(x y) = (X = x Y = y) = (Y = y) (x y) = f X,Y (x, y) x f X

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "(x y) = (X = x Y = y) = (Y = y) (x y) = f X,Y (x, y) x f X"

Transcript

1 X, Y f X,Y x, y X x, Y y f X Y x y X x Y y X x, Y y Y y f X,Y x, y f Y y f X Y x y x y X Y f X,Y x, y f X Y x y f X,Y x, y f Y y x y X : Ω R Y : Ω E X < y Y Y y 0 X Y y x R x f X Y x y gy X Y gy gy : Ω R X Y Xω X Y X Y X Y y + x f X Y x y dx

2 x f X x y 1 Y f Y y x f X,Y x, y 1 X <. f Y y x R x R gy 1 gy Y {a E : f Y a 0} f Y a 0. }{{} a A A Y X X Y y Y 1/2 X Y y Biny, 1 2 f X x y 1 y, x 0, 1,..., y Y x 2y X Y y y 2 X Y Y 2 X : Ω R Y : Ω S gy X Y Y XhY gy hy, h : S [0, 1] XhY X Y hy, h : S [0, 1] h M R h : S [ M, M] X Y gy hy hy x f X x y f Y y Y y S x R hy x f X,Y x, y y S x R x hy f X,Y x, y XhY y S x R

3 ϕ : S R g XhY ϕy hy y 0 S h Y0 y 1 Y y0 x h Y0 y f X,Y x, y x h Y0 y f X,Y x, y 0 x R y S x R x R x f X,Y x, y 0 ϕy 0 f Y y 0 ϕy 0 x R x f X Y x y 0 gy 0 y 0 ϕ g g Y X, X 1, X 2 : Ω R Y : Ω S Z : Ω S X 1 + X 1 + X < c 1 X 1 + c 2 X 2 Y c 1 X 1 Y + c 2 X 2 Y X Y X X, Y X Y c c X f : S R XfY Y fy X Y X Y X Y X Y, Z Y X Y X 1 X 2 X 1 Y X2 Y g 1 Y X 1 Y g 2 Y X 2 Y c 1 g 1 Y + c 2 g 2 Y Y h : S [0, 1] c 1 g 1 Y + c 2 g 2 Y hy c 1 g 1 Y hy + c 2 g 2 Y hy h 1 h : S [0, 1] c 1 X 1 Y hy + c 2 X 2 Y hy c 1 X 1 + c 2 X 2 hy XhY X hy c hy c hy

4 h : S [0, 1] fy X Y hy X Y fy hy 3 X fy hy X Y X + X Y X + Y X Y X + Y + X Y X Y h : S R hy hy, Z X Y, Z hy X hy X Y hy X Y, Z Y gy X Y X Y X Y X EgY y R gy f Y y y R X Y y Y y X k k 1 e ax i < a R N X k k 1 N \ {0} S n X X n n 1 S N ω S Nω ω gn e as N λ e ax 1 N n e asn N n 3 e asn e ax1+...+xn e ax1 n e as N e as n e as N e ax 1 N N λ N N n, n1

5 n n n 1 n R n R n n n M n i {1,... n}, X i 1 { i } M n n X i M n i1 n X i n X 1 n 0 X X 1 1 n X 1 1 n 1 n 1 i1 R n n R 1 1 R k k, k < n R n R n M n n R n M n k M n k k0 R n M n 0 M n R n M n 0 + n R n M n k M n k k1 n 1 + R n k M n k k1

6 1 Mn 0 n n R n M n 0 + M n k + R n k M n k 1 + k1 k1 n n k M n k k1 1 + n 1 M n 0 M n n 1 M n 0 R n n X n n 0 Y n n 0 Ω Y n : Ω R n N Y n n 0 X n n 0 n N Y n < Y n+1 X 0, X 1,..., X n Y n Y n Y n+1 X 0, X 1,..., X n Y n+1 Y n n 0 X k k 1 { 1, 1} S 0 0, S n X X n n 1 S n n 0 X k k 1 n N S n n S n < n 0 S 1 S 1 0 S 0 n 1 S n+1 X 1,..., X n S n + X n+1 X 1,..., X n S n X 1,..., X n + X n+1 X 1,..., X n S n + X n+1 S n, p 1 2, 1] X k k 1 X k 1 p X k 1 1 p q k N S 0 0 Sn M 0 1 S n X X n M n q p n 1 Mn n 0 X k k 1 S n n X 1 np q L n S n np q L n n 0

7 X k k 1 n, M n n 0 n n N 0 M n q p M n < n 0 M 1 M 1 p q p 1 + q q p 1 p + q 1 M 0 n 1 M n+1 q Sn q Xn+1 X 1,..., X n X 1,..., X n p p 4 q Xn+1 M n X 1,..., X n [M n X 1,..., X n ] p 3 q Xn+1 M n [ X 1,..., X n ] p q 1 Xn+1 q 1 Xn+1 M n p p M n q + p M n M n n 0 X k k 1 X n n 1 X : Ω R X < Y 0 X Y n X X 1,..., X n n 1 Y n n 0 X n n 1 Y n X X 1,..., X n 4,5 X < n 0 Y 1 X X1 6 X Y 0 n 1 Y n+1 X 1,..., X n X X 1,..., X n+1 X 1,..., X n 6 X X 1,..., X n Y n Y n n 0 X n n 1 σ F D : Ω R D 1 D F 0 ad F a 2 /2 a R f : R R fx ax fλx + 1 λy λfx + 1 λfy x, y R λ [0, 1] f ad 1 D 2 a D a 2

8 F ad F 1 2 a a 1 2 k0 a k k0 k! a 2k 2k! k0 a k k! e a2 /2 k0 a 2k 2 k k! 2k! > 2 k k! Y n n 0 σ F n n 0 K n n 1 Y n Y n 1 K n 1 n 1 Y n Y 0 x 2 x 2 2 n K 2 i1 i θ R θy n Y 0 θy n Y 0 F n 1 θy n Y n 1 +θy n 1 Y 0 F n 1 θy n 1 Y 0 θy n 1 Y 0 F n 1 A Y n Y n 1 K n A F n 1 0 θy n Y n 1 F n 1 θk n θ 2 K 2 A n F n 1 2 θyn Y0 θ 2 K 2 n 2 θyn 1 Y0 θ2 K Kn 2 2 Y n Y 0 x θy n Y n 1 θx θy n Y n 1 θx Markov 1 θx θy n Y 0 θx+ 1 2 θ 2 K K2 n

9 θ θ R θ gθ θx θ2 K Kn 2 x θ 0 gθ K x K2 n 2 n Ki 2 i1 Y n Y 0 x θx+ 1 2 θ2 K K2 n

10 X n n 1 X 1 1 p X p p 0, 1 S n X X n Y n S n np n 1 Y 0 0 Y n n 0 X n n 1 Y n S n np 0 < n 1 Y 1 Y 1 S 1 p 0 Y 1 n 1 Y n+1 X 1,..., X n S n + X n+1 n + 1p X 1,..., X n S n np + X n+1 p X 1,..., X n Y n + X n+1 p Y n Y n+1 Y n X n+1 p {p, 1 p} n 0 µ {p, 1 p} Y n+1 Y n µ n 0 Y n Y 0 x 2 x2 2nµ x > 0 S n np x 2 x2 2nµ x > 0 xy n S n np y n y2 2µ Sn np y y2 2µ n }{{} Z Z y y2 2µ S n np n p1 p N0, 1 Γ n [n] : {1, 2,..., n} f : Γ n R f 1 A A f 2 A A n N G Γ n m n 2 e1, e 2..., e m Y i 1 ei G i [m] X i fg Y 1,..., Y i i 0, 1,..., m X 0 fg X m fg X i i0,...,m Y i i [m] p 0, 1 K n p G G Gn, p G G3, 1 2 fh X H H H Γ n X i H X H Y 1,..., Y i

11 n Γn X 3 H X H X 2 H X G e 1, e 2 X 2 H X G e 1 X 0 H X G F i 1, 2,..., i X i fg F i, i 0,..., n n N p 0, 1 G Gn, p c X G X G c > λ n 1 < 2 λ2 2 X 1, X 2,..., X n X G X G c X G F n X G X i 1 X i+1 X i + 1 X i G i X i G X G X i G + 1 c i X i G F i X G F i 1 + X i G F i X i G F i 1 X G F i X i G F i 1 c i c i X i 1 X i 1 + c i X i c i 1 X i 1 + X i 1 X i i F i F i 1

12 X i+1 X i 1 K i i 1, 2..., 1 X n Y 1 x 2 xλ n 1 X G c λ n 1 λ2 2 x 2 2 n 1 i1 K2 i x2 n 1

13 X n n 0 Y n n 0 Ω Y n : Ω R Y n < n N Y n n 0 X n n 0 n N Y n+1 X 0, X 1,..., X n Y n Y n n 0 X n n 0 n N Y n+1 X 0, X 1,..., X n Y n I R X I X < ϕ : I R ϕ X F ϕx F I R X n n 0 F n n 0 ϕ : I R X n I n N ϕx n < ϕx n n 0 X n n 0 ϕx n+1 F n Jensen ϕ X n+1 F n ϕx n I R X n n 0 F n n 0 ϕ : I R X n I n N ϕx n < ϕx n n 0 X n n 0 ϕx n+1 F n Jen. ϕ ϕ X n+1 F n ϕxn }{{} X n Y Y n n 0 R [a, b] R a < b T 1 {n 0 : Y n a} T 2 {n T 1 : Y n b} T 2k 1 {n T 2k 2 : Y n a} T 2k {n T 2k 1 : Y n b} [a, b] Y [T 2k 1, T 2k ] k 1 U n a, b ; Y [a, b] Y [0, n]

14 Ua, b ; Y n U na, b ; Y Y Y n n 0 R Ua, b ; Y < a, b Q a < b n Y n R {, + } Y n m, M R {, + } n Y n m Y n M n n m M Q R a, b Q m < a < b < M Ua, b ; Y m M n Y n R {, + } Y Y n n 0 a < b U n a, b ; Y Y n a + Y 0 a + b a ϕx x a + Z Z n n 0 Z n Y n a + n N U n a, b ; Y U n 0, b a ; Z i N { 1 i T2k 1, T I i 2k ] k 1 0 b a U n 0, b a ; Z n i1 Z i Z i 1 I i {i N : I i 1} U n 0, b a ; Z T 2k Z i Z i 1 Z T2k Z T2k 1 b a it 2k 1 I i F i 1 {I i 1} i { i T2k 1 T 2k ] } k1 i k1 {T 2k 1 i 1} \ {T 2k i 1} F i 1 b a U n 0, b a ; Z n i1 Z i Z i 1 I i b a U n 0, b a ; Z n Z i Z i 1 I i i1

15 Z i Z i 1 I i b a U n 0, b a ; Z Z i Z i 1 I i F i 1 I i Z i Z i 1 F i 1 I i Zi F i 1 Z i 1 }{{} 0 Z i F i 1 Z i 1 Zi Z i 1 n Z i Z i 1 Z n Z 0 Y n a + Y 0 a + i1 Y Y n n 0 < Y n : Y 1 Y < n Y n + n 0 M n 0 Y n + R a, b R a < b Y n a + Y n + + a U n a, b ; Y Y n a + M + a b a b a U n a, b ; Y n n U na, b ; Y U na, b ; Y M + a n b a < Ua, b ; Y < 1 A a,b Ua, b ; Y < A A a,b 1 a,b Q,a<b A Ua, b ; Y <, a, b Q a < b n Y n ω A Y n Y n R {, + } Y + n Y + n n Y + n M <

16 Y n Y + n Y n }{{} Y 0 M Y 0 Y Yn n M Y 0 < Y Y + + Y < Y Y n n 0 n Y n : Y Y Y 0 W n Y n n N n W n + 0 < W n n Y n Y n+1 Y 0 n N Y Y n Y n Y 0 n n X n n 1 X 1 1 p X 1 1 q p 1 2, 1 q 1 p S 0 0 S n X X n n 1 Y n q Sn p r S n r < 1 Y n n 0 X n n 1 Y n 0 n 0 Y Y n Y < n Y n {r k : k Z} A n N Y A Y Y < Y r k k Z Y n Y 0 S n

17 Z n n 1 a n, 1 2n 2 Z n 0, 1 1 n 2 a n, 1 2n 2 a 1 2 a n 4 a a n 1 Y n Z Z n Z n n 1 n Y n n 1 Y n + Z n 0 Z n 0 Zn a n + Z n a n 1 n 2 < n1 n1 {Z n 0} 0 n 1 Y n n a 2 8, a ,..., a n 8 5 n 2 n 2 Y n a n Z n a n, Z n 1 0,..., Z 2 0, Z 1 a n n 2 1 n n 2 2 n } {{ } c>0, n 1 c n 0, 1, n 1 n 1 c n > 0 n1 c n < n1 8 5 n 2 n 2n + 2 n 1 Y n + Ω, F, P X n : Ω R n N X : Ω R Ω X n X X n as X, {ω : n X nω Xω} 1

18 X n X p p 1 X n L p X X n X p n 0 X n X X n P X, X n X > ε n 0, ε > 0 X n X X n X n x n X x d X Xn X, x R F X x X x X n n 0 X n 0 n 0 X n X n n n X n n 0 X n 0 n 0 X n ω X n+1 ω, n N ω Ω X n X n n x X n n 0 X n as Y, n 1, ω Ω Y < X n X X n X n X n n 0 X n M < as, n 1, ω Ω X n X X n X n X n as X X n P X X n L p X p 1 X n P X X n P X Xn d X

19 ε > 0 X n X > ε 1 Xn X >ε 0 0 Y n 1 Xn X ε > 0 X n X > ε X n X p > ε p X n X p ε p L p p 1 x R ε > 0 as 0 Y n 1 n 0 X n x X n x, X x + ε + X n x, X > x + ε X x + ε + X n X > ε X n x X x + ε F X x + ε n ε 0 F X x X n x X x F X x n X x ε X n x + X n X > ε F X x ε n X n x x F X F X x X n x n X n x n F X x X x n P X n X nk k 1 as X nk X X n P X Xn X > 1 n 0 n 1 N X 1 X >

20 n 1 < n 2 <... < n k X i X > i, i {1,..., k}. X n X > 1 k+1 n 0 n k+1 N n k+1 > n k X nk+1 X > 1 k k+1 {ω Ω : n X n+1ω Xω } 1 A k { } ω : X nk ω Xω > 1 k A k A A k k 1 j1 kj k1 A k k1 1 2 k < A 0 ω Ω \ A n 0 ω N ω / A k k n 0 ω X nk ω Xω 1 k X n+1ω Xω n X n n 1 X n Ω, F, Y n, Y : Ω R d X Y n d Xn Y d X Y n as Y X n X F Xn F X U Ω, F, 0, 1 U U0, 1 Y n F 1 X n U Y F 1 X U Y n x F 1 X n U x U F Xn x F Xn x Y x F X x d F Xn x F X x x R X n X F 1 X n y F 1 X y, y 0, 1 Y nω Y ω, ω Ω

21 X n d X hxn hx h : R R Ω, F, d Y n n 1, Y n Xn Y d as X Y n Y hx n hy n n hy hx. h

22 X n n 1, X X n L r X r 1 X n r X r X n L 1 X X n X X n L 2 X X n X X n r X r X n X r 0 r X n X X n X X n X n 0 X 0 X n N0, n X n X 0 X n X X n n Z n Z N0, 1 X n Xn 2 X n 2 X 2 X 2 L X 2 L n X X 1 n X p, q > 1 1 p + 1 q 1 X, Y : Ω R XY X p Y q X p 1/p + Y q 1/q. 1 r < s X r Y s X r r X r p s r X rp 1/p 1 q 1/q X s r/s X r X s L s L r X n L s X X n L r X X, Y : Ω R p [1, ] X + Y p X p + Y p A n n 1 A n < A n 0 n1 A n A n n 1 A n 1 n1

23 X n n 1, X n : Ω R X n 1 Xn a 0 a n X < X 1 X >a 0 X 1 X >a 0 a a X R X 1 X >n X, X < X n Y n 1 Y < X n n 1 n a X n 1 Xn a Y 1 Y a 0 hx h : [0, R x x hx x 1+ε h X n M < X n n 1 n X n 1 Xn a Xn x a M h X n h X n 1 Xn a x hx h X n 1 x a hx x a 0 X : Ω R X < X 1 A δ 0 0 A: A<δ ε > 0 δ > 0 [ A < δ X 1 A ε ] X < ε 0 > 0 δ n n 1 δ n 0 A n n 1 A n < δ n X 1 An ε 0 δ n < δ n 0 n1 δ n A n < A n 0 X 1 A n 0 n Ω \ A n X 1 An X X < X 1 A n 0 n n1

24 δ > 0 : X 1 A < 1 A: A<δ M R X X 1 X <M + X 1 X M M + X 1 X M M > 0 X M X n A n X 0 M n }{{} n1 A n M 0 R X M 0 δ X 1 X M0 < 1 M M 0 X M <, X n n 1 X n P X X n n 1 X, X n L 1, n 1 X n L 1 X X n L 1, n 1 X n X < Y : Ω R Y < F n n 1 F n Ω F i F i+1 i 1 X n Y F n, n 1 X n n 1 F n n 1 X n n 1 a > 0 X n 1 Xn a Y F n 1 Y Fn a Y 1 Bn,a, B n,a { Y F n a } n X n 1 Xn a Y 1 Bn,a n B n,a Y F n a Markov 1 a Y F n 1 a Y

25 Y < ε > 0 δ 0 > 0 Y 1 A < ε A: A<δ 0 a > 0 1 a < δ 0 B n,a < ε, n 1 X n 1 Xn a ε a ε n

26 Z Z < F n n 1 F σ Z F n n Z F L 1 Y n Z F n, n 1 Y n n 1 Y n Z F n Z F n Z < n1 F n n 1 Y n < as Y n Y Y Y < L Y n n 1 Y 1 n Y Y Z F 1 A Y 1 A Z, A F A F n0 n 0 1 A Y n L 1 1 A Y 1 A Y n 1 A Y n n 1 A Z F n 1 A Z Z 0 Z + Z µa 1 A Y νa 1 A Z µ ν C F n µω νω σc n1 F µ ν F Y n n 1 Y n L 1 Y n Z F n Z Z < Y n Y L 1 Y n Y n 1 Y n < Y Y Y L 1 Y L 1 Z Y Y n0 Y F n0 Y n0 1 A Y 1 A, A F n0

27 Y 1 A n Y n1 A Y n 1 A F n0 n 1 A Y n F n0 Yn0 1 A n }{{} Y n0 α β A n, B n n E n n R n A n A n + B n, n 0 F n σ{a 1,..., A n, B 1,..., B n }. R n n 0 R n+1 Fn A n + 1 A n + B n + 1 E A n n+1 + A n + B n + 1 E n+1 A n + 1 A n + B n + 1 A n A n + A n + B n A n + B n + 1 B n A n + B n + 1 A n A n+1 + B n A n+1 + B n+1 A n + B n A n R n A n + B n R n n 0 0 < R n 1, n 0 R n R n L 1 1 R Betaα, β Bα,β xα 1 1 x β 1 1 x 0,1 α β 1 R Beta1, 1 U0, 1 n+1 D n+1 D 1, D 2,..., D n+1 i [n+1] D i E i i D i E i A n k k [n + 1] Dn+1 1 D1, 1..., Dn+1 1 { Di 1 Ei, 1 i k E i, k < i n + 1, k k 1 1 k k k k + 3 n k + 1 k 1! n k + 1! n + 1 n + 1!

28 k n+1 k D 2 n+1 D 2 1,..., D 2 n+1 D 2 i { Ei, i E i, i, Dn+1 1 2, 3,..., n+1 i {k, n+1 k} i j 1 i j 1+1 i i j 2 i j 2 +1 k i n + 1 k n + 1 k i k i k 1! n k + 1! n A n k 1, k [n + 1] n + 1! k n + 1 R n k 1 n + 2 n + 1 R n x A n xn+2 [xn + 2] n x. n + 1 Ω, F, F n 1 σ Ω T F n 1 k N {ω Ω : T ω k} F k X n n 1 X 1 1 X F n σ {X 1,..., X n } S n X X n, n 1 S 0 0 T {i : S i 3} k N {T k} k {S i 3} F k }{{} F i F k i1 T {i 20 : S i 0} T { T 8} / F 8

29 F n n 0 T F n n 0 X n n 0 X n T n 0 X n n 0 X n T n 0 X n n 0 X n T n 0 X X n T X 0 T ω < X n T X T n X n T X n T n n X T X 0 X X n 0 T X T X n T n 0 ω M R X n T ω ω M, n N, ω Ω T < 0 T M R T ω M, ω Ω T < M R X n+1 X n F n M X 0 < n X n T X T T M, ω Ω n > M T < X n T X n T X T n X n T n T X n T X 0 + X k X k 1 k1 n T X n T X 0 + k1 X k X k 1 X 0 + X 0 + T X k X k 1 k1 X k X k 1 1 k T. k1

30 Y X 0 + X k X k 1 1 k T Y X 0 + X k k1 X k 1 1 k T X k X k 1 1 k T X k X k 1 1 k T Fk 1 Y X 0 + M k1 k1 1 k T X k X k 1 1 k T F k 1 M 1 k T M T k T k X 0 + M T <, k1 T 1 k T T T k k1 X n n 0 T X T X 0. X n n 1 X 1 1 X 1 1 1/2 S 0 0 S n X X n, n 1 F n σ{x 1,..., X n } S n n 0 S 2 n n n 0 X n n 1 a Z T a {k N : S k a} a a +b a < 0 < b T a < T b T T a T b M n Sn 2 n M n T M n T M 0 0 S 2 n T n T n T a 2 b 2 n n T a2 b 2 n n T n n T T < T < 1 S n n 0 S n T n 0 T < S T S 0 S T a 1 Ta <T b + b 1 Tb <T a a T a < T b +b T b < T a }{{} x ax + b1 x

31 S T 0 x b a +b T a T b a b n T Sn T 2 S2 n T n 1 {a 2, b 2 } ST 2 n T Sn T 2 T S 2 T S 2 T 1 Ta <T b + S 2 T 1 Tb <T a a 2 T a < T b + b 2 T b < T a a 2 b a + b + a b2 a + b a b a + b a + b a b a 0 T a T a S Ta 0 S Ta a S n n 0 S n+1 S n 1, n 0, ω Ω T a < S Ta S 0 0 G n n 0 σ Y Y n n 0 Y n : Ω R Y G n n 0 Y G n n 0 Y < n 0 Y n G n+1 Y n+1 n 0 Y n G k Y k k > n k Y n G k Y k Y n G k+1 Y n G k G k+1 E.Y. Y k G k+1 Y k+1

32 X n n 0 G n n 0 X n X n L 1 X X 0 G G n1 G n a < b U n [a, b ; X] [a, b] X 0, X 1,..., X n ˆX ˆX 1, ˆX 2,..., Xn ˆ X n, X n 1,..., X 1 G k n k0 U n [a, b ; ˆX] ˆX n a + b a ˆX 0 a + b a U n [a, b ; X] 1 + U n [a, b ; ˆX] U [a, b ; X] 1 + X 0 a + < b a U [a, b ; X] < X n n L 1 as X n X n X X n P X X 1 A X 0 1 A A G X n 1 A X 0 G n 1 A 1A X 0 G n 1 A X 0 X 1 A n X n 1 A n X 0 1 A X 0 1 A, X n L 1 X X n X X n 1 A X 1 A X n X Ω, F, X n : Ω E n, n 1 F n σ{x n, X n+1,...} σ{x k : k n} F F n X n n 1 A F A {0, 1} n1 A A A A A A A 2 A A {0, 1}

33 H n σx 1,..., X n, n 1 Γ H n Γ F n+1 F H n F n1 σ F σ n1 n1 H n F H n G F n σ{x n, X n+1,...} G n 1 F F A F A F A A X n n 1 F n σx n, X n+1,... F X : Ω [, ] F c [, ] X c 1 a R {X a} F X a {0, 1} X 1 X 1 {X }, {X } F X X 0 X R 1 F X F X F Xa {X n} 0 a n1 F X 1 c {x R : F X x 0} F X c 0 F X c+ 1 X c F X c+ F X c , X X n Z n n F k 1 Z F k X X k Z + X k X n X k X n n n n n n n1 F n X k k 1 X k : Ω R X 1 < S n X X n S n n X 1, L 1

34 G n σ{s n, S n+1,...} σ{s n, X n+1, X n+2,...} G n Y n S n n, n 1 Y n n 1 G n n 1 Y n G n Y n 1 n n X 1 X 1 < Y n G n+1 1 n n X i G n+1 1 n i1 n i1 X i S n+1 1 n n X 1 S n+1 X 1 S n+1 n+1 S n+1 S n+1 S n+1 X i S n+1 n + 1 X 1 S n+1 i1 Y n G n+1 X 1 S n+1 S n+1 n + 1 Y n+1 Y n n 1 Y L 1 L 1 Y G c R Y c 1 Y n S n n X 1 c L 1 c S n n c X 1 c c

35 X n n 0 F n n 0 k N N N k 1 X 0 X N X k X N j j 0 X N 0 X N k X 0 X k Y n X n X n N F n n 0 Y n <, n 0 Y n Fn 1 X n Fn 1 X n N Fn 1 X n Fn 1 X n N 1 N n Fn 1 X n N 1 N n 1 Fn 1 X n F n 1 X n 1 N n F n 1 X N 1 N n 1 F n 1 X n 1 N n 1 F n 1 X N 1 N n 1 F n 1 1 n n 1 Xn F n 1 X N 1 n n 1 X n 1 X n X n 1 X N n 1 Y n 1 Y n F n n 0 Y k Y 0 0 X k X N 0 X N X k, X n n 0 R M n {X 0,..., X n } n 0 X n n 0 F n n 0 M n x X+ n 1 X + n x x X n n 0 F n n 0 M n x X 0 + X n x n M n x {X + k x} k 0 k1 X + k x X+ k x

36 A 1 x X X+ n n x X+ n n X n n 0 n 1 N {k : X k x} n A {M n x} x A X N 1 A X n 1 A X + n 1 A X N 1 A x 1 A X N 1 A x A X N X n X N 1 A + X N 1 A c X n 1 A + X n 1 A c X N 1 A X n 1 A X + n 1 A x M n x X n 1 A X n n 0 T {k 0 : X k x} X N j j 0 X 0 X T n X T n 1 T n + X T n 1 T >n x T n X n X 0 p > 0 X p p p t p 1 1 X>t dt p t p 1 X t dt X t 1 X>t X t p 1 1 X>t dt p t p 1 dt X p 0 X n n 0 p 1, X n {X 0 +,..., X+ n } p X p p X n + p 1 p Y n n 0 Y n n 0 Y n Y n p p p Y n p 1 p

37 M > 0 X n M t 1 t X+ n 1 Xn M t, t > 0 M < t 0 0 M t X n t 1 t X+ n 1 Xn t X + n ϕx x + X n n 1 X n M p p 0 t p 1 X n M t dt p t p t X+ n 1 Xn M t dt p X n + p 1 p Xn M p 1q 1 q p 1 p X n + p 1 p Xn M p 1 1 p p 1 X n M p 1 p p X n + p 1 p p 1 X n M p p p X n + p p 1 q p p 1 1 p + 1 q 1 X i i 1 X i 0 X 2 i σ 2 i 0, S 0 0 S n X X n n 1 1 k n S k x 1 x 2 S n F n σx 1,..., X n F 0 {Ω, } S n n 0 Y n S 2 n {S 2 1,..., S 2 n} x 2 1 x 2 S2 n 1 x 2 S n r b r, b > 0 R n B n n

38 Y n R n n+r+b n 0 F nn 0 F n σr 0, R 1,..., R n, n 0 T r b 1 1 T r b 1 Y n 3 4 n 2 3 Y n Y n+1 F n R n+1 F n R n n+r+b n r + b R n+1 n r + b 1 R n+1 R n+1 R n + n r + b 1 R n+1 R n +1 F n R n n r + b 1 R n + 1 R n+1r n + n r + b 1 R n+1r n+1 R n n r + b n + r + b R n R n + n + r + b n r + b R n + 1 n + r + b 1 Rn n + r + b R n + R n + 1R n n r + bn + r + b 1 n r + bn + r + b n + r + b + 1R n R n n + r + b Y n M n 1 Y n B n n+r+b M M T 2 M T 1 M 0 1 T T +2 T < 1 n M T n M 0 k 1 T k 1, 2..., k k 1 1 k k T T k 1 k 0

39 Y k k n 4 3/4 Y n Y n }{{} A n {Y n 3 } 4 n A n n1 n1 A n A n n A n 2 3

40 X n n 1 1, 1 2n X n 0, 1 1 n 1, 1 2n Y 1 X 1 n 2 { Xn, Y Y n n 1 0 ny n 1 X n, Y n 1 0 F n σy 1,..., Y n n 1 F 0 {, Ω} Y n n 1 F n n 1 n Y n Y n F n Y n Y n X n 1 Yn n Y n 1 X n 1 Yn 1 0 Y n X n + n Y n 1 X n 1 + n Y n 1 Y n < Y 1 X 1 1 Y n n Y n F n 1 Y n Y 1,..., Y n 1 Y n 1 Y n 1 Y n 1 0 Y n X n X n Y 1,... Y n 1 X n 0 Y n 1 Y n 1 0 Y n n Y n 1 X n n Y n 1 X n Y 1,..., Y n 1 n Y n 1 X n Y 1,..., Y n 1 n Y n 1 X n n Y n 1 1 n Y n 1 Y n F n 1 X n 1 Yn n Y n 1 X n 1 Yn 1 0 F n 1 X n 1 Yn 1 0 F n 1 + n Y n 1 X n 1 Yn 1 0 F n 1 Yn 10 X n + n Y n 1 1 Yn 1 0 X n n Y n 1 n Y n 1 Y n X n 1 0 Y n 1 0 X n 1 Y n 1 B n {X n 1 0, X n 1} {Y n 1} B n n 2n 1 4n

41 B n n 1 B 2n n 1 1 B 2n 8n. n1 B 2n 1 ω B 2n Y n ω 1 n Y n ω 0 n Y n n Y n + < n 1 n1 Y n + X n + 1 Yn 10 + n Y n 1 + X n 1 Yn n Y n n Y n Y n 1 0 X n 1 2n Y n Y n n X n Y n Y n 1 + 2n n 1 n1 1 2n 1 1 n 1 Y n + n 1 E i, E i i I Ω i, F i, i i I Ω, F, X i i I X i : Ω i E i X i i I ˆX i i I ˆX i : Ω E i X i d ˆXi i X i A ˆX i A, A E i X i X i : E i [0, 1] X i P i X i A E i, E i X, Y X Bernoulli 1 2 Y Bernoulli 3 4 Ω, F, 0, 1, B 0, 1, λ U : Ω R F U x x ˆX 1 U 1/2 Ŷ 1 U 3/4 ˆX d X ˆX 1 U 1/2 1/2 ˆX 0 1/2, Ŷ 1 U 3/4 3/4 Ŷ 0 1/4,

42 Ŷ d Y ˆX, Ŷ X, Y ˆX Ŷ ˆX Ŷ ˆX 1 U1 1/2 Ŷ 1 U 2 3/4 U 1, U 2 U0, 1 F : R [0, 1] F 0, F + 1 G : 0, 1 R Gu {x R : F x u} F Gu F 1 u Gu y F y u F y u y {x R : F x u} A u A u Gu y Gu y n 1 t n A n t n y + 1 n u F t n F y + 1 n F u F y + 1 n n F y

43 U U0, 1 F GU F x R GU x U F x F x X F X G X X F X X i i I R U U0, 1 GXi U i I X i i I G X P X n X ˆXn n 1, ˆX X ˆ d d n Xn ˆX X X ˆ as n ˆX ˆX n G Xn U ˆX G X U U U0, 1 µ i i I E i, E i i I µ i i I X i i I X i : Ω E i, i I P X i µ i, i I Ω, F, X i i I ν µ {0, 1} X Y 1 U 1/2 U U0, 1 Ω { {0, 0}, {0, 1}, {1, 0}, {1, 1} } X : Ω R X ω 1, ω 2 ω 1 Y ω 1, ω 2 ω 2 {ω 1, ω 2 } 1/4 µ ν E, E µ ν d TV µ, ν µa νa A E µ ν E, E A 1, A 2 E µe \ A 1 νe \ A 2 0 E d TV µ, ν 1 µ{x} ν{x} 2 x E p x µ{x} q x ν{x} x E A 0 {x E : p x q x } A E µa νa p x q x p x q x x A x A 0 νa µa 1 νa c 1 µa c µa c νa c p x q x x A 0

44 d TV µ, ν p x q x µa 0 νa 0 p x q x x A 0 x A 0 d TV µ, ν p x q x q x p x p x q x x A 0 x A c 0 x A c 0 2d TV µ, ν p x q x d TV µ, ν 1 p x q x 2 x E x E µ ν E, E X, Y µ, ν d TV µ, ν X Y A E µa νa X A Y A X A, X Y + X A, X Y Y A Y A + X Y Y A X Y µ ν E, E E ˆX, Ŷ µ, ν d TV µ, ν ˆX Ŷ p x µ{x} q x ν{x} x E ˆX Ŷ E E a x p x q x fx, x a x fx, y p x a x q y a y, x y d TV µ, ν d TV µ, ν 1 p x q x 2 x E 1 p x q x + q x p x 2 x E x E p x q x p x q x p x q x p x q x x E x E p x q x p x q x

45 x a x x Ep px p x q x p x q x d TVµ, ν x E x E p x q x fx, y p x, x E fx, y q y, y E y E fx, y x E fx, y fx, x + y E y E y x p x q x + p x a x dtv µ, ν q x a x d TV µ, ν a x + p x a x p x a x q x a x p x d TV µ, ν ˆX, Ŷ µ ν ˆX Ŷ x E fx, y px p x q x x E y E y x p x q x d TVµ, ν x E p x q x X Bernoullip Y Poissonp p 0 1 p pk p, p 1 p q k e k! ˆX, Ŷ ˆX, Ŷ f0, 0 p 0 q 0 1 p e p 1 p f1, 1 p 1 q 1 p e p p pe p ˆX Ŷ 1 ˆX Ŷ 1 f0, 0 + f1, p + pe p p pe p p1 e p p }{{} d TV X,Y

46 I i 1 i n I i Bernoullip i, i [n] X n I i λ n p i Y Poissonλ ˆX, Ŷ X Y i1 i1 ˆX Ŷ n p 2 i i1 Îi, Ĵi 1 i n Îi, Ĵi I i, J i J i Poissonp i ˆX n Î i Ŷ n d Ĵ i ˆX X Ŷ d Y Poissonλ i1 i1 ˆX Ŷ d TV LX, LY n i1 n i1 Îi Ĵi Y p i λ n, i N d TV Bin n, λ, Poissonλ λ2 n n n i1 p 2 i p 2 i LX LY X f, g : R R X R fx, gx, fx gx < fx gx fx gx X 1, X 2 X 1 d X2 d X X1, X 2 X 1, X 2 X, X fx1 fx 2 gx 1 gx 2 0 fx 1 gx 1 fx 1 gx 2 fx 2 gx 1 + fx 2 gx 2 0 fx 1 gx 1 fx 1 gx 2 fx 2 gx 1 + fx 2 gx fxgx 2 fx gx 0 fxgx fx gx X i i 1 X i Bernoullip 1, i 1 Y j j 1 Y i Bernoullip 2, j 1 0 p 1 < p 2 1 a R X X n }{{} Binn,p 1 a Y Y }{{ n a } Binn,p 2

47 {X i, Y i : 1 i n} U i U0, 1, i {1,..., n} ˆX i 1 Ui p 1 Ŷi 1 Ui p 2 {X i : 1 i n} ˆX i 1 U i p 1 p 1 ˆX i Bernoullip 1 i [n] {Y i : 1 i n} Ŷi 1 U i p 2 p 2 Ŷi Bernoullip 2 i [n] ˆX i Ŷi i [n] X X n a ˆX ˆX n a Ŷ Ŷn a Y Y n a Gn, p E 0 { {i, j} : i j, i, j [n] } E 0 p [n], E p G p fp G p f m n 2 {e1,..., e m } E 0 U 1,..., U m U0, 1 Êp {e i : U i p} p 1 p 2 Êp 1 Êp 2 G p1 [n], Êp 1 G p2 [n], Êp 2 fp 1 G p1 G p2 fp 2 X, Y R Y X X Y X t Y t t R X Y ˆX, Ŷ X, Y ˆX Ŷ 1 t R F X t X t ˆX t Ŷ t F Y t U U0, 1 G X G Y X Y ˆX G X U Ŷ GU ˆX d X ˆXω Ŷ Ŷ ω ω Ω G Xa G Y a a 0, 1 X fx µ X X µ 1 µ t xfx dx f X t 1 µ t ft d Y

48 [0, ] X < F t X 1 X t. X X F X X [0, ] X < X X F t F X t t R X 1 X t X X t X 1 X t X 1 X t fx x gx 1 x t

49 {X n,i : n 1, i 1} N {0, 1,...} Z n 1 Z 0 1 Z n X n,k n 1 k1 Z n 1 0 Z n n 0 X X 1,1 p k X k, k N µ X X Z n 0 n 1 G X s s X p k s k k0 η n 1 : Z n 0 η G X s s [0, 1] A n {Z n 0} η n Z n 0 A n η A n η n n n1 G n s s Z n Z n ks k η n G n 0 η n k0 G n s n 2 G n s s Z n s Z n Z 1 s R R Z1 Z 1 s R 1 Z 1 s Z n 1 Z 1 G n 1 s X G X Gn 1 s, Z n R R Z1 R 1,..., R Z1 Z n 1 n 1 G 0 s s Z 1 s s 0 G n 0 G X Gn 1 0 η n G X η n 1 n η G X η η a [0, 1] G X a a η 0 a η 0 Z G X G X η 0 G X a a η 1 a η n η a a, n N

50 s 1 s G X s p k 1 k0 k0 p k s k G X 1 µ X η µ < 1 η 1 µ 1 X 1 < 1 η 1 µ > 1 η < 1 G X s s X G X s X sx 1 0 G X s XX 1 s X 2 0 G X G X 1 X µ G X0 0 η 0 µ < 1 G X 1 < 1 G Xs s s 0 < 1 G X 1 1 η 1 µ < 1 G X 1 1 G Xs s s 0 < 1 G X s s, s s 0, 1 G X s s, s [0, 1] p 1 X 1 1 η 1 G X 0 > 0 G X 1 > 1 fs G Xs gs s 0, 1 η < 1 ζ 1 η Z n > 0, n N µ > 1 ζ > 0 µ < 1 µ 1 X 1 < 1 µ > 1 X p 0 1 p p 2 p p 0, 1 η 1 p p, p > 1 η 1, p µ X 01 p + 2p 2p p < 1/2 µ < 1 η 1 p 1/2 µ 1 η 1 X 1 0 < 1 p > 1/2 η G X s s p 0 s 0 + p s s 2 s ps 2 s + 1 p 1 1 p p η 1 p p

51 T Z n G T s s T T s < 1 n0 s T 0 G T s s T 1 T < s 1 G T s T < η G T s s G X GT s T 1 + Z n n1 G T s s T s 1+ n1 Z n s s n1 Zn s s n1 Zn Z 1 s s s s k0 s n1 Zn Z 1 k Z 1 k s T s T k Z 1 k X k k0 s T k X k k0 GT s k X k s GX GT s, k0 Z n Z 1 k n1 T 1,..., T k T i d T, i [k] d T T k

52 Z 0 1 Z n Z n 1 i1 X n,i, n 1 Z n n µ X 1,1 Z n µ n Z n Z n Zn 1 Z n 1 µ µ Z n 1, x x ϕx Z n Z n 1 x X n,i X n,i xµ x Z n 1 Z n µ Z n 1 Z 0 1 µ 0 Z n µ n i1 i1 Z n > 0 µ n Z n > 0 Z n 1 Markov µ < 1 Z n µ n µ < 1 T 1 1 µ T Z 0 + Z 1 + Z Z k k0 k0 k0 T Z k µ k 1 1 µ 0 0

53 S i i 0 S 0 1 S i S i 1 + X i 1, i 1, X i i S i i i S i 1 i 1 X i X i X 1,1 T {k : S k 0} x 1,..., x t x i N, i [t] x x t t 1 t < x 1,..., x t H X 1, X 2,..., X T T {k : S k 0} N { } t N x 1,..., x t H x 1,..., x t p x1 p xt, p k X 1,1 k p p k k 0 N X n,i p η 0, 1] p p p k k 0 p k ηk 1 p k k N p p k η k 1 p k 1 η k0 k0 η k p k 1 η G Xη 1 η η 1 k0 X p G X s 1 η G Xηs 0 < η < 1 X < 1 G X s p ks k 1 η k p k s k p k ηs k 1 η η G Xηs k0 G X s G X s k0 k0 G X s XsX 1 G X 1 X G X s 1 η G X ηs X G X η

54 G X η > 1 G X 1 G X η + G Xη1 η > η + 1 η 1 G X η 1 G X s, s η, 1 G X s 1, s C k p k s k 1 1 p 1 1 η 0 k0 X G X η > 1 p p k k 0 N η 0, 1 p p p p x 1,..., x t t < H X 1,..., X T p H X 1,..., X T p A { p }. H x 1,..., x t A H x 1,..., x t A A H x 1,..., x t p x 1 p x t H x 1,..., x t η x 1 1 p x1 η x t 1 p xt η x1+...+xt t p x1 p xt 1 η p x 1 p xt η 1 η p x 1 p xt

55 µ X > 1 T k N + k T < ki 1 I I t tx I > 0 t 0 k T < T r rk S r 0 rk X X r r 1 rk X X r r rk a r X X r r t 0 t 0 a r tx X r t r tx1+...+xr tr Markov a r r t 0 k T < tr tx1 r { } t e tx 1 ri ri ki 1 I I > 0 At t tx1, t 0 t 0 A tx 1 t 1 tx 1 X 1 tx1 1 tx 1 A 0 1 X 1 1 µ < 0 rk A A 0<0 At > 0 I > 0 t<0

56 { I t tx 1 } t > 0 t R x tx1 tx 1 tµ t > 0 t tx1 t 1 µ < 0 Z 0 1 Z n Zn 1 X n,i µ X 1,1 > 1 i1 µ > 1 Z n /µ n W n F 0 {, Ω}, F n σ {X k,i : 1 k n, i N + } M n Z n /µ n M n n 0 F n n 0 M n F n M n Z n µ n µn µ n 1. M n F n 1 1 Z n 1 µ n X n,k F n 1 k1 1 µ n 1 µ n 1 µ n 1 j j0 k1 j j0 k1 j0 k1 X n,k 1 {Zn 1j} F n 1 1 {Zn 1 j} j 1 {Zn 1j} } {{ } Z n 1 X n,k µ {}}{ X n,k F n 1 Z n 1 µ n 1 M n 1 M n M n W W M n 1 W 0 {ω : n Z n 0} W 0 η X X < W 1 W 0 1 k k p k <. k0

57 Z n n 0 η ζ 1 η p k k 0 Z n n A {Z n 0, n 1} Z n A η 0 η Z n A p k k 0 p 0 0 p k 1 j η j k 1 η k p j ζ k µ Z 1 A Z 1 Zn n 1 jk p k k 0 Z 1 k A 0 k 1 p k Z 1 k A {Z 1 k} A A 1 ζ jk j η j k 1 η k p j k 1 ζ jk µ Z 1 A k 1 ζ k0 jk Z 1 k ζ Z 1 k Z 1 j Z 1 j k0 k p k j η j k 1 η k p j k Z n n 0 T T n 1 n X X n n 1, n 1 X i X 1 d X T T k n k n X X n n k T 1,..., T k T i d T

58 Y i i 1 Z {k : k 1} S n Y 1, Y 2,... P k S 0 k S n k + Y Y n, n 1 H 0 {k 0 : S k 0} k H 0 n k n ks n 0 Σ i i 0 Σ 0 1 Σ n Σ n 1 + X n 1 Y i X 1 1, i 1 k S n 0 k + X X n n 0 X X n n k k H 0 n T T k n S k Z T {k 1 : S k 0} T 2n 1 2 1T 2n T 2n 1 1 T 2n 1 1 2n 1 1S 2n n 1 1S 2n n 2n 1 2 2n c n n }{{} 3/2 1 πn n n 1 k S 0 0, S 1 0 k k S 1 0 k 0 k k 1 1 S 0 0, S S 1 0 n 2 k H 0 n 0 H 0 0 k 1 S 2n S 2n S 2n S 2n 1 0

59 k H 0 n E.Y. s 1 s 1 s 1 s 1 k n 1 k H 0 n Y 1 s Y 1 s k+s H 0 n 1 Y 1 s k + s n 1 k+ss n 1 0 Y 1 s k + s n 1 ks n 0 Y 1 s Y 1 s s 1 k S n 0 Y 1 s Y 1 s + 1 n 1 k n 1 ks n n 1 s 1 s 1 s k S n 0, Y 1 s s k Y 1 s S n 0 k S n 0 k n 1 ks n n 1 ks n 0 Y 1 S n 0 k k S n 0 n 1 1 n 1 k n k S n 0 k n k nn 1 k n ks n 0, k + Y Y n S n k + n Y j S n S n S n S n j1 k + n Y 1 S n S n Y 1 S n S n k n Y 1 S n 0 k n X 1 Poissonλ p k λ λk X 1 k, k 0 k! G λ s s X 1 X 1 ks k λ λk k! sk λ λs λs 1 k0 k0

60 λ > 1 η G λ s s [0, 1] X 1 λ λ 1 η 1 p k η k 1 p k, k 0 p k k 0 p k η k 1 λ λk k! λ η ηλ k k! λη ηλk k! µ λ ηλ < 1 µ λ λ Poissonηλ ηλ λ ηλ λ ηλ ηλ λ λ µ λ µλ λ λ λ T T n λnn 1 λn n! k 1 T n 1 n X X }{{ n n 1 1 nλn 1 nλ } n n 1! λnn 1 λn n! Poissonnλ λ T T 1 n λ 2πn 3 ni λ 1 + o1, I λ λ 1 λ T n λn n 1 λn n n 2πn 1 + o1 λn 1 n n 1 λn n n n 2πn 1 2πn 3 1 λ n1 λ λ 1 + o1 1 λ 2πn 3 ni λ 1 + o1 λ 1 λ 1 1/n 3/2

61 X 1 Binn, p X 1 Poissonλ λ np n,p λ T, T k 1 n,p T k λ T k + e n k e n k λ2 n k 1 λ T s kλ2 n s1 X i i 1 X i i 1 X i Binn, p X i Poissonnp X i i 1 X i i 1 X i X i λ2 /n T k T k, T k + T k, T < k T k T k, T k + T k, T < k T k T k T k, T < k T k, T < k T k T k { T k, T < k, T k, T < k } R {s 1 : X s Xs } T k T < k s {1,..., k 1} X s Xs S i Si, i [s] k 1 T k, T < k T k, T < k, R s s1 {T k, T < k, R s} i [s 1] S i Si T k S i Si 1 T s k 1 k 1 T k, T < k T s, X s Xs T s X s Xs λ k 1 n 2 T s, s1 {T s} {X s X s T s s S i 1, i {1,..., s 1} s1 s1

62 X 1,..., X s 1 X 1,..., X s 1 T k, T < k k 1 T k, T < k, R s s1 k 1 T s, X s Xs λ2 n s1 k 1 T s s1 ER n p [n] {1, 2..., n} n N + p [0, 1] n 2 Kn p ER n p G EG V G s, t V G s t v 1,..., v k V G {s, v 1 }, {v k, t} EG {v i, v i+1 } EG, i [k 1] v V G G C {s V G : s v} C max C max C v v V G ER n p p λ/n Z 1 s {1, s} ER n p Z 1 i [n],i 1 1 {{1,i} ERn p} } {{ } Bernoullip Z 1 n 1p n 1 λ n λ λ < 1 C max n P 1, I λ I λ λ 1 λ λ > 1 C max n P ζ λ, ζ λ Poissonλ C max nζ λ n d N0, σ 2 λ, σ 2 λ ζ λ1 ζ λ 1 λ + λζ λ 2

63 Cv v V G G Cv t 0 v w w V G {w, w } EG w w S t t X t t S t S t 1 + X t 1 Cv {t N : S t 0}. N t V G t S t N t t G ER n p X t BinN t 1, p

64 C1 T C1 1 ER n p T X i Binn, p k 0 np C1 k n,p T k Y i Binn N i 1, p N i 1 X i X i X i +Y i Binn, p N i 1 X i X 1,..., X i 1 X 1,..., X i 1 X i i 1 Binn, p S i S i X X 1 i 1 X X 1 i 1 C1 {i : S i 0} {i : S i 0} T. k [n] np C1 k n k,p T k T C1 n k,p k T k {t : N t n k} k i T k X i BinN i 1, p Binn k, p C1 k S i 1, i T k k 1 S i 1, i 1,..., k 1 T k k 1 T k X i X i Binn k, p, i 1 i T k Y i BinN i 1 n k, p N i 1 X i X i + Y i BinN i 1, p N i 1 S i X X i i 1 S i X X i i 1 S i S i { C1 k} {S i k, i T k } {S i 1, i T k } {S i 1, i k 1} {T k}. X k k 1 X 1 R S n X X n, n 1 S 0 0 a X 1 S n na nia a X 1 S n na nia

65 { Ia ta tx } t R t > 0 S n na ts n tna ts n tna t 0 Markov tan tsn tan tx1 n n{at tx 1 } S n na n t 0 {at tx 1 } nia t 0 A0 0 t < 0 {ta atx 1 } {ta atx 1 } }{{} t R At ta tx 1 Jensen ta tx 1 ta t X 1 ta X 1 0. t < 0 S n na ts n tna tna tx 1 n tna n at tx 1 S n na n t 0 {at tx 1 } nia. X i Bernoullip, i 1 X 1 p M X1 t tx 1 p t + 1 p 0 1 p + p t Ia {ta q + p t } t R a p t q+p t Ia at p a t a 1t + a p a 1 aq 1 ap + a p a a p + a 1 q 1 a a a p a p, 1] S n na nia ni pa. 1 a + 1 a. q

66 C max ER n p p λ n λ < 1 λ < 1 Iλ λ 1 λ a > 1 Iλ δ δa, λ, c ca, λ k [a n] λ Cmax a n c, n 1. nδ λ Cmax > k n λ C1 > k n n,p T > k, T X i Binn, p Ŝi ˆX ˆX i i 1 ˆX i Binn, p n,p T > k n,p Ŝi 1 i 1,..., k n,p Ŝk 1 n,p ˆX ˆX k k n,p ˆX ˆX k nk 1 nkip1/n n 1 nki p nk p 1n n 1n pn λk k k λ kλ 1 λ ki λ λ Cmax > k n a n 1I λ I λ n 1 ai λ ei λ δ ai λ 1 c I λ n ai λ 1 C max n 1 I λ 1 I λ n λ < 1 Iλ λ 1 λ ϵ > 0 δ δϵ, λ, c cϵ, λ λ C max P 1 ϵ n I λ c, n 1. nδ

67 X [0, β [0, 1. X β X X 1 β 2 X 2 2. X β X 1 β 2 X2 X 2 X β X X X β 1 X X X β 1 X A 1 X a X X X 1 A + X 1 c A C S X 2 1/2 1A 1/2 + β X A c X 2 1/2 1/2 A + β X 1 β X A 1/2 X 2 1/2 A 1 β 2 X2 X 2, X β 1 2 X 2. X { 0, 1 1 X n n 2, 1 n X n X 2 n 4 1/n n 3 X 2 / X 2 1/n X k N Z k 1 Cv k {v [n] : Cv k}. v [n] C max k Z k 1 C max < k Z k 0 β 0 Z k 0 Z k Z k 2, k k n [a n] a 1 I λ ϵ

68 Z k Z k 1 Cv k n C1 k n n k,p T k, v [n] T Binn k, p λ n k p n k,p T k λ T k + ckλ 2 n kλ n n a nλ n n λ aλ n n λ n n k n a n n kλ 2 n k n k2 p 2 n k k n k λ2 n 2 k n λ2 a n λ 2. n λ T k λ T k λ T k λ k k 1 λ k λ k k 1 k k! k/ k 2πk λ 1 2π k 3/2 λ kλ 1 λ c k 3/2 ki λ+ϵ 1 c λ ki k3/2 n I λ I λ < ϵ 1 a < 1/I λ ai λ < 1 ϵ 2 > 0 ai λ + ϵ 2 + ϵ 3 < 1 n 3/2 < n aϵ 2 λ T k 1 n 3/2 > 1 n aϵ2 c n 1 3/2 n a I λ + ϵ 1 1 n. ai λ+ϵ 1 +ϵ 2 Z k Z k n C1 k n n ai λ+ϵ 1+ϵ 2 n1 ai λ+ϵ 1 +ϵ 2,

69 1 ai λ + ϵ 1 + ϵ 2 0 Z k Z k 1 Ci k, 1 Cj k i,j [n] i,j [n] i,j [n] i [n] { 1 Ci k, 1 Cj k 1 Ci k 1 Cj k } { Ci k, Cj k Ci k 2 } { Ci k Ci k } 2 + { Ci k, Cj k Ci k } 2 Ci k, Cj k i,j [n] i j Ci k, Cj k Ci k, Cj k, i j + Ci k, Cj k, i j Ci k, i j + Ci k, Cj k, i j Ci k, Cj k, i j Ci k, Cj k, i j i [n] n C i k, C j k, i j lk n C i l C j k, i j C i l lk n C i l C j k ER n l p lk n C i l C j k ER n p lk Cj k n Ci l Cj k Ci k Z k { Ci k Ci k } 2 + Ci k, j j i,j [n] i [n] lk Ci k, j j 1 Ci k Ci n i,j [n] i,j [n] i j 1 Ci k 1 i j Ci 1 C1 k

70 X N k N X 1 X k k X k + jk+1 X 1 X k 1 j X 1 X k j1 j1 j1 j1 X j. 1 X k j k X 1 X k X k j X k + X j k X k + jk+1 jk+1 X j. Z kn n k n C1 k n + n k n k n 1I λ + jk n +1 jk n+1 n I λ k n k ni λ + k ni λ 1 I λ c λ n k n kni λ C1 j j 1I λ c λ n a n n a I λ c λ a n 1 Iλ n ϵ Z k n 0 c λ a n 1 Iλ n a c λ n n 1 ai λ ϵ 2 n 1 ai c λ 2ϵ n δ 0. ER n p p λ/n λ > 1 λ 1

71 λ > C max n P ζ λ Poissonλ. C max ζ λ n n d N0, σ 2 λ, σ 2 λ ζ λ1 ζ λ 1 λ + λζ λ. λ 1 λ n 1 + θ/n 1/3, θ R C max n 2/3 b > 0 ω > 1 1 λn ω C max ω 1 b n 2/3 ω λn Cmax n 2/3 / I ω b ω, I ω [ ] 1 ω, ω. ER n p X t t I I I N I [0, ] [0, λ > 0 T i i 1 T i λ S i T T i X t {i 1 : S i t} X t Bt t 0 R B n 1 t 1,..., t n R 0 t 1 < t 2 <... < t n Bt 1, Bt 2 Bt 1,..., Bt n Bt n 1 s, t R 0 s < t Bt Bs N0, t s t Bt B0 0

72 B0 B0 x 1 B x x x B X t Bt B0, t R B0 1 X 1 W Bt X + W t B B 0 t 1 < t 2 <... < t n Bt 1, Bt 2,..., Bt n t 0 0 X k Bt k Bt k 1, k 1,..., n X 1,..., X n X k N0, t k t k 1, k 1,..., n Bt k X X k Bt 1 Bt 2 Bt n X 1 X 2 X n t1 t 0 Z 1 t2 t 1 Z 2 tn t n 1 Z n Z 1,..., Z n N0, 1 X 1,..., X n,

73 x R B0 x s, t 0 Bs, Bt s t s t Bs, Bt Bt t s t Bt B0 N0, t Bt Nx, t s < t Bs, Bt Bs, Bs + Bt Bs Bs, Bs + Bs, Bt Bs s + 0 s s t. n 1 a 1,..., a n R 0 t 0 < t 1 <... < t n B X a 1 Bt a n Bt n Nµ, σ 2 µ 0 σ 2 X 1 Bt 1 X i Bt i Bt i 1 N0, t i t i 1, 2 i n Bt i X 1 + X X i X a 1 X 1 + a 2 X 1 + X a n X X n X 1 a a n + X 2 a a n X n a n n n X i a j i1 ji X Nµ, σ 2 µ 0 σ 2 { n n 2 } a j X i σ 2 i1 ji { n n } a j 2t i t i 1 i1 ji r, s, t R 0 r < s < t B Bs Br Br, Bt Nµ, σ 2 µ s r t r y x σ2 s r t r t s x Br y Bt Z Bs Br W Bt Bs Z Br, Bt Z Br, Bt Br Z Bt Br Z Z + W, Z Bs Br Br

74 f Z,Z+W a, b f Z af W b a hz, W Z, W f Z, W a, b f Z,W h 1 a, b h 1 a, b h 1 a, b h 1 a, b f Z Z+W y+x z f Z Z+W z, y x f Z+W y x 1 1 z 2 2 s r 1 2πs r... f Zzf W y x z f Z+W y x 2πt s 1 2 2πt r 1 y x 2 2 t r 1 2π s rt s t r z µ 2 2σ 2 y x z 2 t s... 0 r < s < t s t+r 2 Br x Bt y Bs Br Br, Bt Nµ, σ 2, µ 1 2 y x σ2 1 t r 4 Bs Br, Bt x + y N, t r Br + Bt 2 t r + Z, Z N0, 1. 4 B 1 N0, 1 D n { k 2, k 0, 1..., 2 n } n Bd Bs Bd Bt d D n n 1 B t+s 2 t + s Bt + Bs 1 B Bt, Bs + Z, Z N0, n+1/2 {Z t : t } D n Z t N0, 1 n 1 B0 0 B0 Z 1 B D n 1 d D n \D n 1 d 1 2, d 1 n 2 n D n 1 F 0 t Bd Bd 2 n + Bd + 2 n 2 Z 1, t 1 0, t 0, t 0, Z n+1/2 d Z t, t 1 2 n+1/2 F n t 0, t 0, D n

75 t D n Bt n k0 F k t F k t B [0, 1] k0 B k [0, 1] Bt B B B k 1 + B k+1 t k, t [k, k + 1, k 0. B B B : Ω C[0, B C[0, f n, f C[0, f n f C[0, k > 0 f n [0,k] f [0,k] df, g n0 1 f g [0,n] 2 f B B A BC[0, B A B A.

76 Bt t 0 F t σ {Bs : s [0, t]} F t t t 0 0 Xt Bt + t 0 Bt 0, t 0 X X F t0 0 s 1 < s 2 <... < s n Xs 1, Xs 2 Xs 1,..., Xs n Xs n 1 Bt 0 + s 1 Bt 0, Bt 0 + s 2 Bt 0 + s 1,..., Bt 0 + s n Bt 0 + s n 1 B 0 s < t Xt Xs Bt 0 + t Bt 0 + s N0, t s X 1 t 0 0 F 0 σ B0 F t0 σ {Bs : s [0, t 0 ]} X F t0 n, l N 0 s 1 <... < s n t 0 0 r 1 <..., r l Bs1, Bs 2,..., Bs n Bt0 + r 1 Bt 0,..., Bt 0 + r l Bt 0 Bt t t 0 F t0 d Bt t t 0 Bt 0 c 0 B Xt d 1 c B c 2 t, t 0 B d B 0 t 0 < t 1 <... t n Xt0, Xt 1 Xt 0,..., Xt n Xt n 1 1 c Bc2 t 0, 1 c Bc2 t 1 1 c Bc2 t 0,..., 1 c Bc2 t n 1 c Bc2 t n 1 1 c Bc 2 t 0, Bc 2 t 1 Bc 2 t 0,..., Bc 2 t n Bc 2 t n 1

77 0 s < t Xt Xs 1 c Bc 2 t Bc 2 s N 0, 1 c c 2 t s 2 N 0, t s. X 1 X0 1 c Bc2 0 B0 0 Xt c 1 B d B B a 0 T B a {t 0 : Bt a}. T B a a 2 T B 1. X a t 1 a Ba2 t, t 0 X a t 1 Ba 2 t a T X a 1 1 a 2 T a B Ta B a 2 T X a d 1 a 2 T1 B d X a B. { 0, t 0 B Xt t B 1 t, t > 0 Xt, Xs s t, s, t 0 Xt 1, Xt 2,..., Xt n T Xt Xt, Xs s t Xt, Xs s B, t B st 1 B, B st s t s t s 1 t s. t 1 t B Bt X t 0 t t t 0 B T + {t > 0 : Bt > 0} T {t > 0 : Bt < 0}. T + T 0 1

78 a > 0 T + d a 2 T + X a t 1 a Ba2 t T + X 1 a T + 2 B x > 0 a > 0 T + > x a 2 T + > x T + > xa 2 a 0 + T + > x T + T 1 0. T T 0 1 B d B {t > 0 : Bt 0} 0 1 Z {t > 0 : Bt 0} 1 λz 0 λ Z Z B 1 0 B λz 1 Bs0 ds 1 Bs0 ds Bs 0 ds 0 }{{} N0,s λz Bt + Bt. t t Bn n +, 1. k > 0 A n { n B n k } A n n A n B1 k > 0. { A n Bn } k C n 1 n σ X n+1, X n+2,..., n1

79 X i i 1 X i Bi Bi 1 n 0 N Bn n X X n X X n X n X n n n n n n { Bn } k σ X n0 +1, X n0 +2,... n { Bn } k C. n Bn k 1, k N n }{{} C k C k 1 C k Bn n k + k1 k1 T 1 < 1 {t : Bt 0} 1

80 t 0 > 0 B B t }{{} 0 0 A t0 Xt Bt 0 + t Bt 0 ω A t0 δω > 0 Xt 0, t [0, δ T X {t > 0 : Xt < 0} δ > 0 T X > 0 0 A t0 {T X > 0} A t 0 0 B 0 B t > 0, t B 1 }{{} A c t t > 0, t B 0. }{{} t>0 Ac t t 0 > 0 B B t }{{} 0 1 C t0 t > 0, B t 1 }{{} t>0 Ct d 1 B 1, B 2,..., B d Bt B 1, B 2,..., B d T, t 0 B0 0 R d B X i i 1 X 1 0 X 1 1 X 1 1 X 1 1 1/2 S 0 0 S n X X n, n 1

81 { Sx, x N Sx, x k, k + 1 k N. n 1 S n : [0, R S nt Snt n. S n C[0, X n n 1 X X n X X n x X x x R F X fx n fx f : R R C[0, f n, f : [0, R f n f u.c. f n f f f n [0,k] 0, k > 0 n df, g n1 1 2 n { { fx gx : x [0, n]} 1 }. F : C[0, R F f f1 f n f [0,1] 0 f n 1 f1 n 0 u.c. f f n S n F : C[0, R F n S n F B, B. S n n N0, 1, X 1 0 X 1 1 Sn n g gz, g : R R Z N0, 1 n g : R R F : C[0, R F f g f1 F f n u.c. f f n 1 f1 g f n 1

82 g f1 g S n1 n g B1 g B1 N0, 1 Sn g B1 n S n n 0 n I n 1 n S 2 2 k, n 1 I n 1 0 k1 Bt 2dt B S tn n Bt t k n 1 n n k1 Sk n 2 1 n S n k1 k k B n n k B n 2 g : R R 1 2 gi n g Bt dt. 1 g F : C[0, R F f g f 2 t dt. 0 u.c. F f n f fnt 2 dt f 2 t dt g fnt 2 dt g 0 1 F B g B 2 t dt 0 1 F Sn F B g B 2 t dt gi n F Sn n 0 1 gi n g S n t 2 n dt f 2 t dt

83 S n n 0 x R 1 n S k < x 1 k n t [0,1] Bt < x S k k B n n k B < x 1 k n n F : C[0, R F f 1 {ft:t [0,1]}<x D F { f : F f } { f : {ft : t [0, 1]} x }. f C[0, {ft : t [0, 1]} x F f u.c. f n f F [0,1] < x n f n [0,1] < x F f n 1 1 F f F [0,1] > x n f n [0,1] > x F f n 0 0 F f f D F X n n 1, X X n X F X n F X F : X R X D F 0 D F F B D F 0 B D F {Bt [0, 1]} x 0. A + n {k n : S k 0} A n Z {t [0, 1] : Bt 0} n S k S n k n n S k k n B n n F f {t : ft 0}

84 Bt d F t σ {Bs : s [0, t]} T : Ω [0, ] T F t {T t} F t, t 0. d 1 T {t > 0 : Bt 3} {T t} { s t : Bs 3} F t T T F T T F T F T { A F : A {T t} F t, t }. B T T < 1 BT + t Bt t T F T B {t 1 : Bt 0} T B1 0 0 T < 1 1 T X t BT +t Bt X t 0, t 0, 1 T B T T < 1 ˆBt { Bt, t [0, T ] 2 BT Bt, t T B 1 B [0,T ], B 2 BT + t Bt, t 0 B 2 B 2 d B 2 B B 1, B 2 ˆB B 1, B 2 Mt { Bs : s [0, t] } t, a > 0 Mt > a 2 Bt > a Bt > a. T a {t > 0 : Bt a} {T a t} F t {T a t} { Bq > a 1 }. n n 1 q [0,t] Q

85 { ˆBt Bt, t [0, Ta ] 2 a Bt, t T a Mt > a Mt > a, Bt > a + Mt > a, Bt < a + Mt > a, Bt a Bt > a + ˆBt > a 2 Bt > a Mt d Bt, t 0 Mt t 0 Bt t 0 Mt t 0 Bt t 0

J J l 2 J T l 1 J T J T l 2 l 1 J J l 1 c 0 J J J J J l 2 l 2 J J J T J T l 1 J J T J T J T J {e n } n N {e n } n N x X {λ n } n N R x = λ n e n {e n } n N {e n : n N} e n 0 n N k 1, k 2,..., k n N λ

Διαβάστε περισσότερα

k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)

Διαβάστε περισσότερα

B G [0; 1) S S # S y 1 ; y 3 0 t 20 y 2 ; y 4 0 t 20 y 1 y 2 h n t: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 1; 3: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 2; 4: r = 10 5 ; a = 10 6 t = 20

Διαβάστε περισσότερα

l 0 l 2 l 1 l 1 l 1 l 2 l 2 l 1 l p λ λ µ R N l 2 R N l 2 2 = N x i l p p R N l p N p = ( x i p ) 1 p i=1 l 2 l p p = 2 l p l 1 R N l 1 i=1 x 2 i 1 = N x i i=1 l p p p R N l 0 0 = {i x i 0} R

Διαβάστε περισσότερα

a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)

Διαβάστε περισσότερα

(a b) c = a (b c) e a e = e a = a. a a 1 = a 1 a = e. m+n

(a b) c = a (b c) e a e = e a = a. a a 1 = a 1 a = e. m+n Z 6 D 3 G = {a, b, c,... } G a, b G a b = c c (a b) c = a (b c) e a e = e a = a a a 1 = a 1 a = e Q = {0, ±1, ±2,..., ±n,... } m, n m+n m + 0 = m m + ( m) = 0 Z N = {a n }, n = 1, 2... N N Z N = {1, ω,

Διαβάστε περισσότερα

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033 Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische

Διαβάστε περισσότερα

A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3

A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 16 0 17 0 17 0 18 0 18 0 19 0 20 A A = A 1 î + A 2 ĵ + A 3ˆk A (x, y, z) r = xî + yĵ + zˆk A B A B B A = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 = A B θ θ A B = ˆn A B θ A B î ĵ ˆk = A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 W = F

Διαβάστε περισσότερα

L A TEX 2ε. mathematica 5.2

L A TEX 2ε. mathematica 5.2 Διδασκων: Τσαπογας Γεωργιος Διαφορικη Γεωμετρια Προχειρες Σημειωσεις Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών Σάμος Εαρινό Εξάμηνο 2005 στοιχεοθεσια : Ξενιτιδης Κλεανθης L A TEX 2ε σχεδια : Dia mathematica

Διαβάστε περισσότερα

Τυπολογίο Μαθηµατικών Μεθόδων Φυσικής ΙΙ

Τυπολογίο Μαθηµατικών Μεθόδων Φυσικής ΙΙ . Μέθοδος Frobenius Τυπολογίο Μαθηµατικών Μεθόδων Φυσικής ΙΙ d w Γενική µορφή της γραµµικής.ε. ης τάξης: dz + P (z)dw + Q(z)w = dz Μορφή της.ε. όταν το σηµείο z = z είναι κανονικό ανώµαλο σηµείο d w dz

Διαβάστε περισσότερα

ẋ = f(x) n 1 f i (i = 1, 2,..., n) x i (i = 1, 2,..., n) x(0) = x o x(t) t > 0 t < 0 x(t) x o U I xo I xo : α xo < t < β xo α xo β xo x(t) t β t α + x f(x) = 0 x x x x V 1 x x o V 1 x(t) t > 0 x o V 1

Διαβάστε περισσότερα

V r,k j F k m N k+1 N k N k+1 H j n = 7 n = 16 Ṽ r ñ,ñ j Ṽ Ṽ j x / Ṽ W 2r V r D N T T 2r 2r N k F k N 2r Ω R 2 n Ω I n = { N: n} n N R 2 x R 2, I n Ω R 2 u R 2, I n x k+1 = x k + u k, u, x R 2,

Διαβάστε περισσότερα

( [T]. , s 1 a as 1 [T] (derived category) Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter 4. [I] XI ). Gelfand Manin [GM1]

( [T]. , s 1 a as 1 [T] (derived category) Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter 4. [I] XI ). Gelfand Manin [GM1] 1 ( ) 2007 02 16 (2006 5 19 ) 1 1 11 1 12 2 13 Ore 8 14 9 2 (2007 2 16 ) 10 1 11 ( ) ( [T] 131),, s 1 a as 1 [T] 15 (, D ), Lie, (derived category), ( ) [T] Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584 Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ 5ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 401-500 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ - ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ - ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ Τµ. Επιστήµης των Υλικών Συνάρτηση Κατανοµής Ορισµός F(x) = P(X x) = f(t) x t x f(t)dt, X διακριτή τ.µ., X συνεχής τ.µ. Ιδιότητες 0 F(x). 2 F είναι αύξουσα συνάρτηση. 3 F είναι συνεχής εκ δεξιών. 4 lim

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ

ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ Τμήμα Φυσικής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ Ι. ΑΡΒΑΝΙΤΙ ΗΣ jarvan@physcs.auth.gr 2310 99 8213 ΘΕΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ ΠΟΛΩΣΗ ΣΥΜΒΟΛΗ ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

(G) = 4 1 (G) = 3 (G) = 6 6 W G G C = {K 2,i i = 1, 2,...} (C[, 2]) (C[, 2]) {u 1, u 2, u 3 } {u 2, u 3, u 4 } {u 3, u 4, u 5 } {u 3, u 4, u 6 } G u v G (G) = 2 O 1 O 2, O 3, O 4, O 5, O 6, O 7 O 8, O

Διαβάστε περισσότερα

È http://en.wikipedia.org/wiki/icosidodecahedron

È http://en.wikipedia.org/wiki/icosidodecahedron À Ô ÐÓ ÖÓÒØ ØÓÙÔ Ö ÕÓÑ ÒÓÙ Ò Ø Ô ØÓÙ Ô Ñ Ð Ø ØÓÙhttp://www.mathematica.grº Å Ø ØÖÓÔ LATEX ÛØ Ò Ã Ð Ò Ø ÃÓØÖôÒ Ä ÙØ Ö ÈÖÛØÓÔ Ô Õ ÐÐ ËÙÒ ÔÓÙÓ ËÕ Ñ Ø Å Õ Ð Æ ÒÒÓ ÉÖ ØÓÌ Ë Ð ¹ ÅÔÓÖ Ò Ò Ô Ö Õ Ò Ò Ñ Ð Ö º ÌÓß

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Δ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Δ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Δ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (5) ΑΘΗΝΑ ΜΑΡΤΙΟΣ 2013 1 ΕΠΕΞΗΓΗΣΗ ΤΥΠΩΝ ΚΑΙ ΣΥΜΒΟΛΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Τυχαία μεταβλητή είναι μία συνάρτηση η οποία να αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

1.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

1.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Κεφ. I Εισαγωγή.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Η ανάγκη µαθηµατικής περιγραφής και µοντελοποίησης συστηµάτων τα οποία εξελίσσονται χρονικά κατά τρόπο που περιέχει, σε µικρό ή µεγάλο βαθµό, τυχαιότητα,

Διαβάστε περισσότερα

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2 F (x) = kx x k F = F (x) U(0) U(x) = x F = kx 0 F (x )dx U(x) = U(0) + 1 2 kx2 x U(0) = 0 U(x) = 1 2 kx2 U(x) x 0 = 0 x 1 U(x) U(0) + U (0) x + 1 2 U (0) x 2 U (0) = 0 U(x) U(0) + 1 2 U (0) x 2 U(0) =

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Σ. ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ, ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης

Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Γραφικά & Οπτικοποίηση Κεφάλαιο 4 Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Εισαγωγή Στα γραφικά υπάρχουν: 3Δ μοντέλα 2Δ συσκευές επισκόπησης (οθόνες & εκτυπωτές) Προοπτική απεικόνιση (προβολή): Λαμβάνει

Διαβάστε περισσότερα

m 1, m 2 F 12, F 21 F12 = F 21

m 1, m 2 F 12, F 21 F12 = F 21 m 1, m 2 F 12, F 21 F12 = F 21 r 1, r 2 r = r 1 r 2 = r 1 r 2 ê r = rê r F 12 = f(r)ê r F 21 = f(r)ê r f(r) f(r) < 0 f(r) > 0 m 1 r1 = f(r)ê r m 2 r2 = f(r)ê r r = r 1 r 2 r 1 = 1 m 1 f(r)ê r r 2 = 1 m

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ % &# &%#'()(! $ * +

!#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584 Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 101-00 Αφιερωμέν σε κάθε μαθητή πυ ασχλείται ή πρόκειται να ασχληθεί με Μαθηματικύς διαγωνισμύς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Στοιχεία Θεωρίας Συνόλων Θεωρούµε Ω το σύνολο αναφοράς. σ-άλγεβρα Εστω A είναι µια κλάση υποσυνόλων του Ω. τ.ω. A είναι µη κενή. 2 A A A c A. 3 A, A 2,... A A A 2...

Διαβάστε περισσότερα

!! " &' ': " /.., c #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",...(.

!!  &' ':  /.., c #$% & - & ' (),..., * +,.. * ' + * - - * (),...(. ..,.. 00 !!.6 7 " 57 +: #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",.....(. 8.. &' ': " /..,... :, 00. c. " *+ ' * ' * +' * - * «/'» ' - &, $%' * *& 300.65 «, + *'». 3000400- -00 3-00.6, 006 3 4.!"#"$

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Ακαδ. Έτος 2010-2011 ιδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ ιδάσκων ε ί Συµβάσει Π. 407/80 v.koutras@fme.aegean.gr

Διαβάστε περισσότερα

1. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 2 ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Παράδειγµα 2

1. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 2 ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Παράδειγµα 2 1. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 2 ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Παράδειγµα 1 ίνεται η συνάρτηση z = f(x,y)= x 3-3xy 2 +y 4 α) να βρεθούν οι πρώτες µερικές παράγωγοι ως προς x,y β) να βρεθούν οι δεύτερες µερικές παράγωγοι ως προς x,y και

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Π Δ Μ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Δρ. Θεόδωρος Ζυγκιρίδης 28 Δεκεμβρίου 211 2 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 1 1.1 Ορισμοί.........................................

Διαβάστε περισσότερα

Σύγκλιση των μερικών αθροισμάτων της σειράς Fourier

Σύγκλιση των μερικών αθροισμάτων της σειράς Fourier Κεφάλαιο 6 Σύγκλιση των μερικών αθροισμάτων της σειράς Fourier Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Zygmund 2002, Katznelson 2004 και Stein and Shakarchi 20. 6. Όχι σύγκλιση σε

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 16 Ιανουαρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k.

σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k. Ασκήσεις από το Διανυσματικός Λογισμός των Marsden - romba και από το alculus του Apostol. 1. Βρείτε τα διανύσματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης και την εξίσωση της εφαπτομένης για κάθε μία από τις

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 13 Δεκεμβρίου 2013

Α Δ Ι. Παρασκευή 13 Δεκεμβρίου 2013 Α Δ Ι Α - Φ 7 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 13 Δεκεμβρίου

Διαβάστε περισσότερα

!"#$%#&'(#)*+,$-.#/ 0%&#1%&%#)*2!1/&%3) 0&/(*+"45 64.%*)52(/7

!#$%#&'(#)*+,$-.#/ 0%&#1%&%#)*2!1/&%3) 0&/(*+45 64.%*)52(/7 !"#$%#&'(#)*+,$-.#/ 0%&#1%&%#)*2!1/&%3) 0&/(*+"45 64.%*)52(/7 2010 2012 !"#$%!&'()$!!"#$% &!#'()* +(, $-(./!'$% $+0 '$ 1!")& '(, 2,3!4#*'& '&5 67µ3(, 0'$# (%!)%/µ(" '&5 $+849!:5 ()(-)&4:;(.# -$% & +4

Διαβάστε περισσότερα

, P bkc (c[0, 1]) P bkc (L p [0, 1]) (1) 2 P bkc (X) O A (2012) Aumann. R. J., [3]. Feb Vol. 28 No.

, P bkc (c[0, 1]) P bkc (L p [0, 1]) (1) 2 P bkc (X) O A (2012) Aumann. R. J., [3]. Feb Vol. 28 No. 212 2 28 1 Pure and Applied Mathematics Feb. 212 Vol. 28 No. 1 P bkc (c[, 1]) P bkc (L p [, 1]) (1) ( (), 364) (G, β, u),,, P bkc (c[, 1]) P bkc (L p [, 1]),. ; ; O174.12 A 18-5513(212)1-99-1 1, [2]. 1965,

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις στην Συναρτησιακή Ανάλυση Κανονική εξεταστική 2009 (μπορεί να περιέχουν λάθη)

Λύσεις στην Συναρτησιακή Ανάλυση Κανονική εξεταστική 2009 (μπορεί να περιέχουν λάθη) Λύσεις στην Συναρτησιακή Ανάλυση Κανονική εξεταστική 009 (μπορεί να περιέχουν λάθη) (L) Θέμα 1 α) i Ένα σύνολο A X λέγεται γραμμικά ανεξάρτητο αν κάθε πεπερασμένο υποσύνολό του είναι γραμμικά ανεξάρτητο.

Διαβάστε περισσότερα

K K 1 2 1 K M N M(2 N 1) K K K K K f f(x 1, x 2,..., x K ) = K f xk (x k ), x 1, x 2,..., x K K K K f Yk (y k x 1, x 2,..., x k ) k=1 M i, i = 1, 2 Xi n n Yi n Xn 1 Xn 2 ˆM i P (n) e = {( ˆM 1, ˆM2 )

Διαβάστε περισσότερα

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mthemtic.gr. Η επιλογή και η φροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mthemtic.gr. Μετατροπές

Διαβάστε περισσότερα

Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA

Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA Eisagwg Οι δυναμοσειρές είναι μια πολύ ενδιαφέρουσα κατηγορία σειρών. Βρίσκουν πολύ σημαντικές εφαρμογές στον ορισμό συναρτήσεων καθώς και σε διάφορες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΤΑΝΕΜΗΜΕΝΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ

ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΤΑΝΕΜΗΜΕΝΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΤΑΝΕΜΗΜΕΝΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ x x x y y x y?? Ευριπίδης Μάρκου Ευάγγελος Κρανάκης Άρης Παγουρτζής Ντάννυ Κριζάνκ ΕΥΡΙΠΙΔΗΣ ΜΑΡΚΟΥ Τµήµα Πληροφορικής µε Εφαρµογές στη Βιοϊατρική Πανεπιστήµιο

Διαβάστε περισσότερα

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Περιοδικός πίνακας: α. Είναι µια ταξινόµηση των στοιχείων κατά αύξοντα

Διαβάστε περισσότερα

Σημείωση. Δημήτρης Φουσκάκης Λέκτορας ΕΜΠ

Σημείωση. Δημήτρης Φουσκάκης Λέκτορας ΕΜΠ Σημείωση Οι σημειώσεις αυτές περιλαμβάνουν λύσεις ασκήσεων Πιθανοτήτων και συγκροτήθηκαν εν όψει των αναγκών των σπουδαστών ΣΕΜΦΕ στo μαθήματα Πιθανότητες του ου εξαμήνου από τον διδάσκοντα Δ Φουσκάκη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt206/nt206.html Πέµπτη 6 Νεµβρίου 206 Ασκηση. Να δειχθεί ότι

Διαβάστε περισσότερα

Οπτική και κύματα Δημήτρης Παπάζογλου Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Περίθλαση

Οπτική και κύματα Δημήτρης Παπάζογλου Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Περίθλαση Οπτική και κύματα Δημήτρης Παπάζογλου daa@matials.uc.g Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Περίθλαση Κύμα συναντά εμπόδιο - Περίθλαση Τα κύματα παρακάμπτουν το εμπόδιο με αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή και η ϕροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mathematica.gr.

Διαβάστε περισσότερα

GENIKA MAJHMATIKA. TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c

GENIKA MAJHMATIKA. TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c GENIKA MAJHMATIKA ΓΙΩΡΓΙΟΣ ΚΑΡΑΒΑΣΙΛΗΣ TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c 26 Μαΐου 2011 Συνάρτηση f ονομάζεται κάθε σχέση από ένα σύνολο A (πεδίο ορισμού) σε σύνολο B με την οποία

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Συναρτησιακής Ανάλυσης. Σηµειώσεις

Στοιχεία Συναρτησιακής Ανάλυσης. Σηµειώσεις Στοιχεία Συναρτησιακής Ανάλυσης Σηµειώσεις σύντοµη εκδοχή Ε. Στεφανόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αιγαίου Καρλόβασι 2016 2 Περιεχόµενα 1 Γραµµικοι χωροι µε νορµα 5 1.1 Γραµµικοί χώροι......................................

Διαβάστε περισσότερα

Αφιερώνεται στα παιδιά μας Σπυριδούλα, Αχιλλέα και Αναστασία

Αφιερώνεται στα παιδιά μας Σπυριδούλα, Αχιλλέα και Αναστασία 0 3 10 71 < < 3 1 7 ; (y k ) 0 LU n n M (2; 4; 1; 2) 2 n 2 = 2 2 n 2 n 2 = 2y 2 n n ' y = x [a; b] [a; b] x n = '(x n 1 ) (x n ) x 0 = 0 S p R 2 ; S p := fx 2 R 2 : kxk p = 1g; p = 1; 2; 1 K i

Διαβάστε περισσότερα

Ó³ Ÿ , º 2(131).. 105Ä ƒ. ± Ï,.. ÊÉ ±μ,.. Šμ ² ±μ,.. Œ Ì ²μ. Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê

Ó³ Ÿ , º 2(131).. 105Ä ƒ. ± Ï,.. ÊÉ ±μ,.. Šμ ² ±μ,.. Œ Ì ²μ. Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê Ó³ Ÿ. 2006.. 3, º 2(131).. 105Ä110 Š 537.311.5; 538.945 Œ ƒ ˆ ƒ Ÿ ˆŠ ˆ ƒ Ÿ ƒ ˆ œ ƒ Œ ƒ ˆ ˆ Š ˆ 4 ². ƒ. ± Ï,.. ÊÉ ±μ,.. Šμ ² ±μ,.. Œ Ì ²μ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê ³ É É Ö μ ² ³ μ É ³ Í ² Ö Ê³ μ μ ³ É μ μ μ²ö

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA) ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 12 Μαίου 2016 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

1 Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών

1 Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών Μερικές χρήσιμες ταυτότητες + r + r 2 + + r n = rn r r + 2 + 3 + + n = 2 n(n + ) 2 + 2 2 + 3 2 + n 2 = n(n + )(2n + ) 6 Ανισότητα Cauchy Schwarz ( n ) 2 ( n x i y i i=

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ-IV ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΑ ΥΝΑΜΙΚΑ - ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΦΑΣΕΩΝ

ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ-IV ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΑ ΥΝΑΜΙΚΑ - ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΦΑΣΕΩΝ ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ-IV ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΑ ΥΝΑΜΙΚΑ - ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΦΑΣΕΩΝ Σταύρος Κ. Φαράντος Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής οµής και Λέιζερ, Ιδρυµα Τεχνολογίας και Ερευνας,

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΕΜΗΣ ΜΗΤΣΗΣ TΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ

ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΕΜΗΣ ΜΗΤΣΗΣ TΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΕΜΗΣ ΜΗΤΣΗΣ TΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ Περιεχόμενα 1. Το εξωτερικό μέτρο Lebesgue 2 2. Mετρήσιμα σύνολα 4 3. Η κανονικότητα του μέτρου Lebesgue

Διαβάστε περισσότερα

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΟΜΗ ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Ατομική ακτίνα (r) : ½ της απόστασης μεταξύ δύο ομοιοπυρηνικών ατόμων, ενωμένων με απλό ομοιοπολικό δεσμό.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΣΗΜΖΖ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΔΤΡΩΠΑΗΚΟΤ ΣΤΠΟΤ (CURRENCY OPTIONS, BINARY OPTIONS, COMPOUND OPTIONS, CHOOSER OPTIONS, LOOKBACK OPTIONS, ASIAN OPTIONS)

ΑΠΟΣΗΜΖΖ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΔΤΡΩΠΑΗΚΟΤ ΣΤΠΟΤ (CURRENCY OPTIONS, BINARY OPTIONS, COMPOUND OPTIONS, CHOOSER OPTIONS, LOOKBACK OPTIONS, ASIAN OPTIONS) ΑΠΟΣΗΜΖΖ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΔΤΡΩΠΑΗΚΟΤ ΣΤΠΟΤ (CURRENCY OPIONS, BINARY OPIONS, COMPOUND OPIONS, CHOOSER OPIONS, LOOKBACK OPIONS, ASIAN OPIONS) ΣΑΝΣΟΤΛΟΤ ΔΛΔΝΖ ΔΠΗΒΛΔΠΩΝ ΚΑΘΖΓΖΣΖ: ΠΖΛΗΩΣΖ ΗΩΑΝΝΖ ΔΘΝΗΚΟ ΜΔΣΟΒΗΟ ΠΟΛΤΣΔΥΝΔΗΟ

Διαβάστε περισσότερα

x(n) h(n) = h(n) x(n)

x(n) h(n) = h(n) x(n) ΣΥΝΕΛΙΞΗ Ορισμός: H συνέλιξη δύο σημάτων x(n) και h(n) είναι ένα τρίτο σήμα y(n) που ορίζεται ως yn ( ) = x(n) h(n) = x(k)h( n k) k= M yn ( ) = x(n) h(n) = lim x(k)h(n k) M (M+ ) k= M Tο κάθε δείγμα του

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Ανέπτυξα την παρακάτω μεθοδολογία που με βοήθησε να ανταπεξέλθω στο

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Α' ΜΕΡΟΣ (ΑΛΓΕΒΡΑ) 1 ΠΙΝΑΚΕΣ- ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1 Α' Ομάδας i) 3x7 ii) π.χ. το στοιχείο α 12 μας πληροφορεί ότι η ομάδα «ΝΙΚΗ» έχει 6 νίκες. x = -7, y = 8, ω = 8..i) x

Διαβάστε περισσότερα

P(Ο Χρήστος κερδίζει) = 1 P(Ο Χρήστος χάνει) = 1 P(X > Y ) = 1 2. P(Ο Χρήστος νικά σε 7 από τους 10 αγώνες) = 7

P(Ο Χρήστος κερδίζει) = 1 P(Ο Χρήστος χάνει) = 1 P(X > Y ) = 1 2. P(Ο Χρήστος νικά σε 7 από τους 10 αγώνες) = 7 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-27: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 28 ιδάσκων: Π. Τσακαλίδης Λύσεις Εβδοµης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης: 3/2/28 Ηµεροµηνία Παράδοσης: 7/2/28

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΘΕΡΜΟΦΥΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΤΡΟΦΙΜΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΘΕΡΜΟΦΥΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΘΕΡΜΟΦΥΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΤΡΟΦΙΜΩΝ Εισαγωγή Η µελέτη και ο σχεδιασµός όλων των διεργασιών των τροφίµων απαιτούν τη γνώση των θερµοφυσικών ιδιοτήτων τους. Τα τρόφιµα είναι γενικά ανοµοιογενή

Διαβάστε περισσότερα

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14 1 Λ. Ζαχείλας Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Οικονομική Δυναμική 9 Συνεχή δυναμικά συστήματα Μέρος 1 ο Λουκάς Ζαχείλας Ορισμός Διαφορικής

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις για το μάθημα: «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α )

Σημειώσεις για το μάθημα: «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α ) Χρήστος Ι Σχοινάς Αν Καθηγητής ΔΠΘ Σημειώσεις για το μάθημα «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α ) ΞΑΝΘΗ, 008 - - - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΝΥΣΜATA Ορισμοί και ιδιότητες Συχνά, σε διάφορα προβλήματα στα Μαθηματικά,

Διαβάστε περισσότερα

Παράγωγος Συνάρτησης. Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) = lim.

Παράγωγος Συνάρτησης. Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) = lim. Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) f(x) f(ξ) x ξ Ορισμός Cauchy: ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0 x x ξ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων µιας Μεταβλητής

ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων µιας Μεταβλητής Σηµειωσεις: ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων µιας Μεταβλητής Θ. Κεχαγιάς Σεπτέµβρης 9 v..85 Περιεχόµενα Προλογος Εισαγωγη Βασικες Συναρτησεις. Θεωρια..................................... Λυµενα Προβληµατα.............................

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Τµ. Επιστήµης των Υλικών Είδη τυχαίων µεταβλητών 1. ιακριτού τύπου X ονοµάζεται διακριτή τ.µ. αν το πεδίο τιµών της είναι της µορφής, {x 1, x 2,...,x n,...}. f(x) = P(X = x) ονοµάζεται συνάρτηση πυκνότητας

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαίες μεταβλητές και μέση τιμή

Τυχαίες μεταβλητές και μέση τιμή Κεφάλαιο 12 Τυχαίες μεταβλητές και μέση τιμή Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Ross 1976, Grinstead and Snell 2012 και Hoel, Port, and Stone 1971. 12.1 Τυχαίες μεταβλητές και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 29 ΙΟΥΛΙΟΥ 2006 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 29 ΙΟΥΛΙΟΥ 2006 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΛΟΓΙΚΗ - ΘΕΩΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΨΗ 1 ου Μαθήματος

ΣΥΝΟΨΗ 1 ου Μαθήματος Ενημέρωση Η διδασκαλία του μαθήματος, πολλά από τα σχήματα και όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή Φυσική» του Hugh Young των Εκδόσεων Παπαζήση, οι οποίες μας επέτρεψαν τη χρήση

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές διαδικασίες. Γραµµικά συστήµατα. Αλυσίδες Markov. Θεωρία πληροφοριών. Γιάννης Α. Φίλης

Στοχαστικές διαδικασίες. Γραµµικά συστήµατα. Αλυσίδες Markov. Θεωρία πληροφοριών. Γιάννης Α. Φίλης ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΙΑ ΙΚΑΣΙΕΣ Στοχαστικές διαδικασίες Γραµµικά συστήµατα Αλυσίδες Markov Θεωρία πληροφοριών Γιάννης Α Φίλης Πολυτεχνείο Κρήτης - Σεπτέµβριος 6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ I ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n, l)

τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n, l) ΑΤΟΜΙΚΑ ΤΡΟΧΙΑΚΑ Σχέση κβαντικών αριθµών µε στιβάδες υποστιβάδες - τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n,

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο Αλγεβρικές Δομές ΙΙ 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο C(R) = {a R/ax = xa, για κάθε x R} είναι υποδακτύλιος του R, και λέγεται κέντρο του δακτυλίου R. Ά σ κ η σ η 1.2

Διαβάστε περισσότερα

Αθροισιμότητα σειρών Fourier

Αθροισιμότητα σειρών Fourier Κεφάλαιο 4 Αθροισιμότητα σειρών Fourier Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Zygmund 22, Katznelson 24 και Stein and Shakarchi 2. 4. Θεώρημα Μοναδικότητας Μπορούν δύο διαφορετικές

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. 1. Ο ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Οι άνθρωποι από την φύση τους θέλουν να πετυχαίνουν σπουδαία αποτελέσµατα καταναλώνοντας το λιγότερο δυνατό κόπο και χρόνο. Για το σκοπό αυτό προσπαθούν να οµαδοποιούν τα πράγµατα

Διαβάστε περισσότερα

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial)

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ~B(n,p) n N και 0

Διαβάστε περισσότερα

......

...... ...... m() 1 m() E(X; ) 1 m() 1 m() E(X; ) 1 m() E 1 (X; ).1 E 1 (X; ) E 2 (X; ).5 m() E 1 (X; ) E 2 (X; ) E 3 (X; ) 1 m() E 1 (X; ) E 2 (X; ) 2 E 2 (X; ) E 3 (X; ).5 m() E 1 (X; ) E 2 (X; ) E

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Περίοδοι περιοδικού πίνακα Ο περιοδικός πίνακας αποτελείται από 7 περιόδους. Ο αριθμός των στοιχείων που περιλαμβάνει κάθε περίοδος δεν είναι σταθερός, δηλ. η περιοδικότητα

Διαβάστε περισσότερα

3. lim [f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x) x xo x xo x xo x xo x xo v f(x) lim f(x) x xo lim = x xo g(x) lim g(x) x xo v lim [f(x)] = lim f(x) 6. li

3. lim [f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x) x xo x xo x xo x xo x xo v f(x) lim f(x) x xo lim = x xo g(x) lim g(x) x xo v lim [f(x)] = lim f(x) 6. li Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να γνωρίζει: Τον ορισµό της συνάρτησης και τον τρόπο εύρεσης του πεδίου ορισµού της. Τις πράξεις µεταξύ συναρτήσεων, τις γραφικές παραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚEΦΑΛΑΙΟ 1. Πίνακες. Από τα παραπάνω γίνεται αντιληπτό ότι κάθε γραµµή και στήλη ενός πίνακα A ορίζει µονοσήµαντα τη θέση κάθε στοιχείου A

ΚEΦΑΛΑΙΟ 1. Πίνακες. Από τα παραπάνω γίνεται αντιληπτό ότι κάθε γραµµή και στήλη ενός πίνακα A ορίζει µονοσήµαντα τη θέση κάθε στοιχείου A ΚEΦΑΛΑΙΟ Πίνακες Εστω και είναι το σώµα των πραγµατικών και των µιγαδικών αριθµών αντιστοίχως Στο εξής όταν γράφουµε F θα εννοούµε είτε το είτε το Ορισµός Eστω F = ή και m, Κάθε ορθογώνια διάταξη m A F

Διαβάστε περισσότερα

Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence MRI in Multiple Sclerosis

Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence MRI in Multiple Sclerosis Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence MRI in Multiple Sclerosis Daniel García-Lorenzo To cite this version: Daniel García-Lorenzo. Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence

Διαβάστε περισσότερα

Isoperimetrikèc anisìthtec kai sugkèntrwsh tou mètrou

Isoperimetrikèc anisìthtec kai sugkèntrwsh tou mètrou Kefˆlaio 3 Isoperimetrikèc anisìthtec kai sugkèntrwsh tou mètrou 3.1 MetrikoÐ q roi pijanìthtac 3.1αʹ Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός 3.1.1 (μετρικός χώρος πιθανότητας). Εστω (X, d) ένας μετρικός χώρος.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΙΚΕΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

ΜΕΡΙΚΕΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΡΙΚΕΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Στις ενότητες που ακολουθούν εξετάζουμε συνεχείς κατανομές με ευρεία χρήση στις εφαρμογές. Σε αυτές περιλαμβάνονται η ομοιόμορφη, η εκθετική, η Γάμμα και η

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ. Άσκηση. γραμμάτων του επιθέτου σας (π.χ. για το επίθετο Κοσματόπουλος, οι αριθμοί α ι θα είναι a

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ. Άσκηση. γραμμάτων του επιθέτου σας (π.χ. για το επίθετο Κοσματόπουλος, οι αριθμοί α ι θα είναι a Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Άσκηση Θεωρείστε το σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς: Y ( s) a s 4 3 a3s a U ( s) s a όπου οι αριθμοί α ι αντιστοιχούν στους αντίστοιχους αριθμούς των 4 πρώτων γραμμάτων του

Διαβάστε περισσότερα

+ 1 n 5 (η) {( 1) n + 1 m

+ 1 n 5 (η) {( 1) n + 1 m Κεφάλαιο Τοπολογία του. Στοιχεία Θεωρίας Ορισµός Αν α και ɛ > ονοµάζουµε ɛ-περιοχή του α ή περιοχή κέντρου α και ακτίνας ɛ και συµβολίζουµε N α (ɛ) το σύνολο όλων των αριθµών που έχουν απόσταση από το

Διαβάστε περισσότερα

a -80.6MPa, m =49.4MPa a =80.6MPa, m =-49.4MPa. a =49.4MPa, m =-80.6MPa a =-49.4MPa, m =-80.6MPa

a -80.6MPa, m =49.4MPa a =80.6MPa, m =-49.4MPa. a =49.4MPa, m =-80.6MPa a =-49.4MPa, m =-80.6MPa 1 2 1 2 3 4 5 0.24 0.24 4.17 4.17 6 a m a -80.6MPa, m =49.4MPa a =80.6MPa, m =-49.4MPa a =49.4MPa, m =-80.6MPa a =-49.4MPa, m =-80.6MPa 1 7 max min m a r 8 9 1 ] ] S [S] S [S] 2 ] ] S [S] S [S] 3 ] ] S

Διαβάστε περισσότερα

Η μέθοδος του κινουμένου τριάκμου

Η μέθοδος του κινουμένου τριάκμου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Ειδίκευση Θεωρητικών Μαθηματικών Σ Σταματάκη Η μέθοδος του κινουμένου τριάκμου Σημειώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,

Διαβάστε περισσότερα

2 3x 5x x

2 3x 5x x ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι ΙΩΑΝΝΗΣ Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

Š ˆ ˆ ˆ Š ˆ ˆ Œ.. μ É Ó

Š ˆ ˆ ˆ Š ˆ ˆ Œ.. μ É Ó ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2011.. 42.. 2 Š ˆ ˆ ˆ Š ˆ ˆ Œ.. μ É Ó Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê ˆ 636 ˆ ˆ Šˆ Œ ˆŸ ˆŒˆ - Šˆ Œ Š ˆ ˆ 638 Š ˆ ˆ ˆ : ˆ ˆŸ 643 ˆ ˆ Šˆ Š 646 Œ ˆ Šˆ 652 Œ ˆ Šˆ Š ˆ -2 ˆ ˆ -2Œ 656 ˆ ˆ Šˆ Š œ Š ˆ Œ

Διαβάστε περισσότερα

-! " #!$ %& ' %( #! )! ' 2003

-!  #!$ %& ' %( #! )! ' 2003 -! "#!$ %&' %(#!)!' ! 7 #!$# 9 " # 6 $!% 6!!! 6! 6! 6 7 7 &! % 7 ' (&$ 8 9! 9!- "!!- ) % -! " 6 %!( 6 6 / 6 6 7 6!! 7 6! # 8 6!! 66! #! $ - (( 6 6 $ % 7 7 $ 9!" $& & " $! / % " 6!$ 6!!$#/ 6 #!!$! 9 /!

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΙI ΕΔΡΑΝΑ ΟΛΙΣΘΗΣΗΣ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΙI ΕΔΡΑΝΑ ΟΛΙΣΘΗΣΗΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΙI ΕΔΡΑΝΑ ΟΛΙΣΘΗΣΗΣ Πάτρα 005 Έδρανα ολίσθησης Σελίδα - - 1.1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΔΡΑΝΩΝ ΟΛΙΣΘΗΣΗΣ 1.1.1 ΑΣΚΗΣΗ Ένα πλήρες έδρανο ολίσθησης έχει διάμετρο 0 /d 1. Το φορτίο του

Διαβάστε περισσότερα

Η Πιθανοθεωρητικη Μεθοδος

Η Πιθανοθεωρητικη Μεθοδος Τζιατζιος Νικολαος Η Πιθανοθεωρητικη Μεθοδος Μεταπτυχιακη Εργασια Πανεπιστήµιο Αιγαίου, Τµήµα Μαθηµατικών Σάµος 2 Ιουνίου 2005 Εισηγητης : Τσολοµύτης Αντώνης Επιτροπη Ανούσης Μιχάλης Τσολοµύτης Αντώνης

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος ιαφορικές Εξισώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Ατελείς ιδιοτιμές Εκθετικά πινάκων Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh

Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh Ginnhc K. Sarant pouloc jnik Mets bio Poluteqne o Sqol farmosmłnwn Majhmatik n & Fusik n pisthm n TomŁac Majhmatik n 22 Febrouar ou 28 Perieqìmena Συμβολισμός

Διαβάστε περισσότερα

Vn 1: NHC LI MT S KIN TH C LP 10

Vn 1: NHC LI MT S KIN TH C LP 10 Vn : NHC LI MT S KIN TH C LP 0 Mc ích ca vn này là nhc li mt s kin thc ã hc lp 0, nhng có liên quan trc tip n vn s hc trng lp. Vì thi gian không nhiu (khng tit) nên chúng ta s không nhc li lý thuyt mà

Διαβάστε περισσότερα

χ (1) χ (3) χ (1) χ (3) L x, L y, L z ( ) ħ2 2 2m x + 2 2 y + 2 ψ (x, y, z) = E 2 z 2 x,y,z ψ (x, y, z) E x,y,z E x E y E z ħ2 2m 2 x 2ψ (x) = E xψ (x) ħ2 2m 2 y 2ψ (y) = E yψ (y) ħ2 2m 2 z 2ψ (z)

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Φυσική Γ Λυκείου ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ. Επιμέλεια: ΘΕΟΛΟΓΟΣ ΤΣΙΑΡΔΑΚΛΗΣ

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Φυσική Γ Λυκείου ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ. Επιμέλεια: ΘΕΟΛΟΓΟΣ ΤΣΙΑΡΔΑΚΛΗΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Φυσική Γ Λυκείου Επιμέλεια: ΘΕΟΛΟΓΟΣ ΤΣΙΑΡΔΑΚΛΗΣ e-mail: info@iliaskos.gr www.iliaskos.gr - f= f= f t+ 0 ) max

Διαβάστε περισσότερα