VPRAŠANJA IN ODGOVORI ZA USTNI DEL POKLICNE MATURE... 4 NARAVNA IN CELA ŠTEVILA... 4

Transcript

1 Lesrsk šol Mrior Aktiv mtemtikov VPRAŠANJA IN ODGOVORI ZA USTNI DEL POKLICNE MATURE... 4 NARAVNA IN CELA ŠTEVILA Defiirjte pojm prštevil i sestvljeeg števil ter vedite kriterije deljivosti z, 3, 4, 5, 6, 8 i Defiirjte jvečji skupi delitelj i jmjši skupi večkrtik dveh celih števil. Kdj st števili tuji? Nštej lstosti osovih rčuskih opercij v IN Rzstvi izrze: 3 3, i + c N primeru rzloži postopek rzstvljj tričleik Nštej prvil z rčuje s potecmi, ki imjo rve ekspoete. Kj pomei zpis?... 6 RACIONALNA IN REALNA ŠTEVILA Nštej rčuske opercije v R. Kko rčumo z eekostmi? (Rzloži primeru.) Kj je ulomek? Kdj st ulomk ek? Zpiši sproto i orto vredost ulomk N primerih i : pokži, kko rčumo z lgerskimi ulomki Kko rciolo število zpišemo v decimli oliki? Kdj je t zpis koče? Kj je rciolizcij imeovlc? Defiirj poteco s celim egtivim ekspoetom i štej prvil z rčuje s potecmi s celimi ekspoeti N primeru rzloži, kko rčumo z rciolimi števili Q Uredi po velikosti rciol števil:,,,, Kj je procet i kj promil? Koliko doiš, če povečš število z 5% Opišite lstosti rčuskih opercij v Q LINEARNA FUNKCIJA, ENAČBA IN NEENAČBA Kko rešujemo liero ečo ( + = 0 )? Kj je ičl liere fukcije i kko jo izrčumo?. 8. Defiirjte liero fukcijo. Kj je je grf? Kko je grf liere fukcije odvise od smereg koeficiet i zčete vredosti? Kkš st grf dveh lierih fukcij z ekim smerim koeficietom? Zpiši ečo premice, ki potek skozi točki A (, y ) i B(, y ).... Opiši čie reševj sistemov dveh eč z dvem ezkm. Ali je sistem vedo rešljiv? Kko izrčumo presečišče dveh premic? Kko rešujemo liere eeče z eo ezko? Kj so možice rešitev?... 4 GEOMETRIJA V RAVNINI Opiši prvokoti koorditi sistem v rvii i zpiši formulo po kteri izrčumo rzdljo med dvem točkm Defiirj rzdljo med dvem točkm Defiirjte središči i oodi kot v krogu. V kkši zvezi st, če ležit d istim lokom? Kj veš o kotu v polkrogu?... 6 Kolikše je oodi kot, če je središči kot 80 o? Defiirj deltoid. Kkše so lstosti deltoid (digoli)? Kko izrčumo ploščio deltoid? Defiirj prlelogrm. Kkše so lstosti prlelogrm (strice, koti, digoli)? Nštej posee primere. Kko izrčumo ploščio prlelogrm? Defiirj pojem kot i pojsi izrze : krk, vrh, ičeli, prvi, iztegjei i poli kot Nštej eote z merjeje kotov? Defiirjte pojm otrjeg i zujeg kot trikotik. Povej zveze med otrjimi i zujimi koti trikotik Defiirj pojme (v trikotiku): viši, simetrl strice, simetrl kot i težiščic. Nvedite ekj zmeitih točk trikotik Defiirjte trpez i ekokrki trpez ter štejte jue lstosti. Kj je sredjic trpez? Kko izrčumo ploščio trpez?

2 Lesrsk šol Mrior Aktiv mtemtikov 3. Kko trikotiku očrtmo i včrtmo krog? Opiši lstosti ekokrkeg trikotik Povejte izreke o skldosti trikotikov Kdj st dv trikotik podo? V kkši medseoji legi st lhko premic i krožic? Kj je tget krožico? Kko kostruirmo tgeto krožico v di točki krožice?... 5 PLOŠČINE Nvedi siusi izrek. Kdj g uporljmo? Nvedite kosiusi izrek. Kdj g uporljmo? Nvedite kosiusi izrek i iz jeg izpelji Pitgorov izrek. Kdj ju uporljmo? Izpeljite formule z ploščio prvokoteg, ekostričeg i poljueg trikotik Izpeljite formule z ploščio prlelogrm i deltoid RAČUNANJE S POTENCAMI IN KORENI Nštej prvil z rčuje s korei Defiirj poteco s pozitivo osovo i rciolim ekspoetom i povej prvil z rčuje s tkimi potecmi REALNA FUNKCIJA REALNE SPREMENLJIVKE, POTENČNE FUNKCIJE Kdj je rel fukcij rele spremeljivke rščjoč, pdjoč, omeje, eomeje (lhko rzložite primerih Kj je defiicijsko omočje i kj zlog vredosti fukcije? Defiirj potečo fukcijo z rvim (sodim, lihim) ekspoetom. Nriši grf z =,3 i vedi jue osove lstosti Defiirj potečo fukcijo s celim egtivim (sodim, lihim) ekspoetom. Nriši grf z = -,-3 i vedi jue osove lstosti KVADRATNA FUNKCIJA, ENAČBA IN NEENAČBA Opiši grf kvdrte fukcije? Kko vpliv vodili koeficiet oliko grf? Kj je kvdrt fukcij? Kj je teme i kj ičl kvdrte fukcije? Nštej tri jpogostejšo olike z ečo kvdrte fukcije i opiši pome prmetrov. Kj je teme kvdrte fukcije? Kko rešujemo kvdrte eeče? Kj je možic rešitev? Pomgjte si s sliko Opiši odvisost grf kvdrte fukcije glede diskrimito fukcije. Opišite pome prosteg čle Zpiši kvdrto ečo. Kko jo rešimo (zpiši formulo)? Kko lhko določimo presečišč kvdrtih prol? EKSPONENTNA IN LOGARITEMSKA FUNKCIJA IN ENAČBA Zpišite fukcijski predpis z ekspoeto fukcijo, rišite je grf i povejte jee osove lstosti V istem koorditem sistemu rišit grfe ekspoetih fukcij z rzličimi osovmi (0<<, >). Kj imjo vsi grfi skupeg i v čem se rzlikujejo? Kko rešujemo logritemske eče? ( primerih) Defiirjte logritemsko fukcijo z osovo > i rišite je grf. Določite jeo defiicijsko omočje i štejte vse jee lstosti Kko rešujemo ekspoete eče? ( primerih) Nštejte prvil z rčuje z logritmi POLINOMI IN RACIONALNE FUNKCIJE Defiirjte rciolo fukcijo. Kj je ičl i kj pol rciole fukcije? Kko se oš grf rciole fukcije dleč od izhodišč? Kko se grf rciole fukcije oš v ližii pol? Kj je ičl poliom? Kdj je ičl druge stopje? Opiši Horerjev lgoritem i pojsi jegovo uporost Kj je ičl poliom (eostv, večkrt)? Koliko ičel im poliom - te stopje? Kko zpišemo poliom, če pozmo vse jegove ičle? Opiši postopek deljej poliom z lierim poliomom. Opiši Horerjev lgoritem i pojsi jegovo uporost Rzložite postopek risj grf poliom. Kko vodili čle i prosti čle vplivt potek grf poliom? Defiirj rciolo fukcijo Opiši postopek risj grfov rciolih fukcij.... 4

3 Lesrsk šol Mrior Aktiv mtemtikov 69. Kj je ičl rele fukcije rele spremeljivke? Opišite ošje grf poliom i rciole fukcije v okolici ičel Defiirjte poliom ter opišite osove rčuske opercije s poliomi (seštevje i možeje). Kdj st dv poliom ek? Kko poiščemo cele i rciole ičle poliom s celimi li rciolimi koeficieti? Nštejte osove prijeme z risje grfov fukcij Kj je ičl rele fukcije rele spremeljivke? Opišite ošje grf poliom i rciole fukcije v okolici ičel Defiirjte poliom ter opišite osove rčuske opercije s poliomi (seštevje i možeje). Kdj st dv poliom ek KOTNE FUNKCIJE - TRIGONOMETRIJA Defiirj kote fukcije eotski krožici Defiirj kote fukcije v prvokotem trikotiku Defiirjte fukcijo si z poljue kot, rišite je grf i povejte jee lstosti (miimum, mksimum, ičle, period, zlog fukcijskih vredosti ) Defiirjte fukcijo cos z poljue kot, rišite je grf i povejte jee lstosti (miimum, mksimum, ičle, period, zlog fukcijskih vredosti ) Defiirjte fukcijo f ( ) = tg z poljue kot, rišite je grf i povejte jee lstosti Defiirj kot med premicm. Kko g izrčumo? Kj je kloski kot premice? Kj velj z smer koeficiet vzporedih (prvokotih) premic? Kko vplivt prmetr A i ω oliko grf fukcij f ) Asi( ω) 83. Kko vplivt prmetr A i ω oliko grf fukcij f ) Acos( ω) ( = ( = Zpiši osove zveze med kotimi fukcijmi isteg kot POVRŠINE IN PROSTORNINE Opišite vlj.. Kj veste o osem preseku vlj? Kko izrčumo površio i prostorio vlj? Opišite prizmo i vedite formuli z prostorio prizme i površio pokoče prizme. Kkše tipe prizem pozte? Opišite pokočo pirmido. Kko izrčumo površio i prostorio pirmide? Opiši pokoči stožec. Kj je plšč stožc i kko izgled, če g rzgremo v rvio? Kko izrčumo površio i prostorio stožc? ZAPOREDJA Kdj je zporedje ritmetičo? Zpišite sploši čle i orzec z vsoto prvih čleov. Kj je ritmetič sredi dveh števil? Kdj je zporedje geometrijsko? Zpišite sploši čle i vsoto prvih čleov. Kj je geometrijsk sredi dveh pozitivih števil? Kj je zporedje? Kdj ršč (pd), kdj je omejeo?... 5 OBRESTNO OBRESTNI RAČUN Kko izrčumo vredost glvice G po letih, če je orestovje vdo, pripis oresti lete i orest mer p? N kolikšo vredost rste SIT v sedmih letih, če je orestovje vdo, pripis oresti lete i orest mer 4% Kko izrčumo vredost glvice G po letih, če je orestovje oresto, pripis oresti lete i orest mer p? N kolikšo vredost rste SIT v sedmih letih, če je orestovje oresto, pripis oresti lete i orest mer 4% Kj je mortizcijski črt i kj uitet? STATISTIKA Kko zoro predstvljmo sttističe podtke? Kj je histogrm, kj frekveči poligo i kj frekveči kolč? Opišite osove sttističe pojme: populcij, vzorec, sttistič eot, sttistič spremeljivk i vredost spremeljivke Opiši mere sredje vredosti (ritmetič sredi, modus, medi) Opiši mere rzpršeosti (vricijski rzmik, vric, stdrdi odklo) Kj pomeijo pojmi vredost spremeljivke, solut i reltiv frekvec, kumultiv frekvec

4 Lesrsk šol Mrior Aktiv mtemtikov VPRAŠANJA IN ODGOVORI ZA USTNI DEL POKLICNE MATURE NARAVNA IN CELA ŠTEVILA. Defiirjte pojm prštevil i sestvljeeg števil ter vedite kriterije deljivosti z, 3, 4, 5, 6, 8 i 9. Prštevil so tist rv števil, ki imjo tko dv rzlič delitelj: število i smeg see. Njmjše prštevilo je število. ( je edio sodo prštevilo.) Prštevil je eskočo mogo. Sestvlje števil so števil, ki imjo več kot dv delitelj. Lhko jih zpišemo kot produkt smih prštevil. Temu zpisu prvimo»rzcep prfktorje«. Npr. 60 = 3 5= 3 5 Število i e prštevilo e sestvljeo število. Kriteriji deljivosti ) Število je deljivo z, če je eic števil deljiv z. ) Število je deljivo s 3, če je vsot števk števil deljiv s 3. c) Število je deljivo s 4, če je dvomesti koec deljiv s 4. d) Število je deljivo s 5, če je eic števil 0 li 5. e) Število je deljivo s 6, če je deljivo z i hkrti s 3. f) Število je deljivo z 8, če je trimesti koec deljiv z 8 g) Število je deljivo z 9, če je vsot števk števil deljiv z 9. h) Število je deljivo z 0, če je eic števil ek 0. i) Število je deljivo s 5, če je dvomesti koec deljiv s 5. S kterimi od vedeih števil je deljivo število 345 i s kterimi število 3456?. Defiirjte jvečji skupi delitelj i jmjši skupi večkrtik dveh celih števil. Kdj st števili tuji? Njvečji skupi delitelj števil i je jvečje število med tistimi, ki hkrti delijo i. Ozčimo g D(,). D(,) = c, c i c (preeremo: c deli i c deli ) Njmjši skupi večkrtik števil i je jmjše število med tistimi, ki je hkrti deljivo z i. Ozčimo g z v(,) v(,) = c, c i c Večkrtik oz. delitelj izrčumo tko, d oe števili ( i ) rzstvimo prfktorje. Njvečji skupi delitelj doimo tko, d zmožimo vse eke prfktorje oeh števil, pri jmjših vredostih ekspoetov. Npr.: D(8,60) 8 = 3 3, 60 = 3 5 ek prfktorj st i 3 D(8,30) = 3 = 6 Njmjši skupi večkrtik doimo tko, d zmožimo vse rzliče prfktorje oeh števil, pri jvečjih vredostih ekspoetov. 4

5 Lesrsk šol Mrior Aktiv mtemtikov Npr.: v(8,60) 8 = 3 3, 60 = 3 5 prfktorj, ki st v drugem številu i v prvem e stopt, st (drug potec) i 5 v(8,30) = = 80 Tuji števili: Števili st tuji, če je ju edii skupi delitelj število. Prvilo: D(, ) v(, ) = Izrčuj jvečji skupi delitelj i jmjši skupi večkrtik števil 40 i Nštej lstosti osovih rčuskih opercij v IN. - Rčuske opercije v možici rvih števil so: -seštevje: člei, vsot -možeje:fktorji, produkt - Rčuski zkoi = lstosti, ki veljjo z osove rčuske opercije: -komuttivost seštevj; + = + -komuttivost možej: = -socitivost seštevj; ( + ) + c = + ( + c) -socitivost možej; ( ) c = ( c) -distriutivost; ( + c) = + c (Če distriutivosti zko uporljmo v orti smeri govorimo o izpostvljju skupeg fktorj). Izrčuj dv či vredosti izrzov , i Rzstvi izrze:, 3 3 i c +. ( )( ) = + ( )( ) 3 3 = c = + c ( ) Rzstvi izrze: 9, 3 8 i 3 6c. 5. N primeru rzloži postopek rzstvljj tričleik. ( 3) ( ) =, Poiskti mormo tki dve števili (-3, -), d o ju produkt ek prostemu čleu (+6), ju vsot p o ek koeficietu liereg čle (-5). Rzstvi izrze , 3 0,

6 Lesrsk šol Mrior 0 = 0 0 Aktiv mtemtikov 6. Nštej prvil z rčuje s potecmi, ki imjo rve ekspoete. Kj pomei 3 zpis? m + m = i defiiro Zpis 3 pomei = ( ) : = m m : = ( ) ( ) = m m Poeostvi izrze 3, ( ) 3. i ( ) RACIONALNA IN REALNA ŠTEVILA 7. Nštej rčuske opercije v R. Kko rčumo z eekostmi? (Rzloži primeru.) Rel števil lhko seštevmo i odštevmo, možimo, potecirmo i delimo. (Ne moremo p jih koreit-korei egtivih števil v možici relih števil e ostjjo. ) Številsk možic je ureje, če lhko po velikosti primerjmo je polju dv elemet. Možic relih števil je urejei z relcijo»je mjši od«vemo, d je < < 0 i > > 0 Lstosti, ki veljjo z relcijo urejeosti»je mjši od«: A) če je < i c Z, potem je tudi + c < + c. (Številski primeri) B) če je < i < c, potem je tudi < c -Trzitivost C) če je < i c > 0, potem je tudi c < c D) če je < i c < 0, potem se eečj ore c > c (Če eečo možimo li delimo z egtivim številom, se eečj ore) Rešite eečo + 8 < + 5 Zpiši vsj eo število, ki leži med 0, i 0,. 6

7 Lesrsk šol Mrior Aktiv mtemtikov 8. Kj je ulomek? Kdj st ulomk ek? Zpiši sproto i orto vredost ulomk. Ulomek je zpis olike, pričemer st i celi števili ( i 0) i je D(, ) =. ( = : ) Število, ki je d ulomkovo črto, imeujemo števec, število p imeovlec ulomk 4 Vs cel števil lhko zpišemo kot ulomke z imeovlcem e. =,4 =... c ekost: = d = c d c eekost: < d < c (v primeru d števil,,c i d iso vs pozitiv, je eekost d odvis od predzk števil - glej reševje eeč) 3 Kdj ulomek i defiir? Ko je imeovlec ek 0. ( 5,, Kdj je vredost ulomk ek 0? Ko je števec ek 0. (, Nsprot vredost števil je število., ) 0 0,, ) 3 5 Če je večji od d c, potem z jui sproti vredosti velj rvo sproto, c. d je mjš od Ort vredost je število. Orte vredosti ulomk i mogoče določiti, če je števec deg ulomk 0. Ulomek 0 im orte vredosti (deljeje z ič i defiiro)! c Če je večji od, potem z jui sproti vredosti velj rvo sproto, d je mjš od d c, pri pogoju, d so vs števil (,,c i d) pozitiv. Če iso, rešimo eečo > c d upoštevmo, d se pri možeju oz. deljeju z egtivim številom eečj ore. 4 3 Npr. > 4 > ( ) 3 < 3 4 i pri tem 7 Npiši sprote i orte vredosti ulomkov, i

8 Lesrsk šol Mrior Aktiv mtemtikov 9. N primerih + lgerskimi ulomki. + 4 i : pokži, kko rčumo z Algerski ulomki so ulomki, kjer stopjo mesto števil prmetri oz. lgerski izrzi, kot pr Veljjo ek prvil kot z številske izrze, le d upoštevmo zčilosti lgerskih struktur pr. pri iskju skupeg imeovlc si pomgmo z rzcepi: + ( ) + = + = 4 + ( )( + ) + ( )( + ) skupi imeovlec je (-)(+) (pomožimo vse rzliče izrze med so). 0. Kko rciolo število zpišemo v decimli oliki? Kdj je t zpis koče? Vsko rciolo število lhko zpišemo kot decimlo število - tko, d števec delimo z imeovlcem. Pri tem doimo li kočo li periodičo decimlo število. Če je imeovlec število, ki je zmožek le dvojk i petic, o decimli zpis koče (pr.,,, ), sicer p o rezultt periodičo decimlo število (pr. = 0, period je 4857).Ulomke, ki predstvljjo koče decimle zpis, imeujemo DESETIŠKI ULOMKI. Velj tudi orto: če je število periodičo decimlo število, g lhko zpišemo kot ulomek:, 3 =, odštejemo 00 = 3, = = 99 V decimli oliki zpišite števil, -, i Kj je rciolizcij imeovlc? Rciolizirti imeovlec pomei rzširiti ulomek s tkim številom (izrzom), d doimo v imeovlcu rvo število (izrz rez koreov). Rciolizirj :

9 Lesrsk šol Mrior Aktiv mtemtikov. Defiirj poteco s celim egtivim ekspoetom i štej prvil z rčuje s potecmi s celimi ekspoeti. Potece s celimi egtivimi ekspoeti so potece, ki imjo v poteči osovi poljuo relo število ( rze števil ič ), ekspoet p je egtivo celo število. Mius v ekspoetu pomei, d mormo vzeti orto vredost osove. Prvil z rčuje s potecmi s celimi ekspoeti 0 = = = 0 = = = = = ( ) : = m + m m m : = ( ) ( ) = m m Izrčuj ( c ) =,( y ) ( y ) =,( y ): ( y ) = 3. N primeru rzloži, kko rčumo z rciolimi števili Q. 4. Uredi po velikosti rciol števil: 3 3 5,,,, Kj je procet i kj promil? Koliko doiš, če povečš število z 5%. 9

10 Lesrsk šol Mrior Aktiv mtemtikov 6. Opišite lstosti rčuskih opercij v Q. Če števec i imeovlec ulomk pomožimo z istim številom, ki i 0,ulomek rzširimo: k = = =. k 5 0 = = Če imt števili i skupe delitelje, ju lhko okrjšmo, t.j. števec i imeovlec delimo z istim številom. : k = = =. : k Rčuje z ulomki: Seštevje i odštevje ulomkov izvršimo tko, d jprej poiščemo skupi imeovlec, g zpišemo, pomožimo še števec z ustrezim številom (z istim, kot smo možili imeovlec) ter to števce ulomkov seštejemo oz. odštejemo. c d c d c + = + = + d d d d Skupi imeovlec je prvilom jmjši skupi večkrtik dih imeovlcev. Ulomke možimo tko, d zmožimo števce med so i imeovlce med so: c d = c d Ulomek delimo z drugim ulomkom tko, d g pomožimo z orto vredostjo drugeg ulomk. c d d : =. = d c c Izrčujte : =

11 Lesrsk šol Mrior Aktiv mtemtikov LINEARNA FUNKCIJA, ENAČBA IN NEENAČBA 7. Kko rešujemo liero ečo ( + = 0 )? Kj je ičl liere fukcije i kko jo izrčumo? Liero ečo rešimo tko, d ečo jprej poeostvimo do olike + = 0, potem postvimo eo str eče člee z ezko ; drugo str p postvimo števil. Potem ečo še delimo s koeficietom ki stoji pred -om. + = 0 = - = Ničl liere fukcije f()=+ je presečišče premice (grf fukcije) z osjo Ničl liere fukcije i rešitev liere eče f()= 0 (+= 0) st eo i isto število. Lier eč im lhko: Eo rešitev; R = { 0 R} premic ekrt sek os Noee rešitve; R = premic e sek osi (y = ) Nešteto rešitev; R = { R } premic je kr os (y = 0) (ečo poeostvimo oz. jo preolikujemo v ekvivleto oliko s tem, d prištejemo li odštejemo isto število levi i desi stri eče, ter d možimo li delimo oe stri eče s številom, rzličim od 0) Poišči ičlo fukcije f() = i fukcijo riši. Izrčuj ičlo fukcije f ( ) = 3 +. Reši ečo + = Defiirjte liero fukcijo. Kj je je grf? Lier fukcij je predpis f: k + z f: R R; f() = k + y = k + - eodvis spremeljivk y - odvis spremeljivk k, kostti (prmetr) Lier fukcij je preslikv, ki poljuemu elemetu iz možice relih števil (eodvis spremeljivk ) priredi sliko - relo število (odvis spremeljivk y), po predpisu y = k +. Grf liere fukcije je premic, določe s pri točk (,y), kjer je y = k+. Nriši grf fukcij f ( ) = + i g( ) =

12 Lesrsk šol Mrior Aktiv mtemtikov 9. Kko je grf liere fukcije odvise od smereg koeficiet i zčete vredosti? Kkš st grf dveh lierih fukcij z ekim smerim koeficietom? Zčet vredost je ordit točke, v kteri grf liere fukcije (premic) presek ordito os N(o,) = 0 premic gre skozi koordito izhodišče 0 premic sek os y v točki T(0,) / če e moremo določiti, je premic vzpored z osjo y; = smeri koeficiet k določ strmio premice k = 0 premic je os ozirom ji je vzpored y = k > 0 premic je rščjoč k < 0 premic je pdjoč / če k e moremo določiti, je premic vzpored z osjo y; = k = k premici st si vzporedi. Primerjjte grfe fukcij f ( ) =, g( ) = + 3 i h ( ) = + 3 Zpiši ečo liere fukcije, ki im zčeto vredost 3 i ičlo pri =. 0. Zpiši ečo premice, ki potek skozi točki A, y ) i B(, y ) y (. y y A B y A(,y ) B(,y ) V prvem korku določimo smeri koeficiet k. Ker točki A i B ležit premici, jue koordite zdoščjo eči premice y = k + : A(,y ) y = k + B(,y ) y = k + (Eči odštejemo.)

13 Lesrsk šol Mrior Aktiv mtemtikov y - y = k( - ) k = y y = y z = y = k V drugem korku p določimo še prosti čle eče eče premice y = k +. Ker točk A leži premici, jee koordite zdoščjo eči premice: A(,y ) y = k + Od zgorje eče odštejemo spodjo. y - y = k( - ) y = k - k + y = y k y y y y = ( ) V primeru, d je premic vzpored z y osjo ( = ), je k edefiir, olik premice je = V primeru, d je premic vzpored z osjo (y = y ), je k = 0, olik premice je y = y (li y = ). Zpiši ečo premice, ki potek skozi točki A (, ) i B ( 3,4).. Opiši čie reševj sistemov dveh eč z dvem ezkm. Ali je sistem vedo rešljiv? Kko izrčumo presečišče dveh premic? čii reševj sistemov: + y = c d + ey = f.) grfiči či (Nrišemo oe di premici i odčitmo koorditi presečišč.).) zmejli či (Iz ee eče izrzimo eo ezko i jo domestimo v drugi eči.) c y ( i y st ezki) + y = c izrzimo, =, vesemo v drugo ečo d ( c y) d + ey = f doimo + ey = f Ečo poeostvimo i izrčumo y, to še. c.) primerjli či (Iz oeh eč izrzimo isto ezko i ju izečimo.) č.) či sprotih koeficietov (Izeremo ezko i v oeh ečh sistem poiščemo sprot koeficiet, ki se pri seštevju eč izičit.) + y = c / ( d) pomožimo s koeficietom o v drugi eči d + ey = f / d dy = cd d + ey = c seštejemo i izrzimo y (ezk se iziči). 3

14 Lesrsk šol Mrior Aktiv mtemtikov Presečišče dveh premic izrčumo tko, d rešimo pripdjoč sistem dveh eč po eem od zgorj opisih čiov. povezv s fukcijo: vsk od zgorjih zpisov predstvlj ečo premice; če sistem rešimo, poiščemo presečišče premic.) premici se sekt: p p = {T(,y); R, y = (c-)/} e rešitev sistem.) premici st vzporedi: p p = NEZDRUŽLJIVI PREMICI sistem im rešitve c.) premici st idetiči: p p = { T(,y);,y R} ODVISNI P. eskočo rešitev sistem Sistem lierih eč + y = 4 i y = rešite grfiče či. Sistem lierih eč + y = 6 i 3 + y = 8 rešite rčusko. Izrčuj presečišče premic + y = 5 i y = 0. Kko rešujemo liere eeče z eo ezko? Kj so možice rešitev? Liero eečo rešujemo ek či kot liero ečo (glej vpršje 8). Pziti mormo le to, d pri možeju li deljeju z egtivim številom eečj oremo. (glej tudi vpršje 7; Lstosti, ki veljjo z relcijo urejeosti»je mjši od«:) Možico rešitev predstvimo kot itervl številski premici. Rešite eečo + > i jeo rešitev grfičo pozorite. 3 4

15 Lesrsk šol Mrior GEOMETRIJA V RAVNINI Aktiv mtemtikov 3. Opiši prvokoti koorditi sistem v rvii i zpiši formulo po kteri izrčumo rzdljo med dvem točkm. Prvokoti koorditi sistem tvorit dve prvokoti številski premici, ki se sekt v izhodišču koorditeg sistem. os y os - scis os y T(,y) os y - ordit os scis točke T y ordit točke T 0 os Točki A priredimo dve števili i y, torej ureje pr (,y) i s tem lego točke v prvokotem koorditem sistemu. Vskemu urejeemu pru (,y) relih števil ustrez tko e točk v prvokotem koorditem sistemu. Formul, po kteri izrčumo rzdljo med dvem točkm os y y y A - B y -y os (, ) = ( ) + ( ) d A B y y Pitgorov izrek Izrčuj rzdljo med točkm A(-,3) i B(,-). 4. Defiirj rzdljo med dvem točkm. Rzdlj med dvem točkm je dolži dljice, ki ti dve točki povezuje. -rzdlj med točkm premici d( A, A ) = - rzdlj med točkm v rvii: ( ) ( ) d( A = + y y, A ) lstosti rzdlje: rzdlj je eegtivo število rzdlj je ek 0, če točki sovpdt rzdlje od A do B je ek rzdlji od B do A trikotišk eekost d ( A, C) d( A, B) + d( B, C) koliere. Izrčuj rzdljo med točkm A(,3) i B(-8,-7). ; ečj velj, če so točke 5

16 Lesrsk šol Mrior Aktiv mtemtikov 5. Defiirjte središči i oodi kot v krogu. V kkši zvezi st, če ležit d istim lokom? Kj veš o kotu v polkrogu? Središči kot Vrh V je v središču krog, krk potekt skozi krjišči deg lok AB. Oodi kot Vrh V je oodu krog, Krk potekt skozi krjišči deg lok AB. A A B V B V Vsi oodi koti d istim lokom de krožice so skldi O A O O 3 B O 4 Središči kot d dim lokom je dvkrt večji od oodeg kot d istim lokom A S O B Kot v polkrogu je kot, ki im vrh krožici, krk p potekt skozi krjišči premer krožice. Središi kot je v tem primeru 80, torej je kot v polkrogu prvi kot (meri 90 ). Kolikše je oodi kot, če je središči kot 80 o? Točke A, B i C rzdelijo krožico v rzmerju ::6. Koliko meri kot ABC? 6

17 Lesrsk šol Mrior Aktiv mtemtikov 6. Defiirj deltoid. Kkše so lstosti deltoid (digoli)? Kko izrčumo ploščio deltoid? DELTOID je štirikotik z dvem prom D eko dolgih priležih stric. lstosti deltoid: A e C -im dv pr eko dolgih stric -digoli st prvokoti f -digol f rzpolvlj digolo e -digol f rzpolvlj kot v ogliščih Bi D -kot pri A i C st skld B e f - S = o = + - ( ) V deltoidu merit digoli e = cm i f = 6cm. Izrčuj ploščio deltoid. 7. Defiirj prlelogrm. Kkše so lstosti prlelogrm (strice, koti, digoli)? Nštej posee primere. Kko izrčumo ploščio prlelogrm? Prlelogrm je štirikotik, ki im dv pr vzporedih stric. Lstosti prlelogrm: -sproti strici st vzporedi i e eko dolgi -digoli prlelogrm AC = e i BD = f se rzpolvljt -sosedj kot st suplemetr -plošči: S = v = v = siα -oseg: o = ( + ) -posei primeri: KVADRAT, ROMB, PRAVOKOTNIK digoli v kvdrtu i romu se sekt pod prvim kotom digoli v kvdrtu i prvokotiku st eko dolgi kvdrt i rom imt vse štiri strice eko dolge V prlelogrmu merit strici = 3cm, i = 4cm i oklept kot prlelogrm Izrčuj ploščio 7

18 Lesrsk šol Mrior Aktiv mtemtikov 8. Defiirj pojem kot i pojsi izrze : krk, vrh, ičeli, prvi, iztegjei i poli kot Nštej eote z merjeje kotov? Defiicij: Kot je del rvie omeje z dvem poltrkom, ki imt skupe zčetek. -poltrk, ki kot omejujet imeujemo krk kot. -skupe zčetek oeh krkov je vrh kot. Dv poltrk h i k s skupim izhodiščem V rzdelit rvio dv kot. Ede od kotov je kovekse, drugi p ekovekse (rze v primeru iztegjeeg kot). Izri kot ozčimo z lokom. (Kovekse je tisti, ki vseuje vse dljice, ki povezujejo poljui dve točki zotrj teg kot.) Kote lhko ozčujemo ) s točkmi : c) vdo p uporljmo mli grške črke α, β, φ,... ičeli kot: α = 0 0 prvi kot: α = 90. Prvi kot je kot, ktereg krk st prvokot ede drugeg Ozčimo g z lokom s piko zotrj li p mesto lok uporimo zk 8

19 Lesrsk šol Mrior Aktiv mtemtikov 0 iztegjei kot: α = 80 Iztegjei kot omejujet poltrk, ki se dopoljujet v premico. 0 poli kot: α = 360 Kote merimo v kotih stopijh li v rdiih, uporlj se tudi eot grd (prvi kot im 00 grdov). E stopij je ( ) je določe kot poleg kot (ki meri 360 ). 360 Šestdeseti stopije je kot miut, šestdeseti miute p kot sekud. E rdi je kot, pri kterem je dolži krožeg lok ek polmeru krog.( pripd loku dolžie v krogu s polmerom ). Poli kot meri 360º ozirom π rdiov. Povezv med stopijmi i rdii : 80º = π rd. Primeri: π 30, ) 30º =. rd ),3 rd = c) 0º5 9 = =0,55º 80 π d) 34,78º = 34º+0,78*60 =34º46,8 =34º46 +0,8*60 =34º46 48 Poimeuj kote sliko i izrzi jihove velikosti v stopijh i rdiih. 9

20 Lesrsk šol Mrior Aktiv mtemtikov 9. Defiirjte pojm otrjeg i zujeg kot trikotik. Povej zveze med otrjimi i zujimi koti trikotik. Notrji koti: koti BAC = α, CBA = β i ACB = γ so otrji koti trikotik. Notrji koti trikotik so koti, ki ležijo zotrj trikotik i imjo vrh v oglišču. Ozčimo jih z α,β i γ. / / / Zuji koti: zuji koti ( α, β, γ ) so sokoti otrjih kotov. Zuji koti ležijo zuj trikotik i jih ozčimo z α', β' i γ'. C γ / γ / α A α c β B / β Dokz, d je vsot otrjih kotov v trikotiku ek 80 0 C α γ γ β / α A α c β B / β Dokžemo: - rišemo trikotik, - skozi oglišče C potegemo vzporedico strici c, - kot, ki st ozče z α st izmeič i zto skld, - kot, ki st ozče z β st izmeič i zto skld. Povezve med koti: Vsot otrjih kotov v trikotiku je ( α + β + γ = 80 ). / Vsot otrjeg i zujeg kot o istem oglišču je ( γ + γ = 80 ). Zuji kot v trikotiku je ek vsoti otrjih epriležih kotov (α' = β + γ,β' = α + γ i γ' = α +β). ker je α + α' = 80, torej je α' = 80 α. Po drugi stri je α = 80 (β + γ), torej je α' = 80 α = 80 (80 (β + γ)) = β + γ 0

21 Lesrsk šol Mrior Aktiv mtemtikov / + / / Vsot zujih kotov v trikotiku je( α β + γ = 360 ). Dokžimo, d je vsot zujih kotov 360 : pri suplemetrih kotov merijo 80. α + α' = 80 seštejemo vse tri eče i doimo β + β' = 80 α + α'+ β + β' + γ + γ' = γ + γ' = 80 (α + β + γ) + α'+ β' + γ' = , ker je α + β + γ =80, velj α'+ β' + γ' = 360 (vsot zujih kotov je 360 ) Dljši strici sproti leži večji kot i orto. 0 Izrzi kote ekokrkeg trikotik, v kterem meri kot o vrhu 70, v stopijh i miuth. l 0 0 Zuji kot trikotik v oglišču A meri α = 50, otrji kot v oglišču B p β = 35. Koliko merit ostl dv otrj kot? 30. Defiirj pojme (v trikotiku): viši, simetrl strice, simetrl kot i težiščic. Nvedite ekj zmeitih točk trikotik. Višie, višisk točk = ortoceter Viši trikotik je dljic, ki je prvokot do strico (oz. jeo osilko) i gre skozi sproto oglišče. Vse tri višie (oz. osilke viši) se sečejo v isti točki ortoceter. Težiščice, težišče; AT : TN = : Težiščic je dljic, ki im eo krjišče v rzpolovišču S de strice, drugo p v sprotem oglišču. Težišče T je točk, kjer se sečejo vse tri težiščice.

22 Lesrsk šol Mrior Aktiv mtemtikov Simetrle stric, središče očrteg krog, središče očrteg krog v prvokotem trikotik Simetrl strice je premic, ki potek skozi rzpolovišče de strice i je jo prvokot. Vse tri simetrle se sečejo v skupi točki središče očrteg krog. Simetrle kotov, središče včrteg krog Simetrl kot je poltrk, z ktereg velj, d je vsk točk, ki jem leži eko oddlje od oeh krkov kot. Vse tri simetrle kotov se sečejo v skupi točki središče včrteg krog. Orvvjte vedee pojme v ekostričem trikotiku.

23 Lesrsk šol Mrior Aktiv mtemtikov 3. Defiirjte trpez i ekokrki trpez ter štejte jue lstosti. Kj je sredjic trpez? Kko izrčumo ploščio trpez? Trpez je štirikotik, ki im e pr vzporedih stric. Lstosti trpez: osovici st vzporedi strici, krk ist ujo eko dolg, sredjic je dljic, ki povezuje rzpolovišči oeh krkov, sredjic je vzpored osovicm (,c). + c (dolži sredjice je ritmetič sredi oeh osovic s = ) + c -plošči trpez je S = v -oseg: o = + + c + d Ekokrk trpez je trpez, ki im eko dolg o krk. Lstosti ekokrkeg trpez: eko dolgi oe digoli, ek kot o osovici, lhko mu očrtmo krožico. Izrčujte ploščio trpez, ktereg osovici merit cm i c = 6cm, viši p v = 5cm. Izrčuj krjšo osovico ekokrkeg trpez, če meri dljš osovic 4cm, viši 3 cm i plošči 6 3 cm. 3. Kko trikotiku očrtmo i včrtmo krog? Središče očrteg krog doimo tko, d črtmo simetrle strice. Vse tri simetrle stric se sečejo v skupi točki središče očrteg krog. (glej vpršje 3 ) Središče včrteg krog doimo tko, d črtmo simetrle kotov Vse tri simetrle kotov se sečejo v skupi točki središče včrteg krog. (glej vpršje 3 ) Premisli, kje leži središče prvokotemu trikotiku očrteg krog. 3

24 Lesrsk šol Mrior Aktiv mtemtikov 33. Opiši lstosti ekokrkeg trikotik. Ekokrk trikotik im o krk eko dolg: kot o osovici st eko velik, viši rzpolvlj osovico i rzdeli trikotik v dv skld del. Plošči ekokrkeg trikotik meri 40cm, v c = 0cm. Izrčuj dolžio strice c i krk. α α 34. Povejte izreke o skldosti trikotikov. SKLADNOST TRIKOTNIKOV: Defiicij: Trikotik st skld, če imt sklde vse strice i vse kote. IZREKI O SKLADNOSTI: trikotik st skld, če se ujemt: v dveh strich i v vmesem kotu, v vseh treh strich, v ei strici i oeh priležih kotih, v dveh strich i kotu, ki leži sproti dljše od oeh stric. Kdj st ekostrič trikotik skld? 35. Kdj st dv trikotik podo? PODOBNOST TRIKOTNIKOV Trikotik st podo, če imt ek rzmerj vseh treh prov istoležih stric i eke vse otrje kote. PODODOBNOSTNI IZREKI: trikotik st si podo, če se ujemt: v rzmerju vseh treh prov ekoležih stric, v dveh kotih, v rzmerju dveh prov ekoležih stric i v vmesemu kotu. Trikotik ABC im oseg cm, podoi trikotik EFG p oseg 6 cm. Izrčuj dolžie stric trikotik ABC, če merit v trikotiku EFG strici = 7 cm i = 4? Strice trikotik ABC so v rzmerju ::c = 4:5:6. Njkrjš stric podoeg trikotik EFG p meri 0,8m. Izrčuj dolžie stric trikotik EFG 4

25 Lesrsk šol Mrior Aktiv mtemtikov 36. V kkši medseoji legi st lhko premic i krožic? Kj je tget krožico? Kko kostruirmo tgeto krožico v di točki krožice? Tget, sekt, mimoežic sekt tget mimoež ic Primer: Skostruirj tgeto krožico iz poljue točke krožici. PLOŠČINE 37. Nvedi siusi izrek. Kdj g uporljmo? Siusi izrek govori o rzmerju med dolžimi stric i siusi sprotih kotov. c = = siα si β si γ Izrek je izpelj iz formul z ploščio trikotik S = si γ = c siα = c si β Z vsk trikotik velj, d je to rzmerje eko premeru krog, ki je demu trikotiku očrt. c = = = R siα si β siγ Siusi izrek uporljmo v poljuem trikotiku: če immo zo strico i kot sproti, lhko izrčumo polmer očrteg krog, če pozmo dve strici i kot sproti ee strice, lhko izrčumo kot sproti druge, če pozmo dv kot i strico, ki leži sproti eemu od dih kotov, lhko izrčumo drugo strico. V trikotiku s podtki α = β , = cm, = 60 izrčuj. 0 0 V trikotiku s podtki α = 60, = 3cm, β = 45 izrčuj. 5

26 Lesrsk šol Mrior Aktiv mtemtikov 38. Nvedite kosiusi izrek. Kdj g uporljmo? = + c c = + c c c = + cosα cos β cosγ Kosiusi izrek uporljmo v poljuem trikotiku: če pozmo dve strici i kot med jim, lhko izrčumo tretjo strico, če pozmo vse tri strice, lhko izrčumo kote, če pozmo rzmerje vseh treh stric, lhko izrčumo kote. V trikotiku s podtki = 3cm, = cm, c = 4cm izrčuj kot α. 39. Nvedite kosiusi izrek i iz jeg izpelji Pitgorov izrek. Kdj ju uporljmo? Strice trikotik merijo 5, 8 i 0 eot. Ali je trikotik prvokote? 0 V trikotiku ABC pozmo strici = 7 cm, c = 8 cm i velikost kot β = 0.Izrčuj dolžio tretje strice. 40. Izpeljite formule z ploščio prvokoteg, ekostričeg i poljueg trikotik. V trikotiku merit strici = 6cm i = 44cm ter kot 0 γ = 30. Izrčuj ploščio trikotik. 4. Izpeljite formule z ploščio prlelogrm i deltoid. 0 V prlelogrmu merit strici = 6cm i = 4cm ter kot γ = 60. Izrčuj ploščio prlelogrm. 6

27 Lesrsk šol Mrior Aktiv mtemtikov RAČUNANJE S POTENCAMI IN KORENI 4. Nštej prvil z rčuje s korei. - ;...osov (korejeec),...stopj kore (koreski ekspoet) -kvdrti kore (i ostle koree sode stopje) je možo izrčuti le,če je osov pozitiv -kuiči kore (i ostle koree lihe stopje) lhko izrčumo z pozitiv i egtiv števil -prvil z rčuje s kvdrtimi, kuičimi i drugimi korei: ( ) = ( 3 ) 3 = ( ) = = 3 3 = = = 3 = 3 3 = = 3 = 3 3 = m = r m r m = m PAZI: rciolizcij imeovlc pomei ulomek rzširiti tko, d im več kore v imeovlcu. -delo koreiti število pomei, d število zpišemo kot produkt dveh fktorjev, od kterih eeg lhko koreimo. Izrčuj Poeostvi izrz i

28 Lesrsk šol Mrior Aktiv mtemtikov 43. Defiirj poteco s pozitivo osovo i rciolim ekspoetom i povej prvil z rčuje s tkimi potecmi. = m = m -Veljjo vs tist prvil, ki veljjo z potece s celimi ekspoeti. 0 = = = 0 = = = = = ( ) : = m + m m m : = ( ) ( ) = m m PAZI: = = ( ) Poeostvi izrz ( ). 8

29 Lesrsk šol Mrior Aktiv mtemtikov REALNA FUNKCIJA REALNE SPREMENLJIVKE, POTENČNE FUNKCIJE 44. Kdj je rel fukcij rele spremeljivke rščjoč, pdjoč, omeje, eomeje (lhko rzložite primerih) Omejee pojme rzložite primeru f ( ) = 45. Kj je defiicijsko omočje i kj zlog vredosti fukcije? Določite defiicijsko omočje i zlogo vredosti fukcije f ( ) = 46. Defiirj potečo fukcijo z rvim (sodim, lihim) ekspoetom. Nriši grf z =,3 i vedi jue osove lstosti. Poteče fukcije s pozitivimi ekspoeti ) sodimi: y = ) lihimi: y = f = 3 +. Nriši grf fukcije ( ) 9

30 Lesrsk šol Mrior Aktiv mtemtikov 47. Defiirj potečo fukcijo s celim egtivim (sodim, lihim) ekspoetom. Nriši grf z = -,-3 i vedi jue osove lstosti. Poteče fukcije z egtivimi ekspoeti ) sodimi: y = ) lihimi: y ( ) = f = +. Nriši grf fukcije ( ) 30

31 Lesrsk šol Mrior Aktiv mtemtikov KVADRATNA FUNKCIJA, ENAČBA IN NEENAČBA 48. Opiši grf kvdrte fukcije? Kko vpliv vodili koeficiet oliko grf? Grf kvdrte fukcije je prol T y T T- teme os prole Izrču koordit teme: p = T =, q = y T = 4c 4 Izrču ičel: ± D, = ; D = 4c 3

32 Lesrsk šol Mrior Aktiv mtemtikov Pome vodileg koeficiet... > < y = = = / = - = - = -/ Nrišite grf fukcije f ( ) =, Nčrtj grf fukcije y = = i f ( ) f ( ) = Kj je kvdrt fukcij? Kj je teme i kj ičl kvdrte fukcije? Kvdrt fukcij je preslikv. f : R R; f : + + c ;,,c ; 0,..ičli kvdrte fukcije st točki, kjer grf fukcije seče os. D Lhko ju izrčumo po formuli, = ±, pri čemer je diskrimit D = 4 c Teme je točk, kjer grf kvdrte fukcije doseže ekstrem. T, yt..st koorditi teme T( T, yt ) 4c Koorditi teme lhko izrčumo tko: p = T =, q = yt =, 4 Poišči teme i ičli fukcije f ( ) = ( 3)( + ) 3

33 Lesrsk šol Mrior Aktiv mtemtikov 50. Nštej tri jpogostejšo olike z ečo kvdrte fukcije i opiši pome prmetrov. Kj je teme kvdrte fukcije? Rzliče olike zpis eče kvdrte fukcije: f ( ) = + + c sploš olik f ( ) = ( )( f ( ) = ( T ) + y T Pome koeficietov:...vodili koeficiet ) rzcep olik temesk olik > < y = = = / = - = - = -/...koeficiet liereg čle vpliv premik v smeri osi, c...prosti čle določ presek grf z y osjo,,..ičli kvdrte fukcije (točki, kjer grf fukcije seče os) lhko rčumo po formuli D, = ±, pri čemer je diskrimit D = 4 c. 33

34 Lesrsk šol Mrior Aktiv mtemtikov D...diskrimit odloč o tem, li o imel fukcij: ) dve rzliči reli ičli, ) eo dvojo ičlo, grf fukcije sek -os dveh grf fukcije se le dotke - rzličih točkh osi c) oee rele ičle, grf fukcije e seče -osi D > 0 D = 0 D < 0, y..st koorditi teme T y T T ekstrem.) Koorditi teme lhko izrčumo tko: (, ) (Teme je točk, kjer grf kvdrte fukcije doseže T T T =, D y T =. 4 Zpišite predpis z kvdrto fukcijo f, če im je grf teme v T (,0) i je f ( 0) =. 5. Kko rešujemo kvdrte eeče? Kj je možic rešitev? Pomgjte si s sliko. Rešitve kvdrte eeče doimo tko, d poiščemo itervl, kterem je ustrez kvdrt fukcij pozitiv ozirom egtiv. O rešitvh odločjo vodili koeficiet i diskrimit D. V primeru d je D 0, o rešitvh eeče odločjo tudi ičle fukcije. Rešite eečo 3. Rešite eečo < 0 5. Opiši odvisost grf kvdrte fukcije glede diskrimito fukcije. Opišite pome prosteg čle. c...prosti čle določ presek grf z y osjo,..ičli kvdrte fukcije (točki, kjer grf fukcije seče os) lhko rčumo po formuli D, = ±, pri čemer je diskrimit D = 4 c 34

35 Lesrsk šol Mrior Aktiv mtemtikov D...diskrimit odloč o tem, li o imel fukcij: ) dve rzliči reli ičli, grf fukcije sek -os dveh rzličih točkh ) eo dvojo ičlo, grf fukcije se le dotke - osi c) oee rele ičle, grf fukcije e seče -osi D > 0 D = 0 D < 0 Zpišite kvdrto fukcijo, ki im vodili koeficiet -, diskrimito eko 0 i prosti čle Zpiši kvdrto ečo. Kko jo rešimo (zpiši formulo)? KVADRATNA ENAČBA: + + c = 0 ;,,c R ; 0 Kvdrt eč + + c = 0 im lhko jveč dve rešitvi. Če je eč rzcep, poiščemo rešitve s pomočjo rzcep. Če eč i rzcep, izrčumo rešitvi po formuli D = 4 c + = D ; = D > 0 rešitvi st rzliči reli št. D < 0 im relih rešitev D = 0 rešitvi st eki reli št. Reši ečo D ( ) 4 ( )( ) =., ± D =, pri čemer je diskrimit 54. Kko lhko določimo presečišč kvdrtih prol? Izrčuj kje se sekt proli y =. + i y =

36 Lesrsk šol Mrior Aktiv mtemtikov EKSPONENTNA IN LOGARITEMSKA FUNKCIJA IN ENAČBA Fukciji 55. Zpišite fukcijski predpis z ekspoeto fukcijo, rišite je grf i povejte jee osove lstosti. y = ( > 0, ) prvimo ekspoet fukcij.(pzi: y = je poteč fukcij ) y = 3-4 y = y = y = 3 > 0 < < Lstosti : je defiir z vsk rele fukcijske vredosti so vedo pozitive vsi grfi gredo skozi točko T( 0, ) z > je rščjoč, z 0 < < p pdjoč scis os je vodorv simptot Zpišite ečo ekspoete fukcije, če gre je grf skozi točko Nčrtj grf fukcije y = i ( ) y =. A,3 36

37 Lesrsk šol Mrior Aktiv mtemtikov 56. V istem koorditem sistemu rišit grfe ekspoetih fukcij z rzličimi osovmi (0<<, >). Kj imjo vsi grfi skupeg i v čem se rzlikujejo? 7 y y = ( / ) y = ( /3) 6 y = 3 y = Skupe lstosti : vse so defiire z vsk rele, fukcije so z vsk rele pozitive, grfi fukcij gredo skozi točko T ( 0, ). Rzlike : - z > fukcije so rščjoče, scis os je vodorv simptot grf z < 0. - z 0 < < : fukcije so pdjoče, scis os je vodorv simptot grf z > 0, grf fukcij y = i y = st simetrič ordito os. Nčrtj grf fukcije = i ( ) y y = v isti koorditi sistem 37

38 Lesrsk šol Mrior Aktiv mtemtikov 57. Kko rešujemo logritemske eče? ( primerih) V logritemski eči ezk stop v logritmdu li p v osovi logritm. Pri reševju upoštevmo defiicijo i lstosti logritm. Povdi doimo eo od sledjih olik : log = i od tod je = li p log = i od tod je = Če stopjo logritmi v več čleih eče, levo i deso str eče oičjo preuredimo v logritem eočleik i to izpustimo logritme, sj je logritemsk fukcij eolič. Doljeo lgersko ečo rešimo i rezultt ovezo preverimo v prvoti logritemski eči, ker koč eč i vedo ekovred logritemski. Reši eče: log 3 = log = log( + 9) log 3 = 58. Defiirjte logritemsko fukcijo z osovo > i rišite je grf. Določite jeo defiicijsko omočje i štejte vse jee lstosti. Iverzo fukcijo k ekspoeti fukciji y = imeujemo logritemsk fukcij z osovo i jo zpišemo y = log. Neodviso spremeljivko imeujemo logritmd. Defiicij : Logritem števil pri osovi je ekspoet, s kterim potecir osov je ek. log = y y = y = y = y = log 38

39 Lesrsk šol Mrior Aktiv mtemtikov Lstosti logritemske fukcije : defiir je smo z pozitive, logritem števil je pri vski osovi > 0, ek 0 : log = 0, logritem lste osove je ek : log =, logritem z osovo > je itervlu > pozitive, itervlu 0 < < p egtive, logritemsk fukcij z osovo > je rščjoč, je grf je simetriče grfu ekspoete fukcije z eko osovo glede simetrlo lihih kvdrtov y =. Določite defiicijsko omočje i ičlo fukcije f ( ) = log Kko rešujemo ekspoete eče? ( primerih) Eč je ekspoet, če ezk stop le v ekspoetu. Tkše eče skušmo rešiti po eem od sledjih čiov : levo i deso str eče preolikujemo eko osovo,to izečimo ekspoete, levo i deso str eče preolikujemo ek poteči ekspoet, to ekspoet izečimo z 0, če so rzliče osove i ekspoeti skušmo rešiti ečo z logritmi, če je ezk v ekspoetu pomože z rzličimi koeficieti uvedemo ovo ezko, doljee eče rešimo i prvimo preizkus v prvoti ekspoeti eči, eče, v kterih stop ezk v ekspoetu i osovi, p rešujemo grfičo i rezultt odčitmo iz grf. + Reši eče: 6, + = = 3 i 3 = 7 Reši ečo: 3 3 = Nštejte prvil z rčuje z logritmi.. Logritem produkt je ek vsoti logritmov posmezih fktorjev. log ( A B) = log A + log B. Logritem količik je ek rzliki logritmov deljec i delitelj A log = log A log B B 3. Logritem potece je produkt ekspoet i logritm osove log A.log A = Z logritmi torej rčumo eo stopjo iže kot s števili, zto izrz ( A B) log + e omo preolikovli, ker logritm vsote i mogoče izrziti z logritmi posmezih čleov. Poeostvi izrze: log( ) + log( 5) log(6 3) log 3 39

40 Lesrsk šol Mrior log + log log(0 ) Poeostvi izrze: log + log( + 9) 3log log + log log(0 ) 3 Logritmirjte izrz, če so,, c pozitiv števil. 5 c Aktiv mtemtikov Izrčujte presečišče krivulje y = log s premico y =. 40

41 Lesrsk šol Mrior Aktiv mtemtikov POLINOMI IN RACIONALNE FUNKCIJE 6. Defiirjte rciolo fukcijo. Kj je ičl i kj pol rciole fukcije? Kko se oš grf rciole fukcije dleč od izhodišč? Kko se grf rciole fukcije oš v ližii pol? Skicirjte grf fukcije f ( ) = Alizirj fukcijo f ( ) = i riši je grf. Skicirjte grf fukcije f ( ) = ( ) + Alizirj fukcijo f ( ) = i riši je grf. 6. Kj je ičl poliom? Kdj je ičl druge stopje? Določi ičle poliom ) ( 3)( ) ( ) 3 p ( = Opiši Horerjev lgoritem i pojsi jegovo uporost. 3 S pomočjo Horerjeveg lgoritm reši ečo 3 + = Kj je ičl poliom (eostv, večkrt)? Koliko ičel im poliom - te stopje? Kko zpišemo poliom, če pozmo vse jegove ičle? Poliom tretje stopje z relimi koeficieti im ičlo = i dvojo ičlo = 0. Njegov grf potek skozi točko T (,5 ) Določite fukcijski predpis. Zpiši poliom 3. stopje z vodilim koeficietom, z dvojo ičlo v = i eojo ičlo v = Opiši postopek deljej poliom z lierim poliomom. Opiši Horerjev lgoritem i pojsi jegovo uporost. 4 3 S Horerjevim lgoritmom določi vredost poliom p ( ) = v točki =. 4

42 Lesrsk šol Mrior Aktiv mtemtikov 66. Rzložite postopek risj grf poliom. Kko vodili čle i prosti čle vplivt potek grf poliom? Skicirjte grf poliom ( ) ( ) 3 Skicirjte grf poliom p ( ) = +. 3 p( ) = Skicirjte grf poliom p ( ) = Defiirj rciolo fukcijo. Nriši grf fukcije f ( ) = Opiši postopek risj grfov rciolih fukcij. Skicirjte grf fukcije f ( ) = Kj je ičl rele fukcije rele spremeljivke? Opišite ošje grf poliom i rciole fukcije v okolici ičel. Skicirjte grf poliom p ( ) = ( )( ) Izrčujte ičle poliom ) 3( ) ( ) 3. N kterih itervlih je poliom p pozitive? p ( = + i skicirjte jegov grf. 70. Defiirjte poliom ter opišite osove rčuske opercije s poliomi (seštevje i možeje). Kdj st dv poliom ek? Poliom ( ) = ( )( ) 3 p i q( ) = st ek. Izrčujte i. 7. Kko poiščemo cele i rciole ičle poliom s celimi li rciolimi koeficieti? 3 Poiščite rciole ičle poliom p ( ) = i g to rzstvite. 7. Nštejte osove prijeme z risje grfov fukcij. Skicirjte grf fukcije f ( ) = + 4

43 Lesrsk šol Mrior Aktiv mtemtikov 73. Kj je ičl rele fukcije rele spremeljivke? Opišite ošje grf poliom i rciole fukcije v okolici ičel. Skicirjte grf poliom ( ) = ( )( ) p N kterih itervlih je poliom p pozitive? Izrčujte ičle poliom ( ) ( ) 3 p ( ) = 3 + i skicirjte jegov grf. 74. Defiirjte poliom ter opišite osove rčuske opercije s poliomi (seštevje i možeje). Kdj st dv poliom ek? Določite i tko, d ost poliom p( ) = ( )( ) i g( ) = ek. KOTNE FUNKCIJE - TRIGONOMETRIJA 75. Defiirj kote fukcije eotski krožici. y ctgα cos α tgα α si α 0 Siα je ordit točke, v kteri drugi krk kot α seče eotsko krožico. Cos α je scis točke, v kteri drugi krk kot α seče eotsko krožico. Tg α je ordit točke, v kteri drugi krk kot α seče vpičo tgeto ( desi stri) Ctg α je scis točke, v kteri drugi krk kot α seče vodorvo tgeto (zgorj) Reši ečo si = i cos = 0. 43

44 Lesrsk šol Mrior Aktiv mtemtikov 76. Defiirj kote fukcije v prvokotem trikotiku. Defiicij kote fukcije v prvokotem trikotiku s ktetm, i hipoteuzo c C A α c β B c hipoteuz, kteti; kotu α prilež ktet kotu α sprotilež ktet kotu β prilež ktet kotu β sprotilež ktet Defiicije kotih fukcij v prvokotem trikotiku kotu ϕ sprotilež ktet si ϕ = si α =, si β = hipoteuz c c kotu ϕ prilež ktet cosϕ = cos α =, cos β = hipoteuz c c kotu ϕ sprotilež ktet tg ϕ = tg α =, tg β = kotu ϕ prilež ktet ctg ϕ = kotu ϕ prilež ktet kotu ϕ sprotilež ktet ctg α =, ctgβ = Povezve med kotimi fukcijmi isteg kot si α tgα = cosα cosα ctgα = si α ctg α =, ctgα tgα = tgα si α + cos α = Izrčuj dolžio hipoteuze v prvokotem trikotiku z α = 36 0, = 6cm. Rzreši prvokoti trikotik α = 30 0, = 0cm. 44

45 Lesrsk šol Mrior Aktiv mtemtikov 77. Defiirjte fukcijo si z poljue kot, rišite je grf i povejte jee lstosti (miimum, mksimum, ičle, period, zlog fukcijskih vredosti ). y -3π -5π/ -π -3π/ -π -π/ π/ π 3π/ π 5π/ 3π - - Lstosti fukcije f() = si Zlog vredosti : [-,] ; Z p = [-,] Def. omočje : Df = R Periodič fukcij: period Lih fukcij Ničle : = kπ ; k Z Kje grf fukcije sius sek premico y =? Nriši grf fukcije f ( ) = si. 45

46 Lesrsk šol Mrior Aktiv mtemtikov 78. Defiirjte fukcijo cos z poljue kot, rišite je grf i povejte jee lstosti (miimum, mksimum, ičle, period, zlog fukcijskih vredosti ). y -3π -5π/ -π -3π/ -π -π/ π/ π 3π/ π 5π/ 3π - - Lstosti fukcije f() = cos Zlog vredosti : [-,] ; Z p = [-,] Def. omočje : Df = R Periodič fukcij: period π Sod fukcij π Ničle : = + kπ ; k Z Izrčujte presečišč grf fukcije f ( ) = cos s premico y =. Nriši grf fukcije f ( ) = cos. 46

47 Lesrsk šol Mrior Aktiv mtemtikov 79. Defiirjte fukcijo f ( ) = tg z poljue kot, rišite je grf i povejte jee lstosti. y -3π -5π/ -π -3π/ -π -π/ π/ π 3π/ π 5π/ 3π - - Lstosti fukcije tges: Defiir je z vs rel števil, rze v ičlh fukcije kosius. Zlog vredosti so vs rel števil Zf=R Je periodič z osovo periodo π : tg (α+π ) = tg α Je lih fukcij : tg(-) = -tg Je pozitiv itervlih (kπ, π / + kπ ); k Z (z kote v prvem i tretjem i kvdrtu). Je egtiv itervlih (-π / + kπ, kπ ); k Z (z kote v drugem i tretjem kvdrtu). Ničle: = kπ, k Z Poli: = π / + kπ, k Z Reši ečo tg ( ) = 0 0 Izrčuj tg 0 + tg( 0 ). 47

48 Lesrsk šol Mrior Aktiv mtemtikov 80. Defiirj kot med premicm. Kko g izrčumo? N miuto tčo izrčuj ostri kot med premicm y = ter y = Kj je kloski kot premice? Kj velj z smer koeficiet vzporedih (prvokotih) premic? Ostri kot med premicm y = k + i y = k + α Pod kolikšim kotom sek premic 3 y = 0 ordito os? N miuto tčo izrčuj ostri kot med premicm + 3y 5 = 0 i 3 y 6 = Kko vplivt prmetr A i ω oliko grf fukcij f ( ) = Asi( ω) Nriši grf fukcije f ( ) = 3si f ( ) = si Nriši grf fukcije ( ) 83. Kko vplivt prmetr A i ω oliko grf fukcij f ( ) = Acos( ω) Nriši grf fukcije Nriši grf fukcije f ( ) = cos f ( ) = cos 84. Zpiši osove zveze med kotimi fukcijmi isteg kot. Poeostvi izrz tg si cos 48

49 Lesrsk šol Mrior Aktiv mtemtikov POVRŠINE IN PROSTORNINE 85. Opišite vlj.. Kj veste o osem preseku vlj? Kko izrčumo površio i prostorio vlj? Prostori vlj meri 80cm, viši p 7 cm. Izrčuj površio. 86. Opišite prizmo i vedite formuli z prostorio prizme i površio pokoče prizme. Kkše tipe prizem pozte? Izrčuj površio prvile 4-stre prizme, ki im osovi ro 8cm i višio cm. 87. Opišite pokočo pirmido. Kko izrčumo površio i prostorio pirmide? Izrčuj površio i prostorio prvile 4-stre pirmide z osovim room dm i strskim room 5cm. Izrčuj prostorio prvile 4-stre pirmide z osovim room 5cm, ki im višio dvkrt večjo. 88. Opiši pokoči stožec. Kj je plšč stožc i kko izgled, če g rzgremo v rvio? Kko izrčumo površio i prostorio stožc? Izrčuj prostorio stožc, če merit polmer r = 3cm i stric s = 5cm. Osovi presek pokočeg stožc meri 40cm, viši p 5cm. Izrčuj prostorio stožc. 49

50 Lesrsk šol Mrior Aktiv mtemtikov ZAPOREDJA 89. Kdj je zporedje ritmetičo? Zpišite sploši čle i orzec z vsoto prvih čleov. Kj je ritmetič sredi dveh števil? Zporedje je ritmetičo, če je rzlik dveh sosedjih čleov + vedo ek.tej rzliki prvimo diferec zporedj i jo ozčimo s črko d; d = +. Iz te eče pridemo do zpis splošeg čle = + ( )d -vsk sledji čle doimo tko, d prejšjemu prištejemo d Če je diferec pozitiv (d > 0), potem zporedje ršč, če je egtiv (d < 0), p pd. V primeru, d je diferec ič (d = 0), so vsi člei eki. Torej je v tem primeru zporedje kostto (je ritmetičo, p tudi geometrijsko) Grf ritmetičeg zporedj lhko primerjmo s premico - če mreč povežemo točke z rvimi črtmi, doimo premico. Npr. Zporedje = 3 + ( ) - jegovi člei so 3,,,3,5, točke ležijo premici. Orzec z vsoto čleov ritmetičeg zporedj je S = ( + ) oz. če mesto pišemo + ( )d, doimo S = ( + ( ) d ) Od tu ime ritmetič sredi dveh števil - število c je ritmetič sredi števil i, če velj + c =. Zpišite 999. čle ritmetičeg zporedj 5, 9, 3, 7,... V ritmetičem zporedju je prvi čle -6, sedmi p 8. Izrčuj difereco zporedj. Izrčuj 0. čle ritmetičeg zporedj, če je prvi čle 4 i diferec. Z kteri je zporedje, + 5, + 5 ritmetičo? 50

51 Lesrsk šol Mrior Aktiv mtemtikov 90. Kdj je zporedje geometrijsko? Zpišite sploši čle i vsoto prvih čleov. Kj je geometrijsk sredi dveh pozitivih števil? Zporedje je geometrijsko, če je kvociet dveh sosedjih čleov + / vedo ek.kvociet ozčimo s črko q. + q =. Iz te eče pridemo do zpis splošeg čle = q - vsk sledji čle doimo tko, d prejšjeg pomožimo s q. Če je kvociet večji od (q > ), potem zporedje ršč, če je med 0 i (0 < q < ), p pd. V primeru, d je kvociet ek (q = ), so vsi člei eki. Torej je v tem primeru zporedje kostto (je geometrijsko, p tudi ritmetičo) Če je kvociet egtivo število, potem doimo lterirjoče zporedje (vsk drugi čle je pozitive oz. egtive) Geometrijsko zporedje, ki im kvociet < q < ( q < ), je omejeo. Zgorj mej je prvi čle, spodj je odvis od zporedj. Grf geometrijskeg zporedj (q > 0) lhko primerjmo z grfom ekspoete fukcije - točke geometrijskeg zporedj ležijo jeem grfu. Npr. Zporedje = - jegovi člei so,,4,8,6, Orzec z vsoto čleov geometrijskeg zporedj je Z geometrijsko zporedje velj + = S (kvociet je ek), Ečo preuredimo, doimo = + oz. = + = q q Od tu ime geometrijsk sredi dveh števil - število c je geometrijsk sredi števil i, če velj c =. Določite tko, d o zporedje,, 4 geometrijsko. Določi prvi čle i količik geometrijskeg zporedj, če je drugi čle i četrti 4. Z kteri je zporedje +,, 3 geometrijsko? 5