4.1 Εύρεση του Συνόλου των ιεργασιών Συμμετρίας ενός Μορίου

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "4.1 Εύρεση του Συνόλου των ιεργασιών Συμμετρίας ενός Μορίου"

Transcript

1 4. Ομάδες Σημείου ιδακτικοί στόχοι Μετά την ολοκλήρωση της μελέτης του κεφαλαίου αυτού θα μπορείτε να... o ορίζετε την έννοια της ομάδας σημείου ενός μορίου o διακρίνετε τις βασικές κατηγορίες ομάδων σημείου o διακρίνετε τις βασικές ομάδες σημείου κάθε κατηγορίας o βρίσκετε την ομάδα σημείου ενός μορίου Προαπαιτούμενες γνώσεις υχέρεια στον εντοπισμό των στοιχείων συμμετρίας περιστροφής, στροφοκατοπτρισμού, κατοπτρισμού και αναστροφής, στην εκτέλεση των αντίστοιχων διεργασιών και στην εύρεση των διεργασιών που προκύπτουν από τους συνδυασμούς και τις δυνάμεις των παραπάνω διεργασιών ύρεση του Συνόλου των ιεργασιών Συμμετρίας ενός Μορίου Όπως είδαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο η περιγραφή της συμμετρίας ενός μορίου στα πλαίσια της μοριακής συμμετρίας συνίσταται στην εύρεση και καταγραφή του συνόλου των στοιχείων και διεργασιών συμμετρίας που απαντώνται στο μόριο. Το σύνολο αυτό πρέπει να είναι πλήρες, δηλαδή να περιέχει όλες τις απλές διεργασίες συμμετρίας καθώς και αυτές που προκύπτουν από τους συνδυασμούς τους ή τις δυνάμεις τους. Η διαδικασία εύρεσης των στοιχείων και διεργασιών συμμετρίας συνίσταται κατ' αρχή στην κατανόηση της γεωμετρίας του μορίου και στον εντοπισμό ενός όσο το δυνατόν μεγαλύτερου αριθμού στοιχείων συμμετρίας. Στη συνέχεια με βάση τους συνδυασμούς και τις δυνάμεις των διεργασιών που έχουν εντοπισθεί προκύπτουν οι υπόλοιπες διεργασίες συμμετρίας και τα αντίστοιχα στοιχεία συμμετρίας. Στο Σχήμα 4.1α δίνονται τρία προφανή στοιχεία συμμετρίας του τριγωνικού διπυραμιδικού μορίου PF. Τα στοιχεία αυτά είναι ο άξονας C που Σχήμα 4.1α. Στοιχεία συμμετρίας C, ταυτίζεται με την ομάδα F(α)-P-F(β), ο άξονας C που ταυτίζεται με την C και σ h στο μόριο PF ομάδα P-F(γ) και το επίπεδο σ h που ταυτίζεται με το ισημερινό επίπεδο του μορίου, PF(γ)F(δ)F(ε). Oι αντίστοιχες διεργασίες είναι οι C, C και σ h. Με βάση αυτές μόνο τις διεργασίες θα δούμε στη συνέχεια πως προκύπτει το πλήρες σύνολο των στοιχείων και διεργασιών συμμετρίας του μορίου. Από τις δυνάμεις της διεργασίας C προκύπτουν οι νέες διεργασίες C και =C. Από το συνδυασμό σ h C προκύπτει η διεργασία S =σ h C ενώ από τις δυνάμεις της διεργασίας S προκύπτει η νέα διεργασία S. Έτσι προκύπτει ένα σύνολο διεργασιών συμμετρίας [, C, C, C, σ h, S, S ]. Oι υπόλοιπες διεργασίες συμμετρίας του μορίου, εάν υπάρχουν, μπορούν να προκύψουν από τους συνδυασμούς των παραπάνω διεργασιών. Παρατηρώντας τους παρακάτω συνδυασμούς των διεργασιών του παραπάνω συνόλου, προκύπτει ότι κάποιοι συνδυασμοί ισοδυναμούν με μια διεργασία που ανήκει στο σύνολο αυτό, ενώ για κάποιους άλλους, που επισημαίνονται με σκίαση, δεν υπάρχει ισοδύναμη διεργασία συμμετρίας που να ανήκει στο σύνολο. C =C C =C C =C σ h =σ h S =S S =S C =C C C = C C =_ C σ h =S C S =S C =C C C = C C =_ C σ h =S 1 C S =σ h C S =σ h C S =S

2 C =C C C =_ C C =_ C σ h =_ C S =_ C S =_ σ h =σ h σ h C =S σ h C =S σ h C =_ σ h S =C σ h S =C S =S S C =S S C =σ h S C =_ S σ h =C S S = S =S S C =σ h S C =S S C =_ S σ h =C S S = Οι συνδυασμοί αυτοί ισοδυναμούν με τις νέες διεργασίας συμμετρίας C ', C, σ v, σ v ', και σ v, που φαίνονται στο Σχήμα 4.1β, και για τους οποίους είναι εύκολο να διαπιστωθεί ότι: C C =C ' C C =C " σ h C =σ v C S =σ v ' S C =σ v " C C =C ' C C =C " C σ h =σ v S C =σ v ' C S =σ v " Έτσι, στα παραπάνω στοιχεία συμμετρίας του μορίου προστίθενται οι δύο άξονες C ' και C " που συμπίπτουν με τους άξονες P-F(δ) και P-F(ε) αντιστοίχως και τα επίπεδα κατοπτρισμού σ v, σ v ' και σ v " που περιέχουν τους άξονες C, C ' και C " και συμπίπτουν με τα επίπεδα PF(α)F(β)F(γ), Σχήμα 4.1β. Τα στοιχεία συμμετρίας του μορίου PF PF(α)F(β)F(δ) και PF(α)F(β)F(ε) αντιστοίχως. Οι άξονες C και S αποτελούν την τομή των επιπέδων σ v, σ v ' και σ v " και οι άξονες C, C ' και C " την τομή του επιπέδου σ h με καθένα από τα επίπεδα σ v, σ v ' και σ v " αντιστοίχως. Τελικά, το πλήρες σύνολο διεργασιών συμμετρίας του μορίου PF διαμορφώνεται ως : [, C, C, C, C ', C ", σ h, S, S, σ v, σ v ', σ v "] Από τη μελέτη των συνδυασμών των διεργασιών συμμετρίας προκύπτουν οι παρακάτω γενικοί κανόνες με βάση τους οποίους μετά τον εντοπισμό ορισμένων στοιχείων συμμετρίας μπορεί να προβλεφθεί η ύπαρξη νέων. 1. Ο συνδυασμός δύο διεργασιών περιστροφής ισοδυναμεί πάντα με διεργασία περιστροφής.. Ο συνδυασμός των διεργασιών κατοπτρισμού σε δύο επίπεδα σ και σ' που σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία φ ισοδυναμεί με διεργασία περιστροφής κατά φ, C n (όπου n=π/φ), περί άξονα που ταυτίζεται με την τομή των δύο επιπέδων. Αυτό σημαίνει ότι η ύπαρξη των επιπέδων κατοπτρισμού σ και σ' προϋποθέτει την ύπαρξη του άξονα C n.. Η ύπαρξη άξονα C n και επιπέδου συμμετρίας σ που τον περιέχει προϋποθέτει την ύπαρξη n τέτοιων επιπέδων, η τομή των οποίων συμπίπτει με τον άξονα και σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία φ=π/n. 4. Ο συνδυασμός δύο διεργασιών περιστροφής C και C ', περί δύο αξόνων που σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία φ ισοδυναμεί με διεργασία περιστροφής περί άξονα, C n κατά φ (όπου n=π/φ). Ο άξονας C n είναι κάθετος στο επίπεδο που ορίζουν οι δύο άξονες. Με βάση αυτόν τον κανόνα αποδεικνύεται εύκολα ότι η ύπαρξη άξονα C κάθετου σε άξονα C n προϋποθέτει την ύπαρξη συνολικά n αξόνων C.. Η ύπαρξη άξονα περιστροφής C n και ενός επιπέδου κατοπτρισμού σ κάθετου σε αυτόν προϋποθέτει την ύπαρξη άξονα στροφοκατοπτρισμού S n. 6. Η ύπαρξη άξονα περιστροφής C ν με άρτια τάξη και ενός επιπέδου κατοπτρισμού σ κάθετου σε αυτόν προϋποθέτει την ύπαρξη κέντρου συμμετρίας i, εφόσον C ν ν σ=σc ν ν =σc =S =i. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον έχει η εφαρμογή των κανόνων αυτών στο παραπάνω παράδειγμα του μορίου PF και μάλιστα στην περίπτωση που έχουν εντοπιστεί μόνο τα στοιχεία συμμετρίας [C, C, σ h ]. Κατ' αρχήν η ύπαρξη των C και σ h οδηγεί στον εντοπισμό του S (κανόνας ). Η ύπαρξη των C και C προϋποθέτει την ύπαρξη τριών αξόνων δεύτερης τάξης C, C ' και C " που σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία 10 (κανόνας 4). Έτσι προκύπτει εύκολα το σύνολο [, C, C, C ', C ", σ h, S ]. Στη συνέχεια από τους συνδυασμούς των διεργασιών αυτών προκύπτουν οι

3 διεργασίες κατοπτρισμού που αντιστοιχούν στα στοιχεία συμμετρίας σ v, σ v ', σ v " ). Στις παρακάτω ενότητες θα δούμε ότι η εύρεση όλων των στοιχείων και διεργασιών συμμετρίας ενός μορίου θα απλοποιηθεί ακόμη περισσότερο. 4. Ορισμός των Ομάδων Σημείου Το πλήρες σύνολο των διεργασιών συμμετρίας ενός μορίου περιγράφει επακριβώς τη συμμετρία ενός μορίου και καλείται ομάδα συμμετρίας ή ομάδα σημείου. Ο όρος "σημείο" χρησιμοποιείται γιατί, όπως είναι προφανές από τα παραπάνω παραδείγματα, όλα τα στοιχεία συμμετρίας ενός μορίου διέρχονται από ένα κοινό σημείο, το οποίο αποτελεί και το κέντρο μάζας του μορίου. Το σημείο αυτό μπορεί να συμπίπτει ή όχι με τη θέση ενός ατόμου του μορίου και παραμένει ανεπηρέαστο κατά την εφαρμογή οποιασδήποτε διεργασίας συμμετρίας στο μόριο. Ο κανόνας αυτός δεν ισχύει στην περίπτωση μορίων χαμηλής συμμετρίας, όπου τα στοιχεία συμμετρίας τους τέμνονται σε μία γραμμή. Ο όρος "ομάδα" χρησιμοποιείται γιατί όπως θα δειχθεί στη συνέχεια το σύνολο αυτό των διεργασιών αποτελεί μια μαθηματική ομάδα. Η έννοια των όρων "ομάδα" και "σημείο" καθώς και η στενή σχέση της μοριακής συμμετρίας με τη μαθηματική θεωρία των ομάδων θα διευκρινισθεί στο επόμενο κεφάλαιο. Κάθε δυνατή ομάδα σημείου συνίσταται σε μια σειρά από συγκεκριμένες γενεσιουργές και παράγωγες διεργασίες συμμετρίας. Σε κάθε ομάδα σημείου ανήκουν πολλά και διαφορετικά μόρια και έτσι τα μόρια ταξινομούνται με βάση την ομάδα σημείου στην οποίαν ανήκουν. Η ταξινόμηση αυτή έχει εξαιρετική σημασία καθώς, όπως θα δούμε στη συνέχεια, μας επιτρέπει να μελετήσουμε πολλές από τις ιδιότητές των μορίων που ανήκουν σε μια ομάδα σημείου με μια ενιαία μεθοδολογία. 4. Περιγραφή των Ομάδων Σημείου Οι ομάδες σημείου ταξινομούνται σε τέσσερις κατηγορίες, τις μη περιστροφικές ομάδες, τις περιστροφικές ομάδες μοναδικού άξονα, τις διεδρικές και τις κυβικές ομάδες. Σε αυτές προστίθεται η σφαιρική ομάδα η οποία αποτελεί μια ιδιαίτερη περίπτωση. Σε κάθε κατηγορία εντάσσεται μια σειρά από οικογένειες ομάδων σημείου οι οποίες έχουν ως μέλη μια σειρά από συγκεκριμένες ομάδες σημείου. Για παράδειγμα στην κατηγορία περιστροφικών ομάδων μοναδικού άξονα εντάσσεται η οικογένεια ομάδων σημείου C nv που έχει ως μέλη τις ομάδες σημείου C v, C v, v, C v και C 6v. Οι κατηγορίες ομάδων σημείου, οι οικογένειες και τα μέλη τους δίνονται στον Πίνακα 4.α. Ο συμβολισμός των ομάδων σημείου που χρησιμοποιείται στη μοριακή συμμετρία είναι αυτός του Schoenflies, όπου το σύμβολο που χρησιμοποιείται για κάθε ομάδα είναι δηλωτικό των στοιχείων και διεργασιών συμμετρίας που περιέχει. Στα σύμβολα των ομάδων μοναδικού άξονα και των διεδρικών ομάδων ο δείκτης "n" συμβολίζει την τάξη του κύριου άξονα της ομάδας και λαμβάνει τιμές n =,,...,. Για να μην συγχέονται οι συμβολισμοί των ομάδων σημείου με εκείνους των διεργασιών συμμετρίας, στα σύμβολα των ομάδων σημείου θα χρησιμοποιούνται έντονοι και πλάγιοι χαρακτήρες (π.χ. C v ), σε αντίθεση με τα σύμβολα των διεργασιών συμμετρίας όπου χρησιμοποιούνται έντονοι και πλάγιοι χαρακτήρες μόνο για το σύμβολο της διεργασίας και κανονικοί χαρακτήρες για τους δείκτες (π.χ. C, σ v ). Υπενθυμίζεται ότι για τα στοιχεία συμμετρίας χρησιμοποιούνται πλάγιοι για το στοιχείο (X) και κανονικοί χαρακτήρες για τους δείκτες (π.χ. C, σ v ). Πίνακας 4.α Κατηγορίες ομάδων σημείου Συμβολισμός Διεργασίες συμμετρίας Μη περιστροφικές ομάδες C 1 C s, σ h C i, i Συνεχίζεται Μέλη C 1 C s C i

4 Συνέχεια Περιστροφικές ομάδες μοναδικού άξονα C n n-1, C n,..., C n C C C C 6 C 7 C 8 C nv, C n,..., C n-1 n, nσ v,d C v C v v C v C 6v C nh, C n,..., C n-1 n, σ h C h C h h C h C 6h S n n-1, S n,..., S n S 4 S 6 S 8 C v, C φ, σ v C v Διεδρικές ομάδες D n, C n,..., C n-1 n, nc (C Cn) D D D 4 D D 6 D nd, C n,..., C n-1 n, nc, nσ d (C Cn) D d D d D 4d D d D 6d D nh, C n,..., C n-1 n, nc, nσ v,d, σ h (C C n ) D h D h D 4h D h D 6h D 8h D h, C, S, C, σ h, σ v, i (C C ) D h Κυβικές ομάδες T, 4C, 4C, C T T d, 8C, C, 6S 4, 6σ d T d T h, 4C, 4C, C, i, 4S 6, 4S 6, σ h T h O, 8C, C, 6, 6C (C =C 4 ) O O h, 8C, 6C, 6, C, i, 6S 4, 8S 6, σ h, 6σ d (C =C 4 ) O h I, 1C, 1C, 0C, 1C I I h, 1C, 1C, 0C, 1C, i, 1S 10, 1S 10, 0S 6, 1σ I h Σφαιρική ομάδα Κ h, C, S, i Κ h Στη συνέχεια θα παρουσιαστούν όλες οι οικογένειες ομάδων σημείου οι οποίες απαντώνται στη μοριακή συμμετρία ανά κατηγορία. Για κάθε οικογένεια περιγράφονται οι γενεσιουργές και παράγωγες διεργασίες συμμετρίας. Για κάθε ομάδα σημείου μέλος μιας οικογένειας παρατίθενται όλες οι διεργασίες συμμετρίας της καθώς και μια σειρά από αντιπροσωπευτικά μόρια που ανήκουν σε αυτήν Μη περιστροφικές ομάδες σημείου: C 1, C s, C i Οι μη περιστροφικές ομάδες χαρακτηρίζονται από την απουσία αξόνων περιστροφής. Τα μόρια που ανήκουν σε αυτές είναι μόρια χαμηλής συμμετρίας. Οι τρεις ομάδες σημείου της κατηγορίας αναλύονται στη συνέχεια. Ομάδα σημείου C 1. Διεργασίες συμμετρίας: Η ομάδα σημείου C 1 δεν έχει κανένα στοιχείο συμμετρίας εκτός της ταυτότητας,. Τα μόρια που ανήκουν σ' αυτήν καλούνται ασύμμετρα μόρια. Μερικά τέτοια μόρια δίνονται στο Σχήμα 4..1α. Μεταξύ αυτών, κλασικά παραδείγματα αποτελούν οι οργανικές ενώσεις που περιέχουν έναν τετραεδρικό άνθρακα με τέσσερεις διαφορετικούς υποκαταστάτες, όπως το φθοροχλωροβρωμομεθάνιο. Σχήμα 4..1α. Μόρια που ανήκουν στην ομάδα σημείου C 1 4

5 Ομάδα σημείου C s. Διεργασίες συμμετρίας:, σ h Στην ομάδα σημείου C s ανήκουν αμφίπλευρα αντικείμενα και μόρια, τα οποία έχουν, εκτός της ταυτότητας,, ένα επίπεδο κατοπτρισμού, σ h και κανένα άλλο στοιχείο συμμετρίας. Το επίπεδο αυτό διχοτομεί τα τρισδιάστατα μόρια, ενώ τα επίπεδα μόρια κείνται επί αυτού. Μερικά παραδείγματα τέτοιων μορίων δίνονται στο Σχήμα 4..1β. Σχήμα 4..1β. Μόρια που ανήκουν στην ομάδα σημείου C s Ομάδα σημείου C i. Διεργασίες συμμετρίας:, i Τα αντικείμενα και τα μόρια που ανήκουν στην ομάδα σημείου C i εκτός από την ταυτότητα,, έχουν κέντρο αναστροφής, i και κανένα άλλο στοιχείο συμμετρίας. Στην ομάδα C i κατατάσσεται πολύ μικρός αριθμός μορίων διότι τα περισσότερα κεντροσυμμετρικά μόρια έχουν συνήθως περισσότερα από τα δύο παραπάνω στοιχεία συμμετρίας και συνεπώς υψηλότερη συμμετρία. Μερικά παραδείγματα τέτοιων μορίων δίνονται στο Σχήμα 4..1γ. Σχήμα 4..1γ Μόρια που ανήκουν στην ομάδα σημείου C i 4.. Περιστροφικές ομάδες μοναδικού άξονα: C n, C nv, C nh, S n, C v Κοινό χαρακτηριστικό αυτής της κατηγορίας ομάδων σημείου είναι η ύπαρξη ενός μοναδικού άξονα περιστροφής C n ή στροφοκατοπτρισμού S n. Οι οικογένειες των ομάδων σημείου της κατηγορίας αναλύονται στη συνέχεια. n-1 Ομάδες σημείου C n. Διεργασίες συμμετρίας:, C n,..., C n Οι ομάδες σημείου C n περιέχουν ως γενεσιουργό διεργασία την κατάλληλη περιστροφή, C n (n>1). πίσης περιέχουν την ταυτότητα,, καθώς και όλες τις παράγωγες διεργασίες περιστροφής που προκύπτουν από τις δυνάμεις C m n. Οι διεργασίες συμμετρίας των ομάδων σημείου της οικογένειας δίνονται στον πίνακα που ακολουθεί.

6 Οικογένεια ομάδων C n Μέλη C C C C 6 C 7 C 8 Γενεσιουργός διεργασία C C C C 6 C 7 C 8 Παράγωγες διεργασίες C C ( ) C C C 4 C (C 6 ) C (C 6 ) C (C 6 4 ) C 6 C 7 C 7 C 7 4 C 7 C 7 6 (C 8 ) C 8 C (C 8 4 ) C 8 (C 8 6 ) C 8 7 Τα μόρια που ανήκουν στις ομάδες C, C, και C 6 είναι ελάχιστα, ενώ δεν υπάρχουν μόρια που ανήκουν στις ομάδες, C 7 και C 8. Μερικά παραδείγματα δίνονται στο Σχήμα 4..α. Σχήμα 4..α Μόρια που ανήκουν στις ομάδες σημείου C n Ομάδες σημείου C nv. Διεργασίες συμμετρίας:, C n,..., C n-1 n, nσ v,d Οι ομάδες σημείου C nv περιέχουν ως γενεσιουργές διεργασίες την κατάλληλη περιστροφή, C n (n>1), και n διεργασίες κατοπτρισμού σ v ή σ d. Για την ακρίβεια η γενεσιουργός διεργασία κατοπτρισμού είναι μία, ενώ οι υπόλοιπες n-1 προκύπτουν από τον συνδυασμό των διεργασιών C m n σ v. Οι υπόλοιπες διεργασίες συμμετρίας των ομάδων αυτών είναι η ταυτότητα,, και όλες οι παράγωγες διεργασίες περιστροφής που προκύπτουν από τις δυνάμεις C m n. Οι διεργασίες συμμετρίας των ομάδων σημείου της οικογένειας δίνονται στον παρακάτω πίνακα. 6

7 Οικογένεια ομάδων C nv Μέλη C v C v v C v C 6v Γενεσιουργές διεργασίες C σ v C σ v σ v C σ v C 6 σ v Παράγωγες διεργασίες C σ d C (C 4 ) C C C 4 σ d C (C 6 ) C (C 6 ) C ( 6 ) C 6 Τα επίπεδα σ v ή σ d σχηματίζουν διαδοχικά μεταξύ τους γωνία π/n και η τομή τους συμπίπτει με τον άξονα C n. Στις ομάδες σημείου C nv με άξονα περιττής τάξης και στην C v όλα τα επίπεδα συμβολίζονται ως σ v, ενώ στις ομάδες με άξονα άρτιας τάξης (n=>4) υπάρχουν n/ επίπεδα κατοπτρισμού σ v και n/ επίπεδα σ d. Υπενθυμίζεται, ότι τα επίπεδα σ v είναι αυτά που διέρχονται από περισσότερα άτομα. Μερικά παραδείγματα μορίων που ανήκουν στις ομάδες C v, C v και v δίνονται στο Σχήμα 4..β, ενώ δεν υπάρχουν μόρια που ανήκουν στις ομάδες C v και C 6v. Σχήμα 4..β Μόρια που ανήκουν στις ομάδες σημείου C nv Ομάδες σημείου C nh. Διεργασίες συμμετρίας:, C n,..., C n-1 n, σ h Οι ομάδες σημείου C nh περιέχουν ως γενεσιουργές διεργασίες την κατάλληλη περιστροφή περί άξονα, C n (n>1), και μια διεργασία κατοπτρισμού σ h ως προς επίπεδο σ h κάθετο σε αυτόν. πειδή σ h C n =S n περιέχουν και την παράγωγη διεργασία στροφοκατοπτρισμού S n. πίσης περιέχουν την ταυτότητα,, και όλες τις παράγωγες κατάλληλες και ακατάλληλες διεργασίες που προκύπτουν από τις δυνάμεις C m n και S m n και τυχόν συνδυασμούς διεργασιών. Οι ομάδες σημείου με άξονα άρτιας τάξης C h, h και C 6h περιέχουν επιπλέον και τη διεργασία της αναστροφής, i, καθόσον σ h C =S =i. Οι διεργασίες συμμετρίας των ομάδων σημείου της οικογένειας δίνονται στον πίνακα που ακολουθεί. 7

8 Οικογένεια ομάδων C nh Γενεσιουργές διεργασίες C Παράγωγες διεργασίες Θεωρία ομάδων και μοριακή συμμετρία Μέλη C h C h h C h C 6h σ h i (S =σ h C ) C σ h C S (σ h C ) S σ h C ( ) S 4 (σ h ) i (S =σ h C ) S 4 C σ h C C C 4 S (σ h C ) S S 7 S 9 C 6 σ h C (C 6 ) C (C 6 ) C (C 6 4 ) C 6 S 6 (σ h C 6 ) S (σ h C ) i (S =σ h C ) S S 6 Μερικά παραδείγματα μορίων που ανήκουν στις ομάδες C h και C h δίνονται στο Σχήμα 4..γ, ενώ δεν υπάρχουν μόρια που ανήκουν στις ομάδες h, C h και C 6h. Σχήμα 4..γ Μόρια που ανήκουν στις ομάδες σημείου C nh n Ομάδες σημείου S n. Διεργασίες συμμετρίας:, S n,..., S n Οι ομάδες σημείου S n έχουν ως γενεσιουργή διεργασία την ακατάλληλη περιστροφή άρτιας τάξης, S n (n>). πίσης περιέχουν την ταυτότητα,, και όλες τις παράγωγες κατάλληλες και ακατάλληλες διεργασίες που προκύπτουν από τις δυνάμεις S m n. H ομάδα σημείου S 6 περιέχει επιπλέον και τη διεργασία της αναστροφής, i επειδή S 6 =S =i. Οι διεργασίες συμμετρίας των ομάδων σημείου της οικογένειας δίνονται παρακάτω. 8

9 Οικογένεια ομάδων S n Θεωρία ομάδων και μοριακή συμμετρία Μέλη S 4 S 6 S 8 Γενεσιουργές διεργασίες S 4 S 6 S 8 Παράγωγες διεργασίες C (S 4 ) S 4 C (S 6 ) i (S =S 6 ) C (S 6 4 ) S 6 (C 8 ) S 8 C (S 8 4 ) S 8 (S 8 6 ) S 8 7 ύκολα διαπιστώνεται ότι οι υποθετικές ομάδες σημείου S 1, S και S n+1 ισοδυναμούν με τις C s, C i και C (n+1)h αντιστοίχως. Μερικά παραδείγματα μορίων που ανήκουν στις ομάδες S 4 και S 6 δίνονται στο Σχήμα 4..δ ενώ δεν υπάρχουν μόρια που ανήκουν στην ομάδα S 8. Σχήμα 4..δ Μόρια που ανήκουν στις ομάδες σημείου S n Ομάδες σημείου C v. Διεργασίες συμμετρίας:, C φ, σ v φ Η ομάδα σημείου C v περιέχει ως γενεσιουργές διεργασίες την κατάλληλη περιστροφή απειροστής τάξης, C και άπειρο αριθμό διεργασιών κατοπτρισμού σ v. Η τομή των επιπέδων σ v συμπίπτει με τον άξονα C φ. Οι παράγωγες διεργασίες είναι οι C -φ, C φ, C -φ, C φ, C -φ,... και η ταυτότητα. Οι διεργασίες συμμετρίας της ομάδας σημείου δίνονται παρακάτω. Ομάδα C v Γενεσιουργές διεργασίες C φ, σ v Παράγωγες διεργασίες C -φ, C φ, C -φ, C φ, C -φ,... Σχήμα 4..ε Μόρια που ανήκουν στην ομάδα σημείου C v Στην ομάδα C v ανήκουν τα μη κεντροσυμμετρικά γραμμικά μόρια, μερικά παραδείγματα εκ των οποίων φ δίνονται στο Σχήμα 4..ε. Ο άξονας C συμπίπτει με την ευθεία στην οποία κείται το μόριο που αποτελεί και την τομή των επιπέδων σ v. 4.. ιεδρικές ομάδες: D n, D nd, D nh, D h Κοινό χαρακτηριστικό των διεδρικών ομάδων σημείου είναι η ύπαρξη ενός κύριου άξονα περιστροφής C n και n αξόνων C κάθετων στον κύριο άξονα. Οι οικογένειες των ομάδων σημείου της κατηγορίας αναλύονται στη συνέχεια. 9

10 Ομάδες σημείου D n. Διεργασίες συμμετρίας:, C n,..., C n-1 n, nc (C C n ) Οι ομάδες σημείου D n περιέχουν ως γενεσιουργές διεργασίες την κατάλληλη περιστροφή, C n (n>1) και n διεργασίες περιστροφής C περί άξονες C κάθετους στον κύριο άξονα C n.. πίσης περιέχουν την ταυτότητα,, καθώς και όλες τις παράγωγες διεργασίες περιστροφής που προκύπτουν από τις δυνάμεις C m n. Οι κάθετοι στον κύριο άξονα C n άξονες C σχηματίζουν μεταξύ τους διαδοχικές γωνίες π/n. Οι διεργασίες συμμετρίας των ομάδων σημείου της οικογένειας δίνονται παρακάτω. Οικογένεια ομάδων D n C Γενεσιουργές διεργασίες C C C Παράγωγες διεργασίες C Μέλη D D D 4 D D 6 C, C C (C 4 ) C C C C 4 C C 6 C, C C (C 6 ) C (C 6 ) C ( 6 ) C 6 Στις ομάδες σημείου D n με άρτιο n (n>) οι n/ άξονες C συμβολίζονται ως C και οι υπόλοιποι n/, που διχοτομούν τις γωνίες των C, ως C. Οι άξονες C είναι αυτοί που διέρχονται από τα περισσότερα άτομα. Στην περίπτωση της ομάδας σημείου D οι τρεις κάθετοι μεταξύ τους άξονες C είναι ισότιμοι. Έτσι, ο άξονας C που ταυτίζεται με τον καρτεσιανό άξονα z θεωρείται ως ο κύριος άξονας και συμβολίζεται ως C (z), ενώ οι άλλοι δύο ως C (x) και C (y). Μερικά παραδείγματα μορίων που ανήκουν στις ομάδες D και D δίνονται στο Σχήμα 4..α ενώ δεν υπάρχουν μόρια που ανήκουν στις ομάδες D 4, D και D 6. Σχήμα 4..α. Μόρια που ανήκουν στις ομάδες σημείου D και D Ομάδες σημείου D nd. Διεργασίες συμμετρίας:, C n,..., C n-1 n, nc, nσ d (C C n ) Οι ομάδες σημείου D nd περιέχουν ως γενεσιουργές διεργασίες την κατάλληλη περιστροφή, C n (n>1), n διεργασίες περιστροφής C περί n άξονες C κάθετους στον κύριο άξονα C n και n κατοπτρισμούς σ d ως προς n επίπεδα σ d. πίσης οι ομάδες σημείου D nd περιέχουν την ταυτότητα,, τον στροφοκατοπτρισμό S n που προκύπτει από συνδυασμούς C σ d και όλες τις παράγωγες διεργασίες περιστροφής που προκύπτουν από τις δυνάμεις C m n και S m n. Οι ομάδες σημείου D nd με περιττό n περιέχουν επιπλέον και τη διεργασία αναστροφής, i, αφού S n n =S =i. 40

11 Οι άξονες C που είναι κάθετοι στον κύριο άξονα C n σχηματίζουν μεταξύ τους διαδοχικές γωνίες π/n. Τα επίπεδα σ d σχηματίζουν μεταξύ τους διαδοχικές γωνίες π/n, περιέχουν τους άξονες C και η τομή τους συμπίπτει με τον κύριο άξονα. Οι διεργασίες συμμετρίας των ομάδων σημείου της οικογένειας δίνονται στον παρακάτω πίνακα. Οικογένεια ομάδων D nd Γενεσιουργές διεργασίες C C ' σ d Παράγωγες διεργασίες S 4 (C σ d ) S 4 Στις περιπτώσεις των ομάδων D nd με άρτιο n (n>) προκύπτει και ένας επιπλέον άξονας C. Ο άξονας αυτός αποτελεί το στοιχείο συμμετρίας της παράγωγης διεργασίας περιστροφής C =C n/ n, συμπίπτει με τον κύριο άξονα C n και συμβολίζεται απλά ως C. Οι υπόλοιποι άξονες δεύτερης τάξης συμβολίζονται ως C '. Στην περίπτωση της ομάδας σημείου D d οι τρεις κάθετοι μεταξύ τους άξονες C είναι ισότιμοι. Ωστόσο, ο άξονας που ταυτίζεται με τον καρτεσιανό άξονα z συμβολίζεται ως C και οι άλλοι δύο ως C '. Μερικά παραδείγματα μορίων που ανήκουν στις ομάδες D d, D d, D 4d και D d δίνονται στο Σχήμα 4..β,ενώ Μέλη D d D d D 4d D d D 6d C C C 6 C 4C ' C 6C ' σ d 4σ d σ d 6σ d C S 6 (C σ d ) i (S =S 6 ) S 6 C ( ) S 8 (C σ d ) S 8 S 8 S 8 7 C C C 4 S 10 (C σ d ) S 10 i (S =S 10 ) S 10 7 S 10 9 C (C 6 ) C (C 6 ) C (C 6 4 ) C 6 S 1 (C σ d ) S 4 (S 1 ) S 1 S 1 7 S 4 (S 1 9 ) S 1 11 δεν υπάρχουν μόρια που ανήκουν στην ομάδα D 6d. Σχήμα 4..β Μόρια που ανήκουν στις ομάδες σημείου D nd Ομάδες σημείου D nh. Διεργασίες συμμετρίας:, C n,..., C n-1 n, nc, nσ v,d, σ h (C C n ) Οι ομάδες σημείου D nh περιέχουν ως γενεσιουργές διεργασίες την κατάλληλη περιστροφή, C n (n>1), τις n διεργασίες περιστροφής C περί n άξονες C κάθετους στον κύριο άξονα C n, τους n κατοπτρισμούς σ v,d ως προς n επίπεδα σ v,d και τον κατοπτρισμό σ h ως προς επίπεδο σ h. πίσης οι ομάδες σημείου D nh περιέχουν την ταυτότητα, 41

12 , τον στροφοκατοπτρισμό S n που προκύπτει από το συνδυασμό σ h C n και όλες τις παράγωγες διεργασίες περιστροφής που προκύπτουν από τις δυνάμεις C m n και S m n. Οι ομάδες με άρτιο n περιέχουν επιπλέον και τη διεργασία αναστροφής, i, αφού S n/ n =σ h C n/ n =σ h C =S =i. Οι άξονες C που είναι κάθετοι στον κύριο άξονα C n σχηματίζουν μεταξύ τους διαδοχικές γωνίες π/n. Τα επίπεδα σ v,d σχηματίζουν μεταξύ τους διαδοχικές γωνίες π/n, περιέχουν τους άξονες C και η τομή τους συμπίπτει με τον κύριο άξονα. Οι διεργασίες συμμετρίας των ομάδων σημείου της οικογένειας δίνονται παρακάτω. Οικογένεια ομάδων Μέλη D nh D h D h D 4h D h D 6h D 8h Γενεσιουργές διεργασίες C (z) C (x), C (y) C C C ', C C C C 6 C ', C C 8 4C ', C σ(xz), σ(yz), σ v σ v σ v σ v 4σ v σ(xy) σ h σ d σ h σ d 4σ d Παράγωγες διεργασίες C S (C σ h ) S σ h C ( ) S 4 ( σ h ) S 4 i (S =σ h C ) C C C 4 S (C σ h ) S S 10 7 S 10 9 σ h C (C 6 ) C (C 6 ) C (C 6 4 ) C 6 S (C σ h ) S S 6 (C 6 σ h ) S 6 i (S =σ h C ) σ h (C 8 ) C 8 C (C 8 4 ) C 8 (C 8 6 ) C 8 7 S 4 ( σ h ) S 4 S 8 (C 8 σ h ) S 8 S 8 S 8 7 i (S =σ h C ) Στις ομάδες D nh με άξονα περιττής τάξης όλα τα κατακόρυφα επίπεδα συμβολίζονται ως σ v, ενώ στις ομάδες με άξονα άρτιας τάξης (n>) υπάρχουν n/ επίπεδα κατοπτρισμού σ v και n/ επίπεδα σ d. Τα επίπεδα σ v είναι αυτά που διέρχονται από τα περισσότερα άτομα. Στις περιπτώσεις των ομάδων D nh με άρτιο n (n>) προκύπτει και ένας επιπλέον άξονας C. Ο άξονας αυτός αποτελεί το στοιχείο συμμετρίας της παράγωγης διεργασίας περιστροφής C =C n/ n, συμπίπτει με τον κύριο άξονα C n και συμβολίζεται απλά ως C. Από τους n, κάθετους στον κύριο άξονα C n, άξονες C οι n/ άξονες C που διέρχονται από τα περισσότερα άτομα συμβολίζονται ως C ' και οι υπόλοιποι n/ ως C. Τα n/ επίπεδα σ v περιέχουν τον C n και έναν C ', ενώ τα n/ επίπεδα σ d περιέχουν τον C n και έναν C. Στην περίπτωση της ομάδας σημείου D h οι τρεις κάθετοι μεταξύ τους άξονες C είναι ισότιμοι. Έτσι, ο(.ο) άξονας που ταυτίζεται με τον καρτεσιανό άξονα z συμβολίζεται ως C (z) και οι άλλοι δύο ως C (x) και C (y). Τα δύο κατακόρυφα επίπεδα (σ v ) συμβολίζονται ως σ(xz) και σ(yz) και το οριζόντιο επίπεδο σ h ως σ(xy). Μερικά παραδείγματα μορίων που ανήκουν στις ομάδες D h, D h, D 4h, D h και D 6h δίνονται στο Σχήμα 4..γ, ενώ δεν υπάρχουν μόρια που ανήκουν στην ομάδα D 8h. 4

13 Σχήμα 4..γ Μόρια που ανήκουν στις ομάδες σημείου D nh Ομάδα σημείου D h. Διεργασίες συμμετρίας:, C φ, C, σ v, σ h (C C φ ) Η ομάδα σημείου D h περιέχει ως γενεσιουργές διεργασίες την κατάλληλη περιστροφή απειροστής τάξης, C φ, τις διεργασίες περιστροφής C περί άπειρους άξονες C κάθετους στον κύριο άξονα C φ, τους κατοπτρισμούς σ v ως προς άπειρα επίπεδα σ v και τον κατοπτρισμό σ h ως προς επίπεδο σ h. πίσης περιέχει την ταυτότητα,, τον στροφοκατοπτρισμό απειροστής τάξης S φ που προκύπτει από το συνδυασμό σ h C φ και όλες τις παράγωγες διεργασίες περιστροφής που προκύπτουν από τις δυνάμεις των αξόνων, δηλαδή C -φ, C φ, C -φ, C φ, C -φ,... και S -φ, S φ, S -φ, S φ, S -φ,... και κέντρο συμμετρίας i. Οι διεργασίες συμμετρίας της ομάδας σημείου δίνονται παρακάτω. Ομάδα D h Γενεσιουργές διεργασίες C φ, S φ, C, σ v Παράγωγες διεργασίες E C -φ, C φ, C -φ, C φ, C -φ,... S -φ, S φ, S -φ, S φ, S -φ,... i Στην ομάδα D h ανήκουν τα κεντροσυμμετρικά γραμμικά μόρια μερικά παραδείγματα εκ των οποίων δίνονται στο Σχήμα 4..δ. Οι άξονες C φ και S φ συμπίπτουν με την ευθεία στην οποία κείται το μόριο που αποτελεί και την τομή των επιπέδων σ v. Το κέντρο αναστροφής, i, ταυτίζεται με το μέσον του μήκους του μορίου και το σ h διέρχεται από το κέντρο αναστροφής και είναι κάθετο στον C φ. D oo h D oo h D oo h N N O C O H C C H Άζωτο ιοξείδιο του άνθρακα Αιθίνιο Σχήμα 4..δ. Μόρια που ανήκουν στην ομάδα σημείου D h 4..4 Κυβικές ομάδες: Τ, Τ h, Τ d, O, O h, I, I h Κοινό χαρακτηριστικό των κυβικών ομάδων σημείου είναι η ύπαρξη πολλαπλών αξόνων περιστροφής C n υψηλής τάξης (n>). Σε αυτές τις ομάδες σημείου ανήκουν τα πέντε πλατωνικά στερεά: τετράεδρο, κύβος, οκτάεδρο, δωδεκάεδρο και εικοσάεδρο, που φαίνονται στο Σχήμα 4..4.α. Οι έδρες των στερεών αυτών είναι κανονικά πολύγωνα (τρίγωνα, τετράγωνα, πεντάγωνα ή εξάγωνα) και όλες οι κορυφές, ακμές και έδρες είναι ισοδύναμες μεταξύ τους. Τα μόρια ή γεωμετρικά σχήματα που ανήκουν σε αυτές τις ομάδες έχουν άμεση σχέση με τα στερεά αυτά. 4

14 Σχήμα 4..4α Τα πέντε πλατωνικά στερεά Ομάδες σημείου: Τ, Τ h, Τ d Στην ομάδα σημείου Τ d ανήκει ένα από τα πλατωνικά στερεά, το τετράεδρο. Για την ευκολότερη αναγνώριση των στοιχείων και διεργασιών συμμετρίας της είναι χρήσιμη η σχέση του τετραέδρου με τον κύβο. Συγκεκριμένα, το τετράεδρο είναι το στερεό με τέσσερις κορυφές που ταυτίζονται με ισάριθμες κορυφές του κύβου όπως φαίνεται στο Σχήμα 4..4β-1. 1 Σχήμα 4..4β Ορισμός του τετραέδρου με βάση τον κύβο και στοιχεία συμμετρίας της ομάδας σημείου Τ d Η ομάδα σημείου Τ d περιέχει εκτός της ταυτότητας τα παρακάτω στοιχεία και διεργασίες συμμετρίας: o τέσσερις άξονες περιστροφής C που συμπίπτουν με τις διαγώνιες του κύβου και σχηματίζουν ανά δύο γωνία ~109. και αντιστοιχούν στις διεργασίες 4C και 4C (Σχήμα 4..4β-1). o τρεις κάθετους μεταξύ τους άξονες περιστροφής C που συνδέουν τα κέντρα των απέναντι ακμών του τετραέδρου ή τα κέντρα των απέναντι πλευρών του κύβου και αντιστοιχούν στις διεργασίες C (Σχήμα 4..4β-1). o τρεις κάθετους μεταξύ τους άξονες στροφοκατοπτρισμού S 4 που συμπίπτουν με τους άξονες C και αντιστοιχούν στις διεργασίες S 4 και S 4 (Σχήμα 4..4β-1). o έξι επίπεδα κατοπτρισμού σ d που καθορίζονται από τα ζεύγη των διαγωνίως απέναντι ακμών του κύβου και αντιστοιχούν στις διεργασίες 6σ d (Σχήμα 4..4β-). Έτσι, το σύνολο των διεργασιών της ομάδας σημείου Τ d είναι: Ομάδα σημείου Τ d. Διεργασίες συμμετρίας:, 4C, 4C, C, S 4, S 4, 6σ d 44

15 Η ομάδα σημείου Τ περιέχει μόνο τις κατάλληλες και ακατάλληλες περιστροφές της ομάδας σημείου Τ d, δηλαδή: Ομάδα σημείου Τ. Διεργασίες συμμετρίας:, 4C, 4C, C, S 4, S 4 Τέλος, η προσθήκη στην ομάδα σημείου Τ τριών επιπέδων κατοπτρισμού σ h οδηγεί στην ομάδα σημείου Τ h. Τα επίπεδα αυτά καθορίζονται από τα ζεύγη των αξόνων C. Ο συνδυασμός των διεργασιών σ h με τις άλλες διεργασίες της ομάδας έχει σαν αποτέλεσμα τέσσερις επιπλέον διεργασίες S 6 (Σχήμα 4..4β-6), από τις οποίες προκύπτουν ισάριθμες διεργασίες S 6, καθώς και η διεργασία i καθόσον σ h C =S =i. Έτσι, το σύνολο των διεργασιών της ομάδας σημείου Τ h είναι: Ομάδα σημείου Τ h. Διεργασίες συμμετρίας:, 4C, 4C, C, i, 4S 6, 4S 6, σ h Στην ομάδα σημείου Τ d ανήκουν πολλά μόρια, ενώ ελάχιστα είναι αυτά που ανήκουν στις Τ και Τ h. Μερικά παραδείγματα δίνονται στο Σχήμα 4..4.γ. Σχήμα 4..4γ Μόρια που ανήκουν στις ομάδες σημείου Τ d, Τ και Τ h Ομάδες σημείου: O, O h Στην ομάδα σημείου O h ανήκουν τα πλατωνικά στερεά του κύβου και του οκταέδρου. κτός της ταυτότητας περιέχει τα παρακάτω στοιχεία και διεργασίες συμμετρίας : o τρεις άξονες περιστροφής κάθετους μεταξύ τους που διέρχονται από τα κέντρα απέναντι εδρών στον κύβο ή απέναντι κορυφών στο οκτάεδρο και αντιστοιχούν στις διεργασίες και C 4 (Σχήμα 4..4δ-1). o τέσσερις άξονες περιστροφής C που διέρχονται από τα μέσα απέναντι κορυφών στον κύβο ή εδρών στο οκτάεδρο και αντιστοιχούν στις διεργασίες 4C και 4C (Σχήμα 4..4δ-1). o τρεις άξονες περιστροφής C που συμπίπτουν με τους άξονες και αντιστοιχούν στις διεργασίες C (Σχήμα 4..4δ-1). o έξι άξονες περιστροφής C ' κάθετους μεταξύ τους που διέρχονται από τα μέσα απέναντι ακμών τόσο στον κύβο όσο και στο οκτάεδρο και αντιστοιχούν στις διεργασίες 6C ' (Σχήμα 4..4δ-1). o τέσσερις άξονες στροφοκατοπτρισμού S 6 που συμπίπτουν με τους C και αντιστοιχούν στις διεργασίες 4S 6 και 4S 6 (Σχήμα 4..4δ-1). o τρεις άξονες στροφοκατοπτρισμού S 4 κάθετους μεταξύ τους που συμπίπτουν με τους άξονες και αντιστοιχούν στις διεργασίες S 4, S 4 και C (S 4 )(Σχήμα 4..4δ-1). o τρία επίπεδα κατοπτρισμού σ h που καθορίζονται από τα μέσα τεσσάρων ακμών στον κύβο ή τεσσάρων κορυφών του οκταέδρου και αντιστοιχούν στις διεργασίες σ h (Σχήμα 4..4δ-). o έξι επίπεδα κατοπτρισμού σ d που καθορίζονται από δύο απέναντι ακμές στον κύβο ή διέρχονται από δύο απέναντι κορυφές και διχοτομούν δύο απέναντι ακμές στο οκτάεδρο. Αυτά τα επίπεδα κατοπτρισμού σ d αντιστοιχούν στις διεργασίες 6σ d. (Σχήμα 4..4δ-). 4

16 1 Σχήμα 4..4δ Στοιχεία συμμετρίας της ομάδας σημείου O h στον κύβο και το οκτάεδρο 46

17 o το κέντρο συμμετρίας i που συμπίπτει με το κέντρο μάζας του κύβου και του οκταέδρου, αποτελεί το σημείο τομής όλων των παραπάνω στοιχείων συμμετρίας και αντιστοιχεί στη διεργασία i. Έτσι, το σύνολο των διεργασιών της ομάδας σημείου O h είναι: Ομάδα σημείου O h. Διεργασίες συμμετρίας:,, C 4, 4C, 4C, 6C ', C, i, S 4, S 4, 4S 6, 4S 6, σ h, 6σ d Η ομάδα σημείου O περιέχει μόνο τις κατάλληλες περιστροφές της ομάδας σημείου O h, δηλαδή Ομάδα σημείου O. Διεργασίες συμμετρίας:,, C 4, 4C, 4C, 6C ', C Σχήμα 4..4ε Μόρια που ανήκουν στην ομάδα σημείου O h Στην ομάδα σημείου O h ανήκουν μόρια όπως το κουβάνιο και αρκετά μόρια ενώσεων συναρμογής μεταβατικών στοιχείων (Σχήμα 4..4.ε), ενώ μόρια που ανήκουν στην Ο είναι εξαιρετικά σπάνια. Ομάδες σημείου: Ι, Ι h Στην ομάδα σημείου Ι h ανήκουν τα πλατωνικά στερεά του δωδεκάεδρου και του εικοσάεδρου. και 6S Η ομάδα σημείου Ι h, περιέχει εκτός της ταυτότητας τα παρακάτω στοιχεία και διεργασίες συμμετρίας: o έξι άξονες περιστροφής C που διέρχονται από τα κέντρα απέναντι εδρών στο δωδεκάεδρο ή απέναντι κορυφών στο εικοσάεδρο και αντιστοιχούν στις διεργασίες 6C, 6C, 6C και 6. o δέκα άξονες περιστροφής C που διέρχονται από τα μέσα απέναντι κορυφών στο δωδεκάεδρο ή εδρών στο εικοσάεδρο και αντιστοιχούν στις διεργασίες 10C και 10C. Σχήμα 4..4στ Στοιχεία συμμετρίας της ομάδας o δεκαπέντε άξονες περιστροφής C που διχοτομούν τις απέναντι ακμές τόσο σημείου Ι h στο δωδεκάεδρο και το εικοσάεδρο στο δωδεκάεδρο όσο και στο εικοσάεδρο και αντιστοιχούν στις διεργασίες 1C. o έξι άξονες στροφοκατοπτρισμού S 10 που συμπίπτουν με τους C και αντιστοιχούν στις διεργασίες 6S 10, 6S 7 10, 6S 10 o δέκα άξονες στροφοκατοπτρισμού S 6 που συμπίπτουν με τους C και αντιστοιχούν στις διεργασίες 10S 6 και 10S 6. o δεκαπέντε επίπεδα κατοπτρισμού σ που καθορίζονται από δύο άξονες, και αντιστοιχούν στις διεργασίες 1σ. o το κέντρο συμμετρίας i που συμπίπτει με το κέντρο μάζας του δωδεκάεδρου και του εικοσάεδρου, αποτελεί το σημείο τομής όλων των παραπάνω στοιχείων συμμετρίας και αντιστοιχεί στη διεργασία i. Έτσι, το σύνολο των διεργασιών της ομάδας σημείου Ι h είναι: Ομάδα σημείου Ι h. Διεργασίες συμμετρίας:, 6C, 6C, 6C, 6, 10C, 10C, 1C, i, 6S 10, 6S 10, 6S 7 10, 6S 9 10, 1σ. Η ομάδα σημείου Ι περιέχει μόνο τις κατάλληλες περιστροφές της ομάδας σημείου Ι h, δηλαδή: Ομάδα σημείου Ι h. Διεργασίες συμμετρίας:, 6C, 6C, 6C, 6, 10C, 10C, 1C 47

18 Σχήμα 4..4ζ Μόρια που ανήκουν στην ομάδα σημείου Ι h Στην ομάδα σημείου Ι h ανήκουν λίγα μόρια μεταξύ των οποίων το φουλερένιο C 60 (Σχήμα 4..4ζ), ενώ μόρια που να ανήκουν στην Ι δεν υπάρχουν. 4.. Σφαιρική ομάδα: Κ h Η ομάδα σημείου K h περιέχει ως γενεσιουργές διεργασίες τις κατάλληλες περιστροφές, C φ, περί άπειρους φ φ άξονες απειροστής τάξης, C και τις ακατάλληλες διεργασίες περιστροφής S περί άπειρους άξονες στροφοκατοπτρισμού απειροστής τάξης, S φ. Παράγωγες διεργασίες είναι η ταυτότητα, οι δυνάμεις των αξόνων C -φ, C φ, C -φ, C φ, C -φ,... και S -φ, S φ, S -φ, S φ, S -φ, οι κατοπτρισμοί σ ως προς άπειρα επίπεδα σ και η αναστροφή i. Οι διεργασίες συμμετρίας της ομάδας σημείου δίνονται παρακάτω. Ομάδα Γενεσιουργές διεργασίες Παράγωγες διεργασίες Κ h C φ, S φ, σ E C -φ, C φ, C -φ, C φ, C -φ,... S -φ, S φ, S -φ, S φ, S -φ,... i Στην ομάδα σημείου K h ανήκει η σφαίρα και όλα τα άτομα. Η έννοια του άπειρου αριθμού αξόνων απειροστής τάξης έγκειται στο γεγονός ότι, οποιοσδήποτε άξονας με τυχαία κατεύθυνση στο χώρο και οποιαδήποτε τάξη αποτελεί άξονα συμμετρίας της σφαίρας, αρκεί βέβαια να διέρχεται από το κέντρο της που αποτελεί και το κέντρο αναστροφής i. πίσης είναι προφανές ότι υπάρχουν άπειρα επίπεδα σ που διέρχονται από κέντρο αναστροφής και είναι κάθετα σε έναν από τους άξονες C φ. 4.4 Συστηματική Μέθοδος ύρεσης της Ομάδας Σημείου ενός Μορίου Σε κάθε εφαρμογή της μοριακής συμμετρίας η εύρεση της ομάδας σημείου στην οποία ανήκει το υπό μελέτη μόριο είναι το πρώτο και απαραίτητο βήμα. Ο εντοπισμός όμως όλων των στοιχείων συμμετρίας του μορίου πολλές φορές είναι δύσκολος αφού υπάρχουν ομάδες σημείου που έχουν πάνω από 100 διεργασίες συμμετρίας. Παρόλα αυτά σε κάθε ομάδα σημείου υπάρχουν ένα ή περισσότερα στοιχεία συμμετρίας "κλειδιά" που είναι χαρακτηριστικά για τη συγκεκριμένη ομάδα και αντιστοιχούν στις γενεσιουργές διεργασίες από τις οποίες προκύπτουν όλες οι άλλες. Για παράδειγμα η ύπαρξη σε ένα μόριο ενός κύριου άξονα C και τριών αξόνων C κάθετων σ' αυτόν σημαίνει ότι θα ανήκει σε μια από τις διεδρικές ομάδες σημείου (D, D h, D d ). Αν το μόριο έχει επιπλέον ένα επίπεδο κατοπτρισμού σ h τότε ανήκει στην ομάδα σημείου D h. Στην αντίθετη περίπτωση, αν έχει επίπεδα κατοπτρισμού σ v ανήκει στην D d, ενώ αν δεν έχει επίπεδα σ v ανήκει στην D. Με βάση τις παραπάνω διαπιστώσεις και μετά από συστηματική μελέτη των στοιχείων συμμετρίας των ομάδων σημείου ο Zeldin πρότεινε μια απλή μέθοδο εύρεσης της ομάδας σημείου ενός μορίου όπου η σταδιακή αναγνώριση κάποιων χαρακτηριστικών στοιχείων συμμετρίας οδηγεί στον εντοπισμό της ομάδας σημείου του μορίου. Σύμφωνα με τη μέθοδο Zeldin ακολουθώντας μια σειρά από λογικά βήματα αναζητούνται κάποια χαρακτηριστικά στοιχεία συμμετρίας στο υπό μελέτη μόριο και η ύπαρξη ή μη αυτών οδηγεί στην εύρεση της 48

19 ομάδας σημείου του μορίου. Το λογικό διάγραμμα της μεθόδου δίνεται στο Σχήμα 4.4, ενώ τα ερωτήματα που τίθενται σε κάθε λογικό βήμα και οι συνέπειές τους αναλύονται παρακάτω. Σχήμα 4.4 Λογικό διάγραμμα της μεθόδου Zeldin Πορεία εύρεσης της ομάδας σημείου ενός μορίου σύμφωνα με τη μέθοδο Zeldin ίναι το μόριο γραμμικό; Αν το μόριο είναι γραμμικό αναζητείται κέντρο συμμετρίας, i. Υπάρχει κέντρο συμμετρίας, i; Αν το μόριο έχει κέντρο συμμετρίας, i, ανήκει στην ομάδα σημείου D h, ενώ αν δεν έχει ανήκει στην ομάδα σημείου C v. Αν το μόριο δεν είναι γραμμικό αναζητούνται δύο ή περισσότεροι άξονες περιστροφής C. Υπάρχουν δύο ή περισσότεροι άξονες περιστροφής πέμπτης τάξης, C ; Αν το μόριο έχει δύο ή περισσότερους άξονες περιστροφής C και έχει επίσης κέντρο συμμετρίας, i, ανήκει στην ομάδα σημείου I h, ενώ αν δεν έχει κέντρο συμμετρίας, ανήκει στην ομάδα σημείου Ι Αν το μόριο δεν έχει δύο ή περισσότερους άξονες περιστροφής C αναζητούνται δύο ή περισσότεροι άξονες. Υπάρχουν δύο ή περισσότεροι άξονες περιστροφής τέταρτης τάξης, ; Αν το μόριο έχει δύο ή περισσότερους άξονες περιστροφής και έχει επίσης κέντρο συμμετρίας, i, ανήκει στην ομάδα σημείου Ο h, ενώ αν δεν έχει κέντρο συμμετρίας, ανήκει στην ομάδα σημείου Ο Αν το μόριο δεν έχει δύο ή περισσότερους άξονες περιστροφής αναζητούνται δύο ή περισσότεροι άξονες C. 49

20 Υπάρχουν δύο ή περισσότεροι άξονες περιστροφής τρίτης τάξης, C ; Αν το μόριο έχει περισσότερους από δύο άξονες περιστροφής C αναζητείται επίπεδο κατοπτρισμού, σ. Υπάρχει επίπεδο κατοπτρισμού, σ; Αν το μόριο δεν έχει επίπεδο κατοπτρισμού, σ, ανήκει στην ομάδα σημείου T, ενώ αν δεν έχει επίπεδο κατοπτρισμού αναζητείται κέντρο συμμετρίας, i. Υπάρχει κέντρο συμμετρίας, i; Αν το μόριο έχει κέντρο συμμετρίας, i, ανήκει στην ομάδα σημείου T h, ενώ αν δεν έχει κέντρο συμμετρίας, i, ανήκει στην ομάδα σημείου T d. Αν το μόριο δεν έχει δύο ή περισσότερους άξονες περιστροφής C αναζητείται ένας τουλάχιστον άξονας περιστροφής. Υπάρχει ένας τουλάχιστον άξονας περιστροφής, C n ; Αν το μόριο δεν έχει άξονες περιστροφής αναζητείται επίπεδο κατοπτρισμού, σ. Υπάρχει επίπεδο κατοπτρισμού, σ; Αν το μόριο έχει επίπεδο κατοπτρισμού, σ, ανήκει στην ομάδα σημείου C s, ενώ αν δεν έχει επίπεδο κατοπτρισμού αναζητείται κέντρο συμμετρίας, i. Υπάρχει κέντρο συμμετρίας, i; Αν το μόριο έχει κέντρο συμμετρίας, i, ανήκει στην ομάδα σημείου C i ενώ αν δεν έχει κέντρο συμμετρίας, i, ανήκει στην ομάδα σημείου C 1. Αν το μόριο έχει έναν τουλάχιστον άξονα περιστροφής επιλέγεται ο άξονας με τη μεγαλύτερη τάξη (κύριος άξονας), C n, και αναζητούνται n άξονες περιστροφής δεύτερης τάξης, C, κάθετοι σε αυτόν. Υπάρχουν n άξονες περιστροφής δεύτερης τάξης, C, κάθετοι στον C n ; Αν το μόριο έχει n άξονες περιστροφής, C, κάθετους στον κύριο άξονα, C n, αναζητείται επίπεδο κατοπτρισμού σ h. Υπάρχει επίπεδο κατοπτρισμού, σ h ; Αν υπάρχει επίπεδο κατοπτρισμού σ h το μόριο ανήκει στην ομάδα σημείου D nh, ενώ αν δεν υπάρχει επίπεδο κατοπτρισμού αναζητείται επίπεδο κατοπτρισμού σ d. Υπάρχει επίπεδο κατοπτρισμού, σ d ; Αν υπάρχει επίπεδο κατοπτρισμού σ d το μόριο ανήκει στην ομάδα σημείου D nd, ενώ αν δεν υπάρχει ανήκει στην ομάδα σημείου D n. Αν το μόριο δεν έχει n άξονες περιστροφής, C, κάθετους στον κύριο άξονα, C n, αναζητείται επίπεδο κατοπτρισμού σ h. Υπάρχει επίπεδο κατοπτρισμού, σ h ; Αν υπάρχει επίπεδο κατοπτρισμού σ h το μόριο ανήκει στην ομάδα σημείου C nh, ενώ αν δεν υπάρχει επίπεδο κατοπτρισμού αναζητούνται n επίπεδα κατοπτρισμού σ v. Υπάρχουν n επίπεδα κατοπτρισμού σ v ; Αν υπάρχουν n επίπεδα κατοπτρισμού σ v το μόριο ανήκει στην ομάδα σημείου C nv, ενώ αν δεν υπάρχουν αναζητείται άξονας στροφοκατοπτρισμού S n. Υπάρχει άξονας στροφοκατοπτρισμού, S n ; Αν υπάρχει άξονας στροφοκατοπτρισμού S n, το μόριο ανήκει στην ομάδα σημείου S n, ενώ αν δεν υπάρχει ανήκει στην ομάδα σημείου C n. 0

21 Σύνοψη 1. H περιγραφή της συμμετρίας ενός μορίου στα πλαίσια της μοριακής συμμετρίας συνίσταται στην εύρεση και καταγραφή του συνόλου των στοιχείων και διεργασιών συμμετρίας που απαντώνται στο μόριο. Συνήθως εντοπίζεται ένας αριθμός στοιχείων συμμετρίας και στη συνέχεια με βάση τους συνδυασμούς και τις δυνάμεις των διεργασιών που έχουν εντοπισθεί προκύπτουν οι υπόλοιπες διεργασίες και τα στοιχεία συμμετρίας.. Το πλήρες σύνολο των διεργασιών συμμετρίας ενός μορίου περιγράφει σαφώς τη συμμετρία ενός μορίου και καλείται ομάδα συμμετρίας ή ομάδα σημείου του μορίου.. Οι ομάδες σημείου ταξινομούνται σε τέσσερις κατηγορίες: τις μη περιστροφικές, τις περιστροφικές μοναδικού άξονα, τις διεδρικές και τις κυβικές. 4. Οι μη περιστροφικές ομάδες χαρακτηρίζονται από την απουσία αξόνων περιστροφής και την παρουσία επιπέδου κατοπτρισμού (ομάδα C s ), κέντρου αναστροφής (ομάδα C i ) ή την απουσία στοιχείων συμμετρίας (ομάδα C 1 ).. Κοινό χαρακτηριστικό των περιστροφικών ομάδων σημείου μοναδικού άξονα είναι η ύπαρξη ενός μοναδικού άξονα περιστροφής C n ή στροφοκατοπτρισμού S n. Στις ομάδες σημείου C n δεν υπάρχει άλλο στοιχείο συμμετρίας εκτός του C n. Στις ομάδες σημείου C nv υπάρχουν και n κατακόρυφα επίπεδα κατοπτρισμού σ v,d. Στις ομάδες σημείου C nh υπάρχει επιπλέον και επίπεδο κατοπτρισμού σ h και συνεπώς S n, ενώ για n άρτιο υπάρχει επιπλέον το κέντρο αναστροφής i. Στις ομάδες σημείου S n δεν υπάρχει άλλο στοιχείο συμμετρίας εκτός του S n. Από τις δυνάμεις της διεργασίας S n προκύπτουν και άξονες περιστροφής μικρότερης τάξης, ενώ για n=6 προκύπτει και κέντρο αναστροφής i. Η ομάδα σημείου C h, στην οποία ανήκουν τα μη κεντροσυμμετρικά γραμμικά μόρια, περιέχει άξονα φ περιστροφής C και άπειρα επίπεδα σv. 6. Κοινό χαρακτηριστικό των διεδρικών ομάδων σημείου είναι η ύπαρξη ενός κύριου άξονα περιστροφής C n και n αξόνων C κάθετων στον κύριο άξονα. Στις ομάδες σημείου D n δεν υπάρχει άλλο στοιχείο συμμετρίας εκτός του C n και των n αξόνων C. Στις ομάδες σημείου D nd υπάρχουν επιπλέον n κατακόρυφα επίπεδα κατοπτρισμού σ d, καθώς και άξονας στροφοκατοπτρισμού S n. Στις ομάδες σημείου D nh υπάρχουν επιπλέον n κατακόρυφα επίπεδα κατοπτρισμού σ v,d και ένα επίπεδο κατοπτρισμού σ h και συνεπώς άξονας στροφοκατοπτρισμού S n. Όταν το n είναι άρτιο υπάρχει και κέντρο αναστροφής i. Η ομάδα σημείου D h, στην οποία ανήκουν τα κεντροσυμμετρικά γραμμικά φ φ μόρια, περιέχει άξονα περιστροφής C, άπειρους άξονες περιστροφής C κάθετους στον κύριο άξονα C, άξονα φ στροφοκατοπτρισμού S, άπειρα επίπεδα κατοπτρισμού σv και κέντρο αναστροφής i. 7. Κοινό χαρακτηριστικό των κυβικών ομάδων σημείου είναι η ύπαρξη πολλαπλών αξόνων περιστροφής C n υψηλής τάξης (n>). Περιέχουν επίσης πλήθος άλλων στοιχείων και διεργασιών συμμετρίας. Σε αυτές τις ομάδες σημείου ανήκουν τα πέντε πλατωνικά στερεά: τετράεδρο, κύβος, οκτάεδρο, δωδεκάεδρο και εικοσάεδρο. 8. Η σφαιρική ομάδα σημείου Κ h περιέχει ως γενεσιουργές διαδικασίες άπειρες κατάλληλες περιστροφές απειροστής φ φ τάξης, C, άπειρες ακατάλληλες περιστροφές απειροστής τάξης, C, άπειρα επίπεδα κατοπτρισμού σ και την αναστροφή i. 9. Όλες οι ομάδες σημείου εκτός των παραπάνω γενεσιουργών διεργασιών συμμετρίας περιέχουν την ταυτότητα, καθώς και όλες τις παράγωγες διεργασίες που προκύπτουν από τις δυνάμεις και τους συνδυασμούς των γενεσιουργών διεργασιών. 10. Η εύρεση της ομάδας σημείου ενός μορίου διευκολύνεται σημαντικά από τη συστηματική μέθοδο Zeldin. Σύμφωνα με αυτήν ακολουθώντας μια σειρά από λογικά βήματα αναζητούνται κάποια χαρακτηριστικά στοιχεία συμμετρίας στο υπό μελέτη μόριο και η ύπαρξη ή μη αυτών οδηγεί στην εύρεση της ομάδας σημείου του μορίου. 1

4 Ομάδες Σημείου. - Ευχέρεια στην εκτέλεση των αντίστοιχων διεργασιών συμμετρίας περιστροφής, στροφοκατοπτρισμού, κατοπτρισμού και αναστροφής.

4 Ομάδες Σημείου. - Ευχέρεια στην εκτέλεση των αντίστοιχων διεργασιών συμμετρίας περιστροφής, στροφοκατοπτρισμού, κατοπτρισμού και αναστροφής. 4 Ομάδες Σημείου Διδακτικοί στόχοι Μετά την ολοκλήρωση της μελέτης του κεφαλαίου αυτού θα μπορείτε: - Να ορίζετε την έννοια της ομάδας σημείου ενός μορίου. - Να διακρίνετε τις βασικές κατηγορίες ομάδων

Διαβάστε περισσότερα

3 Στοιχεία και Διεργασίες Συμμετρίας

3 Στοιχεία και Διεργασίες Συμμετρίας 3 Στοιχεία και Διεργασίες Συμμετρίας Διδακτικοί στόχοι Μετά την ολοκλήρωση της μελέτης του κεφαλαίου αυτού θα μπορείτε: - Να διακρίνετε την έννοια του στοιχείου και της διεργασίας συμμετρίας. - Να αναγνωρίζετε

Διαβάστε περισσότερα

3. Στοιχεία και ιεργασίες Συμμετρίας

3. Στοιχεία και ιεργασίες Συμμετρίας 3. Στοιχεία και ιεργασίες Συμμετρίας ιδακτικοί στόχοι Μετά την ολοκλήρωση της μελέτης του κεφαλαίου αυτού θα μπορείτε να... o διακρίνετε την έννοια του στοιχείου και της διεργασίας συμμετρίας o αναγνωρίζετε

Διαβάστε περισσότερα

5. Συμμετρία, Πολικότητα και Οπτική Ενεργότητα των μορίων

5. Συμμετρία, Πολικότητα και Οπτική Ενεργότητα των μορίων 5. Συμμετρία, Πολικότητα και Οπτική Ενεργότητα των μορίων ιδακτικοί στόχοι Μετά την ολοκλήρωση της μελέτης του κεφαλαίου αυτού θα μπορείτε να... o προβλέπετε με βάση τη συμμετρία αν ένα μόριο έχει μόνιμη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ

ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ Ενότητα 7 Συμμετρία Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Βιβλιογραφία 1. ATKINS, ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ P.W. Atkins, J. De Paula (Atkins Physical

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Αρχές Κβαντικής Χημείας και Φασματοσκοπίας

Αρχές Κβαντικής Χημείας και Φασματοσκοπίας ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Αρχές Κβαντικής Χημείας και Φασματοσκοπίας Ενότητα # (3): Ομάδες Σημείου Σιγάλας Μιχάλης Τμήμα Χημείας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Αρχές Κβαντικής Χημείας και Φασματοσκοπίας

Αρχές Κβαντικής Χημείας και Φασματοσκοπίας ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΕΠΙΣΤΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΙΚΣ ΑΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΜΑΪΚΑ ΜΑΘΜΑΤΑ Αρχές Κβαντικής Χημείας και Φασματοσκοπίας Ενότητα # (): Στοιχεία και Διεργασίες Συμμετρίας Σιγάλας Μιχάλης Τμήμα Χημείας Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ. Κεφάλαιο 13: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ. Κεφάλαιο 13: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλαιο 13: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Θεωρούµε ένα επίπεδο p, µια κλειστή πολυγωνική γραµµή του p και µια ευθεία ε που έχει µε το p ένα µόνο κοινό σηµείο. Από κάθε σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

1 Dodecaeder 3 7 5 11 9. 2 12 4 10 6. 8 Copyright 1998-2005 Gijs Korthals Altes www.korthalsaltes.com Copyright 1998-2005 Gijs Korthals Altes www.korthalsaltes.com Dodecaeder Copyright 1998-2005 Gijs Korthals

Διαβάστε περισσότερα

Αρβανίτη Μαρία Ελένη Κρυσταλλίδης Περικλής. Μάθημα : «Θέμα» Επιβλέπουσα : Λαμπροπούλου Σοφία ΣΕΜΦΕ

Αρβανίτη Μαρία Ελένη Κρυσταλλίδης Περικλής. Μάθημα : «Θέμα» Επιβλέπουσα : Λαμπροπούλου Σοφία ΣΕΜΦΕ Αρβανίτη Μαρία Ελένη Κρυσταλλίδης Περικλής Μάθημα : «Θέμα» Επιβλέπουσα : Λαμπροπούλου Σοφία ΣΕΜΦΕ 2016-2017 ΔΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ Εισαγωγή Τα Πλατωνικά στερεά Τα Πλατωνικά στερεά και τα στοιχεία της φύσης Η

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμή. Σημείο. κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή. αποτελείται. Ευθεία κι αν αρχή και χωρίς. τέλος! x x

Γραμμή. Σημείο. κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή. αποτελείται. Ευθεία κι αν αρχή και χωρίς. τέλος! x x 1. Οι Πρωταρχικές Γεωμετρικές Έννοιες Σημείο Γραμμή Δεν έχει διαστάσεις!! Υπάρχει μόνο στο μυαλό μας. Συμβολίζεται με κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή αποτελείται από άπειρα σημεία. Ευθεία Δεν είναι εύκολο

Διαβάστε περισσότερα

Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση

Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση Ενότητα 6: Γεωμετρικά σχήματα και μεγέθη δύο και τριών διαστάσεων Δημήτρης Χασάπης Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΥΚΤΟΛΟΓΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΛΟΓΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ - ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ

ΟΡΥΚΤΟΛΟΓΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΛΟΓΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ - ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ ΟΡΥΚΤΟΛΟΓΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΛΟΓΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ - ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 3. ΟΙ 32 ΚΡΥΣΤΑΛΛΙΚΕΣ ΤΑΞΕΙΣ Ταξινόμηση των κρυστάλλων σαν στερεά σχήματα και οι συμμετρίες Ηλίας Χατζηθεοδωρίδης,

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: «Κωνσταντίνος και Ελένη. Ήσαν Άγιοι και οι δύο.» (Κ + Ε = Α + 2). Την εποχή της Στερεομετρίας.

Θέμα: «Κωνσταντίνος και Ελένη. Ήσαν Άγιοι και οι δύο.» (Κ + Ε = Α + 2). Την εποχή της Στερεομετρίας. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Παράρτημα Κέρκυρας Χαράλαμπος Δημητριάδης Μαθηματικός Θέμα: «Κωνσταντίνος και Ελένη. Ήσαν Άγιοι και οι δύο.» (Κ + Ε = Α + ). Την εποχή της Στερεομετρίας. Μέγιστο γινόμενο,

Διαβάστε περισσότερα

τέτοιους ώστε ο ένας να είναι µέσος των άλλων, δηλαδή

τέτοιους ώστε ο ένας να είναι µέσος των άλλων, δηλαδή Η ιδέα, ότι όλα τα υλικά πράγµατα συντίθενται από αυτά τα τέσσερα πρωταρχικά στοιχεία, αποδίδεται στον προγενέστερό Εµπεδοκλή, Έλληνα φιλόσοφο, ποιητή και πολιτικό [493-433 π.χ.] που γεννήθηκε στον Ακράγαντα

Διαβάστε περισσότερα

Το επίπεδο του ημιεπιπέδου σ χωρίζει το χώρο σε δύο ημιχώρους. Καλούμε Π τ τον ημιχώρο στον οποίο βρίσκεται το ημιεπίπεδο τ Επίσης, το επίπεδο του

Το επίπεδο του ημιεπιπέδου σ χωρίζει το χώρο σε δύο ημιχώρους. Καλούμε Π τ τον ημιχώρο στον οποίο βρίσκεται το ημιεπίπεδο τ Επίσης, το επίπεδο του ΣΤΕΡΕΑ ΜΑΘΗΜΑ 10 Δίεδρες γωνίες Δύο επίπεδα α και β που τέμνονται, χωρίζουν τον χώρο σε τέσσερα μέρη, που λέγονται τεταρτημόρια. Ορίζουν επίσης σχήματα ανάλογα των γωνιών που ορίζουν δύο τεμνόμενες ευθείες

Διαβάστε περισσότερα

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1.

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. Στο επίπεδο 0, στις πρώτες τάξεις του δηµοτικού σχολείου, όπου στόχος είναι η οµαδοποίηση των γεωµετρικών σχηµάτων σε οµάδες µε κοινά χαρακτηριστικά στη µορφή τους, είδαµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π.

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) Παράσταση σημείου. Σχήμα Σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

τ και τ' οι ημιπερίμετροι των βάσεων, Β και β τα εμβαδά των βάσεων, υ το ύψος και υ' το παράπλευρο ύψος της πυραμίδας.

τ και τ' οι ημιπερίμετροι των βάσεων, Β και β τα εμβαδά των βάσεων, υ το ύψος και υ' το παράπλευρο ύψος της πυραμίδας. ΣΤΕΡΕΑ ΜΑΘΗΜΑ 12 ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ 1. Αν τυχαία πυραμίδα τμηθεί με επίπεδο παράλληλο στη βάση της, έχουμε: KA/KA' = KB/KB' = ΚΓ/ΚΓ' = ΚΗ/Κ'Η' = λ και ΑΒΓ Α'Β'Γ' με λόγο ομοιότητας λ. 2. Μέτρηση κανονικής πυραμίδας:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Ισομετρίες, Συμμετρίες και Πλακοστρώσεις Οπως είδαμε στην απόδειξη του πρώτου κριτηρίου ισότητας τριγώνων, ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί την έννοια της εφαρμογής ενός τριγώνου σε ένα άλλο, χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

Η ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΤΩΝ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΚΟΣΜΩΝ

Η ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΤΩΝ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΚΟΣΜΩΝ Η ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΤΩΝ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΚΟΣΜΩΝ Του Αλέκου Χαραλαμπόπουλου Όπως διατυπώθηκε στην κοσμοθεωρία μας ΤΟ ΙΔΙΟΝ, ο κόσμος μας, το σύμπαν μας είναι μία ολογραφία, περίπου ένα επίπεδο τετράγωνο. Υπάρχουν έξι

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Έλλειψης

Μεθοδολογία Έλλειψης Μεθοδολογία Έλλειψης Έλλειψη ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε είναι σταθερό και μεγαλύτερο από την απόσταση (ΕΕ ). Στη Φύση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ

Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ Σύνοψη Αυτό το κεφάλαιο έχει επίσης επαναληπτικό χαρακτήρα. Σε πρώτο στάδιο διερευνάται η μορφή της καμπύλης την οποία γράφει το

Διαβάστε περισσότερα

Κατασκευή ρόμβων. Μέθοδος 1: Ιδιότητες: Μέθοδος 2: Ιδιότητες: Μέθοδος 3: Ιδιότητες: Μέθοδος 4: Ιδιότητες: Ονοματεπώνυμο(α):

Κατασκευή ρόμβων. Μέθοδος 1: Ιδιότητες: Μέθοδος 2: Ιδιότητες: Μέθοδος 3: Ιδιότητες: Μέθοδος 4: Ιδιότητες: Ονοματεπώνυμο(α): Κατασκευή ρόμβων Ονοματεπώνυμο(α): Πόσους τρόπους μπορείτε να σκεφτείτε για την κατασκευή ενός ρόμβου; Εξετάστε μεθόδους που χρησιμοποιούν το μενού Κατασκευή, το μενού Μετασχηματισμός ή συνδυασμούς αυτών.

Διαβάστε περισσότερα

Ανθή Μαρία Κουρνιάτη. Νίκος Κουρνιάτης

Ανθή Μαρία Κουρνιάτη. Νίκος Κουρνιάτης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Αρχιτεκτόνων Μηχανικών Τομέας III : Αρχιτεκτονικής Γλώσσας, Επικοινωνίας & Σχεδιασμού ntua ACADEMIC OPEN COURSES Ανθή Μαρία Κουρνιάτη Επίκουρη Καθηγήτρια, Σχολή Αρχιτεκτόνων

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ 6. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Αλγ ε β ρ α Β Λυ κ ε ί ο υ Γενικής Παιδειασ Α Τό μ ο ς 3η Εκ δ ο σ η Πρόλογος Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο αφενός μεν να βοηθήσει τους μαθητές της Β Λυκείου να κατανοήσουν καλύτερα την

Διαβάστε περισσότερα

6 Γεωμετρικές κατασκευές

6 Γεωμετρικές κατασκευές 6 Γεωμετρικές κατασκευές 6.1 Γενικά Στα σχέδια εφαρμόζουμε γεωμετρικές κατασκευές, προκειμένου να επιλύσουμε προβλήματα που απαιτούν μεγάλη σχεδιαστική και κατασκευαστική ακρίβεια. Τα γεωμετρικά - σχεδιαστικά

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Θεωρία Οµάδων Συµµετρίας

Εισαγωγή στην Θεωρία Οµάδων Συµµετρίας Εισαγωγή στην Θεωρία Οµάδων Συµµετρίας Τι µας χρειάζεται; Προβλέπει τη φασµατοσκοπία και τη συµπεριφορά ατόµων και µορίων Πράξεις Συµµετρίας: κινήσεις του µορίου κατά τις οποίες η τελική γεωµετρία του

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

6 Εκπροσωπήσεις Ομάδων Σημείου

6 Εκπροσωπήσεις Ομάδων Σημείου 6 Εκπροσωπήσεις Ομάδων Σημείου Διδακτικοί στόχοι Μετά την ολοκλήρωση της μελέτης του κεφαλαίου αυτού θα μπορείτε: - Να καταστρώνετε τις μήτρες εκπροσώπησης των ομάδων σημείου χρησιμοποιώντας διάφορες βάσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Παραβολής

Μεθοδολογία Παραβολής Μεθοδολογία Παραβολής Παραβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από μια σταθερή ευθεία, την επονομαζόμενη διευθετούσα (δ), και από ένα σταθερό σημείο Ε που λέγεται εστία της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η Γεωμετρία Κεφάλαιο 1: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Β.1.1 61.Η ευθεία είναι βασική έννοια της γεωμετρίας που την αντιλαμβανόμαστε ως την γραμμή που αφήνει ο κανόνας (χάρακας).συμβολίζεται με μικρά γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

Εφαπτομένη γραφικής παράστασης συνάρτησης

Εφαπτομένη γραφικής παράστασης συνάρτησης Εφαπτομένη Γραφικής Παράστασης Συνάρτησης 1 Στοιχεία Θεωρίας Εφαπτομένη γραφικής παράστασης συνάρτησης Αν η f συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο 0, τότε η εφαπτομένη ε της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 1 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 1 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 1 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Πέµπτη 27 εκεµβρίου 2012 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ 1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ( 6.2 ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται ένα επίπεδο εφοδιασμένο με δύο κάθετους άξονες οι οποίοι έχουν κοινή αρχή Ο και είναι αριθμημένοι με τις ίδιες μονάδες μήκους.

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Υπερβολής

Μεθοδολογία Υπερβολής Μεθοδολογία Υπερβολής Υπερβολή ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε είναι σταθερή και μικρότερη από την απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1 ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΑΝΑΓΛΥΦΟ Το προοπτικό ανάγλυφο, όπως το επίπεδο προοπτικό, η στερεοσκοπική εικόνα κ.λπ. είναι τρόποι παρουσίασης και απεικόνισης των αρχιτεκτονικών συνθέσεων. Το προοπτικό ανάγλυφο είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΓΡΑΦΙΑΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΓΡΑΦΙΑΣ 1. ΓΕΝΙΚΑ Από τις καταστάσεις της ύλης τα αέρια και τα υγρά δεν παρουσιάζουν κάποια τυπική διάταξη ατόμων, ενώ από τα στερεά ορισμένα παρουσιάζουν συγκεκριμένη διάταξη ατόμων

Διαβάστε περισσότερα

9 Εφαρμογές Συμμετρίας και Θεωρίας Ομάδων στην Κβαντική Χημεία και τη Φασματοσκοπία

9 Εφαρμογές Συμμετρίας και Θεωρίας Ομάδων στην Κβαντική Χημεία και τη Φασματοσκοπία 9 Εφαρμογές Συμμετρίας και Θεωρίας Ομάδων στην Κβαντική Χημεία και τη Φασματοσκοπία Διδακτικοί στόχοι Μετά την ολοκλήρωση της μελέτης του κεφαλαίου αυτού θα μπορείτε: - Να προβλέπετε το πλήθος των μοριακών

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο 2. Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry 3D

Φύλλο 2. Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry 3D 1 Φύλλο 2 Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry 3D Το περιβάλλον του λογισμικού αυτού είναι παρόμοιο με το αντίστοιχο λογισμικό του Cabri II. Περιέχει γενικές εντολές και εικονίδια που συμπεριλαμβάνουν

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

συµµετρίες που αντιστοιχούν σε έναν από τους άξονες συµµετρίας του τετράεδρου.

συµµετρίες που αντιστοιχούν σε έναν από τους άξονες συµµετρίας του τετράεδρου. συµµετρίες που αντιστοιχούν σε έναν από τους άξονες συµµετρίας του τετράεδρου. Σε κάθε άξονα αντιστοιχούν 3 κατοπτρισµοί, οπότε έχουµε 4 * 3 = 12 κατοπτρισµούς συνολικά. Συνολικά, η οµάδα των συµµετριών

Διαβάστε περισσότερα

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4 Διακριτά Μαθηματικά Ι Επαναληπτικό Μάθημα 1 Συνδυαστική 2 Μεταξύ 2n αντικειμένων, τα n είναι ίδια. Βρείτε τον αριθμό των επιλογών n αντικειμένων από αυτά τα 2n αντικείμενα. Μεταξύ 3n + 1 αντικειμένων τα

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΘΛΑΣΗ ΚΑΙ ΦΟΡΤΙΟ. ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΟΙ ΟΥΡΑΝΟΙ. Του Αλέκου Χαραλαμπόπουλου

ΔΙΑΘΛΑΣΗ ΚΑΙ ΦΟΡΤΙΟ. ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΟΙ ΟΥΡΑΝΟΙ. Του Αλέκου Χαραλαμπόπουλου ΔΙΑΘΛΑΣΗ ΚΑΙ ΦΟΡΤΙΟ. ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΟΙ ΟΥΡΑΝΟΙ Του Αλέκου Χαραλαμπόπουλου Όσοι διαβάσατε «ΤΟ ΙΔΙΟΝ» www.omas-e.gr, θα διαπιστώσατε ότι στο κέντρο των συμπάντων υπάρχει η φυσαλίδα που στέλνει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Εκτίμηση και μέτρηση Μ3.6 Εκτιμούν, μετρούν, ταξινομούν και κατασκευάζουν γωνίες (με ή χωρίς τη χρήση της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

Κύλινδρος κοιμώμενος εντός κώνου

Κύλινδρος κοιμώμενος εντός κώνου Κύλινδρος κοιμώμενος εντός κώνου Γιώργος Μπαλόγλου gbaloglou@gmail.com 7 η Μαθηματική Εβδομάδα, 18- Μαρτίου 015, Θεσσαλονίκη Εισαγωγή Περίληψη: Υπολογίζεται ο μέγιστος όγκος οριζοντίου κυλίνδρου εγγεγραμμένου

Διαβάστε περισσότερα

Στην στερεογραφική προβολή δεν μπορούν να μετρηθούν αποστάσεις αλλά μόνο γωνιώδεις σχέσεις.

Στην στερεογραφική προβολή δεν μπορούν να μετρηθούν αποστάσεις αλλά μόνο γωνιώδεις σχέσεις. ΔΙΚΤΥΑ SCHMIDT Στερεογραφική προβολή Η στερεογραφική προβολή είναι μια μέθοδος που προσφέρει το πλεονέκτημα της ταχύτατης λύσης προβλημάτων που λύνονται πολύπλοκα με άλλες μεθόδους. Με την στερεογραφική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ Γενικές αρχές και έννοιες Στο σύστημα προβολής κατά Monge δεν μας δίνεται η δυνατότητα ν αντιληφθούμε άμεσα τα αντικείμενα του χώρου, παρά μόνο αφού συνδυάσουμε τις δύο προβολές του αντικειμένου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

εγγράφοντας κανονικά πολύγωνα σε τόρους, δηλαδή στερεούς δακτυλίους µε κυκλική τοµή, και επίσης τα µελετά µε πυραµίδες. [Β-4, σελ 58].

εγγράφοντας κανονικά πολύγωνα σε τόρους, δηλαδή στερεούς δακτυλίους µε κυκλική τοµή, και επίσης τα µελετά µε πυραµίδες. [Β-4, σελ 58]. εγγράφοντας κανονικά πολύγωνα σε τόρους, δηλαδή στερεούς δακτυλίους µε κυκλική τοµή, και επίσης τα µελετά µε πυραµίδες. [Β-4, σελ 58]. Η συνεισφορά του Kepler στα Αρχιµήδεια ήταν µεγάλη, γιατί αυτός απέδειξε

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ( Κανονικά πολύγωνα ) Δραστηριότητα 1 : Θεωρούμε ένα κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας ρ ( τυχαίο μήκος ) και πάνω σε σ αυτόν παίρνουμε 5 διαδοχικά ίσα τόξα τα: AB, B Γ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ. Στην συνέχεια

Διαβάστε περισσότερα

ραστηριότητες στο Επίπεδο 0.

ραστηριότητες στο Επίπεδο 0. ραστηριότητες στο Επίπεδο 0. Σε αυτό το επίπεδο περιλαµβάνονται δραστηριότητες ταξινόµησης, αναγνώρισης και περιγραφής διαφόρων σχηµάτων. Είναι σηµαντικό να χρησιµοποιούνται πολλά διαφορετικά και ποικίλα

Διαβάστε περισσότερα

ιαχειριστής Έργου ΣΟΥΓΑΡΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Ιούνιος 14

ιαχειριστής Έργου ΣΟΥΓΑΡΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Ιούνιος 14 ΟΓΚΟΣ ΣΤΕΓΗΣ ιαχειριστής Έργου ΣΟΥΓΑΡΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Περιεχόμενα 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 4 I. ΠΥΡΑΜΙΔΑ 4 II. ΤΕΤΡΑΕΔΡΟ 5 III. ΟΓΚΟΣ ΠΥΡΑΜΙΔΑΣ 5 2. ΜΟΡΦΕΣ ΙΣΟΚΛΙΝΟΥΣ ΣΤΕΓΗΣ 6 I. ΔΥΡΙΧΤΗ 6 II. ΤΕΤΡΑΡΙΧΤΗΜΕ ΤΕΤΡΑΓΩΝΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΗ Έστω x = λ-1 και y = 2λ+3, τότε λ = x+1 (1) και λ = (2). Αυτό σημαίνει ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία y = 2x+5.

ΛΥΣΗ Έστω x = λ-1 και y = 2λ+3, τότε λ = x+1 (1) και λ = (2). Αυτό σημαίνει ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία y = 2x+5. . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ (λ -, λ ), λ R. - Έστω λ- και λ, τότε λ () και λ (). - Από τις () και () έχουμε:. Αυτό σημαίνει ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία.. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Καταστάσεις της ύλης. Αέρια: Παντελής απουσία τάξεως. Τα µόρια βρίσκονται σε συνεχή τυχαία κίνηση σε σχεδόν κενό χώρο.

Καταστάσεις της ύλης. Αέρια: Παντελής απουσία τάξεως. Τα µόρια βρίσκονται σε συνεχή τυχαία κίνηση σε σχεδόν κενό χώρο. Καταστάσεις της ύλης Αέρια: Παντελής απουσία τάξεως. Τα µόρια βρίσκονται σε συνεχή τυχαία κίνηση σε σχεδόν κενό χώρο. Υγρά: Τάξη πολύ µικρού βαθµού και κλίµακας-ελκτικές δυνάµεις-ολίσθηση. Τα µόρια βρίσκονται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Τυπολόγιο Σφαιρικής Τριγωνομετρίας

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Τυπολόγιο Σφαιρικής Τριγωνομετρίας 81 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Τυπολόγιο Σφαιρικής Τριγωνομετρίας Εισαγωγή Σε πολλά προβλήματα της Χαρτογραφίας, της Ανώτερης Γεωδαισίας, της Γεωδαιτικής Αστρονομίας και της Δορυφορικής Γεωδαισίας εμφανίζονται γεωμετρικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Τυπολόγιο Σφαιρικής Τριγωνομετρίας

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Τυπολόγιο Σφαιρικής Τριγωνομετρίας 81 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Τυπολόγιο Σφαιρικής Τριγωνομετρίας Εισαγωγή Σε πολλά προβλήματα της Χαρτογραφίας, της Ανώτερης Γεωδαισίας, της Γεωδαιτικής Αστρονομίας και της Δορυφορικής Γεωδαισίας εμφανίζονται γεωμετρικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜA. Ιδιότητες παραλληλογράμμων

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜA. Ιδιότητες παραλληλογράμμων εωμετρία και Λυκείου ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜA Ορισμός Παραλληλόγραμμο λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες. ηλαδή το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο, όταν // και //. Ιδιότητες παραλληλογράμμων

Διαβάστε περισσότερα

Απέναντι πλευρές παράλληλες

Απέναντι πλευρές παράλληλες 5. 5.5 ΘΩΡΙ. Παραλληλόγραµµο πέναντι πλευρές παράλληλες. Ιδιότητες παραλληλογράµµου πέναντι πλευρές ίσες πέναντι γωνίες ίσες Οι διαγώνιοι διχοτοµούνται Το σηµείο τοµής των διαγωνίων είναι κέντρο συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I.

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Γεωμετρία Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Εισαγωγή Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική απόδειξη. Οι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή Η προβολή τρισδιάστατου αντικειμένου πάνω σε δισδιάστατη επιφάνεια αποτέλεσε μια από τις βασικές αναζητήσεις μεθόδων απεικόνισης και απασχόλησε από πολύ παλιά τους ανθρώπους. Με την

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

15 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

15 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ εωμετρία α λυκείου ξιοσημείωτα σημεία τριγώνου 5 ΣΚΗΣΙΣ ΣΤ ΞΙΟΣΗΙΩΤ ΣΗΙ ΤΡΙΩΝΟΥ )ίνεται τρίγωνο µε = 45 και B = 75. ν µέσο της φέρουµε από το κάθετη στη διχοτόµο της γωνίας που τέµνει την στο. Στην παίρνουµε

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 63 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Η Εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0, με Α 0 ή Β 0 Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Σ (, 0 β ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

1. * Η κάθετη τοµή ορθού κανονικού τριγωνικού πρίσµατος είναι τρίγωνο Α. ισοσκελές. Β. ισόπλευρο. Γ. ορθογώνιο.. αµβλυγώνιο. Ε. τυχόν.

1. * Η κάθετη τοµή ορθού κανονικού τριγωνικού πρίσµατος είναι τρίγωνο Α. ισοσκελές. Β. ισόπλευρο. Γ. ορθογώνιο.. αµβλυγώνιο. Ε. τυχόν. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1 * Η κάθετη τοµή ορθού κανονικού τριγωνικού πρίσµατος είναι τρίγωνο Α ισοσκελές Β ισόπλευρο Γ ορθογώνιο αµβλυγώνιο Ε τυχόν * Κάθε παραλληλεπίπεδο έχει ακµές Α Β 6 Γ 8 10 Ε

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδεια Γεωμετρία

Ευκλείδεια Γεωμετρία Ευκλείδεια Γεωμετρία Γεωμετρία Γεω + μετρία Γη + μετρώ Οι πρώτες γραπτές μαρτυρίες γεωμετρικών γνώσεων ανάγονται στην τρίτη με δεύτερη χιλιετία π.χ. και προέρχονται από τους λαούς της αρχαίας Αιγύπτου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΡΙΑΚΗ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΟΜΑΔΩΝ

ΜΟΡΙΑΚΗ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΟΜΑΔΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΕΙΑΣ ΜΟΡΙΑΚΗ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΟΜΑΔΩΝ Σημειώσεις παραδόσεων Μιχάλης Π. Σιγάλας Θεσσαλονίκη 2009 Στο Νικόλα, τη Λεμονιά την Ιωάννα και τους φοιτητές μου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017 Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 02/12/2017 Ώρα Εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα, αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Μορίων Θεωρία VSEPR

Γεωμετρία Μορίων Θεωρία VSEPR Γεωμετρία Μορίων Θεωρία VSEPR Γεωμετρία Μορίων Θεωρία VSEPR Γεωμετρία Μορίων Θεωρία VSEPR Μεθοδολογία για την πρόβλεψη της μοριακής γεωμετρία: Γράφουμε τον ηλεκτρονιακό τύπο κατά Lewis. Μετρούμε το συνολικό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικό υπόβαθρο. Κεφάλαιο 3. Μαθησιακοί στόχοι. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Σημεία και διανύσματα

Μαθηματικό υπόβαθρο. Κεφάλαιο 3. Μαθησιακοί στόχοι. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Σημεία και διανύσματα Κεφάλαιο 3 Μαθηματικό υπόβαθρο Μαθησιακοί στόχοι Μετά την ολοκλήρωση αυτού του κεφαλαίου, ο αναγνώστης θα είναι σε θέση: Να γνωρίζει τις βασικές ιδιότητες και να πραγματοποιεί πράξεις των σημείων και των

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΥΨΗΛΩΝ ΤΑΣΕΩΝ

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΥΨΗΛΩΝ ΤΑΣΕΩΝ Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Τομέας Ηλεκτρικής Ισχύος Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΥΨΗΛΩΝ ΤΑΣΕΩΝ (Αριθμητικές μέθοδοι υπολογισμού

Διαβάστε περισσότερα

Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο(0,0) τότε έχει εξίσωση της μορφής : x y και αντίστροφα. Ειδικότερα Ο κύκλος με κέντρο Ο(0,0)

Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο(0,0) τότε έχει εξίσωση της μορφής : x y και αντίστροφα. Ειδικότερα Ο κύκλος με κέντρο Ο(0,0) . Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν γνωρίζουμε το κέντρο του, και την ακτίνα του ρ. Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο, τότε έχει εξίσωση της μορφής : και αντίστροφα. Ειδικότερα

Διαβάστε περισσότερα

1 x και y = - λx είναι κάθετες

1 x και y = - λx είναι κάθετες Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Μοριακά πρότυπα. Σε τι διαφέρουν από τα μεταλλικά συστήματα; Παραδείγματα τύπων ατόμων. Η έννοια του τύπου ατόμου

Μοριακά πρότυπα. Σε τι διαφέρουν από τα μεταλλικά συστήματα; Παραδείγματα τύπων ατόμων. Η έννοια του τύπου ατόμου Τεχνικές προσομοίωσης και σχεδιασμού υλικών σε ΗΥ Σε τι διαφέρουν από τα μεταλλικά συστήματα; Μοριακά πρότυπα Στα μοριακά συστήματα: Η φύση του δεσμού είναι διαφορετική (ομοιοπολικός δεσμός). Υπάρχει συγκεκριμένη

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο 3. Δράσεις με το λογισμικό The geometer s Sketchpad. Το περιβάλλον του λογισμικού αυτού είναι παρόμοιο μ εκείνο του Cabri II

Φύλλο 3. Δράσεις με το λογισμικό The geometer s Sketchpad. Το περιβάλλον του λογισμικού αυτού είναι παρόμοιο μ εκείνο του Cabri II Φύλλο 3 1 ράσεις με το λογισμικό The geometer s Sketchpad Το περιβάλλον του λογισμικού αυτού είναι παρόμοιο μ εκείνο του Cabri II όμως έχει τη δικιά του φιλοσοφία και το δικό του τρόπο συνεργασίας με το

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΓΡΑΦΙΑΣ

2.1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΓΡΑΦΙΑΣ 2.1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΓΡΑΦΙΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ένας κρύσταλλος ή ακριβέστερα ένας µονοκρύσταλλος, µπορεί να οριστεί µακροσκοπικά ως ένα στερεό αντικείµενο µε οµοιόµορφη χηµική σύσταση που, όπως απαντάται στη φύση

Διαβάστε περισσότερα

y 2 =2px με εστία Ε(p/2, 0) και διευθετούσα δ: x=-p/2.

y 2 =2px με εστία Ε(p/2, 0) και διευθετούσα δ: x=-p/2. ΠΑΡΑΒΟΛΗ P Α δ (διευθετούσα) C (παραβολή) Μ (ΜΕ)=(ΜΡ) Κ Ε (εστία) Ορισμός: Παραβολή λέγεται ο γεωμ. τόπος των σημείων Μ του επιπέδου που ισαπέχουν από ένα σημείο Ε (Εστία) και μία ευθεία δ(διευθετούσα)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 33 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 27 Φεβρουαρίου 2016

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 33 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης 27 Φεβρουαρίου 2016 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 6 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 665-67784 - Fax: 645 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4 Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις

Διαβάστε περισσότερα