ΠΔΡΗΛΖΠΣΗΚΟ ΓΔΝΗΚΖ ΠΑΗΓΔΗΑ

Transcript

1 ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΓΔΝΗΚΖ ΠΑΗΓΔΗΑ ΠΔΡΗΛΖΠΣΗΚΟ ΓΔΝΗΚΖ ΠΑΗΓΔΗΑ Ση νλνκάδεηαη ζπλάξηεζε; πλάξηεζε είλαη κηα δηαδηθαζία κε ηελ νπνία θάζε ζηνηρείν ελόο ζπλόινπ Α αληηζηνηρίδεηαη ζε έλα αθξηβώο ζηνηρείν ελόο άιινπ ζπλόινπ Β Πνπ ηέκλεη ηνλ άμνλα '; θαη πνπ ηνλ y'y; Μηα ζπλάξηεζε ηέκλεη ηνλ άμνλα ' ζηηο ξίδεο ηεο εμίζσζεο:()= ( κπνξεί λα είλαη πάλσ από έλα ζεκείν) θαη ηνλ άμνλα y'y ζην () ( ην πνιύ έλα ζεκείν). Πνπ ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο βξίζθεηαη πάλσ από ηνλ '; Μηα ζπλάξηεζε έρεη ηελ γξαθηθή ηεο παξάζηαζε πάλσ από ηνλ άμνλα ' γηα εθείλα ηα γηα ηα νπνία ()> θαη θάησ από ηνλ άμνλα ' γηα εθείλα ηα γηα ηα νπνία ()<. Πνπ ηέκλνληαη δύν ζπλαξηήζεηο; Γύν ζπλαξηήζεηο θαη g ηέκλνληαη ζηηο ιύζεηο ηεο εμίζσζεο:()=g().μηα ζπλάξηεζε έρεη ηελ γξαθηθή ηεο παξάζηαζε πάλσ (θάησ) από ηελ γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο g γηα εθείλα ηα γηα ηα νπνία ()>g() ( ()<g() ). Αλ ζέινπκε λα βξνύκε ζε πνην δηάζηεκα ε ζπλάξηεζε έρεη ην δηάγξακκα πάλσ από ηνλ ' ιύλνπκε ηελ αλίζσζε ()>. Πεδίν νξηζκνύ ζπλάξηεζε Αλ κηα ζπλάξηεζε δίλεηαη κόλν κε ηνλ ηύπν ηεο ηόηε βξίζθνπκε εκείο ην "επξύηεξν" ππνζύλνιν ηνπ IR ζην νπνίν νξίδεηαη ε ζπλάξηεζε. ΠΟΛΤΩΝΤΜΘΚΗ ΤΝΑΡΣΗΗ έρεη πεδίν νξηζκνύ (π.ν) νιόθιεξν ην IR ΡΗΣΗ ΤΝΑΡΣΗΗ έρεη (π.ν) νιόθιεξν ην IR εθηόο από ηηο ξίδεο ηνπ παξνλνκαζηή ΤΝΑΡΣΗΗ ΜΕ ΡΘΖΘΚΑ έρεη (π.ν) ην δηάζηεκα εθείλν γηα ην νπνίν νη ππόξξηδεο πνζόηεηεο είλαη κε αξλεηηθέο ΛΟΓΑΡΘΘΜΘΚΗ ΤΝΑΡΣΗΗ έρεη (π.ν) ην δηάζηεκα εθείλν γηα ην νπνίν ε ινγαξηζκηδόκελε πνζόηεηα είλαη ζεηηθή ΤΝΔΤΑΜΟ ΣΩΝ ΠΡΟΗΓΟΤΜΕΝΩΝ ΠΕΡΘΠΣΩΕΩΝ έρεη (π.ν) ην δηάζηεκα ή ηα δηαζηήκαηα εθείλα πνπ πξνθύπηνπλ από ηελ ηνκή ή ηελ έλσζε ησλ δηαζηεκάησλ πνπ ζπλαιεζεύνπλ αλάινγα κε ηελ θάζε πεξίπησζε. Πόηε κηα ζπλάξηεζε ιέγεηαη γλεζίσο αύμνπζα; Μία ζπλάξηεζε ζα ιέγεηαη γλεζίσο αύμνπζα ζε έλα δηάζηεκα Γ ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο όηαλ γηα νπνηαδήπνηε, Γ κε ηζρύεη: ( ) ( )

2 ΣΕΗΑΝΝΖ ΓΗΩΡΓΟ Πόηε κηα ζπλάξηεζε ιέγεηαη γλεζίσο θζίλνπζα; Μία ζπλάξηεζε ζα ιέγεηαη γλεζίσο θζίλνπζα ζε έλα δηάζηεκα Γ ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο όηαλ γηα νπνηαδήπνηε, Γ κε ηζρύεη: ( ) ( ) Κάζε (γλεζίσο) αύμνπζα ή θζίλνπζα ζπλάξηεζε ιέγεηαη (γλεζίσο) κνλόηνλε Πόηε κηα ζπλάξηεζε ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηνπηθό κέγηζην; Μία ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ Α ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηνπηθό κέγηζην ζην όηαλ ( ) ( ) γηα θάζε ζε κηα πεξηνρή ηνπ Πόηε κηα ζπλάξηεζε ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηνπηθό ειάρηζην; Μία ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ Α ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηνπηθό ειάρηζην ζην όηαλ ( ) ( ) γηα θάζε ζε κηα πεξηνρή ηνπ Σα κέγηζηα θαη ηα ειάρηζηα κηαο ζπλάξηεζεο ιέγνληαη αθξόηαηα ηεο ζπλάξηεζεο Α Α Πώο βξίζθνπκε όξην; ηηο ζπλαξηήζεηο πνπ δελ έρνπκε παξνλνκαζηή ή δελ κεδελίδεηαη ν παξνλνκαζηήο ζην αληηθαζηζηώ ηηο ζπλαξηήζεηο πνπ έρνπλ ηε κνξθή παξαγνληνπνηώ-απινπνηώ-αληηθαζηζηώ ηα πνιπώλπκα παξαγνληνπνηώ κε Horner ζηα ξηδηθά κε ζπδπγή παξάζηαζε Πόηε κηα ζπλάξηεζε ιέγεηαη ζπλερήο; Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίνπ νξηζκνύ Α ζα ιέγεηαη ζπλερήο αλ γηα θάζε A ηζρύεη: lm ( ) ( ) Aλ νη, g είλαη ζπλερείο ζην A θαη ηόηε νη ζπλαξηήζεηο: ζπλερείο ζην A Κάζε πνιπσλπκηθή ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο ζην IR Κάζε ξεηή ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο ζην πεδίν νξηζκνύ ηεο Οη Σξηγσλνκεηξηθέο ζπλαξηήζεηο εκ & ζπλ είλαη ζπλερείο ζην IR g, g, g Οη Σξηγσλνκεηξηθέο ζπλαξηήζεηο εθ είλαη ζπλερείο ζην πεδίν νξηζκνύ ηνπο Οη εθζεηηθέο ζπλαξηήζεηο είλαη ζπλερείο ζην IR Ζ ινγαξηζκηθή ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο ζην IR είλαη Πόηε ε ζπλάξηεζε ιέγεηαη παξαγσγίζηκε ζην ; Μία ζπλάξηεζε ζα ιέκε όηη είλαη παξαγσγίζηκε ζην ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο όηαλ ( h) - ( ) ππάξρεη ην lm θαη είλαη πξαγκαηηθόο αξηζκόο. Σν όξην απηό νλνκάδεηαη h o h

3 ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΓΔΝΗΚΖ ΠΑΗΓΔΗΑ 3 παξάγσγνο αξηζκόο θαη ζπκβνιίδεηαη κε ( ).Έηζη: ( ) = h lm o ( h) - h ( ). Κιίζε ηεο εθαπηόκελεο = εθαπηνκέλε γσλίαο = ζπληειεζηήο δηεύζπλζεο = ξπζκόο κεηαβνιήο= ΠΑΡΑΓΩΓΟ!!!!!!!! Ση ιέκε παξάγσγνο ηεο ζπλάξηεζε ; Παξάγσγνο ηεο ζπλάξηεζε ιέγεηαη κηα λέα ζπλάξηεζε κε ηελ νπνία θάζε ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο, ζην νπνίν απηή είλαη παξαγσγίζηκε, αληηζηνηρίδεηαη ζην ( h) - ( ) () = lm. Ζ ζπλάξηεζε απηή ζπκβνιίδεηαη κε (πξώηε παξάγσγνο). h o h u ( t) ( t), a( t) u ( t) ( t) ΘΔΩΡΖΜΑ Αλ γηα κηα παξαγσγίζηκε ζε δηάζηεκα Γ ζπλάξηεζε ηζρύεη () > γηα θάζε εζσηεξηθό ζεκείν ηνπ Γ ηόηε είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην Γ. ΘΔΩΡΖΜΑ Αλ γηα κηα παξαγσγίζηκε ζε δηάζηεκα Γ ζπλάξηεζε ηζρύεη () < γηα θάζε εζσηεξηθό ζεκείν ηνπ Γ ηόηε είλαη γλεζίσο θζίλνπζα ζην Γ. Αζθεζηνινγία: πλέρεηα Α) Αλ ε είλαη ζπλερήο κπνξνύκε λα βξνύκε ην ( ) κε ην όξην ηεο ζην κέζσ ηνπ νξίνπ αθνύ ( ) lm ( ) Δμίζσζε εθαπηνκέλεο. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε () λα βξεζεί : Α) Ο ξπζκόο κεηαβνιήο ηεο () ζην ζεκείν Ρπζκόο κεηαβνιήο= ( ) Β) Ζ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο C ζην ζεκείν Βξίζθσ α= ( ) Ζ εμ. εθ. έρεη κνξθή y= α+β Γηέξρεηαη από, ( ) Άξα ( ) a βξίζθσ β Γ) Ζ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο C πνπ είλαη παξάιιειε ζηελ y= θ+ι Λόγσ παξαιιειίαο () =θ βξίζθσ. Ζ εμ. εθ. έρεη κνξθή y= θ+β. Γηέξρεηαη από, ( ) Άξα ( ) a. βξίζθσ β

4 4 ΣΕΗΑΝΝΖ ΓΗΩΡΓΟ Γ) Ζ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο C πνπ είλαη παξάιιειε ζηνλ Λόγσ παξαιιειίαο () = βξίζθσ. Ζ εμ. εθ. έρεη κνξθή y= +β. Γηέξρεηαη από, ( ) Άξα ( ). βξίζθσ β Δ) Ζ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο C πνπ ζρεκαηίδεη κε ηνλ γσλία ζ Δίλαη () =εθζ=α βξίζθσ. Ζ εμ. εθ. έρεη κνξθή y= α+β. Γηέξρεηαη από, ( ) Άξα ( ) a. βξίζθσ β Σ) Ζ γσλία πνπ ζρεκαηίδεη ε εθαπηνκέλε ηεο C κε ηνλ Από () =εθζ βξίζθσ ζ. Ε) Σα θ,ι ώζηε ε y= θ+ι λα εθάπηεηαη ηεο C ζην ( ),, ( Από ) =θ βξίζθσ θ. Γηέξρεηαη από ) Άξα ( ) ( βξίζθσ ι Μνλνηνλία. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε ()= α+β λα εμεηαζηεί σο πξνο ηε κνλνηνλία Α) ()= α+β ( ) =α. Ζ είλαη γλεζίσο (αύμνπζα αλ α>) ή γλεζίσο (θζίλνπζα αλ α<) θαη δελ παξνπζηάδεη αθξόηαηα Β) ()= α +β+γ () =α+β. Ο Πίλαθαο κεηαβνιώλ είλαη: (α>) -β/α - + (α<) -β/α + - Ζ είλαη γλεζίσο θζίλνπζα ζην (-,-β/α] θαη γλεζίσο αύμνπζα ζην [-β/α,+ ). Παξνπζ. ειάρηζην ζην = -β/α ην (-β/α) Ζ είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην (- γλεζίσο θζίλνπζα ζην [-β/α,+ κέγηζην ζην = -β/α ην (-β/α),-β/α] θαη ). Παξνπζ. Σν πξόζεκν ηεο ζηνλ πίλαθαο κεηαβνιώλ γηα πξώηνπ βαζκνύ αθνινπζεί ηνλ θαλόλα: Γεμηά ηεο ξίδαο νκόζεκν ηνπ α & αξηζηεξά εηεξόζεκν ηνπ α. Γ) ()= α 3 β +γ+δ () =3α +β+γ. Γ>

5 ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΓΔΝΗΚΖ ΠΑΗΓΔΗΑ 5 Ο Πίλαθαο κεηαβνιώλ είλαη: ξ ξ Ζ είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζηα (-,ξ ] θαη [ξ,+ ). Γλεζίσο θζίλνπζα ζην [ξ, ξ ]. Παξνπζηάδεη ηνπηθό κέγηζην ζην = ξ ην (ξ ) θαη ηνπηθό ειάρηζην ζην = ξ ην (ξ ) ξ ξ Ζ είλαη γλεζίσο θζίλνπζα ζηα (-,ξ ] θαη [ξ,+ ). Γλεζίσο αύμνπζα ζην [ξ, ξ ]. Παξνπζηάδεη ηνπηθό ειάρηζην ζην = ξ ην (ξ ) θαη ηνπηθό κέγηζην ζην = ξ ην (ξ ) Γ) ()= α 3 β +γ+δ () =3α +β+γ. Γ= Ο Πίλαθαο κεηαβνιώλ είλαη: (α>) -β/α + + Ζ είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην IR θαη δελ παξνπζηάδεη αθξόηαηα (α<) -β/α - - Ζ είλαη γλεζίσο θζίλνπζα ζην IR θαη δελ παξνπζηάδεη αθξόηαηα Δ) ()= α 3 β +γ+δ () =3α +β+γ. Γ< (α>) Ζ είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην IR θαη δελ παξνπζηάδεη αθξόηαηα (α<) Ζ είλαη γλεζίσο θζίλνπζα ζην IR θαη δελ παξνπζηάδεη αθξόηαηα. Ζ ζπλάξηεζε παξνπζηάδεη ζηα θαη αθξόηαηα ( ) = θαη ) =. ( 3. Ζ ζπλάξηεζε είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην [α,β] λα βξεζνύλ ηα αθξόηαηα a ( ) ( ) ( ) ma (β) θαη mn (α) (θζίλνπζα) a ( ) ( ) ( ) ma (α) θαη mn (β)

6 6 ΣΕΗΑΝΝΖ ΓΗΩΡΓΟ Ση νλνκάδεηαη πιεζπζκόο; Πιεζπζκόο είλαη ην ζύλνιν ησλ ζηνηρείσλ πνπ ζέινπκε λα εμεηάζνπκε σο πξνο έλα ή πεξηζζόηεξα ραξαθηεξηζηηθά Ση νλνκάδεηαη κεηαβιεηή; ε ηη δηαθξίλνληαη; Μεηαβιεηή είλαη ην ραξαθηεξηζηηθό σο πξνο ην νπνίν εμεηάδνπκε ηα άηνκα ηνπ πιεζπζκνύ. Οη κεηαβιεηέο δηαθξίλνληαη ζε: πνηνηηθέο θαη πνζνηηθέο. Οη πνζνηηθέο ηδηαίηεξα δηαθξίλνληαη ζε: ζπλερείο θαη δηαθξηηέο. Πνηνηηθέο είλαη νη κεηαβιεηέο νη νπνίεο δελ παξηζηάλνληαη κε αξηζκνύο. Γειαδή ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο κεηαβιεηήο δελ είλαη αξηζκεηηθό ζύλνιν. Π.ρ. ρξώκα καιιηώλ. Πνζνηηθέο είλαη νη κεηαβιεηέο πνπ εθθξάδνληαη κε αξηζκνύο πλερείο είλαη εθείλεο πνπ κπνξνύλ λα πάξνπλ νπνηαδήπνηε ηηκή κέζα ζε έλα δηάζηεκα ( βάξνο, ύςνο,ρξόλνο )θαη Γηαθξηηέο είλαη εθείλεο πνπ παίξλνπλ κόλν ζπγθεθξηκέλεο ηηκέο (αξηζκόο Η.Χ.). Με πνηόλ ηξόπν γίλεηαη ε ζπιινγή ζηαηηζηηθώλ δεδνκέλσλ; Γίλεηαη κε: Απνγξαθή θαηά ηελ νπνία εμεηάδνληαη όια ηα ζηνηρεία ηνπ πιεζπζκνύ θαη Γεηγκαηνιεςία θαηά ηελ νπνία εμεηάδνληαη νξηζκέλα κόλν ζηνηρεία ηνπ πιεζπζκνύ. Σν δείγκα λα είλαη αληηπξνζσπεπηηθό ηνπ πιεζπζκνύ. Ση νλνκάδεηαη ζπρλόηεηα; πρλόηεηα ( ν ) (απόιπηε) είλαη ν θπζηθόο αξηζκόο πνπ δειώλεη πόζεο θνξέο εκθαλίδεηαη ζην δείγκα κηα ζπγθεθξηκέλε ηηκή ηεο κεηαβιεηήο X. Ση νλνκάδεηαη ζρεηηθή ζπρλόηεηα; ρεηηθή ζπρλόηεηα ( ) είλαη ην πειίθν ηα απόιπηεο ζπρλόηεηαο πξνο ην κέγεζνο ηνπ δείγκαηνο. πλήζσο εθθξάδεηαη επί ηνηο εθαηό %. Ση νλνκάδεηαη αζξνηζηηθή ζπρλόηεηα; Αζξνηζηηθή ζπρλόηεηα ( Ν ) είλαη o θπζηθόο αξηζκόο πνπ εθθξάδεη ην πιήζνο ησλ παξαηεξήζεσλ πνπ είλαη κηθξόηεξεο ή ίζεο ηνπ. Γειαδή N.... Ση νλνκάδεηαη αζξνηζηηθή ζρεηηθή ζπρλόηεηα;

7 ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΓΔΝΗΚΖ ΠΑΗΓΔΗΑ 7 Αζξνηζηηθή ζρεηηθή ζπρλόηεηα ( F ) είλαη ν αξηζκόο πνπ εθθξάδεη ην πνζνζηό ησλ παξαηεξήζεσλ πνπ είλαη κηθξόηεξεο ή ίζεο ηνπ. Γειαδή F.... Δπίζεο κπνξεί λα ππνινγηζηεί θαη από ηνλ ηύπν: F F N %. N πλήζσο εθθξάδεηαη επί ηνηο εθαηό Ηζρύεη: η) N N ηη) F F ηηη)... k η) k... k )... k... Γξαθηθή παξάζηαζε ΡΑΒΓΟΓΡΑΜΜΑ Σν ξαβδόγξακκα ζπλήζσο εθθξάδεη ηελ γξαθηθή παξάζηαζε ηεο θαηαλνκήο κηαο πνηνηηθήο κεηαβιεηήο. ΓΗΑΓΡΑΜΜΑ Χξεζηκνπνηείηαη ζπλήζσο ζηηο πνζνηηθέο δηαθξηηέο κεηαβιεηέο. Ζ γξακκή πνπ ελώλεη ηηο θνξπθέο, νλνκάδεηαη πνιπγσληθή γξακκή. ΗΣΟΓΡΑΜΜΑ Σν ηζηόγξακκα ζπλήζσο ρξεζηκνπνηείηαη γηα ηελ γξαθηθή παξάζηαζε ηεο θαηαλνκήο κηαο ζπλερνύο πνζνηηθήο κεηαβιεηήο νη νπνίεο πξνθαλώο είλαη νκαδνπνηεκέλεο. Ζ πνιπγσληθή γξακκή πνπ ζπλδέεη ηα κέζα ησλ άλσ βάζεσλ ιέγεηαη πνιύγσλν ζπρλνηήησλ ή ζρεηηθώλ ζπρλνηήησλ Σν εκβαδόλ ηνπ πνιπγώλνπ είλαη ίζν κε ην άζξνηζκα ησλ εκβαδώλ ησλ νξζνγσλίσλ. Σν εκβαδόλ θάζε νξζνγσλίνπ καο δίλεη ηελ ζπρλόηεηα ηεο θιάζεο. ηηο ίζνπ πιάηνπο θιάζεηο επεηδή ην ύςνο είλαη αλάινγν ηεο ζπρλόηεηαο κπνξνύκε λα ζεσξήζνπκε ζαλ ύςνο ηελ ίδηα ηε ζπρλόηεηα. ην ηζηόγξακκα αζξνηζηηθώλ ζπρλνηήησλ ε πνιπγσληθή γξακκή έρεη ηελ κνξθή ηνπ δηπιαλνύ ζρήκαηνο. Από απηή βξίζθνπκε ηηκέο πάλσ ή θάησ από έλα πνζό ή πνζνζηό θαη αληίζηξνθα. ΚΤΚΛΗΚΟ ΓΗΑΓΡΑΜΜΑ Κάζε ηνκέαο εθθξάδεη ηελ ζπρλόηεηα ηεο θάζε

8 8 ΣΕΗΑΝΝΖ ΓΗΩΡΓΟ παξαηήξεζεο (ζρεηηθή ή απόιπηε). Ζ γσλία θάζε ηνκέα δίλεηαη από ηνλ ηύπν ω Χξεζηκνπνηείηαη ζε όιεο ζρεδόλ ηηο κεηαβιεηέο. Πνηα είλαη ηα κέηξα ζέζεο; Μέζε ηηκή, Γηάκεζνο Ση νλνκάδεηαη κέζε ηηκή; Ολνκάδνπκε κέζε ηηκή ησλ παξαηεξήζεσλ t, t, t 3,..., t κηαο πνζνηηθήο κεηαβιεηήο θαη ζπκβνιίδνπκε κε, ηνλ αξηζκεηηθό κέζν ησλ παξαηεξήζεσλ. Γειαδή: t t t... t 3 ε κέζε ηηκή δίλεηαη από ηνλ ηύπν: t. Αλ νη παξαηεξήζεηο είλαη ζε πίλαθα θαηαλνκήο ζπρλνηήησλ ηόηε ηελ πεξίπησζε πνπ δίλεηαη κεγαιύηεξε βαξύηεηα ζηηο δηάθνξεο ηηκέο ηεο κεηαβιεηήο ρξεζηκνπνηνύκε ηόηε ηνλ ζηαζκηζκέλν ή ζηαζκηθό κέζν όξν. Γειαδή αλ w, w, w 3,..., w κ κ κ κ είλαη ε βαξύηεηα ησλ ηηκώλ,...,,, 3 αληίζηνηρα ηόηε ν κέζνο όξνο δίλεηαη από ηνλ ηύπν: w w w33... w w w w... w 3 w. w Ση νλνκάδεηαη δηάκεζνο; Ολνκάδνπκε δηάκεζν ησλ παξαηεξήζεσλ t, t, t 3,..., t κηαο πνζνηηθήο κεηαβιεηήο θαη ζπκβνιίδνπκε κε δ, ηελ κεζαία παξαηήξεζε, αλ ην πιήζνο ν είλαη πεξηηηόο θαη ν κέζνο όξνο ησλ δπν κεζαίσλ παξαηεξήζεσλ αλ ην πιήζνο ν είλαη άξηηνο. ΠΑΡΑΣΖΡΖΔΗ. είλαη κέηξν ζέζεο πνπ δελ επηξεάδεηαη από ηηο αθξαίεο παξαηεξήζεηο.. Αλ ην πιήζνο ησλ παξαηεξήζεσλ είλαη πεξηηηόο αξηζκόο (λ), ηόηε ε δηάκεζνο είλαη ε παξαηήξεζε. 3. Αλ ην πιήζνο ησλ παξαηεξήζεσλ είλαη άξηηνο αξηζκόο (λ), ηόηε ε δηάκεζνο είλαη ην εκηάζξνηζκα ησλ λ θαη λ+ παξαηεξήζεσλ. 4. ε νκαδνπνηεκέλεο παξαηεξήζεηο ε δηάκεζνο βξίζθεηαη από ην ηζηόγξακκα αζξνηζηηθώλ ζρεηηθώλ ζπρλνηήησλ επί ηνηο %. Από ηα όκνηα ηξίγσλα ΑΒΓ θαη

9 ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΓΔΝΗΚΖ ΠΑΗΓΔΗΑ 9 ΒΓΔ έρνπκε: A Γ ΔΕ λ κ. Γειαδή ε δηάκεζνο είλαη: δ=θ+. AB EB β α 5 α Πνηα είλαη ηα κέηξα Γηαζπνξάο; Δύξνο, Γηαθύκαλζε, Σππηθή απόθιηζε Ση νλνκάδεηαη Δύξνο; Ολνκάδνπκε εύξνο κηαο πνζνηηθήο κεηαβιεηήο ηελ δηαθνξά ηεο ειάρηζηεο από ηελ κέγηζηε ηηκή ησλ παξαηεξήζεσλ. Ση νλνκάδεηαη Γηαθύκαλζε; Ολνκάδνπκε δηαθύκαλζε ή δηαζπνξά κηαο πνζνηηθήο κεηαβιεηήο ηελ πνζόηεηα s ( t ) ( t )... ( t ) ( t ) t t t Ση νλνκάδεηαη Σππηθή απόθιηζε; Ολνκάδνπκε ηππηθή απόθιηζε κηαο πνζνηηθήο ηελ ηεηξαγσληθή ξίδα ηεο δηαθύκαλζεο. S = S. Ζ ηππηθή απόθιηζε εθθξάδεηαη κε ηηο ίδηεο κνλάδεο πνπ εθθξάδνληαη θαη νη παξαηεξήζεηο. ΚΑΝΟΝΗΚΖ ΚΑΣΑΝΟΜΖ Αλ ε θακπύιε έρεη ην δηπιαλό ζρήκα ιέγεηαη θαλνληθή. Γεληθά αλ κηα θαηαλνκή είλαη θαλνληθή ή πεξίπνπ θαλνληθή ηόηε: ) Ζ δηάκεζνο θαη ε κέζε ηηκή ηαπηίδνληαη. ) ην δηάζηεκα ( s, s ) βξίζθεηαη ην 68% ησλ παξαηεξήζεσλ. 3) ην δηάζηεκα ( s, s ) βξίζθεηαη ην 95% ησλ παξαηεξήζεσλ. 4) ην δηάζηεκα ( 3s, 3s ) βξίζθεηαη ην 99,7% ησλ παξαηεξήζεσλ. 5) Σν εύξνο ηζνύηαη κε έμη πεξίπνπ ηππηθέο απνθιίζεηο, R 6 s Ση νλνκάδεηαη πληειεζηήο κεηαβνιήο; Ολνκάδνπκε πληειεζηή κεηαβνιήο κηαο κεηαβιεηήο ηνλ ιόγν: s CV.

10 ΣΕΗΑΝΝΖ ΓΗΩΡΓΟ Δίλαη αλεμάξηεηνο από ηηο κνλάδεο κέηξεζεο (θαζαξόο αξηζκόο) θαη είλαη κέηξν ζρεηηθήο δηαζπνξάο. Δθθξάδεη ηελ κεηαβιεηόηεηα ησλ δεδνκέλσλ απαιιαγκέλσλ από ηελ επίδξαζε ηεο κέζεο ηηκήο, Μεηξά δειαδή ηελ νκνηνγέλεηα ελόο δείγκαηνο. Έλα δείγκα ιέκε όηη είλαη νκνηνγελέο αλ ν ζπληειεζηήο κεηαβνιήο δελ μεπεξλά ην %. Πσο κεηαβάιινληαη ηα κεηξα ζέζεο θαη ηα κεηξα δηαζπνξάο; Αλ νη ηηκέο ηεο κεηαβιεηήο Υ κεηαβιεζνύλ θαηά πνζό ηόηε: Α) Σα κέηξα ζέζεο κεηαβάινληαη θαηά ην ίδην πνζό Β) Σα κέηξα δηαζπνξάο δελ κεηαβάινληαη Αλ νη ηηκέο ηεο κεηαβιεηήο Υ γίλνπλ: a y y a Α) s a s Β) y y a ηόηε: s y a s R y a R Ση νλνκάδεηαη πείξακα ηύρεο; Κάζε πείξακα πνπ, παξόηη επαλαιακβάλεηαη θάησ από ηηο ίδηεο ζπλζήθεο, δελ κπνξνύκε λα πξνβιέςνπκε ην απνηέιεζκα νλνκάδεηαη πείξακα ηύρεο Ση νλνκάδεηαη δεηγκαηηθόο ρώξνο; Σν ζύλνιν ησλ δπλαηώλ απνηειεζκάησλ ελόο πεηξάκαηνο ηύρεο νλνκάδεηαη δεηγκαηηθόο ρώξνο Ση νλνκάδεηαη ελδερόκελν; Σν ζύλνιν ελόο ή πεξηζζνηέξσλ απνηειεζκάησλ ελόο πεηξάκαηνο ηύρεο ελδερόκελν Σν Ω ιέγεηαη βέβαην ελδερόκελν θαη ην αδύλαην ελδερόκελν νλνκάδεηαη Πόηε δπν ελδερόκελν ιέγνληαη αζπκβίβαζηα; Γπν ελδερόκελα Α θαη Β ιέγνληαη αζπκβίβαζηα ή μέλα κεηαμύ ηνπο όηαλ A B Πνηνο είλαη ν θιαζηθόο νξηζκόο ηεο πηζαλόηεηαο; ε έλα πείξακα ηύρεο, κε ηζνπίζαλα ελδερόκελα, νξίδνπκε σο πηζαλόηεηα ελόο Πλήθος εσνοϊκών περιπηώζεω ν Ν(Α) ελδερνκέλνπ Α ηνλ αξηζκό P A Πλήθος δσναηών περιπηώζεω ν Ν(Ω)

11 ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΓΔΝΗΚΖ ΠΑΗΓΔΗΑ Ηζρύεη: P A B P P P A B P ( A) B) Μόλν αλ ηα ελδερόκελα Α θαη Β είλαη αζπκβίβαζηα. P A B P ( A) B). Αλ A B ηόηε P A P ( B) P A B P ( A B ) A) Δπηπιένλ: A B A B νπόηε P A B Αλ A B ηόηε A B A θαη A B B νπόηε P A B A) θαη P A B B) ( A ) A ( ) ( ) A B A, B θαη A, B A B, A B A, ( ( A A B ( A B ( Σύπνη ηνπ De Morgan εθηόο ύιεο αιιά ρξήζηκνη ζηηο αζθήζεηο Αζθεζηνινγία:. Γηα ηα ελδερόκελα Α θαη Β ηζρύεη Ρ(Α)=,4 θαη Ρ(Β)=,7 ηόηε: Σα Α θαη Β δελ είλαη αζπκβίβαζηα δηόηη Ρ(Α)+ Ρ(Β)=, P A B,4 αθνύ A B A P A B ηόηε P ( A) B) δειαδή, P ( νπόηε, P (, άξα, P (, 4. Πξαγκαηνπνηνύληαη ζπγρξόλσο (ηαπηόρξνλα) ηα ελδερόκελα Α θαη Β: A B 3. Έλα ηνπιάρηζηνλ από ηα ελδερόκελα Α θαη Β παγκαηνπνηείηαη: A B 4. Παγκαηνπνηείηαη κόλν ην Β: B A B A 5. Καλέλα από Α θαη Β παγκαηνπνηείηαη: ( 6. Γελ πξαγκαηνπνηνύληαη ζπγρξόλσο Α θαη Β: ( 7. Αθξηβώο έλα από ηα Α θαη Β πξαγκαηνπνηείηαη: ( ( B A) Ηζρύεη: P ( ( B A) B A) = P ( A) B)