IV.12 OΜΟΓΕΝΕΙΑ. 1. Μερικές ελαστικότητες. 2. Σχετικά ή ποσοστιαία διαφορικά.

Transcript

1 IV.1 OΜΟΓΕΝΕΙΑ 1.Μεριές ελαστιότητες.σχετιά ή ποσοστιαία διαφοριά 3.Ελαστιότητα λίμαας 4.Ομογενής μηδενιού βαθμού 5.Ομογενής βαθμού 6.Ιδιότητες ομογενών ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7.Ισοσταθμιές ομογενών 8.Ελαστιότητα υποατάστασης 9.Ομοθετιές ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Μεριές ελαστιότητες Επετείνοντας την θεωρία ελαστιότητας σε συναρτήσεις πολλών μεταβλητών, θεωρούμε μια συνάρτηση δύο μεταβλητών f(,), αι ορίζουμε τις μεριές ελαστιότητες, σε αντιστοιχία με τις μεριές παραγώγους, ως εξής: f f ε = Ef =, ελαστιότητα ως προς, ε = Ef =, ελαστιότητα ως προς f f Η ερμηνεία τους είναι όπως αι στις συναρτήσεις μιας μεταβλητής. Π.χ. %Δf Ef = lim με Δ= 0 Δ 0 %Δ. Οι συναρτήσεις C-D: f(,) =, έχουν σταθερές ελαστιότητες: {Ef = α, Ef = β}. Δηλαδή, αύξηση μόνο του ατά 1% προαλεί μεταβολή στη τιμή της συνάρτησης ατά α%, οριαά. Αντίστοιχα για το. Έτσι, στις συναρτήσεις C-D, οι εθέτες ερμηνεύονται ως αντίστοιχες ελαστιότητες.. Σχετιά ή ποσοστιαία διαφοριά. Οι μεριές ελαστιότητες δίνουν τις οριαές ποσοστιαίες μεταβολές μιας συνάρτησης όταν μεταβάλλεται μόνο μία μεταβλητή. Όταν μεταβάλλονται περισσότερες μεταβλητές που συνδέονται μεταξύ τους με άποιες εξισώσεις, τότε ως προσεγγίσεις των σχετιών μεταβολών χρησιμοποιούμε τα σχετιά διαφοριά αθώς αι τα ισοδύναμά τους ποσοστιαία διαφοριά: Δ Δ d d d d,,,,, %d = 100, %d = 100, Σε προηγούμενα εφάλαια διαπιστώσαμε ότι τα διαφοριά συνδέονται μέσω των παραγώγων. Αντίστοιχα, τα σχετιά αι τα ποσοστιαία διαφοριά συνδέονται μέσω των ελαστιοτήτων. Π.χ. Για συναρτήσεις μιας μεταβλητής: = (), έχουμε: = () %d= ε(%d) όπου: ε= E= Για συναρτήσεις δύο μεταβλητών, έχουμε: z z z= z(,) %dz= ε (%d) + ε (%d) όπου: ε = Ez =, ε = Ez= z z Αντίστοιχα για συναρτήσεις περισσοτέρων μεταβλητών. Απόδειξη. Από τον τύπο των διαφοριών, διαιρώντας με z, βρίσουμε για τα σχετιά διαφοριά: dz z d z d dz = zd + zd z = z + z Πολλαπλασιάζοντας με 100 αταλήγουμε στην παραπάνω σχέση αι για τα ποσοστιαία διαφοριά. Σε αντίθεση με τις σχετιές αι τις ποσοστιαίες μεταβολές, τα διαφοριά αι τα σχετιά διαφοριά έχουν απλούστερο λογισμό. Έτσι για δύο μεταβλητές {u,v}, έχουμε: %d(αu) = %d(u), %d(uv) = %du + %dv, %d(u / v) = %du %dv Δηλαδή, στον πολλαπλασιασμό τα ποσοστιαία διαφοριά προστίθενται αι στην διαίρεση αφαιρούνται. Παρατηρούμε επίσης ότι αν πολλαπλασιάσουμε με σταθερά, το ποσοστιαίο διαφοριό δεν μεταβάλλεται. Απόδειξη. Από τον γνωστό τύπο για το διαφοριό γινομένου, βρίσουμε για το ποσοστιαίο διαφοριό γινομένου: d(uv) vdu udv du dv d(uv) = vdu+ udv = + = + %d(uv) = %du + %dv uv uv uv u v Με τον ίδιο τρόπο αποδεινύονται αι οι υπόλοιπες σχέσεις. Εναλλατιά προύπτουν αι από τον λογισμό των ελαστιοτήτων. 1

2 Παρατήρηση. Οι ίδιες σχέσεις μεταξύ των αντίστοιχων σχετιών μεταβολών είναι πιο πολύπλοες. Π.χ.: Δ(uv) Δu Δv Δu Δv Δ(uv) = [(u+ Δu)(v+ Δ v) uv] = vδu+ uδv+ ΔuΔv = + + uv u v u v 1. Θεωρούμε το εμβαδό ενός ορθογώνιου ως γινόμενο του μήους των πλευρών του: z= Αν η μία πλευρά αυξηθεί ατά %Δ= % αι η άλλη αυξηθεί ατά %Δ= 1%, τότε για το εμβαδό βρίσουμε το ποσοστιαίο διαφοριό: %dz = %d() = %d + %d = %Δ + %Δ= % + 1% = 3%. αι επομένως το σχετιό διαφοριό 0.03, που είναι μια ετίμηση της σχετιής μεταβολής. Σύμφωνα με την παραπάνω παρατήρηση για την πραγματιή σχετιή μεταβολή θα πρέπει να προσθέσουμε αι τον όρο: (Δu/u)(Δv/v) = (0.0)(0.01) = %. Δηλαδή στην πραγματιότητα το εμβαδό θα μεταβληθεί ατά: %Δz= = 3.0%. Αν η μοναδιαία τιμή P ενός προιόντος αυξηθεί ατά % αι η ποσότητα ζήτησης Q μειωθεί ατά 3%, τότε για το έσοδο R= PQ βρίσουμε το διαφοριό: R= PQ %dq = %dp + %dq = %ΔP + %ΔQ= % 3% = 1%. Επομένως το έσοδο θα ελαττωθεί ατά 1%, περίπου. 3. Ελαστιότητα λίμαας Σε προηγούμενο εφάλαιο ονομάσαμε ομογενείς συναρτήσεις μιας μεταβλητής, τις συναρτήσεις δυνάμεις: f() = c Χαρατηρίζονται από σταθερή ελαστιότητα ίση με τη δύναμη: ε=, οπότε έχουμε αι την σχέση: %df = (%d) Για να επετείνουμε την έννοια της ομογένειας σε συναρτήσεις περισσοτέρων μεταβλητών θεωρούμε τον τύπο του ποσοστιαίου διαφοριού μιας συνάρτησης: f(,) %df = ε (%d) + ε (%d) Αν οι ποσοστιαίες μεταβολές των (,)είναι ίσες μεταξύ τους, τότε βρίσουμε: %d = %d = %dr %df = (ε + ε )(%dr) Το άθροισμα των μεριών ελαστιοτήτων που εμφανίζεται στην παραπάνω σχέση αλείται ελαστιότητα λίμαας ή ατινωτή ελαστιότητα. : εr = ε + ε, Erf = Ef + Ef Δηλαδή, η ελαστιότητα λίμαας δίνει την ποσοστιαία μεταβολή στην τιμή της συνάρτησης όταν αμφότερες οι ανεξάρτητες μεταβληθούν ατά 1%, οριαά. Ομογενείς αλούνται οι συναρτήσεις που έχουν σταθερή ελαστιότητα λίμαας, η οποία αλείται αι βαθμός ομογένειας. 1. z= α+ β ε =, ε =, εr = 1, είναι ομογενής βαθμού 1 α+ β α+ β +. z= ε =, ε =, εr =, δεν είναι ομογενής Έτσι για τις παραπάνω δύο συναρτήσεις λέμε ότι είναι: γραμμιή ομογενής αι γραμμιή μη ομογενής αντίστοιχα. 4. Ομογενής μηδενιού βαθμού αλείται μια συνάρτηση f(,) που ιανοποιεί οιαδήποτε από τις παραάτω 4 ισοδύναμες συνθήες: 1. Για άθε t> 0, έχουμε: f(t, t) = f(, ).. Είναι συνάρτηση μόνο του λόγου /, δηλαδή είναι της μορφής: f(,) = H( / ). 3. Έχει μηδενιή ελαστιότητα λίμαας: ε r = ε + ε = 0 4. Ιανοποιεί την εξίσωση Euler βαθμού 0 : f f 0 + =. Ετός από τις σταθερές συναρτήσεις, οι παραάτω συναρτήσεις είναι παραδείγματα ομογενών συναρτήσεων μηδενιού βαθμού:

3 +, = + 1,, ln ln= ln, ( / ) = ( / ) Παρατήρηση. Η ισοδυναμία των {1,,3} αφορά την ισοδυναμία των παραάτω πράξεων: 1. Πολλαπλασιασμός των (, ) με τον ίδιο συντελεστή t> 0.. Μεταβολή των {,} ατά μήος της ατίνας (radius), οπότε μένει σταθερός ο λόγος / = Δ /Δ= + Δ / + Δ. 3. Μεταβολή των {,} ατά το ίδιο ποσοστό: Δ/= Δ /. Ειδιότερα, πολλαπλασιασμός με συντελεστή t> 0 αντιστοιχεί σε σχετιή μεταβολή αι σε ποσοστιαία μεταβολή αντίστοιχα, ατά: Δ t = = t 1, %Δ= 100(t 1)% Το μέγεθος αυξάνει αν t> 1, ελαττώνεται αν t< Ομογενής βαθμού αλείται μια συνάρτηση f(,) που ιανοποιεί οιαδήποτε από τις παραάτω 4 ισοδύναμες συνθήες: 1. Για άθε t> 0 έχουμε f(t,t) = t f(,). Είναι της μορφής f(,) = H( / ) ή ισοδύναμα: f(,) = H( / ) 3. Έχει σταθερή ελαστιότητα λίμαας ίση με το βαθμό: ε r = ε + ε = 4. Ιανοποιεί την εξίσωση Euler βαθμού : f + f = f Η συνθήη μπορεί να διατυπωθεί αι ως εξής:. Η συνάρτηση f(,) / ή ισοδύναμα η f(,) /, είναι ομογενής μηδενιού βαθμού 1/ 1/ 1. + = 1 + ( / ), ομογενής βαθμού 1/ : t+ t = t = 1 + ( / ) + ( / ), ομογενής βαθμού. 3. α + β+ γ, είναι ομογενής βαθμού. Καλείται ομογενής τετραγωνιή (παραβολιή) συνάρτηση δύο μεταβλητών ή τετραγωνιή μορφή (+ ) = = = [ 1 + ( / ) ] 1, ομογενής βαθμού ( / ) 5., ομογενής βαθμού = α+ β Θεωρούμε μια ομογενή συνάρτηση βαθμού 0 αι μεταβάλλουμε τα {,} ατά το ίδιο ποσοστό. Τότε σύμφωνα με την ιδιότητα 3 οριαά η ποσοστιαία μεταβολή στην τιμή της συνάρτησης ως προς to μέτρο της, θα είναι μεγαλύτερη από το παραπάνω ποσοστό αν > 1, μιρότερη αν < 1, ίδια αν = 1. Εφράζουμε την παραπάνω ιδιότητα λέγοντας ότι μια ομογενής συνάρτηση βαθμού 0, έχει απόδοση λίμαας: αύξουσα αν > 1, φθίνουσα αν < 1, σταθερή αν = 1 Αν η συνάρτηση είναι ομογενής μηδενιού βαθμού: = 0, τότε η τιμή της συνάρτησης δεν θα μεταβληθεί.. Οι παραάτω ομογενείς συναρτήσεις με > 0, είναι: 1. Σταθερής απόδοσης λίμαας: α+ β,,. Αύξουσας απόδοσης λίμαας: 3 με =, 3. Φθίνουσας απόδοσης λίμαας: α 1 α, 1/4 1/ με = 3 / 4, 3/ 3/ +, ( + ) + με = 3 /. 1/ 1/ 4 ( + ) με = 1/. 6. Ιδιότητες ομογενών Οι παραάτω ιδιότητες των ομογενών συναρτήσεων είναι αντίστοιχες με τις γνωστές ιδιότητες των συναρτήσεων δυνάμεων μιας μεταβλητής: 1. Προσθέτοντας (αφαιρώντας) ομογενείς του ίδιου βαθμού προύπτει ομογενής του ίδιου βαθμού.. Πολλαπλασιάζοντας ομογενείς ο βαθμός τους προστίθεται. t> 1 Δ Δ

4 Ειδιά, πολλαπλασιάζοντας ομογενή με σταθερά ο βαθμός δεν μεταβάλλεται 3. Διαιρώντας ομογενείς ο βαθμός τους αφαιρείται. Ειδιά αν διαιρέσουμε ομογενείς του ίδιου βαθμού βρίσουμε ομογενή μηδενιού βαθμού. 4. Υψώνοντας ομογενή συνάρτηση σε δύναμη, πολλαπλασιάζεται ο βαθμός με τη δύναμη. 5. Το ma/min ομογενών του ίδιου βαθμού, είναι ομογενής του ίδιου βαθμού. 6. Αν μια συνάρτηση είναι ομογενής βαθμού 0, τότε oι πρώτες παράγωγοι είναι ομογενείς βαθμού 1. α β 1. Η g(, ) = είναι ομογενής βαθμού α, αι η h(, ) = είναι ομογενής βαθμού β. Το γινόμενό τους είναι ομογενής βαθμού α+ β :. Η f(,) α 1 β f α =, f(,) =. = είναι ομογενής βαθμού f = β 1 +. Οι μεριές παράγωγοι είναι ομογενείς βαθμού α+ β 1: 3. Οι συναρτήσεις ma/ min{α+ β, γ+ δ} είναι ομογενείς βαθμού 1, όπως αι οι επιμέρους συναρτήσεις που είναι γραμμιές ομογενείς. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7. Ισοσταθμιές ομογενών Όσον αφορά τις ισοσταθμιές, υπενθυμίζουμε αταρχήν ότι οι ομογενείς συναρτήσεις μηδενιού βαθμού έχουν τις ίδιες ισοσταθμιές με τη συνάρτηση g(,) = / = c = c, δηλαδή ατίνες, διότι είναι εξαρτημένες με αυτές. Στη γενιή περίπτωση ισχύει το παραάτω, σε αντιστοιχία με τις ιδιότητες των γραμμιών ομογενών συναρτήσεων των οποίων οι ισοσταθμιές είναι παράλληλες ευθείες. Ισοσταθμιές ομογενών. Οι διάφορες ισοσταθμιές μιας ομογενούς συνάρτησης είναι παράλληλες μεταξύ τους με την παραάτω έννοια: 1. Αν πολλαπλασιάσουμε τα σημεία (,) μιας ισοσταθμιής με τον ίδιο συντελεστή t τότε τα σημεία (t,t)που προύπτουν ανήουν όλα στην ίδια ισοσταθμιή.. Έχουν όλες την ίδια λίση στα σημεία μιας ατίνας. Απόδειξη. 1. Αν έχουμε μια ισοσταθμιή: f(, ) = c, αι πολλαπλασιάσουμε τα σημεία της με τον συντελεστή t, τότε τα νέα σημεία θα ιανοποιούν την επίσης ισοσταθμιή: f(t,t) = t f(,) = t c. Η λίση ισούται με τον ρυθμό υποατάστασης αι δίνεται από την πλεγμένη παράγωγο: d f f(, ) = c = d f Αν η f(,) είναι ομογενής βαθμού, τότε σύμφωνα με την παραπάνω ιδιότητα 6 οι μεριές παράγωγοι θα είναι ομογενείς του ίδιου βαθμού 1αι επομένως ο λόγος τους θα είναι ομογενής μηδενιού βαθμού, δηλαδή θα εξαρτάται μόνο από τον λόγο /, αι επομένως θα είναι σταθερός ατά μήος μιας ατίνας. Παρατήρηση. Σύμφωνα με την παραπάνω ιδιότητα των ισοσταθμιών, ο ρυθμός υποατάστασης που ορίζει μια ομογενής συνάρτηση εξαρτάται μόνο από τον λόγο των μεταβλητών: d f(, ) = c = h d. Η f(,) = είναι ομογενής βαθμού α+ β. Οι μεριές παράγωγοι είναι ομογενείς βαθμού α+ β 1, αι ο ρυθμός υποατάστασης είναι ομογενής μηδενιού βαθμού, δηλαδή θα πρέπει να εξαρτάται μόνο από τον λόγο /. Πράγματι: α 1 β 1 d f β β {f = α, f = β } = = = d f α α Δηλαδή η ιανότητα υποατάστασης είναι αντιστρόφως ανάλογη των αρχιών μεγεθών. Καθώς μεγαλώνει η συμμετοχή ενός συντελεστή τόσο μιραίνει η περαιτέρω ιανότητά του να υποαθιστά τον άλλο 4 1

5 8. Ελαστιότητα υποατάστασης Σύμφωνα με τα παραπάνω, αν μια συνάρτηση f(,) είναι ομογενής, τότε ο ρυθμός υποατάστασης d / d εξαρτάται μόνο από τον λόγο / : f(, ) d f (,) c = = h d f (,) = οπότε μπορούμε να ορίσουμε την ελαστιότητά του ως προς / ανεξάρτητα της συγεριμένης ισοσταθμιής. Το ανάστροφο, δηλαδή η ελαστιότητα του / ως προς, αλείται ελαστιότητα υποατάστασης της συνάρτησης f(,). Μετράει την σχέση των ποσοστιαίων μεταβολών του λόγου / ως προς τον λόγο d / d ατά μήος μιας ισοσταθμιής. Γεωμετριά μετράει την σχέση των ποσοστιαίων μεταβολών της λίσης της ατίνας ως προς την λίση της εφαπτομένης, ατά μήος μιας ισοσταθμιής. Μπορεί να οριστεί για οιαδήποτε συνάρτηση ατά μήος μιας ισοσταθμιής, αλλά για ομογενείς συναρτήσεις είναι ανεξάρτητη της ισοσταθμιής. Χρησιμοποιώντας τον λογαριθμιό ορισμό της ελαστιότητας, μπορούμε να την γράψουμε στη μορφή: dln / σ= Ε d/d( / ) =, ελαστιότητα υποατάστασης dln f / f Επίσης, μπορούμε να την υπολογίσουμε απευθείας από τη συνάρτηση f(,) : σ ff = : ελαστιότητα υποατάστασης (f f f f ) Σταθερής Ελαστιότητας Υποατάστασης (CES: Constant Elasticit of Substitution) αλούνται οι συναρτήσεις με σταθερή ελαστιότητα υποατάστασης,. Θα υπολογίσουμε τις παραάτω ελαστιότητες υποατάστασης: d β 1. Cobb-Douglas: f(,) = = d α, E / (d / d) = 1 σ= 1, CES α 1 β 1 (α )(β ) Με τον τύπο: σ= = 1 α 1 β 1 1 α 1 β [αβ (β ) β(β 1) (α ) 1 ρ, / ρ ρ d α 1. f(, ) = α + β = E (d / d) = 1 ρ σ=, CES d β 1 ρ 3. Οι γραμμιές συναρτήσεις έχουν άπειρη ελαστιότητα υποατάστασης, διότι ο ρυθμός υποατάστασης d / d παραμένει σταθερός αθώς ο λόγος / μεταβάλλεται. 4. Οι συναρτήσεις Leontief ma/ min{α,β} έχουν μηδενιή ελαστιότητα υποατάστασης, διότι ο λόγος / παραμένει σταθερός αθώς ο ρυθμός υποατάστασης d / d μεταβάλλεται 9. Ομοθετιές αλούνται οι συναρτήσεις που είναι μετασχηματισμοί ομογενών: h(, ) = H(f(, )) Οι ισοσταθμιές τους είναι ίδιες με αυτές των ομογενών οπότε ισχύουν αι όλες οι παραπάνω ιδιότητες που αφορούν ισοσταθμιές ομογενών.. Οι παραάτω συναρτήσεις h(,) είναι ομοθετιές χωρίς να είναι ομογενείς f = + h= f + 1= + + 1, h= f + f = (+ ) + (+ ) f + f = + h= ln f = ln(+ ), h= e + f = e + + f = h= 1+, h= + ln, h= + () 5

6 IV.1 ΟΜΟΓΕΝΕΙΑ 1/ 1/ 3 Ασήσεις 1. Θεωρούμε τις συναρτήσεις f(,) :, 3, Να υπολογιστεί η ελαστιότητα λίμαας, στο γενιό σημείο (,) αθώς αι στο συγεριμένο σημείο(= 4, = 8). 3. Η εξίσωση f(,,z) = + z + = 14, ορίζει πλεγμένα το z ως συνάρτηση των {,}. Νρεθεί η ελαστιότητα λίμαας, στο γενιό σημείο (,) αθώς αι στο συγεριμένο σημείο (= 3, = 1, z= ). 3. Αν η z= z(,) είναι ομογενής βαθμού = αι τα {,} ελαττωθούν αμφότερα ατά 3% να ετιμηθεί η μεταβολή του z αν η αρχιή τιμή του είναι z= Οι παραάτω συναρτήσεις ορίζονται στη περιοχή: { 0, 0}. Να διαπιστωθεί ότι είναι αύξουσες ομογενείς βαθμού 1, αι σταθερής ελαστιότητας υποατάστασης. Επίσης, να σιαγραφηθούν οι ισοσταθμιές τους. +, ( + ), 3 / 3 / / 3 ( + ),, / 3 / 3 3 / ( + ),, +, 3 / 4 1/ 4, ( + ), 4 4 1/ 4 ( + ), ma{3,4}, min{3,4} ( + ), +, 6