CAPITOLUL II PROBLEME DE OPTIMIZARE IN RETELE DE TRANSPORT SI DISTRIBUTIE

Transcript

1 CURSUL 8 CAPITOLUL II PROBLEME DE OPTIMIZARE IN RETELE DE TRANSPORT SI DISTRIBUTIE. Modelarea problemelor de trasport şi distribuţie Îtr-o mare varietate de cotexte se pue problema deplasării uei catităţi Q ce poate fi materie, eergie, iformaţie, etc. di uele locuri umite surse î alte locuri umite destiaţii, această deplasare realizâdu-se pe aumite rute de legătură. Uităţile idivizibile ale catităţii Q care se deplasează de-alugul rutelor se vor umi uităţi de flux.. O clasificare a problemelor de trasport şi distribuţie Petru Cercetarea Operaţioală, problema euţată va prezeta iteres umai dacă respectă următoarele ipoteze: a) cel puţi o sursă poate aprovizioa mai multe destiaţii şi cel puţi o destiaţie poate primi uităţi de flux de la mai multe surse. Rutele de legătură pot avea şi alte pucte comue î afara surselor şi destiaţiilor, umite pucte itermediare sau de trazit. Nu sut excluse legăturile directe ître surse sau ître destiaţii. Î pricipiu, orice rută poate fi parcursă î ambele sesuri, dar pot exista şi rute cu ses uic. 00 F c c 2 C c 3 C c 2 c F 2 c 23 C : sursă (furizor) : destiaţie (cosumator) a) Figura b) Asamblul surselor, destiaţiilor, al puctelor itermediare şi al rutelor de legătură se va umi reţea de trasport; el se idetifică cu u graf eorietat sau parţial orietat ca î figura... b) Uele rute de legătură pot avea limitări superioare şi / sau iferioare petru volumul uităţilor de flux ce se deplasează îtr-u ses sau altul. Aceste limitări poartă umele de capacităţi (iferioare, respectiv superioare). Î cotiuare, vom avea î vedere umai cazul î care toate capacităţile iferioare sut egale cu zero, capacităţile superioare fiid exprimate pri umere pozitive. c) Există u cost al deplasării uei uităţi de flux de la u puct al reţelei la altul,cost care poate fi exprimat î bai, timp sau distaţă. Sut situaţii î care acest cost poate semifica profitul obţiut de pe urma deplasării. Pe aceeaşi rută, costurile ce şi capacităţile pot diferi î fucţie de sesul de parcurgere. Ipoteza a) va fi îtotdeaua presupusă î timp ce ipotezele b) şi c) pot fiiţa separat sau simulta. ) Î prezeţa ipotezei c) şi abseţa codiţiei b) se pue problema deplasării catităţii de flux Q de la surse la destiaţii la u cost total miim. Dacă sursele sut î legătură directă cu destiaţiile obţiem problema clasică de trasport, care va face obiectul secţiuilor imediat următoare. Cazul geeral, î care exisă şi pucte itermediare, este cuoscut sub umele de problema trasferului şi el u face obiectul

2 cursului de faţă. Î cazul particular al uei sigure surse s, al uei sigure destiaţii t şi a uei sigure uităţi de flux se obţie problema drumului de cost miim de la s la t. 2) Î prezeţa ipotezei b) şi abseţa ipotezei c) se pue problema dacă reţeaua, ale cărei rute sut capacitate, este capabilă să permită acoperirea itegrală a cererilor î puctele de destiaţie. Petru aceasta, se va rezolva problema determiării volumului maxim Q* de uităţi de flux ce pot fi deplasate de la surse la destiaţii. Dacă Q* < Q vor exista destiaţii a căror cerere este acoperită doar î parte şi atuci se ridică problema măririi capacităţii de trasfer a reţelei. Am descris succit problema fluxului maxim. 3) Î prezeţa simultaă a ipotezelor b) şi c) se pue problema satisfacerii cererilor î puctele de destiaţie la u cost de trasport miim. Ca şi î cazul precedet vom avea î vedere o problemă modificată: vom determia mai îtâi catitatea maximă de flux ce poate fi deplasată de la surse la destiaţii şi apoi modul de orgaizare al deplasării astfel îcât costul operaţiei să fie miim. Aceasta este problema fluxului (maxim) de cost miim. Î secţiuile următoare e vom ocupa umai de problema clasică de trasport; ea va fi privită ca o problemă de programare liiară cu o structură specială şi rezolvată pri metodele programării liiare. Celelalte probleme idetificate vor fi tratate î cuprisul Capitolului 3 al cursului, Teoria Grafurilor..2 Problema clasică de trasport. Problema de trasport echilibrată (PTE) U produs omoge (de exemplu bere) se află dispoibil î localităţile F, F 2,..., F m î catităţile a, a 2,..., a m şi este cerut petru cosum î cetrele C, C 2,..., C î catităţile b, b 2,..., b. Se presupue cuoscut costul c i al trasportului uei uităţi de produs de la F i la C. Se pue problema satisfacerii cererii î puctele de cosum la u cost total de trasport miim. Cetrele furizoare, cetrele cosumatoare, legăturile directe ître ele şi costurile uitare de trasport sut vizualizate de obicei pritr-u graf orietat (ca î figura.. a). Evidet, o codiţie ecesară şi suficietă petru existeţa uei soluţii a problemei formulate este ca totalul catităţilor dispoibile să acopere totalul cererilor: m a b i i= = (.2.) Î cotiuare, codiţia (.2.) va fi presupusă îdepliită. Vom presupue de asemeea că : a i > 0, i =,...,m şi b > 0, =,...,. Dacă otăm cu x i catitatea livrată de furizorul F i cosumatorului C, modelul matematic al problemei (clasice) de trasport este: (PT) Să se determie ( x ) i =,..., m, =,..., care satisfac restricţiile: i x a i =,..., m (.2.2) = m i i x b =,..., (.2.3) i= i codiţiile de eegativitate: xi 0 =,..., m =,..., şi care miimizează ficţia obiectiv: f m = c x i= = i i (.2.4) Iegalităţile (.2.2) exprimă ceriţa ca totalul livrărilor fiecărui furizor să se îcadreze î dispoibil; iegalităţile (.2.3) arată că cererea fiecărui cosumator trebuie să fie acoperită pri totalul catităţilor primite; î fie, (.2.4) este expresia costului total al trasportului.

3 Vom spue că problema de trasport (PT) este echilibrată dacă: m a = b i i= = (.2.5) Se observă imediat că (.2.5) atrage după sie satisfacerea cu egalitate a restricţiilor (.2.2) şi (.2.5). Pri urmare, modelul matematic al uei probleme de trasport echilibrate este: x i = ai i =,..., m = m xi = b =,..., ( PTE) i= x i 0 m (mi) f = ci x i i= = (.2.6) (.2.7) Remarcăm faptul că (PTE) este o problemă de programare liiară î formă stadard, cu m + restricţii şi m variabile. Se arată uşor că matricea A a coeficieţilor sistemului de restricţii di (PTE), care apare î tabelul.., are ragul m + -. Aceasta îseamă că î sistemul (.2.6) - (.2.7) putem elimia o ecuaţie fără ca mulţimea soluţiilor admisibile să se modifice. Î coseciţă: Orice soluţie de bază a problemei (PTE) are cel mult m + - compoete eule. O soluţie de bază a problemei (PTE) se va umi edegeerată dacă are exact m + - compoete eule; altmiteri, ea se va zice degeerată. Î cotiuare, vom presupue că orice soluţie a problemei (PTE) este edegeerată. Cazul î care (PTE) are şi soluţii degeerate va fi aalizat î secţiuea 2.5. x...x M i M m M M x.... x i...x i... x i..... x m...x m... x m Tabelul...3 Câteva elemete de teoria grafurilor Î secţiuea. am vizualizat elemetele uei reţele de trasport pritr-u dese compus di pucte şi arce care uesc uele di aceste pucte (vezi figura..). U asemeea dese costituie forma uzuală de prezetare a uui cocept deosebit de importat, atât î sie cât şi petru studiul uei impresioate varietăţi de probleme di cele mai diverse domeii, domeiul ecoomic fiid prioritar

4 Am socotit deci ecesar să icludem aici câteva elemete privitoare la coceptul de graf, căci despre el este vorba. Aceste elemete vor fi foarte utile petru îţelegerea cosideraţiilor teoretice dezvoltate î legătură cu rezolvarea problemei de trasport şi de asemeea costituie cadrul atural de abordare şi a celorlalte probleme amitite î clasificarea dată î secţiuea precedetă. U graf este u cuplu G = (V,E) format ditr-o mulţime evidă V, ale cărei elemete se umesc vârfuri sau oduri şi o mulţime E de elemete, zise muchii, cu proprietatea că fiecărei muchii e E îi sut asociate două oduri x, y V, u eapărat disticte, umite extremităţile muchiei e. U subgraf al grafului G = (V,E) este u graf G = (V,E ) î care V V, E E şi orice muchie e E are aceleaşi extremităţi atât î G cât şi î G. După cum se vede, defiiţia geerală u exclude existeţa muchiilor cu o sigură extremitate (aceste muchii se umesc bucle), ici existeţa mai multor muchii cu aceleaşi extremităţi (figura.3. a) x u y t z a) b) Figura.3. v Graful G se va umi simplu dacă u are bucle şi oricare două oduri sut extremităţi petru cel mult o muchie. Vom spue că G este fiit dacă vârfurile şi muchiile sale sut î umăr fiit. Î cotiuare, vom avea î vedere î exclusivitate grafuri fiite şi simple aşa cum este cel reprezetat grafic î figura.3. b). Fie e = {x, y} o muchie a grafului G = (V,E); extremităţile sale pot fi ordoate î două moduri: (x, y) şi (y, x). Cele două perechi se umesc rute orietate sau arce geerate de muchia subiacetă e; spuem că arcul (x, y) are extremitatea iiţială x şi extremitatea fială y şi că (y, x) este arcul opus lui (x, y). A orieta muchia {x, y} îseamă a alege uul di arcele (x, y) sau (y, x); dacă a fost ales arcul (x, y) vom spue că (x, y) este u arc permis şi că arcul (y, x) este blocat. Dacă o asemeea alegere u a fost făcută vom spue că muchia {x, y} este eorietată. Î acest caz, coveim ca ambele arce (x, y) şi (y, x), geerate de muchia {x, y}, să fie cosiderate permise. Î fie, a da o orietare î graful G îseamă a orieta uele di muchiile sale; orietarea poate fi totală sau parţială după cum toate muchiile grafului au fost orietate sau umai o parte di ele. Este clar că î acelaşi graf G pot fi date mai multe orietări; dacă G are m muchii, atuci există 2 m orietări totale diferite ale acestuia! U graf orietat (parţial orietat, eorietat) este u graf î care s-a dat o orietare totală (o orietare parţială, respectiv u s-a dat ici o orietare); de exemplu, graful di figura.. a) este (total) orietat iar cel di figura.. b) umai parţial. Graful di figura.3. b) este eorietat. Î uele situaţii este util să se puă î evideţă arcele permise ale uui graf (parţial) orietat; realizarea grafică, ituitivă a acestei operaţii este făcută î figura.3.2. x y x y z t z t Figura.3.2

5 Se costată uşor că dacă G este (total) eorietat, umărul arcelor permise este de două ori mai mare decât umărul muchiilor di G. Î cotiuare vom itroduce o serie de oţiui frecvet utilizate î teoria grafurilor. Uele di ele se referă la muchii şi de aceea se umesc geeric cocepte eorietate altele se referă la rutele orietate permise, drept care se mai umesc şi cocepte orietate. Vom cosidera u graf (fiit, simplu) G =(V,E), î care (evetual) s-a dat o orietare pe uele di muchii (posibil pe toate). U laţ î graful G este o succesiue de oduri λ = (x 0, x,..., x p -, x p ) cu proprietatea că {x 0, x }, {x, x 2 },..., {x p -, x p } sut muchii î G. Vom spue că x 0 şi x p sut extremităţile laţului λ şi că λ trece pri odurile itermediare x,..., x p -. Laţul λ se zice simplu dacă u trece de două ori pri acelaşi od. Pri defiiţie lugimea laţului λ este dată de umărul muchiilor compoete. Astfel, laţurile de lugime uu se idetifică cu muchiile grafului G; u laţ de lugime doi este costituit di două muchii adiacete (au o extremitate î comu). U ciclu este u laţ ale cărui extremităţi coicid. Î figura.3. b) succesiuile de oduri λ = (x, y, t, u, v) şi λ = (x, z, y, t, z, v) sut laţuri: λ este u laţ simplu de lugime 4 î timp ce λ are lugimea 5 şi u este simplu. Succesiuea µ = (x, y, t, u, x) este u ciclu de lugime 4. U drum î graful G este o succesiue de oduri δ = (x 0, x,..., x p -, x p ) cu proprietatea că (x 0, x ), (x, x 2 ),..., (x p -, x p ) sut arce permise. Nodul x 0 este extremitatea iiţială a drumului δ iar x p extremitatea fială. U circuit este u drum ale cărui extremităţi coicid. Este clar că orice drum este u laţ, reciproca efiid adevărată îtotdeaua. Î figura.3.2, δ = (z, t, x) este u drum de lugime 2 iar µ = (x, y, t, x) este u circuit de lugime 3; î acelaşi graf, λ = (z, x, y) este u laţ care u este u drum deoarece arcul (z, x) este blocat. Graful G = (V,E) se zice coex dacă oricare două oduri ale sale sut extremităţile uui laţ. Dacă G u este coex, există partiţiile V = V V 2... V s şi E = E E 2... E s astfel îcât G = (V,E ), G 2 = (V 2,E 2 ),..., G s = (V s,e s ) sut grafuri coexe. Subgrafurile G, G 2,..., G s se umesc compoetele coexe ale grafului G. Graful di figura.3.2 este coex (ca şi cele di figurile aterioare); graful di figura.3.3 are trei compoete coexe. Graful G G 2 Graful G = (V,E) se umeşte bipartit dacă mulţimea odurilor sale poate fi descompusă î două submulţimi evide şi disucte S şi T, astfel îcât orice muchie di G are o extremitate î S şi cealaltă î T. Este clar că graful asociat uei probleme clasice de trasport este bipartit, odurile care reprezită furizorii formâd mulţimea S iar odurile corespuzătoare cosumatorilor alcătuid mulţimea T. Calitatea uui graf de a fi bipartit u depide de modul S T particular de reprezetare aşa cum arată exemplul di figura a b a b.3.4. O caracterizare completă a grafurilor bipartite este oferită de următoarea teoremă: Teorema Köig: U graf este bipartit dacă şi umai dacă u coţie cicluri de lugime impară (altfel spus, orice ciclu al său are u umăr par de muchii). U arbore este u graf coex şi fără cicluri (figura.3.5) c d d Figura.3.4 c Orice arbore este complet caracterizat de oricare di următoarele proprietăţi: ) Orice arbore cu p oduri are p - muchii. 2) ître oricare două oduri ale uui arbore există u uic laţ de muchii. 3) Dacă ître două oduri ale uui arbore adăugăm o muchie se creează u uic ciclu (figura.3.6). 4) Dacă ditr-u arbore scoatem o muchie, graful se discoectează (figura.3.7). G Figura.3.3 G 3

6 * * adaugă * F ig u ra.3.5 ** ** Figura.3.6 ** scoate Figura.3.7 U arbore H îtr-u graf G este u subgraf care - de sie stătător - este u arbore. H se zice maximal dacă coţie toate odurile grafului G (figura.3.8). G Arbore emaximal î G Arbore maximal î G Figura.3.8 IMPORTANT: Toate coceptele itroduse î cadrul acestei secţiui costituie itroducerea la Capitolul 3 Teoria Grafurilor şi u vor mai fi reluate cu acea ocazie..4 O caracterizare î termei de grafuri a soluţiilor uei PTE Să cosiderăm graful G asociat uei probleme de trasport echilibrate (PTE). Acesta are m + vîrfuri şi deci orice arbore maximal î G va avea m + - muchii. Să cosiderăm o soluţie de bază x = ( ) a problemei; î secţiuea.2 am făcut ipoteza că ea este edegeerată. Se poate demostra că cele m + - muchii {F i, C }, corespuzătoare compoetelor eule di x, formează u arbore maximal î G. şi reciproca se dovedeşte a fi adevărată. Fie H u arbore maximal î G; î sistemul celor m + egalităţi (.2. ), (.2. ) să puem x i = 0 petru toate muchiile {F i, C } care u sut î H. Rămâe u sistem de m + ecuaţii cu m + - ecuoscute. Elimiâd ua di ecuaţii, sistemul rămas are o uică soluţie care este o soluţie de bază a PTE. Are loc următoarea teoremă: ître soluţiile de bază ale PTE - toate presupuse edegeerate - şi arborii maximali ai grafului G există o corespodeţă biectivă. x i

7 Observaţie: Orice soluţie x = ( x i ) a PTE va fi îscrisă îtr-u tabel cu m râduri, corepuzătoare furizorilor şi coloae corespuzătoare cosumatorilor. Tabelul va avea m celule sau rute; celula di rîdul i şi coloaa, otată (F i,c ) sau simplu (i, ), va coţie compoeta x i a soluţiei x. Exemplul.4. Să cosiderăm problema de trasport echilibrată defiită de următoarele date: Modelul matematic: C C 2 C 3 C 4 Dispoibil F F F Necesar Tabelul.4. x + x2 + x3 + x4 = 5 x 2 + x 22 + x23 + x24 = 7 x3 + x32 + x33 + x34 = 8 x + x 2 + x3 = 0 x2 + x 22 + x32 = 2 x3 + x23 + x33 = 9 x4 + x 24 + x34 = 9 x i 0 (mi) f = 3x + 3x2 + x3 + 4x4 + 3x2 + 4x x x24 + 4x3 + 3x32 + 6x33 + 2x34 Propuem cititorului să arate că următoarea soluţie este bazică: C F Arborele maximal, corespuzător acestei soluţii este format di muchiile plie. F 2 C 2 C 3 Reciproc, să cosiderăm î G următorul arbore maximal: F C Aulăm î sistemul restricţiilor toate variabilele x i cu proprietatea că muchiile corespuzătoare {F i,c } u apar î arbore. Rezultă sistemul şi soluţia: F 3 C 4 F 2 F 3 C 2 C 3 C 4 x x x x x x x + x = x = 7 x = x = 8 x = = 0 x = 2 = 2 x = 5 + x = 9 x = x = 9 x =

8 2. Adaptarea metodei simplex la rezolvarea PTE Fiid o problemă de programare liiară, PTE se poate rezolva cu autorul metodei simplex. Totuşi, algoritmul simplex va avea î acest caz o descriere specifică datorită uei proprietăţi importate pe care o are matricea A a coeficieţilor PTE. Îtr-adevăr, se poate demostra că orice determiat extras di A are valoarea -, 0 sau. Î coseciţă, dacă dispoibilele a, a 2,..., a m şi cererile b, b 2,..., b sut exprimate pri umere îtregi, orice soluţie de bază va avea compoetele îtregi şi astfel PTE va avea cel puţi o soluţie optimă cu compoete îtregi. 2. Determiarea uei soluţii admisibile de bază iiţiale Să cosiderăm următorul procedeu geeral de costruire a uei soluţii admisibile a PTE. Compoetele ei vor fi determiate progresiv şi îscrise îtr-u tabel aşa cum s-a meţioat î observaţia di secţiuea.4. ( F, C ) ik Iiţializare: Toate cele m rute ale tabelului sut cosiderate eblocate. Etapa k, k. Se alege o rută ( F, C ) ditre cele eblocate. ik k Se pue x = mi( a, b ) şi se blochează ruta aleasă. Vom spue că pe ruta (î celula) k ik k ik k s-a făcut alocarea x. i k k Se actualizează: a a x ik ik ik k b b x k k ik k Dacă a ik = 0 se pue x i k = 0 pe toate rutele ( Fi, C ), k k îcă eblocate, după care acestea se declară blocate. Dacă b = 0 se pue x = 0 pe toate rutele (F i, C ), i i îcă eblocate, după care acestea k ik k k se declară blocate. Dacă toate cele m rute au fost blocate STOP. Altmiteri, se actualizează k k + şi se reiau operaţiile de mai sus. Se costată fără dificultate că asamblul de valori umerice x = (x i ) rezultate î urma aplicării algoritmului costituie o soluţie admisibilă a PTE; se poate arăta că x este o soluţie de bază. Î ipoteza că valorile x i au fost trecute progresiv î tabelul meţioat la îceput,este uşor de văzut că dacă la fiecare etapă se blochează fie rutele aparţiâd uui râd fie cele aparţiâd uei coloae, atuci soluţia costruită are exact m + - compoete eule, altfel spus este edegeerată. Dacă di cotră, după efectuarea uei alocări, se blochează simulta atât râdul cât şi coloaa rutei î care s-a făcut alocarea, soluţia rezultată va fi degeerată! Vom discuta î secţiuea 2.5 ce trebuie făcut î acest caz. Toate metodele de geerare a uei soluţii iiţiale petru PTE au la bază procedura de mai sus. Ele se deosebesc pri modul de alegere a rutelor ( F, C ), ( F, C ),....Astfel: i i2 2 ) Î metoda colţului de ord - vest (N - V), prima rută aleasă este (F,C ). Celelalte se aleg astfel îcât = i i2 i3 Kşi = 2 3 K 2) Î metoda costului (uitar de trasport) miim prima rută ( F, C ) aleasă corespude celui i mai mic cost uitar de trasport. La etapa k, ruta ( F, C ) corespude celui mai mic cost uitar de trasport de pe rutele îcă eblocate la această etapă. ik 3) Metoda difereţelor maxime (Vogel) este o metodă mai elaborată. Presupuem costurile uitare de trasport îscrise îtr-u tabel cu m râduri şi coloae. k

9 Pe fiecare râd şi pe fiecare coloaă a acestui tabel se calculează difereţa ditre cel mai mic cost de trasport şi cel imediat superior; dacă costul miim u este uic, difereţa se va lua egală cu zero. Se idetifică râdul sau coloaa cu cea mai mare difereţă şi aici, î ruta de cost miim, se execută prima alocare di algoritmul precedet. Se refac difereţele pe râdurile şi coloaele eblocate folosidu-se umai costuri "eblocate", după care se reia procedura de alocare. Exemplul 2.. Vom geera o soluţie de bază iiţială petru problema de trasport echilibrată di exemplul.4., folosid pe râd cele trei metode sus amitite. 0 ) Pri metoda colţului N - V se obţie soluţia: () 5 7 (2) (3) 9 Tabelul 2.. (4) (5) 8 (6) Costul asociat acestei soluţii: f = =42 u.m. 2) Pri metoda costului miim rezultă soluţia: 0 (3) 6 6 (4) (5) Tabelul () 8 3) Pri metoda difereţelor maxime se obţie soluţia: 0 (4) 5 7 (6) (5) Tabelul () 8 (Cititorul este îdemat să refacă " î diamică" costrucţia soluţiilor de mai sus!) (6) (2) (3) (2) Observaţie: Metoda colţului N - V, deşi mai simplă, produce î geeral soluţii cu cost mai ridicat deoarece u ţie seama î ici u fel de costurile uitare de trasport. Celelalte metode, acordâd prioritate rutelor "mai ieftie", dau soluţii mai apropiate de soluţia optimă. Experimetele umerice au arătat că metoda difereţelor maxime produce de foarte multe ori chiar soluţia optimă sau î orice caz o soluţie foarte apropiată de aceasta, aşa îcât mulţi utilizatori preferă s-o adopte ca soluţie suboptimală. Î aplicaţiile umerice vom lucra umai cu Metoda costului miim pe tabel, respectiv cu Metoda Vogel. CURSUL 9 Ateţie: umerele îscrise î parateze idică ordiea alocărilor! Costul asociat: f = 23 u.m. Costul asociat: f = 22 u.m. 2.2 Testarea optimalităţii uei soluţii admisibile de bază a PTE Fie x = ( x i ) o soluţie admisibilă de bază a PTE, presupusă edegeerată. Obiectivul este de a găsi o codiţie petru recuoaşterea optimalităţii sale. Să cosiderăm duala problemei de trasport echilibrate: (Q) Să se determie u = ( u, u2, K, u m ) şi v = ( v, v,, v ) care maximizează fucţia: cu restricţiile: m 2 K g = a u + b v i i i= = u + v c i =, K, m ; =, K, (2.2.) i i

10 Teorema ecarturilor complemetare (cap.i, teorema 2.3.4) arată că soluţia x este optimă dacă şi umai dacă există ( u, v) = ( u, K, um, v, K, v ) care satisfac restricţiile (2.2.) ale dualei (Q), astfel îcât ( x, u, v) să verifice relaţiile: x ( u + v c ) = 0 i =, K, m ; =, K, (2.2.2) i i i Să otăm cu I mulţimea rutelor (F i,c ) (sau mai simplu (i,)) cu proprietatea că x i 0. Deoarece soluţia x a fost presupusă edegeerată, mulţimea I are m + - elemete. Di (2.2.2) rezultă că, petru a fi optimă, soluţia duală ( u,v ) de mai sus trebuie să verifice relaţiile: u + v = c ( ) ( i, ) I (2.2.3) i i Să remarcăm că (2.2.3) este u sistem liiar cu m + - ecuaţii şi m + variabile. Deoarece I se idetifică cu u arbore maximal î graful G asociat PTE (a se revedea secţiuea.4!), sistemul (2.2.3) este îtotdeaua compatibil edetermiat soluţiile sale fiid de forma: 0 0 u = u + k i =, K, m ; v = v k =, K, (2.2.4) i i ude k este u parametru iar (u 0, v ) = ( u, K, um, v, K, v ) este o soluţie particulară a sistemului (2.2.3). Rezultă că valorile expresiilor: i = u i + v c i (2.2.5) u depid de soluţia ( u,v ) a sistemului (2.2.3), deoarece: ( u k) ( v k) c u v c i = i + + i = i + i Di cosideraţiile de mai sus deducem următorul criteriu de recuoaştere a optimalităţii soluţiei x: Determiăm o soluţie particulară ( u,v ) a sistemului (2.2.3) şi calculăm i = u i + v - c i petru toate cuplurile (i,) I (petru (i,) I este evidet că i = 0) Dacă toţi i calculaţi sut 0, atuci ( u,v ) este o soluţie a dualei (Q) care împreuă cu x satisface codiţiile de ecart complemetar (2.2.2) şi, î coseciţă, x este o soluţie optimă a PTE. Exemplul 2.2. Vom testa optimalitatea soluţiei determiate î exemplul 2.. pri metoda difereţelor maxime. Sistemul u i + v = c i (i,) I v v 2 v 3 v 4 u 5 9 u +v 2 = 3 u + v 3 = u + v 4 = 4 u u 2 +v = 3 u 2 +v 2 =4 u 3 8 u 3 + v 4 =2 Tabelele Determiăm o soluţie particulară a acestui sistem luâd u = 0 v 2 = 3 u 2 = v = 2 u = 0 v 3 = v 4 = 4 u 3 = -2 Figura 2.2. Este iteresat de urmărit rezolvarea sistemului pe arborele asociat soluţiei x:

11 C v = 2 u = 0 F C 2 v 2 = 3 u 2 = F 2 C 3 v 3 = u 3 = -2 F 3 C 4 v 4 = 4 Figura Calculăm mărimile i = u i + v c i umai petru rutele "eocupate" adică petru rutele (i,) I (Petru cele "ocupate", adică petru rutele (i,) I, ştim că i = 0; î tabelul aceste zerouri au fost îlocuite cu asteriscuri petru a le deosebi de evetualele mărimi i ule, asociate uor rute eocupate. Prezeţa uor asemeea mărimi î cazul î care soluţia curetă este optimă arată că aceasta u este uică! - vezi observaţia 6) di Cap. I, secţiuea 4.2 şi secţiuea următoare 2.3 di care va rezulta că mărimile i se idetifică cu costurile reduse di programarea liiară geerală.) v = 2 v 2 = 3 v 3 = v 4 =4 u = 0 - * * * u 2 = * * - - u 3 = * Tabelul Costatăm că soluţia testată verifică criteriul de optimalitate. 2.3 Îmbuătăţirea uei soluţii de bază Să presupuem că soluţia x cosiderată î secţiuea precedetă u verifică testul de optimalitate; aceasta îseamă că: există o rută ( i, ) = ( Fi, C ) I cu proprietatea i > Vom costrui o soluţie admisibilă de bază x mai buă decît x î sesul că x implică u cost total de trasport mai mic. Adăugăm muchia { Fi C 0 0 }, la arborele H corespuzător soluţiei x. Coform uei proprietăţi a arborilor se va forma u uic ciclu. Deoarece arborele H împreuă cu muchia adăugată fac parte di graful asociat PTE care este bipartit, ciclul format are u umăr par de muchii. Să parcurgem muchiile ciclului îtruul di cele două sesuri posibile, plecâd de exemplu di odul F i0 : F C F C K F C F (2.3.) i0 0 i ip p i0 Fie θ > 0. Costruim o soluţie variabilă x ~ = ( ~ ) a PTE puâd: x i ~ x =, ~ x x, ~ x x,, ~ x x, ~ i θ = i i θ = + i i θ K = + i i θ x = i x p p p p 0 p i0 θ p ~ x = x i rest (2.3.2) i i

12 Deoarece soluţia x este presupusă edegeerată, petru θ suficiet de mic, (2.3.2) este o soluţie admisibilă a PTE. Costul asociat soluţiei ~ x va diferi de costul asociat soluţiei x pri valoarea: f = f ( ~ x ) f ( x) = θ( c c + c c + K+ c c ) = θ [ c ( u + v ) + ( u + v ) ( u + v ) + K+ ( u + v ) ( u + v )] = θ ( c u v ) = θ < i0 0 i 0 i i2 ip p i0 p i0 0 i 0 i i2 ip p i0 p i0 0 i0 0 i0 0 0 de ude: f ( ~ x ) = f ( x) θ i 0 0 (2.3.3) Relaţia (2.3.3) arată că ~ x implică u cost total de trasport mai mic decât soluţia curetă x, difereţa fiid cu atât mai mare cu cât θ sau i 0 este mai mare. 0 Petru a meţie admisibilitatea soluţiei (2.3.2) este ecesar ca: de ude rezultă că θ u poate depăşi valoarea: x θ 0, x θ 0, K, x θ 0 i 0 i 2 i 0 p { p } θ 0 = mi xi, x = 0 i,, 2 x x i0 is s K (2.3.4) Luăm î (2.3.2) θ = θ 0 şi otăm cu x soluţia ~ x corespuzătoare. Ea va avea cel mult m + - compoete eule; îtr-adevăr, î oua soluţie x i = θ > iar î vechea soluţie x i 0 = 0. Pe de altă parte, 0 compoeta x i corespuzătoare miimului di (2.3.4) este acum ulă î timp ce î vechea soluţie x era s s pozitivă. Noua soluţie x este şi o soluţie de bază, deoarece ea corespude arborelui H obţiut di F C F, C. H { i, 0 0 } îdepărtâd muchia { is s } Exemplul 2.3. Cosiderăm problema de trasport echilibrată di exemplul.4. şi soluţia x geerată î exemplul 2.. pri metoda colţului N-V. Aplicăm acestei soluţii testul de optimalitate di secţiuea precedetă. Sistemul u i + v = c i (i,) I 0 5 u +v = 3 u +v 2 = ` u 2 + v 2 = 4 u 2 +v 3 = 3 u 2 + v 4 = 6 8 u 3 + v 4 = 2 Tabelele Determiăm o soluţie particulară a sistemului luâd de exemplu u 2 = 0, după care calculăm mărimile = u + v c petru rutele "eocupate": i i i v = 4 v 2 = 4 v 3 = 3 v 4 = 6 u = - * * u 2 = 0 * * * u 3 = * Tabelul Rutele "ocupate au fost marcate cu asteriscuri! Deoarece există şi mărimi i pozitive, soluţia testată u este optimă. Cosiderăm ruta eocupată (F,C 3 ) î care 3 = > 0. Adăugăm la arborele H al soluţiei x muchia {F,C 3 }:

13 C F x 2 = 5 - θ C 2 F Rezultă ciclul: C 2 x 22 = 7 + θ x 3 = θ F 2 F 2 x 23 = 9 - θ C 3 C 3 F 3 C 4 Pe muchiile ciclului au fost puse î evideţă compoetele di soluţia variabilă ~ x care depid de parametrul θ > 0. Acest ciclu se poate pue î evideţă şi î tabelul 2.3. al soluţiei x pritr-u cotur poligoal care îcepe di celula (,3) şi "coteşte" î ughi drept pri celulele ocupate (2,3), (2,2), (,2) - vezi tabelul θ - θ θ 9 - θ + - Tabelul Coturul va avea u umăr par de "colţuri" deoarece acestea corespud muchiilor ciclului. 8 Î tabelul apare î fapt soluţia variabilă ~ x defiită î (2.3.2). Costul asociat al trasportului, calculat cu relaţia (2.3.3) are valoarea: f ( ~ x ) = f ( x) θ 3 = 43 θ Petru determiarea comodă a lui θ 0 di (2.3.4) putem proceda astfel: marcăm succesiv colţurile coturului poligoal cu + şi - îcepâd cu + î celula (,3). Atuci θ 0 este exact miimul compoetelor soluţiei x care sut situate î celulele marcate cu (-): θ 0 = x 2 = 5. Noua soluţie x apare î tabelul (2.3.5): C Tabelul şi corespude arborelui H dedus di H {F,C 3 } elimiâd muchia {F,C 2 }: F F 2 C 2 C 3 F 3 Ivităm cititorul să repete calculele făcute î acest exemplu plecâd de la soluţia di tabelul C Algoritm de rezolvare a PTE. Covergeţă Ca şi pâă acum e vom referi la problema de trasport echilibrată (PTE) al cărei model matematic a fost prezetat î secţiuea.2 şi vom presupue î cotiuare că toate soluţiile sale de bază sut

14 edegeerate. Dezvoltările teoretice di secţiuile precedete ca şi exemplele ilustrative coduc la următorul algoritm de rezolvare a PTE. Iiţializare. Se determiă pritr-o metodă oarecare (vezi secţiuea 2.) o soluţie admisibilă de bază de start x = ( x i ). Coţiutul uei iteraţii. ) Se asociază furizorilor variabilele u, u 2,..., u m şi cosumatorilor variabilele v, v 2,..., v. Asociem fiecărei rute ocupate (i,) (aceasta îsemâd x i >0) o ecuaţie de forma u i + v = c i. Se determiă o soluţie particulară ( u, v) a sistemului format. Petru aceasta se acordă o valoare particulară (îtotdeaua zero) ueia ditre variabile (de regulă, celei care apare de cele mai multe ori); valorile celorlalte variabile se determiă apoi î mod uic. Se calculează mărimile i = u i + v c i petru toate rutele eocupate (adică acolo ude x i = 0). 2) (Test de optimalitate) Dacă toţi i 0 soluţia curetă x este optimă. î caz cotrar: 3) Se idetifică ruta (i 0, 0 ) cu cel mai mare i 0 pozitiv. Î tabelul soluţiei x se idetifică uicul 0 cotur poligoal care îcepe şi sfârşeşte î celula (i 0, 0 ) şi coteşte î ughi drept umai pri celule ocupate (acest cotur corespude ciclului format î arborele H asociat soluţiei x, după adăugarea muchiei { F, C }!). Se marchează alterativ cu + şi - colţurile ciclului. Se calculează θ 0 ca fiid miimul i0 0 compoetelor x i aflate î celulele marcate cu -. 4) (Costrucţia uei oi soluţii) Se aduăθ 0 la valorile x i aflate î celulele marcate cu + şi se scade acelaşi θ 0 di valorile x i îscrise î celulele marcate cu -. Valorile x i aflate î celulele emarcate cu + sau - u se modifică. Costul asociat soluţiei x rezultate are valoarea: Se revie la pasul ) î cadrul uei oi iteraţii. θ f ( x ) = f ( x) i (2.4.) Î ceea ce priveşte covergeţa algoritmului, dacă toate soluţiile de bază ale PTE sut edegeerate, algoritmul descris se termiă îtr-u umăr fiit de iteraţii cu determiarea uei soluţii optime. Îtr-adevăr, formula (2.4.) arată că la fiecare iteraţie valoarea fucţiei obiectiv descreşte semificativ. Cum umărul soluţiilor de bază admisibile este fiit, algoritmul se opreşte obligatoriu îtr-u umăr fiit de paşi, ultima soluţie testată fiid optimă. (Cititorul atet va observa desigur că afirmaţia precedetă şi ustificarea ei costituie î fapt o simplă reluare a teoremei de covergeţă 4.5. di cap. şi a demostraţiei acesteia!) CURSUL Degeerare Algoritmul de rezolvare a PTE şi covergeţa acestuia au fost prezetate î ipoteza că toate soluţiile admisibile de bază ale problemei sut edegeerate. Şasa ca o problemă de trasport să aibe soluţii degeerate este îsă foarte mare şi î plus u avem ici u criteriu pe baza căruia să recuoaştem î prealabil existeţa acestor soluţii. Este importat să observăm că: Dacă î rezolvarea uei PTE am porit cu o soluţie edegeerată şi apoi toate soluţiile costruite au fost de asemeea edegeerate, procesul iterativ este ecesarmete fiit. Î virtutea acestei observaţii, va fi importat să ştim cum procedăm dacă soluţia de start este degeerată sau dacă degeerarea apare pe parcursul aplicării algoritmului. Î pricipiu, evitarea degeerării se face pri uşoara perturbare a uora di datele problemei de aşa maieră îcât oua problemă să aibe umai soluţii de bază edegeerate! Soluţiile celor două probleme vor diferi cu puţi uele de altele astfel că, după rezolvarea problemei perturbate pri reveire la problema iiţială se obţie soluţia optimă a acesteia di urmă. Am cosiderat că este mai simplu şi mai bie să explicăm tehica de perturbare pe câteva exemple particulare; î orice altă situaţie similară se va proceda absolut aalog.

15 Exemplul 2.5. Cosiderăm problema de trasport echilibrată defiită de datele di tabelul 2.5.: C C 2 C 3 C 4 Dispoibi l F F F Necesar Tabelul 2.5. Î tabelul este dată soluţia geerată pri metoda difereţelor maxime: 0 00 (3) Tabelul (4) 90 () 50 (2) 50 (5) Soluţia este degeerată deoarece are 5 < 6 = compoete eule. Această situaţie se datorează faptului că la alocarea a 4-a dispoibilul curet al furizorului F a fost egal cu ecesarul curet al cosumatorului C ( =0) şi ca urmare, după efectuarea alocării, atât râdul cât şi coloaa au fost blocate! Petru a obţie o soluţie edegeerată perturbăm puţi datele problemei origiale î următorul mod. Fie ε > 0 u umăr foarte mic. Mărim cu ε ecesarul cosumatorului C acesta deveid b =0+ ε. Petru reechilibrarea problemei mărim cu acelaşi ε dispoibilul uui furizor activ (adică cu dispoibilul curet eul) altul decît F ; de exemplu modificăm dispoibilul lui F 2 : a 2 = 00 + ε. Reluăm alocarea a 4-a: Actualizăm: x = mi(0 + ε, 0) = 0 b ε a 0 Cotiuâd aplicarea metodei difereţelor maxime, rezultă î fial soluţia edegeerată: 0 (4) 90 () ε (5) (3) Tabelul (2) 50 (6) dar, petru problema perturbată!! Aplicăm acestei soluţii algoritmul de rezolvare a PTE: v = 0 v 2 = -2 v 3 = -3 v 4 = 2 u =4 * * -4 2 u 2 =6 * -3 * * u 3 =3 * Tabelele _ ε 50 + _ 50 Redistribuim î colţurile ciclului valoarea: 90 0 θ 0 = mi {x =0, x 24 =50}= ε Obţiem soluţia: 00 Tabelul 2.5.6

16 Petru ε = 0 se găseşte o soluţie edegeerată a problemei origiale căreia îi aplicăm, î cotiuare algoritmul: v =6 v 2 =6 v 3 =3 v 4 =8 u = * -6 * u 2 = * - * * u 3 =-3 00 * Tabelele Noua soluţie, otată x, este optimă. Deoarece 34 = 0, problema mai are o soluţie optimă de bază x care se obţie folosid coturul poligoal asociat î tabelul celulei (3,4): Tabelul Î acord cu teoria geerală a programării liiare, problema dată va avea o ifiitate de soluţii optime de forma: x = α x + β x 90 0 ude α + β = 0α +50β 50 40α α 0, β 0 00α +60β 40β Tabelul Exempul Să rezolvăm acum problema: C C 2 C 3 C 4 Dispoibi l F F F Necesar Tabelul 2.5. porid de la soluţia de bază edegeerată di tabelul 2.5.2, determiată pri metoda difereţelor maxime. 20 (4) 90 () (5) 50 (2) 20 (6) (3) 90 Tabelul Tabelul Propuem cititorului să verifice că această soluţie u este optimă şi că 4 = 2 > 0. Î tabelul este idicat şi coturul poligoal asociat rutei (,4). Marcâd succesiv colţurile coturului cu + şi - se costată că miimul θ 0 al valorilor umerice di celulele marcate cu - u este uic:θ 0 = x = x 24 = 20. Aceasta face ca oua soluţie, idicată î tabelul 2.5.3, să fie degeerată. Petru a evita degeerarea, modificăm puţi valoarea ueia di variabilele x sau x 24 ; luăm de exemplu: x = 20 + ε, ceea ce îseamă să cosiderăm a = 0 + ε şi b = 20 + ε. De această dată miimulθ 0 = x 24 = 20 este uic, astfel că după redistribuirea sa î colţurile coturului poligoal idicat se obţie soluţia edegeerată di tabelul 2.5.4: v = 0 v 2 = -2 v 3 = -3 v 4 = 0 ε u = 4 * * -4 * u 2 = 6 * -3 * u 3 = 3 * Tabelul Tabelul 2.5.5

17 dar, a problemei modificate! Di tabelul alăturat rezultă că soluţia costruită este optimă. Luâd ε = 0 obţiem soluţia optimă a problemei iiţiale care este dea afişată î tabelul Variate ale problemei de trasport Î dezvoltările teoretice di secţiuile precedete codiţia de echilibru (.2.5) a fost eseţială. Î foarte multe cotexte practice îsă, această codiţie u este îdepliită De asemeea, este posibil ca uele ipoteze sau costate ale problemei de trasport să se modifice de la o perioadă la alta atreâd schimbări de amploare mai mică sau mai mare î soluţia optimă. Î fie, u puţie sut situaţiile cocrete ce u implică "trasporturi" î sesul strict al cuvîtului, dar care pot fi modelate ca probleme de trasport. 3. Probleme de trasport eechilibrate Î cazul î care î problema geerală de trasport (secţiuea.2) totalul catităţilor dispoibile la furizori îtrece totalul cererilor cosumatorilor: m ai > b i= = i e putem reduce la o problemă de trasport echilibrată itroducâd u cosumator fictiv C + a cărui cerere să fie egală cu excesul de dispoibil: b = a b + m i i= = Costurile uitare de trasport de la furizorii reali către C + se iau egale cu zero. După rezolvarea problemei echilibrate, catităţile livrate cosumatorului fictiv se vor iterpreta drept catităţi rămase î stocurile furizorilor. Dacă totalul catităţilor dispoibile este mai mic decât cererea totală: m ai < b i= = i problema de trasport, aşa cum a fost ea defiită î secţiuea.2, este icompatibilă (vezi iegalitatea (.2.)). Putem îcerca o rezolvare parţială a cererilor, itroducâd u furizor fictiv F m + al cărui dispoibil să fie egal cu cererea eacoperită: a = b a m+ = i= m Di ou, costurile uitare de trasport pe rutele ce leagă acest furizor de cosumatorii reali se iau egale cu zero. Obţiem o problemă de trasport echilibrată, î a cărei soluţie optimă, catităţile livrate de furizorul fictiv se vor iterpreta drept cereri eacoperite. Mult mai aproape de realitate i se pare următoarea abordare. Să presupuem că furizorii F, F 2,..., F m sut bazie carboifere iar cosumatorii C, C 2,..., C sut termocetrale. Să admitem că îtr-o perioadă ormală de lucru (să zicem o luă) catitatea de cărbue Q ecesară termocetralelor, reprezetată pri suma b +b b a cererilor este egală cu catitatea totală de cărbue posibil de livrat de către cetrele miiere, catitate reprezetată pri suma a +a a m. Cuoscâd costurile uitare de trasport ale cărbuelui pe calea ferată sau cu alte miloace (aval, auto) se poate determia u program de satisfacere a ecesarului de cărbue al termocetralelor care să implice u cost total miim. Să presupuem că î lua următoare sut auţate o serie de acţiui greviste la uele cetre miiere. Este posibil ca u toate sidicatele miiere di acelaşi bazi carboifer să adere la grevă ceea ce face ca producţia de cărbue să scadă îtr-o măsură mai mică sau mai mare. Fie a, a,..., producţiile luare î codiţii de criză şi Q < Q suma acestora. 2 a m i

18 Îtr-o asemeea situaţie critică este mai logic ca fiecare termocetrală să primească o parte proporţioală cu cererea sa î codiţii ormale de aprovizioare, adică: b b = 2 b = = K, b b b 2 b, b 2,..., b fiid catităţile ce urmează a fi primite î situaţia de criză. Noile catităţi se pot deduce uşor, b observâd că fiecare raport este egal cu: b b + b2 + L+ b a + a2 + Lam = b + b + L+ b a + a + L+ a 2 2 Q de ude: b = = Q b, K,. m Q = Q O dată stabilite catităţile b i avem o problemă de trasport echilibrată pe care o rezolvăm cu algoritmul descris. Exemplul 3.. Patru termocetrale C, C 2, C 3, C 4 se aprovizioează cu cărbue de la trei mie F, F 2, F 3. Necesarul luar al termocetralelor, producţiile luare ale mielor şi costurile trasportului uei uităţi fizice de cărbue (000 t.) pe diferitele rute sut date î tabelul 3.. C C 2 C 3 C 4 Dispoibil F F F Necesar Tabelul 3.. Cu metoda difereţelor maxime, se obţie direct programul optim de aprovizioare di tabelul Rutele utilizate î acest program sut evideţiate î figura alăturată Tabelul 3..2 Costul asigurării trasporturilor di program se ridică la 50 u.m. C 00 Petru lua următoare uele sidicate miiere precoizează o serie de acţiui greviste. Ca urmare a acestora se estimează că producţia totală de cărbue va scade cu 30% fiid repartizată astfel: 00 mii t. la mia F şi umai 20, respectiv 30 mii t. la miele F 2 şi F 3 deci u total de 350 mii t. faţă de o cerere de 500 mii t. Problema repartizării producţiei dimiuate se poate pue î două moduri: urmărid î exclusivitate criteriul miimizării cheltuielilor de trasport. Reechilibrăm problema pri itroducerea uei mie fictive F 4 a cărei producţie luară să fie egală cu catitatea cu care s-a dimiuat producţia curetă a mielor reale, adică 50 mii t. Neexistâd trasporturi efective ître F 4 şi C, C 2, C 3, C 4 costurile uitare de trasport pe rutele corespuzătoare vor fi luate, firesc, egale cu zero. Vezi tabelul C C 2 C 3 C 4 Dispoibil F F F F Necesar F 20 C 2 30 F C 3 F 3 50 C 4

19 Tabelul 3..3 Rezultă două soluţii optime idicate î tabelele 3..4 şi Costul de trasport aferet este de 730 u.m. Î prima variată umai cererea termocetralei C 2 este itegral acoperită, C primid umai 20%, C 3 umai 7% iar C 4 umai 80% di ecesarul curet. î a doua variată C primeşte catitatea ormală, C 2 umai 27% iar C 3 şi C 4 procetele aterioare. După cum se vede reducerea cu 30% a producţiei ormale este repartizată foarte diferit pe cosumatori. C C 2 C 3 C 4 F 00 F 2 20 F F Tabelul 3..4 C 20 F 00 C 2 F 2 0 C 3 F 3 20 C 4 C C 2 C 3 C 4 F 00 F 2 20 F F Tabelul 3..5 C 00 F 00 C 2 F 2 30 C 3 F 3 20 C 4 repartizâd producţia dimiuată proporţioal cu cererile ormale. Producţia dimiuată reprezită 70% di cea ormală, astfel că termocetralele C, C 2, C 3, C 4 ar urma să primească 00 0,7=70 mii t, 0 0,7=77 mii t, 40 0,7=98 mii t, respectiv 50 0,7=05 mii t. Rezolvâd problema echilibrată rezultată obţiem soluţia: F F 2 60 F 3 05 C C 2 C 3 C 4 Exemplul 3..2 Datorită dezvoltării şi extiderii capacităţilor de producţie, coducerea firmei X a decis să facă oi agaări î fiecare di cele cici fabrici ale sale, coform datelor di următorul tabel: Fabrica I II III IV V Total Nr. de oi agaaţi Noul persoal este recrutat di 3 oraşe mari aflate î zoă, pri itermediul uor ageţii specializate. Cotactâd aceste ageţii, firma a găsit coveabile următoarele oferte: Ageţia di oraşul A B C Total Număr de oferte coveabile ptr. firmă Fabricile sut situate îtr-o zoă rurală aşa că, î discuţiile cu sidicatele iteresate, firma a coveit să suporte cheltuielile zilice de îtoarcere de la locul de mucă la oraş, la toţi agaaţii oi, cheltuieli evaluate la 2 u.m. pe persoaă km. Distaţele î km ditre fabrici şi oraşe sut idicate î următorul tabel: I II III IV V A B C Petru îceput coducerea firmei este iteresată î a cuoaşte câte persoae ar putea fi agaate astfel îcât cheltuielile totale de trasport să fie cât mai mici cu putiţă. Îtrucât dispoibilul de persoal este mai mare decât cererea, vom itroduce o "fabrică fictivă" VI a cărei cerere să fie de = 60 oi agaaţi. Obţiem o problemă echilibrată de trasport cu datele di tabelul 3..6 al cărei obiectiv este miimizarea umărului total de persoae km.

20 Deoarece pe rutele care leagă oraşele A, B, C de "fabrica" VI u vor avea loc trasporturi de persoal, costurile uitare au fost luate egale cu zero. I II III IV V VI Dispoibil A B C Cerere Tabelul 3..6 Aplicâd algoritmul de rezolvare descris î secţiuea 2.4 se obţie următorul program posibil de agaări (vezi tabelul 3..7).Toţi cei 20 de cadidaţi di oraşul A vor fi agaaţi: 45 la fabrica I, 62 la fabrica II şi restul la fabrica III. la fel, cadidaţii di B vor fi agaaţi î totalitate: 37 la fabrica III şi 63 la fabrica V. Di C vor fi acceptate umai 94 de oferte di cele 54 dispoibile adică 6%. Rezultă u total (miim) de 05 oamei km trasportaţi petru care firma trebuie să plătească zilic 262 u.m. I II III IV V VI A B C Tabelul 3..7 Coducerea firmei este de părere că adoptarea acestui program ar creea o imagie efavorabilă firmei pe piaţa forţei de mucă pri "discrimiarea" poteţialilor lucrători di C faţă de cei di A sau B şi decide să examieze şi alte variate. Astfel, petru a u apare ca "icorectă" faţă de cadidaţii poteţiali ditr-u oraş sau altul, s-a decis ca surplusul de 60 de oferte ce u vor putea fi acceptate să fie repartizat î mod egal ître cele trei oraşe, adică 20 de fiecare. Firma doreşte să ştie care va fi efectul acestei hotărâri asupra cheltuielilor cu trasportul oilor agaaţi. Reluăm problema fixâd umărul de oferte acceptabile la = 00 petru oraşul A, = 80 petru B şi = 34 petru C. (total 34). Rezultă soluţia di tabelul I II III IV V A B 7 63 C Tabelul 3..8 Plecâd de la ultima soluţie, coducerea firmei doreşte să cuoască ce implicaţii ar putea avea asupra cheltuielilor de trasport satisfacerea ofertelor î aceeaşi proporţie. Notâd cu a, a 2, a 3 volumul ofertelor acceptabile di A, B, repectiv C este ecesar ca: di care rezultă: a = 0, a 2 = 84, a 3 = 29. I II III IV V A B 2 63 C Tabelul 3..9 Coform acesteia, umărul total de persoae km trasportaţi va creşte la 087, implicâd cheltuieli zilice î valoare de 3044 u.m., cu 3,43 % mai mari decât î variata studiată aterior. Noul program satisface oferta de forţă de mucă î proporţie de 83,3 % petru A, 80 % petru B şi 87 % petru C. a a2 a3 a + a2 + a3 = = = = Cu oile date se obţie programul: Soluţia găsită implică 089 oamei km de trasportat zilic la u cost de 3068 u.m., cu 3,6 % mai mare decât î prima variată. Fireşte, î adoptarea deciziei asupra variatei fiale a programului de oi agaări, coducerea firmei poate să ţiă seama şi de alte ceriţe care u au fost avute î vedere î studiul îtrepris. Î coseciţă, soluţiile sitetizate î tabelele 3..7, 3..8 şi 3..9 trebuie cosiderate ca simple "scearii" meite să aute factorii decizioali î luarea uei hotărâri cât mai bue!

21 3.2 Blocarea uor rute Pâă î prezet am admis că orice rută ditre u furizor şi u cosumator poate fi utilizată la u cost de trasport mai mic sau mai mare. Sut cazuri î care, di diferite motive ua sau mai multe rute u pot fi utilizate. Blocarea acestor rute se va face pri itroducerea uor costuri uitare de trasport foarte mari. Cocret, dacă ruta (F i,c ) u mai poate fi folosită vom lua c i = M ude M este o costată pozitivă foarte mare. Exemplul 3.2. Î exemplul 3.. am determiat programul luar ormal de aprovizioare cu cărbue al celor patru termocetrale î ipoteza că toate rutele erau dispoibile (tabelul 3..2). Evidet, acest program u va suferi ici o modificare î cazul î care se blochează o rută ce u era prevăzută a fi utilizată. Să presupuem că î lua următoare ruta (F 3,C 3 ) se va îchide temporar di cauza uor lucrări de moderizare. Î acest fel, mia F 3 u mai poate aprovizioa direct termocetrala C 3. Petru a determia schimbările di programul actual cauzate de această îtrerupere reevaluăm mărimile i luâd de astă dată î calcul c 33 = M» 0. v = 3 v 2 =3 v 3 =M v 4 =2 u =-M 20 -M 2-M * -2-M u 2 = * M-7 * u 3 = * * * -4 Tabelele Deoarece 23 = M - 7 > 0, soluţia curetă u mai este optimă; ea se îmbuătăţeşte folosid coturul poligoal idicat. Noul program de trasport, pus î evideţă î tabelul u mai utilizează ruta blocată (F 3,C 3 ) şi ca urmare costul său creşte, augâd la 90 u.m Tabelul Exemplul Vom studia acum o problemă de trasport "parametrică care extide îtr-u fel cosideraţiile aterioare. Reluăm problema aprovizioării cu cărbue a termocetralelor di exemplul precedet (cu datele di tabelul 3..). Să presupuem că petru trasportul cărbuelui de la mia F la termocetrala C 3 există mai multe variate ce pot fi folosite îtr-o luă sau alta î fucţie de programul de îtreţiere, reparare şi moderizare a reţelei de căi ferate. Posibilele schimbări ale traseului au u efect direct asupra costului uitar de trasport c 3 = luat iiţial î calcul. Ne propuem să studiem efectul pe care îl are variaţia costului c 3 asupra programului optim de trasport şi a costului total aferet. Petru aceasta, cosiderăm soluţia optimă determiată î cazul particular c 3 = (vezi tabelul 3..2) şi recalculăm mărimile i luâd c 3 = λ 0 variabil. v = 3 v 2 =3 v 3 =5 v 4 =2 u =λ λ -5 λ -4 * λ -8 u 2 = * -2 * u 3 = * * * -4 Tabelele Codiţia de optimalitate i 0 coduce la cocluzia că atâta timp cât c 3 4 programul optim de trasport este cel afişat î tabelul 3..2 (sau 3.2.4) cu costul total f = c 3. Dacă c 3 depăşeşte "cu puţi" 4 di tabelul rezultă 2 > 0 şi soluţia di tabelul alăturat u mai este optimă. Folosid coturul poligoal asociat rutei (,2) - idicat î tabel - rezultă soluţia di tabelul v =3 v 2 =7-λ v 3 =5 v 4 =6-λ F F F u =λ u 2 =λ u 3 = C C 2 C 3 C 4 Tabelul Testarea optimalităţii acestei soluţii este făcută î tabelul folosid valorile u, v îscrise la stâga şi deasupra tabelului Codiţia i 0 arată că soluţia găsită este optimă atâta timp cât 4 c 3 5. Costul asociat are valoarea c 3 u.m. i

22 λ -5 * * -4 λ -5 * λ -6 * * 4- λ * - λ Tabelul Petru c 3 > 5 avem = 2 < 0.Folosid coturul poligoal asociat rutei (,) se găseşte soluţia di tabelul al cărei cost este de 550 u.m Tabelul C 60 F 80 C 2 30 F 2 40 C 3 F 3 50 C 4 Se observă că pe măsură ce costul uitar c 3 creşte, ruta (F,C 3 ) este folosită di ce î ce mai puţi pâă câd este abadoată. 3.3 Alte probleme reductibile la problema de trasport Deşi u implică trasporturi fizice uele probleme pot fi aduse la formatul problemei de trasport. Exemplul 3.3. O firmă specializată î producerea de echipamet electric are de expediat u umăr de geeratoare la sfârşitul luilor Iauarie, Februarie şi Martie. Î fiecare luă, firma produce, î regim ormal de lucru, u aumit umăr de geeratoare. Dacă ecesităţile o impu, pri orgaizarea ur schimburi prelugite, firma poate produce şi peste plafoaele ormale dar la u cost mai ridicat. Lua Iauarie Februarie Martie Nivelul cererii (buc.) Volumul producţiei î regim ormal de lucru (buc.) Volumul producţiei suplimetare (buc.) Costul uui geerator di producţia ormală (u.m.) Costul uui geerator di producţia suplimetară (u.m.) Tabelul 3.3. După cum se vede, î lua Martie, câd cererea este mai mare şi costurile de producţie sut mai mari, ca urmare a uor tediţe iflaţioiste ce pot fi previzioate di vreme: creşteri plaificate ale salariilor sau creşterea preţurilor la materiile prime. Deoarece costurile de producţie u sut costate, firma va fi iteresată î a produce mai mult î luile î care costurile sut mai mici formâd astfel u stoc de produse fiite di care să acopere, cel puţi î parte, cererea di luile î care costurile sut mai mari. Petru fiecare geerator expediat î altă luă decât cea î care a fost produs, există u cost suplimetar de stocare de 0 u.m. pe luă. Obiectivul urmărit este elaborarea uui program de fabricaţie petru satisfacerea comezilor la u cost total de producţie şi stocare miim. Petru a formula o problemă de trasport trebuie să idetificăm mai îtâi sursele şi destiaţiile. Î fiecare luă u geerator poate fi produs î două moduri: î timpul ormal de lucru sau peste program ; vor exista deci 2 3 = 6 surse ale căror dispoibile sut ivelele de producţie corespuzătoare. Astfel, sursa Iauarie-producţie ormală are u dispoibil de 7 bucăţi î timp ce sursa Martie-producţie suplimetară are u dispoibil de 5 bucăţi. Destiaţiile se idetifică cu sfârşiturile celor trei lui câd cererile trebuie acoperite. Ître cele 6 surse şi 3 destiaţii se creează 6 3 = 8 legături (rute); fiecare idică lua î care este produs u geerator, modul î care acesta este produs (î regim ormal de lucru sau peste program ) şi lua î care este expediat. Di cele 8 legături, 6 vor fi blocate deoarece exprimă u oses: livrarea uui produs fiit îtr-o luă aterioară celei î care a fost fabricat! Costurile uitare de trasport pe rutele eblocate sut î fapt costurile uitare de producţie la care se adaugă evetualele cheltuieli de stocare. Astfel, pe ruta Iauarie-producţie suplimetară Martie costul uitar de trasport va fi egal cu costul fabricării uui geerator peste ivelul producţiei ormale di Iauarie la care se adaugă costul stocării pe două lui, adică = 70 u.m.