Κανονική μορφή μοντέλου μεγιστοποίησης

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κανονική μορφή μοντέλου μεγιστοποίησης"

Transcript

1 Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Comple ) Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX Χρησιμοποιείται ο λεγόμενος πίνακας simple (simple table, simple tableαu) για τη διαδικασία επίλυσης Πραγματοποιούνται «στοιχειώδεις» πράξεις μεταξύ των γραμμών που οδηγούν στη διαμόρφωση των διαδοχικών πινάκων simple Κάθε πίνακας simple αντιστοιχεί σε μία κορυφή της εφικτής περιοχής Πρακτικά, ελέγχονται οι βασικές εφικτές λύσεις και πραγματοποιώντας «άλματα» μεταξύ γειτονικών κορυφών (ξεκινώντας από την αρχή των αξόνων) αποκαλύπτεται η άριστη. Σε κάθε επανάληψη (iteration) βελτιώνεται η τρέχουσα λύση (πρακτικά με τη χρήση της διαδικασίας Gauss Jordan) Γενική μορφή του μοντέλου Maimize/Minimize z c + c + + c n n a + a + + a n n / / b a + a + + an n / / b. am + am + + amn n / / bm και,,, n. Κανονική μορφή μοντέλου μεγιστοποίησης Maimize z c + c + + c n n a + a + + a n n b a + a + + an n b am + am + + amn n bm και,,, n Κανονική μορφή του πρότυπου παραδείγματος Maimize Z 5X + X ) Χ + Χ 55 (διαθέσιμο γάλα) ) Χ + Χ (εργασία σε λεπτά) ) Χ + 5Χ (δυναμικότητα συστήματος ψύξης) 4) Χ 4 (μέγιστη ζητούμενη ποσότητα) και Χ, Χ (μη αρνητικότητα) Τυποποιημένη μορφή του μοντέλου Maimize z c + c + + c n n a + a + + a + s n n b a + a + + an n + s b a m + a + + a n + sm bm m mn και,,,,,,, n m Τυποποιημένη μορφή του πρότυπου παραδείγματος Maimize z 5 + s + + s + + s s + s 4, s, s, s, s, s + s + s Σημείο X X s s s s4 Α 55 4 Εφικτή Β Εφικτή 6. Γ Εφικτή Εφικτή Βέλτιστη 9.75 Ε / 65/ / 4 Εφικτή./ 4 5 Μη εφικτή Η Μη εφικτή Θ 45 6 Ι Μη εφικτή Κ Μη εφικτή Λ Μη εφικτή Μ Μη εφικτή Σύστημα m εξισώσεων και n+m μεταβλητών (μεταβλητές απόφασης + χαλαρές μεταβλητές n+m) Στόχος: επίλυση του συστήματος, εντοπίζοντας τη βασική εφικτή λύση που βελτιστοποιεί την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης Το σύστημα είναι αόριστο Στο πρότυπο παράδειγμα: Εξισώσεις: m4 Αγνωστοι: n+m+46 Στη μέθοδο simple εκχωρείται το μηδέν σε n από τις μεταβλητές και επιλύουμε ως προς τις υπόλοιπες Στο παράδειγμα (): Αν θέσουμε και s4 θα πάρουμε: + + s s + + s + 4 Άρα, 4 οπότε s 5, s 6 και s. σημείο Β(4, ), δηλαδή είναι η βασική εφικτή λύση: (,,,,, ) (4,,5, 6,, )? s s s s4 Σημείο X X s s s s4 Α 55 4 Εφικτή Β Εφικτή 6. Γ Εφικτή Εφικτή Βέλτιστη 9.75 Ε / 65/ / 4 Εφικτή./ 4 5 Μη εφικτή Η Μη εφικτή Θ 45 6 Ι Μη εφικτή Κ Μη εφικτή Λ Μη εφικτή Μ Μη εφικτή Στο παράδειγμα πάλι: Αν θέσουμε και s τότε: s s + s 4 4 ηλαδή θα πάρουμε την βασική (αλλά μη εφικτή) λύση: (,, s, s, s, s4 ) (,55,, 65, 75, 4) που αντιστοιχεί στο ακραίο σημείο Λ(,55),? Σημείο X X s s s s4 Α 55 4 Εφικτή Β Εφικτή 6. Γ Εφικτή Εφικτή Βέλτιστη 9.75 Ε / 65/ / 4 Εφικτή./ 4 5 Μη εφικτή Η Μη εφικτή Θ 45 6 Ι Μη εφικτή Κ Μη εφικτή Λ Μη εφικτή Μ Μη εφικτή Υπενθύμιση: Ποιος είναι ο στόχος της μεθόδου simple: Προφανώς να εντοπίσει την άριστη λύση Πώς? Ελέγχοντας τις βασικές εφικτές λύσεις, (δηλαδή τα ακραία σημείακορυφές της εφικτής περιοχής) εντοπίζει εκείνη την κορυφή που βελτιστοποιεί (μεγιστοποιεί ή ελαχιστοποιεί ανάλογα με την περίπτωση) την αντικειμενική συνάρτηση. Τις ελέγχει όλες μία προς μία (απαρίθμηση)? ΟΧΙ (ευτυχώς)! ηλαδή, πιο συγκεκριμένα? Ξεκινά από μία βασική εφικτή λύση (η αρχή των αξόνων) Πραγματοποιεί «άλμα» από την τρέχουσα θέση (τρέχουσα κορυφή) σε μία καλύτερη γειτονική κορυφή. Μεταβάλλει το σύνολο των βασικών μεταβλητών (μία εξέρχεται και μία άλλη εισέρχεται στο σύνολο των n βασικών μεταβλητών) και βρίσκει μία νέα βασική εφικτή λύση από το σύστημα των εξισώσεων του προβλήματος Με διαδοχικές μεταβολές της βάσης (δηλαδή με διαδοχικά άλματα) εντοπίζει τη βέλτιστη λύση και την άριστη τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση (δεν χρειάζεται να τις ελέγξει όλες)

2 7 Σχηματικά: Πιο αναλυτικά: Ξεκινάει από κάποια αρχική βασική εφικτή λύση (initial basic feasible solution) δηλαδη θέτει n μεταβλητές να έχουν μηδενικές τιμές (ποιες?) Καλή ιδέα: Ξεκίνα μηδενίζοντας τις μεταβλητές απόφασης (είσαι στην αρχή των αξόνων δηλαδή οι χαλαρές μεταβλητές είναι ίσες με τα δεξιά μέλη των περιορισμών) Αρχική ΒΑΣΗ Προσοχή! Οι μεταβλητές της βάσης εμφανίζονται σε μία μόνο εξίσωση η καθεμία και με συντελεστή μονάδα, κάτι που διατηρείται σε όλα τα βήματα της μεθόδου Κάθε επανάληψη παριστάνεται από έναν πίνακα simple Στο πρότυπο παράδειγμα: Αρχική βασική εφικτή λύση:,, s, s, s, s ) (,, 55,,, 4) και ( Κορυφή Α(, ) Σημείο X X s s s s4 Α 55 4 Εφικτή Β Εφικτή 6. Γ Εφικτή Εφικτή Βέλτιστη 9.75 Ε / 65/ / 4 Εφικτή./ 4 5 Μη εφικτή Η Μη εφικτή Θ 45 6 Ι Μη εφικτή Κ Μη εφικτή Λ Μη εφικτή Μ Μη εφικτή Σύνοψη της διαδικασίας μετάβασης σε καλύτερη κορυφή (μετά τον καθορισμό της αρχικής βασικής εφικτής λύσης) Βήμα ο : Εντοπίζεται η εισερχόμενη μη βασική μεταβλητή Βήμα ο : Εντοπίζεται η εξερχόμενη βασική μεταβλητή Βήμα ο : Με «στοιχειώδεις» πράξεις μεταξύ των γραμμών του τρέχοντος πίνακα προκύπτει ο επόμενος πίνακας simple όπου αντικατοπτρίζονται οι μεταβολές, που πρακτικά οδηγούν στην επόμενη κορυφή Βήμα 4 ο : Μετά το άλμα, ελέγχεται η νέα (τρέχουσα) βασική εφικτή λύση ως προς την αριστότητά της. Αν είναι η βέλτιστη τότε STOP, ELSE goto Βήμα. Πιο αναλυτικά: H μετακίνηση σε μία καλύτερη βασική εφικτή λύση: Επιτυγχάνεται με την έξοδο μίας βασικής μεταβλητής από τη βάση και την είσοδο μίας μη βασικής στη βάση, που «οδηγεί» σε μία γειτονική κορυφή (της εφικτής περιοχής). Κάθε φορά, μία μόνο μη βασική μεταβλητή εισέρχεται σε βάρος μίας μόνο βασικής η οποία αποχωρεί από τη βάση, βελτιώνοντας έτσι την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης (). Πώς υλοποιείται αυτή η μετακίνηση αλγεβρικά? Μετακίνηση μεταβολή του συνόλου των βασικών μεταβλητών δηλαδή της βάσης. Υπενθύμιση (για ή φορά): Mία μη βασική μεταβλητή επιλέγεται για να εισέλθει και μία βασική επιλέγεται για να εξέλθει από τη βάση Ο επόμενος πίνακας simple προκύπτει με τη βοήθεια των σειρών «zj» και «cj zj» στις οποίες καταχωρούνται σημαντικές πληροφορίες που αφορούν τη διαδικασία επιλογής Τυποποιημένη μορφή του πρότυπου παραδείγματος Maimize z 5 s s s + s s s s + s 4 4,, s, s, s, s4 4 Επιστρέφουμε στο παράδειγμα : Από τον αρχικό πίνακα, ας υποθέσουμε ότι η μεταβλητή θα γίνει βασική (και θα της δώσουμε αυθαίρετα την τιμή ) ενώ η θα παραμείνει μη βασική. Ποια επίδραση θα έχει αυτή η απόφαση στους περιορισμούς? ος περιορισμός: Αν και τότε: Αφού + + s 55 και επειδή το παραμένει, πρέπει να μειωθεί η s κατά μία μονάδα (αρχική τιμή s 55, βασική μεταβλητή) ώστε να ισχύει ότι + + s 55, δηλαδή Άρα, για να παραχθεί μία μονάδα προϊόντος τύπου Α πρέπει να γίνει ανταλλαγή με μία μονάδα του αχρησιμοποίητου πόρου (δηλαδή της s), με άλλα λόγια, πρέπει να καταναλωθεί ένα λίτρο γάλα, δηλαδή, η εισέρχεται σε βάρος της s. Στο παράδειγμα συνέχεια (): ος περιορισμός: Αν και τότε: Αφού + + s και επειδή το παραμένει, πρέπει να μειωθεί η s κατά μία μονάδα (αρχική τιμή s, βασική μεταβλητή) ώστε να ισχύει ότι + * + s, δηλαδή Άρα, για να παραχθεί μία μονάδα προϊόντος τύπου Α, εκτός από το ένα λίτρο γάλα που είδαμε στον πρώτο περιορισμό, πρέπει να γίνει ανταλλαγή και με μία μονάδα του αχρησιμοποίητου πόρου s με άλλα λόγια πρέπει να καταναλωθεί και ένα λεπτό εργασίας, δηλαδή, η εισέρχεται σε βάρος και της s. Στο παράδειγμα συνέχεια (): ος περιορισμός: Αν και τότε: Αφού s και επειδή το παραμένει, πρέπει να μειωθεί η s κατά δύο μονάδες (αρχική τιμή s, βασική μεταβλητή) ώστε να ισχύει ότι + 5* + s, δηλαδή * + 5* Άρα, για να παραχθεί μία μονάδα προϊόντος τύπου Α, εκτός από το ένα λίτρο γάλα που είδαμε στον πρώτο περιορισμό και το ένα λεπτό εργασίας που είδαμε στο δεύτερο περιορισμό, πρέπει να γίνει ανταλλαγή και με δύο μονάδες του αχρησιμοποίητου πόρου s, δηλαδή πρέπει να καταναλωθούν και δύο μονάδες δυναμικότητας μηχανών, με άλλα λόγια η εισέρχεται σε βάρος και της s Στο παράδειγμα συνέχεια (4): 4ος περιορισμός: Αν και τότε: για κάθε μονάδα που αυξάνεται η μειώνεται κατά μία μονάδα η s4 που εκφράζει τη ζήτηση που μένει ανικανοποίητη. Άρα, αφού + s4 4 και επειδή το παραμένει μηδενικό, (οπότε δεν επηρεάζει τον 4 ο περιορισμό), πρέπει η s4 να μειωθεί κατά μία μονάδα (αρχική τιμή s4 4, βασική μεταβλητή) ώστε να ισχύει ότι + s4 4, δηλαδή Συνεπώς: για να παραχθεί μία μονάδα προϊόντος τύπου Α, εκτός από το ένα λίτρο γάλα που είδαμε στον πρώτο περιορισμό, το ένα λεπτό εργασίας που είδαμε στο δεύτερο περιορισμό και τις δύο μονάδες δυναμικότητας μηχανών που είδαμε στον τρίτο περιορισμό, πρέπει να γίνει ανταλλαγή και με μία μονάδα «μη ικανοποιηθείσας» ζήτησης s4 με άλλα λόγια πρέπει να μειωθεί η s4 κατά μία μονάδα προϊόντος, ώστε να συνεχίσει να είναι αληθής ο 4 ος περιορισμός, δηλαδή η εισέρχεται σε βάρος και της s4. Ανακεφαλαίωση: ηλαδή, στον πρώτο περιορισμό, όπου η έχει συντελεστή τη μονάδα, και η s επίσης μονάδα, μία μοναδιαία αύξηση της μειώνει την s με ρυθμό προς (άρα κατά μία μονάδα). στο δεύτερο περιορισμό, όπου η έχει συντελεστή τη μονάδα, και η s επίσης μονάδα, η μοναδιαία αύξηση της μειώνει την s με ρυθμό προς (άρα κατά μία μονάδα) τρίτος περιορισμός: ο συντελεστής της είναι, και της s είναι μονάδα άρα ο ρυθμός μείωσης της s για κάθε μονάδα αύξησης της είναι προς τέταρτος περιορισμός: ο ρυθμός μείωσης της s4 είναι και εδώ ίσος με τη μονάδα. Ανακεφαλαίωση () Μία βασική μεταβλητή μειώνεται, μέσω της ανταλλαγής (echange, θυσίας) που πρέπει να γίνει, ώστε να καταστεί δυνατή η αύξηση της τιμής της μη βασικής μεταβλητής, η οποία αποσπά πόρους από αυτήν για να εισέλθει. Οι τεχνολογικοί συντελεστές των μεταβλητών ονομάζονται και συντελεστές ανταλλαγής ή αντικατάστασης ή υποκατάστασης (echange or substitution coefficients). Γενικό Συμπέρασμα: Η είσοδος μίας μη βασικής μεταβλητής στη βάση (στη βασική εφικτή λύση) μειώνει, σύμφωνα με τους συντελεστές ανταλλαγής κάθε περιορισμού, κάθε μία από τις ήδη βασικές μεταβλητές Με άλλα λόγια, ο ρυθμός μείωσης (αύξησης) βασικής (μη βασικής) μεταβλητής λόγω της εισόδου της μη βασικής, προκύπτει από τους τεχνολογικούς συντελεστές των δύο μεταβλητών Τι συνέπειες έχουν αυτές οι ανταλλαγές στο? Που βρίσκονται αυτές οι συνέπειες?

3 O αρχικός πίνακας (υπενθύμιση) Μοναδιαία επιδείνωση Μοναδιαία βελτίωση Πού βρίσκονται οι συνέπειες; Τελικά, πώς επιλέγεται η εισερχόμενη μεταβλητή? Επιλέγεται αυτή με τη μεγαλύτερη θετική τιμή στη σειρά cj zj (δηλαδή η μη βασική μεταβλητή που εμφανίζει τον μεγαλύτερο ρυθμό βελτίωσης της αντικειμενικής συνάρτησης). Στο πρότυπο παράδειγμα είναι η μεταβλητή αφού η αντίστοιχη τιμή στη σειρά cj zj είναι ίση με (και είναι μεγαλύτερη από το 5 που είναι η αντίστοιχη τιμή για την ). Η στήλη της εισερχόμενης μεταβλητής ονομάζεται αξονική στήλη (pivot column). Ο αρχικός πίνακας (υπενθύμιση) Γιατί στη σειρά cj zj βρίσκονται οι ρυθμοί βελτίωσης του Z? Ο ρόλος της σειράς «zj» κάτω από κάθε μεταβλητή Περιέχει τη συνολική επιδείνωση που προκύπτει στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης για κάθε μονάδα αύξησης της μεταβλητής. ηλαδή, για τις και από τον αρχικό πίνακα: z () + () + () + () z () + () + (5) + () Πρακτικά πώς προκύπτουν τα παραπάνω από τον πίνακα simple?? Για τις υπόλοιπες (τις βασικές) μεταβλητές είναι: Το περιεχόμενο της σειράς «cj zj» Στο πρότυπο παράδειγμα: Ο αρχικός πίνακας (υπενθύμιση) z () + () + () + () z () + () + () + () z () + () + () + () 4 5 z 6 () + () + () + () Η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης μειώνεται με ρυθμό zj λόγω της εισόδου της j μεταβλητής στη βάση. Η τιμή της αντικειμενικής ταυτόχρονα αυξάνεται με ρυθμό που υπαγορεύεται από τον αντικειμενικό συντελεστή της εν λόγω μεταβλητής, cj Για τις στήλες των μεταβλητών και : c z 5 5 (για την ) c z (για την ) Εχουν νόημα οι παραπάνω υπολογισμοί για τις βασικές; Άρα, o καθαρός ρυθμός μεταβολής που προκύπτει για την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης θα προκύπτει από τη διαφορά cj zj ενώ c j z j για τις s, s s s) για τις βασικές (τις χαλαρές) μεταβλητές Εισερχόμενη 55 / 4 ιαδικασία επιλογής της εξερχόμενης μεταβλητής () ιαιρούμε το δεξιό μέλος κάθε περιορισμού με το συντελεστή της εισερχόμενης μεταβλητής από την αξονική στήλη (εφόσον αυτός μεγαλύτερος του μηδενός) Το πηλίκο που βρίσκουμε, είναι η μέγιστη δυνατή τιμή που μπορεί να πάρει η εισερχόμενη μεταβλητή, εκμηδενίζοντας μία βασική μεταβλητή που αποχωρεί και προσέχουμε να μην γίνει αρνητική καμία άλλη μεταβλητή από τις βασικές. Ας δούμε πώς: ος Περιορισμός: * + * + s 55. Αφού η παραμένει ίση με μηδέν (μη βασική), θα είναι *+*+s 55 (λίτρα). Αφού υποθέτουμε ότι φεύγει η s, θέτοντας s και λύνοντας ως προς έχουμε 55/ 55. Άρα, η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει η εισερχόμενη μηδενίζοντας την s που εξέρχεται από τη βάση, είναι 55. ηλαδή, το γάλα επαρκεί για να παραχθούν μέχρι 55 τεμάχια τύπου Β. Οποιαδήποτε τιμή της μεγαλύτερη από 55, θα καταστήσει την s αρνητική (ανέφικτη λύση). ιαδικασία επιλογής της εξερχόμενης μεταβλητής () ος Περιορισμός: Με όμοιο τρόπο, βρίσκουμε ότι η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει η εισερχόμενη αν επιλέξουμε να εξέλθει η s από τη βάση, είναι /. Με άλλα λόγια, με βάση τη διαθέσιμη εργασία μπορούν να παραχθούν το πολύ / τεμάχια παγωτού τύπου Β. Κάθε τιμή μεγαλύτερη από / θα καταστήσει την s αρνητική και τη λύση ανέφικτη. Άρα, αν επιλέξουμε να εισέλθει η σε βάρος της s, τότε η μεγαλύτερη αποδεκτή τιμή της είναι ίση με / ιαδικασία επιλογής της εξερχόμενης μεταβλητής () ος Περιορισμός: Με όμοιο τρόπο, η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει η εισερχόμενη με εξερχόμενη την s, είναι 4. ηλαδή, με βάση τη δυναμικότητα των μηχανών, μπορούν να παραχθούν το πολύ 4 τεμάχια παγωτού τύπου Β. Κάθε τιμή της μεγαλύτερη από 4 θα καταστήσει την s αρνητική (και τη λύση ανέφικτη). Άρα, αν επιλέξουμε να εισέλθει η σε βάρος της s, τότε η μεγαλύτερη αποδεκτή τιμή της είναι ίση με / ιαδικασία επιλογής της εξερχόμενης μεταβλητής (4) 4 ος Περιορισμός: Στον τέταρτο περιορισμό δεν υπάρχει η μεταβλητή (ο τεχνολογικός συντελεστής α4 είναι μηδέν) Κατά συνέπεια, όποια τιμή και να πάρει εισερχόμενη στη βάση, δεν πρόκειται να επηρεάσει την τιμή της βασικής μεταβλητής s4. Αν για μια εισερχόμενη μεταβλητή ο τεχνολογικός της συντελεστής σε έναν περιορισμό είναι αρνητικός, ΠΟΙΕΣ ΟΙ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΙΑ ΙΚΑΣΙΑ? 45 Αξιολόγηση και επιλογή εξερχόμενης Το μικρότερο πηλίκο είναι / και είναι η μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να πάρει η εισερχόμενη μεταβλητή χωρίς να παραβιάζεται κανένας από τους περιορισμούς (δηλαδή??) Η εξερχόμενη μεταβλητή είναι αυτή της οποίας ο περιορισμός έδωσε το ελάχιστο πηλίκο και εδώ είναι η s. Η γραμμή της εξερχόμενης μεταβλητής s ονομάζεται αξονική σειρά (pivot row). Το κοινό στοιχείο αξονικής σειράς και αξονικής στήλης ονομάζεται αξονικό στοιχείο ή πιλότος ή οδηγός (pivot) 46 Η κατασκευή του επόμενου πίνακα Νέα σειρά στη θέση της αξονικής (προηγούμενη αξονική σειρά) / αξονικό στοιχείο και για όλες τις άλλες σειρές: Νέα σειρά (προηγούμενη σειρά) (συντελεστής της εισερχόμενης μεταβλητής στην προηγούμενη σειρά) *(νέα σειρά στη θέση της αξονικής σειράς)

4 49 Επομένως: Νέα σειρά της μεταβλητής s : Προκύπτει διαιρώντας τα στοιχεία της με το αξονικό στοιχείο () και θα έχει τη ως βασική στον επόμενο πίνακα simple δηλαδή: (,,,,, ) (/,,, /,,, /) Σειρά της μεταβλητής s: (,,,,,, 55) * (/,,, /,,, /) δηλαδή (/,,,/,,, 65/). Σειρά της μεταβλητής s: (, 5,,,,, ) 5 * (/,,, /,,, /) δηλαδή (/,,,5/,,, /). Σειρά της μεταβλητής s4? Τελικά σε ποια κορυφή μετακινήθηκε? Νέα Βασική Εφικτή Λύση: ( 4,, s, s, s, s ) Αντιστοιχεί στην κορυφή: (, /,65 /,, /, 4) Ε(, /), άρα έγινε άλμα από το σημείο Α στο σημείο Ε. Η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης είναι τώρα: z 5*() + *(./) z./ Σημείο X X s s s s4 Α 55 4 Εφικτή Β Εφικτή 6. Γ Εφικτή Εφικτή Βέλτιστη 9.75 Ε / 65/ / 4 Εφικτή./ 4 5 Μη εφικτή Η Μη εφικτή Θ 45 6 Ι Μη εφικτή Κ Μη εφικτή Λ Μη εφικτή Μ Μη εφικτή 5 Έλεγχος Αριστότητας (βήμα 4 ο ) Nέα στοιχεία της σειράς zj (στήλη του ) z (/) +(/) +(/) +() / (στήλη του ) z () +() +() +() (στήλη του s) z () +() +() +() (στήλη του s) z4 (/) +(/) +(5/) +() / (στήλη του s) z5 () +() +() +() (στήλη του s4) z6 () +() +() +() (στήλη του δεξ.μέλ.) (65/)+(/)+(/)+(4)./ Νέα στοιχεία της της σειράς cj zj (για το ) 5 / 5/ (για το ) (για το s) (για το s) / / (για το s) (για το s4) Υπάρχει θετικό στοιχείο στη σειρά cj zj?? Τέταρτο Βήμα Ανακεφαλαίωση: Έλεγχος τρέχουσας λύσης ως προς την αριστότητα: Από τη σειρά cj zj προκύπτει ότι αν τώρα εισέλθει η στη βάση, τότε θα υπάρξει η μεγαλύτερη δυνατή βελτίωση στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης ίση με 5/ (χμ) ανά μονάδα προϊόντος. Άρα, υπάρχει περιθώριο περαιτέρω βελτίωσης του συνολικού κέρδους, εφόσον εισέλθει στη βάση η μεταβλητή (δηλαδή, η τρέχουσα λύση δεν είναι άριστη!) Παρατήρηση: Για τις ήδη βασικές μεταβλητές (, s, s και s4) η βελτίωση αυτή στη σειρά cj zj είναι μηδενική ενώ για την s η τιμή είναι αρνητική, ίση με / (γιατί??). εύτερη επανάληψη της διαδικασίας,/ Η μετακίνηση στον επόμενο πίνακα Αξονική: (/,,, /,,, 65/)/(/) (,, /, /,,, 5) εύτερη σειρά: (/,,, /,,, /) (/)*(,, /, /,,, 5) (,, /, /,,, 5) Τρίτη σειρά: (/,,, 5/,,, /) (/)*(,, /, /,,, 5) (,, /,/,,, 5) Τέταρτη σειρά: (,,,,,, 4) ()*(,, /, /,,, 5) (,, /, /,,, 75) ΟΛΟΚΛΗΡΩΘΗΚΕ (επιτέλους!) ΜΙΑ ΠΛΗΡΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Έλεγχος αριστότητας και ολοκλήρωση Τέταρτο Βήμα Ανακεφαλαίωση: Έλεγχος τρέχουσας λύσης ως προς την αριστότητα: Από τη σειρά cj zj προκύπτει ότι αν τώρα δεν υπάρχει θετικό στοιχείο που θα μπορούσε να υποδείξει εισερχόμενη μεταβλητή που να προκαλεί βελτίωση στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης. Άρα, δεν υπάρχει περιθώριο περαιτέρω βελτίωσης του συνολικού κέρδους (η τρέχουσα λύση είναι η άριστη!) Παρατήρηση: Για τις βασικές μεταβλητές (,, s και s4) η βελτίωση στη σειρά cj zj είναι μηδενική ενώ για τις s και s η τιμή είναι αρνητική, ίση με 5 και 5 αντίστοιχα (τι παριστάνουν?). Σημείο X X s s s s4 Α 55 4 Εφικτή Β Εφικτή 6. Γ Εφικτή Εφικτή Βέλτιστη 9.75 Ε / 65/ / 4 Εφικτή./ 4 5 Μη εφικτή Η Μη εφικτή Θ 45 6 Ι Μη εφικτή Κ Μη εφικτή Λ Μη εφικτή ΟΛΟΚΛΗΡΩΘΗΚΕ η ιαδικασία! Μ Μη εφικτή

5 65 Ανακεφαλαίωση Επίλυση με το WinQSB () Επίλυση με το WinQSB () Η άριστη λύση με το WinQSB Αρχικός πίνακας simple Βέλτιστη λύση: (,, s, s, s, s4 ) (5, 5,,, 5,75) Αριστη τιμή: z9.75. Παράγει 5 μονάδες από το προϊόν Α, 5 από το Β. Καταναλώνεται όλη η ποσότητα γάλακτος (s ), Χρησιμοποιείται όλος ο χρόνος εργασίας (s ), Υπάρχει αδρανής παραγωγική δυναμικότητα (s 5) εν παράγει τη μέγιστη ζητούμενη ποσότητα για το πρώτο προϊόν Α αλλά 75 μονάδες λιγότερες (s4 75). Η λύση αντιστοιχεί στο σημείο (5, 5). Πρώτη επανάληψη (αρχικός πίνακας πρώτος) Πρώτος πίνακας simple εύτερη επανάληψη (πρώτος δεύτερος πίνακας) εύτερος πίνακας simple Τρίτη επανάληψη (δεύτερος τρίτος τελικός πίνακας simple) Lindo (μοντέλο) Lindo (επίλυση) Lindo (αναφορά επίλυσης ) Lindo (αναφορά επίλυσης ) (775, + ) Ecel (δεδομένα και παράθυρο επίλυσης) Ecel (Αναφορά απάντησης) Ecel (Αναφορά ευαισθησίας) Επίλυση με το POM/QM (επαναλήψεις simple) Επίλυση με το POM/QM Τυπικά ερωτήματα (ανάλυση ευαισθησίας) Το διαφημιστικό Σχέδιο της ProLu Τυποποιημένη Μορφή του μοντέλου Ποια είναι η άριστη λύση και η άριστη τιμή ; Ποιοι περιορισμοί είναι δεσμευτικοί και ποιοι μη δεσμευτικοί ; Σχολιάστε αναλυτικά το διάστημα ευαισθησίας του αντικειμενικού συντελεστή της Χ (ή της Χ). Τι θα συμβεί αν ο συντελεστής της X (Χ) ξεπεράσει τις χμ (45χμ) προς τα δεξιά; Τι θα συμβεί αν ο συντελεστής της X (Χ) μειωθεί περισσότερο από τις 66,6667χμ (5χμ) προς τ αριστερά; Πόση είναι τελικά η κατανάλωση πόρων στο άριστο σχέδιο ; Ποιο είναι το φυσικό νόημα του κόστους ευκαιρίας; Πόσο θα ήταν διατεθειμένη να πληρώσει η επιχείρηση για μία ακόμη μονάδα γάλακτος (ή εργασίας, ή δυναμικότητας, ή ζητούμενης ποσότητας) και για πόσες μονάδες ακόμη; Ποιο είναι το φυσικό νόημα του Μ, στα δεξιά άκρα των διαστημάτων εφικτότητας των περιορισμών C και C4; Minimize z και, συνολικό κόστος (εκατομμύρια χμ) γυναίκες ( άτομα) άνδρες ( άτομα) ελάχιστο πλήθος βραδινά μηνύματα Min και z.5 + e e + e. +. e e e,, e, e, e 5 9 Ποια βασική αρχή διέπει τα διαστήματα που βλέπουμε στην ανάλυση ευαισθησίας;

6 8 Η γραφική επίλυση Είσοδος τεχνητών μεταβλητών (artificial variables) Min z e + e + e + Ma + Ma + Ma Αρχική βάση. +. e + α e + α 9 e + α όπου,, e, e, e, a, a, a Επίλυση με τη μέθοδο simple. Μεταβολές στα κριτήρια εισόδου και τερματισμού. Επιλέγεται ως εισερχόμενη βασική μεταβλητή εκείνη που έχει το πιο αρνητικό στοιχείο στη σειρά cj zj. Τερματισμός όταν όλα τα στοιχεία στη σειρά cj zj είναι θετικά ή μηδέν.. Μετασχηματισμός σε πρόβλημα μεγιστοποίησης (??) Ισοδύναμο πρόβλημα μεγιστοποίησης Maimize z.5.5 e e e Ma Ma Ma. +. e + α e + α e + α όπου,, e, e, e, a, a, a Επίλυση με τις κατάλληλες μεταβολές στα κριτήρια εισόδου και τερματισμού Μετακίνηση στο ακραίο σημείο Σε ποιο σημείο αντιστοιχεί?? (,, e, e, e, a, a, a) (,,,,,, 4, ) (,, e, e, e) (,,5, 4, ) (, ) (,, e, e, e, a, a, a) (, 6,,, 6, 7.8,, ) (,, e, e, e) (, 6, 7.8,, 6) Ε (, 6) Μετακίνηση στο ακραίο σημείο Ε Μετακίνηση στην κορυφή Γ Μετακίνηση στην κορυφή Α (βέλτιστη) Η άριστη λύση στο LINDO Αναφορά Απάντησης Αναφορά Ευαισθησίας στο Lindo Επίλυση με το WinQSB () Αρχικός πίνακας simple LP OPTIMUM FOUND AT STEP RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: Πρώτη επανάληψη (αρχικός πίνακας πρώτος) OBJECTIVE FUNCTION VALUE ). VARIABLE VALUE REDUCED COST X.. X.. ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES ) ) ).. NO. ITERATIONS OBJ COEFFICIENT RANGES ALLOWABLE ALLOWABLE VARIABLE CURRENT COEF INCREASE DECREASE X.5.5. X RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE INFINITY Πρώτος πίνακας simple εύτερη επανάληψη (πρώτος δεύτερος πίνακας)

7 97 Επίλυση με το WinQSB () Επίλυση με το WinQSB () Η άριστη λύση με το WinQSB Επίλυση με το POM/QM (επαναλήψεις simple) εύτερος πίνακας simple Τρίτη επανάληψη (δεύτερος τρίτος πίνακας) Τέταρτος πίνακας τελικός πίνακας simple Ολοκλήρωση της πρώτης φάσης με την κατασκευή του τρίτου πίνακα που ακολουθεί Τρίτος πίνακας simple Τέταρτη επανάληψη (τρίτος τέταρτος πίνακας) Η άριστη λύση με το POM/QM Τυπικά ερωτήματα (ανάλυση ευαισθησίας) Ποια είναι η άριστη λύση και η άριστη τιμή ; Ποιοι περιορισμοί είναι δεσμευτικοί και ποιοι μη δεσμευτικοί ; Σχολιάστε αναλυτικά το διάστημα ευαισθησίας του αντικειμενικού συντελεστή της Χ (ή της Χ). Τι θα συμβεί αν ο συντελεστής της X (Χ) ξεπεράσει τις,75χμ (7,5χμ) προς τα δεξιά; Τι θα συμβεί αν ο συντελεστής της X (Χ) μειωθεί περισσότερο από,5χμ (χμ) προς τ αριστερά; Εργαστήριο Πέλλα εδομένα Καλλιτεχνικός γύψος 7.5 kg (πρέπει να καταναλωθούν) Κεφάλαια.6.χμ (κόστος εργασίας) Μοναδιαίο κόστος εργασίας. χμ/ώρα Έκτακτη παραγγελία η οποία προϋποθέτει τουλάχιστον 7 τεμάχια τύπου Α περισσότερα από τα Β) Γενική Μορφή του μοντέλου +s+emama +a Πόσο θα ήταν διατεθειμένη να πληρώσει η επιχείρηση για να προσεγγίσει ακόμη γυναίκες (περιορισμός C) και μέχρι πόσα επιπλέον άτομα ισχύει η ανάλυση αυτή; Ομοίως για επιπλέον άνδρες Σχολιάστε αναλυτικά το διάστημα ευαισθησίας του περιορισμού C. Ποιο είναι Κατανάλωση Πόρων Προϊόν Α:.5 ώρα, 5 kg γύψο, άλλα κόστη 4.5 χμ, Προϊόν Β:.5 ώρες, 5 kg γύψος, κόστος. χμ, e + a +s το φυσικό νόημα του Μ (δηλαδή του ); Τιμή πώλησης Α 8.χμ Τιμή πώλησης Β 6.5χμ Γραφική επίλυση (ποια είναι η εφικτή περιοχή;) Επίλυση με τη μέθοδο simple (WinQSB ) Επίλυση με τη μέθοδο simple (WinQSB ) H άριστη λύση με το WinQSB Αρχικός πίνακας simple Πρώτη επανάληψη (αρχικός πίνακας πρώτος) εύτερος πίνακας simple Τρίτη επανάληψη (δεύτερος τρίτος πίνακας) () () () Θ Ε Πρώτος πίνακας simple εύτερη επανάληψη (πρώτος πίνακας δεύτερος) Τρίτος πίνακας simple τελικός πίνακας simple Γ Η Α obj Ι Β H άριστη λύση με το POM/QM Τυπικά ερωτήματα (ανάλυση ευαισθησίας) Έστω, ότι ο πρώτος περιορισμός γίνεται: Επίλυση παραλλαγής με τη μέθοδο simple () Σχολιάστε αναλυτικά τα διαστήματα ευαισθησίας των αντικειμενικών συντελεστών Αρχικός πίνακας simple Ποιο είναι το φυσικό νόημα του αριστερού άκρου του διαστήματος για το συντελεστή Πρώτη επανάληψη (αρχικός πίνακας πρώτος) της X που είναι ίσο με Μ ( ); Ποιο είναι το φυσικό νόημα του δεξιού άκρου του διαστήματος για το συντελεστή της () X που είναι ίσο με Μ (+ ); Πώς σχολιάζετε την απαίτηση να καταναλωθεί οπωσδήποτε όλη η ποσότητα γύψου (ζημιογόνος, επικερδής και γιατί) με βάση τη συγκυρία; Τελικά ποια ποσότητα γύψου φαίνεται ότι θα συνέφερε να καταναλωθεί με βάση τη Θ συγκυρία; Σχολιάστε αναλυτικά το διάστημα ευαισθησίας του διαθέσιμου κεφαλαίου για το κόστος εργασίας. Μπορείτε να το συνδέσετε με το πόσο θα ήταν διατεθειμένη να πληρώσει η Ε Γ Πρώτος πίνακας simple εύτερη επανάληψη (πρώτος πίνακας δεύτερος) επιχείρηση για επιπλέον ώρες εργασίας (και για πόσες ώρες ακόμη); Ποιο είναι το φυσικό νόημα του Μ ( ) στο αριστερό άκρο του διαστήματος ευαισθησίας του περιορισμού C; Α Ι Β Η

8 Επίλυση παραλλαγής με τη μέθοδο simple () Άριστη λύση της παραλλαγής (WinQSB) Άριστη λύση της παραλλαγής (POM/QM) Τυπικά ερωτήματα (ανάλυση ευαισθησίας) Σχολιάστε αναλυτικά τα διαστήματα ευαισθησίας των αντικειμενικών συντελεστών εύτερος πίνακας simple τελικός πίνακας simple Ποιο είναι το φυσικό νόημα του δεξιού άκρου του διαστήματος για το συντελεστή της X που είναι ίσο με Μ (+ ); Τι θα συμβεί αν το δεξιό άκρου του διαστήματος για το συντελεστή της X αυξηθεί και γίνει ακριβώς ίσο με,7; Τελικά πόσα περισσότερα τεμάχια τύπου κατασκευάζονται ; Γιατί ; Συγκρίνετε με την προηγούμενη άριστη λύση και σχολιάστε. Πόσο θα ήταν διατεθειμένη να πληρώσει η επιχείρηση για την αγορά ενός επιπλέον κιλού γύψου ; Πόσο θα ήταν διατεθειμένη να πληρώσει η επιχείρηση για επιπλέον ώρες εργασίας και για πόσες ώρες ακόμη; Ποιο είναι το φυσικό νόημα του Μ (+ ) στο δεξιό άκρο του διαστήματος ευαισθησίας του περιορισμού C; Ποιο είναι το φυσικό νόημα της αρνητικής σκιώδους τιμής του περιορισμού C; Πρόβλημα με εναλλακτικές βέλτιστες λύσεις Ma z Γραφική Επίλυση (μοντέλο με εναλλακτικές βέλτιστες λύσεις).7 Επίλυση στο WinQSB () Αρχικός πίνακας simple Πρώτη επανάληψη (αρχικός πρώτος πίνακας) ) , 5 ) + 5, 6 ) 7 με,.7.7 Πρώτος πίνακας simple εύτερη επανάληψη (πρώτος δεύτερος πίνακας) Ποια κορυφή αντιστοιχεί στην άριστη λύση του παραπάνω πίνακα ; Επίλυση στο WinQSB () H άριστη λύση στο WinQSB (εναλλακτικές άριστες λύσεις) Εύρεση της εναλλακτικής κορυφής Τελικός πίνακας simple της εναλλακτικής εύτερος πίνακας simple τελικός πίνακας simple) Από πού διακρίνω ότι υπάρχει εναλλακτική άριστη λύση ; (η ερώτηση δεν αναφέρεται στο προφανές μήνυμα με τα θαυμαστικά!!) Ο τελικός πίνακας simple της εναλλακτικής στο WinQSB H άριστη λύση στο POM/QM (εναλλατικές λύσεις) Καμία εφικτή λύση (infeasibility) Γραφική Επίλυση (καμία εφικτή λύση) Ma z H εναλλακτική άριστη λύση (κορυφή) στο WinQSB , + 5,6 7 με, Α Θ Ι Ε Η Γ

9 9 Μεγέθυνση (καμία εφικτή λύση): Πώς βρίσκουμε ότι δεν έχει εφικτή λύση; Τυποποιημένη μορφή του μοντέλου Καμία εφικτή λύση Καμία εφικτή λύση Ma z.5 e Ma Ma e + s e + a 9, s,6 e + a 7 με,, e, a, s, e, a Σε ποιο σημείο του σχήματος αντιστοιχεί? Επίλυση με τη μέθοδο simple στο WinQSB () Αρχικός πίνακας simple Επίλυση με τη μέθοδο simple στο WinQSB () εύτερος πίνακας simple Επίλυση στο POM/QM (καμία εφικτή λύση) Μη φραγμένο πρόβλημα (unbounded problem) Πρώτη επανάληψη (αρχικός πίνακας πρώτος) Πρώτος πίνακας simple εύτερη επανάληψη (πρώτος πίνακας δεύτερος) Τρίτη επανάληψη (δεύτερος τρίτος πίνακας) Τέταρτoς πίνακας simple τελικός πίνακας simple (γιατί?) Maimize z 5 5, Γραφική Επίλυση (μη φραγμένο) Μη φραγμένο Μη φραγμένο Μη φραγμένο M α 5 5? s? Επίλυση με τη μέθοδο simple στο WinQSB () Επίλυση με τη μέθοδο simple στο WinQSB () Αναφορά του LINDO για το μη φραγμένο πρόβλημα Επίλυση στο POM/QM (μη φραγμένο) Αρχικός πίνακας simple Πρώτη επανάληψη (αρχικός πρώτος πίνακας) Πρώτος πίνακας simple εύτερη επανάληψη (πρώτος δεύτερος πίνακας) εύτερος πίνακας simple (αδύνατο να προχωρήσει η διαδικασία) Αναφορά του WinQSB για το μη φραγμένο πρόβλημα UNBOUNDED VARIABLES ARE: X SLK X OBJECTIVE FUNCTION VALUE ) E+8 VARIABLE VALUE REDUCED COST X.. X ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES ) 5..5 )..5 ITERATIONS NO. SUFFICIENT SET (COLS), CORRECT ONE OF: X X

10 45 Άλλες ειδικές περιπτώσεις. Μεταβλητές που δεν περιορίζονται ως προς τις τιμές Xj R (μετασχηματίζουμε, ώστε όλες να είναι ). Ισοβάθμιση στην εισερχόμενη (cj zj). Ισοβάθμιση στην εξερχόμενη (πηλίκα, εκφυλισμένες) Ας σταματήσουμε εδώ!!!

Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex ) 1

Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex )  1 Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex ) http://users.uom.gr/~acg 1 Η μέθοδος SIMPLEX Χρησιμοποιείται ο λεγόμενος πίνακας simplex (simplex table, simplex

Διαβάστε περισσότερα

maximize z = 50x x 2 κάτω από τους περιορισμούς (εβδομαδιαίο κέρδος, χρηματικές μονάδες)

maximize z = 50x x 2 κάτω από τους περιορισμούς (εβδομαδιαίο κέρδος, χρηματικές μονάδες) Ένας κοσμηματοπώλης, κατασκευάζει μπρασελέ και κολιέ αναμειγνύοντας ασήμι με κάποιο άλλο μέταλλο. Το μοντέλο π.γ.π. που ανέπτυξε για την εύρεση της εβδομαδιαίας παραγωγής (x 1 μπρασελέ και x 2 κολιέ) η

Διαβάστε περισσότερα

Ενδιαφερόμαστε να μεγιστοποιήσουμε το συνολικό κέρδος της εταιρείας που ανέρχεται σε: z = 3x 1 + 5x 2 (εκατοντάδες χιλιάδες χ.μ.)

Ενδιαφερόμαστε να μεγιστοποιήσουμε το συνολικό κέρδος της εταιρείας που ανέρχεται σε: z = 3x 1 + 5x 2 (εκατοντάδες χιλιάδες χ.μ.) Μια εταιρεία χημικών προϊόντων παρασκευάζει μεταξύ των άλλων και δύο διαλύματα, ΔΛ, ΔΛ2. Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια, αυτό της μίξης κι εκείνο του καθαρισμού. Μια σχετική μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 7: Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ LINDO ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ LINDO ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ LINDO ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Το LINDO (Linear Interactive and Discrete Optimizer) είναι ένα πολύ γνωστό λογισµικό για την επίλυση προβληµάτων γραµµικού,

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός και Βελτιστοποίηση (Εργαστήριο 3)

Γραμμικός Προγραμματισμός και Βελτιστοποίηση (Εργαστήριο 3) Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός και Βελτιστοποίηση (Εργαστήριο 3) Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Μάρτιος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Γραμμικός Προγραμματισμός (E 3) Μάρτιος

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΟΥΝΙΟΣ 2012 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΘΕΜΑ ΠΡΩΤΟ: Θεωρήστε το π.γ.π.: maximize z(θ) = (10 4θ)x 1 +

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΟΥΝΙΟΣ 2 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΘΕΜΑ ο : Για το μοντέλο του π.γ.π. που ακολουθεί maximize z = x

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ (hr) στο. Στάδιο Α Στάδιο Β (ανά) τρακτέρ 10 20 (ανά) γερανό 15 10

ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ (hr) στο. Στάδιο Α Στάδιο Β (ανά) τρακτέρ 10 20 (ανά) γερανό 15 10 2. Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού 89 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2.10 Η TRACPRO, γνωστή αυτοκινητοβιομηχανία, προσπαθεί να εντοπίσει το εβδομαδιαίο σχέδιο παραγωγής τρακτέρ και γερανών με τα μεγαλύτερα κέρδη:

Διαβάστε περισσότερα

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Ένα πολυσταδιακό πρόβλημα που αφορά στον τριμηνιαίο προγραμματισμό για μία βιομηχανική επιχείρηση παραγωγής ελαστικών (οχημάτων) Γενικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Το πρόβλημα της επιλογής των μέσων διαφήμισης (??) το αντιμετωπίζουν τόσο οι επιχειρήσεις όσο και οι διαφημιστικές εταιρείες στην προσπάθειά τους ν' αναπτύξουν

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ

Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ Η «OutBoard Motors Co» παράγει τέσσερα διαφορετικά είδη εξωλέμβιων (προϊόντα 1 4) Ο γενικός διευθυντής κ. Σχοινάς, ενδιαφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

Case 11: Πρόγραμμα Παρακίνησης Πωλητών ΣΕΝΑΡΙΟ

Case 11: Πρόγραμμα Παρακίνησης Πωλητών ΣΕΝΑΡΙΟ Case 11: Πρόγραμμα Παρακίνησης Πωλητών ΣΕΝΑΡΙΟ Η κ. Δημητρίου είναι γενική διευθύντρια σε μία επιχείρηση με κύρια δραστηριότητα την παραγωγή μαγνητικών μέσων και αναλώσιμων ειδών περιφερειακών συσκευών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές Ένα τυχαίο π.γ.π. maximize/minimize z=c x Αx = b x 0 Τυπική μορφή του π.γ.π. maximize z=c x Αx = b x 0 b 0 είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

σει κανένα modem των 128Κ. Θα κατασκευάσει συνολικά = 320,000 τεμάχια των 64Κ και το κέρδος της θα γίνει το μέγιστο δυνατό, ύψους 6,400,000.

σει κανένα modem των 128Κ. Θα κατασκευάσει συνολικά = 320,000 τεμάχια των 64Κ και το κέρδος της θα γίνει το μέγιστο δυνατό, ύψους 6,400,000. Σ ένα εργοστάσιο ειδών υγιεινής η κατασκευή των πορσελάνινων μπανιέρων έχει διαμορφωθεί σε τρία διαδοχικά στάδια : καλούπωμα, λείανση και βάψιμο. Στον πίνακα που ακολουθεί καταγράφονται τα ωριαία δεδομένα

Διαβάστε περισσότερα

RIGHTHAND SIDE RANGES

RIGHTHAND SIDE RANGES Μια εταιρεία εξόρυξης μεταλλευμάτων, έλαβε μια παραγγελία για 100 τόνους σιδηρομεταλλεύματος. Η παραγγελία πρέπει να περιλαμβάνει τουλάχιστον.5 τόνους νικέλιο, το πολύ τόνους άνθρακα κι ακριβώς 4 τόνους

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός 3.1 Εισαγωγή Πολλοί πιστεύουν ότι η ανάπτυξη του γραμμικού προγραμματισμού είναι μια από τις πιο σπουδαίες επιστημονικές ανακαλύψεις στα μέσα του εικοστού αιώνα.

Διαβάστε περισσότερα

Case 05: Επιλογή Επενδύσεων (πολυσταδιακό πρόβλημα) ΣΕΝΑΡΙΟ

Case 05: Επιλογή Επενδύσεων (πολυσταδιακό πρόβλημα) ΣΕΝΑΡΙΟ Case 05: Επιλογή Επενδύσεων (πολυσταδιακό πρόβλημα) ΣΕΝΑΡΙΟ Ο χρονικός ορίζοντας απαρτίζεται από διαδοχικές χρονικές περιόδους. Διαμόρφωση ενός χαρτοφυλακίου στο οποίο, καθώς ο χρόνος εξελίσσεται, το διαθέσιμο

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Εικονικές Παράμετροι Μέχρι στιγμής είδαμε την εφαρμογή της μεθόδου Simplex σε προβλήματα όπου το δεξιό μέλος ήταν θετικό. Δηλαδή όλοι οι περιορισμοί ήταν της μορφής: όπου Η παραδοχή ότι b 0 μας δίδει τη

Διαβάστε περισσότερα

Case 09: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων ΙI ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 09: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων ΙI ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 09: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων ΙI ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Η βιομηχανική επιχείρηση «ΑΤΛΑΣ Α.Ε.» δραστηριοποιείται στο χώρο του φυσικού αερίου και ειδικότερα στις συσκευές οικιακής χρήσης. Πρόκειται να εισάγει

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 013 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΘΕΜΑ 1 ο : Για το μοντέλο του π.γ.π. που ακολουθεί maximize

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις)

Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) ΤΕΙ Ηπείρου (Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής) Γκόγκος Χρήστος (06-01-2015) 1. Γραφική επίλυση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού A) Με τη βοήθεια της γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

Επιλογή επιπέδου ανταγωνιζομένων δραστηριοτήτων

Επιλογή επιπέδου ανταγωνιζομένων δραστηριοτήτων http://users.uom.gr/~acg 1 Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό (LP) Εντοπισμός της βέλτιστης κατανομής περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιζομένων δραστηριοτήτων (resource allocation problems) Συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1)

Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1) Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1) Το εσωτερικό ποσοστό απόδοσης (internal rate of return) ως κριτήριο αξιολόγησης επενδύσεων Προβλήµατα προκύπτουν όταν υπάρχουν επενδυτικές ευκαιρίες

Διαβάστε περισσότερα

Case 01: Προγραµµατισµός Αγροτικής Παραγωγής «AGRO» ΣΕΝΑΡΙΟ

Case 01: Προγραµµατισµός Αγροτικής Παραγωγής «AGRO» ΣΕΝΑΡΙΟ Case 01: Προγραµµατισµός Αγροτικής Παραγωγής «AGRO» ΣΕΝΑΡΙΟ Προγραµµατισµός τεσσάρων διαφορετικών προϊόντων Σιτάρι, σόγια, βρώµη καικαλαµπόκι Μέγιστη συνολική έκταση 1.500 στρέµµατα Ακριβώς 100 στρέµµατα

Διαβάστε περισσότερα

Chemical A.E. χηµική βιοµηχανία Ρύπανση του παρακείµενου ποταµού µε απόβλητα

Chemical A.E. χηµική βιοµηχανία Ρύπανση του παρακείµενου ποταµού µε απόβλητα Case 15: Προστασία του Περιβάλλοντος ΣΕΝΑΡΙΟ Chemical A.E. χηµική βιοµηχανία Ρύπανση του παρακείµενου ποταµού µε απόβλητα 1 Σενάριο και υπόλοιπα δεδοµένα Συγκροτήθηκε οµάδα εργασίας για την επεξεργασία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ (3 ο Φυλλάδιο)

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ (3 ο Φυλλάδιο) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ (3 ο Φυλλάδιο) ΙΩΑΝΝΗΣ ΝΤΖΟΥΦΡΑΣ (C) 2002 ΧΙΟΣ Παράδειγμα 8: Πρόβλημα ελαχίστης Διαδρομής (Shortest path problem)... 4 LINDO: Integer Linear

Διαβάστε περισσότερα

Case 02: Προγραµµατισµός Προϊόντων «MODA A.E.» ΣΕΝΑΡΙΟ (Product Mix)

Case 02: Προγραµµατισµός Προϊόντων «MODA A.E.» ΣΕΝΑΡΙΟ (Product Mix) Case 02: Προγραµµατισµός Προϊόντων «MODA A.E.» ΣΕΝΑΡΙΟ (Product Mix) Εισάγει στην αγορά για την επόµενη χειµερινή περίοδο έξι νέα είδη γυναικείων ενδυµάτων µε µεγάλες προοπτικές πωλήσεων Η ζήτηση για τα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ (2 ο Φυλλάδιο)

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ (2 ο Φυλλάδιο) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ (2 ο Φυλλάδιο) ΙΩΑΝΝΗΣ ΝΤΖΟΥΦΡΑΣ Παραδείγματα 3 5 : Προβλήματα μεταφοράς (transportation problems)... 3 Παράδειγματα 3-5: Linear Programming

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί Ο αλγόριθμος Simplex για τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού, βλέπε Dntzig (1963), αποδίδει αρκετά καλά στην πράξη, ιδιαίτερα σε προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200 ΑΣΚΗΣΗ Η εταιρεία logistics Orient Express έχει αναλάβει τη διακίνηση των φορητών προσωπικών υπολογιστών γνωστής πολυεθνικής εταιρείας σε πελάτες που βρίσκονται στο Hong Kong, τη Σιγκαπούρη και την Ταϊβάν.

Διαβάστε περισσότερα

Αναζητάμε το εβδομαδιαίο πρόγραμμα παραγωγής που θα μεγιστοποιήσει 1/20

Αναζητάμε το εβδομαδιαίο πρόγραμμα παραγωγής που θα μεγιστοποιήσει 1/20 Μια από τις εταιρείες γάλακτος στην προσπάθειά της να διεισδύσει στην αγορά του παγωτού πολυτελείας επενδύει σε μια μικρή πιλοτική γραμμή παραγωγής δύο προϊόντων της κατηγορίας αυτής. Πρόκειται για οικογενειακές

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕΣΩ LINDO

ΤΜΗΜΑΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕΣΩ LINDO ΤΜΗΜΑΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ2011-2012 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕΣΩ LINDO LINDO (Linear Interactive and Discrete Optimizer) ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ LINDO Το

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING)

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) Δρ. Βασιλική Καζάνα Αναπλ. Καθηγήτρια ΤΕΙ Καβάλας, Τμήμα Δασοπονίας & Διαχείρισης Φυσικού Περιβάλλοντος Δράμας Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής αναγνωρίζει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΑΝΘΡΩΠΙΝΩΝ. (Human Resources Scheduling Human Resources Programming)

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΑΝΘΡΩΠΙΝΩΝ. (Human Resources Scheduling Human Resources Programming) ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΑΝΘΡΩΠΙΝΩΝ ΠΟΡΩΝ (Human Resources Scheduling Human Resources Programming) Management Ανθρώπινων Πόρων Κεφάλαιο 1 Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη του κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού Ο αλγόριθµος είναι αλγεβρική διαδικασία η οποία χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων (προτύπων) Γραµµικού Προγραµµατισµού (ΠΓΠ). Ο αλγόριθµος έχει διάφορες παραλλαγές όπως η πινακοποιηµένη µορφή.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 2 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 2 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Κεφάλαιο 2 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού 1 Μεταξύ δύο περιορισμών, ο ένας πρέπει να ισχύει Έστω ότι για την κατασκευή ενός προϊόντος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη 5 ο Εξάµηνο 5 ο ΜΑΘΗΜΑ ηµήτρης Λέκκας Επίκουρος Καθηγητής dlekkas@env.aegean.gr Τµήµα Στατιστικής & Αναλογιστικών-Χρηµατοοικονοµικών Μαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Πρόβληµα µεταφοράς Η ανάπτυξη και διαµόρφωση του προβλήµατος µεταφοράς αναπτύσσεται στις σελίδες 40-45 του βιβλίου των

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Επίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού με χρήση κατάλληλου λογισμικού (Excel, Lindo)

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Επίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού με χρήση κατάλληλου λογισμικού (Excel, Lindo) ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Επίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού με χρήση κατάλληλου λογισμικού (Excel, Lindo) Μπουντούρης Ηρακλήs Επιβλέπουσα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 18: Επίλυση Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ευαισθησίας. αναζητάμε τις επιπτώσεις που επιφέρει στη βέλτιστη λύση η

Ανάλυση Ευαισθησίας. αναζητάμε τις επιπτώσεις που επιφέρει στη βέλτιστη λύση η Ανάλυση Ευαισθησίας αναζητάμε τις επιπτώσεις που επιφέρει στη βέλτιστη λύση η μεταβολή των αντικειμενικών συντελεστών c μεταβολή των όρων b i στο δεξιό μέλος του συστήματ των περιορισμ μεταβολή των συντελεστών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation)

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Μέθοδος Simplex για Προβλήµατα Μεταφοράς Προβλήµατα Εκχώρησης (assignment) Παράδειγµα: Κατανοµή Νερού Η υδατοπροµήθεια µιας περιφέρεια

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός και θεωρία Παιγνίων

Γραμμικός Προγραμματισμός και θεωρία Παιγνίων Σε αυτό το κεφάλαιο θα χρησιμοποιήσουμε πίνακες οι οποίοι δεν θα είναι γραμμικές εξισώσεις. Θα πρέπει λοιπόν να δούμε την γεωμετρική ερμηνεία των ανισώσεων. Μια ανίσωση διαιρεί τον n-διάστατο χώρο σε δύο

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2009 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΜΑ 1 ο Η Περιφέρεια Κεντρικής Μακεδονίας σχεδιάζει την ανάπτυξη ενός συστήματος αυτοκινητοδρόμων

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1 Ένα κεντρικό βιβλιοπωλείο ειδικεύεται στα λογοτεχνικά βιβλία και τα βιβλία τέχνης. Προκειμένου να προωθήσει μια νέα συλλογή λογοτεχνικών βιβλίων και βιβλίων τέχνης, η διεύθυνση του βιβλιοπωλείου

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex

Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex Νίκος Τσάντας ιατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Τμήμ. Μαθηματικών Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων Ακαδημαϊκό έτος 2006-07

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. Πειραιά Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Τ.Ε.Ι. Πειραιά Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Τ.Ε.Ι. Πειραιά Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ακαδημαϊκό Έτος: 2013-2014 (Χειμερινό Εξάμηνο) Μάθημα: Σχεδιασμός Αλγορίθμων και Επιχειρησιακή Έρευνα Καθηγητής: Νίκος Τσότσολας Εργασία

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Data Envelopment Analysis

Data Envelopment Analysis Data Envelopment Analysis Η μέθοδος των «Βέλτιστων Προτύπων Αποδοτικότητας», γνωστή στην διεθνή βιβλιογραφία ως «Data Envelopment Analysis», εφαρμόζεται για τον υπολογισμό της σχετικής αποδοτικότητας και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 Μία επιχείρηση κατασκευάζει τρία προϊόντα, έστω α, β και γ, τα οποία πουλάει

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες Κεφάλαιο Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Παραδείγματα από εφαρμογές Παράδειγμα : Σε ένα δίκτυο (αγωγών ή σωλήνων ή δρόμων) ισχύει ο κανόνας των κόμβων όπου το άθροισμα των εισερχόμενων ροών θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΠ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ Το πρόγραμμα LINDO O Solver (Επίλυση) του Excel ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΓΠ ΣΕ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Το Πρόβλημα Μίξης Παραγωγής

ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΠ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ Το πρόγραμμα LINDO O Solver (Επίλυση) του Excel ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΓΠ ΣΕ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Το Πρόβλημα Μίξης Παραγωγής Εφαρμογές ΓΠ - Επίλυση με Χρήση Υπολογιστή ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΠ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ Το πρόγραμμα LINDO O Solver (Επίλυση) του Excel ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΓΠ ΣΕ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Το Πρόβλημα Μίξης Παραγωγής (Product mix)

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρία Δυαδικότητας Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Βασικά Θεωρήματα 2. Παραδείγματα 3. Οικονομική Ερμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ( Linear Programming ) Ο Γραμμικός Προγραμματισμός είναι μια τεχνική που επιτρέπει την κατανομή των περιορισμένων πόρων μιας επιχείρησης με τον πιο

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HECKSCHER-OHLIN

3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HECKSCHER-OHLIN 3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HESHER-OHIN Υπάρχουν δύο συντελεστές παραγωγής, το κεφάλαιο και η εργασία τους οποίους χρησιμοποιεί η επιχείρηση για να παράγει προϊόν Y μέσω μιας συνάρτησης παραγωγής

Διαβάστε περισσότερα

Η άριστη ποσότητα παραγγελίας υπολογίζεται άμεσα από τη κλασική σχέση (5.5): = 1000 μονάδες

Η άριστη ποσότητα παραγγελίας υπολογίζεται άμεσα από τη κλασική σχέση (5.5): = 1000 μονάδες ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 Η ετήσια ζήτηση ενός σημαντικού εξαρτήματος που χρησιμοποιείται στη μνήμη υπολογιστών desktops εκτιμήθηκε σε 10.000 τεμάχια. Η αξία κάθε μονάδας είναι 8, το κόστος παραγγελίας κάθε παρτίδας

Διαβάστε περισσότερα

1. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

1. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η επιχειρησιακή έρευνα επικεντρώνεται στη λήψη αποφάσεων από επιχειρήσεις οργανισμούς, κράτη κτλ. Στα πλαίσια της επιχειρησιακής έρευνας εξετάζονται οι ακόλουθες περιπτώσεις : Γραμμικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ μέθοδοι των εσωτερικών σημείων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ μέθοδοι των εσωτερικών σημείων ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γραμμικός Προγραμματισμός είναι η διαδικασία εύρεσης μιας βέλτιστης λύσης μιας γραμμικής συνάρτησης, η οποία να είναι συμβατή με ένα πεπερασμένο σύνολο γραμμικών ανισοτήτων, δηλαδή, ο

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραμμικός Προγραμματισμός Ελαχιστοποίηση γραμμικής αντικειμενικής συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ . ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Εισαγωγή Οι κλασσικές μέθοδοι αριστοποίησης βασίζονται κατά κύριο λόγο στο διαφορικό λογισμό. Ο Μαθηματικός Προγραμματισμός ο οποίος περιλαμβάνει τον Γραμμικό Προγραμματισμό

Διαβάστε περισσότερα

12/10/2015 LINEAR_PROGRAMMING_EBOOK ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ

12/10/2015 LINEAR_PROGRAMMING_EBOOK ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γραμμικός Προγραμματισμός είναι η διαδικασία εύρεσης μιας βέλτιστης λύσης μιας γραμμικής συνάρτησης, η οποία να είναι συμβατή με ένα πεπερασμένο σύνολο γραμμικών ανισοτήτων, δηλαδή,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ )

ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ) ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Μια εταιρεία ταχυμεταφορών διατηρεί μια αποθήκη εισερχομένων. Τα δέματα φθάνουν με βάση τη διαδικασία Poion με μέσο ρυθμό 40 δέματα ανά ώρα. Ένας υπάλληλος

Διαβάστε περισσότερα

Προσφορά Εργασίας Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας ( Χ,Α συνάρτηση χρησιμότητας U(X,A)

Προσφορά Εργασίας Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας ( Χ,Α συνάρτηση χρησιμότητας U(X,A) Προσφορά Εργασίας - Έστω ότι υπάρχουν δύο αγαθά Α και Χ στην οικονομία. Το αγαθό Α παριστάνει τα διάφορα καταναλωτικά αγαθά. Το αγαθό Χ παριστάνει τον ελεύθερο χρόνο. Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος με δύο αγνώστους.

Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος με δύο αγνώστους. ΜΕΡΟΣ Α 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ 71 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ Αν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις με δύο αγνώστους,, π.χ. α + β

Διαβάστε περισσότερα

Ένα πρόβλημα κατάρτισης προγράμματος εργασίας.

Ένα πρόβλημα κατάρτισης προγράμματος εργασίας. Ένα πρόβλημα κατάρτισης προγράμματος εργασίας. Έστω ένα πλήθος πληρωμάτων I, σε καθένα από τα οποία ανατίθεται καθημερινά κάποιο καθήκον (εργασία, βάρδια), από ένα συνολικό πλήθος Κ εργασιών. Ο στόχος

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0 3 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 31 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΘΜΟΥ Οι ανισώσεις: α + β > 0 και α + β < 0 Γνωρίσαμε στο Γυμνάσιο τη διαδικασία επίλυσης μιας ανίσωσης της μορφής α β 0 ή της μορφής α β 0, με α και β συγκεκριμένους αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Κεφάλαιο 3 3.1 Γενικά Τις τελευταίες δεκαετίες ένας μεγάλος αριθμός μεθόδων βελτιστοποίησης έχει αναπτυχθεί με βάση τη θεωρία του μαθηματικού λογισμού. Οι διάφοροι μαθηματικοί

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού

Επιχειρησιακή Έρευνα Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού Επιχειρησιακή Έρευνα Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού Νίκος Τσάντας ιατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Τμήμ. Μαθηματικών Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων Ακαδημαϊκό έτος 2006-07

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

από την ποσοστιαία μεταβολή της ζητούμενης ποσότητας προς την ποσοστιαία Σχέση ελαστικότητας ζήτησης και κλίση της καμπύλης ζήτησης.

από την ποσοστιαία μεταβολή της ζητούμενης ποσότητας προς την ποσοστιαία Σχέση ελαστικότητας ζήτησης και κλίση της καμπύλης ζήτησης. ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΖΗΤΗΣΗΣ Ορισμός: Η ελαστικότητα ζήτησης, ενός αγαθού ως προς την τιμή του δίνεται από την ποσοστιαία μεταβολή της ζητούμενης ποσότητας προς την ποσοστιαία μεταβολή της τιμής του. Δηλαδή %

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1 Βελτιστοποίηση Στην προσπάθεια αντιμετώπισης και επίλυσης των προβλημάτων που προκύπτουν στην πράξη, αναπτύσσουμε μαθηματικά μοντέλα,

Διαβάστε περισσότερα

1 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

1 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Παραδείγματα προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού Τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού ασχολούνται με καταστάσεις όπου ένας αριθμός πλουτοπαραγωγικών πηγών, όπως άνθρωποι,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και το Κόστος

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και το Κόστος ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Κεφάλαιο 3 ο : Η Παραγωγή της Επιχείρησης και το Κόστος ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΝΙΚΟΣ Χ. ΤΖΟΥΜΑΚΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΣ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Το συνολικό προϊόν παίρνει την μέγιστη τιμή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα.

ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα. ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα. Στα παραπάνω ιστογράμματα, παρατηρούμε, ότι αν και υπάρχει διαφορά στη διασπορά των τιμών

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πειραιώς ΤμήμαΠληροφορικής. Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Πληροφορική»

Πανεπιστήμιο Πειραιώς ΤμήμαΠληροφορικής. Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Πληροφορική» Πανεπιστήμιο Πειραιώς ΤμήμαΠληροφορικής. Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Πληροφορική» Μεταπτυχιακή Διατριβή Τίτλος Διατριβής Ονοματεπώνυμο φοιτητή Πατρώνυμο Γραμμικός Προγραμματισμός Γεώργιος Αριθμός

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΑ Β Σχολικό βιβλίο σελ ως «μεταβλητούς συντελεστές μαζί με το αντίστοιχο διάγραμμα. TC Συνολικό κόστος. VC Μεταβλητό κόστος

ΟΜΑΔΑ Β Σχολικό βιβλίο σελ ως «μεταβλητούς συντελεστές μαζί με το αντίστοιχο διάγραμμα. TC Συνολικό κόστος. VC Μεταβλητό κόστος ΛΥΣΕΙΣ ΑΟΘ 1 ΓΙΑ ΑΡΙΣΤΑ ΔΙΑΒΑΣΜΕΝΟΥΣ ΟΜΑΔΑ Α Α1 γ Α2 β Α3 δ Α4 Σ Α5 Σ Α6 Σ Α7 Σ Α8 Λ ΟΜΑΔΑ Β Σχολικό βιβλίο σελ. 57-59 ως «μεταβλητούς συντελεστές μαζί με το αντίστοιχο διάγραμμα. ΟΜΑΔΑ Γ Γ1. Είναι γνωστό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού

Κεφάλαιο 6. Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού Κεφάλαιο 6 Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού 1 Γραφική επίλυση Η γραφική μέθοδος επίλυσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο για πολύ μικρά προβλήματα με δύο ή το πολύ τρεις μεταβλητές απόφασης.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Α.1. Κάθε οικονομία παράγει πάντοτε τους συνδυασμούς των προϊόντων που βρίσκονται πάνω στην καμπύλη των παραγωγικών της δυνατοτήτων.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Α.1. Κάθε οικονομία παράγει πάντοτε τους συνδυασμούς των προϊόντων που βρίσκονται πάνω στην καμπύλη των παραγωγικών της δυνατοτήτων. ΟΜΑΔΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Στις παρακάτω προτάσεις, από Α.1 μέχρι και Α.5 να γράψετε τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα του την ένδειξη: Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. Α.1.

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία Weber Προσέγγιση του ελάχιστου κόστους

Η θεωρία Weber Προσέγγιση του ελάχιστου κόστους Η θεωρία Weber Προσέγγιση του ελάχιστου κόστους Ο θεμελιωτής της θεωρίας χωροθέτησης της βιομηχανίας ήταν ο Alfred Weber, την οποία αρχικά παρουσίασε ο μαθηματικός Laundhart (1885). Ο A. Weber (1868-1958)

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα