E n. (, ) Η χρονοεξαρτώµενη εξίσωση Schrödinger, έχει την µορφή ˆ

Transcript

1 Πρόβλημα ΓενικέςΈννοιεςΚβαντομηχανικήςα(ΓΕΚα Σε ένα μονοδιάστατο κβαντικό σύστημα να δειχθεί ότι η γενική λύση της χρονοεξαρτώμενης εξίσωσης Schrödiger είναι της μορφής Ψ ( x,t c ( x e i E t, όπου τα E και ιδιοτιμές και ιδιοσυναρτήσεις της ενέργειας, αντίστοιχα σημασία των συντελεστών αυτών (x αποτελούν τις διακριτές Ποιά η φυσική (, Η χρονοεξαρτώµενη εξίσωση Schrödiger, έχει την µορφή ˆ Ψ x t Η( x, pˆ Ψ ( x, t i, t όπου Η ˆ ( x, pˆ είναι ο τελεστής της Χαµιλτονιανής Η λύση της εξίσωσης αυτής µε µερικές παραγώγους µπορεί να βρεθεί χρησιµοποιώντας την µέθοδο Χωριζόµενων µεταβλητών ηλαδή αναζητάµε λύσεις της µορφής Ψ ( x, t ( x T( t Με τον χωρισµό αυτό των ανεξάρτητων µεταβλητών η χρονοεξαρτώµενη εξίσωση Schrödiger παίρνει την ισοδύναµη µορφή dt ˆ i H ( x dt ( x Tt ( Καθώς το αριστερό µέρος της ισότητας είναι συνάρτηση µόνο της θέσης ενώ το δεξί αποκλειστικά του χρόνου, για να είναι ίσα θα πρέπει να είναι ίσα µε µια σταθερά Άρα dt Hˆ ih dt E, που ισοδυναµεί µε δύο διαφορικές εξισώσεις T E dt i dt ET, µε προφανή λύση ( ( i t Tt T e και την διαφορική εξίσωση Hˆ ( x E( x Η εξίσωση αυτή αποτελεί την χρονοεξαρτώµενη εξίσωση Schrödiger, και είναι ουσιαστικά το πρόβληµα ιδιοτιµών της ενέργειας Η λύση του προβλήµατος αυτού άλλοτε έχει συνεχές φάσµα (πχ ελεύθερο σωµάτιο, Hˆ ( x E ( x, δείκτης p ουσιαστικά της ορµής, ο p p οποίος παίρνει συνεχείς τιµές ή άλλες φορές διακριτό (H ˆ ( x E ( x, ο δείκτης είναι ακέραιος Έτσι βρίσκουµε ότι η λύση της χρονοεξαρτώµενη εξίσωση Schrödiger είναι της µορφής iet / ( xe Καθώς όµως η χρονοεξαρτώµενη εξίσωση Schrödiger είναι γραµµική (δεν Ψ( x, t Ψ( x, t περιέχει µη γραµµικούς όρους, πχ όρους ( Ψ( xt,, Ψ( xt,, t t και οποιαδήποτε γραµµικός συνδυασµός των λύσεων αυτών θα αποτελεί λύση της εξίσωσης Έχουµε δηλαδή η γενική λύση να είναι της µορφής Ψ ( x,t c ( x e Ποια είναι η φυσική σηµασία των συντελεστών αυτών Ας προσπαθήσουµε να βρούµε την µέση ενέργεια του συστήµατος i E t

2 E Em i t i t ( ˆ ( ( ˆ mm( m E x,t H x,t dx c x e H c x e dx E E m ( EE m i t i t i t ( ( ˆ c x e cme Hm( x dx ccme ( x ( Hˆ m( x dx m m ( ˆ ( ( EEm ( E Em i t i t ccme ( x Hm( x dx ccme ( x Emm( x dx m m ( EEm ( EEm i t i t ccme Em ( x m( x dx ccme Emδm cce c E m m Όµως γνωρίζουµε ότι η µέση ενέργεια δίνεται από την σχέση βρίσκουµε c ιδιοκατάσταση του συστήµατος E PE, άρα P, δηλαδή οι συντελεστές σχετίζονται µε την πιθανότητα να έχω την - Πρόβλημα ΓενικέςΈννοιεςΚβαντομηχανικήςβ(ΓΕΚβ Για ένα μονοδιάστατο κβαντικό σύστημα να βρεθεί η έκφραση που δίνει την μέση τιμή οποιοδήποτε φυσικού μεγέθους που περιγράφεται από ένα τελεστή Α, αν είναι γνωστά τα E και (x που αποτελούν τις διακριτές ιδιοτιμές και ιδιοσυναρτήσεις της ενέργειας, αντίστοιχα Από τον ορισµό της µέσης τιµής έχω Ψ ( x,t Ψ ( x,t dx ˆ Γνωρίζουµε δε από την ακριβώς προηγούµενη άσκηση, ότι Ψ ( x,t c ( x e Έτσι έχουµε E Em i t i t ( ˆ Ψ Ψ ( ( ˆ mm( m x,t x,t dx c x e c x e dx E Em ( EEm i t i t i t ( ( ˆ c x e cme m( x dx ccme ( x ( ˆ m( x dx m m ( EEm ( EEm i t i t cce m ( ˆ x m( x dx ccme m m m όπου ( ( ˆ ( x ( x dx m m i E t

3 Πρόβλημα ΓενικέςΈννοιεςΚβαντομηχανικήςγ(ΓΕΚγ Για ένα μονοδιάστατο κβαντικό σύστημα που περιγράφεται από δύο καταστάσεις με ενέργεια Ε και Ε και αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις,, να βρεθεί η έκφραση που δίνει την μέση τιμή της θέσης, της ορμής και της ενέργειας Την γενική έκφραση που βρήκαµε στην προηγούµενη άσκηση την χρησιµοποιούµε για όλες τις ζητούµενες φυσικές ιδιότητες Αρχικά για την θέση του σωµατιδίου, δηλαδή Â x Έτσι η µέση τιµή της θέσης δίνεται από την έκφραση iωt iω t iωt iωt x cce x + cce x + cce x + cce x, όπου ω ( E E / και i j i i, i j x dx x Ένώ τα c, c είναι γενικά µιγαδικοί αριθµοί, δηλαδή c c e c c e Έτσι έχουµε τελικά, καθώς ω ω και ( ( i i x dx x dx x dx x x x x e, x x e, ενώ, (αµφότεροι x dx x dx x x dx x dx x πραγµατικοί, ότι i i i i iωt i i iωt i i x ( t c e c e x + c e c e e x + c e c e e x + c e c e x i( iωt i( iωt c x + c c e e x + c c e e x + c x i iωt i i iωt i c x + c c e e x e + c c e e x e i( ωt+ + i( ωt+ + c x + c x + c c x ( e + e c x + c x + c c x cos( ωt+ + που είναι χρόνο-εξαρτώµενη πραγµατική συνάρτηση Στην παραπάνω σχέση για την µέση θέση, παρατηρούµε ότι αν οι ιδιοσυναρτήσεις της ενέργειας είναι πραγµατικές, όπως για παράδειγµα στο απειρόβαθο και πεπερασµένο πηγάδι δυναµικού και στον αρµονικό ταλαντωτή, η φάση µηδενίζεται και προφανώς x x x Αυτό γιατί, x dx x dx x + c που είναι πραγµατικός αριθµός ηλαδή η µέση τιµή της θέσης γίνεται x ( t c x + c x + c c x cos( ω t+ Την γενική έκφραση που βρήκαµε στην προηγούµενη άσκηση την χρησιµοποιούµε για την ορµή του σωµατιδίου ( ˆ ˆp Έτσι η µέση τιµή της ορµής δίνεται από την σχέση iωt iωt iωt iωt p ( t cce p + cce p + cce p + cce p, όπου ( ˆ i j p p dx και i p p p p e, p p e, δηλαδή i x

4 p ( t c e c e p + c e c e e p + c e c e e p + c e c e p i i i i iωt i i iωt i i i( iωt i( iωt c p + c c e e p + c c e e p + c p i iωt i i iωt i c p + c c e e p e + c c e e p e i( ωt+ + i( ωt+ + c p + c p + c c p ( e + e + c c p + c p + c c p cos( ωt+ + που είναι χρόνο-εξαρτώµενη πραγµατική συνάρτηση Στην περίπτωση που οι ιδιοσυναρτήσεις είναι πραγµατικές, έχουµε ότι p i d i d 5i d 5i, p i d i d 5i d 5i, και ± π /, γιατί iπ / p ( pˆ dx i dx i d d x e p ( t c c p cos( ω t+ +, που ισοδύναµα µπορεί να γραφεί ηλαδή p ( t ± c c p si( ω t+, όπου προφανώς το πρόσηµο στην έκφραση της µέσης ορµής, εξαρτάται από το πρόσηµο του ολοκληρώµατος d Τέλος η µέση ενέργεια δίνεται από την µέση τιµή του τελεστή της Χαµιλτονιανής, iωt iωt iωt iωt E cce H + cce H + cce H + cce H, όπου ω ( E E / και i j i j j j i j j p i j H dx Hˆ dx E E dx E ηλαδή η µέση ενέργεια δ δίνεται από την έκφραση E c E+ c E Παρατηρούµε ότι η µέση τιµή της θέσης και της ορµής εξαρτώνται από τα µέτρα των συντελεστών c, c( c, c και από την διαφορά φάσης τους Συµπερασµατικά µπορούµε να πούµε ότι έχουµε τις παρακάτω σχέσεις Μέση θέση, Μέση ορµή, Μέση ενέργεια, Νορµαλισµός, x ( t c x + c x + c c x cos( ω t+ + p ( t c p + c p + c c p cos( ω t+ + E ( t PE + PE c E + c E + c c Γενικά έχουµε τέσσερις αγνώστους c, c,,, άρα χρειαζόµαστε τέσσερις σχέσεις µε αυτούς τους αγνώστους Είναι όµως έτσι τα πράγµατα; Παρατηρούµε ότι η µέση τιµή της θέσης και της ορµής εξαρτώνται από τα µέτρα των συντελεστών c, c( c, c και από την διαφορά φάσης τους Αν η κυµατοσυνάρτηση διαφέρει κατά µια φάση, είναι διαφορετική; i Έστω από την (x δηµιουργώ την (x e φ (x, όπου φ ένας αριθµός Παρατηρούµε ότι η πιθανότητα που είναι η ποσότητα µε την φυσική σηµασία δεν αλλάζει, καθώς p(xdx (x (xdx και

5 φ ( i iφ p(xdx (x (xdx e (x e (xdx i φ iφ iφ i φ e (xe (xdx e e (x (xdx (x (xdx p(xdx Έτσι ουσιαστικά χρειαζόµαστε µία φάση, δηλαδή µπορούµε να θέσουµε και Η κυµατοσυνάρτηση γίνεται E E i t i t i ( xt, c ( xe + c e ( xe Έχουµε τρεις αγνώστους c, c,, άρα χρειαζόµαστε τρεις σχέσεις µε αυτούς τους αγνώστους Πάντα, µία σχέση αποτελεί η συνθήκη κανονικοποίησης, δηλαδή ότι P + P c + c (δυστυχώς µια σχέση µε δύο λύσεις, πάντα όµως διαλέγουµε τις θετικές λύσεις Για να βρούµε τους τρεις αυτούς αγνώστους χρειαζόµαστε, δύο µέσες τιµές (πχ θέση και ορµή, θέση και ενέργεια και ορµή και ενέργεια Για οποιοδήποτε τελεστή Α, η µέση του τιµή θα δίνεται από την έκφραση ( t c + c + c c cos( ω t+ +, i όπου η φάση ορίζεται από την σχέση e, ενώ πάντα ισχύει ότι τα µη διαγώνια στοιχεία έχουν την ιδιότητα i e, e, Καθώς η τελευταία i σχέση ισχύει και για τα διαγώνια στοιχεία, δηλαδή διαγώνια στοιχεία είναι πραγµατικά Η σχέση, καταλαβαίνουµε ότι τα m m, αποδεικνύεται εύκολα καθώς τα m ( ˆm ( (x (xdx είναι ίσα µε m ˆ (x m(xdx, λόγω ερµιτιανότητας Ενώ το ίδιο αποτέλεσµα έχουµε από το συζυγές του, m καθώς ισχύει ότι ( ( ˆ ( ˆ m m m m (x (xdx (x (xdx Σηµείωση Αποδείξτε ότι η αβεβαιότητα στην ενέργεια δίνεται από τον τύπο, / / E E E PP ( E E c c EE ηλαδή σε ένα σύστηµα δύο επιπέδων αν γνωρίζουµε την µέση ενέργεια µπορούµε να εκτιµίσουµε την αβεβαιότητα της ενέργειας και αντίστροφα

6 Πρόβλημα ΓενικέςΈννοιεςΚβαντομηχανικήςδ(ΓΕΚδ Ηλεκτρόνιο βρίσκεται στις δύο πρώτες ενεργειακές του καταστάσεις σε δυναμικό απειρόβαθου πηγαδιού εύρους (α Προσδιορίστε πλήρως αυτή την κατάσταση αν δίνεται ότι έχει μέση θέση / και η μέση ορμή του είναι 8 /3 ( β Να υπολογιστεί η μέση ενέργεια του συστήματος Υπόδειξη: Χρήσιµες τριγωνοµετρικές σχέσεις si si B cos( B cos( + B si cos B si( + B + si( B cos cos B cos( + B + cos( B Χρήσιµες τριγωνοµετρικές σχέσεις, ειδικές περιπτώσεις των προηγούµενων ( si cos( si cos si( ( cos + cos( Αφού έχουµε πραγµατικές ιδιοσυναρτήσεις, έχουµε από την προηγούµενη άσκηση x ( t c x + c x + c c x cos( ω t+, p ( t c c p cos( ω t+ + Οι πληροφορίες που µας δίνει η άσκηση αναφέρονται σε µια χρονική στιγµή Για ευκολία και προφανώς (γιατί; χωρίς βλάβη της γενικότητας, θεωρούµε t Έτσι οι παραπάνω εκφράσεις παίρνουν τις τιµές x ( t c x + c x + c c x cos(, p ( t c c p cos( + Χρειάζεται να υπολογίσουµε τα x dx x, x dx x,, x dx x p d πx πx Αφού si Θ( x Θ( x, si Θ( x Θ( x, έχουµε πx πx x dx x xsi dx x cos dx π x xdx x cos dx

7 καθώς πx πx πx πx x cos dx xd si xsi si dx π π π π x cos π ανάλογα βρίσκουµε ότι x, και πx πx πx 3πx x xdx x xsi si dx x cos cos dx καθώς πx πx πx πx x cos dx xd si xsi si dx π π π π x,,3,5, cos π π,, 4,6, Έτσι από το δεδοµένο ότι x ( t / c x + c x + c c x cos( c / + c / + c c x cos( 6 9π /( c + c + c c x cos( /+ c c x cos( c c x cos( cos( ± π / Ακόµα έχουµε i πx πx p ˆ p dx i dx i d si dsi x 4πi πx πx πi 3πx πx si cos dx si dx si dx + π i 8i 8 e 3π π 3 3 π / καθώς πx πx πx,,3,5, si dx d cos cos + π π π,, 4,6, 8 π / ηλαδή, βρήκαµε ότι, p e p p, π / και αφού έχουµε ότι 3 8 p ( t c c p cos( + c c cos( + π /, και µέση ορµή ίση µε 8 /3, έχουµε c c si( ± π / π / και 3 3 c c /

8 P P P και P c c c /, Άρα ( i iπ / ηλαδή c c e c e i/ i (α Άρα ( xt, c ( xe + c e ( xe, δηλαδή (β ( xt E E i t i t πx i πx πx πx, si + si si icos 5 5π E PE + PE E + E E 4m Επιπλέον Ασκήσεις, Άσκηση ισοδύναµη της ΓΕΚδ Ηλεκτρόνιο βρίσκεται στις δύο πρώτες ενεργειακές του καταστάσεις σε δυναμικό απειρόβαθου πηγαδιού που εκτείνεται στην περιοχή [ /, + /] (α Προσδιορίστε πλήρως αυτή την κατάσταση αν δίνεται ότι έχει μηδενική μέση θέση και η μέση ορμή του είναι 8 /3 (β Να υπολογιστεί η μέση ενέργεια του συστήματος Υπόδειξη Το πρόβλημα είναι απολύτως ισοδύναμο με την άσκηση ΓΕΚδ καθώς η μέση θέση είναι πάλι στην μέση του πηγαδιού και η μέση ορμή είναι ίδια Απλώς τώρα έχουμε συμμετρικό πηγάδι δυναμικού και πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τις ιδοσυναρτήσεις για το πηγάδι αυτό Για τον φοιτητή, πολύ καλή εξάσκηση είναι να κάνει όλες τις αριθμητικές πράξεις (ολοκληρώματα από την αρχή με τις κυματοσυναρτήσεις του συμμετρικού πηγαδιού και να επιβεβαιώσει τα αναμενόμενα αποτελέσματα Ηλεκτρόνιο βρίσκεται στις δύο πρώτες ενεργειακές του καταστάσεις σε δυναμικό απειρόβαθου πηγαδιού πάχους που Διερευνείστε κατά πόσο είναι δυνατό να βρούμε την μέση θέση και τη μέση ορμή, αν γνωρίζουμε τη μέση ενέργεια του συστήματος και την αβεβαιότητα ενέργειας Ηλεκτρόνιο βρίσκεται στις δύο πρώτες ενεργειακές του καταστάσεις σε δυναμικό απειρόβαθου πηγαδιού πάχους που Διερευνείστε κατά πόσο είναι δυνατό να προσδιορίσουμε πλήρως την καταστασή του, αν γνωρίζουμε (α τη μέση θέση του σε δύο χρονικές στιγμές και (β την μέση θέση και την μέση ορμή σε δυο διαφορετικές χρονικές στιγμές

9 Πρόβλημα ΓενικέςΈννοιεςΚβαντομηχανικήςε(ΓΕΚε Ηλεκτρόνιο βρίσκεται στις δύο πρώτες ενεργειακές του καταστάσεις σε δυναμικό απειρόβαθου πηγαδιού εύρους (α Προσδιορίστε πλήρως αυτή την κατάσταση αν δίνεται ότι έχει μέση θέση στο μέσο του πηγαδιού και η μέση ενεργειά του είνα 5 h /6m (β Να υπολογιστεί η μέση ορμή του συστήματος Ακολουθούµε την ίδια µεθοδολογία µε την προηγούµενη άσκηση ΓΕΚδ Για την µέση θέση έχουµε βρει x ( t c x + c x + c c x cos(, 6 όπου x x και x 9π Έτσι καθώς x ( t / cos( ± π / Ακόµα έχουµε π π h 5h E c E+ c E c + c ( c + 4 c m m 8m 6m c + 4 c 5/, και καθώς c c +, βρίσκουµε ότι c c / E E i t i t i (α Άρα ( xt, c ( xe + c e ( xe, δηλαδή πx i πx πx πx ( xt, si ± si si icos ± (β Για την µέση ορµή χρησιµοποιούµε την σχέση p ( t c c p cos( +, 8 8 iπ / Όπου (βλέπε άσκηση ΓΕΚδ, p i e π / 3 3 ηλαδή 8 8 p ( t c c p cos( + cos( ± π / + π / ± 3 3 Παρατηρούµε ότι η µέση ενέργεια µπορεί να έχει δύο δυνατές τιµές σε συµφωνία µε τις δυο δυνατές τιµές των συντελεστών c /, c ± i/

10 Πρόβλημα ΓενικέςΈννοιεςΚβαντομηχανικήςστ(ΓΕΚστ Για ένα μονοδιάστατο κβαντικό σύστημα που περιγράφεται από τρεις καταστάσεις με ενέργεια Ε, Ε και Ε3 και αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις,,, να βρεθεί η έκφραση που δίνει την μέση τιμή οποιοδήποτε φυσικού 3 μεγέθους Πως εκτιμούμε την κυματοσυνάρτηση; Χρησιµοποιούµε την γενική έκφραση που βρήκαµε στο πρόβληµα ΓΕΚβ, για την εύρεση της µέσης τιµής οποιοδήποτε τελεστή, δηλαδή ( EEm i t ccme m, όπου m (( ˆ ( m m x x dx Στο παρόν πρόβληµα στο διπλό άθροισµα οι δείκτες παίρνουν τιµές,,3 και m,,3 Έτσι η µέση τιµή οποιουδήποτε τελεστή, δίνεται από την έκφραση iωt iωt iω3t ( t cce + cce + cce ω + c c e + c c e + c c e + iωt iωt i 3t 3 3 ω ω ω + c c e + c c e + c c e i 3t i 3t i 33t c + c + c iωt iωt iω3t iω3t iω3t iω3t + cce + cce + cce cce 3 3+ cce cce 3 3 c + c + c i iωt i i iωt i + c c e e e + c c e e e + 3 i3 iω3t i 3 c c i 3 e e 3 e 3 + iω3t i + c c3 e e 3 e i i3 iω3t i i i3 iω3t i + c c3 e e e 3 e + c c3 e e e 3 e c + c + c c c cos( ω t+ + + c c cos( ω t+ + + c c cos( ω t ω, (έτσι ω ω ω33 Ενώ χρησιµοποιήσαµε την Όπου ορίσαµε ( Ei Ej / ιδιότητα ( ji i i i 3 Ενώ τα c, c, c3 γράφονται ισοδύναµα c c e c, c c e, c3 c3 e (θυµάστε γιατί θέτουµε ; βλέπε πρόβληµα ΓΕΚγ Γενικά έχουµε τις εξής παρατηρήσεις (α Τα είναι πραγµατικοί αριθµοί καθώς ( ( ηλαδή η ii ji ii ii ποσότητα c + c + c3 33 είναι προφανώς ένας πραγµατικός αριθµός

11 3 3 (β Οι φάσεις,, εκτιµούνται από τα στοιχεία e, e και i i 3 3 e Αν τα στοιχεία αυτά είναι πραγµατικοί αριθµοί οι αντίστοιχες φάσεις προφανώς µηδενίζονται Αυτό συµβαίνει για παράδειγµα όταν έχω πραγµατικές ιδοσυναρτήσεις της ενέργειας (πχ απειρόβαθο πηγάδι, τετραγωνικό πηγάδι και αρµονικό ταλαντωτή για τους πραγµατικούς τελεστές, όπως την θέση και όλες τις δυνάµεις αυτής, για το τετράγωνο της ορµής και όλες της άρτιες δυνάµεις της ορµής Έτσι έχουµε την απλοποιηµένη µορφή ( t c + c + c c c cos( ω t+ + c c cos( ω t+ + c c cos( ω t Ενώ αν έχουµε την ορµή του σωµατιδίου ( ˆ ˆp, ± π /, γιατί p ( ˆ i p j dx i j i dx i id j, x όπου προφανώς το πρόσηµο στη φάση του στοιχείου i / (καθώς ± i e ± π p, εξαρτάται από το πρόσηµο του ολοκληρώµατος i j 3 i d Γενικά στο σύστηµα µε τρεις καταστάσεις έχουµε πέντε αγνώστους c, c, c3,, 3, άρα χρειαζόµαστε πέντε σχέσεις µε αυτούς τους αγνώστους Φυσικά ισχύει πάντα ο νορµαλισµός, δηλαδή c c + Άρα χρειαζόµαστε τέσσερις σχέσεις Μπορούµε να έχουµε σχέσεις µε την µέση θέση, µε την αβεβαιότητα της θέσης µε την µέση ορµή και µε την αβεβαιότητα της ορµής Μπορούµε να έχουµε κάποια από τα παραπάνω και σχέσεις από την µέση ενέργεια και την αβεβαιότητα της ενέργειας Όµως πρέπει να παρατηρήσουµε ότι οι σχέσεις που έχουν την ενέργεια και την αβεβαιότητα της ενέργειας δεν έχουν καθόλου πληροφορίες για την φάση του συστήµατος (το σύστηµα είναι κλειστό και η ενέργεια διατηρείται, δηλαδή δεν έχει καµία χρονοεξάρτηση