34457 Informacijske mreže
|
|
- Εκάτη Κομνηνός
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 predavaje: Osovo o redovima čekaja Prof.dr.sc. Mlade Kos Ak. god /2017.
2 Teme Uvodi primjeri Uvod u Teoriju redova čekaja Littleov teorem Dokaz i ituitivo objašjeje Primjeri Dodatak Pregled Teorije vjerojatosti Poissoov proces 2
3 Uzroci mrežog kašjeja Kašjeje u obradi (Processig Delay) Pretpostavljamo da brzia obrade ije ograičeje Kašjeje zbog čekaja (Queueig Delay) Vrijeme čekaja u spremiku prije odašiljaja (prijeosa) Prijeoso kašjeje (Trasmissio Delay) Propagacijsko kašjeje (Propagatio Delay) Vrijeme provedeo a liku prijeos sigala Neoviso od iformacija preošeih likom Fokus: čekaje i prijeoso kašjeje 3
4 Primjer 1: komutacija/usmjeritelj komutacija m m ulazi spremici izlazi spremici Liijske brzie ulaza/izlaza (I/O portovi) Veličia (broj ulaza/izlaza) Kašjeje uz određeu propusost Vrijeme prospajaja... 4
5 Primjer 2: prijeosi lik Ukupo kašjeje = TRANS + PROP + QD + PROC TRANS = (veličia paketa)/(brzia prijeosa) PROP = (duljia prijeosog medija)/(brzia prostiraja sigala kroz prijeosi medij) PROP je između 3,3 i 5 µs/km QD = kašjeje (queueig delay) u pr. komutacijskom čvoru PROC = trajaje obrade u pr. komutacijskom čvoru Pretpostavka: PROC 0 5
6 Primjer 3: golub vs. ATM Golub pismooša osi USB stick kapaciteta 64 GB pu podataka. Može letjeti sredjom brziom 36 km/h. Do koje je udaljeosti prijeos iformacija golubom brži od ATM liije brzie 155 Mbit/s. (Napomea: kod račuaja uzmite, radi jedostavosti, da je 1 GB = 10 9 B; kod memorija je iače toča vrijedost 1GB = 2 10 MB = 2 20 KB = 2 30 B. Dakle, koristite uobičajeu aproksimaciju: ). Kapacitet sticka: 64 GB = 512 Gbit. Brzia goluba: 36 km/h = 10 m/s = km/s. Vrijeme u kojem golub preleti udaljeost od x kilometara: x/( ) = 100xsekudi. 512 Gbit/(100x) = 5120/x[Mbit/s] fl5120/x 155 [Mbit/s] fl x km, tj. golub je brži od ATM liije do udaljeosti od 33 km! 6
7 Osovi model posluživaja Spremik Poslužitelj(i) Dolasci Odlasci Red čekaja Posluživaje Sustav posluživaja (queueig systems): korisici (customers) dolaze u slučajim vremeskim treucima suklado dolazom procesu (arrival process) u poslužiteljski sustav a posluživaje. Ako su svi poslužitelji zauzeti pridošli korisik stae u red(rep) čekaja te se kasije poslužuje suklado defiiraoj disciplii posluživaja. Nako završeog posluživaja korisik apušta sustav. Poslužiteljski sustav može imati više od jedog poslužitelja (servera). Pretpostavljamo da poslužitelj može u ekom treutku posluživati samo jedog korisika. 7
8 O termiologiji U teoriji redova čekaja (teoriji posluživaja) uobičajeo se koriste geerički pojmovi: korisici i poslužitelji. U razičitim primjeama oi imaju različita začeja. Na primjer: Paketska mreža: Korisici: paketi (ili okviri, ćelije,...) koji dolaze a komutacijski čvor Poslužitelji: prijeosi kaali Telefoska mreža: Korisici: pozivi Poslužitelji: telefoske cetrale (komutacija kaala) Procesiraje (raspored obrada): Korisici: obrade, trasakcije,... Poslužitelji: račuali resursi (CPU, I/O jediice,...) Egleska termiologija: queue, waitig lie, queueig theory, customer, server, service facility, arrival process,... 8
9 Modeliraje sustava posluživaja Sustav posluživaja je diamički sustav. Kako aalitički opisati diamičko poašaje takvog sustava? Kako formulirati matematički model koji opisuje tu diamiku? Koji parametri u potpuosti opisuju sustav posluživaja? Koje sustave posluživaja je moguće efikaso aalitički rješiti? Samo mali broj realih problema moguće je egzakto rješti primjeom ove teorije. U osovi se sustav posluživaja sastoji od tri glave kompoete: Dolazi proces (ulazi proces) Struktura sustava Proces posluživaja (izlazi proces) 9
10 Dolazi proces(1) Veličia dolaze populacije: Beskoača:broj mogućih korisika iz vajskog izvora je vrlo velik u usporedbi s brojem korisika u sustavu pa a brziu dolazaka e utječe veličia populacije Aaliza je zato lakša kod beskoače populacije i često vodi do jedostavih rješeja Koača:zato složeija jer a ulazi proces utječe broj korisika već prisutih u sustavu Primjeri za beskoaču populaciju su telefoski pretplatici, rezervacija avioskih karata itd. U biti su to koače populacije ali vrlo velike pa ih matematički možemo smatrati beskoačim. Primjer za koaču populaciju su rade staice u lokaloj mreži (LAN) Statistika dolazog procesa: Regulara dolazak: korisici dolaze u pravilim i fiksim itervalima dolasci se mogu opisati jedim brojem (brzia dolazaka) Slučaja dolazak: treba pozavati razdiobu dolazaka; ajčešće se dolazi proces opisuje međudolazim vremeom, tj. vremeom između dva dolaska korisika Poissoov proces: vrlo populara, međudolaza vremea se ravaju po ekspoecijaloj razdiobi, međusobo su eovisa i idetičo raspodjeljea (skračeica: iid - idepedet ad idetically distributed) 10
11 Dolazi proces(2) Razdiobe vjerojatosti koje se ajčešće koriste za opis međudolazih vremea: M: Markovljev ili bezmemorijski (Memoryless), implicira Poissoov proces D: Determiistički, kostata međudolaza vremea E k :Erlagova razdioba s parametrom k(k-tog reda) H k :Hiperekspoecijala razdioba s parametrom k(k-tog reda) G: Općeita (geerala) razdioba (uz pozato očekivaje i varijacu) GI: Općeita i eovisa (geeral, idepedet) razdioba Poašaje korisika: Sustav je blokira: kad adolazeći korisik dođe a ulaz puog sustava (svi poslužitelji zauzeti ili kad je koači spremik pu) o e ulazi u sustav Bulk arivals Balkig 11
12 Primjer Ulaz u(t)/izlaz i(t) 1 ako paket dođe u u( t) = 0 iače 1 ako paket ode u i( t) = 0 iače t t Diamika sustava x(t) broj korisika u sustavu x( t) + 1 za u( t) = 1, i( t) = 0 + x( t ) = x( t) 1 za u( t) = 0, i( t) = 1 x( t) iače u(t) i(t) t t x(t) t
13 Dolazi proces(3) +1 1 τ t t τ : međudolazo vrijeme između korisika i +1 τ je slučaja varijabla (iid: eovisa i idetičo distribuiraa) { τ, 1} je stohastički proces Međudolaza vremea su idetičo distribuiraa i imaju jedaku sredju vrijedost E[ τ ] = E[ τ ] = 1/ λ λ je sredja brzia ili itezitet dolazaka 13
14 Struktura sustava b m Broj poslužitelja m:jeda, više, beskoačo; U ovom kolegiju aaliziramo samo paralele i idetiče poslužitelje Veličia spremika b; Kapacitet sustava: maksimali broj korisika koji se mogu poslužiti u sustavu (uključuje i korisike koji se poslužuju) = b + m Može biti koača ili beskoača 14
15 Procesposluživaja (1) +1 1 s t s : vrijeme (trajaje) posluživaja korisika { s, 1} je stohastički proces Vremea posluživaja su eovisa i idetičo distribuiraa (iid) i imaju sredju vrijedost E[ s] = E[ s ] = 1/ µ µ je brzia posluživaja 15
16 Procesposluživaja (2) Disciplia čekaja ili posluživaja: ači a koji se korisici odabiru iz reda čekaja za posluživaje Najčešće disciplie: FCFS (First-come-first-serve) ili FIFO (First-i-first-out) LCLS (Last-come-first-serve) ili LIFO (Last-i-first-out) Prioriteti PS (processor sharig) kapacitet se jedako dijeli između korisika u redu Nasumice Najčešće razdiobe vremea posluživaja: M: Markovljevo ili bezmemorijskio (Memoryless); implicira ekspoecijalu razdiobu vremea posluživaja D: Determiističko, kostato vrijeme posluživaja E k :Erlagova razdioba s parametrom k(k-tog reda) G: Općeita (geerala) razdioba vremea posluživaja 16
17 Slučaje varijable (1) Važije ozake: N (t) ili N t broj korisika u sustavu u treutku t N Q (t) broj korisika u redu čekaja u treutku t N S (t) broj korisika a posluživaju u treutku t N sredji broj korisika u sustavu N Q sredji broj korisika u redu čekaja N S sredji broj korisika a posluživaju T() ili T vrijeme boravka korisika u sustavu W() ili W vrijeme koje korisik provede u redu čekaja T sredje vrijeme boravka korisika u sustavu (ukupo kašjeje) W sredje vrijeme čekaja korisika u redu čekaja p (t), P (t) vjerojatost da je korisika u sustavu u treutku t p, P stacioara vjerojatost da je korisika u sustavu P{T > t} vjerojatost da će korisik provesti više od tvremeskih jediica u sustavu P{W > t} vjerojatost da će korisik provesti više od tvremeskih jediica u redu čekaja 17
18 Slučaje varijable (2) Lako je uočiti da vrijedi: N (t) = N Q (t) + N S (t) i N = N Q + N S T() = W() + s() i T = W + E[s()] Ako je izučavai sustav ergodiča (kasije će biti objašjeo) i alazi se u stacioarom staju tada vrijedi: [ ] N = lim N( t) = lim E N t NQ = lim NQ ( t) = lim E NQ ( t) t [ ] N = lim N ( t) = lim E N ( t) [ ] T = lim T ( ) = lim E T ( ) [ ] W = lim W ( ) = lim E W ( ) [ ] s = lim s( ) = lim E s( ) P = lim P ( t) t t S S S t t t t 18
19 Kedallova otacija A/S/m/c/K/DP A: dolazi proces(razdioba međudolazih vremea) S: razdiobu vremea posluživaja m: broj paralelih poslužitelja c: jekapacitet sustava (max broj korisika u sustavu, bilo da su u spremiku ili a posluživaju) K: veličia korisičke populacije DP: disciplia posluživaja Često se koriste samo prva tri parametra za opis sustava. U tom slučaju zadja tri parametra su c =, K = i DP = FCFS (FIFO) M/D/5/40/200/FCFS: ekspoecijala razdioba međudolazih vremea, determiističko vrijeme posluživaja, pet poslužitelja, koači kapacitet (35 mjesta za čekaje u spremiku), ukupa populacija od 200 korisika i posluživaje po redosljedu dolazaka M/M/1: ekspoecijala razdioba međudolazih vremea, ekspoecijala razdioba vremea posluživaja, jeda poslužitelja, beskoači spremik, beskoača populacija korisika i posluživaje po redosljedu dolazaka 19
20 Littleovteorem λ N λ: sredja brzia dolazaka korisika N: sredji broj korisika u sustavu T: sredje kašjeje (sredji boravak) korisika u sustavu Littleov teorem: za sustav u stacioarom staju vrijedi: N T = λt 20
21 Proces brojeja α(t) N(t) β(t) N(t): broj korisika u sustavu u treutku t α(t): broj dolazaka do treutka t β(t): broj odlazaka do treutka t T i : vrijeme boravka i-tog korisika u sustavu t 21
22 Vremeski prosjeci Postoje dva ačia izračuavaja prosječe (sredje) vrijedosti stohastičkog procesa uutar ekog vremeskog itervala: vremeski prosjek i stohastički prosjek Vremeski prosjek u itervalu [0, t] su stacioari vremeski prosjeci: 1 t Nt = N( s) ds N lim Nt t = 0 t a( t) λt = λ = limλt t t a( t) 1 T = T T = limt t i t a( t) t i= 1 β ( t) δt = δ = limδt t t Stohastiči prosjek (ili prosjek asambla): očekivaa vrijedost stohastičkog procesa X(t)u treutku Todosi se a prosjek različitih realizacija (trajektorija) procesa X(t) u treutku T: E[ X ( T )] = P{ X ( T ) = } = 0 Ako je vremeski prosjek jedak stohastičkom prosjeku tada se stohastički proces ergodiča. 22
23 DokazLittleovogteorema zafcfs Pretpostavke: Početo je sustav praza: N(0) = 0 N(t)= α(t) β (t): ukupa broj korisika u sustavu u treutku t Korisici se poslužuju u redosljedu dolazaka (FCFS) Tijekom dužeg vremesko itervala: dolasci = odlascima (iače sustav ije stabila) t i treutak dolaska korisika i T i trajaje posluživaja korisika i Osječao područje: t 0 0 [ ] β ( i) α ( i) i t i= 1 i= β ( t ) + 1 t 0 t t β ( t ) α ( t ) S( t) = N( τ ) dτ = α( τ ) β ( τ ) dτ = T 1 + ( t t ) 1 1 α( t) N( τ ) dτ = N = λ T t t t t T + ( t ti ) α( ) i i= 1 i= β ( t ) + 1 Stohastička varijata Littleove formule za ergodičke sustave: N = λt i 23
24 DokazLittleovogteorema zafcfs i α(t) N(t) β(t) T i FCFS sustav, N(0) = 0 α(t) i β(t): izlomljee crte N(t)= α(t) β(t) Osječao područje: = t S( t) N( τ ) dτ 0 T 1 T 2 t p t Pretpostavka: N(t) = 0 ispuje beskoačo često. Za eki t vrijedi: α ( t ) α ( t) t 1 t α ( t) T 1 i N( τ ) dτ = T ( ) 0 i N d 0 t ttt i 1 t τ τ = N = λ = t α( t) Ako postoje limiti N t N, T t T,λ t λ, oda vrijedi Littleova formula Ukloimo pretpostavku da će sustav tijekom proizvoljog vremea beskoačo često biti praza (N(t) = 0,pr. u t = t p ) 24
25 DokazLittleovogteorema(ast.) α(t) i N(t) β(t) T i T 1 T 2 Općeito(čak ako ije beskoačo često praza): β ( t ) α ( t ) β ( t) T 1 t ( ) 1 i α t 1 T N ( s) ds T N ( s) ds t ( t) t t α( t) β ( t) t α ( t) i i 0 0 i= 1 i= 1 β δttt Nt λttt Resultat slijedi iz pretpostavke da postoje limiti T t T, λ t λiδ t δ, te da jeλ= δ T i 25
26 Opća primjea Littleovogteorema Aaliza velikih sustava (mreža redova čekaja): dekompozicija a podsustave Podsustav (Blok 1): N blok1 = N komut + N B = λτ komut + λ Β T B T blok1 = T komut + T B Sustav (Blok 2): N = λt 26
27 Iskoristivost i itezitet prometa (1) Iskoristivost ρ(faktor iskoristivosti, iskoristivost resursa): Vrijeme zauzetosti poslužitelja Iskoristivost ρ= Raspoloživo vrijeme Ako je c(c 1)broj poslužitelja a Nbroj korisika u sustavu uutar vremeskog itervala (t, t + T),tada svaki poslužitelj poslužuje prosječo (λt)/c korisika. Ako je prosječo trajaje posluživaja τ = 1/µtada imamo: λt 1 c µ λ ρ = = T cµ ρ treba biti maji od 1 (bezdimezioali). Itezitet prometa ilipouđei promet aje u uskoj vezi s iskoristivosti i predstavlja mjeru ukupog dolazog prometa u sustav: a = λτ = λ / µ aje bezdimezioala veličia, ali se često koristi jediica erlag (erl) u čast A.K. Erlaga. Vidimo da je a = cρ. Kad je c = 1 a = ρ. 27
28 Iskoristivost i itezitet prometa (2) Primjer: fizikalo se jediica 1 erl može iterpretirati a sljedeći ači. Jeda erlag prometa ekvivaleta je jedom korisiku koji koristi jeda resurs 100% vremea, ili alterativo 10 korisika od kojih svaki zauzima resurs 10% vremea. a >1: idikacija da korisici dolaze brže od brzie posluživaja (λ > µ); itezitet prometa je dobra mjera za miimali broj poslužitelja potrebih da bi sustav bio stabila. Npr. itezitet prometa od 2.5 erl pokazuje da je potrebo barem 3 poslužitelja. Zako očuvaja toka za stabili sustav je aaloga Kirchhoffovom zakou. U dovoljo dugom vremeskom itervalu vrijedi λ ul = λ izl. Ako je λ ul > λ izl korisici estaju i sustav će evetualo postati estabila, a ako je λ ul < λ izl korisice se stvaraju uutar sustava. Zako očuvaja toka se koristi kod izračuavaja propusosti sustava, kod određivaja prometih jedadžbi za pojedii red u mreži redova čekaja itd. 28
29 Iskoristivost i itezitet prometa (3) Primjer: Na komuikacijski kaal brzie 96 kbit/s dolaze dva različita toka paketa. Tok A sastoji se od paketa fikse duljie 48 bit, a tok B od paketa čija se duljia rava po ekspoecijaloj razdiobi sa sredjom duljiom 480 bit. Ako prosječo imamo 20% pakete iz toka A i 80% paketa iz toka B potrebo je izračuati iskoristivost kaala pretpostavljajući da je kombiiraa brzia dolazaka 15 paket/s. Sredje vrijeme prijeosa = ( )/96000 = s Primjer: Kuća telefoska cetrala (PBX) dimezioiraa je za promet koji geerira 300 zaposleika. Svaki zaposleik obavi prosječo 1.5 poziv tijekom jedog sata uz prosječo trajaje poziva 2.5 miute. Koliki je pouđei promet za tu PBX? Pouđei promet = Brzia dolazaka Vrijeme posluživaja = 300 (korisik) 1.5 (poziv/korisik sat) 2.5 (mi/poziv)/60 (mi/sat) = erl 29
30 Stohastički obliklittleovogteorema Do sada smo razmatrali jedu fukciju koja opisuje stohastički proces Sada se fokusiramo a vjerojatosti različitih (asambla) fukcija stohastičkog procesa Vjerojatost da je korisika u sustavu u treutku t p ( ) { ( ) } t = P N t = Očekivai broj korisika u sustavu u treutku tje stohastički prosjek (ili prosjek asambla) E[ N( t)] = P{ N( t) = } = p ( t) = 0 = 0 30
31 Stohastički oblik (ast.) p (t), E[N(t)]ovise o ti početoj razdiobi u t = 0 Razmatramo sustav koji kovergira u stacioaro staje Postoji p (eoviso od počete razdiobe) za koji vrijedi lim p ( t) = p, = 0,1,... t Očekivai broj korisika u stacioarom staju (stohastički prosjek) N = p = lim E[ N( t)] = 0 t Zaergodičkiprocesvremeski prosjek uzorka fukcija jedak je stacioarom prosjeku s vjerojatosti 1 N = lim N = lim E[ N( t)] = N t t t 31
32 Stohastički oblik (ast.) Možemo odrediti razdiobu kašjeja T i korisika i, te zatim prosječo kašjeje E[T i ]koje kovergira u stacioarom staju u vrijedost T = lim E[ T ] i i Za ergodički sustav vrijedi 1 i T = lim = lim E[ Ti ] = T i i i Stohastički oblik Littleove formule: N = λ T Brzia dolazaka defiiraa je kao E[ α( t)] λ = lim t t T 32
33 Vremeskivs. stohastičkiprosjeci Vremeski prosjeci= Stohastičkiprosjeci za sve sustave izučavae u ovom kolegiju(ergodičost) To je ispujeo ako jeda fukcija uzorka stohastičkog procesa sadrži sve moguće realizacije procesa za t Opravdaje: a temelju općih svojstava Markovljevih laaca 33
34 Littleov teorem: primjer 1. N s (t) je broj posluživaih korisika u t, a τ trajaje posluživaja. Prema Littleovom teoremu je E[N s ]= λe[τ]; E[N s ]je sredji broj zauzetih poslužitelja kad je sustav u stacioarom staju. Za sustav s jedim poslužiteljem: N s (t)može biti 0 ili 1, pa E[N s ]predstavlja dio vremea zauzeća poslužitelja. Ako s p 0 = P[N(t) = 0]ozačimo stacioaru vjerojatost da je sustav praza, tada vrijedi 1 p0 = E[ Ns ] = λe[ τ ] p0 = 1 λe[ τ ] 1 - p 0 je udio zauzeća poslužitelja. Zato je iskoristivost sustava s jedim poslužiteljem: ρ = λe[ τ ] Sličo je iskoristivost sustava s m poslužitelja λe[ τ ] ρ = m 34
35 Littleov teorem: primjer 2. Zadaa je mreža prijeosih liija. Paketi dolaze a različitih čvorova brziama λ 1,, λ. Ako je Nsredji ukupi broj paketa u mreži tada, bez obzira a razdiobu duljia paketa i metodu jihovog usmjeravaja, sredje kašjeje paketa izosi: T N = i = 1 Prema Littleovom teoremu je N i = T i λ i, gdje je N i prosječi broj a T i prosječo kašjeje paketa koji dolaze u čvor i. λ i 35
36 Littleov teorem: primjer 3. Paketi dolaze a prijeosu liiju svakih Ksekudi. Prvi paket dođe u treutku 0. Svi paketi su jedako dugački a jihov prijeos traje αk(α< 1) sekudi. Propagacijsko + procesorsko kašjeje je P sekudi po paketu. Brzia dolazaka je λ =1/K. Paketi dolaze regularo fl ema kašjeja zbog čekaja flvrijeme Tkoje paket provede u sustavu (uključuje kašjeje P) je T = αk + P. Prema Littleovom teoremu je N = λt = α + P/K. Ovdje je N(t)determiistička fukcija vremea. Za slučaj K < αk + P < 2K(skicirajte N(t) oviso od t): N(t) e kovergira ekoj vrijedosti (sustav ikad ije u stacioaroj ravoteži). Littleov teorem je ispuje kad se N tretira kao vremeski prosjek. 36
37 Littleov teorem: primjer 4. Kotrola toka pomoću prozora (widow flow cotrol): W je veličia prozora u svakoj sesiji, a λje brzia paketa u svakoj sesiji. Prema Littleovom teoremu prosječo kašjeje paketa u svakoj sesiji mora zadovoljiti W λt. Kad mreža ulazi u zagušeje Traste, pa se λevetualo mora smajiti. Ako je mreža zagušea i sposoba preositi u svakoj sesiji λpaketa u jediici vremea, tada je λt(uz pretpostavku da je kašjeje potvrda (ack paketa) zaemarivo u odosu a samo kašjeje isporuke paketa). Sada povećaje veličie prozora Wu svakoj sesiji uglavom povećava kašjeje T bez osjetije promjee λ. 37
38 Littleov teorem: primjer 5. Razmotrimo poslužiteljski sustav s Mposlužitelja i spremikom za ajviše N Mpaketa (u spremiku ili u posluživaju). Sustav je uvijek pu: pretpostavljamo da je u jemu Npaketa, te da je svaki odlazak paketa odmah zamijeje ovim paketom (tzv. zatvorei sustav posluživaja). Pretpostavimo da je prosječo trajaje obrade paketa T p. Želimo odrediti prosječo vrijeme Tboravka paketa u sustavu. Primijeimo Littleov teorem dva puta; prvo a cijeli sustav: N = λt, a zatim a poslužiteljski dio: M = λt p (svi poslužitelji su stalo zauzeti!). Dobivamo: T = N T p /M. Pogledajmo sada isti sustav ali s drugom discipliom posluživaja: paketi dolaze istom brziom λali su blokirai (i izgubljei) kad dođu a pui sustav. Broj zauzetih poslužitelja može biti maji od M: eka je Msredji broj zauzetih poslužitelja, a βudio paketa blokiraih a ulasku u sustav. Primijeimo Littleov teorem a poslužiteljski dio sustava: M = (1 β ) λtp β = 1 M / λtp. Budući da je M M doja graica vjerojatosti blokiraja je: β 1 M λt p 38
39 Dodatak Ekspoecijala razdioba Markovljevo svojstvo Poissoova razdioba Poissoov proces Defiicija i svojstva Razdioba međudolazih vremea Modeliraje procesa dolazaka i posluživaje Trasformacije Predzaje a razii kolegija Vjerojatost i statistika 39
40 Ekspoecijala razdioba N. Elezović (2007), poglavlje 6. Kotiuiraa slučaja varijabla (s.v.) Xopisuje ekspoecijalurazdiobu sparametrom µako je jea fukcija gustoće (vjerojatosti) ili gustoća razdiobe (vjerojatosti) : f X ( x) = x µ e µ za x 0 0 za x < 0 Fukcija razdiobe: µ x 1 e za x 0 FX ( x) = P{ X x} = 0 za x < 0 40
41 Ekspoecijalarazdioba(ast.) Očekivaje i varijaca (disperzija): Dokaz: 1 1 E[ X ] =, Var( X ) = 2 µ µ µ x E[ X ] = x f ( x) dx = xµ e dx = X 0 0 µ x µ x 1 = xe 0 + e dx = 0 µ 2 2 µ x 2 µ x µ x 2 2 E[ X ] = x µ e dx = x e xe dx = E[ X ] = 0 2 µ µ Var( X ) E[ X ] ( E[ X ]) µ µ µ 2 2 = = =
42 Markovljevo svojstvo Prošlost ema utjecaja a budućost(odsustvo pamćeja) Dokaz: P{ X > x + t X > t} = P{ X > x} P{ X > x + t, X > t} P{ X > x + t} P{ X > x + t X > t} = = P{ X > t} P{ X > t} µ ( x+ t ) e µ x = = e = P{ X > x} µ t e Ekspoecijala razdioba: jediakotiuiraa razdioba sa svojstvom odsustva pamćeja 42
43 Poissoova razdioba N. Elezović (2007), poglavlje 4. Diskreta s.v. X opisuje Poissoovu razdiobu s parametrom λ ako ima fukciju vjerojatosti: k λ λ P{ X = k} = e, k = 0,1,2,... k! Široko se primjejuje kod modeliraja brojih slučajih događaja koji se javljaju tijekom zadaog vremeskog itervala Poissoov proces: Broj dolazak korisika tijekom daa u pr. poštu, baku, Modeliraje telefoskog prometa, cetrala, paketa koji dolaze u mreže čvorove, 43
44 Poissoova razdioba(ast.) Prosjek i varijaca: Dokaz: E[ X ] = λ, Var( X ) = λ k k λ λ λ λ E[ X ] = kp{ X = k} = e k = e k! ( k 1)! k= 0 k= 0 k= 0 j λ λ λ λ = e λ = e λe = λ j! j= 0 k λ λ k! ( k 1)! k 2 2 λ 2 λ E[ X ] = k P{ X = k} = e k = e k k= 0 k= 0 k= 0 λ λ λ = e ( j + 1) = je + e = + j! j! j! j j j λ λ λ 2 λ λ λ λ λ Var( X ) E[ X ] ( E[ X ]) j= 0 j= 0 j= = = λ + λ λ = λ 44
45 ZbrojPoissoovihslučajihvarijabli X i, i = 1, 2,,,su ezavise s.v. X i se rava popoissoovoj razdiobi s parametrom λ i Parcijala suma je defiiraa kao: S = X1 + X X S se rava popoissoovoj razdiobi s parametrom λ λ = λ1 + λ λ 45
46 ZbrojPoissoovihvarijabli (ast.) Dokaz: Za = 2. Poopćeje idukcijom. Diskreta s.v. S = X 1 + X 2 : m { = } = { 1 =, 2 = } P S m P X k X m k k = 0 m m k m k λ λ = P X = k P X = m k = e e k! ( m k)! 1 λ1 2 λ2 { 1 } { 2 } k = 0 k = 0 λ λ = = 1 m! m k m k m 1 λ1 2 λ2 ( λ1 + λ2 ) k m k e e e λ1 λ2 k = 0 k! ( m k)! m! k = 0 k!( m k)! ( λ + λ ) m! m 1 2 ( λ1 + λ2 ) = e + Poisso s parametrom λ λ
47 UzorkovajePoissoovevarijable Xse rava popoissoovoj razdiobi sparametrom λ Svaki oddolazaka tipa ijavlja se s vjerojatosti p i (i = 1, 2,, )ezaviso jeda od drugog; p 1 + p p = 1 X i ozačava s.v. za broj dolazaka tipa i X 1, X 2,, X su ezavisi događaji (ezavise s.v.) X i se rava popoissoovoj razdiobi sparametrom λ i = λp i 47
48 UzorkovajePoissoa (ast.) Dokaz: Za = 2. Poopćeje idukcijom. { 1 = 1, 2 = 2} = { 1 = 1, 2 = 2 = 1 + 2} { = 1 + 2} P X k X k P X k X k X k k P X k k k1 + k2 k1 + k2 k1 k2 λ λ = p1 p2 e k1 ( k1 + k2) 1 = ( λ p ) ( λ p ) e k! k! 1 2 k1 k2 λ ( p1 + p2 ) 1 2 k λ p ( λ p 1 1) λ p ( λ p 2 2) = e e k! k! = P{ X = k } P{ X = k } X 1 i X 2 su ezavisi događaji (ezavise s.v.) k X i se rava popoissoovoj razdiobi sparametrom λp i 48
49 Aproksimacija: Bioma Poissoova Bioma razdioba s parametrima (, p) k P{ X = k} = p (1 p) k k Kad i p 0, uz p=λ bioma razdioba se približava Poissoovoj s parametrom λ Dokaz: k P{ X = k} = p (1 p) k ( k + 1)...( 1) λ λ = 1 k! ( k + 1)...( 1) 1 k λ 1 k e λ 1 1 P{ X = k} e λ λ k λ k! k k k 49
50 Poissoovproces N. Elezović (2007), poglavlje 14. {A(t): t 0} proces brojaja A(t)je ukupi broj dolazakaod treutka 0, kad je A(0) = 0, do treutka t A(t)- A(s), broj dolazaka u itervalu (s, t] Brojevi dolazaka u disjuktim itervalima su ezavisi Broj dolazaka u ekom itervalu (t, t+τ ] duljie τ Ovisi samo o jegovoj duljii τ Slijedi Poissoovu razdiobu s parametrom λτ, tj. za τ > 0: ( λτ ) λτ τ P{ A( t + ) A( t) = } = e, = 0,1,...! λτ je sredji broj dolazaka u itervalu τ;λje sredja brzia dolazaka u jediici vremea 50
51 Svojstva Poissoovogprocesa Međudolaza vremea zapoissoovproces su ezavisa i slijede ekspoecijalu razdiobu s parametrom λ t :vrijeme -tog dolaska; τ = t +1 - t : -to međudolazo vrijeme Dokaz: Fukcija λs P{ τ s} = 1 e, s 0 s P{ τ s} = 1 P{ τ > s} = 1 P{ A( t + s) A( t ) = 0} = 1 e λ Nezavisost proizlazi iz ezavisosti broja dolazaka u disjuktim itervalima λτ 2 Gustoća, prosjek, varijaca: p( τ ) = λe, E[ τ ] = 1/ λ, Var( τ ) = 1/ λ 51
52 Svojstva Poissoovogprocesa (ast.) Iterval (t + δ, t]duljie δ P{ A( t + δ ) A( t) = 0} = 1 λδ + ο( δ ) P{ A( t + δ ) A( t) = 1} = λδ + ο( δ ) P{ A( t + δ ) A( t) 2} = ο( δ ) Dokaz: 2 λδ ( λδ ) P{ A( t + δ ) A( t) = 0} = e = 1 λδ + + = 1 λδ + ο( δ ) 2 2 λδ ( λδ ) P{ A( t + δ ) A( t) = 1} = e λδ = λδ 1 λδ + + = λδ + ο( δ ) 2 P{ A( t + δ ) A( t) 2} = 1 P{ A( t + δ ) A( t) = k} 1 k = 0 = 1 (1 λδ + ο( δ )) ( λδ + ο( δ )) = ο( δ ) 52
53 Stapaje i razdvajaje Poissoovih procesa λ 1 λp λ 1 + λ 2 λ p 1 - p λ 2 λ(1 - p) Superpozicija A 1,, A k ezavisipoissoovi procesibrzia λ 1,, λ k Stapaje u jeda proces A = A A k A je Poissoov proces brzie λ = λ λ k Dekompozicija A: Poissoovproces brzie λ Podjela a ezavise procese A 1 i A 2 uz vjerojatosti pi1 - p A 1 Poissoov proces, λ 1 = λp A 2 Poissoov proces λ 2 = λ(1-p) 53
54 Modeliraje dolazog procesa Poissoovprocesse široko koristikaodobar model dolazaka paketa kod rješavaja brojih mrežih problema Opravdaost: dobar model za stopljei (agregirai) promet velikog broja ezavisih korisika. Primjerice: Imamo prometih tokova s ezavisim idetičim razdiobama (iid) F(s) = P{τ s} s međudolazim vremeima τ ; F(s) ije užo ekspoecijala razdioba Brzia dolaska svakog toka je λ/a stopljeog λ Kad stopljei promet se može dobro aproksimirati Poissoovim procesom uz relativo blage uvjete a F(s) pr. F(0) = 0, F (0) > 0 Najvažiji razlog za uporabu Poissoovog procesa: aalitička rješivost modela sustava posluživaja 54
55 Primjer Paketska radio mreža pure Aloha razvijea a Uiversity of Hawaii omogućava komuikaciju između cetralog račuala i razih podatkovih termiala (čvorovi). Kad eki čvor ima paket za slaje o ga eposredo odašilje (kaal je zrak). Ako se odaslai paket sudari s drugim paketima pripadi čvor poovo šalje taj paket ako slučajog kašjeja τ. Izračuajte propusost takvog sustava. Radi jedostavosti pretpostavimo: Prijeoso vrijeme paketa je jediičo (jeda vremeska jediica). Broj čvorova je veliki tako da se ukupa dolaza brzia paketa od svih čvorova rava po Poissoovoj razdiobi s parametrom λ. Slučajo kašjeje τ se rava po ekspoecijaloj razdiobi s fukcijom gustoće βe βτ gdje je βbrzia (itezitet) pokušaja poovog slaja (retrasmisije) paketa. Uz te pretpostavke, ako postoji čvorova koji čekaju a retrasmisiju svojih paketa, ukupa dolaza brzia paketa a kaal rava se po Poissoovoj razdiobi s brziom (λ + β) a propusost S = (λ + β)p[uspješa prijeos] = (λ + β)p usp. Sudara e će biti ako samo jeda paket dođe uutar dviju vremeskih jediica. P usp = e 2( λ + β ) S = ( λ + β ) = e 2( λ + β ) 55
56 Trasformacije Omogućavaju uspješo rješavaje brojih problema. Temelje se a Fourierovoj i Laplaceovoj trasformaciji te vrijede svi jihovi zakoi U teoriji vjerojatosti često se koriste: Karakterističa fukcija: to je u biti Fourierova trasformacija (tradicioali oblik dobije se ako se uzamjei s u) Fukcija izvodica momeata: pozata i kao fukcija geeratrisa momeata i fukcija geeriraja momeata. Ove su fukcije u vezi: f X (u) = M X (ju), M X (u) = f X (-ju) Lakše je raditi s karakterističim fukcijama (e postavlja se pitaje kovergecije), a iverzija se može aći a osovu pravila koja vrijede za Fourierovu trasformaciju. Jedia predost fukcija izvodica momeata: to su reale fukcije. 56
57 Trasformacije (ast.) U teoriji posluživaja običo se koriste trasformacije defiirae ad eegativim varijablama: Laplaceova trasformacija: za gustoće vjerojatosti kotiuiraih s.v. Koristi se jedostraa Laplaceova trasformacija i to u uobičajeom obliku. Iače je jedaka fukciji izvodici momeata (ako se e v zamjei sa e -s ) z-trasformacija: za diskrete vjerojatosti. Često se zove fukcija izvodica (vjerojatosti), fukcija geeriraja vjerojatosti, fukcija geeratrisa momeata, geometrijska trasformacija. 57
58 Karakterističa fukcija Defiicija: za eki u R, j = 1: jux φx ( u) E[ e ] = k jux e f ( x) dx, X X juxk e P{ X = x }, X Fukcija razdiobe slučaje varijable Xjedozačo je određea jeom karakterističom fukcijom f X (u) Osova svojstva: φ d jux d X (0) = 1, X ( u) j E[ X e ], X (0) j E[ X ] ds φ = ds φ = Ako su Xi Yezavise s.v. fl f X+Y (u) = f X (u) f Y (u). Ako je Y = ax + b fl f Y (u) = e bu f X (au) k je kotiuiraa je diskreta 58
59 Fukcija izvodica momeata v R Defiicija: za eki : vx M X ( v) E[ e ] = k vx e f ( x) dx, X X vxk e P{ X = x }, X Fukcija razdiobe slučaje varijable Xjedozačo je određea jeom trasformacijom M X (v)ako oa egzistira i ako je koača u ekom okolišu v = 0. Osova svojstva: d vx d M X (0) = 1, M X ( v) = E[ X e ], M X (0) = E[ X ] dv dv Ako su Xi Yezavise s.v. fl M X+Y (v) = M X (v) M Y (v). Obruto e vrijedi. Ako je Y = ax + b fl M Y (v) = e bv M X (av) k je kotiuiraa je diskreta 59
60 Laplaceova trasformacija gustoće Defiicija: za eku pozitivu kotiuirau s.v. X: = sx sx F ( s) E[ e ] e f ( x) dx Trasformacija M X (v)je u osovi dvostraa Laplaceova trasformacija fukcije gustoće vjerojatosti. Jedia je razlika s obzirom a uobičajeu formulaciju u predzaku ekspoeta: treba zamijeiti e v e -s. U teoriji posluživaja veličie poput kašjeja, vremea čekaja,, isu egative fljedostraa Laplaceova trasformacija. Doja graica itegracije zapravo je 0 -. Osova svojstva: d sx d F (0) = 1, F ( s) = E[( X ) e ], ( 1) F (0) = E[ X ] ds ds 0 X 60
61 z-trasformacija Defiicija: za diskretu slučaju varijablu Xkoja uzima cjelobroje eegative vrijedosti iz skupa {0, 1, 2, } s vjerojatostima p k = P[X = x k ], zje kompleksa varijabla: Ako u trasformaciji M X (v)zamijeimo e v zdobivamo z- trasformaciju. Sličo:f X (u) = G X (e ju ) Osova svojstva: ( ) [ X k G z E z ] z p X = k 1 d d GX (0) = p0, GX (1) = 1, GX (0) = pk, GX (1) = E[ X ] k k! dz dz 2 d ' " ' 2 (1) [ ( 1)], Var[ ] (1) (1) [ (1)] 2 G X = E X X X = G X + G X G X dz k= 0 k 61
62 Trasformacije -poovo Skraćeo pisaje derivacija: pr. -tu derivaciju pišemo kraće: ( d φ ) X (0) φx (0) ds Tri fukcije f X (u), M X (v)i F*(s)su međusobo u uskoj vezi. Npr. φ ( js) = M ( s) = F ( s) X -ti momet od Xmože se izračuati pomoću jedog od izraza: E X j M F X ( ) ( ) ( ) [ ] = φx (0) = X (0) = ( 1) (0) 62
63 Trasformacije primjer Zadaa je kotiuiraa s.v. Xs ekspoecijalom gustoćom i parametrom l(sve ovo kraće pišemo: X ~ Exp(l)): x λe λ za x 0 f X ( x) = 0 za x < 0 Izračuavamo λ λ λ φx ( u) =, M X ( v) =, F ( s) = λ ju λ v λ + s Momete možemo odrediti pomoću bilo kojeg od avedea tri izraza za E[X ]: E[ X ] =, E[ X ] = 2 λ λ 63
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραCentralni granični teorem i zakoni velikih brojeva
Poglavlje 8 Cetrali graiči teorem i zakoi velikih brojeva 8.1 Cetrali graiči teorem Lema 8.1 Za 1/ x 1 vrijedi Dokaz: Stavimo log1 + x x x. fx := log1 + x x, x [ 1/, 1]. Očito f0 = 0. Nadalje, po teoremu
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραProcjena parametara. Zadatak 4.1 Neka je X 1, X 2,..., X n slučajni uzorak iz populacije s konačnim očekivanjem µ i varijancom σ 2.
4 Procjea parametara Neka je X slučaja varijabla čiju distribuciju proučavamo. Defiicija: Slučaji uzorak duljie za X je iz od ezavisih i jedako distribuiraih slučajih varijabli X 1, X,..., X koje imaju
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )
Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija
Διαβάστε περισσότεραNiz i podniz. Definicija Svaku funkciju a : N S zovemo niz u S. Za n N pišemo a(n) = a n i nazivamo n-tim članom niza.
2. NIZOVI 1 / 78 Niz i podiz 2 / 78 Niz i podiz Defiicija Svaku fukciju a : N S zovemo iz u S. Za N pišemo a() = a i azivamo -tim člaom iza. Ozaka za iz je (a ) N ili (a ) ili samo (a ). Kodomea iza može
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραII. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA
II. NLITIČK GEMETRIJ RSTR I. I (Točka. Ravia.) d. sc. Mia Rodić Lipaović 9./. Točka u postou ( ; i, j, k ) Kateijev pavokuti koodiati sustav k i j T T (,, ) oložaj točke u postou je jedoačo odeñe jeim
Διαβάστε περισσότεραElektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 26. jun Katedra za Računarsku tehniku i informatiku
Elektrotehički fakultet uiverziteta u Beogradu 6. ju 008. Katedra za Račuarku tehiku i iformatiku Performae račuarkih itema Rešeja zadataka..videti predavaja.. Kretaje Verovatoća Opi 4 4 Kretaje u itom
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραGranične vrednosti realnih nizova
Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se
Διαβάστε περισσότεραODRŽAVANJE POUZDANOST TEHNIČKIH SUSTAVA
Ver. 3.0.09. Predmeti astavik: dr. sc. I. Čala, izv. prof. Obrada: dr. sc. /77 S A D R Ž A J. POUZDANOST. ANALIZA POUZDANOSTI ELEMENATA. Začajke pouzdaosti. Fukcije razdioba u teoriji pouzdaosti.3 Simulacija
Διαβάστε περισσότερα3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1
Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL završni ispit 4. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
1. (ukupo 8 bodova) MJERA I INTEGRAL završi ispit 4. srpja 216. (Kjige, bilježice, dodati papiri i kalkulatori isu dozvoljei!) (a) (2 boda) Defiirajte p za ekspoete p [1, +. (b) (6 bodova) Dokažite da
Διαβάστε περισσότεραOPISNA STATISTIKA GRAFIČKE METODE. Pravila kolokvija PROMJENE RASPOREDA: Dozvoljene formule s weba (M. Grbić) HISTOGRAMI
PROMJENE RASPOREDA: Kolegij SOM (prvi kolokvij) Opća fizika (predavaje) Numerička matematika Stari termi. ožujka -h. ožujka -h. ožujka -h Novi termi. ožujka -h. ožujka -h. travja - Pravila kolokvija Dozvoljee
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIČKA STATISTIKA
MATEMATIČKA STATISTIKA Bilješke s predavaja (prof. dr. sc. Miljeko Huzak akademske godie 04./05. Natipkao i uredio: Kristija Kilassa Kvaterik Ova skripta služi samo kao pomoć u praćeju predavaja iz istoimeog
Διαβάστε περισσότεραGeodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA
Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Teoremi koje ćemo avesti u ovom poglavlju su osovi teoremi koji osiguravaju ispravost primjea diereijalog
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραNizovi. Definicija. Niz je funkcija. a: R. Oznake: (a n ) ili a n } Zadatak 2.1 Napišite prvih nekoliko članova nizova zadanih općim članom:
Nizovi Defiicija Niz je fukcija Ozake: (a ) ili a } a: R Zadatak Napišite prvih ekoliko člaova izova zadaih općim člaom: a = a = ( ) (c) a = Zadatak Odredite opće člaove izova: 3 5 7 9 ; 3 7 5 3 ; (c)
Διαβάστε περισσότεραSadrˇzaj Sadrˇzaj 12 TEORIJA PROCJENA
Sadrˇzaj Sadrˇzaj 2 TEORIJA PROCJENA 3 2. TOČKASTE PROCJENE......................... 5 2.2 REGRESIJSKA ANALIZA........................ 2.3 ML-PROCJENITELJI tko želi zati više................. 5 2.4 Poovimo.................................
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότερα3 Populacija i uzorak
3 Populacija i uzorak 1 3.1 Slučajni uzorak X varijabla/stat. obilježje koje izučavamo Cilj statističke analize na osnovi uzorka izvesti odredene zaključke o (populacijskoj) razdiobi od X 2 Primjer 3.1.
Διαβάστε περισσότεραMETODA SEČICE I REGULA FALSI
METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)
Διαβάστε περισσότεραDefinicija: Beskonačni niz realnih brojeva je funkcija a : N R. Umjesto zapisa a(1), a(2),,a(n), može se koristiti zapis a 1,
Defiicija: Beskoači iz realih brojeva je fukcija a : N R i Umjesto zapisa a(), a(),,a(), može se koristiti zapis a, a,,a, Broj a zove se opći čla iza, a cijeli iz se kratko ozačuje (a ). Niz je : -rastući
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραOsnove teorije uzoraka
Oove teorije uzoraka Oove teorije uzoraka UZORAK: lučaji, reprezetativi dio oovog kupa populacije Uzorci: 1.uzorak:,, 1 1.uzorak:,, i.uzorak:,, i i Razdioba aritmetičke redie uzorka f ( ) f ( ) razdioba
Διαβάστε περισσότεραnepoznati parametar θ jednak broju θ 0, u oznaci H 0 (θ =θ 0 ), je primer proste hipoteze. Ako hipoteza nije prosta, onda je složena.
Testiraje parametarskih hipoteza Pretpostavka (hipoteza) o parametru raspodele se zove parametarska hipoteza. Postupak jeog potvrđivaja ili odbacivaja a osovu podataka iz uzorka je parametarski test. t
Διαβάστε περισσότεραVJEROVATNOĆA-POJAM. Definicija vjerovatnoće Σ = f x f. f f. f x f. f f ... = Σ = Σ. i...
VJEROVATNOĆA-OJAM Defiicija vjerovatoće f f f f f f f m X i i... ) + + + Σ p p p p f f f f f i i i i i i i ) )... ) )... + + + Σ + + Σ + Σ Σ Σ µ µ Aditivo i multiplikativo pravilo. Ako su E i E slučaji
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραMetoda najmanjih kvadrata
Metoda ajmajh kvadrata Moday, May 30, 011 Metoda ajmajh kvadrata (MNK) MNK smo već uvel u proučavaju leare korelacje; gdje smo tražl da suma kvadrata odstupaja ekspermetalh točaka od pravca koj h a ajbolj
Διαβάστε περισσότεραPRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραPROCJENE PARAMETARA POPULACIJE
PROCJENE PARAMETARA POPULACIJE Iferecijala statistika je skup postupaka kojima se a osovi rezultata iz uzorka doose zaključci o populaciji. INFERENCIJALNA STATISTIKA Procjee parametara Testiraje hipoteza
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραPolarizacija. Procesi nastajanja polarizirane svjetlosti: a) refleksija b) raspršenje c) dvolom d) dikroizam
Polarzacja Proces asajaja polarzrae svjelos: a refleksja b raspršeje c dvolom d dkrozam Freselove jedadžbe Svjelos prelaz z opčkog sredsva deksa loma 1 u sredsvo deksa loma, dolaz do: refleksje (prema
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραREALNA FUNKCIJA realnom funkcijom n realnih nezavisno-promjenljivih
REALNA FUNKCIJA Fukciju f čiji je skup vrijedosti V podskup skupa R realih brojeva zovemo realom fukcijom. Ako je, pritom, oblast defiisaosti D eki podskup skupa R uređeih -torki realih brojeva, kažemo
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrijske funkcije
9 1. Trigoometrijske fukcije 1.1. Ako je α + β π,izračuaj 1 + tg α)1 + tg β). 4 1.. Izračuaj zbroj log a tg 1 + log a tg +...+ log a tg 89. 1.3. Izračuaj 40 0 si 0 bez uporabe tablica ili račuala. 1.4.
Διαβάστε περισσότεραIntegral i mjera. Braslav Rabar. 13. lipnja 2007.
Itegral i mjera Braslav Rabar 13. lipja 2007. Def 1 Neka je X skup tada familiju F podskupova od X zovemo σ-algebra a X ako je X uutra te je zatvorea a komplemetiraje i prebrojive uije tada urede par (X,
Διαβάστε περισσότεραTeorem o prostim brojevima
Sveučilište u Rijeci - Odjel za matematiku Preddiplomski sveučiliši studij Matematika Zlatko Durmiš Teorem o prostim brojevima Završi rad Rijeka, 22. Sveučilište u Rijeci - Odjel za matematiku Preddiplomski
Διαβάστε περισσότεραodvodi u okoliš? Rješenje 1. zadatka Zadano: q m =0,5 kg/s p 1 =1 bar =10 5 Pa zrak w 1 = 15 m/s z = z 2 -z 1 =100 m p 2 =7 bar = Pa
.vježba iz Terodiaike rješeja zadataka 1. Zadatak Kopresor usisava 0,5 kg/s zraka tlaka 1 bar i 0 o C, tlači ga i istiskuje u eizolirai tlači cjevovod. Na ulazo presjeku usise cijevi brzia je 15 /s. Izlazi
Διαβάστε περισσότεραINŽENJERSKA MATEMATIKA 1. P r e d a v a n j a z a d e s e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010. godini) G L A V A 5
INŽENJERSKA MATEMATIKA NOTA BENE Dobro zapamti. Imaj a umu. Ne zaboravi. P r e d a v a j a z a d e s e t u s e d m i c u a s t a v e (u akademskoj 9/. godii) G L A V A 5 DIFERENCIJALNI RAČUN REALNIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραIzrada Domaće zadaće 4
Uiverzitet u Sarajevu Elektrotehički fakultet Predmet: Ižejerska matematika I Daa: 76006 Izrada Domaće zadaće Zadatak : Izračuajte : si( ) (cos( )) L 0 a) primjeom L'Hospitalovog pravila; b) izravom upotrebom
Διαβάστε περισσότεραOSNOVE TEHNOLOGIJE PROMETA
OSNOVE TEHNOLOGIJE PROMETA MODUL: Tehnologija teleomuniacijsog rometa FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI Predavači: Doc.dr.sc. Štefica Mrvelj Maro Matulin, dil.ing. Zagreb, ožuja 2009. Oće informacije Konzultacije:
Διαβάστε περισσότεραSadrˇzaj. Sadrˇzaj MATEMATIČKA STATISTIKA DESKRIPTIVNA STATISTIKA Ponovimo... 15
Sadrˇzaj Sadrˇzaj 1 11 MATEMATIČKA STATISTIKA 3 11.1 DESKRIPTIVNA STATISTIKA..................... 5 11. Poovimo................................. 15 1 Radi materijal Poglavlje 11 MATEMATIČKA STATISTIKA
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραBroj e. Nadja Radović, Maja Roslavcev, Jelena Tomanović December 14, 2006
Broj e Nadja Radović, Maja Roslavcev, Jelea Tomaović December 4, 2006 Uvod Broj e je jeda od ajzačajijih matematičkih kostati, pozata još i kao Ojlerov broj ili Nejpirova kostata Njegova vredost, zaokružea
Διαβάστε περισσότεραTESTIRANJE ZNAČAJNOSTI RAZLIKE
//0 TESTIRANJE ZNAČAJNOSTI RAZLIKE Z-TEST I T-TEST Beograd, 0 Ass. dr Zora Bukumirić Z-TEST I T-TEST z-testom i Studetovim t-testom testiramo razliku: jede aritmetičke sredie i pretpostavljee vredosti
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL. Bilješke s predavanja (Prof. dr. sc. Hrvoje Šikić) akademska godina 2010./2011. Natipkao i uredio: Ivan Krijan
MJERA I INTEGRAL Bilješke s predavaja (Prof. dr. sc. Hrvoje Šikić) akademska godia 2010./2011. Natipkao i uredio: Iva Krija Zagreb, 23. 05. 2011. Sadržaj Sadržaj 1 UVOD 3 2 PRSTEN SKUPOVA 8 3 MJERE NA
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραPP-talasi sa torzijom
PP-talasi sa torzijom u metrički-afinoj gravitaciji Vedad Pašić i Dmitri Vassiliev V.Pasic@bath.ac.uk D.Vassiliev@bath.ac.uk Department of Mathematics University of Bath PP-talasi sa torzijom p. 1/1 Matematički
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA
**** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.
Διαβάστε περισσότερα21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Διαβάστε περισσότεραObrada signala
Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p
Διαβάστε περισσότεραUlazni tok X se raspodeljuje sa određenim verovatnoćama p1, p2 i p3, na tokove X1, X2, i X3. s 1. s 2. s 3
Zadatak Data u 3 ejedaka erver M/M/ tia koji u vezai aralelo. Ukoliko je a ulazu dat itezitet toka, a koji ači ga treba raorediti u aralele grae tako da očekivao vreme odziva bude miimalo? Pozata u redja
Διαβάστε περισσότερα1 Neprekidne funkcije na kompaktima
Neprekide fukcije a kompaktima.. Teorem. Neka je K kompakta podskup metričkog prostora X, a f : X Y eprekido preslikavaje u metrički prostor Y. Tada je slika f(k) kompakta skup u Y..2. Zadatak. Neka su
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραNOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan
Διαβάστε περισσότεραTAČNE I ASIMPTOTSKE RASPODJELE NEKIH UZORAČKIH STATISTIKA
Matematički kolokvijum (Baja Luka) MAT-KOL (Baja Luka) XIV()(2008), 59-83 TAČNE I ASIMPTOTSKE RASPODJELE NEKIH UZORAČKIH STATISTIKA Uvod Aleksadra Vasilić Prirodo-matematički fakultet Baja Luka, Mladea
Διαβάστε περισσότεραSKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK
SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi
Διαβάστε περισσότεραOpćenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:
Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b
Διαβάστε περισσότερα