Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΥΣΙΚΗ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΥΣΙΚΗ"

Transcript

1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΥΣΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως είαι γωσό, η Μουσική είαι Μαθημαικά και (σο βάθος) υπάρχει, μία «αδιόραη αρμοία» μεαξύ αυώ ω δύο. Έα μουσικό έργο, διέπεαι από μαθημαικούς όμους, σε ό,ι αφορά ις σχέσεις μεαξύ: α) Της διάαξης ω μουσικώ φθόγγω, και β) Της αίσοιχης συχόηας και χροικής αξίας ω φθόγγω αυώ. Σκοπός λοιπό ης μελέης μας αυής, είαι η δημιουργία μουσικώ συθέσεω (συμφωιώ, ραγουδιώ, κ.λπ.), χρησιμοποιώας α Μαθημαικά. Συγκεκριμέα, ση μελέη μας αυή (όπως θα ααλύσουμε αμέσως παρακάω) θα ααπύξουμε, διάφορες μαθημαικές μεθόδους με βάση ις οποίες, μπορούμε α δημιουργήσουμε μουσικές συθέσεις διάφορω μουσικώ έργω (συμφωιώ, ραγουδιώ, κ.λπ.), χρησιμοποιώας α Μαθημαικά. Τέλος, θα πρέπει α οίσουμε, όι: Η «Μαθημαική Μουσική» δε είαι έα «εγκεφαλικό καασκεύασμα» και σε καμία περίπωση δε μπορεί α υποκαασήσει ο «αθρώπιο παράγοα», δηλαδή η διαίσθηση, η φαασία και ο πηγαίο αλέο εός χαρισμαικού Μουσικοσυθέη. Αίθεα, η «Μαθημαική Μουσική» βοηθά και συμπληρώει σε μεγάλο βαθμό έα αλαούχο Μουσικοσυθέη και αποελεί, έα πολύ εδιαφέροα ομέα έρευας για έα Μαθημαικό μουσικό.. Η συγκεκραμέη μουσική κλίμακα Όπως γωρίζουμε από η Φυσική ση συγκεκραμέη μουσική κλίμακα οι συχόηες v ω μουσικώ φθόγγω, είαι οι εξής: η η κ.λπ.... Οκάβα... la 0,0 Hz si 6,9 Hz do 6,6 Hz re 9,7 Hz mi 9,6 Hz Οκάβαfa 9, Hz sol 0,0 Hz la 0,0 Hz si 9,9 Hz

2 η do 5, Hz re 587, Hz... Οκάβα... κ.λπ. Πίακας. Η Μαθημαική Μουσική Σύθεση (Γεικές αρχές) Ας υποθέσουμε σχ., όι έχουμε έα άξοα Ox. σχ. Ση περίπωση αυή, εργαζόμασε ως εξής: Βήμα ο : Επί ου άξοος Ox λαμβάουμε Ν ίσα ευθύγραμμα μήμαα, μήκους Τ, (Ν =,,, ). Το κάθε μήκος Τ αισοιχεί σο μουσικό μέρο ης μαθημαικής μουσικής σύθεσης ου μουσικού έργου (π.χ. συμφωία, ραγούδι, κ.λπ.) που θέλουμε α δημιουργήσουμε. Σο παράδειγμά μας ου σχ., επιλέγουμε ως μουσικό μέρο Τ π.χ. ο T. Προφαώς, σο σχ. μπορούμε για ο μήκος Τ α επιλέξουμε οποιοδήποε μουσικό μέρο π.χ. T, T 9, κ.λπ. Αυό είαι 8 καθαρά θέμα επιλογής μας.

3 Βήμα ο : Ση συέχεια, διαιρούμε ο κάθε μέρο Τ ( ο, ο, ο,, Ν ο, μέρο) με διάφορες υχαίες χροικές αξίες (,,,,,, ) αριθμημέες καά σειρά ( =,,, ), όπως φαίοαι σο σχ.. Σημείωση: Προφαώς ο άθροισμα ω χροικώ αξιώ, οι οποίες περιέχοαι μέσα σο κάθε μέρο Τ θα πρέπει α ισούαι με ο μέρο Τ, σχ.. Έσι λοιπό, σο σχ. ο μουσικός φθόγγος π.χ. = (ο οποίος βρίσκεαι σο ο μέρο) έχει χροική αξία. Επίσης, ο μουσικός φθόγγος = 5 (ο οποίος βρίσκεαι σο ο μέρο) έχει χροική αξία 5, κ.ο.κ. για ους διάφορους άλλους μουσικούς φθόγγους ου σχ.. Σημείωση: Η διάαξη ω χροικώ αξιώ (,,,,,, ) ω αισοίχω μουσικώ φθόγγω ( =,,, ) επάω σο άξοα Ox, μπορεί α είαι εελώς υχαία όπως, φαίεαι σο σχ. ή α ακολουθεί έα συγκεκριμέο «μαθημαικό όμο» ο οποίο εμείς προεπιλέγουμε ή α είαι, η διάαξη ω χροικώ αξιώ Τ η εός γωσού ραγουδιού κλπ, ο οποίο αυό ραγούδι ) θα ο οομάζουμε, μουσικό γεήορα. Σημείωση: Εφεξής ο άξοα Ox ου σχ. θα ο οομάζουμε, άξοα μαθημαικώ μουσικώ συθέσεω. Βήμα ο : Εξ ορισμού σο πρώο μουσικό φθόγγο ( = ), θέουμε αυθαίρεα μία (γωσή) ιμή ης συχόηας, π.χ. επιλέγουμε η συχόηα = 0 Hz (la ) () όπως φαίεαι σο παραπάω Πίακα ω συχοήω ης συγκεκραμέης μουσικής κλίμακας. Το πρόβλημα Το πρόβλημα λοιπό, ο οποίο προκύπει ώρα, είαι ο εξής: Σο σχ. με βάση:. Μία (εκ ω προέρω) δεδομέη διάαξη Α ω χροικώ αξιώ ω αίσοιχω μουσικώ φθόγγω ( =,,, ) επάω σο άξοα Ox, και. Με όσα ααφέροαι σο Βήμα ο, Το ερώημα που γειέαι είαι: Μπορούμε α υπολογίσουμε ις συχόηες ω αίσοιχω μουσικώ φθόγγω ( =,,,, ), προκειμέου α δημιουργήσουμε ελικά, μια μουσική σύθεση, χρησιμοποιώας αποκλεισικά και μόο α Μαθημαικά; Η απάηση σο παραπάω αυό ερώημα είαι κααφαική και έχει, ως εξής: Ορισμός: Ορίζουμε, ως προθύσερο (γωιακό) μουσικό λόγο k εός μουσικού φθόγγου ( =,,, ) ο αριθμό:

4 k () όπου, ση σχέση () ο είαι η συχόηα ου μουσικού φθόγγου, - είαι η αίσοιχη χροική αξία ου μουσικού αυού φθόγγου και είαι η χροική αξία ου μουσικού φθόγγου. Ο προθύσερος (γωιακός) μουσικός λόγος k ης σχέσης () είαι, θεμελιώδους σημασίας ση «Μαθημαική Μουσική» και παίζει βασικόαο ρόλο σε μία μαθημαική μουσική σύθεση, που θέλουμε α δημιουργήσουμε.. Οι βασικοί αλγόριθμοι μιας μαθημαικής μουσικής σύθεσης. Αλγόριθμος ακολουθίας Ορισμός: Ορίζουμε, ως αλγόριθμο ακολουθίας μιας μαθημαικής μουσικής σύθεσης η σχέση: Πk,f() () όπου, ση σχέση (), είαι: = η συχόηα ου μουσικού φθόγγου f() = μία οποιαδήποε ακολουθία (φυσικώ αριθμώ), και Π k,f() = μία αλγεβρική παράσαση ω k και f() όπου, =,,, και >0. Παράδειγμα: Η αλγεβρική παράσαση: () σύμφωα με ο παραπάω ορισμό, παρισάει έα αλγόριθμο ακολουθίας μιας μαθημαικής μουσικής σύθεσης που θέλουμε α δημιουργήσουμε, όπου ση σχέση (), (βλέπε παρεθέσεις), είαι: k (προθύσερος (γωιακός) μουσικός λόγος) και f() (ακολουθία). Αλγόριθμος συάρησης Ορισμός: Ορίζουμε ως αλγόριθμο συάρησης μιας μαθημαικής μουσικής σύθεσης η σχέση: Π k (5) όπου, ση σχέση (5), είαι: = η συχόηα ου μουσικού φθόγγου, και Π k = είαι μία αλγεβρική παράαση ου προθύσερου (γωιακού) μουσικού λόγου k, ήοι με βάση η σχέση ():

5 όπου, =,,, και 0. Παράδειγμα: Η αλγεβρική παράσαση: Π (6) 5 (7) σύμφωα με ο παραπάω ορισμό, παρισάει έα αλγόριθμο συάρησης. Με απλά λόγια, έας «πρακικός καόας» για α δημιουργήσουμε, έα αλγόριθμο συάρησης είαι, ο εξής: Όα ση πραγμαική συάρηση: y = f(x) αικαασήσουμε ο y με ο και ο x με ο προθύσερο (γωιακό) μουσικό λόγο k όε, προκύπει αμέσως έας αλγόριθμος συάρησης, όπως π.χ. είαι αυός ης σχέσης (7), ο οποίος προκύπει από η πραγμαική συάρηση: y x x 5 Επίσης, αξιοσημείωοι αλγόριθμοι είαι αυοί οι όποιοι, προκύπου από η συάρηση y fx, a όα η συάρηση a, είαι ο άθροισμα λ ω περιοδικώ συαρήσεω με αίσοιχες περιόδους Τ, Τ, Τ.λΤ όπου, Τ είαι η θεμελιώδης περίοδος και Τ είαι ο μουσικό μερό ης μαθημαικής μουσικής σύδεσης που θέλουμε α δημιουργήσουμε (όπου, Τ= Τ). οι παραπάω λ περιοδικές συαρήσεις, μπορεί α είαι ( όλες ή μερικές από αυές ) ομοφασικές ή α παρουσιάζου μεαξύ ους, διαφορά φάσης. Προφαώς, η απλούσερη μορφή ω παραπάω αυώ λ περιοδικώ συαρήσεω είαι αυή ης ημιοοειδούς κ.λ.π μορφής. ΣΗΜΕΙΩΣΗ Οι σχέσεις () και (5), αποελού ις βασικές σχέσεις ης «Αρχής ης Μουσικής Συέχειας» ης Μαθημαικής Μουσικής.. Παραδείγμαα αλγορίθμω ακολουθίας και αλγορίθμω συάρησης Μεά από αυά που ααφέραμε σα προηγούμεα, παρακάω θα ααφέρουμε (εδεικικά), μερικά παραδείγμαα αλγορίθμω ακολουθίας και αλγορίθμω συάρησης.. Αλγόριθμοι ακολουθίας a) : Παραδείγμαα

6 b) c) π cos d) e.... κ.λπ.. Αλγόριθμοι συάρησης a) 0 5 b) 8 c) si d) 5 cos cos.... κ.λπ. Σημείωση: Οι αλγόριθμοι ακολουθίας και οι αλγόριθμοι συάρησης που ααφέραμε σο παραπάω παράδειγμα έχου καθαρά εδεικικό χαρακήρα γεγοός που σημαίει, όι μπορεί α ΜΗΝ ΕΙΝΑΙ και οι καάλληλοι αλγόριθμοι για μια ποιοικά αποδεκή (από μουσικής άποψης), μαθημαική μουσική σύθεση που θέλουμε α δημιουργήσουμε. Συεπώς, εκείο ο οποίο έχει βασική σημασία είαι, όι: Ο Μαθημαικο-μουσικός θα πρέπει α βρει ο καάλληλο εκείο αλγόριθμο (αλγόριθμο ακολουθίας ή αλγόριθμο συάρησης), καθώς επίσης και η καάλληλη εκείη διάαξη ω χροικώ αξιώ, προκειμέου α δημιουργήσει (από μουσικής άποψης) μία ποιοικά αποδεκή, μαθημαική μουσική σύθεση. Αυός είαι, ο βασικός ρόλος ου Μαθημαικο-συθέη. 5. Υπολογισμός ω συχοήω ω μουσικώ φθόγγω ( =,,, ) μιας μαθημαικής μουσικής σύθεσης (χρησιμοποιώας έα αλγόριθμο ακολουθίας ή έα αλγόριθμο συάρησης). ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

7 Ας υποθέσουμε σχ., όι θέλουμε α δημιουργήσουμε μία μαθημαική μουσική σύθεση με βάση π.χ. ο αλγόριθμο ακολουθίας: (8) Ση συέχεια, επιλέγουμε επί ου άξοα Οx μία διάαξη Α ω χροικώ αξιώ (=,,, ) ω μουσικώ φθόγγω ης μαθημαικής μουσικής σύθεσης που θέλουμε α δημιουργήσουμε. Σημείωση: Η επιλογή ου αλγόριθμου (8) και ης διάαξης Α ω χροικώ αξιώ επάω σο άξοα Ox είαι καθαρά θέμα προσωπικής μας επιλογής. Ως γωσό και σύμφωα με ο ορισμό ση σχέση (8), είαι: k (προθύσερος (γωιακός) μουσικός λόγος) και f() (ακολουθία) όπου, ση σχέση (8) είαι =,,, και > 0. Σύμφωα λοιπό, με αυά που ααφέραμε σα προηγούμεα και με βάση ο σχ., έχουμε:. Ο πρώος μουσικός φθόγγος ( = ) εξ ορισμού (σύμφωα με η επιλογή μας) ου δίδουμε π.χ. συχόηα: συχόηα 0 Hz (la ), βλέπε Βήμα ο και χροική αξία (βλέπε, σχ. ). Άρα: Ο πρώος μουσικός φθόγγος ( = ) είαι: Ο la με χροική αξία (Α ). Ο δεύερος μουσικός φθόγγος ( = ) με βάση ο αλγόριθμο ακολουθίας (8), έχει συχόηα, η οποία είαι: 0 do, ήοι: 58 Hz 5, Hz, βλέπε Πίακας Άρα: Ο δεύερος μουσικός φθόγγος ( = ) είαι: Ο do με χροική αξία (Α )

8 . Ο ρίος μουσικός φθόγγος ( = ) με βάση ο αλγόριθμο ακολουθίας (8), έχει συχόηα, η οποία είαι: 58 la, ήοι:, Hz 0 Hz, βλέπε Πίακας Άρα: Ο ρίος μουσικός φθόγγος ( = ) είαι: Ο la με χροική αξία (Α ). Ο έαρος μουσικός φθόγγος ( = ) με βάση ο αλγόριθμο ακολουθίας (8), έχει συχόηα η οποία είαι:, re, ήοι: 559,05 Hz 587, Hz, βλέπε Πίακας Άρα: Ο έαρος μουσικός φθόγγος ( = ) είαι: Ο re με χροική αξία (Α ).. κ.ο.κ. Με ο ίδιο ακριβώς ρόπο που ααφέραμε παραπάω, υπολογίζουμε (ση συέχεια) ις συχόηες 5, 6, 7 αισοίχως, ου πέμπου, έκου, εβδόμου και οσού μουσικού φθόγγου, σχ.. Συεπώς, με βάση α παραπάω συμπεράσμαα Α, Α, Α, Α,. Α που προέκυψα η μαθημαική μας σύθεση είαι ολοκληρωμέη. Έσι λοιπό, εύκολα ώρα μπορούμε α αιγράψουμε η μαθημαική μουσική σύθεση που προέκυψε, σε μια μουσική παριούρα και α «παίξουμε» (η μουσική αυή σύθεση) σε έα μουσικό όργαο π.χ. πιάο, μπουζούκι, κ.λπ. Σημείωση: Το παραπάω παράδειγμα που ααφέραμε (από μουσικής άποψης) είαι, καθαρά εδεικικό και έχει ως σκοπό (κυρίως, παιδαγωγικό) α γωρίσουμε ο ρόπο με ο οποίο: Πώς μπορούμε α δημιουργήσουμε μία μουσική σύθεση εός μουσικού έργου (συμφωίας, ραγουδιού, κ.λπ.) χρησιμοποιώας, αποκλεισικά και μόο α μαθημαικά, με η μαθημαική μέθοδο ου αλγόριθμου ακολουθίας, που ααφέραμε παραπάω.

9 ΣΗΜΕΙΩΣΗ Με ο ίδιο ρόπο που εργασθήκαμε σο προηγούμεο παράδειγμα και δημιουργήσαμε μια μαθημαική μουσική σύθεση με βάση έα αλγόριθμο ακολουθίας, με ο ίδιο ακριβώς ρόπο εργαζόμασε και για η δημιουργία μιας μαθημαικής μουσικής σύθεσης με βάση έα αλγόριθμο συάρησης. Ο ρόπος εργασίας και σις δύο αυές παραπάω περιπώσεις είαι, ακριβώς ο ίδιος. ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Όπως παραηρούμε (και μεά από όλα αυά που ααφέραμε παραπάω ση μελέη μας αυή) ο αισθηικό αποέλεσμα (ευχάρισο ή όχι) μιας μαθημαικής μουσικής σύθεσης η οποία δημιουργήσαμε, εξαράαι: ) Από ο ρόπο διάαξης ω χροικώ αξιώ ( =,,, ) επάω σο άξοα Ox, και ) Από ο ύπο ου αλγόριθμου (αλγόριθμος ακολουθίας ή αλγόριθμος συάρησης) ο οποίο χρησιμοποιήσαμε. Σημείωση: Τα παραπάω ααφερόμεα σις παραγράφους () και () είαι (όπως ααφέραμε σα προηγούμεα), καθαρά θέμα προσωπικής μας επιλογής. Δοκιμάζοας λοιπό ώρα, διάφορες διαάξεις ω χροικώ αξιώ επί ου άξοος Ox σχ., με ους αίσοιχους ύπους αλγορίθμω, δημιουργούμε έα αριθμό Κ μαθημαικώ μουσικώ συθέσεω. Ση συέχεια, όλες αυές ις Κ μαθημαικές μουσικές συθέσεις που δημιουργήσαμε ις παίζουμε (δοκιμασικά) σε έα μουσικό όργαο π.χ. σε έα πιάο. Όα λοιπό, μεά ο «παίξιμο» ω Κ αυώ μαθημαικώ μουσικώ συθέσεω σο πιάο, κααλήξουμε ελικά σε μία μαθημαική μουσική σύθεση, η οποία (καά η γώμη μας) μας ικαοποιεί αισθηικώς από μουσικής άποψης, όε: Με η βοήθεια ου «αθρώπιου παράγοα» (μουσικό συθέη, εορχησρωή, κ.λπ.), ολοκληρώουμε η μαθημαική μουσική σύθεση η οποία επιλέξαμε, χρησιμοποιώας π.χ. περισσόερα μουσικά όργαα και βελιώοας ις διάφορες «μουσικές λεπομέρειες» ης παραπάω αυής μαθημαικής μουσικής σύθεσης που έχουμε επιλέξει. Έσι λοιπό, με ο ρόπο αυό που ααφέραμε παραπάω η μαθημαική μουσική σύθεση η οποία εμείς ελικά επιλέξαμε, παίρει μουσικώς η ελική και ολοκληρωμέη μορφή ης και ση συέχεια η αιγράφουμε σε μια μουσική παριούρα. Σημείωση: Τεχικώς υπάρχει ο ρόπος ώσε, κάθε μια από ις παραπάω Κ δοκιμές ω μαθημαικώ μουσικώ συθέσεω που δημιουργήσαμε, α μας δίδει αμέσως ο «άκουσμα» ης, σε έα μουσικό όργαο π.χ. σε έα πιάο. Αυό αποελεί συόμευση χρόου και πολύ μεγάλη διευκόλυση για έα Μαθημαικο-συθέη. Τέλος και σύμφωα με αυά που ααφέραμε ση μελέη μας αυή, κααλήγουμε σο παρακάω βασικό συμπέρασμα. Συμπέρασμα Με βάση ις αρχές ης «Μαθημαικής Μουσικής» ις οποίες ααπύξαμε ση μελέη μας αυή, προκύπει όι:

10 Έα άομο με βασικές γώσεις μαθημαικώ και μουσικής χρησιμοποιώας έα υπολογισή και κάποια απλά προγράμμαα (υπολογισή), μπορεί πολύ εύκολα α γίει έας αξιόλογος μουσικοσυθέης. ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΜΟΥΣΙΚΕΣ ΣΥΝΘΕΣΕΙΣ. «Ααλογικού ύπου», μαθημαικές μουσικές συθέσεις Ας υποθέσουμε σχ., όι μας δίδεαι μια διάαξη Α ω μουσικώ φθόγγω ( =,,,.), μιας μαθημαικής μουσικής σύθεσης που θέλουμε α δημιουργήσουμε. Με βάση λοιπό, ο προθύσερο (γωιακό) μουσικό λόγο k ης σχέσης (), θεωρούμε η σχέση: k k k... k ήοι, η σχέση:... (9) Επίσης, ση σχέση (9) για η συχόηα θέουμε μία αυθαίρεη ιμή (ης επιλογής μας) π.χ. = 0 Hz (la ). Συεπώς, σο πρώο όρο: (0) επειδή, α και είαι γωσά, καθώς και ο είαι γωσό (ήοι, = 0 Hz) όε, ο πρώος όρος (σχέση (0)) ση σχέση (9) έχει γωσή ιμή C, ήοι είαι: C () Έσι λοιπό, με βάση η σχέση (), η σχέση (9) μας δίδει: C... () Συεπώς, από η σχέση (), έχουμε:

11 C C C () Σις σχέσεις (), επειδή α δεύερα μέλη ους είαι γωσοί αριθμοί θα είαι γωσές και οι συχόηες:,,,., - () Συεπώς, επειδή ση μαθημαική μουσική σύθεση που θέλουμε α δημιουργήσουμε είαι γωσές οι συχόηες,,,, -, καθώς και οι αίσοιχες χροικές αξίες ους,,,, - (διόι η διάαξη Α ω μουσικώ φθόγγω σο σχ. είαι, εκ ω προέρω δεδομέη) αυό σημαίει, όι η μαθημαική μουσική σύθεσή μας είαι ολοκληρωμέη. Σημείωση: Σε ό,ι αφορά η συχόηα ου ελευαίου μουσικού φθόγγου ( =,,, ) εξ ορισμού, η συχόηα αυή η θεωρούμε, ίση με η συχόηα ου πρώου μουσικού φθόγγου ( = ), ήοι είαι =. Έσι λοιπό, όα ολοκληρωθεί η παραπάω αυή υπολογισική εργασία, όε μεαφέρουμε (αιγράφουμε) η μαθημαική αυή μουσική σύθεση που προέκυψε, σε μία μουσική παριούρα και η παίζουμε σε έα μουσικό όργαο π.χ. πιάο, βιολί, μπουζούκι, κ.λπ.. «Διοφαικού ύπου», μαθημαικές μουσικές συθέσεις Σις μαθημαικές μουσικές συθέσεις «Διοφαικού ύπου», εργαζόμασε, ως εξής: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Ορισμός: Ορίζουμε, ως προθύσερο (εμβαδικό) μουσικό λόγο k εός μουσικού φθόγγου ( =,,, ) ο αριθμό: k (5) Ας υποθέσουμε σχ., όι θέλουμε α δημιουργήσουμε μια μαθημαική μουσική σύθεση Α («Διοφαικού ύπου») ης οποίας ο μουσικό μέρο ης α είαι π.χ. T. ) Ας υποθέσουμε επίσης, όι ο ο μέρο θέλουμε α έχει π.χ. () μουσικές όες ω οποίω οι συχόηες α είαι,,, και οι αίσοιχες χροικές αξίες ους α είαι,,,.

12 Ας πάρουμε ώρα, (με βάση ο προθύσερο (εμβαδικό) μουσικό λόγο ης σχέσης (5)) μία απλή περίπωση «Διοφαικού ύπου» μαθημαικώ μουσικώ συθέσεω, όπου για ο ο μουσικό μέρο α ισχύει η σχέση: k k C (6) k ήοι, με βάση η σχέση (5), έχουμε: όπου, C = θεικός αριθμός. C (7) Όπως παραηρούμε, η σχέση (7) είαι μία Διοφαική εξίσωση με (8) αγώσους, ήοι ους,,, και,,,. Καόπι, ορίζουμε η συθήκη, ήοι α είαι: Τ (8) και οι συχόηες,,, α περιέχοαι όλες, π.χ. εός ης ης Οκάβας (βλέπε, Πίακας ), ήοι α είαι: si,,, 6,6 Hz 9,9 Hz (9) do Λύοας ώρα η Διοφαική εξίσωση (7) ως προς ους αγώσους,,, και,,, και λαμβάοας υπόψη η συθήκη ω σχέσεω (8) και (9) βρίσκουμε ις ιμές ω αγώσω,,, και,,,. Άρα, ο ο μέρο ης μαθημαικής μουσικής σύθεσής μας έχει () μουσικές όες με γωσές ις συχόηες,,, και ις αίσοιχες χροικές αξίες ους,,,. ) Ας υποθέσουμε ώρα, όι ο ο μέρο ης μαθημαικής μουσικής σύθεσής μας, θέλουμε α έχει π.χ. () μουσικές όες ω οποίω οι συχόηες α είαι 5, 6, 7 οι αίσοιχες χροικές αξίες ους α είαι 5, 6, 7 και για ο ο μουσικό μέρο α ισχύει η σχέση: k k C (0) k5 6 7 ήοι: C () και η γωσή συθήκη: Τ 6 () 5 7

13 si,, 6,6 Hz 9,9 Hz () do Λύοας ώρα, η Διοφαική εξίσωση () ως προς ους αγώσους 5, 6, 7 και 5, 6, 7 και λαμβάοας υπόψη η συθήκη ω σχέσεω () και () βρίσκουμε ις ιμές ω αγώσω 5, 6, 7 και 5, 6, 7. Άρα, ο ο μέρο ης μαθημαικής μουσικής σύθεσής μας έχει () μουσικές όες με γωσές ις συχόηες 5, 6, 7 και ις αίσοιχες χροικές αξίες ους 5, 6, 7. ) Επίσης, εά θέλουμε ο ο μουσικό μέρο α έχει π.χ. (5) μουσικές όες με συχόηες 8, 9, 0,, και αίσοιχες χροικές αξίες 8, 9, 0,,, όε για ο ο μουσικό μέρο θα ισχύει η σχέση: k k k k C () k8 9 0 ήοι: με η γωσή συθήκη: Τ C si,,,, 6 Hz 9,9 Hz do Έσι λοιπό, με ο ίδιο ακριβώς ρόπο που εργασθήκαμε για ο ο και ο μέρο (όπως ααφέραμε παραπάω), εργαζόμασε και για ο ο, ο, 5 ο κ.λπ. μουσικό μέρο ης μαθημαικής μουσικής σύθεσής μας. Προφαώς, η επίλυση ω Διοφαικώ εξισώσεω (7), (), κ.λπ. με ις αίσοιχες γωσές συθήκες ους, απαιεί η χρήση Ηλεκροικού Υπολογισού. Επίσης, οι ιμές ω συχοήω,,, που θα προκύψου από η επίλυση ω Διοφαικώ εξισώσεω θα πρέπει α είαι, «σρογγυλοποιημέες» με ις αίσοιχες συχόηες ου Πίακα, καθώς και οι ιμές ω χροικώ αξιώ,,, που θα προκύψου θα πρέπει α είαι, «σρογγυλοποιημέες» με ις αίσοιχες χροικές αξίες (,,,,,, ) Όα λοιπό, ολοκληρωθεί η παραπάω διαδικασία για ο ο, ο, ο, ο, 5 ο, κ.λπ. μουσικό μέρο, όε μεαφέρουμε (αιγράφουμε) η μαθημαική αυή μουσική σύθεση που προέκυψε, σε μια μουσική παριούρα και η παίζουμε σε έα μουσικό όργαο π.χ. σε έα πιάο, κ.λπ. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Τις σχέσεις (6), (0), (), εφεξής θα ους οομάζουμε, Διοφαικούς μουσικούς ύπους ης μαθημαικής μουσικής σύθεσης που θέλουμε α δημιουργήσουμε. Καά καόα, οι Διοφαικοί μουσικοί ύποι, διαηρού ο ίδιο μαθημαικό φορμαισμό ους σε όλα α μουσικά μέρα ( ο, ο, ο, κ.λπ.) ης μαθημαικής μουσικής σύθεσης. Έσι π.χ. οι Διοφαικοί μουσικοί ύποι (6), (0), (), θα μπορούσα (σε μια άλλη μαθημαική μουσική σύθεση Β) α ήα αισοίχως:

14 k k k C, ( ο Μουσικό μέρο) k k k C, ( ο Μουσικό μέρο) k 8 k9 k0 k k C, ( ο Μουσικό μέρο).... κ.λπ. ή επίσης (σε μια άλλη μαθημαική μουσική σύθεση Γ) α ήα, αισοίχως: k a k a k C, ( ο Μουσικό μέρο) a a5k5 a k 6 6 a7k7 C a8k8 a k 9 9 a k 0 0 ak ak, ( ο Μουσικό μέρο) C, ( ο Μουσικό μέρο).... κ.λπ. όπου a, a, a, = πραγμαικοί αριθμοί. Τέλος θα πρέπει α οίσουμε, όι: Σις μαθημαικές μουσικές συθέσεις «Διοφαικού ύπου», όα είαι γωσά, α) Το μουσικό μέρο Τ, β) Ο Διοφαικός ύπος, γ) Ο αριθμός ω μουσικώ φθόγγω μέσα σε κάθε μουσικό μέρο και δ) Η (γωσή) συθήκη, όε: Επειδή, η επίλυση ω Διοφαικώ εξισώσεω ου ου, ου, ου, κ.λπ. μουσικού μέρου μας δίδου (καά καόα) η κάθε μία, περισσόερες από μία λύσεις αυό σημαίει, όι θα έχουμε και έα μεγάλο αριθμό μαθημαικώ μουσικώ συθέσεω με βάση α συγκεκριμέα δεδομέα (α), (β), (γ), (δ). Δηλαδή σο παράδειγμα μας σχ., εά η Διοφαική εξίσωση ου ου μουσικού μέρου έχει s (αποδεκές) λύσεις, η Διοφαική εξίσωση ου ο μουσικού μέρου έχει s (αποδεκές) λύσεις, η Διοφαική εξίσωση ου ου μουσικού μέρου έχει s (αποδεκές) λύσεις και η Διοφαική εξίσωση ου Νου μουσικού μέρου έχει s N (αποδεκές) λύσεις, όε: Ο συολικός αριθμός S ω μαθημαικώ μουσικώ συθέσεω που θα προκύψου θα είαι: S s (5) s s... sn ήοι (καά καόα) θα προκύψει, έας μεγάλος αριθμός S μαθημαικώ μουσικώ συθέσεω. ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ Μεά από όλα αυά (που ααφέραμε ση μελέη μας αυή) κααλήγουμε, όι οι κυριόερες μαθημαικές μουσικές συθέσεις ης Μαθημαικής μουσικής είαι, οι παρακάω:

15 . Μαθημαικές μουσικές συθέσεις, αλγορίθμου ακολουθίας Σις μαθημαικές μουσικές συθέσεις, αλγορίθμου ακολουθίας και σο άξοα Ox ου σχ. είαι, εκ ω προέρω γωσά: α. Το μουσικό μέρο Τ. β. Η διάαξη ω χροικώ αξιώ ω μουσικώ φθόγγω ( =,,, ). γ. Ο αλγόριθμος ακολουθίας.. Μαθημαικές μουσικές συθέσεις, αλγορίθμου συάρησης Σις μαθημαικές μουσικές συθέσεις, αλγορίθμου συάρησης και σο άξοα Ox ου σχ. είαι, εκ ω προέρω γωσά: α. Το μουσικό μέρο Τ. β. Η διάαξη ω χροικώ αξιώ ω μουσικώ φθόγγω ( =,,, ). γ. Ο αλγόριθμος συάρησης.. Μαθημαικές μουσικές συθέσεις, «ααλογικού ύπου» Σις μαθημαικές μουσικές συθέσεις, «ααλογικού ύπου» και σο άξοα Ox ου σχ. είαι, εκ ω προέρω γωσά: α. Το μουσικό μέρο Τ. β. Η διάαξη ω χροικώ αξιώ ω μουσικώ φθόγγω ( =,,, ).. Μαθημαικές μουσικές συθέσεις, «Διοφαικού ύπου» Σις μαθημαικές μουσικές συθέσεις, «Διοφαικού ύπου» και σο άξοα Ox ου σχ. είαι, εκ ω προέρω γωσά: α. Το μουσικό μέρο Τ. β. Ο Διοφαικός μαθημαικός ύπος ης μαθημαικής μουσικής σύθεσης. γ. Ο αριθμός ω μουσικώ φθόγγω, μέσα σο κάθε μουσικό μέρο Τ. δ. Συθήκη: Το εύρος ω συχοήω (ση συγκεκραμέη μουσική κλίμακα) εός ου οποίου θα πρέπει α περιέχοαι όλες οι συχόηες ω μουσικώ φθόγγω (=,,, ) ης μαθημαικής μουσικής σύθεσης που θέλουμε α δημιουργήσουμε. Μια πρόαση Όποιος (Μαθημαικός, Φυσικός, Μηχαικός, Μουσικός, κ.λπ.) εδιαφέρεαι α ασχοληθεί με η Μαθημαική μουσική και ειδικόερα με η μαθημαική μουσική σύθεση θα πρέπει (καά η γώμη μου) α αρχίσει α ασχολείαι πρώα με ις μαθημαικές μουσικές συθέσεις «ααλογικού ύπου» (οι οποίες είαι, οι πιο απλούσερες), καόπι α προχωρήσει σις μαθημαικές μουσικές συθέσεις αλγορίθμου ακολουθίας ή συάρησης και ελικώς, α ασχοληθεί με ις μαθημαικές μουσικές συθέσεις «Διοφαικού ύπου». Αυός (ομίζω) όι, είαι έας πολύ καλός (παιδαγωγικός) ρόπος για η εκμάθηση και εμπέδωση ω βασικώ αρχώ ης Μαθημαικής μουσικής που ααπύξαμε ση εργασία μας αυή. ΕΠΙΛΟΓΟΣ Η «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΥΣΙΚΗ» είαι, έας έος κλάδος ω Μαθημαικώ, και είαι η «γέφυρα», η οποία συδέει η Επισήμη ω Μαθημαικώ με η Τέχη ης Μουσικής.

16 Όπως διαπισώουμε, ο πεδίο έρευας ης Μαθημαικής Μουσικής είαι αεξάληο και πολύ εδιαφέρο. Ααμφισβήηα, η Μαθημαική μουσική αοίγει «έους ορίζοες» έρευας σο χώρο ης Μουσικής (όπως η γωρίζουμε, μέχρι σήμερα). Έσι λοιπό (μεά από αυά που ααφέραμε ση μελέη μας αυή): Ο «ολοκληρωμέος» Μουσικοσυθέης ου μέλλοος θα πρέπει α έχει απαραιήως και βασικές γώσεις Μαθημαικώ. Διόι, οι Μαθημαικοί είαι «Μουσικοσυθέες», χωρίς α ο συειδηοποιού και α μπορού μουσικώς α ο εκφράσου αλλά και οι Μουσικοσυθέες είαι και αυοί «Μαθημαικοί», χωρίς α ο συειδηοποιού και α μπορού μαθημαικώς α ο εκφράσου. Καθόι, η Μουσική δε είαι ίποε άλλο, παρά α Μαθημαικά ου ήχου και ου χρόου, όπου (ο ήχος και ο χρόος) είαι, αρμοικά συδεδεμέα μεαξύ ους. Τέλος, είαι γωσό, όι: Ο πρώος βαθύς γώσης, ο οποίος επισήμαε η άρρηκη σχέση η οποία υπάρχει μεαξύ ω Μαθημαικώ και ης Μουσικής, ήα ο Έλληας Φιλόσοφος και Μύσης, ο Πυθαγόρας. Copyright 0: Christos A. Tsolkas Χρήσος Α. Τσόλκας 7 Μαρίου 0

13. Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις

13. Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις Κ Χρισοδολίδης: Μαθηµαικό Σµπλήρµα για α Εισαγγικά Μαθήµαα Φσικής 67 3 Σνήθεις διαφορικές εξισώσεις 3 Ορισµοί Μια εξίσση πο περιέχει παραγώγος κάποιας σνάρησης, ονοµάζεαι διαφορική εξίσση ( Ε) Αν η σνάρηση

Διαβάστε περισσότερα

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπού» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα τω εικτώ του Ρολογιού Εισαγωγικά ηµήτρης Ι. Μπουάκης Σχ. Σύµβουλος Μαθηµατικώ Σε ορισµέα βιβλία Αριθµητικής, αλλά κυρίως Άλγεβρας Β Γυµασίου και Α

Διαβάστε περισσότερα

«Χρηματοδοτική Ανάλυση και Διοικητική», Τόμος A

«Χρηματοδοτική Ανάλυση και Διοικητική», Τόμος A ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδώ : Διοίκηση Επιχειρήσεω και Οργαισμώ Θεματική Εότητα : Δ.Ε.Ο. 3 Χρηματοοικοομική Διοίκηση Ακαδημαϊκό Έτος : 202-203 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Χρηματοδοτική Αάλυση

Διαβάστε περισσότερα

www.fr-anodos.gr (, )

www.fr-anodos.gr (, ) ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Το lim f ( ) έχει όηµα σε γειτοικά σηµεία µε το δηλαδή ότα ( a, ) (, β ) a. Δε µε εδιαφέρει α το ίδιο το αήκει η όχι στο πεδίο ορισµού της f αλλά µε εδιαφέρει α υπάρχου στο πεδίο ορισµού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ V. ΜΙΚΡΟΠΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΚΡΥΣΤΑΛΛΩΝ 1. Εισαγωγή Ση µέχρι ώρα συζήησή µας για ην µηχανική συµπεριφορά ων µεαλλικών υλικών, όπου εξεάσαµε ην ελασική και ην πλασική ους συµπεριφορά

Διαβάστε περισσότερα

στους μιγαδικούς αριθμούς

στους μιγαδικούς αριθμούς Πράξεις στους μιγαδικούς αριθμούς Πρόσθεση μιγαδικώ αριθμώ Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία α) ) Πώς γίεται η πρόσθεση δύο μιγαδικώ αριθμώ; ) Ποια είαι η γεωμετρική ερμηεία του αθροίσματος δύο μιγαδικώ;

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών Κεφάλαιο 1 ο 45 Β. Δυάμεις πραγματικώ αριθμώ Α έχουμε έα γιόμεο της μορφής (-) (-) (-) (-) όπου κάθε παράγοτας είαι (δηλαδή ο ίδιος ο αριθμός) μπορούμε α το συμβολίσουμε με μια πιο απλή μορφή : (-) 4.

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Ηλεκτρικών κυκλωμάτων

Εργαστήριο Ηλεκτρικών κυκλωμάτων Εργασήριο Ηλεκρικών κυκλωμάων Αυό έργο χορηγείαι με άδεια Creaive Commons Aribuion-NonCommercial-ShareAlike Greece 3.. Σκοπός ων πειραμάων Ονομ/νυμο: Μηρόπουλος Σπύρος Τμήμα: Ε6 Το εργασήριο πραγμαοποιήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

4. Δεσμευμένη Πιθανότητα - Ανεξαρτησία Ενδεχομένων

4. Δεσμευμένη Πιθανότητα - Ανεξαρτησία Ενδεχομένων Δεσμευμέη Πιθαότητα Αεξαρτησία Εδεχομέω 4 Δεσμευμέη Πιθαότητα - Αεξαρτησία Εδεχομέω 4 Γιατί δεσμευμέη πιθαότητα Το όημα της δεσμευμέης πιθαότητας Η πιθαότητα, ως έα μέτρο του βαθμού βεβαιότητας που έχουμε

Διαβάστε περισσότερα

_Σχήµα 2_. Σελίδα 1 από 5. τον οποίο γίνεται η µεταπτωτική κίνηση. Άξονας περιστροφής τροχού. Άξονας γύρω από. τον οποίο γίνεται η µεταπτωτική κίνηση

_Σχήµα 2_. Σελίδα 1 από 5. τον οποίο γίνεται η µεταπτωτική κίνηση. Άξονας περιστροφής τροχού. Άξονας γύρω από. τον οποίο γίνεται η µεταπτωτική κίνηση ιονύσης Μηρόπουλος Κίνηση σερεού Παραηρήσεις ση µεαπωική κίνηση ενός σρεφόµενου ροχού Η ανάρηση αυή έγινε µε αφορµή: 1) Την πολύ καλή και ενδιαφέρουσα ανάρηση ου συναδέλφου Νίκου αµαόπουλου µε ίλο «Μεαπωική

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2

Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2 Περιγραφική Στατιστική Όπως, ήδη έχουμε ααφέρει, στόχος της Περιγραφικής Στατιστικής είαι, «η αάπτυξη μεθόδω για τη συοπτική και τη αποτελεσματική παρουσίαση τω δεδομέω» Για το σκοπό αυτό, έχου ααπτυχθεί,

Διαβάστε περισσότερα

Όταν πραγματοποιείται το Α πραγματοποιείται και το Β.

Όταν πραγματοποιείται το Α πραγματοποιείται και το Β. Βασικές έοιες και τύποι πιθαοτήτω Πείραμα τύχης - Η έοια του τυχαίου Δειγματικός χώρος Ω εός πειράματος τύχης (πεπερασμέος, απείρως αριθμήσιμος, συεχής) Εδεχόμεα Α, Β, (απλά, σύθετα) Βέβαιο εδεχόμεο Αδύατο

Διαβάστε περισσότερα

Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι παρατηρήσεις που πήραμε για το ύψος και το βάρος 16 εργατών μιας βιομηχανίας.

Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι παρατηρήσεις που πήραμε για το ύψος και το βάρος 16 εργατών μιας βιομηχανίας. Συσέτιση δύο μεταβλητώ Συσέτιση δύο μεταβλητώ Θεωρούμε δύο τυαίες μεταβλητές X, Y και ζεύγη παρατηρήσεω,,,,...,, από τυαίο δείγμα μεγέθους. Ααφερόμαστε, δηλαδή, σε μη πειραματικά δεδομέα ο ερευητής δε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ κ Για α βρούµε τη δύαµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωα µε τη ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ και υ = 0,,, οπότε i κ 4ρ+

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Του Κώστα Βακαλόπουλου ΑΣΚΗΣΗ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ) Το εύρος (R) τω παρατηρούμεω υψώ τω 00 πελατώ εός γυμαστηρίου είαι cm. A) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομέα

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επααληπτικό Διαγώισμα Μαθηματικώ Γεικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέμα A Α.α) Τι οομάζουμε συάρτηση και τι οομάζουμε πραγματική συάρτηση πραγματικής μεταβλητής; β) Τι λέγεται τιμή μιας συάρτησης f στο χ ; γ)

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 47) Εισαγωγικό σημείωμα. Λυμένες Ασκήσεις. 2συν x 2συν x 1 συνx συνx 1 x 2κπ, κ οι ζητούμενοι α-

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 47) Εισαγωγικό σημείωμα. Λυμένες Ασκήσεις. 2συν x 2συν x 1 συνx συνx 1 x 2κπ, κ οι ζητούμενοι α- Μαθηματικά για τη Β τάξη του Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ τω Κώστα Βακαλόπουλου Bασίλη Καρκάη Εισαγωγικό σημείωμα Παραθέτουμε στα δύο άρθρα που ακολουθού μια σειρά από λυμέες ασκήσεις στα κεφάλαια

Διαβάστε περισσότερα

υπολογισθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α, Β, ΑΒ, Α, Β, Α Β, Α Β, ΑΒ,

υπολογισθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α, Β, ΑΒ, Α, Β, Α Β, Α Β, ΑΒ, Προβλήματα Πιθαοτήτω Προβλήματα Πιθαοτήτω Από εξετάσεις που έγια σε 5000 ζώα μιας κτηοτροφικής μοάδας, διαπιστώθηκε ότι 000 είχα προσβληθεί από μια ασθέεια Α, 800 είχα προσβληθεί από μια ασθέεια Β εώ 00

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2 Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΙΔΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ( ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ): i. αχ=β µε α 0 έχει µία λύση ii. 0χ=β µε β 0 αδύατη εξίσωση ( καµία λύση ) iii. 0χ=0 αόριστη εξίσωση ( άπειρες λύσεις ) ΕΙΔΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ (ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Θεματική ενότητα : Βασικά εργαλεία και Μέθοδοι για τον έλεγχο της ποιότητας.

Θεματική ενότητα : Βασικά εργαλεία και Μέθοδοι για τον έλεγχο της ποιότητας. Εργασία 5 Θεμαική ενόηα : Βασικά εργαλεία και Μέθοδοι για ον έλεγχο ης ποιόηας. Άσκηση 1 (η άσκηση έχει λυθεί βάσει ων διευκρινίσεων που δόθηκαν από ον καθηγηή ) α) Το καάλληλο σαισικό εργαλείο που θα

Διαβάστε περισσότερα

4. Αντιδράσεις πολυμερισμού

4. Αντιδράσεις πολυμερισμού 4. Ατιδράσεις πολυμερισμού Ποια μόρια οομάζοται μακρομόρια Τα μακρομόρια είαι μόρια μεγάλου μοριακού βάρους που σχηματίζοται από τη συέωση (= πολυμερισμό) απλούστερω δομικά μορίω (= μοομερή) σύμφωα με

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Στο άρθρο αυτό θα παρουσιάσουμε μια μικρή συλλογή ασκήσεω οι οποίες καλύπτου τις έοιες που μάθαμε στο κεφάλαιο της Στατιστικής. Σε

Διαβάστε περισσότερα

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41.

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 η ΕΚΑ Α 4. Έστω Ω { ω, ω, ω, ω 4 } ο δειγµατικός χώρος εός πειράµατος τύχης και τα εδεχόµεα Α {ω, ω }, Β {ω, ω 4 } + Α είαι P(A B) και Ρ( Β Α ), όπου θετικός ακέραιος τότε + 4 Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ

2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ 1 2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Κλάσµα : Είαι το µαθηµατιό σύµβολο το οποίο δηλώει σε πόσα ίσα µέρη χωρίσαµε το όλο αι πόσα µέρη πήραµε Κλάσµα : πόσα µέρη πήραµε σε πόσα ίσα µέρη χωρίσαµε : αριθµητής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ-I

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ-I ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ-I ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΒΑΣΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ Μοναδιαία βηµαική συνάρηση (Ui Sep Fucio) U () =, U () =, .5 - -

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εισαγωγή

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εισαγωγή Μέρος πέµπτο ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Εισαγωγή Στα προηγούµεα κεφάλαια είδαµε τις διάφορες µεθόδους συλλογής και επεξεργασίας του βιοµετρικού υλικού. Κάθε βιοµετρική επεξεργασία όµως έχει

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Ιγάτιος Ιωαίδης Στατιστική Όριο - Συέχεια συάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Περιέχει: Συοπτική Θεωρία Μεθοδολογία Λύσης τω Ασκήσεω Λυμέα Παραδείγματα Ασκήσεις με τις απατήσεις τους ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β]

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια:

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια: ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικώ της Ώθησης ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή

2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή Ο όρος Στατιστική εδεχομέως α προέρχεται από τη λατιική λέξη status (πολιτεία, κράτος) η οποία, χρησιμοποιήθηκε αρχικά για το χαρακτηρισμό αριθμητικώ δεδομέω που ααφέροται κυρίως στο

Διαβάστε περισσότερα

+ + = + + α ( β γ) ( )

+ + = + + α ( β γ) ( ) ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Αριθµητική παράσταση Αριθµητική παράσταση λέγεται µια σειρά αριθµώ που συδέοται µεταξύ τους µε πράξεις. Η σειρά τω πράξεω σε µια αριθµητική παράσταση είαι η εξής: 1. Υπολογίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Μαθηματιά Γειής Παιδείας Γ Λυείου Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ µε ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ µε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Αιστάι 3 Αµφιάλη 4389-43

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συνδυασμός ν στοιχείων ανά κ είναι μια μη διατεταγμένη συλλογή κ στοιχείων από τα ν.

ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συνδυασμός ν στοιχείων ανά κ είναι μια μη διατεταγμένη συλλογή κ στοιχείων από τα ν. 13/10/2010 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συδυασμός στοιχείω αά κ είαι μια μη διατεταγμέη συλλογή κ στοιχείω από τα. Παράδειγμα 1 Οι συδυασμοί τω τριώ γραμμάτω Α,Β,Γ αά έα είαι οι εξής τρεις: Α, Β, Γ. Οι συδυασμοί

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Στα Μαθηματιά Γειής Παιδείας Tι οομάζουμε συάρτηση Tι οομάζουμε παραγματιή συάρτηση πραγματιής μεταβλητής Μια διαδιασία με τη οποία άθε στοιχείο εός συόλου Α πεδίο ορισμού ατιστοιχίζεται σε έα αριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0.

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0. Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικώ αριθµώ Μιγαδικό επίπεδο Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικώ αριθµώ ax 3 + β x + γ x+ δ = 0 Η προσπάθεια επιλύσεως εξισώσεω 3 ου βαθµού ( ) και δευτεροβαθµίω

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Παλινδρόμησης. Εργαστήριο. Μαθηματικών & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 252

Ανάλυση Παλινδρόμησης. Εργαστήριο. Μαθηματικών & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 252 Αάλυση Παλιδρόμησης Αάλυση Παλιδρόμησης Με τη αάλυση παλιδρόμησης (regresson analss) εξετάζουμε τη σχέση μεταξύ δύο ή περισσοτέρω μεταβλητώ με σκοπό τη πρόβλεψη τω τιμώ της μιας, μέσω τω τιμώ της άλλης

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ

Τ.Ε.Ι. ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ Τ.Ε.Ι. ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΥΠΟΣ & ΕΠΙΠΕΔΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Θεωρητικό - Υποχρεωτικό ΤΥΠΙΚΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 4ο (Εαριό εξάμηο 2005-2006) ΕΒΔΟΜΑΔΙΑΙΕΣ ΩΡΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΔΙΔΑΚΤ. ΜΟΝΑΔΕΣ 4 ΦΟΡΤΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

, θα παίρνουμε πάντα την ίδια τιμή για το Υ. Για παράδειγμα, Υ 12

, θα παίρνουμε πάντα την ίδια τιμή για το Υ. Για παράδειγμα, Υ 12 Αάλυση Παλιδρόμησης Αάλυση Παλιδρόμησης Με τη αάλυση παλιδρόμησης (regresson analss) εξετάζουμε τη σχέση μεταξύ δύο ή περισσοτέρω μεταβλητώ με σκοπό τη πρόβλεψη τω τιμώ της μιας, μέσω τω τιμώ της άλλης

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ. 0 : Παραγοντοποιώ αριθµητή και παρονοµαστή και διώχνω τους παράγοντες x, x 0 που προκύπτουν.

ΟΡΙΑ. 0 : Παραγοντοποιώ αριθµητή και παρονοµαστή και διώχνω τους παράγοντες x, x 0 που προκύπτουν. ΟΡΙΑ Πηλίκα πολυωυµικώ µε µορφή 0 0 : Παραγοτοποιώ αριθµητή και παροοµαστή και διώχω τους παράγοτες, 0 που προκύπτου Περιπτώσεις µε ρίζες µορφής 0 0 Περιπτώσεις στις οποίες χρειάζεται α πολλαπλασιάσω µε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΗΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΗΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΗΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΦΟΥΝΤΟΥΚΙ ΗΣ Γ. ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ Ρ. ΧΗΜΙΚΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΣ ΣΠΑΤΩΝ ΑΡΤΕΜΙΔΟΣ Σελίδα 1 από 5

ΔΗΜΟΣ ΣΠΑΤΩΝ ΑΡΤΕΜΙΔΟΣ Σελίδα 1 από 5 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΔΗΜΟΣ ΣΠΑΤΩΝ ΑΡΤΕΜΙΔΟΣ Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α Από τα πρακτικά της με αριθμό 30 ης Τακτικής Συεδρίασης της 24 ης Νοεμβρίου 2015 ΑΡΙΘΜ. ΑΠΟΦ. 319/2015 Π Ε Ρ Ι Λ Η Ψ Η Λήψη απόφασης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B 113 Θέματα εξετάσεω περιόδου Μαΐου-Ιουίου στα Μαθηματικά Τάξη B! 114 a. Να διατυπώσετε το ορισμό της δύαμης α με βάση το ρητό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό > 1. b. Να συμπληρωθού οι παρακάτω τύποι, δυάμεις

Διαβάστε περισσότερα

TO MONTEΛΟ ΤΗΕ ΕΡΠΙΣΗΣ (Reptation Model)

TO MONTEΛΟ ΤΗΕ ΕΡΠΙΣΗΣ (Reptation Model) TO MOTEΛΟ ΤΗΕ ΕΡΠΙΣΗΣ (epttion Moel) Η έννοια ου σωλήνα (tube) σις περιελίξεις (entglements). Αλληλεπιδράσεις-interpenetrtion Τοπολογικοί περιορισμοί (σην lterl/κάθεη κίνηση) Tube moel [e Gennes ; Ewrs

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΩΝ NOTATION ΓΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΑΝΥΣΤΕΣ -Bd, Steat and Lghtfoot "Tanpot Phenomena" -Bd, Amtong and Haage

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Ξένος Θ., Eκδόσεις Zήτη, Μάρτιος 2008, Θεσσαλονίκη

Copyright: Ξένος Θ., Eκδόσεις Zήτη, Μάρτιος 2008, Θεσσαλονίκη Kάθε γήσιο ατίτυο φέρει τη υογραφή του συγγραφέα Με το συγγραφέα εικοιωείτε: Tηλ. 310.348.086, e-mail: thanasisenos@ahoo.gr ISBN 978-960-456-09-9 Copright: Ξέος Θ., Eκδόσεις Zήτη, Μάρτιος 008, Θεσσαλοίκη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΟΜΗΣΙΜΩΝ ΥΛΙΚΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΟΜΗΣΙΜΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΟΜΗΣΙΜΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ρ Αθ. Ρούτουλας Καθηγητής ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΟΜΗΣΙΜΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3 η ΤΣΙΜΕΝΤΑ - ΣΚΥΡΟ ΕΜΑ ΑΣΚΗΣΗ 10

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΑΤΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΑΠΤΥΞΙΑΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΥΠΟ ΟΜΩΝ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΑΤΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΑΠΤΥΞΙΑΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΥΠΟ ΟΜΩΝ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΑΤΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΑΠΤΥΞΙΑΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΥΠΟ ΟΜΩΝ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΠΕΙΡΑΙΩΣ Ταχ. διεύθυση: Ακτή Ποσειδώος 14-16 Ταχ. κώδικας:

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση - 4 o Γεικό Λύκειο Χαίω Γ τάξη Μαθηματικά Γεικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράκης http://users.sch.gr/mpapagr 4 ο Γεικό Λύκειο Χαίω ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ 95 ΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΘΟΥΝ ΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ & ΠΡΟΛΗΨΗΣ ΝΟΣΗΜΑΤΩΝ (ΚΕ.ΕΛ.Π.ΝΟ.) ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΥΓΕΙΑΣ & ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΑΛΛΗΛΕΓΓΥΗΣ. (Τμήμα Επιδημιολογικής Επιτήρησης και Παρέμβασης)

ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ & ΠΡΟΛΗΨΗΣ ΝΟΣΗΜΑΤΩΝ (ΚΕ.ΕΛ.Π.ΝΟ.) ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΥΓΕΙΑΣ & ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΑΛΛΗΛΕΓΓΥΗΣ. (Τμήμα Επιδημιολογικής Επιτήρησης και Παρέμβασης) ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ & ΠΡΟΛΗΨΗΣ ΝΟΣΗΜΑΤΩΝ (ΚΕ.ΕΛ.Π.ΝΟ.) ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΥΓΕΙΑΣ & ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΑΛΛΗΛΕΓΓΥΗΣ (Τμήμα Επιδημιολογικής Επιτήρησης και Παρέμβασης) ΕΠΙΔΗΜΙΟΛΟΓΙΚΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΦΥΜΑΤΙΩΣΗΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ, 2004-2010 Η

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

Multi Post. Ενδοριζικοί άξονες ανασύστασης

Multi Post. Ενδοριζικοί άξονες ανασύστασης Multi Post Ενδορζοί άξς ανασύσασης MultiPost Σύσηµα νδορζών αξόνων α αποαάσαση µ ρηνώδη υλά Το σύσηµα Multi Post ης D+Z που πρλαµβάν άξς αασυασµένους από αθαρό άνο ίνα ένα ύολο σο χρσµό α δοµασµένο σύσηµα

Διαβάστε περισσότερα

11.1 11.3. Ορισµός ιδιότητες εγγραφή καν. πολυγώνων σε κύκλο

11.1 11.3. Ορισµός ιδιότητες εγγραφή καν. πολυγώνων σε κύκλο 1 11.1 11. ρισµός ιδιότητες εγγραφή κα. πολυγώω σε κύκλο ΘΩΡΙ 1. Έα πολύγωο λέγεται καοικό, ότα έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωίες του ίσες.. ύο καοικά πολύγωα µε το ίδιο αριθµό πλευρώ είαι

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΚΥΚΛΟΦΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΠΕΤΡΕΛΑΪΚΗΣ ΡΥΠΑΝΣΗΣ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΟΧΗ ΤΟΥ ΛΙΜΕΝΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΚΥΚΛΟΦΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΠΕΤΡΕΛΑΪΚΗΣ ΡΥΠΑΝΣΗΣ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΟΧΗ ΤΟΥ ΛΙΜΕΝΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 8ο Πανελλήνιο Συμποσιο Ωκεανογαφίας & Αλιείας ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΚΥΚΛΟΦΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΠΕΤΡΕΛΑΪΚΗΣ ΡΥΠΑΝΣΗΣ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΟΧΗ ΤΟΥ ΛΙΜΕΝΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Χισόφοος Γ. Κουίας*, Αχιλλέας Γ. Σαμαάς** *Ο.Λ.Θ. Α.Ε.,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη Ο ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ (572-500 ΠΧ) ΗΤΑΝ ΦΟΛΟΣΟΦΟΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣ ΤΗΣ ΜΟΥΙΣΚΗΣ. ΥΠΗΡΞΕ Ο ΠΡΩΤΟΣ ΠΟΥ ΕΘΕΣΕ ΤΙΣ ΒΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ 3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1 1 1 1 1 1. Η ακολουθία,,,,,... είαι αριθμητική πρόοδος. 4 6 8 10.

Διαβάστε περισσότερα

1. Κατά μήκος μιας χορδής μεγάλου μήκους, η οποία ταυτίζεται με τον άξονα x Ox, διαδίδονται ταυτόχρονα

1. Κατά μήκος μιας χορδής μεγάλου μήκους, η οποία ταυτίζεται με τον άξονα x Ox, διαδίδονται ταυτόχρονα ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ 1. Κατά μήκος μιας χορδής μεγάλου μήκους, η οποία ταυτίζεται με τον άξονα x Ox, διαδίδονται ταυτόχρονα δύο αρμονικά κύματα που έχουν εξισώσεις y 1 = 0,1ημπ(5t,5x) (S.I.) και y = 0,1ημπ(5t

Διαβάστε περισσότερα

3. Βασικά µαθηµατικά µεγέθη, συµβολισµοί και σχέσεις

3. Βασικά µαθηµατικά µεγέθη, συµβολισµοί και σχέσεις ρ.χ. Στρουθόπουλος, e-mail: stch@teise.g ΑΤΕΙ Σερρώ 3. Βαικά µαθηµατικά µεγέθη, υµβολιµοί και χέεις 3.. Πίακας τήλης Α το πλήθος τω προτύπω, το πλήθος τω χαρακτηριτικώ που µετράµε ε κάθε πρότυπο και Τ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΗ ΑΜΟΙΒΑΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑ ΩΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ

ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΗ ΑΜΟΙΒΑΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑ ΩΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ Ελληνικό Σαισικό Ινσιούο Πρακικά 8 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Σαισικής (5) σελ.35-34 ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΗ ΑΜΟΙΒΑΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑ ΩΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ Παπάνα Αγγελική και Κουγιουμζής Δημήρης

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Μάθημα 7 Ο Μετασχηματισμός Z Βασικές Ιδιότητες Καθηγητής Χριστόδουλος Χαμζάς Ο Μετασχηματισμός Ζ Γιατί χρειαζόμαστε τον Μετασχηματισμό Ζ; Ανάγει την επίλυση των αναδρομικών

Διαβάστε περισσότερα

COACHING FOR SALES EXCELLENCE. Ένα εργαλείο ικανό να απογειώσει τις πωλήσεις σας! Παρασκευή 30 και Σάββατο 31 Οκτωβρίου (9:00-18:00)

COACHING FOR SALES EXCELLENCE. Ένα εργαλείο ικανό να απογειώσει τις πωλήσεις σας! Παρασκευή 30 και Σάββατο 31 Οκτωβρίου (9:00-18:00) Έα εργαλείο ικαό α απογειώσει τις πωλήσεις σας! Παρασκευή 30 και Σάββατο 31 Οκτωβρίου (9:00-18:00) lectra Palace Hotel Athens, Νικοδήμου 18-20, Πλάκα, Σύταγμα Απευθύεται σε Στελέχη Πωλήσεω, ξυπηρέτησης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας Κεφάλαιο 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας. Στο Κεφάλαιο αυτό περιέχονται: 5.1 Γωνία διεύθυνσης. 5. Πρώτο θεμελιώδες πρόβλημα. 5.3 εύτερο θεμελιώδες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ IV. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ. Ειαγωγή Η θωρία πλαικόηας αχολίαι µ ην υµπριφορά ων µαλλικών υλικών, όαν οι παραµορφώις ίναι πλέον αρκά µγάλς και ο νόµος ου Hooke παύι να

Διαβάστε περισσότερα

Κ Α Ν Ο Ν Ι Σ Μ Ο Σ Λ Ε Ι Τ Ο Υ Ρ Γ Ι Α Σ Ε Π Ι Τ Ρ Ο Π Ω Ν

Κ Α Ν Ο Ν Ι Σ Μ Ο Σ Λ Ε Ι Τ Ο Υ Ρ Γ Ι Α Σ Ε Π Ι Τ Ρ Ο Π Ω Ν Κ Α Ν Ο Ν Ι Σ Μ Ο Σ Λ Ε Ι Τ Ο Υ Ρ Γ Ι Α Σ Ε Π Ι Τ Ρ Ο Π Ω Ν Ψ η φ ί σ τ η κ ε α π ό τ η Γ ε ν ι κ ή Σ υ ν έ λ ε υ σ η τ ω ν Μ ε λ ώ ν τ ο υ Σ Ε Π Ε τ η ν 24 η Μ α ΐ ο υ 2003 Δ ι ά τ α ξ η Ύ λ η ς 1. Π

Διαβάστε περισσότερα

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B 113 Θέματα εξετάσεω περιόδου Μαΐου-Ιουίου στα Μαθηματικά Τάξη B! taexeiola.blogspot.com 6 ο ΥΜΝΑΣΙΟ ΡΟΔΟΥ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, ΤΑΞΗ Β' ΥΜΝΑΣΙΟΥ, ΡΟΔΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΤΑΣΙΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ

ΠΡΟΣΤΑΣΙΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Κεφάλαιο 5 ΠΡΟΣΤΑΣΙΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Εισαωή Η αυξημέη αησυχία τω σύχοω κοιωιώ ια τις καταστοφικές επιπτώσεις στη ποιότητα του πειβάλλοτος από τη ααία και άαχη αάπτυξη, που παατηείται τα τελευταία χόια,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ Πανελή Α. Δείρογλου Πυχιούχου Παιδαγωγικού Τήαος Δηοικής Εκπαίδευσης Το Ολοήερο Δηοικό Σχολείο από η σκοπιά ων

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις 2 ου βαθμού

Εξισώσεις 2 ου βαθμού Εξισώσεις 2 ου βαθμού Εξισώσεις 2 ου βαθμού Η εξίσωση της μορφής αχ 2 + βχ + γ = 0, α 0 λύνεται σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα. Δ = β 2 4αγ Η εξίσωση αχ 2 + βχ + γ = 0, α 0 αν Δ>0 αν Δ=0 αν Δ

Διαβάστε περισσότερα

10 ΓΙΑΝΝΑΚΕΑΣ ΝΙΚΟΣ ΚΑΙΝ 1 CS 1 2499 2/06/2015 ΙΔΙΟΧΕΙΡΩΣ

10 ΓΙΑΝΝΑΚΕΑΣ ΝΙΚΟΣ ΚΑΙΝ 1 CS 1 2499 2/06/2015 ΙΔΙΟΧΕΙΡΩΣ ΜΟΝΑΔΑ ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΑΣ και ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑΣ του ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ Περιοχή Ψαθάκι, Τ.Κ. 48100, ΠΡΕΒΕΖΑ Τηλ. 26820.50552, κι. 6932.997672 Fax: 26820.50631 e-mail: sotiropoulosioan@yahoo.gr http:// innovation of

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α.. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συάρτησης f ( ), για κάθε R. Α.. Α.. (

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ÊÏÑÕÖÁÉÏ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ÊÏÑÕÖÁÉÏ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Ε_.ΜλΑ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηία: Κυριακή 7 Απριλίου 04 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. α) Λάθος (βλέπε σελίδα 4 του σχολικού βιβλίου, Το σωστό

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολο Σελίδων: πέντε (5) - ιάρκεια Εξέτασης: 60 λεπτά Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα Α

Σύνολο Σελίδων: πέντε (5) - ιάρκεια Εξέτασης: 60 λεπτά Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα Α 3ο Πρόχειρο Τεστ Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Το Στάσιµο Κύµα Σύνολο Σελίδων: πέντε (5) - ιάρκεια Εξέτασης: 60 λεπτά Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα Α Στις ηµιτελείς προτάσεις Α.1 Α.4 να γράψετε στο τετράδιο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: «ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ»

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: «ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ» ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: «ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ» ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΤΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ.-.

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα Το γνωστό παράδειγμα με τα βάρη 30 ατόμων ταξινομημένα σε 5 ομάδες. Η μέση τιμή για το δείγμα έχει βρεθεί x = 77. = =

Παράδειγμα Το γνωστό παράδειγμα με τα βάρη 30 ατόμων ταξινομημένα σε 5 ομάδες. Η μέση τιμή για το δείγμα έχει βρεθεί x = 77. = = Παράδειγα Το γωστό παράδειγα ε τα βάρη 0 ατόω ταξιοηέα σε 5 οάδες. Η έση τιή για το δείγα έχει βρεθεί 77. Τάξη Απόλυτες συχότητες Κετρική τιή τάξης Απόκλιση από το έσο 65-69 67,5 9,5 70-7 6 7,5,5 75-79

Διαβάστε περισσότερα

ΚΗΠΟΣ & ΒΕΡΑ. τα «πώς ντας σε όλα μας ό πλούσιο φωτογρ. λίδα 3. όλης. Διαβάστε στη σελ. 7 για ένα βιβλίο που θα κάνει τις ιδέες σας...

ΚΗΠΟΣ & ΒΕΡΑ. τα «πώς ντας σε όλα μας ό πλούσιο φωτογρ. λίδα 3. όλης. Διαβάστε στη σελ. 7 για ένα βιβλίο που θα κάνει τις ιδέες σας... μ Κηπο ανία Π ΕΡ Ι Ο Δ Ι ΚΗ ΕΚ Δ ΟΣΗ ΓΙΑ ΤΗ ΦΥΣΗ ΚΑ Ι ΤΟ ΠΕ ΡΙ ΒΑ ΛΛΟ Ν Αγαπηοί φίλοι ου πράσινου, Όλοι μας διαπισώνουμε καθημερινά ο έλλειμμα που υπάρχει σε καθαρό νερό και αέρα, σο πράσινο, ση διαχείριση

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία Ηχου και Μουσικής (ΤΗΛ313) Φροντιστήριο

Επεξεργασία Ηχου και Μουσικής (ΤΗΛ313) Φροντιστήριο Επεξεργασία Ηχου και Μουσικής (ΤΗΛ313) Εισαγωγή στη Θεωρία Μουσικής (Μέρος 1ο) Φροντιστήριο 03/03/2010 (Εισαγωγή στη Θεωρία Μουσικής (Μέρος 1ο)) Επεξεργασία Ηχου και Μουσικής (ΤΗΛ313) 03/03/2010 1 / 32

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Τι οομάζεται συάρτηση Συάρτηση uncton είαι μια διαδιασία με τη οποία άθε στοιχείο εός συόλου Α ατιστοιχίζεται σε έα αριβώς στοιχείο άποιου

Διαβάστε περισσότερα

ές ές ώ ς ς ίς ά ής ί ς ό ς ί ς ς ό ς ό ς ί ς

ές ές ώ ς ς ίς ά ής ί ς ό ς ί ς ς ό ς ό ς ί ς ές ές ώ ς ς ίς ά ής ί ς ό ςί ςς όςό ς ίς ό ίό ς Έ ί ύ έςώς ς ές ί ς ς ίς ές έςές ς ίς έςώς ς ύς ίς ή ή ί ής ί ς ά ό ίό ς Έ ί ύ ές ί ς ς ίς ές έςές ς ίς έςώς ς ύς ίς ή ή ί ής ί ς ά ές ές ώ ς ίέ ςύ όίώώ

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΓΛΩΣΣΑ ΚΑΙ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ

Α. ΓΛΩΣΣΑ ΚΑΙ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2006 ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Κλάδος: ΠΕ 70 ΔΑΣΚΑΛΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ (Γωστικό ατικείμεο) Σάββατο 27-1-2007

Διαβάστε περισσότερα

JEAN-CHARLES BLATZ 02XD34455 01RE52755

JEAN-CHARLES BLATZ 02XD34455 01RE52755 ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΩΝ ΕΝ Ι ΑΜ ΕΣ ΩΝ ΟΙ Κ ΟΝΟΜ Ι Κ ΩΝ Κ ΑΤΑΣ ΤΑΣ ΕΩΝ ΤΗΣ ΕΤΑΙ ΡΙ ΑΣ Κ ΑΙ ΤΟΥ ΟΜ Ι ΛΟΥ Α Τρίµηνο 2005 ΑΝΩΝΥΜΟΣ Γ ΕΝΙ Κ Η ΕΤ ΑΙ Ρ Ι Α Τ ΣΙ ΜΕΝΤ ΩΝ Η Ρ ΑΚ Λ Η Σ ΑΡ. ΜΗ Τ Ρ. Α.Ε. : 13576/06/Β/86/096

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΜΑΖΑΣ

ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΜΑΖΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΜΑΖΑΣ ΣΥΝΑΓΩΓΗ Νυμφοδώρα Παπασιώπη Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας

Διαβάστε περισσότερα

«Προσβλητική» και «απαξιωτική» ενέργεια

«Προσβλητική» και «απαξιωτική» ενέργεια Σκέψου ον πλανήη σου... ανακύκλωσε η ΦΩΝΗ σου Εβδομαδιαία πολιική εφημερίδα Πάρου - Ανιπάρου 67 ΧΡΟΝΙΑ αφιερωµένα σην ενηµέρωση Παρασκευή 1 Οκωβρίου 2010 Φύλλο 127 www.fonitisparou.gr Έος 65 ο Νέα Περίοδος

Διαβάστε περισσότερα

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις (Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Συσκευασίες από αλουμίνιο, π.χ. αναψυκτικά, μπίρες κ.ά. Συσκευασίες από λευκοσίδηρο, π.χ. από γάλα εβαπορέ, τόνο, ζωοτροφές, τοματοπολτό κ.ά.

Συσκευασίες από αλουμίνιο, π.χ. αναψυκτικά, μπίρες κ.ά. Συσκευασίες από λευκοσίδηρο, π.χ. από γάλα εβαπορέ, τόνο, ζωοτροφές, τοματοπολτό κ.ά. ΑΝΑΚΥΚΛΩΣΗ ΣΥΣΚΕΥΑΣΙΩΝ Η Αακύκλωση σήμερα αποτελεί σηματική προτεραιότητα για το περιβάλλο και το μέλλο μας. Δε είαι μια εφήμερη τάση της εποχής, αλλά ατίθετα, υποχρέωση κάθε πολιτισμέης κοιωίας που συμβάλει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Στη συνέχεια θα δοθούν ορισμένες βασικές έννοιες μαθηματικών και φυσικήςμηχανικής που είναι απαραίτητες για την κατανόηση του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 009 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 009. Πριν

Διαβάστε περισσότερα

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 1 Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων Α. Κάνε κατάλληλο σχήμα,τοποθέτησε τα δεδομένα στο σχήμα και ονόμασε

Διαβάστε περισσότερα

11:30-12:00 ιά ι α 12:00-14:00 ία: Α αιο ο ία αι α ς Α έ ος. ο ισ ς: ά ο ιο. οβο ή βί α ι έ ο ή ο Αθ αίω, Α φιθέα ο «Α ώ ς ί σ ς» Α α ίας

11:30-12:00 ιά ι α 12:00-14:00 ία: Α αιο ο ία αι α ς Α έ ος. ο ισ ς: ά ο ιο. οβο ή βί α ι έ ο ή ο Αθ αίω, Α φιθέα ο «Α ώ ς ί σ ς» Α α ίας Α ΧΑ Α 9- α ο α ίο ι «Α αιο ο ι οί ιά ο οι» ί αι έ ας έος θ σ ός, έ ας ια ής ι ι ός αι α ασ ο ασ ι ός ιά ο ος ια ις α αιό ς αι α αιο ο ία σ σ ι ή οι ία. βασι ή ο ο φή ί αι έ α ήσιο, α οι ό σ έ ιο / ή σ

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Επαλληλία Αρµονικών Κυµάτων. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, MSc Φυσικός. http://www.perifysikhs.com

Επαλληλία Αρµονικών Κυµάτων. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, MSc Φυσικός. http://www.perifysikhs.com Επαλληλία Αρµονικών Κυµάτων - εκέµβρης 2014 Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, MSc Φυσικός http://www.perifysikhs.com 1. Θέµα Α - Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1.1. ύο σύγχρονες κυµατικές πηγές Α και

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΑΤΑΛΟΓΟΓΡΑΦΗΣΗ ΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ

Η ΚΑΤΑΛΟΓΟΓΡΑΦΗΣΗ ΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ Η ΚΑΤΑΛΟΟΑΦΗΣΗ ΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΣΤΙΣ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΕΣ ΤΟΥ Ε: ΞΩΤΕΙΚΟΥ Υπό κ. Evl Col, της Βιβλιοθήκης του K' Coll. Σηματικό μέρος του HELEN αφιερώεται ο ι η εξέταση της πολιτικής, που ακολουθού οι βιβλιοθήκες

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΣΑΝΣΙΝΟ ΑΛ. ΝΑΚΟ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ M.Sc ΧΟΛΙΚΟ ΤΜΒΟΤΛΟ Πτυχ. ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΚΩΝΣΑΝΣΙΝΟ ΑΛ. ΝΑΚΟ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ M.Sc ΧΟΛΙΚΟ ΤΜΒΟΤΛΟ Πτυχ. ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ 1 ΚΩΝΣΑΝΣΙΝΟ ΑΛ. ΝΑΚΟ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ M.Sc ΧΟΛΙΚΟ ΤΜΒΟΤΛΟ Πτυχ. ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ.ΣΙΡΚΑ 8 και ΑΝΣΤΠΑ 30100 ΑΓΡΙΝΙΟ Email: nakosk@sch.gr Σηλ 64105400 κι.69749695 ΜΕΓΙΣΑ-ΕΛΑΧΙΣΑ ΧΩΡΙ ΠΑΡΑΓΩΓΟΤ 3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ/ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 30/09/12 ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ/ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 30/09/12 ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 0-03 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ/ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 30/09/ ΘΕΜΑ ο ΛΥΣΕΙΣ Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας το αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις -4

Διαβάστε περισσότερα