ΣΗΜΕΙΑΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ. ΜΕΡΟΣ 1 ο

Transcript

1 ΣΜΙΚΣ ΠΡΞΙΣ. ΜΡΟΣ 1 ο ΜΙ Ν ΜΘΟΟΣ ΠΟΙΞΣ ΩΜΤΡΙΚΩΝ ΠΡΟΤΣΩΝ Νίκος Ιωσηφίδης, Μαθηµατικός Φροντιστής, έροια iossifid@yahoo.gr ΠΡΙΛΨ ΣΚΟΠΟΣ Στην παρούσα εργασία εισάγεται µια νέα έννοια ΣΜΙΚ ΠΡΞ. Σκοπός της εργασίας αυτής είναι να αλγεβρικοποιήσει ορισµένες αποδεικτικές διαδικασίες της υκλείδειας εωµετρίας. Λόγω της περιορισµένης έκτασης που πρέπει να έχει η εργασία και του χρόνου παρουσίασης, θα περιοριστούµε µόνο στο 1 ο µέρος της εργασίας µε τίτλο ΣΜΙΚΣ ΠΡΞΙΣ (συντοµογραφικά Σ.Π). Θα στηριχτούµε µόνο σε δύο βασικές προτάσεις για να δείξουµε πως µπορούµε να κατασκευάσουµε και ταυτόχρονα να αποδείξουµε µε πολύ σύντοµο τρόπο διάφορες γεωµετρικές προτάσεις. SUMMARY AIM In this work, a new term, Point operation, is introduced. The aim of this work is the algebration of certain evidential proceedings of Euclidian Geometry. Owing to the limited extent which this work must have and its presentation time, we will confine ourselves to only one part of the work, with the title Point operation P.O. for short) We will rely on only two basic theorems in order to show how we can construct and simultaneously prove various geometric theorems very quickly. Στα επόµενα, όπου αναφέρονται σηµεία, θα θεωρούµε ότι ανήκουν στο ίδιο επίπεδο Π και αυτό δεν θα αναφέρεται. Έστω λ, θ R. Ονοµάζουµε Σηµειακή Πράξη (λ, θ) στο Π την απεικόνιση f: Π Χ Π Π κατά την οποία η εικόνα του ζεύγους (, ) Π Χ Π είναι το σηµείο του Π το οποίο ορίζεται ως εξής: Έστω το οµοιόθετο του µε κέντρο το και λόγο θ

2 31 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μαθηµατικής Παιδείας , ΡΟΙ λ (λ > 0 ή λ < 0 ή λ = 0), δηλ. = λ.. Τότε το σηµείο είναι η στροφή του µε κέντρο το και γωνία στροφής θ (θ > 0 ή θ < 0 ή θ = 0). Μια τέτοια πράξη θα συµβολίζεται µε ή. ράφουµε δηλαδή = όπου = (λ, θ). ίναι φανερό ότι η εικόνα του ζεύγους (, ) είναι η ίδια και αν αντιστραφεί η σειρά των µετασχηµατισµών (δηλ. εφαρµοστεί πρώτα η στροφή και κατόπιν η οµοιοθεσία). 1 Μια ειδική, αλλά χρήσιµη Σ.Π είναι η = (,0) κατά την οποία η εικόνα του ζεύγους (, ) είναι το µέσο Μ του τµήµατος. Ισχύει προφανώς = για κάθε σηµείο του Π. Ισχύουν τώρα οι παρακάτω δύο βασικές προτάσεις: ν = (λ,θ) και = (µ,ω) είναι δύο Σ.Π, τότε 1) ( ) = ( ) ( ) και ( ) = ( ) ( ) για τυχαία σηµεία,, δηλαδή οποιαδήποτε Σ.Π είναι επιµεριστική ως προς οποιαδήποτε άλλη Σ.Π ) ( ) ( ) = ( ) ( ) για τυχαία σηµεία,,, Μια γεωµετρική απόδειξη των παραπάνω προτάσεων θα απαιτούσε τη µελέτη πολλών περιπτώσεων (διάφοροι συνδυασµοί των λ και θ). ια τον λόγο αυτό θα δώσουµε µια αναλυτική απόδειξη (δηλ. µε χρήση συντεταγµένων) η οποία καλύπτει όλες τις δυνατές περιπτώσεις. ίναι γνωστό ότι: ν (x, y) είναι οι συντεταγµένες ενός σηµείου και (x, y ) οι συντεταγµένες της εικόνας του κατά την οµοιοθεσία µε κέντρο την αρχή Ο του συστήµατος των συντεταγµένων και λόγο λ, τότε: x =λx y =λy ν το κέντρο οµοιοθεσίας είναι το Κ(x 0, y 0 ), τότε οι παραπάνω τύποι ισχύουν ως εξής: x - x 0 =λ(x - x 0 ) y - y 0 = λ(y - y 0 ) Σελ.

3 Νικ. Ιωσηφίδης: ΣΜΙΚΣ ΠΡΞΙΣ, ΜΡΟΣ 1ο ν (x, y) είναι οι συντεταγµένες ενός σηµείου και (x, y ) οι συντεταγµένες της εικόνας του κατά την στροφή µε κέντρο Ο και γωνία θ, τότε: x = x συνθ y ηµθ y = x ηµθ + y συνθ ν το κέντρο στροφής είναι το Κ(x 0, y 0 ), τότε οι παραπάνω τύποι ισχύουν ως εξής: x - x 0 = (x - x 0 )συνθ (y - y 0 )ηµθ y - y 0 = (x - x 0 )ηµθ + (y - y 0 )συνθ ν τώρα (x, y) ένα σηµείο, (x, y ) η εικόνα του κατά την οµοιοθεσία µε κέντρο Κ(x 0, y 0 ) και λόγο λ και (x, y ) η εικόνα του κατά τη στροφή µε κέντρο το Κ και γωνία θ, θα έχουµε διαδοχικά: x - x 0 =λ(x - x 0 ) y - y 0 = λ(y - y 0 ) x - x 0 = (x - x 0 )συνθ (y - y 0 )ηµθ y - y 0 = (x - x 0 )ηµθ + (y - y 0 )συνθ ή x - x 0 = λ(x - x 0 )συνθ λ(y - y 0 )ηµθ y - y 0 = λ(x - x 0 )ηµθ +λ(y- y 0 )συνθ Θα εφαρµόσουµε τους τελευταίους τύπους για µια συνοπτική απόδειξη της πρώτης βασικής πρότασης: ( ) = ( ) ( ) Ονοµάζουµε =, =, =, =, Θ = Σύµφωνα µε τους παραπάνω τύπους θα είναι: : x - x B =µ(x - x ) συνω - µ(y - y ) ηµω y - y B =µ(x - x ) ηµω + µ(y - y ) συνω : x - x =λ(x x ) συνθ - λ(y y ) ηµθ y - y =λ(x x ) ηµθ + λ(y y ) συνθ : x - x =λ(x x ) συνθ - λ(y y ) ηµθ y - y =λ(x x ) ηµθ + λ(y y ) συνθ Θ: x Θ - x =µ(x x ) συνω - µ(y y ) ηµω Σελ. 3

4 31 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μαθηµατικής Παιδείας , ΡΟΙ y Θ - y =µ(x x ) ηµω + µ(y y ) συνω πό τις σχέσεις αυτές προκύπτει: x = x +λ(x x ) συνθ - λ(y y ) ηµθ +λµ(x - x ) συν(ω+θ)- λµ(y - x ) ηµ(ω+θ) Όµοια βρίσκουµε ότι: x Θ = x και y Θ = y ποµένως Θ, δηλ. ( ) = ( ) ( ) Με το ίδιο τρόπο αποδεικνύονται και οι άλλες προτάσεις. ΦΡΜΟΣ: 1) Το ευθ. τµήµα που συνδέει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. πόδειξη Έστω,, τα µέσα των πλευρών,, τριγώνου αντίστοιχα. Θ.δ.ο // = Έστω η Σ.Π = 1 (,0) Ισχύει: ( ) = ( ) ( ) = ή Λ Κ όπου Λ το µέσο του και Κ το µέσο του. ηλαδή οι διαγώνιες του διχοτοµούνται, άρα το είναι παραλληλόγραµµο και εποµένως // = ή // = ) ίνεται τρίγωνο, τα σηµεία και της πλευράς και τα σηµεία και της πλευράς τέτοια ώστε: λ = = και = = µ. ν Σ είναι το σηµείο τοµής των και να αποδειχθεί ότι: Σ Σ = µ και λ = Κ Λ πόδειξη Έστω οι Σ.Π = (λ, 0) και = (µ, 0). φαρµόζουµε τη σχέση ( ) ( ) = ( ) ( ) (1) ίναι: =, =, = και = (1) λοιπόν γίνεται: = () Σ Σελ. 4

5 Νικ. Ιωσηφίδης: ΣΜΙΚΣ ΠΡΞΙΣ, ΜΡΟΣ 1ο Το 1 ο µέλος της () είναι το σηµείο Σ της µε Σ µ = και το ο µέλος είναι το σηµείο Σ της µε Σ = λ και η πρόταση αποδείχθηκε. 3) ίνεται τετράπλευρο (κυρτό ή µη) και τα σηµεία,,, Θ των πλευρών του,, και αντίστοιχα, τέτοια ώστε: λ = = και Θ = = µ ν Σ = Θ, να αποδειχθεί ότι: ΘΣ λ Θ = και Σ µ = πόδειξη Έστω οι Σ.Π = (λ, 0) και = (µ, 0). φαρµόζουµε τη σχέση ( ) ( ) = ( ) ( ) (1) ίναι: =, =, = Θ και = (1) λοιπόν γίνεται: = Θ () Το 1 ο µέλος της () είναι το σηµείο Σ της Σ µε = µ και το ο µέλος είναι το σηµείο Σ της Θ µε ΘΣ = λ και η πρόταση Θ αποδείχθηκε. Θ Σ 4) ίνεται τρίγωνο. ξωτερικά του κατασκευάζουµε τα ισόπλευρα τρίγωνα και. ν Κ, Λ και Μ είναι τα µέσα των, και αντίστοιχα, να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ισόπλευρο. πόδειξη Έστω οι Σ.Π 1 π = (,0) και = (1, ) 3 φαρµόζουµε τη σχέση: Μ ( ) ( ) = ( ) ( ) Το είναι το µέσο Κ του και το είναι το µέσο Λ του. Κ Λ Το είναι το σηµείο και το είναι το σηµείο. ποµένως η προηγούµενη σχέση γράφεται Κ Λ = Το 1 ο µέλος της τελευταίας είναι η τρίτη κορυφή του ισοπλεύρου τριγώνου µε πλευρά την ΚΛ και το ο µέλος είναι το µέσο Μ του τµήµατος και η πρόταση αποδείχθηκε. Σελ. 5

6 31 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μαθηµατικής Παιδείας , ΡΟΙ 5) ίνεται τρίγωνο. Κατασκευάζουµε εξωτερικά του τα τετράγωνα και. ν Κ, Λ και Μ είναι τα µέσα των, και αντίστοιχα, να Μ αποδειχθεί ότι η ΜΚ είναι κάθετη στην και ίση µε το µισό της. Κ Λ πόδειξη Έστω οι Σ.Π 1 π = (,0) και = (1, ) φαρµόζουµε τη σχέση: ( ) ( ) = ( ) ( ) Το είναι το µέσο Κ του και το είναι το µέσο Λ του. Το είναι το σηµείο και το είναι το σηµείο. ποµένως η προηγούµενη σχέση γράφεται Κ Λ = Το 1 ο µέλος της τελευταίας είναι το σηµείο Μ τέτοιο ώστε ΚΜ = ΚΛ και το ο µέλος είναι το µέσο του τµήµατος και η πρόταση αποδείχθηκε. 6) ίνεται ισόπλευρο τρίγωνο και το ύψος του. Φέρνουµε τις κάθετες στην στα σηµεία και όπως στο σχήµα και πάνω σ αυτές παίρνουµε τµήµατα = =. Φέρνουµε επίσης την κάθετη στην στο σηµείο και πάνω σ αυτήν παίρνουµε τµήµα = όπως στο σχήµα. Να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο. πόδειξη π π Έστω οι Σ.Π = (1, ) και = (1, ) 3 Έστω Λ το συµµετρικό του ως προς την. φαρµόζουµε τη σχέση: ( ) ( ) = ( ) ( ) Το είναι το σηµείο και το είναι το σηµείο Λ. Το είναι το σηµείο και το είναι το σηµείο. ποµένως η προηγούµενη σχέση γράφεται Λ Λ = Το 1 ο µέλος της τελευταίας είναι το σηµείο και το ο µέλος είναι η κορυφή του ισοπλεύρου τριγώνου µε πλευρά την και η πρόταση αποδείχθηκε. Σελ. 6

7 Νικ. Ιωσηφίδης: ΣΜΙΚΣ ΠΡΞΙΣ, ΜΡΟΣ 1ο 7) ίνεται τρίγωνο. Κατασκευάζουµε τα τετράγωνα του σχήµατος,, ΘΙ και ΚΛ. Να αποδειχθεί ότι: α) Θ = ΘΛ και ΘΛ = 90 0 β) ν Ρ, Σ, Τ είναι τα κέντρα των τετραγώνων, ΘΙ και ΚΛ, να αποδειχθεί ότι ΣΡ = ΣΤ και ΡΣΤ = 90 0 πόδειξη α) ίναι άµεση εφαρµογή της σχέσης ( ) = ( ) ( ) µε πράξη την = π (1, ) Θ β) φαρµόζουµε τη σχέση ( ) = ( ) ( ) µε πράξεις τις π π = (1, ) και = (, ) 4 ίναι: =, άρα ( ) = = Τ και = Σ, = Ρ, άρα η προηγούµενη σχέση γράφεται: Τ = Σ Ρ που αποδεικνύει την πρόταση. Ρ Σ Τ Κ Λ Ι ΙΛΙΟΡΦΙ: εργασία αυτή είναι (πιστεύουµε) νέα και γι αυτό δεν υπάρχουν βιβλιογραφικές αναφορές. Σελ. 7