priradí skalár ( αβ, ) C sa nazýva skalárny súčin vtedy a len vtedy, ak platia tieto 4 axiómy:,

Transcript

1 2. predáška lieára algebra II 2. predáška Lieára algebra II skaláry súči, orma, metrika, ortogoálosť, ortoormálosť, ortogoály doplok, lieáre operátory, maticová reprezetácia, hodosť a defekt operátorov 2. Skaláry súči Defiícia 2.. Biára operácia, ktorá dvom vektorom α, H priradí skalár ( α, ) C sa azýva skaláry súči vtedy a le vtedy, ak platia tieto 4 axiómy: () ( α, ) = ( α, ), (2) ( α,a ) = a ( α, ), (3) ( α, + 2) = ( α, ) + ( α, 2), (4) ( αα, ) 0 ( = 0le pre α= o). Z axióm a 2 plyie ( a, ) (,a ) α = α = a ( α, ) = a ( α, ) Podobe, z axióm a 3 dostaeme α+α 2, =α+α, 2 =α, +α, 2 =α+α, 2, Skaláry súči ľubovolého vektora α H s ulovým vektorom o je ula α,o = α, 0 = 0 α, = 0 Ak v lieárom priestore H je defiovaý skaláry súči, potom H sa azýva uitáry priestor. V tomto bode sa dostávame do kotaktu aj s teóriou Hilbertových priestorov, Hilbertov priestor koečej dimezie je totožý s uitárym priestorom. Preváža väčšia ašich úvah o kvatovom počítaí je založeá a koečo-rozmerom Hilbertovom priestore, preto vystačíme s teóriou koečo-rozmerých uitárych priestorov. Veta 2.. Nech H ( a,a,...,a ) α= 2, kde i je lieáry priestor realizovaý C, potom pre každý vektor a C. Biára operácia pre vektory α a = ( b,b,...,b ) i= vyhovuje axiómam skaláreho súčiu z defiície 2.. i i 2 α, = ab (2.) Dôkaz vety 2. je uskutočeý v príklade 2.. Pre uitáre priestory je potrebé zovšeobeciť defiíciu.6 izomorfizmu. Nech H a G sú dva uitáre priestory v ktorých sú defiovaé skaláre súčiy (, ii,. ) H ii resp. G (verzia )

2 2. predáška lieára algebra II Pôvodá defiícia izormorfizmu.6 je pre uitáre priestory rozšíreá pomocou asledujúcej defiície. Defiícia 2.2. Uitáre priestory H a G sa azývajú izomorfé ( H G) vtedy a le vtedy, ak existuje také - začé zobrazeie f:h G, ktoré zachováva lieáru kombiáciu vektorov a skaláry súči f aα+ a α = a f α + a f α (2.2a) ( 2 2) 2 ( 2) (, ) f,f H α = α (2.2b) Pomocou skaláreho súčiu môžeme defiovať ormu (dĺžku) vektora α takto Veta 2.2. Pre ormu platí Schwartzova erovosť G α = ( α, α ) (2.3) ( α, ) α (2.4) Veta 2.2 je dokázaá v príklade 2.2. Pomocou ormy môžeme defiovať aj vzdialeosť (metriku) medzi dvoma vektormi α a b d ( α, ) = α (2.5) Niektoré základé vlastosti ormy a vzdialeosti sú dokázaé v príklade 2.3 resp Defiícia 2.3. Vektor α H sa azýva ormalizovaý (ormovaý) vtedy a le vtedy, ak α = Defiícia 2.4. Dva vektory α, H sa azývajú ortogoále (čo zapisujeme α ) vtedy a le vtedy, ak ich skaláry súči je ulový α α, = 0 Relácia ortogoálosti je symetrická ale ie je trazitíva. Možia vektorov z B = {, 2,..., } H sa azýva ortogoála, ak pre každú dvojice rôzych vektorov z B platí, = (pre i, j = 2,,..., a i j ) (2.6) Ak možia { } ( i j) 0 B =, 2,..., H obsahuje vektory, ktoré sú súčase ormalizovaé a aj ortogoále, potom táto možia sa azýva ortoormála ( ak i = j) ( i, j) =δ ij = (2.7) 0 ( ak i j) Veta 2.3. Ak možia { } tieto vektory sú lieáre ezávislé. B =,,..., H obsahuje eulové ortogoála vektory, potom 2 Táto veta je dokázaá v príklade 2.6. Z vlastosti dokazovaej v príklade 2.6 vyplýva, že ak priestor H je -rozmerý, potom existuje maximále ortogoálych eulových vektorov. V lieárej algebre existuje koštruktívy dôkaz (azývaý Schmidtov ortogoalizačý 2 (verzia )

3 2. predáška lieára algebra II proces) skutočosti, že v každom -rozmerom lieármom priestore H s defiovaým B =,,..., H. skalárym súčiom, existuje ortoormála báza orthoorm { 2 } Nech { } B =, 2,..., H je báza -rozmerého lieáreho priestoru H v ktrom je defiovaý skaláry súči. Schmidtov ortogoalizačý proces je špecifikovaý rekuretým spôsobom takto:. krok. =. 2. krok. 2 = a +, kde koeficiet 2 a je určeý podmiekou krok. 3 = a + a 2 2 +, kde koeficiety 3 a,a sú určeé podmiekami 2 3 a 3 2. Teto postup opakujeme tak dlho až vyčerpáme všetky vektory z možiy B. Nech H H je lieáry podpriestor uitáreho priestoru H. Symbol H reprezetuje takú možiu vektorov, azývaú ortogoály doplok k podpriestoru H, ktoré sú ortogoále k vektorom z podpriestora H H = α H; H α, = (2.8) Veta 2.4. () Ak H { } 0 H je lieáry podpriestor, potom aj jeho ortogoály doplok H taktiež lieáry podpriestor. (2) Uitáry priestor je možé vyjadriť ako priamu sumu podpriestoru H ortogoáleho doplku H H H je H a jeho H = H H (2.9) Pre ortogoále doplky uitáreho priestoru H platia tieto vzťahy: () Nech H H je lieáry podpriestor, potom ( H ) = H (2.0a) (2) Ortogoály komplemet uitáreho priestoru H je H o o = H (2.0b) = { }, {} 2.2 Lieáre operátory Pojem operátora patrí v matematickej teórie kvatovej mechaiky medzi cetrále pojmy, každá pozorovateľá (alebo merateľá) veličia je v kvatovej mechaike vyjadreá pomocou operátora zobrazeia lieáreho priestoru a seba. Defiícia 2.5. Hovoríme, že ad lieárym priestorom H je defiovaý lieáry operátor A: H H vtedy a le vtedy, ak pre každé α H existuje práve jede vektor H taký, že = Aα, pričom je spleá podmieka A aα + a α = a Aα + a Aα (verzia )

4 2. predáška lieára algebra II Nech v -rozmerom lieárom priestore H existuje ortoormála báza B {,,..., } = 2, pomocou ktorej zavedieme maticovú reprezetáciu operátora. Pretože A i H, potom vektor A môžeme vyjadriť pomocou lieárej kombiácie vektorov ortoormálej báze i A = A (2.a) i ji j Ak vyásobíme skaláre túto rovicu zľava vektorom k, po jedoduchých úpravách dostaeme,a = A (2.b) Matica = ( A ij ) k i ki A sa azýva maticová reprezetácia operátora A v báze B {,,..., } maticové elemety sú určeé vzťahom (2.b). =, jej 2 Môžeme si položiť otázku, ako sa zmeí maticová reprezetácia operátora A pri prechode od B,,..., B =,,...,. Pretože H ortoormálej báze = { 2 } k iej ortoormálej báze { 2 } je -rozmerý uitáry priestor, každý vektor báze B {, 2,..., } pomocou lieárej kombiácie vektorov z pôvodej bázy B = {,,..., } Pretože matica = ( T ij ) i ji j = môže byť vyjadreý 2 = T (2.2a) T popisuje prechod od pôvodej ortoormálej báze k ovej ortoormálej báze, musí byť regulára, t. j. existuje iverzá matica T, ktorá vyhovuje podmiekam T T = TT = E. Potom platí aj iverzá formula k (.23a) i = T ji j (2.2b) Nech maticová reprezetácia operátora A v bázy B {,,..., } i ji j = má tvar 2 A = B (2.3a) kde maticové elemety reprezetácie sú určeé formulou ( k,a i) = Bki (2.4b) Jedoduchými úvahami je možé dokázať, že medzi týmito dvoma maticovými reprezetáciami operátora A existuje vzťah vyjadreí pomocou trasformácie podobosti alebo pomocou matíc ij ik kl lj k,l= B = T A T (2.5a) B = T AT (2.5b) Pomocou maticovej reprezetácie operátorov zavedieme defiície stopy a determiatu operátora A. Pripomeňme, že tieto veličiy sú defiovaé v algebre le pre štvorcové matice, ich maticová reprezetácia umožňuje ich defiíciu aj pre operátory, aby táto defiícioa mala zmysel, musíme ukázať, že tak stopa, ako aj determiat sú ezávislé od ich maticovej reprezetácie. 4 (verzia )

5 2. predáška lieára algebra II Nech lieáry operátor A v báze B {,,..., } potom stopa operátora A je defiovaá pomocou stopy matice A = 2 je reprezetovaá maticou = ( A ij ) = = i= ii A, Tr A Tr A A (2.6) Stopa súčiu dvoch štvorcovým je ezávislá od ich poradia Tr ( AB) = Tr ( BA ) (2.7) Predpokladajme, že maticová reprezetácia operátora A pri prechode z pôvodej báze B = {, 2,..., } do ovej báze B = {, 2,..., } sa zmeí podľa formule trasformácie podobosti (2.5b), jej stopa je Tr ( B) = Tr ( T AT) = Tr TT A = Tr ( A ) (2.8) E Týmto sme dokázali, že stopa maticovej reprezetácie operátora je ezávislá od zvoleej báze, pre každú bázu dostaeme rovakú stopu maticovej reprezetácie daého operátora A. Podobým spôsobom pomocou maticovej reprezetácie môžeme defiovať aj determiat operátora A det det A = A (2.9) Determiat súčiu dvoch matíc sa rová súčiu ich determiatov det ( AB) = det ( A) det ( B ) (2.20) Pomocou tejto vlastosti determiatov taktiež dokážeme, že determiaty maticových reprezetácií toho istého operátora sú avzájom rové det ( B) = det ( T AT) = det ( T ) det ( T) det ( A) = det ( A) (2.2) V lieárej algebre medzi dôležité špecifikácie matíc patrí patria dve komplemetáre celočíselé charakteristiky matíc, hodosť a defekt matice. Ich komplemetárosť spočíva v tom, že ich suma sa pre štvorcové matice rová dimezii matice (počtu riadkov/stĺpcov matice). Nech A je lieáry operátor defiovaý ad -rozmerým priestorom H, defiujme si možiu jeho fukčých hodôt im A = H ; α H : = Aα H (2.22) { } Defiícia 2.6. Prirodzeé číslo r(a) sa azýva hodosť operátora A vtedy a le vtedy, ak sa rová dimezii podpriestoru im(a) r(a)=dim(im(a)). Celočíselá veličia azývaá defekt operátora A je defiovaá pomocou jadra oprátora ker ( A) = { α H ; Aα = o} H (2.23) Táto možia vektorov obsahuje tie vektory z H, ktoré sú zobrazeé a ulový vektor. Defiícia 2.7. Prirodzeé číslo d(a) sa azýva defekt operátora A vtedy a le vtedy, ak sa rová dimezii podpriestoru ker(a) r(a)=dim(ker(a)). Podpriestory im(a) a ker(a) ie sú ezávislé, ich komplemetáry charakter spočíva v tom, že ich priama suma sa rová priestoru H ad ktorým je defiovaý operátor A im A ker A = H (2.24a) 5 (verzia )

6 2. predáška lieára algebra II Potom taktiež aj hodosť a defekt majú komplemetárych charakter r( A) + d( A) = dim( H) (2.24b) Pomocou defektu zobrazeia môžeme defiovať jeho --začosť takto: Nech A je lieáry operátor v priestore H, teto operátor A je - začý vtedy a le vtedy, ak sa jeho hodosť rová dimezii H r( A) = dim( H) (2.25) V prvej časti tejto predášky sme defiovali maticovú reprezetáciu A lieáreho operátora A pomocou ortoormálej bázy. Hodosť operátora A sa rová hodosti jeho maticovej reprezetácie A v ľubovolej ortogoálej bázy B, čo formále zapíšeme takto B:r A = r A (2.26) Príklady Príklad 2.. Vykoajte dôkaz vety 2.. Príklad 2.2. Dokážte Schwartzovu erovosť (2.4). Príklad 2.3. Dokážte tieto vlastosti ormy: () α 0 ( = 0le pre α= o), (2) α+ α+ (trojuholíková erovosť, rovosť platí le pre = aα), (3) aα= a α Návod: Trojuholíková erovosť sa dokáže pomocou Schwartzovej erovosti (2.4). Príklad 2.4. Dokážte tieto vlastosti vzdialeosti: d α, 0 = 0le preα=, () (2) d ( α, ) = d ( α, ), (3) d ( α, ) d ( αγ, ) + d ( γ, ) (trojuholíková erovosť). Návod: Trojuholíková erovosť pre vzdialeosť sa dokáže pomocou trojuholíkovej erovosti pre ormu z príkladu 2.3. Príklad 2.5. Nech { } B =, 2,... H je možia ormovaých vektorov z -rozmerého lieáreho priestoru a ech existuje také e > 0, že pre každé α, B, α, platí α e. Obsahuje možia B koečý počet vektorov? Návod: Z trojuholíkovej erovosti (príklad.5) vyplýva, že ak pre dva ormalizovaé vektory α, B platí α e, potom sú lieáre ezávislé. Príklad 2.6. Dokážte vetu 2.3. Príklad 2.7. Nech { ( 0) 2 ( 0 ) 3 ( 2 ) } B = =,,, =,,, =,, H je báza v 3-rozmerom lieárom priestore H, použitím Schmidtovho ortogoalizačého procesu zostrojte z tejto B =,, H. bázy ortoormálu bázu orthoorm { 2 3} 6 (verzia )

7 2. predáška lieára algebra II Príklad 2.8. Dokážte vetu 2.4. Príklad 2.9. Dokáže formule (2.0). Príklad 2.0. Dokážte rovosť (2.7). Príklad 2.. Dokážte, že možia im(a) je podpriestor lieáreho operátora H. Príklad 2.2. Dokážte, že možia ker(a) je podpriestor lieáreho operátora H. Príklad 2.3. Dokážte (2.24a), priama suma podpriestoru fumkčých hodôt a jadra operátora sa rová priestoru H. Príklad 2.4. Dokážte, že formula (2.25) je utou a postačujúcou podmiekou k tomu, aby operátor A bol - začý. 7 (verzia )