(ΠΔΡΙΔΥΟΝΣΑΙ ΜΟΝΟ TA ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΓΔΝΙΚΟΤ ΛΤΚΔΙΟΤ)

Transcript

1 ΔΛΛΗΝΙΚΗ ΓΗΜΟΚΡΑΣΙΑ Να δηαηεξεζεί κέρξη... ΤΠΟΤΡΓΔΙΟ ΠΑΙΓΔΙΑ ΓΙΑ ΒΙΟΤ ΜΑΘΗΗ ΚΑΙ ΘΡΗΚΔΤΜΑΣΩΝ ΔΝΙΑΙΟ ΓΙΟΙΚΗΣΙΚΟ ΣΟΜΔΑ Π/ΘΜΙΑ & Γ/ΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ Γ/ΤΝΗ ΠΟΤΓΩΝ Γ/ΘΜΙΑ ΔΚΠ/Η Βαζκόο Αζθαιείαο... Μαξνύζη Αξηζ. Πξωη /Γ2 Βαζ. Πξνηεξ.... ΣΜΗΜΑ Α Σαρ. Γ/λζε: Αλδξέα Παπαλδξένπ 37 Σ.Κ. Πόιε: Μαξνύζη Ιζηνζειίδα: Πιεξνθνξίεο: Σειέθσλν: ΠΡΟ : Γ/λζεηο θαη Γξαθεία Γ/ζκηαο Δθπ/ζεο Γξαθεία ρνιηθώλ πκβνύιωλ Γεληθά Λύθεηα (κέζω ηωλ Γ/λζεωλ θαη ηωλ Γξαθείωλ Γ.Δ.) ΚΟΙΝ: Πεξηθεξεηαθέο Γ/λζεηο Δθπ/ζεο Παηδαγωγηθό Ιλζηηηνύην ΘΔΜΑ : Καζνξηζκόο θαη δηαρείξηζε δηδαθηέαο ύιεο Θεηηθώλ Μαζεκάηωλ, ηωλ Α Β θαη Γ ηάμεωλ Ηκεξήζηνπ θαη Δζπεξηλνύ Γεληθνύ Λπθείνπ, γηα ην ζρνιηθό έηνο αο απνζηέιινπκε ηηο παξαθάησ νδεγίεο γηα ηε δηδαζθαιία ησλ Θεηηθώλ Μαζεκάησλ ηεο Α, Β ηάμεο Ηκεξήζηνπ θαη Α, Β, Γ ηάμεο Δζπεξηλνύ Γεληθνύ Λπθείνπ. (ΠΔΡΙΔΥΟΝΣΑΙ ΜΟΝΟ TA ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΓΔΝΙΚΟΤ ΛΤΚΔΙΟΤ) Α Σάμε Ηκεξήζηνπ Γεληθνύ Λπθείνπ

2 Άιγεβξα I. Δηζαγωγή Η Άιγεβξα Α Λπθείνπ, αιιά θαη Β Λπθείνπ πεξηέρεη ζεκαληηθέο έλλνηεο, όπσο ηεο απόιπηεο ηηκήο, ηεο ζπλάξηεζεο θαη ηεο αλίζσζεο, ησλ ηξηγσλνκεηξηθώλ ζπλαξηήζεσλ θιπ, νη νπνίεο είλαη απαξαίηεηεο γηα ηελ κεηέπεηηα καζεκαηηθή εμέιημε ησλ καζεηώλ. Δπεηδή νη καζεηέο αληηκεησπίδνπλ ζνβαξά πξνβιήκαηα ζηελ θαηαλόεζε ησλ παξαπάλσ ελλνηώλ, πξνηείλεηαη λα κελ δνζεί βάξνο ζε ζέκαηα πνπ έρνπλ δηδαρζεί ζην Γπκλάζην θαη λα αθηεξσζεί πεξηζζόηεξνο ρξόλνο ζηελ εκπέδσζε ησλ λέσλ ελλνηώλ κέζα από ηελ αλάπηπμε πνιιαπιώλ αλαπαξαζηάζεσλ ηνπο, θαζώο θαη ηε ρξήζε ηνπο ζηελ επίιπζε πξνβιεκάησλ. Γηα ηελ θαιύηεξε δηαρείξηζε ηεο ύιεο ε Σξηγσλνκεηξία ηεο Α Λπθείνπ λα δηδαρζεί ζηελ αξρή ηεο Β Λπθείνπ, ώζηε λα νινθιεξώλεηαη κε κεγαιύηεξε άλεζε ε δηδαζθαιία ηεο ύιεο ηεο Α Λπθείνπ. Η ζπγθεθξηκέλε ύιε δελ ζα απνηειεί εμεηαζηέα ύιε γηα ηε Β Λπθείνπ. II. Γηδαθηέα ύιε Από ην βηβιίν «Άιγεβξα Α Γεληθνύ Λπθείνπ» ησλ. Αλδξεαδάθε, Β. Καηζαξγύξε,. Παπαζηαπξίδε, Γ. Πνιύδνπ θαη Α. βέξθνπ, έθδνζε Ο.Δ.Γ.Β Δηζαγωγηθό θεθάιαην (Γελ απνηειεί εμεηαζηέα ύιε) E.1. E.2. Σν Λεμηιόγην ηεο Λνγηθήο ύλνια Κεθ. 1 ν : Οη Πξαγκαηηθνί Αξηζκνί 1.1. Οη Πξάμεηο θαη νη Ιδηόηεηέο ηνπο (πλνπηηθή παξνπζίαζε) 1.2. Γηάηαμε Πξαγκαηηθώλ Αξηζκώλ (πλνπηηθή παξνπζίαζε) 1.3. Απόιπηε Σηκή Πξαγκαηηθνύ Αξηζκνύ Να κε δηδαρζεί ε Ιρ-ρ 0 Ι<ξ ρ (ρ 0 -ξ, ρ 0 +ξ) ρ 0 -ξ<ρ< ρ 0 +ξ. Να δηδαρζεί ε ΙρΙ < ζ -ζ<ρ<-ζ. 2

3 Να δηδαρζεί κόλν ν νξηζκόο ηεο απόζηαζεο. Γηα θαιύηεξε εκπέδσζε ησλ ηδηνηήησλ ησλ απνιύησλ ε επίιπζε απιώλ εμηζώζεσλ θαη α- ληζώζεσλ (θεθάιαηα 2 θαη 3) Ρίδεο Πξαγκαηηθώλ Αξηζκώλ Κεθ. 2 ν : Δμηζώζεηο 2.1. Δμηζώζεηο 1 νπ Βαζκνύ 2.2. Η Δμίζσζε ν x α 2.3. Δμηζώζεηο 2 νπ Βαζκνύ Κεθ. 3 ν : Αληζώζεηο 3.2 Αληζώζεηο 2 νπ Βαζκνύ 3.3 Αληζώζεηο Γηλόκελν & Αληζώζεηο Πειίθν Κεθ. 4 ν : Βαζηθέο Έλλνηεο ηωλ πλαξηήζεωλ 4.1. Η Έλλνηα ηεο πλάξηεζεο 4.2. Γξαθηθή Παξάζηαζε πλάξηεζεο (Αθαηξνύληαη απόζηαζε ζεκείωλ θαη ζπκκεηξία ωο πξνο ηε δηρνηόκν) 4.3. Η πλάξηεζε f x αx β (Αφαιροφνται κλίση με το λόγο μεταβολής, σχετικζς θζσεις δφο ευθειών) 4.4. Καηαθόξπθε Οξηδόληηα Μεηαηόπηζε Κακπύιεο 4.5. Μνλνηνλία Αθξόηαηα πκκεηξίεο πλάξηεζεο Κεθ. 5 ν : Μειέηε Βαζηθώλ πλαξηήζεωλ 5.1. Μειέηε ηεο πλάξηεζεο : 2 f x αx 5.2. Μειέηε ηεο πλάξηεζεο : f x α x 5.3. Μειέηε ηεο πλάξηεζεο : 2 f x αx βx γ 3

4 Κεθ. 6 ν : Γξακκηθά πζηήκαηα 6.1. Γξακκηθά πζηήκαηα (Αφαιροφνται τα γραμμικά συστήματα 2 2) 6.2. Με Γξακκηθά πζηήκαηα 4 Γηαρείξηζε Γηδαθηέαο ύιεο Δηζαγ. Κεθάιαην Γελ απνηειεί εμεηαζηέα ύιε. Να αθηεξσζνύλ κόλν 2 ώξεο γηα ηελ δηδαζθαιία όπνησλ ζηνηρείσλ θξίλεη απαξαίηεηα ν δηδάζθσλ Κεθάιαην 1 ν (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 12 δηδαθηηθέο ώξεο). Σν θεθάιαην απηό απνηειείηαη θαηά ην κεγαιύηεξν κέξνο ηνπ από επαλάιεςε βαζηθώλ ζηνηρείσλ ηνπ αιγεβξηθνύ ινγηζκνύ πνπ έρνπλ ήδε δηδαρζεί ζην Γπκλάζην. Γηα ην ιόγν απηό, θαη πξνθεηκέλνπ λα κελ θαζπζηεξήζεη ε δηδαζθαιία, ελδείθλπηαη ε δηεμαγσγή κηαο δηαγλσζηηθήο δνθηκαζίαο κε εξσηήζεηο αληηθεηκεληθνύ ηύπνπ, ώζηε ν δηδάζθσλ λα πξνζδηνξίζεη ηηο αλάγθεο ηεο ηάμεο ηνπ θαη λα πξνζαξκόζεη αλάινγα ηε δηδαζθαιία ηνπ. Δηδηθόηεξα: 1.1 (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 4 δηδαθηηθέο ώξεο). Σα πεξηζζόηεξα είλαη δηδαγκέλα ζην γπκλάζην. Να δνζεί πξνηεξαηόηεηα ζε αζθήζεηο πνπ ζπκπιεξώλνπλ ηε ζεσξία θαη εληζρύνπλ ηελ θαηαλόεζε ησλ δηδαζθνκέλσλ ελλνηώλ. Γεληθώο λα δηδάζθνληαη επηιεγκέλεο αζθήζεηο κε ζπγθεθξηκέλν ζηόρν ε θαζεκία, πνπ ζα ηηο επεμεξγάδεηαη κε ελεξγεηηθό ηξόπν νιόθιεξε ε ηάμε (θαη όρη πνιιέο κε έλα επηθαλεηαθό ηξόπν). πγθεθξηκέλα λα δνζεί ηδηαίηεξε πξνζνρή ζηελ ηδηόηεηα: α β=0 α=0 ή β=0 θαη ζηελ α β 0 α 0 θαη β 0. Τπελζύκηζε κόλν ηδηνηήησλ δπλάκεσλ θαη βαζηθώλ ηαπηνηήησλ. Να γίλεη ε απόδεημε ησλ λέωλ ηαπηνηήησλ α 3 ±β 3 = (πνπ έρνπλ κεηαθεξζεί από ην Γπκλάζην), θαη εδώ λα γίλεη αλαθνξά ζηελ επζεία απόδεημε. Πξνηείλεηαη λα γίλνπλ θαηά πξνηεξαηόηεηα νη αζθήζεηο 3,4,5,6,7 Α Οκάδαο θαη ε 1 Β νκάδαο 4

5 1.2 (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 2 δηδαθηηθέο ώξεο). Σα πεξηζζόηεξα είλαη δηδαγκέλα ζην γπκλάζην. Να γίλεη εζηίαζε ζηηο λέεο ηδηόηεηεο πνπ δελ δηδάρζεθαλ ζην Γπκλάζην. Να γίλεη ε απόδεημε ησλ α>β α λ >β λ θαη α=β α λ =β λ (κε α, β ζεηηθά). Δδώ λα γίλεη αλαθνξά ζηελ απαγωγή ζε άηνπν. Πξνηείλεηαη λα γίλνπλ νη αζθήζεηο από ηελ Α νκάδα, κε πξνηεξαηόηεηα ζηηο 5, (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 3 δηδαθηηθέο ώξεο). Να δηδαρζεί ε ηδηόηεηα: ΙρΙ < ζ -ζ<ρ<ζ θαη ΙρΙ > ζ -ρ<ζ ή ρ>ζ θαη όρη ε γεληθόηεξε Ιρρ 0 Ι<ξ ρ (ρ 0 -ξ, ρ 0 +ξ) ρ 0 -ξ<ρ< ρ 0 +ξ. Να δηδαρζεί ν νξηζκόο ηεο απόζηαζεο κόλν. Να δνζεί έκθαζε ζηηο γξαθηθέο αλαπαξαζηάζεηο ζε ζπγθεθξηκέλα κόλν παξαδείγκαηα κε ρξήζε ηεο απόζηαζεο ζε εμηζώζεηο θαη αληζώζεηο. Π ρ ε εμίζσζε Ιρ-2Ι=3 ζεκαίλεη: «πνηνη αξηζκνί απέρνπλ από ην 2 απόζηαζε ίζε κε 3» ή ε αλίζσζε Ιρ-2Ι<3 ζεκαίλεη: «πνηνη είλαη νη αξηζκνί πνπ απέρνπλ από ην 2 απόζηαζε κηθξόηεξε ηνπ 3;» 1. Σα πξνεγνύκελα κπνξνύλ λα ρξεζηκνπνηεζνύλ ζηελ επίιπζε ηεο άζθεζεο 7. Γηα θαιύηεξε θαηαλόεζε θαη εκπέδσζε ησλ ηδηνηήησλ ησλ απνιύησλ πξνηείλεηαη ε ε- πίιπζε εμηζώζεσλ θαη αληζώζεσλ κε απόιπηα από ηα θεθάιαηα 2 θαη 3. Πξνηείλεηαη λα γίλνπλ θαηά πξνηεξαηόηεηα νη αζθήζεηο Α Οκάδαο. 1.4 (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 3 δηδαθηηθέο ώξεο). Οη 3 ηδηόηεηεο-πνξίζκαηα ηνπ ζρνιίνπ ζει κπνξνύλ λα αληηκεησπηζηνύλ από ηνπο ίδηνπο ηνπο καζεηέο ζηελ ηάμε σο αζθήζεηο. Να δηδαρζεί ε δύλακε κε ξεηό εθζέηε πνπ θάλεη πην εύθνιε ηε δηαρείξηζε ησλ αζθήζεσλ. Να δίλεηαη γεληθά έκθαζε ζηελ ελλνηνινγηθή θαηαλόεζε κε ηα παξαδείγκαηα πνπ ν θαζεγεηήο ζεσξεί όηη ζα εμππεξεηήζνπλ απηό ην ζθνπό. ην πιαίζην απηό λα γίλεη επηινγή ησλ θαηάιιεισλ εξσηήζεσλ θαηαλόεζεο από ην δηδάζθνληα δηόηη είλαη πάξα πνιιέο. Γηα θαιύηεξε θαηαλόεζε θαη εκπέδσζε ησλ ηδηνηήησλ πξνηείλεηαη ε επίιπζε αληίζηνηρσλ εμηζώζεσλ από ην θεθάιαην 2. Πξνηείλεηαη λα γίλνπλ θαηά πξνηεξαηόηεηα νη αζθήζεηο ηεο Α νκάδαο θαη ε 5 ηεο Β νκάδαο. Κεθάιαην 2 ν (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 7 δηδαθηηθέο ώξεο). ην θεθάιαην απηό επηιύνληαη βαζηθά εμηζώζεηο πξώηνπ θαη δεπηέξνπ βαζκνύ. Οη εμηζώζεηο απηέο θαη ε επίιπζε ηνπο είλαη ήδε γλσζηέο από ην Γπκλάζην, αιιά εδώ εμεηάδνληαη ζηε γεληθή ηνπο κνξθή. Δπηπιένλ επηιύνληαη εμηζώζεηο πνπ αλάγνληαη ζε εμηζώζεηο πξώηνπ θαη δεπηέξνπ βαζκνύ, όπσο είλαη νη εμηζώζεηο κε απόιπηεο ηηκέο θαη νη δηηεηξάγσλεο εμηζώζεηο, ρσξίο όκσο λα απνηειν- 1 d(x, 2)<3 Ix-2I<3-1<x<5 5

6 ν ύλ μερσξηζηή ελόηεηα. Ωο ηδηαίηεξε πεξίπησζε εμεηάδεηαη ε εμίζσζε x α, ηεο νπνίαο ε ινγηθή θαη ε ηερληθή επίιπζεο δηαθνξνπνηείηαη από ηηο εμηζώζεηο πξώηνπ θαη δεπηέξνπ βαζκνύ. Δηδηθόηεξα: 2.1 (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 3 δηδαθηηθέο ώξεο). Να δνζεί έκθαζε ζηε γεληθή επίιπζε ηεο πξσηνβάζκηαο, ζε πξνβιήκαηα πνπ ιύλνληαη κε πξσηνβάζκηεο θαη ζε απιέο παξακεηξηθέο εμηζώζεηο (ην παξάδεηγκα θαη νη αζθήζεηο ηνπ βηβιίνπ). Πξνηείλεηαη λα γίλνπλ θαηά πξνηεξαηόηεηα νη αζθήζεηο Α νκάδαο θαη ε 4 Β νκάδαο. Η δηαηύπσζε γηα ηελ θαηαλόεζε ηεο παξακεηξηθήο εμίζσζεο κπνξεί λα γίλεη σο εμήο: πρ γηα ηελ 3i: πνηα είλαη ε ιύζε ηεο εμίζωζεο αλ α) ι=1; β) αλ ι=0; γ) αλ ι=2 θιπ, δ) ηη ζπκπέξαζκα βγάδεηε; κπνξείηε λα ην γεληθεύζεηε; Απηό ζα δηεπθνιύλεη ην καζεηή λα θαηαλνήζεη ην ξόιν ηεο παξακέηξνπ θαη ηε δηάθξηζή ηεο από ηνλ άγλσζην. ηελ 10 θαίλεηαη ε δπλαηόηεηα επίιπζεο εμηζώζεσλ κε αλαγσγή ηνπο ζε πξσηνβάζκηεο κε θαηάιιειε παξαγνληνπνίεζε θαη εθαξκνγή ηεο ηδηόηεηαο α β=0 α=0 ή β=0. Απιέο εμηζώζεηο κε απόιπηα πξνηείλεηαη λα δηδαρζνύλ ζηηο απόιπηεο ηηκέο γηα θαιύηεξε θαηαλόεζε θαη εκπέδσζε ησλ ηδηνηήησλ ησλ απνιύησλ. 2.2 (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζεί 1 δηδαθηηθή ώξα). Η επίιπζε εμηζώζεσλ ηεο κνξθήο ν x α ζα πεξηνξηζηεί ζε απιέο εμηζώζεηο Α νκάδαο. 2.3 (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 3 δηδαθηηθέο ώξεο). Η εμίζσζε 2 νπ βαζκνύ έρεη δηδαρζεί ζην Γπκλάζην. πλεπώο λα δνζεί έκθαζε ζε αζθήζεηο πνπ ε- ληζρύνπλ ηε λέα γλώζε θαη ζηηο δηηεηξάγωλε θαη κε απόιπην πνπ αλάγνληαη ζε 2 νπ βαζκνύ (παξάδεηγκα 1 θαη 3). Πξνηείλεηαη λα γίλνπλ θαηά πξνηεξαηόηεηα νη αζθήζεηο 3, 4 (κε δηαθνξεηηθή δηαηύπωζε: πρ γηα ηελ 4: α) λα βξεζεί ε Δηαθξίλνπζα Δ ηεο εμίζωζεο, β) γηα πνηεο ηηκέο ηνπ ρ είλαη Δ=0; γ) γηα πνηεο ηηκέο ηνπ κ ε εμίζωζε έρεη κηα δηπιή ξίδα;), 6, 7, 10,11,12,14,15 ηεο Α νκάδαο θαη νη 7,8,9 ηεο Β νκάδαο. Κεθάιαην 3 ν (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 7 δηδαθηηθέο ώξεο). 6

7 Δηδηθόηεξα: 3.1 αλ εηζαγσγή ζηηο δεπηεξνβάζκηεο αληζώζεηο λα αξρίζεη ην κάζεκα κε ηηο αζθήζεηο 4 θαη 11 (επαλάιεςε ζηηο πξσηνβάζκηεο) θαη κε κηα αθόκε άζθεζε-πξόβιεκα, από όπνπ λα πξνθύπηεη δεπηεξνβάζκηα αλίζσζε, νπόηε ζα θαλεί ε αλεπάξθεηα ηεο κεζόδνπ ησλ πξσηνβάζκησλ θαη ε αλαδήηεζε κηαο λέαο κεζόδνπ γηα ηηο δεπηεξνβάζκηεο. Πξνηείλεηαη ε επίιπζε απιώλ αληζώζεσλ κε απόιπηα ζηηο απόιπηεο ηηκέο γηα θαιύηεξε θαηαλόεζε θαη εκπέδσζε ησλ ηδηνηήησλ ησλ απνιύησλ ηηκώλ. 3.2, 3.3 Πξνηείλεηαη νη αληζώζεηο β βαζκνύ λα ζπλδεζνύλ κε ηε γξαθηθή παξάζηαζε θαη λα ρξεζηκνπνηεζεί ινγηζκηθό. Να δνζεί έκθαζε ζηελ ελλνηνινγηθή θαηαλόεζε θαη όρη ζηελ εμάληιεζε θάζε εηδηθήο (ππν)πεξίπησζεο. Οη αζθήζεηο είλαη πάξα πνιιέο θαη απμάλνπλ ππεξβνιηθά ηελ ήδε ηεξάζηηα ύιε. Πξνηείλεηαη θαηά πξνηεξαηόηεηα λα γίλνπλ νη αζθήζεηο ζει από ηελ Α νκάδα θαη από ηε Β νκάδα νη 4 θαη 7. Από ζει θαηά πξνηεξαηόηεηα νη αζθήζεηο Α νκάδαο θαη κόλν νη 1,5,6 Β νκάδαο. Από ηηο θαηαλόεζεο επεηδή είλαη πνιιέο λα γίλεη επηινγή από ηνλ δηδάζθνληα, θαηά πξνηεξαηόηεηα ε IV. Κεθάιαην 4 ν (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 9 δηδαθηηθέο ώξεο). Ο ηξόπνο παξνπζίαζεο ησλ ελλνηώλ είλαη απζηεξόο θαη ελδέρεηαη λα δεκηνπξγήζεη πξνβιήκαηα θαηαλόεζεο ζηνπο καζεηέο Α Λπθείνπ. πλεπώο ζηε ζει. 107 ζηελ έλλνηα ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ζπλάξηεζεο λα δνζεί έλα ζπγθεθξηκέλν παξάδεηγκα, λα θαηαζθεπαζηεί ν πίλαθαο ηηκώλ, λα ζρεδηαζηεί ε γξαθηθή παξάζηαζε θαη ζηε ζπλέρεηα λα ππάξμεη ζύλδεζε ηνπ παξαδείγκαηνο κε ηνλ νξηζκό ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο. Πξνηείλεηαη ε απνθπγή άζθνπνπ ζπκβνιηζκνύ θαη νη έλλνηεο λα παξνπζηάδνληαη επαγσγηθά κέζα από παξαδείγκαηα. Δηδηθόηεξα: 4.1 ηελ άζθεζε 5 πξνηείλεηαη θαη ην εξώηεκα (iv) f(x)=g(x). 7

8 4.2 Γελ ζα δηδαρζνύλ «απόζηαζε ζεκείωλ θαη ζπκκεηξία ωο πξνο ηε δηρνηόκν» (δηδάζθνληαη ζηε Β θαηεύζπλζε), ε εθαξκνγή ζει. 107 θαη νη αλαθνξέο ζηελ f. Να δηδαρζεί ε εθαξκνγή ζει. 108 γηαηί πεξηέρεη ζεκαληηθά ζηνηρεία όπσο: εξκελεία γξαθηθήο παξάζηαζεο, ζύλδεζε αιγεβξηθώλ θαη γξαθηθώλ κεζόδωλ θαη ζύλδεζε κε εμίζωζε θαη αλίζωζε (κε δηαθνξεηηθή δηαηύπσζε εξσηεκάησλ). Πξνηείλεηαη θαηά πξνηεξαηόηεηα λα γίλνπλ νη αζθήζεηο 8, 9 θαη 10. ηηο αζθήζεηο λα γίλεη ρξήζε ηεο γλώζεο από ην γπκλάζην θαη λα ζρεδηαζηνύλ θαη νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο (πξνηείλεηαη ρξήζε ινγηζκηθνύ) γηα λα γίλεη ζύλδεζε κεηαμύ αλαπαξαζηάζεσλ θαη λα θαλεί ε ζπκπιεξσκαηηθόηεηά ηνπο. 4.3 Γελ ζα δηδαρζνύλ «θιίζε κε ην ιόγν κεηαβνιήο, ζρεηηθέο ζέζεηο δύν επζεηώλ». Να δηδαρζεί ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f(x)=ixi (ζει. 115) θαη ε εθαξκνγή (ζει. 115) γηαηί ζπλδέεη γξαθηθέο κε αιγεβξηθέο κεζόδνπο. Ιδηόηεηεο πνπ ζρεηίδνληαη κε ηηο παξακέηξνπο α θαη β κπνξνύλ λα γίλνπλ κε ρξήζε ινγηζκηθνύ. Να δνζεί έκθαζε ζε πξνβιήκαηα όπνπ αλαδεηθλύεηαη ε αμία θαη ε ρξεζηκόηεηα ησλ καζεκαηηθώλ. Πξνηείλεηαη θαηά πξνηεξαηόηεηα λα γίλνπλ νη αζθήζεηο 5,6,7,8 Α νκάδαο, ζει. 117 θαη έκθαζε ζηηο αζθήζεηο (πξνβιήκαηα) Β νκάδαο, ζει Η θαηαθόξπθε κεηαθνξά f(x)=θ(x)±c είλαη ελδερνκέλσο πην θαηαλνεηή, αιιά ε νξηδόληηα f(x)=θ(x±c) είλαη πνιύ πην δύζθνιε. Η θαηαλόεζε ηεο ζπλαξηεζηαθήο ζρέζεο θ(x-1), όπνπ πξέπεη λα ηεζεί ζην θ(x) ζην x ην x-1, είλαη πνιύ δύζθνιε όπσο θαίλεηαη από ηε βηβιηνγξαθία. Αθόκα θαη ζηνλ ζπκβνιηζκό κε ζπγθεθξηκέλεο ηηκέο π ρ θ(3) νη καζεηέο έρνπλ κεγάιε δπζθνιία. Καηά ζπλέπεηα ν ζπκβνιηζκόο f(x)=θ(x±c)±d ελδέρεηαη λα πξνθαιέζεη κεγάιε δπζθνιία ζηνπο πεξηζζόηεξνπο καζεηέο. Να ρξεζηκνπνηεζεί ε γξαθηθή παξάζηαζε f(x)=ixi θαη κέζα από ηηο κεηαηνπίζεηο ηεο λα πξνθύςνπλ νη άιιεο κνξθέο. Δδώ ε ρξήζε ηεο ηερλνινγίαο κπνξεί λα ππνζηεξίμεη ηε ζύλδεζε αλάκεζα ζηηο γξαθηθέο παξαζηάζεηο θαη ηνπο ηύπνπο θαη λα δηεπθνιύλεη ηνπο καζεηέο ζε κηα γελίθεπζε. Καηά πξνηεξαηόηεηα λα γίλνπλ νη αζθήζεηο 1,2,3,5 (κε ρξήζε θαη ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο). 4.5 Μεηά ηνπο νξηζκνύο κνλνηνλίαο, αθξόηαησλ θαη ζπκκεηξίαο ηα παξαδείγκαηα πνπ δίλνληαη λα ζπκπιεξσζνύλ θαη κε ηηο αληίζηνηρεο γξαθηθέο παξαζηάζεηο (κε ρξήζε ελδερνκέλσο ινγηζκηθνύ) θαη λα γίλεη ζπζρέηηζε. Να κε δηδαρζεί ε άζθεζε 5. Κεθάιαην 5 ν 8

9 (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 7 δηδαθηηθέο ώξεο). 5.1 (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 2 δηδαθηηθέο ώξεο). Πνιιά ζηνηρεία έρνπλ δηδαρζεί ζην γπκλάζην, λα δνζεί έκθαζε ζηα λέα ζηνηρεία. Να γίλεη, αλ είλαη δπλαηόλ θαη ρξήζε ινγηζκηθνύ. Να ιπζνύλ θαηά πξνηεξαηόηεηα ε άζθεζε 4 ηεο Α Οκάδαο θαη ε άζθεζε 3 ηεο Β Οκάδαο. 5.2 (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 2 δηδαθηηθέο ώξεο). Πνιιά ζηνηρεία έρνπλ δηδαρζεί ζην γπκλάζην, λα δνζεί έκθαζε ζηα λέα ζηνηρεία. Να γίλεη, αλ είλαη δπλαηόλ θαη ρξήζε ινγηζκηθνύ. Να ιπζνύλ θαηά πξνηεξαηόηεηα νη αζθήζεηο 4, 5 θαη 6 ηεο Α Οκάδαο. 5.3 (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 3 δηδαθηηθέο ώξεο). Πνιιά ζηνηρεία έρνπλ δηδαρζεί ζην γπκλάζην, λα δνζεί έκθαζε ζηα λέα ζηνηρεία. Να γίλεη, αλ είλαη δπλαηόλ θαη ρξήζε ινγηζκηθνύ. Να ιπζνύλ θαηά πξνηεξαηόηεηα νη αζθήζεηο 3, θαη 4 ηεο Α Οκάδαο, ηα πξνβιήκαηα ηεο Β Οκάδαο θαη ε εξώηεζε θαηαλόεζεο IV. Δηδηθόηεξα: Κεθάιαην 6 ν (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 4 δηδαθηηθέο ώξεο). 6.1 Γηδάζθνληαη κόλν ηα ζπζηήκαηα 3 3 θαη νη αληίζηνηρεο αζθήζεηο. 6.2 Να δνζεί έκθαζε ζηε γξαθηθή επίιπζε θαη λα ππνζηεξηρζεί κε ινγηζκηθό. Να δεηείηαη πξώηα γξαθηθά κηα εθηίκεζε ηεο ιύζεο θαη κεηά λα ππνινγίδεηαη θαη αιγεβξηθά. Να κε δηδαρζνύλ νη αζθήζεηο 4, 5 Β νκάδαο. 9

10 Γεωκεηξία I. Δηζαγωγή Με απηό ηνλ δηδαθηηθό πξνζαλαηνιηζκό θαη ζην πιαίζην ησλ δπλαηνηήησλ πνπ δίλνληαη από ην ππάξρνλ αλαιπηηθό πξόγξακκα θαη ην ζρνιηθό βηβιίν, εμαηξέζεθαλ από ηε δηδαθηέα ύιε ελόηεηεο πνπ πεξηέρνπλ έλλνηεο γλσζηέο από ην Γπκλάζην (θεθάιαηα 2 ν θαη 13 ν θαη 6.4 θαη 6.7), θαζώο θαη ηκήκαηα πνπ δελ ρξεζηκνπνηνύληαη ζηηο επόκελεο παξαγξάθνπο, ώζηε λα αλαδεηρζεί ε ζεκαζία ηνπο ( 6.5 θαη 6.6 θαη εθαξκνγή ηεο 4.5). Οη ώξεο πνπ πξνθύπηνπλ από απηή ηε κείσζε ηεο ύιεο λα δηαηεζνύλ γηα ηε βαζύηεξε θαηαλόεζε ηεο απνδεηθηηθήο δηαδηθαζίαο θαη ηεο δνκήο ηεο ζεσξεηηθήο γεσκεηξίαο. ηε ζπλέρεηα ηεο δηδαθηέαο ύιεο δηαηππώλνληαη πξνηάζεηο κε βάζε ηα θεθάιαηα θαη ηηο παξαγξάθνπο ηνπ βηβιίνπ πνπ αθνξνύλ ηε δηδαθηηθή δηαρείξηζε ηεο ύιεο, ζηελ θαηαλνκή ησλ σξώλ δηδαζθαιίαο θαη ηα ζεκεία ζηα νπνία ζεσξείηαη ζεκαληηθό λα δνζεί έκθαζε. Δπίζεο, πξνηείλεηαη κία επηινγή ελδεηθηηθώλ αζθήζεσλ γηα ηελ εκπέδσζε ησλ βαζηθώλ ζηνηρείσλ ηεο θάζε παξαγξάθνπ. Οη πξνηάζεηο έρνπλ σο αθεηεξία ηελ άπνςε όηη θεληξηθόο ζηόρνο ηεο δηδαζθαιίαο ηεο Δπθιείδεηαο Γεσκεηξίαο πξέπεη λα είλαη ε επαθή ησλ καζεηώλ κε ηε δνκή κηαο καζεκαηηθήο ζεσξίαο θαη ηελ απνδεηθηηθή δηαδηθαζία, πνπ απνηεινύλ ηε βάζε γηα ηελ αλάπηπμε ηεο καζεκαηηθήο ζθέςεο. II. Γηδαθηέα ύιε Από ην βηβιίν «Δπθιείδεηα Γεσκεηξία Α θαη Β Δληαίνπ Λπθείνπ» ησλ Αξγπξόπνπινπ Η., Βιάκνπ Π., Καηζνύιε Γ., Μαξθάθε. θαη ηδέξε Π. Κεθ. 1 ν : Δηζαγωγή ζηελ Δπθιείδεηα Γεωκεηξία 1.1. Σν αληηθείκελν ηεο Δπθιείδεηαο Γεσκεηξίαο 1.2. Ιζηνξηθή αλαδξνκή ζηε γέλεζε θαη αλάπηπμε ηεο Γεσκεηξίαο Κεθ. 3 ν : Σξίγωλα 3.1. Δίδε θαη ζηνηρεία ηξηγώλσλ o Κξηηήξην ηζόηεηαο ηξηγώλσλ (ρσξίο ηελ απόδεημε ηνπ ζεσξήκαηνο) o Κξηηήξην ηζόηεηαο ηξηγώλσλ o Κξηηήξην ηζόηεηαο ηξηγώλσλ 3.5. Όπαξμε θαη κνλαδηθόηεηα θαζέηνπ (ρσξίο ηελ απόδεημε ηνπ ζεσξήκαηνο) 3.6. Κξηηήξηα ηζόηεηαο νξζνγώλησλ ηξηγώλσλ (ρσξίο ηηο απνδείμεηο ησλ ζεσξεκάησλ I θαη II ) 3.7. Κύθινο - Μεζνθάζεηνο Γηρνηόκνο 3.8. Κεληξηθή ζπκκεηξία 10

11 3.9. Αμνληθή ζπκκεηξία ρέζε εμσηεξηθήο θαη απέλαληη γσλίαο (ρσξίο ηελ απόδεημε ηνπ ζεσξήκαηνο) Αληζνηηθέο ζρέζεηο πιεπξώλ θαη γσληώλ Σξηγσληθή αληζόηεηα (ρσξίο ηελ απόδεημε ηνπ ζεσξήκαηνο θαη ηελ εθαξκνγή 4) Κάζεηεο θαη πιάγηεο (ρσξίο ηελ απόδεημε ηνπ ζεσξήκαηνο II ) ρεηηθέο ζέζεηο επζείαο θαη θύθινπ (ρσξίο ηελ απόδεημε ηνπ ζεσξήκαηνο) Δθαπηόκελα ηκήκαηα ρεηηθέο ζέζεηο δύν θύθισλ Απιέο γεσκεηξηθέο θαηαζθεπέο Βαζηθέο θαηαζθεπέο ηξηγώλσλ Κεθ. 4 o : Παξάιιειεο επζείεο 4.1. Δηζαγσγή 4.2. Σέκλνπζα δύν επζεηώλ - Δπθιείδεην αίηεκα (ρσξίο ηελ απόδεημε ηεο πξόηαζεο iv) 4.3. Καηαζθεπή παξάιιειεο επζείαο 4.4. Γσλίεο κε πιεπξέο παξάιιειεο 4.5. Αμηνζεκείσηνη θύθινη ηξηγώλνπ (ρσξίο ηελ εθαξκνγή) 4.6. Άζξνηζκα γσληώλ ηξηγώλνπ 4.7. Γσλίεο κε πιεπξέο θάζεηεο 4.8. Άζξνηζκα γσληώλ θπξηνύ λ-γώλνπ Κεθ. 5 o : Παξαιιειόγξακκα Σξαπέδηα 5.1. Δηζαγσγή 5.2. Παξαιιειόγξακκα 5.3. Οξζνγώλην 5.4. Ρόκβνο 5.5. Σεηξάγσλν 5.6. Δθαξκνγέο ζηα ηξίγσλα 5.7. Βαξύθεληξν ηξηγώλνπ 5.8. Σν νξζόθεληξν ηξηγώλνπ (ρσξίο ηελ απόδεημε ηνπ ζεσξήκαηνο) 11

12 5.9. Μηα ηδηόηεηα ηνπ νξζνγώληνπ ηξηγώλνπ Σξαπέδην Ιζνζθειέο ηξαπέδην Αμηνζεκείσηεο επζείεο θαη θύθινη ηξηγώλνπ Κεθ. 6 o : Δγγεγξακκέλα ζρήκαηα 6.1. Δηζαγσγηθά Οξηζκνί 6.2. ρέζε εγγεγξακκέλεο θαη αληίζηνηρεο επίθεληξεο (ρσξίο ηελ πεξίπησζε ii ζηελ απόδεημε ηνπ ζεσξήκαηνο) 6.3. Γσλία ρνξδήο θαη εθαπηνκέλεο (ρσξίο ηελ εθαξκνγή 1, ζει. 125) Κεθ. 7 o : Αλαινγίεο 7.1. Δηζαγσγή 7.2. Γηαίξεζε επζύγξακκνπ ηµήµαηνο ζε λ ίζα µέξε 7.3. Γηλόκελν επζύγξακκνπ ηµήµαηνο µε αξηζκό Λόγνο επζύγξαµµσλ ηµεµάησλ 7.4. Αλάινγα επζύγξακκα ηµήµαηα Αλαινγίεο 7.5. Μήθνο επζύγξακκνπ ηµήµαηνο 7.6. Γηαίξεζε ηµεµάησλ εζσηεξηθά θαη εμσηεξηθά σο πξνο δνζκέλν ιόγν 7.7. Θεώξεκα ηνπ Θαιή (ρσξίο ηελ απόδεημε ηνπ ζεσξήκαηνο) 7.8. Θεσξήκαηα ησλ δηρνηόκσλ ηξηγώλνπ III. Γηαρείξηζε δηδαθηέαο ύιεο Κεθάιαην 1 ν (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζεί 1δηδαθηηθή ώξα). Πξνηείλεηαη λα γίλεη αλαθνξά ζηηο ειιείςεηο ηεο πξαθηηθήο Γεσκεηξίαο θαη ηελ αλάγθε ηεο ζεσξεηηθήο Γεσκεηξίαο. Γηα παξάδεηγκα κπνξεί λα ζπδεηεζεί ε έιιεηςε αθξίβεηαο ζηα απνηειέζκαηα κέζσ ηεο κέηξεζεο ησλ γσληώλ ελόο ηξηγώλνπ από ηνπο καζεηέο ώζηε λα δηαπηζησζεί όηη θάπνηνη δελ βξίζθνπλ αθξηβώο 180 κνίξεο θαη ε αλάγθε λα απαληεζνύλ κε βεβαηόηεηα εξσηήκαηα όπσο γηαηί από θάζε ζεκείν επζείαο άγεηαη κνλαδηθή θάζεηνο πξνο ηελ επζεία απηή. Να αλαθεξζνύλ νη πξσηαξρηθέο έλλνηεο θαη ηα αμηώκαηα αηηήκαηα. Κεθάιαην 2 ν 12

13 (Παξαιείπεηαη). Σν θεθάιαην απηό παξαιείπεηαη επεηδή απνηειεί επαλάιεςε γλώζεσλ ηνπ Γπκλαζίνπ. Αλ θαηά ηελ θξίζε ηνπ δηδάζθνληνο ην επίπεδν ηεο ηάμεο απαηηεί λα επαλαιεθζνύλ νξηζκέλα ζεκεία απηνύ ηνπ θεθαιαίνπ κπνξεί λα αθηεξώζεη 1-2 ώξεο γηα απηή ηελ επαλάιεςε. Κεθάιαην 3 ν (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 21 δηδαθηηθέο ώξεο) (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 5 δηδαθηηθέο ώξεο). Σν πεξηερόκελν απηώλ ησλ παξαγξάθσλ έρεη αξθεηέο νκνηόηεηεο κε ηελ ύιε ηεο Γ Γπκλαζίνπ. Πξνηείλεηαη λα δηδαρζνύλ όια ηα θξηηήξηα καδί θαη κεηά ηα πνξίζκαηα πνπ πξνθύπηνπλ από απηά. Η απόδεημε ηνπ θξηηεξίνπ 1 κπνξεί λα παξαιεηθζεί γηαηί έρεη δηδαρζεί αθξηβώο ε ίδηα ζηελ Γ Γπκλαζίνπ. Οη απνδείμεηο ησλ θξηηεξίσλ 2 θαη 3 πξνηείλεηαη λα γίλνπλ γηα λα θαηαλνήζνπλ νη καζεηέο ηε δηαθνξά ηεο ζεσξεηηθήο απόδεημεο από ηελ πξαθηηθή απόδεημε απηώλ ησλ θξηηεξίσλ πνπ είδαλ ζηελ Γ Γπκλαζίνπ. Δπίζεο ε απόδεημε ηνπ 2νπ θξηηεξίνπ γίλεηαη κε ηελ εηο άηνπνλ απαγσγή πνπ είλαη βαζηθή απνδεηθηηθή κέζνδνο. ην 1ν θξηηήξην πξνηείλεηαη λα ηνληζηεί ε αλαγθαηόηεηα ηεο π- πόζεζεο λα είλαη νη ίζεο γσλίεο πεξηερόκελεο ζηηο ίζεο πιεπξέο κε ηε ρξήζε θαηάιιεινπ αληηπαξαδείγκαηνο. Σα πνξίζκαηα 1 ζει. 37, 1 ζει. 40 θαη ην 1 ζει. 45 (από επόκελεο παξαγξάθνπο) είλαη ηα ίδηα (ην ύςνο, ε δηάκεζνο θαη ε δηρνηόκνο πνπ άγνληαη από ηελ θνξπθή ελόο ηζνζθεινύο ηξηγώλνπ ζπκπίπηνπλ). Γηα απηό κπνξεί λα γίλνπλ σο έλα πόξηζκα. Σν πόξηζκα 2 ζει. 37 νη καζεηέο ζα ην ζπλαληήζνπλ ζηελ παξάγξαθν 4.6 πόξηζκα 4 ζε πιήξε κνξθή θαη άξα κπνξεί λα κελ αλαθεξζεί. Σν πόξηζκα 3 ζει. 37 λα ζπλδπαζηεί κε ην πόξηζκα 2 ζει. 40, ην νπνίν είλαη ν αληίζηξνθνο ηζρπξηζκόο, θαη λα δηαηππσζεί κε εληαίν ηξόπν ώζηε λα αλαδεηρζεί ε δηαδηθαζία απόδεημεο ηζνδπλακηώλ ζηε Γεσκεηξία. Οκνίσο γηα ηα πνξίζκαηα 4 ζει. 37 θαη 3 θαη 4 ζει. 41. Γηα ηηο αζθήζεηο πξνηείλεηαη λα δνζεί πξνηεξαηόηεηα ζηελ 3 ζει. 38, ζηελ εξώηεζε θαηαλόεζεο 1 ζει. 43, ζηηο αζθήζεηο εκπέδσζεο 2 θαη 3 ζει. 43 (ζηελ 3 κπνξεί λα ζρνιηαζηεί όηη ην ηεηξάπιεπξν είλαη παξαιιειόγξακκν θεθ. 5) θαη ζηηο απνδεηθηηθέο αζθήζεηο 1 θαη 3 ζει. 43 (ζηελ 3 κπνξεί λα αλαθεξζεί ην ζρόιην, ζει.38) (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 5 δηδαθηηθέο ώξεο). Να κε δηδαρζεί ην πόξηζκα 1 ηεο ζειίδαο 45 ην νπνίν ζα δηδαρζεί ζηελ παξάγξαθν 3.4, όπσο α- λαθέξεηαη παξαπάλσ θαη ηα ζύλζεηα ζέκαηα ηεο ζειίδαο 48. Να δνζεί βάξνο ζηηο απνδεηθηηθέο αζθήζεηο (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζεί 1 δηδαθηηθή ώξα). Η έλλνηα ηνπ γεσκεηξηθνύ ηόπνπ είλαη βαζηθή γηα ηε ζεσξεηηθή Γεσκεηξία, αιιά θαη γηα άιινπο θιάδνπο ησλ καζεκαηηθώλ (γηα παξάδεηγκα ζηα Μαζεκαηηθά θαηεύζπλζεο Β θαη Γ Λπθείνπ). Μαδί κε ηνπο βαζηθνύο γεσκεηξηθνύο ηόπνπο ηεο παξαγξάθνπ, λα δηδαρζεί παξάδεηγκα ηεο 3.7 θαη λα ζπδεηεζεί ζηελ ηάμε ην ζρόιην ηεο ζειίδαο 50, πνπ πξνεηνηκάδεη ηνπο καζεηέο γηα ηηο γεσκεηξηθέο θαηαζθεπέο θαη δείρλεη ην ζθεπηηθό εύξεζεο ελόο γεσκεηξηθνύ ηόπνπ, θαζώο θαη ε εξώηεζε θαηαλόεζεο 1 ηεο ζειίδαο 50. Οη παξάγξαθνη 3.8 θαη 3.9 πνπ αλαθέξνληαη ζηε ζπκκεηξία, είλαη ζέκα πνπ νη καζεηέο έρνπλ αληηκεησπίζεη δηεμνδηθά ζην Γπκλάζην. Δπίζεο ην ζπκκεηξηθό ελόο ζεκείνπ σο πξνο επζεία πνπ ρξεηάδεηαη ζηε Β Λπθείνπ έρεη γίλεη ζηελ παξάγξαθν 2.14 (εξώηεζε θαηαλόεζεο 1, ζει. 20). Αξθεί κηα ζύληνκε ππελζύκηζε ησλ βαζηθώλ ζεκείσλ ηεο ζεσξίαο θαη αλ ππάξμεη ρξόλνο επίιπζε ηεο άζθεζεο 5 πνπ ζπλδέεηαη κε ηνπο γεσκεηξηθνύο ηόπνπο (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 3 δηδαθηηθέο ώξεο). Οη αληζνηηθέο ζρέζεηο είλαη έλα θεθάιαην πνπ νη καζεηέο δελ έρνπλ ζπλαληήζεη ππό απηή ηε κνξθή ζην Γπκλάζην. Σν ζεώξεκα ηεο 3.10 (κε απόδεημε εθηόο ύιεο) ρξεηάδεηαη γηα ηελ απόδεημε ηνπ ζεσξήκαηνο ηεο 4.2 πνπ εμαζθαιίδεη ηελ ύπαξμε παξαιιήισλ επζεηώλ. Με ηελ απόδεημε ηνπ ζεσξήκαηνο ηεο 3.11, αθελόο νη καζεηέο έξρνληαη ζε επαθή κε ηε κνλαδηθή εληόο ύιεο απόδεημε ζηηο αληζνηηθέο ζρέζεηο θαη αθεηέξνπ κέζα από ην αληίζηξνθν, ην πόξηζκα 2 ηεο 3.11 θαη ην πόξηζκα 1 ηεο ζειίδαο 37 πνπ έρνπλ δηδαρζεί, ζπγθεληξώλνληαη νη ηδηόηεηεο ηνπ ηζνζθεινύο ηξηγώλνπ. ε απηό ην πλεύκα, πξνηείλεηαη λα γίλνπλ νη εθαξκνγέο ησλ ζειίδσλ 55 θαη 56. Πξνηεηλόκελεο αζθήζεηο: νη ηξείο εξσηήζεηο θαηαλόεζεο θαη, από ηηο αζθήζεηο εκπέδσζεο, νη 2, 8 13

14 θαη (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζεί 1 δηδαθηηθή ώξα). Σν ζεώξεκα Ι λα ζπλδεζεί κε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ηεο κεζνθαζέηνπ (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 4 δηδαθηηθέο ώξεο). Πξνηείλεηαη λα δνζεί σο άζθεζε ην πόξηζκα ηεο Δπίζεο λα γίλεη εηζαγσγή ζηελ έλλνηα ηεο γεσκεηξηθήο θαηαζθεπήο γηα ηελ νπνία κπνξνύλ λα αλαθεξζνύλ θάπνηα ηζηνξηθά ζηνηρεία. Πξνηεηλόκελεο αζθήζεηο: από ηηο εξσηήζεηο θαηαλόεζεο ηεο ζειίδαο 62 ε 2 ε, από ηηο αζθήζεηο εκπέδσζεο ηεο ζειίδαο 63 νη 1 θαη 2, θαη από ηηο αζθήζεηο εκπέδσζεο ησλ ζειίδσλ 65, 66 νη 2 θαη (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 2 δηδαθηηθέο ώξεο). Πξνηείλεηαη λα γίλνπλ: ην πξόβιεκα 2 ζει. 67, 4 ζει.68, εθαξκνγή ζει.68, θαη ηα πξνβιήκαηα 2 (κε ην νπνίν πξνεηνηκάδνληαη γηα ην 5ν αίηεκα πνπ ζα αθνινπζήζεη) θαη 3 (πνπ ζπλδέεηαη θαη κε ηελ ηξηγσληθή αληζόηεηα) ηεο 3.18 ζην πλεύκα ηνπ Αλαιπηηθνύ Πξνγξάκκαηνο όπνπ αλαθέξεηαη: «Θα επηζεκαλζεί ε αμία ηεο θαηαζθεπήο κε θαλόλα θαη δηαβήηε θαη ζα αλαθεξζνύλ ηζηνξηθά ζηνηρεία ζρεηηθά κε ηε κέζνδν απηή». Γε ζα δηδαρζνύλ νη γεληθέο αζθήζεηο ηνπ Κεθαιαίνπ Κεθάιαην 4 ν (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 10 δηδαθηηθέο ώξεο). Με ην θεθάιαην απηό εηζάγεηαη ην 5ν αίηεκα ηνπ Δπθιείδε. Δδώ κπνξεί λα αμηνπνηεζεί δηδαθηηθά ε Ιζηνξία ησλ Μαζεκαηηθώλ κε ηε ρξήζε ηνπ ηζηνξηθνύ ζεκεηώκαηνο ζην ηέινο ηνπ θεθαιαίνπ ζην βηβιίν ηνπ καζεηή θαη ηα ηζηνξηθά ζηνηρεία πνπ παξαηίζεληαη ζηελ αξρή ηνπ βηβιίνπ ηνπ θαζεγεηή (πξνηάζεηο ηζνδύλακεο κε ην 5ν αίηεκα, αλαθνξά ζε θάπνηεο πξνζπάζεηεο απόδεημήο ηνπ, αλαθνξά ζηε δεκηνπξγία κε Δπθιείδεησλ Γεσκεηξηώλ) (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 4 δηδαθηηθέο ώξεο). Σν ηειεπηαίν πόξηζκα ηεο ζει. 78 έρεη γίλεη ζηελ Η 4.4 κπνξεί λα γίλεη σο εθαξκνγή. 4.5 (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 3 δηδαθηηθέο ώξεο). Να κε γίλεη ε εθαξκνγή ηεο 4.5. Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 2 δηδαθηηθέο ώξεο από ηηο 3 πξνηεηλόκελεο, ώζηε λα γίλνπλ νη εξσηήζεηο θαηαλόεζεο θαη όπνηεο από ηηο αζθήζεηο (εκπέδσζεο ή απνδεηθηηθέο) θξίλεη ν δηδάζθσλ. Να κε γίλνπλ ηα ζύλζεηα ζέκαηα, ζει (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 3 δηδαθηηθέο ώξεο). Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 2 δηδαθηηθέο ώξεο από ηηο 3 πξνηεηλόκελεο, ώζηε λα γίλνπλ νη εξσηήζεηο θαηαλόεζεο θαη από ηηο αζθήζεηο εκπέδσζεο νη 3-7. Να κε γίλνπλ ηα ζύλζεηα ζέκαηα 3-7, ζει. 88. Να κε γίλνπλ νη γεληθέο αζθήζεηο ηνπ θεθαιαίνπ. Κεθάιαην 5 ν (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 16 δηδαθηηθέο ώξεο) (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 3 δηδαθηηθέο ώξεο). Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 2 ώξεο γηα ηε ζεσξία θαη 1 επηπιένλ ώξα γηα εθαξκνγέο κε επηινγή από ηηο εξσηήζεηο θαη αζθήζεηο ηνπ βηβιίνπ. Να κε γίλνπλ ηα ζύλζεηα ζέκαηα 1, 4, 5, ζει (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 4 δηδαθηηθέο ώξεο). Να κε γίλνπλ ηα ζύλζεηα ζέκαηα 1, 2, ζει (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 2 δηδαθηηθέο ώξεο). Πξνηείλεηαη λα γίλνπλ θαη νη δύν εθαξκνγέο ηεο ζειίδαο 106 (ε εθαξκνγή 2 ζα ζπλδεζεί ζηε ζπλέρεηα κε ηελ παξάγξαθν 7.2) (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 2 δηδαθηηθέο ώξεο). 14

15 5.9 (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 2 δηδαθηηθέο ώξεο). Πξνηείλεηαη λα δηαηεζεί ε 1 δηδαθηηθή ώξα από ηηο 2 πξνηεηλόκελεο γηα εθαξκνγέο κε επηινγή από ηηο εξσηήζεηο θαη αζθήζεηο ηνπ βηβιίνπ. Να κε γίλνπλ ηα ζύλζεηα ζέκαηα 2, 4, 6, 7, ζει (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 3 δηδαθηηθέο ώξεο). Πξνηείλεηαη λα δηαηεζεί ε 1 δηδαθηηθή ώξα από ηηο 3 πξνηεηλόκελεο γηα εθαξκνγέο κε επηινγή από ηηο εξσηήζεηο θαη αζθήζεηο ηνπ βηβιίνπ. Πξνηείλεηαη λα γίλεη ε εθαξκνγή ηεο ζειίδαο 114, νη δξαζηεξηόηεηεο θαη ε εξγαζία ζην ηέινο ηνπ θεθαιαίνπ. Να κε γίλνπλ ηα ζύλζεηα ζέκαηα 3, 4, 5, ζει Να κε γίλνπλ νη γεληθέο αζθήζεηο ηνπ θεθαιαίνπ. Κεθάιαην 6 ν (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 3 δηδαθηηθέο ώξεο) (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 3 δηδαθηηθέο ώξεο). Πξνηείλεηαη λα δνζεί έκθαζε ζηηο αζθήζεηο εκπέδσζεο 1-5. Να κε γίλνπλ ηα ζύλζεηα ζέκαηα 2, 3, ζει Να κε γίλνπλ νη γεληθέο αζθήζεηο ηνπ θεθαιαίνπ. Κεθάιαην 7 ν (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 10 δηδαθηηθέο ώξεο) (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 5 δηδαθηηθέο ώξεο). ηηο παξαγξάθνπο απηέο γίλεηαη πξώηε θνξά ιόγνο γηα ζύκκεηξα θαη αζύκκεηξα επζύγξακκα ηκήκαηα. Η έλλνηα ηεο αζπκκεηξίαο κπνξεί λα βνεζήζεη ζεκαληηθά ηνπο καζεηέο λα μεθαζαξίζνπλ ηελ έλλνηα ηνπ αξξήηνπ αξηζκνύ. Η αλάπηπμε ηεο ύιεο ζην ζρνιηθό βηβιίν (ζεσξία, παξαηεξήζεηο, ζεκεηώζεηο) είλαη πιήξεο θαη αλ δηδαρζεί πξνζεθηηθά ζα βνεζήζεη ηνπο καζεηέο ζε ζεκαληηθέο πεξηνρέο ηεο Γεσκεηξίαο πνπ αθνινπζεί (Θεώξεκα Θαιή, όκνηα ηξίγσλα) θαη ηεο Άιγεβξαο (ε έλλνηα ηνπ πξαγκαηηθνύ αξηζκνύ). Πξνηείλεηαη λα δνζεί έκθαζε ζηηο εξσηήζεηο θαηαλόεζεο. Δπίζεο, νη ηύπνη ηεο παξαγξάθνπ 7.6 λα κελ απνκλεκνλεπζνύλ. 7.7 (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 4 δηδαθηηθέο ώξεο). Πξνηείλεηαη λα γίλνπλ ηα δύν πξνβιήκαηα ηεο ζειίδαο 154 θαη λα δνζεί έκθαζε ζηηο εξσηήζεηο θαηαλόεζεο 1-3 θαη ζηηο αζθήζεηο εκπέδσζεο 3-7. Να κε γίλνπλ ηα ζύλζεηα ζέκαηα, ζει (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζεί 1 δηδαθηηθή ώξα). Να κε γίλνπλ ηα ζύλζεηα ζέκαηα, ζει Να κε γίλνπλ νη γεληθέο αζθήζεηο ηνπ θεθαιαίνπ. 15

16 Β Σάμε Ηκεξήζηνπ Γεληθνύ Λπθείνπ Μ α ζ ή κ α η α Γ ε λ η θ ή ο Π α η δ ε ί α ο Άιγεβξα Γεληθήο Παηδείαο I. Γηδαθηέα ύιε A) Από ην βηβιίν «Άιγεβξα Α Γεληθνύ Λπθείνπ» ησλ. Αλδξεαδάθε, Β. Καηζαξγύξε,. Παπαζηαπξίδε, Γ. Πνιύδνπ θαη Α. βέξθνπ, έθδνζε Ο.Δ.Γ.Β Κεθ. 7 ν : Σξηγωλνκεηξία (Γελ απνηειεί εμεηαζηέα ύιε) 7.1. Σξηγσλνκεηξηθνί Αξηζκνί Γσλίαο 7.2. Βαζηθέο Σξηγσλνκεηξηθέο Σαπηόηεηεο 7.3. Αλαγσγή ζην 1o Σεηαξηεκόξην B) Από ην βηβιίν «Άιγεβξα Β Γεληθνύ Λπθείνπ» ησλ. Αλδξεαδάθε, Β. Καηζαξγύξε,. Παπαζηαπξίδε, Γ. Πνιύδνπ θαη Α. βέξθνπ, έθδνζε Ο.Δ.Γ.Β Κεθ. 1 ν : Σξηγωλνκεηξία 1.1. Οη ηξηγσλνκεηξηθέο ζπλαξηήζεηο 1.2. Βαζηθέο ηξηγσλνκεηξηθέο εμηζώζεηο Κεθ. 2ν: Πνιπώλπκα - Πνιπωλπµηθέο εμηζώζεηο 2.1. Πνιπώλπκα 2.2. Γηαίξεζε πνιπσλύκσλ 2.3. Πνιπσλπκηθέο εμηζώζεηο 2.4. Δμηζώζεηο πνπ αλάγνληαη ζε πνιπσλπκηθέο. 16

17 Κεθ. 3 ν : Πξόνδνη 3.1. Αθνινπζίεο 3.2. Αξηζκεηηθή πξόνδνο 3.3. Γεσκεηξηθή πξόνδνο 3.4. Αλαηνθηζκόο Ίζεο θαηαζέζεηο Υξενιπζία 3.5. Άζξνηζκα άπεηξσλ όξσλ γεσκεηξηθήο πξνόδνπ Κεθ. 4 ν : Δθζεηηθή θαη Λνγαξηζκηθή ζπλάξηεζε 4.1. Δθζεηηθή ζπλάξηεζε 4.2. Λνγάξηζκνη (ρσξίο ηελ απόδεημε ηεο αιιαγήο βάζεο) 4.3. Λνγαξηζκηθή ζπλάξηεζε (λα δηδαρζνύλ κόλν νη ινγαξηζκηθέο ζπλαξηήζεηο κε βάζε ην 10 θαη ην e.). II. Γηαρείξηζε δηδαθηέαο ύιεο Κεθάιαην 7 ν Άιγεβξαο Α Λπθείνπ (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 6 δηδαθηηθέο ώξεο) 7.1 Να δνζεί έκθαζε ζηελ έλλνηα ηνπ αθηηλίνπ, ζηε ζύλδεζή ηνπ κε ηηο κνίξεο θαη ηελ αλαπαξάζηαζή ηνπ ζηνλ ηξηγσλνκεηξηθό θύθιν. 17

18 7.2 Πξνηείλεηαη λα κε δηδαρζνύλ νη ηαπηόηεηεο 4. Δπίζεο, λα γίλεη επηινγή από ηηο αζθήζεηο 1-6 θαη από ηηο ηεο Α Οκάδαο. 7.3 Πξνηείλεηαη λα κε δνζνύλ πξνο ιύζε νη αζθήζεηο ηεο Β Οκάδαο. Κεθάιαην 1 ν (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 10 δηδαθηηθέο ώξεο) 1.1 Πξνηείλεηαη λα γίλνπλ θαηά πξνηεξαηόηεηα νη αζθήζεηο 1, 3, 4, 5, 6 θαη 7(i, ii) ηεο Α Οκάδαο θαη νη 1, 2 θαη 3 ηεο Β νκάδαο. 1.2 Πξνηείλεηαη λα κε γίλνπλ ε άζθεζε 11(ii) ηεο Α Οκάδαο θαη όιεο νη αζθήζεηο ηεο Β νκάδαο. Κεθάιαην 2 ν (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 13 δηδαθηηθέο ώξεο) 2.1 Πξνηείλεηαη λα γίλνπλ θαηά πξνηεξαηόηεηα αζθήζεηο νη 1 θαη 2 (i, ii, iii) ηεο Α Οκάδαο θαη νη 2 θαη 3 ηεο Β Οκάδαο. 2.2 Πξνηείλεηαη λα γίλνπλ θαηά πξνηεξαηόηεηα νη αζθήζεηο 1 (i, iv), 2, 3 θαη 10 ηεο Α Οκάδαο θαη λα κε γίλνπλ νη αζθήζεηο ηεο Β Οκάδαο. 2.3 Α) Να κε δνζεί έκθαζε ζηελ ηππηθή δηαηύπσζε ηνπ ζεσξήκαηνο (ζει. 77), αιιά ζηε γεσκεηξηθή εξκελεία ηνπ, ζην παξάδεηγκα πνπ αθνινπζεί θαη ζηελ άζθεζε 8. Β) Δπηπιένλ, πξνηείλεηαη λα γίλνπλ θαηά πξνηεξαηόηεηα νη αζθήζεηο 1, 4, 5, 6 θαη 8 ηεο Α Οκάδαο θαη ηα πξνβιήκαηα ηεο Β Οκάδαο, ηα νπνία νδεγνύλ ζηελ επίιπζε πνιπσλπκηθώλ εμηζώζεσλ. 2.4 Α) Να δνζεί έκθαζε ζην γεγνλόο όηη ε ύςσζε ησλ κειώλ κηαο εμίζσζεο ζην ηεηξάγσλν δελ νδεγεί πάληα ζε ηζνδύλακε εμίζσζε. Απηό κπνξεί λα γίλεη θαη κε ηε βνήζεηα ησλ παξαθάησ γξαθηθώλ παξαζηάζεσλ πνπ αλαθέξνληαη ζην παξάδεηγκα 2, ζει

19 Β) Δπηπιένλ, πξνηείλεηαη λα κε γίλνπλ νη αζθήζεηο 3 θαη 4 ηεο Β Οκάδαο. Κεθάιαην 3 ν (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 11 δηδαθηηθέο ώξεο ) 3.1 Πξνηείλεηαη λα κε γίλνπλ νη αζθήζεηο ηεο Β Οκάδαο. 3.2 Πξνηείλεηαη λα γίλνπλ θαηά πξνηεξαηόηεηα νη αζθήζεηο 1(i, ii, iii), 2(ii), 3(i, ii), 4(i), 5(i), 8(iii, iv), 9(i), 11(i), θαη 12 ηεο Α Οκάδαο θαη νη 4, 5, 11, 12, 14, θαη 16 ηεο Β Οκάδαο 3.3 Πξνηείλεηαη λα γίλνπλ θαηά πξνηεξαηόηεηα νη αζθήζεηο 1(i, ii), 2(ii), 3(i), 4(i), 5(ii), 6, 9(i, ii), 10(i, ii), 11(i), 12 θαη 13 ηεο Α Οκάδαο θαη νη 13 θαη 14 ηεο Β Οκάδαο

20 Α) Πξνηείλεηαη νη ηύπνη λα δίλνληαη ζηνπο καζεηέο γηα ηελ επίιπζε αζθήζεσλ, ώζηε λα κελ απνηειέζνπλ αληηθείκελν απνκλεκόλεπζεο. Πξνηείλεηαη, επίζεο, λα ρξεζηκνπνηνύληαη ππνινγηζηέο ηζέπεο. Β) Δπηπιένλ, πξνηείλεηαη λα κε γίλνπλ νη αζθήζεηο Β Οκάδαο. 3.5 Πξνηείλεηαη λα γίλνπλ θαηά πξνηεξαηόηεηα νη αζθήζεηο ηεο Α Οκάδαο θαη κόλν ε 3 ηεο Β Οκάδαο Κεθάιαην 4 ν (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 12 δηδαθηηθέο ώξεο) 4.1 Πξνηείλεηαη λα δνζεί έκθαζε ζηα πξνβιήκαηα ηεο Β Οκάδαο, κε πξνηεξαηόηεηα ζηα 6, 7 θαη Πξνηείλεηαη λα γίλνπλ θαηά πξνηεξαηόηεηα νη αζθήζεηο ηεο Α Οκάδαο κε έκθαζε ζηα πξνβιήκαηα θαη νη 2, 3, 5 ηεο Β Οκάδαο. Πξνηείλεηαη λα κε γίλνπλ νη αζθήζεηο 6, 7 θαη 8 ηεο Β Οκάδαο. 4.3 Α) Πξνηείλεηαη λα δηδαρζνύλ κόλν νη ζπλαξηήζεηο f ( x) log x θαη f ( x) ln x. Β) Δπηπιένλ, πξνηείλεηαη λα γίλνπλ θαηά πξνηεξαηόηεηα νη αζθήζεηο 2, 5, 6, 7 θαη 8 ηεο Α Οκάδαο θαη νη 1(i, iii), 3, 5, 7 θαη 8 ηεο Β Οκάδαο. Αζθήζεηο Γ Οκάδαο: Να κε δηδάζθνληαη αζθήζεηο Γ νκάδαο. 20

21 Γεωκεηξία Γεληθήο Παηδείαο I. Γηδαθηέα ύιε Από ην βηβιίν «Δπθιείδεηα Γεσκεηξία Α θαη Β Δληαίνπ Λπθείνπ» ησλ. Αξγπξόπνπινπ Η, Βιάκνπ Π., Καηζνύιε Γ., Μαξθάθε. θαη ηδέξε Π. Κεθ. 8 ν : Οκνηόηεηα (Γελ απνηειεί εμεηαζηέα ύιε) 8.1. κνηα επζύγξακκα ζρήκαηα 8.2. Κξηηήξηα νκνηόηεηαο (ρσξίο ηηο απνδείμεηο ησλ ζεσξεκάησλ ΙΙ θαη ΙΙΙ θαη ηηο εθαξκνγέο 1 θαη 2) Κεθ. 9 ν : Μεηξηθέο ζρέζεηο 9.1. Οξζέο πξνβνιέο 9.2. Σν Ππζαγόξεην ζεώξεκα 9.3. Γεσκεηξηθέο θαηαζθεπέο 9.4. Γελίθεπζε ηνπ Ππζαγόξεηνπ ζεσξήκαηνο (ρσξίο ηελ απόδεημε ηνπ ζεσξήκαηνο ΙΙ ) 9.5. Θεσξήκαηα Γηακέζσλ 9.7. Σέκλνπζεο θύθινπ Κεθ. 10 ν : Δκβαδά Πνιπγσληθά ρσξία Δκβαδόλ επζύγξακκνπ ζρήκαηνο - Ιζνδύλακα επζύγξαµµα ζρήκαηα Δκβαδόλ βαζηθώλ επζύγξακκσλ ζρεκάησλ Άιινη ηύπνη γηα ην εκβαδόλ ηξηγώλνπ (ρσξίο ηελ απόδεημε ηνπ ηύπνπ ΙΙΙ) Λόγνο εκβαδώλ όκνησλ ηξηγώλσλ πνιπγώλσλ Μεηαζρεκαηηζκόο πνιπγώλνπ ζε ηζνδύλακό ηνπ Κεθ. 11 ν : Μέηξεζε Κύθινπ Οξηζκόο θαλνληθνύ πνιπγώλνπ Ιδηόηεηεο θαη ζηνηρεία θαλνληθώλ πνιπγώλσλ (ρσξίο ηηο απνδείμεηο ησλ ζεσξεκάησλ) 21

22 11.3. Δγγξαθή βαζηθώλ θαλνληθώλ πνιπγώλσλ ζε θύθιν θαη ζηνηρεία ηνπο (ρσξίο ηηο εθαξκνγέο 2,3) Πξνζέγγηζε ηνπ κήθνπο ηνπ θύθινπ µε θαλνληθά πνιύγσλα Μήθνο ηόμνπ Πξνζέγγηζε ηνπ εκβαδνύ θύθινπ µε θαλνληθά πνιύγσλα Δκβαδόλ θπθιηθνύ ηνµέα θαη θπθιηθνύ ηµήµαηνο Σεηξαγσληζκόο θύθινπ Κεθ. 12 ν : Δπζείεο θαη επίπεδα ζην ρώξν (Γηδαθηέα αιιά όρη εμεηαζηέα ύιε) Δηζαγσγή Η έλλνηα ηνπ επηπέδνπ θαη ν θαζνξηζκόο ηνπ ρεηηθέο ζέζεηο επζεηώλ θαη επηπέδσλ Δπζείεο θαη επίπεδα παξάιιεια - Θεώξεκα ηνπ Θαιή Γσλία δύν επζεηώλ - νξζνγώληεο επζείεο (ρσξίο ηηο απνδείμεηο ησλ ζεσξεκάησλ Ι, ΙΙ, θαη ΙΙΙ) Απόζηαζε ζεκείνπ από επίπεδν - απόζηαζε δύν παξάιιεισλ επηπέδσλ (λα δνζνύλ κόλν νη νξηζκνί θαη νη εθαξκνγέο ρσξίο απνδείμεηο) Γίεδξε γσλία αληίζηνηρε επίπεδε κηαο δίεδξεο θάζεηα επίπεδα (ρσξίο ηηο απνδείμεηο ησλ ζεσξεκάησλ ΙΙ θαη ΙΙΙ) Πξνβνιή ζεκείνπ θαη επζείαο ζε επίπεδν - Γσλία επζείαο θαη επηπέδνπ II. Γηαρείξηζε δηδαθηέαο ύιεο Κεθάιαην 8 ν (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 7 δηδαθηηθέο ώξεο) (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 7 δηδαθηηθέο ώξεο). Δπεηδή είλαη ην 1ν θεθάιαην ηεο Β Λπθείνπ ίζσο ρξεηαζζεί, θαηά ηελ θξίζε ηνπ δηδάζθνληνο, λα γίλεη κία γξήγνξε επαλάιεςε ζηηο αλαινγίεο θαη ην Θεώξεκα ηνπ Θαιή πνπ δηδαρζήθαλ ζηελ Α Λπθείνπ. Η εθαξκνγή 4 ηεο παξαγξάθνπ 8.2 ζα ρξεηαζζεί ζηε ζπλέρεηα γηα λα απνδεηρζεί ηύπνο γηα ην εκβαδόλ ηξηγώλνπ. Σν θεθάιαην πξνζθέξεηαη γηα ηε ζπδήηεζε εθαξκνγώλ πνπ ήδε ζίγνληαη ζην ζρνιηθό βηβιίν (κέηξεζε ύςνπο απξόζηησλ ζεκείσλ, ρξήζε εμάληα). Να κε γίλνπλ νη εθαξκνγέο 1 θαη 3 θαη ηα ζύλζεηα ζέκαηα 1, 2 θαη 3, ζει Να κε γίλνπλ θαη νη γεληθέο αζθήζεηο ηνπ θεθαιαίνπ. Κεθάιαην 9 ν (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 10 δηδαθηηθέο ώξεο). 22

23 (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 2 δηδαθηηθέο ώξεο). ηηο παξαγξάθνπο απηέο ε άζθνπε αζθεζηνινγία αιγεβξηθνύ ραξαθηήξα δε ζπλεηζθέξεη ζηελ θαηαλόεζε ηεο Γεσκεηξίαο. Πξνηείλεηαη λα γίλεη ην ζρόιην ηεο εθαξκνγήο σο ζύλδεζε κε ηελ επόκελε παξάγξαθν. Να κε γίλνπλ ηα ζύλζεηα ζέκαηα 4, 6, ζει (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 2 δηδαθηηθέο ώξεο). ηελ παξάγξαθν απηή είλαη ζθόπηκν λα δηαηεζεί ρξόλνο ώζηε λα ζρνιηαζηεί ην ηζηνξηθό ζεκείσκα γηα ηελ αλαθάιπςε ησλ αζύκκεηξσλ κεγεζώλ θαη λα γίλνπλ θαη νη 3 θαηαζθεπέο (ππνηείλνπζα θαη θάζεηε πιεπξά νξζνγσλίνπ ηξηγώλνπ, κέζε αλάινγνο, άξξεηα πνιιαπιάζηα επζύγξακκνπ ηκήκαηνο πνπ δίλνπλ θαη ηνλ ηξόπν θαηαζθεπήο επζπγξάκκσλ ηκεκάησλ κε κήθνο ηεηξαγσληθή ξίδα θπζηθνύ αθνξκή γηα κία ζύληνκε ζπδήηεζε γηα ηε δπλαηόηεηα θαηαζθεπήο ή κε ησλ αξξήησλ) (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 3 δηδαθηηθέο ώξεο). ηελ παξάγξαθν 9.4 πξνηείλεηαη λα κελ αλαισζεί επηπιένλ δηδαθηηθόο ρξόλνο γηα άζθνπε αζθεζηνινγία αιγεβξηθνύ ηύπνπ. Σα ζεσξήκαηα ησλ δηακέζσλ (παξάγξαθνο 9.5) κπνξνύλ λα δηδαρζνύλ σο εθαξκνγέο ησλ ζεσξεκάησλ ηεο νμείαο θαη ακβιείαο γσλίαο (ρσξίο ηηο αζθήζεηο ηνπο), αθνύ θαη ε παξάγξαθνο 9.6 (γεσκεηξηθνί ηόπνη) πνπ ζηεξίδνληαη ζηα ζεσξήκαηα ησλ δηακέζσλ είλαη εθηόο ύιεο. Δπίζεο, εθαξκνγέο ησλ ζεσξεκάησλ ησλ δηακέζσλ ππάξρνπλ ζε αζθήζεηο ησλ επόκελσλ παξαγξάθσλ. Να κε γίλνπλ ηα ζύλζεηα ζέκαηα ηεο ζειίδαο (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 3 δηδαθηηθέο ώξεο). Πξνηείλεηαη λα δνζεί έκθαζε ζηελ 3ε εθαξκνγή θαη ζην ζρόιηό ηεο (θαηαζθεπή ρξπζήο ηνκήο, ν ιόγνο θ). Από ηηο αζθήζεηο κία επηινγή ζα κπνξνύζε λα είλαη ε εμήο: νη εξσηήζεηο θαηαλόεζεο, από ηηο αζθήζεηο εκπέδσζεο νη 1 θαη 4 θαη από ηηο απνδεηθηηθέο νη 1 θαη 3. Σα ζύλζεηα ζέκαηα ζα κπνξνύζαλ λα εμαηξεζνύλ από ηελ ύιε θαζώο θαη νη γεληθέο αζθήζεηο. Η δξαζηεξηόηεηα 2 ζει. 205 ζα κπνξνύζε λα ζπλεηζθέξεη ζηελ θαηαλόεζε ηεο 1-1 αληηζηνηρίαο κεηαμύ ησλ ζεκείσλ ηεο επζείαο θαη ησλ πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ. Να κε γίλνπλ ηα ζύλζεηα ζέκαηα 3, 4, ζει. 204 θαη νη γεληθέο αζθήζεηο ηνπ θεθαιαίνπ. Κεθάιαην 10 ν (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 11 δηδαθηηθέο ώξεο) (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 4 δηδαθηηθέο ώξεο). Οη δηαζέζηκεο ώξεο απμάλνληαη πξνθεηκέλνπ λα γίλνπλ θαη νη 3 εθαξκνγέο (κε ηελ παξαηήξεζε ηεο 2) θαη νη 2 δξαζηεξηόηεηεο ησλ ζει. 215 θαη 217. Δπίζεο ζα κπνξνύζε λα γίλεη ε απόδεημε ηνπ Ππζαγνξείνπ ζεσξήκαηνο κέζσ εκβαδώλ, όπσο παξαηίζεηαη ζηα ζηνηρεία ηνπ Δπθιείδε θαη αλαθέξεηαη ζην ηζηνξηθό ζεκείσκα ηεο ζει Πξνηεηλόκελεο αζθήζεηο: νη εξσηήζεηο θαηαλόεζεο, από ηηο αζθήζεηο εκπέδσζεο νη 3 θαη 6 θαη από ηηο απνδεηθηηθέο αζθήζεηο νη 1, 4, 7 θαη 8. Να κε γίλνπλ ηα ζύλζεηα ζέκαηα 1 θαη 5, ζει (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 2 δηδαθηηθέο ώξεο). Να κε γίλεη ν ηύπνο ηνπ Ήξσλα θαη νη αληίζηνηρεο αζθήζεηο (αιιά λα εμεγεζεί ν ζπκβνιηζκόο ηεο εκηπεξηκέηξνπ). Μία επηινγή αζθήζεσλ ζα κπνξνύζε λα είλαη: νη εξσηήζεηο θαηαλόεζεο 1 θαη 2, από ηηο αζθήζεηο εκπέδσζεο νη 3 θαη,4 θαη από ηηο απνδεηθηηθέο νη 1, 3 θαη 5. Να κε γίλνπλ ηα ζύλζεηα ζέκαηα 1, 2, ζει

24 (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 5 δηδαθηηθέο ώξεο). Η παξάγξαθνο 10.6 πξνηείλεηαη λα δηδαρζεί αθνύ ρξεηάδεηαη ζην πξόβιεκα ηνπ ηεηξαγσληζκνύ ηνπ θύθινπ (παξάγξαθνο 11.8). Να κε γίλνπλ ηα ζύλζεηα ζέκαηα ηεο ζειίδαο 225. Κεθάιαην 11 ν (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 12 δηδαθηηθέο ώξεο) (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 5 δηδαθηηθέο ώξεο). ηελ παξάγξαθν 11.1 κπνξεί λα γίλεη κία ππελζύκηζε ηεο έλλνηαο ηνπ θπξηνύ πνιπγώλνπ θαη ησλ ζηνηρείσλ ηνπ, όπσο αλαθέξεηαη ζηελ παξάγξαθν 2.20 πνπ είλαη εθηόο ηεο ύιεο ηεο Α Λπθείνπ. Πξνηείλεηαη λα γίλεη ε παξαηήξεζε θαη ην ζρόιην ηεο ζει.236 (πνπ ρξεηάδνληαη γηα ηελ επόκελε παξάγξαθν). Μπνξεί επίζεο λα γίλεη κία αλαθνξά ζην ξόιν ησλ θαλνληθώλ πνιπγώλσλ ζηε θύζε, ηελ ηέρλε θαη ηηο επηζηήκεο (βηβιίν θαζεγεηή γηα επέθηαζε ηεο απνδεηθηηθήο άζθεζεο 1 ζει. 237 θαη ζπζρέηηζε κε ηε δηαθόζκεζε κε θαλνληθά πνιύγσλα). Να κε γίλνπλ ηα ζύλζεηα ζέκαηα ηεο ζειίδαο (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 3 δηδαθηηθέο ώξεο). Βάζεη ηνπ ζρνιίνπ θαη ηεο παξαηήξεζεο ηεο ζειίδαο 236 ηεο πξνεγνύκελεο παξαγξάθνπ, νη καζεηέο κπνξνύλ κόλνη ηνπο λα νδεγεζνύλ ζηελ εγγξαθή ησλ βαζηθώλ θαλνληθώλ πνιπγώλσλ ζε θύθιν, όπσο πξνηείλεηαη θαη ζην βηβιίν ηνπ θαζεγεηή. Πξνηείλεηαη λα δνζεί έκθαζε ζηελ εθαξκνγή 1 θαη ζηε ζπλέρεηα λα γίλεη ε δξαζηεξηόηεηα 1 ζει Να κε γίλνπλ νη εθαξκνγέο 2,3 ηεο παξαγξάθνπ 11.3 θαη ηα ζύλζεηα ζέκαηα ηεο ζειίδαο (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 2 δηδαθηηθέο ώξεο). Οη παξάγξαθνη απηνί κπνξνύλ λα πξνεηνηκάζνπλ ηνπο καζεηέο πνπ ζα αθνινπζήζνπλ ηε ζεηηθή θαηεύζπλζε γηα ηελ εηζαγσγή ζηηο άπεηξεο δηαδηθαζίεο κε θπζηνινγηθό ηξόπν. Θα κπνξνύζαλ λα αλαθεξζνύλ θάπνηα επηπιένλ ζηνηρεία γηα ηνλ αξηζκό π, αιιά ζα πξέπεη λα μεθαζαξηζηεί ηη είλαη αιγεβξηθόο θαη ηη ππεξβαηηθόο αξηζκόο (γηα ηελ παξάγξαθν 11.8). Να κε γίλεη ην ζύλζεην ζέκα 2 ηεο ζειίδαο (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 2 δηδαθηηθέο ώξεο). Πξνηείλεηαη λα δνζεί έκθαζε ζηηο εθαξκνγέο (κελίζθνη ηνπ Ιππνθξάηε) θαη ζηε δξαζηεξηόηεηα ζει ηελ παξάγξαθν 11.8 (ην αδύλαην ηνπ ηεηξαγσληζκνύ ηνπ θύθινπ) λα γίλεη αλαθνξά ζηα κε επηιύζηκα πξνβιήκαηα ηεο Γεσκεηξίαο κε ζηνηρεία από ην ηζηνξηθό ζεκείσκα ηεο ζει.254. Να κε γίλεη ην ζύλζεην ζέκα 4 ηεο ζειίδαο

25 Μ α ζ ή κ α η α Κ α η ε π ζ ύ λ ζ ε ω λ Β ΛΤΚΔΙΟΤ Μαζεκαηηθά Θεηηθήο Σερλνινγηθήο Καηεύζπλζεο I. Γηδαθηέα ύιε Από ην βηβιίν «Μαζεκαηηθά Θεηηθήο θαη Σερλνινγηθήο Καηεύζπλζεο Β Σάμεο Γεληθνύ Λπθείνπ» ησλ Αδακόπνπινπ Λ., Βηζθαδνπξάθε Β., Γαβαιά Γ., Πνιύδνπ Γ. θαη βέξθνπ Α., έθδνζε Ο.Δ.Γ.Β Κεθ. 1 ν : Γηαλύζκαηα 1.1. Η Έλλνηα ηνπ Γηαλύζκαηνο 1.2. Πξόζζεζε θαη Αθαίξεζε Γηαλπζκάησλ 1.3. Πνιιαπιαζηαζκόο Αξηζκνύ κε Γηάλπζκα (ρσξίο ηηο Δθαξκνγέο 1 θαη 2 ζηηο ζει ) 1.4. πληεηαγκέλεο ζην Δπίπεδν (ρσξίο ηελ Δθαξκνγή 2 ζηε ζει. 35) 1.5. Δζσηεξηθό Γηλόκελν Γηαλπζκάησλ Κεθ. 2 ν : Η Δπζεία ζην Δπίπεδν 2.1. Δμίζσζε Δπζείαο 2.2. Γεληθή Μνξθή Δμίζσζεο Δπζείαο 2.3. Δκβαδόλ Σξηγώλνπ (ρσξίο ηηο απνδείμεηο ησλ ηύπσλ ηεο απόζηαζεο ζεκείνπ από επζεία, ηνπ εκβαδνύ ηξηγώλνπ θαη ηεο Δθαξκνγήο 1 ζηε ζει. 73) Κεθ. 3 ν : Κωληθέο Σνκέο 3.1. Ο Κύθινο (ρσξίο ηηο παξακεηξηθέο εμηζώζεηο ηνπ θύθινπ) 3.2. Η Παξαβνιή (ρσξίο ηελ απόδεημε ηεο εμίζσζεο ηεο παξαβνιήο, ηελ απόδεημε ηνπ ηύπνπ ηεο εθαπηνκέλεο θαη ηελ Δθαξκνγή 1 ζηε ζει. 96) 3.3. Η Έιιεηςε (ρσξίο ηελ απόδεημε ηεο εμίζσζεο ηεο έιιεηςεο, ηηο παξακεηξηθέο εμηζώζεηο ηεο έιιεηςεο, ηελ Δθαξκνγή ζηε ζει. 107, ηελ Δθαξκνγή 1 ζηε ζει. 109 θαη ηελ Δθαξκνγή 2 ζηε ζει. 110) 3.4. Η Τπεξβνιή (ρσξίο ηελ απόδεημε ηεο εμίζσζεο ηεο ππεξβνιήο θαη ηελ απόδεημε ηνπ ηύπνπ ησλ αζπκπηώησλ) 3.5. Μόλν ε ππνπαξάγξαθνο «ζρεηηθή ζέζε επζείαο θαη θσληθήο» θαη ζύκθσλα κε ηελ πξνηεηλόκελε δηαρείξηζε. 25

26 Κεθ. 4 ν : Θεωξία Αξηζκώλ 4.1. Η Μαζεκαηηθή Δπαγσγή II. Γηαρείξηζε δηδαθηέαο ύιεο Δηδηθόηεξα γηα ηελ 1.5 πξνηείλνληαη ηα εμήο: Κεθάιαην 1 ν (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 26 δηδαθηηθέο ώξεο). 1.5 Α) Μεηά ηε δηδαζθαιία ηεο ππνπαξαγξάθνπ «Πξνβνιή δηαλύζκαηνο ζε δηάλπζκα» λα δνζεί θαη λα ζπδεηεζεί ε εξώηεζε θαηαλόεζεο 13 ηεο ζειίδαο 54, κε ζθνπό λα θαηαλνήζνπλ νη καζεηέο: Σν ξόιν ηεο πξνβνιήο δηαλύζκαηνο ζε δηάλπζκα θαηά ηνλ ππνινγηζκό ηνπ εζσηεξηθνύ γηλνκέλνπ απηώλ. ηη δελ ηζρύεη ε ηδηόηεηα ηεο δηαγξαθήο ζην εζσηεξηθό γηλόκελν. Β) Πξνηείλεηαη λα κε γίλνπλ νη αζθήζεηο 8, 9 θαη 10 ηεο Α Οκάδαο (ζει ), νη αζθήζεηο 1, 3 θαη 10 ηεο Β Οκάδαο (ζει ) θαη νη Γεληθέο Αζθήζεηο (ζει ). Δηδηθόηεξα γηα ηελ 2.3 πξνηείλνληαη ηα εμήο: Κεθάιαην 2 ν (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 15 δηδαθηηθέο ώξεο). 2.3 Α) Πξηλ δνζνύλ νη ηύπνη ηεο απόζηαζεο ζεκείνπ από επζεία θαη ηνπ εκβαδνύ ηξηγώλνπ, πξνηείλεηαη λα δνζνύλ ζηνπο καζεηέο λα επεμεξγαζηνύλ δξαζηεξηόηεηεο, όπσο νη παξαθάησ δύν: 1 ε : Γίλνληαη ε επζεία ε : x y 1 0 θαη ην ζεκείν A 5, 2. Να βξεζνύλ: i) Η εμίζσζε ηεο επζείαο δ πνπ δηέξρεηαη από ην A θαη είλαη θάζεηε ζηελ ε. ii) Οη ζπληεηαγκέλεο ηνπ ζεκείνπ ηνκήο ηεο δ κε ηελ ε. iii) Η απόζηαζε ηνπ A από ηελ ε. 26

27 ηε ζπλέρεηα, λα δεισζεί ζηνπο καζεηέο όηη κε αλάινγν ηξόπν κπνξεί λα απνδεηρζεί ν ηύπνο α- πόζηαζεο ελόο ζεκείνπ από κία επζεία, ν νπνίνο θαη λα δνζεί. 2 ε : Γίλνληαη ηα ζεκεία A 5, 2, B 2, 3 θαη B 3, 4. Να βξεζνύλ: i) Η εμίζσζε ηεο επζείαο ΒΓ. ii) Σν ύςνο ΑΔ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ θαη iii) Σν εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ. ηε ζπλέρεηα, λα δεισζεί ζηνπο καζεηέο όηη κε αλάινγν ηξόπν κπνξεί λα απνδεηρζεί ν ηύπνο ηνπ εκβαδνύ ηξηγώλνπ ηνπ νπνίνπ είλαη γλσζηέο νη ζπληεηαγκέλεο ησλ θνξπθώλ. Β) Πξνηείλεηαη λα κε γίλνπλ ε άζθεζε 7 ηεο Β Οκάδαο (ζει. 76)θαη από ηηο Γεληθέο Αζθήζεηο νη 3, 4, 5, 6 θαη 7 (ζει ). Κεθάιαην 3 ν (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 30 δηδαθηηθέο ώξεο). Δηδηθόηεξα γηα ηηο 3.2, 3.3 θαη 3.5 πξνηείλνπκε: 3.2 Πξηλ δνζεί ν ηύπνο ηεο εμίζσζεο ηεο παξαβνιήο, πξνηείλεηαη λα ιπζεί έλα πξόβιεκα εύξεζεο εμίζσζεο παξαβνιήο ηεο νπνίαο δίλεηαη ε εζηία θαη ε δηεπζεηνύζα. Γηα παξάδεηγκα ηεο παξαβνιήο κε εζηία ην ζεκείν E (1,0) θαη δηεπζεηνύζα ηελ επζεία δ: x 1. Με ηνλ ηξόπν απηό νη καζεηέο έξρνληαη ζε επαθή κε ηε βαζηθή ηδέα ηεο απόδεημεο. Πξνηείλεηαη νη αζθήζεηο 4 8 λα γίλνπλ γηα ζπγθεθξηκέλε ηηκή ηνπ p, π.ρ. γηα p Πξηλ δνζεί ν ηύπνο ηεο εμίζσζεο ηεο έιιεηςεο, πξνηείλεηαη λα ιπζεί έλα πξόβιεκα εύξεζεο εμίζσζεο έιιεηςεο ηεο νπνίαο δίλνληαη νη εζηίεο θαη ην ζηαζεξό άζξνηζκα 2α. Γηα παξάδεηγκα ηεο έιιεηςεο κε εζηίεο ηα ζεκεία Ε (-4,0), Ε(4,0) θαη 2α 10. Πξνηείλεηαη λα κε δνζεί έκθαζε ζε αζθήζεηο πνπ αλαιώλνληαη ζε πνιιέο πξάμεηο, όπσο είλαη, γηα παξάδεηγκα, νη αζθήζεηο 3 θαη 5 ηεο Β Οκάδαο (ζει ) 3.5 Από ηελ παξάγξαθν απηή ζα δηδαρζεί κόλν ε ππνπαξάγξαθνο «ρεηηθή ζέζε επζείαο θαη θσληθήο» θαη γηα θσληθέο ηεο κνξθήο ησλ παξαγξάθσλ Έηζη, νη καζεηέο ζα γλσξίζνπλ ηελ αιγεβξηθή εξκελεία ηνπ γεσκεηξηθνύ νξηζκνύ ηεο εθαπηνκέλεο ησλ θσληθώλ ηνκώλ θαη γεληθόηεξα ηεο ζρεηηθήο ζέζεο επζείαο θαη θσληθήο ηνκήο. Κεθάιαην 4 ν (Πξνηείλεηαη λα δηαηεζνύλ 4 ώξεο). 27

28 4.1 Η Μαζεκαηηθή Δπαγσγή απνηειεί βαζηθή απνδεηθηηθή κέζνδν ηελ νπνία πξέπεη λα γλσξίδνπλ νη καζεηέο πνπ ζηξέθνληαη πξνο ηηο ζεηηθέο ζπνπδέο. 28

29 Α Σάμε Δζπεξηλνύ Γεληθνύ Λπθείνπ Άιγεβξα Γηδαθηέα ύιε Από ην βηβιίν «Άιγεβξα Α Γεληθνύ Λπθείνπ» ησλ. Αλδξεαδάθε, Β. Καηζαξγύξε,. Παπαζηαπξίδε, Γ. Πνιύδνπ θαη Α. βέξθνπ, έθδνζε Ο.Δ.Γ.Β Δηζαγωγηθό θεθάιαην (Γελ απνηειεί εμεηαζηέα ύιε) E.1. E.2. Σν Λεμηιόγην ηεο Λνγηθήο ύλνια Κεθ. 1ν: Οη Πξαγκαηηθνί Αξηζκνί 1.1 Οη Πξάμεηο θαη νη Ιδηόηεηέο ηνπο (πλνπηηθή παξνπζίαζε) 1.2 Γηάηαμε Πξαγκαηηθώλ Αξηζκώλ (πλνπηηθή παξνπζίαζε) 1.3 Απόιπηε Σηκή Πξαγκαηηθνύ Αξηζκνύ Να κε δηδαρζεί ε Ιρ-ρ 0 Ι<ξ ρ (ρ 0 -ξ, ρ 0 +ξ) ρ 0 -ξ<ρ< ρ 0 +ξ. Να δηδαρζεί ε ΙρΙ < ζ -ζ<ρ<-ζ. Να δηδαρζεί κόλν ν νξηζκόο ηεο απόζηαζεο. Γηα θαιύηεξε εκπέδσζε ησλ ηδηνηήησλ ησλ απνιύησλ ε επίιπζε απιώλ εμηζώζεσλ θαη α- ληζώζεσλ (θεθάιαηα 2 θαη 3). 1.4 Ρίδεο Πξαγκαηηθώλ Αξηζκώλ Κεθ. 2ν: Δμηζώζεηο 29

30 2.1 Δμηζώζεηο 1 νπ Βαζκνύ 2.2 Η Δμίζσζε ν x α 2.3 Δμηζώζεηο 2 νπ Βαζκνύ Κεθ. 3ν: Αληζώζεηο 3.1 Αληζώζεηο 2 νπ Βαζκνύ 3.2 Αληζώζεηο Γηλόκελν & Αληζώζεηο Πειίθν Γεωκεηξία Γηδαθηέα ύιε Από ην βηβιίν «Δπθιείδεηα Γεσκεηξία Α θαη Β Δληαίνπ Λπθείνπ» ησλ Αξγπξόπνπινπ Η., Βιάκνπ Π., Καηζνύιε Γ., Μαξθάθε. θαη ηδέξε Π., έθδνζε Ο.Δ.Γ.Β Κεθ. 1ν: Δηζαγωγή ζηελ Δπθιείδεηα Γεωκεηξία 1.1 Σν αληηθείκελν ηεο Δπθιείδεηαο Γεσκεηξίαο 1.2 Ιζηνξηθή αλαδξνκή ζηε γέλεζε θαη αλάπηπμε ηεο Γεσκεηξίαο Κεθ. 3ν: Σξίγωλα 3.1 Δίδε θαη ζηνηρεία ηξηγώλσλ 3.2 1o Κξηηήξην ηζόηεηαο ηξηγώλσλ (ρσξίο ηελ απόδεημε ηνπ ζεσξήκαηνο) 3.3 2o Κξηηήξην ηζόηεηαο ηξηγώλσλ 3.4 3o Κξηηήξην ηζόηεηαο ηξηγώλσλ 30

31 3.5 Όπαξμε θαη κνλαδηθόηεηα θαζέηνπ (ρσξίο ηελ απόδεημε ηνπ ζεσξήκαηνο) 3.6 Κξηηήξηα ηζόηεηαο νξζνγώλησλ ηξηγώλσλ (ρσξίο ηηο απνδείμεηο ησλ ζεσξεκάησλ I θαη II ) 3.7 Κύθινο - Μεζνθάζεηνο Γηρνηόκνο 3.8 Κεληξηθή ζπκκεηξία 3.9 Αμνληθή ζπκκεηξία 3.10 ρέζε εμσηεξηθήο θαη απέλαληη γσλίαο (ρσξίο ηελ απόδεημε ηνπ ζεσξήκαηνο) 3.11 Αληζνηηθέο ζρέζεηο πιεπξώλ θαη γσληώλ 3.12 Σξηγσληθή αληζόηεηα (ρσξίο ηελ απόδεημε ηνπ ζεσξήκαηνο θαη ηελ εθαξκνγή 4) 3.13 Κάζεηεο θαη πιάγηεο (ρσξίο ηελ απόδεημε ηνπ ζεσξήκαηνο II ) 3.14 ρεηηθέο ζέζεηο επζείαο θαη θύθινπ (ρσξίο ηελ απόδεημε ηνπ ζεσξήκαηνο) 3.15 Δθαπηόκελα ηκήκαηα 3.16 ρεηηθέο ζέζεηο δύν θύθισλ 3.17 Απιέο γεσκεηξηθέο θαηαζθεπέο 3.18 Βαζηθέο θαηαζθεπέο ηξηγώλσλ Κεθ. 4o: Παξάιιειεο επζείεο 4.1 Δηζαγσγή 4.2 Σέκλνπζα δύν επζεηώλ - Δπθιείδεην αίηεκα (ρσξίο ηελ απόδεημε ηεο πξόηαζεο iv) 4.3 Καηαζθεπή παξάιιειεο επζείαο 4.4 Γσλίεο κε πιεπξέο παξάιιειεο 4.5 Αμηνζεκείσηνη θύθινη ηξηγώλνπ (ρσξίο ηελ εθαξκνγή) 4.6 Άζξνηζκα γσληώλ ηξηγώλνπ 4.7 Γσλίεο κε πιεπξέο θάζεηεο 4.8 Άζξνηζκα γσληώλ θπξηνύ λ-γώλνπ Η δηδαζθαιία ζα γίλεη ζύκθωλα κε ηηο νδεγίεο θαη ηελ πξνηεηλόκελε δηδαθηηθή δηαρείξηζε γηα ην εκεξήζην Γεληθό Λύθεην ( ) 31

32 Β Σάμε Δζπεξηλνύ Γεληθνύ Λπθείνπ Άιγεβξα Γηδαθηέα ύιε Από ην βηβιίν «Άιγεβξα Α Γεληθνύ Λπθείνπ» ησλ. Αλδξεαδάθε, Β. Καηζαξγύξε,. Παπαζηαπξίδε, Γ. Πνιύδνπ θαη Α. βέξθνπ, έθδνζε Ο.Δ.Γ.Β Κεθ. 4 ν : Βαζηθέο Έλλνηεο ηωλ πλαξηήζεωλ 1.1 Η Έλλνηα ηεο πλάξηεζεο 4.2 Γξαθηθή Παξάζηαζε πλάξηεζεο (Αθαηξνύληαη απόζηαζε ζεκείωλ θαη ζπκκεηξία ωο πξνο ηε δηρνηόκν) 4.3 Η πλάξηεζε f x αx β (Αφαιροφνται κλίση με το λόγο μεταβολής, σχετικζς θζσεις δφο ευθειών) 4.4 Καηαθόξπθε Οξηδόληηα Μεηαηόπηζε Κακπύιεο 4.5 Μνλνηνλία Αθξόηαηα πκκεηξίεο πλάξηεζεο Κεθ. 5 ν : Μειέηε Βαζηθώλ πλαξηήζεωλ 5.1 Μειέηε ηεο πλάξηεζεο : 2 f x αx 5.2 Μειέηε ηεο πλάξηεζεο : f x α x 5.3 Μειέηε ηεο πλάξηεζεο : 2 f x αx βx γ Κεθ. 6 ν : Γξακκηθά πζηήκαηα 6.1 Γξακκηθά πζηήκαηα (αθαηξνύληαη ηα γξακκηθά ζπζηήκαηα 2x2) 6.2 Με Γξακκηθά πζηήκαηα Κεθ. 7 ν : Σξηγωλνκεηξία 32

33 7.1 Σξηγσλνκεηξηθνί Αξηζκνί Γσλίαο 7.2 Βαζηθέο Σξηγσλνκεηξηθέο Σαπηόηεηεο 7.3 Αλαγσγή ζην 1o Σεηαξηεκόξην Γεωκεηξία Γηδαθηέα ύιε Από ην βηβιίν «Δπθιείδεηα Γεσκεηξία Α θαη Β Δληαίνπ Λπθείνπ» ησλ Αξγπξόπνπινπ Η., Βιάκνπ Π., Καηζνύιε Γ., Μαξθάθε. θαη ηδέξε Π., έθδνζε Ο.Δ.Γ.Β Κεθ. 5 o : Παξαιιειόγξακκα Σξαπέδηα 5.1 Δηζαγσγή 5.2 Παξαιιειόγξακκα 5.3 Οξζνγώλην 5.4 Ρόκβνο 5.5 Σεηξάγσλν 5.6 Δθαξκνγέο ζηα ηξίγσλα 5.7 Βαξύθεληξν ηξηγώλνπ 5.8 Σν νξζόθεληξν ηξηγώλνπ (ρσξίο ηελ απόδεημε ηνπ ζεσξήκαηνο) 5.9 Μηα ηδηόηεηα ηνπ νξζνγώληνπ ηξηγώλνπ 5.10 Σξαπέδην 5.11 Ιζνζθειέο ηξαπέδην 5.12 Αμηνζεκείσηεο επζείεο θαη θύθινη ηξηγώλνπ Κεθ. 6 o : Δγγεγξακκέλα ζρήκαηα 6.1 Δηζαγσγηθά Οξηζκνί 6.2 ρέζε εγγεγξακκέλεο θαη αληίζηνηρεο επίθεληξεο (ρσξίο ηελ πεξίπησζε ii ζηελ απόδεημε ηνπ ζεσξήκαηνο) 6.3 Γσλία ρνξδήο θαη εθαπηνκέλεο (ρσξίο ηελ εθαξκνγή 1, ζει. 125) 33

34 Κεθ. 7 o : Αλαινγίεο 7.1 Δηζαγσγή 7.2 Γηαίξεζε επζύγξακκνπ ηµήµαηνο ζε λ ίζα µέξε 7.3 Γηλόκελν επζύγξακκνπ ηµήµαηνο µε αξηζκό Λόγνο επζύγξαµµσλ ηµεµάησλ 7.4 Αλάινγα επζύγξακκα ηµήµαηα Αλαινγίεο 7.5 Μήθνο επζύγξακκνπ ηµήµαηνο 7.6 Γηαίξεζε ηµεµάησλ εζσηεξηθά θαη εμσηεξηθά σο πξνο δνζκέλν ιόγν 7.7 Θεώξεκα ηνπ Θαιή (ρσξίο ηελ απόδεημε ηνπ ζεσξήκαηνο) 7.8 Θεσξήκαηα ησλ δηρνηόκσλ ηξηγώλνπ Η δηδαζθαιία ζα γίλεη ζύκθωλα κε ηηο νδεγίεο θαη ηελ πξνηεηλόκελε δηδαθηηθή δηαρείξηζε γηα ην εκεξήζην Γεληθό Λύθεην ( ). 34

35 Γ Σάμε Δζπεξηλνύ Γεληθνύ Λπθείνπ Μαζήκαηα Γεληθήο Παηδείαο Άιγεβξα Γηδαθηέα ύιε Από ην βηβιίν «Άιγεβξα Β Γεληθνύ Λπθείνπ» ησλ. Αλδξεαδάθε, Β. Καηζαξγύξε,. Παπαζηαπξίδε, Γ. Πνιύδνπ θαη Α. βέξθνπ, έθδνζε Ο.Δ.Γ.Β Κεθ. 1 ν : Σξηγωλνκεηξία 1.1 Οη ηξηγσλνκεηξηθέο ζπλαξηήζεηο 1.2 Βαζηθέο ηξηγσλνκεηξηθέο εμηζώζεηο Κεθ. 2ν: Πνιπώλπκα - Πνιπωλπµηθέο εμηζώζεηο 2.1 Πνιπώλπκα 2.2 Γηαίξεζε πνιπσλύκσλ 2.3 Πνιπσλπκηθέο εμηζώζεηο 2.4 Δμηζώζεηο πνπ αλάγνληαη ζε πνιπσλπκηθέο. Κεθ. 3 ν : Πξόνδνη 3.1 Αθνινπζίεο 3.2 Αξηζκεηηθή πξόνδνο 3.3 Γεσκεηξηθή πξόνδνο 3.4 Αλαηνθηζκόο Ίζεο θαηαζέζεηο Υξενιπζία 3.5 Άζξνηζκα άπεηξσλ όξσλ γεσκεηξηθήο πξνόδνπ Κεθ. 4 ν : Δθζεηηθή θαη Λνγαξηζκηθή ζπλάξηεζε 4.1 Δθζεηηθή ζπλάξηεζε 4.2 Λνγάξηζκνη (ρσξίο ηελ απόδεημε ηεο αιιαγήο βάζεο) 35

36 4.3 Λνγαξηζκηθή ζπλάξηεζε (λα δηδαρζνύλ κόλν νη ινγαξηζκηθέο ζπλαξηήζεηο κε βάζε ην 10 θαη ην e.). Γεωκεηξία Γηδαθηέα ύιε Από ην βηβιίν «Δπθιείδεηα Γεσκεηξία Α θαη Β Δληαίνπ Λπθείνπ» ησλ. Αξγπξόπνπινπ Η, Βιάκνπ Π., Καηζνύιε Γ., Μαξθάθε. θαη ηδέξε Π., έθδνζε Ο.Δ.Γ.Β Κεθ. 8 ν : Οκνηόηεηα 8.1 κνηα επζύγξακκα ζρήκαηα 8.2 Κξηηήξηα νκνηόηεηαο (ρσξίο ηηο απνδείμεηο ησλ ζεσξεκάησλ ΙΙ θαη ΙΙΙ θαη ηηο εθαξκνγέο 1 θαη 2) Κεθ. 9 ν : Μεηξηθέο ζρέζεηο 9.1 Οξζέο πξνβνιέο 9.2 Σν Ππζαγόξεην ζεώξεκα 9.3 Γεσκεηξηθέο θαηαζθεπέο 9.4 Γελίθεπζε ηνπ Ππζαγόξεηνπ ζεσξήκαηνο (ρσξίο ηελ απόδεημε ηνπ ζεσξήκαηνο ΙΙ ) 9.5 Θεσξήκαηα Γηακέζσλ 9.7 Σέκλνπζεο θύθινπ Κεθ. 10 ν : Δκβαδά 10.1 Πνιπγσληθά ρσξία 10.2 Δκβαδόλ επζύγξακκνπ ζρήκαηνο - Ιζνδύλακα επζύγξαµµα ζρήκαηα 10.3 Δκβαδόλ βαζηθώλ επζύγξακκσλ ζρεκάησλ 10.4 Άιινη ηύπνη γηα ην εκβαδόλ ηξηγώλνπ ( ρσξίο ηελ απόδεημε ηνπ ηύπνπ ΙΙΙ) 10.5 Λόγνο εκβαδώλ όκνησλ ηξηγώλσλ πνιπγώλσλ 10.6 Μεηαζρεκαηηζκόο πνιπγώλνπ ζε ηζνδύλακό ηνπ 36