(x y) = (X = x Y = y) = (Y = y) (x y) = f X,Y (x, y) x f X
|
|
|
- Ακταίων Χριστόπουλος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 X, Y f X,Y x, y X x, Y y f X Y x y X x Y y X x, Y y Y y f X,Y x, y f Y y f X Y x y x y X Y f X,Y x, y f X Y x y f X,Y x, y f Y y x y X : Ω R Y : Ω E X < y Y Y y 0 X Y y x R x f X Y x y gy X Y gy gy : Ω R X Y Xω X Y X Y X Y y + x f X Y x y dx
2 x f X x y 1 Y f Y y x f X,Y x, y 1 X <. f Y y x R x R gy 1 gy Y {a E : f Y a 0} f Y a 0. }{{} a A A Y X X Y y Y 1/2 X Y y Biny, 1 2 f X x y 1 y, x 0, 1,..., y Y x 2y X Y y y 2 X Y Y 2 X : Ω R Y : Ω S gy X Y Y XhY gy hy, h : S [0, 1] XhY X Y hy, h : S [0, 1] h M R h : S [ M, M] X Y gy hy hy x f X x y f Y y Y y S x R hy x f X,Y x, y y S x R x hy f X,Y x, y XhY y S x R
3 ϕ : S R g XhY ϕy hy y 0 S h Y0 y 1 Y y0 x h Y0 y f X,Y x, y x h Y0 y f X,Y x, y 0 x R y S x R x R x f X,Y x, y 0 ϕy 0 f Y y 0 ϕy 0 x R x f X Y x y 0 gy 0 y 0 ϕ g g Y X, X 1, X 2 : Ω R Y : Ω S Z : Ω S X 1 + X 1 + X < c 1 X 1 + c 2 X 2 Y c 1 X 1 Y + c 2 X 2 Y X Y X X, Y X Y c c X f : S R XfY Y fy X Y X Y X Y X Y, Z Y X Y X 1 X 2 X 1 Y X2 Y g 1 Y X 1 Y g 2 Y X 2 Y c 1 g 1 Y + c 2 g 2 Y Y h : S [0, 1] c 1 g 1 Y + c 2 g 2 Y hy c 1 g 1 Y hy + c 2 g 2 Y hy h 1 h : S [0, 1] c 1 X 1 Y hy + c 2 X 2 Y hy c 1 X 1 + c 2 X 2 hy XhY X hy c hy c hy
4 h : S [0, 1] fy X Y hy X Y fy hy 3 X fy hy X Y X + X Y X + Y X Y X + Y + X Y X Y h : S R hy hy, Z X Y, Z hy X hy X Y hy X Y, Z Y gy X Y X Y X Y X EgY y R gy f Y y y R X Y y Y y X k k 1 e ax i < a R N X k k 1 N \ {0} S n X X n n 1 S N ω S Nω ω gn e as N λ e ax 1 N n e asn N n 3 e asn e ax1+...+xn e ax1 n e as N e as n e as N e ax 1 N N λ N N n, n1
5 n n n 1 n R n R n n n M n i {1,... n}, X i 1 { i } M n n X i M n i1 n X i n X 1 n 0 X X 1 1 n X 1 1 n 1 n 1 i1 R n n R 1 1 R k k, k < n R n R n M n n R n M n k M n k k0 R n M n 0 M n R n M n 0 + n R n M n k M n k k1 n 1 + R n k M n k k1
6 1 Mn 0 n n R n M n 0 + M n k + R n k M n k 1 + k1 k1 n n k M n k k1 1 + n 1 M n 0 M n n 1 M n 0 R n n X n n 0 Y n n 0 Ω Y n : Ω R n N Y n n 0 X n n 0 n N Y n < Y n+1 X 0, X 1,..., X n Y n Y n Y n+1 X 0, X 1,..., X n Y n+1 Y n n 0 X k k 1 { 1, 1} S 0 0, S n X X n n 1 S n n 0 X k k 1 n N S n n S n < n 0 S 1 S 1 0 S 0 n 1 S n+1 X 1,..., X n S n + X n+1 X 1,..., X n S n X 1,..., X n + X n+1 X 1,..., X n S n + X n+1 S n, p 1 2, 1] X k k 1 X k 1 p X k 1 1 p q k N S 0 0 Sn M 0 1 S n X X n M n q p n 1 Mn n 0 X k k 1 S n n X 1 np q L n S n np q L n n 0
7 X k k 1 n, M n n 0 n n N 0 M n q p M n < n 0 M 1 M 1 p q p 1 + q q p 1 p + q 1 M 0 n 1 M n+1 q Sn q Xn+1 X 1,..., X n X 1,..., X n p p 4 q Xn+1 M n X 1,..., X n [M n X 1,..., X n ] p 3 q Xn+1 M n [ X 1,..., X n ] p q 1 Xn+1 q 1 Xn+1 M n p p M n q + p M n M n n 0 X k k 1 X n n 1 X : Ω R X < Y 0 X Y n X X 1,..., X n n 1 Y n n 0 X n n 1 Y n X X 1,..., X n 4,5 X < n 0 Y 1 X X1 6 X Y 0 n 1 Y n+1 X 1,..., X n X X 1,..., X n+1 X 1,..., X n 6 X X 1,..., X n Y n Y n n 0 X n n 1 σ F D : Ω R D 1 D F 0 ad F a 2 /2 a R f : R R fx ax fλx + 1 λy λfx + 1 λfy x, y R λ [0, 1] f ad 1 D 2 a D a 2
8 F ad F 1 2 a a 1 2 k0 a k k0 k! a 2k 2k! k0 a k k! e a2 /2 k0 a 2k 2 k k! 2k! > 2 k k! Y n n 0 σ F n n 0 K n n 1 Y n Y n 1 K n 1 n 1 Y n Y 0 x 2 x 2 2 n K 2 i1 i θ R θy n Y 0 θy n Y 0 F n 1 θy n Y n 1 +θy n 1 Y 0 F n 1 θy n 1 Y 0 θy n 1 Y 0 F n 1 A Y n Y n 1 K n A F n 1 0 θy n Y n 1 F n 1 θk n θ 2 K 2 A n F n 1 2 θyn Y0 θ 2 K 2 n 2 θyn 1 Y0 θ2 K Kn 2 2 Y n Y 0 x θy n Y n 1 θx θy n Y n 1 θx Markov 1 θx θy n Y 0 θx+ 1 2 θ 2 K K2 n
9 θ θ R θ gθ θx θ2 K Kn 2 x θ 0 gθ K x K2 n 2 n Ki 2 i1 Y n Y 0 x θx+ 1 2 θ2 K K2 n
10 X n n 1 X 1 1 p X p p 0, 1 S n X X n Y n S n np n 1 Y 0 0 Y n n 0 X n n 1 Y n S n np 0 < n 1 Y 1 Y 1 S 1 p 0 Y 1 n 1 Y n+1 X 1,..., X n S n + X n+1 n + 1p X 1,..., X n S n np + X n+1 p X 1,..., X n Y n + X n+1 p Y n Y n+1 Y n X n+1 p {p, 1 p} n 0 µ {p, 1 p} Y n+1 Y n µ n 0 Y n Y 0 x 2 x2 2nµ x > 0 S n np x 2 x2 2nµ x > 0 xy n S n np y n y2 2µ Sn np y y2 2µ n }{{} Z Z y y2 2µ S n np n p1 p N0, 1 Γ n [n] : {1, 2,..., n} f : Γ n R f 1 A A f 2 A A n N G Γ n m n 2 e1, e 2..., e m Y i 1 ei G i [m] X i fg Y 1,..., Y i i 0, 1,..., m X 0 fg X m fg X i i0,...,m Y i i [m] p 0, 1 K n p G G Gn, p G G3, 1 2 fh X H H H Γ n X i H X H Y 1,..., Y i
11 n Γn X 3 H X H X 2 H X G e 1, e 2 X 2 H X G e 1 X 0 H X G F i 1, 2,..., i X i fg F i, i 0,..., n n N p 0, 1 G Gn, p c X G X G c > λ n 1 < 2 λ2 2 X 1, X 2,..., X n X G X G c X G F n X G X i 1 X i+1 X i + 1 X i G i X i G X G X i G + 1 c i X i G F i X G F i 1 + X i G F i X i G F i 1 X G F i X i G F i 1 c i c i X i 1 X i 1 + c i X i c i 1 X i 1 + X i 1 X i i F i F i 1
12 X i+1 X i 1 K i i 1, 2..., 1 X n Y 1 x 2 xλ n 1 X G c λ n 1 λ2 2 x 2 2 n 1 i1 K2 i x2 n 1
13 X n n 0 Y n n 0 Ω Y n : Ω R Y n < n N Y n n 0 X n n 0 n N Y n+1 X 0, X 1,..., X n Y n Y n n 0 X n n 0 n N Y n+1 X 0, X 1,..., X n Y n I R X I X < ϕ : I R ϕ X F ϕx F I R X n n 0 F n n 0 ϕ : I R X n I n N ϕx n < ϕx n n 0 X n n 0 ϕx n+1 F n Jensen ϕ X n+1 F n ϕx n I R X n n 0 F n n 0 ϕ : I R X n I n N ϕx n < ϕx n n 0 X n n 0 ϕx n+1 F n Jen. ϕ ϕ X n+1 F n ϕxn }{{} X n Y Y n n 0 R [a, b] R a < b T 1 {n 0 : Y n a} T 2 {n T 1 : Y n b} T 2k 1 {n T 2k 2 : Y n a} T 2k {n T 2k 1 : Y n b} [a, b] Y [T 2k 1, T 2k ] k 1 U n a, b ; Y [a, b] Y [0, n]
14 Ua, b ; Y n U na, b ; Y Y Y n n 0 R Ua, b ; Y < a, b Q a < b n Y n R {, + } Y n m, M R {, + } n Y n m Y n M n n m M Q R a, b Q m < a < b < M Ua, b ; Y m M n Y n R {, + } Y Y n n 0 a < b U n a, b ; Y Y n a + Y 0 a + b a ϕx x a + Z Z n n 0 Z n Y n a + n N U n a, b ; Y U n 0, b a ; Z i N { 1 i T2k 1, T I i 2k ] k 1 0 b a U n 0, b a ; Z n i1 Z i Z i 1 I i {i N : I i 1} U n 0, b a ; Z T 2k Z i Z i 1 Z T2k Z T2k 1 b a it 2k 1 I i F i 1 {I i 1} i { i T2k 1 T 2k ] } k1 i k1 {T 2k 1 i 1} \ {T 2k i 1} F i 1 b a U n 0, b a ; Z n i1 Z i Z i 1 I i b a U n 0, b a ; Z n Z i Z i 1 I i i1
15 Z i Z i 1 I i b a U n 0, b a ; Z Z i Z i 1 I i F i 1 I i Z i Z i 1 F i 1 I i Zi F i 1 Z i 1 }{{} 0 Z i F i 1 Z i 1 Zi Z i 1 n Z i Z i 1 Z n Z 0 Y n a + Y 0 a + i1 Y Y n n 0 < Y n : Y 1 Y < n Y n + n 0 M n 0 Y n + R a, b R a < b Y n a + Y n + + a U n a, b ; Y Y n a + M + a b a b a U n a, b ; Y n n U na, b ; Y U na, b ; Y M + a n b a < Ua, b ; Y < 1 A a,b Ua, b ; Y < A A a,b 1 a,b Q,a<b A Ua, b ; Y <, a, b Q a < b n Y n ω A Y n Y n R {, + } Y + n Y + n n Y + n M <
16 Y n Y + n Y n }{{} Y 0 M Y 0 Y Yn n M Y 0 < Y Y + + Y < Y Y n n 0 n Y n : Y Y Y 0 W n Y n n N n W n + 0 < W n n Y n Y n+1 Y 0 n N Y Y n Y n Y 0 n n X n n 1 X 1 1 p X 1 1 q p 1 2, 1 q 1 p S 0 0 S n X X n n 1 Y n q Sn p r S n r < 1 Y n n 0 X n n 1 Y n 0 n 0 Y Y n Y < n Y n {r k : k Z} A n N Y A Y Y < Y r k k Z Y n Y 0 S n
17 Z n n 1 a n, 1 2n 2 Z n 0, 1 1 n 2 a n, 1 2n 2 a 1 2 a n 4 a a n 1 Y n Z Z n Z n n 1 n Y n n 1 Y n + Z n 0 Z n 0 Zn a n + Z n a n 1 n 2 < n1 n1 {Z n 0} 0 n 1 Y n n a 2 8, a ,..., a n 8 5 n 2 n 2 Y n a n Z n a n, Z n 1 0,..., Z 2 0, Z 1 a n n 2 1 n n 2 2 n } {{ } c>0, n 1 c n 0, 1, n 1 n 1 c n > 0 n1 c n < n1 8 5 n 2 n 2n + 2 n 1 Y n + Ω, F, P X n : Ω R n N X : Ω R Ω X n X X n as X, {ω : n X nω Xω} 1
18 X n X p p 1 X n L p X X n X p n 0 X n X X n P X, X n X > ε n 0, ε > 0 X n X X n X n x n X x d X Xn X, x R F X x X x X n n 0 X n 0 n 0 X n X n n n X n n 0 X n 0 n 0 X n ω X n+1 ω, n N ω Ω X n X n n x X n n 0 X n as Y, n 1, ω Ω Y < X n X X n X n X n n 0 X n M < as, n 1, ω Ω X n X X n X n X n as X X n P X X n L p X p 1 X n P X X n P X Xn d X
19 ε > 0 X n X > ε 1 Xn X >ε 0 0 Y n 1 Xn X ε > 0 X n X > ε X n X p > ε p X n X p ε p L p p 1 x R ε > 0 as 0 Y n 1 n 0 X n x X n x, X x + ε + X n x, X > x + ε X x + ε + X n X > ε X n x X x + ε F X x + ε n ε 0 F X x X n x X x F X x n X x ε X n x + X n X > ε F X x ε n X n x x F X F X x X n x n X n x n F X x X x n P X n X nk k 1 as X nk X X n P X Xn X > 1 n 0 n 1 N X 1 X >
20 n 1 < n 2 <... < n k X i X > i, i {1,..., k}. X n X > 1 k+1 n 0 n k+1 N n k+1 > n k X nk+1 X > 1 k k+1 {ω Ω : n X n+1ω Xω } 1 A k { } ω : X nk ω Xω > 1 k A k A A k k 1 j1 kj k1 A k k1 1 2 k < A 0 ω Ω \ A n 0 ω N ω / A k k n 0 ω X nk ω Xω 1 k X n+1ω Xω n X n n 1 X n Ω, F, Y n, Y : Ω R d X Y n d Xn Y d X Y n as Y X n X F Xn F X U Ω, F, 0, 1 U U0, 1 Y n F 1 X n U Y F 1 X U Y n x F 1 X n U x U F Xn x F Xn x Y x F X x d F Xn x F X x x R X n X F 1 X n y F 1 X y, y 0, 1 Y nω Y ω, ω Ω
21 X n d X hxn hx h : R R Ω, F, d Y n n 1, Y n Xn Y d as X Y n Y hx n hy n n hy hx. h
22 X n n 1, X X n L r X r 1 X n r X r X n L 1 X X n X X n L 2 X X n X X n r X r X n X r 0 r X n X X n X X n X n 0 X 0 X n N0, n X n X 0 X n X X n n Z n Z N0, 1 X n Xn 2 X n 2 X 2 X 2 L X 2 L n X X 1 n X p, q > 1 1 p + 1 q 1 X, Y : Ω R XY X p Y q X p 1/p + Y q 1/q. 1 r < s X r Y s X r r X r p s r X rp 1/p 1 q 1/q X s r/s X r X s L s L r X n L s X X n L r X X, Y : Ω R p [1, ] X + Y p X p + Y p A n n 1 A n < A n 0 n1 A n A n n 1 A n 1 n1
23 X n n 1, X n : Ω R X n 1 Xn a 0 a n X < X 1 X >a 0 X 1 X >a 0 a a X R X 1 X >n X, X < X n Y n 1 Y < X n n 1 n a X n 1 Xn a Y 1 Y a 0 hx h : [0, R x x hx x 1+ε h X n M < X n n 1 n X n 1 Xn a Xn x a M h X n h X n 1 Xn a x hx h X n 1 x a hx x a 0 X : Ω R X < X 1 A δ 0 0 A: A<δ ε > 0 δ > 0 [ A < δ X 1 A ε ] X < ε 0 > 0 δ n n 1 δ n 0 A n n 1 A n < δ n X 1 An ε 0 δ n < δ n 0 n1 δ n A n < A n 0 X 1 A n 0 n Ω \ A n X 1 An X X < X 1 A n 0 n n1
24 δ > 0 : X 1 A < 1 A: A<δ M R X X 1 X <M + X 1 X M M + X 1 X M M > 0 X M X n A n X 0 M n }{{} n1 A n M 0 R X M 0 δ X 1 X M0 < 1 M M 0 X M <, X n n 1 X n P X X n n 1 X, X n L 1, n 1 X n L 1 X X n L 1, n 1 X n X < Y : Ω R Y < F n n 1 F n Ω F i F i+1 i 1 X n Y F n, n 1 X n n 1 F n n 1 X n n 1 a > 0 X n 1 Xn a Y F n 1 Y Fn a Y 1 Bn,a, B n,a { Y F n a } n X n 1 Xn a Y 1 Bn,a n B n,a Y F n a Markov 1 a Y F n 1 a Y
25 Y < ε > 0 δ 0 > 0 Y 1 A < ε A: A<δ 0 a > 0 1 a < δ 0 B n,a < ε, n 1 X n 1 Xn a ε a ε n
26 Z Z < F n n 1 F σ Z F n n Z F L 1 Y n Z F n, n 1 Y n n 1 Y n Z F n Z F n Z < n1 F n n 1 Y n < as Y n Y Y Y < L Y n n 1 Y 1 n Y Y Z F 1 A Y 1 A Z, A F A F n0 n 0 1 A Y n L 1 1 A Y 1 A Y n 1 A Y n n 1 A Z F n 1 A Z Z 0 Z + Z µa 1 A Y νa 1 A Z µ ν C F n µω νω σc n1 F µ ν F Y n n 1 Y n L 1 Y n Z F n Z Z < Y n Y L 1 Y n Y n 1 Y n < Y Y Y L 1 Y L 1 Z Y Y n0 Y F n0 Y n0 1 A Y 1 A, A F n0
27 Y 1 A n Y n1 A Y n 1 A F n0 n 1 A Y n F n0 Yn0 1 A n }{{} Y n0 α β A n, B n n E n n R n A n A n + B n, n 0 F n σ{a 1,..., A n, B 1,..., B n }. R n n 0 R n+1 Fn A n + 1 A n + B n + 1 E A n n+1 + A n + B n + 1 E n+1 A n + 1 A n + B n + 1 A n A n + A n + B n A n + B n + 1 B n A n + B n + 1 A n A n+1 + B n A n+1 + B n+1 A n + B n A n R n A n + B n R n n 0 0 < R n 1, n 0 R n R n L 1 1 R Betaα, β Bα,β xα 1 1 x β 1 1 x 0,1 α β 1 R Beta1, 1 U0, 1 n+1 D n+1 D 1, D 2,..., D n+1 i [n+1] D i E i i D i E i A n k k [n + 1] Dn+1 1 D1, 1..., Dn+1 1 { Di 1 Ei, 1 i k E i, k < i n + 1, k k 1 1 k k k k + 3 n k + 1 k 1! n k + 1! n + 1 n + 1!
28 k n+1 k D 2 n+1 D 2 1,..., D 2 n+1 D 2 i { Ei, i E i, i, Dn+1 1 2, 3,..., n+1 i {k, n+1 k} i j 1 i j 1+1 i i j 2 i j 2 +1 k i n + 1 k n + 1 k i k i k 1! n k + 1! n A n k 1, k [n + 1] n + 1! k n + 1 R n k 1 n + 2 n + 1 R n x A n xn+2 [xn + 2] n x. n + 1 Ω, F, F n 1 σ Ω T F n 1 k N {ω Ω : T ω k} F k X n n 1 X 1 1 X F n σ {X 1,..., X n } S n X X n, n 1 S 0 0 T {i : S i 3} k N {T k} k {S i 3} F k }{{} F i F k i1 T {i 20 : S i 0} T { T 8} / F 8
29 F n n 0 T F n n 0 X n n 0 X n T n 0 X n n 0 X n T n 0 X n n 0 X n T n 0 X X n T X 0 T ω < X n T X T n X n T X n T n n X T X 0 X X n 0 T X T X n T n 0 ω M R X n T ω ω M, n N, ω Ω T < 0 T M R T ω M, ω Ω T < M R X n+1 X n F n M X 0 < n X n T X T T M, ω Ω n > M T < X n T X n T X T n X n T n T X n T X 0 + X k X k 1 k1 n T X n T X 0 + k1 X k X k 1 X 0 + X 0 + T X k X k 1 k1 X k X k 1 1 k T. k1
30 Y X 0 + X k X k 1 1 k T Y X 0 + X k k1 X k 1 1 k T X k X k 1 1 k T X k X k 1 1 k T Fk 1 Y X 0 + M k1 k1 1 k T X k X k 1 1 k T F k 1 M 1 k T M T k T k X 0 + M T <, k1 T 1 k T T T k k1 X n n 0 T X T X 0. X n n 1 X 1 1 X 1 1 1/2 S 0 0 S n X X n, n 1 F n σ{x 1,..., X n } S n n 0 S 2 n n n 0 X n n 1 a Z T a {k N : S k a} a a +b a < 0 < b T a < T b T T a T b M n Sn 2 n M n T M n T M 0 0 S 2 n T n T n T a 2 b 2 n n T a2 b 2 n n T n n T T < T < 1 S n n 0 S n T n 0 T < S T S 0 S T a 1 Ta <T b + b 1 Tb <T a a T a < T b +b T b < T a }{{} x ax + b1 x
31 S T 0 x b a +b T a T b a b n T Sn T 2 S2 n T n 1 {a 2, b 2 } ST 2 n T Sn T 2 T S 2 T S 2 T 1 Ta <T b + S 2 T 1 Tb <T a a 2 T a < T b + b 2 T b < T a a 2 b a + b + a b2 a + b a b a + b a + b a b a 0 T a T a S Ta 0 S Ta a S n n 0 S n+1 S n 1, n 0, ω Ω T a < S Ta S 0 0 G n n 0 σ Y Y n n 0 Y n : Ω R Y G n n 0 Y G n n 0 Y < n 0 Y n G n+1 Y n+1 n 0 Y n G k Y k k > n k Y n G k Y k Y n G k+1 Y n G k G k+1 E.Y. Y k G k+1 Y k+1
32 X n n 0 G n n 0 X n X n L 1 X X 0 G G n1 G n a < b U n [a, b ; X] [a, b] X 0, X 1,..., X n ˆX ˆX 1, ˆX 2,..., Xn ˆ X n, X n 1,..., X 1 G k n k0 U n [a, b ; ˆX] ˆX n a + b a ˆX 0 a + b a U n [a, b ; X] 1 + U n [a, b ; ˆX] U [a, b ; X] 1 + X 0 a + < b a U [a, b ; X] < X n n L 1 as X n X n X X n P X X 1 A X 0 1 A A G X n 1 A X 0 G n 1 A 1A X 0 G n 1 A X 0 X 1 A n X n 1 A n X 0 1 A X 0 1 A, X n L 1 X X n X X n 1 A X 1 A X n X Ω, F, X n : Ω E n, n 1 F n σ{x n, X n+1,...} σ{x k : k n} F F n X n n 1 A F A {0, 1} n1 A A A A A A A 2 A A {0, 1}
33 H n σx 1,..., X n, n 1 Γ H n Γ F n+1 F H n F n1 σ F σ n1 n1 H n F H n G F n σ{x n, X n+1,...} G n 1 F F A F A F A A X n n 1 F n σx n, X n+1,... F X : Ω [, ] F c [, ] X c 1 a R {X a} F X a {0, 1} X 1 X 1 {X }, {X } F X X 0 X R 1 F X F X F Xa {X n} 0 a n1 F X 1 c {x R : F X x 0} F X c 0 F X c+ 1 X c F X c+ F X c , X X n Z n n F k 1 Z F k X X k Z + X k X n X k X n n n n n n n1 F n X k k 1 X k : Ω R X 1 < S n X X n S n n X 1, L 1
34 G n σ{s n, S n+1,...} σ{s n, X n+1, X n+2,...} G n Y n S n n, n 1 Y n n 1 G n n 1 Y n G n Y n 1 n n X 1 X 1 < Y n G n+1 1 n n X i G n+1 1 n i1 n i1 X i S n+1 1 n n X 1 S n+1 X 1 S n+1 n+1 S n+1 S n+1 S n+1 X i S n+1 n + 1 X 1 S n+1 i1 Y n G n+1 X 1 S n+1 S n+1 n + 1 Y n+1 Y n n 1 Y L 1 L 1 Y G c R Y c 1 Y n S n n X 1 c L 1 c S n n c X 1 c c
35 X n n 0 F n n 0 k N N N k 1 X 0 X N X k X N j j 0 X N 0 X N k X 0 X k Y n X n X n N F n n 0 Y n <, n 0 Y n Fn 1 X n Fn 1 X n N Fn 1 X n Fn 1 X n N 1 N n Fn 1 X n N 1 N n 1 Fn 1 X n F n 1 X n 1 N n F n 1 X N 1 N n 1 F n 1 X n 1 N n 1 F n 1 X N 1 N n 1 F n 1 1 n n 1 Xn F n 1 X N 1 n n 1 X n 1 X n X n 1 X N n 1 Y n 1 Y n F n n 0 Y k Y 0 0 X k X N 0 X N X k, X n n 0 R M n {X 0,..., X n } n 0 X n n 0 F n n 0 M n x X+ n 1 X + n x x X n n 0 F n n 0 M n x X 0 + X n x n M n x {X + k x} k 0 k1 X + k x X+ k x
36 A 1 x X X+ n n x X+ n n X n n 0 n 1 N {k : X k x} n A {M n x} x A X N 1 A X n 1 A X + n 1 A X N 1 A x 1 A X N 1 A x A X N X n X N 1 A + X N 1 A c X n 1 A + X n 1 A c X N 1 A X n 1 A X + n 1 A x M n x X n 1 A X n n 0 T {k 0 : X k x} X N j j 0 X 0 X T n X T n 1 T n + X T n 1 T >n x T n X n X 0 p > 0 X p p p t p 1 1 X>t dt p t p 1 X t dt X t 1 X>t X t p 1 1 X>t dt p t p 1 dt X p 0 X n n 0 p 1, X n {X 0 +,..., X+ n } p X p p X n + p 1 p Y n n 0 Y n n 0 Y n Y n p p p Y n p 1 p
37 M > 0 X n M t 1 t X+ n 1 Xn M t, t > 0 M < t 0 0 M t X n t 1 t X+ n 1 Xn t X + n ϕx x + X n n 1 X n M p p 0 t p 1 X n M t dt p t p t X+ n 1 Xn M t dt p X n + p 1 p Xn M p 1q 1 q p 1 p X n + p 1 p Xn M p 1 1 p p 1 X n M p 1 p p X n + p 1 p p 1 X n M p p p X n + p p 1 q p p 1 1 p + 1 q 1 X i i 1 X i 0 X 2 i σ 2 i 0, S 0 0 S n X X n n 1 1 k n S k x 1 x 2 S n F n σx 1,..., X n F 0 {Ω, } S n n 0 Y n S 2 n {S 2 1,..., S 2 n} x 2 1 x 2 S2 n 1 x 2 S n r b r, b > 0 R n B n n
38 Y n R n n+r+b n 0 F nn 0 F n σr 0, R 1,..., R n, n 0 T r b 1 1 T r b 1 Y n 3 4 n 2 3 Y n Y n+1 F n R n+1 F n R n n+r+b n r + b R n+1 n r + b 1 R n+1 R n+1 R n + n r + b 1 R n+1 R n +1 F n R n n r + b 1 R n + 1 R n+1r n + n r + b 1 R n+1r n+1 R n n r + b n + r + b R n R n + n + r + b n r + b R n + 1 n + r + b 1 Rn n + r + b R n + R n + 1R n n r + bn + r + b 1 n r + bn + r + b n + r + b + 1R n R n n + r + b Y n M n 1 Y n B n n+r+b M M T 2 M T 1 M 0 1 T T +2 T < 1 n M T n M 0 k 1 T k 1, 2..., k k 1 1 k k T T k 1 k 0
39 Y k k n 4 3/4 Y n Y n }{{} A n {Y n 3 } 4 n A n n1 n1 A n A n n A n 2 3
40 X n n 1 1, 1 2n X n 0, 1 1 n 1, 1 2n Y 1 X 1 n 2 { Xn, Y Y n n 1 0 ny n 1 X n, Y n 1 0 F n σy 1,..., Y n n 1 F 0 {, Ω} Y n n 1 F n n 1 n Y n Y n F n Y n Y n X n 1 Yn n Y n 1 X n 1 Yn 1 0 Y n X n + n Y n 1 X n 1 + n Y n 1 Y n < Y 1 X 1 1 Y n n Y n F n 1 Y n Y 1,..., Y n 1 Y n 1 Y n 1 Y n 1 0 Y n X n X n Y 1,... Y n 1 X n 0 Y n 1 Y n 1 0 Y n n Y n 1 X n n Y n 1 X n Y 1,..., Y n 1 n Y n 1 X n Y 1,..., Y n 1 n Y n 1 X n n Y n 1 1 n Y n 1 Y n F n 1 X n 1 Yn n Y n 1 X n 1 Yn 1 0 F n 1 X n 1 Yn 1 0 F n 1 + n Y n 1 X n 1 Yn 1 0 F n 1 Yn 10 X n + n Y n 1 1 Yn 1 0 X n n Y n 1 n Y n 1 Y n X n 1 0 Y n 1 0 X n 1 Y n 1 B n {X n 1 0, X n 1} {Y n 1} B n n 2n 1 4n
41 B n n 1 B 2n n 1 1 B 2n 8n. n1 B 2n 1 ω B 2n Y n ω 1 n Y n ω 0 n Y n n Y n + < n 1 n1 Y n + X n + 1 Yn 10 + n Y n 1 + X n 1 Yn n Y n n Y n Y n 1 0 X n 1 2n Y n Y n n X n Y n Y n 1 + 2n n 1 n1 1 2n 1 1 n 1 Y n + n 1 E i, E i i I Ω i, F i, i i I Ω, F, X i i I X i : Ω i E i X i i I ˆX i i I ˆX i : Ω E i X i d ˆXi i X i A ˆX i A, A E i X i X i : E i [0, 1] X i P i X i A E i, E i X, Y X Bernoulli 1 2 Y Bernoulli 3 4 Ω, F, 0, 1, B 0, 1, λ U : Ω R F U x x ˆX 1 U 1/2 Ŷ 1 U 3/4 ˆX d X ˆX 1 U 1/2 1/2 ˆX 0 1/2, Ŷ 1 U 3/4 3/4 Ŷ 0 1/4,
42 Ŷ d Y ˆX, Ŷ X, Y ˆX Ŷ ˆX Ŷ ˆX 1 U1 1/2 Ŷ 1 U 2 3/4 U 1, U 2 U0, 1 F : R [0, 1] F 0, F + 1 G : 0, 1 R Gu {x R : F x u} F Gu F 1 u Gu y F y u F y u y {x R : F x u} A u A u Gu y Gu y n 1 t n A n t n y + 1 n u F t n F y + 1 n F u F y + 1 n n F y
43 U U0, 1 F GU F x R GU x U F x F x X F X G X X F X X i i I R U U0, 1 GXi U i I X i i I G X P X n X ˆXn n 1, ˆX X ˆ d d n Xn ˆX X X ˆ as n ˆX ˆX n G Xn U ˆX G X U U U0, 1 µ i i I E i, E i i I µ i i I X i i I X i : Ω E i, i I P X i µ i, i I Ω, F, X i i I ν µ {0, 1} X Y 1 U 1/2 U U0, 1 Ω { {0, 0}, {0, 1}, {1, 0}, {1, 1} } X : Ω R X ω 1, ω 2 ω 1 Y ω 1, ω 2 ω 2 {ω 1, ω 2 } 1/4 µ ν E, E µ ν d TV µ, ν µa νa A E µ ν E, E A 1, A 2 E µe \ A 1 νe \ A 2 0 E d TV µ, ν 1 µ{x} ν{x} 2 x E p x µ{x} q x ν{x} x E A 0 {x E : p x q x } A E µa νa p x q x p x q x x A x A 0 νa µa 1 νa c 1 µa c µa c νa c p x q x x A 0
44 d TV µ, ν p x q x µa 0 νa 0 p x q x x A 0 x A 0 d TV µ, ν p x q x q x p x p x q x x A 0 x A c 0 x A c 0 2d TV µ, ν p x q x d TV µ, ν 1 p x q x 2 x E x E µ ν E, E X, Y µ, ν d TV µ, ν X Y A E µa νa X A Y A X A, X Y + X A, X Y Y A Y A + X Y Y A X Y µ ν E, E E ˆX, Ŷ µ, ν d TV µ, ν ˆX Ŷ p x µ{x} q x ν{x} x E ˆX Ŷ E E a x p x q x fx, x a x fx, y p x a x q y a y, x y d TV µ, ν d TV µ, ν 1 p x q x 2 x E 1 p x q x + q x p x 2 x E x E p x q x p x q x p x q x p x q x x E x E p x q x p x q x
45 x a x x Ep px p x q x p x q x d TVµ, ν x E x E p x q x fx, y p x, x E fx, y q y, y E y E fx, y x E fx, y fx, x + y E y E y x p x q x + p x a x dtv µ, ν q x a x d TV µ, ν a x + p x a x p x a x q x a x p x d TV µ, ν ˆX, Ŷ µ ν ˆX Ŷ x E fx, y px p x q x x E y E y x p x q x d TVµ, ν x E p x q x X Bernoullip Y Poissonp p 0 1 p pk p, p 1 p q k e k! ˆX, Ŷ ˆX, Ŷ f0, 0 p 0 q 0 1 p e p 1 p f1, 1 p 1 q 1 p e p p pe p ˆX Ŷ 1 ˆX Ŷ 1 f0, 0 + f1, p + pe p p pe p p1 e p p }{{} d TV X,Y
46 I i 1 i n I i Bernoullip i, i [n] X n I i λ n p i Y Poissonλ ˆX, Ŷ X Y i1 i1 ˆX Ŷ n p 2 i i1 Îi, Ĵi 1 i n Îi, Ĵi I i, J i J i Poissonp i ˆX n Î i Ŷ n d Ĵ i ˆX X Ŷ d Y Poissonλ i1 i1 ˆX Ŷ d TV LX, LY n i1 n i1 Îi Ĵi Y p i λ n, i N d TV Bin n, λ, Poissonλ λ2 n n n i1 p 2 i p 2 i LX LY X f, g : R R X R fx, gx, fx gx < fx gx fx gx X 1, X 2 X 1 d X2 d X X1, X 2 X 1, X 2 X, X fx1 fx 2 gx 1 gx 2 0 fx 1 gx 1 fx 1 gx 2 fx 2 gx 1 + fx 2 gx 2 0 fx 1 gx 1 fx 1 gx 2 fx 2 gx 1 + fx 2 gx fxgx 2 fx gx 0 fxgx fx gx X i i 1 X i Bernoullip 1, i 1 Y j j 1 Y i Bernoullip 2, j 1 0 p 1 < p 2 1 a R X X n }{{} Binn,p 1 a Y Y }{{ n a } Binn,p 2
47 {X i, Y i : 1 i n} U i U0, 1, i {1,..., n} ˆX i 1 Ui p 1 Ŷi 1 Ui p 2 {X i : 1 i n} ˆX i 1 U i p 1 p 1 ˆX i Bernoullip 1 i [n] {Y i : 1 i n} Ŷi 1 U i p 2 p 2 Ŷi Bernoullip 2 i [n] ˆX i Ŷi i [n] X X n a ˆX ˆX n a Ŷ Ŷn a Y Y n a Gn, p E 0 { {i, j} : i j, i, j [n] } E 0 p [n], E p G p fp G p f m n 2 {e1,..., e m } E 0 U 1,..., U m U0, 1 Êp {e i : U i p} p 1 p 2 Êp 1 Êp 2 G p1 [n], Êp 1 G p2 [n], Êp 2 fp 1 G p1 G p2 fp 2 X, Y R Y X X Y X t Y t t R X Y ˆX, Ŷ X, Y ˆX Ŷ 1 t R F X t X t ˆX t Ŷ t F Y t U U0, 1 G X G Y X Y ˆX G X U Ŷ GU ˆX d X ˆXω Ŷ Ŷ ω ω Ω G Xa G Y a a 0, 1 X fx µ X X µ 1 µ t xfx dx f X t 1 µ t ft d Y
48 [0, ] X < F t X 1 X t. X X F X X [0, ] X < X X F t F X t t R X 1 X t X X t X 1 X t X 1 X t fx x gx 1 x t
49 {X n,i : n 1, i 1} N {0, 1,...} Z n 1 Z 0 1 Z n X n,k n 1 k1 Z n 1 0 Z n n 0 X X 1,1 p k X k, k N µ X X Z n 0 n 1 G X s s X p k s k k0 η n 1 : Z n 0 η G X s s [0, 1] A n {Z n 0} η n Z n 0 A n η A n η n n n1 G n s s Z n Z n ks k η n G n 0 η n k0 G n s n 2 G n s s Z n s Z n Z 1 s R R Z1 Z 1 s R 1 Z 1 s Z n 1 Z 1 G n 1 s X G X Gn 1 s, Z n R R Z1 R 1,..., R Z1 Z n 1 n 1 G 0 s s Z 1 s s 0 G n 0 G X Gn 1 0 η n G X η n 1 n η G X η η a [0, 1] G X a a η 0 a η 0 Z G X G X η 0 G X a a η 1 a η n η a a, n N
50 s 1 s G X s p k 1 k0 k0 p k s k G X 1 µ X η µ < 1 η 1 µ 1 X 1 < 1 η 1 µ > 1 η < 1 G X s s X G X s X sx 1 0 G X s XX 1 s X 2 0 G X G X 1 X µ G X0 0 η 0 µ < 1 G X 1 < 1 G Xs s s 0 < 1 G X 1 1 η 1 µ < 1 G X 1 1 G Xs s s 0 < 1 G X s s, s s 0, 1 G X s s, s [0, 1] p 1 X 1 1 η 1 G X 0 > 0 G X 1 > 1 fs G Xs gs s 0, 1 η < 1 ζ 1 η Z n > 0, n N µ > 1 ζ > 0 µ < 1 µ 1 X 1 < 1 µ > 1 X p 0 1 p p 2 p p 0, 1 η 1 p p, p > 1 η 1, p µ X 01 p + 2p 2p p < 1/2 µ < 1 η 1 p 1/2 µ 1 η 1 X 1 0 < 1 p > 1/2 η G X s s p 0 s 0 + p s s 2 s ps 2 s + 1 p 1 1 p p η 1 p p
51 T Z n G T s s T T s < 1 n0 s T 0 G T s s T 1 T < s 1 G T s T < η G T s s G X GT s T 1 + Z n n1 G T s s T s 1+ n1 Z n s s n1 Zn s s n1 Zn Z 1 s s s s k0 s n1 Zn Z 1 k Z 1 k s T s T k Z 1 k X k k0 s T k X k k0 GT s k X k s GX GT s, k0 Z n Z 1 k n1 T 1,..., T k T i d T, i [k] d T T k
52 Z 0 1 Z n Z n 1 i1 X n,i, n 1 Z n n µ X 1,1 Z n µ n Z n Z n Zn 1 Z n 1 µ µ Z n 1, x x ϕx Z n Z n 1 x X n,i X n,i xµ x Z n 1 Z n µ Z n 1 Z 0 1 µ 0 Z n µ n i1 i1 Z n > 0 µ n Z n > 0 Z n 1 Markov µ < 1 Z n µ n µ < 1 T 1 1 µ T Z 0 + Z 1 + Z Z k k0 k0 k0 T Z k µ k 1 1 µ 0 0
53 S i i 0 S 0 1 S i S i 1 + X i 1, i 1, X i i S i i i S i 1 i 1 X i X i X 1,1 T {k : S k 0} x 1,..., x t x i N, i [t] x x t t 1 t < x 1,..., x t H X 1, X 2,..., X T T {k : S k 0} N { } t N x 1,..., x t H x 1,..., x t p x1 p xt, p k X 1,1 k p p k k 0 N X n,i p η 0, 1] p p p k k 0 p k ηk 1 p k k N p p k η k 1 p k 1 η k0 k0 η k p k 1 η G Xη 1 η η 1 k0 X p G X s 1 η G Xηs 0 < η < 1 X < 1 G X s p ks k 1 η k p k s k p k ηs k 1 η η G Xηs k0 G X s G X s k0 k0 G X s XsX 1 G X 1 X G X s 1 η G X ηs X G X η
54 G X η > 1 G X 1 G X η + G Xη1 η > η + 1 η 1 G X η 1 G X s, s η, 1 G X s 1, s C k p k s k 1 1 p 1 1 η 0 k0 X G X η > 1 p p k k 0 N η 0, 1 p p p p x 1,..., x t t < H X 1,..., X T p H X 1,..., X T p A { p }. H x 1,..., x t A H x 1,..., x t A A H x 1,..., x t p x 1 p x t H x 1,..., x t η x 1 1 p x1 η x t 1 p xt η x1+...+xt t p x1 p xt 1 η p x 1 p xt η 1 η p x 1 p xt
55 µ X > 1 T k N + k T < ki 1 I I t tx I > 0 t 0 k T < T r rk S r 0 rk X X r r 1 rk X X r r rk a r X X r r t 0 t 0 a r tx X r t r tx1+...+xr tr Markov a r r t 0 k T < tr tx1 r { } t e tx 1 ri ri ki 1 I I > 0 At t tx1, t 0 t 0 A tx 1 t 1 tx 1 X 1 tx1 1 tx 1 A 0 1 X 1 1 µ < 0 rk A A 0<0 At > 0 I > 0 t<0
56 { I t tx 1 } t > 0 t R x tx1 tx 1 tµ t > 0 t tx1 t 1 µ < 0 Z 0 1 Z n Zn 1 X n,i µ X 1,1 > 1 i1 µ > 1 Z n /µ n W n F 0 {, Ω}, F n σ {X k,i : 1 k n, i N + } M n Z n /µ n M n n 0 F n n 0 M n F n M n Z n µ n µn µ n 1. M n F n 1 1 Z n 1 µ n X n,k F n 1 k1 1 µ n 1 µ n 1 µ n 1 j j0 k1 j j0 k1 j0 k1 X n,k 1 {Zn 1j} F n 1 1 {Zn 1 j} j 1 {Zn 1j} } {{ } Z n 1 X n,k µ {}}{ X n,k F n 1 Z n 1 µ n 1 M n 1 M n M n W W M n 1 W 0 {ω : n Z n 0} W 0 η X X < W 1 W 0 1 k k p k <. k0
57 Z n n 0 η ζ 1 η p k k 0 Z n n A {Z n 0, n 1} Z n A η 0 η Z n A p k k 0 p 0 0 p k 1 j η j k 1 η k p j ζ k µ Z 1 A Z 1 Zn n 1 jk p k k 0 Z 1 k A 0 k 1 p k Z 1 k A {Z 1 k} A A 1 ζ jk j η j k 1 η k p j k 1 ζ jk µ Z 1 A k 1 ζ k0 jk Z 1 k ζ Z 1 k Z 1 j Z 1 j k0 k p k j η j k 1 η k p j k Z n n 0 T T n 1 n X X n n 1, n 1 X i X 1 d X T T k n k n X X n n k T 1,..., T k T i d T
58 Y i i 1 Z {k : k 1} S n Y 1, Y 2,... P k S 0 k S n k + Y Y n, n 1 H 0 {k 0 : S k 0} k H 0 n k n ks n 0 Σ i i 0 Σ 0 1 Σ n Σ n 1 + X n 1 Y i X 1 1, i 1 k S n 0 k + X X n n 0 X X n n k k H 0 n T T k n S k Z T {k 1 : S k 0} T 2n 1 2 1T 2n T 2n 1 1 T 2n 1 1 2n 1 1S 2n n 1 1S 2n n 2n 1 2 2n c n n }{{} 3/2 1 πn n n 1 k S 0 0, S 1 0 k k S 1 0 k 0 k k 1 1 S 0 0, S S 1 0 n 2 k H 0 n 0 H 0 0 k 1 S 2n S 2n S 2n S 2n 1 0
59 k H 0 n E.Y. s 1 s 1 s 1 s 1 k n 1 k H 0 n Y 1 s Y 1 s k+s H 0 n 1 Y 1 s k + s n 1 k+ss n 1 0 Y 1 s k + s n 1 ks n 0 Y 1 s Y 1 s s 1 k S n 0 Y 1 s Y 1 s + 1 n 1 k n 1 ks n n 1 s 1 s 1 s k S n 0, Y 1 s s k Y 1 s S n 0 k S n 0 k n 1 ks n n 1 ks n 0 Y 1 S n 0 k k S n 0 n 1 1 n 1 k n k S n 0 k n k nn 1 k n ks n 0, k + Y Y n S n k + n Y j S n S n S n S n j1 k + n Y 1 S n S n Y 1 S n S n k n Y 1 S n 0 k n X 1 Poissonλ p k λ λk X 1 k, k 0 k! G λ s s X 1 X 1 ks k λ λk k! sk λ λs λs 1 k0 k0
60 λ > 1 η G λ s s [0, 1] X 1 λ λ 1 η 1 p k η k 1 p k, k 0 p k k 0 p k η k 1 λ λk k! λ η ηλ k k! λη ηλk k! µ λ ηλ < 1 µ λ λ Poissonηλ ηλ λ ηλ λ ηλ ηλ λ λ µ λ µλ λ λ λ T T n λnn 1 λn n! k 1 T n 1 n X X }{{ n n 1 1 nλn 1 nλ } n n 1! λnn 1 λn n! Poissonnλ λ T T 1 n λ 2πn 3 ni λ 1 + o1, I λ λ 1 λ T n λn n 1 λn n n 2πn 1 + o1 λn 1 n n 1 λn n n n 2πn 1 2πn 3 1 λ n1 λ λ 1 + o1 1 λ 2πn 3 ni λ 1 + o1 λ 1 λ 1 1/n 3/2
61 X 1 Binn, p X 1 Poissonλ λ np n,p λ T, T k 1 n,p T k λ T k + e n k e n k λ2 n k 1 λ T s kλ2 n s1 X i i 1 X i i 1 X i Binn, p X i Poissonnp X i i 1 X i i 1 X i X i λ2 /n T k T k, T k + T k, T < k T k T k, T k + T k, T < k T k T k T k, T < k T k, T < k T k T k { T k, T < k, T k, T < k } R {s 1 : X s Xs } T k T < k s {1,..., k 1} X s Xs S i Si, i [s] k 1 T k, T < k T k, T < k, R s s1 {T k, T < k, R s} i [s 1] S i Si T k S i Si 1 T s k 1 k 1 T k, T < k T s, X s Xs T s X s Xs λ k 1 n 2 T s, s1 {T s} {X s X s T s s S i 1, i {1,..., s 1} s1 s1
62 X 1,..., X s 1 X 1,..., X s 1 T k, T < k k 1 T k, T < k, R s s1 k 1 T s, X s Xs λ2 n s1 k 1 T s s1 ER n p [n] {1, 2..., n} n N + p [0, 1] n 2 Kn p ER n p G EG V G s, t V G s t v 1,..., v k V G {s, v 1 }, {v k, t} EG {v i, v i+1 } EG, i [k 1] v V G G C {s V G : s v} C max C max C v v V G ER n p p λ/n Z 1 s {1, s} ER n p Z 1 i [n],i 1 1 {{1,i} ERn p} } {{ } Bernoullip Z 1 n 1p n 1 λ n λ λ < 1 C max n P 1, I λ I λ λ 1 λ λ > 1 C max n P ζ λ, ζ λ Poissonλ C max nζ λ n d N0, σ 2 λ, σ 2 λ ζ λ1 ζ λ 1 λ + λζ λ 2
63 Cv v V G G Cv t 0 v w w V G {w, w } EG w w S t t X t t S t S t 1 + X t 1 Cv {t N : S t 0}. N t V G t S t N t t G ER n p X t BinN t 1, p
64 C1 T C1 1 ER n p T X i Binn, p k 0 np C1 k n,p T k Y i Binn N i 1, p N i 1 X i X i X i +Y i Binn, p N i 1 X i X 1,..., X i 1 X 1,..., X i 1 X i i 1 Binn, p S i S i X X 1 i 1 X X 1 i 1 C1 {i : S i 0} {i : S i 0} T. k [n] np C1 k n k,p T k T C1 n k,p k T k {t : N t n k} k i T k X i BinN i 1, p Binn k, p C1 k S i 1, i T k k 1 S i 1, i 1,..., k 1 T k k 1 T k X i X i Binn k, p, i 1 i T k Y i BinN i 1 n k, p N i 1 X i X i + Y i BinN i 1, p N i 1 S i X X i i 1 S i X X i i 1 S i S i { C1 k} {S i k, i T k } {S i 1, i T k } {S i 1, i k 1} {T k}. X k k 1 X 1 R S n X X n, n 1 S 0 0 a X 1 S n na nia a X 1 S n na nia
65 { Ia ta tx } t R t > 0 S n na ts n tna ts n tna t 0 Markov tan tsn tan tx1 n n{at tx 1 } S n na n t 0 {at tx 1 } nia t 0 A0 0 t < 0 {ta atx 1 } {ta atx 1 } }{{} t R At ta tx 1 Jensen ta tx 1 ta t X 1 ta X 1 0. t < 0 S n na ts n tna tna tx 1 n tna n at tx 1 S n na n t 0 {at tx 1 } nia. X i Bernoullip, i 1 X 1 p M X1 t tx 1 p t + 1 p 0 1 p + p t Ia {ta q + p t } t R a p t q+p t Ia at p a t a 1t + a p a 1 aq 1 ap + a p a a p + a 1 q 1 a a a p a p, 1] S n na nia ni pa. 1 a + 1 a. q
66 C max ER n p p λ n λ < 1 λ < 1 Iλ λ 1 λ a > 1 Iλ δ δa, λ, c ca, λ k [a n] λ Cmax a n c, n 1. nδ λ Cmax > k n λ C1 > k n n,p T > k, T X i Binn, p Ŝi ˆX ˆX i i 1 ˆX i Binn, p n,p T > k n,p Ŝi 1 i 1,..., k n,p Ŝk 1 n,p ˆX ˆX k k n,p ˆX ˆX k nk 1 nkip1/n n 1 nki p nk p 1n n 1n pn λk k k λ kλ 1 λ ki λ λ Cmax > k n a n 1I λ I λ n 1 ai λ ei λ δ ai λ 1 c I λ n ai λ 1 C max n 1 I λ 1 I λ n λ < 1 Iλ λ 1 λ ϵ > 0 δ δϵ, λ, c cϵ, λ λ C max P 1 ϵ n I λ c, n 1. nδ
67 X [0, β [0, 1. X β X X 1 β 2 X 2 2. X β X 1 β 2 X2 X 2 X β X X X β 1 X X X β 1 X A 1 X a X X X 1 A + X 1 c A C S X 2 1/2 1A 1/2 + β X A c X 2 1/2 1/2 A + β X 1 β X A 1/2 X 2 1/2 A 1 β 2 X2 X 2, X β 1 2 X 2. X { 0, 1 1 X n n 2, 1 n X n X 2 n 4 1/n n 3 X 2 / X 2 1/n X k N Z k 1 Cv k {v [n] : Cv k}. v [n] C max k Z k 1 C max < k Z k 0 β 0 Z k 0 Z k Z k 2, k k n [a n] a 1 I λ ϵ
68 Z k Z k 1 Cv k n C1 k n n k,p T k, v [n] T Binn k, p λ n k p n k,p T k λ T k + ckλ 2 n kλ n n a nλ n n λ aλ n n λ n n k n a n n kλ 2 n k n k2 p 2 n k k n k λ2 n 2 k n λ2 a n λ 2. n λ T k λ T k λ T k λ k k 1 λ k λ k k 1 k k! k/ k 2πk λ 1 2π k 3/2 λ kλ 1 λ c k 3/2 ki λ+ϵ 1 c λ ki k3/2 n I λ I λ < ϵ 1 a < 1/I λ ai λ < 1 ϵ 2 > 0 ai λ + ϵ 2 + ϵ 3 < 1 n 3/2 < n aϵ 2 λ T k 1 n 3/2 > 1 n aϵ2 c n 1 3/2 n a I λ + ϵ 1 1 n. ai λ+ϵ 1 +ϵ 2 Z k Z k n C1 k n n ai λ+ϵ 1+ϵ 2 n1 ai λ+ϵ 1 +ϵ 2,
69 1 ai λ + ϵ 1 + ϵ 2 0 Z k Z k 1 Ci k, 1 Cj k i,j [n] i,j [n] i,j [n] i [n] { 1 Ci k, 1 Cj k 1 Ci k 1 Cj k } { Ci k, Cj k Ci k 2 } { Ci k Ci k } 2 + { Ci k, Cj k Ci k } 2 Ci k, Cj k i,j [n] i j Ci k, Cj k Ci k, Cj k, i j + Ci k, Cj k, i j Ci k, i j + Ci k, Cj k, i j Ci k, Cj k, i j Ci k, Cj k, i j i [n] n C i k, C j k, i j lk n C i l C j k, i j C i l lk n C i l C j k ER n l p lk n C i l C j k ER n p lk Cj k n Ci l Cj k Ci k Z k { Ci k Ci k } 2 + Ci k, j j i,j [n] i [n] lk Ci k, j j 1 Ci k Ci n i,j [n] i,j [n] i j 1 Ci k 1 i j Ci 1 C1 k
70 X N k N X 1 X k k X k + jk+1 X 1 X k 1 j X 1 X k j1 j1 j1 j1 X j. 1 X k j k X 1 X k X k j X k + X j k X k + jk+1 jk+1 X j. Z kn n k n C1 k n + n k n k n 1I λ + jk n +1 jk n+1 n I λ k n k ni λ + k ni λ 1 I λ c λ n k n kni λ C1 j j 1I λ c λ n a n n a I λ c λ a n 1 Iλ n ϵ Z k n 0 c λ a n 1 Iλ n a c λ n n 1 ai λ ϵ 2 n 1 ai c λ 2ϵ n δ 0. ER n p p λ/n λ > 1 λ 1
71 λ > C max n P ζ λ Poissonλ. C max ζ λ n n d N0, σ 2 λ, σ 2 λ ζ λ1 ζ λ 1 λ + λζ λ. λ 1 λ n 1 + θ/n 1/3, θ R C max n 2/3 b > 0 ω > 1 1 λn ω C max ω 1 b n 2/3 ω λn Cmax n 2/3 / I ω b ω, I ω [ ] 1 ω, ω. ER n p X t t I I I N I [0, ] [0, λ > 0 T i i 1 T i λ S i T T i X t {i 1 : S i t} X t Bt t 0 R B n 1 t 1,..., t n R 0 t 1 < t 2 <... < t n Bt 1, Bt 2 Bt 1,..., Bt n Bt n 1 s, t R 0 s < t Bt Bs N0, t s t Bt B0 0
72 B0 B0 x 1 B x x x B X t Bt B0, t R B0 1 X 1 W Bt X + W t B B 0 t 1 < t 2 <... < t n Bt 1, Bt 2,..., Bt n t 0 0 X k Bt k Bt k 1, k 1,..., n X 1,..., X n X k N0, t k t k 1, k 1,..., n Bt k X X k Bt 1 Bt 2 Bt n X 1 X 2 X n t1 t 0 Z 1 t2 t 1 Z 2 tn t n 1 Z n Z 1,..., Z n N0, 1 X 1,..., X n,
73 x R B0 x s, t 0 Bs, Bt s t s t Bs, Bt Bt t s t Bt B0 N0, t Bt Nx, t s < t Bs, Bt Bs, Bs + Bt Bs Bs, Bs + Bs, Bt Bs s + 0 s s t. n 1 a 1,..., a n R 0 t 0 < t 1 <... < t n B X a 1 Bt a n Bt n Nµ, σ 2 µ 0 σ 2 X 1 Bt 1 X i Bt i Bt i 1 N0, t i t i 1, 2 i n Bt i X 1 + X X i X a 1 X 1 + a 2 X 1 + X a n X X n X 1 a a n + X 2 a a n X n a n n n X i a j i1 ji X Nµ, σ 2 µ 0 σ 2 { n n 2 } a j X i σ 2 i1 ji { n n } a j 2t i t i 1 i1 ji r, s, t R 0 r < s < t B Bs Br Br, Bt Nµ, σ 2 µ s r t r y x σ2 s r t r t s x Br y Bt Z Bs Br W Bt Bs Z Br, Bt Z Br, Bt Br Z Bt Br Z Z + W, Z Bs Br Br
74 f Z,Z+W a, b f Z af W b a hz, W Z, W f Z, W a, b f Z,W h 1 a, b h 1 a, b h 1 a, b h 1 a, b f Z Z+W y+x z f Z Z+W z, y x f Z+W y x 1 1 z 2 2 s r 1 2πs r... f Zzf W y x z f Z+W y x 2πt s 1 2 2πt r 1 y x 2 2 t r 1 2π s rt s t r z µ 2 2σ 2 y x z 2 t s... 0 r < s < t s t+r 2 Br x Bt y Bs Br Br, Bt Nµ, σ 2, µ 1 2 y x σ2 1 t r 4 Bs Br, Bt x + y N, t r Br + Bt 2 t r + Z, Z N0, 1. 4 B 1 N0, 1 D n { k 2, k 0, 1..., 2 n } n Bd Bs Bd Bt d D n n 1 B t+s 2 t + s Bt + Bs 1 B Bt, Bs + Z, Z N0, n+1/2 {Z t : t } D n Z t N0, 1 n 1 B0 0 B0 Z 1 B D n 1 d D n \D n 1 d 1 2, d 1 n 2 n D n 1 F 0 t Bd Bd 2 n + Bd + 2 n 2 Z 1, t 1 0, t 0, t 0, Z n+1/2 d Z t, t 1 2 n+1/2 F n t 0, t 0, D n
75 t D n Bt n k0 F k t F k t B [0, 1] k0 B k [0, 1] Bt B B B k 1 + B k+1 t k, t [k, k + 1, k 0. B B B : Ω C[0, B C[0, f n, f C[0, f n f C[0, k > 0 f n [0,k] f [0,k] df, g n0 1 f g [0,n] 2 f B B A BC[0, B A B A.
76 Bt t 0 F t σ {Bs : s [0, t]} F t t t 0 0 Xt Bt + t 0 Bt 0, t 0 X X F t0 0 s 1 < s 2 <... < s n Xs 1, Xs 2 Xs 1,..., Xs n Xs n 1 Bt 0 + s 1 Bt 0, Bt 0 + s 2 Bt 0 + s 1,..., Bt 0 + s n Bt 0 + s n 1 B 0 s < t Xt Xs Bt 0 + t Bt 0 + s N0, t s X 1 t 0 0 F 0 σ B0 F t0 σ {Bs : s [0, t 0 ]} X F t0 n, l N 0 s 1 <... < s n t 0 0 r 1 <..., r l Bs1, Bs 2,..., Bs n Bt0 + r 1 Bt 0,..., Bt 0 + r l Bt 0 Bt t t 0 F t0 d Bt t t 0 Bt 0 c 0 B Xt d 1 c B c 2 t, t 0 B d B 0 t 0 < t 1 <... t n Xt0, Xt 1 Xt 0,..., Xt n Xt n 1 1 c Bc2 t 0, 1 c Bc2 t 1 1 c Bc2 t 0,..., 1 c Bc2 t n 1 c Bc2 t n 1 1 c Bc 2 t 0, Bc 2 t 1 Bc 2 t 0,..., Bc 2 t n Bc 2 t n 1
77 0 s < t Xt Xs 1 c Bc 2 t Bc 2 s N 0, 1 c c 2 t s 2 N 0, t s. X 1 X0 1 c Bc2 0 B0 0 Xt c 1 B d B B a 0 T B a {t 0 : Bt a}. T B a a 2 T B 1. X a t 1 a Ba2 t, t 0 X a t 1 Ba 2 t a T X a 1 1 a 2 T a B Ta B a 2 T X a d 1 a 2 T1 B d X a B. { 0, t 0 B Xt t B 1 t, t > 0 Xt, Xs s t, s, t 0 Xt 1, Xt 2,..., Xt n T Xt Xt, Xs s t Xt, Xs s B, t B st 1 B, B st s t s t s 1 t s. t 1 t B Bt X t 0 t t t 0 B T + {t > 0 : Bt > 0} T {t > 0 : Bt < 0}. T + T 0 1
78 a > 0 T + d a 2 T + X a t 1 a Ba2 t T + X 1 a T + 2 B x > 0 a > 0 T + > x a 2 T + > x T + > xa 2 a 0 + T + > x T + T 1 0. T T 0 1 B d B {t > 0 : Bt 0} 0 1 Z {t > 0 : Bt 0} 1 λz 0 λ Z Z B 1 0 B λz 1 Bs0 ds 1 Bs0 ds Bs 0 ds 0 }{{} N0,s λz Bt + Bt. t t Bn n +, 1. k > 0 A n { n B n k } A n n A n B1 k > 0. { A n Bn } k C n 1 n σ X n+1, X n+2,..., n1
79 X i i 1 X i Bi Bi 1 n 0 N Bn n X X n X X n X n X n n n n n n { Bn } k σ X n0 +1, X n0 +2,... n { Bn } k C. n Bn k 1, k N n }{{} C k C k 1 C k Bn n k + k1 k1 T 1 < 1 {t : Bt 0} 1
80 t 0 > 0 B B t }{{} 0 0 A t0 Xt Bt 0 + t Bt 0 ω A t0 δω > 0 Xt 0, t [0, δ T X {t > 0 : Xt < 0} δ > 0 T X > 0 0 A t0 {T X > 0} A t 0 0 B 0 B t > 0, t B 1 }{{} A c t t > 0, t B 0. }{{} t>0 Ac t t 0 > 0 B B t }{{} 0 1 C t0 t > 0, B t 1 }{{} t>0 Ct d 1 B 1, B 2,..., B d Bt B 1, B 2,..., B d T, t 0 B0 0 R d B X i i 1 X 1 0 X 1 1 X 1 1 X 1 1 1/2 S 0 0 S n X X n, n 1
81 { Sx, x N Sx, x k, k + 1 k N. n 1 S n : [0, R S nt Snt n. S n C[0, X n n 1 X X n X X n x X x x R F X fx n fx f : R R C[0, f n, f : [0, R f n f u.c. f n f f f n [0,k] 0, k > 0 n df, g n1 1 2 n { { fx gx : x [0, n]} 1 }. F : C[0, R F f f1 f n f [0,1] 0 f n 1 f1 n 0 u.c. f f n S n F : C[0, R F n S n F B, B. S n n N0, 1, X 1 0 X 1 1 Sn n g gz, g : R R Z N0, 1 n g : R R F : C[0, R F f g f1 F f n u.c. f f n 1 f1 g f n 1
82 g f1 g S n1 n g B1 g B1 N0, 1 Sn g B1 n S n n 0 n I n 1 n S 2 2 k, n 1 I n 1 0 k1 Bt 2dt B S tn n Bt t k n 1 n n k1 Sk n 2 1 n S n k1 k k B n n k B n 2 g : R R 1 2 gi n g Bt dt. 1 g F : C[0, R F f g f 2 t dt. 0 u.c. F f n f fnt 2 dt f 2 t dt g fnt 2 dt g 0 1 F B g B 2 t dt 0 1 F Sn F B g B 2 t dt gi n F Sn n 0 1 gi n g S n t 2 n dt f 2 t dt
83 S n n 0 x R 1 n S k < x 1 k n t [0,1] Bt < x S k k B n n k B < x 1 k n n F : C[0, R F f 1 {ft:t [0,1]}<x D F { f : F f } { f : {ft : t [0, 1]} x }. f C[0, {ft : t [0, 1]} x F f u.c. f n f F [0,1] < x n f n [0,1] < x F f n 1 1 F f F [0,1] > x n f n [0,1] > x F f n 0 0 F f f D F X n n 1, X X n X F X n F X F : X R X D F 0 D F F B D F 0 B D F {Bt [0, 1]} x 0. A + n {k n : S k 0} A n Z {t [0, 1] : Bt 0} n S k S n k n n S k k n B n n F f {t : ft 0}
84 Bt d F t σ {Bs : s [0, t]} T : Ω [0, ] T F t {T t} F t, t 0. d 1 T {t > 0 : Bt 3} {T t} { s t : Bs 3} F t T T F T T F T F T { A F : A {T t} F t, t }. B T T < 1 BT + t Bt t T F T B {t 1 : Bt 0} T B1 0 0 T < 1 1 T X t BT +t Bt X t 0, t 0, 1 T B T T < 1 ˆBt { Bt, t [0, T ] 2 BT Bt, t T B 1 B [0,T ], B 2 BT + t Bt, t 0 B 2 B 2 d B 2 B B 1, B 2 ˆB B 1, B 2 Mt { Bs : s [0, t] } t, a > 0 Mt > a 2 Bt > a Bt > a. T a {t > 0 : Bt a} {T a t} F t {T a t} { Bq > a 1 }. n n 1 q [0,t] Q
85 { ˆBt Bt, t [0, Ta ] 2 a Bt, t T a Mt > a Mt > a, Bt > a + Mt > a, Bt < a + Mt > a, Bt a Bt > a + ˆBt > a 2 Bt > a Mt d Bt, t 0 Mt t 0 Bt t 0 Mt t 0 Bt t 0
J J l 2 J T l 1 J T J T l 2 l 1 J J l 1 c 0 J J J J J l 2 l 2 J J J T J T l 1 J J T J T J T J {e n } n N {e n } n N x X {λ n } n N R x = λ n e n {e n } n N {e n : n N} e n 0 n N k 1, k 2,..., k n N λ
MÉTHODES ET EXERCICES
J.-M. MONIER I G. HABERER I C. LARDON MATHS PCSI PTSI MÉTHODES ET EXERCICES 4 e édition Création graphique de la couverture : Hokus Pokus Créations Dunod, 2018 11 rue Paul Bert, 92240 Malakoff www.dunod.com
Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα
x + = 0 N = {,, 3....}, Z Q, b, b N c, d c, d N + b = c, b = d. N = =. < > P n P (n) P () n = P (n) P (n + ) n n + P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + ) P (n) n m P n P (n) P () P (), P (),...,
k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)
k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)
Ax = b. 7x = 21. x = 21 7 = 3.
3 s st 3 r 3 t r 3 3 t s st t 3t s 3 3 r 3 3 st t t r 3 s t t r r r t st t rr 3t r t 3 3 rt3 3 t 3 3 r st 3 t 3 tr 3 r t3 t 3 s st t Ax = b. s t 3 t 3 3 r r t n r A tr 3 rr t 3 t n ts b 3 t t r r t x 3
1951 {0, 1} N = N \ {0} n m M n, m N F x i = (x i 1,..., xi m) x j = (x 1 j,..., xn j ) i j M M i j x i j m n M M M M T f : F m F f(m) f M (f(x 1 1,..., x1 m),..., f(x n 1,..., xn m)) T R F M R M R x
ts s ts tr s t tr r n s s q t r t rs d n i : X n X n 1 r n 1 0 i n s t s 2 d n i dn+1 j = d n j dn+1 i+1 r 2 s s s s ts
r s r t r t t tr t t 2 t2 str t s s t2 s r PP rs t P r s r t r2 s r r s ts t 2 t2 str t s s s ts t2 t r2 r s ts r t t t2 s s r ss s q st r s t t s 2 r t t s t t st t t t 2 tr t s s s t r t s t s 2 s ts
B G [0; 1) S S # S y 1 ; y 3 0 t 20 y 2 ; y 4 0 t 20 y 1 y 2 h n t: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 1; 3: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 2; 4: r = 10 5 ; a = 10 6 t = 20
a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)
γ n ϑ n n ψ T 8 Q 6 j, k, m, n, p, r, r t, x, y f m (x) (f(x)) m / a/b (f g)(x) = f(g(x)) n f f n I J α β I = α + βj N, Z, Q ϕ Εὐκλείδης ὁ Ἀλεξανδρεύς Στοιχεῖα ἄκρος καὶ μέσος λόγος ὕδωρ αἰθήρ ϕ φ Φ τ
a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)
... 5 A.. RS-232C ( ) RS-232C ( ) RS-232C-LK & RS-232C-MK RS-232C-JK & RS-232C-KK
RS-3C WIWM050 014.1.9 P1 :8... 1... 014.0.1 1 A... 014.0. 1... RS-3C()...01.08.03 A.. RS-3C()...01.08.03 3... RS-3C()... 003.11.5 4... RS-3C ()... 00.10.01 5... RS-3C().008.07.16 5 A.. RS-3C().0 1.08.
d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1
d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n1 x dx = 1 2 b2 1 2 a2 a b b x 2 dx = 1 a 3 b3 1 3 a3 b x n dx = 1 a n +1 bn +1 1 n +1 an +1 d dx d dx f (x) = 0 f (ax) = a f (ax) lim d dx f (ax) = lim 0 =
l 0 l 2 l 1 l 1 l 1 l 2 l 2 l 1 l p λ λ µ R N l 2 R N l 2 2 = N x i l p p R N l p N p = ( x i p ) 1 p i=1 l 2 l p p = 2 l p l 1 R N l 1 i=1 x 2 i 1 = N x i i=1 l p p p R N l 0 0 = {i x i 0} R
March 14, ( ) March 14, / 52
March 14, 2008 ( ) March 14, 2008 1 / 52 ( ) March 14, 2008 2 / 52 1 2 3 4 5 ( ) March 14, 2008 3 / 52 I 1 m, n, F m n a ij, i = 1,, m; j = 1,, n m n F m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a
M p f(p, q) = (p + q) O(1)
l k M = E, I S = {S,..., S t } E S i = p i {,..., t} S S q S Y E q X S X Y = X Y I X S X Y = X Y I S q S q q p+q p q S q p i O q S pq p i O S 2 p q q p+q p q p+q p fp, q AM S O fp, q p + q p p+q p AM
apj1 SSGA* hapla P6 _1G hao1 1Lh_PSu AL..AhAo1 *PJ"AL hp_a*a
n n 1/2 n (n 1) 0/1 l 2 E x X X x X E x X g(x) := 1 g(x). X f : X C L p f p := (E x X f(x) p ) 1/p f,g := E x X f(x)g(x) x X X X X := {f : X [0, ) : f 1 =1}. X µ A A X x X µ A (x) :=α 1 1 A (x) 1 A A α
(a b) c = a (b c) e a e = e a = a. a a 1 = a 1 a = e. m+n
Z 6 D 3 G = {a, b, c,... } G a, b G a b = c c (a b) c = a (b c) e a e = e a = a a a 1 = a 1 a = e Q = {0, ±1, ±2,..., ±n,... } m, n m+n m + 0 = m m + ( m) = 0 Z N = {a n }, n = 1, 2... N N Z N = {1, ω,
Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033
Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische
rs r r â t át r st tíst Ó P ã t r r r â
rs r r â t át r st tíst P Ó P ã t r r r â ã t r r P Ó P r sã rs r s t à r çã rs r st tíst r q s t r r t çã r r st tíst r t r ú r s r ú r â rs r r â t át r çã rs r st tíst 1 r r 1 ss rt q çã st tr sã
γ 1 6 M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.2 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.05 F 2 2 λ τ M = 6000 M = 10000 M = 15000 M = 6000 M = 10000 M = 15000 1 6 τ = 36 1 6 τ = 102 1 6 M = 5000
= df. f (n) (x) = dn f dx n
Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) Ορισμός Cauchy: f (ξ) = lim x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) = f(x) f(ξ) x ξ ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0
Déformation et quantification par groupoïde des variétés toriques
Défomation et uantification pa goupoïde de vaiété toiue Fédéic Cadet To cite thi veion: Fédéic Cadet. Défomation et uantification pa goupoïde de vaiété toiue. Mathématiue [math]. Univeité d Oléan, 200.
m i N 1 F i = j i F ij + F x
N m i i = 1,..., N m i Fi x N 1 F ij, j = 1, 2,... i 1, i + 1,..., N m i F i = j i F ij + F x i mi Fi j Fj i mj O P i = F i = j i F ij + F x i, i = 1,..., N P = i F i = N F ij + i j i N i F x i, i = 1,...,
Molekulare Ebene (biochemische Messungen) Zelluläre Ebene (Elektrophysiologie, Imaging-Verfahren) Netzwerk Ebene (Multielektrodensysteme) Areale (MRT, EEG...) Gene Neuronen Synaptische Kopplung kleine
d 2 y dt 2 xdy dt + d2 x
y t t ysin y d y + d y y t z + y ty yz yz t z y + t + y + y + t y + t + y + + 4 y 4 + t t + 5 t Ae cos + Be sin 5t + 7 5 y + t / m_nadjafikhah@iustacir http://webpagesiustacir/m_nadjafikhah/courses/ode/fa5pdf
Łs t r t rs tø r P r s tø PrØ rø rs tø P r s r t t r s t Ø t q s P r s tr. 2stŁ s q t q s t rt r s t s t ss s Ø r s t r t. Łs t r t t Ø t q s
Łs t r t rs tø r P r s tø PrØ rø rs tø P r s r t t r s t Ø t q s P r s tr st t t t Ø t q s ss P r s P 2stŁ s q t q s t rt r s t s t ss s Ø r s t r t P r røs r Łs t r t t Ø t q s r Ø r t t r t q t rs tø
P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r
r s s s t t P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r t t s st ä r t str t st t tt2 t s s t st
9.BbF`2iBbB2`mM; A,.Bz2`2Mx2Mp2`7?`2M 7Ƀ` T `ib2hh2.bz2`2mib H;H2B+?mM;2M 8.BbF`2iBbB2`mM; AA, 6BMBi2 1H2K2Mi2 o2`7?`2m
R R R K h ( ) L 2 (Ω) H k (Ω) H0 k (Ω) R u h R 2 Φ i Φ i L 2 A : R n R n n N + x x Ax x x 2 A x 2 x 3 x 3 a a n A := a n a nn A x = ( 2 5 9 A = )( x ( ) 2 5 9 x 2 ) ( ) 2x +5x = 2. x +9x 2 Ax = b 2x +5x
ITU-R P (2012/02)
ITU-R P.56- (0/0 P ITU-R P.56- ii.. (IPR (ITU-T/ITU-R/ISO/IEC.ITU-R ttp://www.itu.int/itu-r/go/patents/en. (ttp://www.itu.int/publ/r-rec/en ( ( BO BR BS BT F M P RA RS S SA SF SM SNG TF V 0.ITU-R ITU 0..(ITU
X(f) E(ft) df x[i] = 1 F. x(t) E( ft) dt X(f) = x[i] = 1 F
![X(f) E(ft) df x[i] = 1 F. x(t) E( ft) dt X(f) = x[i] = 1 F](/thumbs/70/62947708.jpg "X(f) E(ft) df x[i] = 1 F. x(t) E( ft) dt X(f) = x[i] = 1 F")
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΗΥ240: Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων 4..2006 Φυλλάδιο Τυπολόγιο μετασχηματισμών ourier, Laplace και Z Σύμβολα Για έναν πραγματικό αριθμό x, συμβολίζουμε με x, x, [x], τον αμέσως
Αναπαραστάσεις οµάδων και Αλγεβρες Τελεστών
6 Ιουλίου 2015 1 Οµάδες 2 3 οµάδες Οµάδες Παραδείγµατα (Z, +) (Z n, +) (R, +), (R, ), (R +, ) (T, ), T = {z C : z = 1} S n = {φ : N n N n, 1 1 και επί}, όπου N n = {1, 2,..., n}, µε πράξη την σύνθεση.
P P Ó P. r r t r r r s 1. r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s. Pr s t P r s rr. r t r s s s é 3 ñ
P P Ó P r r t r r r s 1 r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s Pr s t P r s rr r t r s s s é 3 ñ í sé 3 ñ 3 é1 r P P Ó P str r r r t é t r r r s 1 t r P r s rr 1 1 s t r r ó s r s st rr t s r t s rr s r q s
ITU-R P (2009/10)
ITU-R.38-6 (009/0 $% #! " #( ' * & ' /0,-. # GHz 00 MHz 900 ITU-R.38-6 ii.. (IR (ITU-T/ITU-R/ISO/IEC.ITU-R http://www.itu.int/itu-r/go/patents/en. (http://www.itu.int/publ/r-rec/en ( ( BO BR BS BT F M
*❸341❸ ❸➈❽❻ ❸&❽❼➅❽❼❼➅➀*❶❹❻❸ ➅❽❹*➃❹➆❷❶*➈❹1➈. Pa X b P a µ b b a ➁❽❽❷➂➂%&'%➁❽➈❽)'%➁❽❽'*➂%➁❽➄,-➂%%%,❹❽➀➂'❹➄%,❹❽❹'&,➅❸%&❹-❽❻ ,❹❽➀➂'❹➄%,❹❽❹'&,➅❸%&❹-❽❻
*❸34❸ ➁❽❽❷➂➂%&'%➁❽➈❽)'%➁❽❽'*➂%➁❽➄,-➂%%%,❹❽➀➂'❹➄%,❹❽❹'&,➅❸%&❹-❽❻,❹❽➀➂'❹➄%,❹❽❹'&,➅❸%&❹-❽❻ -3*98❻➀*➁❽4❹❹** ~ N( µσ, )**σ **-❹➄❹8❹* µ*➆4❹➂➂*➁➆*❽➀➂❹➄*➂➂* *➁3 Pa ( < b) * ➀8*-9❼4➂❸*-❹❶➀➈-❸❸*-❽4&➄❹➈*➀8*-❹3➀9❼*8❽*-❽❼➄➂➀3*❸❽4&➄❹➈*❹➄❽3*➀&❼➄❽3❸❹*❻3➂
Erkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit
rkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit TITOJNKÄSITTLYTITIDN LAITOS TAMPRN YLIOPISTO D 2008 6 TAMPR 2009 TAMPRN YLIOPISTO TITOJNKÄSITTLYTITIDN LAITOS JULKAISUSARJA D VRKKOJULKAISUT D 2008 6, TOUKOKUU 2009
x y 2 = 2 sin θ 2 dx = K R n e x pt n+p 1 e tp dt. dx = pt p 1 e tp dt dx. t x 1 e t dt.
Συναρτησιακές Ανισότητες και Συγκέντρωση του Μέτρου (-) Ασκήσεις Κεφάλαιο : Ισοπεριμετρικές ανισότητες και συγκέντρωση του μέτρου Θεωρούμε την μοναδιαία Ευκλείδεια σφαίρα S n = {x R n : x = } στον R n
10 20 X i a i (i, j) a ij (i, j, k) X x ijk j :j i i: R I J R K L IK JL a 11 a 12... a 1J a 21 a 22... a 2J = a I1 a I2... a IJ = [ 1 1 1 2 1 3... J L 1 J L ] R I K R J K IJ K = [ 1 1 2 2... K
f(w) f(z) = C f(z) = z z + h z h = h h h 0,h C f(z + h) f(z)
Ω f: Ω C l C z Ω f f(w) f(z) z a w z = h 0,h C f(z + h) f(z) h = l. z f l = f (z) Ω f Ω f Ω H(Ω) n N C f(z) = z n h h 0 h z + h z h = h h C f(z) = z f (z) = f( z) f f: Ω C Ω = { z; z Ω} z, a Ω f (z) f
l 1 p r i = ρ ij α j + w i j=1 ρ ij λ α j j p w i p α j = 1, α j 0, j = 1,..., p j=1 R B B B m j [ρ 1j, ρ 2j,..., ρ Bj ] T = }{{} α + [,,..., ] R B p p α [α 1,..., α p ] [w 1,..., w p ] M m 1 m 2,
L A TEX 2ε. mathematica 5.2
Διδασκων: Τσαπογας Γεωργιος Διαφορικη Γεωμετρια Προχειρες Σημειωσεις Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών Σάμος Εαρινό Εξάμηνο 2005 στοιχεοθεσια : Ξενιτιδης Κλεανθης L A TEX 2ε σχεδια : Dia mathematica
ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s
P P P P ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s r t r 3 2 r r r 3 t r ér t r s s r t s r s r s ér t r r t t q s t s sã s s s ér t
ẋ = f(x) n 1 f i (i = 1, 2,..., n) x i (i = 1, 2,..., n) x(0) = x o x(t) t > 0 t < 0 x(t) x o U I xo I xo : α xo < t < β xo α xo β xo x(t) t β t α + x f(x) = 0 x x x x V 1 x x o V 1 x(t) t > 0 x o V 1
Coupling strategies for compressible - low Mach number flows
Coupling strategies for compressible - low Mach number flows Yohan Penel, Stéphane Dellacherie, Bruno Després To cite this version: Yohan Penel, Stéphane Dellacherie, Bruno Després. Coupling strategies
r r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t
r t t r t ts r3 s r r t r r t t r t P s r t r P s r s r P s r 1 s r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r 2s s r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r t r 3 s3 Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t r r r rs
!"#!$% &' ( )*+*,% $ &$ -.&01#(2$#3 4-$ #35667
!"#!$% & &' ( )*+*,% $ -*(-$ -.*/% $- &$ -.&01#(2$#3 4-$ #35667 5051 & 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 9 508&:;&& 0000000000000000000000000000000000000000000000000
Points de torsion des courbes elliptiques et équations diophantiennes
Points de torsion des courbes elliptiques et équations diophantiennes Nicolas Billerey To cite this version: Nicolas Billerey. Points de torsion des courbes elliptiques et équations diophantiennes. Mathématiques
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην
f : G G G = 7 12 = 5 / N. x 2 +1 (x y) z = (x+y+xy) z = x+y+xy+z+(x+y+xy)z = x+y+z+xy+yz+xz+xyz.
Σ.Παπαδόπουλος 1 1 Βασικές έννοιες ομάδας Εστω G ένα σύνολο με G. Μία πράξη στο G είναι μία συνάρτηση f : G G G. Αντί f(x, y) γράφουμε x y και αν δεν υπάρχει περίπτωση σύγχυσης xy. Είναι φανερό ότι σε
4. Απαγορεύεται η χρήση υπολογιστή χειρός. Απαγορεύεται η χρήση κινητού, και ως υπολογιστή χειρός.
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ, ΙΩΑΝΝΗΣ ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΣ, ΣΤΑΥΡΟΣ ΤΟΥΜΠΗΣ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, ΙΟΥΝΙΟΣ 207 ΟΝΟΜΑ ΦΟΙΤΗΤΗ:.............................. Οδηγίες. Συμπληρώστε το όνομά
A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3
16 0 17 0 17 0 18 0 18 0 19 0 20 A A = A 1 î + A 2 ĵ + A 3ˆk A (x, y, z) r = xî + yĵ + zˆk A B A B B A = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 = A B θ θ A B = ˆn A B θ A B î ĵ ˆk = A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 W = F
( [T]. , s 1 a as 1 [T] (derived category) Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter 4. [I] XI ). Gelfand Manin [GM1]
![( [T]. , s 1 a as 1 [T] (derived category) Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter 4. [I] XI ). Gelfand Manin [GM1]](/thumbs/49/25424945.jpg "( [T]. , s 1 a as 1 [T] (derived category) Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter 4. [I] XI ). Gelfand Manin [GM1]")
1 ( ) 2007 02 16 (2006 5 19 ) 1 1 11 1 12 2 13 Ore 8 14 9 2 (2007 2 16 ) 10 1 11 ( ) ( [T] 131),, s 1 a as 1 [T] 15 (, D ), Lie, (derived category), ( ) [T] Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter
!"#! $%&'$% %(' ') '#*#(& ( #'##+,-'!$%(' & ('##$%(' &#' & ('##$%('. )!#)! ##%' " (&! #!$"/001
!"#! $%&'$% %(' ') '#*#(& ( #'##+,-'!$%(' & ('##$%(' &#' & ('##$%('. ') '#*#(& )!#)! ##%' " (&! #!$"/001 ')!' &'# 2' '#)!( 3(&/004&' 5#(& /006 # '#)! 7!+8 8 8 #'%# ( #'## +,-'!$%(' & ('##$%('9&#' & ('##$%('9')
W τ R W j N H = 2 F obj b q N F aug F obj b q Ψ F aug Ψ ( ) ϱ t + + p = 0 = 0 Ω f = Γ Γ b ϱ = (, t) = (, t) Ω f Γ b ( ) ϱ t + + p = V max 4 3 2 1 0-1 -2-3 -4-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 x 4 x 1 V mn V max
DC BOOKS. H-ml-c-n-s-b- -p-d-n- -v A-d-n-b-p-w-a-p-¼-v
BÀ. tdmj³ Xn-cp-h-\- -]p-cw kz-tz-in. 2004 ap-xâ [-\-Im-cy ]-{X-{]-hÀ- -\cw-k v. XpS- w Zo-]n-I- Zn-\- -{X- nâ. C-t mä am-xr-`q-an Zn-\- -{X- n-sâ {]-Xnhmc _n-kn\-kv t]pm-b "[-\-Im-cy-' n-sâbpw ssz-\w-zn-\
4 8 c +t +t - (t +t ) - <t +t < - < t t < + +c ( ) +t + ( ) +t + [ - (t +t )] (t + t ) + t + t t 0 + +c c x i R + (i ΔABC ABC ) x i x i c ABC 0 ABC AC
![4 8 c +t +t - (t +t ) - <t +t < - < t t < + +c ( ) +t + ( ) +t + [ - (t +t )] (t + t ) + t + t t 0 + +c c x i R + (i ΔABC ABC ) x i x i c ABC 0 ABC AC](/thumbs/91/105344508.jpg "4 8 c +t +t - (t +t ) - <t +t < - < t t < + +c ( ) +t + ( ) +t + [ - (t +t )] (t + t ) + t + t t 0 + +c c x i R + (i ΔABC ABC ) x i x i c ABC 0 ABC AC")
8 No8Vol JOURNALOF NEIJIANG NORMAL UNIVERSITY * * ( 6499) : ; ; ; ; ; : ; ; DOI:060/jcki-6/z0808006 :G647 :A :67-78(08)08-00-09 0 [4] [] [6] [7] ( ) ( [8] ) [9] [] : [] [] :08-06- : (ZG0464) (ZY600) 06
Τυπολογίο Μαθηµατικών Μεθόδων Φυσικής ΙΙ
. Μέθοδος Frobenius Τυπολογίο Μαθηµατικών Μεθόδων Φυσικής ΙΙ d w Γενική µορφή της γραµµικής.ε. ης τάξης: dz + P (z)dw + Q(z)w = dz Μορφή της.ε. όταν το σηµείο z = z είναι κανονικό ανώµαλο σηµείο d w dz
Αλγεβρικές Δομές Ι. 1 Ομάδα I
Αλγεβρικές Δομές Ι 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω G μια προσθετική ομάδα S ένα μη κενό σύνολο και M(S G το σύνολο όλων των συναρτήσεων f : S G. Δείξτε ότι το σύνολο M(S G είναι ομάδα με πράξη την πρόσθεση
Ενα δεύτερο μάθημα στις πιθανότητες Περιεχόμενα Μέρος I Γνώσεις Θεωρίας Μέτρου 1 1 σ-άλγεβρες 3 1.1 σ-άλγεβρες 3 1.2 Παραγόμενη σ-άλγεβρα 5 1.3 Τα σύνολα Borel 6 Ασκήσεις 7 2 Μέτρα 9 2.1 Μέτρα σε μετρήσιμο
m r = F m r = F ( r) m r = F ( v) F = F (x) m dv dt = F (x) vdv = F (x)dx d dt = dx dv dt dx = v dv dx
m r = F m r = F ( r) m r = F ( v) x F = F (x) m dv dt = F (x) d dt = dx dv dt dx = v dv dx vdv = F (x)dx 2 mv2 x 2 mv2 0 = F (x )dx x 0 K = 2 mv2 W x0 x = x x 0 F (x)dx K K 0 = W x0 x x, x 2 x K 2 K =
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584
Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ 5ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 401-500 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς
ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Ελευθερίου Β. Χρυσούλα. Επιβλέπων: Νικόλαος Καραμπετάκης Καθηγητής Α.Π.Θ.
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ Αναγνώριση συστημάτων με δεδομένη συνεχή και κρουστική συμπεριφορά
(G) = 4 1 (G) = 3 (G) = 6 6 W G G C = {K 2,i i = 1, 2,...} (C[, 2]) (C[, 2]) {u 1, u 2, u 3 } {u 2, u 3, u 4 } {u 3, u 4, u 5 } {u 3, u 4, u 6 } G u v G (G) = 2 O 1 O 2, O 3, O 4, O 5, O 6, O 7 O 8, O
Ασκήσεις Απειροστικού Λογισμού ΙΙ Πρόχειρες Σημειώσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Περιεχόμενα Υπακολουθίες και ακολουθίες Cuchy Σειρές πραγματικών αριθμών 3 3 Ομοιόμορφη συνέχεια 3 4 Ολοκλήρωμα
ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Δ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Δ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (5) ΑΘΗΝΑ ΜΑΡΤΙΟΣ 2013 1 ΕΠΕΞΗΓΗΣΗ ΤΥΠΩΝ ΚΑΙ ΣΥΜΒΟΛΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Τυχαία μεταβλητή είναι μία συνάρτηση η οποία να αντιστοιχεί
ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ
Τμήμα Φυσικής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ Ι. ΑΡΒΑΝΙΤΙ ΗΣ jarvan@physcs.auth.gr 2310 99 8213 ΘΕΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ ΠΟΛΩΣΗ ΣΥΜΒΟΛΗ ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ
!!" #7 $39 %" (07) ..,..,.. $ 39. ) :. :, «(», «%», «%», «%» «%». & ,. ). & :..,. '.. ( () #*. );..,..'. + (# ).
1 00 3 !!" 344#7 $39 %" 6181001 63(07) & : ' ( () #* ); ' + (# ) $ 39 ) : : 00 %" 6181001 63(07)!!" 344#7 «(» «%» «%» «%» «%» & ) 4 )&-%/0 +- «)» * «1» «1» «)» ) «(» «%» «%» + ) 30 «%» «%» )1+ / + : +3
Α Δ Ι. Δευτέρα 13 Ιανουαρίου 2014
Α Δ Ι Α - Φ 9 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Δευτέρα 13 Ιανουαρίου
Σημειώσεις Στατιστική & Πιθανότητες
Σημειώσεις Στατιστική & Πιθανότητες https://github.com/kongr45gpen/ece-notes 26, Εαρινό εξάμηνο Περιεχόμενα I Πιθανότητες 2 2. Πείραμα τύχης.......................................... 2.. Πράξεις..........................................
#%" )*& ##+," $ -,!./" %#/%0! %,!
-!"#$% -&!'"$ & #("$$, #%" )*& ##+," $ -,!./" %#/%0! %,! %!$"#" %!#0&!/" /+#0& 0.00.04. - 3 3,43 5 -, 4 $ $.. 04 ... 3. 6... 6.. #3 7 8... 6.. %9: 3 3 7....3. % 44 8... 6.4. 37; 3,, 443 8... 8.5. $; 3
Διαφορικές εξισώσεις 302.
Διαφορικές εξισώσεις 32. Μαθηματικό Αθήνας Συλλογή ασκήσεων 1 Λύτες: Βουλγαρίδου Εύα Ορμάνογλου Στράβων Παπαμικρούλη Ελένη Παπανίκου Μυρτώ Καθηγητές: Αθανασιάδου - Μπαρμπάτης Επιμέλεια L A TEX: Βώβος Μάριος
Gradient Descent for Optimization Problems With Sparse Solutions
Gradient Descent for Optimization Problems With Sparse Solutions The Harvard community has made this article openly available. Please share how this access benefits you. Your story matters Citation Chen,
(... )..!, ".. (! ) # - $ % % $ & % 2007
(! ), "! ( ) # $ % & % $ % 007 500 ' 67905:5394!33 : (! ) $, -, * +,'; ), -, *! ' - " #!, $ & % $ ( % %): /!, " ; - : - +', 007 5 ISBN 978-5-7596-0766-3 % % - $, $ &- % $ % %, * $ % - % % # $ $,, % % #-
È http://en.wikipedia.org/wiki/icosidodecahedron
À Ô ÐÓ ÖÓÒØ ØÓÙÔ Ö ÕÓÑ ÒÓÙ Ò Ø Ô ØÓÙ Ô Ñ Ð Ø ØÓÙhttp://www.mathematica.grº Å Ø ØÖÓÔ LATEX ÛØ Ò Ã Ð Ò Ø ÃÓØÖôÒ Ä ÙØ Ö ÈÖÛØÓÔ Ô Õ ÐÐ ËÙÒ ÔÓÙÓ ËÕ Ñ Ø Å Õ Ð Æ ÒÒÓ ÉÖ ØÓÌ Ë Ð ¹ ÅÔÓÖ Ò Ò Ô Ö Õ Ò Ò Ñ Ð Ö º ÌÓß
ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΤΟΥ ΘΟΡΥΒΟΥ ΣΤΑ ANΑΛΟΓΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΒΙΒΑΣΗΣ ΣΗΜΑΤΟΣ. Προσθετικός Λευκός Gaussian Θόρυβος (Additive White Gaussian Noise-AWGN
ΡΗ 009-10 16/1/009 3:4 μμ ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΤΟΥ ΘΟΡΥΒΟΥ ΣΤΑ ANΑΛΟΓΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΒΙΒΑΣΗΣ ΣΗΜΑΤΟΣ Προσθετικός Λευκός Gaussian Θόρυβος (Additive White Gaussian Noise-AWGN AWGN) ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΤΟΥ ΘΟΡΥΒΟΥ ΣΕ ΜΕΤΑΔΟΣΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Σ. ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ, ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Λογισμός Ι Ενότητα 4: Παράγωγοι Κ. Δασκαλογιάννης Τμήμα Μαθηματικών Α.Π.Θ. (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 1 / 68 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης
Γραφικά & Οπτικοποίηση Κεφάλαιο 4 Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Εισαγωγή Στα γραφικά υπάρχουν: 3Δ μοντέλα 2Δ συσκευές επισκόπησης (οθόνες & εκτυπωτές) Προοπτική απεικόνιση (προβολή): Λαμβάνει
{ } x[n]e jωn (1.3) x[n] x [ n ]... x[n] e jk 2π N n
![{ } x[n]e jωn (1.3) x[n] x [ n ]... x[n] e jk 2π N n](/thumbs/62/48326221.jpg "{ } x[n]e jωn (1.3) x[n] x [ n ]... x[n] e jk 2π N n")
Πανεπιστημιο Κυπρου Τμημα Ηλεκτρολογων Μηχανικων και Μηχανικων Υπολογιστων ΗΜΥ : Σηματα και Συστηματα για Μηχανικους Υπολογιστων Κεφάλαιο 5: Μετασχηματισμοί Fourier σε διακριτά σήματα!"#!"#! "#$% Σημειώσεις
1.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ
Κεφ. I Εισαγωγή.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Η ανάγκη µαθηµατικής περιγραφής και µοντελοποίησης συστηµάτων τα οποία εξελίσσονται χρονικά κατά τρόπο που περιέχει, σε µικρό ή µεγάλο βαθµό, τυχαιότητα,
ΤΥΧΑΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών
Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Είδη τυχαίων διανυσµάτων 1. ιακριτού τύπου X = (X 1, X 2,...,X k ) ονοµάζεται διακριτό τυχαίο διάνυσµα αν το πεδίο τιµών του είναι της µορφής, S = {x 1 x 2 n,,...,x,...}.
ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ - ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ
Τµ. Επιστήµης των Υλικών Συνάρτηση Κατανοµής Ορισµός F(x) = P(X x) = f(t) x t x f(t)dt, X διακριτή τ.µ., X συνεχής τ.µ. Ιδιότητες 0 F(x). 2 F είναι αύξουσα συνάρτηση. 3 F είναι συνεχής εκ δεξιών. 4 lim
V r,k j F k m N k+1 N k N k+1 H j n = 7 n = 16 Ṽ r ñ,ñ j Ṽ Ṽ j x / Ṽ W 2r V r D N T T 2r 2r N k F k N 2r Ω R 2 n Ω I n = { N: n} n N R 2 x R 2, I n Ω R 2 u R 2, I n x k+1 = x k + u k, u, x R 2,
Q π (/) ^ ^ ^ Η φ. <f) c>o. ^ ο. ö ê ω Q. Ο. o 'c. _o _) o U 03. ,,, ω ^ ^ -g'^ ο 0) f ο. Ε. ιη ο Φ. ο 0) κ. ο 03.,Ο. g 2< οο"" ο φ.
II 4»» «i p û»7'' s V -Ζ G -7 y 1 X s? ' (/) Ζ L. - =! i- Ζ ) Η f) " i L. Û - 1 1 Ι û ( - " - ' t - ' t/î " ι-8. Ι -. : wî ' j 1 Τ J en " il-' - - ö ê., t= ' -; '9 ',,, ) Τ '.,/,. - ϊζ L - (- - s.1 ai
!"#$ % &# &%#'()(! $ * +
,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β ΑΡΤΙΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/liearalgebrai/lai2018/lai2018html Παρασκευή 12 Οκτωβρίου 2018 Ασκηση 1
2x 1 + x 2 x 3 + x 4 = 1. 3x 1 x 2 x 3 +2x 4 = 3 x 1 +2x 2 +6x 3 x 4 = 4
Παράδειγμα 2x 1 +2x 2 +0x 3 +6x 4 = 8 2x 1 + x 2 x 3 + x 4 = 1 3x 1 x 2 x 3 +2x 4 = 3 x 1 +2x 2 +6x 3 x 4 = 4 Επαυξημένος πίνακας: 2 2 0 6 8 2 1 1 1 1 Ã = 3 1 1 2 3 1 2 6 1 4 Γενικό σύστημα a 11 x 1 +a
Vol. 37 ( 2017 ) No. 3. J. of Math. (PRC) : A : (2017) k=1. ,, f. f + u = f φ, x 1. x n : ( ).
Vol. 37 ( 2017 ) No. 3 J. of Math. (PRC) R N - R N - 1, 2 (1., 100029) (2., 430072) : R N., R N, R N -. : ; ; R N ; MR(2010) : 58K40 : O192 : A : 0255-7797(2017)03-0467-07 1. [6], Mather f : (R n, 0) R
'#( ) : /..,..,..!.; , ISBN *, +, /, , 2 1+,,, : 7.
- 003 :! " #!! $%!& '#( 638 ) : /! ; - - 003-08 ISBN 5-30-0600-0 * + - 0000-5000 / 0 0 ( 3 + 8 33 4 : 7 * 3+ -- - : - - - - 3 - ; (! ( ) ISBN 5-30-0600-0 - 003 + - 0000-5000 / 0 ( 3 + 0 + - - - 0 - - +
Teor imov r. ta matem. statist. Vip. 94, 2016, stor
eor imov r. ta matem. statist. Vip. 94, 6, stor. 93 5 Abstract. e article is devoted to models of financial markets wit stocastic volatility, wic is defined by a functional of Ornstein-Ulenbeck process
Α Δ Ι. Παρασκευή 20 Δεκεμβρίου GL n (R) / SL n (R)
Α Δ Ι Α - Φ 8 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 20 Δεκεμβρίου
Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Χώροι L p - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Χώροι L p - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
ITU-R P (2012/02) &' (
ITU-R P.530-4 (0/0) $ % " "#! &' ( P ITU-R P. 530-4 ii.. (IPR) (ITU-T/ITU-R/ISO/IEC).ITU-R http://www.itu.int/itu-r/go/patents/en. ITU-T/ITU-R/ISO/IEC (http://www.itu.int/publ/r-rec/en ) () ( ) BO BR BS
!! " &' ': " /.., c #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",...(.
..,.. 00 !!.6 7 " 57 +: #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",.....(. 8.. &' ': " /..,... :, 00. c. " *+ ' * ' * +' * - * «/'» ' - &, $%' * *& 300.65 «, + *'». 3000400- -00 3-00.6, 006 3 4.!"#"$
Τρίτη 4 εκεµβρίου m + 4Z
ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τρίτη 4 εκεµβρίου 202 Ασκηση. Βρείτε
Multi-GPU numerical simulation of electromagnetic waves
Multi-GPU numerical simulation of electromagnetic waves Philippe Helluy, Thomas Strub To cite this version: Philippe Helluy, Thomas Strub. Multi-GPU numerical simulation of electromagnetic waves. ESAIM:
Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584
Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 101-00 Αφιερωμέν σε κάθε μαθητή πυ ασχλείται ή πρόκειται να ασχληθεί με Μαθηματικύς διαγωνισμύς
Does this algorithm halt? Yes
Does this algorithm halt? Yes No REC RE ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0,, 2 A,,,,, A, A,,,,,,,,, A P n A P A A n N n f A B f : A B f ((a, b 1 ) f (a, b 2 ) f) b 1 = b 2 (a, b) f f(a) = b f : A B f b B a A((a, b) f) f ((a