Inflation and Reheating in Spontaneously Generated Gravity
|
|
|
- Ενυώ Γλυκύς
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Univesità di Bologna Inflation and Reheating in Spontaneously Geneated Gavity (A. Ceioni, F. Finelli, A. Tonconi, G. Ventui) Phys.Rev.D81:123505,2010
2 Motivations
3 Inflation (FTV Phys.Lett.B681: ,2009) S = d 4 x g gµν 2 µσ ν σ + γ 2 σ2 R V (σ) δ 0 σ/σ(t i ) 0 H(t i )/H δ n : n : n+1 1 δn+1 δn 1 dδ n /dn n d n /dn N =ln a(t) a(t i ) γ σ V dv eff dσ σ V dv dσ 4 1, σ n V d n V eff dσ n 1 V (σ) σ n δ 1 = γ (n 4) 1+γ (n + 2), 1 = γ (n 2) (n 4) 2+2γ (n + 2)
4 Inflationay specta f i,k + α i f i,k + k2 a 2 H 2 f i,k =0, = d dn,i= s, t f s (x) =R(x) = Hδσ(x) σ α s =3 1 +2δ 1 +2δ 2 2 δ 1δ 2 1+δ 1 f t(x) =h (x),h + (x) α t =3 1 +2δ 1 P R (k) k3 2π 2 R k 2 P R (k ) k k ns 1 P h (k) 2k3 π 2 h+,k 2 + h,k 2 P h (k ) k k nt
5 Inflationay specta f i,k + α i f i,k + k2 a 2 H 2 f i,k =0, = d dn,i= s, t f s (x) =R(x) = Hδσ(x) σ α s =3 1 +2δ 1 +2δ 2 2 δ 1δ 2 1+δ 1 f t(x) =h (x),h + (x) α t =3 1 +2δ 1 P R (k) k3 k 2π 2 R k 2 P R (k ) k ns 1 Compaed to data = P h(k) P R (k) = 8 n t 1 n t 2 P h (k) 2k3 π 2 h+,k 2 + h,k 2 P h (k ) k k nt
6 Slow Roll Appoximation δ i 1, i 1 γ (δ 1 6γ) 1 = δ 1 (3 + 24γ δ 1 + δ 2 )+3γ 1+2δ 1 δ2 1 σ dv eff 6γ V dσ δ1 2(1+δ 1 ) 1 = δ 1 γ 2+4δ 1 +2δ 2 γ 1 γ 1 1= 2(δ 1 + δ ) = 2γσ2 V eff,σσ 3V eff,σ V 2 eff,σ 3 V σ V V γρ δ = 16 (δ ) = 8γσ2 1+ 2γρ δ V 2 eff,σ ρ δ δ 2 V 2 δ 1 H 2 P R (k ) 4π 2 (1 + 6γ) δ1 2 σ2 P R (k )=(2.445 ± 96) 10 9
7 Slow Roll Appoximation δ i 1, i 1 γ (δ 1 6γ) 1 = δ 1 (3 + 24γ δ 1 + δ 2 )+3γ 1+2δ 1 δ2 1 σ dv eff 6γ V dσ δ1 2(1+δ 1 ) 1 = δ 1 γ 2+4δ 1 +2δ 2 γ 1 γ 1 γ 1 1= 2(δ 1 + δ ) = 2γσ2 V eff,σσ 3V eff,σ V 2 eff,σ 3 V σ V V γρ δ = 16 (δ ) = 8γσ2 1+ 2γρ δ V 2 eff,σ ρ δ δ 2 V 2 δ 1 H 2 P R (k ) 4π 2 (1 + 6γ) δ1 2 σ2 P R (k )=(2.445 ± 96) 10 9
8 Slow Roll Appoximation δ i 1, i 1 γ (δ 1 6γ) 1 = δ 1 (3 + 24γ δ 1 + δ 2 )+3γ 1+2δ 1 δ2 1 σ dv eff 6γ V dσ δ1 2(1+δ 1 ) 1 = δ 1 γ 2+4δ 1 +2δ 2 γ 1 γ 1 1= 2(δ 1 + δ ) = 2γσ2 V eff,σσ 3V eff,σ V 2 eff,σ 3 V σ V V γρ δ = 16 (δ ) = 8γσ2 1+ 2γρ δ V 2 eff,σ ρ δ δ 2 V 2 δ 1 H 2 P R (k ) 4π 2 (1 + 6γ) δ1 2 σ2 P R (k )=(2.445 ± 96) 10 9
9 Slow Roll Appoximation δ i 1, i 1 γ (δ 1 6γ) 1 = δ 1 (3 + 24γ δ 1 + δ 2 )+3γ 1+2δ 1 δ2 1 σ dv eff 6γ V dσ δ1 2(1+δ 1 ) 1 = δ 1 γ 2+4δ 1 +2δ 2 γ 1 γ 1 γ 1 1= 2(δ 1 + δ ) = 2γσ2 V eff,σσ 3V eff,σ V 2 eff,σ 3 V σ V V γρ δ = 16 (δ ) = 8γσ2 1+ 2γρ δ V 2 eff,σ ρ δ δ 2 V 2 δ 1 H 2 P R (k ) 4π 2 (1 + 6γ) δ1 2 σ2 P R (k )=(2.445 ± 96) 10 9
10 Slow Roll Appoximation δ i 1, i 1 γ (δ 1 6γ) 1 = δ 1 (3 + 24γ δ 1 + δ 2 )+3γ 1+2δ 1 δ2 1 σ dv eff 6γ V dσ δ1 2(1+δ 1 ) 1 = δ 1 γ 2+4δ 1 +2δ 2 γ 1 γ 1 1= 2(δ 1 + δ ) = 2γσ2 V eff,σσ 3V eff,σ V 2 eff,σ 3 V σ V V γρ δ = 16 (δ ) = 8γσ2 1+ 2γρ δ V 2 eff,σ ρ δ δ 2 V 2 δ 1 H 2 P R (k ) 4π 2 (1 + 6γ) δ1 2 σ2 P R (k )=(2.445 ± 96) 10 9
11 SB Potentials Geneal Featues γ 0 γ 1 2m V σ σ 0 σ V 0 1 = δ 2 1, σ 0 2N 1 δ2 1 γ 2δ 2 m +1 N 8 δ2 1 γ 8 m N γ 1 V σ 4 V LG (σ) = µ 4 V CW (σ) = µ 8 σ4 log σ4 σ 4 0 σ 2 σ µ 8 σ N, 12 N N, 4 N
12 SB Potentials Numeical Analysis γ 0 V (σ) = µ 4 ( σ 2 σ 2 0) 2 V (σ) = µ 8 σ4 ( log σ4 σ 4 0 ) 1 + µ 8 σ4 0 68% C.L. 95% C.L. L.F. N = 50 V (σ) = Λ 8 ( σ 2 σ 2 0) 4 V (σ) =Λ [ )] 1 + cos (π σσ0 S.F. N = 50 L.F. N = 70 S.F. N = = 1 3
13 SB Potentials Numeical Analysis γ 0 V (σ) = µ 4 ( σ 2 σ 2 0) 2 V (σ) = µ 8 σ4 ( log σ4 σ 4 0 ) 1 + µ 8 σ4 0 γ = 10 5 SF γ = 10 5 SF 68% C.L. 95% C.L. L.F. N = 50 V (σ) = Λ 8 ( σ 2 σ 2 0) 4 γ = 10 5 SF V (σ) =Λ [ )] 1 + cos (π σσ0 γ = 10 5 SF S.F. N = 50 L.F. N = 70 S.F. N = = 1 3
14 SB Potentials Numeical Analysis γ 0 V (σ) = µ 4 ( σ 2 σ 2 0) 2 V (σ) = µ 8 σ4 ( log σ4 σ 4 0 ) 1 + µ 8 σ4 0 γ = 10 7 LF γ = 10 5 SF γ = 10 7 LF γ = 10 5 SF 68% C.L. 95% C.L. L.F. N = 50 γ = 10 5 LF V (σ) = Λ 8 ( σ 2 σ 2 0) 4 γ = 10 5 SF γ = 10 5 LF V (σ) =Λ [ )] 1 + cos (π σσ0 γ = 10 5 SF S.F. N = 50 L.F. N = 70 S.F. N = = 1 3
15 SB Potentials Geneal Featues γ 0 γ 1 2m V σ σ 0 σ V 0 1 = δ 2 1, σ 0 2N 1 δ2 1 γ 2δ 2 m +1 N 8 δ2 1 γ 8 m N γ 1 V σ 4 V LG (σ) = µ 4 V CW (σ) = µ 8 σ4 log σ4 σ 4 0 σ 2 σ µ 8 σ N, 12 N N, 4 N
16 SB Potentials Numeical Analysis 2m V σ σ 0 σ γ 1 V 0 1 N σ 0 V (σ) = µ 4 ( σ 2 σ 2 0) 2 V (σ) = µ 8 σ4 ( log σ4 σ 4 0 ) 1 + µ 8 σ4 0 68% C.L. 95% C.L. L.F. N = 50 V (σ) = Λ 8 ( σ 2 σ 2 0) 4 V (σ) =Λ [ )] 1 + cos (π σσ0 S.F. N = 50 L.F. N = 70 S.F. N = = 1 3
17 SB Potentials Numeical Analysis 2m V σ σ 0 σ γ 1 V 0 1 N σ 0 V (σ) = µ 4 ( σ 2 σ 2 0) 2 V (σ) = µ 8 σ4 ( log σ4 σ 4 0 ) 1 + µ 8 σ4 0 m =1 m =1 68% C.L. 95% C.L. L.F. N = 50 V (σ) = Λ 8 ( σ 2 σ 2 0) 4 m =1 V (σ) =Λ [ )] 1 + cos (π σσ0 S.F. N = 50 L.F. N = 70 S.F. N = = 1 3
18 SB Potentials Numeical Analysis 2m V σ σ 0 σ γ 1 V 0 1 N σ 0 V (σ) = µ 4 ( σ 2 σ 2 0) 2 V (σ) = µ 8 σ4 ( log σ4 σ 4 0 ) 1 + µ 8 σ4 0 m =1 m =1 68% C.L. 95% C.L. L.F. N = 50 m =2 V (σ) = Λ 8 ( σ 2 σ 2 0) 4 m =1 V (σ) =Λ [ )] 1 + cos (π σσ0 S.F. N = 50 L.F. N = 70 S.F. N = = 1 3
19 SB Potentials Geneal Featues γ 0 γ 1 2m V σ σ 0 σ V 0 1 = δ 2 1, σ 0 2N 1 δ2 1 γ 2δ 2 m +1 N 8 δ2 1 γ 8 m N γ 1 V σ 4 V LG (σ) = µ 4 V CW (σ) = µ 8 σ4 log σ4 σ 4 0 σ 2 σ µ 8 σ N, 12 N N, 4 N
20 SB Potentials Numeical Analysis γ 1 V σ 4 V (σ) = µ 4 ( σ 2 σ 2 0) 2 V (σ) = µ 8 σ4 ( log σ4 σ 4 0 ) 1 + µ 8 σ4 0 68% C.L. 95% C.L. L.F. N = 50 V (σ) = Λ 8 ( σ 2 σ 2 0) 4 V (σ) =Λ [ )] 1 + cos (π σσ0 S.F. N = 50 L.F. N = 70 S.F. N = = 1 3
21 SB Potentials Numeical Analysis γ 1 V σ 4 V (σ) = µ 4 ( σ 2 σ 2 0) 2 V (σ) = µ 8 σ4 ( log σ4 σ 4 0 ) 1 + µ 8 σ4 0 γ = 10 3 SF γ = 10 3 SF 68% C.L. 95% C.L. L.F. N = 50 V (σ) = Λ 8 ( σ 2 σ 2 0) 4 γ = 10 3 SF V (σ) =Λ [ )] 1 + cos (π σσ0 γ = 10 3 SF S.F. N = 50 L.F. N = 70 S.F. N = = 1 3
22 SB Potentials Numeical Analysis VIABLE γ 1 V σ 4 γ = 10 1 LF V (σ) = µ 4 ( σ 2 σ 2 0) 2 γ = 10 3 SF VIABLE γ = 10 1 LF V (σ) = µ 8 σ4 ( log σ4 σ 4 0 ) 1 + µ 8 σ4 0 γ = 10 3 SF 68% C.L. 95% C.L. L.F. N = 50 γ = 10 3 LF V (σ) = Λ 8 ( σ 2 σ 2 0) 4 γ = 10 3 SF γ = 10 3 LF V (σ) =Λ [ )] 1 + cos (π σσ0 γ = 10 3 SF S.F. N = 50 L.F. N = 70 S.F. N = = 1 3
23 (P)Reheating ρ 2 R = 3H (ρ R + P R)+Γ σ ρ σ = 3H (ρ σ + P σ ) Γ σ 2 ÿ +[1+ q (t)sin2t] y =0
24 Multiple Scale Analysis (MSA) H(t) Γ σ + 1 dv (σ) dσ 4 V (σ) σ 2 σ2 σ + σ σ 3 2γ [2 V (σ)+() σ2 ]=0 V (σ) σ = σ 0 + δσ δσ + ω0δσ 2 + n 4m2 /σ 0 δσ 2(1 + 6γ) δσ2 2 2 σ 0 δσ + 3(1 + 6γ) σ 0 2γ O δσ 2, O δ σ 2 ω 2 0 δσ2 + δσ 2 =0 V (σ) m2 2 δσ2 + O δσ 3 dv (σ) m 2 δσ + n dσ 2 δσ2 + O δσ 3 ω 0 = m 2 LG GeV
25 Multiple Scale Analysis (MSA) H(t) Γ σ + 1 dv (σ) dσ 4 V (σ) σ 2 σ2 σ + σ σ 3 2γ [2 V (σ)+() σ2 ]=0 V (σ) σ = σ 0 + δσ δσ + ω0δσ 2 + n 4m2 /σ 0 δσ 2(1 + 6γ) δσ2 2 2 fast pat σ 0 δσ + 3(1 + 6γ) σ 0 2γ O δσ 2, O δ σ 2 ω 2 0 δσ2 + δσ 2 =0 V (σ) m2 2 δσ2 + O δσ 3 dv (σ) m 2 δσ + n dσ 2 δσ2 + O δσ 3 ω 0 = m 2 LG GeV
26 Multiple Scale Analysis (MSA) H(t) Γ σ + 1 dv (σ) dσ 4 V (σ) σ 2 σ2 σ + σ σ 3 2γ [2 V (σ)+() σ2 ]=0 V (σ) σ = σ 0 + δσ δσ + ω0δσ 2 + n 4m2 /σ 0 δσ 2(1 + 6γ) δσ2 2 2 fast pat σ 0 δσ + σ 0 3(1 + 6γ) 2γ slow pat O δσ 2, O δ σ 2 ω 2 0 δσ2 + δσ 2 =0 V (σ) m2 2 δσ2 + O δσ 3 dv (σ) m 2 δσ + n dσ 2 δσ2 + O δσ 3 ω 0 = m 2 LG GeV
27 Multiple Scale Analysis (MSA) δσ(t) A (t)e i ω 0 t + c.c. A (t) e ±i ω 0 t δσ = σ 0 2 f 1+ ω 0 t cos (ω 0 t + θ 0 ) t+t/2 f, θ 0 2γ 3() A(t) = 1 T t T/2 A(t )dt, T =2π/ω 0 H(t) 2/(3t) Ḣ + 32 H2 ρ σ =3γσ 2 0H 2 ρ R, P σ = 2γσ 2 0 ρ R P R w P σ ρ σ = 3γ 1+9γ
28 Reheating ρ σ + 1 dv (σ) dσ 4 V (σ) σ R = 3H (ρ R + P R )+Γ σ 2 2 σ2 σ + σ σ σ = σ 0 + δσ 3 2γ [2 V (σ)+() σ2 )+2ρ R ]+ Γ ρ R V (σ) δσ 2, Γ H δσ/σ 0 σ =0 δσ + ω 2 0δσ + n 4m2 /σ 0 δσ 2(1 + 6γ) δσ2 2 2 σ 0 + Γ δσ δσ + σ 0 3(1 + 6γ) 2γ ω 2 0 δσ2 + δσ ρ R =0 ρ δσ(t) A(t) cos (ω 0 t + θ 0 ) 2 A + Γ A +3 R Γ A ω ρ R +() A 2 ω 2 0 3γσ 2 0 ρ R +() A 2 ω 2 0 3γσ 2 0 A =0 ρ R =0 H = ρ R +() A 2 ω 2 0 3γσ 2 0 ρ σ = A 2 ω 2 0 (1 + 9γ)
29 Reheating ρ σ + 1 dv (σ) dσ 4 V (σ) σ R = 3H (ρ R + P R )+Γ σ 2 2 σ2 σ + σ σ σ = σ 0 + δσ 3 2γ [2 V (σ)+() σ2 )+2ρ R ]+ Γ ρ R V (σ) δσ 2, Γ H δσ/σ 0 σ =0 δσ + ω 2 0δσ + n 4m2 /σ 0 fast pat δσ 2(1 + 6γ) δσ2 2 2 σ 0 + Γ δσ δσ + σ 0 3(1 + 6γ) 2γ ω 2 0 δσ2 + δσ ρ R =0 ρ δσ(t) A(t) cos (ω 0 t + θ 0 ) 2 A + Γ A +3 R Γ A ω ρ R +() A 2 ω 2 0 3γσ 2 0 ρ R +() A 2 ω 2 0 3γσ 2 0 A =0 ρ R =0 H = ρ R +() A 2 ω 2 0 3γσ 2 0 ρ σ = A 2 ω 2 0 (1 + 9γ)
30 Reheating ρ σ + 1 dv (σ) dσ 4 V (σ) σ R = 3H (ρ R + P R )+Γ σ 2 2 σ2 σ + σ σ σ = σ 0 + δσ 3 2γ [2 V (σ)+() σ2 )+2ρ R ]+ Γ ρ R V (σ) δσ 2, Γ H δσ/σ 0 σ =0 δσ + ω 2 0δσ + n 4m2 /σ 0 fast pat δσ 2(1 + 6γ) δσ2 2 2 σ 0 + Γ δσ + δσ 3(1 + 6γ) σ 0 2γ slow pat ω 2 0 δσ2 + δσ ρ R =0 ρ δσ(t) A(t) cos (ω 0 t + θ 0 ) 2 A + Γ A +3 R Γ A ω ρ R +() A 2 ω 2 0 3γσ 2 0 ρ R +() A 2 ω 2 0 3γσ 2 0 A =0 ρ R =0 H = ρ R +() A 2 ω 2 0 3γσ 2 0 ρ σ = A 2 ω 2 0 (1 + 9γ)
31 Reheating Tempeatue ρ R = 4Hρ R + Γ 1+9γ ρ σ dρ σ = 3Hρ σ Γ dt ρ σ ρ R + 1+9γ H = ρ σ 3γσ0 2 ρ R ρ σ ρ R Γ 1 ρ R ρ σ t Γ H 0 ρ R (t) Γ2 γσ (1 + 6γ) 2 3e e Γ t 2() +5 Γ t 2() 1
32 Reheating Tempeatue ρ R = 4Hρ R + Γ 1+9γ ρ σ dρ σ = 3Hρ σ Γ dt ρ Deviations σ fom GR ρ R + 1+9γ H = ρ σ 3γσ0 2 Recove GR Equations Γ = Γ ρ σ 1+9γ ρ σ ρ R ρ σ ρ R Γ 1 ρ R ρ σ t Γ H 0 ρ R (t) Γ2 γσ (1 + 6γ) 2 3e e Γ t 2() +5 Γ t 2() 1
33 Reheating Tempeatue ρ R = 4Hρ R + Γ 1+9γ ρ σ dρ σ = 3Hρ σ Γ dt ρ Deviations σ fom GR ρ R + 1+9γ H = ρ σ 3γσ0 2 Recove GR Equations Γ = Γ ρ σ 1+9γ ρ σ ρ R ρ σ ρ R Γ 1 ρ R ρ σ t Γ H 0 ρ R (t) γσ0 20 (1 + 6γ) 2 3e ) 3 Γ2 2 M P (1 + 6γ) 2 e Γ t 2() +5 Γ t 2() 1
34 Reheating Tempeatue ρ R = 4Hρ R + Γ 1+9γ ρ σ dρ σ = 3Hρ σ Γ dt ρ Deviations σ fom GR ρ R + 1+9γ H = ρ σ 3γσ0 2 Recove GR Equations Γ = Γ ρ σ 1+9γ ρ σ ρ R ρ σ ρ R Γ 1 ρ R ρ σ t Γ H 0 3 ρ R (t) γσ0 20 (1 + 6γ) 2 3e ) 3 Γ2 2 Γ M MP P (1 + 6γ) 2 e T (IG) eh Γ t 2() +5 Γ t 2() 1
35 Reheating Tempeatue ρ R = 4Hρ R + Γ 1+9γ ρ σ dρ σ = 3Hρ σ Γ dt ρ Deviations σ fom GR ρ R + 1+9γ H = ρ σ 3γσ0 2 Recove GR Equations Γ = Γ ρ σ 1+9γ ρ σ 1.0 ρ R ρ σ 0.8 ρ R Γ 1 ρ R ρ σ t Γ H 0 TIGTEG 0.6 Analytic esult Numeical esult Γ t 2() +5 ρ R (t) γσ0 20 (1 + 6γ) 2 3e ) 3 Γ2 2 M P Γ t 2 e 2() (1 + 6γ) 1 T (IG) eh 3 Γ MP Log 10 Γ
![Pe-heating q/4 ÿ(t) +[A(t) +2q(t) sin2t] y(t) =0 Stability bands A/4 Instability](/docs-images/74/70346761/images/36-0.jpg "bands: lage fo lage q (BROAD/STOCHASTIC RESONANCE) 1 q q2 8 O(q3 ) < A < 1+q q2 8 +")
36 Pe-heating q/4 ÿ(t) +[A(t) +2q(t) sin2t] y(t) =0 Stability bands A/4 Instability bands: lage fo lage q (BROAD/STOCHASTIC RESONANCE) 1 q q2 8 O(q3 ) < A < 1+q q2 8 + O(q3 )
37 MSA & Pe-heating ÿ +[1+ q (t)sin2t] y =0 y(t) A (t) e it +c.c. q(t) = p t n 4 drea dt 4 dima dt q(t)rea =0 + q(t)ima =0 n>1= Re A t Re A (t 0 )exp Re A (t) =ReA (t 0 ) exp Decaying pat n<1= Re A t p Re A (t 0 )exp 4(1 n) t1 n p/4 t n =1= Re A =ReA (t 0 ) t 0 p 4(n 1) t1 n 0 t t 0 Exponential behavio Powe law behavio Constant behavio p 4 t n d t
38 MSA & Pe-heating ÿ +[1+ q (t)sin2t] y =0 fast pat y(t) A (t) e it +c.c. q(t) = p t n 4 drea dt 4 dima dt q(t)rea =0 + q(t)ima =0 n>1= Re A t Re A (t 0 )exp Re A (t) =ReA (t 0 ) exp Decaying pat n<1= Re A t p Re A (t 0 )exp 4(1 n) t1 n p/4 t n =1= Re A =ReA (t 0 ) t 0 p 4(n 1) t1 n 0 t t 0 Exponential behavio Powe law behavio Constant behavio p 4 t n d t
39 MSA & Pe-heating ÿ +[1+ q (t)sin2t] y =0 fast pat slow pat y(t) A (t) e it +c.c. q(t) = p t n 4 drea dt 4 dima dt q(t)rea =0 + q(t)ima =0 n>1= Re A t Re A (t 0 )exp Re A (t) =ReA (t 0 ) exp Decaying pat n<1= Re A t p Re A (t 0 )exp 4(1 n) t1 n p/4 t n =1= Re A =ReA (t 0 ) t 0 p 4(n 1) t1 n 0 t t 0 Exponential behavio Powe law behavio Constant behavio p 4 t n d t
40 Scala Petubations δσ k = a 3 (1 + δ 1 ) 2 δσ k d 2 δσ k d(ω 0 t) 2 +[A σ +2q σ 1 sin (2ω 0 t)+2q σ 2 sin (ω 0 t)] δσ k =0 A σ = k2 a 2 ω , q σ 1 = 2 ω 0 t, q σ 2 = 27γ 2() ω 0 t R k = Ḣ σ δσ k t 1 t 1 δσ k = t 1 a3/2 t 1 t t 2/3 3/2 = const
41 Scala Petubations δσ k = a 3 (1 + δ 1 ) 2 δσ k d 2 δσ k d(ω 0 t) 2 +[A σ +2q σ 1 sin (2ω 0 t)+2q σ 2 sin (ω 0 t)] δσ k =0 A σ = k2 a 2 ω , q σ 1 = 2 ω 0 t, q σ 2 = 27γ 2() ω 0 t p =4, n =1 = δσ k t R k = Ḣ σ δσ k t 1 t 1 δσ k = t 1 a3/2 t 1 t t 2/3 3/2 = const
42 Tenso Petubations h k a 3/2 σ h k d 2 hk d(ω 0 t/2) 2 +[A h +2q h sin (ω 0 t)] h k =0 A h (t) = 4k2 a 2 ω 2 0, q h = f 2ω 0 t A h (t) 1 = k a ω 0 2
43 Scala Field S χ = dx 4 g gµν 2 µχ ν χ m2 χ 2 χ2 ξ 2 Rχ2 + g2 2 σ2 χ 2 ξ > 0 χ k = a 3/2 χ d 2 χ k k dt 2 + m eff,χ (t) 2 χ k =0 m eff,χ (t) 2 = ω 2 0 k 2 a 2 ω (4ξ 1) f 1+ ω 0 t sin ω 0 t +2g 2 M P 2 γω 2 0 f 1+ ω 0 t sin ω 0t + m2 χ ω g2 2 M P 2 γω O 1 t 2 m 2 χ + g 2 M P 2 2γ ω2 0 4 = m 2 4 (1 + 6γ) m χ g 0 ξ
44 Conclusions γ γ 1 γ 1 V σ 4
Oscillating dipole system Suppose we have two small spheres separated by a distance s. The charge on one sphere changes with time and is described by
5 Radiation (Chapte 11) 5.1 Electic dipole adiation Oscillating dipole system Suppose we have two small sphees sepaated by a distance s. The chage on one sphee changes with time and is descibed by q(t)
γ 1 6 M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.2 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.05 F 2 2 λ τ M = 6000 M = 10000 M = 15000 M = 6000 M = 10000 M = 15000 1 6 τ = 36 1 6 τ = 102 1 6 M = 5000
y(t) S x(t) S dy dx E, E E T1 T2 T1 T2 1 T 1 T 2 2 T 2 1 T 2 2 3 T 3 1 T 3 2... V o R R R T V CC P F A P g h V ext V sin 2 S f S t V 1 V 2 V out sin 2 f S t x 1 F k q K x q K k F d F x d V
Lifting Entry (continued)
ifting Entry (continued) Basic planar dynamics of motion, again Yet another equilibrium glide Hypersonic phugoid motion Planar state equations MARYAN 1 01 avid. Akin - All rights reserved http://spacecraft.ssl.umd.edu
d 2 y dt 2 xdy dt + d2 x
y t t ysin y d y + d y y t z + y ty yz yz t z y + t + y + y + t y + t + y + + 4 y 4 + t t + 5 t Ae cos + Be sin 5t + 7 5 y + t / m_nadjafikhah@iustacir http://webpagesiustacir/m_nadjafikhah/courses/ode/fa5pdf
Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913
Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913 ΠΡΑΞΗ ΚΑΤΑΘΕΣΗΣ ΟΡΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Σ τ η ν Π ά τ ρ α σ ή μ ε ρ α σ τ ι ς δ ε κ α τ έ σ σ ε ρ ι ς ( 1 4 ) τ ο υ μ ή ν α Ο κ τ ω β ρ ί ο υ, η μ έ ρ α Τ ε τ ά ρ τ η, τ ο υ έ τ ο υ ς δ
Ακρότατα'Συναρτησιακών'μίας' Συνάρτησης:'Πρόβλημα+ +4α'
Ακρότατα'Συναρτησιακών'μίας' Συνάρτησης:'Πρόβλημα+ +4α' Τελικόςχρόνοςt f «ελεύθερος»0τελικήτιμήxt f ) «ελεύθερη»:ασυσχετιστα' Ηεύρεσητουακροτάτουσυνάρτηση)γίνεταιμετηνεπίλυσητηςΔιαφ.Εξισ... Εξίσωση'Euler'...καιοισταθερέςολοκληρώσεωςθαπροκύψουναπότηνικανοποίησητων...
Lifting Entry 2. Basic planar dynamics of motion, again Yet another equilibrium glide Hypersonic phugoid motion MARYLAND U N I V E R S I T Y O F
ifting Entry Basic planar dynamics of motion, again Yet another equilibrium glide Hypersonic phugoid motion MARYAN 1 010 avid. Akin - All rights reserved http://spacecraft.ssl.umd.edu ifting Atmospheric
Physics 401 Final Exam Cheat Sheet, 17 April t = 0 = 1 c 2 ε 0. = 4π 10 7 c = SI (mks) units. = SI (mks) units H + M
Maxwell' s Equations in vauum E ρ ε Physis 4 Final Exam Cheat Sheet, 7 Apil E B t B Loent Foe Law: F q E + v B B µ J + µ ε E t Consevation of hage: J + ρ t µ ε ε 8.85 µ 4π 7 3. 8 SI ms) units q eleton.6
Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α
Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ
r r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t
r t t r t ts r3 s r r t r r t t r t P s r t r P s r s r P s r 1 s r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r 2s s r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r t r 3 s3 Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t r r r rs
ITU-R P (2012/02) &' (
ITU-R P.530-4 (0/0) $ % " "#! &' ( P ITU-R P. 530-4 ii.. (IPR) (ITU-T/ITU-R/ISO/IEC).ITU-R http://www.itu.int/itu-r/go/patents/en. ITU-T/ITU-R/ISO/IEC (http://www.itu.int/publ/r-rec/en ) () ( ) BO BR BS
W ISR i = 5 15 ISR i + 4 15 ISR i 1 + 3 15 ISR i 2 + 2 15 ISR i 3 + 1 15 ISR i 4 W ISR W ISR ) E T hreshold = (1 Ẽ Ẽ + IQR (E) Ẽ IQR(E) E T hreshold = 0.99 e 1 N N i=1 (E i) + 0.01 Ẽ h(t) = H(y )(t)
Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace 1. Επίλυση Γραμμικών
The Friction Stir Welding Process
1 / 27 The Fiction Sti Welding Pocess Goup membes: Kik Fase, Sean Bohun, Xiulei Cao, Huaxiong Huang, Kate Powes, Aina Rakotondandisa, Mohammad Samani, Zilong Song 8th Monteal Industial Poblem Solving Wokshop
F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2
F (x) = kx x k F = F (x) U(0) U(x) = x F = kx 0 F (x )dx U(x) = U(0) + 1 2 kx2 x U(0) = 0 U(x) = 1 2 kx2 U(x) x 0 = 0 x 1 U(x) U(0) + U (0) x + 1 2 U (0) x 2 U (0) = 0 U(x) U(0) + 1 2 U (0) x 2 U(0) =
Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων
Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων Control Systems Laboratory Περιγραφή Δυναµικών Συστηµάτων Εξίσωση µεταβολής όγκου Η µεταβολή όγκου ισούται µε τη παροχή υγρού Q που σχετίζεται
Blowup of regular solutions for radial relativistic Euler equations with damping
8 9 Ö 3 3 Sept. 8 Communication on Applied Mathematics and Computation Vol.3 No.3 DOI.3969/j.issn.6-633.8.3.7 Õ Îµ Ï̺ Eule»²Ö µ ÝÙÚ ÛÞ ØßÜ ( Ñ É ÉÕ Ñ 444 Î ÇÄ Eule ± Æà ¼ Û Â Þ Û ¾ ³ ÇÄ Eule ± Å Å Þ Å
STEADY, INVISCID ( potential flow, irrotational) INCOMPRESSIBLE + V Φ + i x. Ψ y = Φ. and. Ψ x
STEADY, INVISCID ( potential flow, iotational) INCOMPRESSIBLE constant Benolli's eqation along a steamline, EQATION MOMENTM constant is a steamline the Steam Fnction is sbsititing into the continit eqation,
Space Physics (I) [AP-3044] Lecture 1 by Ling-Hsiao Lyu Oct Lecture 1. Dipole Magnetic Field and Equations of Magnetic Field Lines
![Space Physics (I) [AP-3044] Lecture 1 by Ling-Hsiao Lyu Oct Lecture 1. Dipole Magnetic Field and Equations of Magnetic Field Lines](/thumbs/51/28406191.jpg "Space Physics (I) [AP-3044] Lecture 1 by Ling-Hsiao Lyu Oct Lecture 1. Dipole Magnetic Field and Equations of Magnetic Field Lines")
Space Physics (I) [AP-344] Lectue by Ling-Hsiao Lyu Oct. 2 Lectue. Dipole Magnetic Field and Equations of Magnetic Field Lines.. Dipole Magnetic Field Since = we can define = A (.) whee A is called the
φ(t) TE 0 φ(z) φ(z) φ(z) φ(z) η(λ) G(z,λ) λ φ(z) η(λ) η(λ) = t CIGS 0 G(z,λ)φ(z)dz t CIGS η(λ) φ(z) 0 z
Tutorial Note - Week 09 - Solution
Tutoial Note - Week 9 - Solution ouble Integals in Pola Coodinates. a Since + and + 5 ae cicles centeed at oigin with adius and 5, then {,θ 5, θ π } Figue. f, f cos θ, sin θ cos θ sin θ sin θ da 5 69 5
Problems in curvilinear coordinates
Poblems in cuvilinea coodinates Lectue Notes by D K M Udayanandan Cylindical coodinates. Show that ˆ φ ˆφ, ˆφ φ ˆ and that all othe fist deivatives of the cicula cylindical unit vectos with espect to the
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier
Κλασσική Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
ÒÄÆÉÖÌÄ. ÀÒÀßÒ ÉÅÉ ÓÀÌÀÒÈÉ ÖÍØÝÉÏÍÀËÖÒ-ÃÉ ÄÒÄÍÝÉÀËÖÒÉ ÂÀÍÔÏËÄÁÄÁÉÓÈÅÉÓ ÃÀÌÔÊÉ- ÝÄÁÖËÉÀ ÀÌÏÍÀáÓÍÉÓ ÅÀÒÉÀÝÉÉÓ ÏÒÌÖËÄÁÉ, ÒÏÌËÄÁÛÉÝ ÂÀÌÏÅËÄÍÉËÉÀ ÓÀßÚÉÓÉ
ÒÄÆÉÖÌÄ. ÀÒÀßÒ ÉÅÉ ÓÀÌÀÒÈÉ ÖÍØÝÉÏÍÀËÖÒ-ÃÉ ÄÒÄÍÝÉÀËÖÒÉ ÂÀÍÔÏËÄÁÄÁÉÓÈÅÉÓ ÃÀÌÔÊÉ- ÝÄÁÖËÉÀ ÀÌÏÍÀáÓÍÉÓ ÅÀÒÉÀÝÉÉÓ ÏÒÌÖËÄÁÉ, ÒÏÌËÄÁÛÉÝ ÂÀÌÏÅËÄÍÉËÉÀ ÓÀßÚÉÓÉ ÌÏÌÄÍÔÉÓÀ ÃÀ ÃÀÂÅÉÀÍÄÁÄÁÉÓ ÛÄÛ ÏÈÄÁÉÓ Ä ÄØÔÉ, ÀÂÒÄÈÅÄ
Chapter 7a. Elements of Elasticity, Thermal Stresses
Chapte 7a lements of lasticit, Themal Stesses Mechanics of mateials method: 1. Defomation; guesswok, intuition, smmet, pio knowledge, epeiment, etc.. Stain; eact o appoimate solution fom defomation. Stess;
< F ( σ(h(t))), σ (h(t)) > h (t)dt.
ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ IV, /6/9 Θέμα 1. Εστω : a 1, β 1 ] R μια C 1 καμπύλη. Μια C 1 καμπύλη ρ : a, β] R λέγεται αναπαραμετρικοποίηση της αν υπάρχει h : a, β] a 1, β 1 ], 1 1 επί και
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Fourier Στο κεφάλαιο αυτό θα εισάγουμε και θα μελετήσουμε
!"#$ % &# &%#'()(! $ * +
,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))
Κλασσική Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Ο μετασχηματισμός Laplace Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
m i N 1 F i = j i F ij + F x
N m i i = 1,..., N m i Fi x N 1 F ij, j = 1, 2,... i 1, i + 1,..., N m i F i = j i F ij + F x i mi Fi j Fj i mj O P i = F i = j i F ij + F x i, i = 1,..., N P = i F i = N F ij + i j i N i F x i, i = 1,...,
1 3D Helmholtz Equation
Deivation of the Geen s Funtions fo the Helmholtz and Wave Equations Alexande Miles Witten: Deembe 19th, 211 Last Edited: Deembe 19, 211 1 3D Helmholtz Equation A Geen s Funtion fo the 3D Helmholtz equation
Laplace s Equation in Spherical Polar Coördinates
Laplace s Equation in Spheical Pola Coödinates C. W. David Dated: Januay 3, 001 We stat with the pimitive definitions I. x = sin θ cos φ y = sin θ sin φ z = cos θ thei inveses = x y z θ = cos 1 z = z cos1
μ μ dω I ν S da cos θ da λ λ Γ α/β MJ Capítulo 1 % βpic ɛ Eridani V ega β P ic F ormalhaut 10 9 15% 70 Virgem 47 Ursa Maior Debris Disk Debris Disk μ 90% L ac = GM M ac R L ac R M M ac L J T
Cosmological Perturbations from Inflation
Cosmological Perturbations from Inflation Misao Sasaki Kyoto University 1. Introduction 2 Horizon problem ds 2 = dt 2 + a 2 (t)d x 2 + Einstein eqs. ä a = 4πG (ρ + 3p) ρ + 3p > 0 decelerated expansion
Geodesic Equations for the Wormhole Metric
Geodesic Equations for the Wormhole Metric Dr R Herman Physics & Physical Oceanography, UNCW February 14, 2018 The Wormhole Metric Morris and Thorne wormhole metric: [M S Morris, K S Thorne, Wormholes
Πρακτικές μέθοδοι αποδιαμόρφωσης FM. Ανίχνευση μηδενισμών Διευκρίνιση ολίσθησης φάσης Μετατροπή FM σε ΑΜ Ανάδραση συχνότητας
Αποδιαμόρφωση FM Πρακτικές μέθοδοι αποδιαμόρφωσης FM Ανίχνευση μηδενισμών Διευκρίνιση ολίσθησης φάσης Μετατροπή FM σε ΑΜ Ανάδραση συχνότητας Ανίχνευση μηδενισμών Η έξοδος είναι ανάλογη του ρυθμού των μηδενισμών,
4. Zapiši Eulerjeve dinamične enačbe za prosto osnosimetrično vrtavko. ω 2
Mehanikateoretičnavprašanjainodgovori 1/12 Newtonovamehanika 1. Določiravninogibanjatočkevpoljucentralnesile. Ravninagibanjagreskozicentersileinimanormalovsmerivrtilne količine 2. Zapišiperiodogibanjapremočrtnegagibanjapodvplivompotenciala
!!" #7 $39 %" (07) ..,..,.. $ 39. ) :. :, «(», «%», «%», «%» «%». & ,. ). & :..,. '.. ( () #*. );..,..'. + (# ).
1 00 3 !!" 344#7 $39 %" 6181001 63(07) & : ' ( () #* ); ' + (# ) $ 39 ) : : 00 %" 6181001 63(07)!!" 344#7 «(» «%» «%» «%» «%» & ) 4 )&-%/0 +- «)» * «1» «1» «)» ) «(» «%» «%» + ) 30 «%» «%» )1+ / + : +3
ITU-R SF ITU-R SF ( ) GHz 14,5-14,0 1,2.902 (WRC-03) 4.4. MHz GHz 14,5-14 ITU-R SF.1585 ( " " .ITU-R SF.
1 (008-003) * (ITU-R 54/4 ITU-R 6/9 ). 1. 4. 3. GHz 14,5-14,0 1,.90 (WRC-03) ( 4.4 ( - ) MHz 6 45-5 95 GHz 14,5-14 ( 4.4 " " ( ( ( ( ITU-R SF.1585 ( ( (ATPC) ( (.ITU-R SF.1650-1 " " * ITU-R SM.1448 / (
x(t)e jωt dt = e 2(t 1) u(t 1)e jωt dt = e 2 t 1 e jωt dt =
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς ιδάσκν : Α. Μουχτάρης Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς- Λύσεις 3η Σειρά Ασκήσεν 03/05/0 Λύσεις 3ης Σειράς Ασκήσεν
Molekulare Ebene (biochemische Messungen) Zelluläre Ebene (Elektrophysiologie, Imaging-Verfahren) Netzwerk Ebene (Multielektrodensysteme) Areale (MRT, EEG...) Gene Neuronen Synaptische Kopplung kleine
Z = 1.2 X 1 + 1, 4 X 2 + 3, 3 X 3 + 0, 6 X 4 + 0, 999 X 5. X 1 X 2 X 2 X 3 X 4 X 4 X 5 X 4 X 4 Z = 0.717 X 1 + 0.847 X 2 + 3.107 X 3 + 0.420 X 4 + 0.998 X 5. X 5 X 4 Z = 6.56 X 1 + 3.26 X 2 + 6.72 X 3
Adachi-Tamura [4] [5] Gérard- Laba Adachi [1] 1
![Adachi-Tamura [4] [5] Gérard- Laba Adachi [1] 1](/thumbs/89/99472248.jpg "Adachi-Tamura [4] [5] Gérard- Laba Adachi [1] 1")
207 : msjmeeting-207sep-07i00 ( ) Abstract 989 Korotyaev Schrödinger Gérard Laba Multiparticle quantum scattering in constant magnetic fields - propagator ( ). ( ) 20 Sigal-Soffer [22] 987 Gérard- Laba
(... )..!, ".. (! ) # - $ % % $ & % 2007
(! ), "! ( ) # $ % & % $ % 007 500 ' 67905:5394!33 : (! ) $, -, * +,'; ), -, *! ' - " #!, $ & % $ ( % %): /!, " ; - : - +', 007 5 ISBN 978-5-7596-0766-3 % % - $, $ &- % $ % %, * $ % - % % # $ $,, % % #-
lim f n(x) = f(x) 1 ǫ < n ln ǫ N (ǫ, x) = ln ( )
ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΣΥΓΚΛΙΣΗ Εστω {f n x), n N} µια ακολουθία συναρτήσεων ορισµένων στο διάστηµα I = [, b] ή, b] ή [, b) ή, b) ) ΟΡΙΣΜΟΣ Η ακολουθία συναστήσεων συγκλίνει σηµειακά point wise convergence) στην συνάρτηση
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην
d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1
d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n1 x dx = 1 2 b2 1 2 a2 a b b x 2 dx = 1 a 3 b3 1 3 a3 b x n dx = 1 a n +1 bn +1 1 n +1 an +1 d dx d dx f (x) = 0 f (ax) = a f (ax) lim d dx f (ax) = lim 0 =
Time dependent Convection vs. frozen convection approximations. Plan
Time epenent onvection vs. fozen convection appoximations A. Gigahcène, M-A. Dupet an. Gaio oto Nov 006 lan Intouction Fozen onvection Appoximations Time Depenent onvection onclusion Intouction etubation
Επίλυση Προβληµάτων Αρχικών / Συνοριακών Τιµών Μεταδόσεως Θερµότητας
Επίλυση Προβληµάτων Αρχικών / Συνοριακών Τιµών Μεταδόσεως Θερµότητας Τα προβλήµατα µεταδόσεως θερµότητας (ή θερµικής αγωγιµότητας heat conduction), µε την υπόθεση ισχύος του νόµου Fourier, διέπονται από
Example 1: THE ELECTRIC DIPOLE
Example 1: THE ELECTRIC DIPOLE 1 The Electic Dipole: z + P + θ d _ Φ = Q 4πε + Q = Q 4πε 4πε 1 + 1 2 The Electic Dipole: d + _ z + Law of Cosines: θ A B α C A 2 = B 2 + C 2 2ABcosα P ± = 2 ( + d ) 2 2
Σήματα και Συστήματα
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 12: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace Ο αντίστροφος Μετασχηματισμός aplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace 1. Ιδιότητες
% APPM$1235$Final$Exam$$Fall$2016$
Name Section APPM$1235$Final$Exam$$Fall$2016$ Page Score December13,2016 ATTHETOPOFTHEPAGEpleasewriteyournameandyoursectionnumber.The followingitemsarenotpermittedtobeusedduringthisexam:textbooks,class
ITU-R P ITU-R P (ITU-R 204/3 ( )
1 ITU-R P.530-1 ITU-R P.530-1 (ITU-R 04/3 ) (007-005-001-1999-1997-1995-1994-199-1990-1986-198-1978)... ( ( ( 1 1. 1 : - - ) - ( 1 ITU-R P.530-1..... 6.3. :. ITU-R P.45 -. ITU-R P.619 -. ) (ITU-R P.55
Κεφάλαιο 7. Μετασχηματισμός Laplace. 7.1 Εισαγωγή στον μετασχηματισμό Laplace
Κεφάλαιο 7 Μετασχηματισμός Laplace Σε αυτο το κεφάλαιο θα μελετήσουμε τη μέθοδο του μετασχηματισμού Laplace, η οποία αποτελεί μία από τις βασικές τεχνικές μαθηματικών προβλημάτων: μετασχηματίζει δύσκολα
Accelerator Physics. G. A. Krafft, A. Bogacz, and H. Sayed Jefferson Lab Old Dominion University Lecture 9
Acceleato Physics G. A. Kafft, A. Bogacz, and H. Sayed Jeffeson Lab Old Dominion Univesity Lectue 9 USPAS Acceleato Physics Jan. 11 Synchoton Radiation Acceleated paticles emit electomagnetic adiation.
2. Α ν ά λ υ σ η Π ε ρ ι ο χ ή ς. 3. Α π α ι τ ή σ ε ι ς Ε ρ γ ο δ ό τ η. 4. Τ υ π ο λ ο γ ί α κ τ ι ρ ί ω ν. 5. Π ρ ό τ α σ η. 6.
Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α 1. Ε ι σ α γ ω γ ή 2. Α ν ά λ υ σ η Π ε ρ ι ο χ ή ς 3. Α π α ι τ ή σ ε ι ς Ε ρ γ ο δ ό τ η 4. Τ υ π ο λ ο γ ί α κ τ ι ρ ί ω ν 5. Π ρ ό τ α σ η 6. Τ ο γ ρ α φ ε ί ο 1. Ε ι σ α γ ω
ECE 308 SIGNALS AND SYSTEMS FALL 2017 Answers to selected problems on prior years examinations
ECE 308 SIGNALS AND SYSTEMS FALL 07 Answers to selected problems on prior years examinations Answers to problems on Midterm Examination #, Spring 009. x(t) = r(t + ) r(t ) u(t ) r(t ) + r(t 3) + u(t +
Ταλαντώσεις 6.1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση σε µία ιάσταση Ελατήριο σε οριζόντιο επίπεδο Σχήµα 6.1
6 Ταλαντώσεις 6.1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση σε µία ιάσταση 6.1.1 Ελατήριο σε οριζόντιο επίπεδο Υποθέτουµε ότι το ελατήριο έχει αρχικό µήκος µηδέν, ιδανικό ελατήριο. F=-kx x K M x Σχήµα 6.1 ιαστάσεις µεγεθών
Cosmological Space-Times
Cosmological Space-Times Lecture notes compiled by Geoff Bicknell based primarily on: Sean Carroll: An Introduction to General Relativity plus additional material 1 Metric of special relativity ds 2 =
2013/2012. m' Z (C) : V= (E): (C) :3,24 m/s. (A) : T= (1-z).g. (D) :4,54 m/s
( ) 03/0 - o l P z o M l =.P S. ( ) m' Z l=m m=kg m =,5Kg g=0/kg : : : : Q. (A) : V= (B) : V= () : V= (D) : V= (): : V :Q. (A) :4m/s (B) :0,4 m/s () :5m/s (D) :0,5m/s (): : M T : Q.3 (A) : T=(-z).g (B)
ˆ ˆ Œ Ÿ Š Œ ƒˆ Šˆ ˆ Ÿ ˆ ˆ Š ˆˆ ƒ ˆ ˆˆ
Ó³ Ÿ. 2015.. 12, º 2(193).. 281Ä298 ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ. ˆŸ ˆ ˆ Œ Ÿ Š Œ ƒˆ Šˆ ˆ Ÿ ˆ ˆ Š ˆˆ ƒ ˆ ˆˆ.. Ê 1 Œμ ±μ ± μ Ê É Ò Ê É É ³. Œ.. μ³μ μ μ, Œμ ± Í Œ Ì ²ÖÉ É ±μ É μ É Í ( ƒ) μ μ²ö É μ μ ÉÓ É ²Ó- ÊÕ ² ±Í
apj1 SSGA* hapla P6 _1G hao1 1Lh_PSu AL..AhAo1 *PJ"AL hp_a*a
n n 1/2 n (n 1) 0/1 l 2 E x X X x X E x X g(x) := 1 g(x). X f : X C L p f p := (E x X f(x) p ) 1/p f,g := E x X f(x)g(x) x X X X X := {f : X [0, ) : f 1 =1}. X µ A A X x X µ A (x) :=α 1 1 A (x) 1 A A α
Christian J. Bordé SYRTE & LPL.
Relativisti atom optis and interferometry : a trip in the fifth dimension Christian J. Bordé SYRTE & LPL http://hristian..borde.free.fr/st1633.pdf 1 t Δ ENERGY E( p) M + p 4 hν db E(p) Ω atom slopev M
f H f H ψ n( x) α = 0.01 n( x) α = 1 n( x) α = 3 n( x) α = 10 n( x) α = 30 ū i ( x) α = 1 ū i ( x) α = 3 ū i ( x) α = 10 ū i ( x) α = 30 δū ij ( x) α = 1 δū ij ( x) α = 3 δū ij ( x) α = 10 δū ij ( x)
wave energy Superposition of linear plane progressive waves Marine Hydrodynamics Lecture Oblique Plane Waves:
3.0 Marine Hydrodynamics, Fall 004 Lecture 0 Copyriht c 004 MIT - Department of Ocean Enineerin, All rihts reserved. 3.0 - Marine Hydrodynamics Lecture 0 Free-surface waves: wave enery linear superposition,
Radio détection des rayons cosmiques d ultra-haute énergie : mise en oeuvre et analyse des données d un réseau de stations autonomes.
Radio détection des rayons cosmiques d ultra-haute énergie : mise en oeuvre et analyse des données d un réseau de stations autonomes. Diego Torres Machado To cite this version: Diego Torres Machado. Radio
ITU-R P (2012/02) khz 150
(0/0) khz 0 P ii (IPR) (ITU-T/ITU-R/ISO/IEC) ITU-R http://www.itu.int/itu-r/go/patents/en http://www.itu.int/publ/r-rec/en BO BR BS BT F M P RA RS S SA SF SM SNG TF V ITU-R 0 ITU 0 (ITU) khz 0 (0-009-00-003-00-994-990)
Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 8: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 8: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού ourier Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού ourier 1. Ιδιότητες του Μετασχηματισμού ourier 2. Θεώρημα
Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων
Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων Control Systems Laboratory Περιγραφή Δυναµικών Συστηµάτων Εξίσωση µεταβολής όγκου Η µεταβολή όγκου ισούται µε τη παροχή υγρού Q που σχετίζεται
..,..,.. ! " # $ % #! & %
..,..,.. - -, - 2008 378.146(075.8) -481.28 73 69 69.. - : /..,..,... : - -, 2008. 204. ISBN 5-98298-269-5. - -,, -.,,, -., -. - «- -»,. 378.146(075.8) -481.28 73 -,..,.. ISBN 5-98298-269-5..,..,.., 2008,
α. y = y x 2 β. x + 5x = e x γ. xy (xy + y) = 2y 2 δ. y (4) + xy + e x = 0 η. x 2 (y ) 4 + xy + y 5 = 0 θ. y + ln y + x 2 y 3 = 0 d 3 y dy + 5y
Ασκήσεις στα Μαθηματικά ΙΙΙ Τμήμα Χημ. Μηχανικών ΑΠΘ Μουτάφη Ευαγγελία Θεσσαλονίκη 2018-2019 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1. Στις παρακάτω Δ.Ε. να προσδιορίσετε: α) την ανεξάρτητη και την εξαρτημένη
ITU-R P (2009/10)
ITU-R.45-4 (9/) % # GHz,!"# $$ # ITU-R.45-4.. (IR) (ITU-T/ITU-R/ISO/IEC).ITU-R http://www.tu.t/itu-r/go/patets/e. (http://www.tu.t/publ/r-rec/e ) () ( ) BO BR BS BT F M RA S RS SA SF SM SNG TF V.ITU-R
December 18, I T = I 0 e α(ω)x (1) I R = I 0 I T (2) N i = (3) g k
Φασματοσκοπία Doppler Limited 2 Χειμερινό εξάμηνο 2016 December 18, 2016 1 Μέθοδοι αυξημένης ευαισθησίας Η γενική μέθοδος για τη μέτρηση της απορρόφησης ενός δείγματος είναι η μέτρηση σου συντελεστή απορρόφησης
ITU-R SA (2010/01)! " # $% & '( ) * +,
(010/01)! " # $% & '( ) * +, SA ii.. (IPR) (ITU-T/ITU-R/ISO/IEC).ITU-R 1 1 http://www.itu.int/itu-r/go/patents/en. (http://www.itu.int/publ/r-rec/en ) () ( ) BO BR BS BT F M P RA S RS SA SF SM SNG TF V
ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER. e ω. Το βασικό πρόβλημα στις σειρές Fourier είναι ο υπολογισμός των συντελεστών c
ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER x(t+kτ) = x(t) = π/ω f = / x(t) = = 8 c j t e ω c = (a-jb ) Το βασικό πρόβλημα στις σειρές Fourier είναι ο υπολογισμός των συντελεστών c. Αυτός γίνεται κατορθωτός αν
Oscillatory Gap Damping
Oscillatory Gap Damping Find the damping due to the linear motion of a viscous gas in in a gap with an oscillating size: ) Find the motion in a gap due to an oscillating external force; ) Recast the solution
Differential equations
Differential equations Differential equations: An equation inoling one dependent ariable and its deriaties w. r. t one or more independent ariables is called a differential equation. Order of differential
ΑΡΧΕΣ ΣΚΕ ΑΣΗΣ. Νικόλαος Ε. Ζαφειρόπουλος Τµήµα Επιστήµης και Τεχνολογίας των Υλικών, Πανεπιστήµιο Ιωαννίνων
ΑΡΧΕΣ ΣΚΕ ΑΣΗΣ Νικόλαος Ε. Ζαφειρόπουλος Τµήµα Επιστήµης και Τεχνολογίας των Υλικών, Πανεπιστήµιο Ιωαννίνων ΣΚΕ ΑΣΗ ΑΚΤΙΝΩΝ Χ Θεωρία µε παραδείγµατα Συµβατικές µέθοδοι σκέδασης (οργανολογία) Ακτινοβολία
1 (a) The kinetic energy of the rolling cylinder is. a(θ φ)
NATURAL SCIENCES TRIPOS Part II Wednesday 3 January 200 0.30am to 2.30pm THEORETICAL PHYSICS I Answers (a) The kinetic energy of the rolling cylinder is T c = 2 ma2 θ2 + 2 I c θ 2 where I c = ma 2 /2 is
ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 2/2012
ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Έστω r rx, y, z, I a, b συνάρτηση C τάξης και r r r x y z Nα αποδείξετε ότι: d dr r (α) r r, I r r r d dr d r (β) r r, I dr (γ) Αν r 0, για κάθε I κάθε I d (δ)
ΙΙ. b) Μιγαδικό ολοκλήρωμα
ΙΙ b Μιγαδικό ολοκλήρωμα Οι συναρτήσεις που θα θεωρούμε εδώ πραγματικές ή μιγαδικές θα τις υποθέτουμε παραγωγίσιμες Ορισμοί Έστω g :[α, β] C Αν gt xt + iyt και οι xy, yt είναι παραγωγίσιμες, τότε η παράγωγος
m 1, m 2 F 12, F 21 F12 = F 21
m 1, m 2 F 12, F 21 F12 = F 21 r 1, r 2 r = r 1 r 2 = r 1 r 2 ê r = rê r F 12 = f(r)ê r F 21 = f(r)ê r f(r) f(r) < 0 f(r) > 0 m 1 r1 = f(r)ê r m 2 r2 = f(r)ê r r = r 1 r 2 r 1 = 1 m 1 f(r)ê r r 2 = 1 m
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ Άδειες
Α Ρ Η Θ Μ Ο : ΠΡΑΞΗ ΣΡΟΠΟΠΟΙΗΗ ΠΡΑΞΗ ΚΑΣΑΘΕΗ ΟΡΩΝ
Α Ρ Η Θ Μ Ο : 6.984 ΠΡΑΞΗ ΣΡΟΠΟΠΟΙΗΗ ΠΡΑΞΗ ΚΑΣΑΘΕΗ ΟΡΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟΤ η ε λ Π ά η ξ α ζ ή κ ε ξ α ζ η η ο ε ί θ ν ζ η κ ί α ( 2 1 ) η ν π κ ή λ α Μ α ξ η ί ν π, ε κ έ ξ α Γ ε π η έ ξ α, η ν π έ η ν π ο δ
6.4 Superposition of Linear Plane Progressive Waves
.0 - Marine Hydrodynamics, Spring 005 Lecture.0 - Marine Hydrodynamics Lecture 6.4 Superposition of Linear Plane Progressive Waves. Oblique Plane Waves z v k k k z v k = ( k, k z ) θ (Looking up the y-ais
Spherical Coordinates
Spherical Coordinates MATH 311, Calculus III J. Robert Buchanan Department of Mathematics Fall 2011 Spherical Coordinates Another means of locating points in three-dimensional space is known as the spherical
Μάθημα 7o Συντονισμοί & Παραγωγή Σωματιδίων στις Υψηλές Ενέργειες 27/4/2017
Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων ΙΙ (8ου εξαμήνου) Μάθημα 7o Συντονισμοί & Παραγωγή Σωματιδίων στις Υψηλές Ενέργειες 7/4/017 Σύνδεση σχέσης Breit-Wigner με τον χρόνο ζωης τ και το πλάτος Γ Οι Συντονισμοί
L A TEX 2ε. mathematica 5.2
Διδασκων: Τσαπογας Γεωργιος Διαφορικη Γεωμετρια Προχειρες Σημειωσεις Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών Σάμος Εαρινό Εξάμηνο 2005 στοιχεοθεσια : Ξενιτιδης Κλεανθης L A TEX 2ε σχεδια : Dia mathematica
Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων, Τµηµα Μαθηµατικων, Τοµεας Γεωµετριας Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια εύτερη Εργασία, 2018-19 1 Καµπύλες στον χώρο και στο επίπεδο 1.1 Καµπύλες
( () () ()) () () ()
ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /011 1 Έστω r = r( t = ( x( t ( t z( t t I = [ a b] συνάρτηση C τάξης και r = r( t = r ( t = x ( t + ( t z ( t είναι μία διανυσματική + Nα αποδείξετε ότι: d 1 1
Ελεύθερη Ταλάντωση Μονοβάθμιου Συστήματος (συνέχεια)
Ελεύθερη Ταλάντωση Μονοβάθμιου Συστήματος (συνέχεια) Ελεύθερη Ταλάντωση Μονοβάθμιου Συστήματος: Δ06- Στην περίπτωση που Δ
Εξίσωση Τηλεπικοινωνιακών Διαύλων
Εξίσωση Τηλεπικοινωνιακών Διαύλων ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΜΔΕ ΠΡΟΗΓΜΈΝΑ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΣΥΣΤΉΜΑΤΑ ΚΑΙ ΔΙΚΤΥΑ Ενότητα 2 η Φίλτρα Μηδενισμού της ISI Νικόλαος Χ.
5.2 (α) Να γραφούν οι εξισώσεις βρόχων για το κύκλωμα του σχήματος Π5.2α. (β) Να γραφούν οι εξισώσεις κόμβων για το κύκλωμα του σχήματος Π5.
ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ, ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ, ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 5. (α) Να βρεθεί η τιμή της σύνθετης αντίστασης Ζ(s) των τριών κυκλωμάτων στο σχήμα Π5. (β) Να βρεθούν οι πόλοι και τα μηδενικά της Ζ(s). (γ) Να βρεθεί
ιαφορικές Εξισώσεις 1
Κεφάλαιο 6 ιαφορικές Εξισώσεις 1 6.1 Γενικά Για τη επίλυση των διαφόρων προβληµάτων υπάρχουν γενικά δύο τύποι µαθηµατικών µοντέλων. 1. Στατικά µοντέλα, π.χ. το κυκλοφοριακό σύστηµα µιας πόλης, ελαχιστοποίηση
: Ω F F 0 t T P F 0 t T F 0 P Q. Merton 1974 XT T X T XT. T t. V t t X d T = XT [V t/t ]. τ 0 < τ < X d T = XT I {V τ T } δt XT I {V τ<t } I A
![: Ω F F 0 t T P F 0 t T F 0 P Q. Merton 1974 XT T X T XT. T t. V t t X d T = XT [V t/t ]. τ 0 < τ < X d T = XT I {V τ T } δt XT I {V τ<t } I A](/thumbs/91/105433318.jpg ": Ω F F 0 t T P F 0 t T F 0 P Q. Merton 1974 XT T X T XT. T t. V t t X d T = XT [V t/t ]. τ 0 < τ < X d T = XT I {V τ T } δt XT I {V τ<t } I A")
2012 4 Chinese Journal of Applied Probability and Statistics Vol.28 No.2 Apr. 2012 730000. :. : O211.9. 1..... Johnson Stulz [3] 1987. Merton 1974 Johnson Stulz 1987. Hull White 1995 Klein 1996 2008 Klein
(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x
![(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x](/thumbs/62/47493101.jpg "(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x")
ΕΥΓΕΝΙΑ Ν. ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΥ ΕΠΙΚ. ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ» ΠΑΤΡΑ 2015 1 Ασκήσεις 1η ομάδα ασκήσεων 1. Να χαρακτηρισθούν πλήρως
f(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t)
Κεφάλαιο 7 Ακολουθίες και σειρές συναρτήσεων 7.1 Ακολουθίες συναρτήσεων: κατά σημείο σύγκλιση Ορισμός 7.1.1. Εστω X σύνολο, (Y, ρ) μετρικός χώρος και f n, f : X Y (n = 1, 2,...). Λέμε ότι η ακολουθία συναρτήσεων
Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 2: Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 2: Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου 1. Μοναδιαία Βηματική Συνάρτηση 2. Κρουστική Συνάρτηση ή