Ciprian Deliu TRIGONOMETRIE PLANĂ

Transcript

1 Ciprian Deiu TRIGONOMETRIE PLANĂ ŞI SFERICĂ 15

2

3 Cuprins 1 Trigonometrie pană Unghiuri. Casificarea şi măsurarea unghiurior Funcţii trigonometrice Formue trigonometrice Funcţii trigonometrice inverse Ecuaţii şi inecuaţii trigonometrice Exerciţii Compemente de trigonometrie 1.1 Funcţii hiperboice Serii trigonometrice Numere compexe sub formă trigonometrică Funcţiie trigonometrice în compex Exerciţii Apicaţiie trigonometriei în geometrie şi practică Reaţii între aturi şi unghiuri într-un triunghi oarecare Formue pentru diverse eemente ae unui triunghi Rezovarea triunghiurior Trigonometrie şi geometrie în spaţiu Apicaţii practice ae trigonometriei în topografie şi geodezie Determinarea înăţimii unui obiect vertica Determinarea distanţei dintre două puncte Exerciţii i

4 ii CUPRINS

5 Capitou 1 Trigonometrie pană 1.1 Unghiuri. Casificarea şi măsurarea unghiurior Două semidrepte (a) şi (b) având originea în aceaşi punct O definesc un unghi notat (a, b) sau aob. Originea O a semidrepteor se numeşte vârfu unghiuui, iar cee două semidrepte sunt aturie ui. Unghiu AOB se consideră orientat pozitiv dacă semidreapta OA se poate suprapune peste semidreapta OB printr-o rotaţie în sens invers aceor de ceasornic (sens trigonometric sau sens pozitiv). Două unghiuri sunt congruente dacă prin suprapunere coincid. Se numesc unghiuri adiacente două unghiuri care au o atură comună, vârfu comun şi ceeate aturi de o parte şi de ata a aturii comune. Bisectoarea unui unghi este semidreapta cu originea în vârfu unghiuui, situată în interioru unghiuui şi care formează cu aturie unghiuui iniţia unghiuri congruente. Două drepte sunt perpendicuare dacă semidreptee or formează unghiuri adiacente congruente. Un unghi cu aturie perpendicuare se numeşte unghi drept. Fie un cerc cu centru în punctu O şi de rază r. Un unghi cu vârfu în O se numeşte unghi a centru. Dacă A şi B sunt intersecţiie aturior unui unghi a centru cu cercu, spunem că unghiu AOB determină arcu de cerc AB. Domeniu mărginit de razee OA, OB şi de arcu AB se numeşte sector de cerc. Dacă A este ceaată intersecţie a dreptei (OA) cu cercu, atunci segmentu AA este diametru a cercuui şi are ungimea r. Un diametru împarte cercu în două arce egae numite semicercuri. Două puncte M şi N de pe cerc astfe încât segmentu MN are ungimea 1

6 CAPITOLUL 1. TRIGONOMETRIE PLANĂ mai mică decât r formează o coardă. Domeniu pan mărginit de o coardă M N şi arcu corespunzător MN formează un segment de cerc. Un unghi care are vârfu pe cerc şi aturie sunt coarde ae cercuui se numeşte unghi înscris în cerc. Pe aceaşi cerc, a unghiuri a centru congruente corespund arce congruente şi reciproc. Lungimea unui arc este proporţionaă cu mărimea unghiuui a centru corespunzător. Compararea unghiurior se face prin compararea arceor determinate pe aceaşi cerc de către unghiurie a centru. Unităţi de măsură pentru unghiuri: ˆ radian - unghiu pentru care raportu dintre arcu corespunzător şi rază este 1. Cercu întreg are π radiani, un semicerc are π radiani, iar unghiu drept are π radiani ˆ grad sexagesima - unghiu congruent cu a 9-a parte a unghiuui drept, notat 1. A 6-a parte dintr-un grad sexagesima se numeşte minut sexagesima, notat 1, iar a 6-a parte dintr-un minut sexagesima se numeşte secundă sexagesimaă, notată 1. Avem 1 = 6 = 36 ˆ grad centesima - unghiu congruent cu a 1-a parte a unghiuui drept, notat 1 g. A 1-a parte dintr-un grad centesima se numeşte minut centesima, notat 1 c, iar a 1-a parte dintr-un minut centesima se numeşte secundă centesimaă, notată 1 cc. Avem 1 g = 1 c = 1 cc După mărime, unghiurie se casifică astfe: ˆ unghi nu: = rad = g ˆ unghi ascuţit: < α < 9 sau < ˆα < π sau g < α g < 1 g ˆ unghi drept: 9 = π rad = 1g ˆ unghi obtuz: 9 < α < 18 sau π < ˆα < π sau 1g < α g < g ˆ unghi aungit 18 = πrad = g ˆ unghi supraobtuz (sau refex): 18 < α < 36 sau π < ˆα < π sau g < α g < 4 g ˆ unghi compet: 36 = πrad = 4 g

7 1.1. UNGHIURI. CLASIFICAREA ŞI MĂSURAREA UNGHIURILOR 3 Cum ungimea cercuui este πr iar aria interioruui cercuui este πr şi aceste formue corespund a unghiu compet, pentru un arc oarecare α deducem că ungimea unui arc de cerc este L arc = πrα 18 = ˆαr, iar aria unui sector de cerc este A sector = πr α 36 = ˆαr. Fie în pan un sistem de coordonate cartezian xoy. Se numeşte cerc trigonometric cercu Γ cu centru în originea O şi de rază r = 1. Orientarea pozitivă a arceor pe cerc este dată de sensu trigonometric (invers aceor de ceasornic). Lungimea circumferinţei unui cerc de rază r este πr, deci ungimea cercuui trigonometric este π. Pe cercu trigonometric, oricărui unghi a centru de măsură α [, π] îi corespunde pe cerc un arc de măsură egaă, măsurat în sens trigonometric de a punctu (1, ) a un punct P de pe cerc. După cum unghiu α este ascuţit, obtuz sau supraobtuz, punctu corespunzător P este în cadranu I, II, III sau IV. Pentru vaori mai mari decât π (sau negative) putem găsi de asemenea puncte corespunzătoare pe cercu trigonometric t R, α [, π), k Z astfe încât t = α + kπ

8 4 CAPITOLUL 1. TRIGONOMETRIE PLANĂ Definim funcţia f R Γ prin f(t) = P unde P este unicu punct de pe cercu trigonometric Γ pentru care arcu orientat pozitiv măsurat pe cerc din punctu (1, ) până a P are ungimea α. 1. Funcţii trigonometrice Funcţia definită anterior se numeşte funcţia de trecere de a dreapta reaă a cercu trigonometric şi are următoaree proprietăţi: ˆ nu este injectivă: f(t) = f(t + π) ˆ este surjectivă ˆ este periodică de perioadă principaă π Cu ajutoru acestei funcţii sunt definite funcţiie cos şi sin: cos R [ 1, 1], cos t = x P sin R [ 1, 1], sin t = y P aşadar cosinusu şi sinusu în t R sunt abscisa, respectiv ordonata unicuui punct de pe cercu trigonometric corespunzător ui t. În vaorie ui t pentru care cos t se definesc: tg t = sin t cos t, sec t = 1 cos t În vaorie ui t pentru care sin t se definesc: ctg t = cos t sin t, cosec t = 1 sin t Într-un triunghi dreptunghic având unu din unghiurie ascuţite θ obţinem sin θ = cateta opusă cateta aăturată, cos θ = ipotenuză ipotenuză tg θ = sec θ = De asemenea avem cateta opusă cateta aăturată, ctg θ = cateta aăturată cateta opusă ipotenuză cateta aăturată, cosec θ = ipotenuză cateta opusă sin ( π θ) = cos θ, cos (π θ) = sin θ, tg (π θ) = ctg θ

9 1.. FUNCŢII TRIGONOMETRICE 5 ctg ( π θ) = tg θ, sec (π θ) = cosec θ, cosec (π θ) = sec θ Din teorema ui Pitagora se obţine formua fundamentaă a trigonometriei sin θ + cos θ = 1 Vaorie funcţiior trigonometrice pentru unghiurie importante din primu cadran sunt: π θ 6 (3 π ) 4 (45 π ) 3 (6 π ) (9 ) 1 sin θ 3 cos θ 1 tg θ ctg θ Vaorie funcţiior trigonometrice pentru unghiuri din cadranee II, III şi IV pot fi cacuate foosind următoaree formue de reducere a primu cadran: Proprietăţi ae funcţiei sin: sin(π θ) = sin θ, cos(π θ) = cos θ sin(π + θ) = sin θ, cos(π + θ) = cos θ sin(π θ) = sin θ, cos(π θ) = cos θ sin( θ) = sin θ, cos( θ) = cos θ - este funcţie impară: sin( x) = sin x - este funcţie periodică de perioadă π: - este continuă şi derivabiă pe R: - dezvotarea în serie de puteri: sin x = n= sin(x + π) = sin x (sin x) = cos x ( 1) n x n+1 (n + 1)! = x x3 3! + x5 5! x7 7! +...

10 6 CAPITOLUL 1. TRIGONOMETRIE PLANĂ - grafic: Proprietăţi ae funcţiei cos: - este funcţie pară: cos( x) = cos x - este funcţie periodică de perioadă π: - este continuă şi derivabiă pe R: - dezvotarea în serie de puteri: - grafic: cos x = n= ( 1) n cos(x + π) = cos x (cos x) = sin x xn (n)! = 1 x! + x4 4! x6 6! +... Proprietăţi ae funcţiei tg: - este funcţie impară: tg( x) = tg x - este funcţie periodică de perioadă π: tg(x + π) = tg x - este continuă şi derivabiă pe R {(k + 1) π ; k Z}: (tg x) = 1 cos x - grafic:

11 1.. FUNCŢII TRIGONOMETRICE 7 Proprietăţi ae funcţiei ctg: - este funcţie impară: ctg( x) = ctg x - este funcţie periodică de perioadă π: ctg(x + π) = ctg x - este continuă şi derivabiă pe R {kπ; k Z}: (ctg x) = 1 sin x - grafic: Proprietăţi ae funcţiei sec: - este funcţie pară: sec( x) = sec x - este funcţie periodică de perioadă π: - este continuă şi derivabiă pe R {(k + 1) π ; k Z} - grafic:

12 8 CAPITOLUL 1. TRIGONOMETRIE PLANĂ Proprietăţi ae funcţiei cosec: - este funcţie impară: cosec( x) = cosec x - este funcţie periodică de perioadă π: - este continuă şi derivabiă pe R {kπ; k Z} - grafic: 1.3 Formue trigonometrice Foosind formua fundamentaă a trigonometriei sin x + cos x = 1 se obţin următoaree reaţii între pătratee funcţiior trigonometrice: sin x cos x tg x ctg x sin x sin tg x 1 x 1 cos x 1 + tg x 1 + ctg x cos x 1 sin 1 ctg x x cos x 1 + tg x 1 + ctg x tg sin x 1 cos x x 1 ctg x ctg x ctg x 1 sin x cos x tg x x cos x 1 sin x 1 cos x tg x

13 1.3. FORMULE TRIGONOMETRICE 9 Formuee funcţiior trigonometrice ae sumei şi diferenţei: cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β (1.1) cos(α β) = cos α cos β + sin α sin β (1.) sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β (1.3) sin(α β) = sin α cos β cos α sin β (1.4) tg(α + β) = tg α + tg β 1 tg α tg β (1.5) tg(α β) = tg α tg β 1 + tg α tg β (1.6) ctg(α + β) = ctg α ctg β 1 ctg α + ctg β (1.7) ctg(α β) = ctg α ctg β + 1 ctg β ctg α (1.8) Consecinţe ae formueor pentru sumă: sin x = sin x cos x (1.9) cos x = cos x sin x = cos x 1 = sin x (1.1) tg x = tg x 1 tg x, ctg x = ctg x 1 (1.11) ctg x sin 3x = 3 sin x 4 sin 3 x, cos 3x = 4 cos 3 x 3 cos x (1.1) tg 3x = 3 tg x tg3 x 1 3 tg x, ctg 3x = ctg3 x 3 ctg x 3 ctg (1.13) x 1 Din formuee pentru cos x obţinem cos x = Înocuind x cu x găsim 1 + cos x, sin 1 cos x x = cos x = 1 + cos x, sin x = 1 cos x cos x = 1 tg x 1 + tg x, sin x = tg x 1 + tg x Adunând şi scăzând formuee pentru sumă şi diferenţă găsim: cos(α + β) + cos(α β) = cos α cos β cos(α + β) cos(α β) = sin α sin β sin(α + β) + sin(α β) = sin α cos β sin(α + β) sin(α β) = cos α sin β (1.14) (1.15) (1.16)

14 1 CAPITOLUL 1. TRIGONOMETRIE PLANĂ Notăm α + β = x, α β = y. Atunci α = x+y, β = x y şi avem: cos x + cos y = cos x + y cos x cos y = sin x + y sin x + sin y = sin x + y sin x sin y = sin x y cos x y sin x y cos x y cos x + y (1.17) (1.18) (1.19) (1.) 1.4 Funcţii trigonometrice inverse 1. Restricţia funcţiei sin a intervau [ π, π ] este bijectivă, deci inversabiă. Definim funcţia inversă arcsin [ 1, 1] [ π, π ] Proprietăţi ae funcţiei arcsin: - arcsin(sin x) = x, x [ π, π ], sin(arcsin x) = x, x [ 1, 1] - monoton crescătoare şi impară: arcsin( x) = arcsin x - continuă şi derivabiă: 1 (arcsin x) = 1 x - grafic:. Restricţia funcţiei cos a intervau [, π] este bijectivă, deci inversabiă. Definim funcţia inversă Proprietăţi ae funcţiei arccos: arccos [ 1, 1] [, π] - arccos(cos x) = x, x [, π], cos(arccos x) = x, x [ 1, 1]

15 1.4. FUNCŢII TRIGONOMETRICE INVERSE 11 - monoton descrescătoare şi arccos( x) = π arccos x - continuă şi derivabiă: 1 (arccos x) = 1 x - grafic: 3. Restricţia funcţiei tg a intervau ( π, π ) este bijectivă, deci inversabiă. Definim funcţia inversă arctg R ( π, π ) Proprietăţi ae funcţiei arctg: - arctg(tg x) = x, x ( π, π ), tg(arctg x) = x, x R - monoton crescătoare şi impară: arctg( x) = arctg x - continuă şi derivabiă: 1 (arctg x) = 1 + x - grafic: 4. Restricţia funcţiei ctg a intervau (, π) este bijectivă, deci inversabiă. Definim funcţia inversă Proprietăţi ae funcţiei arcctg: arcctg R (, π) - arcctg(ctg x) = x, x (, π), ctg(arcctg x) = x, x R - monoton descrescătoare şi arcctg( x) = π arcctg x

16 1 CAPITOLUL 1. TRIGONOMETRIE PLANĂ - continuă şi derivabiă: (arcctg x) = x - grafic: 5. Reaţii între funcţiie trigonometrice şi inversee or: sin cos arcsin x arccos x arctg x arcctg x x 1 x 1 x 1 + x 1 + x 1 x 1 x x 1 + x 1 + x tg ctg x 1 x 1 x x 1 x x x 1 x x 1 x 1 x x arcsin x + arccos x = π arctg x + arcctg x = π arctg x ± arctg y = arctg x ± y 1 xy arctg x + arctg 1 x = π (1.1) (1.) (1.3) (1.4) 1.5 Ecuaţii şi inecuaţii trigonometrice 1. ecuaţia sin x = a dacă a 1 x = kπ + ( 1) k arcsin a, k Z dacă a > 1 nu există souţii. inecuaţia sin x > a dacă a 1 nu există souţii

17 1.5. ECUAŢII ŞI INECUAŢII TRIGONOMETRICE 13 dacă a < 1 muţimea souţiior este R dacă 1 a < 1 muţimea souţiior este (kπ + arcsin a, (k + 1)π arcsin a) k Z 3. inecuaţia sin x < a dacă a 1 nu există souţii dacă a > 1 muţimea souţiior este R dacă 1 < a 1 muţimea souţiior este ((k 1)π arcsin a, kπ + arcsin a) k Z 4. ecuaţia cos x = a dacă a 1 x = kπ ± arccos a, k Z dacă a > 1 nu există souţii 5. inecuaţia cos x > a dacă a 1 nu există souţii dacă a < 1 muţimea souţiior este R dacă 1 a < 1 muţimea souţiior este (kπ arccos a, kπ + arccos a) k Z 6. inecuaţia cos x < a dacă a 1 nu există souţii dacă a > 1 muţimea souţiior este R dacă 1 < a 1 muţimea souţiior este (kπ + arccos a, (k + 1)π arccos a) k Z 7. ecuaţia tg x = a x = kπ + arctg a, k Z 8. inecuaţia tg x > a muţimea souţiior este (kπ + arctg a, kπ + π k Z ) 9. inecuaţia tg x < a muţimea souţiior este (kπ π, kπ + arctg a) k Z

18 14 CAPITOLUL 1. TRIGONOMETRIE PLANĂ 1. ecuaţia ctg x = a x = kπ + arcctg a, k Z 11. inecuaţia ctg x > a muţimea souţiior este (kπ, kπ + arcctg a) k Z 1. inecuaţia ctg x < a muţimea souţiior este 1.6 Exerciţii (kπ + arcctg a, kπ + π) k Z 1. Să se găsească formuee de transformare dintre unităţie de măsură pentru unghiuri. Rezovare: Formuee de transformare dintre unităţie de măsură pentru unghiuri se bazează pe exprimarea unghiuui drept: π rad = 9 = 1 g ˆ 1 = ( 1 9 ) g 1, 1111 g = 1 g 11 c 11 cc 1 = 1 g 6 (1 9 ), 186 g = 1 c 86 cc g 1 1 = 36 (1 9 ), 3 g = 3 cc ˆ 1 g = ( 9 1 ) =, 9 =, 9 6 = 54 1 c = 1 1, 9 =, 54 =, 54 6 = 3, 4 1 cc = 1 1 3, 4 =, 34 ˆ 1rad = ( 18 π ) = 57, = 57 +, = 57 17, = = , = , ˆ 1rad = ( g π ) 63, 66 g = 63 g 66 c cc ˆ 1 = π rad, 17453rad 18 ˆ 1 g = π rad, 15778rad

19 1.6. EXERCIŢII 15. Să se efectueze următoaree operaţii cu grade, minute şi secunde sexagesimae: a) = = 96 = = 81 = = 38 b) = = 114 = = 13 = = 47 c) = = 41 rest = = = 5 rest 1 = = 75 3 = 5 3. Să se cacueze vaorie funcţiior trigonometrice ae ator unghiuri uzuae (vaori exprimate prin radicai): a) sin 15 = sin π 1 = sin (π 3 π 4 ) = sin π 3 cos π 4 cos π 3 sin π 4 = 6 4 cos 15 = cos π = ; tg π 4 1 = 3; ctg π 1 = + 3 b) sin ( 3 ) = sin π 8 = 1 cos π 4 = 4 = + sin π 8 = cos π 8 = cos ( 3 ) = cos π 8 = 1 + cos π tg( 3 ) = tg π 8 = 1; ctg( 3 ) = ctg π 8 = + 1 c) funcţiie trigonometrice ae unghiuui de 18 = π 1 : sin 7 = sin 36 cos 36 = 4 sin 18 cos 18 (1 sin 18 ); sin 7 = sin(9 18 ) = cos 18. Egaând cee identităţi şi împărţind prin cos 18 > obţinem ecuaţia în necunoscuta u = sin 18 : 1 = 4u(1 u ) 8u 3 4u + 1 = (u 1)(4u + u 1) = care are rădăcinie u 1 = 1 = sin 3 > sin 18, u = şi u 3 = > <, aşadar sin 18 = sin π =. De aici 4

20 16 CAPITOLUL 1. TRIGONOMETRIE PLANĂ rezută cos 18 = cos π 1 1 = sin =, apoi tg π 4 1 = 1 5 şi ctg π = + 5 d) sin 36 = sin π 5 = sin cos 18 = ; 4 cos 36 = cos π 5 = 1 sin = ; 4 tg 36 = tg π 5 = 5 5; ctg 36 = ctg π 5 = e) sin 54 = sin(9 36 ) = cos 36 = cos 54 = cos(9 36 ) = sin 36 = 4 tg 54 = ctg 36 = ; ctg 54 = tg 36 = 5 5 Anaog rezută vaorie funcţiior trigonometrice pentru unghiurie 67 3, 7, 75. Aceste vaori pot fi puse în următoru tabe: x sin x cos x tg x ctg x 1 15 = π 1 18 = π 1 3 = π 8 3 = π 6 36 = π = 3π = π = 3π = π = π = 5π = π 1 4. Să se cacueze funcţiie trigonometrice pentru următoaree vaori: 7π 6 ; 9π 4 ; 14π 3 ; 9π ; 15π ; 15π ; 3 15π ; 4 15π 6

21 1.6. EXERCIŢII Să se rezove următoaree ecuaţii trigonometrice: a) cos x + 4 sin x 1 = R: Înocuim în ecuaţie cos x = 1 sin x şi obţinem 1 sin x + 4 sin x 1 = sin x( sin x) = Cum sin x 1 sin x deci singura souţie acceptabiă este sin x = de unde obţinem x = kπ + ( 1) k arcsin, k Z x = kπ, k Z b) cos x + sin x + ctg x 3 =, x kπ, k Z R: Foosind formuee care exprimă sin x şi ctg x în funcţie de cos x obţinem cos x + (1 cos x) + Punând t = cos x, în urma cacueor se obţine cos x 1 cos x 3 = t 4 t 3 + t 1 = ( t 1)( t 3 + 1) = t 1 = 1 = x = kπ ± π 4 ; t = 6 1 x = kπ ± arccos ( 1 6 ) c) 4 sin x + cos x 3 tg x = R: Facem substituţia t = tg x t 1 t. Avem sin x =, cos x = 1 + t 1 + t şi tg x = t. După efectuarea cacueor se obţine ecuaţia 1 t t 4 7t 3 t + t = care are rădăcinie t 1 =, t = 1, t 3,4 = ± 3. tg x = x = kπ x = kπ, k Z tg x = 1 x = kπ + arctg ( 1 ) x = kπ + arctg ( 1 ), k Z tg x = + 3 x = kπ + arctg ( + 3), k Z tg x = 3 x = kπ + arctg ( 3), k Z d) 3 sin x + cos x = 1 R: Împărţind prin 3 obţinem sin x cos x = 1 3. Punem 1 3 =

22 18 CAPITOLUL 1. TRIGONOMETRIE PLANĂ tg π 6 sin x + sin π 6 cos cos x = π sin x cos π 6 + cos x sin π 6 = 1 3 cos π 6 de unde foosind formua pentru sinusu sumei găsim sin (x + π) 6 = 1, aşadar x + π 6 = kπ + ( 1)k arcsin 1 x = kπ + (( 1)k 1) π 6 e) 3 sin x + sin x cos x cos x = R: Împărţind prin cos x şi punând t = tg x obţinem ecuaţia 3t + t 1 = t 1 = 1 tg x = 1 x = kπ + arctg( 1) = kπ π 4, k Z t = 1 3 tg x = 1 3 x = kπ + arctg ( 1 3 ), k Z f) sin 4 x 3 sin 3 x cos x+4 sin x cos x+ 3 sin x cos 3 x cos 4 x = 1 R: Înocuind în membru drept 1 = sin x + cos x ecuaţia devine: sin 4 x 3 sin 3 x cos x + 4 sin x cos x + 3 sin x cos 3 x cos 4 x = = (sin x + cos x) sin 4 x 3 sin 3 x cos x + sin x cos x + 3 sin x cos 3 x 3 cos 4 x = Împărţind prin cos 4 x şi notând t = tg x obţinem t 4 3t 3 + t = (t 1)(t 3 + 3) = t 1, = ±1 tg x = ±1 x = kπ ± π 4, k Z t 3,4 = 3 tg x = 3 x = kπ + π 3, k Z g) 5(sin x + cos x) sin x = 4 R: Facem substituţia u = sin x + cos x sin x = u 1. Se obţine ecuaţia u 5u + = cu rădăcinie reae u 1 =, u = 1. u = sin x + cos x = cos (x π) 4 = cos (x π) 4 = > 1 nu există souţii; u = sin x + cos x = cos (x π) 4 = 1 cos (x π) 4 = 4 x = kπ ± arccos 4 + π 4. h) cos x + cos x cos 3x = 1 R: 1 (1 + cos x) + 1 (1 + cos 4x) 1 (1 + cos 6x) = 1 cos x cos 6x = 1 cos 4x. Foosind formuee de transformare a diferenţei şi sumei în produs găsim sin 4x sin x = sin x sin x(sin 4x + sin x) = 4 sin x sin 3x cos x = sin x = x = kπ x = kπ, k Z sin 3x = 3x = kπ x = kπ 3, k Z cos x = x = (k + 1) π, k Z, muţime de souţii care este incusă în prima muţime.

23 1.6. EXERCIŢII 19 i) (sin 6 x + cos 6 x) + sin 4 x + cos 4 x = 1 R: Cu substituţia y = sin x avem sin 4 x + cos 4 x = 1 1 y, sin 6 x + cos 6 x = y, iar ecuaţia devine (1 3 4 y ) y = 1 y = 1 cu rădăcinie y = ±1. sin x = 1 x = kπ + π x = kπ + π 4, k Z; sin x = 1 x = kπ π x = kπ π 4, k Z. j) cos x cos 7x = cos 3x cos 5x R: Transformând cee două produse în sume avem 1 (cos 8x + cos 6x) = 1 (cos 8x + cos x) cos 6x cos x = sin 4x sin x = sin 4x = x = kπ 4, k Z sin x = x = kπ, k Z, muţime de souţii care este incusă în prima muţime. k) cos x + 3 sin x = m; discuţie după m R ) cos x sin x + sin x + cos x = 1 m) cos x + 3 sin x + 3 sin x cos x = 1 n) cos x + cos x + cos 3x + cos 4x = o) sin 3 x cos 3x + sin 3x cos 3 x = 3 4

24 CAPITOLUL 1. TRIGONOMETRIE PLANĂ

25 Capitou Compemente de trigonometrie.1 Funcţii hiperboice Funcţia sh R R, sh x = ex e x se numeşte sinus hiperboic. Este impară, bijectivă şi are graficu: Funcţia ch R R, ch x = ex + e x se numeşte cosinus hiperboic. 1

26 CAPITOLUL. COMPLEMENTE DE TRIGONOMETRIE Este pară şi are graficu: Vaorie ch t şi sh t sunt coordonatee puncteor de pe hiperboa echiateră unitară de ecuaţie x y = 1. Funcţia se numeşte tangentă hiperboică. Este impară şi are graficu: th R R, th x = ex e x e x + e x Funcţia cth R R, cth x = ex + e x e x e x se numeşte cotangentă hiperboică. Este impară şi are graficu:

27 .1. FUNCŢII HIPERBOLICE 3 Formue pentru funcţiie hiperboice: ch x sh x = 1 (.1) ch(x ± y) = ch x ch y ± sh x sh y (.) sh(x ± y) = sh x ch y ± ch x sh y (.3) th x ± th y th(x ± y) = 1 ± th x th y (.4) 1 ± cth x cth y cth(x ± y) = cth x ± cth y (.5) ch x = ch x + sh x (.6) sh x = sh x ch x (.7) th x = th x 1 + th x (.8) sh x ± sh y = sh x ± y ch x + ch y = ch x + y ch x ch y = sh x + y th x ± th y = ch x y ch x y sh x y sh(x ± y) ch x ch y Funcţia sh este bijectivă pe R, deci inversabiă. Funcţia inversă argsh R R, argsh x = n(x + x + 1) (.9) (.1) (.11) (.1)

28 4 CAPITOLUL. COMPLEMENTE DE TRIGONOMETRIE se numeşte argument sinus hiperboic. Restricţia cosinusuui hiperboic ch (, ] [1, ) este bijectivă deci inversabiă. Funcţia inversă argch - [1, ) (, ], argch - x = n(x x 1) se numeşte argument negativ cosinus hiperboic. Restricţia cosinusuui hiperboic ch [, ) [1, ) este bijectivă deci inversabiă. Funcţia inversă argch + [1, ) [, ), argch + x = n(x + x 1) se numeşte argument pozitiv cosinus hiperboic. Funcţia th R ( 1, 1) este bijectivă, deci inversabiă. Funcţia inversă argth ( 1, 1) R, argth x = 1 n 1 + x 1 x se numeşte argument tangentă hiperboică. Funcţiie hiperboice şi inversee or sunt derivabie pe domeniie or de definiţie şi derivatee or sunt: (sh x) = ch x; (ch x) = sh x (.13) 1 ch x ; (cth 1 x) = sh x (.14) (th x) = (argsh x) = (argch + x) = (argth x) = 1 x + 1 (.15) 1 x 1, x > 1 (.16) 1, x < 1 (.17) 1 x Dezvotărie în serii de puteri ae funcţiior hiperboice sunt: sh x = x 1! + x3 3! + + xn , x R (.18) (n + 1)! ch x = 1 + x! + x4 4! + + xn +..., x R (.19) (n)!. Serii trigonometrice O funcţie f R R se numeşte periodică dacă există T astfe încât f(x + T ) = f(x), x R. Exempu: funcţiie sin şi cos au perioadee kπ, k Z. Cea mai mică perioadă pozitivă T > se numeşte perioadă principaă.

29 .. SERII TRIGONOMETRICE 5 Dacă funcţia f(x) este periodică de perioadă T, atunci funcţia g(x) = f(αx) este periodică de perioadă T α : g (x + T α ) = f (α (x + T )) = f(αx + T ) = f(αx) = g(x) α Funcţiie sin x şi cos x sunt periodice de perioadă principaă π, funcţiie sin nx şi cos nx au perioada π n, iar perioada comună a funcţiior {sin nωx, cos nωx; n N} este T = π ω. Dacă f R R este o funcţie periodică de perioadă T, integrabiă pe R, atunci: α α+t f(x)dx = T f(x)dx, α R Definiţia.1. Se numeşte serie trigonometrică o serie de funcţii de forma a + (a n cos nωx + b n sin nωx) (.) n=1 unde a, a n, b n R (n N), x R, ω >. Teorema.1. Dacă seria (.) este convergentă (respectiv absout convergentă sau uniform convergentă) pe un interva compact oarecare de ungime T = π ω, atunci este convergentă (absout convergentă sau uniform convergentă) pe R iar suma ei este o funcţie periodică de perioadă T. Conform criteriuui Dirichet, dacă şirurie (a n ) n N şi (b n ) n N sunt monoton convergente a, atunci seria este convergentă pentru orice x nt, n Z şi uniform convergentă pe orice interva compact care nu conţine puncte de această formă. Teorema.. Fie f R R o funcţie integrabiă pe R, periodică de perioadă T = π ω care poate fi reprezentată printr-o serie trigonometrică f(x) = a + n=1 (a n cos nωx + b n sin nωx). Atunci coeficienţii a, a n, b n sunt daţi de formuee a = T a n = T b n = T α+t α α+t α α+t α f(x)dx f(x) cos nωxdx, n 1 f(x) sin nωxdx, n 1 (.1)

30 6 CAPITOLUL. COMPLEMENTE DE TRIGONOMETRIE Integraee nu depind de α şi de obicei se aege α = sau α = T. Pentru vaorie ui α anterioare, dacă notăm T = ω = π T = π, formuee (.1) devin: sau a = 1 a n = 1 b n = 1 a = 1 a n = 1 b n = 1 f(x)dx f(x) cos nπx dx, n 1 f(x) sin nπx dx, n 1 f(x)dx f(x) cos nπx dx, n 1 f(x) sin nπx dx, n 1 (.) (.3) Formuee (.1)-(.3) se numesc formuee Euer-Fourier, iar seria trigonometrică corespunzătoare se numeşte serie Fourier trigonometrică asociată funcţiei f. Pentru demonstraţia formueor Euer-Fourier se cacuează mai întâi integraee: mπx sin mπx cos mπx sin cos nπx dx = nπ sin nπx dx = nπ cos nπx dx = 1 sin nπx cos nπx (m+n)πx sin =, n = 1,,... =, n = 1,, sin (m n)πx sin nπx dx = 1 (m n)πx cos 1 (m+n)πx cos = cos nπx dx = 1 (m n)πx cos + 1 (m+n)πx cos = =, m n, m = n, m n, m = n Înocuind în integraee din (.3) pe f(x) cu seria trigonometrică (.) şi integrând termen cu termen se obţin coeficienţii a, a n, b n, n = 1,,....

31 .. SERII TRIGONOMETRICE 7 Dacă funcţia f periodică de perioadă T = este pară, coeficienţii Fourier sunt a = a n = f(x)dx f(x) cos nπx dx, n 1 b n =, n 1 iar seria Fourier trigonometrică este numai de cosinusuri: f(x) = a + n=1 a n cos nπx. (.4) Dacă funcţia f periodică de perioadă T = este impară, coeficienţii Fourier sunt a = a n =, n 1 b n = f(x) sin nπx dx, n 1 iar seria Fourier trigonometrică este numai de sinusuri: f(x) = n=1 b n sin nπx. (.5) O funcţie f definită pe un interva de ungime se poate preungi pe R a o funcţie periodică f de perioadă T = astfe încât f(x) = f(x) pe intervau pe care este definită f. Astfe se poate asocia o serie Fourier trigonometrică şi unei funcţii neperiodice definite pe un interva, suma acestei serii fiind o funcţie periodică de perioadă egaă cu ungimea intervauui pe care este definită f. O funcţie f definită pe un interva [, ] se poate preungi a o funcţie pară pe intervau [, ] punând f( x) = f(x), x [, ], iar apoi aceasta se poate preungi a o funcţie periodică de perioadă T =. Acestei funcţii i se poate asocia o serie Fourier trigonometrică numai de cosinusuri. O funcţie f definită pe un interva [, ] se poate preungi a o funcţie impară pe intervau [, ] punând f( x) = f(x), x [, ], iar apoi aceasta se poate preungi a o funcţie periodică de perioadă T =. Acestei funcţii i se poate asocia o serie Fourier trigonometrică numai de sinusuri.

32 8 CAPITOLUL. COMPLEMENTE DE TRIGONOMETRIE.3 Numere compexe sub formă trigonometrică Definiţia.. Un număr compex se defineşte ca o pereche ordonată de numere reae z = (a, b), a, b R, unde a se numeşte partea reaă, iar b - partea imaginară a număruui compex z, notate cu a = Re z, b = Im z. Muţimea numereor compexe se notează cu C. Fie z 1 = (a 1, b 1 ), z = (a, b ), z = (a, b) C şi α R. Egaitatea a două numere compexe: Adunarea: z 1 = z a 1 = a şi b 1 = b. z 1 + z = (a 1 + a, b 1 + b ). Este asociativă, comutativă, are eementu neutru (, ), iar fiecare număr compex z are opusu z = ( a, b), aşadar (C, +) este grup comutativ. Înmuţirea cu scaari: α z = (αa, αb). (C, +, ) este spaţiu vectoria rea de dimensiune, deci izomorf cu R, iar baza canonică este formată din numeree compexe 1 = (1, ) (unitatea reaă) şi i = (, 1) (unitatea imaginară). În raport cu această bază avem z = (a, b) = (a, ) + (, b) = a(1, ) + b(, 1) = a 1 + b i = a + bi care se numeşte forma agebrică a unui număr compex. Numeree de forma (a, ) = a + i = a se identifică cu numeree reae. Astfe, R C. Numeree de forma (, b) = + bi = bi se numesc pur imaginare. Înmuţirea numereor compexe: z 1 z = (a 1 a b 1 b, a 1 b + a b 1 ). Este asociativă, comutativă, are eementu neutru (1, ), iar fiecare număr compex z are inversu z 1 = ( a a +b, b a +b ), aşadar (C {}, ) este grup comutativ. (C, +, ) este corp comutativ. Cum i = i i = (, 1) (, 1) = ( 1, ) = 1, operaţiie în acest corp devin asemănătoare cu operaţiie cu poinoame: z 1 + z = (a 1 + b 1 i) + (a + b i) = (a 1 + a ) + (b 1 + b )i z 1 z = (a 1 + b 1 i) (a + b i) = a 1 a + a 1 b i + a b 1 i + b 1 b i = = (a 1 a b 1 b ) + (a 1 b + a b 1 )i

33 .3. NUMERE COMPLEXE SUB FORMĂ TRIGONOMETRICĂ 9 Număru compex z = a bi se numeşte conjugatu ui z = a + bi. Număru rea z = a + b se numeşte moduu ui z = a + bi. Are oc reaţia z z = z. Împărţirea a două numere compexe se face prin ampificarea cu conjugatu numitoruui: z 1 z = z 1 z z z = a 1a + b 1 b a + b Ate proprietăţi ae numereor compexe: + a b 1 a 1 b a + i pentru z. b z 1 ± z = z 1 ± z (.6) z 1 z = z 1 z (.7) ( z 1 ) = z 1, (z ) z z (.8) z = z z R (.9) Re z = 1 (z + z), Im z = 1 i (z z) (.3) ( z) = z (.31) Re z = Re z, Im z = Im z (.3) z = z = z (.33) z 1 z = z 1 z (.34) z 1 z = z 1 z (.35) z 1 z z 1 + z z 1 + z (.36) Re z z, Im z z (.37) z 1 ± z = z 1 + z ± Re(z 1 z ) (.38) z 1 + z + z 1 z = ( z 1 + z ) (.39) Numeree compexe pot fi reprezentate prin puncte în pan astfe: punctu M(x, y) se numeşte imaginea geometrică a număruui compex z = x + yi şi invers, număru compex z = x + yi se numeşte afixu punctuui M(x, y). Numereor reae corespund puncte de pe axa Ox (numită axă reaă), iar numereor pur imaginare corespund puncte de pe axa Oy (numită axă imaginară) x = ρ cos θ Foosind coordonatee poare ae puncteor din pan obţinem y = ρ sin θ forma trigonometrică a numereor compexe: z = ρ(cos θ + i sin θ) ρ = x + y este chiar moduu ui z, iar θ [, π) (cu tg θ = y x ) se numeşte argumentu ui z şi se notează cu arg z

34 3 CAPITOLUL. COMPLEMENTE DE TRIGONOMETRIE Foosind formua ui Euer e iθ = cos θ + i sin θ se obţine forma exponenţiaă a numereor compexe z = ρe iθ. Avem e iθ = cos θ i sin θ, deci z = ρe iθ. Pentru adunarea şi scăderea numereor compexe se poate foosi regua paraeogramuui pentru vectorii de poziţie corespunzători imaginior acestor numere compexe. Distanţa dintre imaginie a două numere compexe este egaă cu moduu diferenţei dintre aceste numere: z 1 z = (x 1 + y 1 i) (x + y i) = (x 1 x ) + (y 1 y ) Pentru înmuţirea şi împărţirea numereor compexe se pot foosi formee trigonometrice sau exponenţiae. Dacă z 1 = ρ 1 (cos θ 1 + i sin θ 1 ) = ρ 1 e iθ 1 şi z = ρ (cos θ + i sin θ ) = ρ e iθ atunci: z 1 z = ρ 1 (cos θ 1 + i sin θ 1 ) ρ (cos θ + i sin θ ) = = ρ 1 ρ [cos θ 1 cos θ sin θ 1 sin θ + i(sin θ 1 cos θ + cos θ 1 sin θ )] = ρ 1 ρ [cos(θ 1 + θ ) + i sin(θ 1 + θ )] = ρ 1 e iθ 1 ρ e iθ = ρ 1 ρ e i(θ 1+θ ) z 1 = ρ 1 [cos(θ 1 θ ) + i sin(θ 1 θ )] = ρ 1e iθ1 z ρ ρ e = ρ 1 e i(θ 1 θ ) iθ ρ Formua ui Moivre: z n = [ρ(cos θ + i sin θ)] n = ρ n [cos(nθ) + i sin(nθ)] Consecinţe ae formuei ui Moivre: ˆ Ecuaţia binomă z n = a, unde a = r(cos α + i sin α) C are rădăcinie compexe z k = n r (cos α + kπ n + i sin α + kπ ), k =, 1,..., n 1. (.4) n ˆ Pentru a = 1 = cos + i sin se obţine z k = cos kπ kπ + i sin, k =, 1,..., n 1 n n care se numesc rădăcinie de ordinu n ae unităţii. ˆ Rădăcinie din (.4) pot fi rescrise z k = n r (cos α n + i sin α kπ kπ ) (cos + i sin ), k =, 1,..., n 1. n n n aşadar se obţin dintr-o rădăcină a ecuaţiei binome prin înmuţire cu rădăcinie de ordinu n ae unităţii.

35 .4. FUNCŢIILE TRIGONOMETRICE ÎN COMPLEX 31.4 Funcţiie trigonometrice în compex Funcţii eementare în compex: 1. Funcţia poinomiaă în compex P (z) = a n z n + a n 1 z n a 1 z + a, a k C, k =,..., n. Funcţia raţionaă în compex R(z) = P (z) Q(z) = a mz m + a m 1 z m a 1 z + a b n z n + b n 1 z n b 1 z + b, a j, b k C, j =, m, k =, n 3. Funcţia radica în compex n z se defineşte ca fiind inversa funcţiei putere z n. Foosind (.4) avem: n z = n r(cos α + i sin α) = n r (cos α + kπ n + i sin α + kπ ), k =, n 1. n Funcţia radica în compex este o funcţie mutivaentă (mutiformă) cu n vaori (ramuri de funcţie). Pentru k = se obţine determinarea principaă a funcţiei radica. 4. Funcţia exponenţiaă în compex: Proprietăţi: ˆ e z 1+z = e z 1 e z e z = e x+iy = e x (cos y + i sin y). ˆ e z+πi = e z (funcţie periodică de perioadă πi) ˆ e z = e x şi arg(e z ) = y pentru z = x + iy 5. Funcţia ogaritmică în compex se defineşte ca fiind inversa funcţiei exponenţiae: z = e w w = n z. Dacă w = u + iv şi z = ρe iθ (unde ρ = z şi θ = arg(z)) atunci: e w = e u+iv = e u e iv = z = ρ e iθ e u = ρ şi v = θ + kπ, k Z Ln z = n z + i (arg z + kπ), k Z Logaritmu compex este o funcţie mutivaentă (mutiformă) cu o infinitate de ramuri de funcţie. Pentru k = se obţine determinarea principaă a funcţiei ogaritm. Proprietăţi:

36 3 CAPITOLUL. COMPLEMENTE DE TRIGONOMETRIE ˆ n(z 1 z ) = n z 1 + n z ˆ n ( z 1 z ) = n z 1 n z ˆ n(z n ) = n n z ˆ n ( n z) = 1 n n z 6. Puterea compexă a unui număr compex: z α = e α n z (α C). 7. Funcţiie trigonometrice şi hiperboice în compex se definesc cu ajutoru funcţiei exponenţiae şi preungesc în compex funcţiie corespunzătoare reae: Proprietăţi: cos z = 1 (eiz + e iz ) sin z = 1 i (eiz e iz ) (.41) ch z = 1 (ez + e z ) sh z = 1 (ez e z ) (.4) ˆ cos(iz) = ch z şi sin(iz) = i sh z ˆ cos z + sin z = 1 şi ch z sh z = 1 ˆ sin(z 1 ± z ) = sin z 1 cos z ± cos z 1 sin z ˆ cos(z 1 ± z ) = cos z 1 cos z sin z 1 sin z ˆ sh(z 1 ± z ) = sh z 1 ch z ± ch z 1 sh z ˆ ch(z 1 ± z ) = ch z 1 ch z ± sh z 1 sh z ˆ Funcţiie trigonometrice sin şi cos sunt periodice de perioadă π, iar funcţiie hiperboice sh şi ch sunt periodice de perioadă πi ˆ Funcţiie cos şi ch sunt pare, iar funcţiie sin şi sh sunt impare ˆ sin ( π z) = cos z şi cos ( π z) = sin z Se pot defini şi funcţiie tg z = sin z cos z, ctg z = cos z sin z sh z ch z, th z = ch z, cth z = sh z. 8. Funcţiie inverse trigonometrice şi inverse hiperboice în compex se definesc cu ajutoru funcţiei ogaritmice în compex: ˆ arcsin z = 1 i Ln (iz + 1 z ) ˆ arccos z = 1 i Ln (z + z 1)

37 .5. EXERCIŢII 33 ˆ arctg z = 1 i Ln i z i + z ˆ arcctg z = 1 i Ln z + i z i ˆ argsh z = Ln (z + z + 1) ˆ argch z = Ln (z + z 1) ˆ argth z = 1 Ln 1 + z 1 z ˆ argcth z = 1 Ln z + 1 z 1.5 Exerciţii 1. Să se găsească seria Fourier a funcţiei f(x) = x, x π, periodică, de perioadă π. Rezovare. Preungind funcţia f(x) prin periodicitate, construim funcţia f(x), definită pe R minus punctee x n = nπ, (n Z), care sunt discontinuităţi de speţa întâia pentru această funcţie. Graficu său, pentru un număr finit de perioade, este următoru: f(x) x 6π 4π π π 4π 6π 8π x Avem: f(kπ ) = π, f(kπ + ) =, k Z.

38 34 CAPITOLUL. COMPLEMENTE DE TRIGONOMETRIE Cacuăm coeficienţii Fourier: a = 1 π π π a n = 1 π b n = 1 π π xdx = 1 π x π = π x cos nxdx = 1 x π n x sin nxdx = 1 π x n sin nx π 1 n cos nx π + 1 n π sin nxdx =, n N sin nxdx = n, n N Avem, sin nx f(x) pentru x R {kπ}, k Z f(x) π =, n=1 n π pentru x = kπ, k Z adică seria Fourier este convergentă către ordonatee graficuui funcţiei f(x) în orice punct de continuitate a acestei funcţii şi are suma egaă cu media aritmetică a imiteor aterae ae funcţiei f(x), în toate punctee sae de discontinuitate. Pe intervaee (nπ, (n + 1)π) n Z convergenţa seriei este chiar uniformă către f(x). Din precedentee rezută formua sin nx n=1 n care dă suma seriei trigonometrice x din intervau (, π).. Să se găsească seria Fourier a funcţiei π = π x, x (, π), (.43) sin nx n=1 n f(x) = x, x π, pentru orice vaoare a ui funcţia fiind periodică de perioadă T = π, să se precizeze apoi suma seriei pentru x R. Rezovare. Graficu funcţiei f(x) este următoru: f(x) x 6π 4π π π 4π 6π 8π x

39 .5. EXERCIŢII 35 Avem: f(kπ ) = 4π, f(kπ + ) =, k Z. Rezută atunci: f(x) 4π 3 +4 n=1 a = 1 π π π a n = 1 π b n = 1 π π cos nx n x dx = 8π 3, x cos nxdx = 4, n = 1,,... n x sin nxdx = 4π, n = 1,,... n 4π n=1 sin nx n f(x) = π Ca o consecinţă a acestei dezvotări, obţinem pentru x = π, ( 1) n+1 n=1 n = π 1 pentru x kπ pentru x = kπ, k Z (.44) De asemenea, înocuind (.43) în (.44) se obţine suma primei serii din dezvotarea de mai sus sub forma cos nx = 3x 6πx + π, x π, (.45) n 1 n=1 egaitatea fiind vaabiă chiar pentru x = şi x = π, deoarece preungirea funcţiei din membru drept a egaităţii (.45) este continuă pentru x R (ea ia vaori egae cu π /6 a capetee intervauui [, π]). 3. Să se dezvote în serie Fourier de cosinusuri funcţia f(x) = x, x π, periodică, de perioadă π. Rezovare. Preungim mai întâi funcţia prin paritate pe intervau [ π, ] şi apoi prin periodicitate pe toată axa. Se obţine o funcţie continuă pe R, pe care o notăm cu f şi a cărui grafic este următoru: f x 4π 3π π π π π 3π 4π x

40 36 CAPITOLUL. COMPLEMENTE DE TRIGONOMETRIE Avem: a = π a n = π π π xdx = π, x cos nxdx = π x sin nx π 1 π n n sin nxdx = pentru n par 4 pentru n impar π(n 1) = πn cos nx π = Prin urmare, rezută că, a n =, n = 1,,... 4 a n 1 =, n = 1,,... π(n 1) b n =, n = 1,,... x π 4 π cos(n 1)x = n=1 (n 1) f(x), x R. Din această dezvotare rezută că putem scrie egaitatea: x = π 4 π cos(n 1)x, π x π. (.46) n=1 (n 1) Egaitatea (.46) are oc şi în punctee x = π şi x = π, în virtutea continuităţii funcţiei. Seria obţinută este absout şi uniform convergentă pentru x R, concuzie ce rezută atât din criteriu ui Dirichet cât şi prin apicarea criteriuui ui Weierstrass, comparând seria dată cu seria Riemann n=1 1, care este convergentă. (n 1) 4. Să se dezvote în serie Fourier de sinusuri, funcţia f(x) = 1, x π, periodică, de perioadă π. Rezovare. Rezovarea probemei constă în a preungi mai întâi funcţia dată prin imparitate pe intervau [ π, ], obţinând 1 pentru π x f(x) = 1 pentru < x π

41 .5. EXERCIŢII 37 şi apoi prin periodicitate pe toată axa, obţinând în fina funcţia f(x), a cărei grafic are următoru aspect: f 4π 3π π π π π 3π 4π x După această operaţie, cacuăm coeficienţii corespunzători funcţiei impare date: a n =, (n =, 1,,... ), b n = π π de unde rezută, Rezută că avem f(x) 4 π 1 sin nxdx = nπ cos nx π = nπ [1 ( 1)n ], b n =, (n =, 1,,... ), 4 b n 1 =, (n =, 1,,... ). π(n 1) sin(n 1)x f(x) pentru x kπ = n=1 n 1 pentru x = kπ, k Z Această serie este chiar uniform convergentă pe toate subintervaee aparţinând intervaeor (nπ, (n + 1)π), n Z. Din dezvotarea precedentă mai rezută egaitatea sin(n 1)x = π n=1 n 1 4, < x < π. Acest rezutat este interesant prin faptu că suma seriei este constantă, cu toate că seria este o serie de funcţii. 5. Să se dezvote în serie Fourier funcţia 1 dacă < x < 1 f(x) = dacă 1 < x <,

42 38 CAPITOLUL. COMPLEMENTE DE TRIGONOMETRIE a cărei perioadă este T =. Rezovare. Graficu funcţiei preungite este de forma prezentată în figura aăturată f x Acum cacuăm coeficienţii Fourier corespunzători pentru = 1 şi ţinând seama că f(x) = pe intervau [ 1, ]: a = 1 1 a n = b n = 1 de unde rezută Prin urmare, dx = 1; cos nπxdx = 1 nπ sin nx 1 sin nπxdx = 1 nπ cos nπx 1 b n =, b n 1 = =, (n = 1,,... ) = 1 nπ [1 ( 1)n ], (n = 1,,... ). π(n 1) f(x) 1 + π sin(n 1)πx f(x) = 1 n=1 n 1 pentru x k pentru x = k, k Z De aici mai rezută egaitatea sin(n 1)πx = π n=1 n 1 4, < x < 1, din care pot fi obţinute pentru vaori particuare ae ui x sumee unor serii aternate.

43 .5. EXERCIŢII Să se dezvote în serie de sinusuri funcţia periodică x pentru x 1 f(x) = x pentru 1 < x, perioada sa fiind T = = 4, ( = ). Rezovare. Preungind prin imparitate funcţia f(x) pe intervau [, ] şi apoi prin periodicitate pe toată axa, obţinem funcţia continuă f(x), a cărei grafic are următoru aspect: f x Suma seriei Fourier corespunzătoare va coincide cu f(x) pe R, seria fiind absout şi uniform convergentă (după cum se va putea constata apicându-i criteriu ui Weierstrass). Funcţia f(x) fiind impară, rezută a n =, (n =, 1,,... ), iar b n = f(x) sin nπx s dx = 1 = x sin nπx dx + 1 Din utima expresie rezută b n =, (n N); b n 1 = Drept consecinţă, putem scrie f(x) = 8 π n=1 f(x) sin nπx s dx = ( x) sin nπx dx = 8 π n sin nπ ( 1) n 1 (n 1) 8( 1)n 1, (n N). π (n 1) (n 1)πx sin, x R., (n = 1,,... ).

44 4 CAPITOLUL. COMPLEMENTE DE TRIGONOMETRIE 7. Să se dezvote în serie de cosinusuri funcţia periodică de perioadă T = =, f(x) = x, x [, 1]. Rezovare. Se preungeşte mai întâi funcţia f(x) prin paritate pe intervau [ 1, ] şi apoi prin periodicitate pe toată axa, obţinându-se funcţia f(x), continuă pe R, a cărei grafic î prezentăm în continuare: f(x) x Funcţia dată fiind pară, avem b n =, (n N). Avem încă a = x dx = 1 x dx = 3 ; a n = x cos nπx s dx = 1 x cos nπxdx = 4 ( 1)n n π (n N). Urmează atunci, în virtutea continuităţii funcţiei f(x) că avem f(x) = π n=1 Mai rezută că putem scrie încă egaitatea ( 1) n cos nπx, x R n ( 1) n cos nπx = π (3x 1), x [ 1, 1] (.47) n=1 n 1 Luând în (.47) pe x = 1, obţinem suma seriei Riemann n=1 1 n = π 6 De asemenea, pentru x =, din (.47) obţinem ( 1) n 1 n=1 n = π 1 Din exempee considerate se poate constata că din dezvotări Fourier corespunzătoare, se pot obţine sumee unor serii numerice, pentru care, de cee mai mute ori nu putem preciza decât ce mut natura.

45 .5. EXERCIŢII Să se dezvote în serie Fourier trigonometrică pe intervau [, ], > funcţia, x [, ) f(x) =. x, x [, ] 9. Să se dezvote în serie Fourier trigonometrică numai de sinusuri pe intervau [, π] funcţia sin x, x [, π f(x) = ], x ( π, π]. 1. Să se dezvote în serie Fourier trigonometrică numai de cosinusuri pe intervau [, π] funcţia f(x) = π x. 11. Să se cacueze: a) (1 + i)( 3i); b) ( + i) 3 ; c) i 1 + 3i ; d) + i i ; e) 1 + i i( + 3i) ; (1 + i)( 3i) f) ( i)(3 + i). 1. Să se reprezinte în pan şi să se scrie sub formee trigonometrică şi exponenţiaă următoaree numere compexe: ±i, ±1±i, ±1±i 3, ± 3±i, ±4 ± 3i. 13. Să se scrie forma agebrică ae numereor compexe având următoaree modue şi argumente: a) z =, arg z = π; b) z = 1, arg z = 3π 4 ; c) z = π, arg z = π 6 ; d) z = 1, arg z = π Să se determine şi să se reprezinte în pan numeree compexe care satisfac următoaree reaţii: a) z = ; b) z i 3; c) 3 z 3 + 4i 5; d) Re z 3; f) Im z ; g) π 6 arg z π Să se rezove ecuaţiie: a) z + (5 i)z + 5(1 i) = b) z + (1 i)z i = c) z 3 = 1 d) z 4 = 4

46 4 CAPITOLUL. COMPLEMENTE DE TRIGONOMETRIE e) z 6 + (1 + 7i)z i = R: a) z 1 = + i, z = 3 + i b) z 1 = 1, z = i 16. Să se cacueze următoaree vaori: a) e +3i b) n( 3 + i) c) (1 + i) 3 i d) i i R: a) e (cos 3 + i sin 3) b) n + i ( π 6 + kπ), k Z c) 3 e π +4kπ [cos ( 3π 4 n ) + i sin ( 3π 4 d) e ( π +kπ), k Z n )], k Z 17. Să se cacueze: a) sin( i) b) cos( + i) c) tg( i) d) ctg ( π 4 i n ) e) ch(1 + i) f) cth( + i)

47 Capitou 3 Apicaţiie trigonometriei în geometrie şi practică 3.1 Reaţii între aturi şi unghiuri într-un triunghi oarecare Fie un triunghi oarecare cu vârfurie în punctee A, B, C (se notează ABC). Unghiurie sunt notate cu A, B şi C şi măsura or este cuprinsă între şi 18 (în radiani între şi π): A + B + C = 18 Dacă toate unghiurie sunt ascuţite (A, B, C < 9 ) triunghiu se numeşte ascuţitunghic, dacă un unghi este obtuz (cu măsura între 9 şi 18 ) se numeşte obtuzunghic, iar dacă are un unghi drept (9 ) se numeşte dreptunghic. Laturie se notează cu a = BC, b = CA, c = AB şi verifică inegaităţie: a < b + c, b < c + a, c < a + b (3.1) a > b c, b > c a, c > a b (3.) Un triunghi care are două aturi egae se numeşte isosce, un triunghi cu toate aturie egae se numeşte echiatera, iar un triunghi cu aturie oarecare se mai numeşte şi triunghi scaen. Notăm cu h a, h b, h c înăţimie triunghiuui duse din A, B, respectiv C. Avem: h a = c sin B = b sin C h b = c sin A = a sin C h c = a sin B = b sin A 43 b sin B = c sin C a sin A = c sin C b sin B = a sin A

48 44 CAPITOLUL 3. APLICAŢIILE TRIGONOMETRIEI Teorema sinusurior: Aria ABC este a sin A = b sin B = c sin C. S = 1 a h a = 1 ab sin C = 1 ac sin B = 1 bc sin A Deducem că sin A = S S S, sin B =, sin C =, iar teorema sinusurior bc ac ab devine a sin A = b sin B = c sin C = abc S = R unde R este raza cercuui circumscris triunghiuui. Avem S = abc 4R şi a = R sin A, b = R sin B, c = R sin C Teorema proiecţiior: a = c cos B + b cos C b = a cos C + c cos A c = b cos A + a cos B Teorema ui Pitagora generaizată: a = b + c bc cos A b = a + c ac cos B c = a + b ab cos C Teorema cosinusuui: Avem: cos A cos A = b + c a bc cos B = a + c b ac cos C = a + b c ab = 1 (1 + cos A) = 1 (1 + b + c a = (b + c + a)(b + c a) 4bc = ) = b + bc + c a bc 4bc p(p a), unde p = a + b + c bc =

49 3.1. RELAŢII ÎNTRE LATURI ŞI UNGHIURI 45 Aşadar cos A = p(p a), cos B bc = p(p b), cos C ac = p(p c) ab sin A = 1 (1 cos A) = 1 (1 b + c a ) = a b + bc c bc 4bc (a + c b)(a + b c) (p b)(p c) = =, deci 4bc bc = sin A = (p b)(p c), sin B bc = (p a)(p c), sin C ac = (p a)(p b) ab tg A = (p b)(p c) p(p a) Teorema tangentei:, tg B = (p a)(p c), tg C p(p b) = (p a)(p b) p(p c) a b R(sin A sin B) = a + b R(sin A + sin B) A B sin cos A+B = sin A+B cos A B = tg A B ctg A + B a b a + b A B tg =, tg A+B Formuee ui Moweide: b c b + c B C tg =, tg B+C c a c + a C A tg = tg C+A a + b c = R(sin A + sin B) R sin C = A+B sin cos A B sin C cos ; A + B + C = π C sin A + B = sin π C = sin ( π C ) = cos C şi atunci obţinem a + b c = cos A B sin C, b + c a B C cos =, sin A c + a b = cos C A sin B şi anaog a b c = sin A B cos C, b c a B C sin =, cos A c a b = sin C A cos B

50 46 CAPITOLUL 3. APLICAŢIILE TRIGONOMETRIEI 3. Formue pentru diverse eemente ae unui triunghi 1. Aria triunghiuui S = 1 bc sin A = bc sin A cos A = bc (p b)(p c) p(p a) bc bc = p(p a)(p b)(p c) (formua ui Heron) = 1 a sin B sin A a sin C sin A sin A = a sin B sin C sin A. Raza cercuui circumscris triunghiuui R = abc S R = 3. Raza cercuui înscris în triunghi 4. Înăţimie triunghiuui S = 1 ar + 1 br + 1 cr = a + b + c 5. Bisectoaree triunghiuui 6. Medianee triunghiuui abc 4 p(p a)(p b)(p c) h a = R sin B sin C h b = R sin A sin C h c = R sin A sin B b a = b sin C cos B C b b = c sin A cos C A b c = a sin B cos A B = c sin B cos B C = a sin C cos C A = b sin A cos A B m a = (b +c ) a 4 m b = (a +c ) b 4 m c = (a +b ) c 4 r = p r r = S p

51 3.3. REZOLVAREA TRIUNGHIURILOR Rezovarea triunghiurior Fie ABC un triunghi dreptunghic în A (A = 9 ). Lungimie cateteor sunt AB = c şi AC = b, iar ungimea ipotenuzei este BC = a. Avem: ˆ Unghiurie ascuţite sunt compementare deoarece suma unghiurior este 18 : B + C = 9 ˆ Teorema ui Pitagora: a = b + c ˆ Funcţiie trigonometrice în triunghiu dreptunghic: sin B = b a, cos B = c a, tg B = b c, ctg B = c b sin C = c a, cos C = b a, tg C = c b, ctg C = b c ˆ Aria triunghiuui: S = 1 b c = 1 ab sin C = 1 ac sin B = 1 4 a sin B = 1 4 a sin C = 1 b ctg B = 1 c ctg C Un triunghi dreptunghic poate fi rezovat dacă sunt cunoscute (în afară de unghiu drept A = 9 ) următoaree eemente: 1. cee două catete b şi c. ipotenuza a şi o catetă b (sau c) 3. ipotenuza a şi un unghi ascuţit B (sau C) 4. o catetă şi unghiu opus ei (b şi B, sau c şi C) Caz Date Necunoscute Unghiuri Laturi Arie 1 b, c B, C, a, S tg B = b c, tg C = c b a = b + c S = 1 bc a, b B, C, c, S sin B = cos C = b a c = a b S = 1 b a b 3 a, B C, b, c, S C = 9 B 4 b, B C, a, c, S C = 9 B b = a sin B c = a cos B a = b sin B c = b ctg B S = 1 4 a sin B S = 1 b ctg B

52 48 CAPITOLUL 3. APLICAŢIILE TRIGONOMETRIEI Un triunghi oarecare poate fi rezovat dacă sunt cunoscute următoaree eemente: 1. două aturi şi unghiu dintre ee (cazu L.U.L.). o atură şi două unghiuri (cazu U.L.U.) 3. toate cee trei aturi (cazu L.L.L.) 4. două aturi şi unghiu opus uneia dintre ee (cazu L.L.U.) Caz Date Nec. Unghiuri Laturi A + B = 18 C L.U.L. a, C, b A, B, c tg A B = a b a+b ctg C c = a + b ab cos C U.L.U. B, a, C A, b, c A = 18 (B + C) b = a sin B sin A, c = a sin C sin A L.L.L. a, b, c A, B, C L.L.U. a, b, A B, C, c Observaţii: ˆ ˆ ˆ tg A = (p b)(p c) p(p a) tg B = (p a)(p c) p(p b) tg C = (p a)(p b) p(p c) sin B = b sin A a C = 18 (A + B) Verificare A + B + C = 18 c bc cos A + b a = (ecuaţie de gr. în c) În cazu L.U.L. triunghiu poate fi construit grafic, deci existenţa ui este asigurată cu souţie unică. Latura necunoscută se determină cu teorema ui Pitagora generaizată, iar unghiurie necunoscute se obţin din sistemu pentru suma şi diferenţa or (ca în tabe) sau cu teorema sinusurior În cazu U.L.U. triunghiu există şi este unic dacă şi numai dacă suma unghiurior date este mai mică de 18. Unu din unghiurie date poate să nu fie aăturat aturii date deoarece din suma unghiurior rezută şi ceăat unghiu aăturat. Laturie necunoscute se cacuează cu ajutoru teoremei sinusurior. În cazu L.L.L. triunghiu există şi este unic determinat dacă şi numai dacă pentru aturie date sunt îndepinite inegaităţie triunghiuui. Unghiurie se determină cu ajutoru teoremei cosinusuui sau cu formuee jumătăţii de arc în funcţie de aturi.

53 3.4. TRIGONOMETRIE ŞI GEOMETRIE ÎN SPAŢIU 49 ˆ În cazu L.L.U. triunghiu există dacă şi numai dacă ecuaţia de gradu doi obţinută din teorema ui Pitagora generaizată are ce puţin o rădăcină strict pozitivă. c bc cos A + b a = c = b cos A ± b cos A b + a c = b cos A ± a b sin A 3.4 Trigonometrie şi geometrie în spaţiu Intersecţia a două pane neparaee este o dreaptă. Aceste pane se împart în patru semipane (două câte două opuse) care au în comun dreapta de intersecţie. Două semipane formează un unghi diedru, dreapta ce imitează aceste semipane se numeşte originea diedruui sau muchia diedruui, iar semipanee se numesc feţee diedruui. Prin unghi pan corespunzător unui unghi diedru înţeegem unghiu format de două semidrepte conţinute în cee două semipane şi perpendicuare pe muchia diedruui. Panu bisector a unghiuui diedru este panu care conţine muchia diedruui şi care face cu feţee diedruui unghiuri pane corespunzătoare egae. Fie un unghi diedru de măsură α. Dacă ABC este un triunghi de arie S situat pe una din feţee diedruui, atunci aria proiecţiei A B C pe ceaată faţă a diedruui este S = S cos α Dacă se consideră un a treiea pan care nu este parae cu cee două pane care formează unghiu diedru, atunci toate trei au un punct comun şi se intersectează două câte două după câte o dreaptă, formând trei muchii care trec prin punctu comun paneor. Spaţiu este împărţit de cee trei pane în opt părţi numite octanţi. Porţiunea din spaţiu determinată de un octant se mai numeşte şi unghi spaţia sau unghi triedru. Eementee unui triedru Oxyz sunt: ˆ vârfu triedruui O ˆ 3 muchii (semidreptee Ox, Oy, Oz) ˆ 3 feţe pane (xoy, yoz, xoz), fiecare dintre ee fiind un unghi pan ˆ 3 unghiuri diedre având ca muchii Ox, Oy, Oz. Bisectoarea unui triedru este semidreapta de intersecţie a paneor bisectoare ae ceor trei diedre formate de feţee triedruui.

54 5 CAPITOLUL 3. APLICAŢIILE TRIGONOMETRIEI Teorema 3.1. În orice triedru unghiu unei feţe este mai mic decât suma ceorate două unghiuri. Un triedru pentru care cee trei semidrepte sunt perpendicuare două câte două se numeşte triedru tridreptunghic. Un triedru tridreptunghic constituie suportu unui reper (sistem de coordonate) cartezian în spaţiu, muchiie fiind suportu axeor de coordonate (având fixate sensurie pozitive şi unitatea de măsură). Un reper drept este un reper în care prin rotirea semiaxei pozitive Ox spre semiaxa pozitivă Oy în sens pozitiv, se obţine sensu pozitiv a semiaxei pozitive Oz după regua mâinii drepte sau a burghiuui. Dacă se consideră mai mute (ce puţin trei) pane ce au un punct comun se obţine un unghi mărginit de mai mute feţe pane, numit unghi poiedru. Dacă interioru unui unghi poiedru nu este intersectat de niciunu din panee care î formează, acesta se numeşte unghi poiedru convex; în caz contrar unghiu se numeşte unghi poiedru concav. Un pan care intersectează toate feţee unui unghi poiedru convex determină prin punctee de intersecţie cu muchiie poiedruui un poigon convex. Dacă acest poigon convex este inscriptibi într-un cerc, atunci acest cerc împreună cu vârfu unghiuui poiedru determină o suprafaţă conică în care este înscris poiedru convex. Un unghi soid este o porţiune din spaţiu mărginită de suprafaţa unui con circuar drept. Unghiurie soide se măsoară în steradiani. Un steradian este ega cu unghiu soid care, având vârfu în centru unei sfere, decupează pe aceasta o arie egaă cu pătratu razei. Sfera are în tota 4π steradiani (aria sferei fiind 4πr ). Unghiurie soide se mai măsoară în grade pătrate, notate ( ) sau deg. Ee măsoară porţiuni din suprafaţa unei sfere anaog cum gradee măsoară porţiuni din ungimea unui cerc. π π Astfe, dacă un grad are 18 radiani, atunci un grad pătrat are ( 18 ) steradiani. O sferă întreagă are 4π ( 18 π ) = 196 π 4153 deg