ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΜΗΧΑΝΙΚΗ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΜΗΧΑΝΙΚΗ"

Transcript

1 ΦΥΣ 114 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΜΗΧΑΝΙΚΗ Φθινόπωρο 010 Διδάσκων/Υπεύθυνος: Φώτης Πτωχός Τηλ: Γραφείο: B35 web-page:

2 Γραφικές παραστάσεις Μια γραφική παράσταση αποτελεί μια ακριβή γραφική αναπαράσταση των πειραματικών δεδομένων. Η γραφική παράσταση είναι ένας ιδιαίτερα αποδοτικός τρόπος για να παρουσιαστούν οι μετρήσεις και υπολογισμοί που έχουμε κάνει. Με το τρόπο αυτό μπορεί οποιοσδήποτε να δει το συσχετισμό μεταξύ διαφόρων μεγεθών αλλά και τη διασπορά (ακρίβεια) των συλλεγμένων μετρήσεων καθώς και οποιαδήποτε προτιμήσεις των μεγεθών (π.χ.περιγράφονται τα δεδομένα από ευθεία γραμμή; ποια η κλίση της κλπ). Όπως και σε μια φωτογραφία πρέπει να λάβουμε υπόψη το τρόπο με τον οποίο αντιπροσωπεύουμε τα δεδομένα. Όπως σε μια φωτογραφία, η γωνία λήψης της μπορεί να ενισχύσει ή να κρύψει κάποια χαρακτηριστικά του θέματός της έτσι και στην γραφική αναπαράσταση δεδομένων έχει σημασία η επιλογή των αξόνων αφού μπορούν να κρύψουν ή να διαφοροποιήσουν χαρακτηριστικά των δεδομένων Θεωρήστε ένα πείραμα στο οποίο θέλετε να εξετάσετε το ενδοχόμενο συσχέτισης μεταξύ των φάσεων της σελήνης και του μήκους μιας σανίδας ξύλου Φάσεις σελήνης Μήκος σανίδας (cm) Έστω ότι πήρατε τις ακόλουθες μετρήσεις 1 0 τέταρτο 1.1±0.5 0 τέταρτο 13.0± τέταρτο 11.8± τέταρτο 1.6±0.5

3 Β Γραφικές παραστάσεις - Πρώτο γράφημα Σχεδιάζοντας το μήκος της σανίδας συναρτήσει των φάσεων της σελήνης μπορείτε να δείτε αν υπάρχει κάποιος συσχετισμός μεταξύ των μεγεθών. Ο συνήθης τρόπος γραφικής παράστασης είναι να διαλέξετε αρχικά την ανεξάρτητη μεταβλητή σας (στη προκειμένη περίπτωση οι φάσεις της σελήνης) και να την τοποθετήσετε στον οριζόντιο άξονα, ενώ στο κατακόρυφο άξονα τοποθετείτε την εξαρτημένη μεταβλητή (το μήκος της σανίδας) Β Data 1 Α Αν χρησιμοποιήσουμε κάποιο γραφικό λογισμικό ενός υπολογιστή και κάνουμε το γράφημα θα μοιάζει όπως στο σχήμα. Υπάρχουν ωστόσο πολλά λάθη στο τρόπο που σχεδιάσαμε τη γραφική αυτή παράσταση. Αρχικά κάθε παράσταση θα πρέπει να έχει ένα σωστό τίτλο και οι άξονες να έχουν Ονομασίες αντιπροσωπευτικές των μεγεθών που αντιπροσωπεύουν Ο τίτλος θα μπορούσε να είναι συσχετισμός φάσεων σελήνης και μήκους σανίδας Με το τρόπο αυτό ο αναγνώστης ξέρει τι να περιμένει να δει στη παράσταση. O οριζόντιος άξονας θα πρέπει να έχει το τίτλο φάσεις σελήνης (τέταρτα) ενώ ο κατακόρυφος άξονας θα είχε το τίτλο Μήκος σανίδας (cm)

4 Γραφικές παραστάσεις - Υποδιαιρέσεις αξόνων Ο x-άξονας μπορεί να αναπαρασταθεί μόνο με ακέραιες (οι φάσεις της σελήνης) επομένως δεν χρειαζόμαστε πολλές υποδιαιρέσεις) Πόσες όμως υποδιαιρέσειs; Αρκετές ώστε ο x-άξονας να περιέχει όλα τα δεδομένα και τουλάχιστον μια επιπλέον σαν ανώτερο και κατώτερο όριο ώστε να δίνουν τη σιγουριά στον αναγνώστη ότι δεν υπάρχουν άλλα σημεία. Ποιά η κλίμακα του y- άξονα και το εύρος της; Δε θέλουμε μια κλίμακα στην οποία τα ακρώτατα σημεία να μοιάζουν ότι συμπίπτουν. Ένας πρακτικός Κανόνας είναι να συμπεριλαμβάνουμε πάντοτε τη τιμή 0 εφόσον η τιμή αυτή μπορεί να ληφθεί σε μια μέτρηση. Παρόλο το μήκος της σανίδας δεν είναι 0 για πολύ μικρές σανίδες μπορεί να πάρουμε τέτοια τιμή. error bar Δεν θα πρέπει το εύρος της υποδιαίρεσης της κλίμακας να είναι πολύ μεγάλο ώστε όλες οι μετρήσεις τεχνικά να πέφτουν σε μια υποδιαίρεση. +1 Τυπική απόκλιση Στα περισσότερα γραφήματα που θα έχετε να κάνετε Μέτρηση στο εργαστήριο θα πρέπει να ξεκινάτε τον y-άξονα -1 Τυπική απόκλιση από το 0. Τα δεδομένα στο προηγούμενο γράφημα φαίνονται να μην έχουν κάποια συσχέτιση και ότι είναι τυχαία. Αυτό γιατί οι τυχαίες διακυμάνσεις στις μετρήσεις δημιουργεί την αβεβαιότητα της κάθε μέτρησης. Αν σχεδιάζαμε μια κατακόρυφη γραμμή με μήκος όσο το μέγεθος της ±1 τυπικής απόκλισης κάθε μέτρησης θα μπορούσαμε να δείξουμε γραφικά την ακρίβεια του πειράματος

5 Γραφικές παραστάσεις - error bars Αν οι μετρήσεις που έχουμε είναι πάρα πολλές τότε ο υπολογισμός όλων των αβεβαιοτήτων είναι επίπονος και χρονοβόρος. Παρατηρούμε όμως ότι οι περισσότερες μετρήσεις έχουν παρόμοια αβεβαιότητα και οι τιμές των μετρήσεων που βρίσκονται στο μέσο του εύρους των τιμών που καλύπτουν οι μετρήσεις έχουν παρόμοια αβεβαιότητα. Μεγαλύτερη αβεβαιότητα παρουσιάζουν οι μετρήσεις που βρίσκονται στα άκρα του εύρους των μετρήσεων (από κατασκευή) μια και εκεί θα παρουσιάζεται η μεγαλύτερη διακύμανση. Ακολουθούμε τον εξής κανόνα για το σχεδιασμό των error bars Παίρνουμε τις πρώτες και τελευταίες μετρήσεις που καλύπτουν τα άκρα του εύρους τιμών των μετρήσεών μας και υπολογίζουμε την αβεβαιότητά μας. Με το τρόπο αυτό έχουμε μια καλή και συντηρητική ένδειξη της αβεβαιότητας των μετρήσεών μας χωρίς να χάνουμε σημαντική πληροφορία. Με τη μέθοδο αυτή πάντοτε υπολογίζουμε την αβεβαιότητα 4 το πολύ μετρήσεων Πειράματα που έχουν λιγότερες των 4 μετρήσεων θα έχουν όλα τα σημεία τους με error bars. Υπάρχει ακόμα ένα πλεονέκτημα στην επιλογή του y-άξονα να ξεκινά από το 0. Η τιμή κάθε μέτρησης είναι ανάλογη της απόστασης από το y=0. Επομένως οι διακυμάνσεις της απόστασης δίνουν οπτικά εύκολα την διασπορά μεταξύ των μετρήσεων.

6 Γραφικές παραστάσεις - Διορθωμένο γράφημα Μήκος, L(cm) Σχέση μεταξύ μήκους σανίδας και φάσεων της σελήνης Η γραφική παράσταση στη τελικής της μορφή δείχνει ότι οι διακυμάνσεις στις μετρούμενες τιμές του μήκους της σανίδας δεν είναι σημαντικά μεγαλύτερες από την αβεβαιότητα της κάθε μέτρησης. Δηλαδή το μήκος της σανίδας είναι ανεξάρτητο των φάσεων της σελήνης όπως και περιμέναμε Αν όλα τα δεδομένα μας έχουν τιμές οι οποίες είναι μέσα στο εύρος της ±1 τυπικής απόκλισης γύρω από την ίδια κεντρική τιμή δεν έχουμε κάποιο λόγο να ισχυριζόμαστε ότι οι μετρήσεις μας είναι διαφορετικές. Φάση σελήνης (τέταρτο) Βλέπουμε επομένως ότι η σωστή εκτίμηση προκύπτει με το να βρούμε τη μέση τιμή όλων των μετρήσεων του μήκους της σανίδας. Πάντοτε όταν κάνετε μια γραφική παράσταση σκεφθείτε τις αβεβαιότητες των μετρήσεων και σχεδιάστε την λογικά. Η αρχική γραφική παράσταση μπορεί να σας οδηγούσε στο συμπέρασμα ότι υπάρχει όντως συσχέτιση μεταξύ του μήκους της σανίδας και των φάσεων της σελήνης.

7 Κανόνες για τη δημιουργία γραφικών παραστάσεων Όταν σας ζητείτε να κάνετε τη γραφική παράσταση του Μεγέθους 1 ως προς το Μέγεθος σημαίνει ότι το Μέγεθος είναι στον άξονα x και το Μέγεθος 1 στο y-άξονα Ποτέ μη χαράζετε καμπύλες οι οποίες συνδέουν τα σημεία των μετρήσεών σας. Κάθε καμπύλη έχει μια φυσική ερμηνεία. Κάθε γραφική παράσταση θα πρέπει να έχει κάποιο τίτλο περιγραφής που εξηγεί σύντομα τη σημασία της παράστασης. Κάθε γραφική παράσταση θα πρέπει να έχει επιγραφές στους άξονες ανάλογα με το μέγεθος που αντιστοιχείτε καθώς και τις απαραίτητες μονάδες μέτρησης. Ο οριζόντιος άξονας θα πρέπει να έχει υποδιαιρέσεις πέρα από το εύρος των μετρήσεων (αριστερά και δεξιά του διαστήματος) ώστε να διασφαλίσετε τη μη ύπαρξη σημείων έξω από το εύρος που ορίζετε. Εξαίρεση σε αυτό υπάρχει όταν η επιπλέον υποδιαίρεση αντιστοιχεί σε αρνητική τιμή χωρίς φυσική σημασία οπότε σταματούμε στη τιμή x=0. Ο κατακόρυφος άξονας θα πρέπει να περιέχει τη τιμή 0 και να εκτείνεται πέρα της μεγαλύτερης τιμής που έχετε μετρήσει. Οι άξονες δε θα πρέπει να κρύβουν κάποιο σημείο μέτρησης. Η απόσταση από το y=0 είναι ανάλογη των τιμών των μετρήσεων και δίνει οπτικό έλεγχο της διακύμανσης των μετρήσεων. Σχεδιάστε τις αβεβαιότητες δίνοντας ±1 τυπική απόκλιση σε 4 σημεία. Για μεγάλα δείγματα σχεδιάστε μόνο τις αβεβαιότητες για τα πρώτα και τελευταία σημεία του εύρους. Αυτό προσφέρει οπτικό έλεγχο των αβεβαιοτήτων

8 Ανάλυση δεδομένων Σχέση μεταξύ μετρήσεων και θεωρίας: Γενικός νόμος φυσικής Μια μέτρηση Πολλές μετρήσεις Μια και μόνο μέτρηση, για παράδειγμα η θέση του βλήματος που κάνει πλάγια βολή μια χρονική στιγμή δεν είναι αρκετή για να περιγράψει το γενικό φαινόμενο Για να συνδέσουμε το πείραμα με θεωρία θα πρέπει να έχουμε πολλές μετρήσεις και από το τρόπο κατανομής των δεδομένων να ανακαλύψουμε την θεωρία που κρύβεται πίσω από τα δεδομένα Στο παράδειγμα του βλήματος, η μελέτη του βεληνεκούς για διάφορες γωνίες ρίψης και διαφορετικές ταχύτητες μπορούν να βοηθήσουν να κατανοήσουμε το φυσικό νόμο που περιγράφει το φαινόμενο αυτό Όταν πραγματοποιούμε κάποιο πείραμα δεν ενδιαφερόμαστε απλά και μόνο για τις τιμές κάποιων μεγεθών που μετράμε αλλά και για την συσχέτιση που υπάρχει μεταξύ των μεγεθών αυτών H συσχέτιση μεταξύ των μεγεθών είναι αυτή που εκδηλώνει την ύπαρξη κάποιου φυσικού νόμου Το βασικό εργαλείο που χρησιμοποιούμε για να βρούμε κάποιο συσχετισμό είναι οι γραφικές παραστάσεις. Το ερώτημα που γεννάται όμως είναι πως μπορούμε να μειώσουμε το μεγάλο αριθμό μετρήσεων σε ποσότητες που μπορούν να συγκριθούν με τη θεωρητικές προβλέψεις

9 Απόσταση, L(m) Προσαρμογή σε ευθεία γραμμή Μια από τις περισσότερες χρήσιμες τεχνικές είναι αυτή της περιγραφής των πειραματικών δεδομένων με μια ευθεία γραμμή. Υποθέστε ότι έχετε μια σειρά μετρήσεων σε μια γραφική παράσταση y ως προς x και από τη γραφική παράσταση βλέπουμε ότι αντιστοιχεί σε μια ευθεία γραμμή Για την περιγραφή αυτής της ευθείας χρειάζονται παράμετροι: η κλίση της, m, και η τετμημένη της ευθείας με τον άξονα των y, b Τη στιγμή που θα προσδιορίσουμε τις δύο αυτές παραμέτρους μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή y που αντιστοιχεί σε οποιαδήποτε τιμή του x. Κλίση=m= Δy Δx Δx = sec y-τετμημένη=b=5m Δy = 1m απόσταση από την αρχή t=0 Χρόνος, t(sec) y = ax + b Προσέξτε ότι είναι ακριβώς η κλίση και η τετμημένη b που παίζουν σημαντικό ρόλο στη θεωρία H κλίση είναι η ταχύτητα ενώ η τετμημένη μας δίνει την αρχική θέση του σώματος Επομένως το πρόβλημά μας ανάγεται στην εύρεση των παραμέτρων της ευθείας καθώς και των αβεβαιοτήτων που συνοδεύουν τις εκτιμήσεις αυτών

10 Εύρεση της ευθείας Έστω ότι έχουμε τις μετρήσεις που δίνονται στο παρακάτω πίνακα Χρόνος (sec) Απόσταση (m) Αβεβαιότητα, Δy (m) Πίνακας 1 (δεν χρειάζεται να υπολογισθεί) Χρειάζεται να υπολογίσουμε τις αβεβαιότητες για 4 τιμές Τις που βρίσκονται στο κατώτερο όριο τιμών και τις δύο στο υψηλότερο όριο τιμών Σα 1 ο βήμα κάνουμε τη γραφική παράσταση των δεδομένων του πίνακα 1 Απόσταση, L(m) Δεδομένα από το πίνακα 1 Χρησιμοποιώντας ένα χάρακα μπορούμε να σχεδιάσουμε τη καλύτερη ευθεία που διέρχεται από όλα τα σημεία χρόνος, t(sec) Αυτή η ευθεία λέγεται ευθεία καλύτερης προσαρμογής (best fit) Αν οι αβεβαιότητες όλων των σημείων είναι ίσες ή πολύ μικρές τότε η διαδικασία είναι πολύ απλή Αν οι αβεβαιότητες παρουσιάζουν μεγάλες διακυμάνσεις τότε η διαδικασία είναι πιο πολύπλοκη

11 Ευθεία γραμμή καλύτερης προσαρμογής Σημεία με μεγάλες αβεβαιότητες περιέχουν και τη λιγότερο σημαντικότητας πληροφορία και επομένως θα πρέπει να δώσουμε τη λιγότερο σημασία Η τετμημένη με το y-άξονα μπορεί να βρεθεί διαβάζοντας απλά τη τιμή από τη γραφική παράσταση. Στη περίπτωσή μας είναι περίπου 13m Για να βρούμε τη κλίση χρησιμοποιούμε το ορθογώνιο τρίγωνο της διαφ. 8 και υπολογίζουμε κάποιο διάστημα Δx και το αντίστοιχο Δy m = y y 1 x x 1 Όπου τα σημεία x 1, x, y 1 και y είναι κάποια σημεία της ευθείας γραμμής και όχι απαραίτητα πειραματικά σημεία Αυτό είναι σημαντικό γιατί από τη στιγμή που σχεδιάσατε τη καλύτερη ευθεία δεν ενδιαφερόμαστε πλέον για τα πειραματικά σημεία αλλά για την κλίση και τη τετμημένη της ευθείας Προσέξτε ότι για τη περίπτωσή μας κανένα από τα σημεία δεν βρίσκεται ακριβώς πάνω στην ευθεία Χρησιμοποιούμε επομένως τα δεδομένα για να βρούμε τη καμπύλη και τη καμπύλη για να βρούμε τη θεωρία 3m 140m Για το παράδειγμά μας έχουμε: m = = 11.5m / s 11m / s 1.7s 11.3s Στο τελευταίο βήμα γράφουμε το αποτέλεσμα σύμφωνα με τα σημαντικά ψηφία που επιτρέπονται από τις μετρήσεις μας στο πίνακα 1 (δύο σημαντικά ψηφία)

12 Απόσταση, L(m) Eύρεση της αβεβαιότητας της κλίσης και τετμημένης Ξεκινάμε σχεδιάζοντας ένα παραλληλόγραμμο το οποίο περικλείει όλα τα πειραματικά σημεία συμπεριλαμβανομένης της αβεβαιότητάς τους Το παραλληλόγραμμα της αβεβαιότητας φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Δεδομένα από το πίνακα 1 Xρόνος, t(sec) H πάνω και κάτω γραμμή αυτού του παρ/μου σχεδιάζονται παράλληλα προς την ευθεία της καλύτερης προσαρμογής Tα άκρα σχεδιάζονται παρ/λα προς τον y-άξονα Οποιαδήποτε εκτίμηση της αβεβαιότητας της κλίσης και τετμημένης της ευθείας θα πρέπει να έχει σαν αποτέλεσμα μια ευθεία η οποία περνά από τα άκρα του παρ/μου και δεν τέμνει τις πλάγιες πλευρές Μπορούμε επομένως να χαράξουμε τις διαγωνίους του παρ/μου και οι κλίσεις και τετμημένες των αυτών ευθειών δίνουν την αβεβαιότητα στη κλίση και τετμημένη της ευθείας της καλύτερης προσαρμογής

13 Eύρεση της αβεβαιότητας της κλίσης και τετμημένης Όπως και στην περίπτωση της καλύτερης ευθείας προσαρμογής υπολογίζουμε τη κλίση και τετμημένη των διαγωνίων του παρ/μου Έχουμε m A = = 14m / s και m 31 1 B = = 10m / s Επομένως η αβεβαιότητα της κλίσης της καλύτερης ευθείας είναι: m A m B = 4m / s Επειδή εκφράζουμε την αβεβαιότητα συνήθως συμμετρικά θα έχουμε ότι η αβεβαιότητα του πειράματος είναι Δm = m A m B = m / s Βλέποντας τις ευθείες της αβεβαιότητας καταλαβαίνουμε ότι είναι αρκετά απίθανο να επιλέξουμε είτε την ευθεία Α ή την ευθεία Β σαν την ευθεία της καλύτερης προσαρμογής. Επομένως έχουμε υπερεκτιμήσει την αβεβαιότητα Μια προσεκτικότερη ανάλυση δείχνει ότι θα πάρουμε μια πιο καλή εκτίμηση της αβεβαιότητας αν διαιρέσουμε την προηγούμενη εκτίμησή μας με τη τετραγωνική ρίζα του αριθμού των μετρήσεών μας Γράφουμε: Δm = m A m B 1 1

14 Δm = m m A B 1 1 H εξίσωση αυτή δίνει την εκτίμηση της πιο πιθανής αβεβαιότητας. Στο παρονομαστή, για Ν=1, Δm= και αυτό είναι λογικό μια και από ένα σημείο μπορούμε να έχουμε οποιαδήποτε ευθεία Για Ν= μια γραμμή μόνο μπορεί να χαραχθεί από σημεία. Στην περίπτωση αυτή το παρ/μο της αβεβαιότητας προέρχεται μόνο από τις αβεβαιότητες των δύο αυτών σημείων και επομένως είναι λογικό Δm = (m A -m B )/ Για Ν>> η αβεβαιότητα ελλατώνεται σύμφωνα με τη ρίζα του αριθμού των μετρήσεων Ν και αυτό είναι το αποτέλεσμα που βρήκαμε όταν υπολογίσαμε του σφάλματος της μέσης τιμής Αυτό δεν αποτελεί τη λύση του προβλήματος αλλά είναι κάποια πολυ λογική και καλή προσέγγιση Η εύρεση της αβεβαιότητας της τετμημένης προχωρά σύμφωνα με τα όσα αναπτύξαμε για την αβεβαιότητα της κλίσης της ευθείας. Κάνοντας τις πράξεις έχουμε ότι m ± Δm = ( 11 ± 1)m / s και b ± Δb = ( 13 ± 6)m Η αβεβαιότητα της κλίσης είναι ίδιας τάξης με τα δεδομένα αλλά η αβεβαιότητα της τετμημένης είναι περίπου 50%

15 Στη περίπτωση της κλίσης παίρνουμε μια μέση τιμή ενώ για τη τετμημένη προεκτείνουμε σε περιοχή μακριά από τα δεδομένα και σε χρόνους που δεν έχουμε πειραματικές μετρήσεις και είναι επόμενο να έχουμε μεγαλύτερη αβεβαιότητα Σε κάποιο σημείο όχι πολύ μακριά από τα δεδομένα η αβεβαιότητα σχετικά με τη θέση του σώματος τη χρονική στιγμή t=0 μπορεί να γίνει ίση με 100% και μεγαλύτερη ακόμα. Αυτό σημαίνει ότι το πείραμά μας είναι πολύ δύσκολο να προσδιορίσει το τι κάνει το σώμα σε μια προγενέστερη χρονική στιγμή στην οποία δεν υπάρχουν μετρήσεις Μπορούμε δηλαδή να εκφράσουμε άποψη μόνο σχετικά με τη κίνηση στο διάστημα που μετρήσαμε αλλά όχι πέρα από αυτό Μπορεί να προσπαθήσει κάποιος να επιχειρηματολογήσει ότι αν το σώμα κινείται με σταθερή ταχύτητα κατά τη διάρκεια του διαστήματος ότι κινείται με τον ίδιο τρόπο έξω από το χρονικό διάστημα της μέτρησής μας. Αυτό μπορεί να είναι σωστό αλλά δεν έχουμε μετρήσεις οι οποίες μπορούν να δείξουν ότι αυτό συμβαίνει. Για να ελλατώσουμε την αβεβαιότητα χρειαζόμαστε περισσότερες μετρήσεις. Ένα τελευταίο σημείο. Ακόμα και αν υπήρχε πειραματικό σημείο στον y-άξονα αυτό δεν σημαίνει ότι δεν υπάρχει αβεβαιότητα στη τιμή της τετμημένης. Αυτό γιατί η ευθεία καλύτερης προσαρμογής δεν είναι απαραίτητο να περνά από όλα τα πειραματικά σημεία όπως συμβαίνει και στο παράδειγμά μας

16 Ημιλογαριθμικό χαρτί Πολλές φορές τα δεδομένα μας δεν περιγράφονται από μια απλή ευθεία αλλά ο νόμος της φυσικής που περιγράφει το φαινόμενο έχει μια εκθετική μορφή Για παράδειγμα η ραδιενεργός διάσπαση κάποιων ραδιοισοτόπων. Η διάσπαση ακολουθεί εκθετική μορφή σύμφωνα με τη σχέση t /τ A(t) = A 0 e Όπου Α 0 είναι η ενεργότητα τη στιγμή t=0 και τ η σταθερά διάσπασης Μπορούμε και πάλι να χρησιμοποιήσουμε την ίδια τεχνική για να βρούμε τη σταθερά διάσπασης και την αρχική ενεργότητα του δείγματος. Αρκεί να γράψουμε την παραπάνω εξίσωση σε γραμμική μορφή Η μετατροπή της εκθετικής εξίσωσης σε γραμμική γίνεται εύκολα λογαριθμίζοντας την εξίσωση ln[a(t)] = ln[a 0 e t /τ ] = ln[a 0 ] t τ = ln[a 0 ] + λt Ο όρος ln[a 0 ] αντιπροσωπεύει το σταθερό όρο της εξίσωσης της ευθείας ενώ ο όρος λ=-1/τ την κλίση της. Ο όρος t αποτελεί την ανεξάρτητη μεταβλητή ενώ ο λογάριθμος της ενεργότητας, ln[a(t)], την εξαρτόμενη μεταβλητή Για την γραφική παράσταση θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε τους λογαρίθμους και να χρησιμοποιήσουμε χιλιοστομετρικό χαρτί ή να χρησιμοποιήσουμε το λεγόμενο ημιλογαριθμικό χαρτί

17 Ημιλογαριθμικό χαρτί Η χρήση του λογαριθμικού χαρτιού διευκολύνει στη περίπτωση αυτή γιατί μπορούμε να θέσουμε τις μετρήσεις μας απευθείας στο γράφημα χωρίς επιπλέον υπολογισμούς. Το χαρτί περιέχει το κάθετο άξονα με τέτοιο τρόπο ώστε οι Κατακόρυφες αποστάσεις να είναι ανάλογες των επιθυμητών λογαρίθμων Ο παρακάτω πίνακας περιέχει τα δεδομένα της ραδιενεργούς διάσπασης Πίνακας. Ενεργότητα ως προς χρόνο για το ραδιενεργό δείγμα μας Ενεργότητα, Α(χτύποι/sec) Δεδομένα από το πίνακα Χρόνος (min) Ενεργότητα Α και ΔΑ (χτύποι/s) ±31 740± ± ±1 5 35±18 xρόνος t (min)

18 Ηµιλογαριθµικό χαρτί Χρόνος (min) Ενεργότητα Α και ΔΑ (χτύποι/s) ±31 740± ± ±1 5 35± Ενεργότητα Free Logarithmic Graph Paper from t (min)

19 Ημιλογαριθμικό χαρτί Χρειάζεται ωστόσο κάποια προσοχή, γιατί τα δεδομένα μας δίνονται αυτόματα σε λογαριθμική κλίμακα, αλλά οι λογάριθμοι δεν υπολόγιστηκαν. Απλά το χαρτί παρέχει το κατάλληλο μετασχηματισμό. Όταν όμως πρέπει να υπολογίσουμε τη κλίση στο λογαριθμικό χαρτί θα πρέπει να υπολογίσουμε τους λογαρίθμους. Για παράδειγμα : λ = ln(860 / sec) ln(8 / sec) 0.5 min 4.5 min = 0.7 / min = 1 τ τ = 3.70 min Η τετμημένη θα δίνεται από A 0 = sec 60sec 1min = / min Όπως βλέπουμε χρειάζεται να υπολογίσουμε ένα λογάριθμο για να βρούμε την κλίση ενώ η τετμημένη δίνεται απευθείας από το χαρτί Ο τρόπος υπολισμού της αβεβαιότητας της κλίσης και τετμημένης είναι ακριβώς ίδιος όπως και στην περίπτωση της γραμμικής περίπτωσης. Θα πρέπει να σχεδιάσουμε το παρ/μο αβεβαιότητας και να υπολογίσουμε τις κλίσεις των δύο διαγωνίων και τις αντίστοιχες τετμημένες τους.

20 Log-Log χαρτί (λογαριθµικό λογαριθµικό) Πολλές φορές µπορούµε να βρούµε την συναρτησιακή εξάρτηση ενός φυσικού µεγέθους y από το ανεξάρτητο µέγεθος x, θεωρώντας το λογάριθµο των δεδοµένων που µετράµε. Αν το εξαρτόµενο µέγεθος y ειναι ανάλογο κάποιας δύναµης του ανεξάρτητου µεγέθους x, τότε το γράφηµα τou y ως προς x, σχεδιαζόµενο σε ένα λογαριθµικό-λογαριθµικό χαρτί θα είναι ευθεία η κλίση της οποίας θα είναι ίση µε τον εκθέτη στον οποίο είναι υψωµένο το ανεξάρτητο µέγεθος. Για παράδειγµα, έστω ότι µετρούµε κάποια δεδοµένα τα οποία κατανέµονται σύµφωνα µε την εξίσωση y = x n Θεωρώντας το λογάριθµο θα έχουµε: log y ( ) = log x n ( ) log y ( ) = nlog( x) Προφανώς από ένα γράφηµα µε λογαριθµικούς άξονες µπορούµε να βρούµε αµέσως τη κλίση Αν είχαµε περισσότερο πολύπλοκη µορφή: y = Ax n log( y) = log( Ax n ) = log( A) + nlog( x) Έχει διαφορά στο γράφηµα αν θεωρήσουµε Log 10 ή ln (log e ) σχέσεις?

21 8 7 Log-Log χαρτί (λογαριθµικό 6 λογαριθµικό) Χ Υ Free Logarithmic Graph Paper from

22 Ιστογράμματα Τα ιστογράμματα αποτελούν ένα εύχρηστο οπτικό τρόπο για να εξάγουμε την κατανομή που ακολουθούν μια σειρά μετρήσεων ενός μεγέθους αλλά και παράλληλα δίνουν τη δυνατότητα για εύκολη στατιστική ανάλυση των μετρήσεων Αν έχουμε μια σειρά από μεγάλο αριθμό μετρήσεων ενός μεγέθους τότε μπορούμε να ταξινομήσουμε τις μετρήσεις και να βρούμε τη συχνότητα εμφάνισης κάθε τιμής Συνήθως δεν κρατάμε κάθε μέτρηση ξεχωριστά αλλά χωρίζουμε το εύρος των τιμών σε κατάλληλα ίσα υποδιαστήματα και αθροίζουμε τις τιμές που πέφτουν σε κάθε υποδιάστημα, Με το τρόπο αυτό πέρνουμε τη κατανομή της συχνότητας εμφάνισης κάθε τιμής Για παράδειγμα έστω ότι μετρήσαμε κάποιο μέγεθος 30 φορές και βρήκαμε: Δηλαδή κάθε τμή x i εμφανίζεται n i φορές H μέση τιμή μπορεί να γραφεί: x i x = = x k n k n k Oι τιμές του μετρήσεων εμφανίζονται με την ακόλουθη συχνότητα: Τιμή # Τιμή # Τιμή #

23 f k Ιστογράμματα Ομαδοποιόντας τις μετρήσεις τότε βρίσκουμε ευκολότερο πόσο συνεισφέρει κάθε τιμή στο άθροισμα της μέσης τιμής, Σx k n k Στο παράδειγμα οι τιμές όλες οι τιμές βρίσκονται στο διάστημα και άρα η ακριβής τιμή θα βρίσκεται στο διάστημα. Εφόσον οι τιμές είναι οι πιο συχνές περιμένουμε ότι και η πραγματική τιμή θα είναι στο υποδιάστημα αυτό. Όντως η μέση τιμή είναι Συνήθως χωρίζουμε το διάστημα σε ίσα υποδιαστήματα κατάλληλου μήκους ώστε στο καθένα να συμπεριλαμβάνεται μεγάλος αριθμός μετρήσεων και βρίσκουμε το ποσοστό των μετρήσεων σε κάθε διάστημα F k = n k f k = F k Δx k Πιθανότητα να βρεθεί μια μέτρηση στο διάστημα k. Πυκνότητα Πιθανότητας μεταβλητής x να βρεθεί στο k-διάστημα Δx, το ποσοστό δηλαδή των μετρήσεων στο διάστημα Δx k Το ιστόγραμμα αποτελεί τη γραφική παράσταση της f k ως προς το x H ολική επιφάνεια των ορθογωνίων θα είναι ίση με την μονάδα: F k = 1 = x x = F k x k f k Δx k Στη περίπτωση αυτή χρησιμοποιούμε σα Δx=0.04cm Αν αριθμός των μετρήσεων γίνει αρκετά μεγάλος τότε το ιστόγραμμα πέρνει τη μορφή της κατανομής από την οποία προέρχονται οι μετρήσεις. Η καμπύλη αποτελεί την οριακή κατανομή k

24 Ιστογράμματα - Οριακή κατανομή Η οριακή κατανομή είναι μια θεωρητική καμπύλη που δεν μπορεί να προκύψει ποτέ από τις μετρήσεις Το εμβαδό κάθε παρ/μου του ιστογράμματος είναι ισοδύναμο με τον αριθμό μετρήσεων που περιλαμβάνεται στο διάστημα αυτό. a + f (x)dx b f (x)dx πιθανότητα μια μέτρηση να περιλαμβάνεται μεταξύ x και x+δx ποσοστό μετρήσεων μεταξύ x=α και x=b, η πιθανότητα δηλαδή μια μέτρηση να «πέσει» στο διάστημα α,b f (x)dx = 1 Η πιθανότητα μια μέτρηση να βρίσκεται μεταξύ - και + Λέμε τότε ότι η f(x) είναι κανονικοποιημένη

25 Ιστογράμματα - Οριακή κατανομή πολλών μετρήσεων Αν ξέρουμε την οριακή κατανομή μπορούμε να υπολογίσουμε τη μέση τιμή + x = x k F k και ανάλογα σ x = x x lim Δx k x = xf (x)dx 0 + ( ) f (x)dx Αν οι μέτρησεις επηρεάζονται από πολλές πηγές μικρών τυχαίων σφαλμάτων τότε η οριακή κατανομή προσεγγιζει αυτή της κατανομής Gauss Για πολύ μεγάλο αριθμό μετρήσεων και για τυχαία μικρά σφάλματα οι τιμές που αποκλίνουν πολύ από τη μέση τιμή κατανέμονται συμμετρικά ως προς τη μέση τιμή τότε στην άθροιση της εύρεσης της μέσης τιμής αυτές οι τιμές αλληλοαναιρούνται και η τελική τιμή πλησιάζει την πιστή τιμή του μεγέθους f (x) = G(x) = + 1 σ π e (x µ) σ G(x)dx = 1 Η πιθανότητα να πάρουµε µια τιµή x στο διάστηµα x 1 και x 1 +dx είναι: P(x 1 ) σ 1 e (x 1 µ) σ Η πιθανότητα να πάρουµε µια τιµή x στο διάστηµα x και x +dx είναι: P(x ) σ 1 e (x µ) σ Αν συνεχίσουµε για όλες τις τιµές x τότε η πιθανότητα για την x : P(x ) σ 1 e (x µ) σ

26 Mέση τιµή σα καλύτερος υπολογισµός αληθινής τιµής H πιθανότητα να παρατηρήσουµε το συγκεκριµένο δείγµα των Ν µετρήσεων είναι το γινόµενο των πιθανοτήτων: P(x 1, x,, x ) = P(x 1 ) P(x 1 ) P(x ) P(x 1, x,, x ) 1 (xi µ) σ σ Ν e Δεδοµένων Ν παρατηρούµενων τιµών x 1, x,, x o καλύτερος υπολογισµός της πραγµατικής τιµής είναι αυτός που πέρνουµε αν µεγιστοποιήσουµε την πιθανότητα Αυτό θα συµβεί όταν το άθροισµα στον εκθέτη είναι ελάχιστο (x i µ) σ ( ) Εποµένως θα πρέπει: d (x i µ) σ dµ = 0 (x i µ) σ = 0 µ = x i Ανάλογα ο καλύτερος υπολογισµός της τυπικής απόκλισης βρίσκεται ότι είναι: dp(x 1, x,, x ) dσ = 0 σ = 1 Ν ( x i x )

27 Καλύτερη ευθείας προσαρμογής Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων (μέθοδος χ ) Όπως είδαμε στη γραφική εύρεση της καλύτερης ευθείας προσαρμογής, αυτό που ενδιαφερόμαστε είναι ο καθορισμός των παραμέτρων της συνάρτησης (π.χ. μιας ευθείας) που περιγράφει τα δεδομένα Δύο μεθόδοι: Ελαχίστων τετραγώνων ή χ Μέγιστης πιθανότητας - maximum likelihood Υποθέτουμε ότι έχουμε μια συνάρτηση y μιας μεταβλητής x και μια σειρά παραμέτρων θ = (θ 1,θ,,θ Ν ) y = y(x; θ ) Έστω ότι μετρήσαμε διάφορες τιμές του y για κάποιες τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής x. Επομένως θα έχουμε Ν ζεύγη τιμών Ορίζουμε σαν χ τη ποσότητα: χ ( x; θ ) = ( x i, y i ± σ yi ) όπου ι =1,,Ν Ν y i y(x i ; θ ) σ i H μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων δηλώνει ότι η καλύτερη εκτίμηση των παραμέτρων θ i επιτυγχάνεται όταν βρεθεί μια ομάδα τιμών θ i για τις οποίες η συνάρτηση χ είναι ελάχιστη

28 Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων - χ Αν οι αποκλίσεις κάθε μέτρησης, σ i, είναι ίσες τότε η σχέση απλουστεύεται χ = 1 σ Ν ( ) y i y x i ; θ Είναι σημαντικό να προσέξετε ότι η μέθοδος όπως ορίστηκε χρειάζεται τη γνώση των αβεβαιοτήτων σ i και ότι υποθέτει ότι δεν υπάρχουν αβεβαιότητες στη γνώση της ανεξάρτητης μεταβλητής x. Aβεβαιότητες στις τιμές x i μπορούν να αγνοηθούν εφόσον: σ xi x i << σ yk y k µε i = 1,,...,, k = 1,,..., Αγνοώντας τις αβεβαιότητες, η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων είναι απλά το άθροισμα των αποστάσεων κάθε μέτρησης y i από τα σημεία της θεωρητικής καμπύλης (x i,y i (x i )). Ελαχιστοποιώντας τη συνάρτηση ψάχνουμε τα σημεία της καλύτερης καμπύλης για τα οποία αυτή η απόσταση ελαχιστοποιείται H εισαγωγή των αβεβαιοτήτων είναι απαραίτητη αν θέλουμε να κάνουμε στατιστική ανάλυση των αποτελεσμάτων διαφορετικά είναι απλό γεωμετρικό πρόβλημα

29 Εφαρμογή χ - εύρεση παραμέτρων ευθείας Ας υποθέσουμε ότι η συνάρτηση την οποία θέλουμε να προσαρμόσουμε στα σημεία των μετρήσεων μας είναι της μορφής ( ) = ax + b y x Θα υποθέσουμε ακόμα ότι οι αβεβαιότητες σ i των y i είναι όλες ίσες μεταξύ τους Επομένως το πρόβλημα εύρεσης των παραμέτρων α και b έγγυται στην ελαχιστοποίησης της συνάρτησης χ ως προς α και b Η ελαχιστοποίηση γίνεται πέρνοντας τη μερική παράγωγο της χ ως προς α και b και εξισώνοντας με μηδέν: χ a = 0 χ και b = 0 και λύνοντας το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων που προκύπτει προς α και b a b ( y i ax i b) = ( y i ax i b) x i = 0 ( y i ax i b) = ( y i ax i b) = 0 y i x i = a x i + b x i y i = a x i + b b = y i a x i Αντικαθιστούμε στην 1 η εξίσωση και λύνουμε ως προς α: y i x i = a x i + 1 y i x i a a x i x i x i x i = y i x i x i y i

30 Εύρεση παραμέτρων ευθείας με μέθοδο χ Από την τελευταία εξίσωση παίρνουμε το α και αντικαθιστώντας στην εξίσωση του b παίρνουμε το b a = y i x i x i y i x i x i = xy x Δ y και b = x i y i x i x i x i y i x i = x y Αν διαιρέσουμε με Ν τον αριθμητή και παρονομαστή στις παραπάνω σχέσεις Δ x xy a = yx x y x x ( ) και b = y x x xy x x ( ) όπου x = 1 x i y = 1 y i

31 Παράδειγµα Έστω ότι κάποιος φοιτητής θέλει να µετρήσει τις µάζες διαφόρων σωµάτων µε µια ζυγαριά ελατηρίου. Θα πρέπει πριν µετρήσει τις µάζες να βαθµονοµήσει τη ζυγαριά. Για να το κάνει αυτό χρησιµοποιεί 5 γνωστές µάζες των kgr τις οποίες τοποθετεί διαδοχικά πάνω στη ζυγαριά και µετρά κάθε φορά το αντίστοιχο µήκος του ελατηρίου l k. Υποθέτοντας ότι το ελατήριο υπακούει στο νόµο του Hooke, περιµένει ότι l = A + Bm Η σταθερά A είναι το φυσικό µήκος τους εκκρεµούς και Β είναι Β=g/k, k η σταθερά ελατηρίου Χρησιµοποιόντας την γραµµική σχέση l = A + Bm µπορεί µετρώντας το µήκος του ελατηρίου για µια άγνωστη µάζα m να βρει τη µάζα. Χρειάζεται εποµένως τις τιµές Α και Β. Μέτρηση Μάζα m Μήκος, l m m i l i =5 m i = 30 l i = 56.6 m i = 0 m i l i = 16 Η σταθερά Β θα είναι Β = ml Δ m l = Εποµένως: ( ) Δ = m m Δ = = 00 Η σταθερά Α είναι: m l m A = Δ A = A = 39.0cm B =.06cm / kgr 00 l

32 Γραφική παράσταση Το γράφηµα των προηγούµενων µετρήσεων θα είναι: 60 Μήκος, l (cm) Μάζες, m (kgr) l = m Εποµένως αν κάποια µάζα επιµηκύνει το ελατήριο κατά 53.cm τότε σύµφωνα µε την εξίσωση της χ ευθείας: m = = 6.9kg Χρειάζεται να υπολογίσουµε τις αβεβαιότητες των Α και Β. Αρχικά όµως ποια είναι η αβεβαιότητα των µετρήσεων y? Έχουµε 5 µετρήσεις αλλά η διασπορά τους δεν µας δίνει την αβεβαιότητα τους. Ωστόσο κάθε µέτρηση περιµένουµε να κατανέµεται σύµφωνα µε την Gaussian κατανοµή γύρω από την αληθινή τιµή y=a + Bx i µε εύρος σ i Εποµένως όλες οι αποκλίσεις y i A Bx i θα είναι κατανεµηµένες Gaussian µε κεντρική τιµή 0 και το ίδιο εύρος σ y. 1 Το εύρος σ y δίνεται από την σχέση σ y = ( y i A Bx)

33 Εύρεση αβεβαιότητας παραµέτρων ευθείας Οι αβεβαιότητες των α και b βρίσκονται από εφαρμογή διάδοσης σφαλμάτων και πολύ άλγεβρα ( x a = i x ) y ( i σ a x x ) a = σ yi y i σ x a = σ i x y x x Αλλά Αντικαταστούμε την τελευταία σχέση στον αριθμητή της εξίσωσης για σ a οπότε x i x σ a = σ y ( x x ) ( x x ) 1 = σ y x x x x x x x x ( ) = σ y ( ) = σ y ( ) σ a ( ) σ a = σ y Ανάλογα βρίσκουμε και την αβεβαιότητα του b σ b = σ y x σ y = ( ) ( x x ) x i + x xx i ( x x ) ( x i + x xx i ) = x i + x x x i = x i + x x x = x i x 1 i ( y i A Bx)

34 Περίπτωση με σφάλμα σε x και y Aν οι μετρήσεις έχουν σφάλμα σε x, σ x και y, σ y, τότε μπορούμε να βρούμε ένα ισοδύναμο σφάλμα στην διεύθυνση y που προκαλεί το ίδιο αποτέλεσμα Δx Δy new (x,y) Υποθέτοντας αρχικά ότι σ y = 0 Δy new = dy dx Δx σ y new = dy dx σ x Αν σ y δεν είναι 0 τότε το νέο σφάλµα µπορεί να γραφεί σ y new = σ y + dy dx σ x αφού οι δυό αβεβαιότητες είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους

35 Περίληψη Μέθοδος χ Οπότε συνοψίζοντας τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων για την περίπτωση της ευθείας και υποθέτοντας ότι τα σφάλματα των επιμέρους μετρήσεων y i είναι ίσα μεταξύ τους ότι : κλίση τεταγμένη a = xy x y x x ( ) b = y x x xy x x ( ) σ a = σ y 1 x x ( ) σ b = σ y x ( ) x x Η συναλοίωτη σχέση μεταξύ των α και b και ο παράγοντας συσχετισμού είναι: όπου: cov( a,b) = x = 1 y = 1 x ( ) x x x i y i xy = 1 x = 1 ρ a,b = x x x i y i x i

36 Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων - σ yi άνισα Αν τα σφάλματα των μετρήσεων είναι διαφορετικά μεταξύ τους τότε η συνάρτηση που θα πρέπει να ελαχιστοποιήσουμε είναι χ = Ν y i ax i b σ i Η ελαχιστοποιήση δίνει τις ίδιες εξισώσεις μόνο που στη περιπτώση αυτή οι μέσες τιμές των μεγεθών αντιστοιχούν σε αυτές που προκύπτουν με το να ζυγίσουμε τις τιμές με τα ανάλογα βάρη (1/σ i ) και η κανονικοποίηση δεν γίνεται ως προς Ν αλλά ως προς το συνολικό βάρος Οι σχέσεις που δίνουν τις παραµέτρους α και b γίνονται (y = αx + b): b = a = wx wy wx wxy Δ wwxy wx Δ wy σ b = σ a = wx Δ w Δ Δ = 1 σ i ( ) wwx wx

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k Ιστογράμματα Τα ιστογράμματα αποτελούν ένα εύχρηστο οπτικό τρόπο για να εξάγουμε την κατανομή που ακολουθούν μια σειρά μετρήσεων ενός μεγέθους αλλά και παράλληλα δίνουν τη δυνατότητα για εύκολη στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων ΘΕ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες που αφορούν την

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΜΗΧΑΝΙΚΗ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΦΥΣ 114 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΜΗΧΑΝΙΚΗ Φθινόπωρο 2014 Διδάσκων/Υπεύθυνος: Φώτης Πτωχός e-mail: fotis@ucy.ac.cy Τηλ: 22.89.2837 Γραφείο: B235 web-page: http://www2.ucy.ac.cy/~fotis/phy114/phy114.htm ΦΥΣ

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία Δεδομένων - Γραφικές Παραστάσεις

Επεξεργασία Δεδομένων - Γραφικές Παραστάσεις 1. Σκοπός Επεξεργασία Δεδομένων - Γραφικές Παραστάσεις Σκοπός της άσκησης είναι να εξοικειωθούν οι σπουδαστές με τη γραφική απεικόνιση των δεδομένων τους, την χρήση των γραφικών παραστάσεων για την εξαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Δομής της Ύλης και Φυσικής Λέιζερ

Εργαστήριο Δομής της Ύλης και Φυσικής Λέιζερ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Εργαστήριο Δομής της Ύλης και Φυσικής Λέιζερ Παρουσίαση οργάνωσης των Εργαστηρίων Φυσικής Ι Ακαδ. Έτους 2013-14 http://www.physicslab.tuc.gr physicslab@isc.tuc.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 16950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα

ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα q Θεωρία: Η απάντηση που ζητάτε είναι αποτέλεσμα μαθηματικών πράξεων και εφαρμογή τύπων. Το αποτέλεσμα είναι συγκεκριμένο q Πείραμα: Στηρίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Κάθε πειραµατική µέτρηση υπόκειται σε πειραµατικά σφάλµατα. Με τον όρο αυτό δεν εννοούµε λάθη τα οποία γίνονται κατά την εκτέλεση του πειράµατος ή τη λήψη των µετρήσεων, τα

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ-ΦΥΣΙΚΗ Ι, 2013-14

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ-ΦΥΣΙΚΗ Ι, 2013-14 ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Με τη λέξη σφάλμα στις θετικές επιστήμες αναφερόμαστε στην αβεβαιότητα που υπάρχει στην εύρεση του αποτελέσματος που προκύπτει από μια μέτρηση. Το να εκτιμήσουμε και να βρούμε τα σφάλμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Β-Λυκείου (2ο πακέτο ασκήσεων) 1 22630 Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = 3 x με x R. α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ Η συνάρτηση y αχ + βχ + γ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y αx + βx + γ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y αx + βx + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΚΦΕ Α Αν. Αττικής - Υπεύθυνος Κ. Παπαμιχάλης Εργαστηριακές ασκήσεις Φυσικής Β Γυμνασίου ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 7 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ Βασικές έννοιες: Θέση - μετατόπιση - χρόνος - χρονικό διάστημα - ταχύτητα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Αν οι συναρτήσεις f,g

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ - ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, 0 ) Να αποδείξετε ότι f ( ). f( ) =. ) Να υπολογίσετε το όριο lm f ( )+ 4. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0 6 Ασύμπτωτες Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορίζουμε μια ευθεία ( ε ) ως ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της αν η απόσταση ενός μεταβλητού σημείου Ρ της γραφικής παράστασης από την ευθεία ( ε ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο R, να αποδείξετε ότι (f() + g() )=f ()+g (), R Μονάδες 7 Α. Σε

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Όταν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις αx+βy=γ και α x+β y=γ και ζητάμε τις κοινές λύσεις τους, τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 5 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο A. Να δώσετε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης στο πεδίο ορισμού της. ( Μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ η (Κατσίποδας Δημήτρης) Δίνονται οι συναρτήσεις f() = με a, β R και g() = 5.Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2014 Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών, Τεχνολογίας, Περιβάλλοντος

Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2014 Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών, Τεχνολογίας, Περιβάλλοντος Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 04 Α Λυκείου 9 Μαρτίου 04 ΟΔΗΓΙΕΣ:. Η επεξεργασία των θεμάτων θα γίνει γραπτώς σε χαρτί Α4 ή σε Τετράδιο το οποίο θα σας δοθεί και το οποίο θα παραδώσετε

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat 4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή εισάγει το Θεώρημα Fermat και στη συνέχεια την απόδειξή του. Ακολούθως εξετάζεται η χρήση του στον εντοπισμό πιθανών τοπικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 2009 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (240 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν, Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ & Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Άλγεβρα Β Λυκείου, ο Κεφάλαιο ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Μια συνάρτηση ƒ λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ενότητα 6: Διπλά Ολοκληρώματα Δρ. Περικλής Παπαδόπουλος Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε Κάντε κλικ για

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 1 Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων Α. Κάνε κατάλληλο σχήμα,τοποθέτησε τα δεδομένα στο σχήμα και ονόμασε

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ. οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους ν με k.

Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ. οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους ν με k. Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση () είναι παραγωγίσιμη στο R με () Α Έστω k οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ξεφυλλίζοντας τα σχολικά βιβλία της Α και Β Λυκείου θα συναντήσουμε τις παρακάτω 10 "βασικές" συναρτήσεις των οποίων τη γραφική παράσταση πρέπει να γνωρίζουμε:

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 4 Ιουνίου 010 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (40 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t,t,...,t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν,

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ IV Απλή κυκλική κίνηση. Κεντροµόλος Δύναµη

ΠΕΙΡΑΜΑ IV Απλή κυκλική κίνηση. Κεντροµόλος Δύναµη ΠΕΙΡΑΜΑ IV Απλή κυκλική κίνηση. Κεντροµόλος Δύναµη Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα µελετήσουµε την κυκλική κίνηση µίας σηµειακής µάζας και ιδιαίτερα την εξάρτηση της κεντροµόλου δύναµης από τη µάζα,

Διαβάστε περισσότερα

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισμός της σταθεράς του ελατηρίου

Υπολογισμός της σταθεράς του ελατηρίου Άσκηση 5 Υπολογισμός της σταθεράς του ελατηρίου Σκοπός: Ο υπολογισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου. Αυτό θα γίνει με δύο τρόπους: 1. Από την κλίση μιας πειραματικής καμπύλης 2. Από τον τύπο της περιόδου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων ΘΕ1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες όπως : σφάλµατα, στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα