GEOMETRIJA V PROSTORU

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "GEOMETRIJA V PROSTORU"

Transcript

1 Geometrij protoru. 1 GEOMETRIJA V PROTORU PLOŠČINE IN OBEGI LIKOV (A) Ploščine in oegi liko Kdrt 4 d o Prokotnik d o Rom 4 f e o Prlelogrm inα o Trikotnik ( ) ( ) ( ) in 1 o γ Enkotrnični trikotnik 4 o Enkokrki trikotnik o Prokotni trikotnik o Trpez d o Enkokrki trpez o Deltoid f e o Krog r r o π π

2 Geometrij protoru. (B) Vje 1. Oeg prokotnik meri 16 m, dolžini trni e rzlikujet z 8 m. Izrčunj ploščino in digonlo prokotnik. [R: trnii: 0 in 48 m, d 5 m, 960 m ]. Kolikšn je ploščin oenčeneg kdrt n liki, če trni elikeg kdrt meri 10 m? [R: 1,5 m ]. Rom ABCD z dljšo digonlo e 56 m in prokotnik EFGH imt enk oeg. trnii prokotnik t rzmerju : 4 :, njego digonl d 50 m. Kteri lik im ečjo ploščino? [R: prokotnik, p 100 m, r 1176 m ] 4. Rzmerje deh trni prlelogrm je : : 1. Višin n trnio meri 10 m, ploščin p 400 m. Koliko merit trnii in koliko išin n trnio? [R: 40 m, 0 m, 0 m] 5. Enkotrnični trikotnik in kdrt imt enk oeg 6 m. Kteri lik im ečjo ploščino in z koliko? [R: kdrt, k 81 m, t 6 m ] 6. Izrčunj ploščino trikotnik trnimi 8 m, 9 m in 5 m. V dnem trikotniku n minuto ntnčno izrčunj elikot njmnjšeg in nječjeg kot. [R: 84 m, 1,6, 9,5 ] 7. Izrčunj ploščino trikotnik, pri kterem t znni de trnii 15 m, 0 m, in išin n tretjo od trni 1 m. [R: 5 m, 150 m ] 8. Izrčunj ploščino oenčeneg lik, ki je rin kdrtu trnio 15 m. [R: 100 m ] 9. Izrčunj ploščino trpez, pri kterem je 7 m, 4 m, m, β 60. R : m, 10 m 10. V enkokrkem trpezu: 0 m, 14 m podljšmo krk do preečišč E. Koliko meri krk, če je dolžin dljie AE 10 m? [R: m] 11. Izrčunj ploščino deltoid z dnimi podtki: 8 m, 6 m, α 150. R : 4 m 1. Ploščin deltoid znš 1800 m. Koliko merit digonli, če je digonl f štirikrt dljš od digonle e? [R: e 0 m, f 10 m] 1. Kolikšn je ploščin prilneg 1 kotnik, ki je črtn krogu polmerom 16 m? [R: 768 m ] 14. Izrčunj trnio prilneg 8 kotnik, ki črtn oz. očrtn krogu polmerom 1 m. [R: 9,18 m, o 9,94 m] 15. Izrčunj ploščino in oeg oenčeneg lik n liki, če trni kdrt meri 14 m. [R: 4,06 m ]

3 Geometrij protoru. RAVNINKA TRIGONOMETRIJA (A) Koinuni izrek in Pitgoro izrek V poljunem trikotniku ABC nrišimo išino, ki ononio rzdeli n odek dolžine x in x. Iz ntlih deh prokotniko izrzimo išino Pitgoroim izrekom. x ( x ) Koinuni izrek uporljmo, če trikotniku poznmo: de trnii in kot med njim (izrčunmo tretjo trnio) e tri trnie (izrčunmo notrnje kote trikotnik): oα, o β, oγ Izenčimo deni trni enče in doimo: x x x Preuredimo enkot tko, d izrzimo, in odek x ndometimo z oβ. Doimo eno od enkoti: o β Drugi de t: oα oγ Pitgoro izrek je poeen primer koinuneg izrek. Velj nmreč prokotnem trikotniku, kjer je kot γ enk 90 in zto o γ 0. Kdrt hipotenuze je enk oti kdrto ktet:. (B) inuni izrek Rzmerje med trnio trikotnik in inuom nprotneg kot je enko premeru trikotniku očrtneg krog: R inα in β inγ inuni izrek uporljmo, če trikotniku poznmo: trnio in d notrnj kot de trnii in kot, ki leži eni od oeh trni nproti: kot leži nproti dljši trnii en rešite kot leži nproti krjši trnii možni de rešiti polmer očrtneg krog in de trnii polmer očrtneg krog in d kot polmer očrtneg krog, en trni in en kot, ki ne leži tej trnii nproti (C) Vje 1. Izrčunj kot ozirom trnio x, če o pine mere entimetrih:... [R: 4,16, 50,57,,04 m]

4 Geometrij protoru. 4. Dn je trikotnik ABC: 9 m, 7 m in kot γ 56. Izrčunj dolžino trnie. [R: 7,7 m]. Izrčunj kote trikotnik trnimi 5 m, 6 m in 7 m. [R: 78,46, 57,1, 44,4 ] 4. V trpezu t ononii 1 dm in 4 m ter krk 7 m in d 5 m. Izrčunj kote. [R: α 78,46, β 44,4, γ 15,58, δ 101,54 ] 5. Izrčunj dolžini digonl prlelogrm ABCD, če trni AB meri 7 m, trni AD p 10 m in je kot α [R: e 14,7 m, f 9,56 m] 6. Prlelogrm ABCD im dolžine trni 8 m in 6 m, dolžin digonle f je 7 m. Kolikšni o notrnji koti prlelogrm? [R: α γ 57,91, β δ 1,09 ] 7. V deltoidu ABCD meri AB 4 m, BC 7 m, kot ABC 14. Izrčunj dolžino digonle AC. [R: 9,81 m] 8. V enkokrkem trikotniku meri krk 0 m, kot o rhu p 147. Izrčunj dolžino ononie AB. [R: 8,5 m] 9. V trikotniku ABC je polmer očrtneg krog R 1 m, 1 m in 6 m.. Izrčunj kot α. [R: 60 ]. Ntnčno izrčunj dolžino trnie. [R: 4 m] 10. V trikotniku ABC je kot γ 60, t 6 m in 8 m.. Izrčunj dolžini trni in n eno deimlno meto ntnčno. [R: 6,9 m, 7,5 m]. Izrčunj kot β. [R: 5,75 ] 11. Ploščin rom je 00 m, α 0. Izrčunj dolžini digonl rom n de deimlni meti ntnčno. [R: 0 m, e 8,64 m, f 10,5 m] 1. V prlelogrmu ABCD je CAB 0 15, AC e 15 m in 10 m. Izrčunj kot α in β. [R: α 10,9, β 49,08 ] 1. V trpezu ABCD je BDC 15, 4 m, 6 m in 15 m.. Izrčunj dolžino digonle f. [R: f 9,77 m]. Izrčunj dolžino trnie d. [R: d 6,11 m] 14. V enkokrkem trpezu podtki 11 m, m in 4 m izrčunj:. kot α in γ [R: α 45, γ 15 ]. ploščino [R: 4 m, 8 m ]. dolžino digonl [R: e f 8,06 m] 15. V trpezu je dno: 4 m, 1 dm, d 8 m in β Izrčunj dolžino trnie. [R: 8,6 m]. Izrčunj kot α. [R: 75,58 ] 16. Dn je prlelogrm ABCD trnim 8 m, 6 m in menim kotom α 45.. Nriši kio in ntnčno izrčunj išino n trnio. [R: m]. Izrčunj dolžini oeh digonl. [R: e 1,96 m, f 5,67 m]. Ntnčno izrčunj ploščino trikotnik, ki g omejujet digonli in ononi. [R: 6 m ]

5 Geometrij protoru. 5 (A) Delite geometrijkih tele GEOMETRIJKA TELEA OGLATA GEOMETRIJKA TELEA OKROGLA GEOMETRIJKA TELEA POKONČNA V tele o omejen z rnimi plokmi. Vj en ploke je kri. POŠEVNA

6 Geometrij protoru. 6 (B) Oglt geometrijk tele OGLATA GEOMETRIJKA TELEA - LATNOTI Prizm je oglto telo li polieder, omejeno z: dem ononim plokm (to t zporedn in kldn n - kotnik) n prlelogrmi, ki torijo plšč trnie onone ploke o ononi rooi, i otli o trnki rooi. Vi trnki rooi o med eoj zporedni in kldni. Višin prizme je rzdlj med ononim plokm. PRIZME Delite prizem: Prizm je pokončn, če o trnki rooi prokotni n onono ploke, ier je prizm pošen. Prizm je priln, če je pokončn in je njen onon ploke prilni n- kotnik. Prizm je enkoro, če je priln in o i njeni rooi enko dolgi. Poršin prizme: P O pl O... ploščin onone ploke Protornin prizme: V O pl... ploščin plšč... išin prizme Pirmid je polieder, omejen z: eno onono plokijo (n - kotnik) n trikotniki, ki torijo plšč trnie onone ploke o ononi rooi, i otli o trnki rooi. trnki rooi e tikjo rhu pirmide. PIRAMIDE Delite pirmid: Pirmid je pokončn, če o i trnki rooi enko dolgi, ier je pošen. Pirmid je priln, če je pokončn in je onon ploke prilni n- kotnik. Pirmid je enkoro, če o i njeni rooi enko dolgi. Poršin pirmide: P O pl O... ploščin onone ploke Protornin pirmide: O V pl... ploščin plšč... išin pirmide

7 Geometrij protoru. 7 (C) Vje - prizm Kder je pokončn štiritrn prizm, ktereg onon ploke je prokotnik. D P V ( ) d 1 d d Kok je enkoroi kder. d D P 6 V Znčilni digonlni oni preek prizme 4 trn prizm 1. Pločeint pood rez pokro im oliko prilne štiritrne prizme z ononim room 1 m in išino 0 m. Koliko pločeine euje, če o rooi zrjeni med eoj? [R: 1104 m ]. Kolikšn je protornin deke z dolžino 4 m, širino 6 m in deelino,5 m? Koliko tne dek, če je en 16 /m? [R: 6 dm, 4,1 ]. Koliko teht 5 mm deel železn plošč dolžine m in širine dm, če je gotot želez 7,8 kg/dm? [R: 117 kg] 4. Pločeint pood oliki koke drži 16 litro. Koliko pločeine potreujemo z to poodo rez pokro? Kko dolg je njdljš tnk pli, ki jo lhko timo poodo? [R: 180 dm, 6 dm] 5. kldišče im oliko kdr: dolžin 8 m, širin 5 m, išin m. Kolikšn je njego protornin? Koliko tne eljenje kldišč, če rčunmo,5 /m? Belimo le tene in trop. [R: 10 m, 41 ] 6. 6 m iok etonki teer (gotot ρ,5 kg/dm ) im oliko pokončne kdrtne prizme z ononim room 4 dm. Koliko teht teer? Koliko tne poršink odel plšč, če rčunmo 15 /m? [R:,4 t, 7 ] 7. Do ktere išine memo npolniti z žiim rerom poodo oliki kdr, ktereg onon ploke je prokotnik trnim dm in 5 dm, če zdrži dno 4000 N in je gotot žieg rer 1,6 g/m? [R: 1,96 dm] 8. Kolikšen kot oklep telen digonl koke z eno mejno plokijo? [R: 5,6 ] 9. Kko dolg i morl iti železn trerz, d i tehtl 100 kg, če je gotot želez ρ 7,8 g/m in je prokotni preek trerze po liki: 10 m, 8 m, m? [R: 4,65 dm] dele grdi 10 m dolg nip, ktereg prečni prerez je enkokrki trpez: 9 m, 5 m, 1,6 m. V kolikih dneh odo dogrdili nip, če je norm eneg del m /dn? [R: 56 dni] 11. Izrčunj teleno digonlo in njdljšo plokono digonlo kdr z rooi: 40 m,,4 m in 8 dm. [R: 45,5 m, 417,91 m]

8 Geometrij protoru V kdru protornino V 510 m je rzmerje roo : : : 7 : 9. Izrčunj poršino. [R: 1998 m ] 1. Izrčunj poršino koke, če meri ploščin njeneg digonlneg preek 144 m. [R: 864 m ] trn prizm 14. Kointo prilno tritrno prizmo je tre poreriti (glnizij). Koliko rer potreujemo, če porimo 0,1 g n m in im prizm ononi ro 6 m ter je 1 dm iok? [R: 1,1 g] 15. Tritrn 4 dm iok prizm im onone rooe 17 m, 5 m in 8 m. Kolikšni t poršin in protornin prizme? [R: 840 m, 700 m ] 16. Kolikšn je poršin prilne tritrne enkoroe prizme protornino m? R : ( 1) m 17. Onon ploke pokončne tritrne prizme je prokotni trikotnik ktetm 7 m in 4 m, išin je enk hipotenuzi onone ploke. Izrčunj poršino in protornino prizme. [R: 100 m, 1568 m ] 18. Betonki opornik meri d 6 m, 1,5 m, m. Izrčunj koliko m eton je tre z opornik in kolikšn je poršin eton, ki jo je mogoče odelti? (glej liko) [R: 6 m, 18 m ] 19. Izrčunj poršino in protornino 10 m ioke pokončne prizme, ki im z onono ploke enkokrk trikotnik z ononio 16 m in krkom 17 m. [R: 740 m, 100 m ] 0. Protornin pokončne tritrne prizme z ononimi rooi 1 m, 14 m in 15 m meri 40 m. Izrčunj poršino prizme. [R: 78 m ] 1. Tritrn pokončn prizm im onone rooe 1 m, 7 m in 0 m ter poršino 70 m. Izrčunj protornino prizme. [R: 810 m ]. Izrčunj poršino 0 m ioke tritrne prizme, ki im z onono ploke prokotni trikotnik podtki: 7 m, α 67. [R: 7,19 m ]. Kolikšni t poršin in protornin enkoroe tritrne prizme z room 5 m? 5 15 : 75 m, m 4 4. Izrčunj poršino in protornino prizme n liki. [R: 79,6 m, 5,64 m ] priln 6 trn prizm 5. Kolikšni t poršin in protornin enkoroe šettrne prizme z room 5 m? 75 : ( ) m, m 6. Kko iok i morl iti pood oliki prilne 6 trne prizme (notrnji ro onone ploke meri 0 m), d i lhko njo ntočili 100 kg olj (ρ 0,85 kg/dm )? [R: 11, dm]

9 Geometrij protoru. 9 (D) Vje pirmid 4 trn pirmid 7. Izrčunj poršino in protornino prilne 4-trne pirmide z ononim room, dolgim dm in : 4 5 dm, dm trnkim room 15 m. ( ) 8. Ononi ro prilne štiritrne pirmide je šetkrt dljši od išine pirmide, plšč meri m. Kolikšn je protornin? [R: m, 1 m, V 96 m ] 9. Pokončn pirmid im z onono ploke prokotnik trnim 4 m in 10 m. Kolikšen je njen trnki ro, če je išin 84 m? [R: 85 m] 0. Kolikšn je poršin pirmide, ki im z onono ploke prokotnik trnim 14 m in 0 m, če meri trnki ro 5 m? [R: 156 m ] 1. Pirmid im z onono ploke rom z digonlm 14 m in 8 m. Vrh pirmide je n premii, ki toji preečišču digonl prokotno n rnini rom, 15 m oddljen od rom. Izrčunj protornino pirmide. Kolikšni o trnki rooi? [R: V 80 m, 1 15,5 m, 16,55 m] trn pirmid. Izrčunj poršino in protornini prilne tritrne pirmide, ki im ononi ro 1 m in išino 6 m. [R: 118,51 m, 7 m ]. Izrčunj poršino in protornino 1 m ioke prilne tritrne pirmide, ktere trnk išin meri 9 m. R : 40 m, 940 m, 8400 m 4. Protornin tritrne pirmide z ononimi rooi 4 m, 1 m in 15 m je 10 m. Izrčunj išino. [R: o 4 m, 15 m] priln 6 trn pirmid 5. Izrčunj poršino in protornino 1 m ioke prilne šettrne pirmide, ktere trnk išin meri 9 m. 0 : m, 780 m, 1400 m 5 6. Kolikšni t poršin in protornin prilne šettrne pirmide z ononim room 8 m, če je plšč onone ploke? 0 16 : 56 m, 1 m, m, 51 m 7. Priln šettrn pirmid im išino 1 m in ononi ro 6 m. Izrčunj trnko išino in plšč pirmide. [R: 14 m, 5 m ] 8. Priln šettrn pirmid im išino 1 m in ononi ro 6 m. Izrčunj kot med onono plokijo in trnkim room ter kot med onono in trnko plokijo. [R: 6,4, 66,59 ]

10 Geometrij protoru. 10 (E) Okrogl geometrijk tele Vlj: OKROGLA GEOMETRIJKA TELEA - LATNOTI Vlj je geometrijko telo, ki je omejeno z: dem ononim plokm (to t zporedn krog) plščem, ki im oliko prokotnik Pokončni krožni lj je rotijko telo, ki ntne z rtenjem prokotnik okoli: ene od trni z 60 ene od oeh imetrijkih oi z 180 Oni preek pokončneg lj: Premi, ki gre kozi redišči oeh ononih ploke je o lj. Višin lj je rzdlj med ononim plokm. Vlj je pokončen, če je trni lj enk išini, ier je pošeen. VALJ Oni preek pokončneg lj je prokotnik, pošeneg p prlelogrm. Poršin lj: P O pl πr (r ) Protornin lj: V O πr Mrež lj: Vlje je enkotrničen, če je trni enk premeru onone ploke. Poršin enkotrničneg lj: P 6πr Protornin enkotrničneg lj: V πr

11 Geometrij protoru. 11 tože: tože je geometrijko telo, ki je omejeno z: eno onono plokijo (krog) plščem, ki im oliko krožneg izek, ktereg lok je enk oegu onone ploke, polmer p trnii tož Rzdlj od rh do točke n rou onone ploke je trni tož. Če o e trnie tož enke, je tože pokončen, ier je pošeen. Višin tož je rzdlj od rh do onone ploke. TOŽEC Oni preek pokončneg tož: Mrež pokončneg tož: Pokončen tože je rotijko telo, ki ntne z rtenjem prokotneg trikotnik okoli ene od ktet z 60. Ploščin plšč: pl πr Poršin pokončneg tož: P O pl πr (r ) Protornin pokončneg tož: V πr tože je enkotrničen, če je trni enk premeru onone ploke. Poršin enkotrničneg tož: P πr Protornin enkotrničneg tož: r π V Krogl je geometrijko telo, omejeno fero. fer je množi točk protoru, ki o enko oddljene o redišč. Krogl je tudi rotijko telo, ki ntne z rtenjem: krog okoli eneg od premero z kot 180 polkrog okoli premer z kot 60 Preek krogle z rnino, ki ne potek kozi edišče krogle, je mli krogelni krog. KROGLA Glni krogelni krog gre kozi redišče krogle in rzdeli kroglo n de polkrogli. Krogelni odek je del krogle, ki g omejujet krogelni krog in krogeln kpi. Krogelni izek je del krogle, ki g etljt krogelni odek in pokončni tože, ktereg onon ploke je krog krogelneg odek, rh p redišče krogle. Krogeln plt li krogeln rezin je del krogle med zporednim rninm krogelnih krogo. Poršin krogle: P 4 π R Protornin krogle: 4πR V

12 Geometrij protoru. 1 (F) Vje lj 9. 4-metrki hlod meri premeru 4 m. Koliko le je njem in koliko teht, če je gotot le 0,5 g/m? [R: 180,96 dm, 90,48 kg] 40. Protornin pokončneg lj meri 5 m, plšč p 176 m. Izrčunj išino in poršino. [R: r 4 m, 7 m, (π 176) m ] 41. Medenint e im zunnji premer 8 m, notrnji premer 6 m, dolžin ei je 1,5 m. Koliko teht, če je gotot medenine 8,9 g/m? [R: 117,4 kg] 4. Konzer im oliko enkotrničneg lj, ki je znotrj iok 1 m. Koliko kg mezge lhko konzerirmo 1000 tkih konzerh, če je gotot mezge 1, kg/dm? [R: 1764, kg] 4. V ljti poodi premerom 1 m je toliko ode, d lhko njo potopimo tritrno prizmo z ononimi rooi 5 m, 6 m in 7 m ter išino 10 m, tko d od ne izteče. Z koliko m e digne od poodi? [R: 1, m] 44. Poršin pokončneg lj meri 50π m, trni p 7 m. Kolikšen je polmer lj? [R: 1 m] 45. Poršin pokončneg lj meri 500π m, trni p 15 m. Kolikšn je ploščin oneg preek lj? [R: 00 m ] 46. Poršin pokončneg lj meri 7π m, oni preek p meri 54 m. Kolikšen je njego plšč? [R: 54π m ] 47. Poršin lj meri 660 m, išin p 8 m. Izrčunj protornino lj π. 7 [R: r 7 m, V 1 m ] 48. Enkoro 6 trn železn prizm z ononim room 4 m je prertn tko, d gre ljt luknj (premer m) prokotno kozi ononi ploki. Izrčunj mo (ρ 7,8 g/m ) teg tele. [R: 1, kg] 49. Iz pokončneg lj polmerom 6 m in išino 0 m izrežemo nječjo možno prilno šettrno prilno prizmo. Koliko odtotko lj o odrezki? [R: V 70π m, V p 1080 m, 17,%] 50. Oni preek lj je prokotnik ploščino 48 m in digonlo 10 m. Izrčunj poršino in protornino lj. [R: r 1 4 m, 1 6 m, P 1 80π m, V 1 96π m, r m, 8 m, P 66π m, V 7π m ] 51. Ploščin oneg preek pokončneg lj meri 7 m, oeg onone ploke p 18π m. Kolikšni t poršin in protornin lj? [R: 4π m, 4π m ] 5. Oni preek pošeneg lj je rom z digonlm 10 m in 4 m. Kolikšn je protornin lj? [R: r 7,5 m, 9, m, V 161,08 m ] 5. Koliko teht inčen odoodn e (ρ 11,4 g/m ), če meri zunnji premer 5 m, deelin tene meri 4 mm, e je dolg m? [R: V 88π m ; 10,1 kg] 54. Oni preek lj meri 40 m, premer onone ploke in išin lj t rzmerju 1 : 5. Izrčunj poršino in protornino lj. [R: r 1 m, 10 m, P 58π m, V 1440π m ] 55. Plšč lj meri 48π m, polmer onone ploke in išin lj t rzmerju :. Izrčunj kot med digonlo oneg preek in onono plokijo. [R: r 4 m, 6 m, 6,87 ]

13 Geometrij protoru. 1 (G) Vje tože 56. Izrčunj protornino in poršino pokončneg tož, pri kterem meri premer onone ploke 4 dm, trni p 9 m. [R: 1 m, P 980π m, V 800π m ] 57. Oeg onone ploke pokončneg tož meri 44 m, plšč meri 96 m. Izrčunj protornino π 7 : r 7 m, 18 m, 5 11 m, V m 58. Pri pokončnem tožu meri išin 10 m, nklonki kot trnie proti ononi ploki p meri 5 0. Izrčunj plšč tož. [R: 0,61 m ] 59. Poršin enkotrničneg tož meri 1π m. Izrčunj ploščino oneg preek. R : 4 m 60. N 8 m iokem pokončnem lju polmerom dolgim 9 m toji pokončni tože z ito onono plokijo in išino 1 m. Izrčunj poršino in protornino tele. [R: 60π m, 1170π m ] 61. Iz prilne 6 trne pirmide ( 4 m, 1 m) je izrezn črtni tože. Izrčunj protornino tele. R : r m, V 48π m 6. Njdljš trni pošeneg tož meri 0 m, njkrjš p 1 m. Kolikšn je protornin tož, če meri oeg onone ploke 1π m? [R: 16 m, 1 m, V 84π m ] (H) Vje krogl 6. Koinki polkrogli polmerom 4 m in m pretlimo kroglo. Kolikšen je polmer noe krogle? [R: 4,5 m] 64. Mien ljr iz liteg želez e končuje n oeh trneh polkrogli. Dolžin lj je 1,4 m, premer p 6 dm. Koliko teht, če je gotot želez 7, kg/dm? [R: V 16π dm, m,66 t] 65. Votl polkrogl im zunnji premer 16 m in deelino tene 1 m. Izrčunj poršino in protornino tele. 8π : V m, P 41π m 66. Iz leeneg lj (r 6 m, 8 m) je izrezn polkrogl, ki im z ljem kupno onono ploke, n drugi ononi ploki p toji enkotrnični tože z ito onono plokijo. Izrčunj poršino in R : 40π m, π m protornino tele. [ ( ) ] 67. Telo je etljeno iz polkrogle, lj in tož, kkor prikzuje lik. Polmer R meri 6 m, trni lj meri 5 m, trni tož p 10 m. Izrčunj poršino in protornino tele. [R: 40π m, 04π m ]

LESARSKA ŠOLA MARIBOR M A T E M A T I K A USTNA VPRAŠANJA S PRIMERI ZA POKLICNO MATURO 2009/2010

LESARSKA ŠOLA MARIBOR M A T E M A T I K A USTNA VPRAŠANJA S PRIMERI ZA POKLICNO MATURO 2009/2010 M A T E M A T I K A USTNA VPRAŠANJA S PRIMERI ZA POKLICNO MATURO 009/00 NARAVNA ŠTEVILA. Kter števil imenujemo nrvn števil? Nštejte osnovne rčunske opercije, ki so definirne v množici nrvnih števil in

Διαβάστε περισσότερα

Olga Arnuš Mirjam Bon Klanjšček Bojana Dvoržak Darjo Felda Sonja France Mateja Škrlec MATEMATIKA 2

Olga Arnuš Mirjam Bon Klanjšček Bojana Dvoržak Darjo Felda Sonja France Mateja Škrlec MATEMATIKA 2 Olg rnuš Mirjm on Klnjšček ojn voržk rjo Feld Sonj Frnce Mtej Škrlec MTEMTIK Z i r k n l o g z g i m n z i j e Zirko nlog so npisli Olg rnuš, prof., mg. Mirjm on Klnjšček, ojn voržk, prof., mg. rjo Feld,

Διαβάστε περισσότερα

B) VEKTORSKI PRODUKT 1. 1) Pravilo desnega vijaka

B) VEKTORSKI PRODUKT 1. 1) Pravilo desnega vijaka B) VEKTORSKI PRODUKT 1 1) Prvilo desneg vijk Vsi smo že videli vijk, nekteri kkšneg privili, tisti, ki teg še niste storili, p prosite kog, ki se n vijke spozn, d vm pokže privijnje vijk. Večin vijkov

Διαβάστε περισσότερα

3.letnik - geometrijska telesa

3.letnik - geometrijska telesa .letnik - geometrijska telesa Prizme, Valj P = S 0 + S pl S 0 Piramide, Stožec P = S 0 + S pl S0 Pravilna -strana prizma P = a a + av 1 Pravilna -strana prizma P = a + a a Pravilna 6-strana prizma P =

Διαβάστε περισσότερα

Skrivnosti πtevil in oblik 9 PriroËnik. za 9. razred osnovne πole

Skrivnosti πtevil in oblik 9 PriroËnik. za 9. razred osnovne πole Skrivnosti πtevil in oblik 9 PriroËnik z 9. rzred osnovne πole Jože Berk Jn Drksler Mrjn RobiË Skrivnosti πtevil in oblik 9 PriroËnik z 9. rzred osnovne πole Avtorji: Jože Berk, Jn Drksler in Mrjn RobiË

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA

OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRVOKUTNOG TROKUT - DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ KUTOV OD - PRIMJEN N PRVOKUTNI TROKUT - PRIMJEN U PLNIMETRIJI 4.1. DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH

Διαβάστε περισσότερα

1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH )

1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH ) .RIZMA ( =+M = ).Izrčunti površinu i zpreminu kvr čij je ijgonl ug 0m, užine osnovnih ivi su m i m. D 0m m b m,? D 00 b 00 8 8 b b 87 87 0 87 8 87 b 87 87 87 8 87. Ivie kvr onose se ko :: ijgonl je ug.oreiti

Διαβάστε περισσότερα

!! " &' ': " /.., c #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",...(.

!!  &' ':  /.., c #$% & - & ' (),..., * +,.. * ' + * - - * (),...(. ..,.. 00 !!.6 7 " 57 +: #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",.....(. 8.. &' ': " /..,... :, 00. c. " *+ ' * ' * +' * - * «/'» ' - &, $%' * *& 300.65 «, + *'». 3000400- -00 3-00.6, 006 3 4.!"#"$

Διαβάστε περισσότερα

KUPA I ZARUBLJENA KUPA

KUPA I ZARUBLJENA KUPA KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p

Διαβάστε περισσότερα

Kotni funkciji sinus in kosinus

Kotni funkciji sinus in kosinus Kotni funkciji sinus in kosinus Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z oznako cos x, DEFINICIJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU: Kotna funkcija sinus je definirana kot razmerje

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIJA V RAVNINI DRUGI LETNIK

GEOMETRIJA V RAVNINI DRUGI LETNIK GEOMETRIJA V RAVNINI DRUGI LETNIK 2 1 Geometrija v ravnini 1.1 Osnove geometrije Točka je tisto, kar nima delov. Črta je dolžina brez širine. Ploskev je tisto, kar ima samo dolžino in širino. Osnovni zakoni,

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx

Διαβάστε περισσότερα

VPRAŠANJA IN ODGOVORI ZA USTNI DEL POKLICNE MATURE... 4 NARAVNA IN CELA ŠTEVILA... 4

VPRAŠANJA IN ODGOVORI ZA USTNI DEL POKLICNE MATURE... 4 NARAVNA IN CELA ŠTEVILA... 4 Lesrsk šol Mrior Aktiv mtemtikov VPRAŠANJA IN ODGOVORI ZA USTNI DEL POKLICNE MATURE... 4 NARAVNA IN CELA ŠTEVILA... 4.. Defiirjte pojm prštevil i sestvljeeg števil ter vedite kriterije deljivosti z, 3,

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena

Διαβάστε περισσότερα

Kotne in krožne funkcije

Kotne in krožne funkcije Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete

Διαβάστε περισσότερα

PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču

PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču PIRAMIDA I ZARULJENA PIRAMIDA Slično ko i kod pizme i ovde ćemo njpe ojniti oznke... - oeležvmo dužinu onovne ivice - oeležvmo dužinu viine pimide - oeležvmo dužinu viine očne tne ( potem) - oeležvmo dužinu

Διαβάστε περισσότερα

II. ŠTEVILSKE IN FUNKCIJSKE VRSTE

II. ŠTEVILSKE IN FUNKCIJSKE VRSTE II. ŠTEVILSKE IN FUNKCIJSKE VRSTE. Številske vrste Poleg zporedij relnih števil lhko o konvergenci govorimo tudi pri t.i. številskih vrsth. Formlno gledno je številsk vrst neskončn vsot relnih števil;

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA Trignmetrij je prvitn predstvlj lst mtemtike kje se vil izrčunvnjem nepzntih element trugl pmću pzntih. Sm njen nziv ptiče d dve grčke reči TRIGONOS- št znči trug

Διαβάστε περισσότερα

2G &:)* +HIJ LM=,ABCD 231 K= U b-u a 1 100% (1) U a T Q 1 )* +,- Q Fig.1 SketchmapoftheTarimRiverBasin - [) 398km,+%,+% <, `, 2, 2 #; + ( [ - ) 428km,

2G &:)* +HIJ LM=,ABCD 231 K= U b-u a 1 100% (1) U a T Q 1 )* +,- Q Fig.1 SketchmapoftheTarimRiverBasin - [) 398km,+%,+% <, `, 2, 2 #; + ( [ - ) 428km, 33 2G 2016> 3 = Y ARID ZOE RESEARCH Vol.33 o.2 Mar.2016 doi:10.13866/j.azr.2016.02.02 1 1,2, 1, 1, 3, 4 (1.,!"#$%&', 830011; 2., ( 100049;3.)* +,-. /01, 841000; 4. + 234567, + 832000) :89 TM:;,

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta Mtemtik Gbrijel Tomšič Bojn Orel Než Mrmor Kost. pril 008 50 Poglvje 5 Integrl 5. Nedoločeni in določeni integrl Nedoločeni integrl V poglvju o odvjnju funkcij smo se nučili dni funkciji f poiskti njen

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 212-213 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 1 ο Α. Να αποδείξετε ότι κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει

Διαβάστε περισσότερα

Rješenje: F u =221,9 N; A x = F u =221,9 N; A y =226,2 N.

Rješenje: F u =221,9 N; A x = F u =221,9 N; A y =226,2 N. Osnove strojrstv Prvilo izolcije i uvjeti rvnoteže Prijeri z sostlno rješvnje 1. Gred se, duljine uležišten je u točki i obješen je n svoje krju o horizontlno uže. Izrčunjte horizontlnu i vertiklnu koponentu

Διαβάστε περισσότερα

1 Ponovitev matematike za kemijske inženirje

1 Ponovitev matematike za kemijske inženirje 1 Ponovitev mtemtike z kemijske inženirje 1.1 Vektorji Vektor v 3-rzsežnem prostoru lhko npišemo kot trojico števil: = 1,, 3. Števil 1,, 3 po vrsti oznčujejo komponente vektorj v, y in z smeri krtezičneg

Διαβάστε περισσότερα

Im{z} 3π 4 π 4. Re{z}

Im{z} 3π 4 π 4. Re{z} ! #"!$%& '(!*),+- /. '( 0 213. $ 1546!.17! & 8 + 8 9:17!; < = >+ 8?A@CBEDF HG

Διαβάστε περισσότερα

ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA. školska 2013./2014. godina TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD

ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA. školska 2013./2014. godina TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA školsk 0./04. godin TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD Test koji trebš riješiti im 0 zdtk. Z rd je predviđeno 0 minut. Zdtke ne morš rditi prem redoslijedu

Διαβάστε περισσότερα

I. INTEGRIRANJE FUNKCIJ

I. INTEGRIRANJE FUNKCIJ I. INTEGRIRANJE FUNKCIJ. Nedoločeni integrl Poleg odvjnj funkij je z uporbo pomembno, d jih znmo tudi integrirti. Z integrlom rčunmo dolžine krivulj, površine krivočrtnih likov, prostornine teles omejenih

Διαβάστε περισσότερα

!"#!"!"# $ "# '()!* '+!*, -"*!" $ "#. /01 023 43 56789:3 4 ;8< = 7 >/? 44= 7 @ 90A 98BB8: ;4B0C BD :0 E D:84F3 B8: ;4BG H ;8

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584 Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ 5ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 401-500 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς

Διαβάστε περισσότερα

ŠOLSKI CENTER NOVO MESTO

ŠOLSKI CENTER NOVO MESTO ŠOLSKI CENTER NOVO MESTO Srednja elektro šola in tehniška gimnazija M A T E M A T I K A USTNA VPRAŠANJA S PRIMERI ZA POKLICNO MATURO 006/007 NARAVNA ŠTEVILA Katera števila imenujemo naravna števila? Naštejte

Διαβάστε περισσότερα

III. ODVODI FUNKCIJ ENE REALNE SPREMENLJIVKE

III. ODVODI FUNKCIJ ENE REALNE SPREMENLJIVKE III. ODVODI FUNKCIJ ENE REALNE SPREMENLJIVKE 1. Odvjnje funkcij ene spremenljivke Odvjnje je en njpomembnejši opercij n funkcij. Z uporbo odvod, kdr le-t obstj, lko veliko bolje spoznmo vedenje funkcje

Διαβάστε περισσότερα

Ne vron ske mre že vs. re gre sij ski mo de li na po ve do va nje pov pra še va nja na treh vr stah do brin

Ne vron ske mre že vs. re gre sij ski mo de li na po ve do va nje pov pra še va nja na treh vr stah do brin Ne vron ske mre že vs. re gre sij mo de li na po ve do va nje pov pra še va nja na treh vr stah do brin An ton Zi dar 1, Ro ber to Bi lo sla vo 2 1 Bo bo vo 3.a, 3240 Šmar je pri Jel šah, Slo ve ni ja,

Διαβάστε περισσότερα

1 MNOŽICE ŠTEVIL. NARAVNA, CELA, RACIONALNA, REALNA ŠTEVILA

1 MNOŽICE ŠTEVIL. NARAVNA, CELA, RACIONALNA, REALNA ŠTEVILA 1 MNOŽICE ŠTEVIL. NARAVNA, CELA, RACIONALNA, REALNA ŠTEVILA 1. Naštej lastnosti osnovnih računskih operacij v množici naravnih števil. 2. Kakšen je vrstni red računskih operacij v množici celih števil?

Διαβάστε περισσότερα

Dolžina (= velikost, = absolutna vrednost, = norma) vektorja je dolžina daljice, ki predstavlja vektor, t.j.:

Dolžina (= velikost, = absolutna vrednost, = norma) vektorja je dolžina daljice, ki predstavlja vektor, t.j.: vektorji ) OSNOVNE DEFINIIJE Krjišči dljie, npr, st enkovredni. Tudi, če i zpisli i vedeli, d govorio o isti dljii. Če p krjišče do rzlični vlogi, eneu reio zčetek, drugeu p kone, doio nov geoetrijski

Διαβάστε περισσότερα

ot ll1) r/l1i~u (X) f (Gf) Fev) f:-;~ (v:v) 1 lý) æ (v / find bt(xi (t-i; i/r-(~ v) ta.jpj -- (J ~ Cf, = 0 1l 3 ( J) : o-'t5 : - q 1- eft-1

ot ll1) r/l1i~u (X) f (Gf) Fev) f:-;~ (v:v) 1 lý) æ (v / find bt(xi (t-i; i/r-(~ v) ta.jpj -- (J ~ Cf, = 0 1l 3 ( J) : o-'t5 : - q 1- eft-1 - la /:_ )( -( = Y () :: ÚlJl:: ot ll) r/li~u (X) f (Gf) Fev) f:-;~ (v:v) lý) æ (v / find bt(i (t-i; i/r-(~ v) bj Ll, :: Qy -+ 4",)( + 3' r.) '.J ta.jpj -- (J ~ Cf, = l 3 ( J) : o-'t5 : - q - eft- F ~)ç2..'

Διαβάστε περισσότερα

Matematika I. NTF Načrtovanje tekstilij in oblačil Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2006/07

Matematika I. NTF Načrtovanje tekstilij in oblačil Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2006/07 Mtemtik I Mtjž Željko NTF Nčrtovnje tekstilij in oblčil Zpiski ob predvnjih v šolskem letu 006/07 Izpis: mrec 009 Kzlo Množice in števil 4 Množice 4 Reln števil 8 3 Podmnožice relnih števil 0 4 Kompleksn

Διαβάστε περισσότερα

Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση.

Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση. Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση. 3. Λίστα Παραμέτρων 3.. Λίστα Παραμέτρων Στην αρχική ρύθμιση, μόνο οι παράμετροι

Διαβάστε περισσότερα

Krogelni ventil MODUL

Krogelni ventil MODUL Krogelni ventil MODUL Izdaja 0115 KV 2102 (PN) KV 2102 (PN) KV 2122(PN1) KV 2122(PN1) KV 2142RA KV 2142MA (PN) KV 2142TR KV 2142TM (PN) KV 2162 (PN) KV 2162 (PN) Stran 1 Dimenzije DN PN [bar] PN1 [bar]

Διαβάστε περισσότερα

slika: 2D pravokotni k.s. v ravnini

slika: 2D pravokotni k.s. v ravnini Koordinatni sistemi Dejstvo je, da živimo v tridimenzionalnem Evklidskem prostoru. To je aksiom, ki ga ni potrebno dokazovati. Da bi podali geometrijski položaj točke v prostoru je primerno sredstvo za

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές της κβαντομηχανικής. Εφαρμογές της κβαντομηχανικής

Εφαρμογές της κβαντομηχανικής. Εφαρμογές της κβαντομηχανικής Εφαρμογές της κβαντομηχανικής ΠΙΑΣ Ελεύθερο σωματίδιο σε μια διάσταση Σωματίδιο κινούμενο ελεύθερα στον άξονα σε σταθερό δυναμικό ανεξάρτητο του : V ˆ( () V ξίσωση Schrödinger: d d H ˆ H ˆ ˆ() () () d

Διαβάστε περισσότερα

Đường tròn : cung dây tiếp tuyến (V1) Đường tròn cung dây tiếp tuyến. Giải.

Đường tròn : cung dây tiếp tuyến (V1) Đường tròn cung dây tiếp tuyến. Giải. Đường tròn cung dây tiếp tuyến BÀI 1 : Cho tam giác ABC. Đường tròn có đường kính BC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại E, D. BD và CE cắt nhau tại H. chứng minh : 1. AH vuông góc BC (tại F thuộc BC). 2. FA.FH

Διαβάστε περισσότερα

KOTNI FUNKCIJI SINUS IN COSINUS

KOTNI FUNKCIJI SINUS IN COSINUS Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko KOTNI FUNKCIJI SINUS IN COSINUS Seminarska naloga pri predmetu Komuniciranje v matematiki Avtor: Zalka Selak Mentor: prof. dr. Tomaţ Pisanski KAZALO:

Διαβάστε περισσότερα

Metode rješavanja izmjeničnih krugova

Metode rješavanja izmjeničnih krugova Strnic: V - u,i u(t) i(t) etode rešvn izmeničnih kruov uf(t) konst if(t)konst etod konturnih stru etod npon čvorov hevenin-ov teorem Norton-ov teorem illmn-ov teorem etod superpozicie t Strnic: V - zdtk

Διαβάστε περισσότερα

Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ,,,,,,,

Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ,,,,,,, Τηλ 36653-367784 - Fa: 36405 Tel 36653-367784 - Fa: 36405 Νοεμβρίου 04 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 3 74 3 3 Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: :8 9 9 37 4 Πρόβλημα Ένας έμπορος συλλεκτικών αντικειμένων αγόρασε δύο

Διαβάστε περισσότερα

DELO SILE,KINETIČNA IN POTENCIALNA ENERGIJA ZAKON O OHRANITVI ENERGIJE

DELO SILE,KINETIČNA IN POTENCIALNA ENERGIJA ZAKON O OHRANITVI ENERGIJE Seinarska naloga iz fizike DELO SILE,KINETIČNA IN POTENCIALNA ENERGIJA ZAKON O OHRANITVI ENERGIJE Maja Kretič VSEBINA SEMINARJA: - Delo sile - Kinetična energija - Potencialna energija - Zakon o ohraniti

Διαβάστε περισσότερα

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ % &# &%#'()(! $ * +

!#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))

Διαβάστε περισσότερα

Skripta za matematiko v 2. letniku srednjega poklicnega, srednjega strokovnega in poklicno tehniškega izobraževanja INTERNO GRADIVO

Skripta za matematiko v 2. letniku srednjega poklicnega, srednjega strokovnega in poklicno tehniškega izobraževanja INTERNO GRADIVO Srednja poklicna in strokovna šola Bežigrad - Ljubljana Ptujska ulica 6 1000 Ljubljana Slovenija Nikolaj Lipič in Mojca Rožič 1. naloga: Poimenujte geometrijske like in telesa: pravokotnik romb trikotnik

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΟΛΥΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΟΛΥΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΕΙΑΓΩΓΗ ΤΗΝ ΠΟΛΥΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Μέρος Α Μαθήατος «Πολυεταβλητή Ανάλυση» ΕΙΑΓΩΓΗ ε αρκετές εφαρογές πχ σε βιολογικές οικονοικές ή κοινωνικές επιστήες τα δεδοένα που συλλέγονται αφορούν περισσότερες

Διαβάστε περισσότερα

Odredjeni integral je granicna vrijednost sume beskonacnog broja clanova a svaki clan tezi k nuli i oznacava se sa : f x dx f x f x f x f x b a f

Odredjeni integral je granicna vrijednost sume beskonacnog broja clanova a svaki clan tezi k nuli i oznacava se sa : f x dx f x f x f x f x b a f Mte ijug: Rijeseni zdci iz vise mtemtike 8. ODREDJENI INTEGRALI 8. Opcenito o odredjenom integrlu Odredjeni integrl je grnicn vrijednost sume eskoncnog roj clnov svki cln tezi k nuli i ozncv se s : n n

Διαβάστε περισσότερα

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή και η ϕροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mathematica.gr.

Διαβάστε περισσότερα

! "# $ % $&'& () *+ (,-. / 0 1(,21(,*) (3 4 5 "$ 6, ::: ;"<$& = = 7 + > + 5 $?"# 46(A *( / A 6 ( 1,*1 B"',CD77E *+ *),*,*) F? $G'& 0/ (,.

! # $ % $&'& () *+ (,-. / 0 1(,21(,*) (3 4 5 $ 6, ::: ;<$& = = 7 + > + 5 $?# 46(A *( / A 6 ( 1,*1 B',CD77E *+ *),*,*) F? $G'& 0/ (,. ! " #$%&'()' *('+$,&'-. /0 1$23(/%/4. 1$)('%%'($( )/,)$5)/6%6 7$85,-9$(- /0 :/986-$, ;2'$(2$ 1'$-/-$)('')5( /&5&-/ 5(< =(4'($$,'(4 1$%$2/996('25-'/(& ;/0->5,$ 1'$-/%'')$(($/3?$%9'&-/?$( 5(< @6%-'9$

Διαβάστε περισσότερα

Ο Αλγόριθμος FP-Growth

Ο Αλγόριθμος FP-Growth Ο Αλγόριθμος FP-Growth Με λίγα λόγια: Ο αλγόριθμος χρησιμοποιεί μια συμπιεσμένη αναπαράσταση της βάσης των συναλλαγών με τη μορφή ενός FP-δέντρου Το δέντρο μοιάζει με προθεματικό δέντρο - prefix tree (trie)

Διαβάστε περισσότερα

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1 A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte

Διαβάστε περισσότερα

Univerza v Ljubljani FS & FKKT. Varnost v strojništvu

Univerza v Ljubljani FS & FKKT. Varnost v strojništvu Univerza v Ljubljani FS & FKKT Varnost v strojništvu doc.dr. Boris Jerman, univ.dipl.inž.str. Govorilne ure: med šolskim letom: srede med 9:00 in 11:30 pisarna: FS - 414 telefon: 01/4771-414 boris.jerman@fs.uni-lj.si,

Διαβάστε περισσότερα

x y 2 9. Udaljenost točke na osi y od pravca 4x+3y=12 jednaka je 4. Koja je to točka?

x y 2 9. Udaljenost točke na osi y od pravca 4x+3y=12 jednaka je 4. Koja je to točka? MATEMATIKA Zdci s držvne mture viš rzin Brojevi i lgebr Funkcije Jedndžbe i nejedndžbe Geometrij Trigonometrij LINEARNA FUNKCIJA 1. Uz koji uvjet jedndžb A+By+C=0 predstvlj prvc?. Koje je znčenje broj

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφορίες Συστήματος

Πληροφορίες Συστήματος Construction Φύλλο Ιδιοτήτων Προϊόντος Έκδοση 24/7/2014 (v2) Κωδικός: 03.02.060 Αριθμός Ταυτοποίησης: 010701010020000043 Sikalastic -152 EN 1504-2:2004 EN 14891:2012/AC:2012 13 0546 01599 Sikalastic -152

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

!"!# ""$ %%"" %$" &" %" "!'! " #$!

!!# $ %% %$ & % !'!  #$! " "" %%"" %" &" %" " " " % ((((( ((( ((((( " %%%% & ) * ((( "* ( + ) (((( (, (() (((((* ( - )((((( )((((((& + )(((((((((( +. ) ) /(((( +( ),(, ((((((( +, 0 )/ (((((+ ++, ((((() & "( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%(

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ [TΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ] (Μονάδες 13) β) Να δείξετε ότι τα διανύσματα ΔΕ και BΓ είναι παράλληλα.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ [TΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ] (Μονάδες 13) β) Να δείξετε ότι τα διανύσματα ΔΕ και BΓ είναι παράλληλα. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Ο 863 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε: AΔ=AB+5AΓ και AΕ =5AB+AΓ α) Να γράψετε το διάνυσμα ΔΕ ως γραμμικό συνδυασμό των AB και AΓ ) Να δείξετε ότι τα διανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις στα ϑέµατα

Παρατηρήσεις στα ϑέµατα Παρατηρήσεις στα ϑέµατα του διαγωνισµού ΘΑΛΗΣ 2013 της Ε.Μ.Ε. Λυγάτσικας Ζήνων Πρότυπο Πειραµατικό Γ.Ε.Λ. Βαρβακείου Σχολής 20 Οκτωβρίου 2013 1 Γενικές Παρατηρήσεις Οι απόψεις των παιδιών Τα ϑέµατα, ιδίως

Διαβάστε περισσότερα

Sarò signor io sol. α α. œ œ. œ œ œ œ µ œ œ. > Bass 2. Domenico Micheli. Canzon, ottava stanza. Soprano 1. Soprano 2. Alto 1

Sarò signor io sol. α α. œ œ. œ œ œ œ µ œ œ. > Bass 2. Domenico Micheli. Canzon, ottava stanza. Soprano 1. Soprano 2. Alto 1 Sarò signor io sol Canzon, ottava stanza Domenico Micheli Soprano Soprano 2 Alto Alto 2 Α Α Sa rò si gnor io sol del mio pen sie io sol Sa rò si gnor io sol del mio pen sie io µ Tenor Α Tenor 2 Α Sa rò

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVNA ŠOLA ZBORA ODPOSLANCEV Trg zbora odposlancev 28, 1330 Kočevje Tel.: Fax:

OSNOVNA ŠOLA ZBORA ODPOSLANCEV Trg zbora odposlancev 28, 1330 Kočevje Tel.: Fax: OSNOVNA ŠOLA ZBORA ODPOSLANCEV Trg zbora odposlancev 28, 1330 Kočevje Tel.: 01 895 17 94 Fax: 01 893 13 48 e-mail: os.zbodp@guest.arnes.si MATEMATIKA Letna priprava za 9. razred devetletke Šolsko leto:

Διαβάστε περισσότερα

www.absolualarme.com met la disposition du public, via www.docalarme.com, de la documentation technique dont les rιfιrences, marques et logos, sont

www.absolualarme.com met la disposition du public, via www.docalarme.com, de la documentation technique dont les rιfιrences, marques et logos, sont w. ww lua so ab me lar m.co t me la sit po dis ion du c, bli pu via lar ca do w. ww me.co m, de la ion nta t do cu me on t ed hn iqu tec les en ce s, rι fιr ma rq ue se t lo go s, so nt la pr op riι tι

Διαβάστε περισσότερα

Προϋπολογισμός Μελέτης

Προϋπολογισμός Μελέτης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΑΝΑΤΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ & ΘΡΑΚΗΣ Περιφερειακή Ενότητα Δράμας ΟΤΑ : Δήμος Κάτω Νευροκοπίου ΥΠΟΕΡΓΟ 1: ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ: ΠΡΟΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ: Ανάπλαση οδών-πεζοδρομίων & ηλεκτροφωτισμού περιμετρικά

Διαβάστε περισσότερα

Emilija Krempuš. Osnovne planimetrijske konstrukcije. Priročnik

Emilija Krempuš. Osnovne planimetrijske konstrukcije. Priročnik Emilija Krempuš Osnovne planimetrijske konstrukcije Priročnik 2 OSNOVNE PLANIMETRIJSKE KONSTRUKCIJE Osnovne planimetrijske konstrukcije Priročnik Priročnik Osnovne planimetrijske konstrukcije je nastal

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Συσχέτισης IΙ

Ανάλυση Συσχέτισης IΙ Ανάλυση Συσχέτισης IΙ Οι διαφάνειες στηρίζονται στο P.-N. Tan, M.Steinbach, V. Kumar, «Introduction to Data Mining», Addison Wesley, 2006 ΟΑλγόριθμοςFP-Growth Εξόρυξη Δεδομένων: Ακ. Έτος 2010-2011 ΚΑΝΟΝΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mthemtic.gr. Η επιλογή και η φροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mthemtic.gr. Μετατροπές

Διαβάστε περισσότερα

È http://en.wikipedia.org/wiki/icosidodecahedron

È http://en.wikipedia.org/wiki/icosidodecahedron À Ô ÐÓ ÖÓÒØ ØÓÙÔ Ö ÕÓÑ ÒÓÙ Ò Ø Ô ØÓÙ Ô Ñ Ð Ø ØÓÙhttp://www.mathematica.grº Å Ø ØÖÓÔ LATEX ÛØ Ò Ã Ð Ò Ø ÃÓØÖôÒ Ä ÙØ Ö ÈÖÛØÓÔ Ô Õ ÐÐ ËÙÒ ÔÓÙÓ ËÕ Ñ Ø Å Õ Ð Æ ÒÒÓ ÉÖ ØÓÌ Ë Ð ¹ ÅÔÓÖ Ò Ò Ô Ö Õ Ò Ò Ñ Ð Ö º ÌÓß

Διαβάστε περισσότερα

Analiza I. Josip Globevnik Miha Brojan

Analiza I. Josip Globevnik Miha Brojan Anliz I Josip Globevnik Mih Brojn 27. pril 2012 2 Predgovor Pred vmi je prv verzij skript z predmet Anliz 1, nmenjenih študentom univerzitetneg študij mtemtike n Univerzi v Ljubljni. Upv, d bodo skript

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

ΚEΦΑΛΑΙΟ 1. Πίνακες. Από τα παραπάνω γίνεται αντιληπτό ότι κάθε γραµµή και στήλη ενός πίνακα A ορίζει µονοσήµαντα τη θέση κάθε στοιχείου A

ΚEΦΑΛΑΙΟ 1. Πίνακες. Από τα παραπάνω γίνεται αντιληπτό ότι κάθε γραµµή και στήλη ενός πίνακα A ορίζει µονοσήµαντα τη θέση κάθε στοιχείου A ΚEΦΑΛΑΙΟ Πίνακες Εστω και είναι το σώµα των πραγµατικών και των µιγαδικών αριθµών αντιστοίχως Στο εξής όταν γράφουµε F θα εννοούµε είτε το είτε το Ορισµός Eστω F = ή και m, Κάθε ορθογώνια διάταξη m A F

Διαβάστε περισσότερα

FKKT Matematika 2. shxdx = chx+c. chxdx = shx+c. tanxdx = ln cosx +C. cotxdx = ln sinx +C. sin 2 x = cotx+c. cos 2 x = tanx+c. = 1 2 2a ln a+x a x

FKKT Matematika 2. shxdx = chx+c. chxdx = shx+c. tanxdx = ln cosx +C. cotxdx = ln sinx +C. sin 2 x = cotx+c. cos 2 x = tanx+c. = 1 2 2a ln a+x a x FKKT Mtemtik Integrlni rčun Nedoločeni integrl Definicij. Nj bo dn funkcij f : D R R. Funkcij F, z ktero v vski točki iz x D velj F (x) = f(x) se imenuje nedoločeni integrl funkcije f. f(x). Izrek. Če

Διαβάστε περισσότερα

4. HIDROMEHANIKA trdno, kapljevinsko in plinsko tekočine Hidrostatika Tlak v mirujočih tekočinah - pascal

4. HIDROMEHANIKA trdno, kapljevinsko in plinsko tekočine Hidrostatika Tlak v mirujočih tekočinah - pascal 4. HIDROMEHANIKA V grobem ločimo tri glana agregatna stanja snoi: trdno, kapljeinsko in plinsko. V trdni snoi so atomi blizu drug drugemu in trdno poezani med seboj ter ne spreminjajo sojega relatinega

Διαβάστε περισσότερα

ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla.

ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla. Mnogougo oji im četii stnice nziv se četvoougo. ČETVOROUGAO D δ δ γ C A α β B β Z svi četvoougo vži im je zi unutšnji i spoljšnji uglov isti i iznosi 0 0 α β γ δ 0 0 α β γ δ 0 0 Njpe žemo četvoouglovi

Διαβάστε περισσότερα

Pro. lnnoven~ >>Φιλικοί προς το περιβάλλον. Επιτοίχιοι λέβητες συμπύκνωσης αερίου για κεντρική θέρμανση ----PROJE=CT --- <<www.klimatika.

Pro. lnnoven~ >>Φιλικοί προς το περιβάλλον. Επιτοίχιοι λέβητες συμπύκνωσης αερίου για κεντρική θέρμανση ----PROJE=CT --- <<www.klimatika. ΗΛΙΟΘΕΡΜΙΑ ΠΕΡΕΑ ΚΑΥΣΙΜΑ ΑΝΤΛΙΕΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ ΠΕτΡΕΛΑΙΟΥ/ΑΕΡΙΟΥ lnnoven~ Pro ----PROJE=CT --- D 11 11111 11111 1111111 111 111111 1111 1111111 11111 111111 11111 111 DO Επιτοίχιοι λέβητες συμπύκνωσης

Διαβάστε περισσότερα

PLANOCOLOR PREMIUM 2K

PLANOCOLOR PREMIUM 2K PLANOCOLOR PREMIUM 2K Τσιμεντοειδές σύστημα δύο συστατικών για δημιουργία πατητής τσιμεντοκονίας υψηλής αισθητικής και αντοχής με ιδιαίτερα λεία υφή Ιδιαίτερα λεία υφή χωρίς τρίψιμο Κατάλληλο για εσωτερικούς

Διαβάστε περισσότερα

S53WW. Meritve anten. RIS 2005 Novo Mesto

S53WW. Meritve anten. RIS 2005 Novo Mesto S53WW Meritve anten RIS 2005 Novo Mesto 15.01.2005 Parametri, s katerimi opišemo anteno: Smernost (D, directivity) Dobitek (G, gain) izkoristek (η=g/d, efficiency) Smerni (sevalni) diagram (radiation pattern)

Διαβάστε περισσότερα

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1 Σύνοψη Κεφαλαίου 6: Υπερβολική Γεωμετρία Υπερβολική γεωμετρία: το μοντέλο του δίσκου 1. Στο μοντέλο του Poincaré της υπερβολικής γεωμετρίας, υπερβολικά σημεία είναι τα σημεία του μοναδιαίου δίσκου, D =

Διαβάστε περισσότερα

SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK

SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi

Διαβάστε περισσότερα

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine

Διαβάστε περισσότερα

Αποθήκες Δεδομένων και Εξόρυξη Δεδομένων:

Αποθήκες Δεδομένων και Εξόρυξη Δεδομένων: Αποθήκες Δεδομένων και Εξόρυξη Δεδομένων: Κανόνες Συσχέτισης: FP-Growth Ευχαριστίες Xρησιμοποιήθηκε επιπλέον υλικό από τα βιβλία «Εισαγωγή στην Εξόρυξη και τις Αποθήκες Δεδομένων» «Introduction to Data

Διαβάστε περισσότερα

2-συστατικών θιξοτροπικό εποξειδικό συγκολλητικό

2-συστατικών θιξοτροπικό εποξειδικό συγκολλητικό Construction Φύλλο Ιδιοτήτων Προϊόντος Έκδοση 04/02/2014 (v1) Κωδικός: 10.01.010 Αριθμός Ταυτοποίησης: 010204030010000144 EN 1504-4:2004 13 0099 2-συστατικών θιξοτροπικό εποξειδικό συγκολλητικό Περιγραφή

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Αποθήκες Δεδομένων και Εξόρυξη Δεδομένων:

Αποθήκες Δεδομένων και Εξόρυξη Δεδομένων: Αποθήκες Δεδομένων και Εξόρυξη Δεδομένων: Κανόνες Συσχέτισης: Μέρος Β http://delab.csd.auth.gr/~gounaris/courses/dwdm/ gounaris/courses/dwdm/ Ευχαριστίες Οι διαφάνειες του μαθήματος σε γενικές γραμμές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΒ ΟΜΗ ΒΑΛΚΑΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑ Α JBMO ( ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ ΚΑΤΩ ΤΩΝ 15,5 ΕΤΩΝ ) - ΣΜΥΡΝΗ

ΕΒ ΟΜΗ ΒΑΛΚΑΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑ Α JBMO ( ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ ΚΑΤΩ ΤΩΝ 15,5 ΕΤΩΝ ) - ΣΜΥΡΝΗ ΕΟΜΗ ΛΚΝΙΚΗ ΜΘΗΜΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙ JBMO ( Ι ΜΘΗΤΕΣ ΚΤΩ ΤΩΝ 15,5 ΕΤΩΝ ) - ΣΜΥΡΝΗ Ιούνιος 003 Επιµέλεια: Ευθύβουλος Λιασίδης νδρέας Σαββίδης Να λυθούν όλα τα προβλήµατα Χρόνος: 4 ½ Ώρες Πρόβληµα 1. Ένας n θετικός

Διαβάστε περισσότερα

())*+,-./0-1+*)*2, *67()(,01-+4(-8 9 0:,*2./0 30 ;+-7 3* *),+*< 7+)0 3* (=24(-) 04(-() 18(4-3-) 3-2(>*+)(3-3*

())*+,-./0-1+*)*2, *67()(,01-+4(-8 9 0:,*2./0 30 ;+-7 3* *),+*< 7+)0 3* (=24(-) 04(-() 18(4-3-) 3-2(>*+)(3-3* ! " # $ $ %&&' % $ $! " # ())*+,-./0-1+*)*2,-3-4050+*67()(,01-+4(-8 9 0:,*2./0 30 ;+-7 3* *),+*< 7+)0 3* *),+-30 *5 35(2(),+-./0 30 *,0+ 3* (=24(-) 04(-() 18(4-3-) 3-2(>*+)(3-3* *3*+-830-+-2?< +(*2,-30+

Διαβάστε περισσότερα

Specijalna vrsta nepravih integrala jesu oni koji sadrze potencije ili geometrijski red u podintegralnoj funkciji.

Specijalna vrsta nepravih integrala jesu oni koji sadrze potencije ili geometrijski red u podintegralnoj funkciji. Mt Vijug: Rijsni zdci iz vis mtmti 9. NEPRAVI INTEGRALI 9. Opcnito o nprvim intgrlim Intgrl oli f d s nziv nprviln o: ) jdn ili oj grnic intgrcij nisu oncn vc soncn:, ) pod intgrln funcij f j prinut u

Διαβάστε περισσότερα

TEMELJI KLASIČNE FIZIKE Bonus naloge 1-12

TEMELJI KLASIČNE FIZIKE Bonus naloge 1-12 TEMELJI KLASIČNE FIZIKE Bonus naloge 1-12 Program: STROJNIŠTVO UN-B + GING UN-B Štud. leto 2008/09 Datum razpisa: 21.11.2008 Rok za oddajo: 19.12.2008 1. naloga Graf v = v(t) prikazuje spreminjanje hitrosti

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog

Διαβάστε περισσότερα

Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence MRI in Multiple Sclerosis

Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence MRI in Multiple Sclerosis Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence MRI in Multiple Sclerosis Daniel García-Lorenzo To cite this version: Daniel García-Lorenzo. Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence

Διαβάστε περισσότερα

Nacionalni centar za vanjsko vrednovanje obrazovanja MATEMATIKA

Nacionalni centar za vanjsko vrednovanje obrazovanja MATEMATIKA Ncioli cetr z vjsko vredovje orzovj MATEMATIKA viš rzi KNJIŽICA FORMULA VIŠA VIŠA RAZINA RAZINA Kopleks roj: i i Mtetik Kopleks roj: Kopleks roj: i z i i z i i z R Kjižic forul VIŠA (cos RAZINA si Kopleks

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2. 3 upisana je kocka. Nađite brid kocke.

( ) 2. 3 upisana je kocka. Nađite brid kocke. Zdtk 00 (Tomislv, tehničk škol) Kugli polumje upisn je kok. Nđite id koke. Rješenje 00 ko je kugli upisn kok, ond je pomje kugle jednk postonoj dijgonli koke: =. Poston dijgonl koke čun se fomulom: D =.

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΑΛΛΙΕΡΓΕΙΑ ΤΗΣ ΤΟΜΑΤΑΣ ΣΤΟ ΘΕΡΜΟΚΗΠΙΟ

Η ΚΑΛΛΙΕΡΓΕΙΑ ΤΗΣ ΤΟΜΑΤΑΣ ΣΤΟ ΘΕΡΜΟΚΗΠΙΟ Η ΚΑΛΛΙΕΡΓΕΙΑ ΤΗΣ ΤΟΜΑΤΑΣ ΣΤΟ ΘΕΡΜΟΚΗΠΙΟ ΤΟΜΑΤΑ-ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ετήσιο λαχανικό πολύ δημοφιλές Τρίτη θέση σε διεθνή κλίμακα μετά από πατάτα και γλυκοπατάτα Δεύτερη θέση στην Ελλάδα μετά από πατάτα Ο καρπός καταναλώνεται

Διαβάστε περισσότερα

Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA

Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA. Naj bo vektorsko polje R : R 3 R 3 dano s predpisom R(x, y, z) = (2x 2 + z 2, xy + 2yz, z). Izračunaj pretok polja R skozi površino torusa

Διαβάστε περισσότερα

ĐỀ SỐ 1. ĐỀ SỐ 2 Bài 1 : (3 điểm) Thu gọn các biểu thức sau : Trần Thanh Phong ĐỀ THI HỌC KÌ 1 MÔN TOÁN LỚP O a a 2a

ĐỀ SỐ 1. ĐỀ SỐ 2 Bài 1 : (3 điểm) Thu gọn các biểu thức sau : Trần Thanh Phong ĐỀ THI HỌC KÌ 1 MÔN TOÁN LỚP O a a 2a Trần Thanh Phong 0908 456 ĐỀ THI HỌC KÌ MÔN TOÁN LỚP 9 ----0O0----- Bài :Thưc hiên phép tính (,5 đ) a) 75 08 b) 8 4 5 6 ĐỀ SỐ 5 c) 5 Bài : (,5 đ) a a a A = a a a : (a > 0 và a ) a a a a a) Rút gọn A b)

Διαβάστε περισσότερα

Izbrana poglavja iz matematike

Izbrana poglavja iz matematike Izbrn poglvj iz mtemtike BF Biologij Mtjž Željko Zpiski ob predvnjih v šolskem letu 009/00 Izpis: 9 jnur 00 KAZALO Kzlo Števil 5 Nrvn števil 5 Cel števil 6 3 Rcionln števil 6 4 Reln števil 7 5 Urejenost

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

! " #$% & '()()*+.,/0.

!  #$% & '()()*+.,/0. ! " #$% & '()()*+,),--+.,/0. 1!!" "!! 21 # " $%!%!! &'($ ) "! % " % *! 3 %,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,0 %%4,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,5

Διαβάστε περισσότερα