NUMERICKÁ MATEMATIKA. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Fakulta elektrotechniky a informatiky
|
|
- Θεοδοσία Παπαστεφάνου
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ NUMERICKÁ MATEMATIKA Fakulta elektrotechniky a informatiky Štefan Berežný
2 Táto publikácia vznikla za finančnej podpory z Európskeho sociálneho fondu v rámci Operačného programu VZDELÁVANIE. Prioritná os 1 Reforma vzdelávania a odbornej prípravy Opatrenie 1.2 Vysoké školy a výskum a vývoj ako motory rozvoja vedomostnej spoločnosti. Názov projektu: Balík inovatívnych prvkov pre reformu vzdelávania na TUKE Autor: Štefan Berežný ISBN: Rukopis neprešiel jazykovou úpravou. Za odbornú a obsahovú stránku zodpovedá autor.
3 Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ NUMERICKÁ MATEMATIKA Fakulta elektrotechniky a informatiky Štefan Berežný
4 Numerická matematika Prvé vydanie Autor: c RNDr. Štefan BEREŽNÝ, PhD., 2012 Recenzovali: Vydavateľ: prof. RNDr. Jozef DŽURINA, CSc. RNDr. Ján BUŠA, CSc. Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky ISBN: Za odbornú a jazykovú stránku tejto vysokoškolskej učebnice zodpovedajú autori. Rukopis neprešiel redakčnou ani jazykovou úpravou.
5 4 Predhovor Tento učebný text obsahuje prehľadnú teóriu, riešené príklady a neriešené úlohy k učivu preberanému v predmete Numerická matematika pre externých študentov bakalárskeho štúdia odboru aplikovaná informatika na Fakulte elektrotechniky a informatiky Technickej univerzity v Košiciach. Učebnica je rozdelená do piatich kapitol. Každá kapitola je rozdelená na podkapitoly podľa jednotlivých oblastí. V závere každej kapitoly sú podkapitoly riešených úloh, neriešených úloh a výsledky k nim. Táto učebnica numerickej matematiky je elektronickou verziou tlačenej učebnice Numerická matematika. Tlačená verzia má obmedzený počet strán, čomu zodpovedá aj rozsah a forma prezentovanej teórie a riešených príkladov. Táto učebnica obsahuje aj obrázky k teórii aj k príkladom, rozšírený komentár a súbory neriešených úloh aj s výsledkami. Okrem numerickej matematiky sú v tejto učebnici doplnené aj teória a príklady o základné informácie z matematickej analýzy a lineárnej algebry, keďže si to vyžaduje študijný odbor Aplikovaná informatika. Táto učebnica je k dispozícii na CD a na web stránke KMTI FEI TUKE a v systéme Moodle, ktorý je spravovaný na FEI TUKE. Košice 31. augusta 2012 Autor
6 5 Zoznam skratiek a symbolov SLR sústava lineárnyh algebraických rovníc HSLR homogénna sústava lineárnych algebraických rovníc N množina prirodzených čísel Z množina celých čísel Q množina racionálnych čísel R množina reálnych čísel C množina komplexných čísel D(f) definičný obor funkcie f H(f) obor hodnôt funkcie f det(a) determinant matice A h(a) hodnosť matice A A transponovaná matica k matici A v vektor Ω(S) množina riešení SLR S
7 ZOZNAM OBRÁZKOV 6 Zoznam obrázkov 1 Konštantná funkcia Lineárna funkcia Kvadratická funkcia Odmocninová funkcia Exponenciálna funkcia Logaritmická funkcia Goniometrická funkcia: sin x Goniometrická funkcia: cos x Goniometrická funkcia: tg x Goniometrická funkcia: cotg x
8 7 ZOZNAM TABULIEK Zoznam tabuliek 1 Tabuľka pre metódu bisekcie Riešenie rovnice metódu bisekcie Riešenie rovnice Newtonovou metódu Riešenie rovnice iteračnou metódu Lichobežníková metóda Riešenie SLR Jacobiho iteračnou metódu
9 OBSAH 8 Obsah Predhovor 4 Zoznam skratiek a symbolov 5 Zoznam obrázkov 6 Zoznam tabuliek 7 Obsah 9 1 Reálna funkcia jednej reálnej premennej Množina reálnych čísel a ďalšie číselné množiny Reálna funkcia jednej reálnej premennej Limita funkcie Derivácia funkcie Riešené príklady Neriešené úlohy Výsledky neriešených úloh Riešenie algebraických rovníc s jednou reálnou neznámou Separácia koreňov Metóda bisekcie Metóda prostej iterácie Newtonova metóda Riešené príklady Neriešené úlohy Výsledky neriešených úloh Aproximácia funkcie Interpolácia Metóda najmenších štvorcov Riešené príklady Neriešené úlohy Výsledky neriešených úloh
10 9 OBSAH 4 Výpočet určitého integrálu Primitívna funkcia Určitý integrál Numerické metódy výpočtu určitého integrálu Riešené príklady Neriešené úlohy Výsledky neriešených úloh Lineárna algebra Vektorový priestor Matice Determinanty Sústavy lineárnych rovníc Numerické riešenie sústav lineárnych rovníc Riešené príklady Neriešené úlohy Výsledky neriešených úloh Register 118 Literatúra 118
11 1 REÁLNA FUNKCIA JEDNEJ REÁLNEJ PREMENNEJ 10 1 Reálna funkcia jednej reálnej premennej 1.1 Množina reálnych čísel a ďalšie číselné množiny Prirodzené čísla 1, 2, 3, 4, 5,... sú čísla, ktorými vyjadrujeme počet. Množinu prirodzených čísel budeme označovať písmenom N. Pre prirodzené čísla platí princíp úplnej matematickej indukcie. Ak N je nejaká množina prirodzených čísel, ktorá obsahuje číslo 1 a ktorá s každým prirodzeným číslom n obsahuje aj číslo n + 1, potom množina N obsahuje všetky prirodzené čísla, t. j. N=N. Celé čísla dostaneme rozšírením množiny prirodzených čísel N o číslo 0 (nula) a o čísla 1, 2, 3,.... Množinu celých čísel označíme písmenom Z. Prirodzené čísla N sa nazývajú kladné celé čísla a čísla 1, 2, 3,... sa nazývajú záporné celé čísla. Racionálne čísla dostaneme rozšírením celých čísel o zlomky, t. j. o čísla v tvare a, kde a a b sú celé čísla, b 0. Platí, že a = c práve vtedy, ak b b d platí a d = c b. Množinu racionálnych čísel budeme označovať písmenom Q. Usporiadanie racionálnych čísel je husté, t.j. medzi každými dvoma rôznymi racionálnymi číslami leží nekonečne veľa racionálnych čísel, ale toto husté usporiadanie má medzery, t. j. existuje rozklad množiny racionálnych čísel na dve také neprázdne podmnožiny A a B, že platí: (1) A B je množina všetkých racionálnych čísel (2) pre každé číslo a A a pre každé číslo b B platí a < b (3) množina A nemá najväčší prvok a množina B nemá najmenší prvok. Takýmto rozkladom môžu byť napríklad množiny B = {b Q + : b 2 > 2} a A = Q B. Ak vyplníme tieto medzery medzi racionálnymi číslami novými číslami tzv. iracionálnymi číslami, potom dostaneme reálne čísla, ktoré označíme písmenom R. Definícia Ak reálne číslo a je kladné, potom píšeme a > 0. Hovoríme, že číslo a je menšie ako číslo b, ak b a > 0 a píšeme a < b. Ak reálne číslo a je záporné, potom píšeme a < 0. Hovoríme, že číslo a je väčšie ako číslo b, ak a b > 0 a píšeme a > b. Zápis a b znamená, že a < b alebo a = b. Analogicky chápeme aj zápis a b. Veta Množina reálnych čísel je usporiadaná vzhľadom na reláciu <. Toto usporiadanie má nasledujúce vlastnosti: (1) Pre každé dve reálne čísla a a b nastane práve jedna z možností: a < b alebo a > b alebo a = b.
12 Množina reálnych čísel a ďalšie číselné množiny (2) Pre každé a, b, c R: a < b b < c a < c. (3) Pre každé a, b, c, d R: a < b c d a + c < b + d. (4) Pre každé a, b, c R: a < b c > 0 ac < bc. (5) Pre každé a, b, c R: a < b c < 0 ac > bc. Veta Reálne čísla môžme sčítavať, odčítavať, násobiť a deliť. Pre tieto binárne operácie platia nasledujúce pravidlá (predpokladáme, že a, b, c R): (1) asociatívny zákon pre sčítanie: (a + b) + c = a + (b + c), (2) komutatívny zákon pre sčítanie: a + b = b + a, (3) asociatívny zákon pre násobenie: (a b) c = a (b c), (4) komutatívny zákon pre násobenie: a b = b a, (5) distributívny zákon: (a + b) c = a c + b c a (b + c) = a b + a c. (6) Pre každé a platí: a + 0 = a. (7) Pre každé a platí: a 1 = a. (8) Ku každému číslu a existuje také číslo a, že platí: a + ( a) = 0. (9) Ku každému číslu a 0 existuje také číslo a 1 R: a a 1 = 1. Veta Každé racionálne číslo q Q môžme napísať v tvare q = a b, kde a Z a b N. Veta Každé iracionálne čísla r R Q môžme vyjadriť nekonečným neperiodickým desatinným zápisom. Racionálne čísla q Q môžme vyjadriť konečným zlomkom alebo nekonečným periodickým desatinným zápisom. Veta Racionálne čísla môžme usporiadať takto: Ak q, r Q, q = a a r = c, kde a, c Z a b, d N, potom platí: b d (1) q < r, ak a d < b c, (2) q = r, ak a d = b c, (3) q > r, ak a d > b c. Definícia Reálne číslo α sa nazýva algebraické, ak je koreňom nejakej algebraickej rovnice x n +a 1 x n 1 +a 2 x n 2 +a 3 x n 3 + +a n 1 x 1 +a n = 0 s racionálnymi koeficientami a 1, a 2, a 3,..., a n. Ak číslo α nie je algebraické, tak sa nazýva transcendentné. Transcendentné sú napríklad čísla π alebo e.
13 1 REÁLNA FUNKCIA JEDNEJ REÁLNEJ PREMENNEJ 12 Definícia Množina K R reálnych čísel sa nazýva zhora ohraničená, ak existuje také reálne číslo M, že M je väčšie ako všetky čísla z množiny K. Množina K R reálnych čísel sa nazýva zdola ohraničená, ak existuje také reálne číslo m, že m je menšie ako všetky čísla z množiny K. Množina K sa nazýva ohraničená, ak je ohraničená zhora aj zdola. Nech K R. Horným ohraničením množiny K nazývame každé reálne číslo h R, pre ktoré platí: x K je x h. Nech K R. Dolným ohraničením množiny K nazývame každé reálne číslo d R, pre ktoré platí: x K je x d. Definícia Najmenšie horné ohraničenie množiny K R sa nazýva suprémum množiny K. Označíme ho sup K. Najväčšie dolné ohraničenie množiny K sa nazýva infimum množiny K. Označíme ho inf K. Veta Každá zhora ohraničená neprázdna množina reálnych čísel má suprémum. Každá zdola ohraničená neprázdna množina reálnych čísel má infimum. Na základe vyššie uvedenej vety je zrejmé, že usporiadanie reálnych čísel nemá medzery. Veta Nech K R. Maximom množiny K nazývame také reálne číslo M K, pre ktoré platí: x K je x M. Nech K R. Minimom množiny K nazývame také reálne číslo m K, pre ktoré platí: x K je x m. Ak množina K R reálnych čísel má najväčší prvok (t. j. prvok M je maximom množiny K, M = max K), potom sup K = max K. Ak množina K R reálnych čísel má najmenší prvok (t. j. prvok m je minimom množiny K, m = min K), potom inf K = min K. Veta Medzi dvomi rôznymi reálnymi číslami leží nekonečne veľa racionálnych čísel a nekonečne veľa iracionálnych čísel. Poznámka Nech je daná množina K R. Pre množinu K platí, že inf K a sup K môžu, ale nemusia patriť do danej množiny K. Vyplýva to z tvrdenia vety Poznámka (Číselná os) Reálne čísla znázorňujeme ako body na priamke. Ak zvolíme na priamke p počiatočný bod O, určitú orientáciu priamky p a jednotku dĺžky l, potom každému reálnemu číslu a prislúcha
14 Reálna funkcia jednej reálnej premennej práve jeden bod A na priamke p so súradnicou a. Naopak, každý bod na priamke p má určitú súradnicu, ktorá zodpovedá nejakému reálnemu číslu. Priamku p nazývame číselná os. Body na číselnej osi často priamo stotožňujeme s reálnymi číslami. Reálne číslo a je menšie ako reálne číslo b, ak bod a leží na číselnej osi skôr ako bod b vzhľadom na jej orientáciu (t. j. pri obvyklej orientácii číselnej osi leží bod a naľavo od bodu b). 1.2 Reálna funkcia jednej reálnej premennej Definícia Hovoríme, že na neprázdnej množine A R je definovaná funkcia f: A B, ak ku každému prvku x A je podľa nejakého pravidla f priradené jediné reálne číslo y B (označme ho f(x)). Potom premennú x nazývame nezávislou premennou a premennú y nazývame závislou premennou alebo funkčnou hodnotou. Množinu A nazývame definičný obor funkcie f a označujeme ho D(f). Množinu všetkých funkčných hodnôt f(x) nazývame oborom hodnôt funkcie f a označíme ho H(f). Funkciu f jednej reálnej premennej x zadanú predpisom f(x) zapíšeme takto: f: y = f(x). Grafom funkcie f je množina G f = {[x, y] : y = f(x); x A}. Definícia Nech funkcia f má definičný obor D(f) a nech M D(f). Ak pre každá dve čísla x 1, x 2 M také, že x 1 < x 2 a platí: (a) f(x 1 ) < f(x 2 ), tak hovoríme, že funkcia f je rastúca na množine M, (b) f(x 1 ) > f(x 2 ), tak hovoríme, že funkcia f je klesajúca na množine M, (c) f(x 1 ) f(x 2 ), tak hovoríme, že funkcia f je neklesajúca na množine M, (d) f(x 1 ) f(x 2 ), tak hovoríme, že funkcia f je nerastúca na množine M. Poznámka Ak sú funkcie rastúce, klesajúce, nerastúce alebo neklesajúce, tak takéto funkcie nazývame monotónne. Funkcie rastúce a funkcie klesajúce sa nazývajú rýdzo-monotónne funkcie. Definícia Nech je daná funkcia f s definičným oborom D(f). Nech pre všetky x D(f) je aj x D(f). Potom hovoríme, že (1) funkcia f je párna, ak pre všetky x D(f) platí: f( x) = f(x), (2) funkcia f je nepárna, ak pre všetky x D(f) platí: f( x) = f(x).
15 1 REÁLNA FUNKCIA JEDNEJ REÁLNEJ PREMENNEJ 14 Poznámka Graf párnej funkcie je symetrický podľa osi o y. Graf nepárnej funkcie je symetrický vzhľadom na začiatok súradného systému, t. j. bod O = [0, 0]. Definícia Nech funkcia f má definičný obor D(f) a nech p je kladné reálne číslo. Hovoríme, že funkcia f je periodická s periódou p, ak (1) x D(f): x + p D(f) a (2) x D(f): f(x + p) = f(x). Poznámka Najmenšie kladné reálne číslo p s uvedenými vlastnosťami sa nazýva perióda funkcie f. Definícia Nech sú dané funkcie g: z = g(x) z množina A do množiny C a h: y = f(x) z množiny C do množiny B (kde A, B a C sú podmnožiny množiny reálnych čísel). Potom funkciu F : y = F (x) = f(g(x)) z množiny A do množiny B nazývame zloženou funkciou z funkcií f a g, pričom g sa nazýva vnútorná (vedľajšia) zložka a funkcia f sa nazýva vonkajšia (hlavná) zložka zloženej funkcie F. Definícia Hovoríme, že funkcia f: y = f(x) je prostá (jednoznačná), ak pre každé x 1, x 2 D(f) také, že x 1 x 2 platí: f(x 1 ) f(x 2 ). Definícia Nech funkcia f: y = f(x) je prostá s definičným oborom D(f) a oborom hodnôt H(f). Funkciu, ktorá priradí každému reálnemu číslo y H(f) také číslo x D(f), pre ktoré platí y = f(x), nazývame inverznou funkciou k funkcii f a označujeme ju symbolom f 1. Pre inverznú funkciu f 1 k funkcii f platí: D(f 1 ) = H(f) a H(f 1 ) = D(f). Poznámka Grafy funkcií f a f 1 sú symetrické vzhľadom na priamku p: y = x. Pre všetky x D(f) platí, že f 1 (f(x)) = x a pre všetky y D(f 1 ) platí, že f(f 1 (y)) = y. Inverzná funkcia existuje len k prostej funkcii. ELEMENTÁRNE FUNKCIE Konštantná funkcia Všeobecný tvar konštantnej funkcie f je f: y = k, kde k R. Definičným oborom konštantnej funkcie je množina všetkých reálnych čísel, D(f) = R. Oborom hodnôt je jednoprvková množina s prvkom k, H(f) = {k}. Grafom
16 Reálna funkcia jednej reálnej premennej y 4 f x 1 f 2 4 Obr. 1: Funkcia f 1 (x) je daná predpisom f 1 : y = 3 a funkcia f 2 (x) je daná predpisom f 2 : y = 2 konštantnej funkcie je priamka rovnobežná s osou x, ktorá pretína os y v bode [0, k]. Pozri obrázok 1. Lineárna funkcia Všeobecný tvar lineárnej funkcie f je f: y = a x+b, kde a, b R a a 0. Definičný obor funkcie f a aj obor hodnôt funkcie f tvorí množina reálnych čísel, D(f) = H(f) = R. Grafom lineárnej funkcie je priamka. Koeficienty lineárnej funkcie a a b majú nasledujúci význam: 1 a = tg ϕ smernica priamky, ktorá je grafom lineárnej funkcie. a > 0 lineárna funkcia je rastúca a < 0 lineárna funkcia je klesajúca b úsek vyťatý priamkou na osi y b = 0 priamka prechádzajúca počiatkom súradnicového systému a = 0 priamka je rovnobežná s osou x 1 ϕ je uhol, ktorý zviera priamka (graf lineárnej funkcie) s kladnou orientáciou osi x
17 1 REÁLNA FUNKCIA JEDNEJ REÁLNEJ PREMENNEJ 16 Príkladom lineárnej funkcie môžu byť funkcie na obrázku 2, kde funkcia f 1 je daná predpisom y = x. Grafom funkcie f 1 je priamka, ktorá pretína os y v bode [0, 0] a funkcia f 1 je rastúca. Funkcia f 2 je daná predpisom y = x + 2. Graf funkcie f 2 vznikol posunutím grafu funkcie f 1 v kladnom smere osi y o +2. Grafom je priamka, ktorá pretína os y v bode [0, 2] a funkcia f 2 je rastúca. Funkcia f 3 je daná predpisom y = x 1. Grafom je priamka, ktorá pretína os y v bode [0, 1] a funkcia f 3 je klesajúca. y f 2 4 f x 1 4 f 3 Obr. 2: Lineárna funkcia: grafy funkcií f 1 (x), f 2 (x) a f 3 (x) Kvadratická funkcia Kvadratická funkcia f má tvar f: y = a x 2 + b x + c, kde a, b, c R a a 0. Definičný obor funkcie f tvorí množina reálnych čísel, D(f) = R a oborom hodnôt kvadratickej funkcie je množina H(f) = b2 + c, ), ak 4 a a > 0 alebo H(f) = (, b2 + c, ak a < 0. Grafom kvadratickej funkcie 4 a je parabola, ktorej os je rovnobežná s osou y. Pre kladné hodnoty parametra a je parabola otvorená smerom hore a pre záporné hodnoty parametra a je
18 Reálna funkcia jednej reálnej premennej parabola otvorená smerom dole. Vrchol paraboly V má súradnice: V = Špeciálne tvary kvadratickej funkcie: [ ] b 2 a, b2 4 a + c. f: y = a x 2 parabola s vrcholom v bode V = [0, 0], f: y = a x 2 + c parabola s vrcholom v bode V = [0, c], f: y = a (x + d) 2 parabola s vrcholom v bode V = [ d, 0], f: y = a (x + d) 2 + k parabola s vrcholom v bode V = [ d, k], f: y = x 2 + p x + q normovaná parabola s vrcholom v bode [ V = p 2, ( p 2 ) 2 + q ]. Na obrázku 3 sú zobrazené grafy troch kvadratických funkcií f 1 (x), f 2 (x) a f 3 (x). Funkcia f 2 (x) je daná predpisom f 2 : y = x 2, ktorej grafom je parabola s vrcholom v bode [0, 0], ktorý je minimom funkcie f 2. Funkcia f 3 (x) je daná predpisom f 3 : y = x 2 4, ktorej grafom je parabola s vrcholom v bode [0, 4]. Tento vrchol je minimom funkcie f 3. Funkcia f 1 (x) je daná predpisom f 1 : y = 4 x 2, ktorej grafom je parabola. Funkcia f 1 nadobúda vo vrchole [0, 4] maximum funkcie f 1. Mocninová funkcia: Mocninová funkcia f má tvar f: y = a x k, kde k N a a R {0}. Definičným oborom mocninovej funkcie je množina všetkých reálnych čísel, D(f) = R. pre a > 0 a k = 2n, n N je grafom funkcie f parabola k-teho stupňa s vrcholom v počiatku súradnicového systému V = [0, 0], ktorá je otvorená smerom hore a oborom hodnôt je množina H(f) = 0, ), pre a < 0 a k = 2n, n N je grafom funkcie f parabola k-teho stupňa s vrcholom v počiatku súradnicového systému V = [0, 0], ktorá je otvorená smerom dole a oborom hodnôt je množina H(f) = (, 0, pre a > 0 a k = 2n + 1, n N je grafom funkcie f parabola k- teho stupňa, ktorá leží v prvom a treťom kvadrante, ktorej stredom súmernosti je počiatok súradnicového systému, bod V = [0, 0] a oborom hodnôt je množina H(f) = R,
19 1 REÁLNA FUNKCIA JEDNEJ REÁLNEJ PREMENNEJ 18 y f 2 4 f x 1 f 1 4 Obr. 3: Kvadratická funkcia: grafy funkcií f 1 (x), f 2 (x) a f 3 (x) pre a < 0 a k = 2n + 1, n N je grafom funkcie f parabola k- teho stupňa, ktorá leží v druhom a štvrtom kvadrante, ktorej stredom súmernosti je počiatok súradnicového systému, bod V = [0, 0] a oborom hodnôt je množina H(f) = R. Ak exponent k môže nadobúdať aj záporné hodnoty, tak dostaneme funkciu v tvare f: y = a x k, kde k N a a R {0}. Definičným oborom tejto funkcie je množina všetkých reálnych čísel okrem nuly, D(f) = R {0}. pre a > 0 a k = 2n, n N je grafom funkcie f hyperbola k-teho stupňa, ktorá leží v prvom a druhom kvadrante a oborom hodnôt je množina H(f) = (0, ),
20 Reálna funkcia jednej reálnej premennej pre a < 0 a k = 2n, n N je grafom funkcie f hyperbola k-teho stupňa, ktorá leží v treťom a štvrtom kvadrante a oborom hodnôt je množina H(f) = (, 0), pre a > 0 a k = 2n + 1, n N je grafom funkcie f hyperbola k- teho stupňa, ktorá leží v prvom a treťom kvadrante, ktorej stredom súmernosti je počiatok súradnicového systému, bod V = [0, 0] a oborom hodnôt je množina H(f) = R {0}. Pre n = 0 dostávame funkciu y = 1 x (nepriama úmernosť), pre ktorú platí: f = f 1 a jej grafom je rovnoosá hyperbola., pre a < 0 a k = 2n + 1, n N je grafom funkcie f hyperbola k- teho stupňa, ktorá leží v druhom a štvrtom kvadrante, ktorej stredom súmernosti je počiatok súradnicového systému, bod V = [0, 0] a oborom hodnôt je množina H(f) = R {0}. Ak by sme exponent k zvolili z množiny racionálnych čísel, tak získame grafy funkcií, ktoré zodpovedajú odmocninám y z reálnych čísel. Príkladom takejto funkcie môžu byť funkcie zobrazené na obrázku 4. Tieto funkcie majú nasledujúce predpisy: f 1 : y = x, f 2 : y = x 2 a f 3 : y = 2 x. 4 f 1 1 f x 1 f 3 4 Obr. 4: Funkcia druhá odmocnina: grafy funkcií f 1 (x), f 2 (x) a f 3 (x)
21 1 REÁLNA FUNKCIA JEDNEJ REÁLNEJ PREMENNEJ 20 Exponenciálna funkcia Exponenciálna funkcia f má tvar f: y = a x, kde a > 0 a a 1. Definičným oborom exponenciálnej funkcie je množina všetkých reálnych čísel, D(f) = R. Oborom hodnôt je množina kladných reálnych čísel, H(f) = (0, ). Grafom exponenciálnej funkcie je exponenciálna krivka, ktorá prechádza bodom [0, 1]. Funkcia je prostá. Rastie pre hodnoty a > 1 a klesá pre hodnoty a (0, 1). Medzi najvýznamnejšie exponenciálne funkcie patrí funkcia y = e x, kde e = 2, (známe Eulerovo číslo), ktorá sa nazýva prirodzená exponenciálna funkcia. Exponenciálna funkcia patrí medzi transcendentné funkcie. Príklady grafov exponenciálnych funkcií sú zobrazené na obrázku 5. Funkcia f 1 má predpis y = e x. Pretína os y v bode [0, 1] a je rastúca. Funkcia f 2 má predpis y = e x 5. Os y pretína v bode [0, 1] a tiež je to rastúca a prostá funkcia. Funkcia f 3 má funkčný predpis y = 4 e x. Os y pretína v bode [0, 3]. Funkcia f 3 je klesajúca a prostá. Logaritmická funkcia Logaritmická funkcia je inverznou funkciou k odpovedajúcej exponenciálnej funkcii. Všeobecný tvar logaritmickej funkcie jef: y = log a x, kde a > 0 a a 1. Definičným oborom logaritmickej funkcie je množina všetkých kladných reálnych čísel, D(f) = (0, ). Oborom hodnôt je množina všetkých reálnych čísel, H(f) = R. Grafom logaritmickej funkcie je logaritmická krivka, ktorá prechádza bodom [1, 0]. Funkcia je prostá. Rastie pre hodnoty a > 1 a klesá pre hodnoty a (0, 1). Medzi najvýznamnejšie logaritmické funkcie patria funkcia y = log e x = ln x, kde e = 2, , ktorá sa nazýva prirodzená logaritmická funkcia (prirodzený logaritmus) a y = log 10 x = log x, ktorý nazývame dekadický logaritmus. Logaritmická funkcia tiež patrí medzi transcendentné funkcie. Na obrázku 6 sú zobrazené príklady logaritmickej funkcie. Funkcia f 1 : y = ln x. Os x pretína v bode [1, 0] a je rastúca. Graf funkcie f 2 : y = 2 ln x pretína os x v bode [1, 0]. Je to rastúca a prostá funkcia. Funkcia f 3 : y = 2 ln x je prostá a klesajúca. Goniometrické funkcie Goniometrické funkcie je spoločný názov pre funkcie sínus (symbolicky y = sin x), kosínus (y = cos x), tangens (y = tg x) a kotangens (y = cotg x). Definičným oborom funkcií sínus a kosínus je množina všetkých reálnych čísel, D(f) = R a oborom hodnôt je uzavretý interval medzi 1 a
22 Reálna funkcia jednej reálnej premennej y f f x 1 4 f 3 Obr. 5: Exponenciálna funkcia: grafy funkcií f 1 (x), f 2 (x) a f 3 (x) 1, H(f) = 1, 1. Definičným oborom funkcie tangens je množina D(f) = R { π +kπ, k Z} a funkcie kotangens je množina D(f) = R {kπ, k Z}. 2 Oborom hodnôt funkcií tangens aj kotangens je množina všetkých reálnych čísel, H(f) = R. Goniometrické funkcie sú periodické. Funkcie sínus a kosínus
23 1 REÁLNA FUNKCIA JEDNEJ REÁLNEJ PREMENNEJ 22 y 4 f 2 f f 3 x 1 4 Obr. 6: Logaritmická funkcia: grafy funkcií f 1 (x), f 2 (x) a f 3 (x) majú periódu 2π a funkcie tangens a kotangens majú periódu π. Pre tieto funkcie platia nasledujúce rovnosti pre všetky x D(f): sin x = sin(x + 2π k) pre k Z, cos x = cos(x + 2π k) pre k Z, tg x = tg (x + k π) pre k Z, cotg x = cotg (x + k π) pre k Z. Grafy goniometrických funkcií sú: f 1 = {[x, y] : y = sin x, x R, y 1, 1 } f 2 = {[x, y] : y = cos x, x R, y 1, 1 } f 3 = {[x, y] : y = tg x, x R { π + kπ, k Z}, y R} (tangentoida), 2 f 4 = {[x, y] : y = cotg x, x R {kπ, k Z}, y R} (sínusoida), (kosínusoida), (kotangentoida). Na obrázkoch 7, 8, 9 a 10 sú znázornené grafy goniometrických funkcií sínus, kosínus, tangens a kotangens. Funkcia sin x je na obrázku 7 ako funkcia f 1. Funkcia f 2 má predpis y = 1 + sin x. Graf funkcie f 3 má funkčný predpis y = 2 sin x.
24 Reálna funkcia jednej reálnej premennej y 3 f 2 1 f 1 2π π π π 2 π 2π x f 3 3 Obr. 7: Funkcia sínus: grafy funkcií f 1 (x), f 2 (x) a f 3 (x) Funkcia cos x je na obrázku 8. Graf funkcie f 1 má funkčný predpis y = cos x. Funkcia f 2 má predpis y = 1+cos x a graf funkcie f 3 je daný predpisom y = 3 cos x. Na obrázku 9 je znázornený graf funkcie f: y = tg x a na obrázku 10 je znázornený graf funkcie f: y = cotg x. Body, ktoré nepatria do definičného oboru týchto dvoch funkcií, sú znázornené priamkami kolmými na os x. y 3 1 f 2 f 1 2π π π π 2 π 2π x f 3 3 Obr. 8: Funkcia kosínus: grafy funkcií f 1 (x), f 2 (x) a f 3 (x)
25 1 REÁLNA FUNKCIA JEDNEJ REÁLNEJ PREMENNEJ 24 y f 3 1 3π 2 π π π 2 π 3π 2 x 3 5 Obr. 9: Funkcia tangens: graf funkcie f: y = tg x Cyklometrické funkcie Goniometrické funkcie nie sú prosté na svojom definičnom obore, preto k ním neexistujú inverzné funkcie. Ak zúžime definičný obor na vhodný interval tak, aby na ňom bola funkcia prostá, potom môžeme k ním definovať inverzné funkcie. Takto vytvorené inverzné funkcie ku goniometrickým funkciám nazývame cyklometrické funkcie. 1. Funkcia arkussínus: Funkcia y = sin x je rastúca a prostá na uzavretom intervale π, π a zobrazuje tento interval na uzavretý interval 1, Inverzná funkcia k funkcii sin x, pre x π, π D(f) je funkcia 2 2 arkussínus, y = arcsin x. Definičným oborom funkcie y = arcsin x je interval D(f) = 1, 1 a oborom hodnôt je interval H(f) = π, π. 2 2 Funkcia je rastúca a prostá na intervale 1, Funkcia arkuskosínus: Funkcia y = cos x je klesajúca a prostá na uzavretom intervale 0, π a zobrazuje tento interval na uzavretý interval
26 Reálna funkcia jednej reálnej premennej y 5 f 2 1 2π 3π 2 π π π 0 3π π 1 x 3 5 Obr. 10: Funkcia kotangens: graf funkcie f: y = cotg x 1, 1. Inverzná funkcia k funkcii cos x, pre x 0, π D(f) je funkcia arkuskosínus, y = arccos x. Definičným oborom funkcie y = arccos x je interval D(f) = 1, 1 a oborom hodnôt je interval H(f) = 0, π. Funkcia je klesajúca a prostá na intervale 1, Funkcia arkustangens: Funkcia y = tg x je rastúca a prostá na otvorenom intervale ( π, ) π 2 2 a zobrazuje tento interval na množinu všetkých ( reálnych čísel (, ). Inverzná funkcia k funkcii tg x, pre x π, ) π 2 2 D(f) je funkcia arkustangens, y = arctg x. Definičným oborom funkcie y = arctg x je množina všetkých reálnych čísel D(f) = R a oborom hodnôt je interval H(f) = ( π, ) π 2 2. Funkcia je rastúca a prostá na množine (, ). 4. Funkcia arkuskotangens: Funkcia y = cotg x je klesajúca a prostá na otvorenom intervale (0, π) a zobrazuje tento interval na množinu všetkých reálnych čísel (, ). Inverzná funkcia k funkcii cotg x, pre x (0, π) D(f) je funkcia arkuskotangens, y = arccotg x. Definičným oborom funkcie y = arccotg x je množina všetkých reálnych čísel D(f) = R a oborom hodnôt je interval H(f) = (0, π). Funkcia je klesajúca a prostá na množine (, ).
27 1 REÁLNA FUNKCIA JEDNEJ REÁLNEJ PREMENNEJ Limita funkcie Definícia Hovoríme, že funkcia f : y = f(x) má v bode a limitu zprava rovnú číslu L, ak platí: ( ε > 0)( δ > 0)( x (a; a + δ) : (0 < x a < δ = f(x) L < ε)). Píšeme: lim x a + f(x) = L Definícia Hovoríme, že funkcia f : y = f(x) má v bode a limitu zľava rovnú číslu L, ak platí: ( ε > 0)( δ > 0)( x (a δ; a) : (0 < x a < δ = f(x) L < ε)). Píšeme: lim f(x) = L x a Definícia Hovoríme, že funkcia f : y = f(x) má v bode a limitu rovnú číslu L, ak má limitu zľava aj zprava, t.j. platí: ( ε > 0)( δ > 0)( x (a δ; a + δ) : (0 < x a < δ = f(x) L < ε)). Píšeme: lim f(x) = L x a Veta Ak x c lim g(x) = b a g(x) b v istom okolí bodu c a lim f(z) = a, z b tak x c lim f(g(x)) = a. Veta (Základné pravidlá pre počítanie s limitami) Nech sú dané funkcie f: y = f(x) a g: y = g(x). Nech x c lim f(x) = a R a x c lim g(x) = b R. Potom platí: (1) lim x c f(x) = a, (2) lim x c (f(x) + g(x)) = lim x c f(x) + lim x c g(x) = a + b, (3) lim x c (f(x) g(x)) = lim x c f(x) lim x c g(x) = a b, (4) lim x c (f(x) g(x)) = lim x c f(x) lim x c g(x) = a b,
28 Limita funkcie (5) Ak pre všetky x z okolia bodu c je g(x) 0 a lim g(x) 0, tak x c ( ) lim f(x) lim f(x) x c g(x) = x c = a. lim g(x) b x c Veta Nech sú dané funkcie f: y = f(x) a g: y = g(x). Nech lim x c f(x) = 0 a funkcia g je ohraničená funkcia. Potom lim x c (f(x) g(x)) = 0. Veta Nech sú dané funkcie f: y = f(x) a g: y = g(x). Potom platí: (1) ak lim x c f(x) =, tak lim x c ( f(x)) =, (2) ak lim x c f(x) =, tak lim x c ( f(x)) =, (3) ak lim x c f(x) = alebo lim x c ( f(x)) =, tak lim x c f(x) =, (4) ak lim x c f(x) = a množina H(g) (obor hodnôt funkcie g) je zdola ohraničená, tak lim x c (f(x) + g(x)) =, 1 (5) ak f(x) > 0 a lim f(x) = 0, tak lim =. x c x c f(x) 1 (6) ak lim f(x) =, tak lim = 0. x c x c f(x) Základné vzorce na výpočet limít 2 [ sin x (1) lim = 1 0 x 0 x [ 0] e (2) lim x 1 = 1 0 x 0 x ) 0] x = e [1 + ] ( (3) x lim ( x (4) lim x x ) x = e [1 ] 1 (5) lim = neexistuje [ ] 1 x 0 x 0 1 (6) lim = [ ] 1 x 0 x 0 1 (7) lim = [ ] 1 x 0 + x 0 + (8) x lim a x =, pre a > 1 [a ] 2 V hranatých zátvorkách je uvedený typ limity.
29 1 REÁLNA FUNKCIA JEDNEJ REÁLNEJ PREMENNEJ 28 (9) lim a x = 1, pre a = 1 [a ] x (10) x lim a x = 0, pre a (0, 1) [a ] (11) lim x ax = 0, pre a > 1 [a ] (12) lim x ax = 1, pre a = 1 [a ] (13) lim x ax =, pre a (0, 1) [a ] (14) x lim e x = [e ] (15) lim x ex = 0 [e ] (16) lim ln x = [ln 0] x 0 + (17) lim ln x = [ln ] x (18) x lim x n =, pre n N [ n ] (19) lim x xn =, pre n N, n párne [( ) n ] (20) lim x xn =, pre n N, n nepárne [( ) n ] [ ] 1 1 = 0, pre n N x n (± ) [ ] n =, pre n N, n párne 1 (0) n (21) lim x ± 1 (22) lim x 0 x n 1 (23) lim = neexistuje, pre n N, n nepárne [ ] 1 x 0 x n (0) n 1 (24) lim x 0 1 (25) lim x 0 + x n =, pre n N, n nepárne [ 1 x n [ =, pre n N, n nepárne (26) lim x ( π 2 ) tg x = [ (27) lim tg x = + x ( π 2 ) (0 ) n ] ] 1 (0 + ) n ] [ tg π 2 ] tg π 2 (28) lim cotg x = [cotg 0] x 0 (29) lim cotg x = [cotg 0] x 0 + (30) lim arctg x = π [arctg ] x 2 (31) lim arctg x = π [arctg ] x 2 (32) lim x arccotg x = 0 [arccotg ] arccotg x = π [arccotg ] (33) lim x (34) lim x ± (35) lim x ± sin x = neexistuje cos x = neexistuje [sin ± ] [cos ± ]
30 Limita funkcie Poznámka Pri výpočte limity funkcie lim x c f(x) môžeme dostať takéto výsledky: lim x c f(x) = b, b R existuje vlastná limita, lim x c f(x) = ± existuje nevlastná limita, limita lim f(x) neexistuje, ale existujú jednostranné limity, pre ktoré x c platí: lim f(x) = a a lim f(x) = b a a b, x c + x c limita nemá zmysel (nie je definovaná), pretože funkcia f nie je definovaná v okolí bodu c resp. v pravom alebo v ľavom okolí bodu c. Definícia Nech funkcia f je definovaná v nejakom okolí bodu a I D(f). Hovoríme, že funkcia f je spojitá v bode a, ak platí x a lim f(x) = f(a) t. j. ( ε > 0)( δ > 0)( x I : x a < δ)( f(x) f(a) < ε). Hovoríme, že funkcia f je spojitá v bode a sprava, ak lim f(x) = f(a). Hovoríme, že x a + funkcia f je spojitá v bode a zľava, ak lim f(x) = f(a). x a Definícia Funkcia f je spojitá, ak je spojitá v každom bode definičného oboru funkcie f. Funkcia f je spojitá na množine I D(f), ak je spojitá v každom bode množiny I. Definícia Hovoríme, že funkcia f je spojitá na otvorenom intervale (a, b), ak je spojitá v každom bode tohto intervalu. Hovoríme, že funkcia f je spojitá na uzavretom intervale a, b, ak je spojitá v každom bode intervalu (a, b) a naviac je spojitá v bode a sprava a spojitá v bode b zľava. Veta Ak je funkcia f spojitá sprava a súčasne aj zľava v bode a, tak je spojitá v bode a. Veta Nech funkcie f: y = f(x) a g: y = g(x) sú spojité v bode a D(f) a nech α R. Potom v bode a sú spojité aj funkcie f + g, f g, α f, f g, f. Ak platí, že g(a) 0, tak v bode a je spojitá aj funkcia f g. Veta Nech funkcia f: y = f(x) je spojitá v bode a a funkcia g: y = g(x) je spojitá v bode f(a), potom funkcia y = f(g(x)) je spojitá v bode a.
31 1 REÁLNA FUNKCIA JEDNEJ REÁLNEJ PREMENNEJ 30 Veta Každá elementárna funkcia je spojitá na svojom definičnom obore. Veta Nech funkcia f je spojitá na uzavretom intervale a, b. Potom funkcia f nadobúda minimum aj maximum na intervale a, b a funkcia f nadobúda každú hodnotu medzi minimom a maximom. Veta Nech funkcia f je spojitá na uzavretom intervale a, b a nech f(a) f(b) < 0. Potom existuje bod c (a, b) taký, že f(c) = 0. Poznámka Ak lim x a f(x) = b, tak platí jedno z nasledujúcich tvrdení: Ak f(a) = b, tak funkcia f je spojitá v bode a. Ak f(a) b, tak funkcia f nie je spojitá v bode a, ale je v bode a definovaná. Ak existuje lim x a f(x) = b, ale f(a) nie je definovaná, tak funkcia f nie je spojitá v bode a a súčasne funkcia f nie je definovaná v bode a.
32 Derivácia funkcie 1.4 Derivácia funkcie Definícia Nech funkcia f : y = f(x) je definovaná v okolí bodu x 0 D(f). Derivácia funkcie f v bode x 0 je číslo: resp. f (x 0 ) = lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 (1) f (x 0 ) = lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h (2) Definícia Hovoríme, že funkcia f: y = f(x) má v bode x 0 R deriváciu zľava, ak je definovaná v istom ľavom okolí bodu x 0 D(f) a existuje limita: resp. f (x 0 ) = lim x x 0 f (x 0 ) = lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h f(x) f(x 0 ) x x 0 (3) Hovoríme, že funkcia f: y = f(x) má v bode x 0 R deriváciu sprava, ak je definovaná v istom pravom okolí bodu x 0 D(f) a existuje limita: f +(x 0 ) = lim x x + 0 (4) f(x) f(x 0 ) x x 0 (5) resp. f +(x 0 ) = lim h 0 + f(x 0 + h) f(x 0 ) h (6) Veta Ak funkcia f má v bode x 0 deriváciu, tak funkcia f je v tomto bode spojitá. Veta Nech je daná funkcia f: y = f(x) a bod x 0 D(f) je vnútorným bodom definičného oboru funkcie f. Funkcia f má v bode x 0 deriváciu f (x 0 ) práve vtedy, ak má v bode x 0 deriváciu zľava f (x 0 ), deriváciu sprava f +(x 0 ) a platí rovnosť: f (x 0 ) = f +(x 0 ).
33 1 REÁLNA FUNKCIA JEDNEJ REÁLNEJ PREMENNEJ 32 Veta Nech je daná funkcia f: y = f(x) a bod T = [x 0, y 0 ], kde x 0 D(f), y 0 H(f) a y 0 = f(x 0 ). Ak existuje derivácia funkcie f v bode x 0 (f (x 0 )), tak dotyčnica t ku grafu funkcie f v bode T má rovnicu: t : y y 0 = f (x 0 ) (x x 0 ). (7) Veta Nech je daná funkcia f: y = f(x) a bod T = [x 0, y 0 ], kde x 0 D(f), y 0 H(f) a y 0 = f(x 0 ). Ak existuje derivácia funkcie f v bode x 0 (f (x 0 )) a f (x 0 ) 0, tak normála n ku grafu funkcie f v bode T má rovnicu: n : y y 0 = 1 f (x 0 ) (x x 0). (8) Veta (Základné pravidlá derivovania) Nech funkcie f: y = f(x) a g: y = g(x) majú v bode x 0 derivácie f (x 0 ) a g (x 0 ). Necjh c R. Potom platí: (1) (c f(x 0 )) = c f (x 0 ), (2) (f(x 0 ) + g(x 0 )) = f (x 0 ) + g (x 0 ), (3) (f(x 0 ) g(x 0 )) = f (x 0 ) g (x 0 ), (4) (f(x 0 ) g(x 0 )) = f (x 0 ) g(x 0 ) + f(x 0 ) g (x 0 ), (5) ( f(x 0 ) g(x 0 ) ) = f (x 0 ) g(x 0 ) f(x 0 ) g (x 0 ) g 2 (x 0 ), Veta (Derivácia zloženej funkcie) Nech zložená funkcia h: y = f ( g(x) ) je definovaná na intervale (a, b) a nech x 0 (a, b). Nech funkcia g má v bode x 0 deriváciu g (x 0 ) a nech funkcia f má v bode z 0 = g(x 0 ) deriváciu f (z 0 ). Potom funkcia h má v bode x 0 deriváciu h (x 0 ) = f (z 0 ) g (x 0 ). Základné vzorce pre derivovanie (1) (c) = 0, kde c je konštanta c R, (2) (x) = 1, (3) (x n ) = n x n 1, pre n R, (4) (sin x) = cos x, pre x R, (5) (cos x) = sin x, pre x R, (6) (tg x) = 1 cos 2 x, pre x R { (2k+1)π 2 ; k Z},
34 Derivácia funkcie (7) (cotg x) = 1, pre x R {kπ; k Z}, sin 2 x (8) (arcsin x) = 1 1 x 2, pre x ( 1, 1), (9) (arccos x) = 1 1 x 2, pre x ( 1, 1), (10) (arctg x) = 1, pre x R, 1+x 2 (11) (arccotg x) = 1, pre x R, 1+x 2 (12) (ln x) = 1, pre x (0, ), x (13) (log a x) = 1, kde a > 0 a a 1, pre x (0, ), x ln a (14) (e x ) = e x, pre x R, (15) (a x ) = a x ln a, kde a > 0 a a 1, pre x R. Ukážeme, ako derivovať funkciu, ktorá má tvar y = f(x) g(x), kde f(x) > 0 pre všetky x D(f). y = ( f(x) g(x)) = ( e ln(f(x)g(x) ) ) = ( e g(x) ln f(x) ) = ( e g(x) ln f(x) ) [g(x) ln f(x) ] = = ( f(x) g(x)) [g (x) ln f(x) + g(x) (ln f(x)) ] = = ( [ ] f(x) g(x)) g 1 (x) ln f(x) + g(x) f(x) f (x) Dostali sme ďalší derivačný vzorec v tvare: ( ) [ f(x) g(x) = f(x) g(x) g (x) ln f(x) + g(x) ] f(x) f (x) Veta Nech je daná funkcia f: y = f(x) a nech a, b D(f). Nech funkcia f nadobúda vo vnútornom bode c intervalu a, b najväčšiu resp. najmenšiu hodnotu. Ak funkcia f má v bode c deriváciu, tak platí f (c) = 0. Veta (Rolleho veta) Nech funkcia f: y = f(x) je spojitá na uzavretom intervale a, b, má prvú deriváciu na otvorenom intervale (a, b) a platí, že f(a) = f(b). Potom na otvorenom intervale (a, b) existuje aspoň jeden bod ξ taký, že f (ξ) = 0. Veta (Lagrangeova veta) Nech funkcia f: y = f(x) je spojitá na uzavretom intervale a, b a má prvú deriváciu na otvorenom intervale (a, b). Potom existuje aspoň jeden bod ξ na otvorenom intervale (a, b) taký, že f (ξ) = f(b) f(a). b a (9)
35 1 REÁLNA FUNKCIA JEDNEJ REÁLNEJ PREMENNEJ 34 Veta (Cauchyho veta) Nech funkcie f: y = f(x) a g: y = g(x) sú spojité na uzavretom intervale a, b a majú prvú deriváciu na otvorenom intervale (a, b). Nech g (x) 0 pre x (a, b). Potom na otvorenom intervale (a, b) existuje aspoň jeden bod ξ taký, že f (ξ) g (ξ) = f(b) f(a) g(b) g(a). Veta (L Hospitalovo pravidlo) Nech funkcie f: y = f(x) a g: y = g(x) majú derivácie v prstencovom okolí bodu a R {± }. Nech lim f(x) = lim g(x) = 0 alebo lim g(x) = +. Ak existuje (vlastná alebo x a x a x a f nevlastná) limita lim (x) f(x), tak existuje aj limita lim a platí: x a g (x) x a g(x) f(x) lim x a g(x) = lim f (x) x a g (x). Veta Nech funkcia f: y = f(x) je spojitá na intervale I a má deriváciu vo všetkých vnútorných bodoch intervalu I. Potom platí: (1) Ak funkcia f je na intervale I neklesajúca, tak f (x) 0 pre každý vnútorný bod intervalu I. (2) Ak funkcia f je na intervale I nerastúca, tak f (x) 0 pre každý vnútorný bod intervalu I. (3) Ak funkcia f je na intervale I rastúca, tak f (x) 0 pre každý vnútorný bod intervalu I a f je nenulová na každom otvorenom podintervale intervalu I. (4) Ak funkcia f je na intervale I klesajúca, tak f (x) 0 pre každý vnútorný bod intervalu I a f je nenulová na každom otvorenom podintervale intervalu I. Veta Nech funkcia f: y = f(x) je spojitá na intervale I a má deriváciu vo všetkých vnútorných bodoch intervalu I. Potom platí:
36 Derivácia funkcie (1) ak f (x) > 0 pre každý vnútorný bod intervalu I, tak f je rastúca na intervale I, (2) ak f (x) < 0 pre každý vnútorný bod intervalu I, tak f je klesajúca na intervale I, (3) ak f (x) 0 pre každý vnútorný bod intervalu I, tak f je neklesajúca na intervale I, (4) ak f (x) 0 pre každý vnútorný bod intervalu I, tak f je nerastúca na intervale I. Definícia Hovoríme, že funkcia f: y = f(x) má vo vnútornom bode x 0 I, kde I D(f), lokálne maximum, ak existuje prstencové okolie bodu x 0 také, že pre všetky body z tohoto okolia platí: f(x) f(x 0 ). Hovoríme, že funkcia f: y = f(x) má vo vnútornom bode x 0 I, kde I D(f), lokálne minimum, ak existuje prstencové okolie bodu x 0 také, že pre všetky body z tohoto okolia platí: f(x) f(x 0 ). Hovoríme, že funkcia f: y = f(x) má vo vnútornom bode x 0 I, kde I D(f), ostré lokálne maximum, ak existuje prstencové okolie bodu x 0 také, že pre všetky body z tohoto okolia platí: f(x) < f(x 0 ). Hovoríme, že funkcia f: y = f(x) má vo vnútornom bode x 0 I, kde I D(f), ostré lokálne minimum, ak existuje prstencové okolie bodu x 0 také, že pre všetky body z tohoto okolia platí: f(x) > f(x 0 ). Hovoríme, že bod x 0 je stacionárny bod funkcie f: y = f(x), ak existuje f (x 0 ) a platí: f (x 0 ) = 0. Veta Nech existuje f (x 0 ). Ak funkcia f má v bode x 0 lokálny extrém, tak f (x 0 ) = 0. 3 Definícia Funkcia f: y = f(x) sa nazýva konvexná na intervale I D(f), ak pre každú trojicu bodov x 1, x 2, x 3 I takú, že x 1 < x 2 < x 3, je bod [x 2, f(x 2 )] pod priamkou, ktorá je určená bodmi [x 1, f(x 1 )] a [x 3, f(x 3 )], alebo leží na tejto priamke. Funkcia f: y = f(x) sa nazýva konkávna na intervale I D(f), ak pre každú trojicu bodov x 1, x 2, x 3 I takú, že x 1 < x 2 < x 3, je bod [x 2, f(x 2 )] 3 Podmienka f (x 0 ) = 0 je len nutnou podmienkou pre existenciu lokálneho extrému. Z tejto podmienky nevyplýva automaticky, že funkcia f má v bode x 0 lokálny extrém. Funkcia f môže mať lokálny extrém aj v bodoch, ktoré nie sú stacionárnymi bodmi funkcie f t. j. aj v bodoch, v ktorých funkcia f nemá deriváciu.
37 1 REÁLNA FUNKCIA JEDNEJ REÁLNEJ PREMENNEJ 36 nad priamkou, ktorá je určená bodmi [x 1, f(x 1 )] a [x 3, f(x 3 )], alebo leží na tejto priamke. Funkcia f: y = f(x) sa nazýva rýdzo konvexná na intervale I D(f), ak pre každú trojicu bodov x 1, x 2, x 3 I takú, že x 1 < x 2 < x 3, je bod [x 2, f(x 2 )] pod priamkou, ktorá je určená bodmi [x 1, f(x 1 )] a [x 3, f(x 3 )]. Funkcia f: y = f(x) sa nazýva rýdzo konkávna na intervale I D(f), ak pre každú trojicu bodov x 1, x 2, x 3 I takú, že x 1 < x 2 < x 3, je bod [x 2, f(x 2 )] nad priamkou, ktorá je určená bodmi [x 1, f(x 1 )] a [x 3, f(x 3 )]. Veta Nech funkcia f: y = f(x) má deriváciu f vo všetkých vnútorných bodoch intervalu I D(f). Ak pre každú dvojicu bodov x 0, x 1 I takú, že x 0 x 1, je bod [x 1, f(x 1 )] nad dotyčnicou ku grafu funkcie f v bode T = [x 0, f(x 0 )], tak funkcia f je rýdzo konvexná. Veta Nech funkcia f: y = f(x) má deriváciu f vo všetkých vnútorných bodoch intervalu I D(f). Ak pre každú dvojicu bodov x 0, x 1 I takú, že x 0 x 1, je bod [x 1, f(x 1 )] pod dotyčnicou ku grafu funkcie f v bode T = [x 0, f(x 0 )], tak funkcia f je rýdzo konkávna. Veta Nech funkcia f: y = f(x) je spojitá na intervale I a má druhú deriváciu vo všetkých vnútorných bodoch intervalu I. Potom platí: (1) ak f (x) > 0 pre každý vnútorný bod intervalu I, tak funkcia f je na intervale I rýdzo konvexná, (2) ak f (x) < 0 pre každý vnútorný bod intervalu I, tak funkcia f je na intervale I rýdzo konkávna, (3) ak f (x) 0 pre každý vnútorný bod intervalu I, tak funkcia f je na intervale I konvexná, (4) ak f (x) 0 pre každý vnútorný bod intervalu I, tak funkcia f je na intervale I konkávna. Definícia Nech funkcia f: y = f(x) je spojitá na intervale I D(f). Bod x 0 I nazývame inflexným bodom funkcie f, ak funkcia f je v nejakom ľavom okolí bodu x 0 rýdzo konkávna (rýdzo konvexná) a v nejakom pravom okolí bodu x 0 je rýdzo konvexná (rýdzo konkávna).
38 Derivácia funkcie Veta Nech existuje f (x 0 ). Ako bod x 0 je inflexným bodom funkcie f, tak platí f (x 0 ) = 0. 4 Veta Nech f (x 0 ) = 0 a f (x 0 ) 0, potom funkcia f má v bode x 0 inflexný bod. Veta Nech funkcia f: y = f(x) má vo vnútornom bode x 0 intervalu I D(f) nenulovú n-tú deriváciu f (n) (x 0 ) 0, pre n 2. Nech f (x 0 ) = f (x 0 ) = = f (n 2) (x 0 ) = f (n 1) (x 0 ) = 0. Potom platí: (1) Ak n je párne číslo a f (n) (x 0 ) > 0, tak funkcia f má v bode x 0 ostré lokálne minimum. (2) Ak n je párne číslo a f (n) (x 0 ) < 0, tak funkcia f má v bode x 0 ostré lokálne maximum. (3) Ak n je nepárne číslo, tak funkcia f má v bode x 0 inflexný bod. 4 Podmienka f (x 0 ) = 0 je nutná podmienka pre existenciu inflexného bodu, preto z tejto podmienky automaticky nevyplýva, že bod x 0 je inflexným bodom funkcie f.
39 1 REÁLNA FUNKCIA JEDNEJ REÁLNEJ PREMENNEJ Riešené príklady Príklad Určte definičný obor funkcie: f : y = x + 3 x ln (x + 4) 16 x 2, x R. Riešenie: Pre túto funkciu máme tri podmienky. V prvom sčítanci nesmie byť menovateľ rovný nule. V druhom sčítanci musí byť argument logaritmickej funkcie kladný a v treťom sčítanci musí byť výraz pod odmocninou nezáporný. Formálne to zapíšeme takto: x x + 4 > 0 16 x 2 0. Vyriešime tieto nerovnosti a dostávame nasledujúce množiny: x R { 3, 3} x ( 4, ) x 4, 4. Prienik týchto množín je výsledný definičný obor D(f) = ( 4, 3) ( 3, 3) (3, 4. Príklad Určte definičný obor funkcie: ( ) x + 3 x + 2 f : y = (x 2 9) 16 x + arcsin, x R. 2 6 Riešenie: Napíšeme jednotlivé podmienky, ktoré musia byť splnené, aby funkcia f bola definovaná. x x x x 2 0. Tieto 6 podmienky prepíšeme do nasledujúceho tvaru: x x + 2 x x 2 > 0. Vyriešime tieto nerovnosti a dostávame nasledujúce množiny: x R { 3, 3} x 8, ) x (, 4 x ( 4, 4). Prienik týchto množín je výsledný definičný obor D(f) = ( 4, 3) ( 3, 3) (3, 4). Príklad Vypočítajte deriváciu k daným funkciám: f 1 : y = x 3 2x 2 + x 5 + e3 1 x x f 2 : y = x + 5 x 4 + x2 x 3 1 x e x f 3 : y = x 2 (3 2 ln x) + 2 3x x 1 f 4 : y = ln(e e 2x ) f 5 : y = arccos ( ) 1 x 2
40 Riešené príklady Riešenie: Postupne vypočítame derivácie jednotlivých funkcií. f 1 : y = ( x 3 2x 2 + x 5 + e3 1 x + 2 ) = 4 5x = (x 3 ) 2(x 2 ) x + e 3 (1) (x 4 ) (x 1 ) = = 3x 2 4x e3 0 ( 4)x ( 1)x 2 = = 3x 2 4x x 5 2 5x 2 f 2 : y = = ( x ) + ( = ( x 1 2 ( x + 5 x 4 + x2 x 3 1 ) = x e x ( ) ) ( ) 5 4 x 2 ( ) 1 x x + 3 = x e x ) + ( x 1 5 ) ( 4x 1 2 ) + ( x2 x 1 3 ) ( e x ) = = 1 2 x ( 5 x ) x ( ) x 5 3 e x ( x) = 2 = 1 2 x x 5 + 2x x 2 3 e x ( 1) = = 1 2 x x x x x2 + 1 e x ( f 3 : y = x 2 (3 2 ln x) + 2 3x ) = x 1 = ( x 2 (3 2 ln x) ) ( ) 2 3x + = x 1 = (x 2 ) (3 2 ln x)+x 2 (3 2 ln x) + (2 3x) (x 1) (2 3x)(x 1) (x 1) 2 =
41 1 REÁLNA FUNKCIA JEDNEJ REÁLNEJ PREMENNEJ 40 ( = 2x (3 2 ln x) + x ) x + = 4x 4x ln x + ( 3)(x 1) (2 3x)(1) (x 1) 2 = 1 (x 1) 2 f 4 : y = ( ln(e e 2x ) ) = 1 (e e 2x ) (e e2x ) = = 2e2x (e e 2x ) 1 (e e 2x ) (0 e2x (2x) ) = f 5 : y = [ arccos ( )] 1 1 x 2 = 1 ( ) ( 1 x 2) = 2 1 x 2 = 1 1 (1 x 2 ) ( ) (1 x 2 ) = 1 x 2 2 (1 x2 ) (1 x 2 ) = = 1 2 x 1 ±1 (0 2x) = 1 x 2 1 x 2 Príklad Zderivujte funkciu f: f : y = x ln x. Riešenie: Použijeme vzťah (9) zo strany 33. f : y = ( x ln x) = ( x ln x ) = ( x ln x) [ (ln x) ln x + ln x ] x (x) [ ] 1 ln x ln x + x x 1 = ( x ln x) [ ] 2 ln x x =
42 Neriešené úlohy 1.6 Neriešené úlohy 1.1 Určte definičný obor daných funkcií: a) f : y = 3 x 4x 2 1 b) f : y = (5x + 1) sin x 2x 3 + 3x c) f : y = x + x 2 4 x 2 + ex 2x 1 1 x 2 d) f : y = ln ( ) x x e) f : y = x2 5x ln x 1 ( ) 5x f) f : y = ln ln (1 x) 8x g) f : y = x x + 1 arccos 10x 16 + x 2 h) f : y = i) f : y = ln(1 x) ln(x + 1) 3x ln [ln(ln x)] 3e 3x + 2e 2x + e x + 1 j) f : y = ex arccos(1 + x) x x k) f : y = ln (3x 6) 4x x 2 l) f : y = m) f : y = (ln x) arccos (6x 5) x x x + x 2
43 1 REÁLNA FUNKCIA JEDNEJ REÁLNEJ PREMENNEJ 42 n) f : y = log 1 (x 2 2x + 1) x Vypočítajte prvú deriváciu daných funkcií: a) f : y = 3x 5 x x 6 + 2x3 ln 2 cos 1 b) f : y = 5 3 2x 3 x x 8x c) f : y = ( 1 x ) (1 + x) d) f : y = 1 x2 x ( e) f : y = x5 5 ln x 1 ) (x 2)2 5 x f) f : y = e x ( x 3 3x 2 + 6x 6 ) g) f : y = x cos x sin x 2 h) f : y = x x2 2 i) f : y = ex + 1 e x 1 j) f : y = e x x 3 cos x k) f : y = ln ( ) 2 + x 2 x l) f : y = (2x 3 4) 5 arctg x m) f : y = arctg x 1 x + 1 arctg 1 x n) f : y = 1 2 x arcsin x 2
44 Neriešené úlohy 1.3 Vypočítajte druhú deriváciu daných funkcií: a) f : y = 4x 3 x 4 b) f : y = x2 2 ln (x 1) 2 c) f : y = 2x + ln(cos x) d) f : y = x2 x 1 e) f : y = 7 + x2 3 + x 2 f) f : y = x x 2 g) f : y = x 2 e x h) f : y = x + arctg x 1.4 Napíšte rovnicu dotyčnice t k danej funkcii f v danom bode T = [x 0, y 0 ]: a) f : y = x2 x 1, ak x 0 = 3 b) f : y = arctg x, ak x 0 = 1 c) f : y = ln x x, ak x 0 = e d) f : y = 2x + 1, ak x x 2 0 = 2 e) f : y = 1 x 2, ak x 0 = 2 2
45 1 REÁLNA FUNKCIA JEDNEJ REÁLNEJ PREMENNEJ Výsledky neriešených úloh 1.1 a) D(f) = (, 2) ( 2, 2) (2, ) b) D(f) = R {0} c) D(f) = ( 2, 1 (0, 2 d) D(f) = (, 1) (1, ) e) D(f) = 1, 1) (1, ) f) e D(f) = (0, 1) g) D(f) = (, 8 2, 1 1, 2 8, ) h) D(f) = ( 1, 1) i) D(f) = (e, ) j) D(f) = 3, 1) ( 1, 0) k) D(f) = (2, 4 l) 2 D(f) = 1, 0 m) D(f) = (, 2) (1, ) n) D(f) = 0, 1) (1, a) y = 15x 4 2x 3 + 6x 2 ln b) y = 15 2x x 2 1 6x 3 x 2 x c) y = x 1 2 x d) y = 1 2x x 3 2 x e) y = x 4 ln x x 2 f) y = x 3 e x g) y = sin 2 x h) y = x arctg x i) y = 2ex (e x 1) 2 j) y = x 2 e x (x cos x + 3 cos x x sin x) k) y = 4 4 x 2 l) y = 30x 2 (2x 3 4) 4 m) y = 2 1+x 2 n) y = x4 1 x a) y = 12x (2 x) b) y = (x 1)2 1 c) y = 1 d) y = 2 e) (x 1) 2 (cos x) 2 (x 1) 3 y x = f) y = 4 3x2 +1 g) y = (2 4x + x 2 ) e x h) y = 2x (3+x 2 ) 3 (1 x 2 ) 3 (x 2 +1) a) T = [3, 9], t : 3x 4y + 9 = 0 b) T = [ 1, π ], t : 2x 2y + 2 π = c) T = [e, 1], t : e y 1 = 0 d) T = [ 2, 3 ], t : x + 4y + 5 = 0 e) e 4 T = [ 2, 2 ], t : x y + 2 = 0 2 2
46 45 2 Riešenie algebraických rovníc s jednou reálnou neznámou V tejto kapitole ukážeme niektoré základné numerické metódy na riešenie rovnice f(x) = 0 s jednou reálnou neznámou. Ukážeme, či dané metódy konvergujú k riešeniu vždy, alebo len za určitých podmienok. Naznačíme aj rýchlosť konvergencie jednotlivých metód. 2.1 Separácia koreňov Nech je daná nelineárna rovnica f(x) = 0. Snažíme sa nájsť také body c R, pre ktoré platí f(c) = 0. Tieto body c nazývame korene rovnice f(x) = 0. Pri riešení tejto rovnice f(x) = 0 sa snažíme určiť koľko koreňov má táto rovnica a hľadáme intervaly, v ktorých sa nachádza práve jeden koreň rovnice. Proces hľadania týchto intervalov sa nazýva separácia koreňov rovnice f(x) = 0. Hovoríme, že rovnica f(x) = 0 má odseparované korene, ak platí: (1) D(f) = a 1, b 1 a 2, b 2 a n 1, b n 1 a n, b n ), 5 (2) (a i, b i ) (a j, b j ) =, pre i, j {1, 2,..., n}, i j (3) Každý interval a i, b i, i {1, 2,..., n} obsahuje najviac jeden koreň rovnice f(x) = 0. Potom takto odseparované korene budeme hľadať niektorou z nižšie popísaných približných metód. Pre hľadanie koreňov rovnice je užitočná nasledujúca veta. Veta Nech je daná funkcia f: y = f(x) a nech a, b D(f). Ak je funkcia f spojitá na intervale a, b a platí: f(a) f(b) < 0, (10) potom v intervale a, b leží aspoň jeden koreň rovnice f(x) = 0. Podmienka (10) vo vete znamená, že znamienka funkčných hodnôt v bodoch a a b sú opačné. V danom intervale a, b môže byť aj viac ako jeden koreň. Ale ak podmienka (10) vo vete nie je splnená, tak aj tak môže interval a, b obsahovať korene rovnice f(x) = Predpokladáme, že b i = a i+1 pre i {1, 2,..., n 1}. 6 Napríklad rovnica x 2 = 0 má koreň c = 0, ale na žiadnom intervale a, b nemôže byť splnená podmienka (10).
Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραFunkcie - základné pojmy
Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραPREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
Διαβάστε περισσότεραTECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA 1. Funkcia jednej premennej a jej diferenciálny počet
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA časťa Funkcia jednej premennej a jej diferenciáln počet Dušan Knežo, Miriam Andrejiová, Zuzana Kimáková 200 RECENZOVALI: prof. RNDr. Jozef
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότερα4 Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti
Reálna unkcia reálnej premennej a jej vlastnosti Táto kapitola je venovaná štúdiu reálnej unkcie jednej reálnej premennej. Pojem unkcie patrí medzi základné pojmy v matematike. Je to vlastne matematický
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότεραReálna funkcia reálnej premennej
(ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické funkcie
Goniometrické funkcie Oblúková miera Goniometrické funkcie sú funkcie, ktoré sa používajú pri meraní uhlov (Goniometria Meranie Uhla). Pri týchto funkciách sa uvažuje o veľkostiach uhlov udaných v oblúkovej
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické substitúcie
Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I ZBIERKA ÚLOH
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STAVEBNÁ FAKULTA ÚSTAV TECHNOLÓGIÍ, EKONOMIKY A MANAŽMENTU V STAVEBNÍCTVE KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY RNDr. Pavol PURCZ, PhD. Mgr. Adriana ŠUGÁROVÁ MATEMATIKA I ZBIERKA
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy Zbierka úloh
Blanka Baculíková Ivan Daňo Numerické metódy Zbierka úloh Strana 1 z 37 Predhovor 3 1 Nelineárne rovnice 4 2 Sústavy lineárnych rovníc 7 3 Sústavy nelineárnych rovníc 1 4 Interpolačné polynómy 14 5 Aproximácia
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότερα4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti
4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach. Zbierka riešených a neriešených úloh. z matematiky. pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach
Technická univerzita v Košiciach Zbierka riešených a neriešených úloh z matematiky pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach Martin Bača Ján Buša Andrea Feňovčíková Zuzana Kimáková Denisa Olekšáková Štefan
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II. Zbierka riešených a neriešených úloh
Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II Zbierka riešených a neriešených úloh Anna Grinčová Jana Petrillová Košice 06 Technická univerzita v Košiciach Fakulta
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Διαβάστε περισσότεραSpojitosť a limity trochu inak
Spojitosť a limity trochu inak Štefan Tkačik Abstrakt Spojitosť funkcie alebo oblastí je základným stavebným kameňom matematickej analýzy. Pochopenie jej podstaty uľahčí chápanie diferenciálneho a integrálneho
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE. Funkcia základné pojmy. Graf funkcie
FUNKCIE Funkcia základné pojm. Graf funkcie V prai sa často stretávame so skúmaním závislosti veľkosti niektorých veličín od veľkosti iných veličín, napríklad dĺžka kružnice l závisí od jej priemeru d
Διαβάστε περισσότεραTREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT. k predmetu Matematika pre
TREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT k predmetu Matematika pre 2. ročník SOŠ v Strážskom, študijný odbor 3760 6 00 prevádzka a ekonomika dopravy Operačný program: Vzdelávanie Programové obdobie:
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότεραDerivácia funkcie. Pravidlá derivovania výrazov obsahujúcich operácie. Derivácie elementárnych funkcií
Derivácia funkcie Derivácia funkcie je jeden z najužitočnejších nástrojov, ktoré používame v matematike a jej aplikáciách v ďalších odboroch. Stručne zhrnieme základné informácie o deriváciách. Podrobnejšie
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραDefinícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.
Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I. Základy diferenciálneho počtu. Návody k cvičeniam pre odbory VSVH a STOP. Andrea Stupňanová, Alexandra Šipošová
MATEMATIKA I. Základy diferenciálneho počtu Návody k cvičeniam pre odbory VSVH a STOP Andrea Stupňanová, Alexandra Šipošová MATEMATIKA I. Základy diferenciálneho počtu Návody k cvičeniam pre odbory VSVH
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 Elementárny kalkulus
Matematika Elementárny kalkulus Úvod Prehl ad. Tieto poznámky obsahujú podklady k prednáške Matematika na špecializácii Aplikovaná informatika: jedná sa o 2 dvojhodinových prednášok doplnených dvojhodinovými
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότεραSúradnicová sústava (karteziánska)
Súradnicová sústava (karteziánska) = sú to na seba kolmé priamky (osi) prechádzajúce jedným bodom, na všetkých osiach sú jednotky rovnakej dĺžky-karteziánska sústava zavedieme ju nasledovne 1. zvolíme
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické nerovnice
Ma-Go--T List Goniometrické nerovnice RNDr. Marián Macko U: Problematiku, ktorej sa budeme venovať, začneme úlohou. Máme určiť definičný obor funkcie f zadanej predpisom = sin. Máš predstavu, s čím táto
Διαβάστε περισσότεραJán Buša Štefan Schrötter
Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako
Διαβάστε περισσότεραMetodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Základné pojmy a vzťahy Základné neurčité integrály Cvičenia Výsledky... 11
Obsah Neurčitý integrál 7. Základné pojmy a vzťahy.................................. 7.. Základné neurčité integrály............................. 9.. Cvičenia..........................................3
Διαβάστε περισσότεραIntegrovanie racionálnych funkcií
Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότεραLineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus
1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových
Διαβάστε περισσότεραPríklady na precvičovanie Fourierove rady
Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru
Διαβάστε περισσότερα1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy
1. Rovnice, nerovnice a ich sústavy Osah Pojmy: rovnica, nerovnica, sústava rovníc, sústava nerovníc a ich riešenie, koeficient, koreň, koreňový činiteľ, diskriminant, doplnenie do štvorca, úprava na súčin,
Διαβάστε περισσότεραVektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich
Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:
Διαβάστε περισσότερα1 Polynómy a racionálne funkcie Základy Polynómy Cvičenia Racionálne funkcie... 17
Obsah 1 Polynómy a racionálne funkcie 3 11 Základy 3 1 Polynómy 7 11 Cvičenia 13 13 Racionálne funkcie 17 131 Cvičenia 19 Lineárna algebra 3 1 Matice 3 11 Matice - základné vlastnosti 3 1 Cvičenia 6 Sústavy
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραObyčajné diferenciálne rovnice
(ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICKÁ ANALÝZA 1
UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH Prírodovedecká fakulta Ústav matematických vied Božena Mihalíková, Ján Ohriska MATEMATICKÁ ANALÝZA Vysokoškolský učebný text Košice, 202 202 doc. RNDr. Božena
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότερα23. Zhodné zobrazenia
23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:
Διαβάστε περισσότεραALGEBRA. Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov
ALGEBRA Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov Definícia Množinu považujeme za určenú, ak vieme o ľubovoľnom objekte rozhodnúť, či je alebo nie je prvkom množiny. Množinu určujeme
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότερα7. Dokážte, že z každej nekonečnej množiny môžeme vydeliť spočítateľnú podmnožinu.
Teória množín To, že medzi množinami A, B existuje bijektívne zobrazenie, budeme symbolicky označovať A B alebo A B. Vtedy hovoríme, že množiny A, B sú ekvivalentné. Hovoríme tiež, že také množiny A, B
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότερα1. Komplexné čísla. Doteraz ste pracovali s číslami, ktoré pochádzali z nasledovných množín:
1. Komplexné čísla Po preštudovaní danej kapitoly by ste mali byť shopní: poznať použitie a význam komplexnýh čísel v elektrikýh obvodoh rozumieť pojmom reálna a imaginárna časť, imaginárna jednotka, veľkosť,
Διαβάστε περισσότεραPRÍPRAVNÝ KURZ ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ PRÍPRAVNÝ KURZ ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Strojnícka fakulta Andrea Feňovčíková Gabriela Ižaríková aaaa aaaa Táto
Διαβάστε περισσότεραprimitívnoufunkcioukfukncii f(x)=xnamnožinereálnychčísel.avšakaj 2 +1 = x, tedaajfunkcia x2
Neurčitý integrál. Primitívna funkcia a neurčitý integrál Funkcia F(x)sanazývaprimitívnoufunkcioukfunkcii f(x)naintervale(a,b),akpre každé x (a,b)platí F (x)=f(x). Z definície vidíme, že pojem primitívnej
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice riešené substitúciou
Ma-Go-10-T List 1 Goniometrické rovnice riešené substitúciou RNDr. Marián Macko U: Okrem základných goniometrických rovníc, ktorým sme sa už venovali, existujú aj zložitejšie goniometrické rovnice. Metódy
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium
Imrich Pokorný Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Strana 1 z 48 1 Nepresnosť numerického riešenia úloh 4 1.1 Zdroje chýb a ich klasifikácia................... 4 1.2 Základné pojmy odhadu
Διαβάστε περισσότεραMaturita z matematiky T E S T Y
RNr. Mário oroš Maturita z matematiky príprava na prijímacie skúšky na vysokú školu T E S T Y Všetky práva sú vyhradené. Nijaká časť tejto knihy sa nesmie reprodukovať mechanicky, elektronicky, fotokopírovaním
Διαβάστε περισσότεραSTREDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY KATEDRA MATEMATIKY A TEORETICKEJ INFORMATIKY STREDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA pre študentov FEI TU v Košiciach Ján BUŠA Štefan SCHRÖTTER Košice
Διαβάστε περισσότεραPrednáška Fourierove rady. Matematická analýza pre fyzikov IV. Jozef Kise lák
Prednáška 6 6.1. Fourierove rady Základná myšlienka: Nech x Haφ 1,φ 2,...,φ n,... je ortonormálny systém v H, dá sa tento prvok rozvinút do radu x=c 1 φ 1 + c 2 φ 2 +...,c n φ n +...? Ako nájdeme c i,
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika. Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER
Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER Košice 2006 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc. Doc. RNDr. Vladimír Penjak, CSc. Prvé vydanie Za
Διαβάστε περισσότερα3. prednáška. Komplexné čísla
3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet
Διαβάστε περισσότεραVaFu18-T List 1. Mocninové funkcie. RNDr. Beáta Vavrinčíková
VaFu8-T List Mocninové funkcie RNDr. Beáta Vavrinčíková U: V tejto téme sa budeme zaoberať jednou celou skupinou funkcií. Pripomeňme si, že funkcia popisuje určitú závislosť medzi dvoma veličinami. Na
Διαβάστε περισσότεραDIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c)
Prírodovedecká fakulta Univerzity P. J. Šafárika v Košiciach Božena Mihalíková, Ivan Mojsej Strana 1 z 43 DIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c) 1 Obyčajné diferenciálne rovnice 3 1.1 Úlohy
Διαβάστε περισσότερα2. prednáška. Teória množín I. množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin
2. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Verzia: 27. 9. 2009 Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika
Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER Strana 1 z 262 Košice 2006 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc. Doc. RNDr. Vladimír Penjak, CSc. Strana
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότεραZákladné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií
Ma-Go-2-T List Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií RNDr. Marián Macko U: Predstav si, že ti zadám hodnotu jednej z goniometrických funkcií. Napríklad sin x = 0,6. Vedel by si určiť
Διαβάστε περισσότεραFunkcie komplexnej premennej
(prezentácia k prednáške FKP/10) doc. RNDr., PhD. 1 1 ondrej.hutnik@upjs.sk umv.science.upjs.sk/analyza Prednáška 1 16. februára 2016 Podmienky Obsah nepovinná účast (!prelínanie prednášok a cvičení!)
Διαβάστε περισσότεραOhraničenosť funkcie
VaFu05-T List Ohraničenosť funkcie RNDr. Beáta Vavrinčíková U: V bežnom živote sa často stretávame s funkciami, ktorých hodnot sú určitým spôsobom obmedzené buď na celom definičnom obore D alebo len na
Διαβάστε περισσότεραXVIII. ročník BRKOS 2011/2012. Pomocný text. Kde by bola matematika bez čísel? Čísla predstavujú jednu z prvých abstrakcií, ktorú
Pomocný text Číselné obory Číselné obory Kde by bola matematika bez čísel? Čísla predstavujú jednu z prvých abstrakcií, ktorú ľudia začali vnímať. Abstrakcia spočívala v tom, že množstvo, ktoré sa snažili
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότεραDeliteľnosť a znaky deliteľnosti
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a
Διαβάστε περισσότεραMini minimaliz acia an BUˇ Koˇ sice 2011
Mini minimalizácia Ján BUŠA Košice 2011 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Noname, CSc. Doc. RNDr. Emanname, PhD. Prvé vydanie Za odbornú stránku učebného textu zodpovedá autor. Rukopis neprešiel redakčnou ani jazykovou
Διαβάστε περισσότεραZÁPISKY Z MATEMATICKEJ ANALÝZY 1
UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH Prírodovedecká fakulta Ústav matematických vied 4 3 4 n 6 4 3 2 3 2 4 3 6 5 6 7 3 4 2 3 3/5 /2 2/5 /3 /4 /5 /0 d 0/ /0 /5 /4 /3 2/5 6 3 2 3 2 6 5 6 7 3 4 2
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότερα1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia... 3
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 3 1.3 Základné označenia................................. 3 2 Množiny a zobrazenia
Διαβάστε περισσότεραPlanárne a rovinné grafy
Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Planárne a rovinné grafy Definícia
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICKÁ OLYMPIÁDA
S MATEMATICÁ OLYMPIÁDA skmo.sk 2008/2009 58. ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO. Nech n je kladné celé číslo a a,..., a k (k 2) sú navzájom rôzne celé čísla z množiny {,..., n} také, že n
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. (prednáška pre 1. roč. iai) V. Balek
Matematika prednáška pre. roč. iai) V. Balek . Definícia derivácie Č o j e t o m a t e m a t i c k á a n a l ý z a? Matematická analýza je náuka o deriváciach diferenciáln počet) a integráloch integráln
Διαβάστε περισσότεραFakulta riadenia a informatiky Žilinskej univerzity
Poznámka k úlohám o funkciách: Ak nie je uvedené inak, je definičným oborom funkcie množina všetkých reálnych čísel, pre ktoré výraz definujúci funkciu má zmysel. 0 Ktorá z nasledujúcich funkcií nie je
Διαβάστε περισσότεραRiešenia. Základy matematiky. 1. a) A = { 4; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3}, b) B = {4; 9; 16}, c) C = {2; 3; 5},
Riešenia Základy matematiky 1. a) A = { ; ; ; 1; 0; 1; ; }, b) B = {; 9; 16}, c) C = {; ; 5}, d) D = { 1}, e) E =.. B, C, D, F (A neobsahuje prvok 1, E obsahuje navyše prvok 1, G neobsahuje prvok 1)..
Διαβάστε περισσότεραBANACHOVE A HILBERTOVE PRIESTORY
BANACHOVE A HILBERTOVE PRIESTORY 1. ZÁKLADNÉ POJMY Normovaným lineárnym priestorom (NLP) nazývame lineárny (= vektorový) priestor X nad telesom IK, na ktorom je daná nezáporná reálna funkcia : X IR + (norma)
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry
Katedra matematiky Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická Univerzita v Košiciach Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová, Helena Myšková 005 RECENZOVALI: RNDr. Štefan Schrötter, CSc. RNDr.
Διαβάστε περισσότεραMaturitné úlohy. Matematiky. Pre gymnázium
Jozef Vozár Maturitné úlohy Z Matematiky Pre gymnázium I. (Úlohy s krátkou odpoveďou) OBSAH ÚVOD... 3 1. ZÁKLADY MATEMATIKY... 3 1.1 Logika a množiny... 3 1.2 Čísla, premenné a výrazy... 7 1.3 Teória čísel...
Διαβάστε περισσότεραNUMERICKÁ MATEMATIKA A MATEMATICKÁ ŠTATISTIKA
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ NUMERICKÁ MATEMATIKA A MATEMATICKÁ ŠTATISTIKA Stavebná fakulta Doc.Ing. Roman Vodička, PhD. RNDr. PavolPurcz, PhD.
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA II ZBIERKA ÚLOH
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STAVEBNÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATIKY A DESKRIPTÍVNEJ GEOMETRIE RNDr. Pavol PURCZ, PhD. RNDr. Martina RÉVAYOVÁ MATEMATIKA II ZBIERKA ÚLOH KOŠICE 6 Copyright c 6, RNDr. Pavol
Διαβάστε περισσότεραFakulta riadenia a informatiky Žilinskej univerzity
Fakulta riadenia a informatik Žilinskej univerzit Riaditeľ siete stravovacích zariadení dal pokn, že do každej reštaurácie, v ktorej stúpne počet hostí o viac ako 3 %, musia prijať najmenej dvoch nových
Διαβάστε περισσότεραSpojité rozdelenia pravdepodobnosti. Pomôcka k predmetu PaŠ. RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 26. marca Domovská stránka. Titulná strana.
Spojité rozdelenia pravdepodobnosti Pomôcka k predmetu PaŠ Strana z 7 RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 6. marca 3 Zoznam obrázkov Rovnomerné rozdelenie Ro (a, b). Definícia.........................................
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I. Doc. RNDr. Michal Šabo, CSc
MATEMATIKA I Doc. RNDr. Michal Šabo, CSc 2 Obsah Predhovor 5 2 VYBRANÉ STATE Z ALGEBRY 2. Úvod................................... 2.2 Reálne n-rozmerné vektory...................... 2.3 Matice..................................
Διαβάστε περισσότερα