimetrický problém Ktorá uzavretá krivka pri daom polomere ohraičuje ajvačšiu plochu? Týmto problémom sa Euklides a Archimedes zaoberali už v. storočí pl., ale úloha ebola dôslede doriešeá až do roku 84, kým Steier epublikoval viacero dôkazov. Odpoveďou a daú otázku izoperimetrického problému je kružica a Fourierove metódy poskytujú jedoduché overeie tohto faktu. Zadefiujme teraz krivku k v rovie fukciou p, ktorá každému reálemu číslu t z itervalu J priradí práve jede vektor p(t). Teda fukcia má tvar: pp(t) pre t J. Ozačme p (t ) a p (t ) body, odpovedajúce a krivke k pevej hodote t a ejakej hodote t z itervalu J. Na itervale J defiujme fukciu (všetky derivácie podľa všeobecého parametra ozačujeme bodkou): t s (t ) p (t ) dt t t p (t ) p(t ) dt t respektíve t s (t ) ( (t )) ( y (t )) ( z (t )) dt t Každej hodote parametra t J môžeme priradiť číslo s (t ), ktoré vyjadruje dĺžku krivky medzi bodmi P(t ) a P(t). Derivácia s (t ) ( (t )) ( y (t )) ( z (t )) p (t ) p (t ) 6
37 je pre všetky t J rôza od uly. Fukcia ss(t), t J je teda rýdzo mootóa a môžeme k ej zostrojiť iverzú fukciu: tt(s). Pre deriváciu tejto iverzej fukcie platí: dt ds s(t ) ( (t )) ( y (t )) ( z (t )) p (t ). p (t ) Pre všetky t J. Pomocou fukcie tt(s) môžeme spraviť trasformáciu parametra. Dostaeme tak ovú rovicu krivku: Pp[t(s)]p(s),s I v ktorej parametrom je dĺžka oblúka krivky od bodu P(t ) do bodu P(t) a ktorú azývame prirodzeou parametrizáciou krivky. Všetky derivácie podľa oblúka dp dp dt ds dt ds budeme ozačovať čiarkou, t.j. p p dt ds Pre veľkosť vektora p platí: p p. p p. p dt ds p. p p. p Táto vlastosť je utou a zároveň postačujúcou podmiekou a to, aby parametrizácia pp(s) bola prirodzeou parametrizáciou regulárej krivky k. Teda majme krivku daú dvojicami fukčých hodôt ((t),y(t)). Vezmime bod O(,y ) a krivke. Pre ľubovoľý bod X a krivke ech t je dĺžka oblúka krivky od bodu O do bodu X. Ďalej, ech (t) a y(t) sú -ová a y-ová súradica bodu X. Ak obvod krivky je rový, potom platí rovosť: ((t),y(t)) ((t),y(t)), ((),y()y ) 7
38 Predpokladajme, že je táto krivka hladká a teda, že eistujú prvé derivácie d/dt a dy/dt a obe sú spojité, čo výraze uľahčí defiíciu a výpočet obvodu krivky. Pričom pri veľmi malom dt môžeme z Pythagorovej vety odvodiť rovosť: d dy dt d dy dt dt dt {(d / dt ) ( dy / dt ) }dt Obdobe: Pre ašu oblasť ohraičeú krivkou začíame s deleím tvaru a teké vertikále pásy, berúc do úvahy časť oblúka medzi t a dt. Oblasť ohraičeá touto časťou oblúka, osou a priamkami yy(t) a yy(tdt)je potom: da {(t)-(tdt)}.y(t) -d/dt.y(t)dt Celú plochu potom môžeme vyjadriť ako: A - y(t )d / dtdt Teraz sme pripraveí riešiť izoperimetrický problém. Fukcie (t) a y(t) sú hladké periodické fukcie periódy, takže sa dajú rozviť pomocou Fourierových radov: (t)k A cos( t ) y(t)l m B si( t ) C cos( t ) D si( t ) Derivovaím týchto výrazov dostávame: d dt dy dt ( A ) si( t ) ( C ) si( t ) ( B ) cos( t ) ( D ) cos( t ) Môžeme tiež tvrdiť, že daý tvar je umiesteý v strede súradicovej osy tak, aby KL. 8
39 Podľa predchádzajúcich výrazov pre a y a použijúc Parsevalovu rovosť: d dy dt dt dt ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) [ A B C D ] Pre oblasť dostávame: A y (t ) d dt - [ B C A D ] dt ( A D B C ) Kombiovaím týchto dvoch rovostí: (/ )(/( )-A) [ ( A B C D ) ( A D B C )] [( A ( )( D ) ( B C ) D C )] Pravá straa výrazu je súčtom štvorcov, teda emôže byť záporá, čo vedie k tomu, že ľavá straa je tiež ezáporá, preto plocha A ohraičeá krivkou emôže prevýšiť /4. Ale plocha kružice obvodu je rová /4, teda žiada krivka eohraičuje väčšiu oblasť ako kružica toho istého obvodu. 9
40 5. ZÁVER Vo svojej bakalárskej práci som sa zameral a rešerž teoretických pozatkov z teórie Fourierových radov dopleý o výpočet praktických príkladov a aplikácie Fourierových radov v prai. V rámci svojej bakalárskej témy som si vedomý, že som evyčerpal všetky iformácie, ktoré sa vzťahujú k tejto téme, z dôvodu, že je veľmi obsiahla. Preto si myslím, že táto téma by sa dala širšie spracovať v diplomovej práci. Realizácia bakalárskej práce bola pre mňa veľmi príosá. Načerpal som možstvo hlbších iformácii, iele ohľadom Fourierových radov, ktoré mi rozšírili moje vedomosti. Dúfam, že táto práca išpiruje ďalších študetov, ktorí sa budú teóriou Fourierových radov zaoberať a bude pre ich aspoň sčasti poučá. 4
41 6. POUŽITÁ LITERATÚRA [] Tolstow: Fourierreihe, Deutscher Verlag der Wisseschafte, 95 [] Has-Joche Bartsch, Matematické vzorce, Praha [] Malá ecyclopedia matematiky, Obzor-Bratislava, 978 [4] Ecyclopedia of Physical Sciece ad Techology, Fourier Series, James S. Walker [5]Malá kiha o hudbe, Peter Šidlík, Božea Dlháňová, 994 [6] Fourierovy řady, Bakalářská práce, Tomáš Krisl, 6 [7] predásky: Matematická aalýza 4, doc. RNDr. Daiel Ševčovič, CSc. [8] [9] [] 4
Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότερα3. prednáška. Komplexné čísla
3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότεραPríklady na precvičovanie Fourierove rady
Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότεραPríklady na precvičovanie číselné rady a kritériá ich konvergencie a divergencie
Príklady a precvičovaie číselé rady a kritériá ich kovergecie a divergecie Ústredým problémom teórie reálych číselých radov je vyšetrovaie ich kovergecie, resp divergecie Ak {a } = je daá postuposť reálych
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραPrednáška Fourierove rady. Matematická analýza pre fyzikov IV. Jozef Kise lák
Prednáška 6 6.1. Fourierove rady Základná myšlienka: Nech x Haφ 1,φ 2,...,φ n,... je ortonormálny systém v H, dá sa tento prvok rozvinút do radu x=c 1 φ 1 + c 2 φ 2 +...,c n φ n +...? Ako nájdeme c i,
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραPolynómy, algebraické rovnice, korene a rozklad racionálnej funkcie. priesvitka 1
Polyómy, algebraické rovice, koree a rozklad racioálej fukcie priesvitka Polyómy Defiícia: Polyóm -tého stupňa premeej x (komplexej) je defiovaý vzťahom k P( x) = a0 + ax+ ax +... + ax = akx kde a0, a,...,
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραRegresná analýza x, x,..., x
Regresá aalýza Základé pojmy Regresá aalýza skúma fukčý vzťah (priebeh závislosti), podľa ktorého sa meí závisle premeá Y pri zmeách ezávislých veličí x, x,..., x k. x = ( x, x,..., x ) i i i i T Y = (Y,
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY FOURIEROVE RADY - PRÍKLADY BAKALÁRSKA PRÁCA 2012 Marti TEFÁNIK UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότεραpriradí skalár ( αβ, ) C sa nazýva skalárny súčin vtedy a len vtedy, ak platia tieto 4 axiómy:,
2. predáška lieára algebra II 2. predáška Lieára algebra II skaláry súči, orma, metrika, ortogoálosť, ortoormálosť, ortogoály doplok, lieáre operátory, maticová reprezetácia, hodosť a defekt operátorov
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότεραPríklady na precvičovanie komplexné čísla, postupnosti a funkcie
Príklady a precvičovaie komplexé čísla, postuposti a fukcie Príklad 1 Vypočítajte: Riešeé príklady a) 1 + i 1 i 1 i 1 + i, b) 1 + i)6, c) 1 + i Riešeie: a) Elemetárym vypočtom dostaeme 1 + i 1 i 1 i 1
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότεραIntegrovanie racionálnych funkcií
Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότεραUniverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCA
Uiverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikálí fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCA Vladislav Gajdošík Kozistecia a asymptotická reprezetácia odhadu LWS Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Vedúci diplomovej
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότερα1 Koeficient kovariancie
Koreláciou rozumieme vzájomý lieáry vz tah závislos t) dvoch áhodých premeých X a Y 1. Teto vz tah môˇze by t priamy tj. s rastúcimi hodotami jedej premeej rastú hodoty druhej premeej a aopak alebo epriamy
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické substitúcie
Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότεραPREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
Διαβάστε περισσότεραAnalýza vlastností funkcií mierky a waveletov v ortogonálnom prípade. - funkcia mierky a wavelet spĺňajúca relácie zmeny rozlíšenia
Aalýza vlastostí fucií miery a waveletov v ortogoálom prípade Ozačeie: ϕ ( t), ψ ( t) - fucia miery a wavelet spĺňajúca relácie zmey rozlíšeia h ( ), g ( ) - zjedodušeé ozačeie oeficietov pre zmeu rozlíšeia
Διαβάστε περισσότεραAlgebraické štruktúry I algebraické štruktúry, grupa, základné vlastnosti grupy, morfizmy
6. kapitola Algebraické štruktúry I algebraické štruktúry, grupa, základé vlastosti grupy, morfizmy 6. Biáre operácie Jede z častých prístupov v matematike je kombiovať elemety možiy, pričom sa požadujú
Διαβάστε περισσότεραSpojitosť a limity trochu inak
Spojitosť a limity trochu inak Štefan Tkačik Abstrakt Spojitosť funkcie alebo oblastí je základným stavebným kameňom matematickej analýzy. Pochopenie jej podstaty uľahčí chápanie diferenciálneho a integrálneho
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότεραLimita postupnosti II.
JKPo09-T List Limita postuposti II. Mgr. Jaa Králiková U: Pojem ity by si už mal pozať. Teraz si zopakujeme a rozšírime aše pozatky. Ž: Ak máme daú postuposť {a } =, ktorej hodoty sa blížia k ejakému číslu
Διαβάστε περισσότερα,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,
Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE
Διαβάστε περισσότεραKatedra informatiky Fakulty matematiky, fyziky a informatiky Univerzity Komenského v Bratislave ÚVOD DO DISKRÉTNYCH ŠTRUKTÚR.
Katedra iformatiky Fakulty matematiky, fyziky a iformatiky Uiverzity Komeského v ratislave ÚVOD DO DISKRÉTNYCH ŠTRUKTÚR Eduard Toma RTISLV 008 OSH EDURD TOMN OSH PREDHOVOR 4 PREHĽD OZNČENÍ 5 ZÁKLDY MTEMTICKEJ
Διαβάστε περισσότεραReálna funkcia reálnej premennej
(ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od
Διαβάστε περισσότεραSignály operácie (OPAKOVANIE) Základné operácie: +, -, *, /,,, urychlenie, spomalenie, posun signalov, otočenie signálov... Pokročilé operácie
Sigály operácie (OPKOVNIE) Základé operácie: +, -, *, /,,, urychleie, spomaleie, posu sigalov, oočeie sigálov... Pokročilé operácie Operácia Vysledok SN sigály DN sigály Skaláry Čislo súči ,, Korelácia,
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότεραMetodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Základné pojmy a vzťahy Základné neurčité integrály Cvičenia Výsledky... 11
Obsah Neurčitý integrál 7. Základné pojmy a vzťahy.................................. 7.. Základné neurčité integrály............................. 9.. Cvičenia..........................................3
Διαβάστε περισσότερα6. Mocniny a odmocniny
6 Moci odoci Číslo zýve oceec (leo zákld oci), s zýv ociteľ (leo epoet) Číslo s zýv -tá oci čísl Moci s piodzeý epoeto pe ľuovoľé eále číslo pe kždé piodzeé číslo je v ožie eálch čísel defiová -tá oci
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Διαβάστε περισσότεραChí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky
Chí kvadrát test dobrej zhody Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Test dobrej zhody I. Chceme overiť, či naše dáta pochádzajú z konkrétneho pravdep.
Διαβάστε περισσότεραPravdepodobnosť a štatistika
Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice Pravdepodobosť a štatistika pozámky z predášok letého semestra predmetu Pravdepodobosť a štatistika predáša: RDr. Valéria Skřiváková, CSc. Verzia. júla 003 : Zostavil
Διαβάστε περισσότεραLimity okolo nás. T (konečná) = 0, U (konečná) = mgr, max. max
Obsh Obsh Úvod 6 Limit okolo ás 7 Limit fukcie Limit rcioálch fukcií Limit ircioálch fukcií 8 5 Limit goiometrických cklometrických fukcií 5 6 Limit epoeciálch logritmických fukcií 7 Limit hperbolických
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Διαβάστε περισσότεραPravdepodobnosť a štatistika
Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice Pravdepodobosť a štatistika ( pozámky z predášok letého semestra predmetu Pravdepodobosť a štatistika predáša: RNDr. Valéria Skřiváková, CSc. Verzia. júla 003 : Zostavil
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II. Zbierka riešených a neriešených úloh
Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II Zbierka riešených a neriešených úloh Anna Grinčová Jana Petrillová Košice 06 Technická univerzita v Košiciach Fakulta
Διαβάστε περισσότεραDeliteľnosť a znaky deliteľnosti
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a
Διαβάστε περισσότεραDefinícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.
Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [
Διαβάστε περισσότεραGramatická indukcia a jej využitie
a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)
Διαβάστε περισσότεραKATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita
132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:
Διαβάστε περισσότεραDerivácia funkcie. Pravidlá derivovania výrazov obsahujúcich operácie. Derivácie elementárnych funkcií
Derivácia funkcie Derivácia funkcie je jeden z najužitočnejších nástrojov, ktoré používame v matematike a jej aplikáciách v ďalších odboroch. Stručne zhrnieme základné informácie o deriváciách. Podrobnejšie
Διαβάστε περισσότεραPostupnosti. Definícia :
Postuposti Defiícia : Postuposť je fukcia, ktorej defiičým oborom je možia všetkých prirodzeých čísel alebo jej podmožia typu { 1,,3... k }. Postuposť defiovaú a možie všetkých prirodzeých čísel, azývame
Διαβάστε περισσότεραVektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich
Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:
Διαβάστε περισσότεραVLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b
VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený
Διαβάστε περισσότεραObyčajné diferenciálne rovnice
(ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICKÁ ANALÝZA 1
UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH Prírodovedecká fakulta Ústav matematických vied Božena Mihalíková, Ján Ohriska MATEMATICKÁ ANALÝZA Vysokoškolský učebný text Košice, 202 202 doc. RNDr. Božena
Διαβάστε περισσότεραZložené funkcie a substitúcia
3. kapitola Zložené funkcie a substitúcia Doteraz sme sa pri funkciách stretli len so závislosťami medzi dvoma premennými. Napríklad vzťah y=x 2 nám hovoril, ako závisí premenná y od premennej x. V praxi
Διαβάστε περισσότερα1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2
1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2 Rozdiel LMT medzi dvoma miestami sa rovná rozdielu ich zemepisných dĺžok. Pre prevod miestnych časov platí, že
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA II ZBIERKA ÚLOH
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STAVEBNÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATIKY A DESKRIPTÍVNEJ GEOMETRIE RNDr. Pavol PURCZ, PhD. RNDr. Martina RÉVAYOVÁ MATEMATIKA II ZBIERKA ÚLOH KOŠICE 6 Copyright c 6, RNDr. Pavol
Διαβάστε περισσότερα23. Zhodné zobrazenia
23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:
Διαβάστε περισσότεραPríklady k Matematike 1
Príklady k Matematike 1 1. Definícia derivácie 1. Nájdite deriváciu y = + 1) 2 tak, že prejdete od k t = + 1. 2. Zistite z definície, čomu sa rovnajú derivácie funkcií y = 3, y = 1/ 2 a y =. Návod k tretej
Διαβάστε περισσότεραLineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus
1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy matematiky I
Prednáška č. 7 Numerické metódy matematiky I Riešenie sústav lineárnych rovníc ( pokračovanie ) Prednáška č. 7 OBSAH 1. Metóda singulárneho rozkladu (SVD) Úvod SVD štvorcovej matice SVD pre menej rovníc
Διαβάστε περισσότεραÚvod 2 Predhovor... 2 Sylaby a literatúra... 2 Označenia... 2
Obsah Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Označenia Euklidovské vektorové priestory 3 Skalárny súčin 3 Gram-Schmidtov ortogonalizačný proces 8 Kvadratické formy 6 Definícia a základné vlastnosti 6 Kanonický
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium
Imrich Pokorný Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Strana 1 z 48 1 Nepresnosť numerického riešenia úloh 4 1.1 Zdroje chýb a ich klasifikácia................... 4 1.2 Základné pojmy odhadu
Διαβάστε περισσότερα2. prednáška. Teória množín I. množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin
2. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Verzia: 27. 9. 2009 Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi
Διαβάστε περισσότεραRIEŠENIE WHEATSONOVHO MOSTÍKA
SNÁ PMYSLNÁ ŠKOL LKONKÁ V PŠŤNO KOMPLXNÁ PÁ Č. / ŠN WSONOVO MOSÍK Piešťany, október 00 utor : Marek eteš. Komplexná práca č. / Strana č. / Obsah:. eoretický rozbor Wheatsonovho mostíka. eoretický rozbor
Διαβάστε περισσότερα4 Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti
Reálna unkcia reálnej premennej a jej vlastnosti Táto kapitola je venovaná štúdiu reálnej unkcie jednej reálnej premennej. Pojem unkcie patrí medzi základné pojmy v matematike. Je to vlastne matematický
Διαβάστε περισσότερα16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh
16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh Kružnica k so stredom S a polomerom r nazývame množinou všetkých bodov X v rovine, ktoré majú od pevného bodu S konštantnú vzdialenosť /SX/ = r, kde r (patri)
Διαβάστε περισσότεραŽivot vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R
Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R Ako nadprirodzené stretnutie s murárikom červenokrídlym naformátovalo môj profesijný i súkromný život... Osudové stretnutie s murárikom
Διαβάστε περισσότεραPlanárne a rovinné grafy
Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Planárne a rovinné grafy Definícia
Διαβάστε περισσότεραSúčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =.
Súčtové vzorce Súčtové vzorce sú goniometrické hodnoty súčtov a rozdielov dvoch uhlov Sem patria aj goniometrické hodnoty dvojnásobného a polovičného uhla a pridám aj súčet a rozdiel goniometrických funkcií
Διαβάστε περισσότεραCieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie,
Kapitola Riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie, keď charakteritická rovnica má rôzne
Διαβάστε περισσότεραTeória pravdepodobnosti
2. Podmienená pravdepodobnosť Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 23. februára 2015 1 Pojem podmienenej pravdepodobnosti 2 Nezávislosť náhodných udalostí
Διαβάστε περισσότεραPRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm
PRUŽINY PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY VIAC AKO 200 RUHOV SKRUTNÝCH PRUŽÍN PRIEMER ROTU d = 0,4-6,3 mm èíslo 3.0 22.8.2008 8:28:57 22.8.2008 8:28:58 PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY TECHNICKÉ PARAMETRE h d L S Legenda
Διαβάστε περισσότεραMetódy vol nej optimalizácie
Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/28 Motivácia k metódam vol nej optimalizácie APLIKÁCIE p. 2/28 II 1. PRÍKLAD: Lineárna regresia - metóda najmenších štvorcov Na základe dostupných
Διαβάστε περισσότεραRozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti rozvodu tepla
Rozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti príloha č. 7 k vyhláške č. 428/2010 Názov prevádzkovateľa verejného : Spravbytkomfort a.s. Prešov Adresa: IČO: Volgogradská 88, 080 01 Prešov 31718523
Διαβάστε περισσότεραNUMERICKÁ MATEMATIKA. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Fakulta elektrotechniky a informatiky
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ NUMERICKÁ MATEMATIKA Fakulta elektrotechniky a informatiky Štefan Berežný Táto publikácia vznikla za finančnej podpory
Διαβάστε περισσότεραFunkcie - základné pojmy
Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny
Διαβάστε περισσότεραKATEDRA INFORMATIKY FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITA KOMENSKÉHO, BRATISLAVA FOURIEROVA TRANSFORMÁCIA
KATEDRA INFORMATIKY FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITA KOMENSKÉHO, BRATISLAVA FOURIEROVA TRANSFORMÁCIA A JEJ POUŽITIE (bakalárska práca) PETER PEREŠÍNI Vedúci: RNDr. Michal Forišek Bratislava,
Διαβάστε περισσότερα22 Špeciálne substitúcie, postupy a vzorce používané pri výpočte
Špeciálne substitúcie, postupy vzorce používné pri výpočte niektorých ďlších typov neurčitých integrálov. Pomocou vhodnej substitúcie tvru t = n + b (potom = tn b, = n tn dt) vypočítjte neurčitý integrál
Διαβάστε περισσότερα3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Διαβάστε περισσότεραDIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c)
Prírodovedecká fakulta Univerzity P. J. Šafárika v Košiciach Božena Mihalíková, Ivan Mojsej Strana 1 z 43 DIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c) 1 Obyčajné diferenciálne rovnice 3 1.1 Úlohy
Διαβάστε περισσότερα2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania
2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania Akej chyby sa môžeme dopustiť pri meraní na stopkách? Ako určíme ich presnosť? Základné pojmy: chyba merania, hrubé chyby, systematické chyby, náhodné
Διαβάστε περισσότεραC. Kontaktný fasádny zatepľovací systém
C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém C.1. Tepelná izolácia penový polystyrén C.2. Tepelná izolácia minerálne dosky alebo lamely C.3. Tepelná izolácia extrudovaný polystyrén C.4. Tepelná izolácia penový
Διαβάστε περισσότερα