Στοιχεία Συναρτησιακής Ανάλυσης. Σηµειώσεις

Transcript

1 Στοιχεία Συναρτησιακής Ανάλυσης Σηµειώσεις σύντοµη εκδοχή Ε. Στεφανόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αιγαίου Καρλόβασι 2016

2 2

3 Περιεχόµενα 1 Γραµµικοι χωροι µε νορµα Γραµµικοί χώροι Βασικές ανισότητες Χώροι Banach Ισοδύναµες νόρµες Σειρές σε χώρους µε νόρµα Γραµµικοι µετασχηµατισµοι Γραµµικοί τελεστές Γραµµικά συναρτησοειδή υϊκοί χώροι Γραµµικοι χωροι µε εσωτερικο γινοµενο Εσωτερικό γινόµενο Χώροι Hilbert Πλήρη ορθοκανονικά σύνολα Ο δυϊκός χώρος ενός χώρου Hilbert Το θεωρηµα hahn-banach Το ϑεώρηµα Hahn-Banach Το ϑεώρηµα Hahn-Banach, µιγαδική µορφή Συνέπειες του Θεωρήµατος Hahn-Banach Ανακλαστικοί χώροι Ο συζυγής τελεστής Παραρτηµα Το λήµµα του Zorn

4 4

5 Κεφάλαιο 1 Γραµµικοι χωροι µε νορµα 1.1 Γραµµικοί χώροι Ορισµός 1.1. Ενα µη κενό σύνολο X εφοδιασµένο µε δύο πράξεις πρόσθεση + : X X X και πολλαπλασιασµό : R X X, δηλαδή αν x, y X και λ R τότε x + y X και λx X, λέγεται πραγµατικός γραµµικός χώρος ή γραµµικός χώρος πάνω στο σώµα των πραγµατικών αριθµών εάν ισχύουν τα παρακάτω : (1) x + y = y + x, για κάθε x, y X (2) x + (y + z) = (x + y) + z, για κάθε x, y, z X (3) υπάρχει 0 X τέτοιο ώστε 0 + x = x για κάθε x X (4) για κάθε x X υπάρχει x X έτσι ώστε x + x = 0 (5) λ(µx) = (λµ)x, για κάθε x X και λ, µ R (6) 1x = x, για κάθε x X (7) λ(x + y) = λx + λy, για κάθε x, y X και λ R (8) (λ + µ)x = λx + µy, για κάθε x X και λ, µ R Εάν το R αντικατασταθεί µε το C, το σώµα των µιγαδικών αριθµών, τότε ο χώρος ϑα λέγεται µιγαδικός γραµµικός χώρος, ή γραµµικός χώρος πάνω στο σώµα των µιγαδικών αριθµών. Ενας γραµµικός χώρος λέγεται και διανυσµατικός χώρος. Τα στοιχεία του χώρου λέγονται διανύσµατα ενώ τα στοιχεία του σώµατος καλούµε συνήθως σταθερές. Το 0 λέγεται µηδενικό διάνυσµα ή απλά µηδέν, ενώ το x λέγεται αντίθετο διάνυσµα του x. Παρατήρηση 1.1. Σε ένα γραµµικό χώρο ισχύουν τα παρακάτω αποτελέσµατα : (1) Το µηδενικό διάνυσµα είναι µοναδικό. Πράγµατι αν 0 1 είναι τέτοιο ώστε x = x, για κάθε x X, τότε 0 1 = = 0. (2) Το αντίθετο διάνυσµα είναι µοναδικό. Πράγµατι αν x X και x είναι τέτοιο ώστε x + x = 0, τότε x = x + 0 = x + ( x + x) = x + (x + ( x)) = (x + x) + ( x) = 0 + ( x) = x. 5

6 6 γραµµικοι χωροι µε νορµα (3) 0 = 0. Πράγµατι 0 = = 0. (4) 0x = 0. Πράγµατι 0x = (0 + 0)x = 0x + 0x και το συµπέρασµα έπεται απο την (1). (5) λ 0 = 0. Πράγµατι λ 0 = λ( 0 + 0) = λ 0 + λ 0 και το συµπέρασµα έπεται απο το (1). (6) x = ( 1)x. Πράγµατι x + ( 1)x = (1 + ( 1))x = 0x = 0 και το συµπέρασµα έπεται από το (2). Στη συνέχεια αν x και y είναι διανύσµατα του X ϑα γράφουµε x y αντί του x + ( y). Από την (2) έπεται ότι λx = ( λ)x = λ( x) για κάθε διάνυσµα x και σταθερά λ. Παράδειγµα 1.1. Το R n µε πράξεις (a 1,..., a n ) + (b 1,..., b n ) = (a 1 + b 1,..., a n + b n ), λ(a 1,..., a n ) = (λa 1,..., λa n ), λ R είναι γραµµικός χώρος, όπως µπορεί εύκολα να δειχθεί, µε (a 1,..., a n ) = ( a 1,..., a n ) και 0 = (0,..., 0). Παράδειγµα 1.2. Το σύνολο s των ακολουθιών πραγµατικών (ή µιγαδικών) αριθµών µε πράξεις, για x = (a k ) και y = (b k ) στο s, που ορίζονται µε τις σχέσεις x + y = (a k + b k ) και λx = (λa k ), λ R είναι γραµµικός χώρος. Παράδειγµα 1.3. Αν E είναι ένα µη κενό σύνολο µε F (E) συµβολίζουµε το σύνολο των συναρτήσεων f : E R. Το F (E) µε πράξεις (f + g)(t) = f(t) + g(t) και λf(t), t E και λ R είναι γραµµικός χώρος. Ορισµός 1.2. Εάν X είναι ένας γραµµικός χώρος και Y είναι ένα µη κενό υποσύνολο του X ϑα λέµε το Y γραµµικό υπόχωρο του X αν για κάθε x, y Y και λ, µ R το διάνυσµα λx + µy ανήκει στο Y, ισοδύναµα x + y Y και λx Y. Το Y είναι γραµµικός χώρος µε πράξεις αυτές του X περιορισµένες στο Y. Παράδειγµα 1.4. Ορίζουµε το l να είναι το σύνολο των ακολουθιών πραγµατικών (ή µιγαδικών) αριθµών x = (a k ) του s για τις οποίες ισχύει sup k a k < +. Αν x = (a k ) και y = (b k ) είναι στο l παρατηρούµε ότι για κάθε k N a k + b k a k + b k sup k a k + sup b k k οπότε sup k a k + b k sup k a k + sup k b k < + άρα x + y l. Επίσης λx l, αν λ R επειδή sup k λa k = λ sup k a k < +. Άρα το l γίνεται γραµµικός υπόχωρος του s. Παράδειγµα 1.5. Ορίζουµε το c να είναι το σύνολο των συγκλινουσών ακολουθιών πραγµατικών (ή µιγαδικών) αριθµών. Αν x = (a k ) και y = (b k ) είναι στο c, a n a, b n b και λ, µ R από τις ιδιότητες των ακολουθιών έπεται ότι lim (λa k + µb k ) = λa + µb, k οπότε λx + µy c. Άρα το c είναι γραµµικός υπόχωρος του s αλλά και του l.

7 γραµµικοι χωροι 7 Παράδειγµα 1.6. Με c 0 συµβολίζουµε το σύνολο των µηδενικών ακολουθιών. Επειδή το άθροισµα µηδενικών ακολουθιών είναι µηδενική ακολουθία, όπως και το γινόµενο µηδενικής ακολουθίας επί σταθερά έπεται ότι το c 0 είναι υπόχωρος του c. Παράδειγµα 1.7. Αν p 1 µε l p συµβολίζουµε το σύνολο των ακολουθιών (a k ) για τις οποίες ισχύει a k p < +. Προφανώς l p c 0. Αποδεικνύουµε ότι το l p είναι υπόχωρος του c 0 (άρα και των c, l, και s.) Σηµειώνουµε ότι αν a, b 0 τότε a + b 2 max{a, b}, οπότε (a + b) p [2 max{a, b}] p = 2 p max{a p, b p } 2 p (a p + b p ). (1.1) Εστω (a k ) και (b k ) στοιχεία του l p µε a k p = A < + και b k p = B < +. Αν λ, µ R, τότε για κάθε k N έχουµε λa k + µb k λa k + µb k = λ a k + µ b k. Για τυχαίο N N κάνοντας χρήση της (1.1) παίρνουµε N λa k + µb k p N 2 p [ λ p a k p + µ p b k p ] = 2 p ( λ p N 2 p ( λ p A + µ p B). N ) a k p + µ p b k p Ετσι ϑέτοντας S N = N λa k + µb k p ϐλέπουµε ότι η αύξουσα ακολουθία (S N ) (των µερικών αθροισµάτων) είναι ϕραγµένη, άρα συγκλίνει και (στο όριο) Άρα λ(a k ) + µ(b k ) l p. λa k + µb k p 2 p ( λ p A + µ p B). Παράδειγµα 1.8. Εστω E ένα µη κενό σύνολο. Με C(E) συµβολίζουµε το σύνολο των συνεχών συναρτήσεων f : E R. Αν f, g C(E) και λ, µ R, τότε η συνάρτηση λf + µg : E R είναι συνεχής. Άρα το C(E) είναι υπόχωρος του F (E). Αν το E είναι διάστηµα [a, b] ή (a, b) συνήθως γράφουµε C[a, b] ή C(a, b), αντί των C([a, b]) ή C((a, b)). Ορισµός 1.3. Εάν x 1,..., x n είναι στοιχεία του γραµµικού χώρου X καλούµε γραµµικό συνδυασµό των x k κάθε διάνυσµα της µορφής c 1 x 1 + +c n x n, όπου c k R. Με span{x 1,..., x n } συµβολίζουµε το σύνολο όλων των γραµµικών συνδυασµών των x k. Ασκηση 1.1. είξτε ότι το span{x 1,..., x n } είναι γραµµικός υπόχωρος του X. Οµοια αν το V είναι ένα µη κενό υποσύνολο του X µε span V συµβολίζουµε το σύνολο των γραµµικών συνδυασµών στοιχείων του V, δηλαδή span V = {c 1 x c n x n : c k R, x k V, n N}. Ασκηση 1.2. είξτε ότι το span V είναι γραµµικός υπόχωρος του X.

8 8 γραµµικοι χωροι µε νορµα Εάν W είναι ένα µη κενό υποσύνολο του X ϑα λέµε για τον υπόχωρο Y = span W ότι παράγεται από το W, ή ότι το W παράγει το Y. Ορισµός 1.4. Εστω X ένας γραµµικός χώρος (1) Θα λέµε ότι τα στοιχεία x 1,..., x n του X είναι γραµµικά ανεξάρτητα εάν η εξίσωση c 1 x c n x n = 0 έχει µοναδική λύση την c 1 = = c n = 0. Το σύνολο {x 1,..., x n } λέγεται γραµµικά ανεξάρτητο εάν τα x 1,..., x n είναι γραµµικά ανεξάρτητα. Ενα σύνολο V X λέγεται γραµµικά ανεξάρτητο εάν κάθε πεπερασµένο υποσύνολό του είναι γραµµικά ανεξάρτητο. Τα x 1,..., x n X λέγονται γραµµικά εξαρτηµένα εάν υπάρχουν c k όχι όλα ίσα µε µηδέν έτσι ώστε c 1 x c n x n = 0. Το σύνολο {x 1,..., x n } ή V λέγεται γραµµικά εξαρτηµένο εάν δεν είναι γραµµικά ανεξάρτητο. (2) Λέµε ότι ο γραµµικός χώρος X έχει πεπερασµένη διάσταση εάν υπάρχουν x 1,..., x n X τέτοια ώστε span{x 1,..., x n } = X. (3) Λέµε ότι ο γραµµικός χώρος X έχει διάσταση N N εάν υπάρχουν N το πλήθος γραµµικά ανεξάρτητα στοιχεία x 1,..., x N X τέτοια ώστε X = span{x 1,..., x N }. Λέµε ότι ο X έχει άπειρη διάσταση εάν δεν έχει πεπερασµένη διάσταση. (4) Ενα υποσύνολο B του γραµµικού χώρου X λέγεται ϐάση (ϐάση Hamel) του X εάν είναι γραµµικά ανεξάρτητο και παράγει τον X, δηλαδή span B = X. Θεώρηµα 1.1. Κάθε γραµµικός χώρος X έχει ϐάση. Απόδειξη. Εστω S = {B X : το B είναι γραµµικά ανεξάρτητο}. διάταξη στο S αφού ικανοποιεί τις ιδιότητες Η σχέση ορίζει µερική (1) B B, για όλα τα B S. (2) Εάν B α B β και B β B α, τότε B α = B β. (3) Εάν B α B β και B β B γ, τότε B α B γ. Εστω {B α : α Λ} ένα ολικά διατεταγµένο υποσύνολο του S, τότε το B Λ = α Λ B α είναι ένα άνω ϕράγµα του {B α : α Λ}. είχνουµε ότι το B Λ είναι γραµµικά ανεξάρτητο, συνεπώς B Λ S. Εστω {x 1,..., x n } B Λ και έστω x k B αk, k = 1,..., n. Επειδή το {B α : α Λ} είναι ολικά διατεταγµένο υπάρχει B λ {B α : α Λ} τέτοιο ώστε {x 1,..., x n } B λ, εποµένως το {x 1,..., x n } είναι γραµµικά ανεξάρτητο. Από το Λήµµα του Zorn έπεται ότι το S έχει ένα µεγιστικό στοιχείο, έστω B. Αποδεικνύουµε ότι κάθε x X εκφράζεται σαν γραµµικός συνδυασµός στοιχείων του B. Ας υποθέσουµε ότι αυτό δεν ισχύει. Τότε υπάρχει x 0 X το οποίο δεν εκφράζεται σαν γραµµικός συνδυασµός στοιχείων του B, ισοδύναµα το B = B {x 0 } είναι γραµµικά ανεξάρτητο, άρα B S, και B B ενώ B B. Αυτό όµως είναι άτοπο γιατί το B είναι µεγιστικό στοιχείο του S. Άρα το B είναι µια ϐάση για τον X. Οπως στη περίπτωση του R n ένας γραµµικός χώρος X έχει περισότερες της µιας ϐάσεις. Μπορεί ωστόσο να αποδειχθεί ότι οποιεσδήποτε ϐάσεις του X έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων. Για την απόδειξη παραπέµπουµε στο [6].

9 γραµµικοι χωροι 9 Εστω X ένας γραµµικός χώρος και έστω ότι V και W είναι υποσύνολα του X. Αν x X και λ R (ή C), ορίζουµε τα σύνολα x + V = {x + y : y V }, V + W = {y + z : y V και z W }, λv = {λy : y V }. Καθένα από αυτά είναι υποσύνολο του X. Το V + W λέγεται αλγεβρικό άθροισµα των V και W. Ασκηση 1.3. Εστω X ένας γραµµικός χώρος. (α) Αν Y είναι υπόχωρος του X και x X, να ϐρεθεί ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε το x + Y να είναι υπόχωρος του X. (ϐ) Αν Y και Z είναι υπόχωροι του X να δειχθεί ότι το Y + Z είναι υπόχωρος του X. (γ) Αν Y είναι υπόχωρος του X να δειχθεί ότι το λy είναι υπόχωρος του X. Ορισµός 1.5. Εστω X ένας γραµµικός χώρος και Y, Z υπόχωροι του X, τέτοιοι ώστε Y Z = { 0}. Το σύνολο των στοιχείων y + z, y Y και z Z, λέγεται ευθύ άθροισµα των Y και Z και συµβολίζεται µε Y Z. Το Y Z είναι γραµµικός υπόχωρος του X. Στη συνέχεια το µηδενικό διάνυσµα ϑα το συµβολίζουµε µε 0 χωρίς να δηµιουργείται σύγχυση µε τον αριθµό µηδέν. Ορισµός 1.6. Εστω ότι X και Y είναι γραµµικοί χώροι. Μια συνάρτησηση T : X Y λέγεται γραµµική απεικόνιση ή γραµµικός µετασχηµατισµός εάν για κάθε x, y X και λ R (ή C) ισχύει T (x + y) = T (x) + T (y), T (λx) = λt (y). Το σύνολο N(T ) = {x X : T x = 0} λέγεται ο πυρήνας του T, ενώ το R(T ) = {T x : x X} λέγεται η εικόνα του T. Μπορεί εύκολα να δειχθεί ότι ο πυρήνας και η εικόνα ενός γραµµικού τελεστή T : X Y είναι γραµµικοί υπόχωροι των X και Y αντίστοιχα. Ο πυρήνας του T συµβολίζεται και µε Ker(T ). Μπορεί επίσης να δειχθεί ότι Ασκηση 1.4. Αν οι X και Y είναι γραµµικοί χώροι πάνω στο ίδιο σώµα, µε L(X, Y ) συµβολίζουµε το σύνολο των γραµµικών απεικονίσεων T : X Y. Αν S και T είναι στοιχεία του L(X, Y ) και λ είναι σταθερά ορίζουµε τις απεινονίσεις S + T και λs µε τις σχέσεις (S + T )(x) = S(x) + T (x), λs(x) = λs(x). Να δειχθεί ότι ο L(X, Y ) µε τις παραπάνω πράξεις είναι γραµµικός χώρος. Παράδειγµα 1.9. Αν f C[0, 1] και a R η συνάρτηση a + t 0 f(s) ds, 0 t 1, είναι µία παράγουσα της f, άρα συνεχής. Εποµένως η σχέση J(f) = F όπου J(f)(t) = F (t) = t 0 f(s) ds

10 10 γραµµικοι χωροι µε νορµα ορίζει την (µοναδική) παράγουσα F της f τέτοια ώστε F (0) = 0. Άρα J(f) C[0, 1]. Από δε τις ιδιότητες του ολοκληρώµατος έχουµε ότι J(f + g)(t) = t 0 (f(s) + g(s)) ds = J(λf)(t) = t 0 t 0 λf(s) ds = λ f(s) ds + t 0 t 0 g(s) ds = J(f)(t) + J(g)(t), f(s) ds = λj(f)(t). Συνεπώς ο J είναι ένας γραµµικός µετασχηµατισµός από το C[0, 1] στον εαυτό του. Εστω f N(J). Αν F = J(f), τότε F (t) = 0, για κάθε t [0, 1], οπότε F (t) = f(t) = 0, για κάθε t (0, 1). Εποµένως από την συνέχεια της f έπεται ότι f(t) = 0, για κάθε t [0, 1]. Άρα N(J) = {0}. 1.2 Βασικές ανισότητες Ορισµός 1.7. Εστω 1 < p < +. Ο αριθµός q που ορίζεται µε τη σχέση λέγεται συζυγής εκθέτης του p. 1 p + 1 q = 1 (1.2) Παρατηρούµε ότι q = p p 1, (1.3) εποµένως 1 < q < +. Ετσι απο συµµετρία της (1.2) έπεται ότι ο p είναι συζυγής εκθέτης του q. Θα λέµε ότι οι p και q είναι συζυγείς εκθέτες. Πρόταση 1.1 (Ανισότητα Young). Αν a, b 0 και p, q είναι συζυγείς εκθέτες τότε ab ap p + bq q. (1.4) Απόδειξη. Αν ab = 0 η ανισότητα είναι προφανής. Αρκεί να υποθέσουµε ότι a > 0 και b > 0. Θεωρούµε τη συνάρτηση h(t) = tp p + bq q bt, t > 0. είχνουµε ότι h(t) 0, για t > 0. Εχουµε h (t) = t p 1 b και h (t) = 0 αν και µόνο αν t = b 1/(p 1), ενώ h (t) = (p 1)t p 2 > 0. Άρα η h είναι κυρτή εποµένως h(t) h(b 1/(p 1) ) για κάθε t > 0. Επειδή h(b 1/(p 1) ) = 0, έπεται ότι h(t) 0 που είναι η (1.4) για t = a. Σηµείωση 1.1. Αν p = 2 τότε q = 2 και η (1.4) παίρνει τη γνωστή µορφή ab a2 2 + b2 2. Η τελευταία ανισότητα ισοδυναµεί µε την 0 a 2 + b 2 2ab, ή 0 (a b) 2. Παρατήρηση 1.2. Από την απόδειξη της (1.4) έπεται ότι ισότητα ισχύει στην (1.4) αν και µόνο αν a = b 1/(p 1), ή ισοδύναµα a p = b p/(p 1), ή µέσω της (1.3), a p = b q.

11 βασικες ανισοτητες 11 Ασκηση 1.5. Αν a, b 0 και p, q είναι συζυγείς εκθέτες τότε ab Ασκηση 1.6. Αν a, b 0 και p 1 τότε ( ) 1 1/p ( ) 1 1/q (a p + b q ). p q (a + b) p 2 p 1 (a p + b p ). Πρόταση 1.2 (Ανισότητα Hölder). Αν p, q > 1 είναι συζυγείς εκθέτες και (a k ), (b k ) είναι ακολουθίες πραγµατικών ή µιγαδικών αριθµών µε a k p < + και b k q < + τότε ( ) 1/p ( ) 1/q a k b k a k p b k q (1.5) Απόδειξη. Αν a k p = 0 ή b k q = 0 η (1.5) ισχύει τετριµµένα (γιατί ;). Αρκεί λοιπόν να υποθέσουµε ότι ( ) 1/p ( ) 1/q a = a k p > 0, b = b k q > 0. Τότε η (1.5) είναι ισοδύναµη µε την Από την (1.4) έχουµε a k b k a b a k a = a k a b k b b k b 1 (1.6) 1 a k p p a p + 1 b k q q b q, για κάθε k N. Αθροίζουµε απο 1 έως N, κάποιο τυχαίο ϕυσικό αριθµό, και έχουµε N a k a b k b 1 pa p 1 pa p N ap pa p + bq qb q = 1 a n p + 1 qb q a n p + 1 qb q N b k q b k q απο τον ορισµό των a, b. Η ανισότητα ισχύει για κάθε N, οπότε παίρνοντας το όριο N καταλήγουµε στην (1.6) και ισοδύναµα στην (1.5). Σηµείωση 1.2. Στην ειδική περίπτωση p = q = 2 η ανάλογη ανισότητα Hölder ( 2 ( )( ) a k b k ) a k 2 b k 2 (1.7) είναι η, µάλλον περισσότερο γνωστή, ανισότητα Cauchy-Schwarz-Buniakowsky.

12 12 γραµµικοι χωροι µε νορµα Πρόταση 1.3 (Ανισότητα Minkowski). Αν p 1 και (a k ), (b k ) είναι ακολουθίες πραγµατικών ή µιγαδικών αριθµών µε a k p < + και b k p < + τότε ( ) 1/p ( ) 1/p ( ) 1/p a k + b k p a k p + b k p. (1.8) Απόδειξη. Εστω p = 1. Επειδή a k + b k a k + b k, για κάθε k N, έπεται ότι για κάθε N N ισχύει N a k + b k N a k + N b k a k + b k. Η (1.8) προκύπτει παίρνοντας το όριο N. Εστω τώρα p > 1. Αν a k + b k p = 0, τότε η (1.8) ισχύει. Υποθέτουµε ότι a k + b k p 0. Για κάθε N N έχουµε N a k + b k p = = N a k + b k p 1 a k + b k N a k + b k p 1 ( a k + b k ) N a k + b k p 1 a k + N a k + b k p 1 b k όπου εφαρµόζοντας Hölder µε συζυγείς εκθέτες p και p/(p 1) έχουµε ( N ) (p 1)/p ( N ) 1/p a k + b k (p 1)p/(p 1) a k p ( N ) (p 1)/p ( N ) 1/p + a k + b k (p 1)p/(p 1) b k p ( N ) (p 1)/p [( N ) 1/p ( N ) 1/p ] = a k + b k p a k p + b k p ( N ) 1 1/p [( ) 1/p ( ) 1/p a k + b k p a k p + b k ]. p Επειδή η ακολουθία των µερικών αθροισµάτων ( n a k +b k p ) είναι αύξουσα υπάρχει n 0 τέτοιο ώστε n0 a k +b k p > 0. Αν N n 0 διαιρώντας και τα δύο µέλη της ανισότητας µε ( N a k +b k p ) 1 1/p έχουµε ( N ) 1/p ( ) 1/p ( ) 1/p a k + b k p a k p + b k p (1.9) απ όπου προκύπτει η (1.8) παίρνοντας το όριο N.

13 βασικες ανισοτητες 13 Πόρισµα 1.1. Αν a 1,..., a n και b 1,..., b n είναι πραγµατικοί ή µιγαδικοί αριθµοί, τότε ισχύουν οι ακόλουθες ανισότητες : (1) Αν p, q > 1 είναι συζυγείς εκθέτες τότε ( ) 1/p ( ) 1/q a k b k a k p b k q. (1.10) (2) Αν p 1 τότε ( ) 1/p ( ) 1/p ( ) 1/p a k + b k p a k p + b k p. (1.11) Απόδειξη. Τους αριθµούς a k και b k, k = 1,..., n µπορούµε να τους ϕανταστούµε σαν όρους των ακολουθιών (a k ) και (b k ) µε a k = b k = 0 αν k > n. Ετσι a k r < + και b k r < +, για κάθε r 1, εποµένως οι (1.10) και (1.11) είναι άµεσες απόρροιες των ανισοτήτων Hölder και Minkowski αντίστοιχα. Πόρισµα 1.2. Εστω ότι οι συναρτήσεις f, g : [0, 1] R είναι Riemann-ολοκληρώσιµες, δηλαδή τα 1 ολοκληρώµατα Riemann 0 f(t) dt και 1 0 g(t) dt, υπάρχουν. Εάν p, q > 1 είναι συζυγείς εκθέτες και 1 εάν 0 f(t) p dt < + 1 και 0 g(t) q dt < +, τότε 1 0 ( 1 f(t)g(t) dt 0 ) 1/p ( 1 1/q f(t) p dt g(t) dt) q. (1.12) 0 Απόδειξη. Η συνάρτηση fg είναι ολοκληρώσιµη το ίδιο και η fg (ϐλέπε [12]). Αν για κάθε n N, t 0 < t 1 < < t n είναι µια διαµέριση του [0, 1] µε t k t k 1 = t = 1/n και εάν t k [t k 1, t k ], k = 1,..., n, τότε από την (1.10) έπεται ότι f(t k )g(t k ) t = = f(t k )g(t k ) t1/p+1/q f(t k ) t1/p g(t k ) t1/q ( ) 1/p ( 1/q f(t k ) p t g(t k t) ) q. Τα αθροίσµατα στο δεξί και αριστερό µέλος της παραπάνω ανισότητας είναι αθροίσµατα Riemann και στο όριο t 0 (ισοδύναµα n ) δίνουν την Ϲητούµενη ανισότητα. Ασκηση 1.7. Εστω ότι οι συναρτήσεις f, g : [0, 1] R είναι Riemann-ολοκληρώσιµες. Εάν p 1 1 και εάν 0 f(t) p dt < + 1 και 0 g(t) p dt < +, τότε ( 1 1/p ( 1 f(t) + g(t) dt) p 0 0 1/p ( 1 1/p f(t) dt) p + g(t) dt) p. (1.13) 0

14 14 γραµµικοι χωροι µε νορµα 1.3 Χώροι Banach Ορισµός 1.8. Ενας γραµµικός χώρος µε νόρµα είναι ένας γραµµικός χώρος στον οποίο έχει ορισθεί µια συνάρτηση : X R τέτοια ώστε (1) x 0 και x = 0 αν και µόνο αν x = 0. (2) λx = λ x, για κάθε λ R (ή C). (3) x + y x + y. Η συνάρτηση λέγεται νόρµα, και αν x X ο (µη αρνητικός) πραγµατικός αριθµός x είναι η νόρµα του x. Σηµείωση 1.3. Η ιδιότητα (3) είναι η τριγωνική ανισότητα. χρήσιµη ανισότητα : Απόρροια αυτής είναι η παρακάτω x y x y, (1.14) µια απόδειξη της οποίας είναι η x = x y + y x y + y, οπότε x y x y, όµοια y x x y, απ όπου έπεται η (1.14). Παράδειγµα Αν x = (a 1,..., a n ) R n και 1 p < ορίζουµε ( ) 1/p x = a k p. Η είναι νόρµα. Πράγµατι αν x = (a 1,..., a n ) R n τότε x p = n a k p 0, σαν άθροιµα µη αρνητικών ποσοτήτων, ενώ x p = 0 αν και µόνο αν a k p = 0, για όλα τα k, άρα η (1) ικανοποιείται. Εστω λ R τότε λx p = n λa k p = λ p n a k p από την οποία προκύπτει η (2) παίρνοντας την p-ϱίζα. Η (3), η τριγωνική ανισότητα, είναι η (1.11). Τη νόρµα αυτή συνήθως συµβολίζουµε µε p και τη λέµε p-νόρµα ή l p -νόρµα στο R n. Παράδειγµα Αν x = (a 1,..., a n ) R n ορίζουµε x = max 1 k n a k. Οι συνθήκες (1) και (2) του ορισµού της νόρµας ικανοποιούνται η δε (3), η τριγωνική ανισότητα, έπεται από το γεγονός ότι για k = 1,..., n a k + b k a k + b k max 1 k n a k + max 1 k n b k, εποµένως max 1 k n a k + b k max 1 k n a k + max 1 k n b k. Η λοιπόν είναι νόρµα. Συνήθως τη συµβολίζουµε µε και τη λέµε maximum-νόρµα ή l -νόρµα στο R n. Σηµείωση 1.4. Ενας γραµµικός χώρος X µε νόρµα, συνήθως συµβολίζεται µε (X, ). Ετσι σε σχέση µε τα δύο προηγούµενα παραδείγµατα έχουµε τους χώρους (R n, p ) και (R n, ), αντίστοιχα. Ασκηση 1.8. Εστω ότι το x είναι ένα τυχαίο αλλά σταθερό σηµείο στο R n.

15 χωροι banach 15 (α) Αν 1 p <, να δειχθεί ότι x x p n 1/p x. (ϐ) Να δειχθεί ότι αν 1 p 1 p 2, τότε x p2 ϕθίνουσα. x p1, δηλαδή η συνάρτηση p x p είναι (γ) Τι µπορεί να ειπωθεί για το όριο lim p x p ; Παράδειγµα Αν x = (a k ) l p, 1 p ορίζουµε ( ) 1/p x = a k p για p [1, ) x = sup a k για p =. k N Οι παραπάνω εκφράσεις ορίζουν νόρµες στους αντίστοιχους l p χώρους. Η απόδειξη αφήνεται σαν άσκηση. Τις νόρµες αυτές συµβολίζουµε, όπως στο R n, µε p, 1 p, χωρίς να δηµιουργείται σύγχυση. Παράδειγµα Θεωρούµε το C[0, 1], το χώρο των συνεχών συναρτήσεων f : [0, 1] R. f C[0, 1] και 1 p ϑέτουµε Αν ( 1 1/p f = f(t) dt) p για p [1, ) 0 f = max f(t) για p =. 0 t 1 Οι εκφράσεις αυτές ορίζουν νόρµες τις οποίες δηλώνουµε, αντίστοιχα, σαν p, ή L p, 1 p <, και, ή L. Η απόδειξη αφήνεται σαν άσκηση. είχνουµε µόνο ότι εάν f L p = 0, τότε f = 0, δηλαδή f(t) = 0, για 0 t 1. Η απόδειξη γίνεται µε την εις άτοπο απαγωγή. Ισχυριζόµαστε λοιπόν ότι ενώ f L p = 0 υπάρχει t 0 [0, 1] τέτοιο ώστε f(t 0 ) 0. Εστω f(t 0 ) = ɛ > 0. Ας υποθέσουµε αρχικά ότι t 0 (0, 1). Τότε από τη συνέχεια της f, έπεται ότι υπάρχει δ > 0 τέτοιο ώστε f(t) ɛ/2, για κάθε t (t 0 δ, t 0 + δ) [0, 1]. Τότε ϑα είχαµε ότι 0 = 1 0 f(t) p dt t0 +δ t 0 δ f(t) p dt t0 +δ t 0 δ ( ) ɛ p dt = ɛp δ > 0, 2 2p 1 που είναι άτοπο. Αν τώρα f(0) 0, ή f(1) 0 επαναλαµβάνουµε την ίδια διαδικασία στα διαστήµατα [0, δ), ή (1 δ, 1]. Σε όλες τις περιπτώσεις καταλήγουµε στο συµπέρασµα f = 0 στο [0, 1]. Σε ένα γραµµικό χώρο µε νόρµα η συνάρτηση d : X X R που ορίζεται µε τη σχέση d(x, y) = x y (1.15) είναι µια µετρική, όπως εύκολα µπορεί να επαληθευτεί, έποµένως η νόρµα προσδίδει στο χώρο X τοπολογική δοµή. Ετσι αν x X και r > 0 τα υποσύνολα του X B(x, r) := {y X : x y < r} B(x, r) := {y X : x y r} S(x, r) := {y X : x y = r}

16 16 γραµµικοι χωροι µε νορµα εκφράζουν αντίστοιχα την ανοικτή µπάλα, την κλειστή µπάλα, και τη σφαίρα µε κέντρο x και ακτίνα r. Συνακόλουθα µια ακολουθία (x n ) στοιχείων του X είναι ακολουθία Cauchy αν και µόνο αν x k x n 0, καθώς k, n. Θα λέµε ότι η ακολουθία (x n ) συγκλίνει στο x και ϑα γράφουµε x n x αν και µόνο αν x n x 0, καθώς n. Από δε την (1.14) προκύπτει ότι αν x n x τότε x n x. Ασκηση 1.9. Να δειχθεί ότι B(x, r) = B(x, r), όπου B(x, r) είναι η κλειστή ϑήκη του B(x, r). Η µετρική d όπως ορίζεται στην (1.15) ικανοποιεί τις επιπλέον σχέσεις οι οποίες δεν ισχύουν για τυχαίες µετρικές 1. d(x, y) = d(x y, 0) d(λx, λy) = λ d(x, y). Ασκηση Εστω ότι για τις ακολουθίες αριθµών (λ n ), (µ n ), και διανυσµάτων (x n ), (y n ) ισχύει ότι λ n λ, µ n µ, x n x, και y n y. Να δειχθεί ότι λ n x n + µ n y n λx + µy. Θυµίζουµε ότι ένας µετρικός χώρος λέγεται πλήρης εάν κάθε ακολουθία Cauchy στοιχείων του χώρου συγκλίνει σε κάποιο στοιχείο του χώρου. Ενας γραµµικός χώρος µε νόρµα είναι και µετρικός µε µετρική αυτή που ορίζει η νόρµα. Μπορούµε εποµένως να µιλάµε για το κατά πόσον ένας γραµµικός χώρος µε νόρµα είναι πλήρης ή όχι. Ορισµός 1.9. Ενας γραµµικός χώρος µε νόρµα ϑα λέγεται χώρος Banach εάν είναι πλήρης χώρος, δηλαδή κάθε ακολουθία Cauchy του χώρου συγκλίνει. Παράδειγµα Ο R n µε νόρµα την x p = ( n i=1 a i p ) 1/p, 1 p <, είναι χώρος Banach. Εστω (x k ) µια ακολουθία Cauchy στον (R n, p ), µε x k = (a k1,..., a kn ), k N. Τότε για κάθε j = 1,..., n ϑα έχουµε a kj a lj p a ki a li p a kj a lj x k x l p. i=1 Άρα για κάθε j = 1,..., n η ακολουθία των πραγµατικών αριθµών (a kj ) είναι Cauchy, οπότε συγκλίνει. Εστω a kj a j, k, και έστω x = (a 1,..., a n ). Για ɛ > 0 υπάρχει k 0 τέτοιο ώστε a kj a j ɛ/n 1/p, όταν k k 0. Τότε για k k 0 έχουµε την εκτίµηση x k x p p = a kj a j p < j=1 δηλαδή x k x p < ɛ, ή ισοδύναµα x n x. ɛ p n = ɛp, Παράδειγµα Ο R n µε νόρµα την x = max 1 i n a i, είναι χώρος Banach. Εστω (x k ) µια ακολουθία Cauchy στον (R n, ), µε x k = (a k1,..., a kn ), k N. Τότε για κάθε j = 1,..., n ϑα έχουµε a kj a lj max 1 i n a ki a li = x k x l. 1 Για παράδειγµα, για τη µετρική ρ(x, y) = min{1, x y } στο R είναι ρ(3, 4) = 1 και παρατηρούµε ότι για λ > 1 έχουµε ρ(λ3, λ4) = 1 ενώ λρ(3, 4) = λ. j=1

17 χωροι banach 17 Άρα για κάθε j = 1,..., n η (a kj ) είναι µια ακολουθία Cauchy πραγµατικών αριθµών και σαν τέτοια συγκλίνει. Εστω a kj a j, k, και έστω x = (a 1,..., a n ). Αν ɛ > 0 υπάρχει k 0 τέτοιο ώστε a kj a j ɛ, όταν k k 0. Τότε για k k 0 έχουµε δηλαδή x n x. x k x = max 1 i n a ki a i < ɛ, Ασκηση Να δειχθεί ότι ο χώρος (l p, p ), 1 p, είναι Banach. Παράδειγµα Ο χώρος C[0, 1] των συνεχών συναρτήσεων f : [0, 1] R ή C µε νόρµα την f = max 0 t 1 f(t) είναι χώρος Banach. Εστω ότι (f n ) είναι µια ακολουθία Cauchy στο (C[0, 1], ), τότε από τη σχέση f k (t) f n (t) f k f n, έπεται ότι για κάθε t [0, 1] η ακολουθία πραγµατικών αριθµών (f n (t)) είναι Cauchy, άρα συγλίνει. Αν f είναι η συνάρτηση που ορίζεται µε τη σχέση f(t) = lim n f n(t), τότε η (f n ) συγκλίνει οµοιόµορφα στην f. Πράγµατι έστω ɛ > 0, τότε υπάρχει n 0 έτσι ώστε για k, n n 0 έχουµε f k (t) f n (t) f k f n < ɛ για κάθε t [0, 1], οπότε παίρνοντας το όριο k καταλήγουµε στο f n (t) f(t) < ɛ, για n n 0 και για όλα τα t στο [0, 1]. Στη συνέχεια δείχνουµε ότι η f είναι οµοιόµορφα συνεχής. Από την οµοιόµορφη σύγκλιση έπεται ότι για ɛ > 0 υπάρχει n 0 τέτοιο ώστε αν n n 0, τότε f n (t) f(t) < ɛ/3, για κάθε t. Επιπλέον για σταθερό N n 0 υπάρχει δ > 0 τέτοιο ώστε f N (t 1 ) f N (t 2 ) < ɛ/3, οποτεδήποτε t 1 t 2 < δ (γιατί ;). Συνεπώς για t 1 t 2 < δ ϑα έχουµε f(t 1 ) f(t 2 ) f(t 1 ) f N (t 1 ) + f N (t 1 ) f N (t 2 ) + f N (t 2 ) f(t 2 ) ɛ 3 + ɛ 3 + ɛ 3 = ɛ. Άρα η f είναι συνεχής και επιπλέον f n f 0 (γιατί ;). Ασκηση Αν X είναι ένας µετρικός χώρος µε BC(X) συµβολίζουµε το σύνολο των συνεχών και ϕραγµένων πραγµατικών ή µιγαδικών συναρτήσεων ορισµένων στο X. (α) είξτε ότι ο BC(X) είναι γραµµικός χώρος. (ϐ) Αν f BC(X) ορίζουµε f = sup x X f(x). είξτε ότι η είναι νόρµα. (γ) είξτε ότι ο (BC(X), ) είναι χώρος Banach. (δ) Παρατηρήστε ότι εάν X = [0, 1] τότε BC([0, 1]) = C[0, 1] και =. Τι µπορεί να ειπωθεί αν, γενικότερα, ο X είναι ένας συµπαγής χώρος ;

18 18 γραµµικοι χωροι µε νορµα Παράδειγµα Ο χώρος C[ 1, 1] των συνεχών συναρτήσεων f : [ 1, 1] R µε νόρµα την f L 1 = 1 1 f(t) dt δεν είναι χώρος Banach. Θεωρούµε την ακολουθία συναρτήσεων (f n ) µε τιµές 1, 1 t 1 n, 1 f n (t) = 2 n 2 t, 1 n t 1 n, 1 0, n t 1. Κάθε συνάρτηση f n είναι συνεχής, άρα η (f n ) είναι µια ακολουθία στο C[ 1, 1]. είχνουµε ότι είναι Cauchy. Εστω k < n, τότε 0, 1 t 1 k 1 f k (t) f n (t) = 2 k 2 t, 1 k t 1 n n k t, 1 2 n t 1 n οπότε υπολογίζουµε 1 1 f k (t) f n (t) dt = = 1/n 1/k 1/k 1/n = 1 k 1 n. ( 1 2 k ) 2 t ( k ) 2 t dt + 1/n dt + 1/n 1/k 1/n ή ή n k tdt + 2 ) ( 1 2 k 2 t 1 k t 1 1 n t 1 k, dt 1/k 1/n ( 1 2 k ) 2 t dt Εποµένως f k f n L 1 0 καθώς k, n. Ας υποθέσουµε ότι υπάρχει f συνεχής στο [ 1, 1] τέτοια ώστε f n f L 1 0. Τότε για ɛ > 0 και για κάθε n N έχουµε ότι 0 ɛ 1 f n (t) f(t) dt + 1 κατά συνέπεια για κάθε n > 1/ɛ ϑα είναι 0 ɛ 1 1 f(t) dt + ɛ 1 ɛ f n (t) f(t) dt f(t) dt f n (t) f(t) dt = f n f L 1 f n (t) f(t) dt = f n f L 1 απ όπου για n έπεται ότι f(t) = 1, αν 1 t ɛ και f(t) = 0, αν ɛ t 1. Επειδή το ɛ είναι τυχαίο, τελικά ϑα πρέπει να είναι f(t) = { 1, 1 t < 0, 0, 0 < t 1. Αλλά τότε η f είναι ασυνεχής στο 0. Καταλήξαµε σε άτοπο υποθέτοντας ότι υπάρχει συνεχής f µε f n f L 1 0. Άρα τέτοια f δεν υπάρχει, εποµένως ο χώρος C[ 1, 1] µε την L 1 νόρµα δεν είναι πλήρης, δηλαδή δεν είναι χώρος Banach.

19 χωροι banach 19 Ασκηση Θεωρούµε τις συναρτήσεις f (t) = { 1, 1 t 0, 0, 0 < t 1. 1, 1 t < 0, 1 f 0 (t) = 2, t = 0 0, 0 < t 1. f + (t) = { 1, 1 t < 0, 0, 0 t 1. Και οι τρεις συναρτήσεις είναι κατά τµήµατα συνεχείς άρα ολοκληρώσιµες κατά Riemann, εποµένως έχει έννοια να γράφουµε f, f 0, και f +. είξτε ότι για την ακολουθία (f n ) του προηγούµενου παραδείγµατος έχουµε καθώς n. f n f 0, f n f 0 0, f n f + 0, Παρατήρηση 1.3. Για την ακολουθία (f n ) του Παραδείγµατος 1.17 µπορεί να δειχθεί ϐλ. Άσκηση 1.13 ότι συγκλίνει, στην L 1 νόρµα, σε κάθε µία από τις συναρτήσεις f, f 0, f +, και όχι µόνο. Επειδή f f + L 1 f n f L 1 + f n f + L 1 0 συµπεραίνουµε ότι f f + L 1 = 0, ενώ f f +. Βλέπουµε λοιπόν ότι έστω και αν αν εµπλουτίσουµε το χώρο C[ 1, 1] µε µη συνεχείς συναρτήσεις ώστε να γίνει πλήρης η L 1, στο νέο χώρο δεν ϑα είναι νόρµα. Η παθολογία αυτή εξαλείφεται εάν αποφασίσουµε να ταυτίζουµε τις συναρτήσεις g και h αν g h L 1 = 0. Στο συγκεκριµένο παράδειγµα οι f και f + διαφέρουν στο t = 0. Θα λέµε ότι ένα σύνολο E R είναι µηδενικού µέτρου αν µπορεί να καλυφθεί από µια ένωση διαστηµάτων των οποίων το άθροισµα των µηκών είναι αυθαίρετα µικρό. 2 Αποδεικνύεται ότι στον εµπλουτισµένο χώρο δύο συναρτήσεις g και h διαφέρουν σε ένα σύνολο µηδενικού µέτρου τότε και µόνο τότε όταν g h L 1 = 0. Αν λοιπόν ταυτίζουµε µεταξύ τους τις συναρτήσεις που διαφέρουν σε σύνολα µηδενικού µέτρου τότε στο χώρο που προκύπτει η L 1 είναι νόρµα. Ο Banach αυτός χώρος συµβολίζεται µε L 1 [ 1, 1] και είναι η πλήρωση του C[ 1, 1], ως προς την L 1 νόρµα. Σηµειώνουµε ότι τα στοιχεία του L 1 [ 1, 1] δεν είναι συναρτήσεις αλλά κλάσεις συναρτήσεων. Ασκηση Ας συµβολίσουµε µε P [0, 1] σύνολο των πολυωνύµων στο [0, 1]. Επειδή το άθροισµα πολυωνύµων είναι πολυώνυµο και το γινόµενο πολυωνύµου µε σταθερά είναι πάλι πολυώνυµο το P [0, 1] γίνεται γραµµικός χώρος. Να δειχθεί ότι (α) Αν p P [0, 1] η p = max 0 t 1 p(t) είναι νόρµα. (ϐ) Ο χώρος (P [0, 1], ) δεν είναι Banach. 2 Για παράδειγµα το σύνολο Q των ϱητών αριθµών είναι µηδενικού µέτρου. Πράγµατι αν {r k } είναι µια αρίθµηση του Q τότε για ɛ > 0 ϑα έχουµε Q (r k ɛ/2 k+1, r k + ɛ/2 k+1 ), και αν µε I συµβολίσουµε το µήκος του διαστήµατος I τότε ( r k ɛ 2, r k+1 k + ɛ ) = 2 k+1 ɛ 2 k = ɛ.

20 20 γραµµικοι χωροι µε νορµα 1.4 Ισοδύναµες νόρµες Ορισµός ύο νόρµες n1 και n2 σε ένα γραµµικό χώρο X λέγονται ισοδύναµες εάν υπάρχουν ϑετικές σταθερές α και β έτσι ώστε για κάθε x X. α x n1 x n2 β x n1, (1.16) Παρατηρούµε ότι η σχέση (1.16) είναι ισοδύναµη µε τη σχέση β 1 x n2 x n1 α 1 x n2. Εάν οι νόρµες n1 και n2 είναι ισοδύναµες γράφουµε x n1 x n2. Αποδεικνύεται εύκολα ότι η είναι µια σχέση ισοδυναµίας. Παράδειγµα Αν x = (a 1,..., a n ) R n τότε x = max 1 k n a k x 1 = a k = x 1, a k n max 1 k n a k = n x, συνεπώς x x 1 n x, δηλαδή οι νόρµες x και x 1 στο R n είναι ισοδύναµες. Παρατηρούµε ότι αν σε ένα χώρο δύο νόρµες είναι ισοδύναµες τότε µια ακολουθία συγκλίνει ως προς τη µία νόρµα τότε και µόνον τότε όταν συγκλίνει ως προς την άλλη. Άρα το αποτέλεσµα του Παραδείγµατος 1.14 συνεπάγεται αυτό του Παραδείγµατος 1.15 και αντίστροφα. ύο ισοδύναµες νόρµες σε κάποιο γραµµικό χώρο X παράγουν ισοδύναµες τοπολογίες, δηλαδή τα ανοιχτά σύνολα της µιας τοπολογίας είναι ανοιχτά και στην άλλη. Ειδικότερα, αν µε B i, συµβολίζουµε την ανοιχτή µπάλα ως προς τη νόρµα ni, i = 1, 2, τότε για x X και r > 0 η ανισότητα (1.16) ισοδυναµεί µε το γεγονός ότι B 1 (x, r/β) B 2 (x, r) B 1 (x, r/α). Πρόταση 1.4. Εστω X ένας γραµµικός χώρος πεπερασµένης διάστασης µε νόρµα. Κάθε άλλη νόρµα επί του X είναι ισοδύναµη µε την. Απόδειξη. Εστω ότι η διάσταση του X ισούται µε n και έστω ότι {u 1,..., u n } είναι µια ϐάση του χώρου. Εάν x X, υπάρχουν σταθερές c 1,..., c n έτσι ώστε x = c 1 u c n u n. Η έκφραση x 1 = c c n είναι νόρµα (γιατί ;). Στη συνέχεια αποδεικνύουµε ότι οι νόρµες και 1 είναι ισοδύναµες. Πράγµατι από τον ορισµό της νόρµας έχουµε c 1 u c n u n c 1 u c n u n max 1 k n u k ( c c n ). Επειδή τα u k είναι γραµµικά ανεξάρτητα έπεται ότι u k > 0, k = 1,..., n, εποµένως η παραπάνω σχέση γράφεται x β x 1, (1.17)

21 ισοδυναµες νορµες 21 όπου β = max 1 k n u k. Αποµένει τώρα να αποδείξουµε ότι υπάρχει ϑετική σταθερά α τέτοια ώστε α x 1 x. (1.18) Εάν x 1 = 0 η (1.18) ισχύει. Εστω λοιπόν ότι x 1 0 τότε διαιρώντας και τα δύο µέλη της (1.18) µε x 1 η προς απόδειξη σχέση είναι η α x, (1.19) για κάθε x = c 1 u c n u n µε x 1 = c c n = 1. Ας υποθέσουµε ότι η (1.19) δεν ισχύει, τότε για κάθε k N υπάρχει x k = c k1 u c kn u n, τέτοιο ώστε x k 1 = 1 και x k 1/k. Επειδή c k1 + + c kn = 1, για όλα τα k N, από το ϑεώρηµα Bolzano-Weierstrass έπεται ότι η ακολουθία (c k1 ) έχει µια υπακολουθία (c σ1 (k)1) που συγκλίνει σε κάποιο αριθµό c 1. Για τον ίδιο λόγο, επειδή c σ1 (k)1 + + c σ1 (k)n = 1, υπάρχει µια υπακολουθία (c σ2 (k)2) της (c σ1 (k)2) που συγκλίνει σε κάποιο αριθµό c 2. Επαναλαµβάνοντας το διαγώνιο αυτό επιχείρηµα καταλήγουµε στην ύπαρξη µιας υπακολουθίας (x σ(k) ), µε x σ(k) = c σ(k)1 u c σ(k)n u n, όπου c σ(k)i c i, i = 1,..., n. Θέτουµε x = c 1 u c n u n. Τότε x 1 = c c n = 1, και Επεται λοιπόν ότι x σ(k) x = (c σ(k)1 c 1 )u (c σ(k)n c n )u n c σ(k)i c i u i i=1 max 1 i n u i c σ(k)i c i. i=1 x σ(k) x β c σ(k)i c i 0 και επειδή x σ(k) 0 τελικά ότι x = 0, ισοδύναµα x = 0. Αυτό όµως έρχεται σε αντίθεση µε το ότι x 1 = 1. Συνεπώς η (1.19) άρα και η (1.18) ισχύει. Επειδή αποδείξαµε την ισοδυναµία για την τυχαία νόρµα το συµπέρασµα ισχύει για κάθε Ϲευγάρι από νόρµες (γιατί ;). i=1 Ενα συµπέρασµα της Πρότασης 1.4 είναι ότι στο R n όλες οι l p -νόρµες p, 1 p, είναι ισοδύναµες µεταξύ τους. Πόρισµα 1.3. Ενας γραµµικός χώρος X µε νόρµα ο οποίος είναι πεπερασµένης διάστασης είναι πλή- ϱης, είναι δηλαδή χώρος Banach. Απόδειξη. Εστω ότι η διάσταση του X είναι n και έστω ότι {u 1,..., u n } είναι µια ϐάση του χώρου. Για κάθε x X, υπάρχουν σταθερές c 1,..., c n έτσι ώστε x = c 1 u c n u n. Η έκφραση ( ) 1/p x p = c k p, 1 p < είναι µία νόρµα στο X και σύµφωνα µε την Πρόταση 1.4 είναι ισοδύναµη µε τη νόρµα του χώρου. Εάν (x k ) είναι µια ακολουθία Cauchy στο X τότε η αντίστοιχη ακολουθία (c k1,..., c kn ) είναι

22 22 γραµµικοι χωροι µε νορµα ακολουθία Cauchy στο R n και σαν τέτοια συγκλίνει έστω στο σηµείο (c 1,..., c n ), ϐλέπε Παράδειγµα Αν ορίσουµε το σηµείο x = c 1 u c n u n παρατηρούµε ότι ( ) 1/p x k x δ c ki c i p 0, όπου δ είναι η σταθερά της ισοδυναµίας. Άρα x k x, συνεπώς ο X είναι πλήρης. i=1 Ασκηση Εάν Y είναι ένας πεπερασµένης διάστασης υπόχωρος ενός γραµµικού χώρου µε νόρµα, τότε ο Y είναι κλειστός. Εάν το V είναι ένα υποσύνολο ενός γραµµικού χώρου µε νόρµα ϑα λέµε ότι το V είναι ϕραγµένο εάν υπάρχει ϑετική σταθερά m έτσι ώστε x m, για κάθε x V. Ασκηση Εάν X είναι ένας πεπερασµένης διάστασης γραµµικός χώρος µε νόρµα, και V είναι ένα κλειστό και ϕραγµένο υποσύνολο του X, τότε το V είναι συµπαγές, δηλαδή, κάθε ακολουθία στοιχείων του V έχει µια υπακολουθία η οποία συγκλίνει σε στοιχείο του V. 1.5 Σειρές σε χώρους µε νόρµα Αν (x n ) είναι µια ακολουθία στο γραµµικό χώρο X µε νόρµα ϑεωρούµε τα αθροίσµατα s 1 = x 1,..., s n = x x n,.... Εάν η ακολουθία (s n ) συγκλίνει σε κάποιο σηµείο x X ϑα λέµε ότι η σειρά x k συγκλίνει στο x και ϑα γράφουµε x = x k. Εάν η σειρά, των πραγµατικών αριθµών, x k συγκλίνει ϑα λέµε ότι η σειρά x k συγκλίνει απολύτως. Πρόταση 1.5. Εστω X ένας χώρος Banach. Τότε κάθε απολύτως συγκλίνουσα σειρά του X συγκλίνει στο X. Απόδειξη. Εστω ότι για τη σειρά x k ισχύει ότι x k < +. Τότε για n > k έχουµε s n s k = x k x n i=k+1 x i i=k+1 x i 0, καθώς k, συνεπώς η ακολουθία (s n ), των µερικών αθροισµάτων, είναι Cauchy. Άρα υπάρχει x X µε s n x, ή ισοδύναµα η σειρά συγκλίνει στο x. Λήµµα 1.1. Εστω (x n ) µια ακολουθία Cauchy σε ένα γραµµικό χώρο µε νόρµα. Αν κάποια υπακολουθία της (x nk ) συγκλίνει τότε και η (x n ) συγκλίνει. Απόδειξη. Αφήνεται σαν άσκηση.

23 σειρες σε χωρους µε νορµα 23 Η πρόταση που ακολουθεί δείχνει ότι το αποτέλεσµα της Πρότασης 1.5 χαρακτηρίζει ακριβώς τους χώρους Banach. Πρόταση 1.6. Εστω X ένας χώρος µε νόρµα. Εάν κάθε απολύτως συγκλίνουσα σειρά συγκλίνει, ο X είναι Banach. Απόδειξη. Αν (x n ) είναι µια ακολουθία Cauchy στο X ϑέλουµε να δείξουµε ότι συγκλίνει. Σύµφωνα µε το Λήµµα 1.1 αρκεί να δείξουµε ότι µια υπακολουθία της (x nk ) συγκλίνει. Για κάθε k N υπάρχει n k τέτοιο ώστε x m x nk 1 2 k, m > n k, επιπλέον µπορούµε να επιλέξουµε έτσι ώστε n 1 < n 2 < < n k <... (γιατί ;). Θα αποδείξουµε ότι η υπακολουθία (x nk ) συγκλίνει. Ορίζουµε y 1 = x n1 και y i = x ni x ni 1 για i > 1. Τότε υπολογίζουµε και i=1 k y i = x n1 + (x n2 x n1 ) + + (x nk x nk 1 ) = x nk, i=1 1 y i = y 1 + x ni x ni 1 x n1 + 2 i = x n i=2 Άρα η σειρά i=1 y i συγκλίνει απολύτως οπότε από την υπόθεση έπεται ότι συγκλίνει. Αν x είναι το όριό της ϑα έχουµε lim k x n k = lim k k y i = i=1 i=1 y i = x. i=1 Θυµίζουµε ότι ένα υποσύνολο B του γραµµικού χώρου X λέγεται ϐάση Hamel εάν είναι γραµ- µικά ανεξάρτητο και κάθε στοιχείο του X γράφεται σαν γραµµικός συνδυασµός ενός πεπερασµένου πλήθους στοιχείων του B. Ορισµός Εστω X ένας γραµµικός χώρος µε νόρµα. Ενα αριθµήσιµο υποσύνολο {e n } n=1 του X λέγεται ϐάση Schauder του X εάν για κάθε στοιχείο x X υπάρχει µοναδικά ορισµένη ακολουθία σταθερών (c k ) τέτοια ώστε x = c ke k, ισοδύναµα x (c 1 e c n e n ) 0, καθώς n. Θα λέµε ότι η σειρά c ke k είναι το ανάπτυγµα του x ως προς τη ϐάση {e n } n=1. Σε ένα χώρο πεπερασµένης διάστασης µια ϐάση Hamel είναι και ϐάση Schauder και το αντίστροφο. Για παράδειγµα αν x R 3 και x = (a 1, a 2, a 3 ), έχουµε x = (a 1, 0, 0) + (0, a 2, 0) + (0, 0, a 3 ) = a 1 (1, 0, 0) + a 2 (0, 1, 0) + a 3 (0, 0, 1) οπότε ορίζοντας e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0), και e 3 = (0, 0, 1), ϑα έχουµε x = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3. Η αναπαράσταση αυτή του x ως προς e 1, e 2, και e 3 είναι µοναδική, άρα το σύνολο {e 1, e 2, e 3 } είναι µια ϐάση Schauder στο R 3. Υπάρχουν άλλες ϐάσεις Schauder στο R 3 ; Γενικεύοντας έχουµε :

24 24 γραµµικοι χωροι µε νορµα Παράδειγµα Εστω e n, n N να είναι η ακολουθία της οποίας ο n-οστός όρος είναι 1 και όλοι οι άλλοι όροι είναι 0. Τότε για 1 p έχουµε ότι e n l p, για όλα τα n. Επιπλέον δεν είναι δύσκολο να δείξουµε ότι το σύνολο {e n } n=1 είναι µια ϐάση Schauder στο lp, για 1 p <. Σηµειώνουµε ότι το {e n } n=1 δεν είναι ϐάση Schauder στο l. Πράγµατι αν x είναι η σταθερή ακολουθία (1, 1,..., 1,... ) τότε x l. Υποθέτοντας ότι x = c ke k, για κάποια ακολουθία σταθερών (c n ), ϑα έχουµε ότι για κάθε n N x (c 1 e c n e n ) = (1 c 1, 1 c 2,..., 1 c n, 1, 1,... ) = max{ 1 c 1, 1 c 2,..., 1 c n, 1} 1, εποµένως x (c 1 e c n e n ) 0. Ασκήσεις 1. Εστω X ένας γραµµικός χώρος και έστω ότι A είναι ένα υποσύνολο του X. Εάν F είναι η οικογένεια όλων των υπόχωρων του X που περιέχουν το A, να δειχθεί ότι span A = Y F Y. Σηµειώνουµε ότι X F. 2. Να ϐρεθεί η εικόνα R(L) του µετασχηµατισµού L του Παραδείγµατος Αν (x n ) είναι µια ακολουθία σε ένα χώρο µε νόρµα και x n x, καθώς n, να δειχθεί ότι 1 n (x x n ) x. 4. Ο γραµµικός χώρος X µε νόρµα είναι Banach τότε και µόνον τότε όταν η µοναδιαία σφαίρα S 1 = {x X : x = 1}, ϑεωρούµενη σαν µετρικός υπόχωρος του X είναι πλήρης. 5. Αν 1 p 1 < p 2, να δειχθεί ότι για κάθε x R n. 6. Αν 1 p 1 < p 2, να δειχθεί ότι για κάθε x l p 1. x p2 x p1 n 1/p 1 1/p 2 x p2, x p2 x p1 7. Θεωρούµε τον χώρο των ακολουθιών που συγκλίνουν στο µηδέν c 0. (αʹ) είξτε ότι ο c 0 µε την l -νόρµα είναι χώρος Banach. (ϐʹ) Εξετάστε εάν το σύνολο {e n } n=1 του Παραδείγµατος 1.19 είναι µια ϐάση Schauder για τον χώρο c Με c 00 συµβολίζουµε το σύνολο των ακολουθιών των οποίων µόνον ένα πεπερασµένο πλήθος όρων είναι διάφοροι του µηδενός.

25 σειρες σε χωρους µε νορµα 25 (αʹ) είξτε ότι ο c 00 είναι γραµµικός υπόχωρος του c 0. (ϐʹ) Εξετάστε εάν ο c 00 µε την l -νόρµα είναι χώρος Banach. 9. Εστω Y ένας πεπερασµένης διάστασης γραµµικός υπόχωρος ενός χώρου µε νόρµα X, και έστω x 0 X Y. Αποδείξτε ότι υπάρχει σηµείο y 0 Y τέτοιο ώστε inf x 0 y = x 0 y 0. y Y 10. Εστω n ένας ϕυσικός αριθµός, 1 p < και έστω f C[0, 1]. Αποδείξτε ότι υπάρχει µοναδικό πολυώνυµο Q n ϐαθµού n τέτοιο ώστε για κάθε πολυώνυµο P n ϐαθµού n, P n Q n ισχύει 1 0 f(t) P n (t) p dt > 1 0 f(t) Q n (t) p dt.

26 26 γραµµικοι χωροι µε νορµα

27 Κεφάλαιο 2 Γραµµικοι µετασχηµατισµοι 2.1 Γραµµικοί τελεστές Εάν X και Y είναι δύο χώροι µε νόρµα ένας γραµµικός µετασχηµατισµός από τον X στον Y ϑα λέγεται γραµµικός τελεστής. Αν T : X Y είναι ένας γραµµικός τελεστής και x X συνήθως γράφουµε T x αντί του T (x). Θυµίζουµε ότι το σύνολο N(T ) = {x X : T x = 0} είναι ο πυρήνας του T, ενώ το R(T ) = {T x : x X} είναι η εικόνα του T. Ορισµός 2.1. Εάν X και Y είναι χώροι µε νόρµα, ένας γραµµικός τελεστής T : X Y ϑα λέγεται ϕραγµένος εάν υπάρχει σταθερά β έτσι ώστε T x β x (2.1) για κάθε x X. Τη µικρότερη σταθερά για την οποία ισχύει η (2.1) την λέµε νόρµα του T και τη συµβολίζουµε µε T. Συνεπώς T = inf{β 0 : T x β x, x X}. Σηµειώνουµε ότι η νόρµα στο αριστερό µέλος της (2.1) είναι η νόρµα του Y την οποία ϑα µπορούσαµε να γράφουµε σαν Y, και κάποιες ϕορές το κάνουµε, ενώ αυτή στο δεξιό είναι η νόρµα του X, την οποία ϑα γράφαµε σαν X. εν το κάνουµε αυτό, για λόγους οικονοµίας, αλλά έχουµε αυτή τη σύµβαση στο νού µας οποτεδήποτε γράφουµε µια σχέση που σχετίζει νόρµες διαφορετικών χώρων. Πρόταση 2.1. Η νόρµα ενός ϕραγµένου τελεστή T δίνεται από τη σχέση T x T = sup x 0 x. (2.2) Απόδειξη. Από τη σχέση T x T x έπεται ότι T x / x T, για κάθε x 0, οπότε T x sup T. (2.3) x 0 x Εστω β = sup x 0 ( T x / x ). Τότε T x / x β, για κάθε x 0, οπότε γι αυτά τα x έχουµε T x β x. Η τελευταία σχέση ισχύει και για x = 0, άρα ισχύει για όλα τα x. Από τον ορισµό, όµως, της T έπεται ότι T β, ή Από τις (2.3) και (2.4) έπεται η (2.2). T x T sup x 0 x. (2.4) 27

28 28 γραµµικοι µετασχηµατισµοι Παρατήρηση 2.1. Από τον ισοδύναµο ορισµό της νόρµας τελεστή έχουµε T x T = sup x 0 x = sup T 1 x 0 x x = sup T x. x =1 Επειδή δε {x : T x = 1} {x : T x 1} έπεται ότι sup T x sup T x sup T x = T. x =1 x 1 x 1 Από τις δύο αυτές σχέσεις συµπεραίνουµε λοιπόν ότι T = sup T x = sup T x. (2.5) x =1 x 1 Παράδειγµα 2.1. Εάν (a n ) είναι µια ακολουθία στον l p, 1 p, ορίζουµε τον τελεστή T µε τη σχέση T (a 1, a 2, a 3,... ) = (0, a 1, a 2,... ). Ο T είναι ένας γραµµικός τελεστής από το l p στο l p. Επιπλέον εάν x = (a n ) έχουµε ( ) 1/p T x = a k p = x, 1 p < T x = sup a k = x, p =. k Συνεπώς ο T είναι ένας ϕραγµένος γραµµικός τελεστής και T 1. Αν z = (1, 0, 0,... ), τότε z l p για 1 p και z = 1. Επειδή T z = (0, 1, 0,... ) είναι T z = 1 = z, οπότε από την (2.5) έπεται ότι T 1, κατά συνέπεια, τελικά, T = 1. Ενας τελεστής για τον οποίο ισχύει T x = x λέγεται ισοµετρία. Παράδειγµα 2.2. Ας ϑεωρήσουµε το χώρο των συνεχών συναρτήσεων ορισµένων στο [0, 1] µε την maximum νόρµα, δηλαδή αν f C[0, 1] τότε f = max 0 t 1 f(t). Εστω g C[0, 1]. Αν f C[0, 1] η σχέση Jf = F όπου Jf(t) = F (t) = t 0 g(s)f(s) ds ορίζει έναν γραµµικό τελεστή από το C[0, 1] στο C[0, 1], ϐλέπε Παράδειγµα 1.9. Ο J είναι ϕραγµένος. Πράγµατι για κάθε t στο [0, 1] υπολογίζουµε Jf(t) = t 0 t 0 1 g(s)f(s) ds g(s)f(s) ds g(s) f(s) ds 0 ( 1 0 g(s) ds ) max 0 s 1 f(s)

29 γραµµικοι τελεστες 29 οπότε παίρνοντας το maximum έχουµε max Jf(t) 0 t 1 ( 1 0 ) g(s) ds max f(t), 0 s 1 ή, διαφορετικά, Jf g L 1 f. Άρα ο J είναι ϕραγµένος και J g L 1. Σηµειώνουµε ότι το µέγιστο της g λαµβάνεται στο συµπαγές διάστηµα [0, 1] και ότι g L 1 max 0 t 1 g(t) = g, οπότε επίσης ισχύει J g. Ο τελεστής J είναι τυπικό παράδειγµα ενός ολοκληρωτικού τελεστή. Παράδειγµα 2.3. Εστω K : [0, 1] [0, 1] R µια συνεχής συνάρτηση. Εάν f C[0, 1] η σχέση T f(t) = F (t) = 1 0 K(s, t)f(s) ds, (2.6) ορίζει µια συνάρτηση στο C[0, 1] (γιατί ;). Αν ϑεωρήσουµε το χώρο C[0, 1] µε την maximum νόρµα, δηλαδή f = max 0 t 1 f(t), τότε από τις ιδιότητες του ολοκληρώµατος έπεται ότι ο T είναι ένας γραµµικός τελεστής και επιπλέον 1 T f(t) K(s, t)f(s) ds 0 ( 1 ) K(s, t) ds f. 0 Από την συνέχεια της K στο συµπαγές σύνολο [0, 1] [0, 1] έπεται ότι υπάρχει σταθερά β τέτοια ώστε K(s, t) β, για όλα τα s, t [0, 1]. Ετσι σαν συνέχεια της παραπάνω σχέσης ϑα έχουµε T f(t) β f, για όλα τα t [0, 1], εποµένως και για το µέγιστο συνεπώς T f = max T f(t) β f. 0 t 1 Επεται ότι ο T είναι ϕραγµένος και T max{ K(s, t) : 0 s, t 1}. Μπορεί να ϐελτιωθεί το ϕράγµα της T ; Ενας τελεστής του τύπου (2.6) είναι ένα άλλο παράδειγµα ολοκληρωτικού τελεστή. Στη συνέχεια µε B(X, Y ) συµβολίζουµε το σύνολο των ϕραγµένων γραµµικών τελεστών από τον χώρο X στον Y. Εστω ότι S, T είναι στοιχεία του B(X, Y ), και έστω x X, ορίζουµε το άθροισµα των τελεστών S, T µε τη σχέση (S + T )x = Sx + T x, τότε ο S + T είναι γραµµικός και (S + T )x Sx + T x S x + T x = ( S + T ) x οπότε ο S + T είναι ϕραγµένος, επιπλέον S + T S + T. Εποµένως το B(X, Y ) είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση τελεστών, όµοια για λ µία σταθερά (λt )x = λt x = λ T x λ T x οπότε ο λt είναι ϕραγµένος και λt λ T. Άρα το B(X, Y ) είναι γραµµικός χώρος, υπόχωρος του L(X, Y ) (ϐλέπε Άσκηση 1.4). Εστω ότι X, Y, Z είναι χώροι µε νόρµα και S B(X, Y ), T B(Y, Z). Ορίζουµε τη σύνθεση των τελεστών T, S µε τη σχέση T S(x) = T (Sx).

30 30 γραµµικοι µετασχηµατισµοι Πρόταση 2.2. Αν S B(X, Y ) και T B(Y, Z), τότε T S B(X, Z) και T S S T. Απόδειξη. Ο T S είναι γραµµικός T S(λx + µy) = T (S(λx + µy)) = T (λsx) + T (µsy) = λt (Sx) + µt (Sy) = λt Sx + µt Sx για x, y X και λ, µ R ή C, και συνεχής σαν σύνθεση συνεχών συναρτήσεων. Επίσης T S(x) = T (Sx) T Sx S T x για κάθε x X απ όπου έπεται το συµπέρασµα. Ασκηση 2.1. Να δειχθεί ότι το B(X, Y ) µε νόρµα την νόρµα τελεστή όπως ορίζεται στην (2.2) ή στην (2.5) είναι χώρος µε νόρµα. Πρόταση 2.3. Εάν ο Y είναι χώρος Banach, τότε και ο B(X, Y ) είναι χώρος Banach. Απόδειξη. Εστω (T n ) µια ακολουθία Cauchy στον B(X, Y ). Αν x X από την σχέση T n x T k x T n T k x, (2.7) έπεται ότι η ακολουθία (T n x) είναι Cauchy στον Y και σαν τέτοια συγκλίνει. Ας συµβολίσουµε µε T x το όριό της. Ο τελεστής T που ορίζεται µε αυτή τη σχέση είναι γραµµικός. Πράγµατι αν x, y X και λ R ή C έχουµε T (x + y) = lim n T n(x + y) = lim n (T nx + T n y) = lim n T nx + lim n T ny = T x + T y T (λx) = lim n T n(λx) = lim n (λt nx) = λ lim n T nx = λt x. Στη συνέχεια δείχνουµε ότι ο T είναι ϕραγµένος. Εστω ɛ > 0, τότε υπάρχει N N τέτοιο ώστε T n T k < ɛ, για n, k N. Ετσι από την (2.7) έπεται ότι T n x T k x ɛ x, για n, k > N και για κάθε x X. Παίρνοντας το όριο k έχουµε T n x T x ɛ x, (2.8) για n > N και για όλα τα x X, εποµένως από την τριγωνική ανισότητα T x ɛ x + T n x, ή T x (ɛ + T n ) x, για n > N. Άρα ο T είναι ϕραγµένος. Επειδή η (2.8) ισχύει για κάθε n > N και για κάθε x X έπεται ότι T n x T x T n T = sup ɛ, x 0 x για n > N, ή ισοδύναµα T n T 0, που σηµαίνει ότι ο B(X, Y ) είναι πλήρης. Πρόταση 2.4. Εστω X ένας γραµµικός χώρος πεπερασµένης διάστασης µε νόρµα. Εάν T είναι ένας γραµµικός τελεστής από το X στο γραµµικό χώρο µε νόρµα Y, τότε ο T είναι ϕραγµένος.

31 γραµµικοι τελεστες 31 Απόδειξη. Εστω ότι η διάσταση του X είναι n και έστω {u 1,..., u n } µια ϐάση του χώρου τέτοια ώστε u k = 1 για κάθε k = 1,..., n. Αν x X, τότε x = c 1 u c n u n. Υπολογίζουµε T x = T (c k u k ) c k T u k max 1 k n T u k c k Θυµίζουµε ότι όλες οι νόρµες στό X είναι ισοδύναµες, ϐλέπε Πρόταση 1.4, και ότι η l 1 -νόρµα του x = c 1 u 1 + +c n u n είναι x 1 = n c k. Εποµένως υπάρχει σταθερά δ τέτοια ώστε x 1 δ x. Ετσι τελικά έχουµε T x δ max 1 k n T u k x, που σηµαίνει ότι ο τελεστής T είναι ϕραγµένος. Πόρισµα 2.1. Εστω A ένας συµµετρικός, πραγµατικός n n πίνακας και έστω T A : R n R n ο γραµµικός τελεστής που ορίζεται µε τη σχέση T A x = Ax. διαφορετικές µεταξύ τους) ιδιοτιµές του A, τότε Εάν λ 1,..., λ n είναι οι (όχι αναγκαστικά T A = max 1 k n λ k (2.9) Απόδειξη. Από την Πρόταση 2.4 έπεται ότι ο τελεστής T A είναι ϕραγµένος και T A x T A = sup x 0 x = sup Ax x 0 x, (2.10) όπου είναι η Ευκλείδεια (l 2 ) νόρµα στο R n. Θυµίζουµε ότι αν x R n (το x είναι διάνυσµα-στήλη), τότε x 2 = x t x, όπου x t είναι ο ανάστροφος πίνακας (εδώ διάνυσµα-γραµµή) του x. Θυµίζουµε επίσης ότι οι ιδιοτιµές του A είναι πραγµατικοί αριθµοί, και ότι υπάρχει ϐάση {u 1,..., u n } του R n αποτελούµενη από ιδιοδιανύσµατα, Au k = λ k u k, τέτοια ώστε, u k = 1, και u j t u k = 0 αν j k. Εστω x R n και x 0, τότε x = c 1 u c n u n R n και x 2 = (c 1 u c n u n ) t (c 1 u c n u n ) = j,k c j c k u t j u k = c 2 k. Επειδή δε Ax = c 1 λ 1 u c n λ n u n, όµοια υπολογίζουµε ( )t Ax 2 = c k λ k u k c k λ k u k = c 2 k λ2 k max 1 k n λ2 k c 2 k. Εποµένως Ax max 1 k n λ k. Επειδή Au k = λ k u k = λ k έπεται το συµπέρασµα. Από τη σχέση (2.10) ϐλέπουµε ότι η (2.9) ορίζει µία νόρµα του πίνακα A.

32 32 γραµµικοι µετασχηµατισµοι Σηµείωση 2.1. Στην απόδειξη του Πορίσµατος 2.1 που δώσαµε παίζει σηµαντικό ϱόλο η δοµή των ιδιόχωρων συµµετρικών πινάκων. Στη συνέχεια µε τη µέθοδο των πολλαπλασιαστών Lagrange του απειροστικού λογισµού αποδεικνύουµε ένα γενικότερο αποτέλεσµα συνέπεια του οποίου είναι το Πόρισµα 2.1. Συγκεκριµµένα δείχνουµε ότι : Πρόταση 2.5. Εαν ο A είναι ένας πραγµατικός n n πίνακας τότε όπου λ max είναι η µέγιστη ιδιοτιµή του πίνακα A t A. A = λ max, Απόδειξη. Θέλοντας να ϐρούµε το µέγιστο της συνάρτησης Ax µε τον περιορισµό x = 1, µιας και T A = sup x =1 Ax, ϑεωρούµε τη συνάρτηση f(x, λ) = Ax 2 λ( x 2 1), όπου x R n και λ είναι ο πολλαπλασιαστής Lagrange. Επειδή Ax 2 = (Ax) t Ax = x t A t Ax, η συνάρτηση f γράφεται f(x, λ) = x t A t Ax λ(x t x 1). Τα ακρότατα της f ϐρίσκονται µεταξύ των λύσεων του συστήµατος f x k = 0, k = 1,..., n, f λ = 0. Εάν {e 1,..., e n } είναι η ϕυσιολογική ϐάση του R n και x = x 1 e 1 + x n e n, υπολογίζουµε f = xt A t Ax + x t A t A f ( x t λ x + x t x ) x k x k x k x k x k = e k t A t Ax + x t A t Ae k λ(e k t x + x t e k ). Εάν µε (A t Ax) j συµβολίζουµε την j-γραµµή του διανύσµατος A t Ax, τότε e k t A t Ax = (A t Ax) k, και (A t Ax) k = e k t A t Ax = (e k t A t Ax) t = (A t Ax) t e k = x t A t Ae k. Οµοια e k t x = x t e k = x k. Ετσι, τελικά έχουµε f x k = 2(A t Ax) k λ2x k. Εποµένως τα ακρότατα (x, λ) της f ικανοποιούν τις εξισώσεις A t Ax = λx, x t x = 1, (2.11) δηλαδή το µεν λ είναι ιδιοτιµή του συµµετρικού πίνακα A t A, άρα λ R, το δε x είναι το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα τέτοιο ώστε x = 1. Στα σηµεία αυτά έχουµε ότι f(x, λ) = x t λx λ(x t x 1) = λ, και λ 0, αφού από την (2.11) έπεται ότι x t A t Ax = x t λx, ή Ax 2 = λ x 2. Κατά συνέπεια { max Ax = max f(x, λ) = max λ : λ είναι ιδιοτιµή του A t A }, x =1 x =1 ισοδύναµα A = λ max.

33 γραµµικα συναρτησοειδη 33 Εστω τώρα ότι ο A είναι συµµετρικός και ότι λ k είναι ιδιοτιµή του A µε αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα u k, τότε A t Au k = A 2 u k = Aλ k u k = λ k Au k = λ 2 k u k, δηλαδή οι ιδιοτιµές του A t A είναι τα τετράγωνα των ιδιοτιµών του A, εποµένως τελικά ϑα έχουµε που είναι το συµπέρασµα του Πορίσµατος 2.1. max Ax = max{ λ k : k = 1,..., n} x =1 Ορισµός 2.2. Εστω X και Y δύο γραµµικοί χώροι µε νόρµα και T : X Y ένας γραµµικός τελεστής (1) Ο T ϑα λέγεται συνεχής στο x 0 X εάν για κάθε ɛ > 0 υπάρχει δ = δ(ɛ, x 0 ) > 0 έτσι ώστε αν x x 0 < δ, τότε T x T x 0 < ɛ. (2) Ο T ϑα λέγεται οµοιόµορφα συνεχής στο X εάν για κάθε ɛ > 0 υπάρχει δ = δ(ɛ) > 0 έτσι ώστε αν x y < δ, τότε T x T y < ɛ. Πρόταση 2.6. Εστω T : X Y ένας γραµµικός τελεστής. οµοιόµορφα συνεχής. ϕραγµένος, άρα συνεχής παντού. Απόδειξη. Εστω ότι ο T είναι ϕραγµένος. Εάν ο T είναι ϕραγµένος, τότε είναι Εάν ο γραµµικός τελεστής T είναι συνεχής σε ένα σηµείο x 0 X τότε είναι συνεχής. Αρκεί λοιπόν να υποθέσουµε ότι T 0. Από τη σχέση Παρατηρούµε ότι αν T = 0, τότε T = 0 οπότε είναι T x 1 T x 2 T x 1 x 2 έπεται ότι για ɛ > 0, T x 1 T x 2 < ɛ, οποτεδήποτε x 1 x 2 < ɛ/ T. οµοιόµορφα συνεχής. Συνεπώς ο T είναι Εστω τώρα ότι ο T είναι συνεχής στο x 0 και ας υποθέσουµε ότι ο T δεν είναι ϕραγµένος. Τότε για κάθε n N υπάρχει x n X τέτοιο ώστε T x n > n x n (γιατί ;). Θεωρούµε την ακολουθία y n = 1 n x n x n + x 0, n N στο X. Επειδή y n x 0 = 1/n και ο T είναι συνεχής στο x 0 ϑα πρέπει T y n T x 0. Αλλά T y n T x 0 = 1 n x n T x n > 1, n N, από την επιλογή του x n. Καταλήξαµε σε άτοπο γιατί υποθέσαµε ότι ο T δεν είναι ϕραγµένος. Άρα είναι. 2.2 Γραµµικά συναρτησοειδή Μία ειδική κατηγορία γραµµικών τελεστών είναι εκείνοι οι οποίοι παίρνουν τιµές στον χώρο των πραγµατικών αριθµών (R, ). Ορισµός 2.3. Εστω X ένας γραµµικός χώρος µε νόρµα. λέγεται γραµµικό συναρτησοειδές. Ενας γραµµικός τελεστής F : X R