ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 EΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 EΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ"

Transcript

1 ιανύσµατα ΚΕΦΑΛΑΙΟ EΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ Kαλούµε διάνυσµα AB ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα µε άκρα τα Α και Β Το σηµείο Α καλείται σηµείο εφαρµογής του διανύσµατος AB, ενώ το σηµείο Β καλείται πέρας του διανύσµατος AB Ένα διάνυσµα AB καθορίζεται πλήρως όταν γνωρίζουµε τη διεύθυνση, τη φορά και το µέτρο του, που ορίζονται ως εξής: ιεύθυνση ή φορέας ενός διανύσµατος AB, καλείται η ευθεία πάνω στην οποία κείται το διάνυσµα AB Φορά ενός διανύσµατος AB καλείται ο προσανατολισµός του, δηλαδή η µία από τις δύο αντικείµενες ηµιευθείες που ορίζει η αρχή Α του διανύσµατος, πάνω στην οποία κείται το διάνυσµα AB Μέτρο ενός διανύσµατος AB, συµβολικά AB, καλείται το µήκος του αντίστοιχου ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ Η διεύθυνση και η φορά ενός διανύσµατος AB καλείται κατεύθυνση του AB Ένα διάνυσµα µέτρου καλείται µοναδιαίο διάνυσµα Μηδενικό διάνυσµα, συµβολικά O, είναι εκείνο το διάνυσµα που η αρχή και το πέρας του συµπίπτουν ύο διανύσµατα a, b καλούνται ίσα (γράφουµε a = b ), όταν: βρίσκονται πάνω στον ίδιο ή σε παράλληλους φορείς, έχουν την ίδια φορά, έχουν ίσα µέτρα ύο διανύσµατα καλούνται αντίθετα, όταν: βρίσκονται πάνω στον ίδιο ή σε παράλληλους φορείς, έχουν αντίθετη φορά, έχουν ίσα µέτρα Αν a είναι ένα διάνυσµα, το αντίθετο διάνυσµα αυτού συµβολίζεται µε a

2 ύο διανύσµατα a, b καλούνται συγγραµικά, (συµβολικά a // b ), όταν τα διανύσµατα αυτά βρίσκονται πάνω στον ίδιο ή σε παράλληλους φορείς ύο διανύσµατα καλούνται οµόρροπα όταν έχουν την ίδια κατεύθυνση, ενώ καλούνται αντίρροπα όταν έχουν αντίθετες κατευθύνσεις Γωνία µεταξύ δυο διανυσµάτων ab, καλούµε την κυρτή γωνία τους, συνεπώς: Πράξεις µε διανύσµατα ( ab, ) 8 Έστω δύο διανύσµατα a, b Ορίζουµε ένα διάνυσµα b = b έτσι ώστε το πέρας του a να είναι αρχή του b Εάν a = AB, b = ΒΓ, τότε ορίζουµε ως άθροισµα a+ b των διανυσµάτων a, b το κάτωθι διάνυσµα: a + b = Α Γ Ισοδύναµα, εάν Ο A = a, ΟΒ = b είναι δύο διανύσµατα µε κοινή αρχή O, ορίζουµε ως άθροισµα a+ b το διάνυσµα: a+ b= ΟΓ, όπου ΟΓ είναι το διάνυσµα της διαγωνίου ΟΓ του παραλληλογράµµου ΟΑΒΓ µε πλευρές τα διανύσµατα a και b Η αφαίρεση a b δύο διανυσµάτων a, b ορίζεται ως εξής: a b = a + b Σχήµα : Το διάνυσµα a b Γινόµενο αριθµού µε διάνυσµα:

3 Ορίζουµε ως γινόµενο πραγµατικού αριθµού λ µε διάνυσµα a, να είναι ένα νέο διάνυσµα λa : (α) λ a οµ ό ρροπο του a οταν λ > = αντί ρροπο του a οταν λ < (β) λ a = λ a ιάνυσµα θέσης-καρτεσιανό σύστηµα αξόνων Ορισµός Έστω Ο είναι ένα σταθερό σηµείο του χώρου και Μ ένα οποιοδήποτε άλλο σηµείο, τότε το διάνυσµα Ο Μ καλείται διάνυσµα θέσης του σηµείου Μ ή διανυσµατική ακτίνα του σηµείου Μ Ορισµός Έστω ευθεία x x Εκλέγουµε αυθαίρετα ένα σηµείο Ο ως αρχή και ένα σηµείο Ι ώστε το διάνυσµα OI = i να είναι µοναδιαίο Τότε η ευθεία x x καλείται άξονας Με αυτό τον τρόπο επιτυγχάνουµε µια - αντιστοιχία µεταξύ των σηµείων της ευθείας και του συνόλου των πραγµατικών αριθµών ως εξής: Έστω Μ ένα τυχαίο σηµείο του άξονα, τότε x : OM = x i και το x είναι µοναδικό διότι αν υπήρχε x x : OM = x i, θα έπρεπε να ισχύει: Άρα έχουµε: ( x x ) i = O x = x και γράφουµε Μ ή Μ(x) έχοντας στο µυαλό µας ότι το σηµείο Μ έχει διάνυσµα θέσης Ο Μ και τετµηµένη x Ορισµός Στο επίπεδο θεωρούµε καθέτους άξονες που τέµνονται σε σηµείο Ο, το οποίο θεωρούµε ως κοινή αρχή τους Ένα τέτοιο σύστηµα καλείται καρτεσιανό σύστηµα αξόνων Έστω i και j τα αντίστοιχα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων, όπως φαίνονται στο κάτωθι σχήµα:

4 Έστω Μ τυχαίο σηµείο του επιπέδου, τότε x, y : ΟΜ = OA + AM = OA + OB = x i+ y j, άρα σε κάθε σηµείο Μ αντιστοιχεί ένα µοναδικό διατεταγµένο ζεύγος αριθµών ( x, y ), διότι αν υπήρχε και άλλο ζεύγος ( x, y ) : ΟΜ = x i + y j, τότε θα έπρεπε: x x i y y j, ( ) = ( ) το οποίο είναι άτοπο, διότι τα διανύσµατα i και j δεν έχουν την ίδια κατεύθυνση, συνεπώς δεν µπορούν να είναι ίσα Ορίζεται λοιπόν µία - αντιστοιχία: Στο εξής όταν γράφουµε M ( x, y) =, θα εννοούµε ότι: στο σηµείο Μ αντιστοιχεί ένα µοναδικό διατεταγµένο ζεύγος αριθµών x, y το οποίο καλούµε ως συντεταγµένες του σηµείου Μ, στο σηµείο Μ αντιστοιχεί ένα µοναδικό διάνυσµα, το διάνυσµα θέσης του OM Ορισµός Θα συµβολίζουµε µε, το σύνολο των διατεταγµένων ζευγών x, y : x, y, δηλαδή: {( x, y) : x, y } = Ο παραπάνω ορισµός γενικεύεται και για > : 4

5 {( x, x ): xi, i,, } = = 4 Ο Ευκλείδιος χώρος Εφοδιάζουµε το σύνολο Πρόσθεση: µε τις ακόλουθες πράξεις: Έστω ( a, a,, a ), B ( b, b,, b ) συνόλου Α = = είναι δύο στοιχεία του, ορίζουµε το άθροισµα αυτών ως εξής: A + B = a,, + b a + b και ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες: A + B = B + A ( A + B) + Γ = A + ( B + Γ ) A + O = A, O = (,,,) µοναδικο σηµ ειο B Ò : A + B = O Γεωµετρικά, η πράξη της πρόσθεσης ταυτίζεται µε τη συνήθη πρόσθεση των διανυσµάτων που περιγράψαµε παραπάνω Γινόµενο πραγµατικού αριθµού λ µε στοιχείο A ( a a ) και ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες: λ A = λ a,, λ a =,, : ( λµ ) A = λ ( µ A) ( + ) = + ( + ) = + λ µ A λ A µ A λ A B λ A λ B A = A Γεωµετρικά, η παραπάνω πράξη ταυτίζεται µε τη γνωστή έννοια του γινοµένου αριθµού µε διάνυσµα που περιγράψαµε παραπάνω Ορισµός 4 Το σύνολο εφοδιασµένο µε τις παραπάνω πράξεις καλείται διανυσµατικός χώρος και τα στοιχεία του καλούνται διανύσµατα Εστω ένα σηµείο A ( a a a ) =,, του χώρου, τότε: (,, ) (,,, ) (,,,, ) (,,, ) A = a a a = a + a + + a 5

6 (,,, ) (,,,, ) (,,) = a + a + + a = ae + a e + + a e, όπου e i =,,,, Είναι προφανές ότι τα διανύσµατα,, e e είναι i γραµµικώς ανεξάρτητα, δηλαδή: λ e + + λ e = O λ = = λ =, δηλαδή κάθε διάνυσµα ( ) και παράγουν το χώρο,, a a γράφεται κατά µοναδικό τρόπο ως γραµµικός συνδυασµός των στοιχείων του συνόλου e,, e Συνεπώς το σύνολο: { } { e,, e } αποτελεί µία βάση του χώρου, η οποία καλείται κανονική βάση του Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων Oρισµός 5 Έστω a = ( a, a,, a ), b = ( b, b,, b ) oποιαδήποτε στοιχεία του χώρου, η συνάρτηση: = ab i i (, ): : ( ab, ) k = είναι δύο καλείται εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων a και b εάν ισχύουν oι ακόλουθες ιδιότητες: a b = b a ( a + b) c = a c + b c λ ( a b) = a ( λ b) = ( λ a) b a = a a Στο εξής θα χρησιµοποιούµε το συµβολισµό: ab = k = ab i i Εφόσον ισχύει a, υπάρχει η οπότε µπορούµε να ορίσουµε µία νέα συνάρτηση ως εξής: a = a a = a + a + + a, 6

7 Oρισµός 6 Έστω a = ( a a a ),,,, η συνάρτηση: + : : a = a = a + + a καλείται νόρµα του διανύσµατος a Η νόρµα ενός διανύσµατος ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες: a, λ a = λ a, a b a + b a + b Γεωµετρικά, η νόρµα ενός διανύσµατος αποτελεί τη γενίκευση της έννοιας της απόλυτης τιµής Ο θετικός αριθµός a είναι το µέτρο του διανύσµατος θέσης του a Με τη βοήθεια της νόρµας, µπορούµε πλέον να ορίσουµε την απόσταση µεταξύ σηµείων Α και Β ως εξής: Oρισµός 7 Έστω A ( a, a,, a ), B ( b, b,, b ) = = είναι δύο oποιαδήποτε σηµεία του χώρου ορίζουµε τη συνάρτηση: µε αντίστοιχα διανύσµατα θέσης a και b, τότε + d : : d A, B = b a = b a + + b a i i O µη αρνητικός αριθµός d(α,β) καλείται απόσταση µεταξύ των σηµείων Α και Β και ικανοποιεί τις ιδιότητες: (, ) = = (, ) = (, ) (, ) (, Γ ) + (, Γ ) d A B A B d A B d B A d A B d A d B Oρισµός 8 Ο διανυσµατικός χώρος γινόµενου καλείται ευκλείδειος χώρος εφοδιασµένος µε την πράξη του εσωτερικού Θεώρηµα Το εσωτερικό γινόµενο ab ικανοποιεί την ακόλουθη σχέση: ab = a b συν a b (, ) Παρατηρήσεις: 7

8 a b = a b a b = ± a b a // b του χώρου όπως ορίστηκε παραπάνω είναι ορθοκανονική βάση, δηλαδή ei = i και επιπλέον ei ej i j H κανονική βάση { e,, e} 4 ύο διανύσµατα a, b του ευκλείδιου χώρου είναι γραµµικώς εξαρτηµένα αν και µόνον αν είναι συγγραµικά διανύσµατα, δηλαδή υπάρχει λ : a = λ b 5 Προβολή διανύσµατος σε διάνυσµα Ορισµός 9 Έστω a, b είναι τα διανύσµατα θέσης δύο σηµείων Α και Β, τότε ορίζουµε ως προβολή του διανύσµατος a πάνω στο διάνυσµα b, συµβολικά π ροβ a b να είναι το διάνυσµα OK όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα: Σχήµα : προβ = b a O K Θεώρηµα προβ = συν (, ) a a b a b b b Απόδειξη: Aπό το σχήµα φαίνεται ότι c : ΟΚ = c O B, άρα: a b = OA OB συν a b ΟΚ + Κ Α b = OA OB a b και επειδή ΚΑ b = έχουµε: ( ) (, συν, ) ΟΚ b = OA OB συν a, b c b b = OA OB συν a, b c OB = OA OB συν a, b c OB = OA συν a, b και εφόσον ΟΚ = c O B, αντικαθιστώντας την τιµή του c έχουµε το ζητούµενο, 8

9 Έστω τώρα a = ae + + a e το ανάπτυγµα του a ως προς την κανονική βάση του χώρου, τότε: a i a ei = ai a ei συν ( a, ei) = ai συν ( a, ei) =, a και τα ( ae, i ) συν την κατεύθυνση e i, ισχύει δε: καλούνται συνηµίτονα κατεύθυνσης του διανύσµατος a ως προς συν a, e + + συν a, e = ( ), διότι το µοναδιαίο διάνυσµα a ( a,, a ) ( = = =, ),, συν (, ) a a c συν a e a e = = προφανώς ικανοποιεί την ισότητα: ( c συν a, ei ) i = 6 Εξωτερικό και µικτό γινόµενο στο χώρο Το εξωτερικό γινόµενο ορίζεται ΜΟΝΟΝ στο χώρο Ορισµός Έστω { e, e, e} είναι µία δεξιόστροφη βάση του (δηλ εάν κινηθούµε από το e e e, η κίνηση γίνεται µε φορά αντίθετη των δεικτών του ρολογιού), τότε εάν a = ( a, a, a) b = ( b, b, b) είναι δύο διανύσµατα του, ορίζουµε ως εξωτερικό γινόµενο αυτών το διάνυσµα : e e e a b = a a a, b b b όπου η ορίζουσα αν και δεν έχει τη γνωστή έννοια αφού η πρώτη γραµµή είναι διανύσµατα και όχι αριθµοί, εν τούτοις χρησιµοποιείται ως ένας καλός µνηµονικός κανόνας, µε τη σύµβαση η ορίζουσα να αναπτύσσεται πάντα ως προς την πρώτη γραµµή Ισχύουν οι κάτωθι ιδιότητες: 9

10 Το διάνυσµα a ( b c) Θεώρηµα a b = b a λ a b = a λ b = λ a b a b c a b a c a b c ac b ab c ( + ) = + ( ) = καλείται δισ-εξωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων a, b, c ύο διανύσµατα του χώρου είναι γραµµικώς εξαρτηµένα a b = Έστω a, b είναι γραµµικώς ανεξάρτητα διανύσµατα του χώρου, τότε το εξωτερικό γινόµενο a b είναι διάνυσµα, κάθετο στο επίπεδο που ορίζουν τα a και b Εάν τα διανύσµατα, a, b είναι γραµµικώς ανεξάρτητα διανύσµατα του χώρου, τότε το σύνολο{ a, b, a b} αποτελεί µια βάση του a b = a b ηµ ( a, b ) O θετικός αριθµός a b ισούται µε το εµβαδόν του παραλληλογράµµου µε πλευρές τα διανύσµατα a και b a b = a b ( a b) Ορισµός Μικτό γινόµενο µιας διατεταγµένης τριάδας διανυσµάτων a = a, a, a b = b, b, b, c = c, c, c καλείται ο αριθµός:, a a a a b c = b b b c c c Θεώρηµα 4 Εστω a = ( a, a, a ), b = ( b, b, b ), c = ( c, c, c ), τότε: Το µικτό γινόµενο είναι αναλλοίωτο ως προς την κυκλική µετάθεση των a, b, c a b c = b c a = c a b δηλαδή

11 Το µικτό γινόµενο είναι αναλλοίωτο ως προς την εναλλαγή εσωτερικού και a b c = a b c εξωτερικού γινόµενου, δηλαδή: είναι γραµµικώς εξαρτηµένα a ( b c) = Τα a, b, c Εάν a ( b c) >, τότε το σύνολο { a, b, c} του διαφορετικά αποτελεί αριστερόστροφη βάση Ο θετικός αριθµός a ( b c) πλευρές τα διανύσµατα a, b, c 6 Εξισώσεις ευθείας στο χώρο αποτελεί δεξιόστροφη βάση ισούται µε τον όγκο του παραλληλεπιπέδου µε Για να έχουµε εποπτική παράσταση θα εργασθούµε στο χώρο αποτελέσµατα γενικεύονται και σε οποιοδήποτε χώρο, >, αλλά τα Ευθεία που διέρχεται από το σηµείο A και είναι παράλληλη προς το διάνυσµα b είναι το διάνυσµα θέσης σηµείου Β, τότε η ευθεία που διέρχεται από το σηµείο A και είναι παράλληλη προς το διάνυσµα X = x, x, x που ικανοποιούν τη σχέση: Έστω A = ( a, a, a ) και b= ( b, b, b ) b, είναι το σύνολο των σηµείων OX = OA + AX Εφόσον τα διανύσµατα AX και b είναι συγγραµικά παίρνουµε: OX = OΑ + t b, t ( διανυσµατική εξίσωση ευθείας) Από τη διανυσµατική εξίσωση της ευθείας προκύπτουν άµεσα οι παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας:

12 ( x, x, x ) = ( a, a, a ) + t ( b, b, b ) άρα: x = a + t b x = a + t b, t x = a + t b (παραµετρικές εξισώσεις ευθείας) Εάν bi i, τότε απαλείφοντας το t σε κάθε µία από τις παραπάνω εξισώσεις, παίρνουµε την συµµετρική µορφή της ευθείας: x a x a x a b b b = = Ευθεία που διέρχεται από δύο σηµεία A ( a, a, a ) B = ( b, b, b ) = και Στην περίπτωση αυτή, η ευθεία µας διέρχεται από σηµείο A ( a, a, a ) = και είναι παράλληλη προς το διάνυσµα AB οπότε αναγόµαστε στην προηγούµενη περίπτωση Η διανυσµατική εξίσωση της ευθείας είναι: OX = OΑ + t ΑB, t, ενώ οι παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας είναι: x = a + t b a x = a + t b a, t x = a + t b a Oρισµός Γωνία ϕ µεταξύ δυο ευθειών ( ε ) και ( ε ) γωνία µεταξύ δύο οποιονδήποτε διανυσµάτων a, b των ( ε ) και ( ) γωνία ϕ υπολογίζεται από τη σχέση: ab π συνϕ = ϕ a b 8 Εξισώσεις επιπέδου στο χώρο Έστω P = ( x, y, z ) και N = ( A, B, C ), καλούµε τη µικρότερη ε αντίστοιχα Η είναι το διάνυσµα θέσης σηµείου N Καλούµε υπερεπίπεδο που διέρχεται από το P και είναι κάθετο στο N, το σύνολο των σηµείων X ( x, y, z) = που ικανοποιούν τη σχέση:

13 PP N = (διανυσµατική εξίσωση επιπέδου) Η παραπάνω σχέση γράφεται ως εξής: PP N = OP OP N = x x A+ y y B+ z z Γ = Ax + By + Γ z = Ax + By + Γ z D Ax+ By+ Γ z = D (αναλυτική εξίσωση επιπέδου) Το κάθετο διάνυσµα N στο επίπεδο καλείται κανονικό διάνυσµα του επιπέδου Επίπεδο που διέρχεται από σηµείο P και είναι παράλληλο προς δυο µη a = a, a, a b = b, b, b : συγγραµικά διανύσµατα, Εφόσον τα διανύσµατα a και b είναι µη συγγραµικά, είναι γνωστό ότι το εξωτερικό τους γινόµενο a b είναι διάνυσµα κάθετο στο επίπεδο των διανυσµάτων a και b, οπότε αναγόµαστε στην προηγούµενη περίπτωση µε N = a b Αρα, η διανυσµατική εξίσωση του επιπέδου είναι η ακόλουθη: PX a b = και από τον τύπο του µικτού γινοµένου προκύπτει η αναλυτική εξίσωση του επιπέδου:, x x y y z z a a a b b b =

14 Εφόσον το σύνολο { aba,, b} αποτελεί µία βάση του χώρου PP όπου Ρ,Ρ σηµεία του επιπέδου γράφεται ως εξής: PP= c a+ c b+ c a b, κάθε διάνυσµα oπότε: άρα: = PP a b = + + c a b c =, P P c a c b OP c a c b = + ΟΡ = + + Η παραπάνω εξίσωση καλείται παραµετρική εξίσωση του επιπέδου Αναφέρουµε επίσης και την αναλυτική εξίσωση επιπέδου που διέρχεται από µη συνευθειακά σηµεία: x y z a a a b b b c c c = Oρισµός Γωνία ϕ µεταξύ δυο επιπέδων Ε και Ε, καλούµε τη µικρότερη γωνία µεταξύ των αντιστοίχων κανονικών διανυσµάτων τους N και N Η γωνία ϕ υπολογίζεται από τη σχέση: N N π συνϕ = ϕ N N 9 Κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγµένες στο χώρο Εστω (x,y,z) είναι οι καρτεσιανές συντεταγµένες ενός σηµείου Ρ, ορίζουµε µία αντιστοιχία -: όπου: ( x, yz, ) ( ρθ,, z), ρ είναι το µέτρο του διανύσµατος θέσης OA της προβολής Α του σηµείου Ρ = (x,y,z) πάνω στο επίπεδο των x, y 4

15 -π θ π είναι η προσανατολισµένη γωνία µεταξύ του θετικού ηµιάξονα Οx και του διανύσµατος OA H τρίτη συντεταγµένη z παραµένει η ίδια ως είχε Η διατεταγµένη τριάδα ( ρθ,,z) καλείται κυλινδρικές συντεταγµένες του σηµείου Ρ Καλείται έτσι διότι για ρ=σταθερό και z ±, σχηµατίζεται κύλινδρος µε άξονα συµµετρίας τον άξονα των z Είναι εύκολο να δούµε ότι εάν είναι γνωστές οι κυλινδρικές συντεταγµένες, τότε µπορούµε να υπολογίσουµε τις καρτεσιανές συντεταγµένες από τις σχέσεις: x = ρ συνθ y = ρ ηµθ z = z Aντιστρόφως, εάν είναι γνωστές οι καρτεσιανές συντεταγµένες, τότε µπορούµε να υπολογίσουµε τις κυλινδρικές συντεταγµένες από τις σχέσεις: ρ = x + y y θ = τοξ εϕ x Συνήθως χρησιµοποιούµε αυτό το µετασχηµατισµό συντεταγµένων, όταν έχουµε σχήµα συµµετρικό ως προς ευθεία Σφαιρικές συντεταγµένες Εστω (x,y,z) είναι οι καρτεσιανές συντεταγµένες ενός σηµείου Ρ, ορίζουµε µία αντιστοιχία -: όπου: ( xyz,, ) ( rθ,, φ ), 5

16 r είναι το µέτρο του διανύσµατος θέσης OP του σηµείου Ρ = (x,y,z) -π θ π είναι η προσανατολισµένη γωνία µεταξύ του θετικού ηµιάξονα Οx και του διανύσµατος OA, όπου Α είναι η προβολή του σηµείου Ρ πάνω στο επίπεδο των x, y φ π είναι η µικρότερη γωνία µεταξύ του άξονα Oz και του διανύσµατος θέσης OP Η διατεταγµένη τριάδα ( r, θ, φ ) καλείται σφαιρικές συντεταγµένες του σηµείου Ρ Καλούνται έτσι διότι για r=σταθερό, σχηµατίζεται σφαίρα µε κέντρο την αρχή των αξόνων Όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήµα, µε χρήση κλασσικής τριγωνοµετρίας σε ορθογώνια τρίγωνο υπολογίζουµε: z συνφ = z = r συνφ r OA ηµφ = OA = r ηµφ r Εάν καλέσουµε θ τη γωνία µεταξύ του άξονα Οx και του διανύσµατος ΟΑ όπου Α είναι η προβολή του σηµείου Ρ πάνω στο επίπεδο των x, y, τότε: οπότε: x συνθ = x = ΟΑ συνθ = r συνθ ηµφ ΟΑ y ηµθ = y = ΟΑ ηµθ = r ηµθ ηµφ ΟΑ x = r συνθ ηµφ y = r ηµθ ηµφ z = r συνφ δηλαδή, εάν είναι γνωστές οι σφαιρικές συντεταγµένες, τότε µπορούµε να υπολογίσουµε τις καρτεσιανές συντεταγµένες από τις παραπάνω σχέσεις Aντιστρόφως, εάν είναι γνωστές οι καρτεσιανές συντεταγµένες, τότε µπορούµε να υπολογίσουµε τις σφαιρικές συντεταγµένες από τις σχέσεις: r = x + y + z y θ = τοξ εϕ x z z φ = τοξσυν = τοξσυν r x + y + z 6

17 Συνήθως χρησιµοποιούµε αυτό το µετασχηµατισµό συντεταγµένων, όταν έχουµε σχήµα συµµετρικό ως προς σηµείο ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ποια από τα διανύσµατα PQ και AB είναι παράλληλα; (α) P= (, ), Q= ( 4, ), Α= (, 5), Β = ( 7,) (β) P= (, 4 ), Q= (, 5 ), Α = ( 5, 7), Β = ( 9,) Υπάρχουν ίσα διανύσµατα PQ, AB; Υπάρχουν κάθετα διανύσµατα της παραπάνω µορφής; Λύση: (α) PQ = ( 4, ( ) ), ΑΒ = ( 7 ( ), 5) PQ = (, 4 ), ΑΒ = ( 8, 4) Ισχύει ότι PQ // ΑΒ αν και µόνον αν η ορίζουσα των συν/νων τους είναι µη µηδενική Η παραπάνω ορίζουσα ισούται µε -44 άρα PQ, AB είναι µη παράλληλα PQ ΑΒ, διότι οι αντίστοιχες συντεταγµένες τους δεν είναι ίσες PQ ΑΒ PQ ΑΒ= 8+ 4 ( 4) = 4 6= 8, άρα τα PQ, AB δεν είναι κάθετα Οµοια εργαζόµαστε και για την περίπτωση (β) Υπολογίστε τις γωνίες του τριγώνου µε κορυφές: Α = (,,), Β = (,, 5), Γ = (, 4, 4) ΑΒ= = (,, 5 ) (,, 6) Λύση: ΑΓ = = (, 4 ( ), 4 ) (,, 5), 7

18 άρα: ΑΒ ΑΓ συνϑ = = = = = ΑΒ ΑΓ ( ) ( ) ( ) Όµοια υπολογίζονται και οι υπόλοιπες γωνίες του τριγώνου Έστω a, b, να δείξετε ότι: a + b = a + b + a b a + b + a b = a + b Λύση: (α) a+ b = ( a+ b) = ( a+ b) ( a+ b) a a b b a b a b a b = = + + (β) Εργαζόµαστε όπως στην (α) και αποδεικνύουµε ότι: a b = a + b a b Tελικά: a+ b + a b = a + b 4 Nα δειχθεί ότι: a + cb a c a b Λύση: Aρχικά υποθέτουµε ότι a b, τότε: a+ c b = a + c b + c a b = a + c b a, άρα: a+ cb a Αντιστρόφως, έστω ότι a+ cb a c και έστω ότι ab >, τότε: a+ c b a a + c b + c a b a c b + c a b, αλλά η τελευταία ανισότητα ισχύει πάντοτε c, ενώ όταν c < ισχύει για 8

19 ab c b Καταλήξαµε σε άτοπο διότι υποθέσαµε εξ αρχής ότι η ανισοισότητα a+ cb a ισχύει c Αν υποθέσουµε ότι ab < και εργασθούµε ακριβώς µε την ίδια λογική πάλι καταλήγουµε σε άτοπο Αναγκαστικά λοιπόν ισχύει: a + cb a c a b = a b 5 Να υπολογίσετε τις παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας που διέρχεται από τα Α =,,, Β,, σηµεία Λύση: Προφανώς: AB = (,, 4), oπότε υπολογίζουµε τη διανυσµατική εξίσωση της ευθείας: OX = OA + t AB, t από την οποία εύκολα προκύπτουν οι παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας ( xyz,, ) = (,, ) + t (,, 4) x = t y =, t z = + 4 t 6 Βρείτε την εξίσωση ευθείας στον που διέρχεται από σηµείο P και είναι κάθετη Α =,, Ρ 5, σε σηµείο A, εάν Λύση: Eστω ΟΑ = (, ) a= ( a, a ) είναι το διάνυσµα θέσης του σηµείου Α, τότε εάν είναι ένα οποιοδήποτε διάνυσµα πάνω στην ευθεία, έχουµε: a ΟΑ a ΟΑ= a a = Eπιλέγουµε a = a =, οπότε η διανυσµατική εξίσωση της ευθείας είναι: Ο X =ΟΡ+ t x y = + t (, ) (, ) ( 5, ) (,) απ όπου προκύπτουν εύκολα οι παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας: x= 5 + t, y = + t t 9

20 και µε απαλοιφή του t παίρνουµε: y = x+ 8 7 Βρείτε την εξίσωση επιπέδου που διέρχεται από σηµείο ( 4,, ) είναι κάθετο στο διάνυσµα N = (,, ) Ρ = και P = Ο ΟΡ Ν = = Λύση: X Ν ( X ) ( x ) ( y ) ( z ) x 4 y + + z + = x y + z = 8 Nα βρείτε την εξίσωση επιπέδου που διέρχεται από τα σηµεία: (,, ),(,, ),( 4,, ) Λύση: Από τη θεωρία η ζητούµενη εξίσωση είναι: x y z 4 = 9 Να ευρεθεί διάνυσµα κάθετο στα διανύσµατα a = (,, ) b = (,,) και Λύση: To ζητούµενο διάνυσµα είναι: e e e a b = = e e + e a b = e 9e 5e =, 9, 5,,, 4 4,,,,,, Εστω Ρ =, Q =, a = Έστω L είναι η ευθεία που διέρχεται από το σηµείο P και είναι παράλληλη προς το διάνυσµα a Να υπολογισθεί η QX συναρτήσει του t Να δείξετε ότι υπάρχει µοναδικό σηµείο Χ τέτοιο ώστε QX είναι ελάχιστη

21 Να δείξετε ότι QX είναι κάθετο στην ευθεία L Λύση: Kατ αρχήν θα υπολογίσουµε τις παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας L H συγκεκριµένη ευθεία διέρχεται από το σηµείο P και είναι παράλληλη προς το διάνυσµα a, άρα εάν X = ( xyzw,,, ) είναι σηµείο της ευθείας L, τότε:: xt () = + t yt () = + t, zt () = + t wt () = 4+ t t είναι οι παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας L, συνεπώς: QX = x t + y t + z t + w t ( () 4 ) ( () ) ( () ) ( () ) = + t t + + t + 4+ t = t + 5 Oρίζω f () t = t + 5 και υπολογίζω το ελάχιστο αυτής, οπότε: t () t f = και εύκολα βρίσκω ότι έχω ελάχιστη τιµή για t = και κατ επέκταση υπάρχει µοναδικό σηµείο το Χ = (,,,4) ώστε QX = 5είναι η ελάχιστη απόσταση του σηµείου Q από την ευθεία L QX = (,,, 4) ( 4,,,) = (,,, ), άρα: t + 5 QX a = QX ( L) Βρείτε ένα διάνυσµα παράλληλο στην ευθεία που ορίζεται ως τοµή των επιπέδων: x y+ z= x+ y+ z= Λύση: Έστω x άρα: = c, τότε: y+ z= c, y+ z= c 5 z= 5c z= c,

22 συνεπώς: 5 y= z + c= c+ c = c Τελικά η λύση του συστήµατος είναι η ευθεία µε διανυσµατική εξίσωση: c 5c 5 x, y, z = c,, =,, + c,, 5 άρα το διάνυσµα,, τοµή των δύο επιπέδων είναι παράλληλο στην ευθεία που ορίζεται ως Υπολογίστε τη γωνία µεταξύ των επίπεδων: x + y + z =, x y z = 5 Λύση: H γωνία µεταξύ δύο επιπέδων ορίζεται ως η µικρότερη γωνία µεταξύ των κανονικών διανυσµάτων τους N, N Προφανώς: N =,,, N = ( ),,, άρα: N N συνϑ = = = ϑ = τοξσυν N N Έστω Ρ = (,, 5 ) και (,,) Α = Να ευρεθεί η τοµή της ευθείας από το Ρ στην κατεύθυνση του Α και του επιπέδου x + y z = Λύση: Oι παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας είναι: x = t y = + t, t z = 5 + t Οι συντεταγµένες του σηµείου τοµής πρέπει να ικανοποιούν την εξίσωση του επιπέδου και τις παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας, άρα: ( t 5 ) + ( + t ) (5 + t ) = t =, συνεπώς οι συντεταγµένες του σηµείου τοµής είναι: 5 ( x( t), y( t), z( t )) = ( t, + t,5 + t) = 4,,

23 Αν Ρ είναι το σηµείο τοµής της ευθείας που περνά από το Ρ προς την κατεύθυνση του διανύσµατος θέσης ΟΝ και του επιπέδου που διέρχεται από το Q και είναι κάθετο στο ΟΝ, να υπολογίσετε την απόσταση Ρ Ρ 4 (α) Eστω Ρ = (,,5 ),Q = (,,7) και N = (,, ) (β) Να δείξετε ότι ο γενικός τύπος της απόστασης είναι: ΡΡ = ΡQ ON ON Λύση: (α) Θα υπολογίσουµε τις παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας, την αναλυτική εξίσωση του επιπέδου και στη συνέχεια το σηµείο τοµής ευθείας και επιπέδου (i) Παραµετρικές εξισώσεις ευθείας: (ii) Αναλυτική εξίσωση επιπέδου: ( x, y, z) ( t, t,5 t) = + t x+ y z = x+ y z = 5 (iii) Τοµή ευθείας και επιπέδου: Oι παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας θα πρέπει να ικανοποιούν την εξίσωση του επιπέδου, δηλαδή: x+ y z = 5 + t + + t 5+ t = 5 t = t =, άρα οι συντεταγµένες του σηµείου τοµής Ρ είναι: oπότε: ( t t t ) 5 7 7, Ρ=, +,5 =,, ΡΡ = ΡΡ = = (β) Θα υπολογίσουµε τη διανυσµατική εξίσωση της ευθείας και του επιπέδου και στη συνέχεια το σηµείο τοµής ευθείας και επιπέδου X t ( X P) t Ο = ΟΡ + ΟΝ Ο Ο = ΟΝ ( ΟX ΟP) ΟΝ= t ΟΝ QX ΟΝ = ( ΟX ΟQ) ΟΝ = ΟX ΟΝ ΟQ ΟΝ =

24 Αφαιρούµε κατά µέλη και παίρνουµε: PQ ΟΝ ΟQ ΟΡ ΟΝ = t ΟΝ PQ ΟΝ = t ΟΝ t = ΟΝ Tότε: ΡΡ = ΟΡ ΟΡ = t ΟΝ ΡΡ = t ΟΝ ΡQ ΟΝ ΡQ ΟΝ = ΟΝ = ΟΝ ΟΝ 5 Να ευρεθεί η εξίσωση του επιπέδου: που διέρχεται από το σηµείο,, και είναι κάθετο στην ευθεία µε παραµετρικές εξισώσεις x = π + t, y = π + 5 t, z = 9t που περιέχει τις παράλληλες ευθείες µε εξισώσεις: x y + z 5 = = 4 x + y 4 z = = 4 Λύση: (a) Aπό τις παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας βρίσκουµε εύκολα ότι το διάνυσµα a = (,5,9) είναι παράλληλο στην ευθεία, οπότε το κανονικό διάνυσµα του επιπέδου είναι το διάνυσµα a και εποµένως η αναλυτική εξίσωση του επιπέδου είναι: 9 x + y 5+ z 9= x+ 5y+ 9z = (β) Yπολογίζουµε αυθαίρετα ένα σηµείο της ης ευθείας πχ το P = (,, 5) και δύο σηµεία της ης ευθείας πχ τα P = ( ) και P Το κανονικό διάνυσµα του επιπέδου είναι το e e e, 4, 6,, N = PP PP = = ( 5+ 55) e ( 8+ 5) e+ ( 44 5) e 5 7 = 9e + e 69e = 9,, 69, 4

25 oπότε η αναλυτική εξίσωση του επιπέδου είναι: ( x ) ( y ) ( z ) = 6 Είναι τα (, 4, ),( 4,, 5 ),( 5,, 8 ) σηµεία της ίδιας ευθείας; Λύση: Kατ αρχήν µελετούµε το µικτό γινόµενο των αντιστοίχων διανυσµάτων θέσης των παραπάνω σηµείων: = = 4 5 4( 5) + ( 4 5), άρα τα σηµεία είναι µη συνευθειακά αφού τα αντίστοιχα διανύσµατα θέσης αυτών αποτελούν µία βάση του χώρου 7 Να υπολογισθεί το κανονικό διάνυσµα του επιπέδου µε εξίσωση: Λύση: N = (, 4,5) 8 Nα δειχθεί ότι η ευθεία µε εξίσωση x 4 y + 5z = x y =, z = 5 είναι παράλληλη Ρ = και προς την ευθεία που διέρχεται από τα σηµεία 5,7,9 Ρ = ( 4,,9) Λύση: Aπό τη θεωρία είναι εύκολο να διαπιστώσουµε ότι το διάνυσµα a = (,, ) είναι παράλληλο προς την η ευθεία, ενώ το διάνυσµα ΡΡ = 4,,9 5,7,9 =, 4, είναι παράλληλο προς τη η ευθεία Επειδή: οι δύο ευθείες είναι παράλληλες a = = = Ρ Ρ (,,) (, 4,) 9 Έστω διάνυσµα L και σηµείο Ρ που δεν ανήκει στον φορέα του L Να δειχθεί ότι η απόσταση D µεταξύ του σηµείου Ρ και του φορέα του διανύσµατος L είναι: 5

26 D = L Ρ Ρ, L όπου Ρ είναι οποιοδήποτε σηµείο πάνω στο φορέα του L Λύση: Έστω, τότε: Ρ οποιοδήποτε σηµείο του φορέα του L, εάν θ = ( Ρ Ρ, L ) L Ρ Ρ = L Ρ Ρ ηµθ άρα: D = Ρ Ρ ηµθ = L Ρ Ρ L Να βρείτε την εξίσωση κυλίνδρου µε άξονα συµµετρίας τον άξονα x x και ακτίνα ρ Λύση: Προφανώς ο κύλινδρος αυτός είναι το σύνολο των σηµείων που απέχουν σταθερή απόσταση ρ από την ευθεία x x Επειδή κάθε σηµείο του άξονα x x είναι της µορφής,, P x, εάν (,, ) P x y z είναι σηµείο του κυλίνδρου, τότε: PP= y z PP = y + z (,, ) άρα η εξίσωση του κυλίνδρου είναι η: y + z = ρ, Να ευρεθούν οι παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας που διέρχεται από το x y+ P = (,, ) και είναι παράλληλη στην ευθεία µε εξισώσεις = = z 4 Λύση: Aπό τη θεωρία ένα διάνυσµα παράλληλο στη η ευθεία είναι το ( 4,, ), οπότε η διανυσµατική εξίσωση της ζητούµενης ευθείας είναι η: OX = OP + t ( 4,, ), t 6

27 και οι παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας είναι οι ακόλουθες: x = + 4t x = + t, t x = + t Να δείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σηµεία (, 7,5 ) και (,, ) παράλληλη µε την ευθεία που διέρχεται από τα σηµεία (,8,7) και (,,5) Λύση: Υπολογίζω δύο διανύσµατα παράλληλα προς τις αντίστοιχες ευθείες: a = (,, ) (, 7,5) = (, 5, 6) b =,,5,8,7 = 4,, Για να είναι οι δύο ευθείες παράλληλες, αρκεί να δείξουµε ότι a b= O : e e e = e e + e = e e + e = O είναι ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ποια από τα διανύσµατα PQ και AB είναι παράλληλα; (α) P = (, ), Q= (, 9 ), Α= (, 5), Β = ( 4, 7) (β) P = (,4, ) Q= (,9, ) Α = (,), Β = ( 4, ) Υπάρχουν ίσα διανύσµατα PQ, AB; Υπάρχουν κάθετα διανύσµατα της παραπάνω µορφής; Υπολογίστε το PQ AB Να υπολογίσετε τις παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας που διέρχεται από τα Α =,,, Β, 5,9 σηµεία Yπολογίστε την εξίσωση επιπέδου που διέρχεται από σηµείο (,, ) είναι κάθετο στο διάνυσµα N = (,, 4) 4 Να ευρεθεί η εξίσωση επιπέδου που διέρχεται από τα σηµεία: (,, ),(,, ),( 4,, ) Ρ = και 7

28 5 Να ευρεθεί διάνυσµα κάθετο στα διανύσµατα a = (,, ) b = (,, ) και 6 Να ευρεθεί διάνυσµα παράλληλο στην ευθεία που ορίζεται ως τοµή των επιπέδων: x+ y z= x+ y z= 4 7 Υπολογίστε τη γωνία µεταξύ των επίπεδων: x + y + z =, x y = 8 Έστω Ρ = (,, ) και (,, ) Α = Να ευρεθεί η τοµή της ευθείας από το Ρ στην κατεύθυνση του Α και του επιπέδου x + y z = 4 Αν Ρ είναι το σηµείο τοµής της ευθείας που περνά από το Ρ προς την κατεύθυνση του διανύσµατος θέσης ΟΝ και του επιπέδου που διέρχεται από το Q και είναι κάθετο στο ΟΝ, να υπολογίσετε την απόσταση Ρ Ρ 9 (α) Eστω Ρ = (,, ),Q = (,, ) και N = (,, ) Να ευρεθεί η εξίσωση του επιπέδου: που διέρχεται από το σηµείο (,,) και είναι κάθετο στην ευθεία µε παραµετρικές εξισώσεις x = t, y = + t, z = 5t που περιέχει τις παράλληλες ευθείες µε εξισώσεις: x + y z + = = x + y z + = = Είναι τα (,, ),(,, ),(, 4, ) σηµεία της ίδιας ευθείας; Έστω διάνυσµα L = (,,) και σηµείο Ρ = (, 4,9) που δεν ανήκει στον φορέα του L Να υπολογίσετε την απόσταση D µεταξύ του σηµείου Ρ και του φορέα του διανύσµατος L Να ευρεθεί η απόσταση µεταξύ του σηµείου Ρ = (,, ) και του επιπέδου µε εξίσωση x + y 5z = 8

Νικόλαος. Ατρέας. Αναλυτική Γεωµετρία Α.Π.Θ. Γενικό Τµήµα Πολυτεχνικής σχολής

Νικόλαος. Ατρέας. Αναλυτική Γεωµετρία Α.Π.Θ. Γενικό Τµήµα Πολυτεχνικής σχολής Νικόλαος Ατρέας Αναλυτική Γεωµετρία ΑΠΘ Γενικό Τµήµα Πολυτεχνικής σχολής Θεσσαλονίκη 9 Περιεχόµενα Κεφάλαιο : Ευκλείδιοι χώροι σελ 4 Πράξεις µε διανύσµατα ιάνυσµα θέσης Καρτεσιανό σύστηµα αξόνων Οι χώροι

Διαβάστε περισσότερα

KEΦΑΛΑΙΟ 1. Ευκλείδιοι χώροι

KEΦΑΛΑΙΟ 1. Ευκλείδιοι χώροι KEΦΑΛΑΙΟ Ευκλείδιοι χώροι Kαλούµε διάνυσµα AB ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα µε αρχή το σηµείο Α και πέρας το σηµείο Β Ένα διάνυσµα AB καθορίζεται πλήρως από τη διεύθυνση, τη φορά και το µέτρο του

Διαβάστε περισσότερα

KEΦΑΛΑΙΟ 1. Ευκλείδιοι χώροι

KEΦΑΛΑΙΟ 1. Ευκλείδιοι χώροι KEΦΑΛΑΙΟ Ευκλείδιοι χώροι Kαλούµε διάνυσµα AB ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα µε αρχή το σηµείο Α και πέρας το σηµείο Β Ένα διάνυσµα AB καθορίζεται πλήρως από τη διεύθυνση, τη φορά και το µέτρο του

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

ιάνυσµα ονοµάζεται το µαθηµατικό µέγεθος που περιγράφεται από µιατριάδαστοιχείων: το

ιάνυσµα ονοµάζεται το µαθηµατικό µέγεθος που περιγράφεται από µιατριάδαστοιχείων: το Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 1/44 1. Ορισµοί 2. Είδη διανυσµάτων 3. Πράξεις διανυσµάτων 4. Εσωτερικό, εξωτερικό και µικτό γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2 ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Διάνυσμα λέγεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς 2.1 Η έννοια του διανύσματος Ο τρόπος που παριστάνομε τα διανυσματικά μεγέθη είναι με τη μαθηματική έννοια του διανύσματος. Διάνυσμα δεν είναι τίποτε

Διαβάστε περισσότερα

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Αγαπητοί μαθητές, Κάθε κεφάλαιο περιέχει :

Αγαπητοί μαθητές, Κάθε κεφάλαιο περιέχει : Αγαπητοί μαθητές, αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα σημαντικό βοήθημα για τα Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού της Β Λυκείου, που είναι ένα από τα σημαντικότερα μαθήματα, καθώς περιέχει χρήσιμες γνώσεις για

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ Όπως είναι γνωστό από τη φυσική, τα διάφορα µεγέθη διακρίνονται σε βαθµωτά και διανυσµατικά. αθµωτά είναι τα µεγέθη τα οποία χαρακτηρίζονται µόνο από το µέτρο τους. Τέτοια µεγέθη είναι

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα A. Αν α, β i. αβ Θέµα ο µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Λέγεται κάθε προσανατολισμένη ευθεία x x στην οποία ορίζουμε ως αρχή ένα σημείο. Ο και το μοναδιαίο διάνυσμα i ( i = 1)

Λέγεται κάθε προσανατολισμένη ευθεία x x στην οποία ορίζουμε ως αρχή ένα σημείο. Ο και το μοναδιαίο διάνυσμα i ( i = 1) α.. Άξονας Λέγεται κάθε προσανατολισμένη ευθεία στην οποία ορίζουμε ως αρχή ένα σημείο Ο και το μοναδιαίο διάνυσμα i ( i 1). Ο i I Οι ημιευθείες Ο και O λέγονται αντίστοιχα θετικός ημιάξονας και αρνητικός

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Αναλυτική θεωρία Λυμένα παραδείγματα Ερωτήσεις κατανόησης Ασκήσεις Επαναληπτικά διαγωνίσματα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο : Διανύσματα Ενότητα I: Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 63 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Η Εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0, με Α 0 ή Β 0 Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Σ (, 0 β ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 1

Σημειώσεις Μαθηματικών 1 Σημειώσεις Μαθηματικών 1 Διανύσματα Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 3 Διανύσματα 3.1 Έννοια διανύσματος Ορισμός 1 Ονομάζουμε Διάνυσμα ΑΒ ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με αρχή το Α και πέρας

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Taylor-Aκρότατα

KΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Taylor-Aκρότατα KΕΦΑΛΑΙΟ 3 Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Talor-Aκρότατα 3 Πλεγµένες συναρτήσεις Σε πολλές περιπτώσεις συναντούµε µία (ή και περισσότερες) εξισώσεις µεταξύ διαφόρων µεταβλητών πχ της µορφής e + συν (

Διαβάστε περισσότερα

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ...

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ... Αµυραδάκη 0, Νίκαια (104903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 01 ΘΕΜΑ 1 ο i) Αν Α( x 1, y 1 ) και Β(x, y ) δυο σηµεία του καρτεσιανού επιπέδου και (x, y) οι συντεταγµένες του µέσου Μ του ΑΒ, να αποδείξετε ότι : x 1 + x x

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα β) έχει κέντρο το σημείο (3, - ) και ακτίνα 5 γ) έχει κέντρο το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 1ο κεφάλαιο: Διανύσματα Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Μαθηµατικά Προσανατολισµού Β Λυκείου Αποστόλου Γιώργος Μαθηµατικός Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Διάνυσμα ορίζεται ένα ευθύγραμμο τμήμα στο οποίο έχει ορισθεί ποια είναι η αρχή, ή σημείο εφαρμογής του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Αρχή και Πέρας Φορέας Διεύθυνση (Συγγραμμικά διανύσματα) Μέτρο Κατεύθυνση (Ομόρροπα Αντίρροπα διανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Βρείτε το διάνυσμα με άκρα το Α(3,-,5) και Β(5,,-) ΑΒ=< 5 3, ( ), 5 >=

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου 4 ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (9//4) Θέματα 4 ης Ομάδας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP_4_866 [παράγραφος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

1)Βρείτε την εξίσωση για το επίπεδο που περιέχει το σηµείο (1,-1,3) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο 3x+y+z=a όπου a ένας αριθµός.

1)Βρείτε την εξίσωση για το επίπεδο που περιέχει το σηµείο (1,-1,3) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο 3x+y+z=a όπου a ένας αριθµός. 1)Βρείτε την εξίσωση για το επίπεδο που περιέχει το σηµείο (1,-1,3) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο 3x+y+z=a όπου a ένας αριθµός. ( Καρτεσιανή ) επιλέχθηκε για το σχήµα. Ο αριθµός a δεν επιρρεάζει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Άξονας Έστω η ευθεία x x (σχ. 21) και τα σηµεία Ο, Ι πάνω σ αυτή, ώστε ΟΙ= i όπου i το µοναδιαίο διάνυσµα, δηλαδή ένα διάνυσµα που θεωρούµε ότι η φορά του είναι θετική και το µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ 1.1.. ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΜΑ ΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση γραµµής C Μια εξίσωση µε δύο αγνώστους x, y λέγεται εξίσωση µιας γραµµής C, όταν οι συντεταγµένες των σηµείων της C, και µόνον αυτές, την επαληθεύουν..

Διαβάστε περισσότερα

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να είναι ικανός να υϖολογίζει την αϖόσταση σηµείου αϖό ευθεία να είναι ικανός να υϖολογίζει το εµβαδό ενός τριγώνου αϖό τις συντεταγµένες των κορυφών

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Θέµα ο A. Αν α, β µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: i. αβ και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. 4 4 B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβίου Μαθηµατικών Προσαναταισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός ποαπασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβίου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ! ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ 005 Θεωρούµε τα σηµεία Ρ, Λ, Κ και Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση 5ΡΛ

Διαβάστε περισσότερα

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1.

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. Διανύσματα Ισότητα διανυσμάτων Πρόσθεση διανυσμάτων Ερωτήσεις 1. Τ ι ονομάζουμε διάνυσμα;. Τι λέμε μέτρο ενός διανύσματος ;. Τι λέμε μηδενικό διάνυσμα; 4. Τι λέμε φορέα διανύσματος;

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

1.5. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Oµάδας ( )

1.5. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Oµάδας ( ) .5 Ασκήσεις σχολικού ιλίου σελίδας 47 50 A Oµάδας. Αν α (, 3) και (, 5), τότε Να ρείτε τα εσωτερικά γινόµενα α, (α ).(-3 ) και (α ). (3α + ) Να ρείτε τη σχέση που συνδέει τους κ, λ R, ώστε το εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

1 x και y = - λx είναι κάθετες

1 x και y = - λx είναι κάθετες Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Γραµµικής Αλγεβρας και Αναλυτικής Γεωµετρίας

Στοιχεία Γραµµικής Αλγεβρας και Αναλυτικής Γεωµετρίας Νικόλαος Ατρέας Στοιχεία Γραµµικής Αλγεβρας και Αναλυτικής Γεωµετρίας ΑΠΘ Γενικό Τµήµα Πολυτεχνικής σχολής Θεσσαλονίκη 3 Περιεχόµενα Κεφάλαιο : Πίνακες σελ 4 Γενικά Είδη πινάκων Τετραγωνικοί πίνακες 3

Διαβάστε περισσότερα

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν:

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1. Για τα διανύσματα α, β δίνεται ότι α =1, β = και u α β, v α - β.να υπολογίσετε: π (α,β). Έστω τα διανύσματα α. το εσωτερικό γινόμενο α β β. τα μέτρα u, v των διανυσμάτων

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ Το εσωτερικό γινόµενο Σε πολλές πρακτικές καταστάσεις, η τιµή µιας ποσότητας εξαρτάται από τις τιµές δύο ή περισσότερων άλλων ποσοτήτων. Για παράδειγµα η συνάρτηση V = π r h υπολογίζει

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο . ΣΥΝΤΕΤΑΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΘΕΩΡΙΑ. Άξονας (Ο, i ) λέγεται κάθε ευθεία εφοδιασµένη µε αρχή Ο και µοναδιαίο διάνυσµα i.. Τετµηµένη σηµείου Μ που ανήκει σε άξονα (Ο, i ) λέγεται ο αριθµός, για τον οποίο ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

1 η Εργασία Ηµεροµηνία αποστολής: 19 Νοεµβρίου 2006

1 η Εργασία Ηµεροµηνία αποστολής: 19 Νοεµβρίου 2006 η Εργασία Ηµεροµηνία αποστολής: 9 Νοεµβρίου 6. α. Να βρεθεί η γωνία µεταξύ των διανυσµάτων a = i + j k και b = 6 i j + k. β. Να δείξετε ότι τα διανύσµατα a, b, c είναι ορθογώνια και µοναδιαία. a = ( i

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12 Τράπεζα 0- Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα.58 Θεωρούμε τα διανύσματα α,β,γ και τυχαίο σημείο Ο. Αν α β 5γ, α 3β 4γ και 3α β 6γ, τότε: α) να εκφράσετε τα διανύσματα, συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ.

Διαβάστε περισσότερα

Ονοµάζουµε παραβολή µε εστία σηµείο Ε και διευθετούσα ευθεία (δ) το γεωµετρικό τόπο των σηµείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από το Ε και τη (δ)

Ονοµάζουµε παραβολή µε εστία σηµείο Ε και διευθετούσα ευθεία (δ) το γεωµετρικό τόπο των σηµείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από το Ε και τη (δ) 3. Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε παραβολή µε εστία σηµείο Ε και διευθετούσα ευθεία (δ) το γεωµετρικό τόπο των σηµείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από το Ε και τη (δ). Εξίσωση παραβολής p, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Καθηγητές : Νικόλαος Κατσίπης 25 Απριλίου 2014 Στόχος του παρόντος ϕυλλαδίου είναι να αποτελέσει µια αφορµή για επανάληψη πριν τις εξετάσεις. Σας ευχόµαστε καλό διάβασµα και...

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 Διανύσματα. 1 Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα

ΦΥΕ 14 Διανύσματα. 1 Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα ΦΥΕ 4 Διανύσματα Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα τμήματα Δύο διανύσματα θα θεωρούμε ότι είναι ίσα, εάν έχουν το ίδιο μήκος

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1. Α. Να δείξετε ότι η ευθεία ε: αx + βy + γ = 0, ( α + β 0), είναι παράλληλη στο. (Μονάδες: 5) Β. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ

ΘΕΜΑ 1. Α. Να δείξετε ότι η ευθεία ε: αx + βy + γ = 0, ( α + β 0), είναι παράλληλη στο. (Μονάδες: 5) Β. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ Ε4 ΘΕΜΑ 1 Α. Να δείξετε ότι η ευθεία ε: αx + βy + γ = 0, ( α + β 0), είναι παράλληλη στο δ = ( β, α). (Μονάδες: 5) Β. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ 1. Η απόσταση του 0(0,0) από την x + y + = 0 είναι.. Η εξίσωση y = xy παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανύσματα Ευθείες - Επίπεδα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διάνυσμα ή Διανυσματικό μέγεθος (Vector) Μέγεθος που

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5,5 γ) Αν τα διανύσματα a, είναι μη μηδενικά και θ είναι η γωνία των a. λ 0. Για ποια από τις παρακάτω τιμές του λ τα διανύσματα a.

Μονάδες 5,5 γ) Αν τα διανύσματα a, είναι μη μηδενικά και θ είναι η γωνία των a. λ 0. Για ποια από τις παρακάτω τιμές του λ τα διανύσματα a. ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 ο (Πανελλήνιες θετικής κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999) Α. Έστω a ( x1,) y1 και ( x,) y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. α) Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΣ (εχθροί ή φίλοι;) c πάνω στην οποία κινείται το σημείο Μ. M x, y. x 2λ 1 και. 3 λ Υπάρχει λ ώστε.

Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΣ (εχθροί ή φίλοι;) c πάνω στην οποία κινείται το σημείο Μ. M x, y. x 2λ 1 και. 3 λ Υπάρχει λ ώστε. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΣ (εχθροί ή φίλοι;) Του Κώστα Βακαλόπουλου Στο άρθρο που ακολουθεί παραθέτουμε μια σειρά από ασκήσεις στις οποίες συνυπάρχουν άλλοτε αρμονικά και άλλοτε ανταγωνιστικά οι δύο βασικές

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά. Nικόλαος Aτρέας

Σηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά. Nικόλαος Aτρέας Σηµειώσεις Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Nικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Περιεχόµενα Eισαγωγή στους µιγαδικούς αριθµούς Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις 3 Οριο-Συνέχεια-Παράγωγος Αναλυτικές Συναρτήσεις 4 Μιγαδική

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση: Να δίνει τον ορισμό του διανύσματος και των εννοιών που είναι κλειδιά όπως: κατεύθυνση φορά ή διεύθυνση, μηδενικό διάνυσμα,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Thanasis Kehagias, 2009

Thanasis Kehagias, 2009 Μέρος II Αναλυτικη Γεωµετρια 33 34 Το παρον τευχος περιεχει συντοµη ϑεωρια, λυµενες και αλυτες ασκησεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Κατα τη γνωµη µου, για τους περισσοτερους ανθρωπους, ο µονος τροπος εξοικειωσης

Διαβάστε περισσότερα

v Α. Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων, β

v Α. Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων, β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o α Α Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων, β Μονάδες 4 Β Να αποδείξετε ότι το εσωτερικό γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος». * Συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτοµένη της γωνίας που σχηµατίζει η ευθεία (ε) µε τον άξονα x x. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 2ο κεφάλαιο: Ευθείες Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Μαθηµατικά Προσανατολισµού Β Λυκείου Αποστόλου Γιώργος Μαθηµατικός Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ o Α. Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων α, β. Μονάδες 4 Β. Να αποδείξετε ότι το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ÅÐÉËÏÃÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ÅÐÉËÏÃÇ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Σάββατο 8 Απριλίου 2017 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Α1. Θεωρία. Σχολικό βιβλίο σελίδα 83 Α2. α) Σωστό β) Λάθος γ) Σωστό

Διαβάστε περισσότερα

ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ

ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου-Απ Παπανικολάου ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων και και το συμβολίζουμε με α β τον πραγματικό αριθμό αβ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής & Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2001

Μαθηµατικά Θετικής & Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2001 Μαθηµατικά Θετικής & Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 00 Ζήτηµα ο Α.. Έστω α, β, γ ακέραιοι αριθµοί. Να δείξετε ότι ισχύουν οι επόµενες ιδιότητες: α. Αν α β, τότε α λβ για κάθε ακέραιο λ. β. Αν α β και α

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας

Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης 009, υ.0.96 Περιεχόµενα Εισαγωγη iv Επιπεδα στον Τρισδιαστατο Χωρο. Θεωρια..................................... Λυµενες Ασκησεις..............................

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης. Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης. Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ SOS ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Θέμα ο Να γράψετε και να αποδείξετε την σχέση της διανυσματικής ακτίνας του μέσου ενός τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 00 Θέμα 1 ο Έστω U ο υπόχωρος του που παράγεται από τα στοιχεία (1-11α) (10β) (5-γ) και (-δ) (I) Να προσδιορίσετε τις αναγκαίες

Διαβάστε περισσότερα

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία .0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία Εύρεση τριγωνομετρικών αριθμών οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνο. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α= 90 0 ). Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας οξείας γωνίας ορίζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό -

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 10, Γ. ΚΟΡ ΟΥΛΗΣ, ιανύσµατα 1/6. = + tβ r. zk και εξισώνουµε τις συνιστώσες των διανυσµάτων x(t) = 1+ 2t, y(t) = 1+ 3t, z(t) = 4 + t

ΦΥΕ 10, Γ. ΚΟΡ ΟΥΛΗΣ, ιανύσµατα 1/6. = + tβ r. zk και εξισώνουµε τις συνιστώσες των διανυσµάτων x(t) = 1+ 2t, y(t) = 1+ 3t, z(t) = 4 + t ΦΥΕ 10, Γ. ΚΟΡ ΟΥΛΗΣ, ιανύσµατα 1/6 ) Ευθεία Ευθεία διέρχεται από το σηµείο Α µε διάνυσµα θέσης = i j+ 4k το διάνυσµα β = 2i + 3j + k. και είναι παράλληλη προς Α = + tβ α β ιανυσµατική εξίσωση: Εισάγουµε

Διαβάστε περισσότερα

1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: 2π 3

1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: 2π 3 Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = 2π 3 γ) ω = π 2. * Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής - Σ Λ - αντιστοίχησης

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής - Σ Λ - αντιστοίχησης Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. * Στο παραλληλόγραµµο ΑΒΓ είναι: ΑΒ = α, Α = β. α) Το διάνυσµα ΑΓ ισούται µε Α. α - β Β. β - α Γ.. α + β Ε. α - β α + β β) Το διάνυσµα Β ισούται µε α + β Α. α + β Β. β -

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

!! viii) Αν λ α = μα

!! viii) Αν λ α = μα Αν έχουμε το διάνυσμα α O και τον πραγματικό αριθμό * λ R τότε γινόμενο του λ με το διάνυσμα α! λέγεται το διάνυσμα λ α! το οποίο: i) είναι ομόρροπο του α! όταν λ>0 και είναι αντίρροπο του α! όταν λ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ - ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ - ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ - ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ [Κεφ..: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνονται οι μιγαδικοί z,w με

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία ΜΑΘΗΜΑ 5.. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Εφαπτοµένη ευθεία Παράγωγος βασικών συναρτήσεων ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Αθροίσµατος γινοµένου - πηλίκου Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό -

Διαβάστε περισσότερα