Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΥΣΙΚΗ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΥΣΙΚΗ"

Transcript

1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΥΣΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως είαι γωσό, η Μουσική είαι Μαθημαικά και (σο βάθος) υπάρχει, μία «αδιόραη αρμοία» μεαξύ αυώ ω δύο. Έα μουσικό έργο, διέπεαι από μαθημαικούς όμους, σε ό,ι αφορά ις σχέσεις μεαξύ: α) Της διάαξης ω μουσικώ φθόγγω, και β) Της αίσοιχης συχόηας και χροικής αξίας ω φθόγγω αυώ. Σκοπός λοιπό ης μελέης μας αυής, είαι η δημιουργία μουσικώ συθέσεω (συμφωιώ, ραγουδιώ, κ.λπ.), χρησιμοποιώας α Μαθημαικά. Συγκεκριμέα, ση μελέη μας αυή (όπως θα ααλύσουμε αμέσως παρακάω) θα ααπύξουμε, διάφορες μαθημαικές μεθόδους με βάση ις οποίες, μπορούμε α δημιουργήσουμε μουσικές συθέσεις διάφορω μουσικώ έργω (συμφωιώ, ραγουδιώ, κ.λπ.), χρησιμοποιώας α Μαθημαικά. Τέλος, θα πρέπει α οίσουμε, όι: Η «Μαθημαική Μουσική» δε είαι έα «εγκεφαλικό καασκεύασμα» και σε καμία περίπωση δε μπορεί α υποκαασήσει ο «αθρώπιο παράγοα», δηλαδή η διαίσθηση, η φαασία και ο πηγαίο αλέο εός χαρισμαικού Μουσικοσυθέη. Αίθεα, η «Μαθημαική Μουσική» βοηθά και συμπληρώει σε μεγάλο βαθμό έα αλαούχο Μουσικοσυθέη και αποελεί, έα πολύ εδιαφέροα ομέα έρευας για έα Μαθημαικό μουσικό.. Η συγκεκραμέη μουσική κλίμακα Όπως γωρίζουμε από η Φυσική ση συγκεκραμέη μουσική κλίμακα οι συχόηες v ω μουσικώ φθόγγω, είαι οι εξής: η η κ.λπ.... Οκάβα... la 0,0 Hz si 6,9 Hz do 6,6 Hz re 9,7 Hz mi 9,6 Hz Οκάβαfa 9, Hz sol 0,0 Hz la 0,0 Hz si 9,9 Hz

2 η do 5, Hz re 587, Hz... Οκάβα... κ.λπ. Πίακας. Η Μαθημαική Μουσική Σύθεση (Γεικές αρχές) Ας υποθέσουμε σχ., όι έχουμε έα άξοα Ox. σχ. Ση περίπωση αυή, εργαζόμασε ως εξής: Βήμα ο : Επί ου άξοος Ox λαμβάουμε Ν ίσα ευθύγραμμα μήμαα, μήκους Τ, (Ν =,,, ). Το κάθε μήκος Τ αισοιχεί σο μουσικό μέρο ης μαθημαικής μουσικής σύθεσης ου μουσικού έργου (π.χ. συμφωία, ραγούδι, κ.λπ.) που θέλουμε α δημιουργήσουμε. Σο παράδειγμά μας ου σχ., επιλέγουμε ως μουσικό μέρο Τ π.χ. ο T. Προφαώς, σο σχ. μπορούμε για ο μήκος Τ α επιλέξουμε οποιοδήποε μουσικό μέρο π.χ. T, T 9, κ.λπ. Αυό είαι 8 καθαρά θέμα επιλογής μας.

3 Βήμα ο : Ση συέχεια, διαιρούμε ο κάθε μέρο Τ ( ο, ο, ο,, Ν ο, μέρο) με διάφορες υχαίες χροικές αξίες (,,,,,, ) αριθμημέες καά σειρά ( =,,, ), όπως φαίοαι σο σχ.. Σημείωση: Προφαώς ο άθροισμα ω χροικώ αξιώ, οι οποίες περιέχοαι μέσα σο κάθε μέρο Τ θα πρέπει α ισούαι με ο μέρο Τ, σχ.. Έσι λοιπό, σο σχ. ο μουσικός φθόγγος π.χ. = (ο οποίος βρίσκεαι σο ο μέρο) έχει χροική αξία. Επίσης, ο μουσικός φθόγγος = 5 (ο οποίος βρίσκεαι σο ο μέρο) έχει χροική αξία 5, κ.ο.κ. για ους διάφορους άλλους μουσικούς φθόγγους ου σχ.. Σημείωση: Η διάαξη ω χροικώ αξιώ (,,,,,, ) ω αισοίχω μουσικώ φθόγγω ( =,,, ) επάω σο άξοα Ox, μπορεί α είαι εελώς υχαία όπως, φαίεαι σο σχ. ή α ακολουθεί έα συγκεκριμέο «μαθημαικό όμο» ο οποίο εμείς προεπιλέγουμε ή α είαι, η διάαξη ω χροικώ αξιώ Τ η εός γωσού ραγουδιού κλπ, ο οποίο αυό ραγούδι ) θα ο οομάζουμε, μουσικό γεήορα. Σημείωση: Εφεξής ο άξοα Ox ου σχ. θα ο οομάζουμε, άξοα μαθημαικώ μουσικώ συθέσεω. Βήμα ο : Εξ ορισμού σο πρώο μουσικό φθόγγο ( = ), θέουμε αυθαίρεα μία (γωσή) ιμή ης συχόηας, π.χ. επιλέγουμε η συχόηα = 0 Hz (la ) () όπως φαίεαι σο παραπάω Πίακα ω συχοήω ης συγκεκραμέης μουσικής κλίμακας. Το πρόβλημα Το πρόβλημα λοιπό, ο οποίο προκύπει ώρα, είαι ο εξής: Σο σχ. με βάση:. Μία (εκ ω προέρω) δεδομέη διάαξη Α ω χροικώ αξιώ ω αίσοιχω μουσικώ φθόγγω ( =,,, ) επάω σο άξοα Ox, και. Με όσα ααφέροαι σο Βήμα ο, Το ερώημα που γειέαι είαι: Μπορούμε α υπολογίσουμε ις συχόηες ω αίσοιχω μουσικώ φθόγγω ( =,,,, ), προκειμέου α δημιουργήσουμε ελικά, μια μουσική σύθεση, χρησιμοποιώας αποκλεισικά και μόο α Μαθημαικά; Η απάηση σο παραπάω αυό ερώημα είαι κααφαική και έχει, ως εξής: Ορισμός: Ορίζουμε, ως προθύσερο (γωιακό) μουσικό λόγο k εός μουσικού φθόγγου ( =,,, ) ο αριθμό:

4 k () όπου, ση σχέση () ο είαι η συχόηα ου μουσικού φθόγγου, - είαι η αίσοιχη χροική αξία ου μουσικού αυού φθόγγου και είαι η χροική αξία ου μουσικού φθόγγου. Ο προθύσερος (γωιακός) μουσικός λόγος k ης σχέσης () είαι, θεμελιώδους σημασίας ση «Μαθημαική Μουσική» και παίζει βασικόαο ρόλο σε μία μαθημαική μουσική σύθεση, που θέλουμε α δημιουργήσουμε.. Οι βασικοί αλγόριθμοι μιας μαθημαικής μουσικής σύθεσης. Αλγόριθμος ακολουθίας Ορισμός: Ορίζουμε, ως αλγόριθμο ακολουθίας μιας μαθημαικής μουσικής σύθεσης η σχέση: Πk,f() () όπου, ση σχέση (), είαι: = η συχόηα ου μουσικού φθόγγου f() = μία οποιαδήποε ακολουθία (φυσικώ αριθμώ), και Π k,f() = μία αλγεβρική παράσαση ω k και f() όπου, =,,, και >0. Παράδειγμα: Η αλγεβρική παράσαση: () σύμφωα με ο παραπάω ορισμό, παρισάει έα αλγόριθμο ακολουθίας μιας μαθημαικής μουσικής σύθεσης που θέλουμε α δημιουργήσουμε, όπου ση σχέση (), (βλέπε παρεθέσεις), είαι: k (προθύσερος (γωιακός) μουσικός λόγος) και f() (ακολουθία). Αλγόριθμος συάρησης Ορισμός: Ορίζουμε ως αλγόριθμο συάρησης μιας μαθημαικής μουσικής σύθεσης η σχέση: Π k (5) όπου, ση σχέση (5), είαι: = η συχόηα ου μουσικού φθόγγου, και Π k = είαι μία αλγεβρική παράαση ου προθύσερου (γωιακού) μουσικού λόγου k, ήοι με βάση η σχέση ():

5 όπου, =,,, και 0. Παράδειγμα: Η αλγεβρική παράσαση: Π (6) 5 (7) σύμφωα με ο παραπάω ορισμό, παρισάει έα αλγόριθμο συάρησης. Με απλά λόγια, έας «πρακικός καόας» για α δημιουργήσουμε, έα αλγόριθμο συάρησης είαι, ο εξής: Όα ση πραγμαική συάρηση: y = f(x) αικαασήσουμε ο y με ο και ο x με ο προθύσερο (γωιακό) μουσικό λόγο k όε, προκύπει αμέσως έας αλγόριθμος συάρησης, όπως π.χ. είαι αυός ης σχέσης (7), ο οποίος προκύπει από η πραγμαική συάρηση: y x x 5 Επίσης, αξιοσημείωοι αλγόριθμοι είαι αυοί οι όποιοι, προκύπου από η συάρηση y fx, a όα η συάρηση a, είαι ο άθροισμα λ ω περιοδικώ συαρήσεω με αίσοιχες περιόδους Τ, Τ, Τ.λΤ όπου, Τ είαι η θεμελιώδης περίοδος και Τ είαι ο μουσικό μερό ης μαθημαικής μουσικής σύδεσης που θέλουμε α δημιουργήσουμε (όπου, Τ= Τ). οι παραπάω λ περιοδικές συαρήσεις, μπορεί α είαι ( όλες ή μερικές από αυές ) ομοφασικές ή α παρουσιάζου μεαξύ ους, διαφορά φάσης. Προφαώς, η απλούσερη μορφή ω παραπάω αυώ λ περιοδικώ συαρήσεω είαι αυή ης ημιοοειδούς κ.λ.π μορφής. ΣΗΜΕΙΩΣΗ Οι σχέσεις () και (5), αποελού ις βασικές σχέσεις ης «Αρχής ης Μουσικής Συέχειας» ης Μαθημαικής Μουσικής.. Παραδείγμαα αλγορίθμω ακολουθίας και αλγορίθμω συάρησης Μεά από αυά που ααφέραμε σα προηγούμεα, παρακάω θα ααφέρουμε (εδεικικά), μερικά παραδείγμαα αλγορίθμω ακολουθίας και αλγορίθμω συάρησης.. Αλγόριθμοι ακολουθίας a) : Παραδείγμαα

6 b) c) π cos d) e.... κ.λπ.. Αλγόριθμοι συάρησης a) 0 5 b) 8 c) si d) 5 cos cos.... κ.λπ. Σημείωση: Οι αλγόριθμοι ακολουθίας και οι αλγόριθμοι συάρησης που ααφέραμε σο παραπάω παράδειγμα έχου καθαρά εδεικικό χαρακήρα γεγοός που σημαίει, όι μπορεί α ΜΗΝ ΕΙΝΑΙ και οι καάλληλοι αλγόριθμοι για μια ποιοικά αποδεκή (από μουσικής άποψης), μαθημαική μουσική σύθεση που θέλουμε α δημιουργήσουμε. Συεπώς, εκείο ο οποίο έχει βασική σημασία είαι, όι: Ο Μαθημαικο-μουσικός θα πρέπει α βρει ο καάλληλο εκείο αλγόριθμο (αλγόριθμο ακολουθίας ή αλγόριθμο συάρησης), καθώς επίσης και η καάλληλη εκείη διάαξη ω χροικώ αξιώ, προκειμέου α δημιουργήσει (από μουσικής άποψης) μία ποιοικά αποδεκή, μαθημαική μουσική σύθεση. Αυός είαι, ο βασικός ρόλος ου Μαθημαικο-συθέη. 5. Υπολογισμός ω συχοήω ω μουσικώ φθόγγω ( =,,, ) μιας μαθημαικής μουσικής σύθεσης (χρησιμοποιώας έα αλγόριθμο ακολουθίας ή έα αλγόριθμο συάρησης). ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

7 Ας υποθέσουμε σχ., όι θέλουμε α δημιουργήσουμε μία μαθημαική μουσική σύθεση με βάση π.χ. ο αλγόριθμο ακολουθίας: (8) Ση συέχεια, επιλέγουμε επί ου άξοα Οx μία διάαξη Α ω χροικώ αξιώ (=,,, ) ω μουσικώ φθόγγω ης μαθημαικής μουσικής σύθεσης που θέλουμε α δημιουργήσουμε. Σημείωση: Η επιλογή ου αλγόριθμου (8) και ης διάαξης Α ω χροικώ αξιώ επάω σο άξοα Ox είαι καθαρά θέμα προσωπικής μας επιλογής. Ως γωσό και σύμφωα με ο ορισμό ση σχέση (8), είαι: k (προθύσερος (γωιακός) μουσικός λόγος) και f() (ακολουθία) όπου, ση σχέση (8) είαι =,,, και > 0. Σύμφωα λοιπό, με αυά που ααφέραμε σα προηγούμεα και με βάση ο σχ., έχουμε:. Ο πρώος μουσικός φθόγγος ( = ) εξ ορισμού (σύμφωα με η επιλογή μας) ου δίδουμε π.χ. συχόηα: συχόηα 0 Hz (la ), βλέπε Βήμα ο και χροική αξία (βλέπε, σχ. ). Άρα: Ο πρώος μουσικός φθόγγος ( = ) είαι: Ο la με χροική αξία (Α ). Ο δεύερος μουσικός φθόγγος ( = ) με βάση ο αλγόριθμο ακολουθίας (8), έχει συχόηα, η οποία είαι: 0 do, ήοι: 58 Hz 5, Hz, βλέπε Πίακας Άρα: Ο δεύερος μουσικός φθόγγος ( = ) είαι: Ο do με χροική αξία (Α )

8 . Ο ρίος μουσικός φθόγγος ( = ) με βάση ο αλγόριθμο ακολουθίας (8), έχει συχόηα, η οποία είαι: 58 la, ήοι:, Hz 0 Hz, βλέπε Πίακας Άρα: Ο ρίος μουσικός φθόγγος ( = ) είαι: Ο la με χροική αξία (Α ). Ο έαρος μουσικός φθόγγος ( = ) με βάση ο αλγόριθμο ακολουθίας (8), έχει συχόηα η οποία είαι:, re, ήοι: 559,05 Hz 587, Hz, βλέπε Πίακας Άρα: Ο έαρος μουσικός φθόγγος ( = ) είαι: Ο re με χροική αξία (Α ).. κ.ο.κ. Με ο ίδιο ακριβώς ρόπο που ααφέραμε παραπάω, υπολογίζουμε (ση συέχεια) ις συχόηες 5, 6, 7 αισοίχως, ου πέμπου, έκου, εβδόμου και οσού μουσικού φθόγγου, σχ.. Συεπώς, με βάση α παραπάω συμπεράσμαα Α, Α, Α, Α,. Α που προέκυψα η μαθημαική μας σύθεση είαι ολοκληρωμέη. Έσι λοιπό, εύκολα ώρα μπορούμε α αιγράψουμε η μαθημαική μουσική σύθεση που προέκυψε, σε μια μουσική παριούρα και α «παίξουμε» (η μουσική αυή σύθεση) σε έα μουσικό όργαο π.χ. πιάο, μπουζούκι, κ.λπ. Σημείωση: Το παραπάω παράδειγμα που ααφέραμε (από μουσικής άποψης) είαι, καθαρά εδεικικό και έχει ως σκοπό (κυρίως, παιδαγωγικό) α γωρίσουμε ο ρόπο με ο οποίο: Πώς μπορούμε α δημιουργήσουμε μία μουσική σύθεση εός μουσικού έργου (συμφωίας, ραγουδιού, κ.λπ.) χρησιμοποιώας, αποκλεισικά και μόο α μαθημαικά, με η μαθημαική μέθοδο ου αλγόριθμου ακολουθίας, που ααφέραμε παραπάω.

9 ΣΗΜΕΙΩΣΗ Με ο ίδιο ρόπο που εργασθήκαμε σο προηγούμεο παράδειγμα και δημιουργήσαμε μια μαθημαική μουσική σύθεση με βάση έα αλγόριθμο ακολουθίας, με ο ίδιο ακριβώς ρόπο εργαζόμασε και για η δημιουργία μιας μαθημαικής μουσικής σύθεσης με βάση έα αλγόριθμο συάρησης. Ο ρόπος εργασίας και σις δύο αυές παραπάω περιπώσεις είαι, ακριβώς ο ίδιος. ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Όπως παραηρούμε (και μεά από όλα αυά που ααφέραμε παραπάω ση μελέη μας αυή) ο αισθηικό αποέλεσμα (ευχάρισο ή όχι) μιας μαθημαικής μουσικής σύθεσης η οποία δημιουργήσαμε, εξαράαι: ) Από ο ρόπο διάαξης ω χροικώ αξιώ ( =,,, ) επάω σο άξοα Ox, και ) Από ο ύπο ου αλγόριθμου (αλγόριθμος ακολουθίας ή αλγόριθμος συάρησης) ο οποίο χρησιμοποιήσαμε. Σημείωση: Τα παραπάω ααφερόμεα σις παραγράφους () και () είαι (όπως ααφέραμε σα προηγούμεα), καθαρά θέμα προσωπικής μας επιλογής. Δοκιμάζοας λοιπό ώρα, διάφορες διαάξεις ω χροικώ αξιώ επί ου άξοος Ox σχ., με ους αίσοιχους ύπους αλγορίθμω, δημιουργούμε έα αριθμό Κ μαθημαικώ μουσικώ συθέσεω. Ση συέχεια, όλες αυές ις Κ μαθημαικές μουσικές συθέσεις που δημιουργήσαμε ις παίζουμε (δοκιμασικά) σε έα μουσικό όργαο π.χ. σε έα πιάο. Όα λοιπό, μεά ο «παίξιμο» ω Κ αυώ μαθημαικώ μουσικώ συθέσεω σο πιάο, κααλήξουμε ελικά σε μία μαθημαική μουσική σύθεση, η οποία (καά η γώμη μας) μας ικαοποιεί αισθηικώς από μουσικής άποψης, όε: Με η βοήθεια ου «αθρώπιου παράγοα» (μουσικό συθέη, εορχησρωή, κ.λπ.), ολοκληρώουμε η μαθημαική μουσική σύθεση η οποία επιλέξαμε, χρησιμοποιώας π.χ. περισσόερα μουσικά όργαα και βελιώοας ις διάφορες «μουσικές λεπομέρειες» ης παραπάω αυής μαθημαικής μουσικής σύθεσης που έχουμε επιλέξει. Έσι λοιπό, με ο ρόπο αυό που ααφέραμε παραπάω η μαθημαική μουσική σύθεση η οποία εμείς ελικά επιλέξαμε, παίρει μουσικώς η ελική και ολοκληρωμέη μορφή ης και ση συέχεια η αιγράφουμε σε μια μουσική παριούρα. Σημείωση: Τεχικώς υπάρχει ο ρόπος ώσε, κάθε μια από ις παραπάω Κ δοκιμές ω μαθημαικώ μουσικώ συθέσεω που δημιουργήσαμε, α μας δίδει αμέσως ο «άκουσμα» ης, σε έα μουσικό όργαο π.χ. σε έα πιάο. Αυό αποελεί συόμευση χρόου και πολύ μεγάλη διευκόλυση για έα Μαθημαικο-συθέη. Τέλος και σύμφωα με αυά που ααφέραμε ση μελέη μας αυή, κααλήγουμε σο παρακάω βασικό συμπέρασμα. Συμπέρασμα Με βάση ις αρχές ης «Μαθημαικής Μουσικής» ις οποίες ααπύξαμε ση μελέη μας αυή, προκύπει όι:

10 Έα άομο με βασικές γώσεις μαθημαικώ και μουσικής χρησιμοποιώας έα υπολογισή και κάποια απλά προγράμμαα (υπολογισή), μπορεί πολύ εύκολα α γίει έας αξιόλογος μουσικοσυθέης. ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΜΟΥΣΙΚΕΣ ΣΥΝΘΕΣΕΙΣ. «Ααλογικού ύπου», μαθημαικές μουσικές συθέσεις Ας υποθέσουμε σχ., όι μας δίδεαι μια διάαξη Α ω μουσικώ φθόγγω ( =,,,.), μιας μαθημαικής μουσικής σύθεσης που θέλουμε α δημιουργήσουμε. Με βάση λοιπό, ο προθύσερο (γωιακό) μουσικό λόγο k ης σχέσης (), θεωρούμε η σχέση: k k k... k ήοι, η σχέση:... (9) Επίσης, ση σχέση (9) για η συχόηα θέουμε μία αυθαίρεη ιμή (ης επιλογής μας) π.χ. = 0 Hz (la ). Συεπώς, σο πρώο όρο: (0) επειδή, α και είαι γωσά, καθώς και ο είαι γωσό (ήοι, = 0 Hz) όε, ο πρώος όρος (σχέση (0)) ση σχέση (9) έχει γωσή ιμή C, ήοι είαι: C () Έσι λοιπό, με βάση η σχέση (), η σχέση (9) μας δίδει: C... () Συεπώς, από η σχέση (), έχουμε:

11 C C C () Σις σχέσεις (), επειδή α δεύερα μέλη ους είαι γωσοί αριθμοί θα είαι γωσές και οι συχόηες:,,,., - () Συεπώς, επειδή ση μαθημαική μουσική σύθεση που θέλουμε α δημιουργήσουμε είαι γωσές οι συχόηες,,,, -, καθώς και οι αίσοιχες χροικές αξίες ους,,,, - (διόι η διάαξη Α ω μουσικώ φθόγγω σο σχ. είαι, εκ ω προέρω δεδομέη) αυό σημαίει, όι η μαθημαική μουσική σύθεσή μας είαι ολοκληρωμέη. Σημείωση: Σε ό,ι αφορά η συχόηα ου ελευαίου μουσικού φθόγγου ( =,,, ) εξ ορισμού, η συχόηα αυή η θεωρούμε, ίση με η συχόηα ου πρώου μουσικού φθόγγου ( = ), ήοι είαι =. Έσι λοιπό, όα ολοκληρωθεί η παραπάω αυή υπολογισική εργασία, όε μεαφέρουμε (αιγράφουμε) η μαθημαική αυή μουσική σύθεση που προέκυψε, σε μία μουσική παριούρα και η παίζουμε σε έα μουσικό όργαο π.χ. πιάο, βιολί, μπουζούκι, κ.λπ.. «Διοφαικού ύπου», μαθημαικές μουσικές συθέσεις Σις μαθημαικές μουσικές συθέσεις «Διοφαικού ύπου», εργαζόμασε, ως εξής: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Ορισμός: Ορίζουμε, ως προθύσερο (εμβαδικό) μουσικό λόγο k εός μουσικού φθόγγου ( =,,, ) ο αριθμό: k (5) Ας υποθέσουμε σχ., όι θέλουμε α δημιουργήσουμε μια μαθημαική μουσική σύθεση Α («Διοφαικού ύπου») ης οποίας ο μουσικό μέρο ης α είαι π.χ. T. ) Ας υποθέσουμε επίσης, όι ο ο μέρο θέλουμε α έχει π.χ. () μουσικές όες ω οποίω οι συχόηες α είαι,,, και οι αίσοιχες χροικές αξίες ους α είαι,,,.

12 Ας πάρουμε ώρα, (με βάση ο προθύσερο (εμβαδικό) μουσικό λόγο ης σχέσης (5)) μία απλή περίπωση «Διοφαικού ύπου» μαθημαικώ μουσικώ συθέσεω, όπου για ο ο μουσικό μέρο α ισχύει η σχέση: k k C (6) k ήοι, με βάση η σχέση (5), έχουμε: όπου, C = θεικός αριθμός. C (7) Όπως παραηρούμε, η σχέση (7) είαι μία Διοφαική εξίσωση με (8) αγώσους, ήοι ους,,, και,,,. Καόπι, ορίζουμε η συθήκη, ήοι α είαι: Τ (8) και οι συχόηες,,, α περιέχοαι όλες, π.χ. εός ης ης Οκάβας (βλέπε, Πίακας ), ήοι α είαι: si,,, 6,6 Hz 9,9 Hz (9) do Λύοας ώρα η Διοφαική εξίσωση (7) ως προς ους αγώσους,,, και,,, και λαμβάοας υπόψη η συθήκη ω σχέσεω (8) και (9) βρίσκουμε ις ιμές ω αγώσω,,, και,,,. Άρα, ο ο μέρο ης μαθημαικής μουσικής σύθεσής μας έχει () μουσικές όες με γωσές ις συχόηες,,, και ις αίσοιχες χροικές αξίες ους,,,. ) Ας υποθέσουμε ώρα, όι ο ο μέρο ης μαθημαικής μουσικής σύθεσής μας, θέλουμε α έχει π.χ. () μουσικές όες ω οποίω οι συχόηες α είαι 5, 6, 7 οι αίσοιχες χροικές αξίες ους α είαι 5, 6, 7 και για ο ο μουσικό μέρο α ισχύει η σχέση: k k C (0) k5 6 7 ήοι: C () και η γωσή συθήκη: Τ 6 () 5 7

13 si,, 6,6 Hz 9,9 Hz () do Λύοας ώρα, η Διοφαική εξίσωση () ως προς ους αγώσους 5, 6, 7 και 5, 6, 7 και λαμβάοας υπόψη η συθήκη ω σχέσεω () και () βρίσκουμε ις ιμές ω αγώσω 5, 6, 7 και 5, 6, 7. Άρα, ο ο μέρο ης μαθημαικής μουσικής σύθεσής μας έχει () μουσικές όες με γωσές ις συχόηες 5, 6, 7 και ις αίσοιχες χροικές αξίες ους 5, 6, 7. ) Επίσης, εά θέλουμε ο ο μουσικό μέρο α έχει π.χ. (5) μουσικές όες με συχόηες 8, 9, 0,, και αίσοιχες χροικές αξίες 8, 9, 0,,, όε για ο ο μουσικό μέρο θα ισχύει η σχέση: k k k k C () k8 9 0 ήοι: με η γωσή συθήκη: Τ C si,,,, 6 Hz 9,9 Hz do Έσι λοιπό, με ο ίδιο ακριβώς ρόπο που εργασθήκαμε για ο ο και ο μέρο (όπως ααφέραμε παραπάω), εργαζόμασε και για ο ο, ο, 5 ο κ.λπ. μουσικό μέρο ης μαθημαικής μουσικής σύθεσής μας. Προφαώς, η επίλυση ω Διοφαικώ εξισώσεω (7), (), κ.λπ. με ις αίσοιχες γωσές συθήκες ους, απαιεί η χρήση Ηλεκροικού Υπολογισού. Επίσης, οι ιμές ω συχοήω,,, που θα προκύψου από η επίλυση ω Διοφαικώ εξισώσεω θα πρέπει α είαι, «σρογγυλοποιημέες» με ις αίσοιχες συχόηες ου Πίακα, καθώς και οι ιμές ω χροικώ αξιώ,,, που θα προκύψου θα πρέπει α είαι, «σρογγυλοποιημέες» με ις αίσοιχες χροικές αξίες (,,,,,, ) Όα λοιπό, ολοκληρωθεί η παραπάω διαδικασία για ο ο, ο, ο, ο, 5 ο, κ.λπ. μουσικό μέρο, όε μεαφέρουμε (αιγράφουμε) η μαθημαική αυή μουσική σύθεση που προέκυψε, σε μια μουσική παριούρα και η παίζουμε σε έα μουσικό όργαο π.χ. σε έα πιάο, κ.λπ. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Τις σχέσεις (6), (0), (), εφεξής θα ους οομάζουμε, Διοφαικούς μουσικούς ύπους ης μαθημαικής μουσικής σύθεσης που θέλουμε α δημιουργήσουμε. Καά καόα, οι Διοφαικοί μουσικοί ύποι, διαηρού ο ίδιο μαθημαικό φορμαισμό ους σε όλα α μουσικά μέρα ( ο, ο, ο, κ.λπ.) ης μαθημαικής μουσικής σύθεσης. Έσι π.χ. οι Διοφαικοί μουσικοί ύποι (6), (0), (), θα μπορούσα (σε μια άλλη μαθημαική μουσική σύθεση Β) α ήα αισοίχως:

14 k k k C, ( ο Μουσικό μέρο) k k k C, ( ο Μουσικό μέρο) k 8 k9 k0 k k C, ( ο Μουσικό μέρο).... κ.λπ. ή επίσης (σε μια άλλη μαθημαική μουσική σύθεση Γ) α ήα, αισοίχως: k a k a k C, ( ο Μουσικό μέρο) a a5k5 a k 6 6 a7k7 C a8k8 a k 9 9 a k 0 0 ak ak, ( ο Μουσικό μέρο) C, ( ο Μουσικό μέρο).... κ.λπ. όπου a, a, a, = πραγμαικοί αριθμοί. Τέλος θα πρέπει α οίσουμε, όι: Σις μαθημαικές μουσικές συθέσεις «Διοφαικού ύπου», όα είαι γωσά, α) Το μουσικό μέρο Τ, β) Ο Διοφαικός ύπος, γ) Ο αριθμός ω μουσικώ φθόγγω μέσα σε κάθε μουσικό μέρο και δ) Η (γωσή) συθήκη, όε: Επειδή, η επίλυση ω Διοφαικώ εξισώσεω ου ου, ου, ου, κ.λπ. μουσικού μέρου μας δίδου (καά καόα) η κάθε μία, περισσόερες από μία λύσεις αυό σημαίει, όι θα έχουμε και έα μεγάλο αριθμό μαθημαικώ μουσικώ συθέσεω με βάση α συγκεκριμέα δεδομέα (α), (β), (γ), (δ). Δηλαδή σο παράδειγμα μας σχ., εά η Διοφαική εξίσωση ου ου μουσικού μέρου έχει s (αποδεκές) λύσεις, η Διοφαική εξίσωση ου ο μουσικού μέρου έχει s (αποδεκές) λύσεις, η Διοφαική εξίσωση ου ου μουσικού μέρου έχει s (αποδεκές) λύσεις και η Διοφαική εξίσωση ου Νου μουσικού μέρου έχει s N (αποδεκές) λύσεις, όε: Ο συολικός αριθμός S ω μαθημαικώ μουσικώ συθέσεω που θα προκύψου θα είαι: S s (5) s s... sn ήοι (καά καόα) θα προκύψει, έας μεγάλος αριθμός S μαθημαικώ μουσικώ συθέσεω. ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ Μεά από όλα αυά (που ααφέραμε ση μελέη μας αυή) κααλήγουμε, όι οι κυριόερες μαθημαικές μουσικές συθέσεις ης Μαθημαικής μουσικής είαι, οι παρακάω:

15 . Μαθημαικές μουσικές συθέσεις, αλγορίθμου ακολουθίας Σις μαθημαικές μουσικές συθέσεις, αλγορίθμου ακολουθίας και σο άξοα Ox ου σχ. είαι, εκ ω προέρω γωσά: α. Το μουσικό μέρο Τ. β. Η διάαξη ω χροικώ αξιώ ω μουσικώ φθόγγω ( =,,, ). γ. Ο αλγόριθμος ακολουθίας.. Μαθημαικές μουσικές συθέσεις, αλγορίθμου συάρησης Σις μαθημαικές μουσικές συθέσεις, αλγορίθμου συάρησης και σο άξοα Ox ου σχ. είαι, εκ ω προέρω γωσά: α. Το μουσικό μέρο Τ. β. Η διάαξη ω χροικώ αξιώ ω μουσικώ φθόγγω ( =,,, ). γ. Ο αλγόριθμος συάρησης.. Μαθημαικές μουσικές συθέσεις, «ααλογικού ύπου» Σις μαθημαικές μουσικές συθέσεις, «ααλογικού ύπου» και σο άξοα Ox ου σχ. είαι, εκ ω προέρω γωσά: α. Το μουσικό μέρο Τ. β. Η διάαξη ω χροικώ αξιώ ω μουσικώ φθόγγω ( =,,, ).. Μαθημαικές μουσικές συθέσεις, «Διοφαικού ύπου» Σις μαθημαικές μουσικές συθέσεις, «Διοφαικού ύπου» και σο άξοα Ox ου σχ. είαι, εκ ω προέρω γωσά: α. Το μουσικό μέρο Τ. β. Ο Διοφαικός μαθημαικός ύπος ης μαθημαικής μουσικής σύθεσης. γ. Ο αριθμός ω μουσικώ φθόγγω, μέσα σο κάθε μουσικό μέρο Τ. δ. Συθήκη: Το εύρος ω συχοήω (ση συγκεκραμέη μουσική κλίμακα) εός ου οποίου θα πρέπει α περιέχοαι όλες οι συχόηες ω μουσικώ φθόγγω (=,,, ) ης μαθημαικής μουσικής σύθεσης που θέλουμε α δημιουργήσουμε. Μια πρόαση Όποιος (Μαθημαικός, Φυσικός, Μηχαικός, Μουσικός, κ.λπ.) εδιαφέρεαι α ασχοληθεί με η Μαθημαική μουσική και ειδικόερα με η μαθημαική μουσική σύθεση θα πρέπει (καά η γώμη μου) α αρχίσει α ασχολείαι πρώα με ις μαθημαικές μουσικές συθέσεις «ααλογικού ύπου» (οι οποίες είαι, οι πιο απλούσερες), καόπι α προχωρήσει σις μαθημαικές μουσικές συθέσεις αλγορίθμου ακολουθίας ή συάρησης και ελικώς, α ασχοληθεί με ις μαθημαικές μουσικές συθέσεις «Διοφαικού ύπου». Αυός (ομίζω) όι, είαι έας πολύ καλός (παιδαγωγικός) ρόπος για η εκμάθηση και εμπέδωση ω βασικώ αρχώ ης Μαθημαικής μουσικής που ααπύξαμε ση εργασία μας αυή. ΕΠΙΛΟΓΟΣ Η «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΥΣΙΚΗ» είαι, έας έος κλάδος ω Μαθημαικώ, και είαι η «γέφυρα», η οποία συδέει η Επισήμη ω Μαθημαικώ με η Τέχη ης Μουσικής.

16 Όπως διαπισώουμε, ο πεδίο έρευας ης Μαθημαικής Μουσικής είαι αεξάληο και πολύ εδιαφέρο. Ααμφισβήηα, η Μαθημαική μουσική αοίγει «έους ορίζοες» έρευας σο χώρο ης Μουσικής (όπως η γωρίζουμε, μέχρι σήμερα). Έσι λοιπό (μεά από αυά που ααφέραμε ση μελέη μας αυή): Ο «ολοκληρωμέος» Μουσικοσυθέης ου μέλλοος θα πρέπει α έχει απαραιήως και βασικές γώσεις Μαθημαικώ. Διόι, οι Μαθημαικοί είαι «Μουσικοσυθέες», χωρίς α ο συειδηοποιού και α μπορού μουσικώς α ο εκφράσου αλλά και οι Μουσικοσυθέες είαι και αυοί «Μαθημαικοί», χωρίς α ο συειδηοποιού και α μπορού μαθημαικώς α ο εκφράσου. Καθόι, η Μουσική δε είαι ίποε άλλο, παρά α Μαθημαικά ου ήχου και ου χρόου, όπου (ο ήχος και ο χρόος) είαι, αρμοικά συδεδεμέα μεαξύ ους. Τέλος, είαι γωσό, όι: Ο πρώος βαθύς γώσης, ο οποίος επισήμαε η άρρηκη σχέση η οποία υπάρχει μεαξύ ω Μαθημαικώ και ης Μουσικής, ήα ο Έλληας Φιλόσοφος και Μύσης, ο Πυθαγόρας. Copyright 0: Christos A. Tsolkas Χρήσος Α. Τσόλκας 7 Μαρίου 0

13. Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις

13. Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις Κ Χρισοδολίδης: Μαθηµαικό Σµπλήρµα για α Εισαγγικά Μαθήµαα Φσικής 67 3 Σνήθεις διαφορικές εξισώσεις 3 Ορισµοί Μια εξίσση πο περιέχει παραγώγος κάποιας σνάρησης, ονοµάζεαι διαφορική εξίσση ( Ε) Αν η σνάρηση

Διαβάστε περισσότερα

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπού» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα τω εικτώ του Ρολογιού Εισαγωγικά ηµήτρης Ι. Μπουάκης Σχ. Σύµβουλος Μαθηµατικώ Σε ορισµέα βιβλία Αριθµητικής, αλλά κυρίως Άλγεβρας Β Γυµασίου και Α

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΕΠ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ 03 Μαθηματικών

ΑΣΕΠ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ 03 Μαθηματικών ΑΣΕΠ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ 9 ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ 3 Μαθηματικώ Ερώτημα Ο Εισαγωγή ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΕΙΔΙΚΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ. Το συγκεκριμέο ερώτημα θα μπορούσε α έχει ισοδύαμα τη μορφή: «Να προτείετε σχέδιο μαθήματος,

Διαβάστε περισσότερα

www.fr-anodos.gr (, )

www.fr-anodos.gr (, ) ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Το lim f ( ) έχει όηµα σε γειτοικά σηµεία µε το δηλαδή ότα ( a, ) (, β ) a. Δε µε εδιαφέρει α το ίδιο το αήκει η όχι στο πεδίο ορισµού της f αλλά µε εδιαφέρει α υπάρχου στο πεδίο ορισµού

Διαβάστε περισσότερα

«Χρηματοδοτική Ανάλυση και Διοικητική», Τόμος A

«Χρηματοδοτική Ανάλυση και Διοικητική», Τόμος A ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδώ : Διοίκηση Επιχειρήσεω και Οργαισμώ Θεματική Εότητα : Δ.Ε.Ο. 3 Χρηματοοικοομική Διοίκηση Ακαδημαϊκό Έτος : 202-203 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Χρηματοδοτική Αάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ V. ΜΙΚΡΟΠΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΚΡΥΣΤΑΛΛΩΝ 1. Εισαγωγή Ση µέχρι ώρα συζήησή µας για ην µηχανική συµπεριφορά ων µεαλλικών υλικών, όπου εξεάσαµε ην ελασική και ην πλασική ους συµπεριφορά

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ. Εισαγωγή

4.3 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ. Εισαγωγή 49 43 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ Εισαγωγή Στα Στοιχεία του Ευκλείδη, βιβλία VII, VIII και IX (περίπου 300 πχ), οι θετικοί ακέραιοι παριστάοται ως ευθύγραμμα τμήματα και η έοια της διαιρετότητας συδέεται άμεσα με τη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΛΑΓΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΟΥ ΑΞΟΝΑ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΤΡΕΦΟΜΕΝΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ 90º. 180º ω. Οι απαντήσεις και τα σχετικά σχόλια

ΑΛΛΑΓΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΟΥ ΑΞΟΝΑ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΤΡΕΦΟΜΕΝΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ 90º. 180º ω. Οι απαντήσεις και τα σχετικά σχόλια Φυσική καεύθυνσης Γ Σερεό σώµα ΑΛΛΑΓΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΟΥ ΑΞΟΝΑ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΤΡΕΦΟΜΕΝΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ άξονας 9º 18º Ο ροχός ου σχήµαος έχει ροπή αδράνειας Ι και σρέφεαι γύρ από ον άξονά ου µε γνιακή αχύηα µέρου.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΔΗΜΟΣΙΑΣ ΔΙΑΒΟΥΛΕΥΣΗΣ

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΔΗΜΟΣΙΑΣ ΔΙΑΒΟΥΛΕΥΣΗΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΔΗΜΟΣΙΑΣ ΔΙΑΒΟΥΛΕΥΣΗΣ Στο παρακάτω πίακα παρουσιάζοται τα σχόλια και οι παρατηρήσεις που υποβλήθηκα στο πλαίσιο της από 21.3.2011 δημόσιας αακοίωσης πρόσκλησης της ΡΑΕ για υποβολή απόψεω επί

Διαβάστε περισσότερα

στους μιγαδικούς αριθμούς

στους μιγαδικούς αριθμούς Πράξεις στους μιγαδικούς αριθμούς Πρόσθεση μιγαδικώ αριθμώ Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία α) ) Πώς γίεται η πρόσθεση δύο μιγαδικώ αριθμώ; ) Ποια είαι η γεωμετρική ερμηεία του αθροίσματος δύο μιγαδικώ;

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών Κεφάλαιο 1 ο 45 Β. Δυάμεις πραγματικώ αριθμώ Α έχουμε έα γιόμεο της μορφής (-) (-) (-) (-) όπου κάθε παράγοτας είαι (δηλαδή ο ίδιος ο αριθμός) μπορούμε α το συμβολίσουμε με μια πιο απλή μορφή : (-) 4.

Διαβάστε περισσότερα

_Σχήµα 2_. Σελίδα 1 από 5. τον οποίο γίνεται η µεταπτωτική κίνηση. Άξονας περιστροφής τροχού. Άξονας γύρω από. τον οποίο γίνεται η µεταπτωτική κίνηση

_Σχήµα 2_. Σελίδα 1 από 5. τον οποίο γίνεται η µεταπτωτική κίνηση. Άξονας περιστροφής τροχού. Άξονας γύρω από. τον οποίο γίνεται η µεταπτωτική κίνηση ιονύσης Μηρόπουλος Κίνηση σερεού Παραηρήσεις ση µεαπωική κίνηση ενός σρεφόµενου ροχού Η ανάρηση αυή έγινε µε αφορµή: 1) Την πολύ καλή και ενδιαφέρουσα ανάρηση ου συναδέλφου Νίκου αµαόπουλου µε ίλο «Μεαπωική

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Ηλεκτρικών κυκλωμάτων

Εργαστήριο Ηλεκτρικών κυκλωμάτων Εργασήριο Ηλεκρικών κυκλωμάων Αυό έργο χορηγείαι με άδεια Creaive Commons Aribuion-NonCommercial-ShareAlike Greece 3.. Σκοπός ων πειραμάων Ονομ/νυμο: Μηρόπουλος Σπύρος Τμήμα: Ε6 Το εργασήριο πραγμαοποιήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

4. Δεσμευμένη Πιθανότητα - Ανεξαρτησία Ενδεχομένων

4. Δεσμευμένη Πιθανότητα - Ανεξαρτησία Ενδεχομένων Δεσμευμέη Πιθαότητα Αεξαρτησία Εδεχομέω 4 Δεσμευμέη Πιθαότητα - Αεξαρτησία Εδεχομέω 4 Γιατί δεσμευμέη πιθαότητα Το όημα της δεσμευμέης πιθαότητας Η πιθαότητα, ως έα μέτρο του βαθμού βεβαιότητας που έχουμε

Διαβάστε περισσότερα

Όταν πραγματοποιείται το Α πραγματοποιείται και το Β.

Όταν πραγματοποιείται το Α πραγματοποιείται και το Β. Βασικές έοιες και τύποι πιθαοτήτω Πείραμα τύχης - Η έοια του τυχαίου Δειγματικός χώρος Ω εός πειράματος τύχης (πεπερασμέος, απείρως αριθμήσιμος, συεχής) Εδεχόμεα Α, Β, (απλά, σύθετα) Βέβαιο εδεχόμεο Αδύατο

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

1.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 67.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Οομάζουμε ταυτότητα κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και επαληθεύεται για όλες τις τιμές τω μεταβλητώ αυτώ. Τετράγωο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ κ Για α βρούµε τη δύαµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωα µε τη ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ και υ = 0,,, οπότε i κ 4ρ+

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2

Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2 Περιγραφική Στατιστική Όπως, ήδη έχουμε ααφέρει, στόχος της Περιγραφικής Στατιστικής είαι, «η αάπτυξη μεθόδω για τη συοπτική και τη αποτελεσματική παρουσίαση τω δεδομέω» Για το σκοπό αυτό, έχου ααπτυχθεί,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Του Κώστα Βακαλόπουλου ΑΣΚΗΣΗ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ) Το εύρος (R) τω παρατηρούμεω υψώ τω 00 πελατώ εός γυμαστηρίου είαι cm. A) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομέα

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επααληπτικό Διαγώισμα Μαθηματικώ Γεικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέμα A Α.α) Τι οομάζουμε συάρτηση και τι οομάζουμε πραγματική συάρτηση πραγματικής μεταβλητής; β) Τι λέγεται τιμή μιας συάρτησης f στο χ ; γ)

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 47) Εισαγωγικό σημείωμα. Λυμένες Ασκήσεις. 2συν x 2συν x 1 συνx συνx 1 x 2κπ, κ οι ζητούμενοι α-

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 47) Εισαγωγικό σημείωμα. Λυμένες Ασκήσεις. 2συν x 2συν x 1 συνx συνx 1 x 2κπ, κ οι ζητούμενοι α- Μαθηματικά για τη Β τάξη του Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ τω Κώστα Βακαλόπουλου Bασίλη Καρκάη Εισαγωγικό σημείωμα Παραθέτουμε στα δύο άρθρα που ακολουθού μια σειρά από λυμέες ασκήσεις στα κεφάλαια

Διαβάστε περισσότερα

5.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C

5.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C 5 55 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C Εισαγωγή Η επίλυση τω εξισώσεω ου και 4ου βαθμού, η ααγκαστική επαφή με τους μιγαδικούς αριθμούς για τη έκφραση τω πραγματικώ ριζώ και η εξέλιξη του αλγεβρικού λογισμού

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ Παρουσίαση ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ Παρουσίαση.4 Μέτρα θέσης Στη συέχεια θα περιγράψουµε κάποια µέτρα, τα οοµαζόµεα µέτρα θέσης. Τα µέτρα θέσης µίας καταοµής, είαι κάποια αριθµητικά µεγέθη που δίου τη θέση του κέτρου

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2 Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΙΔΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ( ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ): i. αχ=β µε α 0 έχει µία λύση ii. 0χ=β µε β 0 αδύατη εξίσωση ( καµία λύση ) iii. 0χ=0 αόριστη εξίσωση ( άπειρες λύσεις ) ΕΙΔΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ (ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Θεματική ενότητα : Βασικά εργαλεία και Μέθοδοι για τον έλεγχο της ποιότητας.

Θεματική ενότητα : Βασικά εργαλεία και Μέθοδοι για τον έλεγχο της ποιότητας. Εργασία 5 Θεμαική ενόηα : Βασικά εργαλεία και Μέθοδοι για ον έλεγχο ης ποιόηας. Άσκηση 1 (η άσκηση έχει λυθεί βάσει ων διευκρινίσεων που δόθηκαν από ον καθηγηή ) α) Το καάλληλο σαισικό εργαλείο που θα

Διαβάστε περισσότερα

Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι παρατηρήσεις που πήραμε για το ύψος και το βάρος 16 εργατών μιας βιομηχανίας.

Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι παρατηρήσεις που πήραμε για το ύψος και το βάρος 16 εργατών μιας βιομηχανίας. Συσέτιση δύο μεταβλητώ Συσέτιση δύο μεταβλητώ Θεωρούμε δύο τυαίες μεταβλητές X, Y και ζεύγη παρατηρήσεω,,,,...,, από τυαίο δείγμα μεγέθους. Ααφερόμαστε, δηλαδή, σε μη πειραματικά δεδομέα ο ερευητής δε

Διαβάστε περισσότερα

υπολογισθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α, Β, ΑΒ, Α, Β, Α Β, Α Β, ΑΒ,

υπολογισθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α, Β, ΑΒ, Α, Β, Α Β, Α Β, ΑΒ, Προβλήματα Πιθαοτήτω Προβλήματα Πιθαοτήτω Από εξετάσεις που έγια σε 5000 ζώα μιας κτηοτροφικής μοάδας, διαπιστώθηκε ότι 000 είχα προσβληθεί από μια ασθέεια Α, 800 είχα προσβληθεί από μια ασθέεια Β εώ 00

Διαβάστε περισσότερα

5.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ

5.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ 5 54 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Εισαγωγή Η αοδοχή τω μιγαδικώ αριθμώ, εκτός αό τις δυατότητες ου άοιξε στη είλυση τω εξισώσεω, έδωσε μεγάλη ευελιξία στο αλγεβρικό λογισμό Για αράδειγμα, η αράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος Τι είαι εκτός ύλης. Σχολικό έτος 06-07 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε. Το Λεξιλόγιο της Λογικής...9 Ε. Σύολα...3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ o: Πιθαότητες. Δειγματικός Χώρος - Εδεχόμεα...0. Έοια της Πιθαότητας...9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΣΧΟΛΙΑ : Είαι γωστό ότι για µια συεχή συάρτηση σε έα διάστηµα, το ολοκλήρωµα F ορίζει έα πραγµατικό αριθµό όπου o είαι έα οποιοδήποτε σηµείο του και α έα αυθαίρετο

Διαβάστε περισσότερα

2.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ R

2.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ R ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 5 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ R Εισαγωγή Η επίλυση τω εξισώσεω ου και 4ου βαθμού, η ααγκαστική επαφή με τους μιγαδικούς αριθμούς για τη έκφραση τω πραγματικώ ριζώ και η εξέλιξη του αλγεβρικού

Διαβάστε περισσότερα

4. Αντιδράσεις πολυμερισμού

4. Αντιδράσεις πολυμερισμού 4. Ατιδράσεις πολυμερισμού Ποια μόρια οομάζοται μακρομόρια Τα μακρομόρια είαι μόρια μεγάλου μοριακού βάρους που σχηματίζοται από τη συέωση (= πολυμερισμό) απλούστερω δομικά μορίω (= μοομερή) σύμφωα με

Διαβάστε περισσότερα

xf(y) + yf(x) = (x + y)f(x)f(y)

xf(y) + yf(x) = (x + y)f(x)f(y) ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Επιμέλεια: Καρράς Ιωάης Μαθηματικός Φίλος μὲ δή, ὡς ἔοικε, τούτῳ τῷ λόγῳ ὁ ἀγαθὸς ἔσται, ἐχθρὸς δὲ ὁ ποηρός. gxkarras@gmail.com 1. Να βρεθού όλες οι συαρτήσεις f : R R για τις οποίες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Πολλαπλοί χημικοί αντιδραστήρες

Κεφάλαιο 5 Πολλαπλοί χημικοί αντιδραστήρες Κεφάλαιο 5 Πολλαπλοί χημικοί ανιδρασήρες Σε ορισμένες περιπώσεις, σε μια χημική βιομηχανία, η χρήση ενός μόνο χημικού ανιδρασήρα δεν είναι όσο αποελεσμαική όσο θα ήαν επιθυμηό. Συνεπώς, είναι απαραίηο

Διαβάστε περισσότερα

i) Αν ο φυσικός αριθμός n δεν είναι τετράγωνο ακεραίου, τότε ο n είναι άρρητος.

i) Αν ο φυσικός αριθμός n δεν είναι τετράγωνο ακεραίου, τότε ο n είναι άρρητος. Πρόλογος 3 Πρόλογος Τ ο βιβλίο αυτό απευθύεται σε κάθε συάδελφο Μαθηματικό, αλλά κυρίως σε κάθε έο συάδελφο που πρόκειται α συμμετάσχει στο διαγωισμό του Α.Σ.Ε.Π. Επίσης, απευθύεται σε μαθητές με υψηλούς

Διαβάστε περισσότερα

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41.

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 η ΕΚΑ Α 4. Έστω Ω { ω, ω, ω, ω 4 } ο δειγµατικός χώρος εός πειράµατος τύχης και τα εδεχόµεα Α {ω, ω }, Β {ω, ω 4 } + Α είαι P(A B) και Ρ( Β Α ), όπου θετικός ακέραιος τότε + 4 Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ-I

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ-I ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ-I ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΒΑΣΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ Μοναδιαία βηµαική συνάρηση (Ui Sep Fucio) U () =, U () =, .5 - -

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Στο άρθρο αυτό θα παρουσιάσουμε μια μικρή συλλογή ασκήσεω οι οποίες καλύπτου τις έοιες που μάθαμε στο κεφάλαιο της Στατιστικής. Σε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εισαγωγή

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εισαγωγή Μέρος πέµπτο ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Εισαγωγή Στα προηγούµεα κεφάλαια είδαµε τις διάφορες µεθόδους συλλογής και επεξεργασίας του βιοµετρικού υλικού. Κάθε βιοµετρική επεξεργασία όµως έχει

Διαβάστε περισσότερα

Μετρήσεις Χρόνου Η ακρίβεια

Μετρήσεις Χρόνου Η ακρίβεια Μετρήσεις Χρόου Η ακρίβεια 1. 1. Παρατηρώτας διάφορες συσκευές μέτρησης του χρόου στις παρακάτω εικόες, ατιστοίχισε ποιες είαι "κλεψύδρα", "ααλογικές", "ηλιακές", "ψηφιακές" και συμπλήρωσε το παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Ιγάτιος Ιωαίδης Στατιστική Όριο - Συέχεια συάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Περιέχει: Συοπτική Θεωρία Μεθοδολογία Λύσης τω Ασκήσεω Λυμέα Παραδείγματα Ασκήσεις με τις απατήσεις τους ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ

2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ 1 2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Κλάσµα : Είαι το µαθηµατιό σύµβολο το οποίο δηλώει σε πόσα ίσα µέρη χωρίσαµε το όλο αι πόσα µέρη πήραµε Κλάσµα : πόσα µέρη πήραµε σε πόσα ίσα µέρη χωρίσαµε : αριθµητής

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 5 ο NΟΡΜΑ ΠΙΝΑΚΑ

Μάθηµα 5 ο NΟΡΜΑ ΠΙΝΑΚΑ Αάλυση Πιάκω και Εφαρµογές Σελίδα από 3 Μάθηµα 5 ο NΟΡΜΑ ΠΙΝΑΚΑ Για κάθε αριθµό, η -όρµα του διαύσµατος [ ] = συµβολίζεται και ισούται µε το θετικό αριθµό = = (5) Αποδεικύοται για τη -όρµα οι παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

7. Βασικές Συνεχείς Κατανομές και το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

7. Βασικές Συνεχείς Κατανομές και το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Βασικές Συεχείς Καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα 7. Βασικές Συεχείς Καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα 7. Η Καοική Καταομή H καοική καταομή (normal dstrbuton) θεωρείται η σπουδαιότερη καταομή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β]

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 2860) 1. Περιγραφική Στατιστική

Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 2860) 1. Περιγραφική Στατιστική Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 860). Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πείραμα τύχης - Η έοια του τυχαίου Δειγματικός χώρος Ω εός πειράματος τύχης

Διαβάστε περισσότερα

5. Περιγραφική Στατιστική

5. Περιγραφική Στατιστική Μάθημα: Στατιστική (Κωδ. 05) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος 5. Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πληθυσμός (ή στατιστικός πληθυσμός) Τυχαίο δείγμα και πραγματοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας

Πανελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας ΘΕΜΑ Α. Παελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γεικης Παιδειας Θέµατα-Εδεικτικές Λύσεις Νικόλαος. Κατσίπης 17 Μαϊου 2010 Α1. Εστω t 1, t 2,..., t οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής X εός δείγµατος

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ

Α. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑ Κεφάλαιο o : Αλγεβρικές Παραστάσεις Υποεότητα.: Πράξεις µε πραγµατικούς αριθµούς (Επααλήψεις- Συµπληρώσεις) Θεµατικές Εότητες:. Οι πραγµατικοί αριθµοί και οι πράξεις τους.. υάµεις πραγµατικώ αριθµώ..

Διαβάστε περισσότερα

+ + = + + α ( β γ) ( )

+ + = + + α ( β γ) ( ) ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Αριθµητική παράσταση Αριθµητική παράσταση λέγεται µια σειρά αριθµώ που συδέοται µεταξύ τους µε πράξεις. Η σειρά τω πράξεω σε µια αριθµητική παράσταση είαι η εξής: 1. Υπολογίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή

2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή Ο όρος Στατιστική εδεχομέως α προέρχεται από τη λατιική λέξη status (πολιτεία, κράτος) η οποία, χρησιμοποιήθηκε αρχικά για το χαρακτηρισμό αριθμητικώ δεδομέω που ααφέροται κυρίως στο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΙΜΟΤΗΤΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΓΙΑΝΝΗΣ ΞΕΙ ΑΚΗΣ

ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΙΜΟΤΗΤΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΓΙΑΝΝΗΣ ΞΕΙ ΑΚΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΙΜΟΤΗΤΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΓΙΑΝΝΗΣ ΞΕΙ ΑΚΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ : Ααγκαία συθήκη για α κατασκευάζεται µε καόα και διαβήτη έα καοικό πολύγωο είαι το πλήθος τω πλευρώ του α είαι της µορφής ( + )...( + ) όπου

Διαβάστε περισσότερα

5. Περιγραφική Στατιστική

5. Περιγραφική Στατιστική Μάθημα: Στατιστική (Κωδ. 05) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος 5. Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πληθυσμός (ή στατιστικός πληθυσμός) Τυχαίο δείγμα και πραγματοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Γωνία και κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου

Γωνία και κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου ΜΕΡΟΣ Β 3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 327 3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ Κατασκευή καοικώ πολυγώω Η διαδικασία κατασκευής εός καοικού πολυγώου µε πλευρές (καοικό -γωο) ακολουθεί τα εξής βήματα: 1ο Βήμα: 3 Υπολογίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικώ της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 Τετάρτη, 3 Μα ου 0 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Α. Α οι συαρτήσεις f, g είαι παραγωγίσιμες στο

Διαβάστε περισσότερα

3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ

3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΘΕΩΡΙΑ. Οµασία: Έα πλύγω µε κρυφές θα τ λέµε -γω µε εξαίρεση τ πλύγω µε τέσσερις κρυφές πυ θα τ λέµε τετράπλευρ. 2. Καικό πλύγω: Έα πλύγω λέγεται καικό ότα όλες ι πλευρές τυ είαι

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ. 1. Μέση τιµή x = Σταθµικός Μέσος x = 3. ιάµεσος (δ) ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων, οι οποίες έχουν διαταχθεί σε

2.3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ. 1. Μέση τιµή x = Σταθµικός Μέσος x = 3. ιάµεσος (δ) ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων, οι οποίες έχουν διαταχθεί σε .3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ. Μέση τιµή x = x = x = + + + t t... t = x + x +... + x + +... + x κ κ = f x κ t κ κ = κ κ x = κ x. Σταθµικός Μέσος x = xw + x w +... + x w w + w +... + w = x w w όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια:

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια: ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικώ της Ώθησης ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συνδυασμός ν στοιχείων ανά κ είναι μια μη διατεταγμένη συλλογή κ στοιχείων από τα ν.

ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συνδυασμός ν στοιχείων ανά κ είναι μια μη διατεταγμένη συλλογή κ στοιχείων από τα ν. 13/10/2010 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συδυασμός στοιχείω αά κ είαι μια μη διατεταγμέη συλλογή κ στοιχείω από τα. Παράδειγμα 1 Οι συδυασμοί τω τριώ γραμμάτω Α,Β,Γ αά έα είαι οι εξής τρεις: Α, Β, Γ. Οι συδυασμοί

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Μαθηματιά Γειής Παιδείας Γ Λυείου Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ µε ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ µε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Αιστάι 3 Αµφιάλη 4389-43

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Περασμένων Εξετάσεων και Απαντήσεις

Θέματα Περασμένων Εξετάσεων και Απαντήσεις Θέμαα Περασμένων Εξεάσεων και Απανήσεις Εξεάσεις Ιουνίου. ΘΕΜΑ.,5 μονάδα Δίνεαι ο ΓΧΑ σύσημα με κρουσική απόκριση iπ h co8 π π Να βρεθεί η έξοδός ου αν η είσοδός είναι co π co 6π co 8π i W, < Εφαρμόζονας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ .Να συμπληρώσετε το παρακάτω πίακα. f N F f 0 0 F 0 0 8 0,4 0 5 4 0,9 5 0 Σύολο. Οι μαθητές του Γ για το μήα Νοέμβρη απουσίασα από το σχολείο τους έως τέσσερις μέρες σύμφωα με το παρακάτω πίακα. ) Να συμπληρωθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 4.1 Η ΥΙΟΘΕΤΗΣΗ ΝΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ: ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Όαν η εχνολογία εξελίσσεαι η πρώη ερώηση µας είναι καά πόσο θα υιοθεηθεί δεδοµένου ης µεγάλης εγκαεσηµένης

Διαβάστε περισσότερα

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0.

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0. Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικώ αριθµώ Μιγαδικό επίπεδο Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικώ αριθµώ ax 3 + β x + γ x+ δ = 0 Η προσπάθεια επιλύσεως εξισώσεω 3 ου βαθµού ( ) και δευτεροβαθµίω

Διαβάστε περισσότερα

ονοµάζεται γεωµετρική πολλαπλότητα αυτής. Τα ιδιοδιανύσµατα αυτά είναι βάση του διανυσµατικού υποχώρου E ( λ 0 ), που ονοµάζεται ιδιόχωρος

ονοµάζεται γεωµετρική πολλαπλότητα αυτής. Τα ιδιοδιανύσµατα αυτά είναι βάση του διανυσµατικού υποχώρου E ( λ 0 ), που ονοµάζεται ιδιόχωρος Γραµµική Άγεβρα ΙΙ Σείδα από 5 Μάθηµα 5 ο Ι ΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΙΝΑΚΑ Θεωρία : Γραµµική Άγεβρα : εδάφιο, σε 33 (όχι Πρόταση 63) εδάφιο, σε 4, Πρόταση 65, (χωρίς απόδειξη) και Πρόταση 66 εδάφιο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 7 Μάθημα 8ο ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Μ. Κούτρας Συδυαστική 7-8 8 Το διωυμικό θεώρημα μπορεί α αποτελέσει τη βάση για τη απόδειξη

Διαβάστε περισσότερα

) είναι παράλληλη προς στον άξονα x x τότε: α. Να βρείτε την f ( x)

) είναι παράλληλη προς στον άξονα x x τότε: α. Να βρείτε την f ( x) taeeolablogspotcom Άσκηση η Δίεται η συάρτηση f() S + +, R όπου η μέση τιμή και S > η τυπική απόκλιση τω παρατηρήσεω εός δείγματος μεγέθους Α η εφαπτομέη της καμπύλης f στο σημείο της A(,f ( ) ) είαι παράλληλη

Διαβάστε περισσότερα

Ι δ ι ο τ η τ ε ς Π ρ ο σ θ ε σ η ς - Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο υ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Ι δ ι ο τ η τ ε ς Π ρ ο σ θ ε σ η ς - Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο υ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1 Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι : Υ π ο σ υ ο λ α του Το συολο τω φυσικω 3. αριθμω: Να δειχτει οτι = α {0,1,,3, } + 110 0α. Ποτε ισχυει το ισο; Το συολο τω. A ακεραιω α, β θετικοι

Διαβάστε περισσότερα

Δεσμευμένη πιθανότητα και Ανεξαρτησία ενδεχομένων

Δεσμευμένη πιθανότητα και Ανεξαρτησία ενδεχομένων Δεσμευμέη πιθαότητα και Αεξαρτησία εδεχομέω 4 Γιατί δεσμευμέη πιθαότητα Το όημα της δεσμευμέης πιθαότητας 4 Ο πολλαπλασιαστικός τύπος 4 Το θεώρημα ολικής πιθαότητας 44 Το θεώρημα Bayes 45 Αεξαρτησία εδεχομέω

Διαβάστε περισσότερα

Κάνουμε πρώτα διαλογή και κατασκευάζουμε τον πίνακα συχνοτήτων: και επίσης κατασκευάζουμε το ραβδόγραμμα: Αυτοκίνητο Τραμ Τρόλεϊ Μετρό Λεωφορείο

Κάνουμε πρώτα διαλογή και κατασκευάζουμε τον πίνακα συχνοτήτων: και επίσης κατασκευάζουμε το ραβδόγραμμα: Αυτοκίνητο Τραμ Τρόλεϊ Μετρό Λεωφορείο .Στη ερώτηση με ποιο μέσο πηγαίετε στη δουλειά σας 0 άτομα απάτησα: αυτοκίητο, τραμ, τρόλεϊ, αυτοκίητο, λεωφορείο, τραμ, τραμ, αυτοκίητο, λεωφορείο, τραμ, τρόλεϊ, αυτοκίητο, τραμ, αυτοκίητο, μετρό, τρόλεϊ,

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση φασµάτων. σύζευξης πολύ µεγαλύτερη σε µέγεθος από τη χηµική µετατόπιση, δηλαδή ν / J <<

Ανάλυση φασµάτων. σύζευξης πολύ µεγαλύτερη σε µέγεθος από τη χηµική µετατόπιση, δηλαδή ν / J << Αάλυση φασµάτω Στα προηγούµεα µαθήµατα συζητήσαµε τη σύζευξη πρώτης τάξης και τη εφαρµογή του καόα Ν για τη αάλυσή τω ατιστοίχω φασµάτω πρώτης τάξης. Στα φάσµατα πρώτης τάξης η σύζευξη σπι-σπι είαι ασθεής

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Παλινδρόμησης. Εργαστήριο. Μαθηματικών & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 252

Ανάλυση Παλινδρόμησης. Εργαστήριο. Μαθηματικών & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 252 Αάλυση Παλιδρόμησης Αάλυση Παλιδρόμησης Με τη αάλυση παλιδρόμησης (regresson analss) εξετάζουμε τη σχέση μεταξύ δύο ή περισσοτέρω μεταβλητώ με σκοπό τη πρόβλεψη τω τιμώ της μιας, μέσω τω τιμώ της άλλης

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ

Τ.Ε.Ι. ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ Τ.Ε.Ι. ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΥΠΟΣ & ΕΠΙΠΕΔΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Θεωρητικό - Υποχρεωτικό ΤΥΠΙΚΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 4ο (Εαριό εξάμηο 2005-2006) ΕΒΔΟΜΑΔΙΑΙΕΣ ΩΡΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΔΙΔΑΚΤ. ΜΟΝΑΔΕΣ 4 ΦΟΡΤΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ. 0 : Παραγοντοποιώ αριθµητή και παρονοµαστή και διώχνω τους παράγοντες x, x 0 που προκύπτουν.

ΟΡΙΑ. 0 : Παραγοντοποιώ αριθµητή και παρονοµαστή και διώχνω τους παράγοντες x, x 0 που προκύπτουν. ΟΡΙΑ Πηλίκα πολυωυµικώ µε µορφή 0 0 : Παραγοτοποιώ αριθµητή και παροοµαστή και διώχω τους παράγοτες, 0 που προκύπτου Περιπτώσεις µε ρίζες µορφής 0 0 Περιπτώσεις στις οποίες χρειάζεται α πολλαπλασιάσω µε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Παρατηρησιακή Αστροφυσική ως Επιστήµη

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Παρατηρησιακή Αστροφυσική ως Επιστήµη ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ.. Η Παρατηρησιακή Αστροφυσική ως Επιστήµη Η Παρατηρησιακή Αστροφυσική-Αστροοµία κατέχει µια ξεχωριστή θέση ως επιστήµη, γιατί, εκτός από λίγες εξαιρέσεις, ολόκληρη η γώση και οι πληροφορίες

Διαβάστε περισσότερα

78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Στα Μαθηματιά Γειής Παιδείας Tι οομάζουμε συάρτηση Tι οομάζουμε παραγματιή συάρτηση πραγματιής μεταβλητής Μια διαδιασία με τη οποία άθε στοιχείο εός συόλου Α πεδίο ορισμού ατιστοιχίζεται σε έα αριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

5.3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ

5.3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 5. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται γεωµετρική πρόοδος, α και µόο α κάθε όρος της προκύπτει από το προηγούµεό του µε πολλαπλασιασµό επί το ίδιο πάτοτε µη µηδεικό αριθµό.. Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΣ ΣΠΑΤΩΝ ΑΡΤΕΜΙΔΟΣ Σελίδα 1 από 5

ΔΗΜΟΣ ΣΠΑΤΩΝ ΑΡΤΕΜΙΔΟΣ Σελίδα 1 από 5 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΔΗΜΟΣ ΣΠΑΤΩΝ ΑΡΤΕΜΙΔΟΣ Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α Από τα πρακτικά της με αριθμό 30 ης Τακτικής Συεδρίασης της 24 ης Νοεμβρίου 2015 ΑΡΙΘΜ. ΑΠΟΦ. 319/2015 Π Ε Ρ Ι Λ Η Ψ Η Λήψη απόφασης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ ΙI ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΝΔΟΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ

ΜΕΡΟΣ ΙI ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΝΔΟΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ ΙI ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΝΔΟΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ Κεφάλαιο 7 ΑΝΘΡΩΠΙΝΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Εισαγωγή Στα επόμεα Κεφάλαια η αάλυση θα επικετρωθεί στη κατηγορία υποδειγμάτω που αποκαλούται υποδείγματα εδογεούς

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΑΝΤΙΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΚΑΙ Η ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΟΥ ΣΗΜΑΣΙΑ Γεώργιος Δαμαλάς Μαθηματικός. Καλαμωτή - Κώμη, Χίος

ΤΟ ΑΝΤΙΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΚΑΙ Η ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΟΥ ΣΗΜΑΣΙΑ Γεώργιος Δαμαλάς Μαθηματικός. Καλαμωτή - Κώμη, Χίος ΤΟ ΑΝΤΙΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΚΑΙ Η ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΟΥ ΣΗΜΑΣΙΑ Γεώργιος Δαμαλάς Μαθηματικός. Καλαμωτή - Κώμη, Χίος Από τη εισήγηση στο 5 υ Παελλήιο Συέδριο της Ε.Μ.Ε. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Το ατιπαράδειγμα γειέται από πρόβλημα και

Διαβάστε περισσότερα

KENTΡΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΡΓΟ : ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΕΡΓΟΥ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Έντυπο. Παρακολούθησης/ Ενδιάμεσης Αξιολόγησης

KENTΡΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΡΓΟ : ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΕΡΓΟΥ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Έντυπο. Παρακολούθησης/ Ενδιάμεσης Αξιολόγησης KENTΡΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΡΓΟ : ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΕΡΓΟΥ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Έτυπο Παρακολούθησης/ Εδιάμεσης Αξιολόγησης του Σχεδίου Δράσης Αθήα, Δεκέμβριος 2011 1 Έτυπο Παρακολούθησης/

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Στατιστική ανάλυση δεδομένων με χρήση Η/Υ (του 8 ου Εξαμήνου Σπουδών του Τμήματος Βιοτεχνολογίας) Διδάσκων: Γιώργος Κ.

Μάθημα: Στατιστική ανάλυση δεδομένων με χρήση Η/Υ (του 8 ου Εξαμήνου Σπουδών του Τμήματος Βιοτεχνολογίας) Διδάσκων: Γιώργος Κ. Μάθημα: Στατιστική αάλυση δεδομέω με χρήση Η/Υ (του 8 ου Εξαμήου Σπουδώ του Τμήματος Βιοτεχολογίας) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος. Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω

Διαβάστε περισσότερα

lim lim Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Ορισµός Μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο x του πεδίου ορισµού της, όταν υπάρχει στο R, το

lim lim Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Ορισµός Μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο x του πεδίου ορισµού της, όταν υπάρχει στο R, το ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Ορισµός Μία συάρτηση είαι παραγωγίσιµη σε έα σηµείο του πεδίου ορισµού της, ότα υπάρχει στο R, το lim ( ( Το όριο αυτό οοµάζεται παράγωγος της στο και

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ. ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ H απλούστερη συεχής καταοµή πιαότητας είαι η οµοιόµορφη η οποία εκχωρεί ίσες (οµοιόµορφες) πιαότητες στα στοιχειώδη δυατά αποτελέσµατα εός τυχαίου

Διαβάστε περισσότερα

, θα παίρνουμε πάντα την ίδια τιμή για το Υ. Για παράδειγμα, Υ 12

, θα παίρνουμε πάντα την ίδια τιμή για το Υ. Για παράδειγμα, Υ 12 Αάλυση Παλιδρόμησης Αάλυση Παλιδρόμησης Με τη αάλυση παλιδρόμησης (regresson analss) εξετάζουμε τη σχέση μεταξύ δύο ή περισσοτέρω μεταβλητώ με σκοπό τη πρόβλεψη τω τιμώ της μιας, μέσω τω τιμώ της άλλης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΗΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΗΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΗΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΦΟΥΝΤΟΥΚΙ ΗΣ Γ. ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ Ρ. ΧΗΜΙΚΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. φυσικός αριθµός, που δείχνει πόσες φορές εµφανίζεται η τιµή x i της µεταβλητής αυτής. Σ Λ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. φυσικός αριθµός, που δείχνει πόσες φορές εµφανίζεται η τιµή x i της µεταβλητής αυτής. Σ Λ 2o Κεφάλαιο ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Το χρώµα κάθε αυτοκιήτου είαι ποιοτική µεταβλητή. Σ Λ 2. * Ο αριθµός τω αθρώπω που παρακολουθού µια συγκεκριµέη τηλεοπτική εκποµπή είαι διακριτή

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Ενέργεια και ισχύς

1.1. Ενέργεια και ισχύς Κεφάλαιο :.. Εέργεια και ισχύς... Εέργεια Η Εέργεια είαι έα από τα πιο διαδεδομέα φυσικά μεγέθη, ταυτόχροα όμως και από τα πλέο απρόσιτα στις αισθήσεις μας και στη ατίληψή μας. Είαι το φυσικό μέγεθος που

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό - Λάθος Επαναληπτικές

Σωστό - Λάθος Επαναληπτικές ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΕΤΩΝ ημιτελές(veron 6-4-206) ΠΡΟΣΟΧΗ! Επισημαίω ότι οι λύσεις ούτε πλήρεις είαι ούτε έχου διπλοελεγχθεί τουλάχιστο μέχρι τώρα.ετσι ο ααγώστης πρέπει α έχει υπόψη του ότι μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

0..1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

0..1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Εισαγωγικό Κεφάλαιο: Ρητοί Αριθµοί ΜΑΘΗΜΑ 0 Υποεότητα 1: Βασικές Επααληπτικές Έοιες (Επααλήψεις-Συµπληρώσεις) Θεµατικές Εότητες: 1. Ρητοί αριθµοί-βασικές επααληπτικές έοιες.. Πρόσθεση ρητώ αριθµώ. 3. Άθροισµα

Διαβάστε περισσότερα

c f(x) = c f (x), για κάθε x R

c f(x) = c f (x), για κάθε x R (http://edu.klmaka.gr) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

(c f (x)) = c f (x), για κάθε x R

(c f (x)) = c f (x), για κάθε x R ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α. Α η συάρτηση f είαι

Διαβάστε περισσότερα

Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών/Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 29

Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών/Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 29 Πώς απαριθμούμε.1 Πολλαπλασιαστική αρχή. Διατάξεις και Μεταθέσεις.3 Επααληπτικές διατάξεις.4 Μεταθέσεις ειδώ στοιχείω.5 Συδυασμοί.6 Επααληπτικοί συδυασμοί.7 Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω.8

Διαβάστε περισσότερα

2. Πώς απαριθμούμε. και επίσης να απαριθμήσουμε το πλήθος των στοιχείων του συνόλου των ευνοϊκών αποτελεσμάτων, δηλαδή του υποσυνόλου A = {Κ}

2. Πώς απαριθμούμε. και επίσης να απαριθμήσουμε το πλήθος των στοιχείων του συνόλου των ευνοϊκών αποτελεσμάτων, δηλαδή του υποσυνόλου A = {Κ} . Πώς απαριθμούμε Πρι υιοθετηθεί και καθιερωθεί ως τρόπος ταυτοποίησης το δακτυλικό αποτύπωμα, ο Γάλλος εγκληματολόγος Alphonse Bertillon (853-94) είχε προτείει μια μέθοδο ταυτοποίησης που, μεταξύ άλλω,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Ι. ΤΜΗΜΑ Α Ε. Στυλιάρης

ΦΥΣΙΚΗ Ι. ΤΜΗΜΑ Α Ε. Στυλιάρης (Με ιδέες και υλικό από ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Καρεσιανές Συνεαγμένες Εσωερικό Γινόμενο Διανυσμάων Εξωερικό Γινόμενο Διανυσμάων Βαθμωό Γινόμενο Τριών Διανυσμάων ΔΥΝΑΜΕΙΣ Διανυσμαική Φύση ης

Διαβάστε περισσότερα