ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2008 ΘΕΩΡΙΑ

Transcript

1 ΖΔΗΔEΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΑΝ. ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ - ΘΡΑΚΗΣ Δ/ΝΣΗ Δ/ΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΡΟΔΟΠΗΣ 4 Ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : ΤΑΞΗ : ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : ΜΑΘΗΜΑ : ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ : Γ 6 ΜΑΪΟΥ 008 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 008 ΘΕΜΑ 1 Ο ΘΕΩΡΙΑ Ι) Να γράψετε και να συμπληρώσετε στην κόλλα σας τις ταυτότητες : (α-β) (α+β)=.. (α+β) 3 =. (χ+α)(χ+β) =.. ΙΙ ) Να αποδείξετε την ταυτότητα (α-β) = α -αβ+β ΘΕΜΑ Ο Ι ) Να διατυπώσετε το θεώρημα του Θαλή ΙΙ )Στο διπλανό σχήμα είναι ε1//ε//ε3//ε4. Να γράψετε στην κόλλα σας συμπληρωμένες τις ισότητες Β= = = = ώστε να ισχύει...α...β...ατο θεώρημα του Θαλή Η... Θ... ε ε3 ε1 Γ ε Α Β ε Ε Ζ Η ε4 Δ Θ ΝΑ ΔΙΑΛΕΞΕΤΕ ΚΑΙ ΝΑ ΓΡΑΨΕΤΕ ΜΟΝΟ ΕΝΑ (1) ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1

2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Δίνονται τα πολυώνυμα Α(χ)=χ 3 +4χ +4χ, Β(χ)=χ -4, Γ(χ)=χ -χ I) Nα δείξετε ότι Α(χ)=χ(χ+) II) Να παραγοντοποιήσετε (μετατρέψετε σε γινόμενο παραγόντων ) τα Β(χ) και Γ(χ) III) Να γράψετε για ποιες τιμές του χ ορίζονται τα κλάσματα 3 + χ1 IV) Να λύσετε την εξίσωση + 4χ4χ, 3 + 4χ, χ1 xχ1 + 4χ4χ+ = 4χ xχ1 ΑΣΚΗΣΗ η Να λύσετε το σύστημα ΑΣΚΗΣΗ 3 η 3χ + 5 ψ χ χ + ψ = = 6 χ 3 1 Στο διπλανό σχήμα ισχύει : Β Ε = ΑΓΕ = ω και ΑΒ=6 cm, ΑΓ=8 cm και ΔΕ=4cm. Ι) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΒΔΕ είναι όμοια ΙΙ) Να υπολογίσετε την πλευρά ΒΕ, αιτιολογώντας το αποτέλεσμα. ω Δ Α Β Ε ω Γ ΝΑ ΔΙΑΛΕΞΕΤΕ ΚΑΙ ΝΑ ΓΡΑΨΕΤΕ ΜΟΝΟ ΔΥΟ () ΑΣΚΗΣΕΙΣ

3 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΤΑΞΗ Γ ΘΕΩΡΙΑ 9 Γ ΘΕΜΑ 1 ο α. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις: Μονώνυμα λέγονται οι αλγεβρικές παραστάσεις που μεταξύ των. έχει σημειωθεί μόνο η πράξη i. Όμοια λέγονται τα μονώνυμα που έχουν το ii. Σ ένα μονώνυμο ο... λέγεται συντελεστής του μονωνύμου. Μονάδες 1,6 β. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ταυτότητες (αναπτύγματα): i. (α + β) = ii. (α - β) = iii. (α + β) 3 = Μονάδες 1,5 γ. Να αποδείξετε την ταυτότητα: ( α +β ) 3 = α 3 +3 α β + 3 α β +β 3 Μονάδες 3,5 ΘΕΜΑ ο α. Με τη βοήθεια του διπλανού σχήματος να δοθούν οι ορισμοί των τριγωνομετρικών αριθμών της γωνίας ω. Μονάδες 3, β. Να συμπληρώσετε τις ισότητες: i. ημ0 = ii. συν0= iii. ημ90= iv. συν90= v. ημ180= vi. συν180= y M(x,y) ρ ω Ο Μονάδες 1,8 x

4 γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στον αριθμό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. i. ημ(180 ω ) = - ημ ω ii. συν(180 ω ) = συν ω iii. εφ (180 ω ) = - εφ ω Μονάδες 1,5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Δίνονται οι παραστάσεις: Α= x + 1 και Β= x -5x+6 x+ 3 x 3 x 9 x 5x+ 6 α. Να αποδειχθεί ότι: A = (x + 3)(x 3) β. Να βρείτε για ποιες τιμές του x ισχύει: Β=0 x 1 γ. Να λυθεί η εξίσωση: + = 0 x+ 3 x 3 x 9 ΑΣΚΗΣΗ η Να λυθεί το σύστημα ΑΣΚΗΣΗ 3 η x y = 5 5x + y = 8 Στο παρακάτω σχήμα οι ευθείες ε 1 και ε είναι παράλληλες. Μονάδες,7 Μονάδες,7 Μονάδες 1 Μονάδες 6,6 Ο 1 18 x A Γ Ε ε y B Ζ ε Να υπολογίσετε τα μήκη x, y των ευθύγραμμα τμήματα ΟΓ και ΕΖ αντίστοιχα.

5 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΤΑΞΗ: Γ' 13Γ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο α. Τι λέγεται ταυτότητα; β. Να αποδειχθεί η ταυτότητα: (α + β) 3 = α 3 +3α β+3αβ +β 3 γ. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες, ώστε να εκφράζουν τις αξιοσημείωτες ταυτότητες: i. (α + β) =.. ii. (α β)(α + αβ + β ) =. iii. (α β) =.. ΘΕΜΑ ο Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων παίρνουμε ένα y σημείο Μ( x, y ) στο 1 ο τεταρτημόριο, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. α. Αν ω= xoˆ Μ, να υπολογίσετε την απόσταση ρ του Μ από την αρχή των αξόνων και τα ημω, συνω, Β O ω ρ Μ(x,y) Α χ εφω. β. Να αποδείξετε ότι: ημ ω + συν ω = 1 γ. Να αποδείξετε ότι; εφω = ημω συνω

6 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Δίνεται το πολυώνυμο: Α = -3xy 3 + y + 4x y α. Να βρείτε την αριθμητική τιμή του για x = - και y = 3. β. Να γράψετε το πολυώνυμο κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του x. Ποιος είναι ο βαθμός του πολυώνυμου ως προς x και y; ΑΣΚΗΣΗ η Να λυθεί το σύστημα x 5 y+ 1 + = 3 3 x + 4 y 6 = 4 3 ΑΣΚΗΣΗ 3 3η Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ. Φέρνουμε τη διχοτόμο ΑΔ και παίρνουμε σ αυτή ένα τυχαίο σημείο Μ. Να αποδείξετε ότι: α. Τα τρίγωνα ΑΒΜ και ΑΓΜ είναι ίσα. β. Το τρίγωνο ΒΜΓ είναι ισοσκελές.

7 Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση Νομού Λέσβου 3 ΘΕΜΑ 1 ο α. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 4. β. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 44. β. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 43, 44. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ ο α. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 40. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 η α. Η αριθμητική τιμή του πολυωνύμου για x=- και y=3 είναι: -3(-) (-) 3 =..=19 β. Το πολυώνυμο κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του x γράφεται : Α= 4x y -3xy 3 +y Ο βαθμός του ως προς x και y είναι 4. ΑΣΚΗΣΗ η Έχουμε: x 5 y+ 1 + = 3 3 ή x + 4 y 6 = 4 3 x 5 y = x+ 4 y = x + 4y = 31 - ή ή + 4y = 31 3x x 3y = x 3y = βρίσκουμε ότι: x= 5, y=4 3οπότε ή 3(x 5) + (y+ 1) = 18 (x + 4) 3(y 6) = 4 ΑΣΚΗΣΗ 3 η Α α.τα τρίγωνα ΑΒΜ και ΑΓΜ είναι ίσα, γιατί: ΑΒ=ΑΓ, M AM κοινή πλευρά, Γωνία ΒΑΜ = γωνία ΜΑΓ (η ΑΔ είναι διχοτόμος). β. Από την ισότητα των προηγούμενων τριγώνων προκύπτει ότι: Β Γ ΜΒ=ΜΓ. Άρα το τρίγωνο ΒΜΓ είναι ισοσκελές.

8 Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση Νομού Λέσβου 4

9 ΓΥΜΝΑΣΙΟ... ΤΑΞΗ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧ.ΕΤΟΣ... ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α. ΘΕΩΡΙΑ: 1. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες ώστε να προκύψουν αξιοσημείωτες ταυτότητες (α-β) =..., (α-β)(α+β)=..., (α-β)(α +αβ+β )=... (α+β) 3 =..., α 3 +β 3 =... Στη συνέχεια να αποδείξετε την ταυτότητα (α+β) =α +αβ+β. Να γράψετε τα κριτήρια ισότητας δύο τριγώνων και τα κριτήρια ισότητας δύο ορθογωνίων τριγώνων. Β. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. (α) Να παραγοντοποιηθεί το τριώνυμο: x +x- (β) Να λυθεί η εξίσωση: 66 xx+33 = xx +xx xx Δίνεται η συνάρτηση yy = xx + aaaa + ββ με α,β πραγματικούς αριθμούς. (α) Να βρεθούν οι αριθμοί α και β, ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης να διέρχεται από τα σημεία Α(-,4) και Β(3,-1). (β) Για τις τιμές αυτές των α και β που βρήκατε στο (α) ερώτημα, (i) Nα βρείτε το σημείο στο οποίο η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνει τον άξονα y y καθώς και τον άξονα συμμετρίας της παραβολής. (ii) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της της συνάρτησης

10 (iii) Να υπολογίσετε το ημίτονο της γωνίας xoa, όπου x x είναι ο οριζόντιος άξονας. 3. Δύο ίσοι κύκλοι με κέντρα Κ και Λ δεν τέμνονται. Θεωρούμε Σ το μέσον της διακέντρου ΚΛ και έστω Ρ ένα τυχαίο σημείο πάνω στην μεσοκάθετο του ΚΛ (το Ρ είναι διαφορετικό από το Σ) Οι ευθείες ΡΚ και ΡΛ τέμνουν τους δύο κύκλους στα σημεία Μ και Ν αντιστοίχως. (α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΜΚΣ και ΝΛΣ είναι ίσα. (β) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ΜΝ και ΚΛ είναι παρράλληλες. (γ) Τι σχήμα είναι το τετράπλευρο ΚΛΝΜ; Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ Ο ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ

11 ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΤΑΞΗ: Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΩΡΙΑ: Επιλέγετε και απαντάτε σε ένα από τα δύο θέματα θεωρίας ΘΕΜΑ 1 ο Α) Μεταφέρετε στην κόλλα σας και συμπληρώστε την παρακάτω πρόταση: (1 μονάδα) Η μετατροπή μιας παράστασης από άθροισμα σε.. λέγεται. Β) Μεταφέρετε στην κόλλα σας και συμπληρώστε τις παρακάτω ταυτότητες: (3,6 μονάδες) 1. ( α - β ) =. α 3 + β 3 =. Γ) Να αποδείξετε την παρακάτω ταυτότητα : ( μονάδες) (α - β )(α + β ) = α - β ΘΕΜΑ ο Γενικά ισχύει ότι : «αν δύο τρίγωνα έχουν όλες τις πλευρές τους ίσες μία προς μία και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες είναι ίσα». Α) Για να αποδείξουμε ότι δύο τρίγωνα είναι ίσα, είναι απαραίτητο να αποδείξουμε ότι έχουν όλες τις πλευρές τους και τις αντίστοιχες γωνίες ίσες μια προς μία; Πως ονομάζονται οι προτάσεις που μας βοηθούν να διακρίνουμε αν δύο τρίγωνα είναι ίσα συγκρίνοντας λιγότερα στοιχεία; (1,1 μονάδες) Β) Να διατυπώσετε ένα από τα κριτήρια ισότητας τριγώνων και ένα από τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων. (4 μονάδες) Γ) Συμπληρώστε την παρακάτω πρόταση: Αν από μιας πλευράς ενός τριγώνου φέρουμε ευθεία προς μία άλλη πλευρά του, τότε... (1,5 μονάδες)

12 ΑΣΚΗΣΕΙΣ: Επιλέγετε και απαντάτε σε δύο από τις τρεις ασκήσεις. ΑΣΚΗΣΗ 1 η ίνεται η εξίσωση: χ -=3χ (-χ ) Α) Αφού φέρετε την παραπάνω εξίσωση στην μορφή αχ + βχ+ γ =0 βρείτε τους συντελεστές της α, β, γ και την ιακρίνουσά της. ( μονάδες) Β) Να λύσετε την εξίσωση 3 χ -5χ -=0. και να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο 3 χ -5χ -. ΑΣΚΗΣΗ η Στο διπλανό σχήμα παριστάνεται η γραφική επίλυση του γραμμικού συστήματος Α) Να χαρακτηρίσετε Σωστές ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις μεταφέροντας τους αριθμούς στην κόλλα σας 1. Η ευθεία ε :3χ+ψ= τέμνει τον ψ ψ στο σημείο (0,).. Το σημείο (1,-3) ανήκει στην ευθεία ε 1 :χ+ψ= Το σύστημα (Σ) είναι αδύνατο. χ+ ψ = 1 ( Σ ) : 3χ+ψ = 4. Η ευθεία ε 1 :χ+ψ=-1 τέμνει τον χ χ στο σημείο (-1,0) 5. Το ζεύγος (1,-1) είναι η μοναδική λύση του συστήματος (Σ) (4,6 μονάδες) Β) Να λύσετε αλγεβρικά με όποια μέθοδο θέλετε το παραπάνω σύστημα (Σ) ΑΣΚΗΣΗ 3η Στο διπλανό σχήμα η ΑΒ είναι παράλληλη προς τη Γ. Α) Να εξηγήσετε γιατί τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΓ είναι όμοια. Β) Αν ΑΒ=4 cm, ΟΒ=3 cm, Γ=6 cm και η περίμετρoς του τριγώνου ΟΑΒ είναι 9 cm να βρείτε τον λόγο ομοιότητας λ του τριγώνου Ο Γ προς το τρίγωνο ΟΑΒ καθώς και το μήκος των πλευρών ΟΓ και Ο του Ο Γ. Γ) Αν το εμβαδόν του τριγώνου (Ο Γ)=6,75 cm να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου (ΟΑΒ). Καλή Επιτυχία!!!

13 ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΤΑΞΗ: Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ο ΘΕΩΡΙΑ α) Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες, ώστε να εκφράζουν αξιοσημείωτες ταυτότητες: 1. (α + β) =.... (α + β)(α β) = (α - β) 3 =... β) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις Σωστές (Σ) ή Λανθασμένες (Λ) 1. Τα μονώνυμα 5 x3 yω και -5x 3 yω είναι όμοια.... Τα μονώνυμα 3x 3 y και -3x y 3 είναι αντίθετα Κάθε αριθμός μπορεί να θεωρηθεί και ως πολυώνυμο Το μηδενικό πολυώνυμο έχει βαθμό 0... ΘΕΜΑ ο α) Πότε δύο τρίγωνα λέγονται ίσα; β) Πότε δύο πολύγωνα λέγονται όμοια; γ) Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά: 1. Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μια προς μια και., τότε είναι ίσα.. Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα, όταν έχουν μια αντίστοιχη πλευρά ίση και μια ίση. 3. Δύο κανονικά πολύγωνα που έχουν. είναι όμοια. 4. Ο λόγος των εμβαδών δύο ομοίων σχημάτων είναι ίσος με. του λόγου ομοιότητάς τους.

14 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Δίνονται οι εξισώσεις : x 9x 5 = 0 και 4x + 4x + 1 = 0. α) Να λύσετε τις παραπάνω εξισώσεις. β) Να παραγοντοποιήσετε τα τριώνυμα x 9x 5 και 4x + 4x + 1. γ) Να απλοποιήσετε το κλάσμα: x 9x 5 4x 4x ΑΣΚΗΣΗ η Να αποδείξετε ότι τα συστήματα: την ίδια λύση. 7x + y y 1 = x x 9y 1 = x και 8x y = 15 x 3y = 1 έχουν ΑΣΚΗΣΗ 3 η Στο διπλανό σχήμα είναι ΑΒ = 1, ΒΓ = 13, ΑΓ = 5, ΔΕ = 4 και ΒΔΕ = 90. α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο. β) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΒΔΕ είναι όμοια. γ) Να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος ΒΕ. δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΒΔΕ.

15 ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΤΑΞΗ: Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ο ΘΕΩΡΙΑ A. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στον αριθμό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. 1. Αν α και β είναι θετικοί αριθμοί, τότε a + β = α + β.. Δύο μονώνυμα που έχουν το ίδιο κύριο μέρος λέγονται όμοια. 3. Το πηλίκο δύο μονωνύμων είναι πάντα μονώνυμο. 4. Ο αριθμός 0 λέγεται μηδενικό μονώνυμο. 5. Το μηδενικό μονώνυμο δεν έχει βαθμό. B. Να μεταφέρετε στην κόλλα σας τις παρακάτω ισότητες συμπληρώνοντας τα κενά, ώστε οι ισότητες που θα προκύψουν να εκφράζουν αξιοσημείωτες ταυτότητες: 1. (α β).(α + αβ + β )=.. (α + β) 3 =..+3α β + +β 3 3. (α +.) =α +. +β 4. α.=(α + β).(α ) Γ. Να αποδείξετε την ταυτότητα: (α-β) =α -αβ + β ΘΕΜΑ ο A. Να αναφέρεται τα δύο κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων. B. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Θαλή. Γ. Στο διπλανό σχήμα τα Δ, Ε είναι σημεία των ευθυγράμμων τμημάτων ΑΒ και ΑΓ. Να μεταφέρετε στην κόλλα σας τις παρακάτω προτάσεις σωστά συμπληρωμένες. ΑΔ Αν Ε // ΒΓ, τότε =... ΕΓ ΑΔ ΑΕ. Αν =, τότε Ε ΒΓ ΔΒ ΕΓ Β Α Ε Γ

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 η x Δίνονται οι παραστάσεις Α=(x+) -4(x+5) και Β= x Α. Να αποδείξετε ότι Α= x x 1 : 1 6x 6 με x 1, x -1 B. Να αποδείξετε ότι B= 6x. Γ. Να βρείτε για ποιες τιμές του x ισχύει Α+Β=0. ΑΣΚΗΣΗ η Δίνεται το σύστημα : x+ ψ x ψ 5 = x ( x ψ) + 3( ψ + x) = 9 Α. Να αποδείξετε ότι το σύστημα μετά από πράξεις παίρνει τη μορφή : Β. Να λύσετε το παραπάνω σύστημα. 17x 7ψ= 10 8x +ψ= 9 ΑΣΚΗΣΗ 3 η Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με Â =90ο και το ΑΔ είναι ύψος του. Α. Αφού αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΒΔ είναι όμοια να συμπληρώσετε τα κενά στην παρακάτω ισότητα που προκύπτει ΑΒ ΒΔ από την ομοιότητα : = ω Β. Αν AB= 3, ΒΓ= x και ΒΔ=x-, τότε: 3 x i) Να αποδείξετε ότι = x 3 ii) Να υπολογίσετε το x που είναι το μήκος της ΒΓ. Γ. Αν AB= 3 και ΒΓ=3, τότε να υπολογίσετε τον αριθμό ο συν(180 -ω) ΝΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΤΕ: ΣΕ ΕΝΑ ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΑΙ ΣΕ ΔΥΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

17 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ: ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ο ΘΕΩΡΙΑ Α. Τι λέγεται ταυτότητα; (Μονάδες,) Β. Να γράψετε στην κόλλα σας συμπληρωμένες τις παρακάτω ισότητες ώστε να εκφράζουν αξιοσημείωτες ταυτότητες: α) (α β) =.. β) α β = γ) (α β) 3 =.. δ) α 3 + β 3 = (Μονάδες 4,44) ΘΕΜΑ ο Nα διατυπώσετε τα τρία κριτήρια ισότητας τριγώνων και να κατασκευάσετε και στις τρεις περιπτώσεις τα αντίστοιχα σχήματα στα οποία να φαίνονται τα κριτήρια που περιγράφετε. Να επιλέξετε ΜΟΝΟ ΕΝΑ από τα παραπάνω θέματα ΑΣΚΗΣΗ 1 η ΑΣΚΗΣΕΙΣ Δίνονται οι παραστάσεις: Α = x 3 5x + x 10 και B = x 50. α) Nα γίνουν γινόμενο οι παραστάσεις Α και Β. β) 1. Να βρείτε για ποιες τιμές του x ορίζεται το κλάσμα Β Α.. Να αποδειχθεί ότι Α x + = Β (x + 5) για x 5 και x -5. γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του x ισχύει Β Α =1.

18 ΑΣΚΗΣΗ η Να λυθεί το σύστημα: 3x+y=1 x-y x + y 4 = ΑΣΚΗΣΗ 3 η Στο διπλανό τραπέζιο ΑΒΓΔ είναι: ΑΒ/ /ΚΜ//ΓΔ, ΑΚ = 6m, KΔ=4m, BΛ=α, ΛΕ=β, BM=3m και BE=9m. Να υπολογίσετε τα α, β και ΒΓ. Να επιλέξετε ΜΟΝΟ ΔΥΟ από τις παραπάνω ασκήσεις ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!

19 ΤΑΞΗ: Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Α. Τι ονομάζουμε ταυτότητα ; Β. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά, ώστε οι ισότητες που θα προκύψουν να εκφράζουν αξιοσημείωτες ταυτότητες: α) ( α β ) = α β) ( α β )( α + β ) =. γ) ( α + β ) 3 = α 3. δ) α 3 β 3 = Θέμα ο Α. Για τη γωνία ω του διπλανού σχήματος ισχύει συνω 0. Να αποδείξτε ότι: ημω εφω = συνω Β. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Ο (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ) αν είναι λανθασμένες. i. ημ0 ο = 1 ii. εφ180 ο = 1 iii. συν90 ο = - 1 iv. Για οποιαδήποτε γωνία ω ισχύει ημω + συνω = 1. y ω ρ Μ(x,y) x

20 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1 η Δίνονται τα πολυώνυμα : Α(χ) = ( χ +3 ) 4χ 3χ και Β(χ) = ( χ 1 )( χ + 1 ) 8( χ + 1 ) + 6 α) Να βρεθούν τα αναπτύγματα των πολυωνύμων Α(χ) και Β(χ), να γίνουν οι αναγωγές ομοίων όρων και να γραφούν κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του χ. β) Να αποδείξετε ότι Α(χ) +Β(χ) = χ 5χ + 6. γ) Να λύσετε την εξίσωση Α(χ) +Β(χ) = 0. Άσκηση η Δίνεται η εξίσωση χ κχ + λ = 1 και η παραβολή ψ = χ λχ + κ. α. Να αποδείξετε ότι το είναι λύση της εξίσωσης χ κχ + λ = 1 μόνο όταν λ-κ = -3. β. Να αποδείξετε ότι η παραβολή ψ = χ λχ+κ διέρχεται από το σημείο Α( 1, 3) μόνο όταν κ-λ =. γ. Να βρείτε για ποιες τιμές των κ και λ το είναι λύση της εξίσωσης χ κχ + λ = 1 και το σημείο Α( 1, 3 ) ανήκει στην παραβολή ψ = χ λχ+κ. Άσκηση 3 η Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με (ΑΒ = ΑΓ) και το τμήμα ΑΜ είναι ύ- ψος του. Δίνεται επίσης ότι ΒΔ = ΓΕ. Να αποδείξετε ότι: α. Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΕ είναι ίσα. β. Το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές. γ. Το τμήμα ΑΜ είναι διχοτόμος του τριγώνου ΔΑΕ. Δ Β Α Μ Γ Ε Να απαντήσετε σε ένα θέμα θεωρίας και σε δυο ασκήσεις. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!

21 Τάξη: Γ Εισηγητής: Σχολ. Έτος: ΘΕΜΑ 1 ο ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΩΡΙΑ α) Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες, ώστε να εκφράζουν αξιοσημείωτες ταυτότητες: (α + β) =... (α + β)(α β) =... (α - β) 3 =... β) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις Σωστές (Σ) ή Λανθασμένες (Λ) Τα μονώνυμα 5 x3 yω και -5x 3 yω είναι όμοια... Τα μονώνυμα 3x 3 y και -3x y 3 είναι αντίθετα... Κάθε αριθμός μπορεί να θεωρηθεί και ως πολυώνυμο... Το μηδενικό πολυώνυμο έχει βαθμό 0... ΘΕΜΑ ο α) Πότε δύο τρίγωνα λέγονται ίσα; β) Πότε δύο πολύγωνα λέγονται όμοια; γ) Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά: Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μια προς μια και., τότε είναι ίσα. Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα, όταν έχουν μια αντίστοιχη πλευρά ίση και μια ίση. Δύο κανονικά πολύγωνα που έχουν. είναι όμοια. Ο λόγος των εμβαδών δύο ομοίων σχημάτων είναι ίσος με. του λόγου ομοιότητάς τους.

22 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Δίνονται οι εξισώσεις : x 9x 5 = 0 και 4x + 4x + 1 = 0. α) Να λύσετε τις παραπάνω εξισώσεις. β) Να παραγοντοποιήσετε τα τριώνυμα x 9x 5 και 4x + 4x + 1. γ) Να απλοποιήσετε το κλάσμα: x 9x 5 4x 4x ΑΣΚΗΣΗ η Να αποδείξετε ότι τα συστήματα: την ίδια λύση. 7x + y y 1 = x x 9y 1 = x και 8x y = 15 x 3y = 1 έχουν ΑΣΚΗΣΗ 3 η Στο διπλανό σχήμα είναι ΑΒ = 1, ΒΓ = 13, ΑΓ = 5, ΔΕ = 4 και ΒΔΕ = 90. α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο. β) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΒΔΕ είναι όμοια. γ) Να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος ΒΕ. δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΒΔΕ.

23 ΤΑΞΗ : Γ Γραπτές Απολυτήριες εξετάσεις περιόδου Μαΐου Ιουνίου Στο Μάθηµα των: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Σχολικό Έτος: ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ Θέµα 1ο: Να συµπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες : α β 1) ( + ) = α β ) ( ) = 3) α β = α β 3 4) ( + ) = 5) α 3 + β 3 = Θέµα ο: α) Για το σηµείο Μ(x, y) του σχήµατος να συµπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες: ηµω =, συνω =, εφω = β) Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε γωνία ω ισχύει : ηµ ω + συν ω = 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η: Έστω οι παραστάσεις : x Α= x 4x 4 και Β= x α) Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις : i. x 4x ii. x 4 β) Να λύσετε τις εξισώσεις : iii. x iv. x + 4x+ 4 3 x x+ 4 i. x 4= 0 ii. x + 4x+ 4= 0 γ) Να βρείτε τις τιµές του x που ορίζονται οι παραστάσεις Α, Β και να τις απλοποιήσετε. δ) Να λύσετε την εξίσωση : ( x + ) Β 3( x+ ) Α= 8 (Συνέχεια θεµάτων στην πίσω σελίδα)

24 Άσκηση η: x + y = 18 α) Να λύσετε το σύστηµα : x + 5y = 50 β) Είναι δυνατόν ένα χαρτονόµισµα των 100 να ανταλλαγεί µε 18 νοµίσµατα των και των 10 ; ( δικαιολογήστε την απάντησή σας ) Άσκηση 3η: Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΕΖ του παρακάτω σχήµατος έχουν Αν τα ύψη τους ΑΗ και Θ είναι ίσα να αποδείξετε ότι : α) Β = Ε β) τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΕΖ είναι ίσα. Α = και ΑΒ = Ε. Από τα δύο θέµατα θεωρίας απαντήσετε στο ένα (1) και από τις τρεις ασκήσεις να λύσετε τις δύο (). ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ Ο εισηγητής Ο /ντής

25 ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟ : ΤΑΞΗ : Γ ΜΑΘΗΜΑ : Μαθηματικά ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ : ΘΕΩΡΙΑ Θ Ε Μ Α Τ Α ΘΕΜΑ 1 ο α) Τι ονοµάζεται ταυτότητα ; β) Να αποδείξετε την ταυτότητα : ( ) α + β = α + αβ+ β γ) Να συµπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω ισότητες : ( x+...) = ( )( ) = 9ω 4 ( 3x... ) =... 1x ( x+...) = y ΘΕΜΑ ο α) Να γράψετε τα τρία κριτήρια ισότητας τριγώνων. β) Πότε δυο πολύγωνα ονοµάζονται όµοια ; γ) Στο διπλανό σχήµα έχουµε ε 1 // ε // ε 3 Με την βοήθεια του θεωρήµατος του Θαλή να συµπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες : ΑΓ... = ΓΕ... = ΑΕ... Ε Γ Α Β Ζ ε 1 ε ε 3

26 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 ο α) Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις : x - x, x 4, x + x, x x + 1 β) Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις : x A= x x, x 4 B= x + x, Γ= x x 1 x+ 1 γ) Να αποδείξετε ότι : 3Α + Β Γ = 5 ΘΕΜΑ ο α) Να λυθεί το σύστηµα : x y= 5 3x+ 4y= 5 β) Να λυθεί το σύστηµα : x y= 3 x 3y = 1 ΘΕΜΑ 3 ο Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y = 3x 1, στα παρακάτω συστήµατα αξόνων y= x και y = 6 x 7 y 6 7 y 6 7 y x' Ο x x' Ο x x' Ο x y' -6 y' -6 y' Καλή επιτυχία

27 ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΤΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟ : ΤΑΞΗ : Γ ΜΑΘΗΜΑ : Μαθηματικά ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ : ΘΕΩΡΙΑ Θ Ε Μ Α Τ Α ΘΕΜΑ 1 ο α) Τι ονοµάζεται ταυτότητα ; β) Να συµπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω ταυτότητες : ( α β) =... ( α β)( α+ β) 3 ( α β) =... ( x +...) = = (......) =... 4ω+ 16ω 3 3 ( ) = x y y γ) Ποια από τις παρακάτω παραστάσεις είναι µονώνυµο ; (κυκλώστε την σωστή απάντηση) Α. 3α + 5 Β. 7x y Γ. x. 7 κ α Ε. 3 5ω 6 3 δ) Ποια από τις παρακάτω παραστάσεις είναι κλασµατική ; (κυκλώστε την σωστή απάντηση) 7x Α. 3 Β Γ. x + 3. y 5 9 x 4 Ε. a βγ

28 ΘΕΜΑ ο α) Πως λέγεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης y= ax ; Ποιος είναι ο άξονας συµµετρίας της,ποια η κορυφή της και τι συµβαίνει όταν α>0 ή α<0 ; β) Να αντιστοιχίσετε κάθε γράµµα της στήλης Α µε ένα µόνο αριθµό της στήλης Β ΤΥΠΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ Α. y = Β. 3 y=. x Γ. y = 4x y= 3x 4. Ε. x = 1 5. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 ο ίνονται οι παραστάσεις : Α= 5x( x 1) + x + 17x x+ 1 x 3 5(1 x Β=( )( ) ) 3 Γ=( x+ 1) x( x + x+ ) 3 α) Αφού κάνετε τις πράξεις σε καθεµιά από τις παραπάνω παραστάσεις να δείξετε ότι : Α = 6x + 1x, B = x 8, Γ= x + x β) Αφού παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις του (α) ερωτήµατος στην συνέχεια να Α Α απλοποιήσετε τις παραστάσεις : και Β Γ

29 ΘΕΜΑ ο α) Να λυθεί το σύστηµα : x+ 3y= 4 3x 4y= 11 β) Να λυθεί το σύστηµα : x+ y= x y = 1 ΘΕΜΑ 3 ο Α Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές µε ΑΒ=ΑΓ και τα σηµεία και Ε τέτοια ώστε Α =ΑΕ. α) Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΑΓ είναι ίσα β) Να δείξετε ότι τα τµήµατα ΒΕ και Γ είναι ίσα γ) Να δείξετε ότι οι γωνίες ω και φ που είναι σηµειωµένες στο σχήµα είναι ίσες ω φ Ε Β Γ Καλή επιτυχία

30 ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟ : ΤΑΞΗ : Γ ΜΑΘΗΜΑ : Μαθηματικά ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ : ΘΕΩΡΙΑ Θ Ε Μ Α Τ Α ΘΕΜΑ 1 ο α) Τι ονομάζεται ταυτότητα. β) Να συμπληρώσετε τις ισότητες: i)(α+β).(α-β)=. ii)(α+β) =. iii)(α-β) =.. iv)(α-β) 3 =. γ) Να αποδείξετε ότι: (α+β) 3 =α 3 +3αβ +3α β+β 3 ΘΕΜΑ ο α) Στο διπλανό σχήμα να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω, δηλαδή τα: ημω, συνω, εφω M(x,ψ) ρ ψ ω Ο Χ β) Να αναφέρεται τη σχέση μεταξύ των τριγωνομετρικών αριθμών των παραπληρωματικών γωνιών 180 ο -ω και ω. i)ημ(180 ο -ω) =.. ii)συν(180 ο -ω) = iii)εφ(180 ο -ω) =.

31 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 ο Να λυθεί το σύστημα: 3x y= 5 4x y= 10 ΘΕΜΑ ο Δίνεται το κλάσμα : x3 8x K( x) = x 4 α) Να απλοποιηθεί το κλάσμα K( x) β) Να λυθεί η εξίσωση: K( x ) =8 ΘΕΜΑ 3 ο Α Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές (ΑΒ = ΑΓ). Φέρνουμε τα ύψη του ΓΔ και ΒΕ. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΑΓΔ είναι ίσα. β) Τα τρίγωνα ΔΜΒ και ΕΜΓ είναι ίσα. Ε γ) Τα τρίγωνα ΔΜΒ και ΑΔΓ είναι όμοια. Μ Β Γ Καλή επιτυχία

32 ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟ : ΤΑΞΗ : Γ ΜΑΘΗΜΑ : Μαθηματικά ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ : Θ Ε Μ Α Τ Α ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 0 α. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά ( α β) = ( α β) ( α β) ( α β) ( α β) =... + =... =... β. Να αποδείξετε ότι ( ) α+ β = α + αβ + β ΘΕΜΑ 0 Να διατυπώσετε το θεώρημα του Θαλή ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 ο Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: 3 α. α α + 3α 3 β. 49 4x γ. 5α 10α + 5 δ. 1 α β + αβ ε. 4α x 6α x ΘΕΜΑ ο Να λύσετε την εξίσωση : 1 + x = x 3x+ x 1 x ΘΕΜΑ 3 ο 1 Αν για την αμβλεία γωνία ω ισχύει ηµω=, τότε να υπολογίσετε τους 13 άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. Καλή επιτυχία

33 ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟ : ΤΑΞΗ : Γ ΜΑΘΗΜΑ : Μαθηματικά ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ : Θ Ε Μ Α Τ Α ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο α) Τι ονομάζουμε ταυτότητα ; β) Να συμπληρώσετε τα παρακάτω : i) ( α+ β) = ii) ( α β) 3 = iii) ( α β)( α+ β)= α β = α αβ+ γ) Να αποδείξετε την ταυτότητα : ( ) ΘΕΜΑ ο α) Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε γωνία ω ισχύει η ισότητα : ηµ ω+ συν ω= 1 β) Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες : ο 1. ηµ ( 180 ω)=. συν( 180 ο ω)= β ο 3. εφ( 180 ω)= ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 ο Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης : Α= 1 ( 3x) + 4( x+ 3) ( x+ )( x ) + 5( 1 x) ΘΕΜΑ ο Να λύσετε την εξίσωση : x 3 x = 4 3 x + x 1 3x Α ΘΕΜΑ 3 ο Στο διπλανό σχήμα είναι ΔΕ//ΒΓ και δίνονται ΑΔ = 6 cm, ΔΒ =3 cm, ΑΘ = 1 cm και ΕΓ = 5 cm. Να υπολογίσετε τα τμήματα ΖΘ = x και ΑΕ = y. Ζ χ ψ Ε Β Θ Γ Καλή επιτυχία

34 Γραπτή απολυτήρια εξέταση Περίοδος: Μαϊου - Ιουνίου Μάθηµα: Μαθηµατικά Τάξη: Γ Ηµεροµηνία: Σχολ. Έτος: ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ 1 ο Θέµα α) Να δείξετε ότι για οποιαδήποτε γωνία ω ισχύει : ηµ ω + συν ω = 1. β) Να εξετάσετε αν υπάρχει γωνία ω τέτοια ώστε ηµω = ( δικαιολογήστε την απάντησή σας ) 4 και συνω = ο Θέµα α) Τι λέγεται ταυτότητα ; β) Να συµπληρώσετε τα παρακάτω κενά ώστε οι ισότητες να εκφράζουν αξιοσηµείωτες ταυτότητες i. (α - β ) = ii. (α + β ) 3 = iii. (α + β ) (α - β) = iv. α 3 - β 3 = ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 η Άσκηση ίνονται τα πολυώνυµα Ρ(x) = (3x + ) - (5 - x) (3x + ) και Q(x) = 5x - 9. α) Να γράψετε το πολυώνυµο Ρ(x) κατά τις φθίνουσες δυνάµεις του χ. β) Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυµα Ρ(x) και Q(x). γ) Να λύσετε την εξίσωση : Ρ(x) = Q(x) η Άσκηση Στο διπλανό σχήµα η Ε είναι παράλληλη στην ΒΓ. Αν Α =, ΑΕ = x, Β = x + 1, ΕΓ = x + 6, να υπολογίσετε τα µήκη των πλευρών ΑΒ και ΑΓ του τριγώνου ΑΒΓ.

35 3 η Άσκηση α) Να δείξετε ότι η εξίσωση χ - ψ - χ - 6ψ = 8 παριστάνει δύο ευθείες ε 1 και ε µε εξισώσεις : ε 1 : χ + ψ = - ε : χ - ψ = 4 β) Να βρεθεί το σηµείο τοµής των παραπάνω ευθειών.

36 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο α. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά, ώστε οι ισότητες να εκφράζουν αξιοσημείωτες ταυτότητες: (α + β) (α αβ + β ) =... (α + β) =... α 3 β 3 =... (α β) 3 =... β. Να αποδείξετε την ταυτότητα: (α + β) 3 = α 3 + 3α β + 3αβ + β 3 γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας, δίπλα στον αριθμό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη: i. (α β) 3 = α 3 β 3 iv. (α + β) (β α) = α β ΘΕΜΑ ο α. Στο διπλανό σχήμα είναι ε 1 //ε //ε 3 και ΒΓ=ΑΒ. ΑΒ ΒΓ Να αποδείξετε ότι = ΑΒ ΒΓ β. Να διατυπώσετε το Θεώρημα του Θαλή.

37 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = (3x 1) (x ) (3x 1) α. Να αποδείξετε ότι Ρ(x)= 6x + x 1 β. Να λύσετε την εξίσωση Ρ(x) = 0. γ. Nα παραγοντοποιήσετε το πολυώνυμο Ρ(x). ΑΣΚΗΣΗ η Δίνεται το σύστημα: x (5 y) = (3x y) 3x y = x 3 i. Να αποδείξετε ότι το σύστημα παίρνει τη μορφή: x + y = 8 3x + y = 0 ii Να λύσετε το παραπάνω σύστημα, με οποιαδήποτε αλγεβρική μέθοδο θέλετε. ΑΣΚΗΣΗ 3 η 3 Αν για την αμβλεία γωνία ω ισχύει ημω=, τότε να υπολογίσετε: 5 α. το συνω β. την εφω εφω συν10 γ. την τιμή της παράστασης: Α= 0 συνω εφ135 ο

38 ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο : α) Τι λέγετε μονώνυμο και τι πολυώνυμο ; β) Πότε δύο ή περισσότερα μονώνυμα λέγονται όμοια ; Τι είναι το άθροισμα όμοιων μονωνύμων ; ΘΕΜΑ ο : Στο διπλανό σχήμα είναι y M(x,y) ΟΜ = ρ και x O M = ω B α) Να ορίσετε τα : ημω, συνω, εφω ρ με βάση τις συντεταγμένες x, y του Μ ω και την απόσταση ΟΜ = ρ x x β) Να αποδείξετε ότι : Α Ο ι) ημ ω + συν ω = 1 y ημω ιι) εφω = συνω ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 ο : Δίνονται τα πολυώνυμα : Α = ( x + ) + ( x + 1) (x 1) 5( x + 1) B = - (x + 1) + (1 x)(1 + x) ( 1 x) α) Να δειχτεί ότι : Α = - και Β = - 4x. β) Να λυθεί η εξίσωση : A B = x x + y x + 1 ΘΕΜΑ ο = : Να λυθεί το σύστημα : x + y = 6 ΘΕΜΑ 3 ο : Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο είναι ΜΒ = ΜΔ, και ΔΕ = 4 α) Να δειχτεί ότι τα τρίγωνα ΑΜΒ και ΔΜΕ είναι όμοια και να γραφούν οι ίσοι λόγοι που προκύπτουν από την ομοιότητα β) Να βρεθεί ο λόγος ομοιότητας. γ) Να υπολογιστεί η πλευρά ΑΒ. x 1 3 (Να απαντήσετε σε 1 θέμα θεωρίας και ασκήσεις.το σχήμα να γίνει στην κόλλα σας )

39 Γραπτές απολυτήριες εξετάσεις περιόδου Μαΐου Ιουνίου στα Μαθηματικά ΘΕΩΡΙΑ Θέμα 1 ο : Διατυπώστε τα κριτήρια ισότητας δύο τριγώνων. Θέμα ο : α) Τι λέγεται ταυτότητα; β) Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ταυτότητες: (α-β) =.. (α+β) (α-β) = γ) Να αποδείξετε την ταυτότητα: (α-β) 3 =α 3-3α β+3αβ -β 3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ x 3 y Θέμα 1 ο : Να λυθεί το σύστημα : = χ+3(y-)=-8 Θέμα ο : Δίνονται τα πολυώνυμα : Α=1-4χ Β= χ+4χ a. Να παραγοντοποιηθούν b. Να απλοποιηθεί το κλάσμα B A c. Να λυθεί η εξίσωση B A = χ Θέμα 3 ο : Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ. Φέρνουμε ΒΔ κάθετη στη ΒΓ Και ΓΕ κάθετη στη ΒΓ στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς τη ΒΓ, ώστε τα κάθετα τμήματα ΒΔ και ΓΕ να είναι ίσα. Να δείξετε ^ ότι : Α Δ Ε= Α Ε Δ ^

40 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Α. Να αποδείξετε ότι: (α+β)(α-β) = α - β Β. Να μεταφέρετε τα παρακάτω στο φύλο απαντήσεων και να συμπληρώσετε τα κενά: i) (α+β) =.. ii) (α-β) =... iii) (α+β) 3 =.. iv) (α-β) 3 =α 3 +3αβ... Α. Να γράψετε τα τρία κριτήρια ισότητας τριγώνων. Β. Να γράψετε το θεώρημα του Θαλή. Να κάνετε σχήμα. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Α. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 4χ - 16χ = 0 β) χ + 49 = 0 γ) χ + χ - 6 = 0 Β. Να λυθεί η εξίσωση: x 3 = + 3x 3x x x 4 9. Α. Να λυθεί το σύστημα : x y = 4 3x + y = 13 Β. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α(-1,-1) και Β(1,5). 3. Α. Να υπολογίσετε το γινόμενο: (1+εφ180 ο ) (1-ημ0 ο ) συν30 ο ημ45 ο εφ60 ο = Β. Να δείξετε ότι: ημχ συν ω + ημχ ημ ω = εφχ συνχ (Να απαντήσετε σε ένα από τα δύο θέματα θεωρίας και σε δύο από τα τρία θέματα των ασκήσεων)

41 ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο : Α. Τι ονομάζουμε ταυτότητα; B. Γράψτε συμπληρωμένες τις παρακάτω ταυτότητες a + β =... i) ( ) ii) ( α+ β)( α β ) =... iii) ( α β ) 3 =... Γ. Αποδείξτε την ταυτότητα ( ) α β = α αβ + β ΘΕΜΑ ο : Δίνεται η συνάρτηση y = ax, a > 0. Α. Πως λέγεται η γραφική της παράσταση; B. Ποιες ιδιότητες έχει; Γ. Κάντε μια πρόχειρη γραφική παράσταση. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 η : Α. Να αναλύσετε σε γινόμενο παραγόντων τις παραστάσεις: x x, x 4, 3x 6, x 4x + 4 Β. Να απλοποιήσετε τα κλάσματα: x x 3x 6 A =, B = x 4 x 4x+ 4 Γ. Να λύσετε την εξίσωση A B = 0 ΑΣΚΗΣΗ η : Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και Δ, Ε, Ζ τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ αντίστοιχα. Α. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΔΒΖ, ΕΖΓ είναι ίσα. Β. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΔΕΖ είναι ισοσκελές. Γ. Αν AB = 8cm και BΓ = 4cm, να βρεθεί η περίμετρος του τριγώνου ΔΕΖ. x y 5 + = 6. x+ 1 + y = x + y + 1 ΑΣΚΗΣΗ 3 η : Δίνεται το σύστημα ( ) ( )

42 Α. Κάνοντας πράξεις σε κάθε εξίσωση να αποδείξετε ότι έρχεται στην απλούστερη μορφή: 3x + y = 15. x y= 3x y 15 Β. Να λύσετε το σύστημα: + = x y= Σημείωση: Πρέπει να απαντήσετε σε ένα από τα δυο θέματα θεωρίας, και σε δύο από τις τρεις ασκήσεις. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

43 ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ... Α ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο Να συμπληρώστε τις παρακάτω ισότητες ώστε να προκύψουν οι γνωστές ταυτότητες (α + β ) (α -β ) =... = 3 (α + β )... = 3 (α -β )... Να αποδείξετε την παρακάτω ταυτότητα ( α β ) =α αβ+β ΘΕΜΑ ο Να γράψετε τα κύρια στοιχεία και 3 από τα δευτερεύοντα στοιχεία ενός τρίγωνου Να γράψετε τα τρία κριτήρια ισότητας δυο τριγώνων ΑΣΚΗΣΗ 1 η Δίνονται τα πολυώνυμα 3 Α= x + 4x + 4x Β= x 4 Να αποδείξετε ότι Α= x(x + ) Β ΑΣΚΗΣΕΙΣ,, Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυμα Να λύσετε την εξίσωση: = Α Β Γ Γ = Β και Γ x x ΑΣΚΗΣΗ η Δίνεται το σύστημα:

44 3x - 4y = α-β x+y = 3α-5β Αν το σύστημα έχει λύση την (x,y) = (,1) Να αποδείξετε ότι Να βρείτε τα ΑΣΚΗΣΗ 3 η Αν και Να αποδείξετε ότι: α, β α-β = 3α-5β = 4 x= 3 ημω y = 3 συνω x + y = 9 και 4 4 x y = 9 (x y ) Να βρεθεί η μεγίστη και η ελάχιστη τιμή της παράστασης Α= x+ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Να απαντήσετε : σε ένα (1) από τα δύο () θέματα θεωρίας και σε δύο () από τις τρείς (3) ασκήσεις. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

45 ΤΑΞΗ Γ ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ: ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 Ο α) Να αναφέρετε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων β) Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα δυο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και το μισό αυτής. ΘΕΜΑ Ο α) Αν πάρουμε οποιοδήποτε σημείο Μ( χ, ψ ) του επιπέδου και γωνία Χ Ο Μ = ω Να διατυπώσετε τους τύπους των τριγωνομετρικών αριθμών ημω, συνω και εφω β) Να αποδείξετε ότι ημ ω + συν ω =1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3a + β a 3β 1) Να λυθεί το σύστημα = 3 a 1 1 4β = ) Μια μεταλλική πλάκα που έχει σχήμα ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές 30cm και 40cm θερμαίνεται και από τη διαστολή αυξάνεται κάθε πλευρά κατά 10%. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο θα παραμείνει ορθογώνιο. 3) Συναντήθηκαν ορισμένοι φίλοι και αντάλλαξαν χειραψία με όλους τους άλλους. Αν έγιναν 15 χειραψίες πόσοι ήταν οι φίλοι; Να απαντήσετε σε ένα θέμα θεωρίας και δυο ασκήσεις. (κατ επιλογή)

46 Γραπτές απολυτήριες εξετάσεις Περιόδου Μαΐου Ιουνίου ΤΑΞΗ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ον α) Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες ι) (α+β)3 = ιι) (α-β) 3 = ιιι) α -β = β) Να αποδείξετε τις ταυτοτητες ι) χ +(α+β)χ+αβ=(χ+α)(χ+β) ιι) (α+β) =α +αβ+ ΘΕΜΑ ον α) Να συμπληρώσετε τους τύπους που ισχύουν για παραπληρωματικές γωνίες ι) ημ(180 ο -ω)= ιι) συν(180 ο -ω)= ιιι) εφ(180 ο -ω)= β)να αποδείξετε ότι για κάθε γωνία ημ ω+συν ω=1 χομ=ω ισχύει ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 ον Δίδεται το συνω=1/3,με 0 ο <ω<180 ο Να υπολογίσετε το ημω και εφω ΘΕΜΑ ον Να λύσετε τις εξίσωσεις α) χ -χ - =0 β)/(-χ) 1/(χ+1)=5/(χ -χ-) ΘΕΜΑ 3 ον Να λύσετε τα συστήματα α) χ+y=7 β)χ+4y=1 x-y=-1 χ +y =8

47 Α.- Θ Ε Ω Ρ Ι Α ΘΕΜΑ 1 ο α)να αποδείξετε την ταυτότητα (α+β) 3 =α 3 +3α β+3αβ +β 3 β)να συμπληρώσετε τι ταυτότητες (α-β)=. (α+β).(α-β)= γ)αν ισχύει (α+β) 3 =α 3 +β 3, τα ι συμπεραίνετε για τα α και β? ΘΕΜΑ ο α)να γράψετε τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων που αναφέρονται σε μια πλευρά και μια οξεία γωνία. β)ομοίως τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων που αναφέρονται σε πλευρές. γ)αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν μια κάθετη πλευρά και μία οξεία γωνία ίσες είναι πάντοτε ίσα. Β)Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να λυθεί το σύστημα 3χ + ψ χ 5ψ 10 = 3 3 χ ψ = (3χ + ψ ) 9 ΑΣΚΗΣΗ η α)να γίνουν γινόμενο παραγόντων οι παραστάσεις Α=χ -χ, Β=χ -3χ+ Β β)να λυθεί η εξίσωση: = Α χ 1 ΑΣΚΗΣΗ 3 η ημα Σ ένα οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει α Να αποδείξετε ότι: 4γ α i) ημβ = γ α ii) συνβ = και γ iii) β=γ = 4γ βγ α Να απαντήσετε σε ένα θέμα θεωρίας και σε δύο ασκήσεις.

48 ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α/ Να διατυπώσεις τα κριτήρια ισότητας τριγώνων. Β/ Δύο όμοια τρίγωνα είναι και ίσα; Γ/ Δύο ίσα τρίγωνα είναι και όμοια; ΘΕΜΑ ο Α/ Να αποδείξεις την ταυτότητα ( α β) = α 3α β + 3αβ β Β/ Να συμπληρώσεις τις ταυτότητες: i/ (α-β) = ii/ (α+β)(α-β) = ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται ότι Α=χ 3 +4χ +4χ, Β = χ - 4, Γ = χ χ. Α/ Να κάνετε γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων τις παραστάσεις Α, Β, Γ. 1 1 Β/ Να λύσετε την εξίσωση : + = Α Β Γ ΘΕΜΑ ο Δίνονται τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ με γωνία Α=100 ο, γωνία Β=30 ο, γωνία Δ=30 ο, γωνία Ε=50 ο, ΑΓ=, ΕΖ=5. α/ Να αποδείξεις ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ είναι όμοια και να βρεις τον λόγο ομοιότητας του ΔΕΖ προς το ΑΒΓ. ΘΕΜΑ 3 ο Να λυθεί το σύστημα : χ 1 ψ 1 χ = χ ψ = 1 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Να γράψεις ένα από τα θέματα θεωρίας και δύο από τα θέματα των ασκήσεων

49 ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1ο Α/ Να αποδείξεις την ταυτότητα ( α + β ) = α + 3α β + 3αβ + β Β/ Να συμπληρώσεις τις ταυτότητες: i/ (α+β) = ii/ (α+β)(α-β) = ΘΕΜΑ ο Α/ Να αποδείξεις ότι : ημ ω + συν ω=1, όπου ω : τυχαία γωνία. Β/ Να συμπληρώσεις τις ισότητες : i/ συν ( 180 ω ) =... ii/ ημ (90 ω ) =... ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 ο χ 3ψ χ ψ = χ 1 Α/Να λυθεί το σύστημα 5 ( χ ψ ) + 3ψ = 3 Β/ Αν (χ,ψ) η λύση του συστήματος να αποδειχθεί ότι: (3χ+ψ) 007 +( 10χ+11ψ) 008 =χ-ψ ΘΕΜΑ ο Δίνονται τα πολυώνυμα Α= χ +4χ 1, Β = 4 χ. Α/ Να παραγοντοποιηθούν τα πολυώνυμα Α, Β. Β Να λυθεί η εξίσωση Α + Β = 0. ΘΕΜΑ 3 ο Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ευθεία (ε) παράλληλη προς την πλευρά ΒΓ που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Δ και Ε αντίστοιχα. Αν ΑΔ=4, ΔΒ= και ΑΕ = 6 Α/ Να υπολογίσεις το ευθύγραμμο τμήμα ΕΓ Β/ Να αποδείξεις ότι τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΑΒΓ είναι όμοια και να υπολογίσεις τον λόγο ομοιότητας ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Να γράψεις ένα από τα θέματα θεωρίας και δύο από τα θέματα των ασκήσεων

50 Θέματα Γραπτών Απολυτήριων Εξετάσεων Στο Μάθημα των Μαθηματικών Περιόδου Μαΐου-Ιουνίου Σχ. Έτος:... ΤΑΞΗ Γ ΘΕΩΡΙΑ 1. α.) Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες : 3 ( α + β ) = ( β ) = α β.) Να αποδείξετε ότι: ( ) α + β = α + 3α β + 3αβ + β. Να γράψετε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Για ποια τιμή του κ, το σημείο (κ-1, κ) ανήκει στη γραφική παράσταση της παραβολής y = x 5x + 6 ;. α.) Να γίνουν γινόμενο παραγόντων οι παραστάσεις : 3 Α = x 9x + x 9 Β = x 3x β.) Να απλοποιηθεί το κλάσμα: Α Β 3. Να λυθεί το σύστημα: x y = 3 x + xy y = 4 Να απαντήσετε σε ένα θέμα θεωρίας και σε δυο ασκήσεις.

51 Γραπτές Απολυτήριες Εξετάσεις Περιόδου Μαΐου Ιουνίου στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Γ ΘΕΩΡΙΑ 1 ο ΘΕΜΑ: α) Τι ιδιότητα έχει το ευθύγραμμο τμήμα που φέρουμε από το μέσο μιας πλευράς ενός τριγώνου, παράλληλο προς μία άλλη πλευρά του; β) Τι ιδιότητα έχει το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα δύο πλευρών ενός τριγώνου; γ) Να διατυπώσετε το θεώρημα του «ΘΑΛΗ». ο ΘΕΜΑ: α) Να δώσετε τους ορισμούς ημω =, συνω =, εφω =. για οποιαδήποτε γωνία ω (σχήμα ) y ημω Μ( x,y) β) Να αποδείξετε ότι: εφω = συνω ρ ω γ) Αν φ και ( 180 φ ) είναι παραπληρωματικές γωνίες, x / να συμπληρωθούν οι παρακάτω ισότητες: ημ (180-φ) =. συν ( 180 φ ) =, εφ ( 180 φ ) = ΑΣΚΗΣΕΙΣ y / x 1 η : Να λυθεί η εξίσωση: x + x 1 + x x + 1 = 13 6 η : α) Να γίνει γινόμενο πρωτοβαθμίων παραγόντων η παρακάτω παράσταση: ( χ+ ). ( χ- 3 ) 9. ( χ + ) =.. β) Να γίνει γινόμενο το: χ χ 4 =... 3 η : Να λυθεί το σύστημα : χ 3y = 1 χ + 1 = -y ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Απαντάτε σε 1 θέμα θεωρίας και λύνετε ασκήσεις.

52 ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο α) Να συμπληρώσετε τα αναπτύγματα των ταυτοτήτων α + β =... β =... α + β 3 =... i) ( ) ιι) ( α ) ιιι) ( )... ιv) ( α β ) 3 =... v) ( α + β )( α β ) =... β) Να αποδείξετε την ταυτότητα ( α + β ) 3 =... ΘΕΜΑ ο Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων. Σε κάθε κριτήριο να κάνετε το αντίστοιχο σχήμα. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 ο α) Να γίνουν οι πράξεις: A = x( x 5) 3( x 1)( x + 1) β) Να απλοποιηθεί το κλάσμα ΘΕΜΑ ο Να λύσετε το σύστημα x + 3ψ = 1 3 x 4x 3 x + x 6x χ + 3 ψ = 3 6 Κατόπιν να εξετάσετε αν οι λύσεις του συστήματος (χ ο, ψ ο ) είναι συγχρόνως και λύσεις της εξίσωσης α α = 0 ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Προεκτείνουμε τις ίσες πλευρές ΑΒ και ΑΓ κατά ίσα τμήματα ΒΔ=ΓΕ αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι ΒΕ=ΓΔ β) Αν ΔΖ και ΕΗ είναι κάθετες στην ευθεία της ΒΓ να αποδείξετε ότι ΔΖ =ΕΗ

53 ΣΧ. Έτος:... ΤΑΞΗ Γ Θέματα απολυτήριων εξετάσεων περιόδου Μαΐου- Ιουνίου στα Μαθηματικά ΘΕΩΡΙΑ Θέμα 1. α) Διατυπώστε τον νόμο των συνημιτόνων για την πλευρά α ενός τριγώνου ΑΒΓ (τύπος). β) Να λύσετε τον παραπάνω νόμο (τύπο) ως προς συνα γ) Πώς γίνεται ο νόμος των συνημιτόνων για την πλευρά α, όταν Α = 90. Θέμα. α) Τι ονομάζουμε μονώνυμο, τι πολυώνυμο; (γράψτε από ένα παράδειγμα) β) Πότε δύο μονώνυμα λέγονται όμοια και πότε αντίθετα; (γράψτε από ένα παράδειγμα) γ) Να συμπληρώσετε την ισότητα (α-β) 3 = και να την αποδείξετε. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. α) Να κάνετε τις πράξεις στις παραστάσεις Α, Β εφαρμόζοντας ταυτότητες όπου υπάρχουν: = Α ( Χ + 3) Χ ( Χ 5) 1 Β = ( Χ ) ( Χ + ) ( Χ ) β) Να υπολογίσετε την παράσταση Α Β και στη συνέχεια την αριθμητική τιμή, όταν Χ = 1.. Να λυθεί στο R η εξίσωση: 3. Να λυθεί το σύστημα: Χ 3 + = Χ + 4 Χ 1 Χ 0 + 3Χ 4 ( Χ Υ) = Χ 3Υ 3 ( Χ + Υ) = 4Χ + Υ 3 +

54 Γραπτές απολυτήριες εξετάσεις περιόδου Μαΐου-Ιουνίου Μαθηματικά γ Γυμνασίου ΘΕΩΡΙΑ (Προσοχή από τα δύο θέματα θεωρίας θα απαντήσετε μόνο στο ένα) ΘΕΜΑ 1 ο : α) Να αποδείξετε την ταυτότητα: ( ) α+β =α +αβ+β β) Να γράψετε στην κόλλα σας συμπληρωμένες τις ταυτότητες: ( ) α-β =... ( α+β ).( α-β ) =... ( α+β ) 3 =... ΘΕΜΑ ο : Δίνεται η γωνία x ΟΜ = ω του σχήματος α) Να γράψετε στην κόλλα σας συμπληρωμένες τις ισότητες ημω= συνω= εφω= M(x,y) ρ y β) Να αποδείξετε ότι ημω εφω= συνω x Ο ω x ΑΣΚΗΣΕΙΣ (Προσοχή από τις τρεις ασκήσεις θα απαντήσετε μόνο στις δύο) x- x +3x ΑΣΚΗΣΗ 1 η Α= α) Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις 3 x -5x +6x και Β= x - 9 β) Να βρεθεί η τιμή της παράστασης ΑΣΚΗΣΗ η α) Να λυθεί η εξίσωση Α Β όταν 1 x= = 3 x - 4x x - 4 x+ β) Να βρεθεί η τιμή της παράστασης όπου είναι η δεκτή ρίζα της παραπάνω εξίσωσης. ΑΣΚΗΣΗ 3 η Στο σχήμα είναι ε //ε //ε 1 3. α) Να υπολογίσετε το x β) Να υπολογίσετε το μήκος των ΔΕ και ΕΖ τμημάτων. ( ) ( ) Π= x-. x +x+4 x Γ Β 6cm Α cm Δ x +1 y Ε ε 1 4x -1 ε Ζ ε 3

55 Α. ΘΕΩΡΙΑ Θέμα 1 ο i. Τι ονομάζουμε ταυτότητα; ii. Να συμπληρώσετε τα δεύτερα μέλη των ισοτήτων ώστε να είναι ταυτότητες : α) (α + β) * (α β) =, β) (α β) 3 = iii. Να αποδείξετε την ταυτότητα : χ + (α + β) * χ + α*β = (χ + α) * (χ + β) Θέμα ο i. Να διατυπώσετε το Θεώρημα του Θαλή ii. Να συμπληρώσετε τα κενά στις διαδοχικές ισότητες, με ευθύγραμμα τμήματα, ώστε να εκφράζουν το παραπάνω θεώρημα AB... ΒΔ... ΑΔ = = = =... ΖΗ... ΗΘ... αν ε 1 //ε //ε 3 //ε 4. ε ε ε 1 Α Ε ε Β Ζ ε 3 Γ Η ε 4 Δ Θ Β. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 η : Να αποδείξετε την ταυτότητα : = 1 ημχ 1+ ημχ συν χ η : i. Να επιλύσετε το σύστημα : 6χ ψ = -3 3χ + 6ψ = [Απάντηση : (χ, ψ) = (, )] 3 ii. Για τις τιμές αυτές των χ και ψ να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης ( χ + ψ ) *( χ ψ ) Α= χ ψ 3 η : Αν Α= x x 7x και Β= x + 7x + 6 x 1 i. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις Α και Β. ii. Να λύσετε την εξίσωση Α = Β. iii. Να αποδείξετε ότι : (Α + Β) (Α Β) = 4

56 Α. ΘΕΩΡΙΑ ΤΑΞΗ Γ ΘΕΜΑ 1 ο : α) Να αποδείξετε την ταυτότητα: ( α β ) = α αβ + β β) Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες: ( α + β ) =... ( α + β ) ( α β ) =... ( α + β ) ΘΕΜΑ ο : α) Να γράψετε τις σχέσεις που συνδέουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των συμπληρωματικών γωνιών. β) Να γράψετε τις σχέσεις που συνδέουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των παραπληρωματικών γωνιών. Β. ΑΣΚΗΣΕΙΣ γ) Να γράψετε τα πρόσημα των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας αν 1 η : Να λύσετε την εξίσωση: 3 = i) Η γωνία βρίσκεται στο δεύτερο τεταρτημόριο και ii) Η γωνία βρίσκεται στο τέταρτο τεταρτημόριο x 9 = x x x 3 η : α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από τα σημεία Α (-,-1) και Β (1,5) β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία τέμνει τους άξονες x x και y y η γραφική παράσταση της ευθείας του α ερωτήματος. 3 η : Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Παίρνουμε στη βάση ΒΓ τμήματα ΒΔ=ΓΕ και φέρνουμε ΔΖ κάθετη στην ΑΒ και ΕΗ κάθετη στην ΑΓ. α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΒΔΖ και ΓΕΗ είναι ίσα. β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές. Ζ Α Β Δ Ε Η Γ Να απαντήσετε σε ένα θέμα θεωρίας και σε δύο ασκήσεις.

57 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ τάξη ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ : 1. α) Τι ονομάζουμε ταυτότητα; β) Να συμπληρώσετε τα αναπτύγματα στα παρακάτω i) (α β) =. ii) (α β) 3 =.. γ) Να αποδείξετε τη ταυτότητα : (α + β) 3 = α 3 + 3α β + 3αβ + β 3. Σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων xoy δίνεται η γωνία x OM = ω. Να δείξετε ότι : α) ημ ω + συν ω = 1 β) ημω εφω =, συνω 0. συνω ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 1. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Από το μέσο Μ του ΒΓ φέρνουμε τις αποστάσεις ΜΕ και ΜΖ από τις ΑΒ και ΑΓ αντιστοίχως. Να δείξετε ότι ΜΕ = ΜΖ.. Να λύσετε το σύστημα : 3x y + = 6 5 x + y = Να λύσετε την εξίσωση 10 - x x + 4 = x - 5 Να απαντήσετε σε ένα από τα θέματα θεωρίας και σε δύο από τα θέματα των ασκήσεων. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!!!

58 Ονοματεπώνυμο Προαγωγικές εξετάσεις περιόδου Μαίου- Ιουνίου Στa Μαθηματικά της Γ Γυμνασίου ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Α. Για την γωνία xom=ω του διπλανού σχήματος ημω να αποδείξετε ότι: εφω = συνω Β. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες: ημ(90-ω)=. ημ ω+συν ω=.. ημ(180-ω)= εφ(180-ω)=.. Γ. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω προτάσεις και δίπλα να την χαρακτηρίσετε Σωστή ή Λάθος. Π 1 : Δυο τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν τις τρεις πλευρές τους ίσες Π : Δυο τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν τις τρεις γωνίες τους ίσες μία προς μία Π 3 : Δυο τρίγωνα είναι ίσα όταν δυο γωνίες τους και δυο πλευρές τους ίσες μία προς μία Π 4 : Δυο τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν δυο γωνίες τους ίσες μία προς μία και η μια πλευρά του ενός είναι ίση με μια πλευρά του άλλου ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Α) Να συμπληρώσετε τις ισότητες: i) (α+β) =. Iιi) (α-β) =. Iiii) (α+β) 3 =. Iiv) (α-β) 3 =. B) Επιλέξτε τη σωστή πρόταση: Mια εξίσωση ου βαθμού μπορεί να έχει: Α: Μια λύση Β: Το πολύ δυο λύσεις Γ: Καμία λύση Δ: Τουλάχιστον δύο λύσεις Γ) Για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ=3χ, επιλέξτε τη σωστή πρόταση: i) διέρχεται από την αρχή των αξόνων ii) Είναι καμπύλη που διέρχεται από την αρχή των αξόνων iii) Είναι ευθεία παράλληλη στον άξονα χ χ iv) Είναι ευθεία παράλληλη στον άξονα ψ ψ ΑΣΚΗΣΗ 1

59 i) Να μετατρέψετε σε γινόμενα τις παρακάτω παραστάσεις: Α = α (α-)-3(α -α) B = x -6x+9 ii) Να απλοποιήσετε τις αλγεβρικές παραστάσεις: 3( x + 1) a( a ) + 3( a ) Α= Β= 3 6( x + 1) a 4 ΑΣΚΗΣΗ Α. Να λυθούν οι εξισώσεις : i) 4x x -x-5=0 ii) + =- x ΑΣΚΗΣΗ 3 1 Αν x+ =5, να υπολογίσετε τις αριθμητικές τιμές των παραστάσεων: x α) x 1 + x β) x x 3 Να απαντήσετε σε μια από τις δυο ερωτήσεις θεωρίας και σε δυο από τις τρεις ασκήσεις. Καλή επιτυχία

60 Α ΘΕΩΡΙΑ: ΘΕΜΑ 1 ο : Να διατυπώσετε το νόμο των συνημιτόνων. Σχήμα απαραίτητο. ΘΕΜΑ ο : Για ένα σύστημα () εξισώσεων 1 ου βαθμού, με δύο άγνωστους, εξηγήστε τι σημαίνει γραμμική λύση και τι αλγεβρική λύση. Δώστε ένα παράδειγμα. Β ΑΣΚΗΣΕΙΣ : ΑΣΚΗΣΗ 1 η : Να λυθεί η εξίσωση : 10 x x + 4 = x 5 ΑΣΚΗΣΗ η : Να βρείτε ποιες από τις ευθείες είναι παράλληλες : y=3x+4, y=4x+4, y=3x+3, y=4x-3, y=4x+3, y=x+4 ΑΣΚΗΣΗ 3 η : Στο διπλανό τρίγωνο να υπολογίσετε τα τμήματα ΚΒ και ΚΗ (προσέγγιση εκατοστού) ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ Ο ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ

61 ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ ΤΑΞΗ: Γ Γυμνασίου. ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: Μαθηματικά.. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Α. Να αποδείξετε την ταυτότητα: (α + β) = α + αβ + β. Β. Να συμπληρώσετε τα αναπτύγματα στις παρακάτω ταυτότητες: α) (α - β) = β) (α + β) (α - β)= γ) (α + β) 3 =... δ) (α - β) 3 =. Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: x + 10 (x + 1) = -x -.. Δίνεται γωνία ω με 90 0 <ω<180 0 και ημω = 5 4. α) Να βρείτε το συνω και την εφω β) Να βρείτε το ημ(180 ω), το συν(180 ω) και την εφ(180 ω). γ) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = συν ω (1 + εφ ω). x+ψ= 7 3. α) Να λυθεί το σύστημα:. x + 3ψ = 11 β) Για τις τιμές των x και ψ που βρήκατε στο (α) ερώτημα, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = (x x + ψ ψ + x) x - x 4 - x Να απαντήσετε σε ένα θέμα θεωρίας και δύο θέματα ασκήσεων. Όλα τα θέματα είναι βαθμολογικά ισοδύναμα. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ. Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ Ο ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ

62 Θεωρία Γραπτές απολυτήριες εξετάσεις περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στα Μαθηματικά τάξη Γ' 1 ο ) α. να αποδείξετε ότι (α+β)^=α^+αβ+β^ β. να συμπληρώσετε τις ισότητες: Ι) α^-β^=.. ΙΙ) (α-β)^3= ο ) Α. Να συμπληρώσετε τις ισότητες Ι) ημ(180 ο -ω)= ΙΙ) συν(180 ο -ω)=. ΙΙΙ) εφ(180 ο -ω)= Β. Να βάλετε το κατάλληλο σύμβολο (<, >, =) στα εξής: Αν 0 ο <x <180 ο τότε ημx..0 Αν 90 ο <x <180 ο τότε συνx.0 Ασκήσεις 1 η ) Να λυθεί η εξίσωση η ) Αν Α=x^+x^ψ-x-ψ και Β=x^-ψ^ τότε α. να γίνουν γινόμενο οι παραστάσεις Α και Β β. να απλοποιήσετε το κλάσμα 3 η )Να λυθεί το σύστημα:

63 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ 1 ο. Ν αποδείξετε την ταυτότητα : (α+β) 3 = α 3 + 3α β+ 3αβ + β 3 Να συμπληρώσετε τα κενά : (-α+β) =., (α+β) =.., (α-β). (α+β) = ΘΕΜΑ ο. Να γράψετε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων ΑΣΚΗΣΕΙΣ χ Να λυθεί εξίσωση : + = χ+4 χ-1 χ +3χ-4. Να λυθεί το σύστημα: χ+ψ χ-ψ = 5 3 χ+ψ χ-ψ ψ+ - = Αν ημω = - και 70 ο < ω < 360 ο, να βρεθούν το συνω και εφω 13 Να απαντήσετε σε ένα θέμα θεωρίας και σε δύο ασκήσεις

64 ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ- ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α: ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 α) Τι ονομάζουμε μονώνυμο; β) Πότε δύο μονώνυμα λέγονται όμοια; γ) Να συμπληρώσετε τις ισότητες: (α-β) =.. (α+β) 3 =.. ΘΕΜΑ α) Να αποδείξετε ότι για κάθε γωνία ω ισχύει: ημ ω+συν ω=1 β) Να συμπληρώσετε τις ισότητες: συν(90 o -ω)= o ημ(180 -ω)= εφ(180 o -ω)= ΘΕΜΑ 1 ίνεται το κλάσμα: χ 18 χ + χ 1 Β: ΑΣΚΗΣΕΙΣ α) Να παραγοντοποιηθούν οι όροι του β) Για ποιες τιμές του χ ορίζεται το κλάσμα αυτό γ) Να γίνει απλοποίηση του κλάσματος ΘΕΜΑ χ + 1 ψ Να λυθούν τα συστήματα: α) 3 χ + 7ψ = β) = χ + 14ψ = 3 χ + ψ = 5 4 ΘΕΜΑ 3 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ=αχ+β διέρχεται από τα σημεία Μ και Ν με συντεταγμένες Μ(1,-3) και Ν(-1,-9). α) Να βρεθούν τα α και β β) Να βρεθούν τα σημεία που η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνει τους άξονες χχ και ψψ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Να απαντήσετε σε ένα θέμα θεωρίας και σε δύο θέματα ασκήσεων ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!!

65 Α. ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 Ο : Να γράψετε τα κριτήρια ισότητας των τριγώνων. ΘΕΜΑ Ο : Δίνεται η γωνία x OM = ω του σχήματος Μ(x,ψ) y ρ ω x Ο α) Να συμπληρώσετε τις ισότητες ημω =.. συνω =. εφω =. ημω β) Να αποδείξετε ότι εφω =. συνω ΑΣΚΗΣΗ 1 η Β. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1

66 Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 4(x² + x + 1) = 3x² + 1 x 1 β) 5 = x 1 x 1 ΑΣΚΗΣΗ η Να λύσετε τα συστήματα α) x 3y = β) 3x 7y = 1 x + 5y = 7 x y = 4 ΑΣΚΗΣΗ 3 η Δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ έχουν ΑΒ = 4 cm, ΒΓ = 6 cm, ΓΑ =8 cm, ΕΖ =10 cm, ZΔ = 15 cm και ΔΕ = 0cm. α) Να δείξετε ότι είναι όμοια και να βρείτε το λόγο ομοιότητάς τους. β) Να γράψετε τις ίσες γωνίες που προκύπτουν από την ομοιότητα. Δ 15 Α 4 Ζ Β Γ Ε

67 ΘΕΩΡΙΑ Θέμα 1 Να συμπληρωθούν οι παρακάτω ταυτότητες : (α + β) = (α - β) = (α + β) 3 = (α - β) 3 = (α + β) (α - β) = ΘΕΜΑΤΑ και να αποδειχθεί η πρώτη και η τελευταία ταυτότητα Θέμα Να γραφτούν τα κριτήρια ισότητας τριγώνων ΑΣΚΗΣΕΙΣ Θέμα 1 Να λύσετε τις εξισώσεις ι) χ + 7χ + 6 = 0 ιι) 9χ + 1χ + 4 = 0 ιιι) χ + χ + 6 = 0 Θέμα Να κάνετε τις πράξεις Α= x 49 x + 6. x 36 x + 7 χ + ψ Β= ω 16 : χ ψ ω + 4 Θέμα 3 Να λυθεί το σύστημα των εξισώσεων 3χ + ψ = -1 5χ + 4ψ = 1

68 Περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α.ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1. α) Να συμπληρωθούν οι ισότητες: ( ( ( a β) =... a β) 3 =... +β) 3 α =... =... a+ β) = α + + β) Να αποδειχθεί η ταυτότητα: ( αβ β ΘΕΜΑ. Να διατυπώσετε: α )Τα κριτήρια ισότητας τυχαίων τριγώνων. β) Τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων. Β. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1. Nα λυθεί το σύστημα: χ+3ψ=1 3χ+ψ=1 ΘΕΜΑ. Να λυθεί η εξίσωση: ΘΕΜΑ 3. x = + 1 x 4 5x 10 + x x + 1 α β Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Στην πλευρά ΑΒ παίρνουμε σημείο Κ και στην πλευρά ΑΓ σημείο Λ ώστε ΑΚ=ΑΛ. Αν Μ είναι το μέσο της βάσης ΒΓ να δείξετε ότι: Δ Δ α) Τα τρίγωνα ΚΒΜ και ΜΛΓ είναι ίσα. ( ΚΒΜ = ΜΛΓ ) Δ β) Το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ισοσκελές. Δ Δ Δ

69 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ- ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1: α)τι ονομάζεται μονώνυμο; β) Τι ονομάζεται συντελεστής και τι κύριο μέρος μονωνύμου; γ)πότε δυο μονώνυμα λέγονται όμοια;(παράδειγμα) ΘΕΩΡΙΑ: Για τη γωνία χομ=ω του παρακάτω σχήματος να αποδείξετε ότι: i) ημ ω + συν ω = 1 M(χ,ψ) ψ ημω ii) εφω = ( συνω 0) ω συνω χ χ Ο ΑΣΚΗΣΗ1:Να λύσετε το παρακάτω σύστημα δυο γραμμικών εξισώσεων: 11χ-ψ=1 χ+ψ=7 ΑΣΚΗΣΗ:α)Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυμα: χ + χ, χ + 4χ + 4 και χ 8 χ 8 χ + χ β)αν A = και B = να βρείτε για ποιες τιμές του χ δεν ορίζεται χ χ + 4χ + 4 η αριθμητική τιμή της παράστασης A B γ)να απλοποιήσετε την παράσταση A B ΑΣΚΗΣΗ3:Στο παρακάτω σχήμα είνα ΔΕ ΒΓ και ΑΔ=3χ+1, ΔΒ=χ-1,ΑΕ=χ+7 και ΕΓ=χ-. Α Να υπολογίσετε το χ. ψ 3χ+1 χ+7 Δ Ε χ-1 χ- Β Γ (ΕΠΙΛΕΓΕΤΕ 1 ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ)

70 ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Γ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1) α) Τι λέγεται ταυτότητα; β) Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά. (α+β) =. (α-β) 3 =.. γ) Να αποδειχθεί η ταυτότητα (α-β) =α -αβ+β ) α) Να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς Μ(χ,ψ) ψ αριθμούς της τυχαίας γωνίας ω ρ ω από το διπλανό σχήμα. ημω χ χ β)να αποδείξετε ότι εφω= συνω ψ 1) Να λυθεί το σύστημα Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 3(χ+1)-(ψ-1)=1 x + ψ + 1 = 3 3 ) Να λυθεί η κλασματική εξίσωση x x = x 1 1 x 3) Να γίνουν οι πράξεις και να απλοποιηθεί η παράσταση x 4 x Α= x 9 x x 3x (Από τις δύο θεωρίες να κάνετε τη μία και από τις τρεις ασκήσεις τις δύο )