РЕВЕРСНЕ ПРЕДСТАВЕ СА ВОЈНИМ ОЗНАКАМА НА НОВЦУ КОВНИЦЕ У НИКЕЈИ НА ОСНОВУ УЗОРКА СА ВИМИНАЦИЈУМСКЕ НЕКРОПОЛЕ ВИШЕ ГРОБАЉА 1*

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "РЕВЕРСНЕ ПРЕДСТАВЕ СА ВОЈНИМ ОЗНАКАМА НА НОВЦУ КОВНИЦЕ У НИКЕЈИ НА ОСНОВУ УЗОРКА СА ВИМИНАЦИЈУМСКЕ НЕКРОПОЛЕ ВИШЕ ГРОБАЉА 1*"

Transcript

1 РЕВЕРСНЕ ПРЕДСТАВЕ СА ВОЈНИМ ОЗНАКАМА НА НОВЦУ КОВНИЦЕ У НИКЕЈИ НА ОСНОВУ УЗОРКА СА ВИМИНАЦИЈУМСКЕ НЕКРОПОЛЕ ВИШЕ ГРОБАЉА 1* Мирјана Д. Војвода Археолошки институт, Београд Мирјана Д. Војвода Археолошки институт Кнез Михаилова Београд Mirjana D. Vojvoda Arheološki institut Knez Mihailova Beograd Апстракт: Новац ковнице у Никеји веома је заступљен на територији балканских провинција Римског царства, посебно у периоду између треће и пете деценије III века. Проучавање ових налаза са подручја Горње Мезије омогућава стицање нових сазнања о путевима циркулације новца између малоазијских и балканских провинција. С друге стране, разврставање типова реверсних представа са војним ознакама, који су у никејској ковници доминантни у емисијама Александара Севера и Гордијана III, довешће до формирања разгранате иконографске типологије. То ће, свакако, представљати велики допринос изучавању ковања Никеје с обзиром да у референтним каталозима овом сегменту није посвећивана превелика пажња. Kључне речи: Римско царство, ковница Никеја, реверсни типови, војне ознаке, Виминацијум. Abstract: Coins minted in Nicaea are very frequent on the territory of the Balkan provinces of the Roman Empire, especially in the period between the third and fifth decade of the third century. The study of these findings from Upper Moesia provides new perspective on the money circulation routes between Asia Minor and the Balkan provinces. On the other hand, the classification of reverse types with military insignia representations, dominant in Nicaea mint in Alexander Severus and Gordian III issues, will lead to the formation of an extensive iconographic typology. That will certainly be a great contribution to the Nicaea mint study since reference catalogs have not paid much attention on this segment of Roman coinage. Key words: Roman Empire, Nicaea mint, reverse types, military insignia, Viminacium 1 * Рад посвећујем Николи Црнобрњи, као израз велике захвалности за подршку и помоћ коју ми је пружио на почетку мог бављења античком нумизматиком. Гласник Српског археолошког друштва Journal of the Serbian Archaeological Society 25 (2009)

2 ГСАД/JSAS 25 (2009) Из археолошких збирки Ковница провинцијског новца у Никеји налазила се у римској малоазијској провинцији Битинији. Једна је од многобројних ковница у источном делу Царства, али је за наше подручје веома значајна с обзиром да је новац кован у њој у великој мери циркулисао на Балкану, нарочито од треће до почетка пете деценије III вeка. Провинцијске ковнице највише су биле распрострањене у источном делу Римског царства, пре свега због развијене традиције ковања. Цареви су повремено право ковања новца додељивали појединим градовима, савезима градова или провинцијама. На аверсу таквог новца приказиван је портрет римског цара, док се на реверсу најчешће налазе представе локалног карактера: божанства и персонификације, односно заштиници градова или провинција, грађевине и други објекти који представљају обележје града итд. (Kos 1998, 294, 298). Ковница у Никеји емитовала је провинцијски новац у времену од Клаудија до Макријана 261. године, а најбројније емисије припадају владавини Александра Севера (Kos 1998, 246). Легенде су на грчком језику. Попут царског ковања, аверсне легенде садрже име и титулатуру цара, док је на реверсу име града у генитиву плурала: NIKAIEΩN. С друге стране, представе на реверсу су веома разнолике: Херакле или његови симболи, Асклепије, Хигија, Триптолем, Серапис и Изида, Хермес, Зевс, Палада, Немеза, Деметра, Кибела, песонификација града Никеје, разни храмови и олтари, агностичке урне, итд. Од времена Септимија Севера на реверсу се појављује представа војних ознака, и то три сигнума или аквила између два сигнума. 1 Од владавине Александра Севера представе војних ознака, веома разноликих иконографских схема, постају основни реверсни тип. Може се рећи да остали, већ наведени реверсни типови постају сасвим ретки, што ће бити доминантно у емисијама закључно са владавином Гордијана III. 2 Након његове владавине војне ознаке нестају као реверсни типови у ковању Никеје. У досадашњим референтним каталозима није прављена разлика међу војним ознакама на реверсима ковнице Никеје. Углавном је истицано само да ли се ради о представи три, односно четири сигнума или легионарског орла између два сигнума. 3 Пионирски рад у детаљнијем разврставању ових реверсних типова и њиховом бољем разумевању представља прилог Николе Црнобрње (Црнобрња 1981, 5-23). 1 Међу војним ознакама разликују се: војна инсигнија (signum), вексилум (vexillum) и легионарски орао (aquila). 2 Одличан пример су налази новца са виминацијумске некрополе Више гробаља, на којој је новац ковнице Никеје заступљен са 10% укупног броја нумизматичких налаза (како у гробовима, тако и у слоју). Истовремено представља око 70% налаза из III века, укључујући царско ковање и друге провинцијске емисије. Констатовано је 290 примерака никејске ковнице; од тог броја, 195 припада емисијама Александра Севера, при чему се на 190 примерака налази представа војних ознака. Сви налази новца Гордијана III, којих је укупно 36, као реверсну представу имају војне ознаке. На уступљеном материјалу са некрополе Више гробаља захваљујем се колегиници Драгани Спасић-Ђурић из Народног музеја у Пожаревцу. 3 BMC, Bithynia, 161, no. 62; 165, no. 83; 167, nos ; 168, nos ; 169, no. 106; , nos , 130; SNG, Bosporus Bithynia, pl. 13, nos. 506, , , ; Weiser 1983, 213, no. 030, са наведеном литературом у коментару; 214, no. 033, са наведеном литературом у коментару. 244

3 М. Војвода Реверсне представе са војним ознакама на новцу ковнице у Никеји Сл. 1. Типови војних ознака (1 28) (Према: Црнобрња 1981: 6, табела 2) Fig. 1. Types of military insignia (1 28) (After Црнобрња 1981: 6, Table 2) 245

4 ГСАД/JSAS 25 (2009) Из археолошких збирки a 2b 4a 6a 6b 6c 7a 8a 8b 9a 9b 9c 12a 12b 15a 15b Сл. 2. Типови војних ознака (29 32); варијанте типова (2 (a, b), 4 (а), 6 (а, b, c), 7 (а), 8 (a, b), 9 (а, b, c), 12 (а, b), 15 (а, b)) Fig. 2. Types of military insignia (29 32), variants of types (2 (a, b), 4 (a), 6 (a, b, c), 7 (a), 8 (a, b), 9 (a, b, c), 12 (a, b), 15 (a, b)) Аутор је располагао узорком од 159 примерака кованих од Каракале до Гордијана III, при чему само четири новчића нису као реверсну представу имала војне ознаке. 4 Исправно уочавајући недостатке описа у референтним каталозима, Црнобрња је 4 Публиковани примерци припадају збирци Музеја града Београда, а потичу из: Вуковара, Сурдука, Нових Бановаца, Земуна, Ушћа, Костолца и Великог Градишта: Црнобрња 1981, 6, табела

5 М. Војвода Реверсне представе са војним ознакама на новцу ковнице у Никеји... међу 155 примерака са војним ознакама издвојио чак 28 типова реверсних представа (сл. 1). Чињеница да је само на основу примерака из ове збирке добијена тако разграната иконографска схема указује на неопходност даљег истраживања у овом правцу. 15c 20a 22a 22b 22c 22d 23a 24a 28a Сл. 3. Варијанте типова (15 (c), 20 (а), 22 (а, b, c, d), 23 (а), 28 (а)) Fig. 3. Variations of types (15 (c), 20 (a), 22 (a, b, c, d), 23 (a), 28 (a)) Велики и изузетно значајан узорак новца из Никеје са виминацијумске некрополе Више гробаља пружио је добру основу за даље разврставање реверсних типова ове ковнице. На овој некрополи нађено је 290 примерака новца Никеје, на основу којих су се могла издвојити још четири нова типа (типови 29 32; сл. 2), као и 25 варијанти типова које је раније дефинисао Н. Црнобрња. То су следеће варијанте типова: 2 (a, b), 4 (а), 6 (а, b, c), 7 (а), 8 (a, b), 9 (а, b, c), 12 (а, b), 15 (а, b, c), 20 (а), 22 (а, b, c, d), 23 (а) и 28 (а) (сл. 2 3). 5 По саставу, две анализиране целине имају готово идентичан хронолошки распон: збирка Музеја града Београда, од Каракале до Гордијана III, и са некрополе Више гробаља, од Каракале до Хереније Етрусциле, односно до владавине Трајана Деција. 6 У погледу заступљености новца царева и чланова њихових породица 5 Табле 2 и 3 цртао је колега Александар Капуран, коме се овом приликом захваљујем. 6 Новац Никеје са некрополе Више гробаља завршава се једним примерком Хереније Етрусциле, при чему није забележен ниједан примерак Трајана Деција или његових синова. 247

6 ГСАД/JSAS 25 (2009) Из археолошких збирки састав је такође сличан. У збирци Музеја са по једним примерком присутни су новци Јулије Домне и Јулије Мезе, док изостају емисије Елагабала, Јулије Пауле и Хереније Етрусциле, које се јављају на некрополи Више гробаља. 7 Највећи број примерака у оба случаја припада ковању Александра Севера: 94 (МГБ) према 195 (ВГ); следе емисије Гордијана III: 44 (МГБ) према 36 (ВГ). Хронолошки посматрајући заступљеност типова и варијанти у обе целине, долазимо до следећих података: Каракала Елагабал А. Север Ј. Мамеа Максим цезар Гордијан III Транквилина тип 1 тип 2 вар. 2а вар. 2b тип 3 тип 4 вар. 4а тип 5 тип 6 вар. 6а вар. 6b вар. 6c тип 7 вар. 7а тип 8 вар. 8а вар. 8b тип 9 вар. 9а вар. 9b вар. 9c тип 10 тип 11 тип 12 вар. 12а вар. 12b тип 13 тип 14 тип 15 вар. 15а вар. 15b вар. 15c тип 16 тип 17 тип 18 тип 19 тип 20 7 У даљем тексту употребљаваћемо следеће скраћенице: МГБ (збирка Музеја града Београда) и ВГ (виминацијумска некропола Више гробаља). 248

7 М. Војвода Реверсне представе са војним ознакама на новцу ковнице у Никеји... вар. 20а тип 21 тип 22 вар. 22а вар. 22b вар. 22c вар. 22d тип 23 вар. 23а тип 24 вар. 24а тип 25 тип 26 тип 27 тип 28 вар. 28а тип 29 тип 30 тип 31 тип 32? МГБ / ВГ Табела 1. Заступљеност типова реверсних представа са војним ознакама Table 1. Representation of reverse types with military insignia Запажа се да су у ковању Александра Севера највише заступљени типови и варијанте са три војне ознаке, најчешће три сигнума, а нешто ређе аквила између два сигнума. У емисијама Гордијана III ситуација је супротна и чешћи су мотиви са четири ознаке, које садрже аквиле и легионарске каприкорне. (Табела 1). 8 Међу новим типовима (29 32) пажњу привлачи један примерак Транквилине (30), са легионарским каприкорном између две инсигније. До тада су се каприкорни између инсигија јављали само у варијанти са четири ознаке (типови и варијанта 28а). Још су, чини се, интересантнији примерци Каракале (типови 31 и 32), поготово што за тип 31 налазимо аналогију у царском ковању Септимија Севера и Каракале. 9 Ради се о цистофорима који припадају несигурној источној ковници. 10 Нажалост, тип 32 нисмо могли потпуно да дефинишемо, иако се неоспорно ради о новом иконографском мотиву. Оштећење на једином примерку којим располажемо не дозвољава сигурно одређивање војне ознаке у средини композиције. Можда се на њеном врху налази шака, али то за сада остаје неиз- 8 Појава каприкорна наводи на помисао да се ради о новцу посвећеном конкретној легији или некој њеној формацији, чији је то амблем. Али, као што ћемо касније видети, ове везе тешко се могу доказати. 9 RIC IV.1, no. 528; BMC V, pl (Септимије Север); RIC IV.1, no. 356; BMC V, pl (Каракала). 10 Северов новац датован је у 198. годину. На новцу Каракале појављује се легенда COS II (205. година?). Међутим, одсуство новца Гете указује на датовање најкасније до 198. и у том случају COS II на новцу Каракале треба приписати титулатури његовог оца (RIC IV.1, 64). 249

8 ГСАД/JSAS 25 (2009) Из археолошких збирки весно. У даљем испитивању новца Никеје биће попуњена поменута празнина и отклоњена постојећа неизвесност. Две бочне инсигније на овом типу такође су особене медаљони су декорисани на посебан начин, док се на врху сваке инсигније налази по један венац. 11 Требало би скренути пажњу на појаву инсигнија на реверсним представама новца женских чланова царских породица. У ковањима Јулије Домне, Јулије Пауле и Јулије Мезе ови мотиви се не јављају, али су на новцима Јулије Мамеје и Транквилине били доминантни, што се поклапа са ковањима самих издавача новца у то време. Као што је већ речено, на реверсним представама новца Александра Севера и Гордијана III, изузев војних инсигнија, сасвим спорадично јављају се други мотиви. Као реверсне представе на новцима женских чланова породица, војне инсигније се у царском ковању појављују ретко и у специфичним приликама. На новцима Фаустине II, Јулије Домне и на медаљонима Јулије Домне и Јулије Мамеје, царице су приказане у композицијама са војним инсигнијама, уз легенде matri castrorum, matri augustorum/augusti et castrorum. 12 У овим случајевима исказана је посебна улога поменутих царица и велики утицај који су имале, као и њихова посвећеност мужевима, односно синовима и њиховим циљевима (Dio Cass. LXXII.10.5). Још се само у ковању Северине јављају војне инсигније, али у контексту представе Concordia militum (RIC V.1, no. 2, pl ; Арсенијевић 2006, 68 69). Чини се да појава инсигнија, као доминантног типа реверсне представе у ковањима женских чланова царских породица на новцу Никеје, нема исту улогу као у наведеним примерима на царском ковању. Изгледа вероватније да се поклапа са политичком пропагандном на ревесним представама Александра Севера и Гордијана III у овом провинцијском ковању. Све то се поново мора довести у везу са њиховим војним походима против Персијанаца и великом улогом коју су имале битинијске ковнице, посебно Никеја, у обезбеђивању довољне количине новца за исплату легија. Приписивање приказаних војних ознака на новцу Никеје конкретним легијама или њеним формацијама веома је тешко, мада појава појединих мотива, нарочито каприкорна, наводи на ту помисао. 13 Наиме, инсигнију (signa militaria) је имала свака манипула и кохорта, а састојала се од копља за које су причвшћене фалере и венци, а на врху се често налазила шака (RE II.A.2, ). Сребрни или позлаћени орао на врху копља (aquila) уобичајен је знак сваке легије и представља numen legionis. Као такав, поштован је у посебном светилишту у оквиру легијског логора (Tac. Ann. I.39). На инсигнијама и легионарским орловима 11 Медаљони су украшени тачком у средини, око које је кружно распоређено још пет тачака. 12 RIC III, no. 751, pl (Фаустина II); RIC IV.1, no Gnecchi II, no. 7, Tav (Јулија Домна). 13 Са царског ковања знамо да се карприкорн јавља као амблем следећих легија: I Adiutrix, II Adiutrix, II Augusta, IV Scythica, XIIII Gemina, XXI Rapax, XXII Primigenia. Као пратећи мотив јавља се уз Јупитера и на новцу посвећеном легији XXX Ulpia. 250

9 М. Војвода Реверсне представе са војним ознакама на новцу ковнице у Никеји... додавани су током Принципата медаљони с ликом актуелног или деификованог цара. 14 Као реверсни мотив на римском царском новцу, војне ознаке нису ретка појава. У зависности од начина приказивања и пратећих легенди, могу бити само општа ознака за римску војску. То је случај са композицијама у којима су војне ознаке пратећи мотиви, као што су, нпр., adlocutio, profectio, adventus, princeps iuventutis, sacramentum, или се јављају уз Виртус, Марса, Фидес, Конкордију, генија војске итд. 15 Не треба изоставити ни представе с мотивом signis receptis, на којима су војне ознаке такође пратећи мотив, али су веома важне јер показују у којој мери су их Римљани поштовали и зашто им је придаван велики значај у официјелној пропаганди на новцу. 16 Нешто ређе се јављају као самосталан мотив војне ознаке на реверсу, без пратеће легенде. 17 И у том случају треба их прихватити у општем значењу римске војске, којој цар изражава захвалност (Арсенијевић 2006, 89 90). Међутим, уколико пратећа легенда код оваквих примера садржи назив војске одређене провинције или области, и представа се искључиво односи на одређене делове римске војске (Арсенијевић 2006, 86 88). 18 С друге стране, у царском ковању сусрећемо и самосталне представе војних ознака, које прати легенда са називом одређене легије. Ови мотиви се на новцу јављају у част појединих легија које су цару пружиле подршку у борби за власт или су се посебно истакле у неким ратним дејствима. Веома су важни за однос између цара, као главнокомандујућег, и војника јер изра- 14 Вексилум (vexillum) је трећа уобичајена ознака у римској војсци (RE VIII.A.2, ). У ковању Никеје помиње се само једном (BMC, Bithynia, 165: no. 83). У ковању Каракале, међутим, овај тип није забележен ни у збирци МГБ, ни на некрополи ВГ. Развојем представа војних инсигнија током прва два века бавио се Роси (Rossi 1965, 41 81). Он разликује aquila, signum и vexillum, наглашавајући да границе између signa и vexilla нису прецизне. Први се обично узимају као амблеми кохорти и манипула, а други као обележја коњаничких јединица. Сматра да су vexilla узета потом за помоћне јединице, на шта указује њихов назив vexillatio; cf. Rossi 1965, 42; Борић-Брешковић 1986, , с наведеном литературом. 15 Наведене композиције појављују се веома често у царском ковању током читавог Принципата, изузев мотива сакраментума који се јавља само код Домицијана и Трајана. 16 Представе са мотивом signis receptis имале су важну улогу у официјелној пропаганди на царском новцу, која се састојала у рехабилитацији повређеног римског поноса. Губљење светих легионарских орлова сматрало се великом срамотом, па се у боју водило рачуна да се они сачувају по сваку цену, макар и њихови делови. Крајем Републике и у прва два века Царства Римљани су ретко губили своја војна знамења. На царском новцу се само три пута прославља повраћај раније изгубљених војних знамења. Најпре се у ковању Августа бележе signis receptis, које су у три маха запленили Парћани током I века п.н.е. Нешто касније, у ковању Калигуле, појављује се комеморативни новац којим се прославља тријумф његовог оца Германика и повраћај инсигнија изгубљених раније у Теутобуршкој шуми, када су страдале две римске легије под командом Вара. И коначно, Веспазијан кује новац са истим мотивом. Повод је или враћање инсигнија заплењених за време побуне под Цивилисом у Галији (Tac. Hist. IV , 54 66, 70 79, V. 26) или када је у Јудеји страдала легија XII Fulminata. 17 Јављају се у ковању Нерона, Галбе, Веспазијана, Нерве, Трајана, Хадријана и Антонина Пија. Приказује се аквила између две инсигније, у традицији Марка Антонија, или три инсигније, које понекад имају шаку на врху или су постављене на прамац брода. 18 На пример, Хадријанова adlocutio серија (BMC III, ; RIC II, ) или представе генија илирске војске у ковању Трајана Деција (RIC IV.3, no. 16a; HCC III, no. 9, pl. 76/9). 251

10 ГСАД/JSAS 25 (2009) Из археолошких збирки жавају њихову међусобну fides, concordia и pietas. По правилу, новци са називима легија и њиховим ознакама или амблемима ковани су у време грађанских ратова и предвиђени су за плате или поклоне војницима. 19 Прототип за легионарски новац током Царства представља чувена серија Марка Антонија, кована уочи битке код Акцијума, са представом легионарског орла између две или три инсигније. 20 Током грађанског рата 68/69, одметнути легат пропретор у Африци, Мацер, ковао је новац са називима легија под његовом командом (RIC I, nos. 1 21). Следећи пример таквог ковања налазимо код Марка Аурелија и Луција Вера, који су почаствовали само једну легију, вероватно због њених заслуга у рату с Парћанима. 21 Током III века коване су три велике серије легионарског новца: Септимија Севера, Галијена и Викторина. Прва од њих је кована потпуно у традицији новца Марка Антонија, са представом легионарског орла између две инсигније и поименичним навођењем назива легија (RIC IV.2, nos. 2 17). Јасно је да је овај новац представљао награду за трупе које су показале лојалност, али не и за оне неодлучне. 22 Септимије Север, као и његови претходници, кује новац за легије које су под његовом командом. Касније су Галијен, Викторин и Караузије ковали серије легионарског новца, али су мотив легионарског орла и инсигнија заменили мноштвом амблема појединачних легија. 23 У последње три серије, осим промене мотива, уочава се још једна новина. Код извесног броја примерака у серији кују се амблеми и називи легија које нису биле под командом Галијена, односно Викторина и Караузија. У овим случајевима највероватније се ради о вексилацијама које су биле под командом поменутих царева, али су издвојене од матичних легија. И поред тога, оне су носиле амблеме и називе матичних легија (Арсенијевић 2005, 74-79) Традиција donativa била је устаљена пракса у римској војсци. 20 У овој серији поменуте су 23 легије, преторијанске и извидничке кохорте (RRC, no. 544/1 39). 21 RIC III, no Новац је вероватно кован 165/166. године и посвећен је legio VI Ferrata. Представља копију новца Марка Антонија, са једином разликом у реверсној легенди. Разлози за ову комеморацију нису сасвим јасни, као ни тачан датум ковања (BMC IV, cxxiii, ref. 2). Legio VI Ferrata борила се на страни Марка Антонија код Филипа, потом је преузео Август и послао је на исток, изгледа најпре у Сирију, па у Палестину, где се очигледно још увек налазила у време Марка Аурелија Луција Вера. Новац би био доказ о њеном учешћу у парћанском рату и о заслугама због којих је била почаствована ковањем новца са њеним именом. 22 Укупно 16 легија је поменуто у овој серији Септимија Севера, укључујући легије на Рајни и Дунаву, изузев legio X Gemina, која је очито била у царевој немилости. Искључене су и источне легије Песценија Нигера, као и три британске и једна шпанска легијеа под командом Клодија Албина. Осрамоћени продајом царске власти на лицитацији Дидију Јулијану, преторијанци су распуштени од стране Севера и нису добили ову почаст. Legio XIIII Gemina Martia Victrix, која је Септимија Севера прва поздравила као цара у Карнунтуму, била је његова омиљена легија и уживала је посебне почасти, па су за њу ковани новци у злату, сребру и бронзи. 23 RIC V.1, nos (Галијен); RIC V.2, nos (Викторин); RIC V.2, nos (Караузије). 24 У концепцији одбране Царства дошло је до промена и Римљани су били принуђени да пређу на еластичнију одбрану, и то у унутрашњости своје територије. Напуштен је концепт одбране на границама и уместо тога ослонац су чиниле мобилне јединице које су нападале непријатеља када пређе границу. У намери да сачини овакву мобилну ударну формацију, Галијен је у Медиолануму сакупио елитне вексилације свих легија. Медиоланум се показао као одлична локација, одакле су мобилни коњички одреди лако могли да 252

11 М. Војвода Реверсне представе са војним ознакама на новцу ковнице у Никеји... У провинцијском ковању реверсне представе с мотивом војних ознака карактеристичне су за Битинију. Наиме, осим Никеје, идентични или слични мотиви налазе се и у емисијама других ковница у истој провиницији Јулиополиса и Никомедије. На некрополи Више гробаља забележено је пет примерака новца Јулиополиса и сви као реверсни мотив имају војне ознаке. 25 Припадају емисијама Каракале (1 комад) и Александра Севера (4 комада). Из ковања Никомедије је осам примерака Александра Севера, при чему три имају реверсне представе са војним ознакама. 26 Изузетно велика заступљеност новца Никеје, али и других битинијских ковница на територији Горње Мезије, нарочито у Виминацијуму, и то баш из времена Александра Севера и Гордијана III, мора се, с једне стране, довести у везу са њиховим војним походима на истоку против Персијанаца. Географски положај Виминацијума, на раскрсници путева од којих је главни водио на југ до Наиса и, потом, преко Тракије до Босфора, али и његов војни, административни и економски значај учинили су да постане важан пункт на путу ка истоку. Два велика похода против Персијанаца, у време Александра Севера и Гордијана III, довела су и до знатне фрекфенције војника дуж овог пута, па самим тим и новца. Битинија је пак као провинција чинила мост између истока и запада, са изузетним стратешким значајем пре свега због важних путева. У времену о коме говоримо, битинијске ковнице провинцијског новца, нарочито никејска, имале су изгледа велики удео у ковању новца за плате војника који су учествовали у ова два похода против Персијанаца. 27 Важно је поменути да су на виминацијумској некрополи Више гробаља у знатном броју заступљени и налази из Тракије, а у нешто мањој мери и из Доње Мезије. 28 С друге стране, појава никејског, али и новца других битинијских ковница, мора да се доведе у везу и са недостатком ситног бронзаног новца у оптицају у Горњој Мезији у то време. То је био и један од основних разлога за отварање провинцијске ковнице новца у Виминиацијуму 239. године (Борић-Брешковић 1976, 8). Очигледно је да се истовремено стекло више разлога за већу циркулацију новца из Битиније, преко Тракије до Горње Мезије и даље на запад, пошто су налази никејског новца забележени и на простору југоисточних Алпа (Kos 1998, 246). се суоче са сваком претњом са запада или севера. Проблем са оваквим начином одбране, комбинованим са утврђењима, довео је до лоше заштите популације у граничним провинцијама, која је непрестано страдала од упада варвара (Santosuosso 2004, ). 25 Три примерка припадају типу 7 у ковању Никеје, четврти би био варијанта типа 18, незабележеног у Никеји, док би пети био сасвим нов тип, са две инсигније. 26 Један примерак припада типу 29 у ковању Никеје, а друга два су поново варијанта типа Познато је да у Битинији није била стално стационирана ниједна легија. Заправо, од малоазијских провинција једино је Кападокија имала три легије: Legio XII Fulminata, Legio XV Appollinaris и Legio XVI Flamia Firma. 28 Тракија: Пауталија (9 комада), Филиполис (2 комада), Хадрианополис (3 комада), Плотинополис (1 комад), Трајанополис (1 комад), Перинт (2 комада) и Месембрија (1 комад); Доња Мезија: Никополис на Дунаву (5 комада) и Марцијанополис (1 комад). 253

12 ГСАД/JSAS 25 (2009) Из археолошких збирки Проучавање налаза са виминацијумске некрополе пружа могућност за нова изузетна открића, између осталог и зато што је на располагању велики узорак из затворених археолошких целина. Коначно публиковање свих нумизматичких налаза свакако ће чинити велики допринос упознавању римског ковања и још једном ће указати на велики значај Виминацијума као важне административне, економске и војне метрополе у овом делу Царства. 29 Издвајање нових типова и варијанти ревесних представа на новцу Никеје представља наставак и допуну типологије коју је установио Н. Црнобрња пре више од четврт века. Даљи рад на публиковању никејског новца са територије Горње Мезије, који у великој мери још увек није објављен, пружиће могућност за допуну предложене поделе и сигурно ће разрешити извесне недоумице. 29 Подаци које смо у раду користили односе се на налазе са некрополе Више гробаља. Анализа налаза новца са некрополе Пећине, као следеће велике целине, тек ће уследити. 254

13 М. Војвода Реверсне представе са војним ознакама на новцу ковнице у Никеји... БИБЛИОГРАФИЈА Arsenijević, Mirjana Summa militaris na novcu i medaljonima doba Principata. Beograd: Doktorska disertacija, Univerzitet u Beogradu. Арсенијевић, Мирјана Војнички аспект Фидес и Конкордије у римском царском ковању (I III в.). Гласник Српског археолошког друштва 22: Bianco, Enrico Indirizzi Progammatici e Propagandistici nella Monetazione di Vespasiano. Rivista Italiana di Nvmismatica XVI: BMC = Coins of the Roman Empire in the British Museum BMC, Bithynia = Catalogue of Greek coins in the Brihish Museum Борић-Брешковић, Бојана Новац колоније Виминацијума у збирци Светозара Ст. Душанића. Београд: Музеј града Београда. Борић-Брешковић, Бојана Реверсне представе на новцу колоније Виминацијум. Зборник Народног музеја 12/1: Црнобрња Никола Новац града Никеје у нумизматичкој збирци Музеја града Београда. Годишњак града Београда 27: Dio Cass. = Dio Cassius Dio, s Roman History VII. Translated by E. Cary. Cambridge Mass. and London: Harvard Universiтy Press and William Heinemann LTD. HCC = Roman Imperial Coins in the Hunter Coin Cabinet Kos, Peter Leksikon antičke numizmatike. Zagreb: Hrvatski bibliografski zavod. RE = Paulys Real-encyclopädie der Classischen Altertumswissenschaft RIC = The Roman Imperial Coinage RRC = Roman Republican Coinage Rossi, Lino Le insegne militari nella monetazione imperiale romana da Augusto a Commodo. Rivista Italiana di Numismatica 67: Santosuosso, Antonio Storming the Heavens, Soldiers, Emperors and Civilians in the Roman Empire. London: Pimlico. SNG, Bosporus-Bithynia = Sylloge Nummorum Graecorum Tac. Ann. = Tacitus Annales 1970 Анали. Превод Љ. Црепајац. Београд: Српска књижевна задруга. Tac. Hist. = Tacitus Historiae 1987 Historije. Prevod J. Miklić. Zagreb: VPA. Weiser, Wilhelm Katalog der Bithynischen Münzen der Sammlung des Instituts für Altertumskunde der Universität zu Köln. Papyrologica Coloniensia XI, Bd. 1, Nikaea. Opladen: Westdeutscher Verlag. 255

14 ГСАД/JSAS 25 (2009) Из археолошких збирки Mirjana D. Vojvoda REVERSE MOTIFS WITH MILITARY SYMBOLS FROM NICAEA MINT BASED ON SPECIMENS FROM NECROPOLIS VIŠE GROBALJA, VIMINACIUM Summary The Coins of Bithynia s provincial mint Nicaea have been found in a great deal on the territory of Balkan s provinces, particularly in Moesia Superior. Disposing with a great number of numismatic finds from the Više Grobalja necropolis at Vimiacium, originating from undisturbed archaeological context, give us a great research possibilities. Taking into account the imperial and other provincial coinages, Nikaea mint coins are represented in this necropolis with approximately 10% of the total and about 70% of the 3rd century findings. Noticing the lack of interest in reference catalogues for the Nicaea mint reverse types with military simbols, we decided to focuse our attention on this matter. Identification of new reverse types and its variations represent an continuation and supplement to the typology previously established by Nikola Crnobrnja in He defined 28 iconographical types, based on 155 speciments with military symbols (fig. 1). Former results have pointed to necessity of further ivestigations in this direction. A solid base for this kind of reserches give us the numismatic find from necropole Više Grobalja, where 290 specimens of Nicaea coinage have been discovered. Out of this number 279 specimens have a military simbols as a reverse motif (standard or aquila between two standards). Based on those finds we have defined another four new types (types 29-32; fig. 2) and 25 variants of the types established already by Nikola Crnobrnja. We defined a next variants of types: 2 (a, b), 4 (а), 6 (а, b, c), 7 (а), 8 (a, b), 9 (а, b, c), 12 (а, b), 15 (а, b, c), 20 (а), 22 (а, b, c, d), 23 (а) и 28 (а) (fig. 2-3). Military symbols have appeared on Nicaea coinage since a Septimius Severus reign. Beginning with Severus Alexander issues, motifs with military symbols become a leading reverse type in various iconographical forms. Other types become a very rare. This is an appearance, which was a dominant in issues to the end of the Gordianus III rule (Tab. 1). Further researches and publishing of Nicaea coinage from Moesia Superior territory, yet unpublished in a great deal, will give us a possibility for new supplement and will solve some of the existing vacillations. 256 Изворни научни рад / Original scientific article Примљено: 15. априла Одобрено: 1. септембра UDK: (497)

1.2. Сличност троуглова

1.2. Сличност троуглова математик за VIII разред основне школе.2. Сличност троуглова Учили смо и дефиницију подударности два троугла, као и четири правила (теореме) о подударности троуглова. На сличан начин наводимо (без доказа)

Διαβάστε περισσότερα

налазе се у диелектрику, релативне диелектричне константе ε r = 2, на међусобном растојању 2 a ( a =1cm

налазе се у диелектрику, релативне диелектричне константе ε r = 2, на међусобном растојању 2 a ( a =1cm 1 Два тачкаста наелектрисања 1 400 p и 100p налазе се у диелектрику релативне диелектричне константе ε на међусобном растојању ( 1cm ) као на слици 1 Одредити силу на наелектрисање 3 100p када се оно нађе:

Διαβάστε περισσότερα

Теорија електричних кола

Теорија електричних кола др Милка Потребић, ванредни професор, Теорија електричних кола, вежбе, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 7. Теорија електричних кола i i i Милка Потребић др Милка Потребић, ванредни професор,

Διαβάστε περισσότερα

7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ

7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ 7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ 7.1. ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ху = n (n N) Диофантова једначина ху = n (n N) има увек решења у скупу природних (а и целих) бројева и њено решавање није проблем,

Διαβάστε περισσότερα

НОВАЦ БИТИНИЈСКЕ КОВНИЦЕ НИКЕЈЕ ИЗ МУЗЕЈА СРЕМА У СРЕМСКОЈ МИТРОВИЦИ

НОВАЦ БИТИНИЈСКЕ КОВНИЦЕ НИКЕЈЕ ИЗ МУЗЕЈА СРЕМА У СРЕМСКОЈ МИТРОВИЦИ научни чланак оригиналан научни рад Примљено: 11.09.2012. Одобрено: 16.10. 2012. УДК 737.1.032(497.113); 731.1:069.5(497.113) ИД 1956267644 Мирјана ВОЈВОДА 1, Мирослав ЈЕСРЕТИЋ 2 1 Археолошки институт,

Διαβάστε περισσότερα

КРУГ. У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице.

КРУГ. У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице. КРУГ У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице. Архимед (287-212 г.п.н.е.) 6.1. Централни и периферијски угао круга Круг

Διαβάστε περισσότερα

г) страница aa и пречник 2RR описаног круга правилног шестоугла јесте рац. бр. јесу самерљиве

г) страница aa и пречник 2RR описаног круга правилног шестоугла јесте рац. бр. јесу самерљиве в) дијагонала dd и страница aa квадрата dd = aa aa dd = aa aa = није рац. бр. нису самерљиве г) страница aa и пречник RR описаног круга правилног шестоугла RR = aa aa RR = aa aa = 1 јесте рац. бр. јесу

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ ОБАВЕЗНО ПРОЧИТАТИ ОПШТА УПУТСТВА 1. Сваки

Διαβάστε περισσότερα

НОВАЦ БИТИНИЈСКЕ КОВНИЦЕ НИКЕЈЕ ИЗ БАНОВОГ ПОЉА У МАЧВИ

НОВАЦ БИТИНИЈСКЕ КОВНИЦЕ НИКЕЈЕ ИЗ БАНОВОГ ПОЉА У МАЧВИ Оригинални научни рад Примљено: 30. август 2011. Прихваћено: 28. октобар 2011. УДК 902.01(497.11) ; 737.1.032(37)"01/03" ИД 188125452 Мирјана ВОЈВОДА 1, Славољуб ПЕТРОВИЋ 2 1 Археолошки институт, Београд;

Διαβάστε περισσότερα

6.2. Симетрала дужи. Примена

6.2. Симетрала дужи. Примена 6.2. Симетрала дужи. Примена Дата је дуж АВ (слика 22). Тачка О је средиште дужи АВ, а права је нормална на праву АВ(p) и садржи тачку О. p Слика 22. Права назива се симетрала дужи. Симетрала дужи је права

Διαβάστε περισσότερα

Tестирање хипотеза. 5.час. 30. март Боjана Тодић Статистички софтвер март / 10

Tестирање хипотеза. 5.час. 30. март Боjана Тодић Статистички софтвер март / 10 Tестирање хипотеза 5.час 30. март 2016. Боjана Тодић Статистички софтвер 2 30. март 2016. 1 / 10 Монте Карло тест Монте Карло методе су методе код коjих се употребљаваjу низови случаjних броjева за извршење

Διαβάστε περισσότερα

Анализа Петријевих мрежа

Анализа Петријевих мрежа Анализа Петријевих мрежа Анализа Петријевих мрежа Мере се: Својства Петријевих мрежа: Досежљивост (Reachability) Проблем досежљивости се састоји у испитивању да ли се може достићи неко, жељено или нежељено,

Διαβάστε περισσότερα

Аксиоме припадања. Никола Томовић 152/2011

Аксиоме припадања. Никола Томовић 152/2011 Аксиоме припадања Никола Томовић 152/2011 Павле Васић 104/2011 1 Шта је тачка? Шта је права? Шта је раван? Да бисмо се бавили геометријом (и не само геометријом), морамо увести основне појмове и полазна

Διαβάστε περισσότερα

Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама r и ϕ.

Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама r и ϕ. VI Савијање кружних плоча Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама и ϕ слика 61 Диференцијална једначина савијања кружне плоче је: ( ϕ) 1 1 w 1 w 1 w Z, + + + + ϕ ϕ K Пресечне

Διαβάστε περισσότερα

3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни

3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни ТАЧКА. ПРАВА. РАВАН Талес из Милета (624 548. пре н. е.) Еуклид (330 275. пре н. е.) Хилберт Давид (1862 1943) 3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни Настанак геометрије повезује

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 011/01. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Тест Математика Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 00/0. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

Предмет: Задатак 4: Слика 1.0

Предмет: Задатак 4: Слика 1.0 Лист/листова: 1/1 Задатак 4: Задатак 4.1.1. Слика 1.0 x 1 = x 0 + x x = v x t v x = v cos θ y 1 = y 0 + y y = v y t v y = v sin θ θ 1 = θ 0 + θ θ = ω t θ 1 = θ 0 + ω t x 1 = x 0 + v cos θ t y 1 = y 0 +

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2010/2011. година ТЕСТ 3 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

ВИЗАНТИЈСКЕ КОВНИЦЕ НОВЦА И ЊИХОВА ОРГАНИЗАЦИЈА ОД КРАЈА V ДО ПОЧЕТКАVII ВЕКА

ВИЗАНТИЈСКЕ КОВНИЦЕ НОВЦА И ЊИХОВА ОРГАНИЗАЦИЈА ОД КРАЈА V ДО ПОЧЕТКАVII ВЕКА Ni{ i Vizantija VIII 521 Зоран Симоновић ВИЗАНТИЈСКЕ КОВНИЦЕ НОВЦА И ЊИХОВА ОРГАНИЗАЦИЈА ОД КРАЈА V ДО ПОЧЕТКАVII ВЕКА Увод Византијски новац кован од плементитих метала у периоду од краја V до почетка

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 013/014. година ТЕСТ

Διαβάστε περισσότερα

СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ

СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ 8.. Линеарна једначина с две непознате Упознали смо појам линеарног израза са једном непознатом. Изрази x + 4; (x 4) + 5; x; су линеарни изрази. Слично, линеарни

Διαβάστε περισσότερα

b) Израз за угиб дате плоче, ако се користи само први члан реда усвојеног решења, је:

b) Израз за угиб дате плоче, ако се користи само први члан реда усвојеног решења, је: Пример 1. III Савијање правоугаоних плоча За правоугаону плочу, приказану на слици, одредити: a) израз за угиб, b) вредност угиба и пресечних сила у тачки 1 ако се користи само први члан реда усвојеног

Διαβάστε περισσότερα

ТРАПЕЗ РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ. Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце

ТРАПЕЗ РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ. Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ ТРАПЕЗ Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце Ментор :Криста Ђокић, наставник математике Власотинце, 2011. године Трапез

Διαβάστε περισσότερα

предмет МЕХАНИКА 1 Студијски програми ИНДУСТРИЈСКО ИНЖЕЊЕРСТВО ДРУМСКИ САОБРАЋАЈ II ПРЕДАВАЊЕ УСЛОВИ РАВНОТЕЖЕ СИСТЕМА СУЧЕЉНИХ СИЛА

предмет МЕХАНИКА 1 Студијски програми ИНДУСТРИЈСКО ИНЖЕЊЕРСТВО ДРУМСКИ САОБРАЋАЈ II ПРЕДАВАЊЕ УСЛОВИ РАВНОТЕЖЕ СИСТЕМА СУЧЕЉНИХ СИЛА Висока техничка школа струковних студија у Нишу предмет МЕХАНИКА 1 Студијски програми ИНДУСТРИЈСКО ИНЖЕЊЕРСТВО ДРУМСКИ САОБРАЋАЈ II ПРЕДАВАЊЕ УСЛОВИ РАВНОТЕЖЕ СИСТЕМА СУЧЕЉНИХ СИЛА Садржај предавања: Систем

Διαβάστε περισσότερα

2. Наставни колоквијум Задаци за вежбање ОЈЛЕРОВА МЕТОДА

2. Наставни колоквијум Задаци за вежбање ОЈЛЕРОВА МЕТОДА . колоквијум. Наставни колоквијум Задаци за вежбање У свим задацима се приликом рачунања добија само по једна вредност. Одступање појединачне вредности од тачне вредности је апсолутна грешка. Вредност

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 014/01. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Решавање линеарних једначина с једном непознатом

2.3. Решавање линеарних једначина с једном непознатом . Решимо једначину 5. ( * ) + 5 + Провера: + 5 + 0 5 + 5 +. + 0. Број је решење дате једначине... Реши једначину: ) +,5 ) + ) - ) - -.. Да ли су следеће једначине еквивалентне? Провери решавањем. ) - 0

Διαβάστε περισσότερα

Количина топлоте и топлотна равнотежа

Количина топлоте и топлотна равнотежа Количина топлоте и топлотна равнотежа Топлота и количина топлоте Топлота је један од видова енергије тела. Енергија коју тело прими или отпушта у топлотним процесима назива се количина топлоте. Количина

Διαβάστε περισσότερα

ПРИЛОГ ПРОУЧАВАЊУ НОВЧАНИХ РЕФОРМИ ДИОКЛЕЦИЈАНА, КОНСТАНТИНА И АНАСТАСИЈА

ПРИЛОГ ПРОУЧАВАЊУ НОВЧАНИХ РЕФОРМИ ДИОКЛЕЦИЈАНА, КОНСТАНТИНА И АНАСТАСИЈА Ni{ i Vizantija VII 395 Зоран Симоновић ПРИЛОГ ПРОУЧАВАЊУ НОВЧАНИХ РЕФОРМИ ДИОКЛЕЦИЈАНА, КОНСТАНТИНА И АНАСТАСИЈА Увод Новчани систем позног Римског царства и ране Византије био је заснован на систему

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 01/01. година ТЕСТ

Διαβάστε περισσότερα

1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1

1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1 1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1 Метод разликовања случајева је један од најексплоатисанијих метода за решавање математичких проблема. У теорији Диофантових једначина он није свемогућ, али је сигурно

Διαβάστε περισσότερα

ОБЛАСТИ: 1) Тачка 2) Права 3) Криве другог реда

ОБЛАСТИ: 1) Тачка 2) Права 3) Криве другог реда ОБЛАСТИ: ) Тачка ) Права Jov@soft - Март 0. ) Тачка Тачка је дефинисана (одређена) у Декартовом координатном систему са своје две коодринате. Примери: М(5, ) или М(-, 7) или М(,; -5) Jov@soft - Март 0.

Διαβάστε περισσότερα

Универзитет у Крагујевцу Факултет за машинство и грађевинарство у Краљеву Катедра за основне машинске конструкције и технологије материјала

Универзитет у Крагујевцу Факултет за машинство и грађевинарство у Краљеву Катедра за основне машинске конструкције и технологије материјала Теоријски део: Вежба број ТЕРМИЈСКА AНАЛИЗА. Термијска анализа је поступак који је 903.год. увео G. Tamman за добијање криве хлађења(загревања). Овај поступак заснива се на принципу промене топлотног садржаја

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ПРОБНИ ЗАВРШНИ ИСПИТ школска 016/017. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ПРЕГЛЕДАЊЕ

Διαβάστε περισσότερα

Скупови (наставак) Релације. Професор : Рака Јовановић Асиситент : Јелена Јовановић

Скупови (наставак) Релације. Професор : Рака Јовановић Асиситент : Јелена Јовановић Скупови (наставак) Релације Професор : Рака Јовановић Асиситент : Јелена Јовановић Дефиниција дуалне скуповне формуле За скуповне формулу f, која се састоји из једног или више скуповних симбола и њихових

Διαβάστε περισσότερα

ЗАШТИТА ПОДАТАКА Шифровање јавним кључем и хеш функције. Diffie-Hellman размена кључева

ЗАШТИТА ПОДАТАКА Шифровање јавним кључем и хеш функције. Diffie-Hellman размена кључева ЗАШТИТА ПОДАТАКА Шифровање јавним кључем и хеш функције Diffie-Hellman размена кључева Преглед Биће објашњено: Diffie-Hellman размена кључева 2/13 Diffie-Hellman размена кључева први алгоритам са јавним

Διαβάστε περισσότερα

TAЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА

TAЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА TЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА Два тачкаста наелектрисања оптерећена количинама електрицитета и налазе се у вакууму као што је приказано на слици Одредити: а) Вектор јачине електростатичког поља у тачки А; б) Електрични

Διαβάστε περισσότερα

2. EЛЕМЕНТАРНЕ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ

2. EЛЕМЕНТАРНЕ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ 2. EЛЕМЕНТАРНЕ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ 2.1. МАТЕМАТИЧКИ РЕБУСИ Најједноставније Диофантове једначине су математички ребуси. Метод разликовања случајева код ових проблема се показује плодоносним, јер је раздвајање

Διαβάστε περισσότερα

5.2. Имплицитни облик линеарне функције

5.2. Имплицитни облик линеарне функције математикa за VIII разред основне школе 0 Слика 6 8. Нацртај график функције: ) =- ; ) =,5; 3) = 0. 9. Нацртај график функције и испитај њен знак: ) = - ; ) = 0,5 + ; 3) =-- ; ) = + 0,75; 5) = 0,5 +. 0.

Διαβάστε περισσότερα

Први корак у дефинисању случајне променљиве је. дефинисање и исписивање свих могућих eлементарних догађаја.

Први корак у дефинисању случајне променљиве је. дефинисање и исписивање свих могућих eлементарних догађаја. СЛУЧАЈНА ПРОМЕНЉИВА Једнодимензионална случајна променљива X је пресликавање у коме се сваки елементарни догађај из простора елементарних догађаја S пресликава у вредност са бројне праве Први корак у дефинисању

Διαβάστε περισσότερα

ПОВРШИНа ЧЕТВОРОУГЛОВА И ТРОУГЛОВА

ПОВРШИНа ЧЕТВОРОУГЛОВА И ТРОУГЛОВА ПОВРШИНа ЧЕТВОРОУГЛОВА И ТРОУГЛОВА 1. Допуни шта недостаје: а) 5m = dm = cm = mm; б) 6dm = m = cm = mm; в) 7cm = m = dm = mm. ПОЈАМ ПОВРШИНЕ. Допуни шта недостаје: а) 10m = dm = cm = mm ; б) 500dm = a

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 0/06. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

Вектори vs. скалари. Векторске величине се описују интензитетом и правцем. Примери: Померај, брзина, убрзање, сила.

Вектори vs. скалари. Векторске величине се описују интензитетом и правцем. Примери: Померај, брзина, убрзање, сила. Вектори 1 Вектори vs. скалари Векторске величине се описују интензитетом и правцем Примери: Померај, брзина, убрзање, сила. Скаларне величине су комплетно описане само интензитетом Примери: Температура,

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2011/2012. година ТЕСТ 3 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

(од 4. до 155. стране) (од 4. до 73. стране) ДРУГИ, ТРЕЋИ И ЧЕТВРТИ РАЗРЕД - Европа и свет у другој половини 19. и почетком 20.

(од 4. до 155. стране) (од 4. до 73. стране) ДРУГИ, ТРЕЋИ И ЧЕТВРТИ РАЗРЕД - Европа и свет у другој половини 19. и почетком 20. Драгољуб М. Кочић, Историја за први разред средњих стручних школа, Завод за уџбенике Београд, 2007. година * Напомена: Ученици треба да се припремају за из уџбеника обајвљених од 2007 (треће, прерађено

Διαβάστε περισσότερα

7.3. Површина правилне пирамиде. Површина правилне четворостране пирамиде

7.3. Површина правилне пирамиде. Површина правилне четворостране пирамиде математик за VIII разред основне школе 4. Прво наћи дужину апотеме. Како је = 17 cm то је тражена површина P = 18+ 4^cm = ^4+ cm. 14. Основа четворостране пирамиде је ромб чије су дијагонале d 1 = 16 cm,

Διαβάστε περισσότερα

4.4. Паралелне праве, сечица. Углови које оне одређују. Углови са паралелним крацима

4.4. Паралелне праве, сечица. Углови које оне одређују. Углови са паралелним крацима 50. Нацртај било које унакрсне углове. Преношењем утврди однос унакрсних углова. Какво тврђење из тога следи? 51. Нацртај угао чија је мера 60, а затим нацртај њему унакрсни угао. Колика је мера тог угла?

Διαβάστε περισσότερα

8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х 2 + у 2 = z 2

8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х 2 + у 2 = z 2 8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х + у = z Један од најзанимљивијих проблема теорије бројева свакако је проблем Питагориних бројева, тј. питање решења Питагорине Диофантове једначине. Питагориним бројевима или

Διαβάστε περισσότερα

6.1. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре

6.1. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре 0 6.. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре У обичном говору се често каже да су неки предмети симетрични. Примери таквих објеката, предмета, геометријских

Διαβάστε περισσότερα

СРПСКИ СРЕДЊОВЕКОВНИ НОВАЦ У НАРОДНОМ МУЗЕЈУ У НИШУ

СРПСКИ СРЕДЊОВЕКОВНИ НОВАЦ У НАРОДНОМ МУЗЕЈУ У НИШУ Оригинални научни рад Примљено: 8. септембар 2011. Прихваћено: 29. октобар 2011. УДК 069:737.1(497.11)"12/14" ИД 188126220 Весна ЦРНОГЛАВАЦ Народни музеј, СРПСКИ СРЕДЊОВЕКОВНИ НОВАЦ У НАРОДНОМ МУЗЕЈУ У

Διαβάστε περισσότερα

ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА. k, k 0), осна и централна симетрија и сл. 2, x 0. У претходном примеру неке функције су линеарне а неке то нису.

ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА. k, k 0), осна и централна симетрија и сл. 2, x 0. У претходном примеру неке функције су линеарне а неке то нису. ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА 5.. Функција = a + b Функционалне зависности су веома значајне и са њиховим применама често се сусрећемо. Тако, већ су нам познате директна и обрнута пропорционалност ( = k; = k, k ),

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ ОБАВЕЗНО ПРОЧИТАТИ ОПШТА УПУТСТВА 1. Сваки

Διαβάστε περισσότερα

Писмени испит из Теорије површинских носача. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама.

Писмени испит из Теорије површинских носача. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама. Београд, 24. јануар 2012. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама. dpl = 0.2 m P= 30 kn/m Линијско оптерећење се мења по синусном закону: 2. За плочу

Διαβάστε περισσότερα

Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске

Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске слика. У свакој тачки посматране средње површи, у општем случају, постоје два компонентална померања: v - померање у правцу тангенте на меридијалну

Διαβάστε περισσότερα

ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ПРЕГЛЕДАЊЕ

ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ПРЕГЛЕДАЊЕ Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ ЗА УЧЕНИКЕ СА ПОСЕБНИМ СПОСОБНОСТИМА ЗА ИНФОРМАТИКУ

Διαβάστε περισσότερα

L кплп (Калем у кплу прпстпперипдичне струје)

L кплп (Калем у кплу прпстпперипдичне струје) L кплп (Калем у кплу прпстпперипдичне струје) i L u=? За коло са слике кроз калем ппзнате позната простопериодична струја: индуктивности L претпоставићемо да протиче i=i m sin(ωt + ψ). Услед променљиве

Διαβάστε περισσότερα

«ΑΓΡΟΤΟΥΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΤΟΠΙΚΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ: Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΝΕΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΣΤΗΝ ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΤΩΝ ΓΥΝΑΙΚΕΙΩΝ ΣΥΝΕΤΑΙΡΙΣΜΩΝ»

«ΑΓΡΟΤΟΥΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΤΟΠΙΚΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ: Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΝΕΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΣΤΗΝ ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΤΩΝ ΓΥΝΑΙΚΕΙΩΝ ΣΥΝΕΤΑΙΡΙΣΜΩΝ» I ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΝΟΜΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ «ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ» ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ПРЕГЛЕДАЊЕ

ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ПРЕГЛЕДАЊЕ Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ ЗА УЧЕНИКЕ СА ПОСЕБНИМ СПОСОБНОСТИМА ЗА ИНФОРМАТИКУ

Διαβάστε περισσότερα

I Наставни план - ЗЛАТАР

I Наставни план - ЗЛАТАР I Наставни план - ЗЛААР I РАЗРЕД II РАЗРЕД III РАЗРЕД УКУО недељно годишње недељно годишње недељно годишње годишње Σ А1: ОАЕЗНИ ОПШЕОРАЗОНИ ПРЕДМЕИ 2 5 25 5 2 1. Српски језик и књижевност 2 2 4 2 2 1.1

Διαβάστε περισσότερα

Теорија електричних кола

Теорија електричних кола Др Милка Потребић, ванредни професор, Теорија електричних кола, вежбе, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 7. Теорија електричних кола Милка Потребић Др Милка Потребић, ванредни професор,

Διαβάστε περισσότερα

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS CHAPTER 5 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS EXERCISE 104 Page 8 1. Find the positive root of the equation x + 3x 5 = 0, correct to 3 significant figures, using the method of bisection. Let f(x) =

Διαβάστε περισσότερα

Упутство за избор домаћих задатака

Упутство за избор домаћих задатака Упутство за избор домаћих задатака Студент од изабраних задатака области Математике 2: Комбинаторика, Вероватноћа и статистика бира по 20 задатака. Студент може бирати задатке помоћу програмског пакета

Διαβάστε περισσότερα

Тест за 7. разред. Шифра ученика

Тест за 7. разред. Шифра ученика Министарство просвете Републике Србије Српско хемијско друштво Окружно/градско/међуокружно такмичење из хемије 28. март 2009. године Тест за 7. разред Шифра ученика Пажљиво прочитај текстове задатака.

Διαβάστε περισσότερα

6.5 Површина круга и његових делова

6.5 Површина круга и његових делова 7. Тетива је једнака полупречнику круга. Израчунај дужину мањег одговарајућег лука ако је полупречник 2,5 сm. 8. Географска ширина Београда је α = 44 47'57", а полупречник Земље 6 370 km. Израчунај удаљеност

Διαβάστε περισσότερα

Слика 1. Слика 1.2 Слика 1.1

Слика 1. Слика 1.2 Слика 1.1 За случај трожичног вода приказаног на слици одредити: а Вектор магнетне индукције у тачкама А ( и ( б Вектор подужне силе на проводник са струјом Систем се налази у вакууму Познато је: Слика Слика Слика

Διαβάστε περισσότερα

6.3. Паралелограми. Упознајмо још нека својства паралелограма: ABD BCD (УСУ), одакле је: а = c и b = d. Сл. 23

6.3. Паралелограми. Упознајмо још нека својства паралелограма: ABD BCD (УСУ), одакле је: а = c и b = d. Сл. 23 6.3. Паралелограми 27. 1) Нацртај паралелограм чији је један угао 120. 2) Израчунај остале углове тог четвороугла. 28. Дат је паралелограм (сл. 23), при чему је 0 < < 90 ; c и. c 4 2 β Сл. 23 1 3 Упознајмо

Διαβάστε περισσότερα

ИЗВОД ИЗ ИЗВЕШТАЈА О ЦЕНАМА КОМУНАЛНИХ УСЛУГА - УДРУЖЕЊЕ ЗА КОМУНАЛНЕ ДЕЛАТНОСТИ -

ИЗВОД ИЗ ИЗВЕШТАЈА О ЦЕНАМА КОМУНАЛНИХ УСЛУГА - УДРУЖЕЊЕ ЗА КОМУНАЛНЕ ДЕЛАТНОСТИ - ИЗВОД ИЗ ИЗВЕШТАЈА О ЦЕНАМА КОМУНАЛНИХ УСЛУГА - УДРУЖЕЊЕ ЗА КОМУНАЛНЕ ДЕЛАТНОСТИ - ЦЕНЕ ПРОИЗВОДЊЕ И ДИСТРИБУЦИЈЕ ВОДЕ И ЦЕНЕ САКУПЉАЊА, ОДВОђЕЊА И ПРЕЧИШЋАВАЊА ОТПАДНИХ ВОДА НА НИВОУ ГРУПАЦИЈЕ ВОДОВОДА

Διαβάστε περισσότερα

КОНСТАНТИН ВЕЛИКИ У СРПСКОЈ ИСТОРИОГРАФИЈИ XIX ВЕКА

КОНСТАНТИН ВЕЛИКИ У СРПСКОЈ ИСТОРИОГРАФИЈИ XIX ВЕКА UDC 930:929 Konstantin Veliki 18 Светозар Бошков Универзитет у Новом Саду Филозофски факултет Одсек за историју svetozarboskov@hotmail.com Оригиналан научни рад КОНСТАНТИН ВЕЛИКИ У СРПСКОЈ ИСТОРИОГРАФИЈИ

Διαβάστε περισσότερα

10.3. Запремина праве купе

10.3. Запремина праве купе 0. Развијени омотач купе је исечак чији је централни угао 60, а тетива која одговара том углу је t. Изрази површину омотача те купе у функцији од t. 0.. Запремина праве купе. Израчунај запремину ваљка

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΨΥΧΟΛΟΓΙΚΕΣ ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΣΕ ΓΥΝΑΙΚΕΣ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΜΑΣΤΕΚΤΟΜΗ ΓΕΩΡΓΙΑ ΤΡΙΣΟΚΚΑ Λευκωσία 2012 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ТАЧКЕ КОЈЕ ЕКСПЛОДИРАЈУ ПОГЛАВЉЕ 5 ДЕЉЕЊЕ ПОЧИЊЕМО

ТАЧКЕ КОЈЕ ЕКСПЛОДИРАЈУ ПОГЛАВЉЕ 5 ДЕЉЕЊЕ ПОЧИЊЕМО ТАЧКЕ КОЈЕ ЕКСПЛОДИРАЈУ ПОГЛАВЉЕ 5 ДЕЉЕЊЕ Сабирање, одузимање, множење. Сад је ред на дељење. Ево једног задатка с дељењем: израчунајте колико је. Наравно да постоји застрашујући начин да то урадите: Нацртајте

Διαβάστε περισσότερα

2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван

2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван 2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван Човек је за своје потребе градио куће, школе, путеве и др. Слика 1. Слика 2. Основа тих зграда је често правоугаоник или сложенија фигура (слика 3). Слика 3.

Διαβάστε περισσότερα

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x,

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x, РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x, Већи број: 1 : 4x + 1, (4 бода) Њихов збир: 1 : 5x + 1, Збир умањен за остатак: : 5x = 55, 55 : 5 = 11; 11 4 = ; + 1 = 45; : x = 11. Дакле, први број је 45

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 017/018. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

8.2 ЛАБОРАТОРИЈСКА ВЕЖБА 2 Задатак вежбе: Израчунавање фактора појачања мотора напонским управљањем у отвореној повратној спрези

8.2 ЛАБОРАТОРИЈСКА ВЕЖБА 2 Задатак вежбе: Израчунавање фактора појачања мотора напонским управљањем у отвореној повратној спрези Регулциј електромоторних погон 8 ЛАБОРАТОРИЈСКА ВЕЖБА Здтк вежбе: Изрчунвње фктор појчњ мотор нпонским упрвљњем у отвореној повртној спрези Увод Преносн функциј мотор којим се нпонски упрвљ Кд се з нулте

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Μάρκετινγκ Αθλητικών Τουριστικών Προορισμών 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Μάρκετινγκ Αθλητικών Τουριστικών Προορισμών 1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «Σχεδιασμός, Διοίκηση και Πολιτική του Τουρισμού» ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ ΑΘΛΗΤΙΚΩΝ ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Хомогена диференцијална једначина је она која може да се напише у облику: = t( x)

Хомогена диференцијална једначина је она која може да се напише у облику: = t( x) ДИФЕРЕНЦИЈАЛНЕ ЈЕДНАЧИНЕ Штa треба знати пре почетка решавања задатака? Врсте диференцијалних једначина. ДИФЕРЕНЦИЈАЛНА ЈЕДНАЧИНА КОЈА РАЗДВАЈА ПРОМЕНЉИВЕ Код ове методе поступак је следећи: раздвојити

Διαβάστε περισσότερα

Михаило М. Бошковић, професор НОВO У МАТЕМАТИЦИ

Михаило М. Бошковић, професор НОВO У МАТЕМАТИЦИ Мајци Душанки Михаило М. Бошковић, професор НОВO У МАТЕМАТИЦИ подела угла на три једнака дела подела угла на n једнаких делова конструкција сваког правилног многоугла уз помоћ једног шестара и једног лењира

Διαβάστε περισσότερα

Динамика. Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе:

Динамика. Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе: Њутнови закони 1 Динамика Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе: када су објекти довољно велики (>димензија атома) када се крећу брзином много мањом

Διαβάστε περισσότερα

ЗАШТИТА ПОДАТАКА. Шифровање јавним кључем и хеш функције. Diffie-Hellman размена кључева

ЗАШТИТА ПОДАТАКА. Шифровање јавним кључем и хеш функције. Diffie-Hellman размена кључева ЗАШТИТА ПОДАТАКА Шифровање јавним кључем и хеш функције Diffie-Hellman размена кључева Преглед Биће објашњено: Diffie-Hellman размена кључева 2 Diffie-Hellman размена кључева први алгоритам са јавним кључем

Διαβάστε περισσότερα

C кплп (Кпндензатпр у кплу прпстпперипдичне струје)

C кплп (Кпндензатпр у кплу прпстпперипдичне струје) C кплп (Кпндензатпр у кплу прпстпперипдичне струје) i u За кплп са слике на крајевима кпндензатпра ппзнате капацитивнпсти C претппставићемп да делује ппзнат прпстпперипдичан наппн: u=u m sin(ωt + ϴ). Услед

Διαβάστε περισσότερα

Језик и стил Јована Мосха и Apophthegmata patrum

Језик и стил Јована Мосха и Apophthegmata patrum УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ ФИЛОЗОФСКИ ФАКУЛТЕТ Ил Акад Језик и стил Јована Мосха и Apophthegmata patrum докторска дисертација Београд, 2016. UNIVERSITY OF BELGRADE FACULTY OF PHILOSOPHY Il Akkad The Language

Διαβάστε περισσότερα

Section 8.3 Trigonometric Equations

Section 8.3 Trigonometric Equations 99 Section 8. Trigonometric Equations Objective 1: Solve Equations Involving One Trigonometric Function. In this section and the next, we will exple how to solving equations involving trigonometric functions.

Διαβάστε περισσότερα

4. Троугао. (II део) 4.1. Појам подударности. Основна правила подударности троуглова

4. Троугао. (II део) 4.1. Појам подударности. Основна правила подударности троуглова 4 Троугао (II део) Хилберт Давид, немачки математичар и логичар Велики углед у свету Хилберту је донело дело Основи геометрије (1899), у коме излаже еуклидску геометрију на аксиоматски начин Хилберт Давид

Διαβάστε περισσότερα

ТАНГЕНТА. *Кружница дели раван на две области, једну, спољашњу која је неограничена и унутрашњу која је ограничена(кружницом).

ТАНГЕНТА. *Кружница дели раван на две области, једну, спољашњу која је неограничена и унутрашњу која је ограничена(кружницом). СЕЧИЦА(СЕКАНТА) ЦЕНТАР ПОЛУПРЕЧНИК ТАНГЕНТА *КРУЖНИЦА ЈЕ затворена крива линија која има особину да су све њене тачке једнако удаљене од једне сталне тачке која се зове ЦЕНТАР КРУЖНИЦЕ. *Дуж(OA=r) која

Διαβάστε περισσότερα

Решења задатака са првог колоквиjума из Математике 1Б II група задатака

Решења задатака са првог колоквиjума из Математике 1Б II група задатака Решења задатака са првог колоквиjума из Математике Б II група задатака Пре самих решења, само да напоменем да су решења детаљно исписана у нади да ће помоћи студентима у даљоj припреми испита, као и да

Διαβάστε περισσότερα

ЗАВРШНИ РАД КЛИНИЧКА МЕДИЦИНА 5. школска 2016/2017. ШЕСТА ГОДИНА СТУДИЈА

ЗАВРШНИ РАД КЛИНИЧКА МЕДИЦИНА 5. школска 2016/2017. ШЕСТА ГОДИНА СТУДИЈА ЗАВРШНИ РАД КЛИНИЧКА МЕДИЦИНА 5 ШЕСТА ГОДИНА СТУДИЈА школска 2016/2017. Предмет: ЗАВРШНИ РАД Предмет се вреднује са 6 ЕСПБ. НАСТАВНИЦИ И САРАДНИЦИ: РБ Име и презиме Email адреса звање 1. Јасмина Кнежевић

Διαβάστε περισσότερα

ТЕЗИ ОПШТА В Ш Т 1 - Е М Ј Е Д Н А Ч И Н «Л Р В О Г А Р Ш ФИЛ030ФСК0Г ФАКУЛТЕТА УНИВЕРЗИТЕТА У A Ù y'..' Х СИМЕ М. МАРКОВИЋА ПРИМЉЕНА ЗА

ТЕЗИ ОПШТА В Ш Т 1 - Е М Ј Е Д Н А Ч И Н «Л Р В О Г А Р Ш ФИЛ030ФСК0Г ФАКУЛТЕТА УНИВЕРЗИТЕТА У A Ù y'..' Х СИМЕ М. МАРКОВИЋА ПРИМЉЕНА ЗА ОПШТА В Ш Т 1 - Е М Ј Е Д Н А Ч И Н «Л Р В О Г А Р Ш ТЕЗИ СИМЕ М. МАРКОВИЋА ПРИМЉЕНА ЗА Д О КТО РСКИ и с п и т НА СЕДНИЦИ ФИЛ030ФСК0Г ФАКУЛТЕТА УНИВЕРЗИТЕТА У БЕОГРАДУ ОД 5. ЈУНА 1913. ГОД. ПРЕМА РЕфЕРАТУ

Διαβάστε περισσότερα

ОДЛУКУ. I Народна скупштина Републике Српске усваја Измјене и допуне Развојног програма Републике Српске, година.

ОДЛУКУ. I Народна скупштина Републике Српске усваја Измјене и допуне Развојног програма Републике Српске, година. 1102 На основу члана 70. став 1. тачка 2. Устава Републике Српске, члана 183. и члана 187. ст. 1. и 2. Пословника Народне скупштине Републике Српске - Пречишћени текст ( Службени гласник Републике Српске,

Διαβάστε περισσότερα

Molecular evolutionary dynamics of respiratory syncytial virus group A in

Molecular evolutionary dynamics of respiratory syncytial virus group A in Molecular evolutionary dynamics of respiratory syncytial virus group A in recurrent epidemics in coastal Kenya James R. Otieno 1#, Charles N. Agoti 1, 2, Caroline W. Gitahi 1, Ann Bett 1, Mwanajuma Ngama

Διαβάστε περισσότερα

Семинарски рад из линеарне алгебре

Семинарски рад из линеарне алгебре Универзитет у Београду Машински факултет Докторске студије Милош Живановић дипл. инж. Семинарски рад из линеарне алгебре Београд, 6 Линеарна алгебра семинарски рад Дата је матрица: Задатак: a) Одредити

Διαβάστε περισσότερα

Марина Одак Михаиловић

Марина Одак Михаиловић Ni{ i Vizantija XII 259 Марина Одак Михаиловић ПРЕДСТАВЕ СВЕТОГА ЦАРА КОНСТАНТИНА НА НОВЦУ ВИЗАНТИЈЕ ИВИЗАНТИЈСКОГ СВЕТА Константин Велики је током читавог средњег века важио као прототип идеалног хришћанског

Διαβάστε περισσότερα

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА Београд, 21.06.2014. За штап приказан на слици одредити најмању вредност критичног оптерећења P cr користећи приближан поступак линеаризоване теорије другог реда и: а) и један елемент, слика 1, б) два

Διαβάστε περισσότερα

МАСТЕР РАД УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ. Тема: ГОРЊА И ДОЊА ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ НИЗА И НИЗА СКУПОВА И ЊИХОВЕ ПРИМЕНЕ У РЕЛНОЈ АНАЛИЗИ

МАСТЕР РАД УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ. Тема: ГОРЊА И ДОЊА ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ НИЗА И НИЗА СКУПОВА И ЊИХОВЕ ПРИМЕНЕ У РЕЛНОЈ АНАЛИЗИ УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ МАСТЕР РАД Тема: ГОРЊА И ДОЊА ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ НИЗА И НИЗА СКУПОВА И ЊИХОВЕ ПРИМЕНЕ У РЕЛНОЈ АНАЛИЗИ МЕНТОР: КАНДИДАТ: Проф. др Драгољуб Кечкић Милинко Миловић

Διαβάστε περισσότερα

ТРЕЋЕ ОТВОРЕНО ПРВЕНСТВО СРБИЈЕ У РЕШАВАЊУ ОПТИМИЗАТОРА 29. НОВЕМБАР ДЕЦЕМБАР ГОДИНЕ

ТРЕЋЕ ОТВОРЕНО ПРВЕНСТВО СРБИЈЕ У РЕШАВАЊУ ОПТИМИЗАТОРА 29. НОВЕМБАР ДЕЦЕМБАР ГОДИНЕ ТРЕЋЕ ОТВОРЕНО ПРВЕНСТВО СРБИЈЕ У РЕШАВАЊУ ОПТИМИЗАТОРА 29. НОВЕМБАР - 12. ДЕЦЕМБАР 2010. ГОДИНЕ http://puzzleserbia.com/ ДРУГА НЕДЕЉА (6.12. - 12.12.) 7. СУДОКУ АЈНЦ 8. ПЕНТОМИНО УКРШТЕНИЦА 9. ШАХОВСКЕ

Διαβάστε περισσότερα

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ предмет: ОСНОВИ МЕХАНИКЕ студијски програм: ЗАШТИТА ЖИВОТНЕ СРЕДИНЕ И ПРОСТОРНО ПЛАНИРАЊЕ ПРЕДАВАЊЕ БРОЈ 2. Садржај предавања: Систем сучељних сила у равни

Διαβάστε περισσότερα

САДРЖАЈ ЗАДАТАК 1...

САДРЖАЈ ЗАДАТАК 1... Лист/листова: 1/1 САДРЖАЈ ЗАДАТАК 1... 1.1.1. Математички доказ закона кретања мобилног робота 1.1.2. Кретање робота по трајекторији... Транслаторно кретање... Кретање по трајекторији ромбоидног облика...

Διαβάστε περισσότερα

Закони термодинамике

Закони термодинамике Закони термодинамике Први закон термодинамике Први закон термодинамике каже да додавање енергије систему може бити утрошено на: Вршење рада Повећање унутрашње енергије Први закон термодинамике је заправо

Διαβάστε περισσότερα