ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ"

Transcript

1 ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΕΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ποια στοιχεία περιέχει το σύνολο των μιγαδικών αριθμών C και πως ορίζεται; Β Τι καλούμε πραγματικό μέρος ενός μιγαδικού αριθμού και τι φανταστικό μέρος; Γ Ποια είναι η γεωμετρική παράσταση ενός μιγαδικού αριθμού; Α Το διευρυμένο σύνολο C θα έχει ως στοιχεία: Όλους τους πραγματικούς αριθμούς z Όλα τα στοιχεία της μορφής β i, που είναι γινόμενα των στοιχείων του με το i z i I, όπου με I συμβολίζουμε το σύνολο των φανταστικών αριθμών Όλα τα αθροίσματα της μορφής α βi, με α και β πραγματικούς αριθμούς z a i C είναι ακριβώς ό,τι λέμε μιγαδικό αριθμό η σύνθεση δηλαδή δύο αριθμών, του πραγματικού α και του β i, τον οποίο ονομάζουμε φανταστικό αριθμό Τα στοιχεία του C λέγονται μιγαδικοί αριθμοί και το C σύνολο των μιγαδικών αριθμών Β Στον μιγαδικό αριθμό z α βi, όπου α, β, ο πραγματικός αριθμός λέγεται πραγματικό μέρος του z και σημειώνεται Rez, ενώ ο λέγεται φανταστικό μέρος του z και σημειώνεται Imz Γ Kάθε μιγαδικό αριθμό α βi μπορούμε να τον αντιστοιχίσουμε στο σημείο M α, β ενός καρτεσιανού επιπέδου Αλλά και αντιστρόφως, κάθε σημείο M α, β του καρτεσιανού αυτού επιπέδου μπορούμε να το αντιστοιχίσουμε στο μιγαδικό α βi Το σημείο M λέγεται εικόνα του μιγαδικού α βi Aν θέσουμε z α βi, τότε το σημείο M α, β μπορούμε να το συμβολίζουμε και με M z β Mα,β ή Μz Ο a Ένα καρτεσιανό επίπεδο του οποίου τα σημεία είναι εικόνες μιγαδικών αριθμών θα αναφέρεται ως μιγαδικό επίπεδο Ο άξονας λέγεται πραγματικός άξονας, αφού ανήκουν σε αυτόν τα σημεία M α, που είναι εικόνες των πραγματικών αριθμών α α i, ενώ ο άξονας λέγεται φανταστικός άξονας, αφού ανήκουν σε αυτόν τα σημεία M, β που είναι εικόνες των φανταστικών βi βi Ένας μιγαδικός z α βi παριστάνεται επίσης και με τη διανυσματική ακτίνα, OM, του σημείου M α, β ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

3 Πως ορίζεται το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών ; Το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών είναι ένα υπερσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών, στο οποίο: Επεκτείνονται οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού έτσι, ώστε να έχουν τις ίδιες ιδιότητες όπως και στο, με το μηδέν να είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και το ένα το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού, Υπάρχει ένα στοιχείο i τέτοιο, ώστε i, Κάθε στοιχείο z του C γράφεται κατά μοναδικό τρόπο με τη μορφή z α βi, όπου α, β 3 Πότε δυο μιγαδικοί i και i είναι ισοι; Δύο μιγαδικοί αριθμοί ισχύει: α βi και γ δi είναι ίσοι, αν και μόνο αν α γ και β δ α βi γ δi α γ και β δ Δηλαδή Επομένως, επειδή i, έχουμε α βi α και β 4 Να αποδείξετε ότι η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος των μιγαδικών i και i είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτινών τους Αν M, και M γ, δ είναι οι εικόνες των α βi και γ δi αντιστοίχως στο μιγαδικό επίπεδο, τότε το άθροισμα α βi γ δi α γ β δ i M γ,δ Mα+γ,β+δ παριστάνεται με το σημείο M α γ, β δ Επομένως, OM OM OM, δηλαδή: M α,β Η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος των μιγαδικών α βi και γ δi είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους Ο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 3

4 5 Να αποδείξετε ότι η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς των μιγαδικών i και i είναι η διαφορά των διανυσματικών ακτινών τους Επίσης, η διαφορά Μ γ,δ 3 α βi γ δi α γ β δ i Μ α,β παριστάνεται με το σημείο N α γ, β δ Ο Επομένως, ON OM OM, δηλαδή: Ναγ,βδ Μ 3 γ,δ Η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς των μιγαδικών α βi και γ δi είναι η διαφορά των διανυσματικών ακτίνων τους 6 Πως ορίζονται οι πράξεις με μιγαδικούς ; 4 ΕΣΠ Για την πρόσθεση δύο μιγαδικών αριθμών α βi γ δi α γ β δ i i και i έχουμε: Για την αφαίρεση του μιγαδικού αριθμού μιγαδικού i είναι ο μιγαδικός i, έχουμε: i από τον i, επειδή ο αντίθετος του i i i i i Δηλαδή α βi γ δi α γ β δ i Για τον πολλαπλασιασμό δύο μιγαδικών i και i έχουμε: i i i i i i i i i i i i i i i Δηλαδή είναι : α βi γ δi αγ βδ αδ βγ i Τέλος, για να εκφράσουμε το πηλίκο i i, όπου i, στη μορφή i, πολλαπλασιάζουμε τους όρους του κλάσματος με το συζυγή του παρονομαστή και έχουμε: i i i i i Δηλαδή, α βi αγ βδ βγ αδ i i i i γ δi γ δ γ δ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 4

5 7 Τι ονομάζουμε συζυγή ενός μιγαδικού αριθμού z i και τι ιδιότητες έχει; Συζυγή του μιγαδικού αριθμού z i λέμε τον αριθμό z i Ο συζυγής του z συμβολίζεται επίσης και με i i, οι αριθμοί i, i Είναι δηλαδή : α βi α βi Επειδή είναι και i λέγονται συζυγείς μιγαδικοί Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες M, και M, δύο συζυγών μιγαδικών z i και z i είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα Mz 4 Για δύο συζυγείς μιγαδικούς αριθμούς z i και z i μπορούμε εύκολα, με εκτέλεση των πράξεων, να διαπιστώσουμε ότι: z z α και z z βi Ο M z Αν z i και z i είναι δυο μιγαδικοί αριθμοί, τότε: 3 4 z z z z z z ν 6 z z z z z z ν 5 ν ν 7 Ιδιαίτερα, αν είναι z z z ν ν ν z, τότε η τελευταία ισότητα γίνεται: z z 8 Να αποδείξετε ότι : z z z z ΕΣΠ, 4 ΕΣΠ, 8 ΕΣΠ, Η απόδειξη της ιδιότητας z z z z γίνεται ως εξής : Αν z i και z i, τότε έχουμε : z z i i i i i i z z i i i z z 9 Να αποδείξετε το παρακάτω κριτήριο : Για ένα μιγαδικό αριθμό z ισχύει ότι: Ο z είναι πραγματικός, αν και μόνο αν z Ο z είναι φανταστικός, αν και μόνο αν z z z z z z Im z z z z z i z z z I Re z z z z z και ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 5

6 Ποιες είναι οι ιδιότητες της δύναμης μιγαδικού; Οι δυνάμεις ενός μιγαδικού αριθμού z με εκθέτη ακέραιο ορίζονται ακριβώς όπως και στους πραγματικούς, δηλαδή ορίζουμε: z ν ν z, z z z,, και γενικά z z z, για κάθε θετικο ακέραιο ν, με ν Επίσης, αν z, ορίζουμε z, z ν για κάθε θετικό ακέραιο ν ν z Πως υπολογίζουμε τις δυνάμεις του i ; Για να υπολογίσουμε συγκεκριμένη δύναμη του i, γράφουμε τον εκθέτη στη μορφή 4, όπου είναι το πηλίκο και το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης του με, αν υ το 4, οπότε έχουμε: i, αν υ i i i i i i i i -, αν υ i, αν 3 Να λύσετε στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών την εξίσωση,, R και Έστω η εξίσωση z z, με,, R και z z με Μετασχηματίζουμε την εξίσωση, με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνων, στη μορφή: z 4 διακρίνουσα της εξίσωσης Έτσι, έχουμε τις εξής περιπτώσεις:, όπου 4 είναι η Αν, τότε η εξίσωση έχει δύο πραγματικές λύσεις: z, Αν, τότε έχει μια διπλή πραγματική λύση: z Αν, τότε, επειδή i i, η εξίσωση γράφεται: 4 4 i i z Άρα οι λύσεις της είναι: z, οι οποίες είναι συζυγείς, μιγαδικοί αριθμοί Παρατηρούμε ότι και εδώ ισχύουν οι σχέσεις: β z z και α z z γ α ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

7 ΕΝΟΤΗΤΑ 3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ 3 Τι ονομάζεται μέτρο του μιγαδικού αριθμού z i ; 5 ΕΣΠ, 5 ΟΜΟΓ, ΕΣΠ Β, ΕΣΠ Β Έστω M, η εικόνα του μιγαδικού z i στο μιγαδικό επίπεδο Ορίζουμε ως μέτρο του z την απόσταση του M από την αρχή O, δηλαδή z OM 5 β z M, Ο a 4 Να γράψετε τις ιδιότητες του μέτρου μιγαδικού αριθμού Ισχύει ότι : z z z z z z z z z z z z z z ν ν z z z z z z z z 5 Να αποδείξετε ότι : z z z z, 6 ΕΣΠ, 7, 8 ΟΜΟΓ, ΕΣΠ Β, 3 ΟΜΟΓ, 4 ΕΣΠ Β Έχουμε: z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z και επειδή η τελευταία ισότητα ισχύει, θα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

8 6αΤι εκφράζει γεωμετρικά το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών, δηλαδή ο αριθμός z z β Τι παριστάνει η εξίσωση z z, ; γ Τι παριστάνει η εξίσωση z z z z ; α Το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών είναι ίσο με την απόσταση των εικόνων τους Δηλαδή: M M z z όπου z M και M z οι εικόνες των z, z αντίστοιχα β Η εξίσωση z z, παριστάνει τον κύκλο με κέντρο το σημείο z και ακτίνα γ Η εξίσωση z z z z παριστάνει τη μεσοκάθετο του τμήματος με άκρα τα σημεία z και z οι εικόνες των z, z αντίστοιχα ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΑΠΟ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 4 ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ισχύει: α z z z β z z γ z - z δ z z ε i z z Για κάθε μιγαδικό αριθμό z i ισχύει : z 3 Για το μιγαδικό αριθμό i ισχύει : i 4 = 4 Αν z ένας μιγαδικός αριθμός και z ο συζυγής του, τότε ισχύει z z z 5 Αν z, z είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει πάντα z z z z z z 6 Το μέτρο του μιγαδικού αριθμού z = + i, όπου, πραγματικοί αριθμοί, δίνεται από τον τύπο z 7 Ο συζυγής κάθε μιγαδικού αριθμού z = + i, όπου, πραγματικοί αριθμοί, είναι ο μιγαδικός z = + i 8 Η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος δύο μιγαδικών αριθμών είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους 9 Το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

9 Αν Μ α, β και Μ γ, δ είναι οι εικόνες των α+βi και γ+δi αντιστοίχως στο μιγαδικό επίπεδο, τότε η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς των μιγαδικών α+βi και γ+δi είναι η διαφορά των διανυσματικών ακτίνων τους Για κάθε μιγαδικό αριθμό z = α + βi, όπου α,β IR, ισχύει z = α + βi Το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών αριθμών είναι ίσο με την απόσταση των εικόνων τους 3 Οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών αριθμών z, z είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον άξονα 4 Αν z και z είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε : z z z z 5 Αν z = + i, με, ΙR, τότε: z z 6 Αν z = α + βi, τότε: z z α, για κάθε α, β ΙR 7 Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ισχύει z z 8 Αν z, z είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει: z z z z 9 Έστω α, β πραγματικοί αριθμοί Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες Μα,β και Μ α, β των συζυγών μιγαδικών z α βi και z α βi είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα Για κάθε μιγαδικό z ισχύει z z z Για δύο οποιουσδήποτε μιγαδικούς αριθμούς α+βi και γ+δi η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματός τους ισούται με τη διαφορά των διανυσματικών ακτίνων τους Όταν η διακινούσα Δ της εξίσωσης αz + βz + γ = με α,β,γ IR και α είναι αρνητική, τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζες στο σύνολο C των μιγαδικών 3 Αν α, β πραγματικοί αριθμοί, τότε: α+βi= α= ή β= 4 Αν z, z είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει: z z z z 5 Αν z, z είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει : zz z z 6 z z, για κάθε μιγαδικό αριθμό z 7 Η εικόνα του μιγαδικού αριθμού α+βi, α,β R στο μιγαδικό επίπεδο είναι το σημείο Μα,β 8 Η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς των μιγαδικών αριθμών α + βi και γ + δi είναι η διαφορά των διανυσματικών ακτίνων τους 9 Για κάθε zc ισχύει : z z z 3 Αν z, z μιγαδικοί αριθμοί με z, τότε ισχύει ότι: z z z z ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

10 3 Αν α,β,γ,δ R ισχύει: α + βi = γ + δi α = γ και β = δ 3 Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ορίζουμε z = 33 Για κάθε μιγαδικό αριθμό z = α+βi, α,β R ισχύει z z 34 Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα 35 Η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος των μιγαδικών α+βi και γ+δi είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους 36 Η εξίσωση z z, ρ > παριστάνει τον κύκλο με κέντρο το σημείο Kz o και ακτίνα ρ, όπου z, z o μιγαδικοί αριθμοί 37 Για οποιονδήποτε μιγαδικό αριθμό z ισχύει z z 38 Το µέτρο της διαφοράς δύο µιγαδικών αριθµών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους στο µιγαδικό επίπεδο 39 Αν z, z δυο σταθεροί μιγαδικοί αριθμοί με z z τότε η εξίσωση : z z z z παριστάνει τη μεσοκάθετο του ευθυγράμμου τμήματος με άκρα τα σημεία Α z και Β z 4 Για κάθε z C ισχύει : z z Im z 4 Η εξίσωση z z, ρ > παριστάνει κύκλο με κέντρο το σημείο Kz o και ακτίνα ρ, όπου z, z o μιγαδικοί αριθμοί 4 Αν z είναι ένας μιγαδικός αριθμός τότε για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει v z z v 43 Η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς των μιγαδικών αριθμών α + βi και γ + δi είναι η διαφορά των διανυσματικών ακτίνων τους ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 7 Έστω Α ένα υποσύνολο του R Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; 5 ΕΣΠ Β Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία κανόνα, με την οποία κάθε στοιχείο A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό Το ονομάζεται τιμή της στο και συμβολίζεται με Σχόλια : Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : A R, Το γράμμα, που παριστάνει οποιοδήποτε στοιχείο του Α λέγεται ανεξάρτητη μεταβλητή, ενώ το γράμμα, που παριστάνει την τιμή της στο, λέγεται εξαρτημένη μεταβλητή Το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης συνήθως συμβολίζεται με D Το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της σε όλα τα A, λέγεται σύνολο τιμών της και συμβολίζεται με A Είναι δηλαδή: A { για κάποιο A} 8 Τι λέμε γραφική παράσταση μιας συνάρτησης με πεδίο ορισμού το σύνολο A ; Γραφική παράσταση της λέμε το σύνολο των σημείων M, για τα οποία ισχύει, δηλαδή το σύνολο των σημείων M,, με A Σχόλια : -Η γραφική παράσταση της και συμβολίζεται συνήθως με C -Η εξίσωση, λοιπόν, επαληθεύεται μόνο από τα σημεία της C Επομένως, η είναι η εξίσωση της γραφικής παράστασης της - Επειδή κάθε A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο, δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής παράστασης της με την ίδια τετμημένη Αυτό σημαίνει ότι κάθε κατακόρυφη ευθεία έχει με τη γραφική παράσταση της το πολύ ένα κοινό σημείο Σχ 7α Έτσι, ο κύκλος δεν αποτελεί γραφική παράσταση συνάρτησης Σχ 7β 7 C C O Α a O β - Όταν δίνεται η ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

12 γραφική παράσταση C μιας συνάρτησης, τότε: α Το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο Α των τετμημένων των σημείων της C β Το σύνολο τιμών της είναι το σύνολο A των τεταγμένων των σημείων της C γ Η τιμή της στο 8 A είναι η τεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας και της C Σχ = 8 C Α C C A, O Α α O β O γ - Όταν δίνεται η γραφική παράσταση C, μιας συνάρτησης μπορούμε, επίσης, να σχεδιάσουμε και τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και αη γραφική παράστασης της συνάρτησης είναι συμμετρική, ως προς τον άξονα, της γραφικής παράστασης της, γιατί αποτελείται από τα σημεία M, που είναι συμμετρικά των M,, ως προς τον άξονα Σχ 9 O Μ, Μ, 9 = = βη γραφική παράσταση της αποτελείται από τα τμήματα της C που βρίσκονται πάνω από τον άξονα και από τα συμμετρικά, ως προς τον άξονα, των τμημάτων της C που βρίσκονται κάτω από τον άξονα αυτόν Σχ = = O 9 Να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των βασικών συναρτήσεων α α β β α, α γ 3 α, α δ α, α ε, g Οι γραφικές παραστάσεις φαίνονται παρακάτω : α Η πολυωνυμική συνάρτηση α β ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

13 O O O a> a< a= βη πολυωνυμική συνάρτηση α, α O α> O α< γ Η πολυωνυμική συνάρτηση 3 α, α 3 O O α> α< δ Η ρητή συνάρτηση α, α 4 O O α> α< ε Οι συναρτήσεις, g 5 O O ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 3

14 Να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων : α,, β α, α γ log, α Οι γραφικές παραστάσεις φαίνονται παρακάτω : α Οι τριγωνικές συναρτήσεις : ημ, συν, εφ α 6 O π π =ημ α O π π =συν β π/ O π/ 3π/ =εφ γ Υπενθυμίζουμε ότι, οι συναρτήσεις ενώ η συνάρτηση ημ και συν είναι περιοδικές με περίοδο T π, εφ είναι περιοδική με περίοδο T π β Η εκθετική συνάρτηση α, α 7 α O α O α> α <α< β Ιδιότητες : Υπενθυμίζουμε ότι: Αν α, τότε: Αν α, τότε: γ Η λογαριθμική συνάρτηση log, α α ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 4

15 8 O α O α α> α <α< β Ιδιότητες : log α α log α α και log α α 3 log α και log α 4 log log log α α α 5 log log log α α α k 6 log κlog α α α 7Αν α, τότε: log log, ενώ αν α, log log α α α α lnα 8 α e, αφού lnα α e Πότε δύο συναρτήσεις,g λέγονται ίσες ; 7, 7 ΕΣΠ Β, 8 ΟΜΟΓ, ΕΣΠ Β, Β, 4 ΕΣΠ Β Δύο συναρτήσεις και g λέγονται ίσες όταν: έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και για κάθε A ισχύει g Πώς ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης, αφαίρεσης, γινομένου και πηλίκου δύο συναρτήσεων,g ; Ορίζουμε ως άθροισμα g, διαφορά - g, γινόμενο g και πηλίκο g δύο συναρτήσεων, g τις συναρτήσεις με τύπους g g, g g, g g, g g πεδίο ορισμού των g, g και g είναι η τομή A B των πεδίων ορισμού Α και Β των Το συναρτήσεων και g αντιστοίχως, ενώ το πεδίο ορισμού της g είναι το A B, εξαιρουμένων των τιμών του που μηδενίζουν τον παρονομαστή g, δηλαδή το σύνολο { A και B, με g } ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 5

16 3 Τι λέμε σύνθεση της συνάρτησης με τη συνάρτηση g ; Αν, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β αντιστοίχως, τότε ονομάζουμε σύνθεση της με την g, και τη συμβολίζουμε με g, τη συνάρτηση με τύπο go g A A B gb 4 g g g A Σχόλια : α Το πεδίο ορισμού της g αποτελείται από όλα τα στοιχεία του πεδίου ορισμού της για τα οποία το ανήκει στο πεδίο ορισμού της g Δηλαδή είναι το σύνολο A { A B} Είναι φανερό ότι η go ορίζεται,αν A, δηλαδή αν A B β Γενικά, αν, g είναι δύο συναρτήσεις και ορίζονται οι go και og, τότε αυτές δ ε ν ε ί ν α ι υ π ο χ ρ ε ω τ ι κ ά ίσες Αν, g, h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η hogo, τότε ορίζεται και η hogo και ισχύει hogo hogo Τη συνάρτηση αυτή τη λέμε σύνθεση των, g και h και τη συμβολίζουμε με hogo Η σύνθεση συναρτήσεων γενικεύεται και για περισσότερες από τρεις συναρτήσεις ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

17 ΕΝΟΤΗΤΑ 3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της ; 7 ΟΜΟΓ, 7 ΕΣΠ, ΕΣΠ, Η συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα σ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, Δ με ισχύει: Η συνάρτηση λέγεται γνησίως φθίνουσα σ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, Δ με ισχύει: 5 Πότε μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού A λέμε ότι παρουσιάζει στο o μέγιστο και πότε ολικό ελάχιστο ; A ολικό 4 ΟΜΟΓ, Β, 4 ΕΣΠ Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι: Παρουσιάζει στο A ολικό μέγιστο, το, όταν για κάθε A Παρουσιάζει στο A ολικό ελάχιστο, το, όταν για κάθε A 6 Πότε μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού A λέγεται ; 3 ΟΜΟΓ, 5 Β, ΟΜΟΓ Μια συνάρτηση :A R λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: Αν, τότε Σχόλια : α Μια συνάρτηση :A R είναι συνάρτηση, αν και μόνο αν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: αν, τότε β Από τον ορισμό προκύπτει ότι μια συνάρτηση είναι, αν και μόνο αν: - Για κάθε στοιχείο του συνόλου τιμών της η εξίσωση έχει ακριβώς μια λύση ως προς - Δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής της παράστασης με την ίδια τεταγμένη Αυτό σημαίνει ότι κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της το πολύ σε ένα σημείο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

18 - Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε είναι συνάρτηση " " Το αντίστροφο γενικά δεν ισχύει Υπάρχουν δηλαδή συναρτήσεις που είναι αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες Παράδειγμα 34, Η συνάρτηση η συνάρτηση g, αλλά δεν είναι γνησίως μονότονη Σχ 34είναι, O =g Παρατηρήσεις : Αν γνωρίζουμε ότι μια συνάρτηση είναι - τότε : Την ισοδυναμία αυτή τη χρησιμοποιούμε για επίλυση εξισώσεων Επίσης ισχύει : Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι - αρκεί : Αν η δεν είναι -, τότε υπάρχουν, τω και ί όμως ί ό ί ό όμως ό ό ίa 7 Πότε μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού A αντιστρέφεται και πώς ; Μια συνάρτηση :AR αντιστρέφεται, αν και μόνο αν είναι Η αντίστροφη συνάρτηση της που συμβολίζεται με Σχόλια : ορίζεται από τη σχέση : α Ισχύει ότι :, A και, A β Η αντίστροφη της έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών A της, και σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού Α της γ Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων και ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες O και O Παρατηρήσεις : είναι συμμετρικές : : έ, Αν γνησίως μονότονη στο διάστημα Δ, τότε η μονοτονίας : πχ αν τότε έστω D είναι γνησίως μονότονη με το ίδιο είδος, με, τότε : άρα στο D ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

19 ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ 8 Ποια πρόταση συνδέει το όριο της στο και τα πλευρικά όρια της στο ; o o Ισχύει ότι : Αν μια συνάρτηση είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής α,,β, τότε ισχύει η ισοδυναμία: lim lim lim Παρατηρήσεις : α Ισχύει ότι : α lim lim β lim lim h h β Τους αριθμούς lim και lim τους λέμε πλευρικά όρια της στο και συγκεκριμένα το αριστερό όριο της στο, ενώ το δεξιό όριο της στο γ Για να αναζητήσουμε το όριο της στο, πρέπει η να ορίζεται όσο θέλουμε κοντά στο, δηλαδή η να είναι ορισμένη σ ένα σύνολο της μορφής α,,β ή α, ή,β Το μπορεί να ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης Σχ 39α, 39β ή να μην ανήκει σ αυτό Η τιμή της στο, όταν υπάρχει, μπορεί να είναι ίση με το όριό της στο Σχ 39α ή διαφορετική από αυτό δ Ισχύει ότι lim και lim c c ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

20 ΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΟΡΙΩΝ 9 Να γράψετε τις ιδιότητες των ορίων ορίου στο o Για το όριο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες : α Θεώρημα ο Αν Αν lim, τότε κοντά στο lim, τότε κοντά στο Παρατήρηση : Αν υπάρχει το lim Αν υπάρχει το lim και είναι κοντά στο, τότε lim και είναι κοντά στο, τότε lim β Θεώρημα ο Αν οι συναρτήσεις,g έχουν όριο στο και ισχύει g κοντά στο, τότε lim lim g Παρατήρηση : Αν υπάρχουν τα lim και lim g Αν g κοντά στο, τότε lim lim g Αν Αν lim lim lim g, τότε g κοντά στο lim g, τότε g κοντά στο γ Θεώρημα 3ο Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων και g στο, τότε: lim g lim lim g lim κ κ lim, για κάθε σταθερά κ R 3 lim g lim lim g lim 4 lim, εφόσον g lim g lim g 5 lim lim k 6 lim k lim, εφόσον κοντά στο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

21 δ Είναι : ν lim[ ] lim ν, * ν Ν για παράδειγμα ν ν lim ε Έστω το πολυώνυμο P α α α α και ν ν ν ν R Είναι : lim P P Απόδειξη : Σύμφωνα με τις παραπάνω ιδιότητες έχουμε: ν ν lim P lim αν αν α lim α ν ν lim α ν ν ν ν αν lim αν lim lim α αν αν α P ν ν lim α Άρα : lim P P στ Έστω η ρητή συνάρτηση Q Θα είναι τότε P, όπου P, Q πολυώνυμα του και R με Q P P, όπου Q lim Q Q ζ Έστω οι συναρτήσεις,g,h Αν Κριτήριο παρεμβολής h g κοντά στο και lim h lim g, τότε lim η Ισχύει ότι ημ, για κάθε RΗ ισότητα ισχύει μόνο όταν lim ημ ημ lim συν συν ημ συν lim lim 3 Πώς υπολογίζουμε το όριο της σύνθετης συνάρτησης g στο o Αν θέλουμε να υπολογίσουμε το όριο της σύνθετης συνάρτησης g στο σημείο,δηλαδή το lim g, τότε εργαζόμαστε ως εξής: Θέτουμε u g Υπολογίζουμε αν υπάρχει το 3 Υπολογίζουμε αν υπάρχει το u lim g και lim u uu Αν g u κοντά στο, τότε το ζητούμενο όριο είναι ίσο με, δηλαδή ισχύει: lim g lim u uu ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

22 ΕΝΟΤΗΤΑ 6 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ 3 Να γράψετε τις ιδιότητες του άπειρου ορίου στο o Όπως στην περίπτωση των πεπερασμένων ορίων έτσι και για τα άπειρα όρια συναρτήσεων, που ορίζονται σε ένα σύνολο της μορφής,,, ισχύουν οι παρακάτω ισοδυναμίες: α β lim lim lim lim lim lim γ Αν δ Αν ε Αν lim, τότε κοντά στο, ενώ αν lim, τότε lim, ενώ αν lim ή, τότε lim lim, τότε κοντά στο lim, τότε lim στ Αν lim και κοντά στο, τότε lim, ενώ αν lim και κοντά στο, τότε lim ζαν lim ή, τότε lim η Αν lim, τότε lim k θ i lim και γενικά lim, * N ii lim ν, N και lim, N 3 Να γράψετε τα Θεωρήματα του άπειρου ορίου στο o Για το άθροισμα και το γινόμενο ισχύουν τα παρακάτω θεωρήματα : ΘΕΩΡΗΜΑ ο όριο αθροίσματος Αν στο R το όριο της είναι: α R α R - - και το όριο της g είναι: τότε το όριο της g είναι: - - ; ; ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

23 ΘΕΩΡΗΜΑ ο όριο γινομένου Αν στο R, το όριο της είναι: και το όριο της g είναι: τότε το όριο της g είναι: α> α< α> α< ; ; Σχόλιο Οι παρακάτω μορφές λέγονται απροσδιόριστες μορφές :,,,,, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 3

24 ΕΝΟΤΗΤΑ 7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ 33 Να γράψετε τις ιδιότητες για το όριο στο άπειρο α Για τον υπολογισμό του ορίου στο ή ενός μεγάλου αριθμού συναρτήσεων χρειαζόμαστε τα παρακάτω βασικά όρια: ν lim και lim, ν * N lim ν, αν ν άρτιος -, αν ν περιττός και lim, ν * β Για την πολυωνυμική συνάρτηση P, με ισχύει: lim P lim και lim P lim γ Για τη ρητή συνάρτηση,, ισχύει: lim lim και lim lim δ Για το όριο εκθετικής - λογαριθμικής συνάρτησης ισχύει ότι Αν Σχ 6, τότε lim, limlog, lim lim log 6 =a =log a O Αν Σχ 6, τότε =a 6 lim, lim limlog, lim log O =log a ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 4

25 Σχόλια Για να αναζητήσουμε το όριο μιας συνάρτησης στο, πρέπει η να είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής, Για να αναζητήσουμε το όριο μιας συνάρτησης στο πρέπει η να είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής, Για τα όρια στο, ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες των ορίων στο με την προϋπόθεση ότι: οι συναρτήσεις είναι ορισμένες σε κατάλληλα σύνολα και δεν καταλήγουμε σε απροσδιόριστη μορφή 34 Να δώσετε τον ορισμό της ακολουθίας Ακολουθία ονομάζεται κάθε πραγματική συνάρτηση : * 35 Τι εννοούμε όταν λέμε ότι μια ακολουθία έχει όριο το l ; Θα λέμε ότι η ακολουθία α ν έχει όριο το l και θα γράφουμε lim α ε ν ν *, υπάρχει N τέτοιο, ώστε για κάθε ν ν να ισχύει α ν ε, όταν για κάθε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 5

26 ΕΝΟΤΗΤΑ 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 36 Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της ; o ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της Θα λέμε ότι η είναι συνεχής στο, όταν lim Σχόλια : α Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό, μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της όταν: i Δεν υπάρχει το όριό της στο ή ii Υπάρχει το όριό της στο, αλλά είναι διαφορετικό από την τιμή της,, στο σημείο β Μία συνάρτηση που είναι συνεχής σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού της, θα λέγεται, συνεχής συνάρτηση γ Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση Ρ είναι συνεχής, αφού για κάθε R ισχύει lim P P Κάθε ρητή συνάρτηση P Q είναι συνεχής, αφού για κάθε του πεδίου ορισμού της ισχύει P P lim Q Q Οι συναρτήσεις ημ και συν g είναι συνεχείς, αφού για κάθε R ισχύει lim ημ ημ και lim συν συν Οι συναρτήσεις α και g log, α είναι συνεχείς α 37 Να διατυπώσετε πρόταση που αφορά τη συνέχεια και τις πράξεις συναρτήσεων Για τη συνέχεια και τις πράξεις συναρτήσεων ισχύει το παρακάτω θεώρημα : Αν οι συναρτήσεις και g είναι συνεχείς στο, τότε είναι συνεχείς στο και οι συναρτήσεις: g, c, όπου c R, g,, και με την προϋπόθεση ότι ορίζονται σε ένα διάστημα που g περιέχει το ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

27 38 Να διατυπώσετε πρόταση που αφορά τη συνέχεια σύνθετης συνάρτησης Για τη συνέχεια σύνθετης συνάρτησης ισχύει το παρακάτω θεώρημα : Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο, τότε η σύνθεσή τους go είναι συνεχής στο 39 Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα και, πότε στο κλειστό διάστημα [, ] ΟΜΟΓ, 8,, ΕΣΠ Μια συνάρτηση λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα αβ,, όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του, Μια συνάρτηση θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ, ], όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του, και επιπλέον : Σχόλιο lim και lim Ανάλογοι ορισμοί διατυπώνονται για διαστήματα της μορφής, ], [, 4 Να διατυπώσετε το θεώρημα του Bolzano 3 ΟΜΟΓ, 4 ΕΣΠ Β Έστω μια συνάρτηση, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ] Αν: η είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει, τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον,, τέτοιο, ώστε Δηλαδή, υπάρχει μια, τουλάχιστον, ρίζα της εξίσωσης στο ανοικτό διάστημα, Σχόλια Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε ή είναι αρνητική για κάθε, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ Μια συνεχής συνάρτηση διατηρεί πρόσημο σε καθένα από το διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της χωρίζουν το πεδίο ορισμού της ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

28 4 Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το θεώρημα του Bolzano Στο διπλανό σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης στο [ α, β] Επειδή τα σημεία A α, α και B β, β βρίσκονται εκατέρωθεν του άξονα, η γραφική παράσταση της τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο β 64 Bβ,β O a β a Αα,α 4 Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα του ενδιαμέσων τιμών Διατύπωση : Έστω μια συνάρτηση, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ] Αν: η είναι συνεχής στο [, ] και τότε, για κάθε αριθμό η μεταξύ των και υπάρχει ένας, τουλάχιστον, τέτοιος, ώστε Απόδειξη : ΟΜΟΓ, 5, ΕΣΠ Β, 3 ΕΣΠ, 5 Ας υποθέσουμε ότι Τότε θα ισχύει Σχ 67 Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση g, [, ], παρατηρούμε ότι: η g είναι συνεχής στο [, ] και g g, Αφού g και g Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, υπάρχει, τέτοιο, ώστε g, οπότε β η a Αα,α 67 Bβ,β =η O a β Σχόλια : α Αν μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο διάστημα [α,β], τότε δεν παίρνει υποχρεωτικά όλες τις ενδιάμεσες τιμές β Η εικόνα ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης είναι διάστημα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

29 43 Να διατυπώσετε το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής Αν είναι συνεχής συνάρτηση στο [, ], τότε η παίρνει στο [, ] μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m Δηλαδή, υπάρχουν, [, ] τέτοια, ώστε, αν m και M m M, για κάθε [ αβ, ] Σχόλιο :, να ισχύει Από το παραπάνω θεώρημα και το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών προκύπτει ότι το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης με πεδίο ορισμού το [, ] είναι το κλειστό διάστημα [ mm, ], όπου m η ελάχιστη τιμή και Μ η μέγιστη τιμή της Τέλος, αποδεικνύεται ότι: Aν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα α, β, τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα Α, Β Σχ 7α, όπου Α lim και B lim α β Αν, όμως, η είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο α, β, τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα B, A Σχ 7β ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΠΟ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ - 4 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η συνάρτηση =e - είναι γνησίως αύξουσα στο σύνολο των πραγματικών αριθμών Κάθε συνάρτηση, που είναι - στο πεδίο ορισμού της, είναι γνησίως μονότονη 3Μία συνάρτηση : Α ΙR είναι συνάρτηση,αν και μόνο αν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: αν =, τότε = 4 Αν, g είναι δύο συναρτήσεις µε πεδίο ορισμού IR και ορίζονται οι συνθέσεις og και go, τότε αυτές οι συνθέσεις είναι υποχρεωτικά ίσες 5 Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων και είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία = που διχοτομεί τις γωνίες O και O 6 Μία συνάρτηση λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, µε < ισχύει: < 7 Αν η έχει αντίστροφη συνάρτηση και η γραφική παράσταση της έχει κοινό σημείο Α με την ευθεία =, τότε το σημείο Α ανήκει και στη γραφική παράσταση της 8 Αν για δύο συναρτήσεις, g ορίζονται οι og και go, τότε είναι υποχρεωτικά og go 9 Μία συνάρτηση : Α ΙR λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, Α ισχύει η συνεπαγωγή: αν, τότε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

30 Μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι παρουσιάζει στο ο A ολικό ελάχιστο, το ο, όταν : < ο για κάθε A Μια συνάρτηση : Α IR είναι, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο του συνόλου τιμών της η εξίσωση = έχει ακριβώς μία λύση ως προς Μια συνάρτηση είναι -, αν και μόνο αν κάθε οριζόντια ευθεία παράλληλη στον τέμνει τη γραφική παράστασή της το πολύ σε ένα σημείο 3 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι συμμετρική, ως προς τον άξονα, της γραφικής παράστασης της 4 Αν, g, h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η h g, τότε ορίζεται και η h g ισχύει h g = h g 5 Αν μια συνάρτηση :A IR είναι, τότε για την αντίστροφη συνάρτηση, A και, A 6 Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι, αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες ισχύει: και 7 Μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέμε ότι παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο A, όταν για κάθε A 8 Η συνάρτηση είναι, αν και μόνο αν κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της το πολύ σε ένα σημείο 9 Αν ορίζονται οι συναρτήσεις og και go, τότε πάντοτε ισχύει og = go Το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης είναι το σύνολο Α των τετμημένων των σημείων της γραφικής παράστασης C της συνάρτησης Για κάθε συνάρτηση η γραφική παράσταση της αποτελείται από τα τμήματα της C, που βρίσκονται πάνω από τον άξονα, και από τα συμμετρικά, ως προς τον άξονα, των τμημάτων της C, που βρίσκονται κάτω από τον άξονα Μια συνάρτηση :A R λέγεται συνάρτηση -, όταν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: αν, τότε 3 Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων και - είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία = που διχοτομεί τις γωνίες O και O 4 Μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι παρουσιάζει στο A ολικό μέγιστο το, όταν για κάθε A 5 Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ, τότε είναι και στο διάστημα αυτό 6 Μια συνάρτηση είναι, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο του συνόλου τιμών της η εξίσωση = έχει ακριβώς μία λύση ως προς 7 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι συμμετρική, ως προς τον άξονα, της γραφικής παράστασης της ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 3

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x,

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x, Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν, Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ & Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης 7 Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η διαδικασία με την οποία προσδιορίζουμε τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά μιας συνάρτησης ονομάζεται μελέτη συνάρτησης Αυτή συνίσταται

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α. A1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο x

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α. A1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο x ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο, στο οποίο όμως η είναι συνεχής Να αποδείξετε ότι αν () 0 στο, ) και ()

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Ο Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες.. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Σημαντικές παρατηρήσεις

Σημαντικές παρατηρήσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Διαφορικός Λογισμός Σημαντικές παρατηρήσεις Φυλλάδιο Φυλλάδι555 5 ο ο Η έννοια της παραγώγου Να υπάρχει διάστημα της μορφής ή ή α,,β

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΣΤΕΛΙΟΥ ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΟΥ ΤΟΛΗ 5-6 Επιμέλεια : Νικόλαος Σαμπάνης Στο φυλλάδιο περιέχονται όλες οι βασικές Μεθοδολογίες

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

z-4 =2 z-1. 2z1 2z2 β) -4 w 4. ( ) x 1 3 x 2 e t dt, x 0

z-4 =2 z-1. 2z1 2z2 β) -4 w 4. ( ) x 1 3 x 2 e t dt, x 0 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα [α, β]. Αν η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013 ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 3 Εισαγωγή Μέσα Μαΐου και ο πυρετός των Πανελλαδικών όλο και ανεβαίνει! Οι μαθητές ξεκοκαλίζουν τα βιβλία για να ανακαλύψουν δύσκολα θέματα διαφορετικά από αυτά που κυκλοφορούν

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012 Μαθηματικά Γ Λυκείου Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων 5/5/ Έκδοση Α Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ( mac964@gmail.com) Αθήνα (λίγο πριν τις εκλογές) Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν

Διαβάστε περισσότερα

Για παραγγελίες των βιβλίων 2310610920

Για παραγγελίες των βιβλίων 2310610920 Για παραγγελίες των βιβλίων 369 Θέματα Προσομοίωσης Πανελλαδικών D.A.T. ΘΕΜΑ o ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 8 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015 Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 000-05 Περιεχόµενα Θέµατα Επαναληπτικών 05............................................. 3 Θέµατα 05......................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης 1. Ποιους ορισμούς πρέπει να ξέρω για τη μονοτονία ; Πότε μια συνάρτηση θα ονομάζεται γνησίως αύξουσα σε

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις γιατί συχνά, οι ιδέες επαναλαµβάνονται ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΝ ΛΥΚΕΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ 00

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΛΑΟΣ Κ. ΣΑΜΠΑΝΗΣ. Η επανάληψη Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΝΙΚΟΛΑΟΣ Κ. ΣΑΜΠΑΝΗΣ. Η επανάληψη Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Κ. ΣΑΜΠΑΝΗΣ Η επανάληψη Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2015 Βασικά σημεία προσοχής για την τελευταία επανάληψη στην ύλη των Μαθηματικών Γ Λυκείου Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης. Χρήσιμο βοήθημα για όλους

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Τύποι - Βασικές έννοιες Όρια - Συνέχεια 37. ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος διευκολύνεται ο υπολογισμός ορίων (άλγεβρα ορίων): Αν τα όρια lim f () και lim g()

Διαβάστε περισσότερα

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0 6 Ασύμπτωτες Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορίζουμε μια ευθεία ( ε ) ως ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της αν η απόσταση ενός μεταβλητού σημείου Ρ της γραφικής παράστασης από την ευθεία ( ε ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής zi,

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ I. Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγισιμη σε αυτό τότε ( ).(Θεώρημα Fermat) II.

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

23 2011 ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά) 3 1 0 011 ΘΕΡΙΝΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά) ΘΕΜΑ 1 Α. Έστω η συνάρτηση F()=f()+g(). Aν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες, να αποδείξετε ότι F

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η

Διαβάστε περισσότερα

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0.

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 23 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1o A. Για x x έχουµε: f (

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ 33 Θ Ε Μ Α Τ Α με λύση Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Επιμέλεια: Νίκος Λέντζος Καθηγητής Μαθηματικών Δ/θμιας Εκπαίδευσης Από το βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (έκδοση 4) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ τεύχος Α Αναστάσιου Χ. Μπάρλα μα προσφορά του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση 1 Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f στο x = x o? Δεν έχει νόημα Ερώτηση 2 Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( 2001 2011 ) ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( 2003 2011 )

ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( 2001 2011 ) ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( 2003 2011 ) ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( & ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( Επιμέλεια Συρραφή Θεμάτων Ζαχαριάδης Λάζαρος - Μαθηματικός ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΑΠΟ ΕΩΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά) 9 ΘΕΡΙΝΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( η σειρά) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω η συνάρτηση f με f() ημ. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει f () συν Β. Πότε μια συνάρτηση f λέμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 3 ΙΟΥΝΙΟΥ 03 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ IOYNIOY 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

z i z 1 z i z 1 z i z i z 2 z 1 z zi iz 1 z 2 z 1 i z z 2 z i 2vi 2 k v v k v k 0 v 0

z i z 1 z i z 1 z i z i z 2 z 1 z zi iz 1 z 2 z 1 i z z 2 z i 2vi 2 k v v k v k 0 v 0 ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ -4 Λύσεις Θέμα ο α) H f παραγωγίσιμη στο (,) ως άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: f() για κάθε (,). Αφού η f είναι συνεχής στο (,) και f() για κάθε (,) είναι γνησίως αύξουσα στο (,) άρα

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ O z είναι πραγματικός, αν και μόνο αν Ο z είναι φανταστικός, αν και μόνο αν β) Αν και να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός, ενώ ο αριθμός είναι φανταστικός. 9. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των

Διαβάστε περισσότερα

f f x f x = x x x f x f x0 x

f f x f x = x x x f x f x0 x 1 Παράγωγος 1. για να βρω την παράγωγο της f σε διάστηµα χρησιµοποιώ βασικές παραγώγους και κανόνες παραγωγισης. για να βρω την παράγωγο σε σηµείο αλλαγής τύπου η σε άκρο διαστήµατος δουλεύω µε ορισµό

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ κύριο ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΜΑΝΩΛΗ κυρία ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΑΓΓΕΛΙΚΗ του ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. ii) f(x) = δ) f (x) = ζ) f (x) =

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. ii) f(x) = δ) f (x) = ζ) f (x) = ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9o ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Α ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους ι) () = 4 6 6 ii) () = iii) () = log ( ) iv) () = log ( log4(- )) v) vii) () 5 4 viii) () 5 log

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Για το Θέμα Α: Ορισμοί. Συλλογή Από. Πανελλήνιες Επαναληπτικές Ομογενών

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Για το Θέμα Α: Ορισμοί. Συλλογή Από. Πανελλήνιες Επαναληπτικές Ομογενών Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Για το Θέμα Α: Ορισμοί Συλλογή Από Πανελλήνιες Επαναληπτικές Ομογενών 2014.Π 1. Έστω µια συνάρτηση f συνεχής σε διάστηµα και παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του. Πότε λέµε ότι

Διαβάστε περισσότερα

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)()=- για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f()=, β) η f αντιστρέφεται, γ) f - ()=-f(), є R., δ ) να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr III Όριο Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Πεπερασμένο Όριο στο Α Ορισμός Όριο στο : Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x Λύση (ΘΕΜΑ ο ) Γ. Έστω οι συναρτήσεις : h ln με D 0, h f με D, h h h με 3 0, 0, ln h h D D / h D δηλαδή h3 h h ή D 0, h h h με 4 f,, h 3 D D / h D δηλαδή h4 h h ή D, Έτσι η εξίσωση h ln h f h 4 ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι. Δημόπουλος Τμήμα Διοίκησης Μονάδων Υγείας και Πρόνοιας -ΤΕΙ Καλαμάτας ΚΑΠΟΙΟΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΕΝΝΟΙΕΣ Ν = {1,2,3,...} το σύνολο των φυσικών αριθμών Ζ = {0, ±1, ±2, ±3,..

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Β : Ανάλυση Κεφάλαιο 1ο (Προτείνεται να διατεθούν 33 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:

ΜΕΡΟΣ Β : Ανάλυση Κεφάλαιο 1ο (Προτείνεται να διατεθούν 33 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΙΕΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ.

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 5 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο A. Να δώσετε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης στο πεδίο ορισμού της. ( Μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα