I GRUNDLAGEN UND GRUNDOPERATIONEN
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- Άτροπος Καλλιγάς
- 6 χρόνια πριν
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1 I GRUNDLAGEN UND GRUNDOPERATIONEN Zhlenmengen, Addition und Subtrktion Lösungen zu Übungen N ntürliche Zhlen {0; ; ; ;0; } Z gnze Zhlen {; ; ; ; 0;; ; ; } Q rtionle Zhlen ; 0; ; ; ; R reelle Zhlen { ; π; ; } Z negtive, gnze Zhlen { ; ; ; } Q 0 positive, rtionle Zhlen und Null 0; R \ Q Irrtionle Zhlen { ; π; e; } Grphik ; 0 ; 000; Die Zhl ist nicht ls endlicher oder unendlicher, periodischer Dezimlbruch drstellbr Flls n eine Qudrtzhl ist, so ist n rtionl Der Dezimlbruch ist endlich oder periodisch unendlich Z ; R R Q ; R Q ; R N ; Q ; R 0 R R R 0 0 A {; ; ; ; } B {; ; ; ; } C {;0;; } D {0;; ; ; ; ; ; } 0 Lösungen zu Übungen Richtig: (); () 0 b < d < e < c < < b < e < d < c flsch flsch richtig flsch flsch richtig richtig richtig 0 N I {0;} ; Z I { ; ; 0;} ; R I { R } N I {0;; } ; Z I { ; ; ; 0;; } ; R I { R } N I {0} ; Z I { ; 0} ; R I { R < < } N I {0;} ; Z I { ; 0;} ; R I { R < } Zhlenmengen, Addition und Subtrktion: Lösungen
2 , flls 0 Abstnd vom Nullpunkt:, flls < 0 ] ; ] ; L { ; ; } [ ; ] ; L { ; ; 0;; } ] ; [ ; L { ; 0;} [ ; [; L {; ; ; } 0 0 und b hben ds gleiche Vorzeichen 0 b 0 b b für lle, b R und b hben unterschiedliche Vorzeichen L { ; } L {} L {} L { } L { ; } L { ; } L {; } 0 L {} L {} L { ; } R 0 L L R 0 L L { } L { } () 000 mm d Z 0 mm ; mm d K 0 mm (b) m( d Z d ) 00 mm K Lösungen zu Übungen Richtig: (); (); () 0 Produkt Potenz Summe Differenz Quotient Differenz Potenz Quotient Differenz ; ; ; ; ; ( ) ; ; ; ; 0 ; ; ; ( ) ; ; ; ; ; ; 0!! 00 ; ; ;! ; ; ; ;! ; 0 0 : ; ; ; ; : ; ; ; ; 0 ( ; b) (;) : ; ; ; ( ; b) (; ) : ; ; ; ( ; b) ( ; ) : ;; ; I Gundlgen und Grundopertionen: Lösungen
3 0 T ( ) 0 ; T ( ) 0 T ( ) ; T ( ) 0 T ( ; ; ) 0 T ( ; ; ) 0 T ( ;) ; T ( ; ) 0 T ( ;) ; T (; ) ist nicht definiert 0 V ( ) ; S ( ) 0 ; ( ) V ; V ( 0) ; S ( ) 0 ; S( 0) 0 V ( ; b) 0 b ; S( ; b) b ; V ( ; ) 0 ; V ( 0; ) ; S ( ; ) 00 ; S( 0; ) 0 Lösungen zu Übungen : Polnom Grdes; ; 0 ; ; 0 0 : Polnom Grdes; ; ; 0 0 : Polnom Grdes; ; ; 0 0 : Polnom Grdes; ; ; ; 0 : Polnom Grdes; ; ; 0 kein Polnom 0 0 Lösungen zu Übungen b c µ σ ψ e e e c d cd de 0 0 c b b 0b z z 0 0b d β λ m n o p 0q k k k 0 z z z z m m 0 r u v p p q q 0 e e c c c c v w v w µ λ δ ϕ b 0 v w z w z 0 0 v b c d e p 0 δ 0 z z T T b b ; T T 0 T T ; T T Zhlenmengen, Addition und Subtrktion: Lösungen
4 Multiplizieren Lösungen zu Übungen b c f fg h h 0 z z w αµ 0 p q r 0 0 p q r z z b b b b c c c c p p p b b c c d z z z 0 pr ps qr qs 0 ϕ ϕ v v vw c d bc bd 0v w c d bc bd c d bc bd c d bc bd 0 z z u u 0 p pq q m m m m n n s s α α α b b b ε ε θ εθ θ c d e bc bd be c d e bc bd be r rs rt s s st 0 u uw v vw w w p p µ µ µ z z b b bc c c d 0 c cd d rt ru st su r 0r rs 0s 0 ce cf de df bce bcf bde bdf λ λ λ f f f b bc c b bc c 0 0δ δ δ z f q k k st s t u v uv r r s rs s I Grundlgen und Grundopertionen: Lösungen
5 e e e e e b b c c d e de φ 0φγ γ fg g 0 z z f v vw w β βϕ ϕ u g h m n p p q q z z r r r 0 0w 00w 0 h hk k µ µ 0 z c 0c 0c g g h h ϑ ϑ ϑ q q q p p p p k k p b α β α β u u 0 δ λ λ k k k b b c b b c c c d cd d d 0 f h h h 0 n 0n p q p 0 p q pq q ψ ψ ψ ψ c c d cd d e e e f g f g fg r rs rt s st t 000k 0k 0 k 000 p pq pr q qr r α αβ αγ β βγ γ 0 0 z 0z z r r s φ φµ µ d e de e c 0 Multiplizieren: Lösungen
6 Lösungen zu Übungen ; ; 0; 00 0 ; ; 0; 00 ; ; ; ; ; 0; ; ; ; ; ; 00; 0 ; ; 0; 0 ; 0; ; Lösungen zu Übungen Bemerkung: ds Psclsche Dreieck beginnt zuoberst mit der 0 Zeile n (Zeile entspricht so dem Eponenten von ( b) ; ; ; ;0;0; ; ; ;; 0;; ; ; ; ; ; 0; ; ; ; b 0 b 0 b 0 b b b ;0; ; 0 0 ; 0; 0; 0 ; 0; ; 00 ; 0; 0; 0 0 b b b 0 b Lösungen zu Übungen ( ) ( ) z (z ) 0 c (b ) ( z) (s t u) v ( v v w) λ ( λ λ ) p q ( r p ) z ( z z) ( ) ( ) ( b ) 0 ( g ) (h i 0k) ( µ µ µ ) ( ) ( w z) ( p q u ) ( b) ( c d) e (g h 00) ( g h)( k ) 00 ( c d )( e f ) 0 0 ( )(m n) 0 ( b )( b ) ( b)( b)( b ) 0 ( v )( z) 0 ( ϕ )( ψ ) ( ϕ )( ϕ )( ψ ψ ) 0 ( b c)( d ) 0 ( m n)( ) 0 0c ( p q) 0 ( b)( ) ( b)( ) 0 ( b)( b c) 0 ( )( z) ( e f )(g ) µ ( α ) I Grundlgen und Grundopertionen: Lösungen
7 ( )( c d) ( b)( ) ( )( ) v z ( r s)( t u) ( λ )( λ θ) ( )( z) ( )( z) 0 ( k k )( k ) k ( k ) ( k ) 0 ( b c)( ) ( e )( f ) ( p q r)( ) ( )( e f g) ( b c)( ) ( δ )( δ ϕ ρ) ( c d)( c d) ( )( ) ( )( ) 0 ( e )( e ) ( t s)(t s) ( z )( z ) - (φ )(φ ) ( p q) - ( e ) ( b ) 0 ( ) ( λ γ ) ( m ) ( m r ( r s) ) ( )( ) ( )( ) g (e f g) ( v w )( v w ) ( b c)( b c) ( p 0q )( p 0q ) ( m n )( m n ) 0 ( λ µ )(λ µ ) ( )( 0) ( )( ) ( )( 0) ( )( 0) ( )( ) ( )( 0) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 ( )( ) - ( )( 0) ( e )( e ) ( e )( e ) ( e )( e ) ( b )( b ) ( )( ) ( b)( 0b) ( α )( α 0) 0 ( m n )( m n ) ( z )( z ) ( k )(k ) ( h )(h ) ( ς )( ς ) ( )( )( ) ( )( ) h e(g ) ( z) ( c )( c d ) 0 ( γ )(γ λ ) ( h )( h )( m ) - λ (λ )(λ )(λ ) ( )( z ) b (c d)(d ) ( p )(p )( q )( q ) Multiplizieren: Lösungen
8 Dividieren Lösungen zu Übungen Richtig: (); (); () ; ; nicht def ; 0; nicht def ; 0; D R \ {0} D R \ {} D R \{ ; } 0 d D R \ 0; D R \{ ; ;} m n d c ( c ) ; 0; nicht def D R \ g c 0 k k v θ b m n 0 (e ) ( u ) p ( p ) q z (z ) b s t λ ω f f c d c d 0 c b 0 k k w w c ( ) p q b b 0 φ φ 0 u g g c d e c d e ( ) δ ε (δ ε) ( z) k lm klm p q 0 k k k n n c d ( m ) n ( s r) ( r s) t e ef f f ef e ( c d) c cd d ( b)( b) b b ( )( ) 0 z z d c b b ( b) b c d ( b) b z ( b)( c) 0 ( ) I Grundlgen und Grundopertionen: Lösungen
9 Lösungen zu Übungen Flsch: () z ; z z ; z z c c d d c d ; g ; µ µ ; b 0 ; b b e ; e ( e )( e ) e ( ) ; 0 0 g e efg z ( m ) p pq 0 q r z k 0 0 c ϑβ β 0 w w w 0 b 0 c d 0 m 0 v(v ) ( v ) z ( z) r s ( r s)( r s) ( )( ) b b 0 ( b )( b ) ( µ ) d (d e) f e(e f ) ( m n) m n w w w 0 ( u) u α δ δ n ( m n) 0b ( b) ( b) z ( z) k ( k )( k ) ( u )( u ) 0 p e ( e f )( e f ) h( h )( h ) λ ( λ )( λ )( λ ) ( q ) u ( u )( u ) µ φ (µ φ)(µ φ) Dividieren: Lösungen
10 0 v v b ( )( b) d e ( d e)( d e) b h h ( h )( h )( h z ( )( )(z ) ) Lösungen zu Übungen 0 Richtig: () z e e g z z z ( b) 0 u ef z z e f g δ v w 0 b c v z 0 ( q ) c d v( v ) v ( p q) p q 0 d d µ ω µ ω u u b b ( ) ( ) g( g h) g z cd m n o 0 p q 0 δ g h c d v ε φ (c ) ( b) λ λµ µ λ µ 0 u ( u) r s (r s) ( c d) 0 b e ( e 0) ( m n) ( ) ( ) ( k ) k ( δ ) σ 00 b 0 c c d f ( g ) 0 g 0 ( eh fg) f h ( p ) 0 p ( ) 0 ( ) 0 b 0 ef I Grundlgen und Grundopertionen: Lösungen
11 0 0 rt s rt s c d cd 0 h( k h) c c ϕ(ϕ λ)( ϕ λ) ( ϕ λ) ( ϕ λ) d c 0 z z v w 0 p p p v 0 c q q v w f fg g c v w 0α β γ z r s b b b b µ m v t v t c c 0 p q p q, dh, dh Lösungen zu Übungen 0 b b b b z z z z z p p, Rest, Rest z z, Rest, Rest 0 b b, Rest b p f g h b Dividieren: Lösungen
12 II Rechnen mit Potenzen: Lösungen
13 II RECHNEN MIT POTENZEN Potenzieren Lösungen zu Übungen Richtig: (); () ; ; ; ; ; ; 0; 00; 000; 0000 ; ; ; ; ; ; ; 0; 0 ; ; ; 0 ; 0; ( b) z n ( ) 0000( ) b b 0 n k 0k 0 k ( p q )( p q) k Lösungen zu Übungen 0 Flsch: (); () ( ) 0 n b µ n n d p 0 q r α β 0 : 0 0 w n 0 0 λ n ( ) (k) 0 n 0 ( n ) Potenzieren: Lösungen
14 0 0 α ( αβ θ ) α β θ ( z) z n n m n p q c d µ λ ω µ ω λ ω λ µ ω λ λ k k m k m k p q q m k k m p q m q m m m n u u 0 ( ) b ( b c) 0 d n ( d ) e n ( e ) 0 k ( k )( k )( k ) ( ) 0 n ( )( ) n m n m 0 ( f g )( f g ) 0 geht nicht 0 0 f k 0 p 0 b Lösungen zu Übungen Eponent 0 Potenz 0 Potenzwert Richtig: (); (); () 0 ; ; ; ; ; ; 000; 00; 0; ; 0; 00; 000 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; II Rechnen mit Potenzen: Lösungen
15 ( ) (b) b b ( c d) c d c d 0 w w v v b c σ σ ϕ ϕ c b m n m n k 0 k m u z z v v n n eg fg ( z) r k ( s m t) ( α δ µ ) n n n n 0 n 000 n n n z 0 b h k (k ) k 0 0 ( v w) ( w v) b b 00 c c m z 0 n k v k w 0 r n u 0 ( δ ε) m m p r 0 r ( s ) r ( s ) 0 0 Potenzieren: Lösungen
16 (uv) (uv) n ( ) n n n ( ) m ( f g ) m ( f g ) k 0 w ( w ) k k k ( w ) w ( uv ) ( uv) ( δλ) k n ( ) n ( ) m m n ( z) n ( z) ( δ) k β 0 b b n n e f g n m 0 c z 0 b 0 ( ) 0 µ n n ( p ) n ( p ) d n λ b b m m n n m mn n z z 0 oder 0 θ θ ( θ )( θ ) θ k km m II Rechnen mit Potenzen: Lösungen
17 Lösungen zu Übungen () 0 0 (b) 0 (c) () 0 0 (b) 0 0 (c) m 0 m 00 0 m m 0 0 m 0 0 m 0 0 m 0 0 m 0 D : 0 g ; D : 0 g ; D : 0 g ; D : 0 g 0 0, : In jeder 0 Tblette ist ein Mgnesium-Atom enthlten Bkterien Ameisen 0 0 Blutkörperchen 0 m Ds Proton ist ml schwerer ls ds Elektron 0 Moleküle 00 s Minuten 0 Sekunden; 0 Jhre 0 km Jhre Potenzieren: Lösungen
18 Rdizieren Lösungen zu Übungen Richtig: () b ( b ) s r s c ( c ) r m ( m ) 0 ( ) ( ) µ f g b λ op q op ( q ) b ( ) ( ) z q c b p 0 e k ( α β) b φ ( ) z cd e c d e m n 0 ( p q ) z ( ψ ) ( ψ ) v w II Rechnen mit Potenzen: Lösungen
19 Lösungen zu Übungen 0 ru st b c 0 su m n n z p p c 0 d uw e vw tv m n n p q pq µ b c m 0 cd r pq s 0 0 z 0 0 δ ψ n b φ λ n v m n 0 0 ( r s) p q 0 0 w r s z b ε λ u v b 0 z z z z b b b 0 ( b) ( c d) 0 ( ) Rdizieren: Lösungen
20 0 b 0 p z b f g h b c mn µ ω rs t 0 q p 0 b c m m p q βγ 0 w n n n v ϕ ϕ 0 0 pq pr bc c b b τ τ 0 ψ ψ u uv w c n c 00z z f f m n ( ) u 0 0 m k k k k αλ m α α λ 0 m m m m n b b m c c r s 0 z z z m n m n ( p q) pq ε ε ε b b b 0 00 II Rechnen mit Potenzen: Lösungen
21 0 0 k k ( ) k 0 µϑ ϑ µ 0 m m n n b m m 0 c c c 0 p p m p c b 0 0 r v r r r v w vw w 0 ( ) 0 0 u v ( ) b b α λ ( p ) p ( b) b 0 ( µ θ) ( d ) ( e f ) c d ϕ λ ( b )( c d ) 0 0 m n m n mn ± b z m e 0 α φ µ k p µ h z f f 0 0 θ 0 θ k p p µ µ b b b b Rdizieren: Lösungen
22 d d d 0 p q v v ( c d ) m m m m ( ) Bhnrdius in AE Umlufzeit T in Jhren Merkur Venus 0 0 Erde Mrs 0 Jupiter 0 Sturn Urnus 0 0 Neptun 00 Pluto 0 r( ) 0 ( ) Ohne Rückenwind: 0 km, mit Rückenwind: 0 km Mit PC / TR Ohne Rückenwind: 0 g; 0 g; 0 g, mit Rückenwind: 0g; 0 g; 0 g Ohne Rückenwind: 0 km ; mit Rückenwind: km 0 0 km/h II Rechnen mit Potenzen: Lösungen
23 Logrithmieren Lösungen zu Übungen Richtig: () () 0 0 ; 0 0 ; 0 0; 0 0 ; 0 ; ; 0 0 ; 0 0 ; ; 0 0 ; 0 0 ; 0 0 ; log 0 log log log 0 0 lg0 0 0 lg0 lg0 0 < lg0 < < lg00 < < lg 0000 < < lg < 0 < lg 000 < 0 < lg 0 < e e ; e e ; e e ; 0 e e ; 0 e e ; 0 e e ; e k k ln k ln e k k ln e k z ln 0; nicht definiert ; z z 0 ; z z ; z 0 z 0 ; z z ; z k ln e k ln e k z ; z z ; z z ; z z z ; z e e ; z 0 z z ; z ; z 0 w log log 0 log z log 0 v log k log log z log µ log log 0 log z log p lg 0 r log q ln e s log < log < < ln 0 < < log < < log < 0 0 < log < < log 0 00 < Logrithmieren: Lösungen
24 e k n 0 D ] ; [, D ] ; [, D R \ {}, 0, 0 D ;, D ;, 0 D ;, D ] ; [, e D ] 0; [, e D ] 0; [, e e nicht definiert nicht definiert II Rechnen mit Potenzen: Lösungen
25 Lösungen zu Übungen ln ln log log lg 0 lg lg log d log d ln c ln lgc lg Lösungen zu Übungen 0 log log b log log log 0 log α log β log γ lgc lg z lg p lg q lgµ lgσ lgϕ ln α lnβ ln δ lnµ ln lnu ln( v ) ln ( z) log ( ) log ( ) log ( ) 0 log p log ( p ) log ( p ) log ( p ) log ( n ) log ( n ) log (b c ) log (b c ) log ( z ) log ( z 0) log ( k ) log ( k ) log ( k k ) µ ln () ln(e ) b lg lg c 000k ln 0 ln z lg( v w) lg n ln( e (e ) ) ln(e e ) ϕ λ lg 0ϕ Logrithmieren: Lösungen
26 Lösungen zu Übungen Richtig: () c b 0 b log b log b α β log c b c log log m log n log log b log c ( )log log z ln f ln g bln ( ) ( c ) ln ln( µ ) ln ln ϕ 00 log k 0 log p 0 logc 0 lg lgb 0 0lg s 0lg r 0 lg ( λ ) lg σ 0 log φ log ψ 0 log w log z log v 0 log ( ) log 0 log ( b c) 0 log ( b c) log ( c d) log ( c d) lg( m n ) lg( ) p q lgµ lg(µ ) logb ( h ) logb( h ) logb ( p q) log b ( u ) log b u log b log v log ( v ) u log ( ϕ ) 0 log log p log b log q log ( mn) log ln log ( b ) p ln q lg(0α τ ) b ln b c k( k ) logb k m m z ln m II Rechnen mit Potenzen: Lösungen
27 0 lg( u 0 ) log ( ) logδ m lg ( p p q ) b log c b c d c ( b ) log α λ ( ϕ λ) log ϕ log log λ ( ϕ λ) ϕ log log log ( ) (ln ln ) 0 0 ln z () DIN (b) 0 DIN (c) 0 DIN SDIN 0 S 0 ASA ASA und ASA Änderung: 0 DIN 0 m 0 m Mtterhorn: hp; Mont Blnc: hp; Mont Everest: hp; Totes Meer: 0 hp : % ; : % ; : % ; : 00%; : %; : %; : %; : %; : 0%; : 0%; : %; : % Logrithmieren: Lösungen
28 III Gleichungen: Lösungen
29 III GLEICHUNGEN Linere Gleichungen Lösungen zu Übungen Richtig: (); (); () Flsch: (); (); (); () {; ; 0; } {; } {0; } L { } 0 L {} L {;0; ; ; } L {} L R < L { R } L R > L { R 0 0 } Lösungen zu Übungen Flsch: (); (); () L { } L {} 0 L { } L {} L L {0} L {0} L {} L R L {} L {0} L 0 L { } L {} L {} L L {0} L L {} L { } L R L {} 0 L R L L { ; ; ; }, L R L {;; ; }, L { u R u } L {; 0; ; ; }, L R < L {;; ; }, L R > L Z, L R L {;; ; }, L { z R z > 0} L { } L {} 0 L { } L {0} L R L {} Linere Gleichungen: Lösungen
30 0 Lösungen zu Übungen, 0 b c d, c d c d p, p k, k µ λ, λ µ k bc 0 L { } L, c c h L { α δ}, α δ L, h L { q}, p q L { m n}, m n 0 M r, π s S c b, ( c) K 00 Z, p 00 0 Z K, p t M s πr A e, f S b 0 A c α ( b) π r A f e Z p 00 K K p 00, K K Z t K p L {}; L {}; L K 00 0 K 00 0 p t 0, L {0}; L {}; 0 L L {}; L {0}; L L R; L {}; L {} L R; L {} L { }; L R; L R 0 0 :, 0 : L {} b : 0, b : L R 00 K p 00 d γ :, γ : L {} d :, d : L {} γ d 00 0 ( K K t K p 0 0 ) u 0 :, u 0 : L R v v v 0 :, v : L R, v 0 : L {} v k k : k, k : L R, k : L {} w : β φ : w, w : L {} w φ, β φ 0: L {}, β φ 0 : L R β φ r s : r s, r s 0 : L {}, r s 0 : L R 0 m n : m n, m n : L R λ θ λ 0 θ :, θ λ λ 0 θ 0 : L {}, θ λ λ 0 θ 0 : L R λ( θ ) III Gleichungen: Lösungen
31 Lösungen zu Übungen Richtig: (); (); (); () D R \ {0}, D R \ ; 0, L { } D R \{0; }, D R \ ;, L D R \ ;, L L D R \ { ; }, L 0 D, L L R \ { ; } 00 D R \{ ;0; }, L {} 0 D R \ {}, L R \{} 0 D R \{}, L {0} 0 D R \{ ;; ; }, L {} 0 D R \{ ; ; ; 0}, L 0 0 D R \ ;, L {} D R \ ;, L 0 D R \{}, L R \ {} 0 D R \{}, L R \ 0 D R \{}, L {0} 0 D R \ { }, L {} D R \{0; }, L R \{0; } D R \{ ; }, L {} b m n m n p b c 0 c c d p z p 0 z m m n n d c d β E m β µ v FG r G, m m m FG r G m d ( sn n) s, n( n ) n n( n ) d n Linere Gleichungen: Lösungen
32 0 b g b f f, g b g b f R R R R, R R R R( R R ) M Q z, m F M Q F m z m : R R R R R R ( R R) ( m ), m : L {} m R n : n n, n : L {} c :, c : L {} c λ ϕ 0 ϕ λ ϕ :, λ ϕ 0 : L {}, λ ϕ 0 : L R \{0} λ ϕ 0 k k : R 0 b 0 b : b c : L R k, k : L {}, k : c, 0 b 0 b c : L {}, ( b ) 0 ; ; ; 0 ;; ; ; ; Spieler Gäste oder Sorte: 0 kg, Sorte: 00 kg 0 kg l 0 % Alkohol Sorte: 0 l, Sorte: l l l kg Kupfer: kg, Zink: kg CHF p % CHF 000 p % 0 K CHF 00, CHF00 A cm l 00 cm, b cm l cm, b cm s 0 cm n n Ecken 0 m () cm r ; (b) r cm 0 m : : : : : : km min s 00 km/h nch min s, nch km ( km) km/h km/h K III Gleichungen: Lösungen
33 Gleichungsssteme Lösungen zu Übungen Richtig: () liner; Grundform: 0 0 nicht liner nicht liner liner; Grundform: c πc d d L {(; )} L {(; )} L {( ; );(0; 0); (; )} L {( ; 0); ( ; ); ( ; ); (0; ); (; ); (; ); (; )} 0 L ( ; ) R 0 L ( ; ) R Lösungen zu Übungen Flsch: () L {(; )} L {( ; )} L {(; )} L {(; )} L ; 0 L {(; )} L {(; )} L ; L ; L {( ; )} 0 L ; L {(; )} L {( ; )} L ; L ; L ; 0 L ; L ; L {(0; )} L {(; )} L ; L {(; )} 0 L ; L {( ; )} L {( ; 0)} L ; L {(; )} 0 L {( ; )} L {( ; )} L {( ; )} L {( ; 0)} L ; L ; L ; L ; L ; Gleichungsssteme: Lösungen
34 L ; 0 L ; L {(; )} L {(; )} ; b c ; b c m n m n ; u v ; u v ; ; b ; b 0 λ δ ; δ λ ; 0 s ; ; b b µ ϕ µ ϕ m ; ; m n k ; k ϕ µ u v u v ; w w ; α Lösungen zu Übungen D 0 D 0 D 0 D 0 D 0 D D D D 0 ; 0 0 ; Lösungen zu Übungen D, D, D ; L {(; )} D, D, D ; L {(; )} D, D, D ; L ; D, D, D ; L ; Lösungen zu Übungen L {} L ( ; ) R L ; L {( ; ) R } L {} 0 L {( ;)} : L {}; : L ( ; ) R b : k θ 0γ L ( ; ) R m : L {}; k m : L ( ; ) R θ : L {}; θ 0γ θ : L {( ; ) R 0 } III Gleichungen: Lösungen
35 p : L {}; p : L {( ; ) R } u : L {} :, b ± : b, f : g, f ; : L {} ; b ± : L ( ; ) R b f g f f g : L {}; f g : L ( ; ) R 00 ϑ L {} ; ϑ : L {( ; ) R } 0 δ :, δ δ ; δ : L {} δ 0 m ± : 0 ; 0; m ± : L {( ; ) R }, L {( ; ) R } 0 0, 0 für lle n 0 ψ ± ψ 0 : 0, 0 ψ ±: L {( ; ) R } ; ψ 0 : L {( ; ) R 0} 0 ; und ; 0 oder 0 ; CHF 000 ; CHF 000 CHF 0000 ; % CHF 0 ; CHF 00 CHF 00 ; CHF 00 CHF 00 ; % g ; g CHF pro kg; CHF pro kg Sorte %: l ; Sorte %: l %: % %; l 0 l cm ; b cm cm, b cm, c cm ; cm, b cm, c cm d cm ; h cm ; l 0 cm Annhme: der Stb ht ekt drin Pltz, wenn d und h nicht verändert werden α 0 ; β cm und cm Entfernung von der Muer: m; Länge der Leiter: m cm, 0 cm Gleichungsssteme: Lösungen
36 Autobhn: km; Rest: km s km ; v km/h t h ; s 0 km 0 v 0 km/h ; 0 km/h v km/h ; v km/h v 0 km/h ; 0 km/h A B v A 0 km/h ; v B 0 km/h v m/s; v 0 m/s A F v B v W A B h ; h h min s 0 m /min ; 0 m /min 0 h ; 0 h I A ; I A ; I A 0 0 cm ; cm Lösungen zu Übungen D D D D D 0 D L {( ; ;)} L {(; ; )} L {(; ;)} 0 L {(0; ; )} L {(; ; )} L ; ; L ; ; L ; ; L {(0; ; )} 0 0 L ; ; L {( 0; ; )} L ;; L ; ; 0 L ; ; b ; b ; z b ; b ; z ; 0, b 0 b r s ; r t ; z s t r ; s ; r s z z z L ( ; ; z) z R L {(0; ; )} L {} m {} ( m : keine Lösung; m : unendlich viele Lösungen) 0 m : z 0 ( m : unendlich viele Lösungen) L {( 0; ; ; )} L {( ; ; ; 0)} L {(; ; ; )} L ; ; ; ; L {(; ; ; ; )} z z L ( ; ; z) z R III Gleichungen: Lösungen
37 ;; ; ; ; 0 CHF 00 ; CHF 00 ; CHF 00 CHF 0 ; CHF 0 ; CHF 0 0 %; %; % s km ; s 0 km ; s km v km/h, t s min ; v km/h, t h 0 min s ; v 0 km/h, t h min 0s cm ; b cm ; c cm 00 ; 0 ; 0 cm ; b cm ; c cm b c ; b c ; cm; cm; cm b c 0 t : Fhrten; t : 0 Fhrten; 0 t : Fhrten Set; 0 PC s; Drucker Set; Bords; Bindungen () Siege; Unentschieden; Niederlgen; Spiele (b) Spiele () Stück von Pckung ; Stück von Pckung ; Stück von Pckung (b) eindeutige Lösung 0 0 ; ; gibt keine sinnvolle Antwort uf die Frgestellung, d negtive und rtionle Zhlen in der Lösung vorkommen ZB Stück von Pckung und Stück von Pckung, oder Stück von Pckung I 0 ma ; I ma ; I ma ; I ma ; I 0 ma ; I ma 0 Gleichungsssteme: Lösungen
38 Qudrtische Gleichungen Lösungen zu Übungen Richtig: (); (); () qudrtisch nicht qudrtisch qudrtisch nicht qudrtisch λ für λ L { ; } L { ; } 0 L {} L ; L {} L ; L {0} L { ; } L { 0; 0} L { ; 0} L {0;} L 0; L 0; 0 L {0; } L ; 0 L { ; } L ; L {; } L { ; } L {; } L { ; } Lösungen zu Übungen, 0, L {},,, L {}, L {} 0,,, ( ), ( ),,,,,, 0 m n 0,,, Lösungen zu Übungen L ; L ; L ; L ; L ; 0 L {} L { ; } L { ; } L ; L ; L ; L ; III Gleichungen: Lösungen
39 L {} L ; L 0 ; 0 L ; L { ; } 0 L ; L {; } L { 0; } L { ; } L { ; 0} L { ; } L {0; 0} zwei keine zwei 0 eine eine keine L 0; L { 0; } L {} L ; L {0} L ; L ; Lösungen zu Übungen 0 k, k m, m, n c d, d c d, b µ q pq, p, v v, r, s u u c, 00 m n, m n 0 bd 0 φ, φ m n 0 m n, m 0 b, ψ ψ c d c d, 0 k, k c d c d 0 b, b 0 > : L {}; : L { } ; < : L { ; } t > : L {}; t : L ; t < : L t ; t t t u < u < : L {}; u : L {} ; u : L { } ; u < u > : L u u ; u n m : L n n ; m : L { m ; m n} t t t > : L {}; t : L ; t < : L ; t t Qudrtische Gleichungen: Lösungen
40 0 u 0 : L {}; u > 0 : µ µ µ L ; µ µ µ q 0 ; c ; p ; ϕ ; 0 k 0 :, ; 0 k :, u 0 ;, λ ;, w :, ; w :, () miml zwei Lösungen möglich mit q < () eigener Lösungsweg; (b) p ; q L { ; ; } p p ; (b) q ; (c) q > p L ; ; L ; ; L ; ; Lösungen zu Übungen 0 L { ; ; ; } L ; L { ; 0} L { ; } { ; } L L ; L ; L ;, L ; ; ; L ; ; b b ; 0 III Gleichungen: Lösungen
41 0 0 z ( ) z 0 m m 0 0ψ ( ) ψ 0 Lösungen zu Übungen ;, ; 0 0, 0 ; ; ; ; ;, ;,, Personen 00 Telefonnschlüsse 0 p % p % p % p % ; p % cm ; b cm cm ; b cm s cm s cm 0 n n 0 Gerden b cm ; b cm r m s cm 0 cm k 0 cm 0 dm 00 b cm oder 0 b cm 0 0 cm dm cm b cm oder cm b 0 m ; l 00 m b cm; l cm cm cm ; b cm min s 0 G : km/h ; P : km/h km/h km/h s s 0 km/h () m ; (b) 0 m ; (c) m ; (d) 0 m s ( s) g cm R Ω 00 F N; F N 0 min 0 min 0 0 d 0 h Qudrtische Gleichungen: Lösungen
42 Wurzelgleichungen Lösungen zu Übungen Richtig () Äquivlenzumformung, L L {} A N Äquivlenzumformung, L L {} A N Gewinnumformung, L A {}, L N {} (Scheinlösung) Äquivlenzumformung, L A L N Äquivlenzumformung, L L {} A N 0 Verlustumformung, L A { ; }, L {} (eine Lösung geht verloren) N 0 D ; L { } R 0 D ; L {} R 0 D ; L { } R 0 D ; L {} R 0 D ; L { } R 0 D ; L {} R 0 D { w R w } ; L D µ R µ ; L {} D { δ R δ } ; L { } D { h R h } ; L {}, SL h D { b R b } ; L {} D { ε R ε } ; L {}, SL ε 0 L {} L {}, SL λ L {} L { } L L {0} L {} L {}, SL m L {} L {0} 0 L {} L { } L { } L {0} L {} L L {} L {0} L {} L L 0 L {} L L { }, SL L {}, SL L {} L {} L {}, SL α 0 L L {} 0 L {} L {} n b ( ) m ϕ c d b b e b m n ef e f III Gleichungen: Lösungen
43 Lösungen zu Übungen 0 L {}, SL ; L {}, SL 0 L ; L { }, SL L { ; 0; } L, SL λ D { R q > } q ; L {}, SL q D { R } ; L {}, SL ; m n ; 0 L {0;} L { ; } L ; L {}, SL PR m ; RQ m h 0 m m s h ( r h) h (r h) ; h, vernchlässigbr wegen grossem r Wurzelgleichungen: Lösungen
44 Eponentil- und logrithmische Gleichungen Lösungen zu Übungen Richtig: (); () 0 ln ln log log 0 ln ln ln ln00 log 00 lg 0 ln ln0 eln 00 z 0 ln ln ln0 ln 0 0 ln0 ln ln ln ln k ln ln ln ln ln ln 0 p ln ln ln ln ln 0 0 ln ln ln ln 0 ln ln ln ln ln q 0 ln ln III Gleichungen: Lösungen
45 Lösungen zu Übungen ln ln0 log log 0 ln ln ln ln ln {} z 0 ln ln ln ln 0 0 u ln ln ln ln ln 0 ln ln( e ) ln ln 0 v ln ln ln ln L log ln L ln 0 L {} 0 ln 0;log ln L ln log ln L L ; 0 L {} ln ( ) L log ( ) ln ln L ;lg 0 0 ln0 ln ( 0 ) log ( 0 ) ln L ; 0 0; p q p q log n( n n ) p q d ln c ln s ln b {} 0 ln( ln) ln(ln) ln ln ln ln ln ln ln ln ln 00 ln ln 0ln ln ln 0; ; log ln 0 () CHF 0; () 0 Jhre; () Jhre () 0 %; () Tge; () Tge () CHF 0; () Jhre; () Jhre Tge Eponentil- und logrithmische Gleichungen: Lösungen
46 Lösungen zu Übungen Flsch : () 0 e 0 00 L { } L {0} e L L {} L L {} 0 e e e e ; e 0 n m e b e 0 0 c c 0 0 δ ; δ ; 0 ; ; 0 m 00 ln ln ln0 ln e lnln β e e III Gleichungen: Lösungen
47 Eponentil- und logrithmische Gleichungen: Lösungen
48 IV Funktionen: Lösungen
49 IV FUNKTIONEN Linere Funktionen Lösungen zu Übungen Richtig: (); (); (); () U rπ ; uv r ; V U ( n ) 0 α ; uv n ; V α d s ; uv s ; V d n V W π r ; uv r ; V V U I ; uv U ; V I R m v ; uv v ; V W Funktionen: (); (c); (e); (h) Flsch: (); () 0 Q: A, B, C; Q: D, E; Q: F; Q: G, H Grph AB e ; BD e ; BF e ; CF e e ; b 0e ; c e M (; ) ; M b ; ; M c (;) p q p q M ; Grph AB e ; BC 0e ; AC e M (; ) ; M (; ) ; M (; ) ; s e ; s b e ; s c e AB A ' ( ; ) ; B ' ( 0; ) ; C ' ( ; ) 0 A '' (; 0) ; B '' ( ; ) ; C' ' ( ; ) f ( ) f ( ) f ( ) BC P: km Rohrlänge; Q: km Rohrlänge; R: km Rohrlänge AC { ; ; ; ; } ; ; D W R 0 Grph ; ; ; ; D 0 ; ; ; ; 0 0 ; ; ; 0; ; 0 W ; ; ; Linere Funktionen: Lösungen
50 0 D R \{ } ; W R \{0} Grph ; ; ;; 0; ; ; ;; ; ; ; W ; ; 0 ; ; ; ; W D R ; W R 0 Grph Funktionen: (b); (c) Funktionen: (); (d) () g ( ) % ; g ( 000) % ; g( 00) % (b) miml ; miniml 00 (c) D 0; W (d) 00 Arbeitslose; % (e) Grph () ; (b) 0 f ( ) oder BMI ( h) ; Grph h f ( ) oder BMI( m) m ; Grph () f ( ) ; f () ; f (00) ; f (00) 0 (b) ; ; ; (c) D: ; W 0 0 () f (Jnur) %; f (März) %; f (August) %; f(oktober) %; f(dezember) % (b) f ( ) % : Jnur, Dezember; f ( ) 0 % : April, Mi; f ( ) % : Juli, August (c) Mimum von f im September; Minimum von f im Jnur und Dezember (d) f : D, W ; f : D, W 0; f : D, W (e) Luzern: %; Bern %; Zermtt 0 % (f) Grph () f ( 0 ) ; f ( ) ; f () ; f (0) (b) kg < kg ; kg < 0 kg ; 0 kg < 0 kg (c) D { Q 0 < 0} ; W {; ;;; } (d) nein (e) Grph IV Funktionen: Lösungen
51 Lösungen zu Übungen Richtig: (); () liner nicht liner nicht liner liner nicht liner liner liner 0 liner nicht liner liner nicht liner liner nicht liner liner nicht liner liner nicht liner 0 nicht liner liner liner nicht liner liner nicht liner nicht liner liner liner nicht liner 0 liner () ; ; m (b) ; ; m (c) ; ; m (d) ; ; m () ; ; m (b) ; ; m (c) ; ; m (d) ; 0 ; m Grph Grph m ; q ; Grph m 0 ; q ; Grph m 0 ; m ; q ; Grph 0 m ; q ; Grph q ; Grph m ; q ; Grph f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 0 f ( ) 0 (keine Funktion) f ( ) f ( ) f ( ) Linere Funktionen: Lösungen
52 00 rot: f ( ) ; dunkelviolett: f ( ) ; grün: f ( ) violett: f ( ) ; hellblu: f( ) ; olive: f( ) 0 grün: f ( ) ; rot: f ( ) ; olive: f( ) violett: f ( ) ; dunkelviolett: f ( ) ; hellblu: f( ) 0 olive: (keine Funktion); hellblu: dunkelviolett: f ( ) ; rot: f ( ) ; grün: f ( ) f ( ) ; hellviolett: f ( ) 0 ; 0 ; 0 0 ; 0 ; 0 0 f ( ) 0 0 f ( ) 0 f ( ) 0 f ( ) 0 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 0 0 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 0 f ( ) 0 f ( ) 0 A g ; B g ; C g A g ; B g ; C g Punkte liegen uf einer Gerden Punkte liegen nicht uf einer Gerden Punkte bilden kein Dreieck Punkte bilden ein Dreieck p p 0 S (0; ) ; S ; 0 0; S ; ( ; 0) S S 0; ; S ; 0 S (0; ) ; S ; 0 S (0; ) ; S ; 0 s S (0; s) ; S ; 0 r p 0 IV Funktionen: Lösungen
53 Lösungen zu Übungen g ( ) h( ) g ( ) h( ) g ( ) h( ) g ( ) h( ) 0 g ( ) ; g ( ) ; g f ( ) ; f ( ) ; f f ( ) ; f ( ) ; f g( ) ( ) ( ) ( ) g ( ) g( ) h ( ) h ( ) h ( ) 0 h ( ) b m m 0 Q (; ) Q ; 0 0 H ; U ; ' 0 0 P ; P ' ; Lösungen zu Übungen S ( ; ) S ; S ( 0; ) kein Schnittpunkt (prllele Gerden) 0 S ; S ; kein Schnittpunkt (prllele Gerden) S (;) A e A 0e A e A e g ( ) g ( ) 0 Grph; L {( ; )} Grph; L {} Grph; L ( ; ) R Grph; L {(; )} Linere Funktionen: Lösungen
54 () f ( ) ; f ( ) ; Grph (b) Minuten (c) Minuten 0 () f ( ) 0 für 0 < 0 ; f ( ) Gnzzhl 0 für 0 ; Grph (b) b h min (c) b h min () mc: f ( ) 0 ; sc: < 0 : f ( ) ; > 0 : f ( ) 0( 0) ; ec: f ( ) 0 0 (b) mc: f ( ) 0 ; sc: 0 < : f ( ) ; > : f ( ) 0( ) ; ec: f ( ) (c) mc sc : h min; sc ec : min; mc ec : h 0 min 0 s AB : p 0 % ; f ( ) BC : p % ; f ( ) CD : p % ; f ( ) 0 0 DE : p % ; f ( ) 0 0 EF : p % ; f ( ) 0 0 FG : p 0 % ; f ( ) AB : p 00 %, f ( ) BC : p %, f ( ) CD : p %, f ( ) DE : p %, f ( ) 0 0 n ( p) p ; Grph 0 n ( f ) f ; Grph 0 () p( t) 0 t (b) um 0:00; um 0:00; um :0 Tempertur in Grd Celsius: T ; Tempertur in Kelvin: γ ; Tempertur in Fhrenheit: ϕ 0 γ T ; γ ϕ ; T ϕ ; T γ ; ϕ γ ; ϕ T () f ( ) ; f ( ) 00 ; Grph 0 00 (b) in 0000 Jhren (c) m (d) in Jhren () s ( t) 0t 00 (b) bei Kilometer (c) um :0 () A: s ( t) 0 t ; P: s ( t ) 0 t (b) Grph (c) um ::0, km entfernt () A0: s ( t) 0t ; FA: s ( t ) t 00 (b) Grph (c) nch h min s Flugzeit (Airbus), km von New York entfernt IV Funktionen: Lösungen
55 Qudrtische Funktionen Lösungen zu Übungen Grph Theorie S Grph Theorie S Grph Theorie S Grph Grph Grph 0 Grph ( ) 0 ( ) ( ) 0 00 Richtig: (); () Flsch: (); () Grph Grph Lösungen zu Übungen Richtig: (); () 0 Richtig: (); (); () nicht qudrtisch qudrtisch qudrtisch nicht qudrtisch nicht qudrtisch qudrtisch qudrtisch nicht qudrtisch nicht qudrtisch 0 nicht qudrtisch qudrtisch qudrtisch nicht qudrtisch nicht qudrtisch qudrtisch nicht qudrtisch nicht qudrtisch qudrtisch nicht qudrtisch 0 qudrtisch nicht qudrtisch qudrtisch nicht qudrtisch f ( ) f ( ) f ( ) 0( ) f ( ) ( ) S ( ; ) ; Grph S (; ) ; Grph 0 S ( ; ) ; Grph S (; 0) ; Grph steigend: > ; fllend: < steigend: steigend: < ; fllend: < ; fllend: > steigend: > 0 ; fllend: < 0 > Qudrtische Funktionen: Lösungen
56 Spiegelung n der -Achse Trnsltion (Verschiebung) um Einheiten nch rechts und Einheiten nch oben Streckung in -Richtung mit Fktor Trnsltion um Einheiten nch links und Einheiten nch unten Spiegelung n der -Achse Streckung in -Richtung mit Fktor Trnsltion um Einheiten nch rechts und Einheiten nch oben 0 Streckung in -Richtung mit Fktor 0 Trnsltion um Einheiten nch rechts und Einheiten nch oben Spiegelung n der -Achse Streckung in -Richtung mit Fktor Trnsltion um Einheiten nch rechts und Einheiten nch oben ; ; c ; ; c ; ; c 0 ; ; c S ( ; ) ; ; ; c ; Grph S ; ; ; ; c ; Grph S ( ; ) ; {} ; {} ; c ; Grph S ; ; ; ; c ; Grph 0 S (; ) ; ; ; c ; Grph S (; ) ; {} ; {} ; c λ ; λ ; λ ; ; ; λ ; λ ; λ {}, immer zwei Nullstellen d D t > : keine Lösung; t : eine Lösung; t < : zwei Lösungen t > : keine Lösung; t : eine Lösung; t < : zwei Lösungen < t < : keine Lösung; t t : eine Lösung; t > t < : zwei Lösungen ( t 0 ) < t < : keine Lösung; t t : eine Lösung; t > t < : zwei Lösungen ( t 0 ) 0 u 0 u u ; v 0 u ; v 0 00 IV Funktionen: Lösungen
57 Lösungen zu Übungen violett: ( ) ; hellblu: ( ) rot: ( ) ; grün: ( ) 0 ( ) ( ) ( ) hellblu: ( ) ; grün: ( ) violett: ; rot: ( ) 0 f ( ) 0 f ( ) f ( ) f ( ) u ; f ( ) u ; f ( ) 0 u 0 ; f ( ) 0 0 f ( ) ( ) f ( ) ( ) f ( ) ( 0) f ( ) f ( ) ( ) 0 0 f ( ) f ( ) ( ) 0 f ( ) 0 f ( ) 0 f ( ) 0 f ( ) 0 f ( ) 0 f ( ) 0 f ( ) b um prllel zur -Achse; um c b prllel zur -Achse µ µ ; µ µ ; µ µ {} µ {} µ ; µ Qudrtische Funktionen: Lösungen
58 Lösungen zu Übungen P (; 0) P (; ) ; Q ( ; ) 0 P ; P ; ; Q ( ; ) P ( ; ) ; Q ( ; ) kein Schnittpunkt P (; ) ; Q (; ) P ( ; ) ; Q ( ; ) P ; ; Q (; ) P (; ) P ; ; Q (; ) kein Schnittpunkt 0 P ( ; ) ; Q ; P ; ; Q ; P ; ; Q ; s 0 e ; kein Schnittpunkt s e ; m ; m q 0 q m m ; m q c b n q A e A e t ( ) ; t ( ) t ( ) ; t ( ) t ( ) 0 ; t ( ) t( ) Gerde f ( ) Prbel f ( ) Lösungen zu Übungen k ; T ( k) k 0 ; T ( k) 0 k ; T ( k) m ; T ( m) m ; T ( m) m ; T ( m) m und m m und m (Qudrt) m und m m ; b m u u ; b cm 0 0 cm 0 cm ; 0 cm ; 0 % 0 m ; 0 % 0 cm ; A 0 cm IV Funktionen: Lösungen
59 m ; b m t 0 s ; t s ; t s ; t s ; t s t s ; t s ; t s ; t s ; t s () Grph (b) h m ; t s () Grph (b) h ( ) m ; t s (c) h m ; t s (d) t 0 s ; t s () Grph (b) s 0 m ; s 00 m ; s m ; s m ; s m (c) v m s ; s 0 / 0 () s 0 m (b) h 0 s m m v 0 0 m / ; 0 0 m / s 0 m / trocken: s m ; s 0 m ; s m ; s 0 m nss: s m ; s m ; s m ; s m Schnee: s m ; s m ; s 0 m ; ( s m ) (Eis: s m ; s m ; s m ; s m ) trocken: s ( v) v v ; nss: s ( v) v v Schnee: s ( v) v v ; Eis: s ( v) v v v ; v s ; v m s trocken: s ( v) v v ; s m ; s 0 m ; s m ; s m 0 00 nss: s ( v) v v ; m 0 0 s ; s m ; m s ; s 00 m Schnee: s ( v) v v ; s m ; s 0m ; s m ; ( s m ) 0 Eis: s ( v) v v ; ( s m ; s m ; s m ; s m ) 0 0 f ( ) 0 0 h m ; h m () f ( ) 0 (b) 0 m ; m ; m () Grph (b) f ( ) keine Prbel: / ; ; ; Prbel mit f ( ) 0 00 Die Werte von schwnken zwischen 0 00 und 0 00 Qudrtische Funktionen: Lösungen
60 0 Polnomfunktionen und Hperbeln Lösungen zu Übungen () D R ; W R (b) ( ; ) ; ( 0; 0) ; (; ) (c) Punktsmmetrie zum Ursprung () D R ; W R 0 (b) ( ;) ; ( 0; 0) ; (; ) (c) Achsensmmetrie zur -Achse Gemeinsmkeiten: Punkte ( 0; 0) ; ( ;) und D R Unterschiede: Smmetrien und Wertemenge ( W R, W R ) 0 Richtig: (); (); (); () Grph; L { ; 0; } Grph; L { } Grph; L { } Grph; L {; } Grph; L {} 0 Grph; L { ; } n ; n ; f ( ) n ; f ( ) f ( ) n ; f ( ) Lösungen zu Übungen 0 0 b b 0 b 0 b 0 IV Funktionen: Lösungen
61 Trnsltion (Verschiebung) um Einheiten nch unten Spiegelung n der -Achse Trnsltion um Einheiten nch oben Streckung in -Richtung mit Fktor 0 Streckung in -Richtung mit Fktor Trnsltion um Einheiten nch unten 0 Spiegelung n der -Achse Streckung in -Richtung mit Fktor Trnsltion um Einheiten nch oben Spiegelung n der -Achse Streckung in -Richtung mit Fktor Trnsltion um Einheiten nch oben Trnsltion um Einheiten nch rechts Trnsltion um Einheiten nch links Spiegelung n der -Achse, Trnsltion um Einheiten nch links Trnsltion um Einheit nch rechts und Einheiten nch unten Streckung -Richtung mit Fktor Trnsltion um Einheiten nch rechts und Einheiten nch unten Spiegelung n der -Achse Streckung in -Richtung mit Fktor Trnsltion um Einheiten nch links und Einheiten nch oben blu: 0 ; rot: grün: ; n ; 0 ; n ; ; n ; ; n ; V w ( ) Grph V K ( ) π f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) VW ( ) oder VW ( ) : VK ( ) : : 0 V ( ) π π K r 0 m Polnomfunktionen und Hperbeln: Lösungen
62 Lösungen zu Übungen Richtig: (); () Polnomfunktion Grdes, Grundform: f ( ) Polnomfunktion Grdes, Grundform: f ( ) Polnomfunktion Grdes, Grundform: f ( ) 0 0 Polnomfunktion 0 Grdes (konstnte Funktion), Grundform: f ( ) ungerde ungerde 0 gerde gerde ungerde ungerde gerde gerde 0 keine Smmetrie bezüglich Ursprung oder -Achse; Punktsmmetrie zu (0;) Punktsmmetrie zum Ursprung Punktsmmetrie zum Ursprung Achsensmmetrie zur -Achse Achsensmmetrie zur -Achse keine Smmetrie Grph Grph Grph f ( ) 0 f ( ) 0 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 0 f ( ) 0 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 00 f ( ) 0 0 f ( ) 0 f ( ) f ( ) f ( ) 0 f ( ) 0 IV Funktionen: Lösungen
63 0 f ( ) 0 f ( ) 0 f ( ) 0 f ( ) ( ) f f ( ) ; ; Grph ; ; 0 ; ; Grph ; Grph ; Grph 0 ; 0 ; Grph } { ; Grph Nullstellen: ; ; ; lokle Etremlstellen: m 0 ; min Nullstellen: ; ; ; lokle Etremlstellen: m 0 ; min 0 Nullstellen: ; lokle Etremlstellen: 0 0 ; m Nullstellen: ; 0 0 ; 0 ; lokle Etremlstellen: m 0 ; min 0 Nullstellen: ; ; m ; min ; min Nullstellen: ; 0 ; ; lokle Etremlstellen: m ; min min Grph; 0 Grph; ; Grph; ; 0 0 Grph; 000 ; ; < p < 0 : Lösungen; sonst Lösung 0 > p < : Lösungen; sonst Lösung 0 00 < p < 00 : Lösungen; sonst Lösung p > : Lösungen; sonst keine Lösung V ( ) 0 00 m cm ; V m 0 cm h m dm ; m dm cm nch 00 Tgen, 0 Truthähne Abnhme, zb wegen Futtermngel etc Grph D { t R 0 t } ; W { ϑ R ϑ } 0 t m :, ϑm ; t min :, ϑm um : und um :00 V ( ) π π( ) Grph 0 < m cm m m ; V m m 0 e ; e ; A( ) m 0 0 e ; V m 0 e A m e Polnomfunktionen und Hperbeln: Lösungen
64 Lösungen zu Übungen 0 () D R \{0}, W R \{0} (b) ( ; ) ; (; ) (c) Punktsmmetrie zum Ursprung () D R \{0}, W R (b) ( ;) ; (; ) (c) Achsensmmetrie zur -Achse Gemeinsmkeiten: Punkt ( ;) ; D R ; Verhlten für 0 und Unterschiede: Smmetrien; Wertemenge ( W R \{0}, W R ); Verhlten für 0 und Richtig: () u u ; u u u ; 0 u p ; q p ; q ; 0 geht nicht f ( ) f ( ) f ( ) ( ) ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 0 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 0 ; 0 0 ; 0 ; 0 ; ; 0 ; 0 0 ; ; ; 0 ; ; ; ; ; p ; q IV Funktionen: Lösungen
65 ; S( r) π r r 0 0 < r < 0 r min cm ; h r cm R R ( R ) R kω R kommt uf ds Gleiche herus min min Polnomfunktionen und Hperbeln: Lösungen
66 Umkehrfunktionen Lösungen zu Übungen Richtig: (); (); (); () umkehrbr: (); (d) umkehrbr: (c); (e) Funktionsgrphen: (b); (d); (e); (f) dvon umkehrbr: (d); (e) Funktionsgrphen: (); (b); (c); (d); (e) dvon umkehrbr: (); (c); (e) Umkehrfunktion Umkehrfunktion 0 keine Umkehrfunktion Umkehrfunktion keine Umkehrfunktion keine Umkehrfunktion Umkehrfunktion keine Umkehrfunktion Umkehrfunktion Umkehrfunktion keine Umkehrfunktion Umkehrfunktion 0 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Grph; f : D [ ;], W [ ;] g : D [ ;], W [ ;] 0 Grph; f : D [ ; ], W [0; ] ; g : eistiert nicht für D [ ; ], Grph einer Reltion! f g( ) g( ) g( ) g( ) mit g( ) mit g( ) mit 0 g( ) ; D g R \{ } g( ) ; D g R \ {0} 0 g( ) ; D g R \ {0} g( ) ; D g R \{} g( ) ; D g R \ {0} ( ) g ; 0 R D g IV Funktionen: Lösungen
67 ( ) g ; R 0 D g g( ) 0 g( ) ; D g R ; D { R } g( ) ; D g R \{ } g( ) ; D g R \{ } g( ) ; D g g R \ umkehrbr in R 0 ; Grph mit g( ) 0 umkehrbr in R ; Grph mit g( ) 0 umkehrbr in R ; Grph mit g( ) 0 D [ 0; [ ; W [ ; [ ; g( ) 0 D ] ; ] ; W [; [ ; g( ) D [0; [ ; W [ ; [ ; λ ; µ 0 oder λ ; µ R µ ; λ λ µ mit µ R g( ) Lösungen zu Übungen Grph Grph 0 Grph Grph; lle Grphen gehen durch die Punkte ( 0;0) und ( ;) Je grösser der Wurzeleponent, desto flcher verläuft die Kurve für Grph; lle Grphen gehen durch die Punkte ( 0;0), ( ;) und ( ; ) Je grösser der Wurzeleponent, desto flcher verläuft die Kurve für Spiegelung n der -Achse Streckung in -Richtung mit Fktor Trnsltion(Verschiebung) um Einheiten nch links Nullstelle ; Grph Trnsltion um Einheiten nch rechts und Einheiten nch unten Nullstelle ; Grph Trnsltion um Einheiten nch links und Einheiten nch oben Nullstelle keine; Grph Streckung in -Richtung mit Fktor Spiegelung n der -Achse Streckung in -Richtung mit Fktor Trnsltion um Einheiten nch rechts Nullstelle ; Grph Spiegelung n der -Achse Streckung in -Richtung mit Fktor Trnsltion um Einheiten nch rechts und Einheiten nch oben Nullstelle ; Grph Umkehrfunktionen: Lösungen
68 Streckung in -Richtung mit Fktor Streckung in -Richtung mit Fktor Trnsltion um Einheiten nch rechts Nullstelle ; Grph Spiegelung n der -Achse Streckung in -Richtung mit Fktor Streckung in -Richtung mit Fktor Trnsltion um Einheiten nch rechts und Einheiten nch unten Nullstelle ; Grph 0 Streckung in -Richtung mit Fktor Spiegelung n der -Achse Trnsltion um Einheit nch rechts und Einheiten nch oben Nullstelle ; Grph rot: f ( ) ; violett: f ( ) blu: f ( ) ; grün: f ( ) Grph; D [; [ ; W R Grph; D [ ; [ ; W [ ; [ 0 Grph; D [ ; [ ; W [ ; [ Grph; D [ ; [ ; W ] ; ] Grph; D [ ; [ ; W R 0 Grph; D ; ; W ] ; ] Grph; D ; ; W ] ;] Grph; D [ ; [ ; W [; [ 0 ; n ; ; n ; ( ) f ( ) f Grph; Grph; Grph; { } Grph; ; n ; f ( ) ; n ; 0 f Grph; ; Grph; ; 0 Grph; Grph; ; 0 Grph; ; 0 Grph; Grph; > Grph; 0 ( ) IV Funktionen: Lösungen
69 Grph; ] 0; 0[ Grph; u ; v R ; 00 w ] ; ] 0 M ( r) π r r ; Grph V 0 r cm 0 r ( h) mit V 0 ; Grph πh 0 s m 0 t 0 s 0 m ; Grph 0 wegen π ; Grph m 0 0 s ; 00 s ; s 0 l( T ) T : 0 mm ; mm ; cm ; 0 cm ; m π 0 Mond: s ; Mrs: 0 s ; Jupiter: s ; Sturn: s Richtig: (d) m/s ; m/s ; m/s ; m/s ; m/s d h min 0 < 00 m : v( ) ; Grph α m 0 rd oder αm Umkehrfunktionen: Lösungen
70 0 Eponentil- und Logrithmusfunktionen Lösungen zu Übungen Richtig: (); (); () ( ) R \{}; () Eponentilfunktion Eponentilfunktion Eponentilfunktion Eponentilfunktion 0 Eponentilfunktion ; () ; () > Grph; gemeinsmer Punkt: ( 0; ) ; Asmptote -Achse ( ); D R, W R Grph; gemeinsmer Punkt: ( 0; ) ; die beiden Kurven sind smmetrisch zur -Achse; Asmptote -Achse; D R, W R Grph; gemeinsmer Punkt: ( 0; ) ; die beiden Kurven sind smmetrisch zur -Achse;; Asmptote -Achse; D R, W R Grph; gemeinsmer Punkt: ( 0; ) ; Asmptote -Achse ( ); D R, W R Grph; Spiegelung n der -Achse; Spiegelung n der -Achse; Spiegelung m Ursprung Grph; Spiegelung n der -Achse; Spiegelung n der -Achse; Spiegelung m Ursprung Grph () ; ; 0 (b) ; ; (c) ; ; qudrieren (d) : ; : ; Wurzel ziehen 0 g( ) 0 0 g( ) 00 g ( ) g( ) 0 0 g( ) g ( ) g ( ) ( ) ( ) 0 g ( ) π 0 e 0 IV Funktionen: Lösungen
71 0 f ( ) ; f ( ) ; f ( ) 0 ; f ( ) 0 ; f ( ) 0 f ( ) ( e ) ; f ( ) e ; f ( ) e ; ( ) e f ( e ) Grph 00 Grph 0 Grph Grph Lösungen zu Übungen f f ( ( ) ) 0 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 0 f ( ) f ( ) 0 f ( ) g( ) : Streckung in -Richtung mit Fktor f ( ) h( ) : Streckung in -Richtung mit Fktor f ( ) k( ) : Spiegelung n der -Achse und Streckung in -Richtung mit Fktor f ( ) g( ) : Trnsltion (Verschiebung) um Einheit nch rechts f ( ) h( ) : Trnsltion um Einheiten nch links f ( ) k( ) : Streckung in -Richtung mit Fktor f ( ) g( ) : Trnsltion um Einheiten nch unten f ( ) h( ) : Streckung in -Richtung mit Fktor f ( ) k( ) : Spiegelung m Ursprung und Streckung in -Richtung mit Fktor Trnsltion um Einheiten nch unten Streckung in -Richtung mit Fktor Trnsltion um Einheiten nch rechts Spiegelung n der -Achse Spiegelung n der -Achse (oder Spiegelung m Ursprung) Trnsltion um Einheit nch links und um Einheiten nch oben Spiegelung n der -Achse Streckung in -Richtung mit Fktor Trnsltion um Einheiten nch links und um eine Einheit nch unten Eponentil- und Logrithmusfunktionen
72 f ( ) 0 f ( ) f ( ) ( ) f f ( ( ) ) f( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ln lnln ( ) e e ( ) ( ) 0 π 00 f ( ) h ( ) f ( ) g ( ) g ( ) h( ) f ( ) g ( ) Grph Grph Grph 0 Grph Grph Grph f ( ) ; g ( ) ; f g ; h( ) f h ; ; k ; k ; k ; k 00 grün: ; rot: ; blu: ; violett: 0 Grph; 0 ; 0 Grph; Grph; 0 Grph; Grph; D R ; W R ; keine Etremlstellen 0 Grph; D R ; W R ; Minimum: 0; 0 Grph; D R ; W { R > 0 } ; Minimum: ( 0 0; 0 ) 0 Grph; D R ; W R ; Mimum: ; 0 e e 0 Grph; D R ; W { R 0 < < 0 } ; Minimum: ( 0 ; 0 ) ; Mimum: ( 0 ; 0 ) 0 Grph; D R ; W R ; keine Etremlstellen IV Funktionen: Lösungen
73 Lösungen zu Übungen 00 B ; 00 B; 00 B ; 0 B ; 0 B t G( t) 00 nch h min s 0 0 B ; B ; 000 B ; 000 B; 0 B G( t) 000 nch h 0 min s t 0 ; ; ; ; ; Körner G( n) n G() 0 Körner 0 Grph Feld 0 Körner 0 t 0 H ; 0 H ; 0 H ; 0 H ; 0 H n t n G( t) 0 ; G( n) 0, t Anzhl Monte, n Anzhl Jhre nch Monten; Jhren; Jhren; Jhren; ; n log 0 n ln0 ln Jhren CHF 000 ; CHF 00 ; CHF 0 ; CHF 0 ; CHF ; ; p K( n) K K CHF Grph 0 in Jhren in Jhren n mm ; 0 mm ; mm ; 0 mm ; mm Grph p t h( t) h h ( ) 0 mm nch min s t n CHF ; CHF 0000 ; CHF 000 ; CHF 00 ; 0 0 Grph p B( n) B B CHF0 0 0 nch Jhren nch 0 Jhren n n CHF ; ; n n Eponentil- und Logrithmusfunktionen
74 0 00 % ; 00 % ; 0 % ; % ; ; 00 0 p L( ) 00 0 Grph 00 L ( 0) % H m 0 τ I( ) I 0 0 mit in km 0 ln 0 I( ) 0 e 00 % H km ; δ km t m( t) 0 0 mit t in Tgen; d t m( t) 0 00 mit t in Minuten; min t 000 m( t) 0 mit t in Jhren; 00 TH τ Jhre ln T H T H T H 0 g TH 0 Jhre τ Jhre ln 0 0 Jhre 0 Jhre t ϑ( t) 0 e ; min s τ 0 s lle s t t (): 0 00 U ( t ) e ; (): U ( t ) e ; (): U t ) (): t 0 ms ; (): t 0 ms ; (): t ms t (): U ( t) e ; (): U ( t) e ; (): U ( t) e (): t 0 ms ; (): t ms ; (): t 0 ms t e t ( 0 00 t min T ( t) 0 e Grph C nch min s T ( t) 0 e Grph C nch min s m 0 nch Jhren % t t U-: T 00 0 ; Abnhme: 0 % ; t 0 Cs-: H T H 0 ; Abnhme: % ; t 00 P-: T H d ; λ 00 d ; t % d I-: T d ; λ Rn-0: H λ 00 s 00 d % ; Abnhme: % d % ; Abnhme: % s ; t s % IV Funktionen: Lösungen
75 0 0 T A( t) 0 0 e H t 0 t t t 0 d; 0 d 0 A 0 Atome pro Grmm t liner: B 0 ; %; B 0 eponentiell: B 0 0 ; %; B Normlwert: 00 g % K( n) 0 n K(0) CHF0 nch Jhren n K0 K0 0, mit 0 CHF 0 CHF 0 00 % 0 nch Jhren K kürzen: n 0 0 CHF 0 ; CHF 0 0 ; % ; Jhre 0 00 Jhre; Jhre; log Jhre 0 0 0% % 0 p ( ) 00 0 p % ; n n 0 CHF ; CHF 0 0 die Zhlung vom 00 die Zhlung vom 00 CHF 0 nch 0 Jhren CHF 0 und CHF 0 % ; % CHF 0 CHF 0 CHF 0 ; CHF 0 0 nch Jhren ( Jhren) Jhre % 0 % ; CHF nch Jhren % nch 0 () Jhren, lso im Jhr 0 0 % 0 % 0 %; 00 % 0 Nch Jhren, lso 0 Prognose 00: 0 Mio 0 % ; 0 0 % ; 0 00 % ; % ; 0 % ; 0 % ; % ; 00 % p Jhre; Jhre 0 Jhre; Jhre in Jhren in Jhren nch Jhren; 0 Eponentil- und Logrithmusfunktionen
76 Lösungen zu Übungen Richtig: (); (); () Grph 0 Grph Grph Grph Grph; gemeinsmer Punkt, Nullstelle: ( ; 0) ; monoton steigend; D R, W R ; Asmptote 0 Grph; gemeinsmer Punkt, Nullstelle: ( ; 0) ; D R, W R ; Asmptote 0; Die beiden Kurven sind smmetrisch zur -Achse Grph; gemeinsmer Punkt, Nullstelle: ( ; 0) ; D R, W R ; Asmptote 0; die beiden Kurven sind smmetrisch zur -Achse Grph; gemeinsmer Punkt, Nullstelle: ( ; 0) ; monoton fllend; D R, W R ; Asmptote 0 g( ) log g( ) log log g( ) log 0 g( ) log g( ) log () g( ) lg g( ) ln ln g( ) log g( ) lg g( ) ln () ln g( ) 0 g( ) e g( ) 0 g( ) g( ) 0 g( ) e log lg lg lg lg lg lg lg lg lg g ( ) log ( ) ; Grph lg g( ) log ; Grph 0 g( ) ; Grph P ( 0; 0) ; P (; ) P ( ; ) ; P (; ) Grph; 0 ; Grph; ; 0 Grph; ; ; Grph; 0 ; 0 ; 0 k 0 b ; b 0 f ( ) ln f ( ) ln( ) f ( ) ln IV Funktionen: Lösungen
77 f ( ) ln( ) f ( ) ln( ) f ( ) ln f ( ) ln( ) f ( ) ln( ) f ( ) ln( ) f ( ) ln( ) 0 0 f ( ) ln f ( ) ln( ) Trnsltion (Verschiebung) um Einheit nch oben Nullstelle: ; Grph e Trnsltion um Einheit nch links Nullstelle: 0 ; Grph Trnsltion um Einheiten nch unten Nullstelle: e ; Grph Trnsltion um Einheiten nch rechts Nullstelle: ; Grph Spiegelung n der -Achse Nullstelle: ; Grph Streckung in -Richtung mit Fktor Nullstellen:, ; Grph Spiegelung n der -Achse Streckung in -Richtung mit Fktor Nullstellen:, ; Grph Streckung in -Richtung mit Fktor Trnsltion um Einheiten nch links Nullstelle: ; Grph 00 Spiegelung n der -Achse Trnsltion um Einheiten nch rechts Nullstelle: ; Grph 0 Spiegelung n der -Achse Streckung in -Richtung mit Fktor Trnsltion um Einheit nch rechts Nullstelle: 0 ; Grph 0 Streckung in -Richtung mit Fktor Nullstelle: ; Grph 0 Streckung in -Richtung mit Fktor Trnsltion um Einheiten nch rechts Nullstelle: ; Grph 0 Trnsltion um Einheiten nch unten Nullstelle: 00; Grph 0 Trnsltion um Einheiten nch rechts Nullstelle: ; Grph 0 Trnsltion um Einheit nch oben Nullstelle: ; Grph 0 Eponentil- und Logrithmusfunktionen
78 0 Trnsltion um Einheit nch rechts Nullstelle: ; Grph 0 Spiegelung n der -Achse Nullstelle: ; Grph 0 Spiegelung n der -Achse Nullstelle: ; Grph 0 Streckung in -Richtung mit Fktor Nullstelle: ; Grph Streckung in -Richtung mit Fktor Trnsltion um Einheiten nch rechts Nullstelle: ; Grph Spiegelung n der -Achse Trnsltion um Einheiten nch rechts Nullstelle: ; Grph Spiegelung n der -Achse Trnsltion um Einheiten nch links Nullstelle: ; Grph Nullstelle: ; Grph Streckung in -Richtung mit Fktor Nullstelle: ; Grph Streckung in -Richtung mit Fktor Trnsltion um Einheiten nch links Nullstelle: ; Grph g ( ) lg( ) lg lg lg v f ( ) v J, durch eine Streckung in -Richtung um den Fktor v v 0 v lg v lg λ v Horizontle Verschiebung um log k 0 phon ; 0 phon ; 0 phon ; 0n phon k entspricht log k 0 J 0 ; 00 J 0 ; 0000 J 0 ; 0 J 0 ; 0 J 0 ; 0 J 0 n 00 phon ; 0 phon ; 0 0 phon ; 0lg phon n IV Funktionen: Lösungen
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..,.. 00 !!.6 7 " 57 +: #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",.....(. 8.. &' ': " /..,... :, 00. c. " *+ ' * ' * +' * - * «/'» ' - &, $%' * *& 300.65 «, + *'». 3000400- -00 3-00.6, 006 3 4.!"#"$
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ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Griechische und römische Rechtsgeschichte Ενότητα 5: die Spartanische Verfassung Παπακωνσταντίνου Καλλιόπη Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
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ἀξιόω! στερέω! ψεύδομαι! συγγιγνώσκω!
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Griechische und römische Rechtsgeschichte
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Griechische und römische Rechtsgeschichte Ενότητα 7: Gortyna Παπακωνσταντίνου Καλλιόπη Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
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Griechische und römische Rechtsgeschichte
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6. Klein-Gordon-Gleichung und Elektrodynamik
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