G. Monoszová, Analytická geometria 2 - Kapitola III
|
|
- Βασιλική Μοσχοβάκης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 text obsahuje znenia viet, ktoré budeme dokazovat na prednáškach text je doplnený aj o množstvo poznámok, ich ciel om je dopomôct študentom k lepšiemu pochopeniu pojmov aj súvislostí medzi nimi text je tiež doplnený aj o niekol ko úloh, vyriešenie ktorých by tiež malo študentom pomôct k lepšiemu pochopeniu prednášaných tém G Monoszová, Analytická geometria 2 - Kapitola III
2 27 Geometria 2 KAPITOLA III AFINNÉ ZOBRAZENIA III 1 Afinné zobrazenie- definícia, vlastnosti, analytické vyjadrenie Definícia Nech A(A,V, ), A (A,V, ) sú afinné podpriestory Zobrazenie f : A A nazývame afinné zobrazenie, ak obrazom l ubovol ných troch kolineárnych bodov sú totožné body, alebo kolineárne body, pričom ich deliaci pomer sa zachováva Dohovor Pre afinné zobrazenie f : A A (kde A(A,V, ), A (A,V, ) sú afinné priestory), budeme používat aj zápis f : A A Poznámky 1 Obrazom priamky v afinnom zobrazení je priamka alebo bod 2 Stred dvojice bodov sa afinným zobrazením zachováva Veta 1 Nech A(A,V, ), A (A,V, ) sú afinné podpriestory, nech f : A A je afinné zobrazenie Potom a) môžeme definovat takzvané asociované zobrazenie f afinného zobrazenia f nasledovne f : V V, (X Y) f(x Y) := f(x) f(y), b) asociované zobrazenie f je homomorfizmus vektorových priestorov, c) afinné zobrazenie je jednoznačne určené obrazom jedného bodu a svojím asociovaným homomorfizmom Poznámka 3 (dôsledok vety 1 c)) Nech A(A,V, ), A (A,V, ) sú afinné podpriestory, nech f : V V je homomorfizmus vektorových priestorov a nech B A, B A Potom existuje jediné afinné zobrazenie f, ktorého asociovaný homomorfizmus je práve zobrazenie f a platí f(b) = B Zrejme f je dané predpisom f(x) = B +f(x B)
3 28 Veta 2 Nech A(A,V, ), A (A,V, ) sú afinné podpriestory Zobrazenie f : A A je afinné zobrazenie práve vtedy, ked pre l ubovol né dva body P,Q A a l ubovol né t R platí f(p +t(q P)) = f(p)+tf(q P) Veta 3 Obrazom dvoch rovnobežiek v afinnom zobrazení sú dve rovnobežky alebo dva body Úloha 1 (známe z lineárnej algebry) Dokážte, že homomorfizmus ϕ vektorových prietorov je prosté zobrazenie práve vtedy, ked jedine nulový vektor sa zobrazuje do nulového vektora Veta 4 Nech A(A,V, ), A (A,V, ) sú afinné podpriestory, nech f : A A je afinné zobrazenie a nech f : V V je prislúchajúci asociovaný homomorfizmus Potom a) f je injektívne zobrazenie práve vtedy, ked f je prostý homomorfizmus, b) f je surjektívne zobrazenie práve vtedy, ked f je surjektívny homomorfizmus Úloha 2 NechA r(a,v r, ),A s(a,v s, )súafinnépodpriestory,nech f: A A jeafinnézobrazenie Čovietepovedat ovzt ahumedzidimenziami r, s,aka) fjeprostézobrazenie,b) fjesurjektívne zobrazenie, c) f je bijekcia? Veta 5 Afinné zobrazenie f : A k A je jednoznačne určené obrazmi k + 1 lineárne nezávislých bodov afinného priestoru A k III 2 Analytické vyjadrenie afinného zobrazenia Nech v afinnom podpriestore A n (A,V, ) je daná LSS repérom [P,e 1,e 2,,e n ], nech v afinnom podpriestore A m(a,v, ) je daná LSS repérom[q,d 1,d 2,,d m ], nech f : A A je afinné zobrazenie a f : V n V m je ku f prislúchajúci asociovaný homomorfizmus, a nech f(p) = Q + m b j d j, f(e i ) = m a ij d j, i {1,2,,n} Potom je môžné odvodit analytické vyjadrenie afinného zobrazenia f, resp analytické vyjadrenie jeho asociovaného homomorfizmu f, ktoré vyjadruje vzt ah medzi súradnicami bodu X A, X[x 1,x 2,,x n ] a jeho obrazu X [x 1,x 2,x m ] v zobrazeníf,resp vyjadrujevzt ahmedzisúradnicamivektorax V n,x(x 1,x 2,,x n ) a jeho obrazu x (x 1,x 2,x m ) v zobrazení f Systém rovníc(1) je analytickým vyjadrením afinného zobrazenia f a systém rovníc (2) je analytickým vyjadrením jeho asociovaného homomorfizmu f j=1 j=1
4 29 f : x 1 = a 11 x 1 +a 21 x 2 +a 31 x 3 + +a n1 x n +b 1 x 2 = a 12x 1 +a 22 x 2 +a 32 x 3 + +a n2 x n +b 2 x 3 = a 13x 1 +a 23 x 2 +a 33 x 3 + +a n3 x n +b 3 (1) x m = a 1mx 1 +a 2m x 2 +a 3m x 3 + +a nm x n +b m f : x 1 = a 11x 1 +a 21 x 2 +a 31 x 3 + +a n1 x n x 2 = a 12x 1 +a 22 x 2 +a 32 x 3 + +a n2 x n x 3 = a 13x 1 +a 23 x 2 +a 33 x 3 + +a n3 x n (2) x m = a 1m x 1 +a 2m x 2 +a 3m x 3 + +a nm x n Symbolicky môžeme prehl adne pre zobrazenia f a f zapísat : X[x 1,x 2,,x n ] f : A A, f X [x 1,x 2,,x m], P f B[b 1,b 2,,b m ] x(x 1,x 2,,x n ) f : V n V m, f x (x 1,x 2,,x m ), e 1 f e 1 (a 11,a 12,,a 1m ) e 2 f e 2 (a 21,a 22,,a 2m ) e n f e n (a n1,a n2,,a nm ) Analytické vyjadrenie afinného zobrazenia f (tj sústavu rovníc (1)) môžeme zapísat aj v maticovom tvare a 11 a 12 a 1m (x 1 x 2 x m ) = (x 1 x 2 a x n ) 21 a 22 a 2m +(b 1 b 2 b m ), a n1 a n2 a nm
5 30 stručne píšeme aj a 11 a 12 a 1m a X = XM f +B, kde M f = 21 a 22 a 2m a n1 a n2 a nm M f je tzv matica zobrazenia f III 3 Grupa afinných transformácií Poznámka 4 Tak ako všetky zobrazenia, tak aj afinné zobrazenia môžeme za istých podmienok skladat Uvedomme si, že ak f : A A je afinné zobrazenie a afinný podpriestor B je podpriestorom afinného priestoru A, tak aj zúžené zobrazenie f na podpriestor B je zrejme afinné zobrazenie (f B je afinné zobrazenie) Nech sú dané afinné zobrazeniaf 1 : A A, a f 2 : A A ; ak platí A A, tak môžeme uvažovat o zloženom zobrazení f 1 f 2 Zrejme platí, že zložením afinných zobrazení je opät afinné zobrazenie Ak f je prosté afinné zobrazenie, tak existuje inverzné zobrazenie f 1 a toto zobrazenie je tiež afinné Príslušný asociovaný homomorfizmus ku zobrazeniu f 1 je inverzné zobrazenie ku asociovanému zobrazeniu f, tj f 1 = (f) 1 Poznamenajme ešte, že identita je zrejme afinným zobrazením Definícia Prosté afinné zobrazenie afinného priestoru A na seba nazývame afinná transformácia priestoru A (stručne budeme hovorit len afinita priestoru A) Veta 6 Všetky afinity afinného priestoru A pri obvyklom skladaní zobrazení tvoria grupu Nazývame ju grupa afinných transformácií (stručne grupa afinít) priestoru A Úloha 3 Zdôvodnite, prípadne vyvrát te tvrdenie: Prosté afinné zorazenie priestoru A do seba je vždy afinnou transformáciou priestoru A Poznámka 5 Afinné zobrazenie afinného priestoru A n do seba je prostým zobrazením práve vtedy, ked jeho asociované zobrazenie je izomorfizmus vektorových priestorov Úloha 4 Zdôvodnite, prípadne vyvrát te tvrdenie: Matica afinnej transformácie je regulárna
6 31 III 4 Samodružné prvky afnného zobrazenia O samodružných prvkoch zobrazenia má zrejme zmysel hovorit len ak ide o zobrazenie množiny do samej seba Preto v nasledujúcich častiach tejto kapitoly budeme uvažovat výhradne afinné zobrazenia afinného priestoru do seba Nech teda f je zobrazenie afinného priestoru A(A,V, ) do seba, nech f je jeho asociovaný homomorfizmus a nech matica zobrazenia f je a 11 a 12 a 1n a M f = 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn Definícia Nech f je zobrazenie afinného priestoru A(A,V, ) do seba Bod X A nazývame samodružný bod zobrazenia f, ak sa bod X zobrazí v zobrazení f do seba, tj f(x) = X Určenie množiny samodružných bodov afinného zobrazenia f Zrejme X[x 1,x 2,,x n ] A je samodružný bod afinného zorazenia f práve vtedy, ked súradnice bodu X sú riešením sústavy (3) (a 11 1)x 1 +a 21 x 2 + +a n1 x n +b 1 = 0 a 12 x 1 +(a 22 1)x 2 + +a n2 x 2 +b 2 = 0 a 1n x 1 +a 2n x 2 + +(a nn 1)x n +b n = 0 (3) Veta 7 Nech f : A n A n je afinné zobrazenie Potom zobrazenie f bud nemá žiadne samodružné body, alebo množina samodružných bodov tvorí afinný podpriestor afinného priestoru A n dimenzie n h, kde h je hodnost matice sústavy (3) Úloha 5 Dokážte, žeak K, Lsúdvarôznesamodružnébodyafinnéhozobrazenia f,potomkaždýbod priamky KL je samodružný bod zobrazenia f Úloha 6 Nech A, B, C sú tri nekolineárne body afinného priestoru A n Dokážte, že ak A, B, C sú samodružnébodyafinnéhozobrazenia f,potomkaždýbodroviny ABC je samodružný bod zobrazenia f Definícia Pod smerom afinného priestoru rozumieme každý 1-rozmerný podpriestor jeho zamerania Poznámky 6 Každý nenulový vektor zamerania afinného priestoru určuje práve jeden smer afinného priestoru 7 Každá priamka afinného priestoru určuje práve jeden smer afinného priestoru
7 32 Úloha 7 Doplňte tak, aby vznikol pravdivý výrok: a)dvanenulovévektoryvektorovéhopriestoru Vurčujútenistýsmerprávevtedy,ked b) Dve priamky(jednorozmerné afinné podpriestory) afinného priestoru určujú ten istý smer práve vtedy,ked Poznámka (známe z lineárnej algebry) 8 Nenulový vektor v vektorového priestoru V nazývame charakteristickým vektorom endomorfizmu ϕ vektorového priestoru V, ak existuje reálne číslo c, také, že platí ϕ(v) = cv Číslo c sa nazýva charakteristickým číslom endomorfizmu ϕ V súlade s predchádzajúcou poznámkou budeme používat pojem charakteristický vektor a charakteristické číslo v súvislosti s asociovaným homomorfizmom afinného zobrazenia Definícia Nech A(A, V, ) je afinný priestor Pod samodružným smerom afinného zobrazenia f : A A rozumieme smer zamerania V, ktorý sa v príslušnom asociovanom zobrazení f : V V zobrazí do seba (tj u V -zrejme u 0 - určuje samodružný smer afinného zobrazenia f, ak existuje nenulové reálne číslo λ také, že f(u) = λu) Číslo λ je charakteristické číslo asociovaného homomorfizmu f Vektor u je charakteristický vektor asociovaného homomorfizmu f Poznámka 9 Ohl adne samodružných smerov afinného zobrazenia nás teda budú zaujímat len nenulové charakteristické čísla asociovaného homomorfizmu Postup pri určovaní samodružných smerov afinného zobrazenia f 1) určíme charakteristické číslo(a) λ asociovaného zobrazenia f ako nenulové riešenie tzv charakteristickej rovnice (4) homomorfizmu f a 11 λ a 21 a n1 a 12 a 22 λ a n2 = 0 (4) a 1n a 2n a nn λ 2) určíme charakteristický(é) vektor(y) prislúchajúce charakteristickému číslu λ, súradnice charakterisického vektora u(x 1,x 2,,x n ) určíme ako n-ticu, ktorá je nenulovým riešením sústavy (5) (a 11 λ)x 1 +a 21 x 2 + +a n1 x n = 0 a 12 x 1 +(a 22 λ)x 2 + +a n2 x 2 = 0 a 1n x 1 +a 2n x 2 + +(a nn λ)x n = 0 (5) Veta 8 Afinné zobrazenie f afinného priestoru A je prosté práve vtedy, ked nula nie je charakteristickým číslom jeho asociovaného homorfizmu f
8 33 Úloha 8 Nech fjeafinnézobrazenieva nanech u, vsúcharakteristickévektoryjehoasociovanéhohomomorfizmu f(zameraniav n),ktoréprislúchajúktomuistémucharkteristickémučíslu λdokážte, žepotomvšetkysmeryvektorovéhopodpriestoru V 2 generovanéhocharakteristickýmivektormi u, v sú samodružné smery afinného zobrazenia f III 5 Homotetické transformácie V tejto časti budeme skúmat afinné zobrazenia, ktoré majú všetky smery samodružné Poznámka 10 Ak afinné zobrazenie v afinnom priestore A n má všetky smery samodružné, potom existuje jediné charakteristické číslo asociovaného homomorfizmu f, tj pre každý vektor x V n platí f(x) = λx Veta 9 Afinné zobrazenie, ktoré má všetky smery samodružné je bud rovnol ahlost alebo posunutie (vrátane identity) Poznámka 11 Ak afinné zobrazenie f má všetky smery samodružné, tak f je afinná transformácia Definícia Afinné zobrazenie, ktoré má všetky smery samodružné nazývame homotetická transformácia (stručne homotétia) Veta 10 Všetky homotetické transformácie afinného priestoru A tvoria vzhl adom na skladanie zobrazení grupu, tzv grupu homotetických transformácií (stručne budeme túto grupu nazývat aj grupou homotétií) Poznámka 12 Grupa homotetických transformácií afinného priestoru A je podgrupou grupy všetkých afinít priestoru A Úloha 9 Dokážte, prípadne vyvrát te tvrdenie: Všetky rovnol ahlosti afinného priestoru A tvoria vzhl adom na skladanie grupu III 6 Projekcie a základné afinity V tejto časti budeme skúmat afinné zobrazenia v A n, ktorých samodružné body tvoria nadrovinu afinného priestoru A n Je možné odvodit, že takéto zobrazenia môžu byt dvoch typov Jedným typom sú tzv projekcie, v ktorých sa celý priestor A n zobrazí do príslušnej nadroviny samodružných bodov a druhým typom sú tzv
9 34 základné afinity, pri ktorých, naopak, nie každý bod priestoru A n sa zobrazí do nadroviny samodružných bodov tohoto zobrazenia Pre základnú afinitu je možné odvodit, že obraz bodu, ktorý neleží v nadrovine samodružných bodov tiež neleží v tejto nadrovine Teda v základnej afinite sa do nadroviny samodružných bodov zobrazujú jedine body tejto nadroviny, tj samodružné body Pre afinnézobrazenief v A n, pre ktoréplatí, že množinajeho samodružnýchbodov je nadrovina v A n, je možné odvodit analytické vyjadrenie v nasledujúcom tvare f : x 1 = x 1 +λ 1 (c 1 x 1 +c 2 x 2 + +c n x n +c) x 2 = x 2 +λ 2 (c 1 x 1 +c 2 x 2 + +c n x n +c) x n = x n +λ n (c 1 x 1 +c 2 x 2 + +c n x n +c) (6) kde c 1 x 1 +c 2 x 2 + +c n x n +c = 0 je všeobecná rovnica nadroviny samodružných bodov afinného zobrazenia f a λ i, i {1,2,,n} sú reále čísla, pričom aspoň jedno z čisel λ i je rôzne od nuly Úloha 10 Dokážte: Nech f jeprojekciaalebozákladnáafinitavafinnompriestore A n Potomprel ubovol nédva body X,Y A nplatí,ževektory f(x) Xa f(y) Y súlineárnezávislé Úloha 11 Nech f: x 1 = x 1+λ 1 (c 1 x 1 +c 2 x 2 + +c nx n+c) x 2 = x 2+λ 2 (c 1 x 1 +c 2 x 2 + +c nx n+c) x n= x n+λ n(c 1 x 1 +c 2 x 2 + +c nx n+c) jeanalytickévyjadrenieafinnéhozobrazeniava n,ktoréhomnožinasamodružnýchbodovbodov jenadrovina ρ, ρ: c 1 x 1 +c 2 x 2 + +c nx n+c=0dokážte a) fjeprojekciaprávevtedy,ked 1+c 1 λ 1 +c 2 λ 2 + +c nλ n=0, m b) f jezákladnáafinitaprávevtedy, ked λ i = i m i c 1 m 1 +c 2 m 2 + +c, i {1,2,,n},kde nm n+c M / ρ, f(m)=m, M[m 1,m 2,,m n], M [m 1,m 2,,m n]
10 35 III 7Klasifikáciaafinnýchzobrazenívafinnompriestore A 2 Klasifikáciu afinných zobrazení v A 2 urobíme na základe samodružných prvkov Nech f je afinné zobrazenie v A 2, potom rovnice (1) sú jeho analytickým vyjadrením Súradnice samodružných bodov zobrazenia f, resp súradnice charakteristických vektorov asociovaného zobrazenia f, potom spĺňajú sústavu (2), resp (3) analytické vyjadrenie afinného zobrazenia f f : x = ax+by +p y = cx+dy +q (1) X[x;y] je samodružný bod afinného zobrazenia f, ak (a 1)x+by +p = 0 cx+(d 1)y +q = 0 (2) nenulový vektor x(x; y) určuje samodružný smer afinného zobrazenia f, ak (a λ)x+by = 0 cx+(d λ)y = 0 (3) charakteristická rovnica asociovaného zobrazenia f λ 2 (a+d)λ+ad bc = 0 (4) - charakteristická rovnica má (v R) zrejme maximálne dve riešenia, počet závisí od diskriminantu rovnice D = a 2 +2ad+d 2 4ad+4bc D = (a d) 2 +4bc -rozlíšimeprípadyprediskriminant D > 0 D = 0 D < 0 A ak D > 0, potom existujú dva rôzne reálne korene charakteristickej rovnice (4) teda existujú dva samodružné smery, zvol me LSS tak, aby osi x, y mali tieto samodružné smery, potom charakteristické vektory sú u 1 (1;0) prislúchajúci napr ku charakteristickému číslu λ 1 u 2 (0;1) prislúchajúci napr ku charakteristickému číslu λ 2 ( ) LSS-lineárnasústavasúradníc
11 36 podl a (3) potom a = λ 1 c = 0 b = 0 d = λ 2 potom sústavu (2) môžeme zapísat : (λ 1 1)x+p = 0 (λ 2 1)y +q = 0 -pre λ 1, λ 2 môžunastat triprípady A 1 ) λ 1 1 λ 2 A 2 ) λ 1 = 1 λ 2 A 3 ) λ 1 = 1 = λ 2 v prípade A 1 ) existuje jediný samodružný bod [ ak ho zvolíme za počiatok LSS, tak p = 0 q = 0 potom alebonaopak čojesporstým,že D >0 p λ ; q 1 1 λ ] 2 1 f : x = λ 1 x y = λ 2 y v prípade A 2 ) pre samodružné body (sústava (2)), potom platí 0x+p = 0 (λ 2 1)y +q = 0
12 37 ak p=0,tak ak p 0,tak existuje priamka samodružných bodov neexistujú samodružné body; orovnici y= q λ 2 1, akbyexistovalisamodružnépriamky, akpočiatoklss takmôžumat lensmerosi xaleboosi y; zvolíme na tejto priamke, tak q=0, potom akby mbolasamodružnápriamka rovnobežnásosou x,tak m: y=r f(m): y= λ 2 r+q m=f(m) f: x = x r= λ 2 r+q y q = λ 2 y r= 1 λ 2 tj existuje jediná samodružná priamka m q rovnobežnásosou x; m: y=, 1 λ 2 ak zvolíme počiatok LSS natejtopriamke m,tak q=0; ak by n bola samodružná priamka rovnobežnásosou y,tak n: x=s f(n): x=s+p n=f(n) s=s+p čojespor,lebo p 0 tj neexistuje samodružná priamka rovnobežná s osou y, potom pre analytické vyjadrenie f dostaneme f: x = x+p y = λ 2 y
13 38 B ak D = 0, potom existuje jeden dvojnásobný koreň charakteristickej rovnice (4) označme tento koreň λ 1, teda existuje aspoň jeden samodružný smer; zvol me LSS tak, aby os x mala tento samodružný smer, potom charakteristický vektor prislúchajúci k tomuto smeru je u(1; 0) ( ) podl a sústavy (3) potom a = λ 1 c = 0 potom charakteristická rovnica (4) má tvar λ 2 (λ 1 +d)λ+λ 1 d = 0 zrejmetátokvadratickárovnicamádvakorene λ 1 a d, ked že platí ( ), tak d = λ 1, potom analytické vyjadrenie zobrazenia f je f : x = λ 1 x+by +p y = λ 1 y +q potom systém rovníc (3) môžeme písat nasledovne (λ 1 λ)x+by = 0 (λ 1 λ)y = 0 opät využijeme fakt ( ), preto λ = λ 1, potom by = 0 -pre bmôžunastat dvaprípady B 1 ) b = 0 B 2 ) b 0
14 39 B 1 ) v tomto prípade jekaždýsmersamodružný, pre samodružné body sústavu (2) môžeme písat (λ 1 1)x+p = 0 (λ 1 1)y +q = 0 ak a) λ 1 = 1 ak b) λ 1 1 a 1 ) p = 0 = q a 2 ) p 0 q 0 každý bod je samodr samodr bod! samodr bod [ p λ 1 1 ; q ] λ 1 1 akhozvolímeza začiatok LSS, tak p = q = 0 f : x = x f : x = x+p f : x = λ 1 x y = y y = y +q y = λ 1 y IDENTITA POSUNUTIE ROVNOL AHLOSŤ B 2 ) v tomto prípadeexistujejedinýsamodružnýsmer, je určenývektoromu(1;0) pre samodružné body sústavu (2) môžeme písat (λ 1 1)x+by +p = 0 (λ 1 1)y +q = 0 pre pre λ 1 = 1 λ 1 1 ak q = 0 ak q 0 priamka samodr bod! samodr bod samodr bodov ak ho zvolíme by +p = 0 f : x = x+by +p započiatoklss,tak akpočiatok y = y +q q = p = 0 LSS zvolíme nanej,tak p = 0 f : x = λ 1 x+by y = λ 1 y [ ] bq λ1 p+p q (λ 1 1) 2 ;, λ 1 1 f : x = x+by y = y
15 40 C ak D < 0, potom neexistuje reálny koreň charakteristickej rovnice (4) tj neexistuje charakteristické číslo, tj neexistuje charakteristický vektor, tj neexistuje samodružný smer, ked že ani číslo 1 nemôže byt koreňom charakteristickej rovnice (4), tak 1 2 (a+d)1+ad bc 0 ad bc a d+1 0 ( ) potom pre samodružné body (sústava (2)) platí (a 1)x+by +p = 0 cx+(d 1)y +q = 0 táto sústava má riešenie práve vtedy, ked pre hodnost matice sústavy a hodnost rozšírenej matice platí rovnost ( ) ( ) a 1 b a 1 b p hod = hod c d 1 c d 1 q pretože platí ( ), tak ( ) a 1 b hod = 2 c d 1 teda aj ( ) a 1 b p hod = 2 c d 1 q tj sústava(2) má riešenie, ked že ide o dve rovnice o dvoch neznámych, tak existuje jediný samodružný bod, ak by sme ho zvolili za počiatok LSS, tak p = q = 0 a pre analytické vyjadrenie zobrazenia f dotaneme: f : x =ax+by y =cx+dy
Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότεραVektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich
Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:
Διαβάστε περισσότεραLineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus
1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότερα1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia... 3
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 3 1.3 Základné označenia................................. 3 2 Množiny a zobrazenia
Διαβάστε περισσότερα23. Zhodné zobrazenia
23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:
Διαβάστε περισσότεραVLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b
VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότερα1-MAT-220 Algebra februára 2012
1-MAT-220 Algebra 1 12. februára 2012 Obsah 1 Grupy 3 1.1 Binárne operácie.................................. 3 1.2 Cayleyho veta.................................... 3 2 Faktorizácia 5 2.1 Relácie ekvivalencie
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότεραSúradnicová sústava (karteziánska)
Súradnicová sústava (karteziánska) = sú to na seba kolmé priamky (osi) prechádzajúce jedným bodom, na všetkých osiach sú jednotky rovnakej dĺžky-karteziánska sústava zavedieme ju nasledovne 1. zvolíme
Διαβάστε περισσότεραVzorové príklady s riešeniami k lineárnej algebre a geometrie pre aplikovaných informatikov k písomke
Vzorové príklady s riešeniami k lineárnej algebre a geometrie pre aplikovaných informatikov k písomke 23.5.26 Príklad č. Riešte sústavu Bx = r (B r) 2 3 4 2 3 4 6 8 8 2 (B r) = 6 9 2 6 3 9 2 3 4 2 3 2
Διαβάστε περισσότεραZBIERKA ÚLOH Z GEOMETRIE - ZOBRAZENIA
ZBIERKA ÚLOH Z GEOMETRIE - ZOBRAZENIA 1. Afinné zobrazenia Definícia. Zobrazenie F z afinného priestoru A n do A m, ktoré zobrazuje každú trojicu nekolineárnych bodov do jedného bodu alebo do trojice bodov,
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Διαβάστε περισσότερα1 Polynómy a racionálne funkcie Základy Polynómy Cvičenia Racionálne funkcie... 17
Obsah 1 Polynómy a racionálne funkcie 3 11 Základy 3 1 Polynómy 7 11 Cvičenia 13 13 Racionálne funkcie 17 131 Cvičenia 19 Lineárna algebra 3 1 Matice 3 11 Matice - základné vlastnosti 3 1 Cvičenia 6 Sústavy
Διαβάστε περισσότεραBANACHOVE A HILBERTOVE PRIESTORY
BANACHOVE A HILBERTOVE PRIESTORY 1. ZÁKLADNÉ POJMY Normovaným lineárnym priestorom (NLP) nazývame lineárny (= vektorový) priestor X nad telesom IK, na ktorom je daná nezáporná reálna funkcia : X IR + (norma)
Διαβάστε περισσότεραAnalytická geometria
Analytická geometria Analytická geometria je oblasť matematiky, v ktorej sa študujú geometrické útvary a vzťahy medzi nimi pomocou ich analytických vyjadrení. Praktický význam analytického vyjadrenia je
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότεραPREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vektorové prostory. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vektorové prostory študenti MFF 15. augusta 2008 1 9 Vektorové priestory Požiadavky Základné vlastnosti vektorových priestorov, podpriestorov generovania,
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότεραAFINNÉ TRANSFORMÁCIE
AFINNÉ TRANSFORMÁCIE Definícia0..Zobrazenie f: R n R m sanazývaafinné,ak zachováva kolinearitu(t.j. priamka sa zobrazí buď na priamku alebo na jeden bod), zachovávadeliacipomer(t.j.akprekolineárnebody
Διαβάστε περισσότεραCieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie,
Kapitola Riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie, keď charakteritická rovnica má rôzne
Διαβάστε περισσότεραÚvod 2 Predhovor... 2 Sylaby a literatúra... 2 Označenia... 2
Obsah Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Označenia Euklidovské vektorové priestory 3 Skalárny súčin 3 Gram-Schmidtov ortogonalizačný proces 8 Kvadratické formy 6 Definícia a základné vlastnosti 6 Kanonický
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I. Doc. RNDr. Michal Šabo, CSc
MATEMATIKA I Doc. RNDr. Michal Šabo, CSc 2 Obsah Predhovor 5 2 VYBRANÉ STATE Z ALGEBRY 2. Úvod................................... 2.2 Reálne n-rozmerné vektory...................... 2.3 Matice..................................
Διαβάστε περισσότερα2. prednáška. Teória množín I. množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin
2. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Verzia: 27. 9. 2009 Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότεραObyčajné diferenciálne rovnice
(ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. Lineárna algebra. (ver )
Matematika 2 Lineárna algebra (ver.01.03.2011) 1 Úvod Prehľad. Tieto poznámky obsahujú podklady k prednáške Matematika 2 na špecializácii Aplikovaná informatika: jedná sa o 12 dvojhodinových prednášok
Διαβάστε περισσότεραDeliteľnosť a znaky deliteľnosti
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy matematiky I
Prednáška č. 7 Numerické metódy matematiky I Riešenie sústav lineárnych rovníc ( pokračovanie ) Prednáška č. 7 OBSAH 1. Metóda singulárneho rozkladu (SVD) Úvod SVD štvorcovej matice SVD pre menej rovníc
Διαβάστε περισσότεραPlanárne a rovinné grafy
Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Planárne a rovinné grafy Definícia
Διαβάστε περισσότεραPrednáška Fourierove rady. Matematická analýza pre fyzikov IV. Jozef Kise lák
Prednáška 6 6.1. Fourierove rady Základná myšlienka: Nech x Haφ 1,φ 2,...,φ n,... je ortonormálny systém v H, dá sa tento prvok rozvinút do radu x=c 1 φ 1 + c 2 φ 2 +...,c n φ n +...? Ako nájdeme c i,
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότερα4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti
4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme
Διαβάστε περισσότεραLineárne kódy. Ján Karabáš. Kódovanie ZS 13/14 KM FPV UMB. J. Karabáš (FPV UMB) Lineárne kódy Kodo ZS 13/14 1 / 19
Lineárne kódy Ján Karabáš KM FPV UMB Kódovanie ZS 13/14 J. Karabáš (FPV UMB) Lineárne kódy Kodo ZS 13/14 1 / 19 Algebraické štruktúry Grupy Grupa je algebraická štruktúra G = (G;, 1, e), spolu s binárnou
Διαβάστε περισσότεραPageRank algoritmus. Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky
Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky PageRank algoritmus Bakalárska práca Študijný program: Informatika Študijný odbor: 9.2.1 Informatika Školiace pracovisko: Katedra
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry
Katedra matematiky Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická Univerzita v Košiciach Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová, Helena Myšková 005 RECENZOVALI: RNDr. Štefan Schrötter, CSc. RNDr.
Διαβάστε περισσότερα7. Dokážte, že z každej nekonečnej množiny môžeme vydeliť spočítateľnú podmnožinu.
Teória množín To, že medzi množinami A, B existuje bijektívne zobrazenie, budeme symbolicky označovať A B alebo A B. Vtedy hovoríme, že množiny A, B sú ekvivalentné. Hovoríme tiež, že také množiny A, B
Διαβάστε περισσότεραFunkcie - základné pojmy
Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny
Διαβάστε περισσότερα(IP3) (f, g) = (g, f) (symetria), (IP4) (f, f) > 0 pre f 0 (kladná definitnosť). Z podmienok (IP1) (IP4) sa ľahko dokážu rovnosti:
Hilbertove priestory Veľké množstvo aplikácií majú lineárne normované priestory, v ktorých norma je odvodená od skalárneho (vnútorného) súčinu, podobne ako v bežnom trojrozmernom euklidovskom priestore.
Διαβάστε περισσότερα1 Úvod Sylabyaliteratúra Základnéoznačenia... 3
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Sylabyaliteratúra.... 3 1.2 Základnéoznačenia.... 3 2 Množiny a zobrazenia 4 2.1 Dôkazy... 4 2.1.1 Základnétypydôkazov... 4 2.1.2 Matematickáindukcia... 4 2.1.3 Drobnéradyakodokazovať....
Διαβάστε περισσότεραNUMERICKÁ MATEMATIKA. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Fakulta elektrotechniky a informatiky
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ NUMERICKÁ MATEMATIKA Fakulta elektrotechniky a informatiky Štefan Berežný Táto publikácia vznikla za finančnej podpory
Διαβάστε περισσότεραReálna funkcia reálnej premennej
(ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium
Imrich Pokorný Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Strana 1 z 48 1 Nepresnosť numerického riešenia úloh 4 1.1 Zdroje chýb a ich klasifikácia................... 4 1.2 Základné pojmy odhadu
Διαβάστε περισσότεραZobrazenia v rovine. Každé zhodné zobrazenie v rovine je prosté a existuje k nemu inverzné zobrazenie.
Zobrazenia v rovine Zobrazením Z z množiny A do množiny B nazývame predpis, ktorý každému prvku x množiny A priraďuje práve jeden prvok y množiny B. Zobrazenie v rovine priraďuje každému bodu X danej roviny
Διαβάστε περισσότεραDefinícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.
Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICKÁ ANALÝZA 1
UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH Prírodovedecká fakulta Ústav matematických vied Božena Mihalíková, Ján Ohriska MATEMATICKÁ ANALÝZA Vysokoškolský učebný text Košice, 202 202 doc. RNDr. Božena
Διαβάστε περισσότεραVýroky, hypotézy, axiómy, definície a matematické vety
Výroky, hypotézy, axiómy, definície a matematické vety Výrok je každá oznamovacia veta (tvrdenie), o ktorej má zmysel uvažovať, či je pravdivá alebo nepravdivá. Výroky označujeme pomocou symbolov: A, B,
Διαβάστε περισσότεραXVIII. ročník BRKOS 2011/2012. Pomocný text. Kde by bola matematika bez čísel? Čísla predstavujú jednu z prvých abstrakcií, ktorú
Pomocný text Číselné obory Číselné obory Kde by bola matematika bez čísel? Čísla predstavujú jednu z prvých abstrakcií, ktorú ľudia začali vnímať. Abstrakcia spočívala v tom, že množstvo, ktoré sa snažili
Διαβάστε περισσότερα1. POLIA A VEKTOROVÉ PRIESTORY. V tejto kapitole zavedieme dva druhy algebraických štruktúr, ktoré budú hrať v celom
1. POLIA A VEKTOROVÉ PRIESTORY V tejto kapitole zavedieme dva druhy algebraických štruktúr, ktoré budú hrať v celom ďalšom výklade kľúčovú úlohu, a dokážeme o nich niekoľko jednoduchých základných tvrdení.
Διαβάστε περισσότεραRiešenie sústavy lineárnych rovníc. Priame metódy.
Riešenie sústavy lineárnych rovníc. Priame metódy. Ing. Gabriel Okša, CSc. Matematický ústav Slovenská akadémia vied Bratislava Stavebná fakulta STU G. Okša: Priame metódy 1/16 Obsah 1 Základy 2 Systémy
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické substitúcie
Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať
Διαβάστε περισσότεραPRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm
PRUŽINY PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY VIAC AKO 200 RUHOV SKRUTNÝCH PRUŽÍN PRIEMER ROTU d = 0,4-6,3 mm èíslo 3.0 22.8.2008 8:28:57 22.8.2008 8:28:58 PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY TECHNICKÉ PARAMETRE h d L S Legenda
Διαβάστε περισσότεραZhodné zobrazenia (izometria)
Zobrazenie A, B R R (zobrazenie v rovine) usporiadaná dvojica bodov dva body v danom poradí (záleží na poradí) zápis: [a; b] alebo (a; b) karteziánsky (kartézsky) súčin množín množina všetkých usporiadaných
Διαβάστε περισσότερα3. prednáška. Komplexné čísla
3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITA KOMENSKE HO V BRATISLAVE Fakulta matematiky, fyziky a informatiky. Dua lne c ı sla. Bakala rska pra ca. S tudijny odbor: Matematika
UNIVERZITA KOMENSKE HO V BRATISLAVE Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Dua lne c ı sla Bakala rska pra ca S tudijny odbor: Matematika Vedu ci bakala rskej pra ce: RNDr. Pavel Chalmoviansky, PhD.
Διαβάστε περισσότεραPolynómy. Hornerova schéma. Algebrické rovnice
Polynómy. Hornerova schéma. Algebrické rovnice Teoretické základy Definícia 1 Nech (koeficienty) a 0, a 1,..., a n sú komplexné čísla a nech n je nezáporné celé číslo. Výraz P n (x) = a n x n + a n 1 x
Διαβάστε περισσότεραJán Buša Štefan Schrötter
Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach. Zbierka riešených a neriešených úloh. z matematiky. pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach
Technická univerzita v Košiciach Zbierka riešených a neriešených úloh z matematiky pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach Martin Bača Ján Buša Andrea Feňovčíková Zuzana Kimáková Denisa Olekšáková Štefan
Διαβάστε περισσότεραviacrozmerných a nekonečnorozmerných priestoroch. A ako nasvedčuje jej názov, pôjde o rovnice nelineárne.
Nelineárna analýza 1. Úvod Na začiatok by bolo načim ako-tak vymedzit, čím sa nelineárna analýza zaoberá. Čitatel by už mal však mat dostatok skúseností, aby vedel, že je to dost t ažké u l ubovol nej
Διαβάστε περισσότεραMini minimaliz acia an BUˇ Koˇ sice 2011
Mini minimalizácia Ján BUŠA Košice 2011 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Noname, CSc. Doc. RNDr. Emanname, PhD. Prvé vydanie Za odbornú stránku učebného textu zodpovedá autor. Rukopis neprešiel redakčnou ani jazykovou
Διαβάστε περισσότερα4 Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti
Reálna unkcia reálnej premennej a jej vlastnosti Táto kapitola je venovaná štúdiu reálnej unkcie jednej reálnej premennej. Pojem unkcie patrí medzi základné pojmy v matematike. Je to vlastne matematický
Διαβάστε περισσότεραALGEBRA. Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov
ALGEBRA Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov Definícia Množinu považujeme za určenú, ak vieme o ľubovoľnom objekte rozhodnúť, či je alebo nie je prvkom množiny. Množinu určujeme
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE. Funkcia základné pojmy. Graf funkcie
FUNKCIE Funkcia základné pojm. Graf funkcie V prai sa často stretávame so skúmaním závislosti veľkosti niektorých veličín od veľkosti iných veličín, napríklad dĺžka kružnice l závisí od jej priemeru d
Διαβάστε περισσότεραMetodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH
Διαβάστε περισσότεραMaturita z matematiky T E S T Y
RNr. Mário oroš Maturita z matematiky príprava na prijímacie skúšky na vysokú školu T E S T Y Všetky práva sú vyhradené. Nijaká časť tejto knihy sa nesmie reprodukovať mechanicky, elektronicky, fotokopírovaním
Διαβάστε περισσότεραmnožiny F G = {t1, t2,, tn} T a pre ľubovoľný valec C so základňou B1, B2,, Bn v bodoch t1, t2,, tn, takou, že pre t G - F je Bt = E, platí PF(C) = PG
STOCHASTICKÝ PROCES Definícia stochastického procesu Definícia 1 Nech (Ω, F, P) je pravdepodobnostný priestor a nech T je podmnožina R. Pre každé t T nech X(t, ω) je náhodná premenná definovaná na pravdepodobnostnom
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika. Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER
Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER Košice 2006 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc. Doc. RNDr. Vladimír Penjak, CSc. Prvé vydanie Za
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika
Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER Strana 1 z 262 Košice 2006 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc. Doc. RNDr. Vladimír Penjak, CSc. Strana
Διαβάστε περισσότεραstereometria - študuje geometrické útvary v priestore.
Geometria Geometria (z gréckych slov Geo = zem a metro = miera, t.j. zememeračstvo) je disciplína matematiky prvýkrát spopularizovaná medzi starovekými grékmi Tálesom (okolo 624-547 pred Kr.), ktorý sa
Διαβάστε περισσότεραHASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S
PROUKTOVÝ LIST HKL SLIM č. sklad. karty / obj. číslo: HSLIM112V, HSLIM123V, HSLIM136V HSLIM112Z, HSLIM123Z, HSLIM136Z HSLIM112S, HSLIM123S, HSLIM136S fakturačný názov výrobku: HKL SLIMv 1,2kW HKL SLIMv
Διαβάστε περισσότεραGramatická indukcia a jej využitie
a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)
Διαβάστε περισσότερα1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy
1. Rovnice, nerovnice a ich sústavy Osah Pojmy: rovnica, nerovnica, sústava rovníc, sústava nerovníc a ich riešenie, koeficient, koreň, koreňový činiteľ, diskriminant, doplnenie do štvorca, úprava na súčin,
Διαβάστε περισσότεραKontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.
Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,
Διαβάστε περισσότεραUniverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. Řešení diofantických rovnic rozkladem v. Katedra algebry
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Bc. Maroš Hrnčiar Řešení diofantických rovnic rozkladem v číselných tělesech Katedra algebry Vedoucí diplomové práce: Studijní program:
Διαβάστε περισσότεραzlomok poznatel nej časti skutočnosti. Robí tak prostredníctvom svojich pojmov (tento proces môžeme nazvat formalizácia), jej hlavnou úlohou je potom
0 Úvod 1 0 Úvod 0 Úvod 2 Matematika (a platí to vo všeobecnosti pre každú vedu) sa viac či menej úspešne pokúša zachytit istý zlomok poznatel nej časti skutočnosti. Robí tak prostredníctvom svojich pojmov
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY RIGORÓZNA PRÁCA. Martin Samuelčík
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY RIGORÓZNA PRÁCA Martin Samuelčík BRATISLAVA 2004 UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY
Διαβάστε περισσότεραMargita Vajsáblová. ρ priemetňa, s smer premietania. Súradnicová sústava (O, x, y, z ) (O a, x a, y a, z a )
Mrgit Váblová Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 101 Zákldné pom v onometrii Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 102 Definíci 1: onometri e rovnobežné premietnie bodov Ε 3 polu prvouhlým úrdnicovým
Διαβάστε περισσότεραFunkcie komplexnej premennej
(prezentácia k prednáške FKP/10) doc. RNDr., PhD. 1 1 ondrej.hutnik@upjs.sk umv.science.upjs.sk/analyza Prednáška 1 16. februára 2016 Podmienky Obsah nepovinná účast (!prelínanie prednášok a cvičení!)
Διαβάστε περισσότερα