Ι δ ι ο τ η τ ε ς Π ρ ο σ θ ε σ η ς - Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο υ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ι δ ι ο τ η τ ε ς Π ρ ο σ θ ε σ η ς - Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο υ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ"

Transcript

1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1 Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι : Υ π ο σ υ ο λ α του Το συολο τω φυσικω 3. αριθμω: Να δειχτει οτι = α {0,1,,3, } α. Ποτε ισχυει το ισο; Το συολο τω. A ακεραιω α, β θετικοι αριθμω:, α συγκριεται = {,-,-1,0,1,, }. τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ Το συολο τω ρητω αριθμω: = {ρ/ρ= μ, με μ και * } Το συολο τω αρρητω αριθμω: {x/ το x σε δεκαδικη μορφη εχει απειρα δεκαδικα σημεια με μη περιοδικο τμημα}. Το συολο τω πραγματικω αριθμω είαι η εωση του συολου τω ρητω και αρρητω αριθμω. Το συολο τω περιττω αριθμω: {1,3,5, } η {+1/οπου }. Το συολο τω αρτιω αριθμω: {0,,4, } η {/οπου }. Π α ρ α δ ε ι γ μ α 1. Α α,β,γ είαι διαδοχικοι φυσικοι α δειξετε ότι: α+β+γ είαι πολλαπλασιο του 3.. Α ο αριθμος α είαι αρρητος τοτε και ο αριθμος α-3 είαι επισης αρρητος. 1. Αφου οι αριθμοι α,β,γ είαι διαδοχικοι φυσικοι τοτε: β=α+1 και γ=α+ Οποτε: α+β+γ=α+(α+1)+(α+)=3α+3=3(α+1)=3κ (οπου κ=α+1) Αρα α+β+γ είαι πολλαπλασιο του 3.. Εστω ότι ο αριθμος α-3 είαι ρητος. Τοτε α-3=ρ, οπου ρ είαι ρητος αριθμος. Όμως α-3=ρ α=ρ+3 ατοπο, γιατι: α είαι αρρητος αριθμος α - 3 είαι αρρητος αριθμος. ρ + 3 είαι ρητος αριθμος Ι δ ι ο τ η τ ε ς Π ρ ο σ θ ε σ η ς - Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο υ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ Ατιμεταθετικη α+β=β+α α.β=β.α Προσεταιριστικη α+(β+γ)=(α+β)+γ α.(β.γ)=(α.β).γ Επιμεριστικη α.(β+γ)=α.β+α.γ Ουδετερο στοιχειο α+0=α α.1=α Ατιθετος (προσθ) Ατιστροφος (πολ) α+(-α)=0 α. 1 =1, α 0 α Π α ρ α δ ε ι γ μ α Α οι αριθμοι α,β ειαι πραγματικοι και ισχυει: α=β και 5α-6β-(γ+δ-1)=-β, α δειχτει οτι οι αριθμοι γ και δ ειαι ατιθετοι. Αφου α=β τοτε η δοσμεη ισοτητα γιεται: 5α-6α-(γ+δ-1)=-α H Εοια του διαυσματος 5α-6α-γ-δ+)=-α 5α-5α-γ-δ=0 -γ-δ=0 -(γ+δ)=0 γ+δ=0 Αρα οι αριθμοι γ και δ ειαι ατιθετοι.

2 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Σ υ ε π ε ι ε ς α = β α + γ = β + δ α ± γ = β ± γ α = β γ = δ α.γ = β.δ α.γ = β.γ, γ 0 α.0=0 α.β=0 α=0 η β=0 α.β 0 α 0 και β 0 α.(-1)=-α ( α).β=-α.β ( α).(-β)=α.β (α+β)=-α-β α β α ± β α γ α.δ ± β.γ ± =, γ 0 ± =, β.δ 0 γ γ γ β δ β.δ α γ α.γ =., α.β 0. =, β.δ 0 α.β α β β δ β.δ Η αφαιρεση οριζεται μεσω της προσθεσης: α-β=α+(-β) Η διαιρεση οριζεται μεσω του πολλαπλασιασμου: α:β=α. 1, β 0 β I δ ι ο τ η τ ε ς Α α λ ο γ ι ω α γ α γ α β = α.δ = β.γ (β.δ 0) = = (β.γ.δ 0) β δ β δ γ δ α γ δ γ α γ α + β γ + δ = = (α.β.δ 0) = = (β.δ 0) β δ β α β δ β δ α γ α γ α + γ α γ α + β α + γ = = = [β. δ(β + δ) 0] = = β δ β δ β + δ β δ α - β γ - δ α Λογος του α ως προς β λεγεται το πηλικο. β α γ Ααλογια λεγεται η ισοτητα δυο λογω, εστω : = β δ Οι αριθμοι α, β,γ,δ λεγοται οροι της ααλογιας. Οι αριθμοι α,δ λεγοται ακροι οροι της ααλογιας. Οι αριθμοι β,γ λεγοται μεσοι οροι της ααλογιας. (β.δ 0, α β, γ δ) α β Στη περιπτωση που η ααλογια ειαι της μορφης = ο αριθμος β λεγεται μεσος αα - β γ λογος τω α και γ. Π α ρ α δ ε ι γ μ α Α οι αριθμοι α,β,γ ειαι ααλογοι τω αριθμω 3,,1 ατιστοιχα και ισχυει: α-β+γ=6, α βρεθου οι α, β και γ. Αφου οι αριθμοι α,β,γ είαι ααλογοι τω αριθμω 3,,1 ατιστοιχα τοτε: α = β = γ (1) β -β γ γ Επισης ισχυει : = και = - 1 α-β+γ=6 α -β γ α - β + γ 6 Οποτε η (1) γιεται : = = = = =

3 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 3 Αρα α = α = 3. α = 6 3 β -β = = β =. - β = 4 γ γ = = γ = 1. γ = 1. Δ υ α μ ε ι ς 1. Ορισμοι Για κάθε α και Για κάθε α Α α Α α * + * +. Ιδιοτητες μ μ+ α α = α μ μ- α : α = α μ μ (α ) = α (α β) = α β α α ( ) = β β α - β ( ) = β α κ (-α) = α * * + και * και μ, * + οριζουμε: α = α.α α ( παραγοτες), >1 οριζουμε: αº= 1 και οριζουμε: α = α και x πραγματικος τοτε οριζεται η δυαμη κ κ+1 κ+1 (-α) = -α 3. Παρατηρηση α=β τοτε α =β μ μ α - 1 = α x α και είαι x α > 0. x²+y²=0 (x=0 και y=0) Α καποιος αριθμος εχει πολύ μικρη η πολύ μεγαλη απολυτη τιμη, μπορει α γραφτει σε τυποποιημεη μορφη: α.10, με 1 α < 10 και ακεραιο. Π α ρ α δ ε ι γ μ α Να λυθει η εξισωση: (x-1) +(y-3) = 0. Ειαι (x - 1) = 0 x - 1 = 0 x = 1 (x - 1) + (y - 3) = 0 και και και (y - 3) = 0 y - 3 = 0 y = 3

4 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 4 Τ α υ τ ο τ η τ ε ς (α±β)²=α²±αβ+β² (χρησιμη : α²+β²=(α+β)²-αβ) α²-β²=(α+β)(α-β) (α+β+γ)²= α²+β²+γ²+αβ+αγ+βγ α³±β³=(α+β)( α² αβ+β²)=(α±β)³ 3αβ(α±β) (α±β)³=α³±3α²β+3αβ²±β³ (α+β)⁴=α⁴+4α³β+6α²β²+4αβ³+β⁴ (α-β)⁵=α⁵-5α⁴β+10α³β²-10α²β³+5αβ⁴-β⁵ α -β =(α-β)( α -1 +α - β+ +αβ - +β -1 ) α +β =(α+β)( α -1 -α - β+ -αβ - +β -1 ), ( περιττος φυσικος) α²+β²+γ²-αβ-αγ-βγ= 1 [(α-β)²+(β-γ)²+(γ-α)²] α³+β³+γ³-3αβγ=(α+β+γ)(α²+β²+γ²-αβ-αγ-βγ)= 1 (α+β+γ)[(α-β)²+(β-γ)²+(γ-α)²] α³+β³+γ³-3αβγ, α α+β+γ=0 η α=β=γ (Euler) Π α ρ α δ ε ι γ μ α 1. Να λυθει η εξισωση: (x-) 3 +(6-x) 3 +(x-4) 3 =0 Παρατηρουμε ότι: (x-)+(6-x)+(x-4)=x-+6-x+x-4=0 (Α α+β+γ=0 τοτε α 3 +β 3 +γ 3 =3αβγ Euler) Οποτε η εξισωση γιεται: x - = 0 x = x = 3(x-).(6-x).(x-4)=0 6 - x = 0 x = 6 x = 3 x - 4 = 0 x = 4 x = 4. Να παραγοτοποιηθει η παρασταση: 9 x -.6 x +4 x Είαι 9 x -.6 x +4 x =(3 ) x -.(.3) x +( ) x = (3 x ) -. x.3 x +( x ) = (3 x - x ) Η Α π ο δ ε ι ξ η σ τ α Μ α θ η μ α τ ι κ α Καθε τι εο που δημιουργειται στα Μαθηματικα ειαι μια αληθης προταση, που ομως πρεπει α στηριζεται σε αλλες γωστες αληθεις προτασεις. Η αληθεια ομως μιας προτασης - θεωρηματος προκυπτει μεσα απο τη διαδικασια της αποδειξης. Οι κυριοτερες μεθοδοι αποδειξης ειαι: α. Ε υ θ ε ι α Α π ο δ ε ι ξ η β. Α π ο δ ε ι ξ η σ ε Α τ ο π ο

5 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 5 α. Ε υ θ ε ι α Α π ο δ ε ι ξ η (Π α ρ α δ ε ι γ μ α) Α α + β+γ = 0 α αποδειχθει οτι α + β + γ = 3αβγ ΥΠΟΘΕΣΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ Αποδειξη α+β+γ =0 β. Α π ο δ ε ι ξ η σ ε Α τ ο π ο (Π α ρ α δ ε ι γ μ α) Α α ακεραιος και α αρτιος α δειχθει οτι α αρτιος ΥΠΟΘΕΣΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ Αποδειξη α+β =-γ (α+β) 3 =(-γ) 3 α 3 +3α β+3αβ +β 3 =-γ 3 α 3 +β 3 +γ 3 =-3αβ(α+β) α 3 +β 3 +γ 3 =-3αβ(-γ) α 3 +β 3 +γ 3 =3αβγ Εστω α ΟΧΙ αρτιος, δηλαδη α περιττος της μορφης α=κ+1, κ. Εχουμε :α = (κ+1) =( κ + κ )+1=λ+1, λ. λ Δηλαδη α περιττος. Αυτο ομως ειαι α τ ο π ο (αδυατο) γιατι ο α ειαι αρτιος. Αρα η παραδοχη οτι ο ακεραιος α ειαι περιττος ειαι λαθος. Οποτε ο ακεραιος α ειαι αρτιος Ξεκιαμε απο τη υποθεση και με διαδοχικους συλλογισμους, στηριζομεοι στις ιδιοτητες τω πραξεω και σε καοες της λογικης, μετα απο καποια βηματα καταληγουμε στο συμπερασμα. Υποθετουμε οτι δ ε ισχυει το συμπερασμα. Με ορθους συλλογισμους και με λογικα βηματα καταληγουμε σε κατι που ερχεται σε ατιθεση με τα δεδομεα του προβληματος ή σε κατι που δε ισχυει (α τ ο π ο ) Ααφερουμε γιατι φτασαμε σε ατοπο και συμπεραιουμε τη α- ληθεια της αποδεικτεας προτασης.

6 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 6 Να δειξετε οτι : το αθροισμα δυο αρτιω αριθμω ειαι αριθμος αρτιος. το γιομεο δυο διαδοχικω ακεραιω αριθμω ειαι αριθμος αρτιος. Εστω οι δυο αρτιοι αριθμοι : α = κ καιβ = λ (κ, λ ). Τοτε κ+λ= α + β = κ + λ = (κ + λ) =, που σημαιει οτι α + β αρτιος αριθμος. Εστω οι δυο διαδοχικοι ακεραιοι αριθμοι ειαι : α και β. Α ο α ειαι αρτιος τοτε : α = κ και β = κ + 1 (κ ). Οποτε α β = κ(κ + 1) = 4κ + κ = (κ + κ) =, που σημαιει οτι α β ειαι αρτιος. κ +κ= Α ο α ειαι περιττος τοτε : α = κ + 1 και β = κ + (κ ). Οποτε κ +3κ+1=μ = (κ + 1)(κ + ) = 4κ + 6κ + = (κ + 3κ + 1) = μ α β μ, που σημαιει οτι α β ειαι αρτιος αριθμος. λ - 1 Διεται η παρασταση : Α = 1 λ - λ Να βρειτε τις τιμες του λ για τις οποιες εχει οημα η παρασταση. Να βρειτε το λ ωστε ο αριθμος Α α ειαι ισος με το ατιστροφο του. Για α εχει οημα η παρασταση Α, πρεπει : λ 0 λ 0 λ 0 1 λ 1, λ - 0 (λ - 1)(λ + 1) 0 λ λ -1 Aρα Α εχει οημα για καθε λ - {-1, 0, 1}. Ειαι λ - 1 λ - 1 λ (λ - 1) λ Α = = = = 1 λ - 1 λ - (λ - 1) (λ + 1) λ + 1 λ λ Αφου λ 0 ο αριθμος Α εχει ατιστροφο. Για α ειαι ισος με το ατιστροφο του πρεπει : λ Α.Α = 1 Α = 1 = 1 λ λ + 1 = λ + λ + 1 (δεκτο). 1 λ = -

7 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 Εστω οτι ο αριθμος α ειαι αρρητος. Να δειξετε οτι και ο αριθμος 4α - 1 ειαι αρρητος. Εστω οτι ο αριθμος 4α - 1 = ρ, οπου ρ ρητος. ρ + 1 Τοτε, 4α - 1 = ρ 4α = ρ + 1 α = 4 ρ + 1 Ομως ο αριθμος ειαι ρητος οποτε και ο α ειαι ρητος. Ατοπο γιατι απ'τη υποθεση ο α 4 ειαι αρρητος. Αρα, ο αριθμος 4α - 1 ειαι αρρητος. Εστω οι αριθμοι x, y, z που ειαι ααλογοι τω αριθμω 1,,3 ατιστοιχα. Α 3x + y - z = 0 (1), τοτε α βρεθου οι αριθμοι x, y, z. Ειαι (απο τις ιδιοτητες τω ααλογιω) (1) x y z 3x y -z 3x y -z 3x + y - z 0 = = = = = = = = = = = Αρα x = 0 1 x = 0 y = 0 y = 40 Eπαληθευση : 3x + y - z = = z z = 60 = 0 3 Να παραγοτοποιηθου οι παραστασεις : A = Eιαι x x x B = (α - β) + (β - γ) + (γ - α) Να λυθει η εξισωση : (x + ) + (4x - 1) + (10-5x) = 0 x x x x x x x x x x x x Α = = (5 ) - (5 3) + (3 ) = (5 ) (3 ) = (5-3 ) x x (Η ταυτοτητα : (α - β) = α - αβ + β, με α = 5,β = 3 ) Επειδη : (α - β) + (β - γ) + (γ - α) = α - β + β - γ + γ - α = 0, τοτε B = (α - β) + (β - γ) + (γ - α) (Ισχυει : α x + y + z = 0 τοτε x Eιαι = 3(α - β)(β - γ)( γ - α) y + z 3 (x + ) + (4x - 1) + (10-5x) = 0 (αφου x + + 4x x = 0) x + = 0 3(x + )(4x - 1)(10-5x) = 0 4x - 1 = x = 0 (Ισχυει : α x + y + z = 0 τοτε x + y + z = 3xyz) = 3xyz) x = - x = 3 x =

8 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 +1 Να δειξετε οτι ο αριθμος 4 αριθμος. - 1 ειαι πολλαπλασιο του 3, α ειαι θετικος ακεραιος Ισχυει : α - β = α + α β αβ + β (1) Οποτε (1) = 4-1 =(4-1)( = 3( ) = 3κ το θετουμε κ (οπου κ θετικος ακεραιος) +1 Αρα ο αριθμος 4-1 ειαι πολλαπλασιο του 3. Πρεπει + 1 ) = x - 1 x - x Για ποιες τιμες του x οριζοται τα κλασματα Α = και Β = x(x - ) (x - 1)(x + 1) Να δειξετε οτι οι Α, Β ειαι ατιστροφοι. x(x - ) 0 x 0 και x (x - 1)(x + ) 0 x 1 και x - x - 1 x - x (x -1)(x + 1) x(x - ) ΑΒ = = = 1, αρα x(x - ) (x - 1)(x + 1) x(x - ) (x -1)(x + 1) Α,Β ατιστροφοι.

9 AΛYTΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 9 Να δειξετε οτι : το αθροισμα δυο περιττω αριθμω ειαι αριθμος αρτιος. το γιομεο δυο διαδοχικω αρτιω αριθμω ειαι αριθμος αρτιος. το γιομεο δυο διαδοχικω περιττω αριθμω ει - αι αριθμος περιττος. Περιττος : +1 Αρτιος : Διαδοχικοι : Περιττοι : -1, +1, +3 Αρτιοι: -,, + 1 λ - Διεται η παρασταση : Α = λ λ - 1 Να βρειτε τις τιμες του λ για τις οποιες εχει οημα η παρασταση. Να βρειτε το λ ωστε ο αριθμος Α α εχει ατι - στροφο το αριθμο. Εστω x, y, z oι γωιες εος τριγωου που ειαι αα - λογες τω αριθμω, 3, 4 ατιστοιχα. Να βρεθου οι γωιες του τριγωου. Εστω οτι ο αριθμος 3α - 6 ειαι αρρητος. Να δειξετε οτι και ο αριθμος α ειαι αρρητος. Να παραγοτοποιηθου οι παραστασεις : A = x x x B = (α - β) + (β - γ) + (γ - α), α α + β + γ = 0 Γ = (α - 3) + (3β - ) + (4γ - 5), α α + 3β + 4γ = 10 Να λυθει η εξισωση : (3x - 10) + (4 - x) + (6 - x) = 0 3 7x + (x ) = 64(1 + x) Πρεπει οι ποροομαστες α ειαι διαφοροι του μηδεος. α, β ειαι ατιστροφοι α: αβ = 1. Εφαρμοστε τη γωστη μεθοδο του βοηθητικου αγωστου στις ααλογιες. Εφαρμοστε απαγωγη σε ατοπο. Ισχυει : α x + y + z = 0 τοτε x + y + z = 3xyz (α + β) = α + αβ + β +1 Να δειξετε οτι ο αριθμος 5-1 ειαι πολλαπλασιο του 4, α ειαι θετικος ακεραιος αριθμος. Φερουμε τις παραστασεις στη μορφη α β και καουμε χρηση γωστω ταυτοτητω. Α z = y, α δειχτει οτι οι αριθμοι: α = x-3y+4z και β = y-x-z ειαι ατιθετοι. α και β ειαι ατιθετοι α: α+β=0

10 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 10 Δ ι α τ α ξ η Π ρ α γ μ α τ ι κ ω Α ρ ι θ μ ω Ο αριθμος α λεγεται μεγαλυτερος απ το αριθμο β, α και μοο η διαφορα α-β ειαι θετικος αριθμος (α-β > 0). Συμβολιζουμε: α > β Ο αριθμος α βρισκεται δεξιοτερα του β στο αξοα τω πραγματικω. - β α + Ο αριθμος α λεγεται μικροτερος απ το αριθμο β, α και μοο η διαφορα α-β ειαι αρητικος αριθμος (α-β < 0). Συμβολιζουμε: α < β Ο αριθμος α βρισκεται αριστεροτερα του β στο αξοα τω πραγματικω. - α β + Ι δ ι ο τ η τ ε ς Α α > β και β > γ, τοτε α > γ. Α α > β, τοτε: α ± γ > β ± γ. αγ > βγ Α γ > 0 τοτε: α > β α β > γ γ Α γ < 0 τοτε: α > β αγ < βγ. Α α > β και γ > δ, τοτε: α + γ > β + δ. Α α > β και γ > δ, τοτε: α.γ > β.δ (α,β,γ,δ θετικοι αριθμοι). * Α α,β θετικοι και, τοτε: α > β α > β ΔΕΝ αφαιρουμε- διαιρουμε κατα μελη αισοτητες Π α ρ α δ ε ι γ μ α 1. Α α+β=6 α αποδειξετε ότι: α.β 9 α +β 18 Είαι α+β=6 β=6-α (1) α.β 9 (1) α(6-α) 9 6α-α 9 α -6α+9 0 (α-3) 0, που αληθευει. α +β 18 (1) α +(6-α) 18 α +36-1α+α 18 α +36-1α+α α +18-1α 0 (α -6α+9) 0 (α -6α+9) 0 (α-3) 0, που αληθευει.. Να συγκριετε τους αριθμους: Α=α -αβ+β (α - β) και Β=. Θα ελεγξουμε τη διαφορα τω δυο αριθμω, προκειμεου α βρουμε ποιος είαι μεγαλυτερος. Είαι Α-Β = α -αβ+β (α - β) α - αβ + β - α + αβ - β α + β - = = 0 Δηλαδη, Α-Β 0 Α Β Η ισοτητα ισχυει ότα: α = β = 0.

11 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 11 Δ ι α σ τ η μ α τ α Πρακτικα διαστημα ειαι εα κομματι της ευθειας x x τω πραγματικω αριθμω δηλαδη εα συμπαγες συολο αριθμω. Τα διαστηματα οριζοται με τη βοηθεια μιας αισωσης και στο παρακατω πιακα βλεπουμε τα ειδη αυτω. αισωση διαστημα (με άκρα α, β) συμβολισμος α x β κλειστο διαστημα [α, β] α < x < β αοικτο διαστημα (α, β) α < x β αοικτο αριστερα, κλειστο δεξια (α, β] α x < β κλειστο αριστερα, αοικτο δεξια [α, β) α x κλειστο αριστερα, μη φραγμεο αω [α, + ) α < x αοικτο αριστερα, μη φραγμεο αω (α, + ) x β μη φραγμεο κατω, κλειστο δεξια (-,β] x < β μη φραγμεο κατω, αοικτο δεξια (-,β) x το συολο τω πραγματικω (-, )

12 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 Να αποδειξετε οτι : α + β α + β α + β + γ + 3 (α + β + γ) α β +, α α > 0 και β > 0 β α Ειαι 4α + 4β α + β + 4αβ α + β α + β α + β α + β + αβ 4 α + β - 4αβ 0 (α + β - αβ) 0 (α + β) 0, Ειαι α + β + γ + 3 (α + β + γ) α + β + γ + α + β + γ (α - α + ) + (β - β + 1) + (γ - γ + 1) 0 (α - 1) + (β - 1) + (γ - 1) 0, που αληθευει. Ειαι 1 3 α > 0 α β α β + αβ. + αβ..αβ α + β β > 0 β α β α που αληθευει. Ισχυει : Α α + β = και γ + δ = 4, α δειξετε οτι : αγ + βδ 3 (α - γ) 0 α - αγ + γ 0 (β - δ) 0 β - βδ + δ 0 αγ + βδ α + γ + β + δ (αγ + βδ) + 4 που αληθευει. αβ α + β - αβ 0 (α - β) 0, κ - λ Α 1 κ 4 και λ 3, μεταξυ ποιω αριθμω βρισκεται ο αριθμος ; κλ Ειαι (+) α - αγ + γ + β - βδ + δ 0 1 κ 4 1 κ 16 (1) λ 3 4 λ 9-9 -λ -4 () Απο (1) + () κατα μελη, προκυπτει : - 8 κ - λ 1 (3) κ κ 4 4 κ ( 4) λ 3 λ 3 3 λ (5) Απο (4).(5) κατα μελη, προκυπτει : 1 κλ (6) Απο (3).(6) κατα μελη, προκυπτει τελικα : -8 κ - λ 1 κ - λ κλ 3 κλ αγ + βδ 3

13 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 13 Να αποδειξετε οτι : (α + β) α - αβ + β 4 1 α α 4 α + β < 1, α α > 1 και β > αβ Ολα στο μεγαλο μελος και καταληγουμε σε κατι αληθιο. Α πολλαπλασιασουμε με θετικο αριθμο τα μελη αισοτητας, δε αλλαζει η φορα της. Α x + y = 1 και z + ω = 5, α δειξετε οτι : xz + yω 3 Α 1 α και 3 β 4, μεταξυ ποιω αριθ - μω βρισκοται οι παραστασεις : α + β α + β α - β αβ α +β β A 3α < β α αποδειξετε οτι : α < < 4 3 Α α,β,γ > 0, τοτε α δειξετε οτι : α +1 α (α +1)(β +1)(γ +1) 8αβγ Να δειξετε οτι: α - 4α+5 > 0 β +6β+11 > 0 Α α>β>γ τότε α δείξετε ότι : (α-β)(β-γ)(γ-α) < 0 Ισχυει: (α-β) = α -αβ + β και (α-β) 0 Προσθεση κατα μελη τω δοσμεω αφου τις μετασχηματισουμε καταλληλα. Προσθετουμε διαδοχικα α και β στη δοσμεη σχεση και... Ολα στο πρωτο μελος για τη πρωτη και... Για τη δευτερη χρησιμοποιουμε τη πρωτη και... Μετασχηματιζω το α μελος σε αθροισμα θετικω και... Βρειτε το προσημο τω διαφορω με τη βοηθεια της δοσμεης σχεσης και...

14 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 14 Α π ο λ υ τ η Τ ι μ η Ορισμος Για κάθε πραγματικο αριθμο α οριζουμε τη απολυτη τιμη του ως: α = α α α 0 -α α α < 0 Σ υ ε π ε ι ε ς Ο ρ ι σ μ ο υ α 0, η απολυτη τιμη του α είαι μη αρητικος αριθμος. - α α α α = α, -α = α, α v = αβ = α. β α α = β β α - β α±β α + β α < β α²< β² α + β =0 α=0 και β=0 Α θ > 0 ισχυου: 1. x < θ -θ < x < θ v α, α =α με β 0. x > θ x < -θ η x > θ x = ± θ α θ > 0 η εξισωση x =θ x = 0 α θ = 0 αδυατη α θ < 0 Α Α(α,0) και Β(0,β) σημεια του x x τοτε d(α,β)= a-β. Α θ > 0 τοτε x < θ - θ < x < θ x <θ x <θ x <θ x -θ <0 (x+θ)(x-θ)<0 (x-θ< x+θ) x + θ > 0 x > - θ - θ < x < θ x - θ < 0 x < θ Α θ > 0 τοτε x > θ x < - θ η x > θ x > θ x > θ x > θ x -θ > 0 (x+θ)(x-θ)>0 x + θ < 0 x + θ > 0 x < -θ x > -θ η η x < - θ η x > θ x - θ < 0 x - θ > 0 x < θ x > θ α+β α + β α+β α + β α+β ( α + β ) (α+β) α + α β + β α +αβ+β α + αβ +β αβ αβ αβ αβ που αληθευει. Σημειωση: Η ισοτητα ισχυει α οι α,β ειαι ομοσημοι.

15 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 15 Για x και ρ > 0, ισχυει : 0 x - x < ρ x (x - ρ,x + ρ) x - ρ < x < x + ρ Οι αριθμοι x που ικαοποιου τη σχεση x - x < ρ ειαι τα σημεια του διαστηματος (x - ρ,x + ρ) που εχει κετρο το x και ακτια ρ ρ μοαδες d(x,x ) ρ μοαδες ο xο -ρ x x ο xο -ρ x' Στη περιπ 0 x τωση που x = 0, ειαι : x < ρ x (-ρ,ρ) - ρ < x < ρ 0 Για x και ρ > 0, ισχυει : 0 x - x > ρ x (-,x - ρ)u (x + ρ,+ ) x < x - ρ η x > x + ρ Οι αριθμοι x που ικαοποιου τη σχεση x - x > ρ ειαι τα σημεια Μ(x) του αξοα x'x που απεχου απ'το σημειο Κ(x ) αποσταση μεγαλυτερη του ρ. x' 0 d(x,x ο) ρ μοαδες ρ μοαδες x xο -ρ x ο xο -ρ Στη περιπτωση που x = 0, ειαι : x > ρ x < - ρ η x > ρ 0 x 0

16 Να αποδειξετε οτι : ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 16 α + β Α α < 1 και β < 1, τοτε : < αβ Α α - 1 < και β - < 3, τοτε : α - β < 6 Ειαι Ετσι α < 1 α < 1 α < 1 α - 1 < 0 β < 1 β < 1 β < β > 0 α + β α + β < 1 < 1 α + β < 1 + αβ α + β < 1 + αβ 1 + αβ 1 + αβ (α + β) < (1 + αβ) α + β + αβ < 1 + αβ + α β α +β α β < 0 α (1 - β ) - (1 - β ) < 0 (1 - β )(α - 1) < 0, που αληθευει λογω της (1). Ειαι α - 1 < - < α - 1 < < α < < α < 3 β - < 3-3 < β - < < β - + < < β < 5-1 < α < 3-1 < α < 3 (+) 4< 6-6 < α - β < 4-6 < α - β < 6 α - β < 6. 1 > -β > -5-5 < -β < 1 Να απλοποιηθει η παρασταση : Α = 3 α - β + 5 β - α - α + β + α - β, α α > β > 0. Να υπολογιστου οι τιμες του ακεραιου α, α : α - 5 = 5 - α και α - 3 = α - 3. Ειαι α > β α - β > 0 β < α β - α < 0 α > 0 α > 0 (+) α > 0 α > 0 (+) α + β > 0 α - β > 0 β > 0 β > 0 α > β α - β > 0 Ετσι, η παρασταση Α γιεται : Α = 3(α - β) + 5[-(β - α)] - (α + β) + (α - β) = 3α - 3β - 5β + 5α - α - β + α - β = 9α - 11β Αφου α < 5 3 α - 5 = 5 - α α - 5 < 0 α < 5 τοτε 3 α - 3 = α - 3 α α α ακεραιος Αρα οι τιμες του α ειαι :, 3 και 4. (1)

17 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 17 Να αποδειξετε οτι : α β Α αβ 0, τοτε : + β α Α α και β + 1, τοτε : α - β 4 α α Ισχυει: = για αβ 0 β β και... Βρειτε πρωτα μεταξυ ποιω αριθμω βρισκοται οι α και β και... Να αποδειξετε οτι : 1 - α β = α - β, α α < 1 < β. 1 - α + - β γ = 6 + α + β + γ, α α < β < γ < 0. Να υπολογιστει η τιμη του ακεραιου α, α : 3α - 7 = 3α - 7 και α - 8 = 8 - α. Βρειτε το προσημο τω παραστασεω μεσα στα απολυτα και... Χρησιμοποιειστε το ορισμο της απολυτης τιμης και...

18 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 18 Ρ ι ζ ε ς Ορισμος Για κάθε θετικο πραγματικο αριθμο α και θετικο ακεραιο αριθμο, υπαρχει μοαδικος θετικος πραγματικος αριθμος x τετοιος ώστε x =α. Ο αριθμος x οομαζεται θετικη ιοστη ριζα του α και συμβολιζεται α Δηλαδη: Ιδιοτητες x =α x = * α με α,x 0 + μ μ α = α α β = αβ μ ( α ) = α Αποδειξη μ α = β α β. α = α α β = α μ μ α = α α = Α α 0 και β 0 τοτε α.β = α. β α.β = αβ α. β = α. β = αβ Αρα α.β = α. β οποτε και α.β = α. β Α α 0 τοτε μ α = μ μ α μ α = α μ μ μ Αρα μ μ μ μ α = α = α = α μ μ α = α οποτε και α = α Π α ρ α δ ε ι γ μ α Να γραψετε χωρις ριζες τη παρασταση : 3 - μ 3 - = = = (1 - ) = 1 - = - 1 Να βρεθει η τιμη της παραστασης : = = = Ε.Κ.Π.(, 3, 6) = 6, οποτε = = = 0 μ α μ β =. 4 3 =. =.. = = ( ) = = Να γραψετε με ρητο παροομαστη τη παρασταση : =. = = = = ( 3 - )( 3 + ) ( 3) - ( ) 1 = Να γραψετε με τη βοηθεια μιας ριζας τη παρασταση : =. = = = = = 8

19 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 19 Να βρεθει η τιμη της παραστασης : 3 6 Α = Ειαι 8 = 4. = 4. = = - = ( ) = ( - 1) = - 1 = = - 1, αφου > 1 45 = 9.5 = 9. 5 = =.. = Οποτε η παρασταση γιεται.. =.. = = ( ) = Α = ( - 1) = = 6 Να βρεθει για ποια x οριζεται η παρασταση : 3 Α = 5- x - + x -x Nα γραψετε, με τη βοηθεια μιας ριζας, τη παρασταση : 4 3 Β = Να συγκριετε τους αριθμους : Για α οριζεται η παρασταση Α, πρεπει : 5- x - 0 x x - 5 x -x 0 x x x x, αληθευει για καθε x x x 7 Ειαι = = = = 5 5 Εστω : + 1 > 5-1 (1) Ειαι 5 > 5 > 5 - > 0 () Οποτε η (1) () + 1 > < ( 5 - ) < < 4 10 > 3 ( 10) > > 9 40 > 9, που αληθευει. Αρα + 1 > 5-1

20 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 0 Να μετατραπου οι παραστασεις σε ισοδυαμες με ρητο παροομαστη : 3 Α = Β = Γ = Ειαι 3 Α = = = = = = Ειαι ( 5 + 3) Β = = 5-3 ( 5-3) ( 5 + 3) ( 5 + 3) = = Ειαι 3 ( 5) ( 3) = 5-3 ( ) ( 3 5) ( 3 3) 3 3 Γ = = ( 5 + 3) ( 5 + 3) = = = ( 5) - ( 3) 5-3 ( 5) ( 3) ( 5) ( 3) = = = 3 ( 5) - ( 3) 5-3 ( 5) ( 3) 3 = = ( 5) ( 3) =

21 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 Να βρεθει η τιμη τω παραστασεω : Α = ( )( 63-48) 3 Β = ( ) 3 Γ = ( ) : 8 Mετατρεψτε σε καταλληλα γιομεα τα υπορριζα και... Να καετε πραξεις μεταξυ τω ριζω και... Δ = Ε = Ζ = Να βρεθει για ποια x οριζεται η παρασταση : Α = x x - -4 Nα γραψετε, με τη βοηθεια μιας ριζας, τη παρα - σταση : Β = Γ = Να συγκριετε τους αριθμους : Να μετατραπου οι παραστασεις σε ισοδυαμες με ρητο παροομαστη : α α - 1 Α = Β = Γ = 5 4 α 0, 0016 α - 1 α - β 1 - α α - 1 Δ = Ε = Ζ = α + β 1 + α α - 1 α - β 1 3 Η = Θ = Ι = 3 3 α - β Το υπορριζο ειαι μη αρητικος αριθμος και... Χρησιμοποιειστε τη ιδιοτητα: μ μ α = α και... Θεωρειστε το εα μεγαλυτερο απ το αλλο και... Πολλαπλασιαστε με καταλληλη παρασταση, αριθμητη και παροομαστη, ωστε α προκυψει οπαροομαστης ρητος. Καετε χρηση δυαμεω και ταυτοτητω.

Α. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ

Α. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑ Κεφάλαιο o : Αλγεβρικές Παραστάσεις Υποεότητα.: Πράξεις µε πραγµατικούς αριθµούς (Επααλήψεις- Συµπληρώσεις) Θεµατικές Εότητες:. Οι πραγµατικοί αριθµοί και οι πράξεις τους.. υάµεις πραγµατικώ αριθµώ..

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Θεωρία - Μέθοδοι

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Θεωρία - Μέθοδοι Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχολογική Κατεύθυση Θεωρία - Μέθοδοι ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Μάθημα ο ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Η εξίσωση x δε έχει λύση στο σύολο τω πραγματικώ αριθμώ, αφού

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.2 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Σύμφωα με το ορισμό του R, η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός δύο μιγαδικώ αριθμώ γίοται όπως ακριβώς και οι ατίστοιχες πράξεις με διώυμα α + βx στο, όπου βέβαια ατί για

Διαβάστε περισσότερα

στους μιγαδικούς αριθμούς

στους μιγαδικούς αριθμούς Πράξεις στους μιγαδικούς αριθμούς Πρόσθεση μιγαδικώ αριθμώ Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία α) ) Πώς γίεται η πρόσθεση δύο μιγαδικώ αριθμώ; ) Ποια είαι η γεωμετρική ερμηεία του αθροίσματος δύο μιγαδικώ;

Διαβάστε περισσότερα

1. Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών

1. Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών Το σύολο τω μιγαδικώ αριθμώ Γωρίζουμε ότι η εξίσωση δε έχει λύση στο σύολο τω πραγματικώ αριθμώ Για α ξεπεράσουμε αυτή τη αδυαμία «μεγαλώσαμε» το σύολο και δημιουργήσαμε το σύολο, έτσι, ώστε α έχει τις

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί είναι αυτοί που έχουν (ή μπορεί να πάρουν) κλασματική μορφή,

Ρητοί αριθμοί είναι αυτοί που έχουν (ή μπορεί να πάρουν) κλασματική μορφή, ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Οι αριθμοί 0,1,,,4, είναι οι Φυσικοί αριθμοί. Οι Φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίθετούς τους αποτελούν τους Ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή ακέραιοι είναι οι αριθμοί,-,-,-1,0,1,,,

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικών αριθµών. Μιγαδικό επίπεδο. Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικών αριθµών.

Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικών αριθµών. Μιγαδικό επίπεδο. Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικών αριθµών. Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικώ αριθµώ Μιγαδικό επίπεδο Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικώ αριθµώ Η προσπάθεια επιλύσεως εξισώσεω 3 ου βαθµού ( ax 3 βx γx δ 0) πραγµατικούς συτελεστές

Διαβάστε περισσότερα

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0.

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0. Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικώ αριθµώ Μιγαδικό επίπεδο Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικώ αριθµώ ax 3 + β x + γ x+ δ = 0 Η προσπάθεια επιλύσεως εξισώσεω 3 ου βαθµού ( ) και δευτεροβαθµίω

Διαβάστε περισσότερα

+ + = + + α ( β γ) ( )

+ + = + + α ( β γ) ( ) ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Αριθµητική παράσταση Αριθµητική παράσταση λέγεται µια σειρά αριθµώ που συδέοται µεταξύ τους µε πράξεις. Η σειρά τω πράξεω σε µια αριθµητική παράσταση είαι η εξής: 1. Υπολογίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει : ! + 2 2! + 3 3! + +ν ν! = (ν + 1)!

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει : ! + 2 2! + 3 3! + +ν ν! = (ν + 1)! ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ισχύει : 1 + 1 1! +! +! + +! = ( + 1)!. Να αποδείξτε ότι 6 10 [ ( 1) ] = ( + 1) ( + ) ( + ) (), για κάθε θετικό ακέραιο.. Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

1.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 67.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Οομάζουμε ταυτότητα κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και επαληθεύεται για όλες τις τιμές τω μεταβλητώ αυτώ. Τετράγωο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

0..1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

0..1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Εισαγωγικό Κεφάλαιο: Ρητοί Αριθµοί ΜΑΘΗΜΑ 0 Υποεότητα 1: Βασικές Επααληπτικές Έοιες (Επααλήψεις-Συµπληρώσεις) Θεµατικές Εότητες: 1. Ρητοί αριθµοί-βασικές επααληπτικές έοιες.. Πρόσθεση ρητώ αριθµώ. 3. Άθροισµα

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών Κεφάλαιο 1 ο 45 Β. Δυάμεις πραγματικώ αριθμώ Α έχουμε έα γιόμεο της μορφής (-) (-) (-) (-) όπου κάθε παράγοτας είαι (δηλαδή ο ίδιος ο αριθμός) μπορούμε α το συμβολίσουμε με μια πιο απλή μορφή : (-) 4.

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 2014 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 2014 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Τι λέγεται δειγματικός χώρος εός πειράματος τύχης. Το σύολο τω δυατώ αποτελεσμάτω λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμολίζεται συήθως με το γράμμα Ω. Α δηλαδή ω 1,ω 2,...,ω κ είαι τα δυατά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεων

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεων ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεω 1 Α. ΜΕΡΟΣ :ΘΕΩΡΙΑ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ C ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Γωρίζουμε ότι η δευτεροβάθμια εξίσωση με αρητική διακρίουσα δε έχει λύση στο σύολο R τω πραγματικώ

Διαβάστε περισσότερα

(πολλδ β) = πολλδ + ( 1) ν β ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ ΚΩΣΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΘΟ ΙΚΟ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

(πολλδ β) = πολλδ + ( 1) ν β ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ ΚΩΣΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΘΟ ΙΚΟ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ Ορισµός: Λέµε ότι ο ακέραιος β 0διαιρεί το ακέραιο α και γράφουµε β/α, ότα η διαίρεση του α µε το β είαι τέλεια, δηλαδή υπάρχει κ Z τέτοιος ώστε α = κ β. Συµβολίζουµε ότι α = πολβ. Α ο β δε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ. 1. Τι ονομάζουμε σύνολο Μιγαδικών Αριθμών; Τι ονομάζουμε πραγματικό μέρος - φανταστικό μέρος ενός μιγαδικού αριθμού z = α + βi.

ΘΕΩΡΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ. 1. Τι ονομάζουμε σύνολο Μιγαδικών Αριθμών; Τι ονομάζουμε πραγματικό μέρος - φανταστικό μέρος ενός μιγαδικού αριθμού z = α + βi. ΘΕΩΡΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Τι οομάζουμε σύολο Μιγαδικώ Αριθμώ; Τι οομάζουμε πραγματικό μέρος - φαταστικό μέρος εός μιγαδικού αριθμού α + βi. Σύολο τω μιγαδικώ αριθμώ οομάζουμε έα υπερσύολο τω

Διαβάστε περισσότερα

(Καταληκτική ημερομηνία αποστολής 15/11/2005)

(Καταληκτική ημερομηνία αποστολής 15/11/2005) η Εργασία 005-006 (Καταληκτική ημερομηία αποστολής 5//005) Άσκηση (0 μοάδες). (α) Δείξτε αλγεβρικά πώς βρίσκοται δύο διαύσματα A και B, εά είαι γωστά το άθροισμά τους S και η διαφορά τους D (β) Βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Φ: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 0-0 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ - ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

R={α/ αρητός ή άρρητος αριθμός }

R={α/ αρητός ή άρρητος αριθμός } o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ Οι ρητοί και οι άρρητοι αριθμοί λέγονται πραγματικοί αριθμοί. Το σύνολο που περιέχει όλους τους πραγματικούς αριθμούς λέγεται σύνολο των πραγματικών αριθμών και συμβολίζεται με R.

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2 Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΙΔΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ( ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ): i. αχ=β µε α 0 έχει µία λύση ii. 0χ=β µε β 0 αδύατη εξίσωση ( καµία λύση ) iii. 0χ=0 αόριστη εξίσωση ( άπειρες λύσεις ) ΕΙΔΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ (ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ

Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Με πολυ μερακι Για τους μικρους φιλους μου Τακης Τσακαλακος Κερκυρα

Διαβάστε περισσότερα

με μ,ν ακέραιους και ν 0 και δημιουργήθηκε το σύνολο Q ( ρητοί). Το σύνολο Ζ επεκτάθηκε με την προσθήκη αριθμών της τύπου

με μ,ν ακέραιους και ν 0 και δημιουργήθηκε το σύνολο Q ( ρητοί). Το σύνολο Ζ επεκτάθηκε με την προσθήκη αριθμών της τύπου ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΚΑΙ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Η ΑΛΓΕΒΡΑ ασχολείται με τους αριθμούς και τις μεταξύ τους σχέσεις Οι φυσικοί αριθμοί (συμβολίζονται με το γράμμα Ν) Ν={ 1,,3 }επινοήθηκαν από τον

Διαβάστε περισσότερα

Α. Οι Πραγματικοί Αριθμοί

Α. Οι Πραγματικοί Αριθμοί ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Οι Πραγματικοί Αριθμοί Α1 Να τοποθετήσετε σε φθίουσα σειρά τους αριθμούς: 01 0 15, 0 15,, 01 5 5 A Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης 4 1 A Να ρεθού το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος

Διαβάστε περισσότερα

Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π.

Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π. ΜΕΡΟΣ Α : Α Λ Γ Ε Β ΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και πράξεις τους 1. Γράψε τα βασικότερα σύνολα τιμών: Aπάντηση Ν{0,1,,,4,5,6,..+

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ Η έννοια του µιγαδικού αριθµού Πράξεις

ΜΑΘΗΜΑ Η έννοια του µιγαδικού αριθµού Πράξεις ΜΑΘΗΜΑ.. Η έοια του µιγαδικού αριθµού Πράξεις Θεωρία - Σχόλια - Μέθοδοι - Ασκήσεις α + βi - i α + βi i (β - αi ) ΘΕΩΡΙΑ. Ύπαρξη του i εχόµαστε ότι υπάρχει αριθµός i, µε τη ιδιότητα φαταστική µοάδα. i,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ= = = = = = Α =ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ= = = = = = Α =ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΓΕΒΡΑ Α ΥΚΕΙΟΥ ΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΚΗΕΙ ΘΕΩΡΙΑ. Οι πράξεις και οι ιδιότητες τους Αν α, β, γ, δ πραγματικοί αριθμοί τότε ισχύουν οι ιδιότητες : α = β Û α + γ = β + γ Αν γ ¹ 0, α = β Û αγ = βγ αβ = 0 Û α

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» 1 2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ιδιότητες των πράξεων Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και με την οήθειά τους η αφαίρεση και η διαίρεση. Για

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 015 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 0. ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Περιεχόμεα 0. ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ... 1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ... 5. ΕΥΚΛΕΙΔΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ... 1. ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ... 1 4 ΜΕΓΙΣΤΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει:

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

5.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C

5.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C 5 55 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C Εισαγωγή Η επίλυση τω εξισώσεω ου και 4ου βαθμού, η ααγκαστική επαφή με τους μιγαδικούς αριθμούς για τη έκφραση τω πραγματικώ ριζώ και η εξέλιξη του αλγεβρικού λογισμού

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 016-017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΡΗΤΟΙ λέγονται οι αριθµοί : ΟΙ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΙ αριθµοί είναι :. ΑΡΡΗΤΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

8. Να λυθεί η εξίσωση : 10 3 x= Αν ν είναι φυσικός αριθμός, τότε να υπολογίσετε την παράσταση: Α=(-1) ν +3(-1) ν+1-3(-1) 3ν+1.

8. Να λυθεί η εξίσωση : 10 3 x= Αν ν είναι φυσικός αριθμός, τότε να υπολογίσετε την παράσταση: Α=(-1) ν +3(-1) ν+1-3(-1) 3ν+1. Α. ΔΥΝΑΜΕΙΣ. Να γράψετε σε απλούστερη μορφή τις παραστάσεις: α.α.α = 5 : = (-).(-) - = (-0,) 5.(-0,5) 5 = α -.(α ) -.α. Υπολογίστε τις παραστάσεις (i) (ii) (-).(-0,5) - (iii) (0,) : (-0). Να γίνουν οι

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 1. Α. Να βρεθού οι κ,λ R για τους οποίους είαι ίσα τα πολυώυµα ( λ + 1) x ( κ ) x λ + 1 (x) = και Q(x) = κx λx + κ Β. Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς α, β, γ R για τους

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ κ Για α βρούµε τη δύαµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωα µε τη ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ και υ = 0,,, οπότε i κ 4ρ+

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B 113 Θέματα εξετάσεω περιόδου Μαΐου-Ιουίου στα Μαθηματικά Τάξη B! 114 a. Να διατυπώσετε το ορισμό της δύαμης α με βάση το ρητό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό > 1. b. Να συμπληρωθού οι παρακάτω τύποι, δυάμεις

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να γωρίζει τη έοια της ακολουθίας, τους τρόπους που ορίζεται, τις διαφορές της από μία συάρτηση. Να γωρίζει τους ορισμούς της αριθμητικής και γεωμετρικής

Διαβάστε περισσότερα

Διάταξη Πραγματικών Αριθμών. Έστω α, β πραγματικοί αριθμοί. Τι σχέση μπορεί να έχουν αυτοί οι αριθμοί; Μπορεί, να είναι ίσοι: Να είναι άνισοι, δηλαδή:

Διάταξη Πραγματικών Αριθμών. Έστω α, β πραγματικοί αριθμοί. Τι σχέση μπορεί να έχουν αυτοί οι αριθμοί; Μπορεί, να είναι ίσοι: Να είναι άνισοι, δηλαδή: Διάταξη Πραγματικών Αριθμών Έστω α, β πραγματικοί αριθμοί. Τι σχέση μπορεί να έχουν αυτοί οι αριθμοί; Μπορεί, να είναι ίσοι: α=β ή Να είναι άνισοι, δηλαδή: Πρόσθεση πραγματικών αριθμών Αν α, β ομόσημοι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος

Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος Μία συάρτηση α µε πεδίο ορισµού το Ν * λέγεται ακολουθία και συµβολίζεται µε (α ) δηλ. a : N * R : α = α( ) Ο α 1 λέγεται πρώτος όρος της ακολουθίας, ο α δεύτερος

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α - Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α - Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 1. Φυσικοί αριθμοί : Ν = {0,1,,3,4,...}. Ακέραιοι αριθμοί : Ζ = {...-4,-3,-,-1,0,1,,3,4,...} 3. Ρητοί αριθμοί : Q = { ì í, μ Ζ, ν Ζ* } Σημ. Το σύνολο Q των ρητών αριθμών ταυτίζεται με

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία

Διαβάστε περισσότερα

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B 113 Θέματα εξετάσεω περιόδου Μαΐου-Ιουίου στα Μαθηματικά Τάξη B! taexeiola.blogspot.com 6 ο ΥΜΝΑΣΙΟ ΡΟΔΟΥ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, ΤΑΞΗ Β' ΥΜΝΑΣΙΟΥ, ΡΟΔΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΕΤΡΟ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ Για α υπολογίσουμε δυάμεις με ακέραιο εκθέτη σε παράσταση με i χρησιμοποιούμε γωστές ταυτότητες και έχουμε υπόψη ότι: i. v v- = με ακέραιο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ. Η ΕΞΙΣΩΣΗ αx+β=0

ΑΛΓΕΒΡΑ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ. Η ΕΞΙΣΩΣΗ αx+β=0 Η ΕΞΙΣΩΣΗ α+β=0 εξισώσεις πρώτου βαθμού. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) 5 ( ) = ( ) β) 8( ) ( ) = ( + ) 5(5 ) γ) (5 ) ( ) = ( + ) δ) (-)-(-)=7( -)-(+). Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: 5 α) β) 8

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν μπροστα" (αριστερα") απο" ε"ναν αριθμο" γραφει" το συ"μβολο + το"τε ο αριθμο"ς

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 Α ν ι σ ω σ η 1 ο υ β α θ μ ο υ 3. Να δειχτει οτι α + 110 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Μορφη: αx + β > 0 με α,β. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ Αν α > 0

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; αx + βy = γ

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; αx + βy = γ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γραμμικη εξισωση με δυο αγνωστους λεγεται καθε εξισωση της μορφης: 3. Να δειχτει οτι α + α. Ποτε ισχυει το ισον; α + β = γ Λυση της πιο. Aν πανω α, β εξισωσης θετικοι, να ειναι συγκρινεται καθε

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος)

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) 1. Πως προσθέτουμε δυο πραγματικούς αριθμούς; Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμά

Διαβάστε περισσότερα

2.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ R

2.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ R ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 5 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ R Εισαγωγή Η επίλυση τω εξισώσεω ου και 4ου βαθμού, η ααγκαστική επαφή με τους μιγαδικούς αριθμούς για τη έκφραση τω πραγματικώ ριζώ και η εξέλιξη του αλγεβρικού

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Α.. Α.. Α.. A.4. Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηία:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ. 0 : Παραγοντοποιώ αριθµητή και παρονοµαστή και διώχνω τους παράγοντες x, x 0 που προκύπτουν.

ΟΡΙΑ. 0 : Παραγοντοποιώ αριθµητή και παρονοµαστή και διώχνω τους παράγοντες x, x 0 που προκύπτουν. ΟΡΙΑ Πηλίκα πολυωυµικώ µε µορφή 0 0 : Παραγοτοποιώ αριθµητή και παροοµαστή και διώχω τους παράγοτες, 0 που προκύπτου Περιπτώσεις µε ρίζες µορφής 0 0 Περιπτώσεις στις οποίες χρειάζεται α πολλαπλασιάσω µε

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: την αποδεικτική μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για την οποία πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η αλήθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Η παραπάνω ιδιότητα γενικεύεται και για περισσότερους από δύο πραγµατικούς αριθµούς. Έτσι έχουµε: αβγ α β γ = β β. d a β = α

Η παραπάνω ιδιότητα γενικεύεται και για περισσότερους από δύο πραγµατικούς αριθµούς. Έτσι έχουµε: αβγ α β γ = β β. d a β = α ΑΜΥΡΑ ΑΚΗ 0, ΝΙΚΑΙΑ ΤΗΛ:0-903576 e-mail : tetrakti@ otenet.gr γρήγορα&εύκολα www.tetraktis.gr ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΜΑΘ Α0 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ Τυπολόγιο - Μεθοδολογία. Ορισµός: Έστω α έας πραγµατικός

Διαβάστε περισσότερα

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων 4ο Κεφάλαιο 9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμοί Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής ν αx όπου α R, * ν N και x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. (Πρόοδοι) ΠΡΟΟΔΟΙ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. (Πρόοδοι) ΠΡΟΟΔΟΙ ΠΡΟΟΔΟΙ Οι πρόοδοι αποτελού µια ειδική κατηγορία τω ακολουθιώ και είαι τριώ ειδώ : αριθµητικές, αρµοικές και γεωµετρικές. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΔΟΙ (ΘΕΩΡΙΑ) Ορισµός Μια ακολουθία αριθµώ α, α,, α, α +, θα λέµε

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ TΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Ο ρ ι σ μ ο ι. Να δειχτει οτι α + α. Ποτε ισχυει το ισον; Ονομαζουμε ημx την τεταγμενη π/ του Μ (εντονο. Aν μπλε) α, β θετικοι, να συγκρινεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ. Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ. Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ 1)Ποιοι αριθμοί ονομάζονται άρτιοι και ποιοι περιττοί ; Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι που δεν διαιρούνται

Διαβάστε περισσότερα

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της.

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της. ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α.1.2 1. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι οι εξής : Αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ. α+β=β+α Προσετεριστική ιδιότητα π.χ. α+β+γ=(α+β)+γ=α+(β+γ) 2.Η πραξη της αφαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο.. Οι πράξεις πρόσθεση κι πολλπλσισµός κι οι ιδιότητές τους. Πρόσθεση Πολλπλσισµός Ιδιότητ.. Ατιµετθετική (γ)()γ (γ)()γ Προσετιρική (γ)γ Επιµεριστική 0. Ουδέτερο

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον;

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; EΞΙΣΩΣΕΙΣ Ε ξ ι σ ω σ η ο υ β α θ μ ο υ 3. Να δειχτει οτι α + 0 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Εστω η εξισωση: α+β=0 () Λυση η ριζα. της Aν εξισωσης α, β θετικοι λεγεται, να συγκρινεται κάθε τιμη τους του πραγματικου

Διαβάστε περισσότερα

1. [0,+ , >0, ) 2. , >0, x ( )

1.  [0,+   ,      >0,   ) 2. ,    >0,  x   ( ) Σελίδα 1 από 5 ΝΙΟΣΤΕΣ ΡΙΖΕΣ ΤΑ ΣΥΜΒΟΛΑ α, α ΣΧΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ του Ατώη Κυριακόπουλου 1 ΡΙΖΕΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R = [, ) Θεώρηµα και ορισµός οθέτος, εός πραγµατικού αριθµού α και εός φυσικού αριθµού >, υπάρχει έας

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ. Εισαγωγή

4.3 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ. Εισαγωγή 49 43 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ Εισαγωγή Στα Στοιχεία του Ευκλείδη, βιβλία VII, VIII και IX (περίπου 300 πχ), οι θετικοί ακέραιοι παριστάοται ως ευθύγραμμα τμήματα και η έοια της διαιρετότητας συδέεται άμεσα με τη

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΕΡΟΣ 2ο Γυμνάσιο

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΕΡΟΣ 2ο Γυμνάσιο ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΕΡΟΣ 2ο υμάσιο 164 1 α. Τι λέμε -οστή δύαμη εός αριθμού α; β. Ορισμοί και ιδιότητες τω δυάμεω. Κατασκευάστε ορθογώιο τρίγωο ΑΒ α. ράψτε το πυθαγόρειο θεώρημα και τη σχέση που το εκφράζει

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι κλάσμα; Κλάσμα είναι ένα μέρος μιας ποσότητας. ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κλάσμα είναι ένας λόγος δύο αριθμών(fraction is a ratio of two whole numbers) Πως εκφράζετε συμβολικά ένα κλάσμα; Εκφράζετε

Διαβάστε περισσότερα

Βασικά-Ορισμοί Ιδιότητες Ανισοταυτότητες Διαστήματα. Ανισότητες. Κώστας Κυρίτσης. 1ο ΓΕΛ Ν.Ηρακλείου. 17 Νοεμβρίου

Βασικά-Ορισμοί Ιδιότητες Ανισοταυτότητες Διαστήματα. Ανισότητες. Κώστας Κυρίτσης. 1ο ΓΕΛ Ν.Ηρακλείου. 17 Νοεμβρίου .. 1ο ΓΕΛ Ν.Ηρακλείου 17 Νοεμβρίου 2013 . Βασικές προτάσεις Αν α, β πραγματικοί αριθμοί τότε ισχύει πάντοτε αβ . Βασικές προτάσεις Αν α, β πραγματικοί αριθμοί τότε ισχύει πάντοτε α

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Θεσσαλονίκης Α Γυμνασίου Ακέραιοι Αριθμοί -Η ευθεία των αριθμών

1 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Θεσσαλονίκης Α Γυμνασίου Ακέραιοι Αριθμοί -Η ευθεία των αριθμών κέραιοι ριθμοί -Η ευθεία των αριθμών κέραιοι αριθμοί είναι οι φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίστοιχους αρνητικούς αριθμούς. Τα σύμβολα «+» και «-» που γράφονται μπροστά από τους αριθμούς λέγονται πρόσημα.

Διαβάστε περισσότερα

Νίκος Καζαντζάκης (Από τον πρόλογο του Καπετάν Μιχάλη )

Νίκος Καζαντζάκης (Από τον πρόλογο του Καπετάν Μιχάλη ) Η ψυχή του αθρώπου γίεται πατοδύαμη, ότα συεπαρθεί από μια μεγάλη ιδέα Τρομάζεις ότα ύστερα από πικρές δοκιμασίες, καταλάβεις πως μέσα μας υπάρχει μια δύαμη που μπορεί α ξεπεράσει τη δύαμη του αθρώπου

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ 9o ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ είναι τέλεια, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = (1 + i) v - (1 - i) v. 15. Αν z μιγαδικός και f (ν) = i

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ 9o ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ είναι τέλεια, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = (1 + i) v - (1 - i) v. 15. Αν z μιγαδικός και f (ν) = i Να βρεθού οι πραγματικοί αριθμοί κ,λ για τους οποίους οι μιγαδικοί = 4 κ + λ + 7 κ και w = 7 (λ ) α είαι ίσοι Να βρεθού οι κ, λr ώστε ο = (8κ + κ) + 4λ + ( ) α είαι ίσος με το μηδέ Να βρείτε για ποιες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Οι Πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι είναι οι πραγματικοί αριθμοί ; Ποιοι είναι οι

Διαβάστε περισσότερα

5.3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ

5.3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 5. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται γεωµετρική πρόοδος, α και µόο α κάθε όρος της προκύπτει από το προηγούµεό του µε πολλαπλασιασµό επί το ίδιο πάτοτε µη µηδεικό αριθµό.. Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 77 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 12 Νοεμβρίου 2016 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ˆ ΑΔΒ.

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 77 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 12 Νοεμβρίου 2016 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ˆ ΑΔΒ. Τηλ 361653-3617784 - Fax: 364105 Tel 361653-3617784 - Fax: 364105 1 Νοεμβρίου 016 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Να υπολογίσετε τη τιμή της αριθμητικής παράστασης: ( ) ( 5) ( ) 3 3 3 0 15 8 3 Α= + + 3 5 3 9 Πρόβλημα Δίεται

Διαβάστε περισσότερα

Δοκιμασίες πολλαπλών επιλογών

Δοκιμασίες πολλαπλών επιλογών Δοκιμασίες πολλαπλών επιλογών ) Η απόλυτη τιμή θετικού αριθμού είναι: Α. Ο αντίθετός του Β. Ο ίδιος ο αριθμός Γ. Ο αντίστροφός του 2) Αν x =3, τότε Α. x=3 Β. x 0 Γ. x=-3 Δ. x=3 ή x=-3 3) Με το -x συμβολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΚΔΟΣΕΩΝ «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ» y y=x 2 y=(x-2) 2 y=(x-2) 2-1 0 1 2 3 x -1 Τόμος 2ος Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. ικανοποιούν την ανίσωση 2x 3 < 11; (E) µεταξύ των απαντήσεων Α D δεν υπάρχει

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. ικανοποιούν την ανίσωση 2x 3 < 11; (E) µεταξύ των απαντήσεων Α D δεν υπάρχει ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. Αν α =β, τότε η τιµή της παράστασης κ= α β +β α είναι: ( ) 4 ( Β )0, ( )4 δίνονται. Α, C, ( D ), (Ε) δεν µπορεί να προσδιοριστεί από τις πληροφορίες που. Πόσα στοιχεία του συνόλου { 5,,0,4,6,7}

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ Α Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Όπως γνωρίζουμε, το σύνολο των φυσικών αριθμών Ν είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η

ΑΛΓΕΒΡΑ Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η ΑΛΓΕΒΡΑ Τα ςημαντικότερα ςημεία τησ θεωρίασ Ερωτήςεισ εμπζδωςησ- απαντήςεισ Μεθοδολογία αςκήςεων Προτεινόμενεσ αςκήςεισ του βιβλίου - διεξοδική ανάλυςη των λφςεων (ςκζψη-βήματα-επεξήγηςη

Διαβάστε περισσότερα

ν ν Άσκηση 1. Α =Α, Β =Β. Λύση Άσκηση Α Β =Β Α, Α Β=ΒΑ. Β Α= ( Β Β)( ΑΒ ) Β Α=Ι( ΑΒ ) Β Α=ΑΒ. Άσκηση = Α Α Α Α=.

ν ν Άσκηση 1. Α =Α, Β =Β. Λύση Άσκηση Α Β =Β Α, Α Β=ΒΑ. Β Α= ( Β Β)( ΑΒ ) Β Α=Ι( ΑΒ ) Β Α=ΑΒ. Άσκηση = Α Α Α Α=. Άσκηση Α, Β ατιστρέψιµοι πίακες µε ΑΒ=Α, ΒΑ=Β είξτε ότι ος τρόπος Α = Α Α = ( Α Β) Α = Α Β Α Α = Α Οµοίως Α = Α Β = Α ( Β Α) = Α Β Α ος τρόπος Α =Α Α= ( Α Β) Α=Α ( Β Α ) =Α Β=Α Οµοίως Α =Α, Β =Β Β =Β Β

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2003 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2003 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΠΕΜΠΤΗ ΜΑΪΟΥ 003 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδείξετε ότι ο ος όρος µιας αριθµητικής προόδου µε πρώτο όρο α 1 και διαφορά ω είαι α = α 1 + (-1)ω. Μοάδες 7 Β. Να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ. 1. Η μέθοδος της μαθηματικής επαγωγής αποτελείται από δυο βήματα :

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ. 1. Η μέθοδος της μαθηματικής επαγωγής αποτελείται από δυο βήματα : ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ 1. Η μέθοδος της μαθηματικής επαγωγής αποτελείται από δυο βήματα : Βήμα 1 ο : Δείχνουμε ότι η πρόταση Ρ( ν ) είναι αληθής για το μικρότερο φυσικό για τον οποίο ζητείται

Διαβάστε περισσότερα

4.7 ΙΣΟΫΠΟΛΟΙΠΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

4.7 ΙΣΟΫΠΟΛΟΙΠΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 174 47 ΙΣΟΫΠΟΛΟΙΠΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το ζήτημα της διαιρετότητας τω αεραίω είαι υρίαρχο θέμα στη Θεωρία τω Αριθμώ Μια έοια που βοηθάει στη μελέτη αι επίλυση προβλημάτω διαιρετότητας είαι η έοια τω ισοϋπόλοιπω αριθμώ

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος Τι είαι εκτός ύλης. Σχολικό έτος 06-07 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε. Το Λεξιλόγιο της Λογικής...9 Ε. Σύολα...3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ o: Πιθαότητες. Δειγματικός Χώρος - Εδεχόμεα...0. Έοια της Πιθαότητας...9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ . ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τα σύνολα των αριθμών είναι τα εξής : i. Φυσικοί αριθμοί : 0,,,,......,,,,0,,,,...

Διαβάστε περισσότερα