Εισαγωγή στην Θεωρία Οµάδων Συµµετρίας

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εισαγωγή στην Θεωρία Οµάδων Συµµετρίας"

Κασσάνδρα Αλεξίου
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Εισαγωγή στην Θεωρία Οµάδων Συµµετρίας Τι µας χρειάζεται; Προβλέπει τη φασµατοσκοπία και τη συµπεριφορά ατόµων και µορίων Πράξεις Συµµετρίας: κινήσεις του µορίου κατά τις οποίες η τελική γεωµετρία του µορίου είναι ίδια µε την αρχική.. Ταυτότητα E ή C : καµία πράξη. Περιστροφή τάξης n, C n : περιστροφή ως προς άξονα κατά γωνία π/n C η γωνία περιστροφής είναι 8 ο π/ άρα n

2 . Ανάκλαση ως προς επίπεδο σ.. Ανάκλαση ως προς κέντρο συµµετρίας i. 5. S n : Περιστροφή C n που ακολουθείται από ανάκλαση σ ως επίπεδο κάθετο στον άξονα περιστροφής. C σ S

3 Θεωρία Οµάδων Συµµετρίας Οµάδα είναι µία συλλογή πράξεων συµµετρίας που έχει τις εξής ιδιότητες. Ένα µέλος είναι η πράξη της ταυτότητας Ε. Το γινόµενο δύο µελών αποτελεί επίσης µέλος της οµάδας. Η πράξη του πολλαπλασιασµού είναι προσεταιριστική Α*(Β*Γ(Α*Β*Γ ΠΡΟΣΟΧΗ!! Α*Β Β*Α. Για κάθε µέλος (Ζ της οµάδας υπάρχει αντίστροφος (Ζ έτσι ώστε Ζ *Ζ Ζ ΖΕ BCTAGJ B B C T A G J C C B J G A T T T G B J C A A A J G BT C GGTACJ B J J A C T B G Το στοιχείο της ταυτότητας είναι το Β Υπάρχουν αντίστροφοι, π.χ. Για το J είναι το G διότι J*GG*JB Όλα τα γινόµενα είναι στοιχεία της οµάδας Ισχύει C*(T*GC*CB και (C*Τ*GJ*GB άρα C*(T*G (C*Τ*G

4 Μετασχηµατισµός Οµοιότητας ορίζεται ως το γινόµενων τριών πράξεων, δύο εκ των οποίων είναι αντίστροφες Ζ *Χ*ΖΥ Οι πράξεις Χ και Υ που συνδέονται µε µετασχηµατισµό οµοιότητας ονοµάζονται συζυγείς πράξεις. Η τάξη είναι το σύνολο των συζυγών πράξεων µιας οµάδας π.χ. BCTAGJ B B C T A G J C C B J G A T T T G B J C A A A J G BT C GGTACJ B J J A C T B G J *C*JG*(C*JG*TA J *T*JG*(T*JG*AC J *A*JG*(A*JG*CT Εποµένως τα Α, C, Τ ανήκουν στην ίδια τάξη (lss

5 Βαθµός (order µιας οµάδας είναι ο αριθµός των στοιχείων συµµετρίας που περιέχει BCTAGJ Βαθµός BBCTAGJ C C B J G A T T T G B J C A A A J G BTC GGTACJ B J J A C T B G Υποοµάδα είναι ένα υποσύνολο των πράξεων µιας οµάδας που αποτελούν µικρότερη οµάδα {Β,C} βαθµός {Β,G,J} βαθµός BCTAGJ BBCTAGJ C C B J G A T T T G B J C A A A J G BTC GGTACJ B J J A C T B G BCTAGJ BBCTAGJ C C B J G A T T T G B J C A A A J G BT C GGTACJ B J J A C T B G BGJCTA B B G J C T A GGJBTAC J JBGACT CCATBJG T T C A G B J A A T C J G B ΠΡΟΣΟΧΗ: Ο βαθµός µιας τυχόν υποοµάδας είναι πάντοτε ακέραιος διαιρέτης του βαθµού της κύριας οµάδας π.χ. ** δηλ ή ή 5

6 Οµάδες Σηµειακής Συµµετρίας (point( groups C : Ανήκουν µόρια µε µόνη πράξη συµµετρίας την ταυτότητα Ε Cl N F C i : Ανήκουν µόρια µε πράξεις συµµετρίας Ε και i (κέντρο συµµετρίας F Cl Cl F

7 C n : Ανήκουν µόρια µε πράξεις συµµετρίας Ε και C n (άξονας συµµετρίας C C nv : Ανήκουν µόρια µε πράξεις συµµετρίας E, C n και n σ v (κατακόρυφα επίπεδα δηλ. επίπεδα συµµετρίας που περιέχουν τον κύριο άξονα C n v επίπεδα σ v ' σ v C v C άξονας 7

8 Πίνακας γινοµένων της οµάδας C v C v E C σ v σ v ' E E C σ v σ v ' C C E σ v σ v σ v ' σ v ' C *C E C C E C v E C σ v σ v ' E E C σ v σ v ' C C σ v σ v C σ v ' σ v ' σ v ' σ v σ v *σ v 'C C C v E C σ v σ v ' E E C σ v σ v ' C C E σ v ' σ v σ v σ v σ v ' E C σ v ' σ v ' σ v C E 8

9 C nh : Ανήκουν µόρια µε πράξεις συµµετρίας E, C n και ένα σ h (οριζόντιο δηλ. επίπεδο συµµετρίας κάθετο στον κύριο άξονα C n C h C h 9

10 C C C C κύριος άξονα περιστροφής είναι κάθετος στο επίπεδο της διαφάνειας και περνάει από το κέντρο του δακτυλίου. Παρατηρούµε ότι υπάρχουν ΥΟ ( C άξονες!

11 D n : Ανήκουν µόρια µε πράξεις συµµετρίας E, C n και n C άξονες κάθετους στον κύριο άξονα C n D nd : Ανήκουν µόρια µε πράξεις συµµετρίας E, C n, n C άξονες κάθετους στον κύριο άξονα C n και n σ d (κατακόρυφα δίεδρα επίπεδα δηλ. επίπεδα συµµετρίας που περιέχουν τον κύριο άξονα C n D d

12 C κύριος άξονα περιστροφής είναι κάθετος στο επίπεδο της διαφάνειας και ακολουθεί την διεύθυνση το δεσµού C-C C C Υπάρχουν και C άξονες κάθετοι στον C και περνούν από το µέσο του δεσµού C-C C C C

13 C C C C

14 D nh : Ανήκουν µόρια µε πράξεις συµµετρίας E, C n, n C άξονες κάθετους στον κύριο άξονα C n και σ h (οριζόντιο επίπεδο δηλ. επίπεδο συµµετρίας κάθετο στον κύριο άξονα C n C C C Το οριζόντιο επίπεδο σ h ορίζετε από τους τρεις άνθρακες

15 Ιδιαίτερες Οµάδες D h : Ανήκουν γραµµικά µόρια µε άξονα συµµετρίας κάθετο στο δεσµό. C v : Όλα τα υπόλοιπα γραµµικά µόρια Τ d : Ανήκουν τα τετραεδρικά µόρια Ο h : Ανήκουν τα οκταεδρικά µόρια Ι h : Ανήκουν τα εικοσαεδρικά µόρια Κ h : Σφαιρική συµµετρία ανήκουν τα άτοµα 5

16 ιάγραµµα Ροής για αναγνώριση Σηµειακής Οµάδες Συµµετρίας Ιδιαίτερη Οµάδα; XI NAI C v, D h, T d, h, I h? C n (n> XI? σ NAI XI NAI? C NAI? σ h NAI XI D nh C s? i? σ h NAI XI NAI C i C C nh XI XI D nd NAI? σ v? σ v NAI C nv XI XI D n C n

17 Αλλ.ένιο C. Ιδιαίτερη οµάδα? ΟΧΙ. Cn (n>? NAI C κατά µήκος των δεσµών CCC. C? ΝΑΙ C. σ h? XI 5. σ v? NAI σ v Το µόριο έχει D d συµµετρία 7

18 F? C v CC (γραµµικό D h Cl Cl C s (επίπεδο C C σ h D h 8

19 9 Πράξεις Συµµετρίας και Πίνακες Πράξεις Συµµετρίας και Πίνακες (,, (',',' Μια πράξη συµµετρίας, µετακινεί κάποιο άτοµο από κάποια θέση (,, σε κάποια άλλη (',','. Με µεταβολή αυτή της γεωµετρίας µπορεί να περιγραφή µε κάποιον πίνακα R R R R R R R R R RB A!! Πίνακας Ταυτότητας E Πίνακας Ανάκλασης Επιπέδου xy σ z x y

20 5 C C 5 Επειδή, όσο αυξάνεται ο αριθµός των ατόµων, τόσο το µέγεθος των πινάκων µεγαλώνει, για να απλουστεύσουµε τις πράξεις µετασχηµατίζουµε τους πίνακες που περιγράφουν τις πράξεις συµµετρίας ώστε οι νέοι πίνακες να είναι ηµιδιγώνειοι ( τετραγωνικώς διαγώνιοι N M L K J I G F E D C B A f e d f e d f e d f e d f e d f e d Οι απλουστεύσεις αυτές επιτυγχάνονται µε µετασχηµατισµούς οµοιότητας Ζ *Χ*ΖΥ Η πράξεις (πίνακες Χ και Υ που συνδέονται µε µετασχηµατισµό οµοιότητας ονοµάζονται συζυγείς πράξεις. Η τάξη είναι το σύνολο των συζυγών πράξεων µιας οµάδας Οι µικροί τετραγωνικοί πίνακες κατά µήκος της διαγωνίου ονοµάζονται µηαναγωγήσιµες παραστάσεις (ΜΑΠ

21 Το ίχνος ή χαρακτήρας ενός πίνακα ορίζεται από το άθροισµα των στοιχείων τις διαγωνίου N M L K J I G F E D C B A f e d f e d f e d f e d f e d f e d Χ Υ ( ( ( ( ( X Tr EX Tr ZX Z Tr XZ Z Tr Y Tr Ιδιότητα : Τr(ABTr(BA Απόδειξη: j jj j i ij ji j i ji ij i j ji ij i ii BA Tr BA A B B A B A AB AB Tr ( ( Ιδιότητα : Εάν, Χ καί Υ συζυγείς, τότε Τr(ΧTr(Υ Απόδειξη:

22 Πράξεις Συµµετρίας Πίνακες Χαρακτήρων C v E C C σ v σ d A z z z ΜΑΠ A R z B x y x(x y B xy xyz E (x,y, (Rx,Ry (xz, yz (xz, yz, [x(x y, y(x y ] Γ x,y,z χαρακτήρες A(Σ : µονοδιάστατες ΜΑΠ συµµετρικές ΜΑΠ ως προς C n B : µονοδιάστατες ΜΑΠ µη-συµµετρικές ΜΑΠ ως προς C n Ε (Π, T ( : δισδιάστατες και τρισδιάστατες ΜΑΠ, : συµµετρικές και µη-συµµετρικές ΜΑΠ ως προς C ','' : συµµετρικές και µη-συµµετρικές ΜΑΠ ως προς σ h (+, ( : συµµετρικές και µη-συµµετρικές ΜΑΠ ως προς σ υ g, u : συµµετρικές και µη-συµµετρικές ΜΑΠ ως προς i

23 C v E C C σ v σ d A z x +y, z z A R z B x y x(x y Βάσεις Ατοµικών Τροχιακών x, y, z : αντιστοιχούν σε ατοµικά p-τροχιακά (p x, p y, p z z, x -y : αντιστοιχούν σε ατοµικά d- τροχιακά (d z, d x-y z : αντιστοιχούν σε ατοµικά f- τροχιακά Λέµε ότι οι ΜΑΠ µετασχηµατίζονται όπως και τα αντίστοιχα ατοµικά τροχιακά κάτω από τις αντίστοιχες πράξεις συµµετρίας Π.χ. Το p z είναι πλήρως συµµετρικό ως προς κάθε πράξη συµµετρίας στην οµάδα C v εποµένως αντιστοιχεί στο Α Ε, C, C, σ h, σ v

24 C v E C C σ v σ d A z x +y, z z A R z B x y x(x y y x Ε Χαρακτήρας + C y x C + Ίδιοι Χαρακτήρες µε Β σ v + σ d

25 Προσδιορισµός ΜΑΠ C v E C σ v (xy σ v (yz A A - - B - - B - - Γ R R ( Γi χ χ ( Γi C l R α(γ i : # των ΜΑΠ Γ i l : Ο βαθµός της οµάδας χ R : χαρακτήρας της ΑΠ χ R (Γ i : χαρακτήρας της ΜΑΠ C R : Ο βαθµός της τάξης (συντελεστής της πράξης συµµετρίας R ( A χ( χ( E C ( + ( χ(σvxz χ(σv yz + ( + ( 8 ( A ( B ( B ( + + ( + ( ( + ( + + ( ( + ( + ( + Οι ΜΑΠ είναι Α και Β 5

26 C v E C σ v A A - E - Γ ( A ( A ( E χ( χ( χ(σ E C v ( + ( ( + ( ( ( + + ( ( + + ( + 8 Οι ΜAΠ είναι Α, Α και Ε

27 Ευθέα Γινόµενα ΜΑΠ D E C C A A - E - A x A A A x A - A A x E - E A x A A A x E - E E x E A+A+E Το ευθύ γινόµενο δύο ΜΑΠ είναι µία αναγωγήσιµη παράσταση που µπορεί να αναχθεί σε γραµµικό συνδυασµό ΜΑΠ Η αναγωγήσιµη παράσταση του ευθέως γινοµένου προσδιορίζεται από το γινόµενο των χαρακτήρων κάθε τάξης (πράξης συµµετρίας ΠΡΟΣΟΧΗ! Οβαθµός της τάξης δεν χρησιµοποιείτε στο ευθύ γινόµενο 7

Σχετικά έγγραφα

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι (ΧΗΜ-048) ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ. 5. Θεωρία Ομάδων Μοριακή συμμετρία. ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ.

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι (ΧΗΜ-048) ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ. 5. Θεωρία Ομάδων Μοριακή συμμετρία. ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ. ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι (ΧΗΜ-48) ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ 5. Θεωρία Ομάδων Μοριακή συμμετρία ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ (Γ εξ. 26) Μοριακή Συμμετρία Θεωρία Ομάδων I. Βασικά στοιχεία θεωρίας ομάδων II.