9.BbF`2iBbB2`mM; A,.Bz2`2Mx2Mp2`7?`2M 7Ƀ` T `ib2hh2.bz2`2mib H;H2B+?mM;2M 8.BbF`2iBbB2`mM; AA, 6BMBi2 1H2K2Mi2 o2`7?`2m

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "9.BbF`2iBbB2`mM; A,.Bz2`2Mx2Mp2`7?`2M 7Ƀ` T `ib2hh2.bz2`2mib H;H2B+?mM;2M 8.BbF`2iBbB2`mM; AA, 6BMBi2 1H2K2Mi2 o2`7?`2m"

Transcript

1

2

3

4 R R R K h

5 ( ) L 2 (Ω) H k (Ω) H0 k (Ω) R u h R 2 Φ i Φ i L 2

6

7 A : R n R n n N + x x Ax x x 2 A x 2 x 3 x 3 a a n A := a n a nn A x = ( A = )( x ( ) x 2 ) ( ) 2x +5x = 2. x +9x 2 Ax = b 2x +5x 2 = b x +9x 2 = b 2.

8 A A = L U E ij a ij A ( ) 2 A =. 8 7 ( ) 0 E 2 := a 4 2 ( ) ( ) ( = 4 }{{} E }{{} A ) A = L U L = E 2 = ( 0 4 ) 0 3 }{{} U Ax = LUx = E2 x = U E 2 b. E 32 E 3 E 2 A = U E 3 = Id, E 32 = 0 0, E 2 = i,j E i,j Eij i,j E i,j = L = } 0 {{ 0 }} 5 {{ } 0 5 E 2 E 32

9 L n n n = 00 A w w w n 2 +(n ) 2 +(n 2) w w n x 2 x=0 n 0 x 2 dx = 3 x3 n 0 = 3 n3. O ( 3 n3) Au =0 Au = b x 0 A A x A x = λ x, λ x A

10 P : R 3 R 3 x E P P E Px = x Px 2 = x 2 x x 2 x 3 E Px 3 =0 x. A = ( ) 0 0 x = x 2 = ( ), ( ) λ = λ 2 = Ax = λx λ x Ax = λx (A λ Id) x =0 x 0 A λ Id (A λid) =0. (A λid) λ x

11 A = ( ) 3 3 (A λid) = ( ) 3 λ =(3 λ) 2 = 3 λ = λ 2 6λ +8 A λ =4 λ 2 =2 A 4 Id = ( ) ( ) x =0 λ =4 x = ( ) λ 2 =2 x 2 = ( ) x Ax = λx A(αx) =λ(αx) α y 0 x := {αx} λ n n A C A C n n n C n n C R A R n n λ,...,λ n C A C n n n λ i = (A) i= n λ i = (A). i=

12 Q α ( ) (α) (α) Q α = (α) (α) 90 o = π 2 ( ) 0 Q π = 2 0 Q π 2 ) ( λ + λ 2 = ( λ λ 2 = Q π 2 Q π 2 =0, ) =. R ( ) Q π λid = 2 ( ) λ λ = λ 2 +=0 λ /2 = ±i. n n n ( ) 3 A = 0 3 A λ /2 =3 (A λid)x = ( A x = )( x x 2 ) = ( ) 0 ( ) 0. 0 n n A n A n

13 n n A n x,...,x n S x,...,x n x x n x 2 x 2 n S :=. x n x n n A S x x n λ x x 2 x 2 λ n x n n A S = A = λ x 2 λ n x 2 n x n x n n λ x n λ n x n n x x n λ 0 0 x 2 x 2 n 0 λ 2 0 = x n x n n 0 0 λ n A S = S Λ λ λ 2 0 Λ:= 0 0 λ n Λ S AS = SΛ S AS = Λ A = SΛS S A A Ax = λx A 2 x A 2 x = Aλx = λax = λ 2 x A 2

14 A A = SΛS A k =(SΛS ) (SΛS )=SΛ k S. A A 00 A 00 =(SΛS )(SΛS ) (SΛS )=SΛ 00 S. λ i < i =,...,n A k 0 k, n n n A A = λ = λ 2 =...= λ n =. n n x =,x 2 =,...,x 0 n =. 0 0 ( ) 2 A = λ 0 2 = λ 2 =2 ( ) 0 (A 2Id) x = x = ( ) A 2Id x = 0

15 n n A R n n u k+ = Au k, u 0 R n u = Au 0, u 2 = A 2 u 0, u k = A k u 0. u 0 x,x 2,...,x n A u 0 = c x + c 2 x c n x n = Sc. Au 0 Au 0 = Ac x + Ac 2 x Ac n x n = c λ x + c 2 λ 2 x c n λ n x n A k u 0 = c λ k x + c 2 λ k 2x c n λ k nx n, 0,,, 2, 3, 5, 8, 3,...

16 F 00 F k+2 = F k+ + F k u k := A = ( Fk+ F k F k+2 = F k+ + F k F k+ = F k+. ) Au k = u k+ ( ) 0 ( ) (A λid) = λ = λ( λ) =0 λ λ 2 λ = 0 λ /2 = ± +4 2 λ.68 λ ( ) A k =(SΛS ) k.6 k 0 = S k S F 00 c.6 00,F k c.6 k k u k u k = c x + c 2 x 2 x,x 2 ( λ λ (A λid)x = 0 )( ) x = x 2 ( 0 0 )

17 ( ) λ x = x 2 = ( ) ( ) F u 0 = = 0 F 0 ( ) ( ) λ λ2 c x + c 2 x 2 = c + c 2 = ( ) λ2 c c 2 ( ) c /2 = ± 5 ±0.447 F u(0) = du dt = u +2u 2 du 2 dt = u 2u 2 ( ) 0 ( du ) ( dt 2 du 2 = 2 dt )( u u 2 ) = Au. A λ =0 A λ 2 = 3 λ i = (A) = 3 ( ) 2 x =, ( ) x 2 =. u u(t) =c (λ t) x + c 2 (λ 2 t) x 2. c c 2 ( ) ( ) 2 c (λ t) x + c 2 (λ 2 t) x 2 = c + c 2 ( 3t) ( ) u(0) = t =0 0 ( ) ( ) ( ) 2 c + c 2 = c 0 = c 2 = 3

18 u(t) = 3 x + 3 ( 3t) x 2. t u( ) = ( ) 2. 3 u(t) 0 u(t) v u(t) ± u(t) 0 e λt 0 λ<0. λ C λ = 3+6i e ( 3+6i)t = e 3t e 6it e 6it = (6t)+i (6t) = ( )( ) (6t) (6t) i e 6it ( ) (6t) = = (6t) 2 (6t)+ 2 (6t) =. Re(λ) < 0 λ =0 Re(λ) < 0 Re(λ) > 0 ( ) a b 2 2 A = c d Reλ < 0 Reλ 2 < 0. (A) =a+d = λ ( +λ 2 < ) 0 (A) < λ 0 2 => 0 (A) > 0.

19 A C n n du dt = Au. A u i u u := Sv S dv dt = S ASv =Λv v(t) = e Λt v(0) S u(t) = e Λt S u(0) u(t) = Se Λt S u(0). e At = Se Λt S, u(t) =e At u(0) = Se Λt S u(0). e At = Id + At + (At)2 2 + (At) (At)n n! +... e At = Se Λt S e At = Id + At + (At)2 2 + (At) = Id +(SΛS )t + (SΛS )(SΛS )t = Id +(SΛS )t + 2 t2 (SΛ 2 S )+ 6 t3 (SΛ 3 S )+... = S(S +ΛS t + 2 t2 Λ 2 S +...)= = = S(Id +Λt +Λ 2 t2 2 + Λ3 t 3 = Se Λt S )S = e At = e SΛS t = Se Λt S.

20 e λ t 0 e Λt =. 0 e λnt e At = Se Λt S 0, e Λt 0 Re(λ) < 0 ( ) y u = y y + by + cy =0 y + by + cy = 0 y = y ( ) ( )( ) ( ) u y b c y b c = y = = u. 0 y 0

21 u = f(u, t) u(t = 0) = u 0 u i = f i (u, t), i =,...,n u i (t = 0) = u i,0. u = au, a f u u = Au, A ij f i. u j u n+ u n,u n,... t n,t n,... u n+ t n+ n + u (t) D u f (u(t),t) u

22 u(t) =e t + e 99t. u(t) e t u(t) e 99t t ( ) A = u = Au u(t) =e t + e 99t. λ = λ 2 = 99 A cond(a) := λ max λ min. cond(a) = 99 a>0

23 u = f(u, t) =au. u u n+ u n. t u n+ u n t = au n u n+ = u n + tau n =(+a t)u n u n =(+a t) n u 0. +a t > u n a<0 +a t. a t a<0 0 < t < 2 a. u n+ u n u n+ u n t u n+ = = f(u n+,t n+ )=au n+ a t u n u n = ( ) n u 0. a t a<0 a t < t.

24 a <0 a >0 t 0 u k+ = u k + tφ(u k+,u k,t k ). Φ t k = t 0 + k t, u(t k ): t k, u k : t k. t k+ d k+ := u (t k+ ) u (t k ) tφ(u (t k+ ),u(t k ),...,t k ). u = au u n+ = u n + tau n u(t n+ ) = u(t n )+ tau(t n )+d n+t d n+ = u(t n ) u(t n ) tau(t n )

25 t n e n := u(t n ) u n? e n+ = u(t n+ ) u n+ = u(t n )+a tu (t n )+d n+ (u n + a tu n ) e n+ = e n + a te n + d n+ =(+a t) n d +...+(+a t) n+ k d k d n+. +a t d k+ = 2 ( t)2 u (t k + θ t), 0 <θ< e n+ (n + ) 2 ( t)2 u = 2 T t u T := (n + ) t t g k t k g k := u(t k ) u k. g k d k Φ:B R L R 0 <L< Φ(x, y,z, t) Φ(x, y 2,z, t) L y y 2, Φ(x, y, z, t) Φ(x, y, z 2, t) L z z 2 (x, y,z, t), (x, y 2,z, t)(x, y, z, t)(x, y, z 2, t) B u (t k+ )=u (t k )+ t Φ(u (t k+ ),u(t k ),t k )+d k+.

26 g k+ = g k + t (Φ (u (t k+ ),u(t k ),t k ) Φ(u (t k+ ),u k,t k ) +Φ (u (t k+ ),u k,t k ) Φ(u k+,u k,t k )) + d k+. t L< g k+ g k + t (L u (t k ) u k + L u (t k+ ) u k+ )+ d k+ g k+ + tl tl g k + d k+ tl. Φ u k+ g k+ ( + tl) g k + d k+. tl < K>0 + tl tl + tk g k+ ( + a) g k + b { { tk () K a = tl () b = 2L d k+ () d k+ () (g k ) k N g k+ ( + a) g k + b k N +, g k ( + a) k g 0 + ( + a)k b e ka g 0 + b ( ) e ka a a k N. g k ( + a) g k + b ( + a) 2 g k 2 +((+a) + ) b ( + a) k g 0 + = (+a) k g 0 + ( + a)k a ( + t) e t t ( + a) k e ka ( ) ( + a) k +...+(+a)+ b b.

27 g 0 = u(t 0 ) u 0 =0 D := k d k g n t n = t 0 + n t g n D ( e n tl ) D tl tl en tl. g n D ( e n tk ) D 2 tl 2 tl en tk. D L h d k+ = u (t k+ ) u (t k ) tf (u (t k ),t k ). u (t k+ )=u (t k )+ tu (t k )+ 2 ( t)2 u (t k + θ t) 0 <θ< f (u (t k ),t k )=u (t k ) d k+ = u (t k )+ tu (t k )+ 2 ( t)2 u (t k + θ t) u (t k ) tu (t k )= 2 ( t)2 u (t k + θ t). M := t0 ξ t n u (ξ) d k+ 2 ( t)2 M g n tm 2L en tl. g n t p C d k ( d k D = C ( t) p+ = O ( t) p+). g n g n C L en tl ( t) p = O (( t) p ).

28 p u (t k+ )=u(t k )+ t! u (t k )+ ( t)2 2! u (t k )+ ( t)3 3! u (3) (t k )+...+ ( t)p u (p) (t k )+R p+ p! p d k+ = R p+ = ( t)p+ (p + )! u(p+) (t k + θ t), 0 <θ<. u = 2tu 2 u(0) = u t u (t k+ )=u (t k )+c t + c 2 ( t) 2 + c 3 ( t) 3 + c 4 ( t) c i u = 2tu 2 t = t k + t c +2c 2 t + 3c 3 ( t) 2 +4c 4 ( t) ( = 2(t k + t) u (t k )+c t + c 2 ( t) 2 + c 3 ( t) 3 + c 4 ( t) ( = 2(t k + t) u 2 (t k )+2c u (t k ) t + ( c 2 +2c 2 u (t k ) ) ( t) 2 + ) +(2c c 2 +2c 3 u (t k )) ( t) = 2t k u 2 (t k )+ ( 2u 2 (t k ) 4c t k u (t k ) ) t + ( 4c u (t k ) 2t k ( c 2 +2c 2 u (t k ) )) ( t) ( 2 ( c 2 +2c 2 u (t k ) ) 4t k (c c 2 + c 3 u (t k )) ) ( t) c = 2t k u 2 (t k ) 2t k u 2 k c 2 = (u (t k )+2c t k ) u (t k ) (u k 2c t k ) u k c 3 = ( ( 4c u (t k )+2t k c 2 +2c 2 u (t k ) )) ( ( )) 4c u k +2t k c c 2 u k c 4 = 2 c2 c 2 u (t k ) t k (c c 2 + c 3 u (t k )) 2 c2 c 2 u k t k (c c 2 + c 3 u k ) ) 2

29 e k := u (t k ) u k t t 2 u () k+ = u k + tf (u k,t k ) u (2) = u k+ k + t 2 2 f (u k,t k ) u (2) k+ = u (2) + t ( k+ 2 2 f u (2),t k+ k + t ) 2 2 u k+ := 2u (2) k+ u() k+ =2u(2) = u k + tf ( u (2) k+ 2 + tf k+ 2 ( u k + t 2 f (u k,t k ),t k + t 2,t k + t 2 ). ) u k tf (u k,t k ) k := f (u k,t k ), ( k 2 := f u k + t 2 k,t k + t ), 2 u k+ = u k + tk 2. u (t) =f (u(t),t) [t k,t k+ ] t k+ t k u (t)dt = u(t k+ ) u(t k ) = t k+ t k f (u(t),t) dt t k+ t k f (u(t),t) dt.

30 u(t) t k+ t k f (u(t),t) dt t 2 (f (u k,t k )+f (u k+,t k+ )). u k+ = u k + t 2 (f (u k,t k )+f (u k+,t k+ )) u k+ u (0) k+ = u k + tf (u k,t k ) u (n+) k+ = u k + t ( ( )) f (u k,t k )+f u (n) 2 k+,t k+ u k+ f L tl 2 < t < 2 L Φ(u k,u k+,t k ):= 2 (f (u k,t k )+f (u k+,t k+ )). d k+ = u (t k+ ) u (t k ) t 2 (f (u (t k),t k )+f (u (t k+ ),t k+ )) = u (t k+ ) u (t k ) t ( u (t k )+u (t k+ ) ) 2 = tu (t k )+ ( t)2 u (t k )+ ( t)3 u (t k )+O (( t) 4) ( 2 6 t u (t k )+u (t k )+ tu (t k )+ ( t)2 ( u (t k )+O ( t) 3)) 2 2 = ( 2 ( t)3 u (t k )+O ( t) 4). ( t) 3

31 u k+ u(t k+ ) u (p) k+ = u k + tf (u k,t k ), u k+ = u k + t ( ( )) f (u k,t k )+f u (p) 2 k+,t k+. k = f (u k,t k ), k 2 = f (u k + tk,t k+ ), u k+ = u k + t 2 (k + k 2 ). ( ) k k 2 (t k,u k ) t k+,u (p) k+

32

33 U R n f : U R f x U D i f(x) := h 0 f(x + he i ) f(x) h e i R n (e i ) j = δ ij i f ei f f x i D i f U R n f : U R x U f(x) := f x ( f (x),..., f ) (x) x x n (f) f := ( x,..., f,g : U R x n ) (f g) =g f + f g

34 U R n v =(v,...,v n ):U R n v i n v i v := x i v i= v. U R 3 v : U R 3 ( v3 v := v 2, v v 3, v 2 v ) x 2 x 3 x 3 x x x 2 v v v = v U R n f : U R f := f = f = 2 f := 2 x x 2 n = n x 2 2 x 2 i= i f x 2 n u = f(t, u) t t f(t, u) f

35 c(x, t) F c(x, t) F = D c, D V c V c V c t d x. V V c F n d S = t d x. V F : R n R n V R n F ( x ) d x = F ( x ) n d S. V V V V F ( x ) d x = V F n d S = V c d x V t F = c t c = (D c) t v ρ p

36 ρ t = ρ 0 v ρ 0 ρ 0 v t = p. p p = c 2 ρ 2 t 2 ρ = ρ 0 ( ) ) v v t = (ρ 0 t 2 c 2 p = ( p) t2 2 t 2 p = c2 ( p) =c 2 p R R 2 R u tt = u xx. R 2 u tt = c 2 u. Ω R d d {2, 3} ρ :Ω R Ω Φ Φ = ρ Ω.

37 u =0 Ω R d. Ω:={(x, y) R 2 ; x 2 +y 2 < } x y x := r φ y := r φ u = 2 u r 2 + u r r + 2 u r 2 φ 2. r k (kφ) r k (kφ) r = u Ω = u( φ, φ) =a 0 + r < (a k (kφ)+b k (kφ)). k= u(x, y) =a 0 r k (a k (kφ)+b k (kφ)). k= c i Φ c i t = (ε r ε 0 Φ) = ρ f + i ( ) z i F D i c i + D i RT c i Φ z i Fc i D i c i z i ρ f ε r ε 0 F R T

38

39 u = f Ω Ω Ω Ω Ω u = f

40 Ω={(x, y) :0<x<, 0 <y<}. Ω Ω Ω h h Ω h = {(x, y) Ω: x h, y h Z }. Ω h u(x) u h (x) u(x) u h (x) u(x + h) u(x) u(x + h) u(x) h 0 h h Ω h Ω h Ω R

41 u (x) = f(x) Ω=(0, ), u(0) = ϕ 0, u() = ϕ. δ + u(x) = u(x+h) u(x) h δ u(x) = u(x) u(x h) h δ 0 u(x) = u(x+h) u(x h) 2h δ + δ u (x) δ + δ u(x) = u(x+h) u(x) h u(x) u(x h) h h = u(x + h) 2u(x)+u(x h) h 2. [x h, x + h] Ω δ ± u(x) =u (x)+hr R 2 u δ 0 u(x) =u (x)+h 2 R R 6 u δ + δ u(x) =u (x)+h 2 R R 2 u(4) u(x ± h) = u(x) ± hu (x)+ h2 2 u (x)+... u(x + h) u(x) h = u(x) ± hu (x)+ h2 2 u (ξ), x ξ x + h = u (x)+ h 2 u (ξ) u (x)+ h 2 u x ± h u(x + h) = u(x)+hu (x)+ h2 2 u (x)+ h3 6 u (ξ), u(x h) = u(x) hu (x)+ h2 2 u (x) h3 6 u ( ξ).

42 δ 0 u(x) = 2hu (x)+ h3 6 (u (ξ)+u ( ξ)) 2h = u (x)+ h2 2 (u (ξ)+u ( ξ) u (x)+ h2 2 2 u = u (x)+ h2 6 u x ± h u(x + h) = u(x)+hu (x)+ h2 2 u (x)+ h3 6 u (x)+ h4 24 u(4) (ξ) u(x h) = u(x) hu (x)+ h2 2 u (x) h3 6 u (x)+ h4 24 u(4) ( ξ) 2u(x) h 2 δ + δ u(x) = ( ) h 2 u (x)+ h4 24 u (4) (ξ)+u (4) ( ξ) δ + δ u(x) = u (x)+ h2 ( ) u (4) (ξ)+u (4) ( ξ) 24 h 2 u (x)+ h2 2 u(4) u (x) = u(x) =f(x), h = δ + δ δ + δ u(x) =f(x)+o(h 2 ) δ + δ u(x) = h u h (x ) u h (x 2 ) u h (x 3 ) = f(x ) h 2 u(0) f(x 2 ) f(x 3 ) h 2 u().

43 0 x x 2 x 3 h u u n = f u 0 h 2 f 2 f n f n u n h 2, K h u h = f h K h R {(i, j) {,...,n} 2 : K i,j 0} = O(n). Ω:= { (x, y) R 2 : 0 <x<, 0 <y< } Ω h := { (x, y) Ω: x h, y } h Z Γ := { (x, y) R 2 : x {0, },y {0, } }, { x Γ h := (x, y) Γ: h, y } h Z. u = f Ω, u = ϕ Γ

44 h u h := ( δ x δ + x δ y δ + y )u h (x). u h u u Ω h h u h h u h = ( δ x δ + x δ y δ + y )u h (x) = h 2 (u h(x h, y)+u h (x + h, y)+u h (x, y h)+u h (x, y + h) 4u h (x, y)). u h R R

45 h u h = f h f h f K h = h 2 D I 0 0 I D I I D D = I = ,

46 h u h = f h ( D L K h = L T D 2 ) K h D i L L T R 2

47 h u h = ( u(x h, y) u(x + h, y) u(x, y h) u(x, y + h)+4u(x, y)) h2 =: h 2 4 = h. Ω h K h R δ + = h [ 0 ] δ = h [ 0 ] δ 0 = 2h [ 0 ] h k c, c 0, c, c,0 c 0,0 c,0 c, c 0, c, = h k c ij u h (x + ih, y + jh) i,j (x, y) [ ][ ] a b c d e f uh = [ a b c ] (d u h (x h)+e u h (x)+f u h (x + h)) = a(du h (x 2h)+eu h (x h)+fu h (x)) +b(du h (x h)+eu h (x)+fu h (x + h)) +c(du h (x)+eu h (x + h)+fu h (x +2h)) = [ ad ae + bd af + be + cd bf + ce cf ].

48 n a ij =0 j= i =...n. h a ii > 0, a ij 0 (i j). 2 h K h a ii a ii > n a ij i =...n j= j i n a ij i =...n j= j i K h K h

49 A K n n à K n n A à = à A = E n, E n A K n n n λ j A j =0 λ j =0 j =...n, j= A j A A K n n A K n n A A T A n A n (A T ) =(A ) T A, B K n n (a ij ) i,j=...n (b ij ) i,j=...n A B a ij b ij, i, j =...n A B A<B A>B n n a ii > 0, a ij 0 i, j =...n, i j A A 0 K h u = f, K h u h = f h

50 K h A A 0 A K n n i, j {,...,n} i j a ij 0 i j (i k ) k=,...,p {,...,n} i = i, i p = j i k i k k =2...n A i {,...,n} j {,...,n} A Π ( ) Π T A 0 AΠ=. 0 A 2 A =(a ij ) C n n K i := z C : z a ii n a ij, i =...n j= j i n A n K i. i= v A λ v := n j= v j = v i = (A λe n )v =0.

51 (a ii λ)v i = n a ij v j. j= j i a ii λ = n (a ii λ)v i = a ij v j j= j i n n a ij v j a ij j= j i a ii λ λ K i = j= j i n a ij j= j i z C : z a ii n a ij. j= j i K i K h n j=,j i a ij =4h 2 j 4h 2 a ii =4h 2 4h 2 λ [ 0, 8h 2] K h λ ( 0, 8h 2). A ( n ) ( n ) λ K i K i i= i=

52 K i := K i := z C : z a ii < z C : z a ii = n j=,j i n j=,j i a ij, a ij. λ A v v = i {,...,n} v i = λ a ii n j=,j i a ij λ a ii < n j=,j i a ij λ K i k v k = λ a kk = n j=,j k a kj k {k {,...,n} : v k =}. λ a jj = n k=,k j a jk j =...n λ n i= K i j {,...,n}\{i} i = i 0,i,...,i l = j a ip i p 0. λ aipip = n aip k=,k i p k vip = λ aip+ i p+ = n aip+ k=,k i p+ k vip+ = p =0...l λ a ip i p = n j=,j i p a ip j v ip = p {0,...,l } n λ aipip aipk vk n aipk k=,k i p vk n aipk. k=,k i p k=,k i p v = n n aipk vk = aipk. k=,k i p k=,k i p

53 v k k v k = k a ipk 0 vip+ =. λ a ip+ i p+ = n k=,k i p+ a ip+ k K h a ii = 4 h 2 n 2/h 2 r i = a ij = 3/h 2 j=,j i 4/h 2. K h K h K j K h λ (0, 8h ) 2. A K n n a ij < a ii i =,...,n j,j i A a ij < a ii i j,j i a ij a ii i =,...,n j,j i ϱ(a) A K n n ϱ(a) := { λ : λ A}.

54 D B D := {a ii : i =,...,n} B := D A A ϱ(d B) <. A A ϱ(d B) < C := D B c ij = a ij, a ii c ii = 0. (i j), r i := n c ij < i =,...,n. j= j i n λ K ri (c ii ) = i= n K ri (0) i= λ i < i=...n ϱ(d B) <. A r j j =,...,n r i < i n n λ K rj (0) K rj (0). j= i r i < K ri (0) K (0) n j= K r j (0) K (0) ϱ(d B) < A A A 0 ϱ(d B) < ϱ(d B)=ϱ(C) < S := j= C ν =(I C) ν=0 S(I C) =I SD (D B) =SD A = I A = SD.

55 D 0, B 0 C 0 C ν 0 S 0 A 0. A u 0 D B λ u ( u i ) n i= λ u = λu = D Bu D B u A 0 D 0 A D 0 A DD B u A D λ u u = A (D B) u = A D(I D B) u A D u A D λ u = ( λ )A D u λ u ( λ )A D u 0 I ( λ )A D 0, u 0 u =0 A A > 0 B C D α, β {,...,n} A α = α 0,α,...,α k = β a αpαp+ < 0 p {0,...,k } c αp α p+ > 0 p {0,...,k } (C k ) αβ = γ,...,γ k c αγ c γ γ 2...c γk β c αα c α α 2... c αk β > 0. ϱ(c) < S := ν=0 Cν S αβ (C k ) αβ > 0 S C k > 0 S>0 A = SD > 0 A > 0 K h V K R C : V R V u, v V λ K u = 0 u =0, λu = λ u, u + v u + v.

56 V A V { } Au A M := u : u V \{0} = { Au : u V, u =} A A M ϱ (A). { } A M = Au u : u V \{0} v A Av v { } Au u = λv v = λ v Av v = λ = ϱ(a). A = a ij. i {,...,n} j {,...,n} A B A B A B A w Aw A w.

57 u u u u u Aw. A A 0 A u A u A u Aw = u A Aw = u w A u A u w w u u A w. A B B A 0 B A B A A B = A (B A)B. A, B A 0 B 0 B A B A 0 A B = A (B A)B 0 A B B A. u 2 = n i= u i 2 V 2 A 2 = ϱ (A T A) { } Au 2 A 2 = : u V \{0} = u Au 2. 2 u V, u 2 = A 2 2 = u V, u 2 = Au 2 2 = Au, Au = u 2 = u 2 = AT Au, u.

58 A T A P T A T AP = (λ i )=: D PP T = P T u = u u V λi > 0 A T A Au 2 2 = u 2 = AT Au, u = u 2 = AT AP P T u, P P T u = }{{} ũ=p T u ũ 2 = AT AP ũ, P ũ = P T A T AP ũ, ũ = Dũ, ũ ũ 2 = ũ 2 = ( n ) λ i ũ i 2 = λ max = ϱ ( A T A ) = ũ 2 = A 2 = i= ϱ (A T A). A A T A = A 2 ρ ( A 2) = ρ 2 (A) A 2 = ϱ(a) A K n n A Au, u > 0 u K n \{0}. A A A P : P T AP = (λ i ) λ i A P Au, u = AP ũ, P ũ = P T AP ũ, ũ = n λ i u i 2 i= Au, u > 0 u K n \{0} λ i > 0 i.

59 A a ii > 0 A n j=,j i λ i A a ij <a ii (0, ) λ λ A A 2 = λ A 2 = A A 2 = ϱ (A) =λ A A 2 = ϱ ( A ) = λ λ K h Ω Ω=(0, ) (0, ) 4, K h K h K h K h 8 h 2 K h K h ( πh h 2 2 K h 8 ) < 8 h h2 2 ( πh 2 ) = 2π 2 +O(h 2 ) < 6 h K h K h K h K h

60 { n } K h = i=,...,n j= K ij = {6, 7, 8} = 8 h 2 h 2 K h 8 K h w h (x, y) = w(x, y) = x( x) 2 (x h)( (x h)) (x + h)( (x + h)) 2 x( x) 2h 2 2h 2 + 2h 2 = K h w h w h w h x,y w (x, y) = 8 K h w 8 K h u ν,µ ( ν, µ n ) u ν,µ j,k = (νπjh) (µπkh) λ ν,µ = 2 ( ( ) ( )) νπh µπh h (j, k) (K h u ν,µ ) j,k = (4 (νπjh) (µπkh) h2 (νπ (j ) h) (µπkh) (νπ (j + ) h) (µπkh) (νπjh) (µπ (k ) h) (νπjh) (µπ (k + ) h)). (a ± b) = a b ± b a a := νπjh b := νπh a := µπkh b := µπh (K h u ν,µ ) j,k = (4 2 (νπh) 2 (µπh)) (νπjh) (µπkh). h2 (a) =2 2 ( a 2) (K h u ν,µ ) j,k = 4 ( ( ) ( )) νπh µπh h u ν,µ 2 2 j,k. ( ) K h 2 = ϱ(a) =λ max 8 2 π(n )h h 2 2 = 8 2 ( ) πh h 2 2 < 8 h 2

61 K h 2 = ϱ(k h )= λ min λ min = 8 ( ) πh h 2 2 = 8 ( ) πh 2 2 h 2 2 O(h3 ) ( (πh = 8 ) 2 h 2 O(h )) 4 =2π 2 O(h 2 ) 2 K h 2 2π 2 O(h 2 ). u h h u h = f h f h =0 u h Ωh = ϕ h u h Ω h h u h =0 u h (x, y) = 4 (u h(x h, y)+u h (x + h, y)+u h (x, y h)+u h (x, y + h)) u h (x, y) (x, y) Ω h u h (x ± h, y) u h (x, y ± h) K h Ω h u h

62 u h,v h h u h = f h u h Ωh = ϕ u h h v h = f h v h Ωh = ϕ v h u h v h x Ωh ϕ u (x) ϕ v (x) u h v h ϕ u ϕ v Ω h w h := v h u h w h h w h =0 w h 0 Ω h ϕ u ϕ v. w h > 0 u h = ϕ u v h = ϕ v Ω h w h Ω h ϕ u ϕ v Ω h. Ω h u = f Ω, u Γ = ϕ h u h = f h Ω h, u h Γh = ϕ h. h H R + H H = { n : n N} U h Ω h R h : C ( Ω ) U h u R h u (R h u)(x) =u(x) x Ω h Ω Ω h

63 K K h h H R + K h C< h H K h (u h ) = f h, K h (ũ h ) = f h + ε. u h = K h (f h) ũ h = K h (f h + ϵ) ũ h u h C ε K h K 8, h K h u h = f h Ku = f K m R h R h u f (K h,r h, R h ) K k K h R h u R h Ku C h k u C k+m (Ω) u C k+m (Ω). R h = R h (R h u)(x) =u(x) x Ω h. (K h,r h, R h )=( h,r h,r h )

64 ( + u)(x) =u (x)+h 2 R, R u (4) C 2. 0 ( Ω) R 2 x y h Ru(x, y) = u(x, y)+h 2 (R x + R y ) R x, R y u (4) C 2 0 ( Ω) 2 u C 4 ( Ω). K h R h u R h Ku C h 2 u C 4 ( Ω) C = 6 K h u h = f h Ku = f K m u h U h (h H) k u u h R h u C h k u C k+m (Ω) u h R h u K m (K h,r h, R h ) K k k u C k+m (Ω) w h = u h R h u w h 0 h 0. K h w h = K h u h K h R h u = f h K h R h u = R h f K h R h u = R h Ku K h R h u w h = K h ( R h Ku K h R h u) w h K Rh Ku K h R h u u h R h u Ch k u C k+m (Ω). h u C 4 (Ω) u h R h u h2 48 u C 4 (Ω).

65 u Γ = ϕ u u = f Ω=(0, ) (0, ) u n = ϕ Γ u n u u + c Ω udx=0 f ϕ u fdx+ ϕds = 0. Ω Ω fdx = udx= ( u) dx Ω = Ω Ω Ω u n d s = Ω u n ds = Ω ϕds. Ω=[0, ] [0, ]

66 h u h (x, y) = h 2 (4u h (x, y) u h (x h, y) u h (x + h, y) u h (x, y h) u h (x, y + h)) Ω h u h (x, y) = h 2 (3u h (x, y) u h (x h, y) u h (x, y h) u h (x, y + h)) h u h (x, y) = h 2 (2u h (x, y) u h (x h, y) u h (x, y + h)) u n u h n (x) ( n u h )(x) = h (u h(x) u(x h n)) = ϕ(x) h (u h(x, 0) u h (x, h)) = ϕ(x, 0), h (u h(x, ) u h (x, h)) = ϕ(x, ) h (u h(0,y) u h (h, y)) = ϕ(0,y), h (u h(,y) u h ( h, y)) = ϕ(,y) u h K h u h = f h = f h + h ϕ h, ϕ h = ϕ (x, y) h 2 f(x)+h ϕ(x) = 0, x Ω h x Γ h Γ h

67 K h u h = f h c K h K h c =0 c (K h ). K h ( (K h )) =. K h u h = f h f h (K h ) (K h )= (Kh T ) = (K h ) = span( ) K h u h = f h x Ω h x Ω fh h (x) = x Ω fh h (x)+ h fh (x) = 0 f h ϕ h x Γ ϕ(x) h f h f h h ϕ h f h x 0 Ω h u h u h (x 0 )=0. K h û h = f h Kh K h K h K h K h x i (u h ) i =0. K h u h = ˇf h ( { ˇfh )j = (f h ) j, j i k i (f h) k, j = i

68 ( ˇfh )i =(f h) i i i f ϕ ( ˇfh ) i (f h) i = O ( h ) x i K h ū h = f h σ K h = ( Kh T 0 ) ( uh, ū h = λ ) (, f fh h = σ ) K h ū h = f h / (K h ) (K h, )=(K h )+ K h K h ū h K h ū h = f h u h K h u h = ˇf h ˇf h = f h λ λ λ =0 u h T u h = x Ω h u h (x) =σ λ = x Ω h f h (x) T f ϕ λ = O (h)

69 Ku = f Ω, n 2 K = a ij (x) + x i x j i,j= n i= b i (x) x i + c(x). a ij (x) =a ji (x) 2 x i x j = 2 x j x i A(x) =(a ij (x)) i,j=...n a ij (x) A n a ij (x)ξ i ξ j > 0 x Ω, 0 ξ R n i,j= n a ij (x)ξ i ξ j < 0 x Ω, 0 ξ R n. i,j= u = f ( ) 0 A =. 0 K Ω n a ij (x)ξ i ξ j c(x) ξ 2,c(x) > 0 x Ω, 0 ξ R n i,j= Ω=(0, ) (0, ) a (x, y) x + x +2a 2 (x, y) x 0 y 0 + a 22 (x, y) y + y + b (x, y) x 0 + b 2 (x, y) y 0 + c(x, y) = h 2 2 a 2(x, y) a 22 (x, y) 2 a 2(x, y) a (x, y) 2(a (x, y)+a 22 (x, y)) a (x, y) + 2 a 2(x, y) a 22 (x, y) 2 a 2(x, y) 0 b 2 (x, y) (2h) b (x, y) 0 b (x, y) + 0 c(x, y) 0. 0 b 2 (x, y)

70

71 X R C X : X [0, ) (X, X ) Ω Ω R n C 0 ( Ω) () (2) X 0 <C< C x () x (2) C x () x X.

72 X Y X Y T : X Y T := x X { Tx Y x X T T } : x 0. L (X, Y ) (T + T 2 ) x = T x + T 2 x (X, ) A X x A ε>0 A K ε (x) := {y X : x y <ε} (X, ) {x n X : n } { x n x m : n, m k} 0, k ε>0 n 0 (ε) N: n, m n 0 (ε) : x n x m <ε. (X, ) X (, ) :X X K X (x, x) > 0 x X, x 0, (λx + y, z) = λ(x, z)+(y, z) λ K,x,y,z X, (x, y) = (y, x) x, y X. x := (x, x). X (, ) X X (, )

73 X A X σ X A A A A c A (A n ) n N A n N A n A (X, A) A X O σ σ O X (X, A) f : X R n X = k= A k A k A k =,...n f Ak k =...n (X, A) (Y,B) f : X Y f (B) A B B. Y = R σ f (t n ) n N f (X, A) µ: A [0, ] µ ( ) =0 (A n ) n N A A n A m = n m σ ( ) µ A n = µ (A n ). n N n N (X, A,µ) I n n n k= (a k,b k ] R n a k b k m n m n µ I n : I n [0, ] µ I n (a jk,b jk ] = (b jk a jk ) j= k= j= j=

74 I n I n σ σ B R n µ I n µ (R n, B) (X, A,µ) A A µ(a) =0 X Y f,g: X Y N f (x) = g (x) x X \ N. (X, A,µ) Y f : X Y (A k ) n k= A n µ (A k ) < f Ak f A =0 A = k= A k X Y T (X, Y ) t T (X, Y ) X tdµ := n t (A k ) µ (A k ). k= (X, A,µ) L (X) f : X R (t n ) n N T (X, R) T (X, R) t := X t dµ f f L (X) X fdµ := k X t k dµ. L (X) L (X) I n µ

75 f,g L (X) f = g f(x) =g(x) L (X) f := X f dµ µ (X) < L (X) f : X R f : X R f f X R n σ B µ L (X) ( ) D R n (R n, B,µ) σ µ L (D) D L (D) f = g, f = g ; { } u L (D) := A B µ(a)=0 { u (x) } x D\A. L 2 (Ω) Ω R n L 2 (Ω) L 2 (Ω) := { } f :Ω R: f, f 2 L (Ω).

76 f g A µ(a) =0 (u, v) 0 =(u, v) L 2 (Ω) := uv dµ u, v L 2 (Ω) Ω u 0 = u L 2 (Ω) = Ω u 2 dµ L 2 (Ω) L 2 (Ω) f L 2 (Ω) f (x)ϕ(x)dx = f(x)ϕ (x)dx Ω f,ϕ ϕ Ω =0 L 2 (Ω) Ω R n Cc (Ω) ϕ { } Cc (Ω) := ϕ C (Ω) : {x Ω: ϕ (x) 0}. Ω f L 2 (Ω) g L 2 (Ω) g(x)ϕ(x) dx = f(x)ϕ (x) dx ϕ Cc (Ω), Ω g f Ω

77 α =(α,...,α n ) α := D α := n α i, i= α α x... αn x n f L 2 (Ω) g α f g(x)ϕ(x) dx = ( ) α f(x)d α ϕ(x) dx ϕ Cc (Ω). Ω H k (Ω) H k 0 (Ω) Ω u L 2 (Ω) D α u L 2 (Ω) H k (Ω) := { u L 2 (Ω) : D α u L 2 (Ω), α k } k N 0 H k (Ω) W k 2 (Ω) W k,2 (Ω) H k (Ω) (u, v) k :=(u, v) H k (Ω) := D α u 2 L 2 (Ω) α k 2. H s (R n ) C k (R n ), s>k+ n 2,k N 0. X R X X R X = L (X, R). x := x R X := { x (x) x X } :0 x X. X x X X x, x X X := x (x).

78 X Y T L (X, Y ) y Y Tx,y Y Y = x, x X X x X x X T : Y X y x Tx,y Y Y = x, T y X X T X Y = T Y X. T { T y } { X = X x, T y } Y y 0 y = X X Y x,y 0 x X y Y { Tx,y } { = Y Y T Y x,y 0 x X y X x X y } Y Y x,y 0 x X y = T Y X Y { } { Tx Y Tx,y } T Y X = Y Y x 0 x X x,y 0 x X y Y { x, T y } { = X X T } x,y 0 x X y X Y y Y x X Y x,y 0 x X y = T X Y, Y y Y Tx,y Y Y = Tx Y y Y = x X X R y X f y (x) := (x, y) X f y X f y X = y X f y y X X f X y f X f (x) =(x, y f ) X x X y f X = f X.

79 N = {x X : f(x) =0} f N = X, y f =0 N X w X \ N d := d (w, N) = x N w x w N (x n ) n N N d = n w x n (x n ) n N X (w x m )+(w x n ) 2 + (w x m ) (w x n ) 2 =2 ( w x m 2 + w x n 2) ( x m x n 2 =2 w x m 2 + w x n 2) 4 w 2 (x m + x n ) 2 (x m + x n ) N 4 w 2 (x m + x n ) 2 ( 4d 2 ε>0 m, n 2 w x m 2 + w x n 2) < 4d 2 + ε x m x n 2 < 4d 2 + ε 4d 2 = ε. (x n ) n N f N X (x n ) n N x N w x = d λ R x N d 2 w (x + λ x) 2 = w x 2 + λ 2 x 2 2λ (w x, x) λ 2 x 2 2λ (w x, x) 0. λ R λ = x 2 (w x, x) z = w x x X ( f x f (x) z ) = f (x) f f (z) x ( z, x f (x) ) f (z) z =0 (w x, x) =0 x N (z,x) f (x) (z, z) =0 f (z) (x, z) f(x) = z 2 f (z) = ( ) f (x) z f (z) = f (x) f (x) f (z) =0 f (z) x f (x) z f (z) N. ( x, f (z) z z 2 ). 2.

80 y f = f(z) z 2 z ỹ f f (x) = (x, ỹ f )=(x, y f ) x X (x, ỹ f y f )=0 x X ỹ f y f =0. V a (, ) :V V R a (x + λy, z) = a (x, z)+λa (y, z), a (x, y + λz) = a (x, y)+λa (x, z) λ R, x,y,z V. a (, ) C s a (x, y) C s x V y V x, y V. A L (V,V ) x V a (x, y) = Ax, y V V x, y V, A V V C s. ϕ x (y) := a (x, y) ϕ x V ϕ x V C s x V A: V V Ax := ϕ x Ax V C s x V { } A V V = Ax V C s. 0 x V x V a (, ) C E > 0 a (x, x) C E x 2 V x V.

81 V a: V V R f : V R J (v) := a (v, v) f (v) 2 V u u u, v V, t R a (u, v) =f (v) v V. J (u + tv) = a (u + tv, u + tv) f (u + tv) 2 = ( a (u, u)+2ta (u, v)+t 2 a (v, v) ) f (u) tf (v) 2 = J (u)+t (a (u, v) f (v)) + 2 t2 a (v, v) u V a(u, v) =f(v) v V u t= J (u + v) = J (u)+(f (v) f (v)) + a (v, v) 2 = J (u)+ a (v, v) >J(u) v V. 2 u V t J (u + tv) v V t =0 dj (u + tv) 0 = t=0 = a (u, v) f (v) dt a(u, v) = f(v).

82 u,u 2 a (u,v)=f (v) a (u 2,v)=f (v) v V a (u u 2,v)=0 v V u u 2 =0. n Lu := i (a ik k u)+a 0 u i,k= a 0 (x) 0(x Ω) A =(a ik ) i,k Lu = f Ω u = g Ω f L 2 (Ω) g H 2 ( Ω) := { v L 2 ( Ω) : w H (Ω),γ(w) =v } γ g H (Ω) γ (g) =g w := u g Lw = f Lg =: f Ω w = 0 Ω. i,k i (a ik k u)+a 0 u = f Ω u = 0 Ω J (v) := a ik i v k v a 0v 2 fv dx Ω i,k C 2 (Ω) C 0 ( Ω)

83 v ( w )+ v w d x = Ω Ω v ( w n ) ds. v Ω =0 w i = k a ik k u Ω v i Ω i ( k v ( w ) dx = Ω ) a ik k u dx = v w d x Ω a ik i v k udx. i,k a (u, v) := f (v) := Ω a ik i v k u + a 0 uv dx, i,k fv dx Ω v ( a (u, v) f (v) = v ) i (a ik k u)+a 0 u f dx = Ω Ω v(lu f)dx = Lu=f 0. a (, ) f u u C 2 (Ω) C 0 ( Ω) u

84 J (u) := u 2 dx. Ω J (u) u = 0 Ω, u = ϕ Γ. J (u) 0 u u = 0 Ω, u = ϕ Γ. u(0) =, u() = 0 J (u) = 0 u 2 (x) dx u C 0 ([0, ]) u (x) n u n (x) { nx 0 x u n (x) = n, 0 x> n.

85 n 0 u n =0 J (u) J (u) =0, V H a: H H R l H V J J (v) := a (v, v) l, v 2 J (v) 2 C E v 2 l v = = ( CE 2 v 2 2C E l v + l 2) l 2 2C E 2C E (C E v l ) 2 l 2 l 2. 2C E 2C E 2C E c := {J (v) :v V } (v n ) n N J (v n)=c. n (v n ) n N a (, ) C E v n v m 2 a (v n v m,v n v m ) = 2a (v n,v n )+2a (v m,v m ) a (v n + v m,v n + v m ). a (v, v) a (v, v) =2J (v) +2 l, v C E v n v m 2 4J (v n )+4 l, v n +4J (v m )+4 l, v m ( ( ) ) vn + v m 8J +4 l, v n + v m 2 ( ) vn + v m =4J (v n )+4J (v m ) 8J 2 4J (v n )+4J (v m ) 8c.

86 V v n+v m 2 V J ( ) v n +v m 2 >c J (v n ) c (n ) J (v m ) c (m ) C E v n v m 2 0 n, m, (v n ) n N H H u H V u V n v n = u J (u) = n J (v n )= v V J (v) J (v) = 2a (v, v) l, v u V u u 2 u,u 2,u,u 2,... u,u 2,u,u 2,... u = u 2 V = H l H u H a (u, v) = l, v v H. a (u, v) := (u, v) l H u H (u, v) = l, v v H. H H l u. u H0 (Ω) L Lu = f Ω, u = 0 Γ a (u, v) = (f,v) 0 v H0 (Ω) a (u, v) := a ik i u k v + a 0 uv dx. Ω i,k

87 L Lu = f Ω, u = 0 Γ f L 2 (Ω) H0 (Ω) 2 a (v, v) (f,v) 0 H 0 (Ω). u = f Ω, a (u, v) = u = 0 Γ Ω u v dx. u H0 (Ω) ( u, v) 0 =(f,v) 0 v H 0 (Ω). u u v dx (f,v) 2 0 H0 (Ω). Ω Lu = f Ω, n i a ik k u = g Γ, i,k n i i f L 2 (Ω) g L 2 (Γ) l, v := fv dx+ gv dx u H (Ω) Ω 2 a (u, v) =(f,v) 0,Ω +(g, v) 0,Γ v H (Ω). Γ

88 Ω f (x) dx + g (x) ds =0 Ω Ω V := v H (Ω) : Ω v (x) dx =0. J (v) := 2 a (u, v) (f,v) 0,Ω (g, v) 0,Γ V u u C 2 (Ω) C ( Ω) Lu = f Ω, n i a ik k u = g Γ, i,k H (Ω) C 2 (Ω) C ( Ω) u = f Ω, u = 0 Γ u H 0 (Ω) a (u, v) =(f,v) v H 0 (Ω) a (u, v) := (f,v) := Ω Ω u v dx, fv dx.

89 H 0 (Ω) V h ( H 0 (Ω) ) J (v) := 2 a (v, v) l, v V h. u h V h a (u h,v)= l, v v V h. {ψ,ψ 2,...,ψ N } V h a (u h,v)= l, v v V h a (, ) l ( ) a (u h,ψ i )= l, ψ i i =, 2,...,N. u h V h ψ i N u h = z k ψ k k= z k N a (ψ k,ψ i ) z k = l, ψ i i =, 2,...N. k= A ik := a (ψ k,ψ i ) b i := l, ψ i Az = b. a (, ) A z T Az = i,k ( z i A ik z k = a z k ψ k, i = a (u h,u h ) C E u h 2 V. k z i ψ i ) u h V h u V

90 V a: V V R C S C E l V V h V u V a (u, v) =l (v) v V u h V h a (u h,v)=l (v) v V h. u u h C S u v h. C E v h V h V h V v V h a (u, v) a (u h,v)=a (u u h,v)=0 v V h. a (, ) C E u u h 2 a (u u h,u u h ). a (u u h,u h v h ) v h V h C E u u h 2 a (u u h,u u h )+a (u u h,u h v h ) = a (u u h,u v h ) C S u u h u v h v h V h. u u h C S C E u v h v h V h u u h C S u v h. C E v h V h u u h a V h C S C E V h a v a :=(a(v, v)) 2 V C E C S a u h u V h

91 V h u = f Ω=(0, ) (0, ), u = 0 Γ. Ω LO O IV II L III Z I R VI VIII V VII U RU

92 ψ Z h h h h 2 ψ Z h h h h ψ Z V h V h = { v C ( Ω) : v v Γ =0 }. v v (x, y) =a + bx + cy. a b c N V h = N N V h {ψ i } N i= ψ i (K j )=δ ij, K j j, i, j =,...,N. ψ Z Au = b A ij = a (ψ i,ψ j ). a (ψ Z,ψ Z ) a (ψ Z,ψ O ) a (ψ Z,ψ U ) a (ψ Z,ψ L ) a (ψ Z,ψ R ) a (ψ Z,ψ LO ) a (ψ Z,ψ RU )

93 a (ψ Z,ψ Z ) a (ψ Z,ψ O ) a (ψ Z,ψ Z ) = a (ψ Z,ψ O ) = = =,, Ω = 2 = 2 ( ψ Z ) 2 dxdy =,,, = 2 h 2 = 4. = h 2, ( ψ Z ) 2 dxdy ( ( ψ Z ) 2 +( 2 ψ Z ) 2) dxdy ( ψ Z ) 2 dxdy +2 dxdy + 2 h 2 ψ Z ψ O dxdy ψ Z ψ O dxdy = 2 ψ Z 2 ψ O dxdy =, dxdy =.,,,, dxdy ( 2 ψ Z ) 2 dxdy ψ Z ψ O + 2 ψ Z 2 ψ O dxdy h h dxdy a (ψ Z,ψ O )=a (ψ Z,ψ U )=a (ψ Z,ψ L )=a (ψ Z,ψ R )=. a (ψ Z,ψ RU )=a (ψ Z,ψ LO )= h 2

94 T = {T,T 2,...,T M } Ω Ω = M i= T i T i T j T i T j T i T j (i j) T i T j T i T j A B Ω h Ω R d V p h (T )={ u H : T T: u T P p } p

95 A B C D R d (d =, 2, 3) R u + u = f a (u, v) = ( u v + uv) dx. Ω N = {a = x 0,x,x 2,...,x N+ = b} [a, b] h i = x i+ x i ϕ i u h ϕ i (x j )=δ ij. u h = N a i ϕ i i= a i = u h (x i ). u h ϕ i Φ i [x i,x i+ ] [0, ] [0, ] Φ i

96 A B x i x i x i + I i =[x i,x i+ ] ξ [0, ] x Ii :[0, ] I i, ξ x i + h i ξ; ξ Ii : I i [0, ], x (x x i) h i [0, ] [x i,x i+ ] u h (ξ) =α + α 2 ξ. u i = u h (0) = α u i+ = u h () = α + α 2 ξ [0, ] u h (ξ) = α + α 2 ξ = u i +(u i+ u i ) ξ = ( ξ) u i + ξu i+ =: u i Φ (ξ)+u i+ Φ 2 (ξ). ξ [0, ] : Φ (ξ)+φ 2 (ξ) =. ϕ i (x) = Φ 2 ( ξii (x) ), Φ (ξ Ii (x)), x I i x I i 0,.

97 a (ϕ i,ϕ j ) A N a (ϕ i,ϕ j )= k= I k ϕ i (x) ϕ j (x)+ϕ i (x)ϕ j (x) dx. ϕ i,ϕ j Φ n Φ m n, m {, 2} x ξ I k [0, ] (A Ik ) nm = x Φ n (ξ Ik (x)) x Φ m (ξ Ik (x)) + Φ n (ξ Ik (x)) Φ m (ξ Ik (x)) dx I k = h k ξ Φ n (ξ) ξ I k (x Ik (ξ)) ξ Φ m (ξ) ξ I k (x Ik (ξ)) + Φ n (ξ)φ m (ξ) dξ = h k 0 h 2 k 0 Φ n Φ m +Φ n Φ m dξ.

98 (A Ik ) mn I k m n A Ik (A Ik ) = = (A Ik ) 2 = = h k Φ Φ +Φ Φ h k dξ h k + h k ( ξ) 2 dξ = h k + 3 h k h k Φ Φ 2 +Φ Φ 2 h k dξ h k + ξ( ξ) h k dξ = h k + 6 h k (A Ik ) 2 = h k + 6 h k (A Ik ) 22 = h k + 3 h k A Ik = h k + h k /3 /6 /6 /3. u h (ξ) u h (ξ) =α + α 2 ξ + α 3 ξ 2 I =[0, ]. u i u i+ ( ) xi + x i+ u i+ = u h. 2 2 u i = u h (0) = α, u i+ = u h () = α + α 2 + α 3, ( ) u i+ = u h = α α α 3.

99 α i,i=,...,3 u h (ξ) =u i Φ (ξ)+u i+ Φ 2 (ξ)+u i+ Φ 3 (ξ) 2 ( Φ i (ξ) = 2 ξ ) (ξ ) 2 ( Φ 2 (ξ) = 2ξ ξ ) 2 Φ 3 (ξ) = 4ξ ( ξ ) Φ 3 (ξ) Φ (ξ) Φ 2 (ξ) A Ik 3 3 Φ i (ξ) R 2 R

100 y x x = x +(x 2 x ) ξ +(x 3 x ) η, y = y +(y 2 y ) ξ +(y 3 y ) η x y = x y + x 2 x x 3 x y 2 y y 3 y ξ η, (x i,y i ) i ξ η = = x 2 x x 3 x y 2 y y 3 y }{{} A A x x y y y 3 y x x 3 x x y y 2 x 2 x y y A =(x 2 x )(y 3 y ) (x 3 x )(y 2 y ) u x = u ξ ξ x + u η η x, u y = u ξ ξ y + u η η y

101 ξ x = y 3 y A, η x = y y 2 A, ξ y = x x 2 A, η y = x 2 x A. A dxdy = Adξdη. Φ i,i=, 2, 3 ξ x,ξ y,η x,η y A Ik Φ i u h (ξ,η) = α + α 2 ξ + α 3 η, ( ) u j := u h Pj, j =, 2, 3. P j u = u h (0, 0) = α, u 2 = u h (, 0) = α + α 2, u 3 = u h (0, ) = α + α 3. u h (ξ,η) =u +(u 2 u ) ξ +(u 3 u ) η =( ξ η) u + ξu 2 + ηu 3. Φ = ξ η, Φ 2 = ξ, Φ 3 = η u h (ξ,η) =u Φ + u 2 Φ 2 + u 3 Φ 3 ( ) Φ i Pj = δij i, j =, 2, 3, 3 Φ i (ξ,η) = ξ,η T. i=

102 Φ i u h u h (ξ,η) =α + α 2 ξ + α 3 η + α 4 ξ 2 + α 5 ξη + α 6 η 2. Φ = ( ξ η)( 2ξ +2η) Φ 2 = ξ(2ξ ) Φ 3 = η(2η ) Φ 4 = 4ξ( ξ η) Φ 5 = 4ξη Φ 6 = 4η( ξ η) R 3 u h (ξ,η,ζ) =α + α 2 ξ + α 3 η + α 4 ζ. α,...,α 4 a a (u, v) = u a :=(a (u, u)) 2. u u h a = v h V h u v h a. Ω u vdx Ω R d,d 3 u H 2 (Ω) u h V h a (u h,v h )= f,v h v h V h H 0 (Ω) u u h a c h f L 2 (Ω), f L2 (Ω). f L 2 (Ω) H 2 u H 2 (Ω) c f L 2 (Ω),

103 L 2 Ω R d,d 3 u H 2 (Ω) H 2 u u h L 2 (Ω) c h u u h a, u u h L 2 (Ω) c h 2 f L 2 (Ω).

104

105 Ω h u t d x = Fd x= F n d s B B Ω h Ω B i u h Kh FV ufv h = f FV h. Ku h = b, u h u h = K b, K A B

Molekulare Ebene (biochemische Messungen) Zelluläre Ebene (Elektrophysiologie, Imaging-Verfahren) Netzwerk Ebene (Multielektrodensysteme) Areale (MRT, EEG...) Gene Neuronen Synaptische Kopplung kleine

Διαβάστε περισσότερα

Ax = b. 7x = 21. x = 21 7 = 3.

Ax = b. 7x = 21. x = 21 7 = 3. 3 s st 3 r 3 t r 3 3 t s st t 3t s 3 3 r 3 3 st t t r 3 s t t r r r t st t rr 3t r t 3 3 rt3 3 t 3 3 r st 3 t 3 tr 3 r t3 t 3 s st t Ax = b. s t 3 t 3 3 r r t n r A tr 3 rr t 3 t n ts b 3 t t r r t x 3

Διαβάστε περισσότερα

u(x, y) =f(x, y) Ω=(0, 1) (0, 1)

u(x, y) =f(x, y) Ω=(0, 1) (0, 1) u(x, y) =f(x, y) Ω=(0, 1) (0, 1) u(x, y) =g(x, y) Γ=δΩ ={0, 1} {0, 1} Ω Ω Ω h Ω h h ˆ Ω ˆ u v = fv Ω u = f in Ω v V H 1 (Ω) V V h V h ψ 1,ψ 2,...,ψ N, ˆ ˆ u v = Ω Ω fv v V ˆ ˆ u v = Ω ˆ ˆ u ψ i = Ω Ω Ω

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα x + = 0 N = {,, 3....}, Z Q, b, b N c, d c, d N + b = c, b = d. N = =. < > P n P (n) P () n = P (n) P (n + ) n n + P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + ) P (n) n m P n P (n) P () P (), P (),...,

Διαβάστε περισσότερα

d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1

d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1 d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n1 x dx = 1 2 b2 1 2 a2 a b b x 2 dx = 1 a 3 b3 1 3 a3 b x n dx = 1 a n +1 bn +1 1 n +1 an +1 d dx d dx f (x) = 0 f (ax) = a f (ax) lim d dx f (ax) = lim 0 =

Διαβάστε περισσότερα

γ 1 6 M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.2 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.05 F 2 2 λ τ M = 6000 M = 10000 M = 15000 M = 6000 M = 10000 M = 15000 1 6 τ = 36 1 6 τ = 102 1 6 M = 5000

Διαβάστε περισσότερα

Łs t r t rs tø r P r s tø PrØ rø rs tø P r s r t t r s t Ø t q s P r s tr. 2stŁ s q t q s t rt r s t s t ss s Ø r s t r t. Łs t r t t Ø t q s

Łs t r t rs tø r P r s tø PrØ rø rs tø P r s r t t r s t Ø t q s P r s tr. 2stŁ s q t q s t rt r s t s t ss s Ø r s t r t. Łs t r t t Ø t q s Łs t r t rs tø r P r s tø PrØ rø rs tø P r s r t t r s t Ø t q s P r s tr st t t t Ø t q s ss P r s P 2stŁ s q t q s t rt r s t s t ss s Ø r s t r t P r røs r Łs t r t t Ø t q s r Ø r t t r t q t rs tø

Διαβάστε περισσότερα

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2 F (x) = kx x k F = F (x) U(0) U(x) = x F = kx 0 F (x )dx U(x) = U(0) + 1 2 kx2 x U(0) = 0 U(x) = 1 2 kx2 U(x) x 0 = 0 x 1 U(x) U(0) + U (0) x + 1 2 U (0) x 2 U (0) = 0 U(x) U(0) + 1 2 U (0) x 2 U(0) =

Διαβάστε περισσότερα

Mesh Parameterization: Theory and Practice

Mesh Parameterization: Theory and Practice Mesh Parameterization: Theory and Practice Kai Hormann, Bruno Lévy, Alla Sheffer To cite this version: Kai Hormann, Bruno Lévy, Alla Sheffer. Mesh Parameterization: Theory and Practice. This document is

Διαβάστε περισσότερα

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033 Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische

Διαβάστε περισσότερα

Q π (/) ^ ^ ^ Η φ. <f) c>o. ^ ο. ö ê ω Q. Ο. o 'c. _o _) o U 03. ,,, ω ^ ^ -g'^ ο 0) f ο. Ε. ιη ο Φ. ο 0) κ. ο 03.,Ο. g 2< οο"" ο φ.

Q π (/) ^ ^ ^ Η φ. <f) c>o. ^ ο. ö ê ω Q. Ο. o 'c. _o _) o U 03. ,,, ω ^ ^ -g'^ ο 0) f ο. Ε. ιη ο Φ. ο 0) κ. ο 03.,Ο. g 2< οο ο φ. II 4»» «i p û»7'' s V -Ζ G -7 y 1 X s? ' (/) Ζ L. - =! i- Ζ ) Η f) " i L. Û - 1 1 Ι û ( - " - ' t - ' t/î " ι-8. Ι -. : wî ' j 1 Τ J en " il-' - - ö ê., t= ' -; '9 ',,, ) Τ '.,/,. - ϊζ L - (- - s.1 ai

Διαβάστε περισσότερα

1951 {0, 1} N = N \ {0} n m M n, m N F x i = (x i 1,..., xi m) x j = (x 1 j,..., xn j ) i j M M i j x i j m n M M M M T f : F m F f(m) f M (f(x 1 1,..., x1 m),..., f(x n 1,..., xn m)) T R F M R M R x

Διαβάστε περισσότερα

!!" #7 $39 %" (07) ..,..,.. $ 39. ) :. :, «(», «%», «%», «%» «%». & ,. ). & :..,. '.. ( () #*. );..,..'. + (# ).

!! #7 $39 % (07) ..,..,.. $ 39. ) :. :, «(», «%», «%», «%» «%». & ,. ). & :..,. '.. ( () #*. );..,..'. + (# ). 1 00 3 !!" 344#7 $39 %" 6181001 63(07) & : ' ( () #* ); ' + (# ) $ 39 ) : : 00 %" 6181001 63(07)!!" 344#7 «(» «%» «%» «%» «%» & ) 4 )&-%/0 +- «)» * «1» «1» «)» ) «(» «%» «%» + ) 30 «%» «%» )1+ / + : +3

Διαβάστε περισσότερα

Déformation et quantification par groupoïde des variétés toriques

Déformation et quantification par groupoïde des variétés toriques Défomation et uantification pa goupoïde de vaiété toiue Fédéic Cadet To cite thi veion: Fédéic Cadet. Défomation et uantification pa goupoïde de vaiété toiue. Mathématiue [math]. Univeité d Oléan, 200.

Διαβάστε περισσότερα

(x y) = (X = x Y = y) = (Y = y) (x y) = f X,Y (x, y) x f X

(x y) = (X = x Y = y) = (Y = y) (x y) = f X,Y (x, y) x f X X, Y f X,Y x, y X x, Y y f X Y x y X x Y y X x, Y y Y y f X,Y x, y f Y y f X Y x y x y X Y f X,Y x, y f X Y x y f X,Y x, y f Y y x y X : Ω R Y : Ω E X < y Y Y y 0 X Y y x R x f X Y x y gy X Y gy gy : Ω

Διαβάστε περισσότερα

k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)

Διαβάστε περισσότερα

apj1 SSGA* hapla P6 _1G hao1 1Lh_PSu AL..AhAo1 *PJ"AL hp_a*a

apj1 SSGA* hapla P6 _1G hao1 1Lh_PSu AL..AhAo1 *PJAL hp_a*a n n 1/2 n (n 1) 0/1 l 2 E x X X x X E x X g(x) := 1 g(x). X f : X C L p f p := (E x X f(x) p ) 1/p f,g := E x X f(x)g(x) x X X X X := {f : X [0, ) : f 1 =1}. X µ A A X x X µ A (x) :=α 1 1 A (x) 1 A A α

Διαβάστε περισσότερα

k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ % &# &%#'()(! $ * +

!#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Ελευθερίου Β. Χρυσούλα. Επιβλέπων: Νικόλαος Καραμπετάκης Καθηγητής Α.Π.Θ.

ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Ελευθερίου Β. Χρυσούλα. Επιβλέπων: Νικόλαος Καραμπετάκης Καθηγητής Α.Π.Θ. ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ Αναγνώριση συστημάτων με δεδομένη συνεχή και κρουστική συμπεριφορά

Διαβάστε περισσότερα

(2), ,. 1).

(2), ,. 1). 178/1 L I ( ) ( ) 2019/1111 25 2019,, ( ), 81 3,,, ( 1 ), ( 2 ),, : (1) 15 2014 ( ). 2201/2003. ( 3 ) ( ). 2201/2003,..,,. (2),..,,, 25 1980, («1980»),.,,. ( 1 ) 18 2018 ( C 458 19.12.2018,. 499) 14 2019

Διαβάστε περισσότερα

-! " #!$ %& ' %( #! )! ' 2003

-!  #!$ %& ' %( #! )! ' 2003 -! "#!$ %&' %(#!)!' ! 7 #!$# 9 " # 6 $!% 6!!! 6! 6! 6 7 7 &! % 7 ' (&$ 8 9! 9!- "!!- ) % -! " 6 %!( 6 6 / 6 6 7 6!! 7 6! # 8 6!! 66! #! $ - (( 6 6 $ % 7 7 $ 9!" $& & " $! / % " 6!$ 6!!$#/ 6 #!!$! 9 /!

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών & Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών & Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών & Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Μαθηματική προτυποποίηση στις σύγχρονες επιστήμες και την

Διαβάστε περισσότερα

Gradient Descent for Optimization Problems With Sparse Solutions

Gradient Descent for Optimization Problems With Sparse Solutions Gradient Descent for Optimization Problems With Sparse Solutions The Harvard community has made this article openly available. Please share how this access benefits you. Your story matters Citation Chen,

Διαβάστε περισσότερα

P P Ó P. r r t r r r s 1. r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s. Pr s t P r s rr. r t r s s s é 3 ñ

P P Ó P. r r t r r r s 1. r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s. Pr s t P r s rr. r t r s s s é 3 ñ P P Ó P r r t r r r s 1 r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s Pr s t P r s rr r t r s s s é 3 ñ í sé 3 ñ 3 é1 r P P Ó P str r r r t é t r r r s 1 t r P r s rr 1 1 s t r r ó s r s st rr t s r t s rr s r q s

Διαβάστε περισσότερα

!"#!"!"# $ "# '()!* '+!*, -"*!" $ "#. /01 023 43 56789:3 4 ;8< = 7 >/? 44= 7 @ 90A 98BB8: ;4B0C BD :0 E D:84F3 B8: ;4BG H ;8

Διαβάστε περισσότερα

Apì ton diakritì kôbo ston q ro tou Gauss

Apì ton diakritì kôbo ston q ro tou Gauss Apì ton diaritì Ôbo ston q ro tou Gauss 1 Isoperimetri anisìthta sto diaritì Ôbo Θεωρούμε την οικογένεια J των συναρτήσεων J : [0 1] [0 ) που ικανοποιούν τα εξής: J0) = J1) = 0. Για κάθε a b [0 1] a +

Διαβάστε περισσότερα

Απόδειξη. Η ιδιότητα(vi) του ορισμού δεν ισχύει στην πράξη αυτή. Πράγματι, έχουμε. 1 (x, y, z) =(1 x, 1 y, 2 1 z) =(x, y, 2z)

Απόδειξη. Η ιδιότητα(vi) του ορισμού δεν ισχύει στην πράξη αυτή. Πράγματι, έχουμε. 1 (x, y, z) =(1 x, 1 y, 2 1 z) =(x, y, 2z) 1 ιανυσματικοί χώροι Άσκηση 1.1 Στο σύνολο R 3 όλων των διατεταγμένων τριάδων διατηρούμε την πρόσθεση, που ορίσαμε στο αντίστοιχο παράδειγμα, και ορίζουμε εξωτερικό πολλαπλασιασμό με τη σχέση λ(a 1,a 2,a

Διαβάστε περισσότερα

r r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t

r r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t r t t r t ts r3 s r r t r r t t r t P s r t r P s r s r P s r 1 s r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r 2s s r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r t r 3 s3 Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t r r r rs

Διαβάστε περισσότερα

C M. V n: n =, (D): V 0,M : V M P = ρ ρ V V. = ρ

C M. V n: n =, (D): V 0,M : V M P = ρ ρ V V. = ρ »»...» -300-0 () -300-03 () -3300 3.. 008 4 54. 4. 5 :.. ;.. «....... :. : 008. 37.. :....... 008.. :. :.... 54. 4. 5 5 6 ... : : 3 V mnu V mn AU 3 m () ; N (); N A 6030 3 ; ( ); V 3. : () 0 () 0 3 ()

Διαβάστε περισσότερα

γ n ϑ n n ψ T 8 Q 6 j, k, m, n, p, r, r t, x, y f m (x) (f(x)) m / a/b (f g)(x) = f(g(x)) n f f n I J α β I = α + βj N, Z, Q ϕ Εὐκλείδης ὁ Ἀλεξανδρεύς Στοιχεῖα ἄκρος καὶ μέσος λόγος ὕδωρ αἰθήρ ϕ φ Φ τ

Διαβάστε περισσότερα

B G [0; 1) S S # S y 1 ; y 3 0 t 20 y 2 ; y 4 0 t 20 y 1 y 2 h n t: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 1; 3: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 2; 4: r = 10 5 ; a = 10 6 t = 20

Διαβάστε περισσότερα

C 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,

C 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1, 1 1., BD 1 B 1 1 D 1, E F B 1 D 1. B = a, D = b, 1 = c. a, b, c : (1) 1 ; () BD 1 ; () F; D 1 F 1 (4) EF. : (1) B = D, D c b 1 E a B 1 1 = 1, B1 1 = B + B + 1, 1 = a + b + c. () BD 1 = BD + DD 1, BD =

Διαβάστε περισσότερα

u = 0 u = ϕ t + Π) = 0 t + Π = C(t) C(t) C(t) = K K C(t) ϕ = ϕ 1 + C(t) dt Kt 2 ϕ = 0

u = 0 u = ϕ t + Π) = 0 t + Π = C(t) C(t) C(t) = K K C(t) ϕ = ϕ 1 + C(t) dt Kt 2 ϕ = 0 u = (u, v, w) ω ω = u = 0 ϕ u u = ϕ u = 0 ϕ 2 ϕ = 0 u t = u ω 1 ρ Π + ν 2 u Π = p + (1/2)ρ u 2 + ρgz ω = 0 ( ϕ t + Π) = 0 ϕ t + Π = C(t) C(t) C(t) = K K C(t) ϕ = ϕ 1 + C(t) dt Kt C(t) ϕ ϕ 1 ϕ = ϕ 1 p ρ

Διαβάστε περισσότερα

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x ΕΥΓΕΝΙΑ Ν. ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΥ ΕΠΙΚ. ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ» ΠΑΤΡΑ 2015 1 Ασκήσεις 1η ομάδα ασκήσεων 1. Να χαρακτηρισθούν πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

Διανύσµατα στο επίπεδο

Διανύσµατα στο επίπεδο Διανύσµατα στο επίπεδο Ένα διάνυσµα v έχει αρχικό και τελικό σηµείο. Χαρακτηρίζεται από: διεύθυνση (ευθεία επί της οποίας κείται φορά (προς ποια κατεύθυνση της ευθείας δείχνει µέτρο (το µήκος του, v ή

Διαβάστε περισσότερα

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ

Διαβάστε περισσότερα

Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης.

Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης. Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο 2016-17. Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης. 1. Για καθεμία από τις παρακάτω συναρτήσεις ελέγξτε βάσει του ορισμού της παραγωγισιμότητας αν είναι παραγωγίσιμη στο αντίστοιχο

Διαβάστε περισσότερα

SOLUTIONS TO MATH38181 EXTREME VALUES AND FINANCIAL RISK EXAM

SOLUTIONS TO MATH38181 EXTREME VALUES AND FINANCIAL RISK EXAM SOLUTIONS TO MATH38181 EXTREME VALUES AND FINANCIAL RISK EXAM Solutions to Question 1 a) The cumulative distribution function of T conditional on N n is Pr T t N n) Pr max X 1,..., X N ) t N n) Pr max

Διαβάστε περισσότερα

κ α ι θ έ λ ω ν α μ ά θ ω...

κ α ι θ έ λ ω ν α μ ά θ ω... { ( a -r ν ρ ι -Μ Π ώτ 1 Γ '- fj T O O J CL κ α ι θ έ λ ω ν α μ ά θ ω < US η ixj* ί -CL* λ ^ t A u t\ * < τ : ; Γ ν c\ ) *) «*! «>» Μ I Λ 1,ν t f «****! ( y \ \, 0 0 # Περικλή_ Χαντζόπουλο κ α ι θ έ λ

Διαβάστε περισσότερα

!! " &' ': " /.., c #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",...(.

!!  &' ':  /.., c #$% & - & ' (),..., * +,.. * ' + * - - * (),...(. ..,.. 00 !!.6 7 " 57 +: #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",.....(. 8.. &' ': " /..,... :, 00. c. " *+ ' * ' * +' * - * «/'» ' - &, $%' * *& 300.65 «, + *'». 3000400- -00 3-00.6, 006 3 4.!"#"$

Διαβάστε περισσότερα

a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)

Διαβάστε περισσότερα

a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)

Διαβάστε περισσότερα

m r = F m r = F ( r) m r = F ( v) F = F (x) m dv dt = F (x) vdv = F (x)dx d dt = dx dv dt dx = v dv dx

m r = F m r = F ( r) m r = F ( v) F = F (x) m dv dt = F (x) vdv = F (x)dx d dt = dx dv dt dx = v dv dx m r = F m r = F ( r) m r = F ( v) x F = F (x) m dv dt = F (x) d dt = dx dv dt dx = v dv dx vdv = F (x)dx 2 mv2 x 2 mv2 0 = F (x )dx x 0 K = 2 mv2 W x0 x = x x 0 F (x)dx K K 0 = W x0 x x, x 2 x K 2 K =

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584 Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ 5ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 401-500 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς

Διαβάστε περισσότερα

Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης

Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Γραφικά & Οπτικοποίηση Κεφάλαιο 4 Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Εισαγωγή Στα γραφικά υπάρχουν: 3Δ μοντέλα 2Δ συσκευές επισκόπησης (οθόνες & εκτυπωτές) Προοπτική απεικόνιση (προβολή): Λαμβάνει

Διαβάστε περισσότερα

Errata (Includes critical corrections only for the 1 st & 2 nd reprint)

Errata (Includes critical corrections only for the 1 st & 2 nd reprint) Wedesday, May 5, 3 Erraa (Icludes criical correcios oly for he s & d repri) Advaced Egieerig Mahemaics, 7e Peer V O eil ISB: 978474 Page # Descripio 38 ie 4: chage "w v a v " "w v a v " 46 ie : chage "y

Διαβάστε περισσότερα

l 0 l 2 l 1 l 1 l 1 l 2 l 2 l 1 l p λ λ µ R N l 2 R N l 2 2 = N x i l p p R N l p N p = ( x i p ) 1 p i=1 l 2 l p p = 2 l p l 1 R N l 1 i=1 x 2 i 1 = N x i i=1 l p p p R N l 0 0 = {i x i 0} R

Διαβάστε περισσότερα

W τ R W j N H = 2 F obj b q N F aug F obj b q Ψ F aug Ψ ( ) ϱ t + + p = 0 = 0 Ω f = Γ Γ b ϱ = (, t) = (, t) Ω f Γ b ( ) ϱ t + + p = V max 4 3 2 1 0-1 -2-3 -4-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 x 4 x 1 V mn V max

Διαβάστε περισσότερα

! " #! $ % & $ ' ( % & # ) * +, - ) % $!. /. $! $

!  #! $ % & $ ' ( % & # ) * +, - ) % $!. /. $! $ [ ] # $ %&$'( %&#) *+,-) %$./.$ $ .$0)(0 1 $( $0 $2 3. 45 6# 27 ) $ # * (.8 %$35 %$'( 9)$- %0)-$) %& ( ),)-)) $)# *) ) ) * $ $ $ %$&) 9 ) )-) %&:: *;$ $$)-) $( $ 0,$# #)$.$0#$ $8 $8 $8 $8,:,:,:,: :: ::

Διαβάστε περισσότερα

#%" )*& ##+," $ -,!./" %#/%0! %,!

#% )*& ##+, $ -,!./ %#/%0! %,! -!"#$% -&!'"$ & #("$$, #%" )*& ##+," $ -,!./" %#/%0! %,! %!$"#" %!#0&!/" /+#0& 0.00.04. - 3 3,43 5 -, 4 $ $.. 04 ... 3. 6... 6.. #3 7 8... 6.. %9: 3 3 7....3. % 44 8... 6.4. 37; 3,, 443 8... 8.5. $; 3

Διαβάστε περισσότερα

... 5 A.. RS-232C ( ) RS-232C ( ) RS-232C-LK & RS-232C-MK RS-232C-JK & RS-232C-KK

... 5 A.. RS-232C ( ) RS-232C ( ) RS-232C-LK & RS-232C-MK RS-232C-JK & RS-232C-KK RS-3C WIWM050 014.1.9 P1 :8... 1... 014.0.1 1 A... 014.0. 1... RS-3C()...01.08.03 A.. RS-3C()...01.08.03 3... RS-3C()... 003.11.5 4... RS-3C ()... 00.10.01 5... RS-3C().008.07.16 5 A.. RS-3C().0 1.08.

Διαβάστε περισσότερα

/&25*+* 24.&6,2(2**02)' 24

/&25*+* 24.&6,2(2**02)' 24 !! "#$ % (33 &' ())**,"-.&/(,01.2(*(33*( ( &,.*(33*( ( 2&/((,*(33*( 24 /&25** 24.&6,2(2**02)' 24 " 0 " ( 78,' 4 (33 72"08 " 2/((,02..2(& (902)' 4 #% 7' 2"8(7 39$:80(& 2/((,* (33; (* 3: &

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Οι εξισώσεις Bernoulli αποτελούν την κλάση των μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

J J l 2 J T l 1 J T J T l 2 l 1 J J l 1 c 0 J J J J J l 2 l 2 J J J T J T l 1 J J T J T J T J {e n } n N {e n } n N x X {λ n } n N R x = λ n e n {e n } n N {e n : n N} e n 0 n N k 1, k 2,..., k n N λ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 2/2012

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 2/2012 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Έστω r rx, y, z, I a, b συνάρτηση C τάξης και r r r x y z Nα αποδείξετε ότι: d dr r (α) r r, I r r r d dr d r (β) r r, I dr (γ) Αν r 0, για κάθε I κάθε I d (δ)

Διαβάστε περισσότερα

Το φασματικό Θεώρημα

Το φασματικό Θεώρημα Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2).

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2). ΜΑΣ 7: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrage για τα σημεία (, ), (, ) και (4, ) Λύση: Για τα σημεία x, x, x 4, y, y, y υπολογίζουμε x x x x () x x x x x x 4 L

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA) ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.

Διαβάστε περισσότερα

A Compilation of Iraqi Constitutions And Comparative Studies of International Human Rights Standards

A Compilation of Iraqi Constitutions And Comparative Studies of International Human Rights Standards A Compilation of Iraqi Constitutions And Comparative Studies of International Human Rights Standards Table of Contents Introduction (Arabic)... 1 Introduction (English)...396 Part One: Texts of the Constitutions

Διαβάστε περισσότερα

ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s

ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s P P P P ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s r t r 3 2 r r r 3 t r ér t r s s r t s r s r s ér t r r t t q s t s sã s s s ér t

Διαβάστε περισσότερα

10 20 X i a i (i, j) a ij (i, j, k) X x ijk j :j i i: R I J R K L IK JL a 11 a 12... a 1J a 21 a 22... a 2J = a I1 a I2... a IJ = [ 1 1 1 2 1 3... J L 1 J L ] R I K R J K IJ K = [ 1 1 2 2... K

Διαβάστε περισσότερα

Wb/ Μ. /Α Ua-, / / Βζ * / 3.3. Ηλεκτρομαγνητισμός Ι Μ. 1. Β = k. 3. α) Β = Κ μ Π 2. B-r, 2 10~ ~ 2 α => I = ~ } Α k M I = 20Α

Wb/ Μ. /Α Ua-, / / Βζ * / 3.3. Ηλεκτρομαγνητισμός Ι Μ. 1. Β = k. 3. α) Β = Κ μ Π 2. B-r, 2 10~ ~ 2 α => I = ~ } Α k M I = 20Α ΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 3.3 39 3.3. Ηλεκτρομαγνητισμός 1. Β = k 21 9 1Π 2 β = 10 " ίιτκ τ^β = 2 10 " τ 3. α) Β = Κ μ 21 B-r, 2 10~ 5 20 10~ 2 α => I = ~ } Α k M -2 2-10 I = 20Α ϊ)β 2 2Ι = Κ ψ- _ 10' 10^40 7 2

Διαβάστε περισσότερα

J! "#$ %"& ( ) ) ) " *+, -./0-, *- /! /!+12, ,. 6 /72-, 0,,3-8 / ',913-51:-*/;+ 5/<3/ +15;+ 5/<3=9 -!.1!-9 +17/> ) ) &

J! #$ %& ( ) ) )  *+, -./0-, *- /! /!+12, ,. 6 /72-, 0,,3-8 / ',913-51:-*/;+ 5/<3/ +15;+ 5/<3=9 -!.1!-9 +17/> ) ) & J! "#$ %"& J ' ( ) ) ) " *+, -./0-, L *- /! /!+12,3-4 % +15,. 6 /72-, 0,,3-8 / ',913-51:-*/;+ 5/01 ',913-51:--

Διαβάστε περισσότερα

1 Γραμμικές συναρτήσεις

1 Γραμμικές συναρτήσεις Γραμμικές συναρτήσεις Άσκηση. είξτε ότι η συνάρτηση f : R R, που ορίζεται με τη σχέση f(x, y, z) =(x y + z,x z), για κάθε (x, y, z) R, είναι μια γραμμική συνάρτηση, και να βρεθεί ο πυρήνας της. Απόδειξη.

Διαβάστε περισσότερα

Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων για το πρόβλημα δύο σημείων

Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων για το πρόβλημα δύο σημείων Κεφάλαιο 4 Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων για το πρόβλημα δύο σημείων Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων είναι μια τεχνική για την κατασκευή προσεγγιστικών λύσεων μερικών και ολοκληρωτικών διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

March 14, ( ) March 14, / 52

March 14, ( ) March 14, / 52 March 14, 2008 ( ) March 14, 2008 1 / 52 ( ) March 14, 2008 2 / 52 1 2 3 4 5 ( ) March 14, 2008 3 / 52 I 1 m, n, F m n a ij, i = 1,, m; j = 1,, n m n F m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a

Διαβάστε περισσότερα

Αφιερώνεται στα παιδιά μας Σπυριδούλα, Αχιλλέα και Αναστασία

Αφιερώνεται στα παιδιά μας Σπυριδούλα, Αχιλλέα και Αναστασία 0 3 10 71 < < 3 1 7 ; (y k ) 0 LU n n M (2; 4; 1; 2) 2 n 2 = 2 2 n 2 n 2 = 2y 2 n n ' y = x [a; b] [a; b] x n = '(x n 1 ) (x n ) x 0 = 0 S p R 2 ; S p := fx 2 R 2 : kxk p = 1g; p = 1; 2; 1 K i

Διαβάστε περισσότερα

..., ISBN: :.!". # -. $, %, 1983 &"$ $ $. $, %, 1988 $ $. ## -. $, ', 1989 (( ). '. ') "!$!. $, %, 1991 $ 1. * $. $,.. +, 2001 $ 2. $. $,, 1992 # $!

..., ISBN: :.!. # -. $, %, 1983 &$ $ $. $, %, 1988 $ $. ## -. $, ', 1989 (( ). '. ') !$!. $, %, 1991 $ 1. * $. $,.. +, 2001 $ 2. $. $,, 1992 # $! !! " 007 : ISBN: # $! % :!" # - $ % 983 &"$ $ $ $ % 988 $ $ ## - $ ' 989 (( ) ' ') "!$! $ % 99 $ * $ $ + 00 $ $ $ 99!! " 007 -!" % $ 006 ---- $ 87 $ (( %( %(! $!$!" -!" $ $ %( * ( *!$ "!"!* "$!$ (!$! "

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584 Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 101-00 Αφιερωμέν σε κάθε μαθητή πυ ασχλείται ή πρόκειται να ασχληθεί με Μαθηματικύς διαγωνισμύς

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Επιµέλεια: Ι. Σπηλιώτης Άσκηση.3 σελ.45 Εξάγονται δύο σφαίρες από την Α και τοποθετούνται στην Β. Υπάρχουν τρία δυνατά ενδεχόµενα: Ε : εξάγονται δύο

Διαβάστε περισσότερα

Galerkin ( ) ( ) συνοριακές συνθήκες L * u ku p x u dx ( ) Για κάθε αποδεκτή συνάρτηση L L L

Galerkin ( ) ( ) συνοριακές συνθήκες L * u ku p x u dx ( ) Για κάθε αποδεκτή συνάρτηση L L L Galrkn ( ) Ε Αu ku= p x u ( 0) = 0 συνοριακές συνθήκες u ( L) = q L ( S ) Για κάθε αποδεκτή συνάρτηση u * ( x ) 0 L ( ΕΑ + ( )) u ( 0) = 0 u ( L) = ql * u ku p x u dx ( W ) Για κάθε αποδεκτή συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

= λ. u t = u xx UT = U T T T = U U. Οσον αφορά τη χρονική εξίσωση έχουμε. T + λt =0 T (t) =e λt. ενώ για τη χωρική

= λ. u t = u xx UT = U T T T = U U. Οσον αφορά τη χρονική εξίσωση έχουμε. T + λt =0 T (t) =e λt. ενώ για τη χωρική Prìlhm Το φυσικό πρόβλημα είναι: τοίχος σε επαφή με λουτρό θερμοκρασίας T = αριστερά και μονωμένος δεξιά, με αρχική θερμοκρασία T =.Θέτουμεu(x, t) = U(x)T (t), οπότεu t = UT και u xx = U T, και προχωράμε

Διαβάστε περισσότερα

f(x) dx. f(x)dx = 0. f(x) dx = 1 < 1 = f(x) dx. Θα είχαµε f(c) = 0, ενώ η f δεν µηδενίζεται πουθενά στο [0, 2].

f(x) dx. f(x)dx = 0. f(x) dx = 1 < 1 = f(x) dx. Θα είχαµε f(c) = 0, ενώ η f δεν µηδενίζεται πουθενά στο [0, 2]. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 7: Ολοκλήρωµα Riem Α Οµάδα. Εστω f : [, ] R. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας).

Διαβάστε περισσότερα

4 8 c +t +t - (t +t ) - <t +t < - < t t < + +c ( ) +t + ( ) +t + [ - (t +t )] (t + t ) + t + t t 0 + +c c x i R + (i ΔABC ABC ) x i x i c ABC 0 ABC AC

4 8 c +t +t - (t +t ) - <t +t < - < t t < + +c ( ) +t + ( ) +t + [ - (t +t )] (t + t ) + t + t t 0 + +c c x i R + (i ΔABC ABC ) x i x i c ABC 0 ABC AC 8 No8Vol JOURNALOF NEIJIANG NORMAL UNIVERSITY * * ( 6499) : ; ; ; ; ; : ; ; DOI:060/jcki-6/z0808006 :G647 :A :67-78(08)08-00-09 0 [4] [] [6] [7] ( ) ( [8] ) [9] [] : [] [] :08-06- : (ZG0464) (ZY600) 06

Διαβάστε περισσότερα

2013/2012. m' Z (C) : V= (E): (C) :3,24 m/s. (A) : T= (1-z).g. (D) :4,54 m/s

2013/2012. m' Z (C) : V= (E): (C) :3,24 m/s. (A) : T= (1-z).g. (D) :4,54 m/s ( ) 03/0 - o l P z o M l =.P S. ( ) m' Z l=m m=kg m =,5Kg g=0/kg : : : : Q. (A) : V= (B) : V= () : V= (D) : V= (): : V :Q. (A) :4m/s (B) :0,4 m/s () :5m/s (D) :0,5m/s (): : M T : Q.3 (A) : T=(-z).g (B)

Διαβάστε περισσότερα

( ) ΘΕ ΑΝ4 / 2 0. α) β) f(x) f ( x) cos x

( ) ΘΕ ΑΝ4 / 2 0. α) β) f(x) f ( x) cos x Η ΑΝΕΠ Η Η Ν Ω Ν Ω ΑΘΗ Α ΑΝIV Ε ε ά ει Ν επ ε β ί 5 (3-9-5) Επώ : Ό α: ΑΝ Ν: ΘΕ ΑΝ Τα π α Chebyshev T ( ) α π ω μ ( ) y y y (,,, ) π [,] Η ω α α α π α μ / d d T ( ) Tm ( ) [ T ( )] Α απ f ( ) 3, [,], α

Διαβάστε περισσότερα

P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r

P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r r s s s t t P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r t t s st ä r t str t st t tt2 t s s t st

Διαβάστε περισσότερα

l 1 p r i = ρ ij α j + w i j=1 ρ ij λ α j j p w i p α j = 1, α j 0, j = 1,..., p j=1 R B B B m j [ρ 1j, ρ 2j,..., ρ Bj ] T = }{{} α + [,,..., ] R B p p α [α 1,..., α p ] [w 1,..., w p ] M m 1 m 2,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB. Εξετάσεις Ιουνίου ) Δίνεται ο πίνακας Α= 5) α) Αν v 0 ένα στοιχείο ενός διαν. χώρου V[F] με εσωτερικό γινόμενο, να

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB. Εξετάσεις Ιουνίου ) Δίνεται ο πίνακας Α= 5) α) Αν v 0 ένα στοιχείο ενός διαν. χώρου V[F] με εσωτερικό γινόμενο, να ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB Εξετάσεις Ιουνίου 1998 Α 4 1 4) Δίνεται ο πίνακας Α= 0 1 0 0 3 α) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του Α. Είναι ο πίνακας Α διαγωνοποιήσιμος ; β) Να βρεθεί ο γραμμικός μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai017/lai017html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου 017

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

X 1 X 2. X d X = 2 Y (x) = e x 2. f X+Y (x) = f X f Y (x) = f X (y)f Y (x y)dy. exp. exp. dy, (1) f X+Y (x) = j= σ2 2) exp x 2 )

X 1 X 2. X d X = 2 Y (x) = e x 2. f X+Y (x) = f X f Y (x) = f X (y)f Y (x y)dy. exp. exp. dy, (1) f X+Y (x) = j= σ2 2) exp x 2 ) Εστω X : Ω R d τυχαίο διάνυσμα με ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ X Εχουμε δει ότι η γνώση της κατανομής καθεμιάς από τις X, X,, X d δεν αρκεί για να προσδιορίσουμε την κατανομή του X, αφού δεν περιέχει

Διαβάστε περισσότερα

Συμβούλιο της Ευρωπαϊκής Ένωσης Βρυξέλλες, 7 Μαρτίου 2017 (OR. en)

Συμβούλιο της Ευρωπαϊκής Ένωσης Βρυξέλλες, 7 Μαρτίου 2017 (OR. en) Συμβούλιο της Ευρωπαϊκής Ένωσης Βρυξέλλες, 7 Μαρτίου 2017 (OR. en) 7057/17 ADD 1 TRANS 97 ΔΙΑΒΙΒΑΣΤΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Αποστολέας: Ημερομηνία Παραλαβής: Αποδέκτης: Για τον Γενικό Γραμματέα της Ευρωπαϊκής Επιτροπής,

Διαβάστε περισσότερα

Analysis of a discrete element method and coupling with a compressible fluid flow method

Analysis of a discrete element method and coupling with a compressible fluid flow method Analysis of a discrete element method and coupling with a compressible fluid flow method Laurent Monasse To cite this version: Laurent Monasse. Analysis of a discrete element method and coupling with a

Διαβάστε περισσότερα

Second Order Partial Differential Equations

Second Order Partial Differential Equations Chapter 7 Second Order Partial Differential Equations 7.1 Introduction A second order linear PDE in two independent variables (x, y Ω can be written as A(x, y u x + B(x, y u xy + C(x, y u u u + D(x, y

Διαβάστε περισσότερα

ÒÄÆÉÖÌÄ. ÀÒÀßÒ ÉÅÉ ÓÀÌÀÒÈÉ ÖÍØÝÉÏÍÀËÖÒ-ÃÉ ÄÒÄÍÝÉÀËÖÒÉ ÂÀÍÔÏËÄÁÄÁÉÓÈÅÉÓ ÃÀÌÔÊÉ- ÝÄÁÖËÉÀ ÀÌÏÍÀáÓÍÉÓ ÅÀÒÉÀÝÉÉÓ ÏÒÌÖËÄÁÉ, ÒÏÌËÄÁÛÉÝ ÂÀÌÏÅËÄÍÉËÉÀ ÓÀßÚÉÓÉ

ÒÄÆÉÖÌÄ. ÀÒÀßÒ ÉÅÉ ÓÀÌÀÒÈÉ ÖÍØÝÉÏÍÀËÖÒ-ÃÉ ÄÒÄÍÝÉÀËÖÒÉ ÂÀÍÔÏËÄÁÄÁÉÓÈÅÉÓ ÃÀÌÔÊÉ- ÝÄÁÖËÉÀ ÀÌÏÍÀáÓÍÉÓ ÅÀÒÉÀÝÉÉÓ ÏÒÌÖËÄÁÉ, ÒÏÌËÄÁÛÉÝ ÂÀÌÏÅËÄÍÉËÉÀ ÓÀßÚÉÓÉ ÒÄÆÉÖÌÄ. ÀÒÀßÒ ÉÅÉ ÓÀÌÀÒÈÉ ÖÍØÝÉÏÍÀËÖÒ-ÃÉ ÄÒÄÍÝÉÀËÖÒÉ ÂÀÍÔÏËÄÁÄÁÉÓÈÅÉÓ ÃÀÌÔÊÉ- ÝÄÁÖËÉÀ ÀÌÏÍÀáÓÍÉÓ ÅÀÒÉÀÝÉÉÓ ÏÒÌÖËÄÁÉ, ÒÏÌËÄÁÛÉÝ ÂÀÌÏÅËÄÍÉËÉÀ ÓÀßÚÉÓÉ ÌÏÌÄÍÔÉÓÀ ÃÀ ÃÀÂÅÉÀÍÄÁÄÁÉÓ ÛÄÛ ÏÈÄÁÉÓ Ä ÄØÔÉ, ÀÂÒÄÈÅÄ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ A u B Μέτρο Διεύθυνση Κατεύθυνση (φορά) Σημείο Εφαρμογής Διανυσματικά Μεγέθη : μετάθεση, ταχύτητα, επιτάχυνση, δύναμη Μονόμετρα Μεγέθη : χρόνος, μάζα, όγκος, θερμοκρασία,

Διαβάστε περισσότερα

ρ ρ s ::= sd sd ::= K x sk xotse se sk ::= K (sk x) se ::= x K se se se x = se xotse se xotse se x sp se se l lo sp ::= x l K sp x(x ) l ::= char number lo ::= se (+ = = < > ) se se se ot ::= τ ɛ τ

Διαβάστε περισσότερα

Sheet H d-2 3D Pythagoras - Answers

Sheet H d-2 3D Pythagoras - Answers 1. 1.4cm 1.6cm 5cm 1cm. 5cm 1cm IGCSE Higher Sheet H7-1 4-08d-1 D Pythagoras - Answers. (i) 10.8cm (ii) 9.85cm 11.5cm 4. 7.81m 19.6m 19.0m 1. 90m 40m. 10cm 11.cm. 70.7m 4. 8.6km 5. 1600m 6. 85m 7. 6cm

Διαβάστε περισσότερα

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Περιοδικός πίνακας: α. Είναι µια ταξινόµηση των στοιχείων κατά αύξοντα

Διαβάστε περισσότερα

K K 1 2 1 K M N M(2 N 1) K K K K K f f(x 1, x 2,..., x K ) = K f xk (x k ), x 1, x 2,..., x K K K K f Yk (y k x 1, x 2,..., x k ) k=1 M i, i = 1, 2 Xi n n Yi n Xn 1 Xn 2 ˆM i P (n) e = {( ˆM 1, ˆM2 )

Διαβάστε περισσότερα

m i N 1 F i = j i F ij + F x

m i N 1 F i = j i F ij + F x N m i i = 1,..., N m i Fi x N 1 F ij, j = 1, 2,... i 1, i + 1,..., N m i F i = j i F ij + F x i mi Fi j Fj i mj O P i = F i = j i F ij + F x i, i = 1,..., N P = i F i = N F ij + i j i N i F x i, i = 1,...,

Διαβάστε περισσότερα

Vol. 37 ( 2017 ) No. 3. J. of Math. (PRC) : A : (2017) k=1. ,, f. f + u = f φ, x 1. x n : ( ).

Vol. 37 ( 2017 ) No. 3. J. of Math. (PRC) : A : (2017) k=1. ,, f. f + u = f φ, x 1. x n : ( ). Vol. 37 ( 2017 ) No. 3 J. of Math. (PRC) R N - R N - 1, 2 (1., 100029) (2., 430072) : R N., R N, R N -. : ; ; R N ; MR(2010) : 58K40 : O192 : A : 0255-7797(2017)03-0467-07 1. [6], Mather f : (R n, 0) R

Διαβάστε περισσότερα

Coupling strategies for compressible - low Mach number flows

Coupling strategies for compressible - low Mach number flows Coupling strategies for compressible - low Mach number flows Yohan Penel, Stéphane Dellacherie, Bruno Després To cite this version: Yohan Penel, Stéphane Dellacherie, Bruno Després. Coupling strategies

Διαβάστε περισσότερα

MÉTHODES ET EXERCICES

MÉTHODES ET EXERCICES J.-M. MONIER I G. HABERER I C. LARDON MATHS PCSI PTSI MÉTHODES ET EXERCICES 4 e édition Création graphique de la couverture : Hokus Pokus Créations Dunod, 2018 11 rue Paul Bert, 92240 Malakoff www.dunod.com

Διαβάστε περισσότερα

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1.1 Όρια ακολουθιών Λέμε ότι η ακολουθία { n } συγκλίνει με όριο R αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει ακέραιος N = N(ϵ) τέτοιος ώστε (1.1) n < ϵ για κάθε n > N, και

Διαβάστε περισσότερα

V r,k j F k m N k+1 N k N k+1 H j n = 7 n = 16 Ṽ r ñ,ñ j Ṽ Ṽ j x / Ṽ W 2r V r D N T T 2r 2r N k F k N 2r Ω R 2 n Ω I n = { N: n} n N R 2 x R 2, I n Ω R 2 u R 2, I n x k+1 = x k + u k, u, x R 2,

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Ι Τ Ε Λ Ε Σ Τ Ε Σ

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Ι Τ Ε Λ Ε Σ Τ Ε Σ Κλίση συνάρτησης f Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Ι Τ Ε Λ Ε Σ Τ Ε Σ Αν σε κάθε σημείο Px, y,z ενός τμήματος Δ του χώρου μία τιμή, ορίζεται μια συνάρτηση. f x, y,z : Δ, Δ αντιστοιχίσουμε την οποία ονομάζουμε σημειακή

Διαβάστε περισσότερα

4. Απαγορεύεται η χρήση υπολογιστή χειρός. Απαγορεύεται η χρήση κινητού, και ως υπολογιστή χειρός.

4. Απαγορεύεται η χρήση υπολογιστή χειρός. Απαγορεύεται η χρήση κινητού, και ως υπολογιστή χειρός. ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ, ΙΩΑΝΝΗΣ ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΣ, ΣΤΑΥΡΟΣ ΤΟΥΜΠΗΣ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, ΙΟΥΝΙΟΣ 207 ΟΝΟΜΑ ΦΟΙΤΗΤΗ:.............................. Οδηγίες. Συμπληρώστε το όνομά

Διαβάστε περισσότερα