Hľadanie, skúmanie a hodnotenie súvislosti medzi znakmi
|
|
- Ανδρομέδη Αλκιππη Μιχαλολιάκος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Hľadanie, skúmanie a hodnotenie súvislosti medzi znakmi Typy súvislostí javov a vecí: nepodstatné - vonkajšia súvislosť nevyplýva z vnútornej potreby (javy spoločne vznikajú, majú zhodný priebeh, alebo nasledujú za sebou) podstatné - vonkajšia súvislosť vyplýva z vnútornej potreby. príčinná - kauzálna závislosť (daný jav (účinok, dôsledok) je za určitých podmienok vyvolaný iným javom alebo javmi(príčina)) vzájomná závislosť - jav je dôsledkom iného javu a zároveň môže byť aj jeho príčinou. (vek neviest podmieňuje vek ženíchov a naopak) 23 RNDr. Mária Bohdalová, PhD. Štatistické metódy Typy závislostí: pevné (ku vzťahu medzi príčinou a účinkom dochádza za podmienok, ktoré sú pomerne konštantné) obyčajne sa vyskytujú v prírode opakujú sa vždy rovnako charakterizuje ich jedno pozorovanie 24 RNDr. Mária Bohdalová, PhD. Štatistické metódy
2 Typy závislostí: voľné (ku vzťahu medzi príčinou a účinkom dochádza za podmienok, ktoré sa menia) obyčajne sú spojené komplexy príčin a účinkov obyčajne sa vyskytujú v spoločenských javoch je ich možné skúmať len na základe mnohých pozorovaní - je nutné skúmať hromadné javy dôležitý je výber vhodných štatistických znakov, ktoré javy charakterizujú (nevhodným výberom dochádza ku skresleniu) dostatočný rozsah skúmaného štatistického súboru (pri malých súboroch sa môže skôr prejaviť pôsobenie rôznych vedľajších a náhodných činiteľov) 25 RNDr. Mária Bohdalová, PhD. Štatistické metódy Úloha štatistiky pri skúmaní závislostí objaviť a poznať príčinnú závislosť kvantitatívne charakterizovať závislosť javov ak bola vysvetlená ich podstata štatistika skúma súvislosti medzi kvantitatívnymi a kvalitatívnymi štatistickými znakmi javy, pre ktoré budeme skúmať a analyzovať závislosti musia byť definované nad jedným pravdepodobnostným priestorom 26 RNDr. Mária Bohdalová, PhD. Štatistické metódy
3 Pravdepodobnostný priestor Trojicu (Ω, S, P) nazývame pravdepodobnostným priestorom. Ω je priestor elementárnych udalostí ω (množina všetkých možných výsledkov náhodného pokusu), S jeσ-algebra podmnožín priestoru elementárnych udalostí a (prvky z S nazývame náhodné udalosti, javy). Prvkom z S priraďujeme určitú pravdepodobnosť pomocou pravdepodobnostnej miery P. a Nech S je neprázdny systém podmnožín množiny Ω. S sa nazývaσ algebra, ak je uzavretá na doplnky a spočítateľné zjednotenia, t.j. A S A C S, A n S n=1 An S 27 RNDr. Mária Bohdalová, PhD. Štatistické metódy Axiomatická definícia pravdepodobnosti Pravdepodobnosť je zobrazenie P : S R definované na σ-algebre S podmnožín Ω pričom platí: 1. Ω S 2. A S A C = Ω A S 3. A n S, n = 1, 2,..., n=1 S 4. A S : P(A) 0 5. P(Ω) = 1 6. A n S, n = 1, 2,...,aA i A j = 0, i j P ( n=1 ) = n=1 P(A n ) 28 RNDr. Mária Bohdalová, PhD. Štatistické metódy
4 Náhodný vektor Nech je daný pravdepodobnostný priestor (Ω, S, P). Náhodným vektorom (n-rozmernou náhodnou premennou) X = (X 1, X 2,...,X n ) T nazývame zobrazenie n X : Ω R n ; x = (x 1, x 2,...,x n ) T R n : {ω; X i (ω)<x i } S. i=1 Každá zložka X i, i = 1, 2,...,n náhodného vektora X je náhodná premenná. 29 RNDr. Mária Bohdalová, PhD. Štatistické metódy Popis rozdelenia náhodného vektora X = (X 1, X 2,...,X n ) T Pravidlo, ktoré každej hodnote (každému intervalu) hodnôt priraďuje pravdepodobnosť, že náhodné premenné X 1, X 2,...,X n nadobudnú tieto hodnoty (hodnoty z tohto intervalu), nazývame zákonom rozdelenia náhodného vektora. K popisu rozdelenia náhodného vektora používame rôzne formy a rozlišujeme či sa jedná o nespojitú (diskrétnu) alebo spojitú náhodnú premennú. 30 RNDr. Mária Bohdalová, PhD. Štatistické metódy
5 Popis rozdelenia náhodného vektora X = (X 1, X 2,...,X n ) T Náhodný vektor môžeme popísať pomocou združenej pravdepodobnostnej funkcie združenej distribučnej funkcie marginálnych pravdepodobnostných funkcií podmienených pravdepodobnostných funkcií 31 RNDr. Mária Bohdalová, PhD. Štatistické metódy Združená pravdepodobnostná funkcia Združenou pravdepodobnostnou funkciou diskrétneho náhodného vektora X = (X 1, X 2,...,X n ) T nazývame reálnu funkciu P : R n R, definovanú rovnosťou alebo P (x 1, x 2,...,x n ) = P (X 1 = x 1 X 2 = x 2... X n = x n ), ( n ) P (x 1, x 2,...,x n ) = P {ω; X i (ω) = x i }, i=1 kde (x 1, x 2,...,x n ) T R n 32 RNDr. Mária Bohdalová, PhD. Štatistické metódy
6 Združená distribučná funkcia Združenou distribučnou funkciou náhodného vektora X = (X 1, X 2,...,X n ) T nazývame reálnu funkciu F : R n R, definovanú rovnosťou ( n ) F (x 1, x 2,...,x n ) = P {ω; X i (ω)<x i }, i=1 kde (x 1, x 2,...,x n ) T R n 33 RNDr. Mária Bohdalová, PhD. Štatistické metódy Vlastnosti združenej distribučnej funkcie Nech F (x 1, x 2,...,x n ) je distribučná funkcia náhodného vektora X = (X 1, X 2,...,X n ) T. Potom platí 1. i = 1, 2,...,n : lim xi F (x 1, x 2,...,x n ) = 0 2. lim x1,x 2,...,x n F (x 1, x 2,...,x n ) = 1 3. F (x 1, x 2,...,x n ) je neklesajúca funkcia každej svojej premennej 4. F (x 1, x 2,...,x n ) je zľava spojitá funkcia každej svojej premennej 34 RNDr. Mária Bohdalová, PhD. Štatistické metódy
7 Vlastnosti združenej distribučnej funkcie, pokračovanie 5 Pre ľubovoľné reálne x i a ľubovoľné h i 0 (i = 1, 2,...,n) platí (1) h 1 (2) h 2... (n) h n F (x 1, x 2,...,x n ) 0,, kde (i) h i F (x 1, x 2,...,x n ) = F (x 1,...,x i 1, x i + h, x i+1,...,x n ) F (x 1, x 2,...,x n ) Každá funkcia s týmito vlastnosťami je distribučnou funkciou nejakého náhodného vektora. 35 RNDr. Mária Bohdalová, PhD. Štatistické metódy Korelačná tabuľka Združené pravdepodobnosti 2 náhodných premenných môžeme usporiadať do tzv. korelačnej tabuľky. Ak náhodná premenná X 1 má r rôznych hodnôt a náhodná premenná X 2 má s rôznych hodnôt, tak tabuľka obsahuje r s združených pravdepodobností možných kombinácií hodnôt X 1 a X RNDr. Mária Bohdalová, PhD. Štatistické metódy
8 Marginálne pravdepodobnostné funkcie Marginálna pravdepodobnostná funkcia udáva pravdepodobnosť, že náhodná premenná X 1 nadobúda hodnotu x 1 bez ohľadu na hodnotu náhodnej premennej X 2 (riadkové súčty pravdepodobností v korelačnej tabuľke), Marginálna pravdepodobnostná funkcia udáva pravdepodobnosť, že náhodná premenná X 2 nadobúda hodnotu x 2 bez ohľadu na hodnotu náhodnej premennej X 1 (stĺpcové súčty pravdepodobností v korelačnej tabuľke). Pre n rozmerný náhodný vektor budeme uvažovať marginálne rozdelenie ľubovoľných skupín (m(m < n) premenných bez ohľadu na hodnoty zvyšných n m premenných). 37 RNDr. Mária Bohdalová, PhD. Štatistické metódy Podmienená pravdepodobnostná funkcia Podmieneným rozdelením náhodnej premennej X 1 vzhľadom na x 2 rozumieme rozdelenie náhodnej premennej X 1 za podmienky, že náhodná premenná X 2 nadobudla hodnotu x 2. P(X 1 /x 2 ) = P(x 1, x 2 ) P 2 (x 2 ), P 2(x 2 ) 0 Podmieneným rozdelením náhodnej premennej X 2 vzhľadom na x 1 rozumieme rozdelenie náhodnej premennej X 2 za podmienky, že náhodná premenná X 1 nadobudla hodnotu x 1. P(X 2 /x 1 ) = P(x 1, x 2 ) P 1 (x 1 ), P 1(x 1 ) 0 38 RNDr. Mária Bohdalová, PhD. Štatistické metódy
9 Nezávislosť náhodných premenných Pre viacrozmerný vektor (n > 2) rozlišujeme nezávislosť podvojnú (párovú) Náhodné premenné X 1, X 2,...,X n sú podvojne nezávislé, ak sú nezávislé každé dve z týchto náhodných premenných. vzájomnú Náhodné premenné X 1, X 2,...,X n sú vzájomne nezávislé, ak rozdelenie každej náhodnej premennej nezávisí od hodnôt ostatných náhodných premenných. Ak sú náhodné premenné X 1 a X 2 nezávislé, tak sú úmerné riadky a stĺpce P(x, y) korelačnej tabuľky. 39 RNDr. Mária Bohdalová, PhD. Štatistické metódy Vzájomná nezávislosť náhodných premenných Nech náhodný vektor X = (X 1, X 2,...,X n ) T má združenú pravdepodobnostnú funkciu P(x 1, x 2,...,x n ). Nech P i (x i ) je marginálna pravdepodobnostná funkcia premennej X i, i = 1, 2,...,n. Potom X 1, X 2,...,X n sú vzájomne nezávislé práve vtedy, ak platí P(x 1, x 2,...,x n ) = P 1 (x 1 ) P 2 (x 2 )... P n (x n ) (7) pre x = (x 1, x 2,...,x n ) T R n Obdobná definícia platí ak vychádzame zo združenej distribučnej funkcie F(x 1, x 2,...,x n ). 40 RNDr. Mária Bohdalová, PhD. Štatistické metódy
10 Stredná hodnota náhodného vektora O vektore X = (X 1, X 2,...,X n ) T hovoríme, že má prvé momenty, ak existujú stredné hodnoty jeho zložiek E(X 1 ), E(X 2 ),...,E(X n ) a výraz E(X) = (E(X 1 ), E(X 2 ),...,E(X n )) T nazývame jeho strednou hodnotou. 41 RNDr. Mária Bohdalová, PhD. Štatistické metódy Vlastnosti strednej hodnoty: 1. E(c) = c 2. E(c X) = c E(X) 3. E(X 1 + X X n ) = E(X 1 ) + E(X 2 ) E(X n ) 4. E(a 1 X 1 + a 2 X a n X n ) = a 1 E(X 1 ) + a 2 E(X 2 ) a n E(X n ) 5. Ak sú náhodné premenné X 1, X 2,...,X n nezávislé, tak stredná hodnota ich súčinu sa rovná súčinu ich stredných hodnôt E(X 1 X 2... X n ) = E(X 1 ) E(X 2 )... E(X n ) 42 RNDr. Mária Bohdalová, PhD. Štatistické metódy
11 Kovariancia Nech X = (X 1, X 2,...,X n ) T má konečné druhé momenty E(Xi 2 )<, i = 1, 2,...,n. Potom kovarianciou premenných X i, X j pre 1 i, j n budeme nazývať výraz cov(x i, X j ) = E[(X i E(X i ))(X j E(X j ))], resp. cov(x i, X j ) = E(X i X j ) E(X i ) E(X j ) 43 RNDr. Mária Bohdalová, PhD. Štatistické metódy Vlastnosti kovariancie Kovariancia premenných X i, X j pre 1 i, j n má nasledujúce vlastnosti (Kovariancia je skalárny súčin vektorov u.v = u 1 v 1 + u 2 v 2 ): 1. cov(x i, X j ) = cov(x j, X i ), 2. (cov(x i, X j )) 2 D(X i )D(X j ), 3. Ak cov(x i, X j ) = 0 tak hovoríme, že X i a X j sú nekorelované náhodné premenné, 4. cov(x i, X i ) = D(X i ) 5. a R : cov(x, a) = cov(a, X) = 0 6. a, b R : cov(ax 1 + b, X 2 ) = a cov(x 1, X 2 ) 7. cov(x + Y,Z) = cov(x, Z) + cov(y,z) 44 RNDr. Mária Bohdalová, PhD. Štatistické metódy
12 Vlastnosti disperzie (rozptylu): 1. D(c) = 0 2. D(c X) = c 2 D(X) 3. Pre n aspoň podvojne nezávislých náhodných premenných platí: D(X 1 + X X n ) = D(X 1 ) + D(X 2 ) D(X n ) 4. Pre dve korelované náhodné premenné platí: D(X+Y ) = cov(x+y,x+y ) = cov(x, X+Y )+cov(y,x+ Y ) = cov(x, X) + cov(x, Y ) + cov(y,x) + cov(y,y) = cov(x, X) + 2cov(X, Y ) + cov(y,y), resp. D(X + Y ) = D(X) + D(Y ) + 2 cov(x, Y ) 5. Disperzia súčtu skalárnych násobkov korelovaných náhodných premenných X a Y sa rovná 1 : D(aX + by ) = a 2 D(X) + b 2 D(Y ) + 2 a b cov(x, Y ) 1 disperzia je definovaná ako kvadratická funkcia (x + y) 2 = x 2 + y 2 + 2xy 45 RNDr. Mária Bohdalová, PhD. Štatistické metódy Kovariančná matica Σ Nech X = (X 1, X 2,...,X n ) T je náhodný vektor. Nech pre disperzie náhodných premenných X k, k = 1, 2,...,n platí E(X k )<. Kovariančnou maticou náhodného vektora X nazývame symetrickú n n rozmernú maticu Σ, ktorej (i, j) ty prvok je číslo cov (X i, X j ),i, j = 1, 2,...,n: cov(x 1, X 1 ) cov(x 1, X 2 ) cov(x 1, X n ) cov(x 2, X 1 ) cov(x 2, X 2 ) cov(x 2, X n ) Σ = cov(x n, X 1 ) cov(x n, X 2 ) cov(x n, X n ) 46 RNDr. Mária Bohdalová, PhD. Štatistické metódy
13 Vlastnosti kovariančnej matice Σ 1. je symetrická a kladne definitná 2. platí pre ňu Schwarzova nerovnosť: i, j = 1, 2,...,n : (cov(x i, X j )) 2 D(X i )D(X j ) 3. kovariančnú maticu Σ možno vyjadriť v tvare: Σ = E(X E(X))(X E(X)) T resp. Σ = E(X X T ) E(X) E(X) T 47 RNDr. Mária Bohdalová, PhD. Štatistické metódy Vlastnosti kovariančnej matice Σ 1. Nech X = (X 1, X 2,...,X n ) T je náhodný vektor. B je matica typu m n s reálnymi prvkami a A je m-rozmerný nenáhodný vektor. Potom pre Y = A + B X platí E(Y) = A + B E(X), pre E(X i )<, i = 1, 2,...,n. D(Y) = B Σ B T, pre E(Xi 2 )<, i = 1, 2,...,n 48 RNDr. Mária Bohdalová, PhD. Štatistické metódy
14 Korelačný koeficient Nech X, Y sú náhodné premenné, pre ktoré platí E(X 2 )<, E(Y 2 )<, D(X)>0, D(Y )>0. Potom číslo ρ X,Y = cov(x, Y ) D(X) D(Y ) nazývame korelačným koeficientom náhodných premenných X a Y. 49 RNDr. Mária Bohdalová, PhD. Štatistické metódy Vlastnosti korelačného koeficientu Korelačný koeficient je kosínus uhla α, ktorý zvierajú vektory u a v: cosα = u v u v. V geometrii sú vektory LZ ak zvierajú 0 uhol, tj cos0 = 1 alebo 180 uhol, tj cos180 = 1 a sú LNZ ak zvierajú 90, cos90 = 0: 1. ρ X,Y 1 2. ρ X,Y = 1 ak s pravdepodobnosťou 1 platí Y = ax + b, kde a, b R, a 0 3.ρ 2 X,Y nazývame koeficientom determinácie. Vyjadruje silu lineárnej závislosti dvoch náhodných premenných v percentách (po vynásobení 100) 50 RNDr. Mária Bohdalová, PhD. Štatistické metódy
15 Korelačná matica Maticu R, ktorej (i, j)-ty prvok je čísloρ Xi,Y j nazývame korelačnou maticou náhodného vektora X = (X 1, X 2,...,X n ) T ρ X1,X 1 ρ X1,Y 2 ρ X1,Y n ρ X2,X 1 ρ X2,Y 2 ρ X2,Y n R = ρ Xn,X 1 ρ Xn,Y 2 ρ Xn,Y n 51 RNDr. Mária Bohdalová, PhD. Štatistické metódy Vlastnosti korelačnej matice Nech X, Y sú nezávislé náhodné premenné s konečnými strednými hodnotami E(X) a E(Y ). Potom platí E(XY ) = E(X) E(Y ). Nech X, Y sú nezávislé náhodné premenné s konečnými druhými momentmi. Potom platí Σ = 0, kde Σ je kovariančná matica s prvkami cov(x, Y ) náhodných premenných X a Y Dva vektory X a Y sa nazývajú nekorelované, ak sa ich kovariančná matica rovná nule. 52 RNDr. Mária Bohdalová, PhD. Štatistické metódy
Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότεραmnožiny F G = {t1, t2,, tn} T a pre ľubovoľný valec C so základňou B1, B2,, Bn v bodoch t1, t2,, tn, takou, že pre t G - F je Bt = E, platí PF(C) = PG
STOCHASTICKÝ PROCES Definícia stochastického procesu Definícia 1 Nech (Ω, F, P) je pravdepodobnostný priestor a nech T je podmnožina R. Pre každé t T nech X(t, ω) je náhodná premenná definovaná na pravdepodobnostnom
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότεραVektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich
Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότεραZáklady matematickej štatistiky
1. Náhodný výber, výberové momenty a odhad parametrov Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 6. mája 2015 1 Náhodný výber 2 Výberové momenty 3 Odhady parametrov
Διαβάστε περισσότεραSpojité rozdelenia pravdepodobnosti. Pomôcka k predmetu PaŠ. RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 26. marca Domovská stránka. Titulná strana.
Spojité rozdelenia pravdepodobnosti Pomôcka k predmetu PaŠ Strana z 7 RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 6. marca 3 Zoznam obrázkov Rovnomerné rozdelenie Ro (a, b). Definícia.........................................
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραLineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus
1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραZáklady metodológie vedy I. 9. prednáška
Základy metodológie vedy I. 9. prednáška Triedenie dát: Triedny znak - x i Absolútna početnosť n i (súčet všetkých absolútnych početností sa rovná rozsahu súboru n) ni fi = Relatívna početnosť fi n (relatívna
Διαβάστε περισσότεραFunkcie - základné pojmy
Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότερα3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Διαβάστε περισσότερα4. domáca úloha. distribučnú funkciu náhodnej premennej X.
4. domáca úloha 1. (rovnomerné rozdelenie) Električky idú v 20-minútových intervaloch. Cestujúci príde náhodne na zastávku. Určte funkciu hustoty rozdelenia pravdepodobnosti a distribučnú funkciu náhodnej
Διαβάστε περισσότεραReálna funkcia reálnej premennej
(ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od
Διαβάστε περισσότερα1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia... 3
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 3 1.3 Základné označenia................................. 3 2 Množiny a zobrazenia
Διαβάστε περισσότεραHANA LAURINCOVÁ KLASICKÝ VS. NEPARAMETRICKÝ PRÍSTUP Štatistika Poistná matematika
UNIVERZITA KOMENSKÉHO, BRATISLAVA FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY KATEDRA POISTNEJ MATEMATIKY A ŠTATISTIKY PARCIÁLNA A MNOHONÁSOBNÁ KORELÁCIA: KLASICKÝ VS. NEPARAMETRICKÝ PRÍSTUP (Bakalárska práca)
Διαβάστε περισσότεραMetoda hlavních komponent a její aplikace
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mária Dubová Metoda hlavních komponent a její aplikace Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce:
Διαβάστε περισσότερα1 Polynómy a racionálne funkcie Základy Polynómy Cvičenia Racionálne funkcie... 17
Obsah 1 Polynómy a racionálne funkcie 3 11 Základy 3 1 Polynómy 7 11 Cvičenia 13 13 Racionálne funkcie 17 131 Cvičenia 19 Lineárna algebra 3 1 Matice 3 11 Matice - základné vlastnosti 3 1 Cvičenia 6 Sústavy
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότεραChí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky
Chí kvadrát test dobrej zhody Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Test dobrej zhody I. Chceme overiť, či naše dáta pochádzajú z konkrétneho pravdep.
Διαβάστε περισσότεραKompilátory. Cvičenie 6: LLVM. Peter Kostolányi. 21. novembra 2017
Kompilátory Cvičenie 6: LLVM Peter Kostolányi 21. novembra 2017 LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov Pôvodne Low Level Virtual Machine
Διαβάστε περισσότερα4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti
4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Διαβάστε περισσότεραPrednáška Fourierove rady. Matematická analýza pre fyzikov IV. Jozef Kise lák
Prednáška 6 6.1. Fourierove rady Základná myšlienka: Nech x Haφ 1,φ 2,...,φ n,... je ortonormálny systém v H, dá sa tento prvok rozvinút do radu x=c 1 φ 1 + c 2 φ 2 +...,c n φ n +...? Ako nájdeme c i,
Διαβάστε περισσότεραTeória pravdepodobnosti
2. Podmienená pravdepodobnosť Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 23. februára 2015 1 Pojem podmienenej pravdepodobnosti 2 Nezávislosť náhodných udalostí
Διαβάστε περισσότεραMetódy vol nej optimalizácie
Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/28 Motivácia k metódam vol nej optimalizácie APLIKÁCIE p. 2/28 II 1. PRÍKLAD: Lineárna regresia - metóda najmenších štvorcov Na základe dostupných
Διαβάστε περισσότεραRozdiely vo vnútornej štruktúre údajov = tvarové charakteristiky
Veľkosť Varablta Rozdelene 0 00 80 n 60 40 0 0 0 4 6 8 Tredy 0 Rozdely vo vnútornej štruktúre údajov = tvarové charakterstky I CHARAKTERISTIKY PREMELIVOSTI Artmetcký premer Vzťahy pre výpočet artmetckého
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότεραLineárne kódy. Ján Karabáš. Kódovanie ZS 13/14 KM FPV UMB. J. Karabáš (FPV UMB) Lineárne kódy Kodo ZS 13/14 1 / 19
Lineárne kódy Ján Karabáš KM FPV UMB Kódovanie ZS 13/14 J. Karabáš (FPV UMB) Lineárne kódy Kodo ZS 13/14 1 / 19 Algebraické štruktúry Grupy Grupa je algebraická štruktúra G = (G;, 1, e), spolu s binárnou
Διαβάστε περισσότερα3. kapitola. Axiomatická formulácia modálnej logiky Vzťah medzi syntaxou a sémantikou. priesvitka 1
3. kapitola Axiomatická formulácia modálnej logiky Vzťah medzi syntaxou a sémantikou priesvitka 1 Axiomatická výstavba modálnej logiky Cieľom tejto prednášky je ukázať axiomatickú výstavbu rôznych verzií
Διαβάστε περισσότεραVLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b
VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Διαβάστε περισσότεραAnalýza hlavných komponentov
Analýza hlavných komponentov Motivácia Úloha: Navrhnite scenáre zmien výnosovej krivky pre účely stresového testovania v dlhopisovom portfóliu Problém: Výnosová krivka sa skladá z väčšieho počtu bodov,
Διαβάστε περισσότερα2. prednáška. Teória množín I. množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin
2. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Verzia: 27. 9. 2009 Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi
Διαβάστε περισσότεραTECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA 1. Funkcia jednej premennej a jej diferenciálny počet
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA časťa Funkcia jednej premennej a jej diferenciáln počet Dušan Knežo, Miriam Andrejiová, Zuzana Kimáková 200 RECENZOVALI: prof. RNDr. Jozef
Διαβάστε περισσότεραFAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE DIPLOMOVÁ PRÁCA
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE DIPLOMOVÁ PRÁCA Bratislava 211 Maroš Komadel Analýza horných a dolných odhadov na oceňovanie ázijských typov košíkových opcií
Διαβάστε περισσότεραÚvod 2 Predhovor... 2 Sylaby a literatúra... 2 Označenia... 2
Obsah Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Označenia Euklidovské vektorové priestory 3 Skalárny súčin 3 Gram-Schmidtov ortogonalizačný proces 8 Kvadratické formy 6 Definícia a základné vlastnosti 6 Kanonický
Διαβάστε περισσότεραDefinícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.
Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [
Διαβάστε περισσότεραReprezentácia dát. Ing. Martin Mariš, Katedra regionalistiky a rozvoja vidieka, SPU, NITRA
Reprezentácia dát Ing. Martin Mariš, Katedra regionalistiky a rozvoja vidieka, SPU, NITRA slovným opisom grafickým zobrazením Typy grafov a ich použitie Najčastejšie používané typy grafov: čiarový graf
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότεραČíselné charakteristiky náhodných vektorov Regresná priamka
Číselné charakteristiky náhodných vektorov Regresná priamka I. Jednoduchá dvojica dátových súborov a) Nech vektor x predstavuje určité kontrolné body a vektor y hodnoty namerané v týchto bodoch. To znamená,
Διαβάστε περισσότεραNUMERICKÁ MATEMATIKA. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Fakulta elektrotechniky a informatiky
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ NUMERICKÁ MATEMATIKA Fakulta elektrotechniky a informatiky Štefan Berežný Táto publikácia vznikla za finančnej podpory
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE
Διαβάστε περισσότεραSúčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =.
Súčtové vzorce Súčtové vzorce sú goniometrické hodnoty súčtov a rozdielov dvoch uhlov Sem patria aj goniometrické hodnoty dvojnásobného a polovičného uhla a pridám aj súčet a rozdiel goniometrických funkcií
Διαβάστε περισσότεραIntegrovanie racionálnych funkcií
Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie
Διαβάστε περισσότεραMini minimaliz acia an BUˇ Koˇ sice 2011
Mini minimalizácia Ján BUŠA Košice 2011 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Noname, CSc. Doc. RNDr. Emanname, PhD. Prvé vydanie Za odbornú stránku učebného textu zodpovedá autor. Rukopis neprešiel redakčnou ani jazykovou
Διαβάστε περισσότεραPravdepodobnos a ²tatistika (1-INF-435) Poznámky k predná²kam. Radoslav Harman, KAM, FMFI UK
Pravdepodobnos a ²tatistika (1-INF-435) Poznámky k predná²kam Radoslav Harman, KAM, FMFI UK 15. januára 2014 Obsah 1 Úvod 3 2 Axiomatická denícia pravdepodobnosti 3 2.1 Priestor udalostí..................................
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότερα7. Dokážte, že z každej nekonečnej množiny môžeme vydeliť spočítateľnú podmnožinu.
Teória množín To, že medzi množinami A, B existuje bijektívne zobrazenie, budeme symbolicky označovať A B alebo A B. Vtedy hovoríme, že množiny A, B sú ekvivalentné. Hovoríme tiež, že také množiny A, B
Διαβάστε περισσότερα,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,
Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť
Διαβάστε περισσότερα4 Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti
Reálna unkcia reálnej premennej a jej vlastnosti Táto kapitola je venovaná štúdiu reálnej unkcie jednej reálnej premennej. Pojem unkcie patrí medzi základné pojmy v matematike. Je to vlastne matematický
Διαβάστε περισσότεραPevné ložiská. Voľné ložiská
SUPPORTS D EXTREMITES DE PRECISION - SUPPORT UNIT FOR BALLSCREWS LOŽISKA PRE GULIČKOVÉ SKRUTKY A TRAPÉZOVÉ SKRUTKY Výber správnej podpory konca uličkovej skrutky či trapézovej skrutky je dôležité pre správnu
Διαβάστε περισσότεραZákladné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky
Základné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky Opakovanie učiva II. ročníka, Téma 1. A. Príprava na maturity z fyziky, 2008 Outline Molekulová fyzika 1 Molekulová fyzika Predmet Molekulovej fyziky
Διαβάστε περισσότεραALGEBRA. Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov
ALGEBRA Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov Definícia Množinu považujeme za určenú, ak vieme o ľubovoľnom objekte rozhodnúť, či je alebo nie je prvkom množiny. Množinu určujeme
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické substitúcie
Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy matematiky I
Prednáška č. 7 Numerické metódy matematiky I Riešenie sústav lineárnych rovníc ( pokračovanie ) Prednáška č. 7 OBSAH 1. Metóda singulárneho rozkladu (SVD) Úvod SVD štvorcovej matice SVD pre menej rovníc
Διαβάστε περισσότεραŠTATISTIKA. Obsah. Predmet štatistiky Popisná štatistika Štatistické charakteristiky jednorozmerných rozdelení.. 17
ŠTATISTIKA Obsah Predmet štatistiky Meranie a úrovne merania 10 Popisná štatistika 13 Jednorozmerné rozdelenie 14 Štatistické charakteristiky jednorozmerných rozdelení 17 Dvojrozmerné rozdelenie 5 Štatistické
Διαβάστε περισσότεραPREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότερα9. kapitola Boolove funkcie a logické obvody
9. kapitola Boolove funkcie a logické obvody Priesvitka 1 Boolova algebra Elektronické obvody v počítačoch a v podobných zariadeniach sú charakterizované binárnymi vstupmi a výstupmi (rovnajúcimi sa 0
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Ιδιότητες του cov(x, Y) Ιδιότητες των εκτιμητών Παράδειγμα. 1 Συσχέτιση Μεταβλητών. 2 Εκτιμητές και κατάλοιπα
Περιεχόμενα 1 Συσχέτιση Μεταβλητών Ιδιότητες του cov(x, Y 2 Ιδιότητες των εκτιμητών BEΠ (UPatras Γραμμικά Μοντέλα 4η, 5η Διάλεξη, 2018-19 1 / 12 Συσχέτιση Μεταβλητών Ιδιότητες του cov(x, Y Ένα μέτρο της
Διαβάστε περισσότεραKATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita
132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:
Διαβάστε περισσότεραHASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S
PROUKTOVÝ LIST HKL SLIM č. sklad. karty / obj. číslo: HSLIM112V, HSLIM123V, HSLIM136V HSLIM112Z, HSLIM123Z, HSLIM136Z HSLIM112S, HSLIM123S, HSLIM136S fakturačný názov výrobku: HKL SLIMv 1,2kW HKL SLIMv
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I. Doc. RNDr. Michal Šabo, CSc
MATEMATIKA I Doc. RNDr. Michal Šabo, CSc 2 Obsah Predhovor 5 2 VYBRANÉ STATE Z ALGEBRY 2. Úvod................................... 2.2 Reálne n-rozmerné vektory...................... 2.3 Matice..................................
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2013/2014 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/27
Διαβάστε περισσότεραRozsah akreditácie 1/5. Príloha zo dňa k osvedčeniu o akreditácii č. K-003
Rozsah akreditácie 1/5 Názov akreditovaného subjektu: U. S. Steel Košice, s.r.o. Oddelenie Metrológia a, Vstupný areál U. S. Steel, 044 54 Košice Rozsah akreditácie Oddelenia Metrológia a : Laboratórium
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Základné pojmy a vzťahy Základné neurčité integrály Cvičenia Výsledky... 11
Obsah Neurčitý integrál 7. Základné pojmy a vzťahy.................................. 7.. Základné neurčité integrály............................. 9.. Cvičenia..........................................3
Διαβάστε περισσότερα3. prednáška. Komplexné čísla
3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet
Διαβάστε περισσότεραPravdepodobnostné modelovanie inverznými distribučnými funkciami: Charakteristiky kvantilových rozdelení
Katedra štatistiky, Fakulta hospodárskej informatiky, Ekonomická univerzita v Bratislave Pravdepodobnostné modelovanie inverznými distribučnými funkciami: Charakteristiky kvantilových rozdelení Ľubica
Διαβάστε περισσότεραTutoriál3 : Využitie grafických možností jazyka Matlab
NÁPLŇ 1. ÚVOD DO PRÁCE S GRAFIKOU 2. 2D GRAFIKA 3. 3D GRAFIKA 4. PRÍKLADY NA SAMOSTATNÉ RIEŠENIE 1 Matlab ponúka rýchlu a kvalitnú reprezentáciu funkcií vo forme grafov. Disponuje pokročilou grafikou v
Διαβάστε περισσότεραNávrh vzduchotesnosti pre detaily napojení
Výpočet lineárneho stratového súčiniteľa tepelného mosta vzťahujúceho sa k vonkajším rozmerom: Ψ e podľa STN EN ISO 10211 Návrh vzduchotesnosti pre detaily napojení Objednávateľ: Ing. Natália Voltmannová
Διαβάστε περισσότεραGramatická indukcia a jej využitie
a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. Lineárna algebra. (ver )
Matematika 2 Lineárna algebra (ver.01.03.2011) 1 Úvod Prehľad. Tieto poznámky obsahujú podklady k prednáške Matematika 2 na špecializácii Aplikovaná informatika: jedná sa o 12 dvojhodinových prednášok
Διαβάστε περισσότεραG. Monoszová, Analytická geometria 2 - Kapitola III
text obsahuje znenia viet, ktoré budeme dokazovat na prednáškach text je doplnený aj o množstvo poznámok, ich ciel om je dopomôct študentom k lepšiemu pochopeniu pojmov aj súvislostí medzi nimi text je
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICKÁ OLYMPIÁDA
S MATEMATICÁ OLYMPIÁDA skmo.sk 2008/2009 58. ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO. Nech n je kladné celé číslo a a,..., a k (k 2) sú navzájom rôzne celé čísla z množiny {,..., n} také, že n
Διαβάστε περισσότεραVektorové a skalárne polia
Vetorové a salárne pola Ω E e prestorová oblasť - otvorená alebo uavretá súvslá podmnožna bodov prestoru E určených arteánsm súradncam usporadaným trocam reálnch čísel X [ ] R. Nech e salárna unca torá
Διαβάστε περισσότερα1. POLIA A VEKTOROVÉ PRIESTORY. V tejto kapitole zavedieme dva druhy algebraických štruktúr, ktoré budú hrať v celom
1. POLIA A VEKTOROVÉ PRIESTORY V tejto kapitole zavedieme dva druhy algebraických štruktúr, ktoré budú hrať v celom ďalšom výklade kľúčovú úlohu, a dokážeme o nich niekoľko jednoduchých základných tvrdení.
Διαβάστε περισσότεραRozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti rozvodu tepla
Rozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti príloha č. 7 k vyhláške č. 428/2010 Názov prevádzkovateľa verejného : Spravbytkomfort a.s. Prešov Adresa: IČO: Volgogradská 88, 080 01 Prešov 31718523
Διαβάστε περισσότεραUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vektorové prostory. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vektorové prostory študenti MFF 15. augusta 2008 1 9 Vektorové priestory Požiadavky Základné vlastnosti vektorových priestorov, podpriestorov generovania,
Διαβάστε περισσότεραTermodynamika. Doplnkové materiály k prednáškam z Fyziky I pre SjF Dušan PUDIŠ (2008)
ermodynamika nútorná energia lynov,. veta termodynamická, Izochorický dej, Izotermický dej, Izobarický dej, diabatický dej, Práca lynu ri termodynamických rocesoch, arnotov cyklus, Entroia Dolnkové materiály
Διαβάστε περισσότεραP(Ο Χρήστος κερδίζει) = 1 P(Ο Χρήστος χάνει) = 1 P(X > Y ) = 1 2. P(Ο Χρήστος νικά σε 7 από τους 10 αγώνες) = 7
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-27: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 28 ιδάσκων: Π. Τσακαλίδης Λύσεις Εβδοµης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης: 3/2/28 Ηµεροµηνία Παράδοσης: 7/2/28
Διαβάστε περισσότερα