Staatika ja kinemaatika
|
|
|
- Κίμων Ελευθερόπουλος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Staatika ja kinemaatika MHD0071 I. Staatika Leo eder Mehhatroonikainstituut Mehaanikateaduskond allinna ehnikaülikool 2016
2 Sisukord I Staatika 1. Sissejuhatus. 2. Newtoni seadused. 3. Jõud. 4. ehted vektoritega. 5. Staatika aksioomid. 6. Sidemed. Sidemete reaktsioonid. 7. Jõu projektsioon. 8. Jõuvektorite analüütiline liitmine. 9. Koonduv jõusüsteem. 10. Jõu moment punkti suhtes. Jõu moment telje suhtes. Jõupaar. 11. Jõusüsteemi tasakaal. asakaalu tingimused. 12. Hõõrdejõud. Veeretakistus. 13. Ruumiline jõusüsteem. 1
3 Kirjandus 1. Kalju Kenk, Jüri Kirs. Mehaanika alused. Staatika. Kinemaatika. allinn Kalju Kenk, Jüri Kirs. Mehaanika alused. Dünaamika. nalüütiline mehaanika. allinn Lepik Ü., Roots L. eoreetiline mehaanika. allinn Valgus Endel opnik. eoreetiline mehaanika I. Staatika ja kinemaatika. allinn Endel opnik. Insenerimehaanika ülesannetest. I, II. allinn
4 Kirjandus (jätkub) 6. Endel opnik. Insenerimehaanika harjutusülesanded. allinn Endel opnik. Insenerimehaanika põhivara. allinn Jüri Kirs. EOREEILINE MEHNIK I. Loenguid ja harjutusi staatikast. allinn ( 9. Jüri Kirs. Insenerimehaanika II. Loenguid ja harjutusi kinemaatikast. allinn 2008 ( 10. aivo Liiva. eoreetiline mehaanika I. Staatika. allinn
5 1. Sissejuhatus. 4
6 Mehaanika on õpetus kehade mehaanikalisest liikumisest. eoreetiline mehaanika on mehaanika osa mis uurib jäikade kehade paigalseisu ja liikumise tingimusi neile rakendatud jõudude mõjul. bsoluutselt jäik keha on selline keha mille punktide vahelised kaugused jäävad alati muutumatuks. S.t. absoluutselt jäik keha ei deformeeru. Punktmass on materiaalne keha mille mõõtmeid tema paigalseisu või liikumise uurimisel ei pea arvestama. 5
7 eoreetiline mehaanika Staatika Kinemaatika Dünaamika nalüütiline mehaanika Staatika Staatika on mehaanika osa, milles uuritakse jõudude mõju all olevate absoluutselt jäikade materiaalsete kehade tasakaalu tingimusi. Põhisuurused: mass, jõud, pikkus, aeg. 6
8 2. Newtoni seadused. 7
9 Esimene seadus e. Inertsi seadus Punktmass millele ei mõju tasakaalustamata jõude, säilitab oma paigalseisu või ühtlase sirgjoonelise liikumise seni, kuni talle rakendatud tasakaalustamata jõud ei sunni teda seda olekut muutma. eine seadus e. Dünaamika põhiseadus Punktmassi kiirendus on võrdeline talle rakendatud jõuga ja on jõu suunaline. ma Kolmas seadus e. Mõju ja vastumõju seadus Kaks masspunkti mõjuvad teineteisele jõududega, mis on moodulilt võrdsed ja suunalt vastupidised ning mis mõjuvad mööda sama mõjusirget. 8
10 Newtoni gravitatsiooni seadus Kaks punktmassi massidega M ja m tõmbavad teineteist võrdvastupidiste jõududega mille suurus on arvutatav valemiga: Mm G r 2 kus: r kahe punktmassi tsentrite vaheline kaugus, G gravitatsiooni konstant. Maa pinnal olevale kehale mõjub maa külgetõmbe jõud mille saab arvutada eelnevat valemit teisendades järgmiselt: kus: g raskuskiirendus 9,81 m/s 2, valem g=gm/r 2 ; R Maa raadius, W raskusjõud e. raskus. W mg 9
11 3. Jõud. 10
12 P Jõud on vektoriaalne suurus mis väljendab ühe keha mõju teisele. Jõudu iseloomustab kolm suurust: rakenduspunkt suund moodul (arvväärtus) ' Jõu ühik: njuuton [N] Sirge mida mööda jõud mõjub on jõu mõjusirge. Jõud on nn libisev vektor, s.t. teda võib mööda tema mõjusirget nihutada mõnda teise punkti. 11
13 P Jõud on vektoriaalne suurus mis väljendab ühe keha mõju teisele. Jõudu iseloomustab kolm suurust: rakenduspunkt suund moodul (arvväärtus) ' Jõu ühik: njuuton [N] Sirge mida mööda jõud mõjub on jõu mõjusirge. Jõud on nn libisev vektor, s.t. teda võib mööda tema mõjusirget nihutada mõnda teise punkti. 11
14 P Jõud on vektoriaalne suurus mis väljendab ühe keha mõju teisele. Jõudu iseloomustab kolm suurust: rakenduspunkt suund moodul (arvväärtus) ' Jõu ühik: njuuton [N] Sirge mida mööda jõud mõjub on jõu mõjusirge. Jõud on nn libisev vektor, s.t. teda võib mööda tema mõjusirget nihutada mõnda teise punkti. 11
15 P Jõud on vektoriaalne suurus mis väljendab ühe keha mõju teisele. Jõudu iseloomustab kolm suurust: rakenduspunkt suund suurus (moodul, arvväärtus) ' Jõu ühik: njuuton [N] Sirge mida mööda jõud mõjub on jõu mõjusirge. Jõud on nn libisev vektor, s.t. teda võib mööda tema mõjusirget nihutada mõnda teise punkti. 11
16 P Jõud on vektoriaalne suurus mis väljendab ühe keha mõju teisele. Jõudu iseloomustab kolm suurust: rakenduspunkt suund suurus (moodul, arvväärtus) ' Jõu ühik: njuuton [N] Sirge mida mööda jõud mõjub on jõu mõjusirge. Jõud on nn libisev vektor, s.t. teda võib mööda tema mõjusirget nihutada mõnda teise punkti. 11
17 P Jõud on vektoriaalne suurus mis väljendab ühe keha mõju teisele. Jõudu iseloomustab kolm suurust: rakenduspunkt suund suurus (moodul, arvväärtus) ' Jõu ühik: njuuton [N] Sirge mida mööda jõud mõjub on jõu mõjusirge. Jõud on nn libisev vektor, s.t. teda võib mööda tema mõjusirget nihutada mõnda teise punkti. 11
18 P Jõud on vektoriaalne suurus mis väljendab ühe keha mõju teisele. Jõudu iseloomustab kolm suurust: rakenduspunkt suund suurus (moodul, arvväärtus) ' Jõu ühik: njuuton [N] Sirge mida mööda jõud mõjub on jõu mõjusirge. Jõud on nn libisev vektor, s.t. teda võib mööda tema mõjusirget nihutada mõnda teise punkti. 11
19 Jõudu tohib nihutada ainult absoluutselt jäiga keha korral. Deformeeruva keha puhul ei tohi jõudu nihutada mööda oma mõjusirget! bsoluutselt jäik keha Deformeeruv keha
20 Jõudu tohib nihutada ainult absoluutselt jäiga keha korral. Deformeeruva keha puhul ei tohi jõudu nihutada mööda oma mõjusirget! bsoluutselt jäik keha Deformeeruv keha
21 Jõudu tohib nihutada ainult absoluutselt jäiga keha korral. Deformeeruva keha puhul ei tohi jõudu nihutada mööda oma mõjusirget! bsoluutselt jäik keha Deformeeruv keha
22 Jõudu tohib nihutada ainult absoluutselt jäiga keha korral. Deformeeruva keha puhul ei tohi jõudu nihutada mööda oma mõjusirget! bsoluutselt jäik keha Deformeeruv keha
23 Välisjõududeks nimetatakse jõude millega vaadeldavale kehale mõjuvad teised kehad. Sisejõududeks nimetatakse jõude millega antud keha osad mõjutavad üksteist. Jaotatud jõududeks nim. jõude mis mõjuvad pinnaosa kõikidele punktidele. Koondatud jõududeks nim. jõude mis mõjuvad ühes punktis. jaotatud jõud q koondatud jõud Jõusüsteemiks nimetatakse kehale või kehade süsteemile mõjuvat jõudude kogumit. asakaalus olevaks jõusüsteemiks nimetatakse jõusüsteemi, mis rakendatuna paigalseisvale kehale ei kutsu esile muutust selle keha liikumises. Ekvivalentseks jõusüsteemiks nimetatakse jõusüsteemi, millega saab asendada kehale mõjuva algse jõusüsteemi ilma, et keha tasakaal sellest muutuks. 13
24 Jõu pöörav toime e. moment Jõud saab pöörata keha ümber punkti tasapinnal. Jõu mõjusirge kaugus h pööramispunktist on jõu õlg. M ( ) h h Momendi mõiste defineerime hiljem täpsemalt. Momendi ühik: njuuton*meeter [Nm] 14
25 Jõu pöörav toime e. moment Jõud saab pöörata keha ümber punkti tasapinnal. Jõu mõjusirge kaugus h pööramispunktist on jõu õlg. M ( ) h M h Momendi mõiste defineerime hiljem täpsemalt. Momendi ühik: njuuton*meeter [Nm] 14
26 4. ehted vektoritega. 15
27 Jõudude geomeetriline liitmine Rööpküliku reegel Q S S + Q = 16
28 Jõudude geomeetriline liitmine Rööpküliku reegel Q S S + Q = 16
29 Jõudude geomeetriline liitmine Rööpküliku reegel Q S S + Q = 16
30 Jõudude geomeetriline liitmine Rööpküliku reegel Q S S + Q = 16
31 Jõudude geomeetriline liitmine Rööpküliku reegel Kolmnurga reegel S Q Q S S + Q = = Q + S = S + Q 16
32 Jõudude geomeetriline liitmine Rööpküliku reegel Kolmnurga reegel S Q Q Q S S + Q = S = Q + S = S + Q 16
33 Jõudude jaotamine ja lahutamine Jõu jaotamine komponentideks Jõuvektorite lahutamine 17
34 Jõudude jaotamine ja lahutamine Jõu jaotamine komponentideks Jõuvektorite lahutamine 17
35 Jõudude jaotamine ja lahutamine Jõu jaotamine komponentideks Jõuvektorite lahutamine 17
36 Jõudude jaotamine ja lahutamine Jõu jaotamine komponentideks Jõuvektorite lahutamine 17
37 Jõudude jaotamine ja lahutamine Jõu jaotamine komponentideks Jõuvektorite lahutamine 17
38 Jõudude jaotamine ja lahutamine Jõu jaotamine komponentideks Jõuvektorite lahutamine S Q 17
39 Jõudude jaotamine ja lahutamine Jõu jaotamine komponentideks Jõuvektorite lahutamine S Q -S 17
40 Jõudude jaotamine ja lahutamine Jõu jaotamine komponentideks -S Jõuvektorite lahutamine S Q Q-S Q -S Q-S=Q+(-S) 17
41 Vektorkorrutis z P θ Q S Kahe vektori S ja Q vektorkorrutis annab tulemuseks kolmanda vektori P, mille suund on risti tasapinnaga millel asetsevad S ja Q ning mille suund on määratav parema käe kruvi reegli järgi. P SQ Moodul kus P SQsin
42 Skalaarkorrutis S Q Kahe vektori S ja Q skalaarkorrutis annab tulemuseks skalaarse suuruse, mida leitakse valemiga: SQ SQcos kus
43 5. Staatika aksioomid. 20
44 1. aksioom. asakaalu aksioom. Kaks absoluutselt jäigale kehale rakendatud jõudu on tasakaalus siis ja ainult siis, kui nad on võrdvastupidised ja mõjuvad piki sama sirget. 2. aksioom. Superpositsiooni aksioom. asakaalus olevate jõudude lisamine või ärajätmine ei mõjuta jäiga keha tasakaalu või liikumist. ' 3. aksioom. Jõurööpküliku aksioom. Keha ühes punktis rakendatud kahel jõul on resultant, mis rakendub samas punktis ja mida kujutab antud jõududele ehitatud rööpküliku diagonaal. 21
45 4. aksioom. Mõju ja vastumõju aksioom. Ühe keha mõjumisel teisele esineb alati võrdvastupidine vastumõju piki sama sirget. ' 5. aksioom. Jäiga keha aksioom. Deformeeruva keha tasakaal antud jõusüsteemi mõjul ei muutu, kui keha lugeda deformeerunud olekus absoluutselt jäigaks. 6. aksioom. Sidemete aksioom. Iga seotud keha võib vaadata vaba kehana, kui jätta ära kõik sidemed ja asendada nende mõju ekvivalentselt sidemete reaktsioonijõududega. 22
46 5. Sidemed. Sidemete reaktsioonid. 23
47 Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Pinna reaktsioon. N 24
48 Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Pinna reaktsioon. N N 24
49 Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Pinna reaktsioon. N N N 24
50 Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Pinna reaktsioon. Silinder liigend. N N N 24
51 Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Pinna reaktsioon. Silinder liigend. N N N 24
52 Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Pinna reaktsioon. N N N Silinder liigend. 24
53 Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Pinna reaktsioon. Silinder liigend. N N N Y X 24
54 Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Pinna reaktsioon. Silinder liigend. N N N Y X 24
55 Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Pinna reaktsioon. Silinder liigend. N N N Y X Lihtne tugi (punkt). 24
56 Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Pinna reaktsioon. Silinder liigend. N N N Y X Lihtne tugi (punkt). N 24
57 Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Pinna reaktsioon. Silinder liigend. N N N Y X Lihtne tugi (punkt). ross (elastne tugi). N nöör, tross 24
58 Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Pinna reaktsioon. Silinder liigend. N N N Y X Lihtne tugi (punkt). ross (elastne tugi). N nöör, tross 24
59 Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Y X Müüritud varras. 25
60 Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Y X Y Müüritud varras. X 25
61 Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Y X Y Müüritud varras. M X 25
62 Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Liugur. n Y X Y Müüritud varras. M X 25
63 Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Liugur. n Y X Y Müüritud varras. M X 25
64 Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Liugur. n Y X Y Müüritud varras. M X 25
65 Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Liugur. n Y X Y Müüritud varras. M X 25
66 Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Liugur. n Y X Müüritud varras. M Y X N Rullikutel tugi. 25
67 Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Liugur. n Y X Müüritud varras. M Y X N Rullikutel tugi. N 25
68 Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Kerge varras. n 26
69 Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Kerge varras. n Kas saab olla tasakaalus? 26
70 Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Kerge varras. n Kas saab olla tasakaalus? Ei sest kui keha on tasakaalus ainult 2 jõu mõjul peavad need olema võrdsed ja vastupidised! 26
71 Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Kerge varras. n S S' 26
72 Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Kerge varras. n S S' n 26
73 Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Kerge varras. n S S' n 26
74 Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Kerge varras. n S S' n S S' 26
75 Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Kerge varras. 2 rullikute paari. n S S' n S S' 26
76 Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Kerge varras. 2 rullikute paari. n n S S' n S S' 26
77 Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Kerge varras. 2 rullikute paari. n n S S' n S S' 26
78 Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Kerge varras. n S 2 rullikute paari. N n S' n S S' 26
79 Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Kerge varras. n S 2 rullikute paari. N N 1 n S' n S S' 26
80 Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Kerge varras. n S 2 rullikute paari. N N 1 n S' n S S' 26
81 Näide 1 reaktsioonijõudude märkimise kohta. N 27
82 Näide 1 reaktsioonijõudude märkimise kohta. N 1. Millise keha tasakaalu uurime? 27
83 Näide 1 reaktsioonijõudude märkimise kohta. N 1. Millise keha tasakaalu uurime? 2. Märgime jõud joonisele nii nagu nad mõjuvad just sellele kehale. 27
84 Näide 1 reaktsioonijõudude märkimise kohta. 1. Millise keha tasakaalu uurime? 2. Märgime jõud joonisele nii nagu nad mõjuvad just sellele kehale. G 27
85 Näide 1 reaktsioonijõudude märkimise kohta. Y 1. Millise keha tasakaalu uurime? 2. Märgime jõud joonisele nii nagu nad mõjuvad just sellele kehale. X G 27
86 Näide 1 reaktsioonijõudude märkimise kohta. Y N 1. Millise keha tasakaalu uurime? 2. Märgime jõud joonisele nii nagu nad mõjuvad just sellele kehale. X G 27
87 Näide 2 reaktsioonijõudude märkimise kohta Leida kehadele 1,2,4 ja 5 mõjuvad jõud Leida kehadele 1,2,4 ja 5 mõjuvad jõud. Kehad 2 ja 5 on kerged. 28
88 Näide 2 reaktsioonijõudude märkimise kohta Leida kehadele 1,2,4 ja 5 mõjuvad jõud. Leida kehadele 1,2,4 ja 5 mõjuvad jõud. Kehad 2 ja 5 on kerged. 28
89 Näide 2 reaktsioonijõudude märkimise kohta G 5 Leida kehadele 1,2,4 ja 5 mõjuvad jõud. Leida kehadele 1,2,4 ja 5 mõjuvad jõud. Kehad 2 ja 5 on kerged. 28
90 Näide 2 reaktsioonijõudude märkimise kohta G 5 Leida kehadele 1,2,4 ja 5 mõjuvad jõud. Leida kehadele 1,2,4 ja 5 mõjuvad jõud. Kehad 2 ja 5 on kerged. 28
91 Näide 2 reaktsioonijõudude märkimise kohta =G G 5 Leida kehadele 1,2,4 ja 5 mõjuvad jõud. Leida kehadele 1,2,4 ja 5 mõjuvad jõud. Kehad 2 ja 5 on kerged. 28
92 Näide 2 reaktsioonijõudude märkimise kohta =G G 5 Leida kehadele 1,2,4 ja 5 mõjuvad jõud. Leida kehadele 1,2,4 ja 5 mõjuvad jõud. Kehad 2 ja 5 on kerged. ' 28
93 Näide 2 reaktsioonijõudude märkimise kohta =G G 5 2 Leida kehadele 1,2,4 ja 5 mõjuvad jõud. Leida kehadele 1,2,4 ja 5 mõjuvad jõud. Kehad 2 ja 5 on kerged. ' 28
94 Näide 2 reaktsioonijõudude märkimise kohta =G G 5 2 ' 2 Leida kehadele 1,2,4 ja 5 mõjuvad jõud. Leida kehadele 1,2,4 ja 5 mõjuvad jõud. Kehad 2 ja 5 on kerged. ' 28
95 Näide 2 reaktsioonijõudude märkimise kohta =G '' G 5 2 ' 2 Leida kehadele 1,2,4 ja 5 mõjuvad jõud. Leida kehadele 1,2,4 ja 5 mõjuvad jõud. Kehad 2 ja 5 on kerged. ' 28
96 Näide 2 reaktsioonijõudude märkimise kohta =G '' G 2 G 2 ' 2 5 Leida kehadele 1,2,4 ja 5 mõjuvad jõud. Leida kehadele 1,2,4 ja 5 mõjuvad jõud. Kehad 2 ja 5 on kerged. ' 28
97 Näide 2 reaktsioonijõudude märkimise kohta =G '' G 2 G S 2 ' 2 5 Leida kehadele 1,2,4 ja 5 mõjuvad jõud. Leida kehadele 1,2,4 ja 5 mõjuvad jõud. Kehad 2 ja 5 on kerged. ' 28
98 Näide 2 reaktsioonijõudude märkimise kohta =G '' G 2 G S 2 ' 2 5 X Leida kehadele 1,2,4 ja 5 mõjuvad jõud. Leida kehadele 1,2,4 ja 5 mõjuvad jõud. Kehad 2 ja 5 on kerged. ' Y 28
99 Näide 2 reaktsioonijõudude märkimise kohta =G '' 2 4 S' 1 5 G 2 G S 2 ' 2 5 S'' X Leida kehadele 1,2,4 ja 5 mõjuvad jõud. Leida kehadele 1,2,4 ja 5 mõjuvad jõud. Kehad 2 ja 5 on kerged. ' Y 28
100 7. Jõu projektsioon. 29
101 Jõu projektsioon teljele. P Q 30
102 Jõu projektsioon teljele. P Q 30
103 Jõu projektsioon teljele. P Q 30
104 Jõu projektsioon teljele. P Q 30
105 Jõu projektsioon teljele. P Q 30
106 Jõu projektsioon teljele. P Q 30
107 Jõu projektsioon teljele. P Q >0 P <0 30
108 Jõu projektsioon teljele. >0 P >0 P Q >0 P <0 30
109 Jõu projektsioon teljele. >0 β P >0 φ P Q >0 P <0 30
110 Jõu projektsioon teljele. >0 β P >0 φ P Q >0 P <0 cos P Pcos 0 Q sin P Psin Q Q 30
111 Jõu projektsioon teljele. >0 β P >0 φ P Q >0 P <0 cos P Pcos 0 Q sin P Psin Q Q 30
112 Jõu projektsioon teljele. >0 β P >0 φ P Q >0 P <0 cos P Pcos 0 Q sin P Psin Q Q 30
113 Jõu projektsioon teljele. >0 β P >0 φ P Q >0 P <0 cos P Pcos 0 Q sin P Psin Q Q 30
114 Jõu projektsioon teljele. >0 β P >0 φ P Q >0 P <0 cos P Pcos 0 Q sin P Psin Q Q 30
115 Jõu projektsioon teljele. >0 β P >0 φ P Q >0 P <0 cos P Pcos 0 Q sin P Psin Q Q 30
116 8. Jõuvektorite analüütiline liitmine. 31
117 P S Q Vektorkujul liitmine : S Q P S sin Q sin P sin S cos Q cos P cos nalüütiline liitmine : Jõu moodul: 2 2 Nurk -telje suhtes: arctan 32
118 P S Q Vektorkujul liitmine : S Q P S sin Q sin P sin S cos Q cos P cos nalüütiline liitmine : Jõu moodul: 2 2 Nurk -telje suhtes: arctan 32
119 P S Q Vektorkujul liitmine : S Q P S sin Q sin P sin S cos Q cos P cos nalüütiline liitmine : Jõu moodul: 2 2 Nurk -telje suhtes: arctan 32
120 P S Q Vektorkujul liitmine : S Q P S sin Q sin P sin S cos Q cos P cos nalüütiline liitmine : Jõu moodul: 2 2 Nurk -telje suhtes: arctan 32
121 P S Q Vektorkujul liitmine : S Q P S sin Q sin P sin S cos Q cos P cos nalüütiline liitmine : Jõu moodul: 2 2 Nurk -telje suhtes: arctan 32
122 P Q Vektorkujul liitmine : S S Q P S sin Q sin P sin S cos Q cos P cos nalüütiline liitmine : Jõu moodul: 2 2 Nurk -telje suhtes: arctan 32
123 P Q S Vektorkujul liitmine : S Q P S sin Q sin P sin S cos Q cos P cos nalüütiline liitmine : Jõu moodul: 2 2 Nurk -telje suhtes: arctan 32
124 P Q S Vektorkujul liitmine : S Q P S sin Q sin P sin S cos Q cos P cos nalüütiline liitmine : Jõu moodul: 2 2 Nurk -telje suhtes: arctan 32
125 P Q S Vektorkujul liitmine : S Q P S sin Q sin P sin S cos Q cos P cos nalüütiline liitmine : Jõu moodul: 2 2 Nurk -telje suhtes: arctan 32
126 P Q S Vektorkujul liitmine : S Q P S sin Q sin P sin S cos Q cos P cos nalüütiline liitmine : Jõu moodul: 2 2 Nurk -telje suhtes: arctan 32
127 P Q S Vektorkujul liitmine : S Q P S sin Q sin P sin S cos Q cos P cos nalüütiline liitmine : Jõu moodul: 2 2 Nurk -telje suhtes: arctan 32
128 9. Koonduv jõusüsteem. 33
129 Koonduvaks jõusüsteemiks nimetatakse sellist jõusüsteemi, mille jõudude mõjusirged lõikuvad ühes ja samas punktis. 34
130 Koonduvaks jõusüsteemiks nimetatakse sellist jõusüsteemi, mille jõudude mõjusirged lõikuvad ühes ja samas punktis. Võime nihutada kõik jõud sellesse punkti. 34
131 Koonduvaks jõusüsteemiks nimetatakse sellist jõusüsteemi, mille jõudude mõjusirged lõikuvad ühes ja samas punktis. Võime nihutada kõik jõud sellesse punkti. Liidame jõud kahekaupa kokku kasutades rööpküliku reeglit. 34
132 Koonduvaks jõusüsteemiks nimetatakse sellist jõusüsteemi, mille jõudude mõjusirged lõikuvad ühes ja samas punktis. Võime nihutada kõik jõud sellesse punkti. Liidame jõud kahekaupa kokku kasutades rööpküliku reeglit. 34
133 Koonduvaks jõusüsteemiks nimetatakse sellist jõusüsteemi, mille jõudude mõjusirged lõikuvad ühes ja samas punktis. Võime nihutada kõik jõud sellesse punkti. Liidame jõud kahekaupa kokku kasutades rööpküliku reeglit. 34
134 Koonduvaks jõusüsteemiks nimetatakse sellist jõusüsteemi, mille jõudude mõjusirged lõikuvad ühes ja samas punktis. Võime nihutada kõik jõud sellesse punkti. Liidame jõud kahekaupa kokku kasutades rööpküliku reeglit. 34
135 Koonduvaks jõusüsteemiks nimetatakse sellist jõusüsteemi, mille jõudude mõjusirged lõikuvad ühes ja samas punktis. Võime nihutada kõik jõud sellesse punkti. Liidame jõud kahekaupa kokku kasutades rööpküliku reeglit. 34
136 Koonduvaks jõusüsteemiks nimetatakse sellist jõusüsteemi, mille jõudude mõjusirged lõikuvad ühes ja samas punktis. Võime nihutada kõik jõud sellesse punkti. Liidame jõud kahekaupa kokku kasutades rööpküliku reeglit. 34
137 Koonduvaks jõusüsteemiks nimetatakse sellist jõusüsteemi, mille jõudude mõjusirged lõikuvad ühes ja samas punktis. Võime nihutada kõik jõud sellesse punkti. Liidame jõud kahekaupa kokku kasutades rööpküliku reeglit. 34
138 Koonduvaks jõusüsteemiks nimetatakse sellist jõusüsteemi, mille jõudude mõjusirged lõikuvad ühes ja samas punktis. Võime nihutada kõik jõud sellesse punkti. Liidame jõud kahekaupa kokku kasutades rööpküliku reeglit. 34
139 Koonduvaks jõusüsteemiks nimetatakse sellist jõusüsteemi, mille jõudude mõjusirged lõikuvad ühes ja samas punktis. Võime nihutada kõik jõud sellesse punkti. Liidame jõud kahekaupa kokku kasutades rööpküliku reeglit. Saadud jõud on koonduva jõusüsteemi resultant ja ta on rakendatud koondumispunkti. Koonduva jõusüsteemi vektoriaalne tasakaalu tingimus: 0 34
140 Koonduvaks jõusüsteemiks nimetatakse sellist jõusüsteemi, mille jõudude mõjusirged lõikuvad ühes ja samas punktis. Võime nihutada kõik jõud sellesse punkti. Liidame jõud kahekaupa kokku kasutades rööpküliku reeglit. Saadud jõud on koonduva jõusüsteemi resultant ja ta on rakendatud koondumispunkti. Koonduva jõusüsteemi vektoriaalne tasakaalu tingimus: 0 34
141 Kolme jõu teoreem. Kui jäik keha on tasakaalus kolme jõu mõjul, millest kahe jõu mõjusirged lõikuvad, siis need jõud moodustavad tasapinnalise koonduva jõusüsteemi. Q P S 35
142 Kolme jõu teoreem. Kui jäik keha on tasakaalus kolme jõu mõjul, millest kahe jõu mõjusirged lõikuvad, siis need jõud moodustavad tasapinnalise koonduva jõusüsteemi. Q Nihutame vektorid Q ja S mööda oma mõjusirgeid koondumispunkti. P S 35
143 Kolme jõu teoreem. Kui jäik keha on tasakaalus kolme jõu mõjul, millest kahe jõu mõjusirged lõikuvad, siis need jõud moodustavad tasapinnalise koonduva jõusüsteemi. Q Nihutame vektorid Q ja S mööda oma mõjusirgeid koondumispunkti. sendame nad rööpküliku reegli abil ühe vektoriga. P S 35
144 Kolme jõu teoreem. Kui jäik keha on tasakaalus kolme jõu mõjul, millest kahe jõu mõjusirged lõikuvad, siis need jõud moodustavad tasapinnalise koonduva jõusüsteemi. P Nihutame vektorid Q ja S mööda oma mõjusirgeid koondumispunkti. sendame nad rööpküliku reegli abil ühe vektoriga. Vektorid P ja saavad olla tasakaalus ainult siis, kui nad mõjuvad ühisel mõjusirgel, on suuruselt võrdsed ja suunalt vastupidised. Seega peavad tasakaalu puhul kõik kolm jõudu olema samal tasapinnal ja nende mõjusirged läbima ühist koondumispunkti. 35
145 10. Jõu moment punkti suhtes. Jõu moment telje suhtes. Jõupaar. 36
146 Jõu moment punkti suhtes z O 37
147 Jõu moment punkti suhtes z r θ O 37
148 Jõu moment punkti suhtes z O r θ Jõu momendiks punkti suhtes nimetatakse sellesse punkti rakendatud vektorit, mis võrdub sellest punktist jõu rakenduspunktini tõmmatud kohavektori ja jõu vektorkorrutisega. M O r Jõu moment punkti suhtes iseloomustab jõu pööravat toimet ümber selle punkti. 37
149 Jõu moment punkti suhtes z O θ r θ Jõu momendiks punkti suhtes nimetatakse sellesse punkti rakendatud vektorit, mis võrdub sellest punktist jõu rakenduspunktini tõmmatud kohavektori ja jõu vektorkorrutisega. M O r Jõu moment punkti suhtes iseloomustab jõu pööravat toimet ümber selle punkti. 37
150 Jõu moment punkti suhtes M O () z O r θ Jõu momendiks punkti suhtes nimetatakse sellesse punkti rakendatud vektorit, mis võrdub sellest punktist jõu rakenduspunktini tõmmatud kohavektori ja jõu vektorkorrutisega. M O r Jõu moment punkti suhtes iseloomustab jõu pööravat toimet ümber selle punkti. 37
151 Jõu moment punkti suhtes M O () z O r θ Jõu momendiks punkti suhtes nimetatakse sellesse punkti rakendatud vektorit, mis võrdub sellest punktist jõu rakenduspunktini tõmmatud kohavektori ja jõu vektorkorrutisega. M O r Jõu moment punkti suhtes iseloomustab jõu pööravat toimet ümber selle punkti. 37
152 Jõu moment punkti suhtes M O () z O d r θ Jõu momendiks punkti suhtes nimetatakse sellesse punkti rakendatud vektorit, mis võrdub sellest punktist jõu rakenduspunktini tõmmatud kohavektori ja jõu vektorkorrutisega. M O r Jõu moment punkti suhtes iseloomustab jõu pööravat toimet ümber selle punkti. 37
153 Jõu moment punkti suhtes M O () z O d r θ Jõu momendiks punkti suhtes nimetatakse sellesse punkti rakendatud vektorit, mis võrdub sellest punktist jõu rakenduspunktini tõmmatud kohavektori ja jõu vektorkorrutisega. M O M O r r sin d Jõu moment punkti suhtes iseloomustab jõu pööravat toimet ümber selle punkti. 37
154 Jõu moment punkti suhtes M O () z O d r θ Jõu momendiks punkti suhtes nimetatakse sellesse punkti rakendatud vektorit, mis võrdub sellest punktist jõu rakenduspunktini tõmmatud kohavektori ja jõu vektorkorrutisega. M O M O r r sin d Jõu moment punkti suhtes iseloomustab jõu pööravat toimet ümber selle punkti. 37
155 Jõu moment telje suhtes M O () z M z Jõu moment telje suhtes on selle telje mistahes punkti suhtes võetud jõu momendi projektsioon teljel. O M d z () r d Jõu moment telje suhtes iseloomustab jõu pööravat toimet ümber selle telje. Jõu moment telje suhtes on skalaarne suurus. 38
156 Jõu moment telje suhtes z d β Võib öelda ka nii: jõu moment telje suhtes on skalaarne suurus, mis on võrdne selle teljega ristuval tasapinnal võetud jõu projektsiooni momendi mooduliga telje ja selle tasapinna lõikepunkti suhtes, võetuna vastava märgiga. M z () d 38
157 Jõupaar z - Jõupaariks nimetatakse jäigale kehale mõjuva kahe moodulilt võrdse antiparalleelse jõu süsteemi. O 39
158 Jõupaar r r r r r r r r r r r M M O O ) ( ) ( ) ( ) ( Jõupaari moodustavate üksikjõudude suvalise ruumipunkti suhtes võetud momentide geomeetriline summa ei sõltu selle punkti valikust ja on alati võrdne selle jõupaari momendiga. Vaatame jõupaari moodustavate jõudude summarset momenti punkti O suhtes. sest: Moodul: M d - d 39 z O -
159 Jõupaar r r r r r r r r r r r M M O O ) ( ) ( ) ( ) ( Jõupaari moodustavate üksikjõudude suvalise ruumipunkti suhtes võetud momentide geomeetriline summa ei sõltu selle punkti valikust ja on alati võrdne selle jõupaari momendiga. Vaatame jõupaari moodustavate jõudude summarset momenti punkti O suhtes. sest: Moodul: M d - d 39 z O - r
160 Jõupaar r r r r r r r r r r r M M O O ) ( ) ( ) ( ) ( Jõupaari moodustavate üksikjõudude suvalise ruumipunkti suhtes võetud momentide geomeetriline summa ei sõltu selle punkti valikust ja on alati võrdne selle jõupaari momendiga. Vaatame jõupaari moodustavate jõudude summarset momenti punkti O suhtes. sest: Moodul: M d - d 39 z O - r r
161 Jõupaar r r r r r r r r r r r M M O O ) ( ) ( ) ( ) ( Jõupaari moodustavate üksikjõudude suvalise ruumipunkti suhtes võetud momentide geomeetriline summa ei sõltu selle punkti valikust ja on alati võrdne selle jõupaari momendiga. Vaatame jõupaari moodustavate jõudude summarset momenti punkti O suhtes. sest: Moodul: M d - d 39 z O - r r
162 Jõupaar r r r r r r r r r r r M M O O ) ( ) ( ) ( ) ( Jõupaari moodustavate üksikjõudude suvalise ruumipunkti suhtes võetud momentide geomeetriline summa ei sõltu selle punkti valikust ja on alati võrdne selle jõupaari momendiga. Vaatame jõupaari moodustavate jõudude summarset momenti punkti O suhtes. sest: Moodul: M d - d 39 z O - r r
163 Jõupaar r r r r r r r r r r r M M O O ) ( ) ( ) ( ) ( Jõupaari moodustavate üksikjõudude suvalise ruumipunkti suhtes võetud momentide geomeetriline summa ei sõltu selle punkti valikust ja on alati võrdne selle jõupaari momendiga. Vaatame jõupaari moodustavate jõudude summarset momenti punkti O suhtes. sest: Moodul: M d - d 39 z O - r r
164 Jõupaar r r r r r r r r r r r M M O O ) ( ) ( ) ( ) ( Jõupaari moodustavate üksikjõudude suvalise ruumipunkti suhtes võetud momentide geomeetriline summa ei sõltu selle punkti valikust ja on alati võrdne selle jõupaari momendiga. Vaatame jõupaari moodustavate jõudude summarset momenti punkti O suhtes. Moodul: M d - d 39 z O - r r r
165 Jõupaar r r r r r r r r r r r M M O O ) ( ) ( ) ( ) ( Jõupaari moodustavate üksikjõudude suvalise ruumipunkti suhtes võetud momentide geomeetriline summa ei sõltu selle punkti valikust ja on alati võrdne selle jõupaari momendiga. Vaatame jõupaari moodustavate jõudude summarset momenti punkti O suhtes. Moodul: M d - d 39 z O - r r r
166 z O - r r M r Jõupaar r r r r r r r r r r r M M O O ) ( ) ( ) ( ) ( Jõupaari moodustavate üksikjõudude suvalise ruumipunkti suhtes võetud momentide geomeetriline summa ei sõltu selle punkti valikust ja on alati võrdne selle jõupaari momendiga. Vaatame jõupaari moodustavate jõudude summarset momenti punkti O suhtes. Moodul: M d - d 39
167 Jõupaar r r r r r r r r r r r M M O O ) ( ) ( ) ( ) ( Jõupaari moodustavate üksikjõudude suvalise ruumipunkti suhtes võetud momentide geomeetriline summa ei sõltu selle punkti valikust ja on alati võrdne selle jõupaari momendiga. Vaatame jõupaari moodustavate jõudude summarset momenti punkti O suhtes. Moodul: M d - d 39 z O - r r M r
168 - d Jõupaar r r r r r r r r r r r M M O O ) ( ) ( ) ( ) ( Jõupaari moodustavate üksikjõudude suvalise ruumipunkti suhtes võetud momentide geomeetriline summa ei sõltu selle punkti valikust ja on alati võrdne selle jõupaari momendiga. Vaatame jõupaari moodustavate jõudude summarset momenti punkti O suhtes. Moodul: M d 39 z O - r r M r
169 Jõupaar Olulist jõupaari kohta: Jõupaari momentvektor on vabavektor, selle võib vabalt paralleelselt iseendaga üle kanda keha suvalisse punkti. Jõupaaril pole resultanti. Jõupaari jõud pole tasakaalus. Jõupaar moodustab ühtse terviku ja seda enam ei saa lihtsustada. Jõupaari moment on vektoriaalne suurus. Jõupaare, mille mõju jäigale kehale on ühesugune, nimetatakse ekvivalentseteks. - d = M 40
170 11. Jõusüsteemi tasakaal. asakaalu tingimused. 41
171 Jõu paralleellüke O 42
172 Jõu paralleellüke O 42
173 Jõu paralleellüke O ' 42
174 Jõu paralleellüke O ' 42
175 Jõu paralleellüke O r M r ' 42
176 Jõu paralleellüke O M M r 42
177 Jõusüsteemi taandamine Kehale mõjub jõusüsteem. Lihtsuse mõttes on näitesse valitud tasapinnaline süsteem, kuid tulemused kehtivad ka ruumilise süsteemi korral
178 Jõusüsteemi taandamine Kehale mõjub jõusüsteem. Lihtsuse mõttes on näitesse valitud tasapinnaline süsteem, kuid tulemused kehtivad ka ruumilise süsteemi korral
179 Jõusüsteemi taandamine Kehale mõjub jõusüsteem. Lihtsuse mõttes on näitesse valitud tasapinnaline süsteem, kuid tulemused kehtivad ka ruumilise süsteemi korral
180 Jõusüsteemi taandamine Kehale mõjub jõusüsteem. Lihtsuse mõttes on näitesse valitud tasapinnaline süsteem, kuid tulemused kehtivad ka ruumilise süsteemi korral M M i i 43
181 Jõusüsteemi taandamine Kehale mõjub jõusüsteem. Lihtsuse mõttes on näitesse valitud tasapinnaline süsteem, kuid tulemused kehtivad ka ruumilise süsteemi korral M M Peamoment i i Peavektor 43
182 Jõusüsteemi taandamine Vektoriaalset suurust, mis võrdub mingi süsteemi jõudude geomeetrilise summaga, nimetatakse selle jõusüsteemi peavektoriks. Vektoriaalset suurust, mis võrdub süsteemi jõudude momentide geomeetrilise summaga mingi tsentri suhtes, nimetatakse antud jõusüsteemi peamomendiks selle tsentri suhtes. Staatika põhiteoreem: Jäigale kehale mõjuv mistahes jõusüsteem asendub taandamisel meelevaldselt võetud tsentrisse ühe jõuga, mis võrdub süsteemi peavektoriga ja rakendub taandamistsentris, ning ühe jõupaariga, mille moment võrdub süsteemi peamomendiga taandamistsentri suhtes. Kõik jõusteemid, millel on sama peavektor ja mingi punkti suhtes sama peamoment, on ekvivalentsed. 44
183 asakaalu vektoriaalsed tingimused Peavektor 0 Peamoment M 0 asakaalu analüütilised tingimused 0, 0, 0 z M 0, M 0, M 0 z i Meelevaldne ruumiline juhtum: Jõusüsteemi tasakaaluks on tarvilik ja piisav, et kõikide jõudude projektsioonide summad kolmel koordinaatteljel võrduksid nulliga, ning ka kõikide jõudude momentide summad nende koordinaattelgede suhtes võrduksid nulliga. i i üüpiline tasapinnaline juhtum:,, M O i 45
184 Ülesanne nr.1 Silinder massiga m = 9 kg toetub punktis nurgale ja punktis pinnale. Leida tugede reaktsioonid
185 Ülesanne nr.1 Silinder massiga m = 9 kg toetub punktis nurgale ja punktis pinnale. Leida tugede reaktsioonid ntud: m = 9 kg Leida: N, N 46
186 Ülesanne nr.1 Silinder massiga m = 9 kg toetub punktis nurgale ja punktis pinnale. Leida tugede reaktsioonid ntud: m = 9 kg N N, N Leida: G mg 46
187 Ülesanne nr.1 Silinder massiga m = 9 kg toetub punktis nurgale ja punktis pinnale. Leida tugede reaktsioonid. 30 G 45 ntud: m = 9 kg N N, N Leida: G mg 46
188 Ülesanne nr.1 Silinder massiga m = 9 kg toetub punktis nurgale ja punktis pinnale. Leida tugede reaktsioonid. 30 G 45 ntud: m = 9 kg N N, N Leida: G mg 46
189 Ülesanne nr.1 Silinder massiga m = 9 kg toetub punktis nurgale ja punktis pinnale. Leida tugede reaktsioonid. 30 N G 45 ntud: m = 9 kg N N, N Leida: G mg 46
190 Ülesanne nr.1 Silinder massiga m = 9 kg toetub punktis nurgale ja punktis pinnale. Leida tugede reaktsioonid. 30 N G 45 ntud: m = 9 kg N N, N Leida: G mg 46
191 Ülesanne nr.1 Silinder massiga m = 9 kg toetub punktis nurgale ja punktis pinnale. Leida tugede reaktsioonid. 30 N N G 45 ntud: m = 9 kg N N, N Leida: G mg 46
192 Ülesanne nr.1 Silinder massiga m = 9 kg toetub punktis nurgale ja punktis pinnale. Leida tugede reaktsioonid N N 0 G 45 ntud: m = 9 kg N N, N Leida: G mg 46
193 Ülesanne nr.1 Silinder massiga m = 9 kg toetub punktis nurgale ja punktis pinnale. Leida tugede reaktsioonid. 0 N cos30 0 N sin N sin 30 G N cos N N G 45 ntud: m = 9 kg N N, N Leida: G mg 46
194 Ülesanne nr.1 Silinder massiga m = 9 kg toetub punktis nurgale ja punktis pinnale. Leida tugede reaktsioonid. 0 N cos30 0 N sin N sin 30 G N cos N N G 45 ntud: m = 9 kg N N, N Leida: G mg 46
195 Ülesanne nr.1 Silinder massiga m = 9 kg toetub punktis nurgale ja punktis pinnale. Leida tugede reaktsioonid. 0 N cos30 0 N sin N sin 30 G N cos N 45 N G 45 ntud: m = 9 kg N N, N Leida: G mg 46
196 Ülesanne nr.1 Silinder massiga m = 9 kg toetub punktis nurgale ja punktis pinnale. Leida tugede reaktsioonid. 0 N cos30 0 N sin N sin 30 G N cos N 45 N G 45 ntud: m = 9 kg N N, N Leida: G mg 46
197 Ülesanne nr.1 Silinder massiga m = 9 kg toetub punktis nurgale ja punktis pinnale. Leida tugede reaktsioonid. 0 N cos30 0 N sin N sin 30 G N cos N 45 N G 45 ntud: m = 9 kg N N, N Leida: G mg 46
198 Ülesanne nr.1 Silinder massiga m = 9 kg toetub punktis nurgale ja punktis pinnale. Leida tugede reaktsioonid. 0 N cos30 0 N sin N sin 30 G N cos N 45 N G 45 ntud: m = 9 kg N N, N Leida: G mg 46
199 Ülesanne nr.1 Silinder massiga m = 9 kg toetub punktis nurgale ja punktis pinnale. Leida tugede reaktsioonid. 0 N cos30 0 N sin N sin 30 G N cos N 45 N G 45 ntud: m = 9 kg N N, N Leida: G mg 46
200 Ülesanne nr.1 Silinder massiga m = 9 kg toetub punktis nurgale ja punktis pinnale. Leida tugede reaktsioonid. 0 N cos30 0 N sin N sin 30 G N cos N 45 N Esimesest võrrandist: G 45 sin N N N N cos ntud: m = 9 kg N N, N Leida: G mg 46
201 Ülesanne nr.1 Silinder massiga m = 9 kg toetub punktis nurgale ja punktis pinnale. Leida tugede reaktsioonid. 0 N cos30 0 N sin N sin 30 G N cos N 45 N Esimesest võrrandist: G 45 sin N N N N cos ntud: m = 9 kg N N, N Leida: G mg eisest võrrandist: 0.817N sin N cos N 0.707N N N N 46
202 Ülesanne nr.1 Silinder massiga m = 9 kg toetub punktis nurgale ja punktis pinnale. Leida tugede reaktsioonid. 0 N cos30 0 N sin N sin 30 G N cos N 45 N Esimesest võrrandist: G 45 sin N N N N cos ntud: m = 9 kg N N, N Leida: G mg eisest võrrandist: 0.817N sin N cos N 0.707N N N N 46
203 Ülesanne nr.1 Silinder massiga m = 9 kg toetub punktis nurgale ja punktis pinnale. Leida tugede reaktsioonid. 0 N cos30 0 N sin N sin 30 G N cos N 45 N Esimesest võrrandist: G 45 sin N N N N cos ntud: m = 9 kg N N, N Leida: G mg eisest võrrandist: 0.817N sin N cos N 0.707N N N N 46
204 Ülesanne nr.1 Silinder massiga m = 9 kg toetub punktis nurgale ja punktis pinnale. Leida tugede reaktsioonid. 0 N cos30 0 N sin N sin 30 G N cos N 45 N Esimesest võrrandist: G 45 sin N N N N cos ntud: m = 9 kg N N, N Leida: G mg eisest võrrandist: 0.817N sin N cos N 0.707N N N N 46
205 Ülesanne nr.1 Silinder massiga m = 9 kg toetub punktis nurgale ja punktis pinnale. Leida tugede reaktsioonid. 0 N cos30 0 N sin N sin 30 G N cos N 45 N Esimesest võrrandist: G 45 sin N N N N cos ntud: m = 9 kg N N, N Leida: G mg eisest võrrandist: 0.817N sin N cos N 0.707N N N N N 0.817N N 46
206 Ülesanne nr.2 ala massiga m G = 30 kg ja pikkusega l = 1 m on toestatud punktis silinderliigendiga ja punktis kerge vardaga. Punktis C on kinnitatud nöör mille otsas on mass P, 10 kg. alale mõjub lisaks jõupaari moment M = 180 Nm. Pikkus C = 0.25 l. Leida tugede reaktsioonid. C P M 60 47
207 Ülesanne nr.2 ala massiga m G = 30 kg ja pikkusega l = 1 m on toestatud punktis silinderliigendiga ja punktis kerge vardaga. Punktis C on kinnitatud nöör mille otsas on mass P, 10 kg. alale mõjub lisaks jõupaari moment M = 180 Nm. Pikkus C = 0.25 l. Leida tugede reaktsioonid. C P M 60 ntud: m G = 30 kg, m P = 10 kg, l = 1 m, M = 180 Nm, C = 0.25 l Leida: 47
208 Ülesanne nr.2 ala massiga m G = 30 kg ja pikkusega l = 1 m on toestatud punktis silinderliigendiga ja punktis kerge vardaga. Punktis C on kinnitatud nöör mille otsas on mass P, 10 kg. alale mõjub lisaks jõupaari moment M = 180 Nm. Pikkus C = 0.25 l. Leida tugede reaktsioonid. S C M P 60 ntud: m G = 30 kg, m P = 10 kg, l = 1 m, M = 180 Nm, C = 0.25 l Leida: 47
209 Ülesanne nr.2 ala massiga m G = 30 kg ja pikkusega l = 1 m on toestatud punktis silinderliigendiga ja punktis kerge vardaga. Punktis C on kinnitatud nöör mille otsas on mass P, 10 kg. alale mõjub lisaks jõupaari moment M = 180 Nm. Pikkus C = 0.25 l. Leida tugede reaktsioonid. S P C M P 60 ntud: m G = 30 kg, m P = 10 kg, l = 1 m, M = 180 Nm, C = 0.25 l Leida: 47
210 Ülesanne nr.2 ala massiga m G = 30 kg ja pikkusega l = 1 m on toestatud punktis silinderliigendiga ja punktis kerge vardaga. Punktis C on kinnitatud nöör mille otsas on mass P, 10 kg. alale mõjub lisaks jõupaari moment M = 180 Nm. Pikkus C = 0.25 l. Leida tugede reaktsioonid. S P C M P G 60 ntud: m G = 30 kg, m P = 10 kg, l = 1 m, M = 180 Nm, C = 0.25 l Leida: 47
211 Ülesanne nr.2 ala massiga m G = 30 kg ja pikkusega l = 1 m on toestatud punktis silinderliigendiga ja punktis kerge vardaga. Punktis C on kinnitatud nöör mille otsas on mass P, 10 kg. alale mõjub lisaks jõupaari moment M = 180 Nm. Pikkus C = 0.25 l. Leida tugede reaktsioonid. S P C M P G 60 Y X ntud: m G = 30 kg, m P = 10 kg, l = 1 m, M = 180 Nm, C = 0.25 l Leida: 47
212 Ülesanne nr.2 ala massiga m G = 30 kg ja pikkusega l = 1 m on toestatud punktis silinderliigendiga ja punktis kerge vardaga. Punktis C on kinnitatud nöör mille otsas on mass P, 10 kg. alale mõjub lisaks jõupaari moment M = 180 Nm. Pikkus C = 0.25 l. Leida tugede reaktsioonid. S P C M P G 60 Y X ntud: m G = 30 kg, m P = 10 kg, l = 1 m, M = 180 Nm, C = 0.25 l Leida: S, X, Y 47
213 Ülesanne nr.2 ala massiga m G = 30 kg ja pikkusega l = 1 m on toestatud punktis silinderliigendiga ja punktis kerge vardaga. Punktis C on kinnitatud nöör mille otsas on mass P, 10 kg. alale mõjub lisaks jõupaari moment M = 180 Nm. Pikkus C = 0.25 l. Leida tugede reaktsioonid. P C S G m g N G P m g N P M P G 60 Y X ntud: m G = 30 kg, m P = 10 kg, l = 1 m, M = 180 Nm, C = 0.25 l Leida: S, X, Y 47
214 Ülesanne nr.2 ala massiga m G = 30 kg ja pikkusega l = 1 m on toestatud punktis silinderliigendiga ja punktis kerge vardaga. Punktis C on kinnitatud nöör mille otsas on mass P, 10 kg. alale mõjub lisaks jõupaari moment M = 180 Nm. Pikkus C = 0.25 l. Leida tugede reaktsioonid. P C S G m g N G P m g N P M P G 60 Y X ntud: m G = 30 kg, m P = 10 kg, l = 1 m, M = 180 Nm, C = 0.25 l Leida: S, X, Y 47
215 Ülesanne nr.2 ala massiga m G = 30 kg ja pikkusega l = 1 m on toestatud punktis silinderliigendiga ja punktis kerge vardaga. Punktis C on kinnitatud nöör mille otsas on mass P, 10 kg. alale mõjub lisaks jõupaari moment M = 180 Nm. Pikkus C = 0.25 l. Leida tugede reaktsioonid. P C S G m g N G P m g N P M P G 60 Y X ntud: m G = 30 kg, m P = 10 kg, l = 1 m, M = 180 Nm, C = 0.25 l Leida: S, X, Y 47
216 Ülesanne nr.2 ala massiga m G = 30 kg ja pikkusega l = 1 m on toestatud punktis silinderliigendiga ja punktis kerge vardaga. Punktis C on kinnitatud nöör mille otsas on mass P, 10 kg. alale mõjub lisaks jõupaari moment M = 180 Nm. Pikkus C = 0.25 l. Leida tugede reaktsioonid. P C S G m g N G P m g N P 0 S Pcos30 X 0 P G 60 M Y X 0 M 0 P sin 30 G Y 0 M G0.5l cos 60 P0.75l Sl sin 60 0 : l ntud: m G = 30 kg, m P = 10 kg, l = 1 m, M = 180 Nm, C = 0.25 l Leida: S, X, Y 47
217 Ülesanne nr.2 ala massiga m G = 30 kg ja pikkusega l = 1 m on toestatud punktis silinderliigendiga ja punktis kerge vardaga. Punktis C on kinnitatud nöör mille otsas on mass P, 10 kg. alale mõjub lisaks jõupaari moment M = 180 Nm. Pikkus C = 0.25 l. Leida tugede reaktsioonid. P C S G m g N G P m g N P 0 S Pcos30 X 0 P G 60 M Y X 0 M 0 sin 30 G Y 0 M G0.5l cos l Sl sin 60 0 : l ntud: m G = 30 kg, m P = 10 kg, l = 1 m, M = 180 Nm, C = 0.25 l Leida: S, X, Y 47
218 Ülesanne nr.2 ala massiga m G = 30 kg ja pikkusega l = 1 m on toestatud punktis silinderliigendiga ja punktis kerge vardaga. Punktis C on kinnitatud nöör mille otsas on mass P, 10 kg. alale mõjub lisaks jõupaari moment M = 180 Nm. Pikkus C = 0.25 l. Leida tugede reaktsioonid. P C S G m g N G P m g N P 0 S Pcos30 X 0 P G 60 M Y X 0 M 0 P sin 30 G Y 0 M G0.5l cos l Sl sin 60 0 : l ntud: m G = 30 kg, m P = 10 kg, l = 1 m, M = 180 Nm, C = 0.25 l Leida: S, X, Y 47
219 Ülesanne nr.2 ala massiga m G = 30 kg ja pikkusega l = 1 m on toestatud punktis silinderliigendiga ja punktis kerge vardaga. Punktis C on kinnitatud nöör mille otsas on mass P, 10 kg. alale mõjub lisaks jõupaari moment M = 180 Nm. Pikkus C = 0.25 l. Leida tugede reaktsioonid. P C S G m g N G P m g N P 0 S Pcos30 X 0 P G 60 M Y X 0 M 0 P sin 30 G Y 0 M G0.5l cos 60 P0.75l Sl sin 60 0 : l ntud: m G = 30 kg, m P = 10 kg, l = 1 m, M = 180 Nm, C = 0.25 l Leida: S, X, Y 47
220 Ülesanne nr.2 ala massiga m G = 30 kg ja pikkusega l = 1 m on toestatud punktis silinderliigendiga ja punktis kerge vardaga. Punktis C on kinnitatud nöör mille otsas on mass P, 10 kg. alale mõjub lisaks jõupaari moment M = 180 Nm. Pikkus C = 0.25 l. Leida tugede reaktsioonid. P C S G m g N G P m g N P 0 S Pcos30 X 0 P G 60 M Y X 0 M 0 P sin 30 G Y 0 M G0.5l cos 60 P0.75l Sl sin 60 0 : l ntud: m G = 30 kg, m P = 10 kg, l = 1 m, M = 180 Nm, C = 0.25 l Leida: S, X, Y 47
221 Ülesanne nr.2 ala massiga m G = 30 kg ja pikkusega l = 1 m on toestatud punktis silinderliigendiga ja punktis kerge vardaga. Punktis C on kinnitatud nöör mille otsas on mass P, 10 kg. alale mõjub lisaks jõupaari moment M = 180 Nm. Pikkus C = 0.25 l. Leida tugede reaktsioonid. P C S G m g N G P m g N P 0 S Pcos30 X 0 P G 60 M Y X 0 M 0 P sin 30 G Y 0 M G0.5l cos 60 P0.75l Sl sin 60 0 : l ntud: m G = 30 kg, m P = 10 kg, l = 1 m, M = 180 Nm, C = 0.25 l Leida: S, X, Y 47
222 Ülesanne nr.2 ala massiga m G = 30 kg ja pikkusega l = 1 m on toestatud punktis silinderliigendiga ja punktis kerge vardaga. Punktis C on kinnitatud nöör mille otsas on mass P, 10 kg. alale mõjub lisaks jõupaari moment M = 180 Nm. Pikkus C = 0.25 l. Leida tugede reaktsioonid. P C S G m g N G P m g N P 0 S Pcos30 X 0 P G 60 M Y X 0 M 0 P sin 30 G Y 0 M G0.5l cos 60 P0.75l Sl sin 60 0 : l ntud: m G = 30 kg, m P = 10 kg, l = 1 m, M = 180 Nm, C = 0.25 l Leida: S, X, Y 47
223 Ülesanne nr.2 ala massiga m G = 30 kg ja pikkusega l = 1 m on toestatud punktis silinderliigendiga ja punktis kerge vardaga. Punktis C on kinnitatud nöör mille otsas on mass P, 10 kg. alale mõjub lisaks jõupaari moment M = 180 Nm. Pikkus C = 0.25 l. Leida tugede reaktsioonid. P C S G m g N G P m g N P 0 S Pcos30 X 0 P G 60 M Y X 0 M 0 P sin 30 G Y 0 M G0.5l cos 60 P0.75l Sl sin 60 0 : l ntud: m G = 30 kg, m P = 10 kg, l = 1 m, M = 180 Nm, C = 0.25 l Leida: S, X, Y 47
224 Ülesanne nr.2 ala massiga m G = 30 kg ja pikkusega l = 1 m on toestatud punktis silinderliigendiga ja punktis kerge vardaga. Punktis C on kinnitatud nöör mille otsas on mass P, 10 kg. alale mõjub lisaks jõupaari moment M = 180 Nm. Pikkus C = 0.25 l. Leida tugede reaktsioonid. P C S G m g N G P m g N P 0 S Pcos30 X 0 P G 60 M Y X 0 M 0 P sin 30 G Y 0 M G0.5l cos 60 P0.75l Sl sin 60 0 : l ntud: m G = 30 kg, m P = 10 kg, l = 1 m, M = 180 Nm, C = 0.25 l M / l G0.5cos60 P0.75 S sin 60 0 Leida: S, X, Y 47
225 Ülesanne nr.2 ala massiga m G = 30 kg ja pikkusega l = 1 m on toestatud punktis silinderliigendiga ja punktis kerge vardaga. Punktis C on kinnitatud nöör mille otsas on mass P, 10 kg. alale mõjub lisaks jõupaari moment M = 180 Nm. Pikkus C = 0.25 l. Leida tugede reaktsioonid. P C S G m g N G P m g N P 0 S Pcos30 X 0 P G 60 M Y X 0 M 0 P sin 30 G Y 0 M G0.5l cos 60 P0.75l Sl sin 60 0 : l ntud: m G = 30 kg, m P = 10 kg, l = 1 m, M = 180 Nm, C = 0.25 l Leida: S, X, Y M / l G0.5cos60 P0.75 S sin 60 0 S M / l G0.5cos60 P0.75 sin60 47
226 Ülesanne nr.2 ala massiga m G = 30 kg ja pikkusega l = 1 m on toestatud punktis silinderliigendiga ja punktis kerge vardaga. Punktis C on kinnitatud nöör mille otsas on mass P, 10 kg. alale mõjub lisaks jõupaari moment M = 180 Nm. Pikkus C = 0.25 l. Leida tugede reaktsioonid. P C S S 180 / N M P G 60 Y X ntud: m G = 30 kg, m P = 10 kg, l = 1 m, M = 180 Nm, C = 0.25 l Leida: S, X, Y 48
227 Ülesanne nr.2 ala massiga m G = 30 kg ja pikkusega l = 1 m on toestatud punktis silinderliigendiga ja punktis kerge vardaga. Punktis C on kinnitatud nöör mille otsas on mass P, 10 kg. alale mõjub lisaks jõupaari moment M = 180 Nm. Pikkus C = 0.25 l. Leida tugede reaktsioonid. P C S S 180 / N P G 60 M Y X Pcos30 S N X ntud: m G = 30 kg, m P = 10 kg, l = 1 m, M = 180 Nm, C = 0.25 l Leida: S, X, Y 48
228 Ülesanne nr.2 ala massiga m G = 30 kg ja pikkusega l = 1 m on toestatud punktis silinderliigendiga ja punktis kerge vardaga. Punktis C on kinnitatud nöör mille otsas on mass P, 10 kg. alale mõjub lisaks jõupaari moment M = 180 Nm. Pikkus C = 0.25 l. Leida tugede reaktsioonid. P C S S 180 / N P G 60 M Y X Pcos30 S N ntud: m G = 30 kg, m P = 10 kg, l = 1 m, M = 180 Nm, C = 0.25 l X Y Psin30 G N Leida: S, X, Y 48
Ruumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule
Kodutöö nr.1 uumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule Ülesanne Taandada antud jõusüsteem lihtsaimale kujule. isttahuka (joonis 1.) mõõdud ning jõudude moodulid ja suunad on antud tabelis 1. D
Vektorid II. Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale
Vektorid II Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale Vektorid Vektorid on arvude järjestatud hulgad (s.t. iga komponendi väärtus ja positsioon hulgas on tähenduslikud) Vektori
Geomeetrilised vektorid
Vektorid Geomeetrilised vektorid Skalaarideks nimetatakse suurusi, mida saab esitada ühe arvuga suuruse arvulise väärtusega. Skalaari iseloomuga suurusi nimetatakse skalaarseteks suurusteks. Skalaarse
Tehniline Mehaanika. I. Staatika II. Tugevusõpetus III. Kinemaatika IV. Dünaamika V. Masinaelemendid /aparaatide detailid/ I STAATIKA
Tehniline Mehaanika I. Staatika II. Tugevusõpetus III. Kinemaatika IV. Dünaamika V. Masinaelemendid /aparaatide detailid/ I STTIK 1.1. Põhimõisted Staatika on jäikade kehade tasakaaluõpetus. Ta uurib tingimus,
TARTU ÜLIKOOL Teaduskool. STAATIKA TASAKAALUSTAMISTINGIMUSED Koostanud J. Lellep, L. Roots
TARTU ÜLIKOOL Teaduskool STAATIKA TASAKAALUSTAMISTINGIMUSED Koostanud J. Lellep, L. Roots Tartu 2008 Eessõna Käesoleva õppevahendi kasutajana on mõeldud eelkõige täppisteaduste vastu huvi tundvaid gümnaasiumi
Tallinna Tehnikaülikool Mehaanikainstituut Rakendusmehaanika õppetool. Andrus Salupere. Staatika /EMR0010/ Loengukonspekt
Tallinna Tehnikaülikool Mehaanikainstituut Rakendusmehaanika õppetool Andrus Salupere Staatika /EMR0010/ Loengukonspekt Tallinn 2006 Eessõna Käesolev loengukonspekt on mõeldud kasutamiseks Tallinna Tehnikaülikooli
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA SISUKORD 57 Joone uutuja Näited 8 58 Ülesanded uutuja võrrandi koostamisest 57 Joone uutuja Näited Funktsiooni tuletisel on
Tallinna Tehnikaülikool Mehaanikainstituut Deformeeruva keha mehaanika õppetool. Andrus Salupere STAATIKA ÜLESANDED
Tallinna Tehnikaülikool Mehaanikainstituut Deformeeruva keha mehaanika õppetool Andrus Salupere STAATIKA ÜLESANDED Tallinn 2004/2005 1 Eessõna Käesolev ülesannete kogu on mõeldud kasutamiseks eeskätt Tallinna
Vektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja panna skalaarkorrutise
Jõu töö Konstanse jõu tööks lõigul (nihkel) A A nimetatakse jõu mooduli korrutist teepikkusega s = A A ning jõu siirde vahelise nurga koosinusega Fscos ektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja
Füüsika täiendusõpe YFR0080
Füüsika täiendusõpe YFR0080 Füüsikainstituut Marek Vilipuu marek.vilipuu@ttu.ee Füüsika täiendusõpe [4. loeng] 1 Loengu kava Dünaamika Inerts Newtoni I seadus Inertsiaalne taustsüsteem Keha mass, aine
Kompleksarvu algebraline kuju
Kompleksarvud p. 1/15 Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju Mati Väljas mati.valjas@ttu.ee Tallinna Tehnikaülikool Kompleksarvud p. 2/15 Hulk Hulk on kaasaegse matemaatika algmõiste, mida ei saa
KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VII teema Vektor. Joone võrrandid.
KORDMINE RIIGIEKSMIKS VII teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks
Ehitusmehaanika harjutus
Ehitusmehaanika harjutus Sõrestik 2. Mõjujooned /25 2 6 8 0 2 6 C 000 3 5 7 9 3 5 "" 00 x C 2 C 3 z Andres Lahe Mehaanikainstituut Tallinna Tehnikaülikool Tallinn 2007 See töö on litsentsi all Creative
KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS V teema Vektor. Joone võrrandid.
KORDMINE RIIGIEKSMIKS V teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks
Füüsika täiendusõpe YFR0080
Füüsika täiendusõpe YFR0080 Füüsikainstituut Marek Vilipuu marek.vilipuu@ttu.ee Füüsika täiendusõpe [6.loeng] 1 Tehiskaaslaste liikumine (1) Kui Maa pinna lähedal, kõrgusel kus atmosfäär on piisavalt hõre,
28. Sirgvoolu, solenoidi ja toroidi magnetinduktsiooni arvutamine koguvooluseaduse abil.
8. Sigvoolu, solenoidi j tooidi mgnetinduktsiooni vutmine koguvooluseduse il. See on vem vdtud, kuid mitte juhtme sees. Koguvooluseduse il on sed lihtne teh. Olgu lõpmt pikk juhe ingikujulise istlõikeg,
Lokaalsed ekstreemumid
Lokaalsed ekstreemumid Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne maksimum, kui leidub selline positiivne arv δ, et 0 < Δx < δ Δy 0. Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne miinimum,
Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120
Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 2. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee Loenguslaidid Materjalid D. Halliday,R. Resnick, J. Walker. Füüsika põhikursus : õpik kõrgkoolile I köide. Eesti
Planeedi Maa kaardistamine G O R. Planeedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kera. Joon 1
laneedi Maa kaadistamine laneedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kea. G Joon 1 Maapinna kaadistamine põhineb kea ümbeingjoontel, millest pikimat nimetatakse suuingjooneks. Need suuingjooned, mis läbivad
2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon
2.2. MAATRIKSI P X OMADUSED 19 2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon Maatriksi X (dimensioonidega n k) veergude poolt moodustatav vektorruum (inglise k. column space) C(X) on defineeritud järgmiselt: Defineerides
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA SISUKORD 8 MÄÄRAMATA INTEGRAAL 56 8 Algfunktsioon ja määramata integraal 56 8 Integraalide tabel 57 8 Määramata integraali omadusi 58
Graafiteooria üldmõisteid. Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid
Graafiteooria üldmõisteid Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid Orienteerimata graafid G(x i )={ x k < x i, x k > A}
Deformeeruva keskkonna dünaamika
Peatükk 4 Deformeeruva keskkonna dünaamika 1 Dünaamika on mehaanika osa, mis uurib materiaalsete keskkondade liikumist välismõjude (välisjõudude) toimel. Uuritavaks materiaalseks keskkonnaks võib olla
Mitmest lülist koosneva mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine
TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL MEHAANIKAINSTITUUT Dünaamika kodutöö nr. 1 Mitmest lülist koosnea mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine ariant ZZ Lahendusnäide Üliõpilane: Xxx Yyy Üliõpilase kood:
HAPE-ALUS TASAKAAL. Teema nr 2
PE-LUS TSL Teema nr Tugevad happed Tugevad happed on lahuses täielikult dissotiseerunud + sisaldus lahuses on võrdne happe analüütilise kontsentratsiooniga Nt NO Cl SO 4 (esimeses astmes) p a väärtused
Elastsusõpetus. Tallinna Tehnikaülikool Mehaanikainstituut Deformeeruva keha mehaanika õppetool. Andrus Salupere. Loengukonspekt.
Tallnna Tehnkaülkool Mehaankansttuut Deformeeruva keha mehaanka õppetool ndrus Salupere Elastsusõpetus Loengukonspekt Tallnn 2005 1 Eessõna Käesolev loengukonspekt on mõeldud kasutamseks Tallnna Tehnkaülkool
Füüsika. Mehaanika alused. Absoluutselt elastne tsentraalpõrge
9.09.017 Füüsika Mehaanika alused Absoluutselt elastne tsentraalpõrge Põrkeks nimetatakse keha liikumisoleku järsku muutust kokkupuutel teise kehaga. Kui seejuures ei teki jääkdeformatsioone, nimetatakse
DEF. Kolmnurgaks nim hulknurka, millel on 3 tippu. / Kolmnurgaks nim tasandi osa, mida piiravad kolme erinevat punkti ühendavad lõigud.
Kolmnurk 1 KOLMNURK DEF. Kolmnurgaks nim hulknurka, millel on 3 tippu. / Kolmnurgaks nim tasandi osa, mida piiravad kolme erinevat punkti ühendavad lõigud. Kolmnurga tippe tähistatakse nagu punkte ikka
ITI 0041 Loogika arvutiteaduses Sügis 2005 / Tarmo Uustalu Loeng 4 PREDIKAATLOOGIKA
PREDIKAATLOOGIKA Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem
Vektorid. A=( A x, A y, A z ) Vektor analüütilises geomeetrias
ektorid Matemaatikas tähistab vektor vektorruumi elementi. ektorruum ja vektor on defineeritud väga laialt, kuid praktikas võime vektorit ette kujutada kui kindla arvu liikmetega järjestatud arvuhulka.
Elastsusõpetus. (Lineaarne elastsusteooria)
Tallnna Tehnkaülkool Mehaankansttuut Rakendusmehaanka õppetool ndrus Salupere Elastsusõpetus (Lneaarne elastsusteoora) Loengukonspekt Tallnn 2009-2011 1 Eessõna Käesolev loengukonspekt on eeskätt mõeldud
FÜÜSIKA I PÕHIVARA. Põhivara on mõeldud üliõpilastele kasutamiseks õppeprotsessis aines FÜÜSIKA I. Koostas õppejõud P.Otsnik
FÜÜSIKA I PÕHIVARA Põhivara on mõeldud üliõpilastele kasutamiseks õppeprotsessis aines FÜÜSIKA I. Koostas õppejõud P.Otsnik Tallinn 2003 2 1. SISSEJUHATUS. Mõõtühikud moodustavad ühikute süsteemi. Meie
,millest avaldub 21) 23)
II kursus TRIGONOMEETRIA * laia matemaatika teemad TRIGONOMEETRILISTE FUNKTSIOONIDE PÕHISEOSED: sin α s α sin α + s α,millest avaldu s α sin α sα tan α, * t α,millest järeldu * tα s α tα tan α + s α Ülesanne.
Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded
Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond 4 Leidke
20. SIRGE VÕRRANDID. Joonis 20.1
κ ËÁÊ Â Ì Ë Æ Á 20. SIRGE VÕRRANDID Sirget me võime vaadelda kas tasandil E 2 või ruumis E 3. Sirget vaadelda sirgel E 1 ei oma mõtet, sest tegemist on ühe ja sama sirgega. Esialgu on meie käsitlus nii
Füüsika. teemad 1-8. Karli Klaas
Füüsika teemad 1-8 Karli Klaas SI-süsteem SI-süsteem ehk rahvusvaheline mõõtühikute süsteem tunnistati eelistatud mõõtühikute süsteemiks oktoobris 1960 Pariisis NSV Liidus kehtis SI-süsteem aastast 1963.
Vektori u skalaarkorrutist iseendaga nimetatakse selle vektori skalaarruuduks ja tähistatakse (u ) 2 või u 2 u. u v cos α = u 2 + v 2 PQ 2
Vektorite sklrkorrutis Vtleme füüsikkursusest tuntud olukord, kus kehle mõjub jõud F r j keh teeb selle jõu mõjul nihke s Konkreetsuse huvides olgu kehks rööbsteel liikuv vgun Jõud F r mõjugu vgunile rööbstee
Funktsiooni diferentsiaal
Diferentsiaal Funktsiooni diferentsiaal Argumendi muut Δx ja sellele vastav funktsiooni y = f (x) muut kohal x Eeldusel, et f D(x), saame Δy = f (x + Δx) f (x). f (x) = ehk piisavalt väikese Δx korral
Skalaar, vektor, tensor
Peatükk 2 Skalaar, vektor, tensor 1 2.1. Sissejuhatus 2-2 2.1 Sissejuhatus Skalaar Üks arv, mille väärtus ei sõltu koordinaatsüsteemi (baasi) valikust Tüüpiline näide temperatuur Vektor Füüsikaline suurus,
Tallinna Tehnikaülikool Mehaanikainstituut Rakendusmehaanika õppetool. Andrus Salupere. Loengukonspekt EMR5170, EMR0020, 4,0 AP
Tallinna Tehnikaülikool Mehaanikainstituut Rakendusmehaanika õppetool Andrus Salupere DÜNAAMIKA Loengukonspekt EMR5170, EMR0020, 4,0 AP Tallinn 2003/2004/2005 Eessõna Käesolev loengukonspekt on mõeldud
Skalaar, vektor, tensor
Peatükk 2 Skalaar, vektor, tensor 1 2.1. Sissejuhatus 2-2 2.1 Sissejuhatus Skalaar Üks arv, mille väärtus ei sõltu koordinaatsüsteemi (baasi) valikust Tüüpiline näide temperatuur Vektor Füüsikaline suurus,
Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded
Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded. Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond.
Kordamine 2. osa Jõud looduses, tihedus, rõhk, kehad vedelikus ja gaasis. FÜÜSIKA 8. KLASSILE
Kordamine 2. osa Jõud looduses, tihedus, rõhk, kehad vedelikus ja gaasis. FÜÜSIKA 8. KLASSILE AINE TIHEDUS AINE TIHEDUSEKS nimetatakse füüsikalist suurust, mis võrdub keha (ainetüki) massi ja selle keha
9. AM ja FM detektorid
1 9. AM ja FM detektorid IRO0070 Kõrgsageduslik signaalitöötlus Demodulaator Eraldab moduleeritud signaalist informatiivse osa. Konkreetne lahendus sõltub modulatsiooniviisist. Eristatakse Amplituuddetektoreid
Analüütilise geomeetria praktikum II. L. Tuulmets
Analüütilise geomeetria praktikum II L. Tuulmets Tartu 1985 2 Peatükk 4 Sirge tasandil 1. Sirge tasandil Kui tasandil on antud afiinne reeper, siis iga sirge tasandil on selle reeperi suhtes määratud lineaarvõrrandiga
Newtoni seadused on klassikalise mehaanika põhialuseks. Neist lähtuvalt saab kehale mõjuvate jõudude kaudu arvutada keha liikumise.
KOOLIÜÜSIKA: MEHAANIKA (kaugõppele). DÜNAAMIKA. Newtoni seadused. Newtoni seadused on klassikalise mehaanika põhialuseks. Neist lähtuvalt saab kehale mõjuvate jõudude kaudu avutada keha liikumise. Newtoni
Geomeetria põhivara. Jan Willemson. 19. mai 2000.a.
Geomeetria põhivara Jan Willemson 19. mai 2000.a. 1 Kolmnurk Kolmnurgas tasub mõelda järgmistest lõikudest ja sirgetest: kõrgused, nurgapoolitajad, välisnurkade poolitajad, külgede keskristsirged, mediaanid,
2.1. Jõud ja pinged 2-2
1 Peatükk 2 Pinge 2.1. Jõud ja pinged 2-2 2.1 Jõud ja pinged Kehale mõjuvad välisjõud saab jagada kahte rühma. 1. Pindjõud ehk kontaktjõud on põhjustatud keha kontaktist teiste kehade või keskkondadega.
Pinge. 2.1 Jõud ja pinged
Peatükk 2 Pinge 1 2.1. Jõud ja pinged 2-2 2.1 Jõud ja pinged Kehale mõjuvad välisjõud saab jagada kahte rühma. 1. Pindjõud ehk kontaktjõud on põhjustatud keha kontaktist teiste kehade või keskkondadega.
PLASTSED DEFORMATSIOONID
PLAED DEFORMAIOONID Misese vlavustingimus (pinegte ruumis) () Dimensineerimisega saab kõrvaldada ainsa materjali parameetri. Purunemise (tugevuse) kriteeriumid:. Maksimaalse pinge kirteerium Laminaat puruneb
REAALAINETE KESKUS JAAK SÄRAK
REAALAINETE KESKUS JAAK SÄRAK TALLINN 2006 1 DESCRIPTIVE GEOMETRY Study aid for daily and distance learning courses Compiler Jaak Särak Edited by Tallinn College of Engineering This publication is meant
Teaduskool. Alalisvooluringid. Koostanud Kaljo Schults
TARTU ÜLIKOOL Teaduskool Alalisvooluringid Koostanud Kaljo Schults Tartu 2008 Eessõna Käesoleva õppevahendi kasutajana on mõeldud eelkõige täppisteaduste vastu huvi tundvaid gümnaasiumi õpilasi, kes on
sin 2 α + cos 2 sin cos cos 2α = cos² - sin² tan 2α =
KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS III TRIGONOMEETRIA ) põhiseosed sin α + cos sin cos α =, tanα =, cotα =, cos sin + tan =, tanα cotα = cos ) trigonomeetriliste funktsioonide täpsed väärtused α 5 6 9 sin α cos α
5. TUGEVUSARVUTUSED PAINDELE
TTÜ EHHTROONKNSTTUUT HE00 - SNTEHNK.5P/ETS 5 - -0-- E, S 5. TUGEVUSRVUTUSE PNELE Staatika üesandes (Toereaktsioonide eidmine) vaadatud näidete ause koostada taade sisejõuepüürid (põikjõud ja paindemoment)
Kontekstivabad keeled
Kontekstivabad keeled Teema 2.1 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 1 / 27 Loengu kava 1 Kontekstivabad grammatikad 2 Süntaksipuud 3 Chomsky normaalkuju Jaan Penjam,
Kui ühtlase liikumise kiirus on teada, saab aja t jooksul läbitud teepikkuse arvutada valemist
KOOLIFÜÜSIKA: MEHAANIKA (kaugõppele). KINEMAATIKA. Ühtlane liikumine Punktmass Punktmassiks me nimetame keha, mille mõõtmeid me antud liikumise juures ei pruugi arestada. Sel juhul loemegi keha tema asukoha
Eesti koolinoorte 26. füüsika lahtine võistlus
Eesti koolinoorte 6. füüsika lahtine võistlus 8. november 05. a. Vanema rühma ülesannete lahendused. (RONGIVILE) Tähistagu L veduri kaugust jaamaülemast hetkel, mil vedurijuht alustab vile laskmisega.
Virumaa Kolledž. Gennadi Arjassov. L O E N G U K O N S P E K T Varraskonstruktsioonide staatika ja dünaamika. Ehitusmehaanika RAR2030.
Viruaa Koedž Gennadi rjassov L O E N G U K O N S P E K T Varraskonstruktsioonide staatika ja dünaaika Ehitusehaanika RR Õppevahend Kohta-Järve 5/ Eessõna Loengukonspekt Varraskonstruktsioonide staatika
LOOGIKA ELEMENTE MATEMAATIKAS. GEOMEETRIA AKSIOMAATILISEST ÜLESEHITUSEST. Koostanud Hilja Afanasjeva
LOOGIKA ELEMENTE MATEMAATIKAS. GEOMEETRIA AKSIOMAATILISEST ÜLESEHITUSEST EESSÕNA Koostanud Hilja Afanasjeva Enne selle teema käsitlemist avame mõned materjalist arusaamiseks vajalikud mõisted hulgateooriast.
Virumaa Kolledž Reaal ja tehnikateaduste keskus
Viruaa Koedž Reaa ja tehnikateaduste keskus Gennadi rjassov L O E N G U K O N S P E K T Varraskonstruktsioonide staatika ja dünaaika Ehitusehaanika RR Õppevahend Kohta-Järve 7/8 Eessõna Loengukonspekt
MEHAANIKA. s t. kogu. kogu. s t
MLR 700 Üldfüüsika süvakursus: Katrin Teras Ettevalmistus Üldfüüsika eksamiks Aine kood: MLR 700 Eksami aeg: 05.0.006 Kell:.00 Ruum: P-5 Konsultatsiooni aeg: 04.0.006 Kell:.00 Ruum: P-5. Ainepunkti mõiste.
Sissejuhatus. Kinemaatika
Sissejuhatus Enamuse füüsika ülesannete lahendamine taandub tegelikult suhteliselt äikese hulga ideede rakendamisele (öeldu kehtib ka teiste aldkondade, näiteks matemaatika kohta). Seega on aja õppida
Põhivara aines Füüsika ja tehnika
Põhivara aines Füüsika ja tehnika Maailmapilt on maailmavaateliste teadmiste süsteem, mille abil inimene tunnetab ümbritsevat maailma ja suhestab end sellega. Kui inimindiviid kasutab iseenda kohta mõistet
YMM3740 Matemaatilne analüüs II
YMM3740 Matemaatilne analüüs II Gert Tamberg Matemaatikainstituut Tallinna Tehnikaülikool gert.tamberg@ttu.ee http://www.ttu.ee/gert-tamberg G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 1 / 29 Sisu
4. KEHADE VASTASTIKMÕJUD. JÕUD
4. KEHADE VASTASTIKMÕJUD. JÕUD Arvatavasti oled sa oma elus kogenud, et kõik mõjud on vastastikused. Teiste sõnadega: igale mõjule on olemas vastumõju. Ega füüsikaski teisiti ole. Füüsikas on kehade vastastikuse
Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika
Operatsioonsemantika Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika kirjeldab kuidas j~outakse l~oppolekusse Struktuurne semantika
Vektor. Joone võrrand. Analüütiline geomeetria.
Vektor. Joone võrrand. Analüütiline geomeetria. Hele Kiisel, Hugo Treffneri Gümnaasium Analüütilise geomeetria teemad on gümnaasiumi matemaatikakursuses jaotatud kaheks osaks: analüütiline geomeetria tasandil,
4.1 Funktsiooni lähendamine. Taylori polünoom.
Peatükk 4 Tuletise rakendusi 4.1 Funktsiooni lähendamine. Talori polünoom. Mitmetes matemaatika rakendustes on vaja leida keerulistele funktsioonidele lihtsaid lähendeid. Enamasti konstrueeritakse taolised
Ülesannete numbrid on võetud ülesannete kogust L.Lepmann jt. Ülesandeid gümnaasiumi matemaatika lõpueksamiks valmistumisel Tln Ül.
Ülesannete numbrid on võetud ülesannete kogust L.Lepmann jt. Ülesandeid gümnaasiumi matemaatika lõpueksamiks valmistumisel Tln.6 I kursus NÄIDISTÖÖ nr.: Astmed.. Arvutada avaldise täpne väärtus. 8 * (,8)
TARTU ÜLIKOOL Teaduskool. V. Väinaste. Kehade pöördliikumine
TARTU ÜLIKOOL Teaduskool V. Väinaste Kehade pöördliikumine TARTU 009 1 Kehade pöördliikumine Mehaanikas eristatakse kehade liikumise kahte põhiliiki: a) kulgliikumine b) pöördliikumine Kulgliikumise korral
Jätkusuutlikud isolatsioonilahendused. U-arvude koondtabel. VÄLISSEIN - COLUMBIA TÄISVALATUD ÕÕNESPLOKK 190 mm + SOOJUSTUS + KROHV
U-arvude koondtabel lk 1 lk 2 lk 3 lk 4 lk 5 lk 6 lk 7 lk 8 lk 9 lk 10 lk 11 lk 12 lk 13 lk 14 lk 15 lk 16 VÄLISSEIN - FIBO 3 CLASSIC 200 mm + SOOJUSTUS + KROHV VÄLISSEIN - AEROC CLASSIC 200 mm + SOOJUSTUS
M E H A A N I K A KINEMAATIKA Sirgjooneline liikumine
M E H A A N I K A KINEMAATIKA Sirgjooneline liikumine 1. Auto sõitis Tallinnast Tartusse. Esimese poole teest läbis ta kiirusega 80 km/h ja teise poole kiirusega 120 km/h. Tagasiteel liikus auto poole
6 Mitme muutuja funktsioonid
6 Mitme muutu funktsioonid Reaalarvude järjestatud paaride (x, ) hulga tasandi punktide hulga vahel on üksühene vastavus, st igale paarile vastab üks kindel punkt tasandil igale tasandi punktile vastavad
Põhivara aines LOFY Füüsika ja tehnika
Põhivara aines LOFY.01.121 Füüsika ja tehnika Maailm on keskkond, mis jääb väljapoole inimese mina-tunnetuse piire. Loodus on inimest ümbritsev ja inimesest sõltumatult eksisteeriv keskkond. Looduses toimuvaid
Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses
Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses Allar Veelmaa, Loo Keskkool Funktsioon on üldtähenduses eesmärgipärane omadus, ülesanne, otstarve. Mõiste funktsioon ei ole kasutusel ainult matemaatikas,
; y ) vektori lõpppunkt, siis
III kusus VEKTOR TASANDIL. JOONE VÕRRAND *laia matemaatika teemad. Vektoi mõiste, -koodinaadid ja pikkus: http://www.allaveelmaa.com/ematejalid/vekto-koodinaadid-pikkus.pdf Vektoite lahutamine: http://allaveelmaa.com/ematejalid/lahutaminenull.pdf
Ehitusmehaanika. EST meetod
Ehitusmehaanika. EST meetod Staatikaga määramatu kahe avaga raam /44 4 m q = 8 kn/m 00000000000000000000000 2 EI 4 EI 6 r r F EI p EI = 0 kn p EI p 2 m 00 6 m 00 6 m Andres Lahe Mehaanikainstituut Tallinna
Deformatsioon ja olekuvõrrandid
Peatükk 3 Deformatsioon ja olekuvõrrandid 3.. Siire ja deformatsioon 3-2 3. Siire ja deformatsioon 3.. Cauchy seosed Vaatleme deformeeruva keha meelevaldset punkti A. Algolekusontemakoor- dinaadid x, y,
1 Funktsioon, piirväärtus, pidevus
Funktsioon, piirväärtus, pidevus. Funktsioon.. Tähistused Arvuhulki tähistatakse üldlevinud viisil: N - naturaalarvude hulk, Z - täisarvude hulk, Q - ratsionaalarvude hulk, R - reaalarvude hulk. Piirkonnaks
1 Kompleksarvud Imaginaararvud Praktiline väärtus Kõige ilusam valem? Kompleksarvu erinevad kujud...
Marek Kolk, Tartu Ülikool, 2012 1 Kompleksarvud Tegemist on failiga, kuhu ma olen kogunud enda arvates huvitavat ja esiletõstmist vajavat materjali ning on mõeldud lugeja teadmiste täiendamiseks. Seega
8. KEEVISLIITED. Sele 8.1. Kattekeevisliide. Arvutada kahepoolne otsõmblus terasplaatide (S235J2G3) ühendamiseks. F = 40 kn; δ = 5 mm.
TTÜ EHHATROONIKAINSTITUUT HE00 - ASINATEHNIKA -, 5AP/ECTS 5 - -0-- E, S 8. KEEVISLIITED NÄIDE δ > 4δ δ b k See 8.. Kattekeevisiide Arvutada kahepoone otsõmbus teraspaatide (S5JG) ühendamiseks. 40 kn; δ
Tuletis ja diferentsiaal
Peatükk 3 Tuletis ja diferentsiaal 3.1 Tuletise ja diferentseeruva funktsiooni mõisted. Olgu antud funktsioon f ja kuulugu punkt a selle funktsiooni määramispiirkonda. Tuletis ja diferentseeruv funktsioon.
3. IMPULSS, TÖÖ, ENERGIA
KOOLIFÜÜSIKA: MEHAANIKA3 (kaugõppele) 3. IMPULSS, TÖÖ, ENERGIA 3. Impulss Impulss, impulsi jääus Impulss on ektor, mis on õrdne keha massi ja tema kiiruse korrutisega p r r = m. Mehaanikas nimetatakse
Põhivara aines LOFY Füüsikaline maailmapilt
Põhivara aines LOFY.01.002 Füüsikaline maailmapilt Maailmapilt on teadmiste süsteem, mille abil inimene tunnetab ümbritsevat maailma ja suhestab end sellega. Kui inimindiviid kasutab iseenda kohta mõistet
MATEMAATILINE ANAL U US II Juhend TT U kaug oppe- uli opilastele
MATEMAATILINE ANALÜÜS II Juhend TTÜ kaugõppe-üliõpilastele TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL Matemaatikainstituut MATEMAATILINE ANALÜÜS II Juhend TTÜ kaugõppe-üliõpilastele Tallinn 24 3 MATEMAATILINE ANALÜÜS II
HULGATEOORIA ELEMENTE
HULGATEOORIA ELEMENTE Teema 2.2. Hulga elementide loendamine Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 1 / 31 Loengu kava 2 Hulga elementide loendamine Hulga võimsus Loenduvad
Aritmeetilised ja loogilised operaatorid. Vektor- ja maatriksoperaatorid
Marek Kolk, Tartu Ülikool Viimati muudetud : 6.. Aritmeetilised ja loogilised operaatorid. Vektor- ja maatriksoperaatorid Aritmeetilised operaatorid Need leiab paletilt "Calculator" ja ei vaja eraldi kommenteerimist.
Ecophon Line LED. Süsteemi info. Mõõdud, mm 1200x x x600 T24 Paksus (t) M329, M330, M331. Paigaldusjoonis M397 M397
Ecophon Line LED Ecophon Line on täisintegreeritud süvistatud valgusti. Kokkusobiv erinevate Focus-laesüsteemidega. Valgusti, mida sobib kasutada erinevates ruumides: avatud planeeringuga kontorites; vahekäigus
Prisma. Lõik, mis ühendab kahte mitte kuuluvat tippu on prisma diagonaal d. Tasand, mis. prisma diagonaal d ja diagonaaltasand (roheline).
Prism Prisms nimese ulu, mille s u on vsvl rlleelsee j võrdsee ülgedeg ulnurgd, ning ülejäänud ud on rööüliud, millel on ummgi ulnurgg üine ülg. Prlleelseid ulnuri nimese rism õjdes j nende ulnurde ülgi
Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi
Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi lõppvoor MATEMAATIKAS Tartus, 9. märtsil 001. a. Lahendused ja vastused IX klass 1. Vastus: x = 171. Teisendame võrrandi kujule 111(4 + x) = 14 45 ning
KOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD
KOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD Teema 3.1 (Õpiku peatükid 1 ja 3) Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika 1 / 31 Loengu kava 1 Tähistusi 2 Kombinatoorsed
I tund: Füüsika kui loodusteadus. (Sissejuhatav osa) Eesmärk jõuda füüsikasse läbi isiklike kogemuste. Kuidas kujunes sinu maailmapilt?
I tund: Füüsika kui loodusteadus. (Sissejuhatav osa) Eesmärk jõuda füüsikasse läbi isiklike kogemuste. Kuidas kujunes sinu maailmapilt? (Sündmused tekitavad signaale, mida me oma meeleorganitega aistingutena
Joonis 1. Teist järku aperioodilise lüli ülekandefunktsiooni saab teisendada võnkelüli ülekandefunktsiooni kujul, kui
Ülesnded j lhendused utomtjuhtimisest Ülesnne. Süsteem oosneb hest jdmisi ühendtud erioodilisest lülist, mille jonstndid on 0,08 j 0,5 ning õimendustegurid stlt 0 j 50. Leid süsteemi summrne ülendefuntsioon.
Põhivara aines LOFY Füüsika ja tehnika
Põhivara aines LOFY.01.121 Füüsika ja tehnika Maailm on keskkond, mis jääb väljapoole inimese mina-tunnetuse piire. Loodus (lad natura) on inimest ümbritsev ja inimesest sõltumatult eksisteeriv keskkond.
1 MTMM Kõrgem matemaatika, eksamiteemad 2014
1 MTMM.00.188 Kõrgem matemaatika, eksamiteemad 2014 Eksamitöö annab kokku 80 punkti ja ülesanded jagunevad järgmisse kuude gruppi: P1 ( 10p ) - ülesanded I kontrolltöö põhiteemade peale; P2 ( 10p ) - ülesanded
6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad
6.6. Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 263 6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 6.6.1 Silindriline paine Kui ristkülikuline plaat on pika ristküliku kujuline
ALGEBRA I. Kevad Lektor: Valdis Laan
ALGEBRA I Kevad 2013 Lektor: Valdis Laan Sisukord 1 Maatriksid 5 1.1 Sissejuhatus....................................... 5 1.2 Maatriksi mõiste.................................... 6 1.3 Reaalarvudest ja
LOFY Füüsika looduslikus ja tehiskeskkonnas I (3 EAP)
LOFY.01.087 Füüsika looduslikus ja tehiskeskkonnas I (3 EAP) Sissejuhatus... 1 1. Füüsika kui loodusteadus... 2 1.1. Loodus... 2 1.2. Füüsika... 3 1.3. Teaduse meetod... 4 2. Universumiõpetus... 7 3. Liikumine
2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused klass
2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused 11. 12. klass 18 g 1. a) N = 342 g/mol 6,022 1023 molekuli/mol = 3,2 10 22 molekuli b) 12 H 22 O 11 + 12O 2 = 12O 2 + 11H 2 O c) V = nrt p d) ΔH
Eesti koolinoorte 50. täppisteaduste olümpiaad Füüsika lõppvoor. 30. märts a. Keskkooli ülesannete lahendused
Eesti koolinoorte 50. täppisteaduste olümpiaad 1. ülesanne Füüsika lõppvoor. 30. märts 2003. a. Keskkooli ülesannete lahendused Läheme kiirusega v/2 liikuvasse süsteemi. Seal on olukord sümmeetriline,