ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Προσανατολισμός Θετικών Σπουδών & Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής ΤΕΥΧΟΣ Α

Transcript

1 Ν. Ζανταρίδης Κ. Τηλέγραφος Κ. Αθανασιάδης Π. Παντούλας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Προσανατολισμός Θετικών Σπουδών & Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής ΤΕΥΧΟΣ Α Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Διαφορικός Λογισμός Μέρος Α ανταρίδης ηλέγραφος

2

3 Copyright 07: Ζανταρίδης Τηλέγραφος Απαγορεύεται σε όλα τα φυσικά ή νομικά πρόσωπα Δημοσίου ή Ιδιωτικού Δικαίου, η αναδημοσίευση, ολικά ή μερικά, η αναπαραγωγή, η μετάδοση, η παράφραση και η διασκευή, με οποιοδήποτε τρόπο (μηχανικό ηλεκτρονικό - φωτοτυπικό κλπ.) του παρόντος. Στοιχεία επικοινωνίας συγγραφέων: Ζανταρίδης Νικόλαος : nikoszantar@yahoo.gr Τηλέγραφος Κωνσταντίνος : tilegraos@yahoo.gr, Αθανασιάδης Κωνσταντίνος : stoos@otenet.gr, Παντούλας Περικλής : per_pant@yahoo.gr Σελίδες 650. Σχήμα 7 Χ 4 Εκδόσεις : Ζανταρίδης Τηλέγραφος, [i]

4 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο αυτό έχει γραφτεί με σκοπό να βοηθήσει τόσο μαθητές όσο και συναδέλφους στα Μαθηματικά Προσανατολισμού της Γ Λυκείου και είναι το πρώτο από τα δύο τεύχη της σειράς. Ο πρωταρχικός στόχος μας είναι με αυτό το βιβλίο να βοηθήσουμε τους μαθητές, ώστε να κατανοήσουν καλύτερα τις έννοιες που περιέχονται στο αντίστοιχο σχολικό βιβλίο, αποκαλύπτοντάς τους χρήσιμες λεπτομέρειες. Με την κατάλληλη καθοδήγηση της σκέψης τους, πιστεύουμε ότι θα γίνει ευκολότερη η διαδρομή στην προετοιμασία τους για τις εξετάσεις. Στη συνέχεια επιθυμία μας είναι το πόνημα αυτό να βοηθήσει στο έργο τους και τους συναδέλφους Μαθηματικούς παρέχοντάς τους ένα «αυστηρό», αλλά συνάμα και «φιλικό» μαθηματικό βιβλίο. Για το λόγο αυτό η ύλη είναι χωρισμένη σε Μαθήματα Ενότητες που κάθε ένα περιλαμβάνει: Τα απαραίτητα από τη θεωρία στοιχεία, μαζί με σχόλια, παρατηρήσεις και επισημάνσεις που έχουν στόχο να συμπληρώσουν τις απαιτούμενες γνώσεις και να βοηθήσουν στην καλύτερη κατανόησή τους. Λυμένες ασκήσεις, ταξινομημένες σύμφωνα με τις απαιτήσεις του σχολικού βιβλίου, εμπλουτισμένες παράλληλα και με αντίστοιχες άλυτες ασκήσεις για διευκόλυνση του έργου μαθητών και συναδέλφων. Ερωτήσεις κρίσεως για πληρέστερη κατανόηση των λεπτών σημείων της θεωρίας. [ii]

5 Τέλος, σε κάθε παράγραφο αυτού του βιβλίου προτείνουμε ασκήσεις διαβαθμισμένης δυσκολίας προς επίλυση (ανά κατηγορία) και συμπληρωματικές ασκήσεις για περαιτέρω εξάσκηση. Στην προσπάθεια αυτή, που είναι απόσταγμα της μακροχρόνιας εμπειρίας των συγγραφέων μέσα τις φροντιστηριακές αίθουσες, έχει δοθεί ιδιαίτερη προσοχή ώστε οι λύσεις των θεμάτων να διακρίνονται από μαθηματική εγκυρότητα. Ελπίζουμε και ευχόμαστε πως αυτοί που θα το μελετήσουν, θα ωφεληθούν σημαντικά στην προσπάθεια να πετύχουν στους στόχους τους. Ό,τι γνωρίζεις και μαθαίνεις θεωρείται εύκολο, όσο δύσκολο και αν είναι, ενώ ό,τι δεν γνωρίζεις είναι δύσκολο, όσο εύκολο και αν είναι. Οι συγγραφείς Ιούνιος 07 [iii]

6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο Όριο-Συνέχεια Ε. Πεδίο ορισμού, Γραφική παράσταση, σύνολο τιμών Η έννοια της συνάρτησης Πεδίο ορισμού συνάρτησης Γραφική παράσταση συνάρτησης Χάραξη γραφικών παραστάσεων βασικών συναρτήσεων Σημεία τομής γραφικής παράστασης συνάρτησης με τους άξονες και σχετική θέση γραφικών παραστάσεων δύο συναρτήσεων Σύνολο τιμών, εύρεση συνόλου τιμών Ασκήσεις προς λύση 0 Ε. Ισότητα, πράξεις και σύνθεση συναρτήσεων 4 Ισότητα συναρτήσεων Πράξεις συναρτήσεων Σύνθεση συναρτήσεων Αν γνωρίζουμε τις συναρτήσεις g και, πως βρίσκουμε τη συνάρτηση g; Αν γνωρίζουμε τις συναρτήσεις g και g, πως βρίσκουμε τη συνάρτηση ; Θεωρητικές ασκήσεις Συναρτησιακές σχέσεις-εύρεση τύπου συνάρτησης Ασκήσεις προς λύση 57 Ε. Μονοτονία και ακρότατα συναρτήσεων 69 Μονοτονία συνάρτησης Γνησίως αύξουσα-γνησίως φθίνουσα συνάρτηση Γνησίως μονότονη συνάρτηση Σταθερή συνάρτηση [iv]

7 Εξισώσεις-Ανισώσεις Συναρτησιακές σχέσεις-προφανής ρίζα-μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης, Ολικό μέγιστο-ολικό ελάχιστο Ασκήσεις προς λύση 87 Ε4. Συνάρτηση - και αντίστροφη συνάρτηση Συνάρτηση - Αντίστροφη συνάρτηση Τρεις βασικές προτάσεις Μέθοδοι για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι - Λύση εξισώσεων με τη βοήθεια μιας - συνάρτησης Πώς εργαζόμαστε σε ασκήσεις που ζητείται να εξετάσουμε αν μια συνάρτηση : Α είναι αντιστρέψιμη ή να βρούμε τον τύπο της αντίστροφης Εξισώσεις Εξισώσεις Συναρτησιακές σχέσεις-θεωρητικές ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση 4 Ε5. Όριο συνάρτησης στο 0 60 Όριο στο 0 Πλευρικά όρια Ιδιότητες του ορίου και διάταξη Όρια και πράξεις Όριο πολυωνυμικής συνάρτησης Όριο ρητής συνάρτησης Όρια εκθετικής και λογαριθμικής συνάρτησης Όρια τριγωνομετρικών συναρτήσεων 0 Μορφή σε ρητή συνάρτηση 0 [v]

8 Όριο συναρτήσεων πολλαπλού τύπου Όριο άρρητης συνάρτησης, ριζικά ης τάξης Όριο σύνθετης συνάρτησης-αλλαγή μεταβλητής Ριζικά ανώτερης τάξης Το κριτήριο παρεμβολής Όριο με αντικατάσταση Όριο συναρτήσεων με απόλυτες τιμές Μη πεπερασμένο όριο στο 0, μορφή k,k 0 0 Όριο αθροίσματος-όριο γινομένου (βασικά θεωρήματα) Όριο ρητής συνάρτησης με παραμέτρους Όριο με βοηθητική συνάρτηση Δημιουργία συνθηκών εφαρμογής του κριτηρίου παρεμβολής Ασκήσεις προς λύση 89 Ε6. Όριο στο άπειρο 9 Όριο πολυωνυμικής συνάρτησης Όριο ρητής συνάρτησης Ρητές συναρτήσεις και παράμετροι Όριο με απόλυτες τιμές Όριο άρρητης συνάρτησης Άρρητες και παράμετροι Κριτήριο παρεμβολής Όρια τριγωνομετρικών συναρτήσεων στο και στο Όριο εκθετικής συνάρτησης Όριο λογαριθμικής συνάρτησης Θεωρητικές ασκήσεις-όριο συνάρτησης από σχέση ορίου [vi]

9 - η συνάρτηση κρύβεται Κατασκευή συνθηκών εφαρμογής του κριτηρίου παρεμβολής Ασκήσεις προς λύση 57 Ε7. Συνέχεια συνάρτησης 75 Ορισμός συνέχειας Πράξεις με συνεχείς συναρτήσεις Συνέχεια σύνθετης συνάρτησης Συνέχεια σε ανοιχτό και κλειστό διάστημα Εύρεση παραμέτρων Εύρεση τιμής ή τύπου συνάρτησης Συνέχεια και συναρτησιακές σχέσεις Εύρεση συνόλου τιμών Αντίστροφη συνάρτησης πολλαπλού τύπου Εύρεση ορίων από το σύνολο τιμών Κατασκευή συνθηκών εφαρμογής του κριτηρίου παρεμβολής Ασκήσεις προς λύση Ε8. Ασύμπτωτες 4 Κατακόρυφη ασύμπτωτη Οριζόντια ασύμπτωτη Πλάγια ασύμπτωτη Θεώρημα ασυμπτώτων Ασύμπτωτες και παράμετροι Ασύμπτωτες και όρια Σημεία τομής ασύμπτωτης με τη γραφική παράσταση Ασκήσεις προς λύση 7 Ε9. Βασικά θεωρήματα συνέχειας 4 [vii]

10 Θεώρημα Bolzano Συνέπειες θεωρήματος Bolzano Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών Εικόνα διαστήματος μέσω συνεχούς συνάρτησης Θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής Ρίζες εξίσωσης-θεώρημα Bolzano Θεώρημα Bolzano και ύπαρξη ρίζας Γενίκευση θεωρήματος Bolzano Ύπαρξη ρίζας με βοηθητική συνάρτηση Ύπαρξη ρίζας σε κλειστό διάστημα Εύρεση προσήμου συνάρτησης Εύρεση του τύπου συνεχούς συνάρτησης από την Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών-ύπαρξη ενδιάμεσης τιμής Θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής και ρίζες Σύνολο τιμών Ύπαρξη ρίζας - Πλήθος ριζών εξίσωσης. Ασκήσεις προς λύση 96 Σημεία προσοχής 400 Προτάσεις που χρησιμοποιούμε χωρίς απόδειξη 40 Ερωτήσεις κατανόησης σχολικού βιβλίου με πλήρη αιτιολόγηση Κεφάλαιο ο Διαφορικός Λογισμός Ε0. Ορισμός παραγώγου 44 Παράγωγος στο 0 -Ορισμός 404 Παραγωγισιμότητα και συνέχεια Παράγωγος στο σημείο αλλαγής τύπου Παράγωγος στο σημείο μηδενισμού απόλυτης τιμής Παράγωγος στο σημείο μηδενισμού ρίζας Ανισοτικές σχέσεις [viii]

11 Συναρτησιακές σχέσεις Όρια από παράγωγο ή παράγωγος από όριο Παράγωγος αντίστροφης Ασκήσεις προς λύση 45 Ε. Παράγωγος συνάρτηση 440 Παράγωγος βασικών συναρτήσεων Κανόνες παραγώγισης Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης Τυπολόγιο παραγώγισης Παργώγιση συνάρτησης πολλαπλού τύπου ή με απόλυτες τιμές Παράγωγος αντίστροφης συνάρτησης Ασκήσεις προς λύση 4460 Ε. Θεωρήματα De L Hospital 467 ο και ο θεώρημα De L Hospital Μορφή 0 0 ή Μορφή 0 Μορφή 0,,, 0 0 Μορφές 0 Μορφή Μορφή Μορφή 0 Ασκήσεις προς λύση 489 Ε. Συναρτησιακές σχέσεις παραγώγων 500 Συναρτησιακές σχέσεις Πολλαπλότητα ριζών εξίσωσης [i]

12 Παραμετρικές Ασκήσεις προς λύση 58 Ε4. Εφαπτομένη γραφικής παράστασης συνάρτησης 56 Εφαπτομένη σε γνωστό σημείο Εφαπτομένη με γνωστή κλίση Εφαπτομένη παράλληλη ή κάθετη σε γνωστή ευθεία Η ευθεία εφάπτεται στη C Εφαπτομένη που διέρχεται από γνωστό σημείο Κοινή εφαπτομένη σε κοινά και μη κοινά σημεία Κάθετες εφαπτομένες Ύπαρξη σημείου επαφής Εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της αντίστροφης Ασκήσεις προς λύση 559 Λύσεις των ασκήσεων 570 []

13 Μαθηματικά Γ Λυκείου: Συναρτήσεις όρια συνέχεια Κεφάλαιο ο Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

14 Ε.: Πεδίο ορισμού- Γραφική παράσταση-σύνολο τιμών

15 Μαθηματικά Γ Λυκείου: Συναρτήσεις όρια συνέχεια Ε. Η έννοια της συνάρτησης Ερώτηση θεωρίας Έστω Α ένα μη κενό υποσύνολο του. Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α και τι τιμή της στο Α ; Απάντηση Έστω A είναι ένα μη κενό υποσύνολο του. Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα), με την οποία κάθε στοιχείο A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό y. Το y ονομάζεται τιμή της στο και συμβολίζεται με. Στα επόμενα και σε όλη την έκταση του βιβλίου: Θα ασχοληθούμε μόνο με συναρτήσεις που έχουν πεδίο ορισμού διάστημα ή ένωση διαστημάτων. Όταν θα λέμε ότι Η συνάρτηση είναι ορισμένη σ ένα σύνολο A, θα εννοούμε ότι το A είναι υποσύνολο του πεδίου ορισμού της. Συμβολισμοί: Αν είναι μία πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α, τότε γράφουμε: : A. Ορολογία: Το γράμμα, που παριστάνει οποιοδήποτε στοιχείο του A λέγεται ανεξάρτητη μεταβλητή, (αρχέτυπο) ενώ το γράμμα y, που παριστάνει την τιμή της συνάρτησης στο, λέγεται εξαρτημένη μεταβλητή. Το y ονομάζεται και εικόνα του μέσω της. Το A λέγεται πεδίο ορισμού της και συνήθως συμβολίζεται με D ήa. Το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της σε κάθε A, λέγεται σύνολο τιμών της και συμβολίζεται με A. Δηλαδή το σύνολο τιμών της είναι το: A y / y για κάποιο A.

16 Ε.: Πεδίο ορισμού- Γραφική παράσταση-σύνολο τιμών Παρατηρήσεις: Για τη συνάρτηση : Α B ισχύουν: Το A είναι το πεδίο ορισμού της και Το Β είναι ένα σύνολο (το οποίο ονομάζεται σύνολο αφίξεως της ) μέσα στο οποίο περιέχονται όλες οι τιμές της, που σημαίνει ότι το σύνολο Β είναι υπερσύνολο του συνόλου τιμών A της (δηλαδή είναι A B ). Για κάθε A y. Για κάθε ένα y A τα οποία να ισχύει υπάρχει ένα και μόνο ένα y A, τέτοιο ώστε να ισχύει, μπορεί να υπάρχουν περισσότερα από ένα A για y. Για κάποιο y Β μπορεί και να μην υπάρχει A Πεδίο ορισμού συνάρτησης για το οποίο y. Σε περίπτωση που για μια συνάρτηση μας δίνεται μόνο ο τύπος με τον οποίο εκφράζονται οι τιμές, τότε πεδίο ορισμού της συνάρτησης θεωρείται κατά σύμβαση το ευρύτερο υποσύνολο του νόημα πραγματικού αριθμού. στο οποίο η παράσταση Για να ορίζεται μια πραγματική συνάρτηση πρέπει να γνωρίζουμε: α. Το πεδίο ορισμού της A β. και την τιμή της, Ερώτηση μεθοδολογίας για κάθε A Πώς εργαζόμαστε όταν θέλουμε να βρούμε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης; Απάντηση Το πεδίο ορισμού της αποτελείται από όλους εκείνους τους πραγματικούς αριθμούς, για τους οποίους η παράσταση αριθμού. έχει έχει νόημα πραγματικού Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις και οι συναρτήσεις ημ,συν, πεδίο ορισμού το. α, ( α 0 ), έχουν Γενικά ακολουθούμε τον παρακάτω πίνακα: 4

17 Μαθηματικά Γ Λυκείου: Συναρτήσεις όρια συνέχεια Συνάρτηση Συνθήκη ώστε η παράσταση να έχει νόημα πραγματικού αριθμού. Π * k Α, k με k ή λ κ * Α, k,λ Π 0 Α 0 εφα σφα Α ln A ή log A, Για τη συνάρτηση μορφής της είναι το σύνολο Α Α Α. π Α κπ,κ A 0, αν Α, αν Α Για τις συναρτήσεις μορφής h προκύπτει ότι g 0. g kπ, κ, το πεδίο ορισμού συνήθως θα δίνεται ή θα Τα παραπάνω εφόσον οι παραστάσεις A, Π ορίζονται για κάθε, διαφορετικά παίρνουμε τους απαραίτητους περιορισμούς για να ορίζονται στο και αυτές οι παραστάσεις. Παρατηρήσεις: Το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης το βρίσκουμε από τον τύπο της, πριν προχωρήσουμε σε ενδεχόμενη απλοποίηση του τύπου. Είναι δυνατόν ο τύπος μιας συνάρτησης να εμφανίζει δύο ή περισσότερες από τις προηγούμενες μορφές. Στην περίπτωση αυτή εργαζόμαστε χωριστά για την κάθε μορφή βρίσκοντας στο τέλος την τομή (συναλήθευση) των διαστημάτων. 5

18 Ε.: Πεδίο ορισμού- Γραφική παράσταση-σύνολο τιμών. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: α. ln β. 5 6 (Παρόμοιες ασκήσεις οι.,.,.4,.5,.4,.5,.6,.7,.8,.9) Ενδεικτική λύση α. Το πεδίο ορισμού της αποτελείται από όλους εκείνους τους πραγματικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει: :(Σ) Για τη λύση της ανίσωσης παραγόντων: Έχουμε: και. Δ9 0 βρίσκουμε αρχικά τις ρίζες των 9 0 ή 0 και κατασκευάζουμε τον πίνακα, Γινόμενο Από τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι η ανίσωση αληθεύει για κάθε,,. Επομένως έχουμε:,, Σ,, της συνάρτησης είναι το σύνολο D,,. 0, οπότε το πεδίο ορισμού 6

19 Μαθηματικά Γ Λυκείου: Συναρτήσεις όρια συνέχεια β. Το πεδίο ορισμού της αποτελείται από όλους εκείνους τους πραγματικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει: Έχουμε λοιπόν: ή 5 6 ή : : Για την, οι ρίζες της εξίσωσης έτσι από τον παρακάτω πίνακα, Δεν ξεχνάμε ότι: Για θ 0 ισχύουν: θ θ θ θ θ ή θ Όπου,θ είναι οι αριθμοί και, 5 6 προκύπτει ότι η αληθεύει για κάθε Για τη, οι ρίζες της εξίσωσης έτσι από τον παρακάτω πίνακα, 5 6, είναι οι αριθμοί 6 και, 6 προκύπτει ότι η αληθεύει για κάθε, 6, Οπότε, Προσοχή: Δεν κάνουμε συναλήθευση αλλά ενώνουμε τα διαστήματα. Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το σύνολο D, 6,,. 7

20 Ε.: Πεδίο ορισμού- Γραφική παράσταση-σύνολο τιμών Γραφική παράσταση συνάρτησης. Ερώτηση θεωρίας Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού A και Oy ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο. Τι ονομάζουμε γραφική παράσταση της συνάρτησης ; Απάντηση Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού A και Oy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο. Το σύνολο M, y για τα οποία των σημείων ισχύει y σημείων, δηλαδή το σύνολο των M,, A, λέγεται γραφική παράσταση της και συμβολίζεται συνήθως με C. Η εξίσωση y σημείων της y ( 0 ) O = 0 0 C Μ( 0,( 0 )) επαληθεύεται μόνο από τις συντεταγμένες των C. Η εξίσωση y συνάρτησης. λέγεται εξίσωση της γραφικής παράστασης της Ένα σημείο M 0,y 0 ανήκει στη γραφική παράσταση της αν και μόνο αν οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση y, δηλαδή αν και μόνο αν ισχύει y. 0 0 Το πεδίο ορισμού Α της είναι το σύνολο τετμημένων των προβολών όλων των σημείων της γραφικής παράστασης πάνω στον άξονα. Η τεταγμένη της ορθής προβολής του σημείου Β, της C στον άξονα yy είναι η 0 0 τιμή της στο o Α. y O y (0) Α C C Β(0,(0)) O 0 8

21 Μαθηματικά Γ Λυκείου: Συναρτήσεις όρια συνέχεια Το σύνολο τιμών Α της συνάρτησης είναι το σύνολο τεταγμένων των προβολών όλων των σημείων της γραφικής παράστασης της πάνω στον άξονα yy. Παρατηρήσεις: Κάθε κατακόρυφη ευθεία τέμνει τη C το πολύ σε ένα σημείο, διότι σύμφωνα με τον ορισμό της συνάρτησης, δεν υπάρχουν σημεία της C που να έχουν την ίδια τετμημένη. Η καμπύλη του διπλανού σχήματος δεν αποτελεί γραφική παράσταση συνάρτησης. Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς τον άξονα yy. y (Α) O y y y O C C H γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. Όταν δίνεται η γραφική παράσταση C, μιας συνάρτησης, μπορούμε επίσης να σχεδιάσουμε και τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και. α) Η γραφική παράστασης της συνάρτησης προς τον άξονα είναι συμμετρική, ως, της γραφικής y Μ(,()) y=() παράστασης της, γιατί αποτελείται από τα σημεία συμμετρικά των M, που είναι M,, ως προς O Μ (,()) y=() τον άξονα. (Σχήμα). 9

22 Ε.: Πεδίο ορισμού- Γραφική παράσταση-σύνολο τιμών β) Η γραφική παράσταση της αποτελείται από τα τμήματα της C που βρίσκονται πάνω από τον άξονα, από τα κοινά σημεία της C με τον άξονα και από τα συμμετρικά, ως προς τον άξονα της, των τμημάτων C που βρίσκονται κάτω από τον άξονα αυτόν. (Σχήμα). y y= () O y=() γ) Η γραφική παράσταση g συμμετρική της γραφικής παράστασης άξονα yy. y C της συνάρτησης g,,,, C, είναι της συνάρτησης ως προς τον y y=() y=(-) O O δ) Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α για το οποίο ισχύει Α 0, g. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης αποτελείται από το τμήμα της C που βρίσκεται στο ημιεπίπεδο 0 και από το συμμετρικό του τμήματος αυτού ως προς τον άξονα yy. Προφανώς η συνάρτηση g είναι άρτια και η γραφική της παράσταση έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα yy. y y y y O O 0

23 ε) Μετατοπίσεις Μαθηματικά Γ Λυκείου: Συναρτήσεις όρια συνέχεια Η γραφική παράσταση της συνάρτησης g με τύπο g c, c 0 προκύπτει με μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης κατά c μονάδες προς τα πάνω. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης g με τύπο g c, c 0 προκύπτει με μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης κατά c μονάδες προς τα κάτω. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης g με τύπο g c, c 0 προκύπτει με μια οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης κατά c μονάδες προς τα αριστερά. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης g με τύπο g c, c 0 προκύπτει με μια οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης κατά c μονάδες προς τα δεξιά. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης g με τύπο g c c, c,c 0 προκύπτει από δύο μετατοπίσεις της γραφικής παράστασης της συνάρτησης, μία κατακόρυφη κατά c μονάδες (προς τα πάνω όταν είναι c και προς τα κάτω όταν είναι c ) και μία οριζόντια κατά c μονάδες (προς τα δεξιά όταν είναι c και προς τα αριστερά όταν είναι c ). Χάραξη γραφικών παραστάσων βασικών συναρτήσεων. α) Πολυωνυμική συνάρτηση α βαθμού με τύπο α β, α 0. Η γραφική της παράσταση είναι μια ευθεία που τέμνει τους άξονες, yy στα σημεία β Α,0 α και Β 0,β αντίστοιχα.

24 Ε.: Πεδίο ορισμού- Γραφική παράσταση-σύνολο τιμών i) ii) iii) y y y O α 0 O α 0 O α 0 Πεδίο ορισμού: Σύνολο τιμών: Πεδίο ορισμού: Σύνολο τιμών: Πεδίο ορισμού: Σύνολο τιμών το β β) Πολυωνυμική συνάρτηση β βαθμού με τύπο α, α 0. Πεδίο ορισμού το A και σύνολο τιμών το Α 0, όταν α 0. Η γραφική της παράσταση έχει άξονα συμμετρίας τον yy. Πεδίο ορισμού το A και σύνολο τιμών το Α,0 όταν α 0. Η γραφική της παράσταση έχει άξονα συμμετρίας τον yy. y O y O α 0 α 0 γ) Πολυωνυμική συνάρτηση γ βαθμού με τύπο α, α 0. Πεδίο ορισμού το A, σύνολο τιμών το Α έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. i) y ii). Η γραφική της παράσταση y O O α 0 α 0

25 Μαθηματικά Γ Λυκείου: Συναρτήσεις όρια συνέχεια δ) Ρητή συνάρτηση με τύπο Πεδίο ορισμού το A α, α 0., σύνολο τιμών το Α. Η γραφική της παράσταση αποτελείται από δύο κλάδους συμμετρικούς ως προς την αρχή των αξόνων. i) y ii) y O O α 0 α 0 ε) Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις: ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη. Η συνάρτηση διάστημα Α, ημ, έχει πεδίο ορισμού το A και σύνολο τιμών το. y O π π y=ημ Η συνάρτηση διάστημα Α, συν, έχει πεδίο ορισμού το A και σύνολο τιμών το. y O π π y=συν π Η συνάρτηση εφ, έχει πεδίο ορισμού το A κπ / κ σύνολο τιμών το Α. και

26 Ε.: Πεδίο ορισμού- Γραφική παράσταση-σύνολο τιμών y π/ O π/ π/ y=εφ στ) Εκθετική συνάρτηση -Λογαριθμική συνάρτηση (με βάση α, 0 α ). Η εκθετική συνάρτηση με τύπο A και σύνολο τιμών το διάστημα Α 0,. α, 0 α έχει πεδίο ορισμού το y y α α O O α> 0<α< Η λογαριθμική συνάρτηση με τύπο log ή το A 0, και σύνολο τιμών το διάστημα y y log Α. y ln έχει πεδίο ορισμού y=ln O O e 4

27 Μαθηματικά Γ Λυκείου: Συναρτήσεις όρια συνέχεια ζ) Οι Άρρητες συναρτήσεις y y y y O O η) Οι συναρτήσεις y και y y= y= y O y O Σημεία τομής της C με τους άξονες -Σχετική θέση C,C g. Σημεία τομής της C με τους άξονες. Με τον : είναι τα σημεία με τετμημένες τις ρίζες της εξίσωσης 0. Με τον y y : είναι το σημείο 0, 0, εφόσον το 0 D. Σχετική θέση της C με τον άξονα (πρόσημο της ) H C βρίσκεται πάνω από τον άξονα για τα Η H Η C βρίσκεται κάτω από τον άξονα για τα C δεν βρίσκεται πάνω από τον άξονα 0. C δεν βρίσκεται κάτω από τον άξονα 0. Σχετική θέση δύο γραφικών παραστάσεων C και C g. D με 0. D με 0. για τα D με για τα D με 5

28 Ε.: Πεδίο ορισμού- Γραφική παράσταση-σύνολο τιμών Τα σημεία τομής των Η Η C, g, με D Dg C βρίσκεται πάνω από τη g g 0. C βρίσκεται κάτω από τη g g 0. C g έχουν τετμημένες τις ρίζες της εξίσωσης D D με C g για τα g D D με C g για τα g. Δίνεται η συνάρτηση 0. Να βρεθούν: α. Τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τους άξονες. β. Τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της βρίσκεται πάνω από τον άξονα. Ενδεικτική λύση (Παρόμοια άσκηση η.6,.7) α. Το πεδίο ορισμού της αποτελείται από όλους εκείνους τους πραγματικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει: 0, οπότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το D 0, Επειδή το 0 D τον άξονα yy., έχουμε , οπότε η C τέμνει στο σημείο Α0, 0. Οι τετμημένες των κοινών σημείων της C με τον άξονα είναι οι λύσεις της εξίσωσης Έχουμε ή Άρα η C τέμνει τον άξονα Β 4,0. στο σημείο β. H C βρίσκεται πάνω από τον άξονα για τα D με Θέτοντας y 0 η ανίσωση γίνεται : y y

29 Μαθηματικά Γ Λυκείου: Συναρτήσεις όρια συνέχεια Λύνουμε την εξίσωση y y 0 0, η οποία έχει ρίζες y 5, y και κατασκευάζουμε τον παρακάτω πίνακα πρόσημου του τριωνύμου y 5 y y 0 y y 0. Συμφώνα με τον παραπάνω πίνακα ισχύει: όμως y 0 έτσι έχουμε: y 5 ή y y 5 5 αδύνατη y 4 y y 0 0 αν και μόνο αν: Επομένως η C βρίσκεται πάνω από τον άξονα στο διάστημα 4,.. Δίνονται οι συναρτήσεις και g. Να βρεθούν: 5 α. τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των,g. β. τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της g. Ενδεικτική λύση (Παρόμοιες ασκήσεις οι.9,.,.4,.5) Το πεδίο ορισμού της αποτελείται από όλους εκείνους τους πραγματικούς 5 αριθμούς για τους οποίους ισχύει: 5 0 άρα, το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο: D,,. Το πεδίο ορισμού της g αποτελείται από όλους εκείνους τους πραγματικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει: 0, άρα το πεδίο ορισμού της g είναι το σύνολο: g D,,. 7

30 Ε.: Πεδίο ορισμού- Γραφική παράσταση-σύνολο τιμών α. Τα σημεία τομής των C, Έτσι με 5 g, με D Dg,. 5, έχουμε: Άρα τα σημεία τομής των C g έχουν τετμημένες τις ρίζες της εξίσωσης g ή 5 C, C g είναι: το Α,, δηλαδή το το Β5, 5, δηλαδή το β. Η C βρίσκεται κάτω από τη Λύνουμε τις εξισώσεις g Α, και Β5, 5 D D, με: C g για τα g : και κατασκευάζουμε τον πίνακα ή 5 8

31 Μαθηματικά Γ Λυκείου: Συναρτήσεις όρια συνέχεια 5 5 / Γινόμενο Από τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι η ανίσωση αληθεύει για κάθε 5,,5. Επομένως η C βρίσκεται κάτω από τη C σε καθένα από τα διαστήματα g 5, και,5. 4. Δίνεται η συνάρτηση e ln α. Να γίνει η γραφική παράσταση της. β. Να βρείτε το πλήθος ριζών της εξίσωσης του α. Ενδεικτική λύση Το πεδίο ορισμού της είναι το D,, α. Η γραφική παράσταση της ln μετατόπιση της γραφικής παράστασης της δεξιά.. α για τις διάφορες τιμές (Παρόμοιες άσκηση η.8),, προκύπτει από την οριζόντια g ln κατά μονάδα προς τα 9

32 Ε.: Πεδίο ορισμού- Γραφική παράσταση-σύνολο τιμών Η γραφική παράσταση της παράσταση της e, προκύπτει από τη γραφική g e, διαγράφοντας το τμήμα της που αντιστοιχεί στο διάστημα,. y e y e, O Έτσι η γραφική παράσταση της φαίνεται σχήμα που ακολουθεί: β. To πλήθος ριζών της εξίσωσης τομής της C με την ευθεία ε :y α. α είναι ίσο με το πλήθος των σημείων 0

33 Αν α 0, τότε η εξίσωση Μαθηματικά Γ Λυκείου: Συναρτήσεις όρια συνέχεια C και η ευθεία α έχει μία μόνο ρίζα. ε :y α έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, οπότε η Αν 0 α e, τότε η οπότε η εξίσωση C και η ευθεία α έχει ακριβώς δύο ρίζες. ε :y α έχουν ακριβώς δύο κοινά σημεία, Αν α e τότε η εξίσωση C και η ευθεία α έχει μία μόνο ρίζα. ε :y α έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, οπότε η

34 Ε.: Πεδίο ορισμού- Γραφική παράσταση-σύνολο τιμών Σύνολο τιμών Σύνολο τιμών μιας συνάρτησης με πεδίο ορισμού Α ονομάζουμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της σε όλα τα Α και συμβολίζεται Α. Δηλαδή Α y / υπάρχει Α με y Το σύνολο τιμών Α μιας συνάρτησης με πεδίο ορισμού Α είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών y για τους οποίους η εξίσωση y με άγνωστο το έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο Α. Σύνολο τιμών μιας συνάρτησης με πεδίο ορισμού Α είναι το σύνολο των τεταγμένων των προβολών των σημείων της C στον άξονα yy. Α της συνάρτησης :Α Β είναι υποσύνολο του συνόλου αφίξεως Β. Δηλαδή είναι Α Β. Εύρεση συνόλου τιμών Το σύνολο τιμών ος τρόπος Αν έχουμε το γράφημα της συνάρτησης, τότε για να βρούμε το σύνολο τιμών της, προβάλλουμε τα σημεία της C πάνω στον άξονα yy. το σύνολο των τεταγμένων των προβολών των σημείων της στον άξονα yy είναι το σύνολο τιμών Α της. ος τρόπος Για να βρούμε το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης : Α την εξίσωση, θεωρούμε y με άγνωστο το, και αναζητούμε όλες τις τιμές του y (παράμετρος) για τις οποίες C y (Α) O Περιορισμούς παίρνουμε όταν:. διαιρούμε,. παίρνουμε ρίζες,. λογαριθμίζουμε, 4. υψώνουμε στο τετράγωνο (και γενικότερα σε άρτια δύναμη). η εξίσωση αυτή έχει μία τουλάχιστον λύση στο Α. Το σύνολο όλων αυτών των τιμών του y είναι το σύνολο τιμών της. ος τρόπος Το σύνολο τιμών βρίσκεται επίσης με την βοήθεια των εννοιών της συνέχειας, της μονοτονίας και των ορίων. Σχόλιο: Η πρώτη επαφή με τον ο τρόπο θα γίνει αργότερα στο τέλος του ου κεφαλαίου. C

35 5. Μαθηματικά Γ Λυκείου: Συναρτήσεις όρια συνέχεια Να βρεθούν τα σύνολα τιμών των συναρτήσεων: α. β. ln 4 γ. e δ. ε. 4 5 Ενδεικτική λύση (Παρόμοιες ασκήσεις οι.5,.6,.6,.7) α. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το σύνολο Α. Το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης αποτελείται από όλα εκείνα τα y τα οποία η εξίσωση συνάρτησης. Είναι:, για y έχει λύση ως προς A στο πεδίο ορισμού της y y y y y y y : Σ Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: y 0 y Για y η εξίσωση y y γίνεται 0 6, η οποία είναι αδύνατη, οπότε Α. y 0 y Για y έχουμε: y y y y y y y y y Σ y y y y y y y 6 y 0 6 y y

36 Ε.: Πεδίο ορισμού- Γραφική παράσταση-σύνολο τιμών Επομένως το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι το σύνολο Α. β. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το σύνολο Α 0,. Λύνουμε την εξίσωση y ως προς Α : y y ln y ln 0, 0 0 y y ln ln ln e 0 0 y e e e 0 e 0 (ισχύει για κάθε y ) y y y y Επομένως το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι το Α. γ. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το Α. Λύνουμε την εξίσωση y ως προς Α. Έχουμε: 4 ln y ln e 4 4 y y e y e y+ 0 ln y 4 4 ln y y y 4

37 Μαθηματικά Γ Λυκείου: Συναρτήσεις όρια συνέχεια ln y 4 ln y 4 y ln y 4 y (που ισχύει για κάθε y ) Επομένως το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι το Α,. δ. Το πεδίο ορισμού της αποτελείται από όλους εκείνους τους πραγματικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει: 0 0, 0 0 Έτσι το πεδίο ορισμού της είναι το διάστημα Α 0,. Θεωρούμε την εξίσωση y και αναζητούμε τις τιμές του y για τις οποίες η εξίσωση αυτή έχει μία τουλάχιστον λύση ως προς στο Α 0,. Έχουμε: y y 0, 0 y y 0 0 y y y 0 y

38 Ε.: Πεδίο ορισμού- Γραφική παράσταση-σύνολο τιμών y y y 0 y y 0 y y y y y y 0 y y y y 0 y y 0 y 0 0 y y y 0 y 0 y 0 y 0 y y y Ομως y 0 0 y 0 y 0 y y 0 y y 0 y y y 0 y 0 y y 0 (ισχύει για κάθε y ) Επομένως το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι το A 0,. 6

39 6. Μαθηματικά Γ Λυκείου: Συναρτήσεις όρια συνέχεια ε. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το Α. Θεωρούμε την εξίσωση y και αναζητούμε τις τιμές του y για τις οποίες η εξίσωση αυτή έχει μία τουλάχιστον λύση ως προς στο Α. Έχουμε: 4 5 y 4 5 y 0: α Για να έχει η εξίσωση α λύση στο Α πρέπει και αρκεί να είναι: Σχόλιο: 4 5 Δ y 0 y. Επομένως το σύνολο τιμών της είναι το Α,., 0 Δίνεται η συνάρτηση με., Στο διπλανό σχήμα είναι AB, και ΑΓ ΓΔ. Όταν το Μ διαγράφει το ευθύγραμμο τμήμα ΑΓ, να δείξετε ότι το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου ως AM, δίνεται συνάρτηση του από τη συνάρτηση για 0,. Ενδεικτική λύση Στο ορθογώνιο τρίγωνο Επίσης στο ορθογώνιο τρίγωνο Άρα MN MN. Ν 4 4 A M B y } ( ), - O (Παρόμοιες ασκήσεις οι.7,.8,.9,.0,.,.,.,.4,.5,.8,.9,.40,.4) Δ MN MN AMN έχουμε : εφα. MA Δ BE AΒΕ έχουμε: εφα. B A Ε Δ Γ 7

40 Ε.: Πεδίο ορισμού- Γραφική παράσταση-σύνολο τιμών Δ Όταν 0 το ορθογώνιο τρίγωνο AMN έχει εμβαδό ΑΜ ΜΝ AMN, 0,. Ε Ν A M B Δ Γ Όταν τότε το εμβαδό του γραμμοσκιασμένου χωρίου είναι ίσο με: ΑΒ ΒΕ ABE EBMN ΒΜ ΜΝ,, A Ε B Ν M Δ Γ 7. Τελικά το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου ως συνάρτηση του, 0 AM, δίνεται από την Ε με E, συνάρτηση με, 0., Δίνεται η συνάρτηση ln, 0,. α. Να βρείτε τη συνάρτηση που εκφράζει την απόσταση του A0, δηλαδή από τη από τη C. β. Να βρείτε τη συνάρτηση που εκφράζει την απόσταση τυχαίου σημείου της δ : y. C από την ευθεία γ. Να βρείτε τη συνάρτηση που εκφράζει την κατακόρυφη απόσταση των γραφικών παραστάσεων των και g, όπου g,. δ. Να βρείτε τη συνάρτηση που εκφράζει το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΝ. Ενδεικτική λύση Έστω (Παρόμοιες ασκήσεις οι.7,.8,.9,.0,.,.,.,.4,.5,.8,.9,.40,.4) Ν,, δηλαδή Ν,ln ένα τυχαίο σημείο της C. 8

41 Μαθηματικά Γ Λυκείου: Συναρτήσεις όρια συνέχεια α. Η απόσταση του σημείου Ν, 0, από το σημείο A0, δίνεται από τη συνάρτηση: Ν Α Ν Α d ΑΝ y y 0 ln, με β. Η απόσταση του σημείου Ν, από την ευθεία δ : y δ : y 0 δίνεται από τη συνάρτηση: ln d, 0 γ. H κατακόρυφη απόσταση των γραφικών παραστάσεων C, Cg δίνεται από τη Σχόλιο : Η απόσταση του σημείου Κ,y από το σημείο Κ Λ,y Λ K Λ δίνεται από τον τύπο: ΚΛ y y Λ Κ Λ Κ Σχόλιο : Η απόσταση του σημείου,y από την ευθεία 0 0 ε : A Βy Γ 0 δίνεται από τον τύπο: d A0 Βy0 Γ A B συνάρτηση: h g ln, 0 δ. Έχουμε Ο0,0, Α0, και Ν,, 0. Είναι OA 0,y 0 0, Σχόλιο : Το εμβαδόν του Α,y, τριγώνου ΑΒΓ με B,y και Γ,y δίνεται από τον τύπο A A ΑΒΓ det ΑΒ,ΑΓ. OΝ 0, y 0,,ln. Επομένως, Και Ν Ν 0 0 OAΝ det OΑ,OΝ 0ln τ.μ. ln Σχόλιο: 0 OAΝ ΟΑ d Ν, y y τ.μ. 9

42 Μαθηματικά Γ Λυκείου: Συναρτήσεις-Όρια-Συνέχεια Ε. Ασκήσεις Σε κάθε παράγραφο αυτού του βιβλίου προτείνουμε ασκήσεις διαβαθμισμένης δυσκολίας για λύση (ανά κατηγορία) και συμπληρωματικές ασκήσεις για επιπλέον εξάσκηση. Εύρεση πεδίου ορισμού.. Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών των παρακάτω συναρτήσεων: α. β. γ... Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: α. β. γ

43 Ε.: Πεδίο ορισμού- Γραφική παράσταση-σύνολο τιμών.. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των επόμενων συναρτήσεων: α. 4 β. 4 γ. δ. ε. στ. ζ. 9 η. θ. e ια. ι. ln.4. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των επόμενων συναρτήσεων: α. 4 β. γ. ε. δ..5. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: α. ln γ. β. ln ln ln ln e ε. δ. ln e

44 Μαθηματικά Γ Λυκείου: Συναρτήσεις όρια συνέχεια Γραφική παράσταση συνάρτησης- Σημεία τομής με τους άξονες Σχετική θέση γραφικών παραστάσεων.6. Αφού βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τους άξονες, να παραστήσετε γραφικά τις παρακάτω συναρτήσεις και κατόπιν να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών κάθε μίας. α. 4 και g β. γ. ε. 6 δ..7. Δίνεται η συνάρτηση. Να βρεθούν: α. Τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τους άξονες. β. Τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της βρίσκεται πάνω από τον άξονα..8. Δίνεται η συνάρτηση α. Να γίνει η γραφική παράσταση της. e, ln, β. Να βρείτε το πλήθος ριζών της εξίσωσης α. α για τις διάφορες τιμές του.9. Να βρείτε τη σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: α. β. και g και g γ. και g 5 δ. ln 6ln και ε. ln και g ln 6 g ln ln.0. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων, με βάση τη γνώση των γραφικών παραστάσεων των βασικών συναρτήσεων και κατόπιν να βρείτε το σύνολο τιμών τους. α. e β. γ. e ln δ. ln

45 Ε.: Πεδίο ορισμού- Γραφική παράσταση-σύνολο τιμών.. Δίνεται η συνάρτηση: α β με διέρχεται από τα σημεία Α, και Β, α. να βρείτε τις τιμές των α και β β. να κάνετε τη γραφική παράσταση της. * και α,β. Αν η γραφική παράσταση της, τότε:.. Έστω η συνάρτηση: αln β β, και α,β. Να βρείτε τις τιμές των α, β για τις οποίες η γραφική παράσταση της τέμνει τον άξονα στο σημείο Α,0 και διέρχεται από το σημείο Β e,e... Η γραφική παράσταση C μιας συνάρτησης φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Από αυτό να βρείτε: α. το πεδίο ορισμού της. β. το σύνολο τιμών της. γ. το είδος μονοτονίας της. δ. τα ακρότατα της.

46 Μαθηματικά Γ Λυκείου: Συναρτήσεις όρια συνέχεια ε. τον τύπο της, αν είναι γνωστό ότι στο διάστημα, 5 η C έχει εξίσωση λ της μορφής y κ και στο διάστημα 0, έχει εξίσωση της μορφής y α β..4. Παρακάτω δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων,g και h αντίστοιχα. Βάσει των παραπάνω να προσδιορισθούν: α. τα πεδία ορισμού και τα σύνολα τιμών των συναρτήσεων,g και h. β. Να λυθούν οι ανισώσεις: 0 g i) ii) iii) iv) 4 g v) h 4

47 Ε.: Πεδίο ορισμού- Γραφική παράσταση-σύνολο τιμών Σύνολο τιμών.5. Να βρείτε το σύνολο τιμών των παρακάτω συναρτήσεων. α. β. e γ. ln δ.,, ε. στ. 8 ζ..6. Δίνεται η συνάρτηση α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να απλοποιήσετε τον τύπο της. γ. Να εξετάσετε αν το 5 ανήκει στο σύνολο τιμών της. δ. Να βρείτε το σύνολο τιμών της. Κατασκευή Συνάρτησης.7. Η περίμετρος ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι 0m. Να εκφραστεί το εμβαδόν του τριγώνου συναρτήσει της βάσης του..8. Έστω ένα τρίγωνο με τη μία κορυφή του, έστω την A, να ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης για 0. Οι άλλες δύο κορυφές του, είναι οι προβολές της κορυφής A στους άξονες. Να εκφράσετε την περίμετρο του τριγώνου συναρτήσει του..9. Η γωνία ενός ορθογώνιου παραλληλογράμμου έχει πλευρές τους άξονες και η κορυφή της βρίσκεται στην αρχή των αξόνων ενώ η απέναντί της κορυφή στην γραφική παράσταση της συνάρτησης ln. α. Να εκφραστεί η περίμετρός του συναρτήσει του. β. Να εκφραστεί το εμβαδόν του συναρτήσει του..0. Θεωρούμε τη συνάρτηση 4. α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Αν το σημείο M,y ανήκει στη γραφική παράσταση της, να αποδείξετε ότι η απόστασή του από την αρχή των αξόνων O0,0 δίνεται από τη σχέση ΟΜ 4. 5

48 Μαθηματικά Γ Λυκείου: Συναρτήσεις όρια συνέχεια.. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης, με 0. α. Να εκφράσετε το εμβαδόν Ε του τριγώνου ΟΑΜ ως συνάρτηση του. β. Να εκφράσετε το ύψος ΑΔ του τριγώνου ΟΑΜ ως συνάρτηση του... Σύρμα μήκους 0cm κόβεται σε δύο κομμάτια με μήκη cm και 0 cm. Με το πρώτο κομμάτι σχηματίζουμε τετράγωνο και με το δεύτερο σχηματίζουμε κύκλο. Να βρείτε το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων ως συνάρτηση του και να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης αυτής... Σε απόσταση m από ένα φανοστάτη ύψους m, βρίσκεται ένας άνθρωπος ύψους h, με h m (δείτε το σχήμα). Να εκφράσετε το μήκος της σκιάς ως συνάρτηση του h..4. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς 4. Θεωρούμε τα εσωτερικά σημεία Κ, Λ, Μ και Ν των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ και ΔΑ αντίστοιχα, έτσι ώστε ΑΚ ΒΛ ΓΜ ΔΝ. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του ΚΛΜΝ, ως συνάρτηση E 4 8, 0, 4. του, είναι.5. Δίνεται κύκλος O,ρ με κέντρο Ο και ακτίνα ρ 5 και ορθογώνιο ABΓΔ εγγεγραμμένο στον κύκλο αυτό με πλευρά AB. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου ABΓΔ, ως συνάρτηση του, δίνεται από τον τύπο: 00,

49 Ε.: Πεδίο ορισμού- Γραφική παράσταση-σύνολο τιμών Επιπλέον ασκήσεις για εξάσκηση Εύρεση πεδίου ορισμού.6. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των επόμενων συναρτήσεων: α. e e β. δ. ln ln ε. ημ ζ. η. ln γ. 5 6 στ. συν ημ.7. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: θ. α. β. 5 4 e e e ln συν ημ γ. δ..8. Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: ln e α. 4 6 γ. ln ε. log log 4 6 β. ln ln δ..9. Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: α. γ. 5e 4 log e β. e e.0. Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: α. β. e ln ln ln ln e e γ. 5 7

50 Μαθηματικά Γ Λυκείου: Συναρτήσεις όρια συνέχεια.. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: α. β. ln e e γ. 6 5 δ. 9.. Να βρεθούν οι τιμές της παραμέτρου λ ώστε να έχουν πεδίο ορισμού το, οι συναρτήσεις: α. λ ημλ λ λ λ λ β. γ. ln λ λ Γραφική παράσταση συνάρτησης Σχετική θέση γραφικών παραστάσεων.. Να προσδιορίσετε τη σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: ln ln α. και g ln ln ln ln g ln ln 4 β. και γ. e 4 και g 4e.4. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης. α. Να λύσετε την εξίσωση 0. β. Να λύσετε την ανίσωση Θεωρούμε τη συνάρτηση α. το πεδίο ορισμού της. 4 ln 6 4. Να βρείτε: β. τις τιμές του για τις οποίες η γραφική παράσταση της είναι πάνω από τον άξονα. 8

51 Ε.: Πεδίο ορισμού- Γραφική παράσταση-σύνολο τιμών.6. Δίνεται η συνάρτηση α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να απλοποιήσετε τον τύπο της. Σύνολο τιμών γ. Να εξετάσετε αν το ανήκει στο σύνολο τιμών της. δ. Να βρείτε το σύνολο τιμών της..7. Δίνεται η συνάρτηση α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να απλοποιήσετε τον τύπο της. γ. Να εξετάσετε αν το ανήκει στο σύνολο τιμών της. δ. Να βρείτε το σύνολο τιμών της. Κατασκευή Συνάρτησης o.8. Οι κάθετες πλευρές ΑΒ, ΑΓ ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ Α 90 μεταβάλλονται έτσι ώστε το εμβαδόν του να παραμένει σταθερό και ίσο με m. Να εκφράσετε το μήκος της πλευράς ΒΓ ως συνάρτηση του μήκους της πλευράς ΑΒ..9. Έχουμε περιφράξει με συρματόπλεγμα μήκους 00m μια περιοχή σχήματος ορθογωνίου από τις τρεις πλευρές της όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Η τέταρτη πλευρά είναι τοίχος. Αν το μήκος του τοίχου που θα χρησιμοποιηθεί είναι, να εκφραστεί το εμβαδόν της περιοχής ως συνάρτηση του. 9

52 Μαθηματικά Γ Λυκείου: Συναρτήσεις όρια συνέχεια.40. Μια μεταβλητή ευθεία με συντελεστή διεύθυνσης λ 0 στρέφεται γύρω από το σημείο, και τέμνει τους άξονες και y y στα σημεία Α και Β αντίστοιχα. Να εκφραστεί το εμβαδόν του τριγώνου OAB συναρτήσει του λ..4. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της ευθείας ε με εξίσωση y. Να εκφράσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου ως συνάρτηση του h. 40

53 Μαθηματικά Γ Λυκείου: Συναρτήσεις όρια συνέχεια Ε. Ισότητα, πράξεις και σύνθεση συναρτήσεων Ισότητα συναρτήσεων Ερώτηση θεωρίας Ορισμός: Πότε λέμε ότι δύο συναρτήσεις και g είναι ίσες; Απάντηση Δύο συναρτήσεις και g λέγονται ίσες όταν: i) Έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και ii) για κάθε A = g. ισχύει ( ) ( ) Σχόλιο: Αν Α D Dgμε Α και ισχύει: ( ) = g( ) για κάθε A, τότε λέμε ότι οι συναρτήσεις και g είναι ίσες στο σύνολο Α. Ερώτηση μεθοδολογίας Πώς αποδεικνύουμε ότι δύο συναρτήσεις και g είναι ίσες; Απάντηση A, A g των δυο συναρτήσεων. A = A, τότε συνεχίζουμε και ελέγχουμε αν Πρώτα βρίσκουμε τα πεδία ορισμού Αν αυτά είναι ίσα, δηλαδή αν g για κάθε A = Ag ισχύει ( ) = g( ). Αν ισχύει, λέμε ότι είναι ίσες, σε διαφορετική περίπτωση οι και g δεν είναι ίσες. Αν τα πεδία ορισμού είναι διαφορετικά A A g, λέμε ότι οι συναρτήσεις δεν είναι ίσες. Αν ζητούμε το «ευρύτερο υποσύνολο του στο οποίο είναι ίσες, τότε περιοριζόμαστε στην τομή τους A A g και ελέγχουμε αν για κάθε A A g ισχύει ( ) = g( ).. Έστω οι συναρτήσεις ( ) ίσες. Ενδεικτική λύση = + και g( ) =. Να δείξετε ότι είναι (Παρόμοιες ασκήσεις οι.,.9,.40) Το πεδίο ορισμού της αποτελείται από όλους εκείνους τους πραγματικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει: 4

54 E.: Ισότητα πράξεις και σύνθεση συναρτήσεων 0 0 και και 0 +,πουισχύει για 0 D = 0, +. Οπότε το πεδίο ορισμού της είναι το διάστημα [ ) Το πεδίο ορισμού της g αποτελείται από όλους εκείνους τους πραγματικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει: 0. D = 0, +. Οπότε το πεδίο ορισμού της g είναι το διάστημα g [ ) Επομένως είναι D = D = [ 0, + ) ος τρόπος Είναι ( ) = = + ( ) = = + = ( ) ( + ) + = = g( ) άρα ισχύει: ( ) g( ) [ 0, + ). ος τρόπος Είναι g( ) = = g = = για κάθε ( )( + ) = = + ( ) = = + = = ( ) + = g για κάθε άρα ισχύει: ( ) ( ) [ 0, + ). Προσοχή! Ίσως η πιο πιθανή αντιμετώπιση του προβλήματος, να ήταν η ακόλουθη: ( ) = = + ( )( ) ( + )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) = = = = = ( ) = = g Που είναι λανθασμένη αφού δεν εξετάσαμε τι θα γινόταν αν =. Έτσι θα έπρεπε να γράψουμε Για κάθε [ 0,) (, + ), όπως ακριβώς παραπάνω, = g, = δείχνουμε ότι ( ) ( ) Για =, είναι = 0= g ( ) ( ) Οπότε τελικά είναι ( ) = g( ) για κάθε [ 0, + ). 4

55 ος τρόπος Για κάθε [ 0, ) Μαθηματικά Γ Λυκείου: Συναρτήσεις όρια συνέχεια + έχουμε ( ) = g( ) = + = ( + )( ) = ( ) =,που ισχύει. g 0, +. Άρα ισχύει : ( ) = ( ) για κάθε [ ) Επειδή οι συναρτήσεις και g έχουν ίδιο πεδίο ορισμού το [ 0,+ ) και ισχύει: ( ) = g( ) για κάθε [ 0, + ), έπεται ότι είναι = g. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Πράξεις συναρτήσεων Έστω δύο συναρτήσεις,g με πεδία ορισμού A και B αντίστοιχα και A B. Τότε για το άθροισμα, τη διαφορά, το γινόμενο και το πηλίκο τους ισχύουν τα παρακάτω: ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΤΥΠΟΣ AΘΡΟΙΣΜΑ + g A B ΔΙΑΦΟΡΑ g A B ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΠΗΛΙΚΟ g A B g ( + g)( ) = ( ) + g( ) ( g)( ) = ( ) g( ) ( g)( ) = ( ) g( ) { ( ) } Γ= A B/g 0 (εφόσον Γ ) g ( ) ( ) ( ) = g. Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) συναρτήσεις + g, g, g,. g = ln και g( ) =. Να οριστούν οι Ενδεικτική λύση (Παρόμοιες ασκήσεις οι.5,.4,.4,.44) Βρίσκουμε πρώτα τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων. Το πεδίο ορισμού της αποτελείται από όλους εκείνους τους πραγματικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει: > 0. Άρα το πεδίο ορισμού της είναι το διάστημα D ( 0, ) = +. 4

56 E.: Ισότητα πράξεις και σύνθεση συναρτήσεων Το πεδίο ορισμού της g αποτελείται από όλους εκείνους τους πραγματικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει: 0. Άρα το πεδίο ορισμού της g είναι το διάστημα D (,] Είναι D D ( 0,] g g =. =, οπότε ορίζονται οι συναρτήσεις + g, g και g ως έξης: + g: ( 0,] με ( )( ) ( ) ( ) + g = + g = ln+ g: ( 0,] με ( )( ) ( ) ( ) g = g = ln g: ( 0,] με ( )( ) ( ) ( ) g = g = ln Η g ορίζεται από όλους εκείνους τους πραγματικούς αριθμούς για τους. οποίους ισχύουν: ( ) g 0 0 ( 0,). D Dg = ( 0,] ( 0,] ( 0,] Επομένως το πεδίο ορισμού της g έξης: : ( 0, ) g με ( ) ( ) ( ) είναι το D ( 0,) ln = =. g g g = και η g ορίζεται ως Δίνονται οι συναρτήσεις,g: με την ιδιότητα ( )( ) ( )( ) + g 4+ g 8για κάθε. Να αποδειχθεί ότι = g. Ενδεικτική λύση Για κάθε ισχύει: (Παρόμοιες ασκήσεις οι.78,.79,.8) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + g 4 + g 8 + g 4 + 4g 8 ( ) ( ) ( ) ( ) g 4g

57 Μαθηματικά Γ Λυκείου: Συναρτήσεις όρια συνέχεια ( ( ) ) ( ( ) ) 0 g 0 ( ( ) ) ( ( ) ) + g 0 {( ( ) ) 0 και ( g ( ) ) 0 } = = { ( ) και g( ) } = =. Επομένως οι συναρτήσεις, g έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού, το και για κάθε ισχύει : ( ) = g( ) =, οπότε είναι = g. Σχόλιο: Όταν οι,g είναι υψωμένες σε τετράγωνο συνήθως έχουμε χρήση ταυτοτήτων. Ορισμός Σύνθεση συναρτήσεων Έστω οι συναρτήσεις :Α και g:β. Αν το σύνολο { ( ) } Α = / A και Β είναι μη κενό ( Α ), τότε ονομάζουμε σύνθεση της με τη g μία συνάρτηση, την οποία συμβολίζουμε με go και ορίζεται ως εξής: g: Α με ( g )( ) = g ( ). ( ) Αν είναι Α =, τότε δεν ορίζεται η σύνθεση της με τη g. Προσοχή: Πρέπει να τονιστεί ότι το g διαβάζεται σύνθεση της με τη g. Η g ορίζεται αν και μόνο αν Α ή ισοδύναμα αν και μόνο αν ( Α) Β. A (A) () B g(b) A g g g( ()) 45

58 Παρατηρήσεις: Όταν D = και E.: Ισότητα πράξεις και σύνθεση συναρτήσεων D g = τότε το πεδίο ορισμού της g D og = και το πεδίο ορισμού της g το D go =. Αν D = τότε το πεδίο ορισμού της Γενικά δεν ισχύει g = g. Ισχύει ( g) h = ( g h) ( g) h,( g h). g είναι το Dog = Dg. εφόσον ορίζεται μία από τις συναρτήσεις, είναι το Για να ορίσουμε την g ( αντίστοιχα την g ), βρίσκουμε πρώτα το πεδίο ορισμού D og (αντίστοιχα Dg ) της g (αντίστοιχα της g ) και μετά τον τύπο της. Έστω οι συναρτήσεις : Α,g:Β με τη g να έχει πεδίο ορισμού το διάστημα Β = [ 0,5] και την να έχει σύνολο τιμών το διάστημα ( Α) = [,], τότε ορίζεται η σύνθεση της συνάρτησης με τη συνάρτηση g, δηλαδή η συνάρτηση g αφού: ( Α) Β = [,] [ 0,5] = [ 0,] αλλά δεν είναι κατ ανάγκη το [0,] το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g. Ερώτηση μεθοδολογίας Πώς βρίσκουμε τη σύνθεση της με τη g ; Απάντηση Για να προσδιορίσουμε τη σύνθεση της με τη g, δηλαδή τη συνάρτηση g ακολουθούμε την εξής διαδικασία: ον. Βρίσκουμε το Α (πεδίο ορισμού της ) και το Α g (πεδίο ορισμού της g ). ον. H g ορίζεται σε όλους εκείνους τους πραγματικούς αριθμούς για Α τους οποίους ισχύει: ( ) Α g Έτσι βρίσκουμε το σύνολο Α = / Α και A. Αν Αν { ( ) } g g Αg, τότε αυτό είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g. Α g =, τότε δεν ορίζεται η συνάρτηση g. ον. Βρίσκουμε τον τύπο της από τη σχέση ( )( ) = ( ( )) g g. 46

59 Μαθηματικά Γ Λυκείου: Συναρτήσεις όρια συνέχεια Για τον προσδιορισμό της σύνθεσης της g με την, δηλαδή της συνάρτησης og, ακολουθούμε παρόμοια διαδικασία. 4. Έστω οι συναρτήσεις ( ) συνάρτηση g. Ενδεικτική λύση = ln και g( ) =. Να βρεθεί, αν ορίζεται, η + (Παρόμοιες ασκήσεις οι.0,.,.50,.5,.5,.54,.55,.56) Βρίσκουμε πρώτα τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων. Το πεδίο ορισμού της αποτελείται από όλους εκείνους τους πραγματικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει: > 0. Άρα το πεδίο ορισμού της D = 0, +. είναι το διάστημα ( ) Το πεδίο ορισμού της g αποτελείται από όλους εκείνους τους πραγματικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει: + 0. Άρα το πεδίο ορισμού της g είναι το σύνολο = { } D. g H og ορίζεται σε όλους εκείνους τους πραγματικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει: Dg g( ) D Έχουμε: D g g( ) D ( ) ( ) ( ) g > 0 > 0 + > 0 + ( )( ) > 0 > > > > ή<,, + Επομένως η g ορίζεται με πεδίο ορισμού το D = (, ) (, + ) και g = g = = ln. + + τύπο ( )( ) ( ( )) og 47

60 E.: Ισότητα πράξεις και σύνθεση συναρτήσεων Αν γνωρίζουμε τις og και, πώς θα βρίσκουμε τη g; 5. Δίνονται οι συναρτήσεις : και g : ( 0, + ) με ( ) = e +. Αν για κάθε ( 0, + ) ισχύει ( g)( ) = e + +, να βρείτε τη ( ) g. (Παρόμοια άσκηση η.7) Ενδεικτική λύση Επειδή είναι D = έπεται ότι ορίζεται η g με πεδίο ορισμού το = g= ( + ) και τύπο ( ) ( ) D D 0, g Για κάθε ( 0, ) + είναι: ( )( ) ( ( )) g e g e g ( ) ( ) og () = g = e +. = + + = + + ( ) ( ) g ( ) g ( ) e + = e + + e = e + g = ln e +, > 0 (είναι e 0 για κάθε 0) + > > > Πώς θα βρίσκουμε τον τύπο της αν γνωρίζουμε τους τύπους των og και g; 6. α. Δίνονται οι συναρτήσεις,g: Αν ( )( ) με ( ) g =. g = + 5 για κάθε, να βρείτε τον τύπο της. β. Έστω ότι η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το [, ]. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( ) = ( ) Ενδεικτική λύση g. (Παρόμοιες ασκήσεις οι.8,.9,.0,.,.) α. Αφού οι συναρτήσεις,g έχουν πεδίο ορισμού το, η σύνθεση της g με την, δηλαδή η συνάρτηση g έχει πεδίο ορισμού το. Για κάθε ισχύει: g = + 5 g = + 5 ( ) ( )( ) ( ) ( ) = + 5 :( ) Από την ( ) θέτοντας όπου το + έχουμε ότι για κάθε ισχύει: (( + ) ) = ( + ) + ( + ) ( ) ( ) 5 = =

61 Μαθηματικά Γ Λυκείου: Συναρτήσεις όρια συνέχεια β. Το πεδίο ορισμού της g = συνάρτησης ( ) ( ) αποτελείται από όλους εκείνους τους πραγματικούς αριθμούς για τους οποίους το ανήκει στο πεδίο ορισμού της, δηλαδή:, ( ) [ ] ( και ) ( ) 0 ισχύει για κάθε [, ] Επομένως το πεδίο ορισμού της g είναι το A [,] 7. Δίνονται οι συναρτήσεις : g Σχόλιο: To ( ) έχει νόημα αν και μόνο αν το να ανήκει στο πεδίο ορισμού της. ος τρόπος: Έστω h() =,, τότε g = = h, οπότε: Α = Α = g ( ) ( ) ( ( )) oh { / Ahκαι h ( ) A} = = { / και ( ) [, ] } = =., g : (, + ) με ( ) e ( go )( ) = + e, για κάθε ( 0, + ). Να ορίσετε τη συνάρτηση g. = + και Ενδεικτική λύση (Παρόμοιες ασκήσεις οι.,.4,.5,.6,.60) Έχουμε: ( g )( ) = + e > 0 Έστω ( ( )) g = + e > 0 g = > 0 ( + e ) + e : ( ) Σχόλιο: Επειδή θέλουμε να g, αναζητούμε ορίσουμε τη ( ) ποια παράσταση ( y > 0 ) πρέπει να θέσουμε στη θέση του στη g+ e έτσι ώστε η ( ) προκύπτουσα παράσταση να ισούται με το, δηλαδή να προκύψει g( ). ( ) y y + e = e = y= ln, > Από την ( ) θέτοντας όπου το y = ln ( ), > (είναι ( ) κάθε > ), έχουμε ότι για κάθε > ισχύει: ln > 0 για 49

62 E.: Ισότητα πράξεις και σύνθεση συναρτήσεων ln ( ) ( ) ( ) ln ( ) g + e = ln + e g ( + ( ) ) = ln( ) + ( ) g ( ) = ln ( ) + Επομένως η συνάρτηση g έχει τύπο g( ) = ln( ) +, (, ) Εναλλακτικά Έχουμε: ( )( ) = + g ( ) +. ( ) = e ( + ) = + : ( ) go e + g e e > 0 > 0 > 0 Θέτουμε e = y lne = ln( y ) + e = y e = y = ln y y > 0 y > y> 0 y> 0 y> y 0 y > > > > > 0 > 0 > 0 ( ) ( ) ln( y ) > 0 ln( y ) > ln Από την ( ) θέτοντας όπου το ( ) ( ) = ln y = ln y = ln y = ln y y> y> y> y > y > ισχύει: ( ) ( ) = ln y, y > έχουμε ότι για κάθε y> ln( ) ( ) ( ) y g y = ln y + e = ln ( y ) + y, y >. Επομένως η συνάρτηση g έχει τύπο g( ) = ln( ) +, (, ) 8. Να βρεθεί μία συνάρτηση : ώστε να ισχύει: g = συν g =,,. ( )( ), και ( ) [ ] Ενδεικτική λύση Είναι g( ( ) ) = συν,. +. (Παρόμοιες ασκήσεις οι.,.4,.5,.6,.60) Η g( ) = έχει πεδίο ορισμού το Dg [,] ( ), για κάθε. Έχουμε ( )( ) ( ( )) ( ) =, οπότε πρέπει να ισχύει g = συν g = συν = συν Άρα ( ) = συν ( ) = συν ( ) = ημ 50

63 Μαθηματικά Γ Λυκείου: Συναρτήσεις όρια συνέχεια Άρα μία συνάρτηση είναι η ( ) Παρατήρηση: = ημ. Η παραπάνω συνάρτηση δεν είναι μοναδική.όλες οι συναρτήσεις που ικανοποιούν την ( ( ) ) = ( ημ) για κάθε είναι: ( ) = ημ, ( ) = ημ, = ημ, Α, όπου Α και Α (άπειρου πλήθους ημ, Α συναρτήσεις). ( ) Θεωρητικές ασκήσεις 9. Δίνεται η συνάρτηση :. Να αποδειχθεί ότι: = 4 α. ( ) = και ( ) ( ) β. ( 4 ) = 4 ( ) με την ιδιότητα ( )( ) = 4 για κάθε (Παρόμοια άσκηση η.8) Ενδεικτική λύση α. Είναι ( ( ) ) 4 : ( ) = για κάθε. Από τη σχέση ( ) για = προκύπτει: ( ) Επίσης, στη σχέση ( ) θέτοντας ( ) ( ) = ( ) : = έχουμε: ( ( )) ( ) ( = 4 ) ( ) = 4 ( ) ( ) =. = προκύπτει ( ( )) Από τη σχέση ( ) για 4 Επίσης από τη σχέση ( ) για ( 4) 4 = 0. = προκύπτει: ( ( 4) ) = 4 ( 4) ( 0) = 4 ( 4) ( 0) + ( 4) = 4. 0, προκύπτει : β. Επίσης, στη σχέση ( ) αν θέσουμε όπου το ( ) = 4 4 = 4 4 ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ),. 5

64 E.: Ισότητα πράξεις και σύνθεση συναρτήσεων Συναρτησιακές σχέσεις.-εύρεση τύπου συνάρτησης. 0. Να βρεθεί η συνάρτηση : με την ιδιότητα: + + = : για κάθε ( ) ( ) ( ) Ενδεικτική λύση (Παρόμοιες ασκήσεις οι.0,.,.,.75) ( ) + ( + ) = :( ). Από τη σχέση ( ) θέτοντας όπου το προκύπτει ότι για κάθε ισχύει: ( ( )) + ( + ( )) = ( ) ( ) + ( ) = ( ) 4 : Από τη σχέση ( ) θέτοντας το 4 προκύπτει ότι για κάθε ισχύει: ( ) + ( ( )) = ( ) ( 4 ) + ( ) = + :( ) Από τις σχέσεις ( ) και ( ) έχουμε : ( ) ( ) ( ) ( ) + 4 = + 4 = + (γραμμικό σύστημα με αγνώστους ( ),( 4 ) Είναι: ) D = =, D( ) = = ( ) ( + ) = 5, + D( ) 5 5 οπότε ( ) = = = +, D η οποία επαληθεύει την αρχική σχέση, οπότε είναι δεκτή. Σχόλιο : Το παραπάνω γραμμικό σύστημα με αγνώστους ( ),( 4 ) λύνεται και με τη μέθοδο των αντιθέτων συντελεστών ή με τη μέθοδο της αντικατάστασης. 5

65 Μαθηματικά Γ Λυκείου: Συναρτήσεις όρια συνέχεια. Έστω συνάρτηση :,y. Να αποδειχθεί ότι: α. ( ) για κάθε β. ( ) = για κάθε Ενδεικτική λύση με ( 0) = και ( ) y ( y ) + για κάθε (Παρόμοιες ασκήσεις οι.,.74,.76) α. Είναι ( y) ( y ) : ( ) + για κάθε, y Από την ( ) για y= 0 έχουμε ότι για κάθε ισχύει: ( ) ( ) ( ( 0) = ) ( ) ( ) 0 : β. Από την ( ) για = y έχουμε ότι για κάθε y ισχύει: δηλαδή ( ) :( ) y ( ) ( ) ( ) y, 0 y y, για κάθε Οι ( ) και ( ) δίνουν ( ) = για κάθε. Η συνάρτηση αυτή ικανοποίει την υπόθεση οπότε είναι η ζητούμενη. Σχόλιο: Οι συνήθεις ενέργειες όταν ( + y ) =... ή ( ) y =... είναι οι εξής: έχουμε συναρτησιακή σχέση της μορφής Ενέργεια: θέτουμε ( + y) ( y ) όπου και y το 0 όπου y το 0 όπου y το όπου και y το όπου το y y 5

66 E.: Ισότητα πράξεις και σύνθεση συναρτήσεων. Μια συνάρτηση ( ) ln για e : 0,+ έχει την ιδιότητα ( ) κάθε > 0. α. Να προσδιοριστεί ο τύπος της. β. Να γίνει η γραφική παράσταση της. γ. Να βρείτε τα σημεία τομής της C Ενδεικτική λύση ln, > 0. e α. Είναι ( ) e Οπότε ln : ( ) και ln ( ) : ( ) με τον άξονα. Από την ( ) προκύπτει ότι: ( ) ln + : ( ) (Παρόμοια άσκηση η.7) Από την ( ) θέτοντας όπου το e,έχουμε ότι για κάθε > 0 ισχύει: e ln e ln e + ln + ln : 4 e ( ) ( ) ( ) ( ) Από τις σχέσεις ( ) και ( 4 ) προκύπτει ότι ( ) = ln +, > 0. Η συνάρτηση αυτή επαληθεύει τη δοσμένη συνθήκη, οπότε είναι η ζητούμενη. β. Η C προκύπτει από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = ln με κατακόρυφη μετατόπιση προς τα πάνω κατά μονάδα. γ. Από την ( ) = 0 ln = = e προκύπτει ότι η στο σημείο με τετμημένη 0 C τέμνει τον άξονα = e. y O y=ln+ y=ln 54

67 . Μαθηματικά Γ Λυκείου: Συναρτήσεις όρια συνέχεια Έστω η συνάρτηση : = 0 για την οποία ισχύει ( ) ( ) για κάθε. Να δείξετε ότι η εξίσωση ( ) = 0 έχει δύο τουλάχιστον ρίζες. Ενδεικτική λύση (Παρόμοιες ασκήσεις οι.4,.5) Για = στη δοθείσα σχέση έχουμε: ( ) ( ) = 0 ( ) ( ) 5 = 0 5 = 0 Δηλαδή ο αριθμός = 5 είναι ρίζα της εξίσωσης ( ) = 0. Για = 4 στη δοθείσα σχέση έχουμε: Σχόλιο: Τις τιμές = και = 4 τις βρήκαμε λύνοντας την εξίσωση + 4 = Δηλαδή ο αριθμός 5 ( ) ( ) = 0 ( ) ( ) 0 = 0 0 = 0 = 0. = είναι ρίζα της εξίσωσης ( ) Επομένως η εξίσωση ( ) = 0 έχει δύο τουλάχιστον ρίζες, τους αριθμούς = 5 και = 0. Για την περιττή συνάρτηση : κάθε. Να δειχθεί ότι ( ) Ενδεικτική λύση ισχύει ( ) = 0,= 0 e e, 0 e e για. (Παρόμοια άσκηση η.8) Είναι ( ) e e :( ) και ( ) = ( ) :( ) (αφού η είναι περιττή). Από τη σχέση ( ) θέτοντας όπου Ονομάζουμε άρτια μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α όταν: για κάθε A, το A και ισχύει, ( ) = ( ) για κάθε A. 55

68 E.: Ισότητα πράξεις και σύνθεση συναρτήσεων το έχουμε ότι για κάθε ισχύει: ( ) ( ) ( ) ( ) e e ( ) ( ( )) ( ) e e ( ) ( ) e e ( ) ( ) e e : Ονομάζουμε περιττή μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α όταν: για κάθε A, το A και ισχύει, ( ) = ( ) για κάθε A. Από τις ( ) και ( ) προκύπτει ότι για κάθε ισχύει ( ) οπότε για κάθε 0 είναι ( ) e e =. e e Ακόμη από τη ( ) για = 0 έχουμε ( ) ( ) ( ) ( ) Επομένως είναι ( ) = 0,= 0 e e, 0 =, 0 = 0 0 = 0 0 =

69 Μαθηματικά Γ Λυκείου: Συναρτήσεις όρια συνέχεια Ε. Ασκήσεις Ισότητα συναρτήσεων.. Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις και g είναι ίσες, στις παρακάτω περιπτώσεις: α. ln, g ln ln β. ln, g ln ln 9 γ., g δ., g ε. Ομοίως για τις,g, με, g Να βρείτε τις τιμές των α,β ώστε να είναι ίσες οι συναρτήσεις: 5 και α β g... Έστω οι συναρτήσεις α αβ και g αβ β ισχύει g να δείξετε ότι οι συναρτήσεις,g είναι ίσες. Πράξεις με συναρτήσεις με α,β. Αν.4. Θεωρούμε τις συναρτήσεις,g για τις οποίες ισχύει: g. Να υπολογίσετε τις τιμές: g α. β. g g γ. g δ. g..5. Δίνονται οι συναρτήσεις 4 και α. Να βρείτε τα πεδία ορισμού τους. β. Να ορίσετε τις συναρτήσεις: S g D g Ρ g g R 57

70 E.: Ισότητα πράξεις και σύνθεση συναρτήσεων.6. Παρακάτω δίνονται οι γραφικές παραστάσεις δύο συναρτήσεων και g. Να προσδιορίσετε βάσει του σχήματος τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων g και να υπολογίσετε τις τιμές g, g, 0. g, g, g.7. Έστω οι συναρτήσεις Να ορίσετε τις συναρτήσεις:,, α. g β. g γ. Σύνθεση συναρτήσεων.8. Έστω οι συναρτήσεις:, g. α. Να βρείτε τα πεδία ορισμού τους. β. Να βρείτε τις συναρτήσεις g, g γ. Χρησιμοποιώντας τις, g να δικαιολογήσετε ότι g g. ln, 0 και g., δ. Να εξετάσετε αν για τις παραπάνω συναρτήσεις,g οι συναρτήσεις g και g είναι ίσες..9. Έστω η συνάρτηση, 0, 0 παράστασης A ο 0 ο ο. g. Να υπολογίσετε την τιμή της.0. Δίνονται οι συναρτήσεις 5 και g,,0 Να ορίσετε, εφόσον ορίζεται, τη συνάρτηση g.. 58

71 Μαθηματικά Γ Λυκείου: Συναρτήσεις όρια συνέχεια.. Δίνονται οι συναρτήσεις ln,,e και 0,. Να ορίσετε, εφόσον ορίζονται, τις συναρτήσεις g και g. g e,.. Έστω η συνάρτηση g 4 4. α. Nα οριστεί η συνάρτηση g g. β. Να βρεθεί το ευρύτερο υποσύνολο A του για το οποίο ισχύει g g για κάθε A... Δίνεται η συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Δ,. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της g αν g..4. Αν η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το σύνολο A, πεδίο ορισμού της συνάρτησης g α. Αν η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού A, της συνάρτησης g ln. β. Ομοίως, αν το πεδίο ορισμού της είναι το D, ορισμού της g 5.. Να βρείτε το, να βρείτε το πεδίο ορισμού, να βρεθεί το πεδίο.6. Αν η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το διάστημα Δ,8. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g α. β. g Αν g και πολυωνυμικής συνάρτησης.8. Αν και πολυωνυμικής συνάρτησης g..9. Αν e και συνάρτησης g :,..0. Αν g 5, και g της συνάρτησης :... Να βρείτε τη συνάρτηση, g,, να βρείτε τον τύπο της g,, να βρείτε τον τύπο της g e, να βρείτε τον τύπο της,, να βρείτε τον τύπο α. Αν :,0, g 4, και g,. 59

72 E.: Ισότητα πράξεις και σύνθεση συναρτήσεων 4 β. Αν :,, g 4 5, και g,,. g, 4 γ. Αν :, g 4 4 4, και.. Να βρείτε τη συνάρτηση στις παρακάτω περιπτώσεις: g ln, g ln, 0. α. :, και β. :, g, και g,. γ. :,, ln g, e, g,... Αν α β και α,β ώστε να ισχύει g g. Συμμετρίες και.4. Δίνεται η συνάρτηση ln g 4 α β, α 0, να βρείτε τις τιμές των. Να δείξετε ότι: α. η έχει πεδίο ορισμού το Α. β. η είναι περιττή. γ. η C έχει με τον άξονα μόνο ένα κοινό σημείο, το οποίο να βρεθεί..5. Για τις συναρτήσεις,g : ισχύουν: g gg για κάθε. Να αποδείξετε ότι: α. η είναι άρτια β. η g είναι περιττή.6. Μια συνάρτηση : έχει την ιδιότητα: 0 για κάθε. α. Να αποδείξετε ότι η είναι περιττή β. Να βρείτε τον τύπο της. και.7. Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύει y y y για κάθε,y. α. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της περνά από την αρχή των αξόνων. β. Να αποδείξετε ότι η είναι άρτια. γ. Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει ότι. Θεωρητικές ασκήσεις.8. Δίνεται η συνάρτηση :. Να βρείτε το α α. για κάθε και α. όταν ισχύει: 60

73 Μαθηματικά Γ Λυκείου: Συναρτήσεις όρια συνέχεια β. 4, για κάθε και α. γ. για κάθε και α. δ. 4 για κάθε και α. ε. για κάθε και α 0. Συναρτησιακές σχέσεις και εύρεση τύπου συνάρτησης.9. Μια συνάρτηση : έχει την ιδιότητα y y για κάθε,y α Να αποδείξετε ότι: β. η είναι περιττή γ. y y για κάθε,y..0. Αν για τη συνάρτηση : 0 ισχύει: να βρείτε τη συνάρτηση... Αν για τη συνάρτηση κάθε, να βρεθεί η. : 0, ισχύει : για 0 e e e. για.. Μια συνάρτηση : έχει την ιδιότητα. α. Να προσδιορίσετε τον τύπο της. β. Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης g... Η περιττή συνάρτηση : έχει την ιδιότητα α. Να βρείτε το 0. β. Να προσδιορίσετε τον τύπο της. γ. Να γίνει η γραφική παράσταση της..4. Έστω η συνάρτηση : για την οποία ισχύει. Να δείξετε ότι η εξίσωση 0 έχει δύο τουλάχιστον ρίζες. για κάθε 0. 0 για κάθε 4 0. Να.5. Έστω η συνάρτηση : για την οποία ισχύει δείξετε ότι η εξίσωση 0 έχει τρεις τουλάχιστον ρίζες..6. Έστω η συνάρτηση : για την οποία ισχύει ,. α. Να δείξετε ότι β. Να υπολογίσετε το. 4 6 για κάθε 6

74 E.: Ισότητα πράξεις και σύνθεση συναρτήσεων ln για e.7. Η συνάρτηση : 0, έχει την ιδιότητα: κάθε 0. α. Να προσδιοριστεί ο τύπος της. β. Να γίνει η γραφική παράσταση της. γ. Να βρείτε τα σημεία τομής της C με τον άξονα..8. Για την περιττή συνάρτηση : ισχύει κάθε. Να δειχθεί ότι 0, 0 ημ ημ e e, 0 ημ ημ e e Επιπλέον ασκήσεις για εξάσκηση. για Ισότητα συναρτήσεων.9. Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις είναι g. Στις περιπτώσεις που είναι g, να προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο A του για το οποίο να ισχύει α. β., g, g g για κάθε A. γ. και δ. και 4 ε. ln και g στ. 4 ln ζ. ln και g ln η. g g 4ln και g ln 4 ln ln και g ln ln 6

75 θ. Μαθηματικά Γ Λυκείου: Συναρτήσεις όρια συνέχεια ln ι. ln e και g και g ln ln e ln.40. Να εξεταστεί αν οι συναρτήσεις α. και g β. και g είναι ίσες. Αν όχι να βρεθεί το ευρύτερο υποσύνολο A του g για κάθε A. για το οποίο ισχύει.4. **Δίνονται οι συναρτήσεις,g με κοινό πεδίο ορισμού το. Αν ισχύει g g ίσες. Πράξεις με συναρτήσεις για κάθε.4. Θεωρούμε τις συναρτήσεις g α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης S g. β. Να αποδείξετε ότι S 6, να αποδειχθεί ότι οι συναρτήσεις,g είναι 6 και για κάθε 6,6..4. Δίνονται οι συναρτήσεις και g συναρτήσεις g, g, g και g Δίνονται οι συναρτήσεις και τις συναρτήσεις g και g..45. Αν g και g.,, g και.. Να ορίσετε τις g. Να ορίσετε,αν, να ορίσετε τις συναρτήσεις,αν 6

76 E.: Ισότητα πράξεις και σύνθεση συναρτήσεων.46. Έστω οι συναρτήσεις : και δείξετε ότι η C g είναι πάνω από τον άξονα..47. Έστω η συνάρτηση : για την οποία ισχύει: 4. g, για κάθε. Να δείξετε ότι. Να 0 για κάθε.48. Έστω Α, e e, και η συνάρτηση :Α για την οποία ισχύει e. α. Να δείξετε ότι η C δεν τέμνει τον άξονα yy β. Να βρείτε τα σημεία τομής της C με τον άξονα. Σύνθεση συναρτήσεων.49. Δίνονται οι συναρτήσεις e, και συν. Να εκφραστεί καθεμία από τις παρακάτω συναρτήσεις χρησιμοποιώντας μόνο τις συναρτήσεις,, και τη σύνθεση συναρτήσεων. συν α. e β. e συν e γ. δ. συν e 9 ε. συνe στ..50. Να βρείτε τις g, g και των συναρτήσεων: α., g ημ g 5 β., συν g για.5. Δίνονται οι συναρτήσεις με 0,5 και,. Να ορισθούν, εφόσον ορίζονται, οι συναρτήσεις g και g..5. Αν και g, να ορίσετε τις συναρτήσεις g, g..5. Αν και g, να βρείτε τις τιμές g..54. Να οριστεί η συνάρτηση g αν και g..55. Δίνονται οι συναρτήσεις : με και g 9. Να εξετάσετε αν ορίζεται η g. g και g : 0,9 με 64

77 Μαθηματικά Γ Λυκείου: Συναρτήσεις όρια συνέχεια.56. Αν και g g., να οριστούν οι συναρτήσεις g και.57. Να εκφράσετε τη συνάρτηση ως σύνθεση δύο ή τριών συναρτήσεων αν: ημ α. συν ημ β. γ. ημ συν 5 δ. ε. e ημ στ..58. Δίνονται οι συναρτήσεις g με,, και με,. Να εξετάσετε αν ορίζεται η σύνθεση g και να τη βρείτε.,.59. Να γράψετε τη συνάρτηση συναρτήσεων., 0, ως σύνθεση δύο άλλων.60. Δίνεται η συνάρτηση με πεδίο ορισμού το διάστημα 0,. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: β. 4 γ. ln α..6. Αν 5 και ώστε να ισχύει g g..6. Δίνονται οι συναρτήσεις αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις g gαβνα βρείτε τη συνθήκη μεταξύ των α, β α β και g α g και είναι ίσες στο σύνολο με α β 0. Να α..6. Δίνεται η συνάρτηση με πεδίο ορισμού το. Αν για κάθε σταθερή συνάρτηση g ισχύει g g,. Συμμετρίες, να δείξετε ότι.64. Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες ή περιττές, αφού πρώτα βρείτε το πεδίο ορισμού τους. 65

78 α. E.: Ισότητα πράξεις και σύνθεση συναρτήσεων ημ 4 β. γ. δ. ε. ln ζ. στ. 4 4 ln e e, αν.65. Δίνεται η συνάρτηση, αν., αν α. Να αποδείξετε ότι η είναι περιττή. β. Να κάνετε τη γραφική παράσταση της. γ. Να βρείτε το σύνολο τιμών της. Θεωρητικές ασκήσεις.66. Δίνονται οι συναρτήσεις,g :. Να αποδείξετε τις παρακάτω προτάσεις: α. Αν η g είναι άρτια, τότε και η g είναι άρτια. β. Αν οι,g είναι περιττές, τότε και οι g και g είναι περιττές. γ. Αν η είναι άρτια και η g περιττή, τότε οι g και g είναι άρτιες..67. Αν η συνάρτηση : έχει την ιδιότητα: για κάθε, να αποδείξετε ότι: α. η είναι περιττή β. η έχει σύνολο τιμών το Συναρτησιακές σχέσεις Εύρεση τύπου συνάρτησης.68. Δίνεται η συνάρτηση για κάθε,0 ισχύει : α., με. Να αποδειχθεί ότι : 0 β. 66

79 Μαθηματικά Γ Λυκείου: Συναρτήσεις όρια συνέχεια.69. Έστω η συνάρτηση: για κάθε Θεωρούμε τη συνάρτηση ln για κάθε 0. ln, με 0. Να αποδείξετε ότι: ln.7. Δίνεται η συνάρτηση: για κάθε Θεωρούμε τη συνάρτηση: για κάθε. ln, με 0. Να αποδείξετε ότι: e e e, όπου e *. Να αποδείξετε ότι, με. Να αποδείξετε ότι:.7. Μια συνάρτηση : έχει την ιδιότητα y y για κάθε,y α. 0 0,. Να αποδείξετε ότι: β. 0 για κάθε.74. Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύουν y y για κάθε,y. Να αποδείξετε ότι: α. 0 0, β. για κάθε.75. Μια συνάρτηση : ικανοποιεί τη σχέση: 4 5 για κάθε α. Να βρείτε τον τύπο της. και β. Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g,. και.76. Δίνεται η συνάρτηση : με y y y y για κάθε,y. α. Να βρείτε το 0. β. Να αποδείξετε ότι 0 για κάθε. γ. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης. 67

80 E.: Ισότητα πράξεις και σύνθεση συναρτήσεων δ. Να εξετάσετε αν η είναι άρτια ή περιττή και να σχεδιάσετε τη C..77. Να δειχθεί ότι δεν υπάρχει συνάρτηση : με την ιδιότητα: για κάθε..78. Αν οι συναρτήσεις και g έχουν κοινό πεδίο ορισμού ένα σύνολο και g g 4 g 4 να αποδείξετε για κάθε ισχύει: ότι: g..79. Αν οι συναρτήσεις, g, h έχουν κοινό πεδίο ορισμού ένα σύνολο και για κάθε ισχύει: g h g g h να αποδείξετε ότι: g h..80. Αν οι συναρτήσεις,g,h έχουν κοινό πεδίο ορισμού ένα σύνολο και για κάθε ισχύει ότι οι,g,h με τη σειρά αυτή είναι συγχρόνως διαδοχικοί όροι αριθμητικής και γεωμετρικής προόδου, να αποδείξετε ότι: g h..8. Aν οι συναρτήσεις, g έχουν πεδίο ορισμού το και για κάθε ισχύει: g g 4 g ορισμού της συνάρτησης 9 h g. να βρεθεί το πεδίο 68

81 Σημεία προσοχής. Έστω οι συναρτήσεις : Α,g : Β με τη g να έχει πεδίο ορισμού το διάστημα Β 0,5 και την να έχει σύνολο τιμών το διάστημα Α,, τότε ορίζεται η σύνθεση της συνάρτησης με τη συνάρτηση g, δηλαδή η συνάρτηση g αφού: Α Β, 0,5 0, αλλά δεν είναι κατ ανάγκη το [0,] το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g.. Αν μια συνάρτηση είναι τότε κατ ανάγκη είναι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της. Η πρόταση είναι λανθασμένη. Αντιπαράδειγμα: Η συνάρτηση, 0, 0 είναι συνάρτηση χωρίς να είναι όμως γνησίως μονότονη, αφού είναι γνησίως αύξουσα στο,0 και γνησίως φθίνουσα στο 0,.. Αν για μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα α,β ισχύει α β και η δεν είναι συνεχής στο α,β, τότε η παίρνει υποχρεωτικά όλες τις ενδιάμεσες τιμές μεταξύ των α και β. Η πρόταση είναι λανθασμένη. Αντιπαράδειγμα: Η συνάρτηση του παρακάτω σχήματος, η οποία δεν είναι συνεχής στο σημείο α,β α και β. 0 y (β), δεν παίρνει όλες τις ενδιάμεσες τιμές μεταξύ των η y=η (a) O a 0 β 400

82 4. Αν οι συναρτήσεις, g έχουν όριο στο 0 στο 0, τότε lim lim g. 0 0 Αν οι συναρτήσεις, g έχουν όριο στο 0 στο 0, τότε 0 0 και ισχύει g και ισχύει g κοντά κοντά lim lim g. Δηλαδή ακόμη και αν η ανισοτική σχέση των συναρτήσεων είναι γνήσια, στην ανισοτική σχέση των ορίων υπάρχει και το ίσον " ". Παράδειγμα: Έστω οι συναρτήσεις Είναι g, 0 g και, 0 για κάθε, εντούτοις limg lim , 0., 0 lim lim 0 και 5. Έστω δύο συναρτήσεις και g ορισμένες σε ένα διάστημα A, για τις οποίες ισχύει g :, για κάθε A. Σε αντίθεση με τους πραγματικούς αριθμούς, όπου από μία σχέση της μορφής α β με α,β συμπεραίνουμε ότι α β ή α β, σε μία σχέση συναρτήσεων της μορφής, είναι λάθος να συμπεράνουμε ότι g κάθε A ή g για κάθε A. Το σωστό συμπέρασμα που προκύπτει από την είναι ότι: g ή g για κάθε A. για Δηλαδή μπορεί για κάποια A να ισχύει g και για κάποια άλλα A να ισχύει g. Παράδειγμα: Να βρεθούν όλες οι συνεχείς στο ισχύει για κάθε. Για κάθε έχουμε: :. συναρτήσεις για τις οποίες 40

83 Για είναι Για 0, λόγω της προκύπτει ότι Επομένως η συνάρτηση ως συνεχής στο καθένα από τα διαστήματα Αν 0,0 0,. και στο διάστημα,0, διατηρεί σταθερό πρόσημο σε, τότε από τη σχέση έχουμε: 0 0. Αν 0 στο διάστημα,0, τότε από τη σχέση έχουμε: Επιπλέον είναι , επομένως έχουμε: για κάθε,0 ή για κάθε,0 Αν 0 στο διάστημα 0,, τότε από τη σχέση έχουμε: 0 0. Αν 0 στο διάστημα 0,, τότε από τη σχέση έχουμε: Επιπλέον είναι , επομένως έχουμε: για κάθε 0, ή για κάθε 0, Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η συνεχής στο ικανοποιεί τη σχέση, έχει έναν από τους εξής τύπους:., συνάρτηση η οποία 40

84 .. 4.,, 0, 0, 0, 0 ή ή,, Προτάσεις που χρησιμοποιούμε χωρίς απόδειξη. Ισχύουν: ημ για κάθε, με την ισότητα να ισχύει μόνο όταν 0. ημ lim 0 συν lim 0 0. Έστω,g δύο συναρτήσεις οι οποίες είναι ορισμένες κοντά στο 0,. α. Αν ισχύουν: g 0 κοντά στο 0 και lim, τότε θα ισχύει και lim g 0 β. Αν ισχύουν: g 0. κοντά στο 0 και lim g τότε θα ισχύει και, 0 lim. 40

85 Ερωτήσεις κατανόησης Όριο-Συνέχεια Σχολικό βιβλίο σελ.8 I. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής και το γράμμα Ψ, αν ο ισχυρισμός είναι ψευδής, αιτιολογώντας συγχρόνως την απάντησή σας.. Αν ln και g e, τότε α) g, για κάθε Αιτιολόγηση: Είναι D 0, * και Dg. Για το πεδίο ορισμού της g έχουμε: Δηλαδή D 0, g β) g, D 0, 0 Dg ln. Επομένως ο ισχυρισμός είναι ψευδής. Αιτιολόγηση: Για το πεδίο ορισμού της g έχουμε: Dg gd ισχύει για κάθε e 0,. Δηλαδή είναι D g.. Αν Επιπλέον για κάθε είναι g g ln g ln e. Επομένως ο ισχυρισμός είναι αληθής. lim Αιτιολόγηση:, τότε lim

86 Κοντά στο 0 είναι, οπότε lim lim 0 0. Επομένως ο ισχυρισμός είναι αληθής.. Είναι lim lim lim 0 lim Αιτιολόγηση: Είναι: lim lim lim lim 0 0. Επομένως ο 0 0 ισχυρισμός είναι ψευδής. 4. Αν για κάθε και υπάρχει το lim 0 lim. Αιτιολόγηση: Έστω η συνάρτηση για κάθε και ψευδής. 5. Ισχύει: α) lim ημ 0 0 0, 0 07, 0, τότε κατ ανάγκη. Είναι lim lim. Επομένως ο ισχυρισμός είναι Αιτιολόγηση: Είναι u ημu lim ημ lim. Επομένως ο ισχυρισμός u u0 lim 0 είναι αληθής. ημ β) lim. Αιτιολόγηση: Είναι: ημ ημ ημ ημ 405

87 Επειδή lim 0, έχουμε κριτηρίου παρεμβολής έπεται ότι είναι ψευδής. lim lim 0 6. Αν 0 κοντά στο 0, τότε 0 και λόγω του ημ lim 0. Επομένως ο ισχυρισμός lim Επειδή Αιτιολόγηση: Είναι lim 0 0 lim0 0 και 0, από το κριτήριο παρεμβολής προκύπτει ότι Επομένως ο ισχυρισμός είναι αληθής Αν, α,, τότε κατ ανάγκη θα είναι lim 0. lim 0. Αιτιολόγηση: Έστω η συνάρτηση, 07,. Είναι για κάθε 07, και όμως lim lim. Διαφορετικά, μπορεί η συνάρτηση να μην έχει καν όριο στο. Επομένως ο ισχυρισμός είναι ψευδής. 8. Αν υπάρχει το lim g 6, τότε είναι ίσο με 6 g6. Αιτιολόγηση: Ο ισχυρισμός είναι ψευδής γιατί δεν γνωρίζουμε αν η συνάρτηση 9. Αν 0 g είναι συνεχής στο 6. lim, τότε κατ ανάγκη θα είναι 0 lim ή 0 lim. Αιτιολόγηση: Έστω η συνάρτηση. Είναι lim lim lim Επιπλέον: 406

88 lim lim lim και lim lim lim Δηλαδή το όριο της στο 0 0 δεν υπάρχει. Επομένως ο ισχυρισμός είναι ψευδής. 0. Αν lim 0, τότε 0 lim 0. 0 Αιτιολόγηση: Κοντά στο 0 ισχύει:. Επειδή κριτήριο παρεμβολής έπεται ότι αληθής. 0 0 lim lim 0, από το 0 lim 0. Επομένως ο ισχυρισμός είναι. Αν η είναι συνεχής στο και για 4 το 4 είναι ίσο με. ισχύει 7, 4 τότε Αιτιολόγηση: Επειδή η είναι συνεχής στο και στο σημείο 0 4. Επομένως:, έπεται ότι είναι συνεχής lim lim lim Επομένως ο ισχυρισμός είναι αληθής.. Αν η είναι συνεχής στο, και 4, πραγματικός αριθμός, τέτοιος, ώστε 0 Αιτιολόγηση: Επειδή η είναι συνεχής στο 0,, τότε υπάρχει π. με και επιπλέον π 4 π, από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, υπάρχει, τέτοιος, ώστε αληθής. 0 0 π. Επομένως ο ισχυρισμός είναι II. Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις. 407

89 . Αν lim, lim g m,,m και g 0 0 τότε κατ ανάγκη θα είναι: κοντά στο 0, A) m B) m Γ) m Δ) m Ε) m Αιτιολόγηση: Γνωρίζουμε ότι όταν ισχύει g κοντά στο 0 και υπάρχουν τα όρια lim, lim g, τότε lim lim g Επομένως. Το όριο 0 0 lim lim lim g m και σωστή απάντηση είναι η Β. είναι ίσο με: A) 8 B) Γ) 0 Δ) Ε) 8. Το Αιτιολόγηση: Είναι: 6 lim lim lim 8, 6 αφού lim 0. Επομένως σωστή απάντηση είναι η Ε. lim είναι ίσο με: A) B) Γ) Δ) Ε) 0 Αιτιολόγηση: Είναι: lim lim, άρα για το όριο έχουμε: 0 κοντά στο, οπότε 408

90 lim lim lim 0 Επομένως σωστή απάντηση είναι η Ε. 4. Αν το lim 0 δεν υπάρχει, τότε: A) 0 0 B) 0 Γ) 0 Δ) 0 Αιτιολόγηση: Έχουμε: Για κάθε, 0, είναι. Για κάθε 0 είναι 0 lim lim Για 0 είναι : lim lim lim και lim lim lim Επειδή είναι: το όριο lim lim lim Επομένως το όριο lim 0 Άρα σωστή απάντηση είναι η Δ. III.. Δίνονται οι συναρτήσεις., έπεται ότι δεν υπάρχει δεν υπάρχει, μόνο αν είναι 0. g και. 409

91 Από τους Παρακάτω ισχυρισμούς λάθος είναι ο: Α) η g είναι συνεχής στο Β) η είναι συνεχής στο Γ) η g έχει δυο σημεία στα οποία δεν είναι συνεχής Δ) lim. Αιτιολόγηση: Είναι και D, D g. Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της ως ρητή και επειδή Dg, η g είναι συνεχής στο. Η συνάρτηση είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της ως ρητή και επειδή D, η είναι συνεχής στο. Η g ως ρητή στο, δεν έχει σημεία ασυνέχειας. lim lim 0. Επομένως ο λανθασμένος ισχυρισμός είναι ο Γ.. Ποια από τα παρακάτω όρια είναι καλώς ορισμένα; Α) lim 0 0 Β) 0 lim 0 Γ) 9 lim Δ) 9 lim Ε) lim ln 0 ΣΤ) lim ln 0 Αιτιολόγηση: Έχουμε: 40

92 lim 0, έπεται ότι 0 Επειδή κοντά στο 0, οπότε το όριο είναι καλώς ορισμένο. 0 lim 0, έπεται ότι 0 Επειδή κοντά στο 0 0, οπότε το όριο δεν είναι καλώς ορισμένο. Επειδή lim 9 lim 9, έπεται ότι κοντά στο, οπότε το όριο είναι καλώς ορισμένο. Επειδή lim 9 lim 9, έπεται ότι κοντά στο, οπότε το όριο δεν είναι καλώς ορισμένο. lim 0, έπεται ότι Επειδή 0 0 0, οπότε το όριο είναι καλώς ορισμένο. lim 0, έπεται ότι Επειδή 0 0 0, οπότε το όριο δεν είναι καλώς ορισμένο κοντά στο 0 κοντά στο. Δίνεται η συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο διάστημα Δ 0, με 0, και. Ποιος από τους παρακάτω ισχυρισμούς δεν προκύπτει κατ ανάγκη από τις υποθέσεις; Α) Υπάρχει 0, τέτοιος, ώστε lim. Β) Γ) lim 0. Δ), Δ

93 Ε) Η μέγιστη τιμή της στο 0, είναι το και η ελάχιστη τιμή της το. Αιτιολόγηση: Έχουμε: Ο ισχυρισμός Α προκύπτει με εφαρμογή του θεωρήματος Bolzano για τη συνεχή συνάρτηση στο διάστημα 0, (αφού 0 0 ). Αφού η είναι συνεχής στο Δ 0,, έπεται ότι είναι συνεχής στο. Άρα 0 lim. Δηλαδή ο ισχυρισμός Β προκύπτει από τις υποθέσεις. Αφού η είναι συνεχής στο Δ 0,, έπεται ότι είναι συνεχής στο 0. Άρα lim υποθέσεις.. Δηλαδή ο ισχυρισμός Γ προκύπτει από τις Η ως συνεχής στο διάστημα Δ 0, με 0 θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, παίρνει όλες τις ενδιάμεσες, των και 0, τιμές, οπότε, Δ προκύπτει από τις υποθέσεις., από το. Δηλαδή ο ισχυρισμός Δ Η ως συνεχής συνάρτηση σε κλειστό διάστημα, από το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής, λαμβάνει στο 0, μέγιστη και ελάχιστη τιμή. Ο ισχυρισμός Ε όμως δεν προκύπτει από τα δεδομένα, καθώς η δεν παίρνει κατ ανάγκη το μέγιστο και το ελάχιστό της στα άκρα του διαστήματος. Αυτό θα συνέβαινε π.χ. αν η ήταν γνησίως μονότονη. 4

94

95 Ε. Έννοια συνάρτησης Πεδίο ορισμού.. α. D και D, β. D,0, και D,, γ. D και D.. α. D,0, β. D,, γ. Με διαφορά τετραγώνων καταλήγουμε :D,.. α. D, β. D, 4 0, γ. D,, δ. D, ε. D,, στ. D,, ζ. D,0, η. D,, θ. D ι. D, ια. D 0,,.4. * α. D β. D 0,, γ. D, δ. D ε. D.5. α. D 0, β. D 0, γ. D 0,, δ. D 0, ε. D 0,.6. α. Γραφική παράσταση συνάρτησης Σημεία Τομής με τους άξονες Σχετική θέση γραφικών παραστάσεων A 0, Σημεία Τομής C : 4,0, g Σημεία Τομής C : 4,0, 0,- και ga, β. Σημεία Τομής C : 0,, γ. Σημεία Τομής C : 0,, (- 4,0) δ. Σημεία Τομής C :,0 g 557

96 Μαθηματικά Γ Λυκείου: Συναρτήσεις-Όρια-Συνέχεια β. Για 0, έχουμε: g..., 0,, A,, ε. Σημεία Τομής C :,0 4 γ. Για την πρέπει 0 g...,7 δ. Για 0 είναι e g,e 6 (e, ). ε. Για 0 είναι g,e. e.0. α..7. A,, α. Α0,, Β,0, Γ4,0 β., 4,.8. α. β.,, γ.. β. Όταν α, e ρίζες. μια ρίζα, όταν α, δυο e.9.. α. () g()...,,,. δ. * 558

97 Ε.: Π.ορισμού- Γραφ. παράσταση-σύν.τιμών Υποδείξεις ασκήσεων προς λύση δ. Ελάχιστο για και 0, 4 το 0 4 και μέγιστο στο το 0, 0, ε. 6,,, 5, 0, 4.. α. Από την υπόθεση έχουμε: β β α α β. Για κάθε * είναι:, αν, αν και 0, αν Η γραφική παράσταση της φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:.. 0 και e e. Προκύπτουν α και β.. α. D, 0,,4 5 β. D, γ. Γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα, και, 5 και 0, και γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα, και,4.4. α. D,, και D 4,4 g D,, h, και gd 4,4 D,0 0,, και h h D,0 0, β. i) 0 0 και ii), iii) g, και iv) 4 g, g, v) h,,0 0,,.5. α.,, β., γ., δ. 4,0 ε. 0, στ., ζ.,.6. α. R β. γ. Για δ., 5, Σύνολο τιμών 559