1. Z Á K L A D N É P O J M Y V G E O D É Z I I 1.1 ÚLOHY A ROZDELENIE GEODÉZIE
|
|
- Πολύμνια Φραγκούδης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 1. Z Á K L A D N É P O J M Y V G E O D É Z I I 1.1 ÚLOHY A ROZDELENIE GEODÉZIE Geodézia je náuka o meraní Zeme a meraní na zemi. Delí sa na vyššiu a nižšiu geodéziu. Vyššia geodézia sa zaoberá urovaním tvaru a rozmeru zemského telesa, postavením Zeme vo vesmíre. Nižšia geodézia zahruje metódy merania, výpotov a zobrazovania malých astí zemského povrchu, ktoré z hadiska merania a zobrazovania polohopisu možno považova za rovinu. Pri výškových prácach sa Zem pokladá za guu. Slovo geodézia je gréckeho pôvodu a v pôvodnom význame vyjadrovalo delenie zeme, pôdy, o bolo jednou z hlavných inností starovekých meraov. Celý vedný odbor sa nazýva geodézia a kartografia a patrí medzi matematicko-fyzikálne a technické vedy. Špecializovanými odbormi geodézie sú napr. geodetická astronómia, gravimetria, družicová geodézia, inžinierska geodézia, pozemkové úpravy, fotogrametria. Z technického hadiska sa do geodézie poíta aj kataster nehnuteností. Kartografia sa zaoberá metódami zobrazenia zemského povrchu do roviny a jeho grafickým a matematickým vyjadrením. Základnou úlohou geodézie je: - uri vzájomnú polohu bodov na zemskom povrchu vo vodorovnom a zvislom smere, - zobrazi tieto body na mape. V záujme splnenia týchto úloh je potrebné najprv uri tvar a rozmery zemského telesa ako celku, vybudova sie polohovo a výškovo urených bodov v takej vzájomnej odahlosti, aby sa uahilo podrobné mapovanie pripojené na tieto geodetické základy. Zemský povrch topografický nie je možné matematický definova. Fyzikálne sa definuje ako geoid. Jeho plocha je zvlnená a nehodí sa na geodetické výpoty, nahradzuje sa matematicky definovanými plochami: sféroidom, rotaným elipsoidom alebo guou, prípadne rovinou poda požiadaviek na presnos výpotov. Technickou úlohou geodézie je uri rozmer, tvar a priestorovú polohu jednotlivých predmetov merania, i už predmetov prirodzených alebo umelých, a to vo vzájomnom vzahu, alebo vzhadom ku geodetickým základom. Prirodzenými predmetmi merania sú hranice kultúr, vodstvá, rokle, strže, výsledné formy terénu po zosuvných procesoch, terénne tvary at. Umelými predmetmi merania sú všetky predmety na zemskom povrchu, nad i pod zemským povrchom, ktoré vznikli antropogénnou innosou, ako napr. budovy, komunikácie, hranice pozemkov, nadzemné a podzemné vedenia, banské diela at. Výsledkom geodetických prác je najastejšie mapa asti zemského povrchu vyhotovená v uritej mierke. alšími výsledkami geodetických prác môžu by vytýené stavebné diela vyprojektované na mapových a íselných geodetických podkladoch, íselné a grafické výsledky meraní stavebných konštrukcií, kinematické charakteristiky zosuvných procesov a pod. Meraské práce spojené s urením polohy sa uskutoujú spravidla na menších astiach územia, kedy môžeme zanedba zakrivenie Zeme a postupova poda matematických vzahov rovinnej analytickej geometrie a pri urovaní výšok môžeme zemský povrch nahradi guovou plochou, alebo výnimone rovinou. Mapa prestavuje zmenšený generalizovaný konvenný obraz asti zemského povrchu, prevedený do roviny pomocou matematicky definovaných vzahov (tzv. kartografickým zobrazením). Mierka mapy vyznauje mieru zmenšenia skutonej džky v prírode pri jej zobrazení na mape. Vyjadrujeme ju zlomkom, alebo pomerom: 8
2 1 M = 1: M d = d (1.1) Veliina M sa oznauje ako mierkové íslo, d je skutoná džka a d je zobrazená džka na mape. Mapy delíme poda mierky do troch skupín: a) mapy vekých mierok v pomere zmenšenia až do 1:5 000 vrátane, b) mapy stredných mierok v medziach pomeru zmenšenia od 1:5 000 do 1: vrátane, c) mapy malých mierok zmenšené viac ako 1: Mapy alej rozdeujeme: a) poda obsahu na základné a úelové, b) poda vzniku na pôvodné a odvodené, príp. kombinované. Základná mapa má všeobecne využitený obsah. Volený je tak, aby vyhovoval vekému okruhu užívateov. Úelová (tematická) mapa obsahuje okrem prvkov základnej mapy alebo asti základnej mapy ešte alšie predmety merania a prešetrovania s náplou zvláštneho poslania, ktorému má slúži. Pôvodná mapa vznikla z priameho merania, alebo fotogrametrickým vyhodnotením. Mapa odvodená má prevzatý alebo prepracovaný obsah pôvodnej mapy. Je vyhotovená zmenšovaním, alebo generalizáciou. alej sa stretávame s rôznymi formami mapy. Každý prvok vektorovej mapy má vekos smer a orientáciu. Vektorová mapa má a) íselný záznam obsahu usporiadaný na pamäovom médiu poítaa, b) zobrazovací postup, ktorým íselný záznam obsahu zobrazíme v grafickej podobe ako mapu. Topografická mapa prehadne zobrazuje predmety merania, je spravidla strednej mierky. Generalizáciou, alebo zdôraznením svojho obsahu poskytuje dobrú všeobecnú orientáciu v danom území. 1.2 TVAR A ROZMERY ZEME Zemské teleso hmotnosti M vytvára nad svojím povrchom v zmysle Newtonovho zákona gravitané pole. V každom bode priestoru v okolí Zeme, ako aj na povrchu pôsobí príažlivá (gravitaná) sila f - prejav gravitaného poa a odstredivá sila c - dôsledok otáania Zeme okolo rotanej osi O r, (obr. 1.1). Rotáciou gravitaného poa sa vytvára pole zemskej tiaže. Je to priestor, v ktorom pôsobí sila zemskej tiaže a ktorý charakterizuje tiažové zrýchlenie g. Obr Sily v tiažovom poli Zeme 9
3 Gravitané pole popisujeme intenzitou gravitaného poa K, ktorá charakterizuje pole z hadiska jeho silového pôsobenia na hmotnostnú jednotku m. Táto zložka sa v každom bode poa rovná gravitanému zrýchleniu f ( f = K), ktoré gravitané pole v tomto bode udeuje telesám. Vekos intenzity gravitaného pola guovosymetrického telesa polomeru R (s približným tvarom Zeme) na jeho povrchu v bode B vyplýva z Newtonovho gravitaného zákona K = GMR -2, kde G = 6, m 3 kg -1 s -2 je gravitaná konštanta a M = 5, kg je hmotnos Zeme. Vekos zložky zrýchlenia tiaže g je podmienená rotáciou Zeme (c = ω 2 ρ, kde ω je uhlová rýchlos otáania Zeme a ρ je vzdialenos bodu B od rotanej osi Zeme). Tiažové zrýchlenie, alebo tiež intenzitu tiažového poa Zeme g tvorí vektorový súet zložky vektora gravitaného zrýchlenia f a vektora odstredivého zrýchlenia c (obr.1.1) g = f + c. (1.2) Ak sa silové pole znázorní siloiarami, potom je smer vektora g - smer intenzity tiažového poa v bode B, totožný so smerom dotynice k siloiare t B v bode B. Siloiara je iara, v smere ktorej pôsobí tiaž. Smeruje do stredu otáania Zeme. Dotynica V B sa nazýva aj vertikálou v bode B. Gravitané pole, pole odstredivej sily a tiažové pole možno charakterizova aj potenciálmi príslušných polí W, V a P, ktoré zvýrazujú energetické vlastnosti polí. (Potenciál je energia patriaca polohe danej sústavy.) Platí W = V +P, (1.3) kde W je tiažový potenciál, V gravitaný potenciál a P odstredivý potenciál. Ke sa bude neustále uvažova kolmý smer na smer tiažového zrýchlenia, pre skutoný tiažový potenciál potom všeobecne platí (potenciál tiažového zrýchlenia) W = C (konštanta). (1.4) Zmenou hodnoty C dostaneme inú hladinovú plochu W 1, W 2, v ubovolnej výške vo vzahu k hladine mora. Pre dve nekonene blízke hladinové plochy platí dw = - gdh. Ak dh je ortogonálna vzdialenos hladinových plôch (vzdialenos po tiažnici), potom s narastajúcou výškou dh sa zmenšuje vekos tiažového zrýchlenia g a naopak. Obr Hladinové plochy Rovnica (1.3) vyjadruje plochy, z ktorých každá má v ubovonom bode rovnakú hodnotu potenciálu. Plochy sa nazývajú ekvipotenciálnymi, geopotenciálnymi alebo hladinovými plochami tiaže. Z rovnice tiež vyplýva, že každá ekvipotenciálna plocha je v každom svojom bode kolmá na príslušný smer zemskej tiaže. Siloiary tiažového poa teda vytvárajú vzhadom na hladinové plochy systém ortogonálnych trajektórií (dve navzájom kolmé osnovy iar definované na uritej ploche). V dôsledku nehomogenity Zeme budú siloiary tiažového poa v jednotlivých bodoch povrchu Zeme, v závislosti na rozložení látok rôznej hustoty a objemu meni svoj priebeh. Keže hladinové plochy sú kolmé k siloiaram tiažového poa, priebeh hladinových plôch bude nepravidelný (obr.1.2). 10
4 Hodnota tiažového zrýchlenia g rastie od rovníka k pólom (odstredivá sila je tam nulová). Hladinové plochy sa aj pri svojich nepravidelných tvaroch budú smerom k pólom navzájom približova (obr.1.2). Z množiny hladinových plôch s konštantným potenciálom tiaže, sa tá plocha, ktorej priebeh sa najviac zhoduje z priebehom hladín oceánov a prechádza zvoleným nulovým výškovým bodom (strednou hladinou niektorého mora) nazýva sa geoid a predstavuje nulovú hladinovú plochu s tiažovým potenciálom W 0 = konšt. Geoid je uzavretá spojitá plocha so zložitým a nepravidelným priebehom povrchu, ktorá vyjadruje hustotné a objemové zloženie látok zemskej kôry. Všeobecne sa považuje za plochu telesa, charakterizujúcu tvar a vekos Zeme. Geoid nie je teda analytickou plochou a nemôže sa použi ako referenná plocha pre polohové výpoty. Používa sa však ako referenná plocha pre definovanie druhu výšky. Normálne tiažové pole. Pri urovaní vonkajšieho tiažového poa Zeme, t.j. tiažového poa na a nad zemským povrchom, sa ako jeho aproximácia používa normálne tiažové pole. Je vytvorené telesom - tzv. normálnou Zemou - ktoré má maximálne verne zobrazova skutoný tvar Zeme a o najlepšie nahradzova jeho skutoné tiažové pole. Z geometrického hadiska sa za takéto teleso prijíma rotaný elipsoid, ktorému sa okrem geometrických parametrov (vekej poloosi a a sploštenia a - b i = prisudzujú aj fyzikálne parametre Zeme (hmotnos M E a uhlová rýchlos rotácie ω E ). a Normálne tiažové pole normálneho tvaru Zeme sa potom vytvára gravitanými a rotanými úinkami elipsoidu, priom povrch telesa (normálnej Zeme) má charakter hladinovej plochy. Takýto elipsoid sa nazýva hladinový alebo normálny elipsoid a je aproximáciou geoidu. Možno definova rôzne hladinové elipsoidy. Ten elipsoid, ktorého parametre najlepšie zodpovedajú reálnej Zemi sa nazýva stredný zemský elipsoid. Potenciál normálnej tiaže oznaujeme U. Normálne tiažové pole hladinového elipsoidu charakterizuje normálne tiažové zrýchlenie γ, (obr.1.3). Je to priemet intenzity gravitaného poa normálnej Zeme f E do smeru normály k povrchu hladinového elipsoidu na tomto elipsoide. Obr Normálne hladinové plochy a normálne tiažové zrýchlenie Pre strednú hodnotu γ o normálneho tiažového zrýchlenia na povrchu Zeme sa používa konvenná hodnota 9,80665 m s Tvar Zeme a jeho aproximácie V súasnosti sa za geometrický tvar Zeme pokladá tak geoid - hladinová plocha s tiažovým potenciálom W 0 prechádzajúca nulovým výškovým bodom, ako aj nehladinová plocha kvázigeoid. Pri urovaní geoidu sa prijíma rad hypotéz, pretože nie je dostatone známe rozloženie látok nad geoidom 11
5 a skutoné tiažové pole medzi geoidom a fyzickým povrchom Zeme. Tvar geoidu sa stále spresuje. Kvázigeoid je aproximácia tvaru Zeme urená výlune na základe vykonaných geodetických, astronomických a gravimetrických meraní. Plochy geoidu a kvázigeoidu sú si navzájom blízke. Najväšie rozdiely dosahujú v oblasti pevnín približne 2 m. V oblasti oceánov majú obidve plochy totožný priebeh. Urenie plochy kvázigeoidu, ale aj jeho definície, si vysvetlíme nasledovnou úvahou. V bode B na fyzickom povrchu Zeme (obr. 1.4) oznaíme potenciál skutoného tiažového poa hodnotou W B a potenciál normálneho tiažového poa hodnotou U B. Pritom potenciál normálneho tiažového poa U B závisí od zemepisnej šírky a od výšky h nad hladinovým elipsoidom U B = U(ϕ, h). (1.5) Hladinový elipsoid, vzažnú nulovú plochu U 0 normálneho tiažového poa Zeme, zvolíme tak aby U 0 = W 0 = konšt. (1.6) Rozdiely skutoných a normálnych potenciálov medzi hladinovými plochami v bode B a príslušnými nulovými plochami sú vo všeobecnosti rôzne, teda W B - W 0 U B - U 0 = U(ϕ, h) - U 0. (1.7) Obr Hladinové a referenné plochy Na siloiare t B prechádzajúcej bodom B je možné uri takú výšku H N, s ktorou sa potenciálny rozdiel U(ϕ, h) - U 0 bude rovna rozdielu W B - W 0, teda W B - W 0 = U(ϕ,h) - U 0 (1.8) Výška H N na siloiare t B uruje bod B, v ktorom vzhadom na rovnicu (1.6) bude poda (1.8) plati W B = U(ϕ, h) = U B (1.9) teda normálny potenciál U B sa v bode B bude rovna skutonému potenciálu W B v bode B. Výška H N sa nazýva normálna výška bodu B. Je to výška bodu B nad hladinovým elipsoidom. Ak sa táto výška nanesie z bodu B z fyzického povrchu Zeme na siloiaru t B smerom do vnútra Zeme, koncový bod Q spolu s množinou podobne získaných bodov determinuje plochu, ktorá sa nazýva kvázigeoid (normálna výška je vzdialenos bodu na fyzickom povrchu Zeme od kvázigeoidu meraná pozdž siloiary). Veliina ξ je výška kvázigeoidu nad hladinovým elipsoidom. N predstavuje výšku geoidu nad elipsoidom (výšková anomália). 12
6 Kvázigeoid je teda nehladinová plocha, ktorá od zemského fyzického povrchu prebieha vo vzdialenostiach H N, ležiacich na siloiarach normálneho tiažového poa. Je urená tak, aby sa rozdiely potenciálov skutoných W a normálnych U v bode B a príslušnými nulovými plochami rovnali. Kvázigeoid sa uruje bez hypotéz o rozložení látok vo vnútri geoidu. Telluroid sa nazýva taká nehladinová plocha, pre body ktorej platí W B = U B. Na zložitej a nepravidelnej ploche geoidu alebo kvázigeoidu nie možné v praxi rieši geodetické úlohy, alebo na ne zobrazi väšie asti zemského povrchu, pretože tieto plochy nie je možné analyticky jednoducho vyjadri. Aproximáciami geoidu, resp. kvázigeoidu na výpotové a zobrazovacie práce sú rôzne definované elipsoidy, guové plochy a roviny Referenný elipsoid Poda historických prameov o približné urenie rozmerov Zeme sa pokúsil Eratosthenes približne 220 rokov pre naším letopotom, a to priamym meraním vzdialenosti medzi Alexandriou a Asuánom. V 9. storoí to boli arabskí matematici. V 16. storoí francúzsky matematik Fernel uril džku kvadrantu odmeraním vzdialenosti medzi dvoma miestami, ktorých rozdiel zemepisných šírok bol 1. Džku vyjadril potom otoiek kolesa na voze. Spresnenie rozmeru Zeme dosiahol Snellius, ktorý as džky poludníka uril z merania trojuholníkového reazca. Z ureného rozmeru kvadrantu zemského poludníka Delambreom v roku 1800 sa uril rozmer základnej džkovej jednotky metra (1 m = 1/ štvrkvadrantu zemského poludníka). Rozmery elipsoidu neskôr spresnili Bessel, Hayford a iní. Parametre zemského elipsoidu sa urujú z tzv. stupových meraní. Z rôzne rozsiahlych a stále presnejších stupových meraní boli postupne urené parametre viacerých rotaných zemských elipsoidov. Plochu geoidu by najlepšie aproximoval trojosový zemský elipsoid. Geometria trojosového elipsoidu je však tak zložitá, že v geodetickej praxi sa zásadne používajú rotané elipsoidy. Ak je uritý zemský elipsoid zvolený pre geodetický systém, nazýva sa referenný elipsoid. Z hladinových elipsoidov sa ako optimálna aproximácia geoidu prijíma stredný zemský elipsoid. K tomuto optimálnemu modelu Zeme sa približovali rôzne referenné elipsoidy napr. Besselov (1841), Krasovského (1940). Oba tieto elipsoidy tvoria základ kartografického zobrazenia a polohového súradnicového systému v bývalom eskoslovensku a teraz na Slovensku. Geodetická asociácia pri zasadaní Valného zhromaždenia medzinárodnej geodetickej a geofyzikálnej únie (MUGG) v Lucerne v roku 1969 odporuila, aby pre vedecké úely bol používaný elipsoid lucernský, alebo len elipsoid Jeho parametre boli urené z doteraz najrozsiahlejších meraní. V súasnosti stredný zemský elipsoid najlepšie aproximuje referenný elipsoid IAG 1980, prijatý na 17. valnom zhromaždení Medzinárodnej geodetickej a geofyzikálnej únie. Oznauje Európsky terestrický referenný systém Jeho parametre osí a a b má tiež elipsoid Svetového geodetického systému WGS 84 (World Geodetic System), (tab. 1.1). Rozmery jednotlivých elipsoidov Tabuka 1.1 Besselov Hayfordov Krasovského WGS - 84 Hlavná poloos a ,16 m m m m Vedajšia poloos b ,96 m ,95 m ,02 m ,31 m Sploštenie i ( a b) / a = 1/299,15 1/297,00 1/298,30 1/298,26 Meridiánový kvadrant Q ,76 m ,30 m m ,73 m Referenná gua. Matematické riešenie geodetických úloh na elipsoide je pomerne zložité. V matematickej kartografii a pri riešení niektorých geodetických úloh sa elipsoid nahradzuje guou 13
7 vhodného polomeru. Náhradnú guu, ktorá vcelku, alebo len v uritom zvolenom rozsahu prilieha k elipsoidu a tak ho nahrádza, nazývame referenná gua. Vo všeobecných výpotoch staí používa guu o jednotnom polomere r urenom zo vzorca: 3 r = a 2 b. (1.9) Z rozmerov Krasovského elipsoidu odvodený polomer r = 6371,11 km. 1.3 KARTOGRAFICKÉ ZOBRAZOVANIE Zobrazenie zemského telesa na rovinu mapy sa uskutouje poda niektorého druhu kartografického zobrazenia (kartografickej projekcie). Tvar zemského povrchu aproximovaný elipsoidom, alebo guou sa nedá priamo rozvinú do roviny, preto pri zobrazovaní zemského povrchu do roviny nastáva skreslenie džok, uhlov a plôch. Úlohou kartografického zobrazenia je uskutoni priemet zakriveného zemského povrchu tak, aby pre dané územie sa napr. neskresovali uhly a skreslenie džok bolo minimálne. Obr Gnomonické azimutálne zobrazenie Zemský povrch môžeme zobrazi v rovine premietnutím na: a) dotykovú rovinu azimutálne projekcie, b) pláš kužea kužeové (kónické) projekcie, c) pláš valca valcové (cylindrické) projekcie. Pri azimutálnych projekciách môže ma zobrazovacia rovina polohu pólovú alebo všeobecnú, t.j. rovina sa dotyka referennej gule v póle, alebo ktoromkovek bode. Ak stred premietania je 14
8 totožný so stredom referennej gule, hovoríme o gnomonickej projekcii (obr. 1.5). Stereografická projekcia má stred premietania v protipóle (obr. 1.6). a ortografická projekcia má stred premietania v nekonene. Azimutálne projekcie majú najmenšie skreslenie v priestore okolo dotyku zobrazovacej roviny. Princíp kužeového zobrazenia, u ktorého je os zobrazovacieho kužea totožná s osou rotaného elipsoidu, prípade s osou referennej gule, je znázornený na obr Zemepisná sie sa premietne na pláš kužea, ktorý sa pozdž jednej povrchovej priamky akoby rozreže a vystrie do roviny. Takto vznikne rovinná sie, v ktorej sú poludníky zobrazené ako priamky prechádzajúce vrcholom kužea a obrazmi rovnobežiek sú sústredné kružnice so stredom vo vrchole kužea. Dotyková rovnobežka, ktorá je spoloná pre referennú guu aj kuže sa neskresuje, polomery ostatných rovnobežiek sa oproti polomerom rovnobežiek na guli zväšia, resp. zmenšia. Ako mapa sa použije plocha pláša pozdž dotykovej rovnobežky, kde je najmenšie skreslenie. Obr Stereografické zobrazenie U valcového zobrazenia sa môže pláš valca dotýka gule pozdž rovníka (valec v normálnej polohe) (obr. 1.8), alebo pozdž uritého poludníka (valec v transverzálnej polohe), prípadne má všeobecnú polohu, ke sa gule dotýka pozdž ubovonej hlavnej kružnice. Rovnobežky a poludníky premietnuté zo stredu gule na valec v normálnej polohe sa po jeho rozvinutí do roviny javia ako obdžniková zemepisná sie. Rovnobežky sa zobrazia ako rovnobežné horizontálne priamky a poludníky ako rovnobežné vertikálne priamky. Na naznaených princípoch je vypracovaný celý rad rozliných projekcií na dotykových, alebo sených rovinách kužeov a valcov. Pritom sa tieto projekcie upravili matematickými operáciami tak, aby sa neskresovali uhly (konformné zobrazenia) alebo džky (ekvidištantné zobrazenia). Používajú sa tiež kompenzané zobrazenia, u ktorých sa sasti vyrovnáva uhlové a plošné skrerslenie. 15
9 Obr Kužeové zobrazenie 1.4 SÚRADNICOVÉ SYSTÉMY Obr Valcové zobrazenie Zemepisné súradnice (obr. 1.9) ϕ - zemepisná šírka, λ - zemepisná džka, sa v technickej praxi používajú zriedkavo. V nižšej geodézii sa ako zobrazovacia plocha používa rovina, na ktorej máme možnos vyjadri vzájomnú polohu bodov rovinnými súradnicami vo zvolenom pravouhlom, alebo polárnom súradnicovom systéme. V pravouhlom súradnicovom systéme sú dve na seba kolmé priamky osami systému, ich prieseník je poiatkom súradnicového systému (obr. 1.10). 16
10 Polárne súradnice bodu P vzhadom na poiatok O sú orientaný uhol (tiež smerník) σ a vzdialenos s. Pravouhlé súradnice y a x sú vzdialenosti bodu P od osí súradnicového systému. Obr Zemepisné súradnice Vzah medzi polárnymi a pravouhlými súradnicami vyjadrujú rovnice: σ = arcsin y = s sin σ y s x σ = arccos s x = s cos σ, Obr Rovinné súradnice (1.10) kde s je džka spojnice dvoch bodov, premietnutých do vodorovnej roviny. V geodézii sa na zobrazovanie používajú obidva systémy, ale na súradnicové urovanie polohy bodov polohového bodového poa a predmetov merania sa užívajú výhradne pravouhlé súradnicové systémy. Jestvujúce geodetické súradnicové systémy majú spoloný znak v tom, že os +X sa vždy volí v smere poludníka prechádzajúceho zvoleným poiatkom, os +Y je kolmá na os +X v pravotoivom systéme. Pre osobitné úlohy sa používajú aj miestne súradnicové systémy, zachovávajúce pravotoivý systém poradia osí. Os + X sa vkladá do ubovoného objektom podmieneného smeru, ako napr. hlavná os stavby, polygónová strana, dotynica k oblúku a pod. Poiatok sa volí tak, aby všetky súradnice boli kladné. Na mapových dielach Slovenskej republiky (SR) sú použité tieto geodetické súradnicové systémy: Systém jednotnej trigonometrickej siete katastrálnej (K ovákovo zobrazenie), má skratku S JTSK a Súradnicový systém 1942 ( S 42) Systém jednotnej trigonometrickej siete katastrálnej S JTSK charakterizujú údaje: a) Besselov elipsoid, ktorého tvar definujú konštanty a, b, i (tab. 1.1), 17
11 b) rozmer, poloha a orientácia Štátnej trigonometrickej siete (ŠTS) na Besselovom elipsoide, ktoré sú odvodené zo súboru identických bodov stredoeurópského stupového merania, c) K ovákovo zobrazenie, ktorým sa Besselov elipsoid zobrazuje do roviny, d) systém rovinných pravouhlých súradníc. S JTSK má dvojité zobrazenie, pri ktorom sa zemský elipsoid (Besselov) najprv konformne (uhlovozhodne) zobrazil na guu (tzv. Gaussovu guu), ktorá sa dotýka elipsoidu v jednom bode základnej rovnobežky ϕ o = Gaussova gua sa alej konformne zobrazila na šikmo položenú kužeovú plochu, ktorá pretína pláš gule v dvoch rovnobežných iarach (obr. 1.11). Pláš kužea sa potom dotýka zmenšenej zemskej gule o polomere r = 0,9999 r, kde r = ,6105 km. Obr Schéma kužeového zobrazenia vo všeobecnej polohe Obr Zobrazenie kartografických rovnobežiek a poludníkov Zobrazenie na šikmý kuže sa zvolilo v záujme zmenšenia džkového skreslenia. Územie eskej republiky (R) a SR sa dostalo do pása širokého V prípade postavenia kužea v normálnej 18
12 polohe, pás územia R a SR medzi dvoma rovnobežkami by bol Na kuželi rozvinutom do roviny sa kartografické poludníky zobrazia ako priamky vychádzajúce z vrcholu kužea a obrazmi kartografických rovnobežiek sú koncentrické kružnice (obr. 1.12). Zvolený základný poludník prebiehajúci v λ = východne od Ferra, predstavuje kladnú vetvu osi X, os +Y je orientovaná na západ. Na základe tejto úpravy súradnicového systému leží SR v jedinom kvadrante s kladnými súradnicami všetkých bodov. V S - JTSK sa neskresujú uhly. Maximálne džkové skreslenie je 0,1 m/km. Efekt skreslenia je udaný rozdielom kartograficky zobrazovanej džky s a odmeranej džky s t.j. s - s = m. Hodnotu džkového skreslenia odítame z diagramu na strane 95, alebo sa vypoíta poda vzahu (5.53). Do diagramu sa vynesú súradnice ažiska záujmového územia a íta sa hodnota džkového skreslenia v milimetroch pre džku 100 m. Nulové džkové skreslenie je pozdž kartografických rovnobežiek, kde pláš kužea pretína Gaussovu guu. V S JTSK sa zobrazila celá eskoslovenská trigonometrická sie. Triangulaný operát sl. trigonometrickej siete je zostavený poda triangulaných listov, ktorých lenenie vyznauje obr Základné triangulané listy rozmerov 50 x 50 km sa delia na 25 triangulaných listov rozmerov 10 x 10 km. Obr Rozdelenie základného triangulaného listu na triangulané listy a íslovanie triangulaných listov v rámci základného triangulaného listu Z rozmerov triangulaných listov sú odvodené rozmery máp vo vekých mierkach a rozmery Základnej mapy SR vekej mierky. Body základného polohového bodového poa okrem vlastného ísla sú oznaené aj nomenklatúrnym íslom, t. j. evidennou jednotkou napr. 6208, kde 68 predstavuje íslo základného triangulaného listu a 08 íslo triangulaného listu. Súradnicový systém JTSK sa používa pre všetky práce v SR, ktoré podliehajú zákonu o geodézii a kartografii (zákon. 215/1995) Súradnicový systém
13 V tomto zobrazovacom systéme sa predmety merania zobrazujú na valec v transverzálnej polohe (obr. 1-12), ktorý sa dotýka zemského telesa (Krassovského referenného elipsoidu) pozdž stredného, tzv. základného poludníka zobrazujúceho sa v skutonej vekosti (Gaussovo zobrazenie). Ostatné poludníky sa skresujú a zobrazia ako krivky symetrické voi obrazu základného poludníka. Džkové skreslenie sa v tomto zobrazení zväšuje so štvorcom vzdialenosti od základného poludníka. Preto sa pre geodetické úely volí obmedzene široký pás územia, ktorý sa zobrazuje na pláš valca. Rozmer zobrazovaných pásov bol medzinárodne urený hodnotami 2, 3 a 6 zemepisnej džky. U nás sa používajú 3 a 6 poludníkové pásy Krasovského elipsoidu. Pre celé zobrazenie zemského elipsoidu deleného na 6 pásy treba celkom 60 polôh valcov v transverzálnej polohe. 6 poludníkové pásy sa používajú pre topografické mapovanie. Pásy sú íslované arabskými íslicami ponúc od λ = 180 zemepisnej džky priebežne na východ od 1 až po 60. SR sa nachádza v 33. a 34. poludníkovom páse. 3 poludníkové pásy sa používali v rokoch 1955 až 1970 pre technicko-hospodárske mapovanie. Obr Gaussovo valcové zobrazenie Obr Súradnicové systémy a šesstupové pásy Gaussovho zobrazenia Každý poludníkový pás má svoj súradnicový systém. Os +X tvorí obraz základného poludníka. Obraz rovníka predstavuje os +Y s orientáciou na východ (obr. 1.15). Súradnice v tomto systéme sa používajú len na prevod súradníc medzi jednotlivými pásmi a na výpoet súradníc rohov mapových listov. V ostatných prípadoch sa používajú upravené súradnice. Súradnica X ostáva nezmenená a súradnica Y sa mení poda rovnice Y = K + y, kde konštanta K = 500 km + (n.10 3 km) a n znaí 20
14 íslo poludníkového pásu. S ohadom na takto posunutý zaiatok súradnicového systému všetky X- ové a Y-ové súradnice nad rovníkom majú kladnú hodnotu. 21
Matematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότεραMatematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότεραSúradnicová sústava (karteziánska)
Súradnicová sústava (karteziánska) = sú to na seba kolmé priamky (osi) prechádzajúce jedným bodom, na všetkých osiach sú jednotky rovnakej dĺžky-karteziánska sústava zavedieme ju nasledovne 1. zvolíme
Διαβάστε περισσότερα25. KONFERENCE O GEOMETRII A POČÍTAČOVÉ GRAFICE
25. KONFERENCE O GEOMETRII A POČÍTAČOVÉ GRAFICE Margita Vajsáblová ZOBRAZENIA NA KUŽEĽOVÚ PLOCHU POUŽITÉ NA ÚZEMÍ ČR A SR Abstrakt Cieľom príspevku je popis geometrických vlastností kužeľových zobrazení
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότερα3. GEODETICKÉ ZÁKLADY
3. GEODETICKÉ ZÁKLADY Všeobecnou úlohou technickej geodézie je určovanie priestorovej polohy bodov. Určovanie polohy bodov členíme na: - polohové určovanie bodov, - výškové určovanie bodov, - priestorové
Διαβάστε περισσότερα23. Zhodné zobrazenia
23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραELEKTRICKÉ POLE. Elektrický náboj je základná vlastnosť častíc, je viazaný na častice látky a vyjadruje stav elektricky nabitých telies.
ELEKTRICKÉ POLE 1. ELEKTRICKÝ NÁBOJ, COULOMBOV ZÁKON Skúmajme napr. trenie celuloidového pravítka látkou, hrebeň suché vlasy, mikrotén slabý prúd vody... Príčinou spomenutých javov je elektrický náboj,
Διαβάστε περισσότερα16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh
16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh Kružnica k so stredom S a polomerom r nazývame množinou všetkých bodov X v rovine, ktoré majú od pevného bodu S konštantnú vzdialenosť /SX/ = r, kde r (patri)
Διαβάστε περισσότερα8. M A P O V É P O D K L A D Y P R E P R O J E K T O V Ú D O K U M E N T Á C I U
8. M A P O V É P O D K L A D Y P R E P R O J E K T O V Ú D O K U M E N T Á C I U Požiadavky investinej výstavby na projektovú dokumentáciu a realizáciu stavebných objektov sú orientované na zaistenie kvalitných
Διαβάστε περισσότεραKapitola K2 Plochy 1
Kapitola K2 Plochy 1 Plocha je množina bodov v priestore, ktorá vznikne spojitým pohybom čiary u, ktorá nie je dráhou tohto pohybu, pričom tvar čiary u sa počas pohybu môže meniť. Čiara u sa nazýva tvoriaca
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότερα1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2
1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2 Rozdiel LMT medzi dvoma miestami sa rovná rozdielu ich zemepisných dĺžok. Pre prevod miestnych časov platí, že
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότεραZÁKLADNÉ GEOMETRICKÉ TELESÁ. Hranolová plocha Hranolový priestor Hranol
II. ZÁKLADNÉ GEOMETRICKÉ TELESÁ Hranolová plocha Hranolový priestor Hranol Definícia II.1 Nech P n je ľubovoľný n-uholník v rovine α a l je priamka rôznobežná s rovinou α. Hranolová plocha - množina bodov
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότερα9. M E T Ó D Y P O D R O B N É H O M E R A N I A
9. M E T Ó D Y P O D R O B N É H O M E R A N I A Podrobné meranie predstavuje zameranie polohopisu a výškopisu uritej asti zemského povrchu za úelom vyhotovenia mapy. Zobrazením výsledkov merania vzniká
Διαβάστε περισσότεραMetodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότερα3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Διαβάστε περισσότεραKATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita
132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:
Διαβάστε περισσότεραKontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.
Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,
Διαβάστε περισσότερα7. V Ý Š K O V É M E R A N I E
7. V Ý Š K O V É M E R A N I E Pri výškovom meraní urujeme výškové rozdiely (relatívne výšky) medzi dvojicami bodov na zemskom povrchu, z ktorých odvodzujeme absolútne (nadmorské) výšky bodov. Absolútna
Διαβάστε περισσότεραZákladné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky
Základné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky Opakovanie učiva II. ročníka, Téma 1. A. Príprava na maturity z fyziky, 2008 Outline Molekulová fyzika 1 Molekulová fyzika Predmet Molekulovej fyziky
Διαβάστε περισσότερα11. U R O V A N I E P L Ô C H A O B J E M O V Z E M N Ý C H P R Á C
. U R O V A N I E P L Ô C H A O B J E M O V Z E M N Ý C H P R Á C astou úlohou stavebnej i geodetickej praxe je urova plochy horizontálnych alebo vertikálnych obrazcov, ktoré sme zamerali a vyjadrili v
Διαβάστε περισσότεραMargita Vajsáblová. ρ priemetňa, s smer premietania. Súradnicová sústava (O, x, y, z ) (O a, x a, y a, z a )
Mrgit Váblová Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 101 Zákldné pom v onometrii Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 102 Definíci 1: onometri e rovnobežné premietnie bodov Ε 3 polu prvouhlým úrdnicovým
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότεραMatematický model robota s diferenciálnym kolesovým podvozkom
Matematický model robota s diferenciálnym kolesovým podvozkom Demonštračný modul Úlohy. Zostavte matematický model robota s diferenciálnym kolesovým podvozkom 2. Vytvorte simulačný model robota v simulačnom
Διαβάστε περισσότεραDOMÁCE ZADANIE 1 - PRÍKLAD č. 2
Mechanizmy s konštantným prevodom DOMÁCE ZADANIE - PRÍKLAD č. Príklad.: Na obrázku. je zobrazená schéma prevodového mechanizmu tvoreného čelnými a kužeľovými ozubenými kolesami. Určte prevod p a uhlovú
Διαβάστε περισσότεραDESKRIPTÍVNA GEOMETRIA
EKRIÍN GEERI meódy zobrzovni priesorových úvrov do roviny (premieni) mericé polohové vzťhy priesorových úvrov riešené v rovine bsh predmeu G Zobrzovcie meódy: olohové mericé úlohy: ongeov projeci Rezy
Διαβάστε περισσότερα1. Trojuholník - definícia
1. Trojuholník - definícia Trojuholník ABC sa nazýva množina takých bodov, ktoré ležia súčasne v polrovinách ABC, BCA a CAB, kde body A, B, C sú body neležiace na jednej priamke.. Označenie základných
Διαβάστε περισσότεραVektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich
Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:
Διαβάστε περισσότεραZÁKLADY KARTOGRAFIE A TOPOGRAFIE
Univerzita Mateja Bela v Banskej Bystrici Fakulta prírodných vied Katedra geografie, geológie a krajinnej ekológie Ján JAKUBÍK ZÁKLADY KARTOGRAFIE A TOPOGRAFIE Vysokoškolské skriptá Banská Bystrica 2010
Διαβάστε περισσότεραPovrch a objem ihlana
Povrch a objem ihlana D. Daný je mnohouholník (riadiaci alebo určujúci útvar) a jeden bod (vrchol), ktorý neleží v rovine mnohouholníka. Ak hraničnými bodmi mnohouholníka (stranami) vedieme polpriamky
Διαβάστε περισσότεραANULOID GEOMETRICKÉ VARIÁCIE NA TÉMU ANULOID
ANULOID ÚVOD Matematická analýza a deskriptívna (prípadne konštrukčná) geometria sú dva rôzne predmety, ktoré úzko spolu súvisia. Anuloid a guľová plocha sú plochy technickej praxe.v texte sú z geometrického
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Διαβάστε περισσότεραAFINNÉ TRANSFORMÁCIE
AFINNÉ TRANSFORMÁCIE Definícia0..Zobrazenie f: R n R m sanazývaafinné,ak zachováva kolinearitu(t.j. priamka sa zobrazí buď na priamku alebo na jeden bod), zachovávadeliacipomer(t.j.akprekolineárnebody
Διαβάστε περισσότεραstereometria - študuje geometrické útvary v priestore.
Geometria Geometria (z gréckych slov Geo = zem a metro = miera, t.j. zememeračstvo) je disciplína matematiky prvýkrát spopularizovaná medzi starovekými grékmi Tálesom (okolo 624-547 pred Kr.), ktorý sa
Διαβάστε περισσότεραZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3
ZDNIE _ ÚLOH 3_Všeobecná rovinná silová sústv ZDNIE _ ÚLOH 3 ÚLOH 3.: Vypočítjte veľkosti rekcií vo väzbách nosník zťženého podľ obrázku 3.. Veľkosti známych síl, momentov dĺžkové rozmery sú uvedené v
Διαβάστε περισσότεραNávrh vzduchotesnosti pre detaily napojení
Výpočet lineárneho stratového súčiniteľa tepelného mosta vzťahujúceho sa k vonkajším rozmerom: Ψ e podľa STN EN ISO 10211 Návrh vzduchotesnosti pre detaily napojení Objednávateľ: Ing. Natália Voltmannová
Διαβάστε περισσότερα9.4 KONŠTRUKCIA MÁP Konštrukcia mapového listu v grafickej podobe
Vyžadovaná presnos podrobného merania vymedzuje použitie tej-ktorej metódy merania polohopisu a výškopisu. Nájdením optimálneho pomeru medzi vyžadovanou presnosou a dosiahnutenou presnosou metódy merania
Διαβάστε περισσότεραOrientácia na Zemi a vo vesmíre
Orientácia na Zemi a vo vesmíre Orientácia na Zemi Podmienky: a) rovina b) smer podľazačiatku: 1) súradnice topocentrické 2) súradnice geocentrické 3) súradnice heliocentrické pravouhlá sústava súradníc
Διαβάστε περισσότεραEinsteinove rovnice. obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity. Pavol Ševera. Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky
Einsteinove rovnice obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity Pavol Ševera Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky (Pseudo)historický úvod Gravitácia / Elektromagnetizmus (Pseudo)historický
Διαβάστε περισσότεραZáklady metodológie vedy I. 9. prednáška
Základy metodológie vedy I. 9. prednáška Triedenie dát: Triedny znak - x i Absolútna početnosť n i (súčet všetkých absolútnych početností sa rovná rozsahu súboru n) ni fi = Relatívna početnosť fi n (relatívna
Διαβάστε περισσότερα6 Gravitačné pole. 6.1 Keplerove zákony
89 6 Gravitačné pole Pojem pole patrí k najzákladnejším pojmom fyziky. Predstavuje formu interakcie (tzv. silového pôsobenia) v prostredí medzi materiálnymi objektmi ako sú častice, atómy, molekuly a zložitejšie
Διαβάστε περισσότεραPREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
Διαβάστε περισσότεραPRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm
PRUŽINY PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY VIAC AKO 200 RUHOV SKRUTNÝCH PRUŽÍN PRIEMER ROTU d = 0,4-6,3 mm èíslo 3.0 22.8.2008 8:28:57 22.8.2008 8:28:58 PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY TECHNICKÉ PARAMETRE h d L S Legenda
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIA 4 KONŠTRUKČNÁ GEOMETRIA
GEOMETRIA 4 KONŠTRUKČNÁ GEOMETRIA Obsahom predmetu je súhrn poznatkov viacerých geometrických disciplín od elementárnej planimetrie a stereometrie, syntetickej deskriptívnej geometrie, cez analytickú a
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότεραPRUŽNOSŤ A PEVNOSŤ PRE ŠPECIÁLNE INŽINIERSTVO
ŽILINSKÁ UNIVERZITA V ŽILINE Fakulta špeciálneho inžinierstva Doc. Ing. Jozef KOVAČIK, CSc. Ing. Martin BENIAČ, PhD. PRUŽNOSŤ A PEVNOSŤ PRE ŠPECIÁLNE INŽINIERSTVO Druhé doplnené a upravené vydanie Určené
Διαβάστε περισσότερα8. TRANSFORMÁCIA SÚRADNÍC
8. TRANSFORMÁCIA SÚRADNÍC V geodetickej pra je častou úlohou zmeniť súradnice bodov bez toho aby sa zmenila ich poloha na zemskom povrchu. Zmenu súradníc označujeme pojmom transformácia. Transformácia
Διαβάστε περισσότεραZhodné zobrazenia (izometria)
Zobrazenie A, B R R (zobrazenie v rovine) usporiadaná dvojica bodov dva body v danom poradí (záleží na poradí) zápis: [a; b] alebo (a; b) karteziánsky (kartézsky) súčin množín množina všetkých usporiadaných
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότεραSTATIKA STAVEBNÝCH KONŠTRUKCIÍ I Doc. Ing. Daniela Kuchárová, PhD. Priebeh vnútorných síl na prostom nosníku a na konzole od jednotlivých typov
Priebeh vnútorných síl na prostom nosníku a na konzole od jednotlivých typov zaťaženia Prostý nosník Konzola 31 Príklad č.14.1 Vypočítajte a vykreslite priebehy vnútorných síl na nosníku s previslými koncami,
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότεραC. Kontaktný fasádny zatepľovací systém
C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém C.1. Tepelná izolácia penový polystyrén C.2. Tepelná izolácia minerálne dosky alebo lamely C.3. Tepelná izolácia extrudovaný polystyrén C.4. Tepelná izolácia penový
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραAnalytická geometria
Analytická geometria Analytická geometria je oblasť matematiky, v ktorej sa študujú geometrické útvary a vzťahy medzi nimi pomocou ich analytických vyjadrení. Praktický význam analytického vyjadrenia je
Διαβάστε περισσότεραZobrazenia v rovine. Každé zhodné zobrazenie v rovine je prosté a existuje k nemu inverzné zobrazenie.
Zobrazenia v rovine Zobrazením Z z množiny A do množiny B nazývame predpis, ktorý každému prvku x množiny A priraďuje práve jeden prvok y množiny B. Zobrazenie v rovine priraďuje každému bodu X danej roviny
Διαβάστε περισσότεραTermodynamika. Doplnkové materiály k prednáškam z Fyziky I pre SjF Dušan PUDIŠ (2008)
ermodynamika nútorná energia lynov,. veta termodynamická, Izochorický dej, Izotermický dej, Izobarický dej, diabatický dej, Práca lynu ri termodynamických rocesoch, arnotov cyklus, Entroia Dolnkové materiály
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické funkcie
Goniometrické funkcie Oblúková miera Goniometrické funkcie sú funkcie, ktoré sa používajú pri meraní uhlov (Goniometria Meranie Uhla). Pri týchto funkciách sa uvažuje o veľkostiach uhlov udaných v oblúkovej
Διαβάστε περισσότερα2 Základy vektorového počtu
21 2 Základy vektorového počtu Fyzikálne veličíny sa dajú rozdeliť do dvoch skupín. Prvú skupinu fyzikálnych veličín tvoria tie, pre ktorých jednoznačné určenie postačí poznať veľkosť danej fyzikálnej
Διαβάστε περισσότερα1. MERANIE VÝKONOV V STRIEDAVÝCH OBVODOCH
1. MERIE ÝKOO TRIEDÝCH OBODOCH Teoretické poznatky a) inný výkon - P P = I cosϕ [] (3.41) b) Zdanlivý výkon - úinník obvodu - cosϕ = I [] (3.43) P cos ϕ = (3.45) Úinník môže by v tolerancii . ím je
Διαβάστε περισσότερα9 Planimetria. 9.1 Uhol. Matematický kufrík
Matematický kufrík 89 9 Planimetria 9.1 Uhol Pojem uhol patrí k najzákladnejším pojmom geometrie. Uhol môžeme definovať niekoľkými rôznymi spôsobmi, z ktorých má každý svoje opodstatnenie. Jedna zo základných
Διαβάστε περισσότεραCIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z DESKRIPTÍVNEJ GEOMETRIE
ŠTÁTNY PEDAGOGICKÝ ÚSTAV CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z DESKRIPTÍVNEJ GEOMETRIE BRATISLAVA 2012 Schválilo Ministerstvo školstva, vedy, výskumu a športu Slovenskej republiky dňa
Διαβάστε περισσότεραS ohadom na popis vektorov a matíc napr. v kap. 5.1, majú normálne rovnice tvar
6. STREDNÁ ELIPSA CHÝ Na rozdiel od kaitoly 4.4 uebnice itterer L.: Vyrovnávací oet kde ú araetre eliy trednej chyby odvodené alikáciou zákona hroadenia tredných chýb v tejto kaitole odvodíe araetre trednej
Διαβάστε περισσότεραPovrch a objem hranola
Povrch a objem hranola D. Daný je mnohouholník (riadiaci alebo určujúci útvar) a priamka, ktorá nie je rovnobežná s rovinou mnohouholníka. Ak hraničnými bodmi mnohouholníka (stranami) vedieme priamky rovnobežné
Διαβάστε περισσότεραSpojité rozdelenia pravdepodobnosti. Pomôcka k predmetu PaŠ. RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 26. marca Domovská stránka. Titulná strana.
Spojité rozdelenia pravdepodobnosti Pomôcka k predmetu PaŠ Strana z 7 RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 6. marca 3 Zoznam obrázkov Rovnomerné rozdelenie Ro (a, b). Definícia.........................................
Διαβάστε περισσότεραÚLOHA Č.8 ODCHÝLKY TVARU A POLOHY MERANIE PRIAMOSTI A KOLMOSTI
ÚLOHA Č.8 ODCHÝLKY TVARU A POLOHY MERANIE PRIAMOSTI A KOLMOSTI 1. Zadanie: Určiť odchýlku kolmosti a priamosti meracej prizmy prípadne vzorovej súčiastky. 2. Cieľ merania: Naučiť sa merať na špecializovaných
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότερα5. VÝŠKOVÉ URČOVANIE BODOV
5. VÝŠKOVÉ URČOVANIE ODOV 5. Druhy výšok Nadmorská výška bodu P je súradnica určená v smere siločiary tiažového poľa. Podľa toho, aká je referenčná (nulová) plocha nad ktorou sa definuje výška, rozlišujeme
Διαβάστε περισσότεραKontrolné otázky z jednotiek fyzikálnych veličín
Verzia zo dňa 6. 9. 008. Kontrolné otázky z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej odpovede sa môže v kontrolnom teste meniť. Takisto aj znenie nesprávnych odpovedí. Uvedomte si
Διαβάστε περισσότεραZOBRAZOVACIE METÓDY 2. I Mongeovo zobrazenie
ZOBRAZOVACIE METÓDY 2 (prvý ročník, letný semester; prednáška 2 hod., cvičenie 2 hod. / týž.; 6 kreditov, 40 / 60) Program druhého semestra (Zobrazovacie metódy 2): I Mongeovo zobrazenie; II Perspektívna
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah rovinných útvarov
Obvod a obsah rovinných útvarov Z topologického hľadiska bod môže byť vnútorný, hraničný a vonkajší vzhľadom na nejaký rovinný útvar. D. Bod je vnútorný, ak môžeme nájsť taký polomer r, že kruh so stredom
Διαβάστε περισσότεραVektorové a skalárne polia
Vetorové a salárne pola Ω E e prestorová oblasť - otvorená alebo uavretá súvslá podmnožna bodov prestoru E určených arteánsm súradncam usporadaným trocam reálnch čísel X [ ] R. Nech e salárna unca torá
Διαβάστε περισσότεραOhmov zákon pre uzavretý elektrický obvod
Ohmov zákon pre uzavretý elektrický obvod Fyzikálny princíp: Každý reálny zdroj napätia (batéria, akumulátor) môžeme považova za sériovú kombináciu ideálneho zdroja s elektromotorickým napätím U e a vnútorným
Διαβάστε περισσότεραREZISTORY. Rezistory (súčiastky) sú pasívne prvky. Používajú sa vo všetkých elektrických
REZISTORY Rezistory (súčiastky) sú pasívne prvky. Používajú sa vo všetkých elektrických obvodoch. Základnou vlastnosťou rezistora je jeho odpor. Odpor je fyzikálna vlastnosť, ktorá je daná štruktúrou materiálu
Διαβάστε περισσότεραOdporníky. 1. Príklad1. TESLA TR
Odporníky Úloha cvičenia: 1.Zistite technické údaje odporníkov pomocou katalógov 2.Zistite menovitú hodnotu odporníkov označených farebným kódom Schématická značka: 1. Príklad1. TESLA TR 163 200 ±1% L
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Διαβάστε περισσότερα2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania
2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania Akej chyby sa môžeme dopustiť pri meraní na stopkách? Ako určíme ich presnosť? Základné pojmy: chyba merania, hrubé chyby, systematické chyby, náhodné
Διαβάστε περισσότεραMANUÁL PRAVOUHLÉ PREMIETANIE, PREMIETACÍ KÚT 02_VP00010
MANUÁL PRAVOUHLÉ PREMIETANIE, PREMIETACÍ KÚT 02_VP00010 ZLOŽENIE UČEBNEJ POMÔCKY základňa bočné steny 2 ks sklenená matnica bočné steny 2 ks zrkadlo LED zdroj svetla fixačný element ochranné okuliare ROZSAH
Διαβάστε περισσότεραPodnikateľ 90 Mobilný telefón Cena 95 % 50 % 25 %
Podnikateľ 90 Samsung S5230 Samsung C3530 Nokia C5 Samsung Shark Slider S3550 Samsung Xcover 271 T-Mobile Pulse Mini Sony Ericsson ZYLO Sony Ericsson Cedar LG GM360 Viewty Snap Nokia C3 Sony Ericsson ZYLO
Διαβάστε περισσότεραPovrch a objem zrezaného ihlana
Povrch a objem zrezaného ihlana Ak je daný jeden ihlan a zobereme rovinu rovnobežnú s postavou, prechádzajúcu ihlanom, potom táto rovina rozdelí teleso na dve telesá. Jedno teleso je ihlan (pôvodný zmenšený
Διαβάστε περισσότεραFYZIKA DUSˇAN OLCˇA K - ZUZANA GIBOVA - OL GA FRICˇOVA Aprı l 2006
FYZIKA DUŠAN OLČÁK - ZUZANA GIBOVÁ - OL GA FRIČOVÁ Apríl 2006 2 Obsah 1 o-g-f:mechanický pohyb tuhého telesa 5 1.1 Kinematika hmotného bodu......................... 6 1.1.1 Rýchlost a zrýchlenie pohybu....................
Διαβάστε περισσότεραG. Monoszová, Analytická geometria 2 - Kapitola III
text obsahuje znenia viet, ktoré budeme dokazovat na prednáškach text je doplnený aj o množstvo poznámok, ich ciel om je dopomôct študentom k lepšiemu pochopeniu pojmov aj súvislostí medzi nimi text je
Διαβάστε περισσότεραMeranie na jednofázovom transformátore
Fakulta elektrotechniky a informatiky TU v Košiciach Katedra elektrotechniky a mechatroniky Meranie na jednofázovom transformátore Návod na cvičenia z predmetu Elektrotechnika Meno a priezvisko :..........................
Διαβάστε περισσότερα1. ZAKLADY VYŠŠEJ GEODÉZIE
1. ZAKLADY VYŠŠEJ GEODÉZIE Geodézi je náuk o merní Zeme lebo jej čstí o merní n zemi. (Modernejši verzi tej istej myšlienky by mohl znieť: geodézi je vedná disciplín o poznávní priestoru čsu v oblsti plnéty
Διαβάστε περισσότερα5. M E R A N I E D Ž O K
5. M E R A N I E D Ž O K Meranie džok predstavuje v geodézii druhý základný výkon. Uskutouje sa rôznymi spôsobmi a meraskými pomôckami. Pod oznaením džka s (napr. polygónovej strany, meraskej priamky a
Διαβάστε περισσότερα