ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Διδακτικές Σημειώσεις. Μανόλης Βάβαλης

Transcript

1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Διδακτικές Σημειώσεις Μανόλης Βάβαλης

2 Στο μέτρο του δυνατού, σύμφωνα με το νόμο, ο Μανόλης Βάβαλης έχει παραιτηθεί από όλα τα δικαιώματα πνευματικής ιδιοκτησίας και λοιπά ενδεχόμενα δικαιώματα στις παρούσες διδακτικές σημεώσεις με τίτλο "ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ" Art No xxxxx ISBN xxx--xx--xxxx--xx--x Edition 00

3 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 5 11 Προθέρμανση 6 12 Μια εφαρμογή της Γραμμικής Άλγβερας Βασικές έννοιες και ορισμοί Τί είναι Γραμμική Άλγεβρα; 14 2 Η απαλοιφή του Γκάους Εισαγωγή Ειδικά συστήματα -- Διαγώνια Ειδικά Συστήματα -- Τριγωνικά Απολοιφή του Γκάους Ο αλγόριθμος της απαλοιφής Απαλοιφή με οδήγηση 28 3 Διανύσματα, Πίνακες και Πράξεις Διανύσματα, πίνακες και βασικές πράξεις Πολλαπλασιαμοί Διανυσμάτων και Πινάκων Τύποι Πινάκων 40 3

4

5 1 Εισαγωγή 11 Προθέρμανση 12 Μια εφαρμογή της Γραμμικής Άλγβερας Βασικές έννοιες και ορισμοί Τί είναι Γραμμική Άλγεβρα; 14 Η Αλίκη έσκυψε κάτω από το φράχτη και χώθηκε στην τρύπα, δίχως να σκεφτεί με ποιον τρόπο θα έβγαινε από κει μέσα Η Αλίκη στην Χώρα των Θαυμάτων, Λούις Κάρολ Στο πρώτο αυτό κεφάλαιο θα προσπαθήσουμε να αποκτήσουμε μια αρχική ιδέα αναφορικά με το γενικότερο αντικείμενο της Γραμμικής Άλγεβρας, τις βασικές έννοιες και τα γενικά χαρακτηριστικά της Η ανάπτυξη του Κεφαλαίου αυτού είναι σχετικά ασαφής Η ελπίδα είναι να διαμορφώσουμε μια εννοιoλογική βάση πάνω στην οποία θα εργαστούμε στα επόμενα κεφάλαια Mετά την διαμόρφωση της εν λόγω βάσης θα συγκεκριμενοποιήσουμε τις αναφερόμενες έννοιες και θα κατανοήσουμε το γενικότερο πλαίσιο της Γραμμικής Άλγεβρας Συνεπώς προτείνετε να ξανα-επισκεπτόμαστε το κεφάλαιο αυτό στο τέλος καθενός απο τα επόμενα κεφάλαια Επιπρόσθετα θα προσπαθήσουμε να πάρουμε μια πρώτη εικόνα τόσο της χρησιμότητας όσο και της σπουδαιότητας της Γραμμικής Άλγεβρας 5 6

6 6 11 Προθέρμανση 11 Προθέρμανση Η γραμμική άλγεβρα είναι τομέας των μαθηματικών και της άλγεβρας ο οποίος ασχολείται με τη μελέτη διανυσμάτων, διανυσματικών χώρων, γραμμικών απεικονίσεων και συστημάτων γραμμικών εξισώσεων Η αναλυτική γεωμετρία αποτελεί έκφρασή της και η ίδια αποτελεί κεντρικό συνδετικό ιστό των σύγχρονων μαθηματικών, ιδιαιτέρως μέσω της αφηρημένης έννοιας του διανυσματικού χώρου η οποία μπορεί να μοντελοποιήσει πολλά διαφορετικά προβλήματα που συναντώνται στην πράξη Συνηθισμένη πρακτική είναι η προσέγγιση μη γραμμικών φαινομένων με γραμμικά μοντέλα (γραμμικοποίηση), προκειμένου να μπορούν να εφαρμοστούν οι μεθοδολογίες της γραμμικής άλγεβρας Η εν λόγω «γραμμικότητα» αφορά το γεγονός ότι οι μεθοδολογίες αυτές εφαρμόζονται σε σύνολα συναρτήσεων οι οποίες στον τύπο τους περιέχουν μόνο πολυώνυμα πρώτου ή μηδενικού βαθμού και περιγράφουν σχέσεις μεταξύ n-διάστατων διανυσμάτων Οι συναρτήσεις αυτές ονομάζονται και γραμμικές επειδή, στην αναλυτική γεωμετρία, απεικονίζονται οπτικά με ευθείες γραμμές Βικιπαίδεια, 2017 Ο παραπάνω ορισμός της Γραμμικής Άλγεβρας που θα βρούμε στην κατά γενική ομολογία έγκυρη Βικιπαίδαια, δεν βοηθά όσο θα έπρεπε Αναφέρει βεβαίως κάποια από τα χαρακτηριστικά της Γραμμικής Άλγεβρας, δεν μας βοηθά όμως να ξεδιαλύνουμε το τί στην ουσία είναι, ούτε να δικαιολογήσουμε το όνομα της Δεν θα συναντήσουμε πολλές γραμμές ούτε θα εστιάσουμε τόσο πολύ στις αλγεβρικές πράξεις όσο στην γνωστή Άλγεβρα Με βάση την εμπειρία της έως τώρα εκπαίδευσής μας Άλγεβρα χοντρικά σημαίνει συσχετίσεις μεταξύ γνωστών ή/και αγνώστων αριθμών Για παράδειγμα, παρόλο που δεν γνωρίζουμε τους x και y, μπορούμε με ευκολία να κατανοήσουμε και να χρησιμοποιήσουμε εκφράσεις της μορφής (x+y) 2 = x 2 +2xy+y 2 Κάτι παρόμοιο θα κάνουμε και στην Γραμμική Άλγεβρα μόνον οι γνωστοί και οι άγνωστοι δεν θα είναι απλά αριθμοί μόνον, αλλά κάτι λίγο ποιο περίπλοκο Αναμενόμενο είναι και οι συσχετίσεις τους να μην είναι τόσο απλές, μια και θα αφορούν πράξεις μεταξύ πιο σύνθετων στοιχείων, όπως διανύσματα και πίνακες, τα οποία θα συναντήσουμε στα επόμενα κεφάλαια Είναι αναμενόμενο να ισχυρισθούμε ότι το επίθετο Γραμμική προέρχεται από την Γεωμετρία και συγκεκριμένα από την έννοια της γραμμής Της ευθείας γραμμής συγκεκριμένα Είναι δηλαδή άλγεβρα των γραμμών Ορίστε λοιπόν δύο γραμμές y = 2x + 1 y = 3x + 7

7 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή 7 Μπορούμε να προσθέσουμε/αφαιρέσουμε (κατά μέλη) τις δύο αυτές γραμμές και έτσι να προκύψει μια άλλη γραμμή, να πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη όποιας γραμμής επιθυμούμε με έναν πραγματικό αριθμό, να κάνουμε γενικά διάφορες αλγεβρικές πράξεις Ας παραμείνουμε για λίγο στην Γεωμετρία και ας δούμε αρχικά σε τι είδους γραμμές αναφέρεται η Γραμμική Άλγεβρα Στο σχήμα?? παραθέτουμε την γραφική παράσταση της ευθείας y y(x) = mx + b (11) m 1 } b x στο επίπεδο, όπου m είναι η κλίση της ευθείας και όπου b το σημείο στο οποίο τέμνει η ευθεία τον άξονα του y Σχήμα 11: Γραφική παράσταση της ευθείας y = mx + b Η παραπάνω μαθηματική έκφραση της ευθείας γραμμής βασίζεται στις αποκλειστικά γεωμετρικής φύσης παραμέτρους m και b οι οποίες όμως πολύ λίγα προσφέρουν στην αλγεβρική της έκφανση Προφανώς, μπορούμε να επεξεργαστούμε αλγεβρικά την εξίσωση αυτή με τις παρακάτω απλές, και βαρετές, πράξεις y = mx + b y mx = b mx + y = b mx 1 + x 2 = b όπου στο τελευταίο βήμα έχουμε αλλάξει την ονομασία των μεταβλητών Μπορούμε τώρα να ισχυρισθούμε ότι η γενική γεωμετρική μορφή της ευθείας 11 με την οποία ξεκινήσαμε είναι απολύτως ισοδύναμη (για a 2 0) με την παρακάτω γενική αλγεβρική της μορφή a 1 x 1 + a 2 x 2 = b (12) Η χρησιμότητα της διατύπωσης της ευθείας στην παραπάνω μορφή θα φανεί σε λίγο Προς το παρόν σημειώστε ότι m = a 1 /a 2, a 2 0και b = b/a 2 και ότι η γραφική παράσταση της 12 είναι η ίδια με αυτήν της 11 και το μόνο που αλλάζει στο σχήμα?? είναι τα ονόματα των αξόνων που τώρα γίνονται x 1 και x 2 Μπορούμε να επεξεργαστούμε με ευκολία ευθείες μέσω αλγεβρικών εκφράσεων της μορφής 12 και γνωστών αλγεβρικών πράξεων

8 8 11 Προθέρμανση Παράδειγμα 11 (Σημείο τομής δύο ευθειών) Θεωρήστε τις παρακάτω δύο ευθείες 2x + y = 1 x + y = 5 και υπολογίστε το σημείο που αυτές τέμνονται Αφαιρούμε την δεύτερη εξίσωση απο την πρώτη για να πάρουμε x = 4 και αντικαθιστούμε την τιμή αυτή του x σε μια απο τις εξισώσεις 12 για να πάρουμε y = 9, συνεπώς οι δύο ευθείες τέμνονται στο σημείο ( 4,) Μπορούμε να διατυπώσουμε το παραπάνω συμπέρασμά μας με τον εξής τρόπο: το σημείο ( 4,9) ανήκει και στις δύο ευθείες και μάλιστα είναι το μοναδικό σημείο του επιπέδου με την ιδιότητα αυτή Προφανώς, το σημείο αυτό μπορεί να υπολογισθεί και γεωμετρικά ως εξής, C o n t o u r P l o t [ { 2 x+y ==1, x+y = = 5 }, { x, 2 0, 2 0 }, { y, 2 0, 2 0 } ] Όπως θα δούμε όμως παρακάτω αυτό ελάχιστα θα μας βοηθήσει στην ανάπτυξη του θέματός μας Ας προσπαθήσουμε τώρα να επεκτείνουμε τα παραπάνω για να διατυπώσουμε την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής στις τρεις διαστάσεις Η απλή λογική μας προτρέπει να εξετάσουμε την εξής επέκταση της εξίσωσης 12: a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = b (13) όπου x 3 είναι η νέα (τρίτη) μεταβλητή και a 3 είναι ο αντίστοιχος συντελεστής και όπου για την ευκολία μας ξεφορτωθήκαμε τον τόνο απο το b Δυστυχώς, όπως εύκολα μπορούμε να διαπιστώσουμε, η 13 είναι εξίσωση επιπέδου και όχι ευθείας Είναι όμως ιδιαίτερα χρήσιμη μια και μπορούμε να ορίσουμε κάθε ευθεία σαν τομή δύο επιπέδων Πρέπει λοιπόν να συμπληρώσουμε την 13 με μια παρόμοια εξίσωση η οποία θα καθορίζει το άλλο επίπεδο που χρειαζόμαστε για τον ορισμό της ευθείας Παράδειγμα 12 (Σημείο τομής δύο επιπέδων) Θεωρήστε τα παρακάτω δύο επίπεδα 2x + y + z = 5 (14) 2x + 7y + 2z = 9 (15) και υπολογίστε την ευθεία που αυτά τέμνονται Θα μάθουμε παρακάτω πως μπορούμε να βρούμε όλα τα σημεία που ανήκουν και στα δύο επίπεδα με αλγεβρικό τρόπο Προς το παρόν ας αρκεστούμε στην γραφική παράσταση των δύο επιπέδων, καθώς και της τομή τους όπως αυτά δίνονται στο παράπλευρο σχήμα το οποίο μπορούμε να αναπαράξουμε με τον εξής κώδικα ContourPlot3D [ { 2 x+y+z == 5, 2x+7y+2 z == 9 }, { x, 1 0, 1 0 }, { y, 1 0, 1 0 }, { z, 1 0, 1 0 } ]

9 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή 9 Για να επεκτείνουμε τον γενικό συμβολισμό που εισαγάγαμε με την εξίσωση 13 για περισσότερες απο μια εξισώσεις εισαγάγουμε έναν ακόμα δείκτη στους συντελεστές των αγνώστων ως εξής a 1,1 x 1 + a 1,2 x 2 + a 1,3 x 3 = b 1 (16) a 2,1 x 1 + a 2,2 x 2 + a 2,3 x 3 = b 2 (17) Έτσι λοιπόν συμβολίζουμε γενικότερα με x j, j = 1,2,3 τους τρεις αγνώστους του συστήματος και με a i,j,i = 1,2, j = 1,2,3 τον συντελεστή του j αγνώστου στην i εξίσωση Ενδεικτικά αναφέρουμε ότι στο Παράδειγμα 12 έχουμε ότι a 2,3 = 2 Στην προσπάθειά μας να γενικεύσουμε περαιτέρω το πρόβλημά μας, ας προσθέσουμε μια ακόμα εξίσωση στις 16 ως εξής a 1,1 x 1 + a 1,2 x 2 + a 1,3 x 3 = b 1 (18) a 2,1 x 1 + a 2,2 x 2 + a 2,3 x 3 = b 2 (19) a 3,1 x 1 + a 3,2 x 2 + a 3,3 x 3 = b 3 (110) και ας αναρωτηθούμε πόσα και ποια σημεία του τρισδιάστατου χώρου ανήκουν και στα τρία επίπεδα που ορίζουν οι παραπάνω τρεις εξισώσεις γενικής μορφής Πριν προσπαθήσουμε να απαντήσουμε το ερώτημα αυτό αλγεβρικά ας προσθέσουμε μια συγκεκριμένη εξίσωση στο Παράδειγμα 12 και ας δουλέψουμε γεωμετρικά ως εξής Παράδειγμα 13 (Σημείο τομής τριών επιπέδων) Θεωρήστε τα παρακάτω τρία επίπεδα 2x + y + z = 5 (111) 2x + 7y + 2z = 9 (112) 4x 6y = 2 (113) και υπολογίστε το σημείο στο οποίο αυτά τέμνονται Ας κάνουμε την γραφική παράσταση των τριών επιπέδων, καθώς και της τομή τους όπως αυτά δίνονται στο παράπλευρο σχήμα το οποίο μπορούμε να αναπαράξουμε με τον εξής κώδικα ContourPlot3D [ { 2 x+y+z == 5 2x+7y+2 z == 9 ; 4 x6y == 2}, { x, 1 0, 1 0 }, { y, 1 0, 1 0 }, { z, 1 0, 1 0 } ] Παρατηρούμε ότι το σημείο τομής τους φαίνεται να είναι μοναδικό Αν προσπαθήσουμε λίγο περισσότερο με τα γραφικά θα διαπιστώσουμε ότι το σημείο αυτό είναι "περίπου" το (1,1,2) Δεν είναι δύσκολο να μαντέψουμε ότι υπάρχουν εν γένει και άλλα ενδεχόμενα ως προς το που και πως τέμνονται τρία επίπεδα στον χώρο Δύο απο αυτά δίνονται στις γραφικές παραστάσεις του παρακατω Σχήματος 11 Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι τρία επίπεδα μπορεί να μην τέμνονται σε ένα μοναδικό σημείο και αυτό μπορεί να συμβεί με διάφορους τρόπους: Τα τρία επίπεδα να είναι παράλληλα Τα δύο επίπεδα να είναι παράλληλα και το τρίτο να τα τέμνει σε δύο παράλληλες ευθείες

10 10 11 Προθέρμανση r Σχήμα 12: Γραφική παράσταση περιπτώσεων όπου τρία επίπεδο τέμνονται σε μια ευθεία ή δεν τέμνοται πουθενά Τα δύο επίπεδα να τέμνονται ανά δύο σε τρεις παράλληλες ευθείες Τα τρία επίπεδα να σε μια κοινή ευθεία, Δύο απο τα επίπεδα να συμπίπτουν, και το τρίτο να τα τέμνει σε μια ευθεία Και τα τρία επίπεδα να συμπίπτουν Εύκολα μπορούμε να καταλήξουμε στο εξής συμπέρασμα Στις τρεις πρώτες περιπτώσεις τα τρία επίπεδα δεν έχουν κανένα κοινό σημείο, στις τρεις τελευταίες έχουν άπειρα κοινά σημεία ενώ την περίπτωση του Παραδείγματος 13 έχουν ένα και μοναδικό κοινό σημείο Όπως θα δούμε είναι σημαντικό να διατυπώσουμε την παραπάνω πρόταση με τους εξής δύο ισοδύναμους εναλλακτικούς τρόπους Στις τρεις πρώτες περιπτώσεις δεν υπάρχει κανένα σημείο του επιπέδου που να ανήκει στα εν λόγω τρία επίπεδα, στις τρεις τελευταίες υπάρχουν άπειρα τέτοια σημεία ενώ την περίπτωση του Παραδείγματος 13 υπάρχει ένα και μοναδικό τέτοιο σημείο Στις τρεις πρώτες περιπτώσεις δεν υπάρχει καμία τριάδα τιμών των αγνώστων x,y,z που να ικανοποιεί καί τις τρεις εξισώσεις 111, στις τρεις τελευταίες υπάρχουν άπειρες τέτοιες τριάδες ενώ την περίπτωση του Παραδείγματος 13 υπάρχει μια και μοναδική τέτοια τριάδα Κάθε προσπάθεια να υπολογίσουμε την τομή των τριών επιπέδων με γεωμετρικό τρόπο φαίνεται να είναι άκαιρη και δύσκολη Γι αυτό ας δούμε πως μπορούμε να την υπολογίσουμε με αλγεβρικό τρόπο επανερχόμενοι στο Παράδειγμα 13 Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να υπολογίσουμε αλγεβρικά το σημείο τομής των τριών επιπέδων ή καλλίτερα για να βρούμε την τριάδα των τιμών των αγνώστων που ικανοποιούν και τις τρεις εξισώσεις Εμείς θα ακολουθήσουμε μια απο αυτές, την οποία θα εξελίξουμε αργότερα σε μια συστηματική σειρά από εντολές που έχουν αρχή και τέλος και είναι σαφείς και εύκολα εκτελέσιμες, δηλαδή σε έναν αλγόριθμο ευρείας χρήσης

11 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή 11 Προσθέτουμε λοιπόν την 1η εξίσωση της 111 στην 2η και αφαιρούμε το διπλάσιο της 1ης απο την 2η Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα τον μετασχηματισμό των τριών εξισώσεων σε μια μορφή όπου ο άγνωστος x δεν εμπλέκεται πια στην 2η και 3η εξίσωση Σαν δεύτερο βήμα προσθέτουμε την 2η εξίσωση στην 3η Τώρα ο άγνωστος y δεν εμπλέκεται στην 3η εξίσωση Ας συνοψίσουμε τα παραπάνω με τον εξής αλγεβρικό τρόπο 2x + y + z = 5 2x + y + z = 5 2x + y + z = 5 2x + 7y + 2z = 9 8y + 3z = 14 8y + 3z = 14 4x 6y = 2 8y 2z = 12 z = 2 Παρατηρούμε ότι έχουμε μετασχηματίσει τις εξισώσεις μας έτσι ώστε στην τελική τους μορφή να είναι εύκολο να υπολογίσουμε την τιμή του z απο την τελευταία εξίσωση (z = 2) να αντικαταστήσουμε την εν λόγω τιμή στην 2η εξίσωση απο την οποία θα δούμε ότι y = 1 και τέλος να αντικαταστήσουμε τις τιμές των z και y που βρήκαμε στην 1η εξίσωση για να υπολογίσουμε ότι x = 1 Η τριάδα των τιμών (1, 1, 2) συμφωνεί τόσο με την γεωμετρική παράσταση του Παραδείγματος 13 όσο και με το αποτέλεσμα που προκύπτει με την παρακάτω υπολογιστική εντολή s o l v e { 2 x + y + z == 5, 2x + 7y + 2 z == 9, 4x 6y == 2} Θα επανέλθουμε αργότερα στην παραπάνω πολύ σημαντική, ίσως την σημαντικότερη, αλγεβρική διαδικασία Προς το παρόν ας προσπαθήσουμε να γενικεύσουμε παραπέρα το πρόβλημα προσθέτοντας νέους αγνώστους και νέες εξισώσεις στις 111 για να καταλήξουμε στις εξής m γενικές εξισώσεις οι οποίες εμπλέκουν τους n αγνώστους σύμφωνα με τους δοσμένους συντελεστές a i,j,i = 1,m,j = 1,n και τα επίσης δοσμένα b i,i = 1,m m και n είναι δοσμένοι θετικοί ακέραιοι αριθμοί 12 Μια εφαρμογή της Γραμμικής Άλγβερας Παρόλο που έχει νόημα να περιοριστούμε στην γεωμετρική θεώρηση του προβλήματος στις περιπτώσεις που έχουμε n 3 εντούτοις συχνά συναντάμε προβλήματα όπου n > 3, όπως στο παρακάτω Θα ακολουθήσουν και άλλα τέτοιου τύπου ρεαλιστικές εφαρμογές και προβλήματα πολύ ποιό σημαντικά και ίσως κάπως ποιο περίπλοκα Ας θεωρήσουμε το Shapes of Cities, ένα απλό παιχνίδι του ios στο οποίο ο στόχος μας είναι να εκτιμήσουμε το σωστό μέγεθος (ουσιαστικά ύψος) κάποιων κτιρίων Συγκεκριμένα, αφού επιλέξουμε μια μεγαλούπολη το παιχνίδι μας επιτρέπει να έχουμε μια σύντομη προεπισκόπηση των σωστών μεγεθών κάποιων σημαντικών κτιρίων της και κατόπιν μας προτρέπει να υπολογίσουμε τα σχετικά μεγέθη του κάθε κτιρίου Δώστε ιδιαίτερη προσοχή στο "σχετικά" εδώ Σύμφωνα με τους συγγραφείς του εν λόγω παιχνιδιού 1 η υλοποίηση του ήταν ιδιαίτερα εύκολη με εξαίρεση το τρόπο υπολογισμού της βαθμολογίας της κάθε μαντεψιάς μας Η βαθμολογία ήταν δύσκολο να υλοποιηθεί κυρίως επειδή υπήρχαν πολλά διαφορετικά μεγέθη οθόνης (iphone 4-4S, 5-5S, 6-6S, 6+-6S+ και ipads) Αρχικά οι συγγραφείς δοκίμασαν διάφορες προσεγγίσεις χωρίς καμία επιτυχία και τελικά αποφάσισαν να ακολουθήσουν την εξής προσέγγιση που βασίζεται στην χρήση Γραμμικής Άλγεβρας Ας επικεντρωθούμε στην περίπτωση των κτιρίων της Νέας Υόρκης και ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν τα εξής τρία κτίρια: Empire State, το άγαλμα της Ελευθερίας και το μουσείο του Guggenheim τα ακριβή ύψη των οποίων είναι 100μ, 50μ και 40 μ αντίστοιχα Ας υποθέσουμε επίσης ότι ο χρήστης εκτιμά ότι τα ύψη των εν λόγω κτιρίων 95μ, 53μ και 47 μέτρα αντίστοιχα Μπορούμε να θεωρήσουμε τις δύο τριάδες, [100, 50, 40] και [95, 53, 47], των μεγεθών 1 φοο

12 12 13 Βασικές έννοιες και ορισμοί r Σχήμα 13: Η γωνία δύο διανυσμάτων των κτιρίων σαν δύο τρισδιάστατα διανύσματα και να υπολογίσουμε την γωνία μεταξύ τους Εάν τα δύο αυτά διανύσματα είναι ορθογώνια αυτό σημαίνει ότι η υπόθεση του χρήστη διαφέρει σημαντικά από τα πραγματικά ύψη και ο παίκτης θα πάρει μηδέν σκορ Εάν η γωνία είναι μηδέν, σημαίνει ότι τα σχετικά ύψη έχουν εκτιμηθεί σωστά Ας χρησιμοποιήσουμε, λοιπόν, το θεώρημα του συνημιτόνου για να βρούμε τη γωνία μεταξύ τους Κάτι τέτοιο μπορεί να γίνει πολύ εύκολα με την παρακάτω υπολογιστική εντολή VectorAngle [ { 1 0 0, 5 0, 4 0 }, { 9 5, 5 3, 4 7 } ] με βάση την οποία η γωνία των δύο διανυσμάτων είναι 0,077 rand Έτσι, αν το μέγιστο σκορ είναι 100 και το ελάχιστο είναι 0, ο χρήστης θα βαθμολογηθεί με 995 Παρατηρήστε ότι σε μια άλλη μικρότερη (πχ 60% της οθόνης που χρησιμοποιήσαμε για τις παραπάνω μετρήσεις) οθόνη η τριάδα των εκτιμήσεων θα διαιρεθεί ανάλογα (θα γίνει [57, 318, 282]) η γωνία όμως που μας ενδιαφέρει δεν θα αλλάξει Τα παραπάνω συνοψίζονται και με τα γραφήματα του Σχήματος 12 Όπως μπορούμε να δούμε όμως στο παιχνίδι δεν εμπλέκονται μόνον τρία κτήρια σε κάθε πόλη Αυτό δεν αποτελεί πρόβλημα όσον αφορά την υλοποίηση μια και η Γραμμική Άλγεβρα μας επιτρέπει τον υπολογισμό της γωνίας των εμπλεκομένων n-άδων, χωρίς βεβαίως να έχουμε πια την γεωμετρική θεώρηση του Σχήματος 12 η οποία δεν είναι απαραίτητη Παράδειγμα 14 (Γωνία δύο διανυσμάτων στον 4-διάστατο χώρο) Έστω ότι τα ύψη του Πύργου του Άιφελ, της Αψίδας του Θριάμβου, της Παναγίας των Παρισίων και του Οβελίσκου της Πλατείας Κονκόρντ είναι 120, 40, 55 και 32 μέτρα αντίστοιχα ενώ οι εκτιμήσεις ενός χρήστη είναι 131, 41, 63 και 27 μέτρα Υπολογίστε τον βαθμό που θα πάρει ο χρήστης Υπολογίζουμε την γωνία των δύο διανυσμάτων με τον εξής κώδικα VectorAngle [ { 1 2 0, 4 0, 5 5, 3 2 }, { 1 3 1, 5 1, 6 3, 1 7 } ] η οποία είναι 0125 rads και ο βαθμός του χρήστη αν κάνουμε μια γραμμική απεικόνιση του διαστήματος [0,147] στο [0,100] είναι 85 Σημειώστε ότι η υλοποίηση του θεωρήματος του συνημιτόνου στις n διαστάσεις είναι ιδιαίτερα απλή και απαιτεί ελάχιστο κόστος (περίπου n πράξεις) 13 Βασικές έννοιες και ορισμοί Ας προχωρήσουμε γενικεύοντας το πρόβλημα που ορίζουν οι εξισώσεις 111 ξεκινώντας με τον παρακάτω ορισμό

13 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή 13 Ορισμός 11 (Γραμμική Εξίσωση) Γραμμική εξίσωση ως προς τις μεταβλητές (ή αγνώστους) x 1,,x n R είναι κάθε εξίσωση της μορφής a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b όπου τα a 1,,a n R, οι συντελεστές των αγνώστων και το b R, ο σταθερός όρος, είναι παράμετροι οι τιμές των οποίων είναι συχνά δοσμένοι συγκεκριμένοι αριθμοί Ορισμός 12 (Λύσεις Γραμμικής Εξίσωσης) Δοσμένων των συντελεστών a i,i = 1,,n και του δεξιού μέλους b ονομάζουμε λύση της εξίσωσης a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b (114) το σύνολο των τιμών των αγνώστων x 1,,x n R οι οποίες ικανοποιούν την ως άνω εξίσωση Παράδειγμα 15 (Γραμμική εξίσωση βαθμολογίας) Σύμφωνα με τον ιστοχώρο του μαθήματος ο τελικός βαθμός b στο μάθημα θα υπολογισθεί με βάση την παρακάτω γραμμική αλγεβρική εξίσωση 05x x x x 4 = b όπου x 1 ο βαθμός της τελικής εξέτασης x 2 ο μέσος όρος των βαθμών των εξετάσεων προόδου μου x 3 ο μέσος όρος των βαθμών των τεστ μου x 4 ο βαθμός των διαγωνισμών μου Εύκολα μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι τα σύνολα 8,8,8,8, 7,9,9,9 και μια απειρία άλλων παρόμοιων συνόλων αποτελούν λύση της παραπάνω εξίσωσης για b = 8 Δηλαδή αν θέλουμε να πάρουμε σαν τελικό βαθμό 8 θα πρέπει να έχουμε πάρει σε όλες τις εξετάσεις μας 8 ή στην τελική εξέταση 7 και σε όλες τις άλλες 9 και ούτω καθεξής Θα δούμε παρακάτω πως μπορούμε να υπολογίσουμε όλες τις λύσεις της παραπάνω εξίσωσης για κάποια συγκεκριμένη τιμή του σταθερού όρου b Αν τώρα έχουμε m διαφορετικές εξισώσεις της μορφής 114 προχωρούμε στο εξής επόμενο βήμα γενίκευσης Ορισμός 13 (Γραμμικό Σύστημα) Κάθε σύνολο εξισώσεων της μορφής a 1,1 x 1 + a 1,2 x a 1,n x n = b 1 a 2,1 x 1 + a 2,2 x a 2,n x n = b 2 a m,1 x 1 + a m,2 x a m,n x n = b m

14 14 14 Τί είναι Γραμμική Άλγεβρα; Σημειώστε ότι το a i,j είναι ο συντελεστής του j-στου αγνώστου στην i-στη εξίσωση και όπου b i είναι ο σταθερός όρος της i-στης εξίσωσης Κατ επέκταση του παραπάνω ορισμού, λύση του παραπάνω συστήματος είναι μια λίστα πραγματικών αριθμών s 1,,s n τέτοιων ώστε αν αντικαταστήσουμε x i = s i,i = 1,,n se όλες τις m εξισώσεων τότε αυτές ικανοποιούνται Δηλαδή, όλες οι m εξισώσεις αληθεύουν όταν x 1 = s 1,x 2 = s 2,,x n = s n Υποθέτουμε ότι έχουμε διατάξει με κάποιον τρόπο, όσο τις εξισώσεις όσο και τους αγνώστους σε κάποια σειρά μέσω των δεικτών i και j αντίστοιχα Μπορούμε να αναδιατάξουμε τόσο τις εξισώσεις όσο και τους αγνώστους χωρίς να αλλάξουμε ουσιαστικά το αρχικό πρόβλημα Στο Ορισμό 13 αναφέρουμε ότι οι συντελεστές των αγνώστων και οι σταθεροί όροι ανήκουν στον R είναι δηλαδή πραγματικοί αριθμοί Στις σημειώσεις αυτές, και χωρίς σοβαρό περιορισμό της γενικότητας, θα ασχοληθούμε μόνον σε συστήματα με πραγματικούς συντελεστές Σημειώστε όμως ότι η επέκταση των αποτελεσμάτων που θα παρουσιάσουμε παρακάτω σε άλλους χώρους εκτός του R (πχ C - η περίπτωση των μιγαδικών συντελεστών) δεν είναι δύσκολη ότι αυτοί θα μπορούσαν βέβαια να είναι και μιγαδικοί αριθμοί χωρίς να επηρεαστεί ουσιαστικά η ανάπτυξη του θέματος και τα αποτελέσματα που θα ακολουθήσουν στα επόμενα κεφάλαια 14 Τί είναι Γραμμική Άλγεβρα; Θα κλείσουμε το κεφάλαιο αυτό προσπαθώντας να δώσουμε έναν απλό, μαθηματικά ορθό και εννοιολογικά ακριβή ορισμό της Γραμμικής Άλγεβρας Κάτι τέτοιο δεν είναι εύκολο Για του λόγου το αληθές προσπαθήστε να βρείτε έναν ορισμός με τα παραπάνω χαρακτηριστικά μέσω του Παγκόσμιου Ιστού Αν δεν βρείτε κάτι στα Ελληνικά προσπαθήστε στα Αγγλικά Δεν πιστεύω ότι οι ορισμοί που θα βρείτε θα σας ικανοποιήσουν πλήρως Ας ξεκινήσουμε λοιπόν την προσπάθειά μας με μερικές παρατηρήσεις Από την συζήτηση της Παραγράφου 11 μάλλον καταλήγουμε στο ότι η Γεωμετρία μπορεί να μας δώσει κάποιες πληροφορίες για την λύση συστημάτων σε δύο διαστάσεις, και σε κάποιο βαθμό και σε τρείς διαστάσεις Οι εν λόγω πληροφορίες δεν είναι πολλές (ειδικά στις τρείς διαστάσεις), είναι όμως πολύτιμες Για παράδειγμα, μπορούμε να συνοψίσουμε όλες τις ενδεχόμενες καταστάσεις δύο ευθειών στο επίπεδο ως εξής μια και μοναδική λύση όπως στο Παράδειγμα 11 όπου οι δύο ευθείες έχουν διαφορετικές κλήσεις καμμία λύση όταν οι δύο ευθείες έχουν την ίδια κλήση αλλά διαφορετικους σταθερούς όρους, είναι δηλαδή παράλληλες (πχ x + 2y = 3 και x + 2y = 4) άπειρες λύσεις όταν οι δύο ευθείες έχουν την ίδια κλήση και τους ίδιους σταθερούς όρους, είναι δηλαδή ταυτίζονται (πχ x+2y = 3 και 2x+4y = 6) Οι λύσεις είναι όλα τα σημεία της κοινής ευθείας που ορίζουν και οι δύο εξισώσεις Πράγματι, λοιπόν η γεωμετρία μας δίνει κάποιες σαφείς απαντήσεις δεν μπορεί να απαντήσει όμως όλα τα ερωτήματά μας Για παράδειγμα, δεν είναι το ίδιο εύκολο να ξεκαθαρίσουμε τι και κάτω απο ποιές σαφείς συνθήκες, θα συμβεί αν οι ευθείες είναι τρείς (ή περισσότερες) αντί για δύο Στις τρεις διαστάσεις η γεωμετρία μπορεί να μας βοηθήσει σε ακόμα λιγότερα ερωτήματα Για παράδειγμα, δεν μπορεί να μας δώσει μια άμεση έκφραση για την λύση στην περίπτωση του δεξιου γραφήματος στο Σχήμα 13 Προφανώς στις τέσσερις ή περισσότερες διαστάσεις η Γεωμετρία που γνωρίζουμε δεν μπορεί να βοηθήσει σχεδόν καθόλου Καιρός λοιπόν να επιστρέψουμε στην Άλγεβρα σημειώνοντας ότι:

15 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή 15 Ένα απο τα κύρια θέματα της Γραμμικής Άλγεβρας είναι η μελέτη γραμμικών συστημάτων της μορφής 13 Συγκεκριμένα η Γραμμική Άλγεβρα εστιάζει στους εξής στόχους Μελέτη για το ποιό, και κάτω από ποιές συνθήκες, ενδεχόμενο ισχύει (μοναδική λύση, καμία λύση, απειρία λύσεων) Διατύπωση, και υπολογισμός της λύση αν αυτή μοναδική Περιγραφή όλων των λύσεων όταν αυτές είναι άπειρες Αξίζει εδώ να ξεκαθαρίσουμε ότι δεν πρέπει να μας ενδιαφέρει τόσο να λύσουμε κάποιο συγκεκριμένο γραμμικό σύστημα αλλά να δημιουργήσουμε ένα γενικό πλαίσιο μέσα στο οποίο θα μπορέσουμε με σχετική ευκολία να πετύχουμε τους παραπάνω στόχους για γενικά συστήματα της μορφής 13 Πρέπει επίσης να ξεκαθαρίσουμε ότι το πλήθος των εξισώσεων ή/και των αγνώστων είναι ιδιαίτερα μεγάλο Συχνά είναι της τάξης του 10 4 τουλάχιστον Παρόλα αυτά το καθαρά υπολογιστικό μέρος της Γραμμικής Άλγεβρας δεν θα μας απασχολήσει ιδιαίτερα μια και αποτελεί σημαντικό μέρος της Αριθμητικής Ανάλυσης, και των Επιστημονικών Μαθηματικών με το τίτλο Αριθμητική Γραμμική Άλγεβρα Ασκήσεις Άσκηση 11 Μπορούμε να παραστήσουμε κάθε ευθεία του επιπέδου χρησιμοποιώντας την εξίσωση 11; (α) Ναι (β) Όχι (γ) Δεν μπορώ να αποφανθώ Προβλήματα Πρόβλημα 11 Ποιές είναι οι σχετικές θέσεις των τριών επιπέδων σε καθένα απο τα εξής τρία συστήματα; (A) (B) (C) 2x + y + z = 5 x + y + z = 2 x + y + z = 2 4x + 2y + 2z = 6 2x + +3z = 5 2x + 3z = 5 2x + 7y + 2z = 9 3x + y + 4z = 6 3x + y + 4z = 7 Πρόβλημα 12 Σχήματος?? Δώστε δύο συστήματα που να αντιστοιχούν στις γραφικές παραστάσεις του

16 16 14 Τί είναι Γραμμική Άλγεβρα; Υπολογιστικά Προβλήματα Υπολογιστικά Προβλήματα 11 των εξισώσεων ("row view") Μελετήστε την εδώ εφαρμογή Περιοριστείτε στην θεώρηση

17 2 Η απαλοιφή του Γκάους 21 Εισαγωγή Ειδικά συστήματα -- Διαγώνια Ειδικά Συστήματα -- Τριγωνικά Απολοιφή του Γκάους Ο αλγόριθμος της απαλοιφής Απαλοιφή με οδήγηση 28 Μπορείς να σκεφθείς κάποια μαθηματική έννοια η οποία είναι τόσο απλή στην διατύπωσή της που μπορεί να την διδάξεις με ευκολία στο Λύκειο, η οποία είναι τόσο χρήσιμη που χρησιμοποιείται χιλάδες ή και εκατομμύρια φορές κάθε μέρα, η οποία αποτελεί αντικείμενο μελέτης για τουλάχιστον 2000 χρόνια αλλά δεν έχει ακόμα κατανοηθεί πλήρως; Carl D Meyer, NC State University Θα ξεκινήσουμε με τα ποιο εύκολα προς μελέτη προβλήματα τα οποία θα προσπαθήσουμε να επεκτείνουμε με διάφορους τρόπους και να τα γενικεύσουμε για τις ανάγκες μας Θα καταλήξουμε έτσι σε έναν από τους πιο σημαντικούς επιστημονικούς αλγόριθμους, την απαλοιφή του Γκάους Η εν λόγω απαλοιφή πέρα από την βοήθεια που θα μας προσφέρει στην πορεία μας για την θεωρητική και πρακτική μελέτη συστημάτων θα μας βοηθήσει και σε γενικότερα θέματα αλγοριθμικά και όχι μόνον Για την ευκολία μας στο κεφάλαιο αυτό θα περιοριστούμε κυρίως σε τετραγωνικά συστήματα Η ονοματολογία τους προκύπτει απο την τετραγωνική τους μορφή η οποία με την σειρά τους προκύπτει απο το γεγονός ότι αφορούν n εξισώσεις που εμπλέκουν n αγνώστους, όπου n ένας οποισδήποτε θετικός ακέραιος αριθμός, συχνά αρκετά μεγάλος 21 Εισαγωγή Η επίλυση γραμμικών αλγεβρικών συστημάτων σαν αυτά που συναντήσαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο είναι ένα θεμελιώδες θέμα της Γραμμικής Άλγεβρας σε εισαγωγικό επίπεδο Υπάρχουν πολλές μέθοδοι επίλυσης Η πιό σημαντική απο πολλές απόψεις είναι η μέθοδος της απαλοιφής του Γκάους που θα αναπτύξουμε παρακάτω Πέρα απο τα οποιαδήποτε άλλα χαρακτηριστικά της αποτελεί μια πρώτη και απλή επιλογή για την επίλυση μεγάλων συστημάτων, με πολλές εξισώσεις και πολλούς αγνώστους Για να είμαστε ακριβείς, η μέθοδος της απαλοιφής δεν επιλύει γραμμικά συστήματα, απλώς τα μετατρέπει σε ισοδύναμα συστήματα τα οποία μπορούμε να επιλύσουμε ευκολότερα Για αυτό στην 17

18 18 22 Ειδικά συστήματα -- Διαγώνια συνέχεια του κεφαλαίου πρώτα θα ασχοληθούμε με συστήματα που επιλύονται και αναλύονται εύκολα και κατόπιν θα προχωρήσουμε στην μέθοδο της απαλοιφής Υπενθυμίζουμε ότι στο κεφάλαιο αυτό υποθέτουμε ότι όλοι οι πίνακες είναι τετραγωνικοί (εμπλέκουν τόσους αγνώστους όσες είναι και οι εξισώσεις) 22 Ειδικά συστήματα -- Διαγώνια Όλοι θα συμφωνήσουμε ότι η επίλυση των παρακάτω δύο συστημάτων είναι απλή υπόθεση 2z = 4 8y = 8 2x = 2 8y = 8 2x = 2 2z = 4 (21) Παρατηρήστε ότι τα δύο παραπάνω συστήματα έχουν την ίδια λύση Κάτι τέτοιο είναι αναμενόμενο μια και το ένα προκύπτει απο το άλλο με εναλλαγές της σειράς των εξισώσεων Το ίδιο θα συνέβαινε βέβαια αν υπήρχαν και εναλλαγές της σειράς των αγνώστων Πριν συνεχίσουμε ας ξεκαθαρίσουμε μια πολύ απλή αλλά βασική έννοια παραθέτοντας τον εξής ορισμό, στον οποίο θα αναφερθούμε και παρακάτω: Ορισμός 21 (Ισοδύναμα συστήματα) Δύο n n αʹ γραμμικά αλγεβρικά συστήματα λέγονται ισοδύναμα αν τα σύνολα των λύσεών τους ταυτίζονται αʹεφεξής θα παραλείπουμε, χάρη συντομίας, να αναφέρουμε το n N το οποίο όμως θα εννοείται Προφανώς, τα δύο συστήματα στην 22 είναι ισοδύναμα Για να λύσουμε ένα απο αυτά (ας επιλέξουμε για την ευκολία μας το πρώτο) το μόνο που πρέπει να κάνουμε είναι να διαιρέσουμε τον σταθερό όρο (θα αναφερόμαστε σε αυτόν συχνά και σαν δεξιό μέλος) της κάθε εξίσωσης με τον συντελεστή του αγνώστου Του μοναδικού αγνώστου της εξίσωσης που δεν έχει μηδενικό συντελεστή! Συνεπώς, μετά απο τρεις και μόνον πράξεις (διαιρέσεις) έχουμε σαν λύση την z = 2,y = 1,x = 1 Η εν λόγω λύση δεν θα αλλάξει αν αλλάξουμε την σειρά των εξισώσεων ή/και την σειρά των αγνώστων Το συστήματα που έχουν τα χαρακτηριστικά του 21 ονομάζονται διαγώνια συστήματα λόγω της προφανούς διαγώνιας μορφής τους η οποία ακόμα και αν δεν είναι φανερή μπορεί να αναδειχθεί με κατάλληλες εναλλαγές των εξισώσεων ή/και των αγνώστων της Ορισμός 22 (Διαγώνιο σύστημα) Ένα n n σύστημα λέγεται διαγώνιο αν σε κάθε εξίσωση εμπλέκεται το πολύ ένας μόνον άγνωστος Χωρίς βλάβη της γενικότητας στο εφεξής θα υποθέτουμε ότι κάθε διαγώνιο σύστημα είναι σε διαγώνια μορφή δηλαδή έχουμε αναδιατάξει τις εξισώσεις και τους αγνώστους έτσι ώστε ο i-στος άγνωστος βρίσκεται στην i-στη εξίσωση για i = 1,,n Με άλλα λόγια το γενικό διαγώνιο σύστημα έχει την εξής μορφή a 1,1 x 1 = b 1 a 2,2 x 2 = b 2 = a i,i x i = b i = (22) a n,n x n = b n

19 Κεφάλαιο 2 Η απαλοιφή του Γκάους 19 η οποία ενδεχομένως προέκυψε απο κατάλληλες εναλλαγές εξισώσεων και αγνώστων Αξίζει να παρατηρήσουμε ότι μπορούμε να δώσουμε τον εξής εναλλακτικό του ορισμού 22 ορισμό Ορισμός 23 (Διαγώνιο σύστημα) Ένα n n, n N σύστημα λέγεται διαγώνιο αν a i,j = 0, i j Σημαντικό είναι να συνειδητοποιήσουμε ότι απο τον παραπάνω ορισμό δεν προκύπτει ότι οι "διαγώνιοι συντελεστές" (οι a i,i, i = 1,,n) είναι απαραίτητα μη-μηδενικοί Μπορούμε να γενικεύσουμε τα παραπάνω με το εξής θεώρημα, η απόδειξη του οποίου προκύπτει εύκολα απο την σχετική συζήτηση Θεώρημα 21 (Μελέτη διαγωνίων συστημάτων) Ένα n n, n N διαγώνιο σύστημα έχει μοναδική λύση για οποιαδήποτε τιμή των δεξιών μελών του ανν αʹ σε κάθε εξίσωση εμπλέκεται ακριβώς ένας άγνωστος Αν σε κάποια εξίσωση δεν εμπλέκεται κανένας άγνωστος τότε αν το δεξιό μέλος της εξίσωσης αυτής είναι μη-μηδενικό τότε το σύστημα δεν έχει λύση (είναι δηλαδή αδύνατον) ενώ αν είναι και αυτό μηδενικό τότε έχουμε απειρία λύσεων (είναι δηλαδή αόριστο) μια και ο εν λόγω άγνωστος μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή αʹτο "ανν" είναι σύντμηση του "αν και μόνον αν" Απόδειξη Ας υποθέσουμε ότι το διαγώνιο σύστημα που μας δόθηκε στην μορφή 22, οπότε για να υπολογίσουμε την λύση πρέπει να κάνουμε τις εξής x i = b i a, i = 1,,n διαιρέσεις Είναι προφανές ότι αν όλοι οι εμπλεκόμενοι παρονομαστές a i,i είναι διάφοροι του μηδενός τότε υπάρχουν i,i όλες οι παραπάνω τιμές των x i Αν ένας από τους παρονομαστές είναι μηδέν (έστω ο k-στος) τότε ο αντίστοιχος άγνωστος x k δεν υπάρχει και συνεπώς το σύστημα δεν έχει λύση, εκτός και, και ο αντίστοιχος σταθερός όρος b k ) της εν λόγω εξίσωσης είναι και αυτός μηδέν Στη τελευταία αυτήν περίπτωση η εξίσωση έχει την μορφή 0x k = 0 που σημαίνει ότι ο άγνωστος x k μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή Για κάθε μια απο τις άπειρες αυτές τιμές υπάρχει και μια λύση του συστήματος, υπο την προϋπόθεση ότι δεν υπάρχει άλλος μηδενικός παρονομαστής Στην περίπτωση που υπάρχει, εφαρμόζουμε ξανά την ίδια με παραπάνω λογική και διαδικασία Το παραπάνω θεώρημα ολοκληρώνει πλήρως την προσπάθειά μας να αναλύσουμε τα διαγώνια συστήματα αλλά και να υπολογίσουμε την λύση ή τις λύσεις όταν αυτές υπάρχουν βεβαίως Είναι προφανές ότι τα διαγώνια συστήματα αποτελούν μια κατηγορία συστημάτων ακραίας ευκολίας Ας εξετάσουμε τώρα μια κάπως ποιο περίπλοκη και ποιο γενική κατηγορία συστημάτων 23 Ειδικά Συστήματα -- Τριγωνικά Ορισμός 24 (Άνω τριγωνικό σύστημα) Ένα n n σύστημα λέγεται άνω τριγωνικό αν είναι της εξής μορφής ή μπορούμε να το φέρουμε στην μορφή αυτή με κατάλληλες εναλλαγές

20 20 23 Ειδικά Συστήματα -- Τριγωνικά εξισώσεων ή και αγνώστων αʹ a 1,1 x 1 + a 1,2 x a 1,i x i + + a 1,n 1 x n 1 + a 1,n x n = b 1 a 2,2 x a 2,i x i + + a 2,n 1 x n 1 + a 2,n x n = b 2 a i,i x a i,n 1 x n 1 + a i,n x n = b i a n 1,n 1 x n 1 + a n 1,n x n = b n 1 a n,n x n = b n (23) αʹτην παραπάνω περίπτωση των κατάλληλων εναλλαγών των γραμμών θα την υποθέτουμε, χωρίς να την αναφέρουμε στο υπόλοιπο της αραγράφου αυτής Ορίστε και ο ενδεχομένως ποιο ακριβής εναλλακτικός ορισμός του 27 ο οποίoς έχει μια σαφή αλγοριθμική υφή: Ορισμός 25 (Άνω τριγωνικό σύστημα) Ένα n n σύστημα της μορφής?? λέγεται άνω τριγωνικό ανν a i,j = 0, i > j Σημειώστε ότι ο παραπάνω ορισμός δεν δηλώνει ότι a i,j 0, i j Προφανώς ανάλογοι ορισμοί ισχύουν για τα κάτω τριγωνικά συστήματα δηλαδή για αυτά που ισχύει ότι a i,j = 0, i < j Ας προσπαθήσουμε να εξετάσουμε το πως θα επιλύσουμε ένα γενικό άνω τριγωνικό σύστημα Είναι απόλυτα λογικό να ξεκινήσουμε με την ποιο εύκολη εξίσωση, την τελευταία απο την οποία μπορούμε να υπολογίσουμε μια έκφραση για τον τελευταίο άγνωστο a n,n x n = b n = x n = b n a n,n Συνεχίζουμε με την προ-τελευταία εξίσωση, την ποιο εύκολη απο τις υπόλοιπες εξισώσεις, στην οποία αντικαθιστώντας την τιμής της x n μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή της x n 1 ως εξής x n 1 = b n 1 a n 1,n x n a n 1,n 1 Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο και βαδίζονται από τις τελευταίες εξισώσεις προς τις πρώτες καταλήγουμε στον εξής αλγόριθμο επίλυσης άνω τριγωνικών συστημάτων Input: Το πλήθος των εξισώσεων (και αγνώστων) n Input: Οι συντελεστές των αγνώστων a i,j i,j = 1,,n και οι σταθεροί όροι b i i = 1,,n Output: Οι τιμές των αγνώστων x j, j = 1,,n 1 for i = n to 1 do 2 gnostoi_oroi = n k=i+1 a i,k x k υπολογισμός του αθροίσματος των γνωστών όρων 3 x i = (b i gnostoi_oroi)/a i,i υπολογισμός της τιμής του αγνώστου 4 end Αλγόριθμος 1: Ο αλγόριθμος της προς τα πίσω αντικατάστασης, όταν a i,i 0, i = 1,,n Όπως ελπίζουμε ότι είναι ξεκάθαρο, ο παραπάνω αλγόριθμος αφορά μόνον την περίπτωση που όλοι οι διαγώνιοι συντελεστές είναι διάφοροι του μηδενός Η γενική περίπτωση περιγράφεται στο

21 Κεφάλαιο 2 Η απαλοιφή του Γκάους 21 παρακάτω θεώρημα, ο υπολογισμός όμως των ενδεχομένως άπειρων λύσεων ενός τριγωνικού συστήματος θα μας απασχολήσει σε επόμενα κεφάλαια Η απόδειξη του θεωρήματος αυτού είναι παρόμοια αυτής του Θεωρήματος 21 Θεώρημα 22 (Μελέτη άνω τριγωνικών συστημάτων) Ένα n n, n N τριγωνικό σύστημα έχει μοναδική λύση για οποιαδήποτε τιμή των δεξιών μελών του ανν σε κάθε εξίσωση i = 1,,n ο συντελεστής a i,i του i-στου αγνώστου είναι μη-μηδενικός Αν ο εν λόγω συντελεστής είναι μηδενικός τότε αν το δεξιό μέλος της εξίσωσης αυτής είναι μη-μηδενικό (δηλαδή b i = n k=i+1 a i,k x k ) τότε το σύστημα δεν έχει λύση (είναι δηλαδή αδύνατον) ενώ αν είναι και αυτό μηδενικό τότε έχουμε απειρία λύσεων (είναι δηλαδή αόριστο) μια και ο εν λόγω άγνωστος μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή Θα ολοκληρώσουμε την ενότητα αυτή με μια κατηγορία συστημάτων παρόμοια με αυτή των άνω τριγωνικών Ξεκινάμε με τον παρακάτω ορισμό και τονίζουμε ότι μπορούμε εύκολα να επεκτείνουμε όλα τα παραπάνω αποτελέσματα και στην νέα αυτή κατηγορία συστημάτων Για παράδειγμα, η διατύπωση του Θεωρήματος 22 μπορεί να επεκταθεί ανάλογα αν απλά αντικαταστήσουμε την λέξη ``άνω'' με τις λέξεις ``άνω ή κάτω'' Η απόδειξη είναι εντελώς παρόμοια Η ολοκλήρωση της εν λόγω απόδειξης όπως και η διατύπωση του αντίστοιχου αλγορίθμου της προς τα εμπρός αντικατάστασης δίνεται σαν άσκηση παρακάτω Μια ενδιαφέρουσα άσκηση που θα βοηθήσει στην κατανόηση των δύο αυτών αλγορίθμων αφορά το πλήθος των πράξεων των εν λόγω αλγορίθμων θα βρείτε παρακάτω Ορίστε και ο ανάλογος ορισμός ενός κάτω τριγωνικού συστήματος Ορισμός 26 (Κάτω τριγωνικό σύστημα) Ένα n n σύστημα λέγεται κάτω τριγωνικό ανν a i,j = 0, i > j Μπορούμε να κλείσουμε την παρούσα παράγραφο σημειώνοντας ότι μπορούμε πλέον να απαντήσουμε πλήρως όλα τα θεμελειώδη ερωτήματα που αφορούν τριγωνικά (και βεβαίως διαγώνια) συστήματα 24 Απολοιφή του Γκάους Αν το σύστημά μας δεν είναι τριγωνικό τότε για να το μελετήσουμε (και να υπολογίσουμε τις λύσεις), αρκεί να το μετατρέψουμε σε τριγωνικό, αρκεί αυτό να είναι ισοδύναμο με το αρχικό Η διαδικασία της μετατροπής αυτής θα μας οδηγήσει σε ένα απο τους ποιό φημισμένους αλλά και χρήσιμους αλγορίθμους, στον αλγόριθμο της απαλοιφής του Για να λύσουμε (ή καλλίτερα να μελετήσουμε) λοιπόν ένα γενικό σύστημα το μετατρέπουμε σε ισοδύναμο τριγωνικό λύνουμε (μελετούμε) το προκύπτον τριγωνικό Παρακάτω δίνουμε τον ορισμό δύο ισοδύναμων συστημάτων Παρόλη την απλότητά του η χρήση του προϋποθέτει την επιπρόσθετη γνώση που θα ακολουθήσει σε μορφή θεωρήματος Ορισμός 27 (Ισοδύναμα συστήματα) Δύο n n συστήματα εξισώσεων είναι ανν όλες οι λύσεις του ενός είναι και λύσεις του άλλου

22 22 24 Απολοιφή του Γκάους Θεώρημα 23 (Ισοδύναμα Συστήματα) Το σύνολο των λύσεων ενός γραμμικού συστήματος εξισώσεων παραμένει αναλοίωτο αν: 1 Εναλλάξουμε την σειρά των εξισώσεων 2 Πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη κάποιας εξίσωση με έναν αριθμό c 0 3 Αντικαταστήσουμε μια εξίσωση με τον εαυτό της συν το πολλαπλάσιο μιας άλλης εξίσωσης Απόδειξη Η ισχύς της παραπάνω πρότασης (1) είναι προφανής Η της πρότασης (2) προκύπτει με την εξής γεωμετρική θεώρηση Αν πολλαπλασιάσω και τα δύο μέρη μιας εξίσωσης με έναν μημηδενικό πραγματικό αριθμό το γεωμετρικό της ανάλογο (ευθεία, επίπεδο, υπερ-επίπεδο, κλπ) δεν επηρεάζετε Η γεωμετρία μας βοηθά να δικαιολογήσουμε και την πρόταση (3) Το γεωμετρικό ανάλογο της νέας εξίσωσης θα είναι μια νέα ευθεία (επίπεδο, υπερ-επίπεδο, κλπ) η οποία όμως θα περνάει απο το σημείο τομής όλων των άλλων ευθειών και συνεπώς δεν θα προσθέσει ούτε θα αφαιρέσει λύσεις 1 Ο στρατηγικός στόχος μας για το υπόλοιπο της πραγράφου είναι να χρησιμοποιήσουμε τις παραπάνω πράξεις για να απλοποιήσουμε το πρόβλημα Δηλαδή για να μετατρέψουμε το γενικό σύστημα σε ένα ισοδύναμο τριγωνικό ισοδύναμο σύστημα Θα ξεκινήσουμε την προσπάθειά μας με το εξής απλό παράδειγμα Παράδειγμα 21 (Απαλοιφή για σύστημα 2 2) Ας μελετήσουμε το παρακάτω σύστημα 1x 1 + 2x 2 = 3 2x 1 + 1x 2 = 3 Απαλοιφή: Μετατρέψτε το σύστημα σε άνω τριγωνικό: Αρκεί να αφαιρέσουμε 2 1 φορές την 1η απο την 2η εξίσωση για να πάρουμε το εξής ισοδύναμο με το παραπάνω σύστημα: 1x 1 + 2x 2 = 3 3x 2 = 3 Μελετη Τριγωνικού Συστήματος: Μελετήστε το άνω τριγωνικό σύστημα που προέκυψε: Επειδή όλα τα διαγώνια στοιχεία του τριγωνικού συστήματος είναι μή-μηδενικά αυτό λόγω του Θεωρήματος 22 έχει μοναδική λύση Ξεκινώντας απο την τελευταία εξίσωση έχουμε ότι x 2 = 1 Αντικαθιστώντας την τιμή αυτή στην πρώτη εξίσωση καταλήγουμε στο ότι x 1 = 1 Άρα η μοναδική λύση του αρχικού συστήματος είναι x 1 = 1 και x 2 = 1 Θα συνεχίσουμε την προσπάθειά μας με ένα ακόμα παράδειγμα Θα ξεκινήσουμε με τη διαδικασία της απαλοιφής με στόχο να μετατρέψουμε το δοθέν σύστημα σε ένα ισοδύναμο άνω τριγωνικό Θα προσπαθήσουμε να υλοποιήσουμε την διαδικασία της απαλοιφής με έναν συστηματικό τρόπο ο οποίος στόχο έχει να μας οδηγήσει στην διατύπωση του αντίστοιχου αλγορίθμου, και 1 Πρέπει να ξεκαθαρίσουμε ότι οι παραπάνω ισχυρισμοί δεν αποτελούν φορμαλιστική μαθηματική απόδειξη Για οικονομία χρόνου κυρίως, θα αρκεστούμε σε αυτούς ελπίζοντας ότι πείθουν ικανοποιητικά τον αναγνώστη για την ισχύ των ισχυρισμών του θεωρήματος

23 Κεφάλαιο 2 Η απαλοιφή του Γκάους 23 κατ'επέκταση στο αντίστοιχο πρόγραμμα στον υπολογιστή Αξίζει να θυμηθούμε ότι τα συστήματα που προκύπτουν στην πράξη στις διάφορες εφαρμογές του Μηχανικού, και όχι μόνον, είναι μεγάλα και συνεπώς η επίλυσή τους στον υπολογιστή είναι επιβεβλημένη Προφανώς τα εκπαιδευτικά παραδείγματά μας αποτελούνται απο 2, 3 το πολύ 4 ή και 5 εξισώσεις και αποκλειστικό στόχο έχουν την κατανόηση και την παγιοποίηση της διαδικασίας Θα συνεχίσουμε λοιπόν στο ίδιο πλαίσιο και ακολουθώντας την ίδια πρακτική για την επίλυση του ισοδύναμου άνω τριγωνικού συστήματος που προκύπτει Παράδειγμα 22 (Απαλοιφή για σύστημα 3 3) Ας μελετήσουμε το παρακάτω σύστημα E1 : x 1 3x 2 2x 3 = 6 E2 : 2x 1 4x 2 3x 3 = 8 E3 : 3x 1 + 6x 2 + 8x 3 = 5 όπου με E1,E2,E3 συμβολίζουμε την 1η την 2η και την 3η εξίσωση αντίστοιχα Απαλοιφή του 1ου αγνώστου: Χρησιμοποιούμε την E1 για να απαλοίψουμε τον 1ο άγνωστο (τον x 1 ) απο τις υπόλοιπες εξισώσεις Δηλαδή, αφαιρούμε 2 φορές την 1η εξίσωση απο την 2η και προσθέτουμε 3 φορές την 1η στην 3η: E1 : x 1 3x 2 2x 3 = 6 E2 2 E1 : 2x 2 + x 3 = 4 E3 + 3 E1 : 3x 2 + 2x 3 = 13 Απαλοιφή του 2ου αγνώστου: Χρησιμοποιούμε την νέα μορφή της 2 που προέκυψε στο προηγούμενο βήμα για να απαλείψουμε τον 2ο άγνωστο (τον x 2 ) απο τις υπόλοιπες εξισώσεις Δηλαδή, προσθέτουμε 2 3 φορές την 2η απο στην 3η: E1 : x x 3 = 0 E2 : 2x 1 4x 2 3x 3 = 8 E E2 : 7 2 x 3 = 7 Το παραπάνω τριγωνικό σύστημα μπορεί να επιλυθεί εύκολα ως εξής Ξεκινάμε με την τελευταία εξίσωση, την E3 απο την οποία εύκολα υπολογίζουμε ότι x 3 = 2 Αντικαθιστούμε την εν λόγω τιμή στην E2 για να πάρουμε x 2 = 3 Τέλος, αντικαθιστούμε τις τιμές των x 2 και x 3 στην E1 για να πάρουμε x 1 = 1 Η παραπάνω διαδικασία μπορεί να μορφοποιηθεί χρησιμοποιώντας τον επαυξημένο πίνακα μια και όλα τα εμπλεκόμενα συστήματα προκύπτουν με μεγάλη ευκολία απο τους αντίστοιχους επαυξημένους πίνακες Δηλαδή τα αποτελέσματα των τριών βημάτων του παραδείγματος 22 μπορούν να διατυπωθούν ως εξής = =

24 24 25 Ο αλγόριθμος της απαλοιφής Στo υπόλοιπο του κεφαλαίου αυτού θα περιοριστούμε στα τετραγωνικά συστήματα, συστήματα στα οποία το πλήθος των εξισώσεων είναι ίσο με το πλήθος των αγνώστων, δηλαδή όταν m = n Θα επανέλθουμε σε μη-τετραγωνικά συστήματα όταν αποκτήσουμε την απαιτούμενη γνώση και κουλτούρα 25 Ο αλγόριθμος της απαλοιφής Ας θεωρήσουμε την παρακάτω γενική μορφή ενός γενικού n n συστήματος Στόχος μας είναι, με βάση την πρακτική που αναπτύξαμε στα παραδείγματα που προηγήθηκαν, να μπορέσουμε να διατυπώσουμε έναν αλγόριθμο ο οποίος αν του δώσουμε τους συντελεστές και τα δεξιά μέλη του συστήματος να τα μετατρέπει ανάλογα έτσι ώστε το προκύπτον σύστημα να είναι άνω τριγωνικό και ισοδύναμο με το αρχικό Ξεκινάμε με την ονοματοδοσία των διαφόρων εμπλεκομένων οντοτήτων Όπως παρατηρήσαμε στην προηγούμενη ενότητα χρησιμοποιούμε σε καθε βήμα μια συγκεκριμένη εξίσωση για να απαλοίψουμε έναν άγνωστο απο τις υπόλοιπες εξισώσεις Την εν λόγω εξίσωση ας την ονομάσουμε οδηγό εξίσωση και τον συντελεστή της που πολλαπλασιάζεται με τον αγνώστου που θα απαλοίψουμε απο τις υπόλοιπες εξισώσεις ας τον ονομάσουμε οδηγό στοιχείο η απλά οδηγό Για να απαλοίψουμε έναν άγνωστο πρέπει να πολλαπλασιάσουμε την οδηγό εξίσωση με έναν αριθμό και να αφαιρέσουμε την προκύπτουσα με τον τρόπο αυτό εξίσωση απο την εξίσωση απο την οποία προσπαθούμε να απαλοίψουμε τον άγνωστο Το ως άνω αριθμό ας τον ονομάσουμε πολλαπλασιαστή Η τιμή του είναι το πηλίκο του συντελεστή του προς απαλοιφή αγνώστου στην εξίσωση απο την οποία θέλουμε να απαλοίψουμε και του συντελεστή του αγνλωστου αυτού στην οδηγό εξίσωση Ας δούμε τώρα τον ρόλο και την δράση των παραπάνω οντοτήτων στην διαδικασία της απαλοιφής την οποία μπορούμε να διατυπώσουμε λεκτικά με ρον εξής συνοπτικό τρόπο: Συνολικά θα χρειαστούμε n 1 βήματα Στο k-στο βήμα, όπου k = 1,, n 1, χρησιμοποιούμε σαν οδηγό την -στη εξίσωση για να απαλοίψουμε τον -στο άγνωστο απο τις υπόλοιπες εξισώσεις, δηλαδή τις εξισώσεις i = k +1,k +2,,n 1 Ας προχωρήσουμε παρουσιάζοντας υπομονετικά τον αλγόριθμο αυτό με μεγάλη λεπτομέρια Στο 1ο βήμα οδηγός εξίσωση είναι η 1η και οδηγό στοιχείο είναι το = a 1,1 Ξεκινάμε πρώτα με την απαλοιφή του 1ου αγνώστου απο την 2η εξίσωση a 1,1 x a 1,j x j + + a 1,n x n = b 1 a 2,1 x a 2,j x j + + a 2,n x n = b 2 O σχετικός πολλαπλασιαστής είναι p = a 2,1 a 1,1 Αφαιρωντας p φορές την 1η (οδηγό) εξίσωση απο την δεύτερη μηδενίζεται ο συντελεστής του 1ου αγνώστου της ενώ οι συντελεστές των υπολοίπων αγνώστων παίρνουν τις εξής τιμές a 2,j a 2,j p a 1,j, j = 2,,n Γενικεύοντας το παραπάνω εξετάζουμε την απαλοιφή 1ου αγνώστου απο την i-στη i = 2,,n εξίσωση a 1,1 x a 1,j x j + + a 1,n x n = b 1 a i,1 x a i,j x j + + a i,n x n = b i Ο πολλαπλασιαστής στην περίπτωση αυτή είναιp = a i,1 a 1,1, και οι καινούργιες τιμές των συντελεστών της i-στης εξισωσης μετά την απαλοιφή του 1ου αγνώστου είναι a i,j a i,j p a 1,j, j = 2,,n

25 Κεφάλαιο 2 Η απαλοιφή του Γκάους 25 Μόλις ολοκλήρώσουμε το 1ο βήμα προχωράμε στο δεύτερο όπου ο αλγόριθμος της απαλοιφής χρησιμοποιεί σαν οδηγό την 2η εξίσωση για να απαλοίψουμε τον 2ο άγνωστο απο τις υπόλοιπες εξισώσεις, δηλαδή τις εξισώσεις i = 3,,n 1 Γεvικεύοντας στο k-στο k = 1,,n 1 βήμα χρησιμοποιούμε σαν οδηγό την k-στη εξίσωση για να απαλοίψουμε τον k-στο άγνωστο απο τις υπόλοιπες εξισώσεις, δηλαδή τις εξισώσεις j = k + 1,,n 1 Έχουμε δηλαδή a k,k x k + + a k,j x j + + a k,n x n = b k a i,k x k + + a i,j x j + + a i,n x n = b i οδηγό = a k,k, πολλαπλασιαστή p = a i,k a k,k, και νέες τιμές των συντελεστών a i,j a i,j p a k,j, j = k + 1,,n Μπορούμε να συνοψίσουμε την παραπάνω διαδικασία με τον εξής κομψό και αλγοριθμικό τρόπο Input: Το πλήθος των εξισώσεων και αγνώστων) n Input: Οι συντελεστές των αγνώστων a i,j i,j = 1,,n και οι σταθεροί όροι b i i = 1,,n Output: Οι νέοι συντελεστές a i,j i,j = 1,,n των αγνώστων και οι νέοι σταθεροί όροι b i i = 1,,n του προκύπτοντος άνω τριγωνικού συστήματος 1 for k = 1 to n 1 do 2 for i = k + 1 to n do 3 p a i,k /a k,k υπολογισμός πολλαπλασιαστών 4 for j = k + 1 to n do 5 a i,j a i,j p a k,j υπολογισμός νέων συντελεστών 6 end 7 b i b i p b k υπολογισμός νέου δεξιού μέλους 8 end 9 end Αλγόριθμος 2: Ο αλγόριθμος της απαλοιφής, όταν a i,i 0, i = 1,,n Σημειώστε ότι στον παραπάνω αλγόριθμο το σύμβολο δηλώνει εκχώριση τιμής στην μεταβλητή που βρίσκεται στα αριστερά του Αποθηδκεύουμε δηλαδή τις νέες τιμές των συντελεστών επάνω στις παλιές μια και αυτές δεν τις χρειαζόμαστε Επιπρόσθετα, δεν υπολογίσουμε, ούτε και θα υπολογίζουμε ποτέ στο μέλλον, τις τιμές που γνωρίζουμε a-priori όπως τις μηδενικές τιμές που προκύπτουν απο την απαλοιφή και βρίσκονται κάτω απο το ανάλογο οδηγό στοιχείο Για να ξεκαθαρίσουμε τον λόγο της εκχώρισης αυτής αλλά και την γενικότερη εικόνα της απαλοιφής θα θέλαμε επίσης να επαναδιατυπώσουμε την απαλοιφή με μεγαλύτερη προσοχή ως εξής Έστω ότι με A (1) = [ A b ] συμβολίζουμε τον επαυξημένο πίνακα του γενικού γραμμικού συστήματος που συναντήσαμε στην εξίσωση?? Έτσι για το πρώτο βήμα της απαλοιφής ξεκινάμε με τον εξής πίνακα Ã (1) = 1,1 1,2 1,3 1,i 1 1,i 1,n 1,n+1 2,1 2,2 2,3 2,i 1 2,i 2,n 2,n+1 i 1,1 i 1,2 i 1,3 i 1,i 1 i 1,i i 1,n i 1,n+1 i,1 i,2 i,3 i,i 1 i,i i,n i,n+1 i+1,1 i+1,2 i+1,3 i+1,i 1 i+1,i i+1,n i+1,n+1 n,1 n,2 n,3 n,i 1 n,i n,n n,n+1

26 26 25 Ο αλγόριθμος της απαλοιφής όπου η τελευταία n + 1 στήλη περιλαμβάνει τα στοιχεία του δεξιού μέρους αποθηκευμένα στα στοιχεία i,n+1,i = 1, n Οι παρακάτω πράξεις μεταξύ των εξισώσεων E i υλοποιούν το πρώτο βήμα της απαλοιφής E 2 a(1) 2,1 E 1 E 2, E 3 a(1) 3,1 E 1 E 3 1,1 1,1 E n a(1) n,1 E 1 E n 1,1 και μπορούν να διατυπωθούν στην εξής συνοπτική μορφή E i m i,1 E 1 E i, i = 2,,n (24) την οποία μπορούμε να διατυπώσουμε με την απαιτούμενη για υλοποίηση στον υπολογιστή λεπτομέρια ως εξής i,j = a(1) i,j a(1) i,1 1,1 1,j, i = 2,,n, j = 2,,n + 1 (25) Με τον τρόπο αυτό ο πίνακάς μας μετά το τέλος του πρώτου βήματος της απαλοιφής έχει την εξής μορφή 1,1 1,2 1,3 1,i 1 1,i 1,n 1,n+1 0 2,2 2,3 2,i 1 2,i 2,n 2,n+1 Ã (2) 0 = i 1,2 i 1,3 i 1,i 1 i 1,i i 1,n i 1,n+1 0 i,2 i,3 i,i 1 i,i i,n i,n+1 0 i+1,2 i+1,3 i+1,i 1 i+1,i i+1,n i+1,n+1 0 n,2 n,3 n,i 1 n,i n,n n,n+1 Σημειώστε ότι μετά το τέλος του πρώτυ βήματος όλα τα στοιχεία του πίνακα εκτός απο αυτά που βρίσκονται στην πρώτη γραμμή και στην πρώτη στήλη έχουν αλλάξει τιμή, όπως άλλωστε δηλώνει και ο άνω δείκτης (2) Με εντελώς παρόμοιο τρόπο προχωράμε στην υλοποίηση του δευτέρου βήματος της απαλοιφής για να καταλήξουμε στην μορφή E i m i,2 E 2 E i, i = 3,,n (26) a (3) i,j = a(2) i,j a(2) i,2 2,2 2,j, i = 3,,n, j = 3,,n + 1 (27) Όλα τα στοιχεία του πίνακα εκτός απο αυτά των δύο πρώτων γραμμών και στηλών έχουν αλλάξει τιμή (για δεύτερη φορά) όπως δηλώνει και ο άνω δείκτης (3) Γενικεύοντας προχωράμε στο k-στο (k = 1,,n 1) βήμα της απαλοιφής ο πίνακας έχει την

27 Κεφάλαιο 2 Η απαλοιφή του Γκάους 27 Σχήμα 21: Σχηματική παράσταση των βημάτων της απαλοιφής με χρώματα που παριστούν την κατάσταση και την χρήση των στοιχείων του πίνακα στο εκάστοτε βήμα: Δεν χρησιμοποιούνται, χρησιμοποιούνται, υπολογίζονται εξής μορφή Ã (i) = 1,1 1,2 1,3 1,i 1 1,i 1,n 1,n+1 0 2,2 2,3 2,n 2,n+1 2,i 1 2,i a (k 1) k 1,k 1 a (k 1) k 1,k a (k 1) k 1,n a (k) k,k a (k) k,n a (i) i+1,i a (i) i+1,n a (k 1) k 1,n+1 a (k) k,n+1 a (k) k+1,n a (k) n,k a (k) n,n a (k) n,n+1 όπου ο άνω δείκτης k δηλώνει ότι η τιμή του εν λόγω στοιχείου έχει ήδη αλλάξει k 1 φορές Με βάση την εμπειρία μας απο τα πρώτα δύο βήματα της απαλοιφής που λεπτομερώς αναπτύξαμε παραπάνω, η υλοποίηση του επόμενου (k-στου) βήματος της απαλοιφής δίνεται με στην εξής συνοπτική μορφή αλλά και με την εξής αναλυτική μορφή a (k) i,j = a(k) i,j a(k) i,k a (k) k,k E i a(k) i,k a (k) E k E i, i = k + 1,,n (28) k,k a (k) k,j, i = k + 1,,n, j = k + 1,,n + 1 (29) Η παραπάνω ανάπτυξη του αλγορίθμου μπορεί να παρασταθεί γραφικά για έναν 6 6 πίνακα με τον εξής τρόπο Μπορούμε πλέον να ανακτήσουμε με ευκολία τον αλγόριθμο 2 της απαλοιφής του Γκάους Μπορούμε επίσης να μετρήσουμε σε γενικές γραμμές τις πράξεις που απαιτούνται απο τον εν

28 28 26 Απαλοιφή με οδήγηση λόγω αλγόριθμο ως εξής Στο πρώτο βήμα της απαλοιφής πρέπει να υπολογήσουμε τις νέες τιμές i,j i = 2,,n, j = 2,,n + 1 οι οποίες είναι περίπου (n 1) 2 και αφού για τον υπολογισμό κάθε μίας απο αυτές απαιτείται μια πράξη έχουν συνολικά (n 1) 2 πράξεις Σημειώστε ότι το πλήθος υπολογισμού των πολλαπλασιαστών είναι n 1, αμελητέο συγκρινόμενο με το ώς άνω πλήθος των πράξεων Συνεχίζοντας με το ίδιο σκεπτικό για την υλοποίηση του δεύτερου βήματος απαιτούνται περίπου (n 2) 2 πράξεις, για το τρίτο (n 3) 2 για το πρό τελευταίο (το n 2) 2 2 και για το τελευταίο (το n 1) 1 πράξη Αθροίζοντας όλες τις παραπάνω πράξεις ως εξής n 1 (n 1) 2 + (n 2) 2 + (n 3) = i 2 (210) καταλήγουμε ότι για την απαλοιφή απαιτούνται περίπου n3 3 πράξεις Ας μην ξεχνάμε ότι στις περισσότερες και τις σημαντικότερες εφαρμογές στην πράξη το n είναι ένας παολύ μεγάλος αριθμός Ας θυμηθούμε ότι ένας απο τους βασικούς στόχους της Γραμμικής Άλγβερας είνα να μελετήσουμε γενικά γραμμικά συστήματα m εξισώσεων με n αγνώστους Για παράδειγμα ας θεωρήσουμε το εξής σύστημα απλό σύστημα (όπου n = m = 3) και ας αναρωτηθούμε αν έχει λύσεις ή όχι και αν έχει αν αυτές είναι πολλές οπότε και θα θέλαμε να τις περιγράψουμε ή έχει μια και μοναδικό οπότε και θα θέλαμε να την υπολογίσουμε Δυστυχώς δεν μπορούμε άμεσσα να δώσουμε κάποια απάντηση, όπως κάναμε στην προηγούμενη παράγραφο για συστήματα ειδικής μη-μηδενικής μορφής 5x 1 + 2x 2 3x 4 = 4 12x 1 7x 2 + 2x 3 = 8 3x 1 + 4x 2 + 5x 3 = 10 Πρίν προχωρήσουμε στην πλήρη αντιμετώπιση του παραπάνω προβλήματος, αλλά και της γενίκευσής του για κάθε n,m με την γενική μορφή ενός θεωρήματος, παρόμοιο με τα θεωρήματα 21 και 22, θα θέλαμε να επισημάνουμε τα εξής Ένα σύστημα είναι εύκολο να να μελετηθεί (και να επιλυθεί) αν είναι τριγωνικό (μας είναι αδιάφορα αν είναι άνω ή κάτω τριγωνικό) Για να λύσουμε/μελετήσουμε ένα σύστημα αρκεί να το κάνουμε τριγωνικό Η απαλοιφή του Γκάους που ήδη γνωρίσαμε και θα αναπτύξουμε λεπτομερώς παρακάτω είναι ένας αλγόριθμος που μετατρέπει ένα σύστημα σε ένα ισοδύναμο άνω τριγωνικό 26 Απαλοιφή με οδήγηση Όπως εύκολα μπορούμε να συμπεράνουμε υπάρχει ενδεχόμενο η διαδικασία της απαλοιφής όπως την περιγράψαμε παραπάνω να μην μπορέσει να ολοκληρωθεί επιτυχώς Συγκεκριμένα αν ένα απο τα οδηγά στοιχεία είναι εξ αρχής μηδέν ή μηδενιστεί κατά την διάρκεια της απαλοιφής τότε δεν μπορούμε να υπολογήσουμε τους αντίστοιχους πολλαπλασιαστές Ας εξετάσουμε παρακάτω τέτοια ενδεχόμενα προσπαθώντας να αξιολογήσουμε τις επιπτώσεις των Ξεκινώντας με το σύστημα x 1 + 2x 2 = 3 x 1 + 2x 2 = 4 i=1

29 Κεφάλαιο 2 Η απαλοιφή του Γκάους 29 και αφαιρόντας την 1η εξίσωση απο την 2η έχουμε x 1 + 2x 2 = 3 0x 2 = 1 Παρατηρούμε ότι η τελευταία εξίσωση μπορεί να χαρακτηριστεί ως ασυνεπής ή αδύνατη και συνεπώς μπορούμε να συμπεράνουμε ότι δεν υπάρχει καμμία λύση Το παραπάνω δεν είναι το μόνο ενδεχόμενο Ας αλλάξουμε λίγο το εν λόγω σύστημα ως εξής x 1 + 2x 2 = 3 2x 1 + 4x 2 = 6 όπου και πάλι αφαιρόντας την 1η εξίσωση απο την 2η έχουμε x 1 + 2x 2 = 3 0x 2 = 0 Η τελευταία εξίσωση μπορεί να χαρακτηριστεί ως ασαφής με την έννοια ότι μπορούμε να ισχυριστούμε ότι υπάρχουν άπειρες δυνατές τιμές για τον άγνωστο x 2 Δηλαδή η 2η νέα εξίσωση μας δίνει x 2 = k, k R και βεβαίως με προς τα πίσω αντικατάσταση έχουμε x 1 = 3 2k, k R Ας συνεχίσουμε με ένα κάποιος ποιό περίπλοκο 4 4 σύστημα Παράδειγμα 23 Θεωρήστε το παρακάτω σύστημα x 2 + 2x 3 x 4 = 1 x 1 + x 3 + x 4 = 4 x 1 + x 2 x 4 = 2 2x 2 + 3x 3 x 4 = 7 Το οποίο για τις ανάγκες μας είναι προτιμότερο να το διαχειριστούμε μέσω του εξής επαυξημένου πίνακα M = Είναι προφανές ότι δεν μπορούμε να εκτελέσουμε την τυπική διαδιακασία της απαλοιφής που έχουμε μάθει μέχρι τώρα Δεν μπορούμε δηλαδή να χρησιμοποιήσουμε την 1η εξίσωση για να απαλείψουμε τον 1ο άγνωστο απο τις υπόλοιπες εξισώσεις (2η, 3η και 4η)Για τον λόγο αυτό αλλάζουμε κατάλληλα την σειρά των εξισώσεων και προσπαθούμε να συνεχίσουμε την

30 30 26 Απαλοιφή με οδήγηση απαλοιφή όπως ήδη γνωρίζουμε Με τον τρόπο αυτό έχουμε τα εξής ισοδύναμα συστήματα εναλλαγές εξ E1+E2 E E3 E2 E3 4 6 E4 2 E2 E E4 E3 E Με προς τα πίσω αντικατάσταση εύκολα καταλήγουμε ότι υπάρχουν άπειρες λύσεις του παραπάνω συστήματος οι οποίες μπορούν να γραφθούν ως εξής x 4 = k, x 3 = 5 + k, x 2 = 11 k και x 1 = 9 2k όπου k ένας οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός Στο παραπάνω παράδειγμα είχαμε έναν μόνο μηδενικό οδηγό (τον τέταρτο) και κατά αναλογία μια ελεύθερη μεταβλητή που αντιστοιχεί στην x 4, την τέταρτη συνιστώσα του διανύσματος των αγνώστων Στο επόμενο θα διαπιστώσουμε ότι υπάρχει πιθανότητα να έχουμε περισσότερες απο μια ελεύθερες μεταβλητές (οι οποίες θα αντιστοιχούν σε μηδενικούς οδηγούς) Παράδειγμα οδηγά στοιχεία τα 2,0,0,4 και οι συνιστώσες της λύσεις έχουν τις εξής τιμές x 4 = 1/2,x 3 = s,x 2 = t,x 1 = 2 t + s/2 3/2 Στο σημείο αυτό, και με έναυσμα τα παραπάνω παραδείγματα, πρέπει να ξεκαθαρίσουμε ότι η διαδικασία της απαλοιφής μετατρέπει ένα γενικό σύστημα σε ισοδύναμο άνω τριγωνικό το οποίο υπάρχει φυσικά το ενδεχόμενο, σαν τριγωνικός που είναι, να έχει μηδενικά στοιχεία στην κύρια διαγώνιο Κάτι τέτοιο συνέβει και στο παραπάνω παράδειγμα Μπορούμε λοιπόν να μετατρέψουμε την διαδικασία της απαλοιφής που περιγράψαμε παραπάνω έτσι ώστε να αποφύγει ο αλγόριθμός της διαίρεση με μηδενικό οδηγό και συνεπώς να ολοκληρωθεί επιτυχώς επιστρέφοντας μας τον ζητούμενο ισοδύναμο άνω τριγωνικό Ο αλγόριθμος της απλοιφής με οδήγηση είναι ίδιος με τον Αλγόριθμο 2 με μόνη διαφορά την

31 Κεφάλαιο 2 Η απαλοιφή του Γκάους 31 προσθήκη της εξής διαδικασίας πριν ξεκινήσει το k, k = 1,n 1 βήμα της απαλοιφής 1 if a k,k = 0 then 2 ψάχνουμε για ένα μη-μηδενικό στοιχείο στην υποστήλη κάτω απο το οδηγό στοιχείο 3 if υπάρχει τέτοιο στοιχείο then 4 (έστω το a s,k ) το κάνουμε οδηγό στοιχείο εναλλάζοντας την σειρά των εξισώσεων s και k και συνεχίζουμε την απαλοιφή του k αγνώστου κανονικά 5 else 6 προχωράμε στο επόμενο βήμα της απαλοιφής 7 end Αλγόριθμος 3: Ο αλγόριθμος της οδήγησης στο k βήμα της απαλοιφής Ας παρατηρήσουμε ότι εάν εκτελεσθεί ο παραπάνω αλγόριθμος (δηλαδή έχουμε ότι a k,k 0) τότε ο άνω τριγωνικός πίνακας που θα προκύψει θα έχει όλα τα διαγώνια στοιχεία του μη-μηδενικά και συνεπώς τόσο το τριγωνικό σύστημα όσο και το ισοδύναμό του αρχικό θα έχει μοναδική λύση για οποιοδήποτε δεξιό μέλος b Το ίδιο θα συμβεί όταν εκτελεσθεί ο παραπάνω αλγόριθμος (δηλαδή έχουμε ότι a k,k = 0) και εκτελεσεθεί η εντολή της γραμμής 4 αυτού Εάν εκτελεσθεί η εντολή της γραμμής 6 τότε το σύστημα θα έχει είτε απειρία λύσεων, είτε καμμία λύση, σύμφωνα με το παραπάνω Θεώρημα 22 Αξίζει να σημειώσουμε ότι ο παραπάνω τρόπος οδήγησης δεν είναι ο μοναδικός για να αποφύγουμε μηδενικούς οδηγούς Άλλοι τρόποι θα αναφερθούν σε μαθήματα Αριθμητικής Ανάλυσης και Υπολογιστικών Μαθηματικών Θα ξεχάσουμε για λίγο την απαλοιφή για να ορίσουμε κάποια απαράιτητα σημαντικά Αλγεβρικά στοιχεία στο επόμενο κεφάλαιο Θα επανέλθουμε όμως δρυμίτεροι σε αυτήν στο μεθεπόμενο κεφάλαιο Βεβαίως η απαλοιφή θα μας συντροφεύει σε κάθε σχεδόν βήμα μας απο εδώ και πέρα Ασκήσεις Άσκηση 21 Ο Γιώργος ισχυρίζεται ότι το σύστημα 5x 1 + 2x 2 3x 4 = 4 12x 1 7x 2 + 2x 3 = 8 3x 1 + 4x 2 + 5x 3 = 10 έχει ακριβώς τρεις λύσεις Τι πιστεύεται εσείς; Α) Ο Γιώργος έχει κατά πάσα πιθανότητα δίκιο Β) Ο Γιώργος έχει κατά πάσα πιθανότητα άδικο Γ) Ο Γιώργος έχει σίγουρα δίκιο Δ) Ο Γιώργος έχει σίγουρα άδικο Ε) Μου είναι, εν προκειμένω, αδύνατον να αξιολογήσω τον ισχυρισμό του Γιώργου

32 32 26 Απαλοιφή με οδήγηση Προβλήματα Πρόβλημα 21 Ποιές είναι οι σχετικές θέσεις των τριών επιπέδων σε καθένα απο τα εξής τρία συστήματα; (A) (B) (C) 2x + y + z = 5 x + y + z = 2 x + y + z = 2 4x + 2y + 2z = 6 2x + +3z = 5 2x + 3z = 5 2x + 7y + 2z = 9 3x + y + 4z = 6 3x + y + 4z = 7 Πρόβλημα 22 Θεωρήστε το γραμμικό σύστημα του Παραδείγματος 24 1 Αλλάξτε την τιμή του δεξιού μέλους της τέταρτης εξίσωσης του συστήματος και υπολογίστε την λύση του 2 Αλλάξτε την τιμή του συντελεστή του τέταρτου αγνώστου της τέταρτης εξίσωσης του παραπάνω συστήματος και υπολογίστε την λύση του 3 Προσπαθήστε να βγάλετε γενικά συμπεράσματα 1 Για ποιές τιμές της παραμέτρου t R έχει λύση το παρακάτω σύ- Πρόβλημα 23 στημα? x 1 + x 2 + x 3 = b 1 tx 1 + 2tx 2 + 2x 3 = b 2 (t + 1)x 1 + 2tx 3 = b 3 2 Υπολογίστε την λύση του συστήματος αν b 1 = 3, b 2 = 3t + 2 και b 3 = 3t + 1 Πρόβλημα 24 Διερευνήστε το πόσες λύσεις έχει το παρακάτω σύστημα με αλγεβρικό και με γεωμετρικό τρόπο 5x 1 + 2x 2 3x 4 = 4 12x 1 7x 2 + 2x 3 = 8 3x 1 + 4x 2 + 5x 3 = 10 Πρόβλημα 25 Σχήματος?? Δώστε δύο συστήματα που να αντιστοιχούν στις γραφικές παραστάσεις του Πρόβλημα 26 Δώστε έναν αλγόριθμο για την επίλυση κάτω τριγωνικών συστημάτων Πρόβλημα 27 Διατυπώστε ένα θεώρημα για κάτω τριγωνικά συστήματα, ανάλογο του Θεωρήματος 22

33 Κεφάλαιο 2 Η απαλοιφή του Γκάους 33 Πρόβλημα 28 Πόσες λύσεις έχει το παρακάτω σύστημα 5x 1 + 2x 2 3x 4 = 4 12x 1 7x 2 + 2x 3 = 8 3x 1 + 4x 2 + 5x 3 = 10 Πρόβλημα 29 Θεωρήστε το n n σύστημα του οποίου οι όλοι συντελεστές των αγνώστων είναι μηδέν εκτός απο αυτούς που βρίσκονται στην πρώτη γραμμή, στην πρώτη στήλη και στην κύρια διαγώνιο 1 Ζωγραφήστε την μη-μηδενική δομή του πίνακα των συντελεστών 2 Αναδιατάξτε τις εξισώσεις και τους αγνώστους του συστήματος έτσι ώστε να ελαχιστοποιθύνται οι απαιτούμενες πράξεις για την απαλοιφή του Γκάους Πρόβλημα Πόσες περίπου πράξεις εκτελούνται στην απαλοιφή ενός συστήματος n εξισώσεων με n αγνώστους 2 Μετατρέψτε τον παραπάνω αλγόριθμο έτσι ώστε αυτός να εκμεταλεύεται κατάλληλα την μη-μηδενικη δομή ενός συστήματος του οποίου οι συντελεστές των αγνώστων ικανοποιούν την παρακάτω συνθήκη όπου k ακέραιος θετικός αριθμός μικρότερος του n a i,j = 0, i,j : i j > k Υπολογιστικά Προβλήματα Υπολογιστικά Προβλήματα 21 των εξισώσεων ("row view") Μελετήστε την εδώ εφαρμογή Περιοριστείτε στην θεώρηση

34 3 Διανύσματα, Πίνακες και Πράξεις 31 Διανύσματα, πίνακες και βασικές πράξεις Πολλαπλασιαμοί Διανυσμάτων και Πινάκων Τύποι Πινάκων 40 Unfortunately, no one can be told what the Matrix is You have to see it for yourself Morpheus to Neo, The Matrix Στο κεφάλαιο αυτό θα επικεντρωθούμε στις πράξεις Πράξεις που αφορούν αριθμούς, διανύσματα και πίνακες Θα επικεντρωθούμε δηλαδή σε καθαρά αλγεβρικά στοιχεία και θα έχουμε την ευκαιρία να δούμε τα πολύ ενδιαφέροντα χαρακτηριστικά τους αλλά και κάποιες απλούστατες αλλά πολύ σημαντικές εφαρμογές τους 31 Διανύσματα, πίνακες και βασικές πράξεις Θεωρήστε ένα σύστημα εξισώσεων όπως για παράδειγμα το εξής x2 + 2 x3 x4 = 1 x1 + x3 + x4 = 4 x1 + x2 x4 = 2 2 x2 + 3 x3 x4 = 7 Όπως ήδη έχουμε παρατηρήσει στο προηγούμενο κεφάλαιο, μπορούμε να θεωρήσουμε τα δεξιά μέλη των εξισώσεων σαν ένα σύνολο τεσσάρων αριθμών διατεταγμένων σε μια σειρά, ίδια με την σειρά που έχουν διαταχθεί οι εξισώσεις Παρόμοια οι άγνωστοι αποτελούν ένα σύνολο τεσσάρων αριθμών σύμφωνη με την διάταξη που φαίνεται στις εξισώσεις Τέλος μπορούμε να θεωρήσουμε το σύνολο των συντελεστών των αγνώστων με μια καρτεσιανή διάταξη γραμμών και στηλών Έχουμε λοιπόν τον εξής πίνακα A και τα εξής διανύσματα b και x x b = 4 x = x2 A = 2 x x4 Είναι καιρός να προχωρήσουμε σε φορμαλιστικούς και σαφείς ορισμούς και ανάλογους ξεκάθαρους και χρήσιμους συμβολισμούς 34

35 Κεφάλαιο 3 Διανύσματα, Πίνακες και Πράξεις 35 Ορισμός 31 Διάνυσμα με n στοιχεία είναι ένα σύνολο n πραγματικών αριθμών διατεταγμένων σε μια σειρά Συμβολίζεται ως εξής x R n x x 1 x = 2, x i R, i = 1,,n όπου το x i είναι η i-στη συνιστώσα (ή το i-στο στοιχείο) του διανύσματος x x n Παρόλο που ο παραπάνω ορισμός αφορά διανύσματα με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς μόνον εύκολα μπορεί να μετατραπεί σε διανύσματα με στοιχεία άλλων συνόλων όπως το σύνολο των ακεραίων αριθμών, το σύνολο των μιγαδικών αριθμών, το σύνολο των πολυωνύμων βαθμού το πολύ p κοκ Για την ανάγκες μας θα περιοριστούμε σε διανύσματα και πίνακες πραγματικών αριθμών σημειώνοντας ότι σχεδόν όλα τα αποτελέσματά μας είναι εύκολο να επεκταθούν και σε άλλους χώρους Θα χρειαστεί να εκτελέσουμε διάφορες πράξεις οι οποίες εμπλέκουν διανύσματα και αριθμούς, αλλά αργότερα και πίνακες Θα μας βοηθήσει πολύ λοιπόν αν συμβολίζουμε με κεφαλαίους Λατινικούς χαρακτήρες μεταβλητές που αφρούν πίνακες, με μικρούς Λατινικούς χαρακτήρες με μια γραμμή απο κάτω τους μεταβλητές που αφορούν διανύσματα και με ελληνικούς χαρακτήρες μεταβλητές που αφορούν πραγματικούς αριθμούς Ορισμός 32 (Άθροισμα Διανυσμάτων) Άθροισμα δύο δοσμένων διανυσμάτων με n πραγματικές συνιστώσες είναι ένα άλλο διάνυσμα επίσης με n πραγματικές συνιστώσες κάθε στοιχείο του οποίου είναι το άθροισμα των αντίστοιχων στοιχείων των δύο δοσμένων διανυσμάτων Ο εν λόγω ορισμός μπορεί να διατυπωθεί και με τον εξής συμβολικό τρόπο x,y R n, x + y = x 1 x 2 x n + y 1 y 2 y n x 1 + y 1 x 2 + y 2 = x n + y n Ορισμός 33 (Πολλαπλασιασμός Αριθμού επί Διάνυσμα) Γινόμενο ενός δοθέντος αριθμού επί ένα δοθέν διάνυσμα με n πραγματικές συνιστώσες είναι ένα άλλο διάνυσμα επίσης με n πραγματικές συνιστώσες κάθε στοιχείο του οποίου είναι το γινόμενο του δοθέντος αριθμού επί το αντίστοιχο στοιχείο του δοθέντος διανύσματος Ο εν λόγω ορισμός μπορεί να διατυπωθεί και με τον εξής συμβολικό τρόπο α R,x R n, αx = α x 1 x 2 x n = αx 1 αx 2 αx n Ορισμός 34 (Γραμμικός Συνδοιασμός Διανυσμάτων) Γραμμικός συνδοιασμός ενός συνόλου δοθέντων διανυσμάτων με n πραγματικές συνιστώσες είναι ένα άλλο διάνυσμα επίσης με n πραγματικές συνιστώσες κάθε στοιχείο του οποίου είναι ο γραμμικός συνδοισμός των αντίστοιχων στοιχείων των δοθέντων διανυσμάτων Ο εν λόγω ορισμός μπορεί να διατυπωθεί για την περίπτωση τριών δοσμένων διανυσμάτων και με τον εξής συμβολικό τρόπο

36 36 32 Πολλαπλασιαμοί Διανυσμάτων και Πινάκων α,β,γ R, x,y,z R n, αx + βy + γz = α x 1 x 2 x n + β y 1 y 2 y n + γ z 1 z 2 z n αx 1 + βy 1 + γz 1 αx 2 + βy 2 + γz 2 = αx n + βy n + γz n Παράδειγμα 31 (Βασικές Πράξεις Αριθμών, Πινάκων και Διανυσμάτων) = 7, 1 2 = = ( 1) = Οι παραπάνω πράξεις ικανοποιούν σε γενικές γραμμές τις ίδιες ιδιότητες που ικανοποιούν και οι πράξεις των πραγματικών αριθμών Συγκεκριμένα δίνουμε ενδεικτικά τις εξής ιδιότητες οι οποίες ισχύουν w,x,y R n και s,t R x + y = y + x (x + y) + w = x + (y + w) z + 0 = 0 + z = z x + ( x) = x + x = 0 t(x + y) = tx + ty (s + t)x = sx + tx s(tx) = (st)x 1x = x Σημειώστε ότι με 0 συμβολίζουμε ένα διάνυσμα όλα τα στοιχεία του οποίου είναι μηδέν 32 Πολλαπλασιαμοί Διανυσμάτων και Πινάκων Υπάρχουν διάφοροι τρόποι να ορίσει κάποιος το γινόμενο δύο διανυσμάτων Εμείς θα περιοριστούμε στον εξής πολύ χρήσιμο ορισμό, η σπουδαιότητα του οποίου θα φανεί ξεκάθαρα λίγο παρακάτω Ορισμός 35 (Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων) Εσωτερικό γινόμενο δύο δοθέντων διανυσμάτων με n πραγματικές συνιστώσες είναι ο αριθμός που προκύπτει αν αθροίσουμε τα γινόμενα των αντίστοιχων όρων του κάθε διανύσματος Ο εν λόγω ορισμός μπορεί να διατυπωθεί,

37 Κεφάλαιο 3 Διανύσματα, Πίνακες και Πράξεις 37 με πολύ μεγαλύτερη σαφήνεια μάλιστα, και με τον εξής συμβολικό τρόπο n x,y R n, x y = x 1 y 1 + x 2 y x n y n = x k y k R k=1 Προσοχή το εσωτερικό γινόμενο αφορά δύο διανύσματα γινόμενο των οποίων είναι ένας πραγματικός αριθμός, δηλαδή x y R Το εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων έχει διάφορες ιδιότητες οι σημαντικότερες από οποίες δίνονται στο παρακάτω θεώρημα Η απόδειξη των των ιδιοτήτων συτών (όπως και άλλων που δεν αναφέρονται στο θεώρημα) δεν είναι δύσκολη αλλά αξίζει κάποιος να προσπαθήσει να αποδείξει τις ποιό ενδιαφέρουσες απο αυτές Θεώρημα 31 (Ιδιότητες Εσωτερικού Γινομένου) u,v,w R n και α,β R ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες (u + v) w = u w + v w u v = v u α(u v) = (αu) v) = u (αv) (αu + βv) w = (αu) w + (βv) w u u = 0 ανν v = 0 Ορισμός 36 (Πίνακας) Πίνακας είναι ένα σύνολο αριθμών διατεταγμένων σε γραμμές και στήλες a 1,1 a 1,2 a 1,j a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,j a 2,n A R m n A = a i,1 a i,2 a i,j a i,n a m,1 a m,2 a m,j a m,n όπου τα a i,j R,i = 1,,m, j = 1,,n ονομάζονται στοιχεία του πίνακα και το συγκεκριμένο στοιχείο a k,l βρίσκεται στην k-στη γραμμή και στην l-στη στήλη του πίνακα, Υπάρχει μια πληθώρα πράξεων οι οποίες εμπλέκουν πίνακες Οι συντριπτική πλειοψηφία αυτών των πράξεων είναι πράξεις στοιχείο προς στοιχείο και μπορούμε να τις θεωρήσουμε απλές επεκτάσεις των πράξεων με διανύσματα που ορίσαμε παραπάνω με μόνη εξαίρεση το εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων το οποίο γενικεύουμε με τον παρακάτω ορισμό Ορισμός 37 (Γινόμενο Πίνακα επί Διάνυσμα) Το γινόμενο ενός πίνακα m επί n πίνακα με ένα διάνυσμα με n είναι ένα άλλο διάνυσμα με m συνισώσες τα στοιχεία του οποίου είναι το εσωτερικό γινόμενο της αντίστοιχης γραμμής του πίνακα με το διάνυσμα Δηλαδή αν

38 38 32 Πολλαπλασιαμοί Διανυσμάτων και Πινάκων Σχήμα 31: Σχηματική παράσταση γινομένου πίνακα επί πίνακα: Ροή εκτέλεσης πράξεων (στα αριστερά) και εμπλεκόμενα στοιχεία (στα δεξιά) A R m n και b R n τότε a 1,1 a 1,2 a 1,j a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,j a 2,n b 1 b 2 a 1,1 b 1 + a 1,2 b 2 + a 1,j b j + a 1,n b n a 2,1 b 1 + a 2,2 b 2 + a 2,j b j + a 2,n b n Ab = a i,1 a i,2 a i,j a i,n b j = a i,1 b 1 + a i,2 b 2 + a i,j b j + a i,n b n a m,1 a m,2 a m,j a m,n b n a m,1 b 1 + a m,2 b 2 + a m,j b j + a m,n b n Σημειώστε ότι το i-στο στοιχείο του γινομένου Ab μπορεί να δωθεί στην εξής συνοπτική μορφή (Ab) i = n a i,k b k, k = 1,,m k=1 Σημειώστε επίσης ότι εύκολα μπορούμε να επεκτείνουμε τις ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου διανυσμάτων που δώσαμε στo Θεώρημα 31 σε ανάλογες ιδιότητες γινομένου πίνακα επί διάνυσμα Οι αποδείξεις των ιδιοτήτων αυτών δεν είναι δύσκολες παρόλο που είναι συγκριτικά χρονοβόρες και συχνά απαιτούν περίπλοκους συμβολισμούς Προχωράμε σον ορισμό της ποιο περίπλοκης πράξης με πίνακες ως εξής Ορισμός 38 (Γινόμενο Πίνακα επί Πίνακα) Το γινόμενο AB ενός m επί n πίνακα A επί έναν n επί q πίνακα B είναι ένας m επί n πίνακας C το στοιχείο c i,j του οποίου είναι το εσωτερικό γινόμενο της i γραμμής του A με την j στήλη του B Δηλαδή αν A R m n και B R n k τότε C = R m q όπου n c i,j = a i,k bk,j, i = 1,,m, j = 1,,q k=1 Στο παρακάτω Σχήμα 32 δίδονται με παραστατικό τρόπο δύο σχηματικές επεξηγήσεις του γινομένου πίνακα επί πίνακα

39 Κεφάλαιο 3 Διανύσματα, Πίνακες και Πράξεις 39 Παράδειγμα 32 (Υπολογισμός γινομένου πίνακα επί πίνακα) Υπολογίστε το γινόμενο AB [ ] όπου A = και B = AB = = [ ] [ ] = [ = [ ( 1) ( 1) Σημειώστε ότι το γινόμενο BA δεν ισούται με το γινόμενο AB μια και σύμφωνα με τον ορισμό μπορούμε εύκολα να διαπιστώσουμε ότι το BA R 3 3 ενώ όπως ήδη είδαμε το AB R 2 2 Υπάρχουν εναλακτικοί τρόποι υπολογισμού του γινομένου ενός πίνακα επί έναν άλλο πίνακα Συγκεκριμένα ο Ορισμός 38 μας δείχνει πως θα υπολογίσουμε το κάθε στοιχείο του γινομένου των δύο πινάκων ξεχωριστά Παρακάτω θα δούμε πως μπορούμε να διατυπώσουμε τον πολλαπλασιασμό δύο πινάκων κατά στήλες και κατά γραμμές Αξίζει να τονίσουμε ότι οι πράξεις που πρέπει να εκτελέσουμε παραμένουν οι ίδιες ανεξάρτητα απο ποιόν απο τους τρείς τρόπους θα χρησιμοποιήσουμε Στην ουσία οι τρείς τρόποι εκτελούν τις ίδιες πράξεις με διαφορετική σειρά και οι αλγόριθμοι έχουν διαφορετική αλγεβρική μορφή Θεώρημα 32 Η j-στη στήλη του γινομένου ενός πίνακα επί έναν άλλο πίνακα ισούται με το γινόμενο του πρώτου πίνακα επί την j-στη στήλη του δεύτερου πίνακα ] ] Απόδειξη Ας θεωρήσουμε δύο πίνακες A,B για τους οποίους ας, υποθέσουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας, ότι αποτελούνται απο n γραμμές και n στήλες ο καθένας τους Έστω C = AB και ας συμβολίσουμε με B j και C j την j-στη στήλη του πίνακα B και C αντίστοιχα Πρέπει λοιπόν να αποδείξουμε την σχέση C j = AB j j = 1,,n (31) Για να είναι το διάνυσμα του αριστερού μέλους ίσο με το διάνυσμα του αριστερού μέλους πρέπει όλα οι αντίστοιχες συνιστώσες να είναι ίσες Το i-στο στοιχείο του διανύσματος C j με βάση το αρχικό ορισμό του γινομένου πινάκων είναι το εσωτερικό γινόμενο της i-στης γραμμής του πίνακα A με την j-στη στήλη του πίνακα Όμως και το i-στο στοιχείο του διανύσματος AB j με βάση το αρχικό ορισμό του γινομένου πίνακα επί διάνυσμα είναι και αυτό το εσωτερικό γινόμενο είναι το εσωτερικό γινόμενο της i-στης γραμμής του πίνακα A με διάνυσμα B j το οποίο βεβαίως είναι η j-στη στήλη του πίνακα Συνεπώς όλα τα αντίστοιχα στοιχεία των διανυσμάτων των δύο μελών της εξίσωσης 31 είναι ίσα άρα και τα δύο διανύσματα είναι ίσα Θεώρημα 33 Η i-στη γραμμή του γινομένου ενός πίνακα επί έναν άλλο πίνακα ισούται με το γινόμενο της i-στης γραμμής του πρώτου πίνακα επί τον δεύτερο πίνακα Απόδειξη Η απόδειξη του ως άνω θεωρήματος είναι παρόμοια με την απόδειξη του Θεωρήματος 32 και συστήνεται σαν μια χρήσιμη άσκηση

40 40 33 Τύποι Πινάκων Παράδειγμα 33 Αν A = [ ] και B = τότε 1 η τρίτη στήλη του γινομένου AB υπολογίζεται ως εξής [ ] 1 [ ] [ ( 1) + ( 1) = = 1 ( 1) η δεύτερη γραμμή του γινομένου AB υπολογίζεται ως εξής [ ] = [ ( 1) 1 ( 1) ] = [ ] 2 11 ] Τα παραπάνω αποτελέσματα μπορούν εύκολα να επιβεβαιωθούν με τον εξής κώδικα { { 2, 1, 2 }, { 1, 3, 0 } } { { 1, 2, 1 }, { 0, 3, 4 }, { 1, 1, 2 } } Ας ολοκληρώσουμε την παρούσα παράγραφο με τις εξής σημαντικές παρατηρήσεις 1 Ένα γραμμικό σύστημα μπορεί να εκφραστεί σαν Ax = b όπου A ο πίνακας των συντελεστών των γνώστων, b το διάνυσμα του δεξιού μέλους και x το διάνυσμα των αγνώστων 2 Εν γένει AB BA 3 Για να μπορέσω να πολλαπλασιάσω δύο πίνακες πρέπει το πλήθος των στηλών του πρώτου να είναι ίσο με το πλήθος των γραμμών του δεύτερου 4 Αν AI = IA = A ο πίνακας I είναι το μοναδιαίο στοιχείο ως προς τον πολλαπλασιασμό πινάκων και θα μας απασχολήσει παρακάτω 33 Τύποι Πινάκων Στην παράγραφο αυτή θα ορίσουμε μερικούς σημαντικούς πίνακες και θα μελετήσουμε την αλγεβρική συμπεριφορά τους κυρίως αναφορικά με τις πράξεις πολλαπλασιασμού με τις οποίες ασχοληθήκαμε παραπάνω Θα ξεκινήσουμε με τον πίνακα I που συναντήσαμε παραπάνω Καταρχήν εύκολα διαπιστώνουμε ότι για να ικανοποιούνται οι σχέσεις AI = IA = A θα πρέπει τόσο ο πίνακας A όσο και ο I να είναι τετραγωνικοί ενώ θα πρέπει να έχουν το ίδιο πλήθος γραμμών (και στηλών) Δηλαδή πρέπει A,I R n n Επιπρόσθετα δεν είναι δύσκολο να διαπιστώσουμε ότι ο I θα πρέπει να είναι διαγώνιος με όλα τα διαγώνια στοιχεία του μονάδες Καταλήγουμε στον εξής ορισμό Ορισμός 39 (Ταυτοτικός Πίνακας) Ο n n πίνακας του οποίου όλα τα διαγώνια στοιχεία είναι ίσα με την μονάδα και όλα τα εκτός διαγωνίου είναι ίσα με το μηδέν ονομάζεται ταυτοτικός πίνακας, συμβολίζεται με και ικανοποιεί την σχέση AI = IA = A, όπου ένας οποιοσδήποτε n n πίνακας

41 Κεφάλαιο 3 Διανύσματα, Πίνακες και Πράξεις 41 Τον επόμενο πίνακα τον έχουμε ήδη συνατήσει Ας διατυπώσουμε όμως τον ορισμό του ως εξής Ορισμός 310 (Διαγώνιος Πίνακας) Ο n n πίνακας του οποίου όλα τα εκτός διαγωνίου είναι ίσα με το μηδέν ονομάζεται διαγώνιος πίνακας και συνήθως συμβολίζεται με Δεν είναι δύσκολο (είναι όμως βαρετό και ίσως επίπονο) να αποδείξουμε την εξής ιδιότητα των διαγωνίων στοιχείων Θεώρημα 34 Ο πίνακας που προκύπτει αν πολλαπλασιάσουμε ένα πίνακα A R n n με έναν διαγώνιο πίνακα απο τα αριστερά (δηλαδή DA) έχει τα στοιχεία της i-στης γραμμής του ίσα με τα στοιχεία της i-στης γραμμής του πολλαπλασιαμένα με το i-στο διαγώνιο στοιχείο του πίνακα D Δηλαδή (DA) i,j = d i,i a i,j, i = 1,,n, j = 1,,n Ορισμός 311 (Πίνακες Αντιμετάθεσης) Κάθε n n πίνακας ο οποίος προκύπτει αν αντιμεταθέσουμε γραμμές ενός ταυτοτικού πίνακα λέγεται πίνακας αντιμετάθεσης και συμβολίζεται συνήθως με P Ασκήσεις Άσκηση 31 Προβλήματα Πρόβλημα 31 Υπολογίστε το γινόμενο BA, όπου B και A οι πίνακες του Παραδείγματος 32 Πρόβλημα 32 Περιγράψτε τον πίνακα που προκύπτει αν τον πολλαπλασιάσουμε απο (α) αριστερά και (β) δεξιά με ένα πίνακα αντιμετάθεσης Πρόβλημα 33 Αποδείξτε ότι ο n n ταυτοτικός πίνακας I που περιγράφεται στον Ορισμό 39 είναι μοναδικός Δηλαδή δεν υπάρχει άλλος πίνακας M I τέτοιος ώστε AM = MA = A Πρόβλημα 34 Διατυπώστε ένα θεώρημα ανάλογο του Θεωρήματος 34 που να αφορά πολλαπλασιασμό πίνακα με διαγώνιο πίνακα απο τα αριστερά (AD) Υπολογιστικά Προβλήματα Υπολογιστικά Προβλήματα 31

42 Ευρετήριο Γκάους, 21 Γραμμική Εξίσωση, 13 Γραμμικό Σύστημα, 13 Λύσεις, 13 ισοδύναμα, 21 42