Matematika 2. Lineárna algebra. (ver )
|
|
- ΓαпїЅα Λαμέρας
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Matematika 2 Lineárna algebra (ver ) 1
2 Úvod Prehľad. Tieto poznámky obsahujú podklady k prednáške Matematika 2 na špecializácii Aplikovaná informatika: jedná sa o 12 dvojhodinových prednášok doplnených dvojhodinovými cvičeniami (ich členenie nie je definitívne). Poznámky obsahujú nasledujúce témy: I. Analytická geometria v rovine 1. Súradnice v rovine: počiatok, vzdialenosť bodov, priamka, uhol, polárne súradnice. 2. Jednoduché krivky v rovine: kružnica a elipsa, hyperbola, parabola, príklady. 3. Vektory v rovine: lineárna nezávislosť, báza, skalárny súčin a ortogonalita, ortogonálna báza. 4. Lineárne transformácie: lineárne transformácie bázy, sústava dvoch lineárnych rovníc, matice a ich súčin, determinant. 5. Pojem grupy (axiómy): grupa GL(2, R) a SL(2, R), transponovanie matíc, (pod)grupa ortogonálnych transformácií O(2), príklady. 6. Komplexné čísla: ako rovina R 2 s násobením, ako násobenie určitých matíc. Násobenie komplexných čísiel, komplexné združnie a absolútna hodnota. Geometrický význam komplexných čísiel a ich sčítania a násobenia, vlastnosti telesa komplexných čísiel, základná veta algebry. II. Analytická geometria v priestore 1. Súradnice v priestore: počiatok, poloha, vzdialenosť, priamka a rovina - ich vzájomná poloha, sférické súradnice. 2
3 2. Niektoré plochy v priestore: guľa a elipsoid (paraboloidy a hyperboloidy), príklady. 3. Vektory v priestore: lineárna nezávislosť, báza, skalárny súčin a ortogonalita, ortogonálna báza. Vektorový súčin a plocha trojuholníka, zmiešaný súčin a objem, príklady. 4. Lineárne transformácie: sústava troch lineárnych rovníc, matice a ich súčin, determinant, hodnota matice - priamky a roviny. 5. Grupy GL(3, R) a SL(3, R), grupy rotácií O(3) a O(3). Skladanie rotácií: slnečné hodiny a iné (jednoduchšie) príklady. III. Vektorové priestory 1. Definícia vektorového priestoru: lineárna závislosť dimenzia, báza, príklady. 2. Sústavy lineárnych rovníc: maticový zápis, hodnota matice, priestor riešení, transponovaná matica, súčin matíc. 3. Skalárny súčin: norma, vzdialenosť, metrika, ortogonalita a ortogonálna báza. 4. Lineárne transformácie: štvorcové matice, ich súčin a determinant, grupy GL(n, R) a SL(n, R). Vlastné hodnoty a vlastné vektory matice, symetrické a antisymetrické matice. 5. Ortogonálne matice a transformácie: invariantnosť skalárneho súčinu, grupy O(n) a SO(n). Vlastné hodnoty a vlastné vektory symetrickej matice, diagonalizácia symetrických matíc. 6. Komplexné vektorové priestory: lineárna závislosť dimenzia, báza, lineárne transformácie, grupy GL(n, C) a SL(n, C). Hermitovsky združená matica, hermitovské a unitárne matice, unitárne transformácie, grupy U(n) a SU(n). 3
4 Skalárny súčin a jeho invariantnosť, vlastné hodnoty a vlastné vektory hermitovskej matice, diagonalizácia hermitovských matíc. Motivácia. Aj keď v informatike sa pracuje najmä metódami diskrétnej matematiky a algebry, je veľmi užitočné ovládať aj základy analýzy a geometrie. Tieto aspekty sa prejavujú najmä v aplikáciách numerických a informatických metód. často treba skúmať, simulovať alebo modelovať rôzne procesy, zobrazovať ich alebo prenášať do virtuálneho sveta počítačov. Na doplnenie treba uviesť, že aj v rámci diskrétnej matematiky, pri formuláciách problémov alebo ich analýze je užitočné mať základné vedomosti zo "spojitej matematiky". Zvyčajne, alebo aspoň veľmi často, skúmaný problém má svoj matematický alebo fyzikálny popis v rámci "klasickej" analýzy a geometrie. Cieľom prednášok Matematika 2 je poskytnúť základné poznatky z lineárnej algebry. Pojmový aparát bude preto budovaný len v nevyhnutnej miere. Dôraz bude kladený na praktické ovládanie metód, t.j. priebežné precvičovanie naučených poznatkov, riešenie najprv jednoduchých a potom (trochu) zložitejších problémov. 4
5 Literatúra. Učebnice. 1. I. Kluvánek, L. Mišík, J. Švec: Matematika pre štúdium technických vied, Alfa, Bratislava, Ch. B. Morrey, jr: University Calculus with Analytic Geometry, Addison- Wesley Publ. Comp., J. Kvasnica: Matematický aparát fyziky, Academia, Praha, P. Zlatoš, Lineárna algebra, web stránka KAGM, FMFI UK. Zbierka úloh. J. Eliáš, J. Horváth, J. Kajan: Zbierka úloh z vyššej matematiky, 1. časť, Alfa, Bratislava, 1971 (a neskoršie vydania). Prehľady. 1. I. N. Bronštejn, K. A. Semenďajev: Príručka matematiky, SNTL, Bratislava, Malá encyklopédia matematiky, Obzor, Bratislava,
6 Hodnotenie predmetu. Výsledné hodnotenie sa skladá z priebežného hodnotenia a záverečného hodnotenia v pomere 50: Priebežné hodnotenie počas semestra 40 bodov = 20 bodov testy na cvičeniach + 20 bodov semestrálna písomka 2. Záverečné hodnotenie 40 bodov = 35 skúšková písomka + 5 bodov ústna skúška 3. Známkovanie menej ako F x bodov... E bodov... D bodov... C bodov... B viac ako A Kto zo všetkých písomných testov počas semestra nezíska viac ako 10 bodov (z možných 40) nebude pripustený k záverečnému testu a ústnej skúške. Zlepšenie hodnotenia podľa písomných testov o 1 stupeň je dané počtom bodov získaných na ústnej skúške. Zlý výsledok ústnej skúšky môže znamenať zhoršenie známky o 1 stupeň oproti hodnoteniu podľa písomných testov. 6
7 1 Lineárna algebra a geometria v rovine Súradnice v rovine Budeme predpokladať, že (intuitívne) poznáme základné pojmy Euklidovskej geometrie v rovine: pojmy bodu v rovine a vzdialenosti dvoch bodov, pojmy priamky a ich vzájomnej polohy. Pravouhlé (kartézske) súradnice v rovine zavedieme takto: (i) Zvolíme v rovine priamku p x (x-ovú os) a na nej počiatok 0, ktorý bude odpovedať bodu x = 0 na číselnej osi; (ii) Počiatkom 0 vedieme ďalšiu priamku p y (y-ovú os) kolmú na x-ovú os; (iii) Ľubovoľný bod P roviny stotožníme s dvojicou reálnych čísiel P = [x P ; y P ], kde x P (y P ) označujú x-ovú os(y-ovú os) súradnicu bodu P (pozri Obr. 1a). Vzdialenosť dvoch bodov roviny. Uvažujme teraz dva body roviny P = [x P ; y P ] a Q = [x Q ; y Q ]. Ich vzdialenosť d(p, Q) sa definuje ako dĺžka prepony pravouhlého trojuholníka P QR, R = [x Q ; y P ] (pozri Obr. 1b). Podľa Pythagorovej vety d(p, Q) = (x P x Q ) 2 + (y P y Q ) 2. (1) Euklidovská rovina E 2 je priestor dvojíc reálnych čísiel R 2 opatrený pojmom vzdialenosti (1). Polárne súradnice definujeme takto: 7
8 (i) Okolo počiatku 0 = [0; 0] nakreslíme jednotkovú kružnicu a na nej vyznačíme uhol φ ( π, +π], tak ako je naznačené na Obr. 2a: bodu [1; 0] je priradený uhol φ = 0, bodom [0; +1] a [0; 1] uhly φ = +π/2 resp. φ = π/2, bodu [ 1; 0] priradíme uhol φ = +π (mohli by sme priradiť aj uhol φ = π, je dobré sa jednoznačne rozhodnúť). (ii) Každý bod P = [x; y] 0 roviny parametrizujeme jeho polárnymi súradnicami: vzdialenosťou od počiatku r = x 2 + y 2 a uhlom φ zadaným pomocou rovníc x = r cos φ, y = r sin φ. (2) Poznámka: Polárne súradnice môžeme vyjadriť pomocou kartézskych súradníc takto: r = x 2 + y 2, φ = arccos x r. (3) Polárne súradnice sú dobre definované okrem počiatku, v ktorom síce r = 0 ale uhol φ nie je definovaný! Definícia: Priamka p v E 2 je množina bodov X = [x; y], ktoré spĺňajú rovnicu p : a x + b y + c = 0, (4) kde a, b a c sú reálne čísla, pričom a 2 + b 2 > 0. Bez ujmy na všeobecnosti, budeme predpokladať, že a 0 (v opačnom prípade rovnicu (4) násobíme číslom 1). Ak b = 0, rovnica a x + c = 0 definuje priamku rovnobežnú s y-ovou osou. Podobne, ak a = 0, rovnica b y + c = 0 definuje priamku rovnobežnú s x-ovou osou. 8
9 Smerový uhol priamky. Smerový uhol α priamky p (4) definujeme rovnicou tg α = a b, b 0. (5) Uhol berieme z intervalu [0, π), ak b = 0 kladieme α = π/2. Je to uhol, ktorý priamka p zviera s x-ovou osou (pozri Obr. 2b). Poznámka. Ak b 0 rovnicu (4) prepíšeme ako funkciu y = a b x c b. potom y = a b = tg α, v súlade s geometrickou interpretáciou derivácie ako smernice ku krivke v danom bode. Uhol dvoch priamok p a q s kladnými smerovými uhlami α resp. β sa nazýva kladný uhol φ = α β z intervalu [0, π). Ak φ = π/2, hovoríme, že priamky sú kolmé. Poznámka. Rovnicu (4) po vydelení a 2 + b 2 môžeme prepísať do tvaru p : sin α x cos α y + e = 0, (6) kde sin α = a a2 + b 2, cos α = b a2 + b 2, e = c a2 + b 2. (7) Priamka prechádzajúca bodom Q = [x Q ; y Q ] s daným smerovým uhlom α je daná rovnicou p : sin α (x x Q ) cos α (y y Q ) = 0. (8) 9
10 Porovnaním s rovnicou (6) dostaneme e = y Q cos α x Q sin α. Parametrický tvar priamky. Priamku p prechádzajúcu bodom Q = [x Q ; y Q ] možno tiež zadať v parametrickom tvare ako množinu bodov p : [b t + x Q ; a t + y Q ], t je ľubovolné reálne číslo. (9) Zavedené pojmy bodu a priamky v E 2 spĺňajú Euklidove axiómy rovinnej geometrie: (i) Dvomi rôznymi bodmi P 0 = [x 0 ; y 0 ] a P 1 = [x 1 ; y 1 ] možno viesť práve jednu priamku p, ktorá je v parametrickom tvare zadaná ako množina bodov P (t) = [t x 0 + (1 t)x 1 ; t y 0 + (1 t)y 1 ], t R. (10) Ak 0 t 1, tak máme úsečku s koncovými bodmi P 0 = [x 0 ; y 0 ] a P 1 = [x 1 ; y 1 ]. (ii) Bodom Q = [x Q ; y Q ], ktorý neleží na priamke p : sin α x cos α y + e = 0, možno viesť práve jednu priamku p rovnobežnú s p, ktorá je zadaná rovnicou p : sin α (x x Q ) cos α (y y Q ) = 0. (11) Priamky p a p nemajú spoločný bod: keby takýto bod P = [x ; y ] existoval, tak preň by platilo sin α x cos α y + e = 0, sin α (x x Q ) cos α (y y Q ) = 0. 10
11 Odčítaním oboch rovníc dostaneme sin α x Q cos α y Q + e = 0, čo je ekvivalentné tomu, že bod Q = [x Q ; y Q ] leží na priamke p - spor s našim východzím predpokladom. Vzdialenosť bodu od priamky. Bodom Q, ktorý neleží na priamke p možno viesť práve jednu priamku p kolmú na p zadanú rovnicou p : b (x x Q ) a (y y Q ) = 0. (12) Priesečník P = [x ; y ] priamok p a p je určený rovnicami p : cos α (x x Q ) + sin α (y y Q ) = 0, p : sin α (x x Q ) cos α (y y Q ) + d = 0, kde d = e + sin α x Q cos α y Q. Jednoduchý výpočet dá x = x Q sin α d, y = y Q + cos α d. Vzdialenosť bodu Q od priamky p definujeme ako vzdialenosť bodov Q a P : d(q, P ) = (x Q x ) 2 + (y Q y ) 2 = d = e + sin α x Q cos α y Q. (13) 11
12 Jednoduché krivky v rovine. Elipsa v rovine (v štandardnom tvare) je daná ako množina bodov P = [x; y], ktoré spĺňajú rovnicu (pozri Obr. 3a): x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, a 2 = b 2 + e 2. (14) číslo e = a 2 b 2 a sa nazýva excentricita elipsy; ak e = 0, elipsa sa redukuje na kružnicu. Body F 1 = [ e; 0] a F 2 = [+e; 0] sa nazývajú ohniská elipsy. Veta: Elipsa (14) je množina tých bodov roviny, ktoré majú od ohnísk konštantný súčet vzdialeností rovný 2a. Dôkaz: Súčet vzdialeností bodu P = [x; y] elipsy od jej ohnísk je rovný (pozri Obr. 3a): (e + x)2 + y 2 + (e x) 2 + y 2 = 2a. Umocnením tohto vzťahu, po jednoduchej úprave, prídeme k rovnici 2a 2 (e 2 + x 2 + y 2 ) = (e 2 + x 2 + y 2 ) 2 4e 2 x 2. Ďalším umocnením obdržíme rovnicu a 4 a 2 e 2 = a 2 y 2 + (a 2 e 2 )x 2, ktorá už je ekvivalentná definičnej rovnici (14). Hyperbola v rovine (v štandardnom tvare) je daná ako množina bodov P = [x; y], ktoré spĺňajú rovnicu (pozri Obr. 3b): x 2 a 2 y2 b 2 = 1, e 2 = a 2 + b 2. (15) 12
13 číslo e = a 2 +b 2 a F 2 = [+e; 0] sú jej ohniská. sa nazýva excentricita hyperboly. Body F 1 = [ e; 0] a Hyperbola má dve asymptoty (t.j. priamky) dané rovnicou y ± b a x = 0. Veta: Hyperbola (15) je množina tých bodov roviny, ktoré majú od ohnísk konštantný rozdiel vzdialeností rovný 2a. Dôkaz je obdobný ako v prípade elipsy. Rozdiel vzdialeností bodu P = [x; y] hyperboly od jej ohnísk je rovný (pozri Obr. 3b): (e + x)2 + y 2 (e x) 2 + y 2 = 2a. Umocnením tohto vzťahu, po jednoduchej úprave, prídeme k rovnici (e 2 + x 2 + y 2 ) 2a 2 = (e 2 + x 2 + y 2 ) 2 4e 2 x 2. Ďalším umocnením obdržíme rovnicu a 4 a 2 e 2 = a 2 y 2 + (a 2 e 2 )x 2, ekvivalentnú definičnej rovnici (15). Parabola v rovine (v štandardnom tvare) je daná ako množina bodov P = [x; y], ktoré spĺňajú rovnicu (pozri Obr. 3c): y 2 = 2 p x, p > 0. (16) Bod V = [0; 0] sa nazýva vrchol paraboly, bod F = [0; p/2] je jej ohnisko. Veta: Parabola (16) je množina tých bodov roviny, ktoré majú od jej ohniska F = [ p 2 ; 0] a od riadiacej priamky x + p 2 = 0 rovnakú vzdialenosť. 13
14 Dôkaz: Vzdialenosť bodu P = [x; y] od riadiacej priamky resp. od ohniska je rovná (pozri Obr. 3c): x + p (x 2 resp. p 2 )2 + y 2. Po umocnení rovnice x + p 2 = (x p 2 )2 + y 2 dostaneme hneď definičnú rovnicu (16). Vektory v rovine Uvažujme priestor V 2 vektorov (orientovaných úsečiek - "šípiek") x, smerujúcich z počiatku 0 do bodu X = [x 1 ; x 2 ] (zložky bodu X budeme systematicky značiť ako x 1, x 2 miesto x a y). Každému vektoru ("šípke") príradíme 2-zložkový stĺpec x = x 1. (17) čísla x 1 a x 2 nazveme zložkami vektora x; vektor s nulovými komponentami, odpovedajúci počiatku budeme značiť ako 0. x 2 Súčet dvoch vektorov x = x 1, y = y 1 x 2 y 2 definujeme ako vektor x + y = x 1 + y 1 x 2 + y (18)
15 Sčítanie vektorov má názorný geometrický význam: x + y je vektor odpovedajúci prepone rovnobežníka so stranami x a y. Násobenie vektora x číslom a R sa definuje ako vektor ax so zložkami a x 1 a a x 2 : ax = a x 1 a x 2. (19) Definícia vektorového priestoru Množina V je reálny vektorový (lineárny) priestor, ktorého prvky nazývame vektory, ak pre súčet vektorov a ich násobenie reálnymi číslami platia nasledovné axiómy: ak x, y V a a, b R, potom aj ax + by V, vo V existuje taký vektor 0, že pre každý vektor x V platí x + 0 = x, pre každý vektor x existuje taký (inverzný) vektor -x, že x + (-x) = 0, x + y = y + x, x + (y + z) = (x + y) + y, 1.x = x, 0.x = 0, a (bx) = (ab) x, (a + b)x = ax + bx, a(x + y) = ay + by. (20) Poznámka: Ľahko sa možno presvedčiť, že priestor V 2 (vektorov - šípiek v E 2 ) s lineárnou kombináciou definovanou v (18) a (19), je v zmysle tejto 15
16 definície vektorový priestor. Na druhej strane, vektormi v zmysle prvkov vektorového priestoru môžu byť aj iné objekty ako iba vektory - šípky. Napr. polynómy alebo n-tice čísiel s vhodne zadefinovanými pravidlami sčítania a násobenia reálnymi číslami tiež tvoria vektorový priestor, a teda v zmysle definície vektorového priestoru sú tiež vektormi. Ďalej, lineárne priestory môžu byť definované nielen pomocou reálnych čísiel, ale tiež napr. použitím racionálnych, alebo komplexných čísiel. Potom ich nazývame racionálny, resp. komplexný vektorový priestor. Skalárny súčin dvoch vektorov x = x 1 r cos α, y = r sin α x 2 y 1 y 2 ρ cos β ρ sin β je reálne číslo x.y definované takto: x.y = x 1 y 1 + x 2 y 2 = rρ (cos α cos β + sin α sin β) = rρ cos(α β). (21) Tento vzťah môžme prepísať takto: x.y = x y] cos φ, (22) kde φ = α β je uhol medzi "šípkami" odpovedajúcimi vektorom x a y, kým x a y označujú dĺžku vektorov x a y. Ak x.y = 0, hovoríme, že vektory x a y sú ortogonálne. Vlastnosti skalárneho súčinu. Jednoducho sa možno presvedčiť, že skalárny súčin má nasledujúce vlastnosti: x.x 0, a x.x = 0 len ak x = 0, 16
17 x.y = y.x, (ax).y = a (x.y), (x + y).z = x.z + y.z. (23) Dĺžku vektora (tiež norma vektora) x je definovaná vzťahom x = x.x. (24) V kartézskych a polárnych suradniciach pre dĺžku vektora x dostávame x = x x 2 2 = r. Ak x = 1, vektor sa nazýva normovaný (na jednotku). Norma vektora spĺňa nasledujúce axiómy: x 0, a x = 0 len ak x = 0, ax = a x, x + y x + y trojuholníková nerovnosť. (25) Zápis priamky pomocou vektorov. Pretože konce vektorov - "šípiek" odpovedajú bodom v rovine, môžeme priamky vyjadrovať pomocou vektorov: (i) Parametrický zápis priamky p so smerovým uhlom α, prechádzajúcej bodom x 0 : p : x = nt + x 0, t R, (26) kde n = cos α sin α, 17
18 je vektor jednotkovej dĺžky v smere priamky. Rovnicu (26) môžeme prepísať do tvaru p : x = at + x 0, t R, (27) kde sme zaviedli vektor a = an a nový parameter t, pre ktorý platí: t = a t, a > 0. (ii) Priamku p so smerovým uhlom α a prechádzajúcu bodom x 0 možno zapísať rovnicou x p m.(x x 0 ) = 0, (28) kde m = sin α cos α je vektor jednotkovej dĺžky kolmý na priamku p. Po vynásobení číslom b > 0 rovnicu (28) môžeme prepísať do všeobecnejšieho tvaru x p b.x + c = 0, (29) kde b = b m a c = b m.x 0. Lineárna závislosť systému vektorov. Systém vektorov x 1, x 2,..., x n nazveme lineárne závislým, ak existuje také riešenie rovnice a 1 x 1 + a 2 x a n x n = 0, (30) že niektoré z čísiel a 1, a 2,..., a n sú nenulové, t.j. platí a a a 2 n > 0. Ak rovnica (30) má len triviálne riešenie a 1 = a 2 =... = a n = 0, hovoríme, že vektory x 1, x 2,..., x n sú lineárne nezávislé. Lineárna závislosť systému vektorov svedčí o tom, že niektoré vektory systému možno vyjadriť prostredníctvom iných vektorov. 18
19 Ortonormálna báza v priestore V 2. V priestore V 2 sú ľubovoľné tri vektory a, b, c lineárne závislé. Existujú ale dvojice vektorov, ktoré sú lineárne nezávislé. Ako príklad lineárne nezávislej dvojice, môžu slúžiť vektory e 1 = 1 0, e 2 = 0 1. Skutočne, rovnica a 1 e 1 + a 2 e 2 = a 1 = 0 0 = 0 a 2 má len triviálne riešenie a 1 = a 2 = 0. Ľubovoľný vektor x V 2 možno vyjadriť ako lineárnu kombináciu vektorov e 1 a e 2 : x = x 1 x 2 = x x = x 1 e 1 + x 2 e 2. Hovoríme, že vektory {e 1 e 2 } tvoria bázu vektorového priestoru V 2. Pre túto bázu platí: e 2 1 = e 2 2 = 1, e 1. e 2 = 0. (31) Takáto báza sa nazýva ortonormálna: všetky bázové vektory sú normované na 1 a rôzne bázové vektory sú navzájom ortogonálne. Zrejme platí x 1 = x. e 1, x 2 = x. e 2. (32) Ortonormálna báza, t.j. báza, ktorá spĺňa (31), nie je určená jednoznačne. Ľahko sa možno presvedčiť, že aj vektory e 1 = cos φ e 1 + sin φ e 2, e 2 = sin φ e 1 + cos φ e 2, (33) 19
20 tvoria ortonormálnu bázu. Lineárne zobrazenie a matice Zobrazenie vektorov x = x 1 x 2 x = x 1 x 2 (34) tvaru x 1 A 11 x 1 + A 12 x 2 = x 1, x 2 A 21 x 1 + A 22 x 2 = x 2, (35) nazveme lineárnym zobrazením vo V 2 zadaným pomocou 2 2 reálnej matice (2 2 tabuľky reálnych čísiel): A = A 11, A 12 A 21, A 22, A ij R. (36) Rovnicu (35) vyjadrujeme v maticovom zápise takto: A 11 A 12 A 21 A 22 x 1 x 2 A 11 x 1 + A 12 x 2 A 21 x 1 + A 22 x 2 = x 1 x 2. (37) Ľavá strana tohto dôležitého vzťahu definuje násobenie 2 2 matice A a 2-zložkového vektora (stĺpca) x. Rovnicu (37) stručne zapisujeme takto: A x = x. (38) Pôsobme teraz maticou na jednotlivé vektory štandardnej bázy: A e 1 = A 11 A 21 = A 11 e 1 + A 21 e 2, 20
21 A e 2 = A 12 A 22 = A 12 e 1 + A 22 e 2. Ak skalárne vynásobíme tieto vektory bázovými vektormi, prídeme k dôležitému vyjadreniu ľubovoľného prvku matice A: A ij = e i.(a e j ), i, j = 1, 2. (39) Tento zápis znamená, že formula pre A ij platí pre všetky možné kombinácie indexov i = 1, 2 a j = 1, 2. Algebra matíc. Množina 2 2 matíc je algebra, lebo sú v nej definované dve operácie: (i) Lineárna kombinácia a A + b B matíc A = A 11, A 12 A 21, A 22, B = B 11, B 12 B 21, B 22 ktorá je definovaná ako matica s prvkami a A ij + b B ij : a A + b B = a A 11 + b B 11, a A 12 + b B 12 a A 21 + b B 21, a A 22 + b B 22, (40). (41) Vzhľadom k takto zavedenej lineárnej kombinácii matice tvoria vektorový (lineárny) priestor, v ktorom úlohu počiatku hrá nulová matica O = 0, 0. (42) 0, 0 (ii) Súčin A B matice A s maticou B je definovaný ako matica A B = A 11 B 11 + A 12 B 21, A 11 B 12 + A 12 B 22 A 21 B 11 + A 22 B 21, A 21 B 12 + A 22 B 22. (43) 21
22 Poznamenajme, že maticový súčin je asociatívny: A (B C) = (A B) C A B C. Transponovaná matica A t k matici A je matica A t = A 11, A 21 A 12, A 22, (44) v ktorej riadky a stĺpce sú navzájom vymenené. Inverzná matica A t má prvky A t ij = A ji, t.j. A t dostaneme z matice A otočením okolo hlavnej diagonály ( A 11, A 22 ). Pre transpozíciu súčinu matíc máme: (A B) t = B t A t. Pre skalárny súčin platí nasledujúca identita: Dokázať sa dá jednoducho priamym dosadením: x. (A y) = (A t x). y. (45) x. (A y) = x 1 (A 11 y 1 + A 12 y 2 ) + x 2 (A 21 y 1 + A 22 y 2 ) = (x 1 A 11 + x 2 A 21 ) y 1 + (x 1 A 12 + x 2 A 22 ) y 2 = (A t x). y. (46) špeciálne pre symetrickú maticu máme, x. (A y) = (A x). y. (47) Jednotková matica (s 1-mi na diagonále a 0-mi mimo nej) I = 1, 0 (48) 0, 1 22
23 hrá úlohu "jednotky" pri maticovom súčine: I A = A I = A. Inverzná matica a determinant matice. Hovoríme, že matica A je regulárna (invertibilná), ak k nej existuje inverzná matica A 1, pre ktorú platí: A A 1 = A 1 A = I. (49) Pokiaľ matice A a B sú invertibilné, ich súčin je invertibilný a platí: (A B) 1 = B 1 A 1. Determinant matice je reálne číslo priradené matici A predpisom A det A 11, A 12 A 21, A 22 = A 11 A 22 A 12 A 21. (50) Druhý zápis tvaru A ij sa používa vtedy, keď potrebujeme explicitne zdôrazniť hodnoty maticových prvkov. Determinant má nasledujúce vlastnosti: (i) Determinant transponovanej matice A t je rovný determinantu matice A: det A t = det A. (51) (ii) Determinat zmení znamienko, ak vymeníme oba riadky (stĺpce). (iii) Determinat sa nezmení, ak k niektorému riadku (stĺpcu) pripočítame násobok druhého riadku (stĺpca). Dôkaz týchto vlastností plynie priamo z formuly (50) (iv) Determinant súčinu dvoch matíc sa rovná súčinu ich determinantov: det (A B) = det A det B. (52) Dôkaz: Z definícií súčinu matíc a determinantu dostaneme: det (A B) = (A 11 B 11 + A 12 B 21 ) (A 21 B 12 + A 22 B 22 ) 23
24 (A 11 B 12 + A 12 B 22 ) (A 21 B 11 + A 22 B 21 ) = (A 11 A 22 A 12 A 21 ) (B 11 B 22 B 12 B 21 ) = det A det B. (v) Matica A je invertibilná práve vtedy, keď det A 0. Inverzná matica je daná formulou: A 1 = 1 det A A 22, A 12 A 21, A 11 Dôkaz: Skutočne, z formúl (43) a (53) máme: A A 1 1 = A 11 A 22 A 12 A 21, A 11 A 12 A 12 A 11 det A A 21 A 22 A 22 A 21, A 21 A 12 A 22 A 11 Formula A 1 A = I sa dokáže analogicky.. (53) = I. Sústavy lineárnych rovníc V tejto časti budeme sa zaujímať o riešenie sústavy dvoch lineárnych algebraických rovníc A 11 x 1 + A 12 x 2 = b 1, A 21 x 1 + A 22 x 2 = b 2, (54) pre neznáme x 1, x 2. Čísla b 1, b 2 sa nazývajú pravou stranou sústavy rovníc. Ak je pravá strana nulová, hovoríme o homogénnej sústave rovníc; ak je nenulová, sústava sa nazýva nehomogénna. Vo vektorovom (maticovom) zápise sústavu (54) môžme zapísať ako vektorovú rovnicu: A x = b. (55) Riešenie sústavy pomocou determinantov. 24
25 (i) Ak D det A 0 sústava má práve jedno riešenie dané formulami: x 1 = D 1 D, x 2 = D 2 D, b D 1 = 1, A 12 b 2, A 22, D A 2 = 11, b 1 A 21, b 2. (56) Teda D 1 a D 2 sú determinanty matíc, ktoré sa dostanú tak, že v matici A nahradíme 1. resp. 2. stĺpec zložkami vektora b na pravej strane rovnice. Dôkaz: Vynásobme rovnicu (55) maticou A 1 : x = A 1 b. Ak použijeme vzorec (53) a vyčíslime A 1 b, hneď dostaneme hľadané riešenie (56). (ii) Prípad D = 0 a D 1 = D 2 = 0 diskutujeme nižšie. (iii) Ak D = 0 a niektoré z D j 0, sústava nemá riešenie. Riešenie sústavy pomocou rozšírenej matice. Sústavu lineárnych algebraických rovníc (54) zapíšeme ako 2 3 rozšírenú maticu (tabuľku čísiel): (A b) A 11 A 12 b 1 A 21 A 22 b 2. (57) Nejedná sa o nič iné, ako o maximálne úsporný zápis sústavy (54). Neznáme x 1 a x 2 explicitne nevypisujeme, vieme ale že: stĺpci. x 1 resp. x 2 násobia 1. resp 2. stĺpec, potom oba stĺpce sčítame a súčty jednotlivých riadkov sa rovnajú príslušným členom v treťom Veta: Sústava lineárnych algebraických rovníc popísaných rozšírenou maticou (A b) má riešenie práve vtedy, keď počet lineárne nezávislých riadkov 25
26 matice sústavy A sa rovná počtu lineárne nezávislých riadkov rozšírenej matice (A b). Komentár: (i) Ak oba riadky A aj (A b) sú lineárne nezávislé, tak D = det A 0 a existuje jednoznačné riešenie sústavy dané (56). (ii) Ak (A b) má len jeden lineárne nezávislý riadok (a druhý je jeho násobkom), potom sa sústava redukuje na jednu nezávislá rovnicu (povedzme, danú j-tym riadkom) A j1 x 1 + A j2 x 2 = b j. (58) Tento vzťah reprezentuje rovnicu určitej priamky p. Riešení je nekonečne veľa: každý bod na p rieši sústavu. V tomto prípade D = 0 a D 1 = D 2 = 0. (iii) Ak rozšírená matica (A b) má dva lineárne nezávislé riadky, kým A len jeden, potom sústava nemá riešenie. V tomto prípade D = 0 a aspoň jeden z determinantov D 1 a D 2 je rôzny od nuly. Príklad 1. Riešte sústavu rovníc x 1 x 2 = 1 2 x x 2 = +1 +1, , Riešenie: Na pravej strane máme sústavu zapísanú pomocou rozšírenej matice. Aby sme eliminovali premennú x 1 v druhej rovnici, odčítajme dvojnásobok prvej rovnice od druhej. Na úrovni rozšírenej matice pod diagonálou sa objaví nula: +1, , 1 1 x 1 x 2 = 1 +2, , x 2 = +3 26
27 (symbol " " označuje, že obe rozšírené matice odpovedajú ekvivalentným sústavám rovníc). Teraz môžme z druhej rovnice priamo vyjadriť x 2 a po dosadení do prvej rovnice aj x 1 : x 2 = 3 5, x 1 = x 2 1 = = 2 5. Príklad 2. Uvažujme teraz dve modifikácie predchádzajúceho príkladu zadané rozšírenými maticami: (a) +1, 1 1, (b) +1, , , Riešenie: Postupujme rovnako ako predtým a odčítajme dvojnásobok prvého riadku od druhého. Dostaneme, (a) +1, 1 1 x 1 x 2 = 1, 0, = 0 (b) +1, 1 1 x 1 x 2 = 1,. 0, = +5 (a) Rozšírená matica (A b) má dva lineárne závislé riadky, takže vhodným odčítaním vynulujeme druhý riadok: prvému riadku odpovedá rovnica priamky, kým druhý riadok predstavuje identitu 0 = 0. Sústava má nekonečne veľa riešení - riešia ju všetky body priamky. (b) Rozšírená matica (A b) má dva lineárne nezávislé riadky, kým matica A má lineárne závislé riadky: prvému riadku odpovedá netriviálna rovnica, kým druhý riadok predstavuje neplatný vzťah 0 = +5. Sústava nemá riešenie. Grupa regulárnych matíc 27
28 Maticu A zobrazenia x A x nazveme regulárnou, ak jej determinant je nenulový: det A 0. Regulárne zobrazenia zobrazujú priestor V 2 jednoznačne na seba: ak x 1 x 2 potom A x 1 A x 2, a naviac, pre každé x V 2 existuje také x, že platí: x = A x, regulárne zobrazenia x B x a x A x môžeme skladať: zložené zobrazenie je regulárne a odpovedá mu súčin matíc: A (B x) = (A B) x. V množine regulárnych matíc G môžeme definovať operáciu - maticový súčin: A, B G A B G, ktorý má nasledujúce vlastnosti: (i) Asociatívnosť. Pre ľubovoľnú trojicu A (B C) z G platí: A (B C) = (A B) C; (ii) Existencia jednotkového prvku I. Pre ľubovoľný prvok A z G platí: A I = I A = A; (iii) Existencia inverzného prvku. Ku každému prvku A z G existuje A 1, pre ktorý platí: A A 1 = A 1 A = I. Definícia grupy a podgrupy. Množina G je grupa ak je v nej definovaný súčin s s vlastnosťami (i) - (iii). Podmnožina G G je podgrupa grupy G ak grupovvý súčin zúžený na G má vlastnosti (i) - (iii). Poznámka 1. Množina regulárnych matíc s nenulovým determinantom je grupa vzhľadom k maticovému súčinu, ktorá sa zvykne označovať ako G = GL(2, R): jednotková matica odpovedá jednotkovému prvku grupy a 28
29 inverzná matica odpovedá inverznému prvku. Je to dôsledkom toho, že det A 0 a det B 0 det (AB) = det A det B 0. Poznámka 2. Jej podmožina matíc s jednotkovým determinantom je grupa, ktorá sa zvykne označovať ako G = SL(2, R). Je dôsledkom toho, že vzťah det (AB) = det A det B je konzistentný s podmienkou det A = 1. Poznámka 3. Matica A sa nazýva ortogonálna, ak pre jej transponovanú maticu A t platí: A t A = I. Množina ortogonálnych matíc tvorí grupu H, ktorá sa zvykne označovať ako O(2, R) alebo jednoducho O(2). Jedná o grupu, čo plynie z toho že A t A = I a B t B = I implikuje (A B) t (A B) = B t A t A B = B t (A t A) B = B t B = I. Poznámka 4. Zo vzťahu A t A = I vyplýva det A t det A = (det A) 2 = 1. Preto, det A = ±1. Ľahko sa možno presvedčiť, že ortogonálne matice s det A = +1, tvoria podgrupu H = SO(2) grupy H = O(2), ktorá sa nazýva sa grupou vlastných rotácií roviny. Každá matica A SO(2) odpovedá rotácii roviny o nejaký uhol α: A = cos α, sin α. sin α, cos α Poznámka 5. Matice z grupy rotácií s determinantom rovným 1 netvoria podgrupu: súčin dvoch takýchto matíc je matica s determinantom +1. Každá ortogonálna matica A s determinantom rovným 1 ale môže byť zapísaná ako súčin matice E = 1, 0 0, 1 odpovedajúcej priestorovej reflexii (odrazu v zrkadle umiestnenom v 1. súradnicovej osi v rovine) a vlastnej rotácie A: A = E A, kde det A = ,
30 Poznámka 6. Grupa SO(2) je podgrupou ako grupy SL(2, R), tak aj grupy O(2). Naviac platí: SO(2) = SL(2, R) O(2). Všeobecné bázy vo vektorovom priestore Uvažujme lineárne zobrazenie x A x generované regulárnou maticou A = A 11, A 12 A 21, A 22. Pôsobením na štandardnú ortonormálnu bázu e 1 = 1 0, e 2 = 0 1, obdržíme dvojicu vektorov f 1 = A e 1 = f 2 = A e 2 = A 11, A 12 A 21, A 22 A 11, A 12 A 21, A = = A 11 A 21 A 12 A 22,. Dvojica vektorov f 1 a f 2 predstavuje všeobecnú (neortonormálnu) bázu vo vektorovom priestore, t.j. každý vektor x možno vyjadriť ako lineárnu kombináciu vektorov f 1 a f 2 : = x 1 x = x 1 e 1 + x 2 e 2 = A 11 A 21 + x 2 A 12 A 22 x 1 x 2 = = x 1f 1 + x 2 f 2 A 11 x 1 + A 12 x 2 A 21 x 1 + A 22 x 2. 30
31 Vidíme, že koeficienty rozvoja x 1 a x 2 vektora v neortonormálnej báze sú určené rovnicami A 11 x 1 + A 12 x 2 = x 1, A 21 x 1 + A 22 x 2 = x 2. Vďaka tomu, že A je regulárna matica, táto sústava má jednoznačné riešenie pri ľubovoľnom x 1 a x 2. Diagonalizácia symetrickej matice Vektor x sa nazýva normovaným vlastným vektorom matice A k vlastnej hodnote λ, ak existuje reálne číslo λ tak, že je splnená rovnica A x = λ x (A λ I) x = 0, x = 1. (59) Jedná sa o homogénnu sústavu lineárnych algebraických rovníc pre zložky vektora x. Aby táto sústavu rovníc mala nenulové riešenie, determinant sústavy sa musí rovnať nule: det(a λ I) = 0. Tento vzťah je kvadratická rovnica pre neznámu λ. Takáto rovnica ale nemusí mať požadované reálne riešenie. V ďalšom sa preto obmedzíme na symetrické matice, ktoré ako uvidíme, majú reálne vlastné hodnoty. Vlastné vektory a hodnoty symetrickej matice Ľubovoľnú symetrickú maticu A môžeme (vhodne) parametrizovať takto: A = a + r cos α, r sin α. r sin α, a r cos α 31
32 Podmienka na vlastnú hodnotu nadobúda tvar a λ + r cos α, r sin α det(a λ I) = r sin α, a λ r cos α = (a λ)2 r 2. Vlastné hodnoty matice A teda sú: λ = a ± r. Môžu nastať dva prípady: (i) Ak r = 0, potom A = a I. Všetky vektory sú vlastné vektory k hodnote λ = a: A x = a x. Môžeme vybrať napríklad štandardnú bázu ako ortonormálny systém dvoch vlastných vektorov: x 1 = 1 0, x 2 = 0 1. (ii) Ak r 0, tak vlastné vektory sú riešením rovnice a + r cos α, r sin α x 1 = (a ± r) x 1 r sin α, a r cos α x 2 x 2, ktorá sa redukuje na sústavu dvoch homogénnych algebraických rovníc: cos α x 1 + sin α x 2 = ± x 1, sin α x 1 cos α x 2 = ± x 2. Obe rovnice nie sú nezávislé (vynásobte prvú rovnicu s cos α, druhú so sin α a sčítajte). Rovnice so znamienkom "+" resp. " " majú normované riešenie: x 1 = cos α 2 sin α 2, resp. x 2 = sin α 2 cos α 2. Poznámka: Ľahko sa možno presvedčiť, že oba vlastné vektory x 1 a x 2 sú normované a navzájom ortogonálne: x 1 = x 2 = 1 a x 1. x 2 = 0. Nie je to náhoda, lebo platí 32
33 Veta: Vlastné vektory symetrickej matice k rôznym vlastným hodnotám sú navzájom ortogonálne. Dôkaz: Rovnice A x 1 = λ 1 x 1 resp. A x 2 = λ 2 x 2, vynásobme x 2 resp. x 1. Dostaneme rovnice x 2.(A x 1 ) = λ 1 x 2.x 1 resp. x 1.(A x 2 ) = λ 2 x 1.x 2. Odčítaním oboch týchto rovníc obdržíme vzťah: (λ 1 λ 2 ) x 1.x 2 = 0, kde sme využili to, že pre symetrickú maticu platí x 2.(A x 1 ) = x 1.(A x 2 ). Pretože, podľa predpokladu λ 1 λ 2, tak musí byť x 1.x 2 = 0. V ortonormálnej báze svojich vlastných vektorov x 1 x 11 x 21, x 2 x 12 každá symetrická matica A je diagonálna s vlastnými hodnotami na diagonále. Skutočne, pre maticové prvky A v báze vlastných vektorov platí Λ ij x i. (Ax j ) = λ j x i. x j. x 22, Ak využijeme ortonormalitu bázy {x 1 x 2 }, hneď dostaneme: Λ 12 = Λ 21 = 0, Λ 11 = λ 1, Λ 22 = λ 2. 33
34 Príslušnú diagonálnu maticu Λ dostaneme tiež tak, že maticu A vynásobíme sprava maticou X s prvkami x ij (ktoré odpovedajú zložkám vlastných vektorov {x 1, x 2 } zavedených vyššie) a zľava transponovanou maticou X t. Teda X t A X = Λ, resp. A X = X Λ (60) Posledný vzťah je plynie z ortogonality X t X = X X t = I matice X. Tieto rovnice detailne vyzerajú takto: x 11, x 21 x 12, x 22 A 11, A 12 A 21, A 22 x 11, x 12 x 21, x 22 = λ 1, 0 0, λ 2, resp. A 11, A 12 A 21, A 22 x 11, x 12 x 21, x 22 = x 11, x 12 x 21, x 22 λ 1, 0 0, λ 2. Stĺpce poslednej maticovej rovnice odpovedajú jednotlivým rovniciam na vlastné hodnoty: A x 1 = λ 1 x 1 a A x 2 = λ 2 x 2. Komplexné čísla. Teleso komplexných čísiel C môžeme zaviesť ako množinu reálnych matíc špeciálneho tvaru: X = x, x x, x = x I + x E. Ich lineárna kombinácia je opäť matica tohto tvaru. Matice I = 1, 0 0, 1, E = 0, 1 1, 0, 34
35 spĺňajú vzťahy: I 2 = I, I E = E I = E, E 2 = I. Lineárna kombinácia dvoch komplexných čísiel X = x I + x E a Y = y I + y E je opäť matica tohto tvaru: X + Y = (x + y) I + (x + y ) E. Pre ich súčin ľahko dostaneme: X Y = (x y x y ) I + (x y + x y) E. číslo X = X t = x I x E sa nazýva komplexne združené k číslu X = x I + x E. Nezáporné číslo X = X X = x2 + x 2 X sa nazýva absolútnou hodnotou komplexného čísla X. Kvôli skráteniu zápisu (a aj z historických dôvodov) symbol I sa nahradzuje "1"(a zväčša sa vynecháva) a symbol E sa nahrádza imaginárnou jednotkou "i" ktoré pri násobení sa správajú rovnáko ako I a E: 1 2 = 1, 1.i = i.1 = i, i 2 = 1. Píšeme, X = x + i x. Jeho súčin s komplexným číslom Y zapíše takto: X Y = (x y x y ) + i (x y + x y). = y + i y sa Ak X = cos α + i sin α = e iα (kde α je reálny parameter), tak X = 1. Každé komplexné číslo X = x + i x je jednoznačne zadané dvojicou reálnych čísiel x a x, ktoré môžeme znázorniť ako bod [x; x ] reálnej roviny R 2 resp. ako vektor x v rovine smerujúci z počiatku do koncového bodu [x; x ]. Značenie je také, že 1) X = x (naľavo je absolútna hodnota komplexného čísla a napravo vystupuje dĺžka vektora), 35
36 2) vynásobeniu reálnym číslom a : X a X odpovedá násobenie vektora číslom a : x a x, 3) vynásobeniu komplexným číslom e iα : X e iα X odpovedá rotácia roviny R 2 o uhol α: x x cos α, sin α sin α, cos α x. x 36
37 2 Lineárna algebra a geometria v priestore Súradnice v priestore Najprv zavedieme pravouhlé (kartézske) súradnice v Euklidovskom priestore: (i) Zvolíme v priestore rovinu a v nej počiatok 0, ktorým vedieme dve priamky: x-ovú os a na ňu kolmú y-ovú os; počiatku 0 odpovedá bod x = 0 na x-ovej číselnej osi a bod y = 0 na y-ovej číselnej osi. (ii) Počiatkom 0 vedieme ďalšiu priamku z-ovú os kolmú na x-ovú aj y-ovú os; počiatku odpovedá bod z = 0 na z-ovej číselnej osi. (iii) Ľubovoľný bod P priestoru stotožníme s trojicou reálnych čísiel P = [x P ; y P ; z P ], kde x P, y P a z P označujú po rade x-ovú, y-ovú a z-ovú súradnicu bodu P na príslušnej osi. Vzdialenosť dvoch bodov v priestore. Uvažujme teraz dva body v priestore P = [x P ; y P ; z P ] a Q = [x Q ; y Q ; z Q ]. Ich vzdialenosť d(p, Q) sa definuje ako dĺžka prepony pravouhlého trojuholníka P QR, R = [x Q ; y Q ; z P ]. Podľa Pythagorovej vety d(p, Q) = (x P x Q ) 2 + (y P y Q ) 2 + (z P z Q ) 2. (61) Euklidovský priestor E 3 je množina trojíc reálnych čísiel R 3 opatrená pojmom vzdialenosti (61). Sférické súradnice definujeme takto: (i) Okolo počiatku 0 = [0; 0; 0] nakreslíme jednotkovú sféru: jej bod N = [0; 0; +1] nazveme severným pólom a bod S = [0; 0; 1] nazveme južným 37
38 pólom. Bodom na rovníku priradíme polárny uhol φ ( π, +π] v (xy)-ovej rovine. Body na rovníku majú súradnice: [cos φ; sin φ; 0]. (ii) Všeobecnému bodu sféry priraďujeme okrem polárneho uhla aj azimutálny uhol θ [0, π] (uhol medzi bodom a severným pólom). Ľubovoľný bod na sfére je potom daný ako: [cos φ sin θ; sin φ sin θ; cos θ]. (iii) Každý bod P = [x; y; z] 0 priestoru parametrizujeme jeho sférickými uhlami (polárnym uhlom φ a azimutálnym uhlom θ) a vzdialenosťou od počiatku r = x 2 + y 2 + z 2 : x = r cos φ sin θ, y = r sin φ sin θ, z = r cos θ. (62) Sférické súradnice sú dobre definované okrem počiatku, v ktorom síce r = 0 ale sférické uhly φ a θ nie sú definované! Vektory v priestore Pri vyšetrovaní dôležitých lineárnych objektov v trojrozmernom priestore (bodov, priamok a rovín) a ich vzájomnnej polohy je výhodné využívať formalizmus trojrozmerných vektorov. Preto tento formalizmus uvedieme ako prvý. Priestor V 3 trojrozmerných vektorov definujeme ako priestor orientovaných úsečiek - "šípiek") x smerujúcich z počiatku 0 = [0; 0; 0] do bodu X = [x 1 ; x 2 ; x 3 ] (zložky bodu X budeme opäť systematicky značiť ako x 1, x 2, x 3 miesto x, y a z. Každému vektoru ("šípke") príradíme 3-zložkový stĺpec x = x 1 x 2 x 3. (63) 38
39 Čísla x 1, x 2 a x 3 nazveme zložkami vektora x; vektor s nulovými komponentami, odpovedajúci počiatku, budeme značiť ako 0. Súčet dvoch vektorov x = x 1 x 2, y = y 1 y 2 x 3 y 3 definujeme podobne ako predtým: x + y = x 1 + y 1 x 2 + y 2. (64) x 3 + y 3 Násobenie vektora x číslom a R sa definuje ako vektor: ax = a x 1 a x 2. (65) a x 3 Ľahko sa možno presvedčiť, že priestor V 3 (vektorov - šípiek v E 3 ) s lineárnou kombináciou definovanou v (64) a (65), je vektorový priestor (v zmysle definície uvedenej v predchádzajúcej časti). Lineárna závislosť systému vektorov sa definuje rovnako ako predtým: Systém vektorov x 1, x 2,..., x n nazveme lineárne závislým, ak existuje také riešenie rovnice a 1 x 1 + a 2 x a n x n = 0, (66) 39
40 že niektoré z čísiel a 1, a 2,..., a n sú nenulové: a a a 2 n > 0. Ak táto rovnica má len triviálne riešenie a 1 = a 2 =... = a n = 0, hovoríme, že vektory x 1, x 2,..., x n sú lineárne nezávislé. Ortonormálna báza v priestore. Vo V 3 ľubovoľné štyri vektory a, b, c a d sú lineárne závislé. Štandardná báza v trojrozmernom priestore e 1 = 0, e 2 = 1, e 3 = 0 (67) reprezentuje trojicu vektorov, ktoré sú lineárne nezávislé. Ľubovoľný vektor x možno vyjadriť ako lineárnu kombináciu vektorov štandardnej bázy: x = x 1 x 2 x 3 = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3. Skalárny súčin dvoch vektorov x = x 1 x 2, y = y 1 y 2 x 3 y 3 je reálne číslo x.y definované ako: x.y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 = 3 x i y i. (68) i=1 Je dobré si postupne zvykať na zápis súčtov pomocou súm (je to zápis, ktorý je rovnako pracný vo vektorových priestoroch ľubovoľnej dimenzie). Ak x.y = 0, hovoríme, že vektory x a y sú ortogonálne. 40
41 (23). Jednoducho sa možno presvedčiť, že (68) spĺňa axiómy skalárneho súčinu Dĺžka vektora (norma vektora) x definovaná vzťahom x = x.x = x x x 3 2, (69) tiež spĺňa obvyklé axiómy (24). Ak x = 1, vektor sa nazýva normovaný (na jednotku). Vektory štandardnej bázy e i, i = 1, 2, 3 tvoria ortonormálnu bázu lebo platí: e i 2 = e i.e i = 1, i = 1, 2, 3, e i.e j = 0, pre i j. Tieto vzťahy sa zvyknú kompaktne zapisovať takto: e i.e j = δ ij, kde δ ij je Kroneckerov symbol delta definovaný ako δ ii = 1, δ ij = 0, pre i j. Poznámka: Pre skalárny súčin dvoch vektorov platí formula, podľa ktorej je rovný súčinu dĺžok vektorov a kosínusu zovretého uhla: x.y = x y cos θ. (70) Tento vzťah evidentne platí prípade vektora x v smere 3-tej osi a vektora y 41
42 orientovaného v ľubovoľnom smere danom sférickými uhlami θ a φ: 0 cos φ sin θ x = x 0, y = y sin φ sin θ. 1 cos θ Stačí dosadiť zložky oboch vektorov do rovnice (68). Všeobecný prípad plynie z invariantosti skalárneho súčinu vzhľadom k rotáciam (toto ukážeme neskôr). Vektorový súčin dvoch vektorov je operácia, ktorá je typická pre trojrozmerné vektory. Definícia: Vektorový súčin dvoch vektorov x = x 1 x 2 x 3, y = y 1 y 2 y 3 je vektor x y, ktorý je definovaný takto: x 2 y 3 x 3 y 2 x y = x 3 y 1 x 1 y 3 x 1 y 2 x 2 y 1. (71) Vektorový súčin má nasledujúce dôležité vlastnosti: x y = y x antisymetria, (a x + b y) z = a x z + b y z linearita, x. (x y) = y. (x y) = 0 ortogonalita. (72) Z prvých dvoch vzťahov vyplýva, že x y = 0 ak jeden z vektorov je násobkom druhého. 42
43 Posledný vzťah nám hovorí, že vektorový súčin x y je vektor kolmý na x aj y. Poznámka: Tvar zložiek vektorového súčinu x y si ľahko zapamätáme: 1) Prvá zložka je daná ako (x y) 1 = x 2 y 3 x 3 y 2 : - prvá trojica indexov je tu 123 (1 naľavo) a (2 a 3 napravo so znamienkom "+" pred x 2 y 3 x 3 y 2 ), - druhá trojica indexov je 132 (1 naľavo) a (2 a 3 napravo so znamienkom " " pred x 3 y 2 ), 2) V druhej zložke (x y) 2 = x 3 y 1 x 1 y 3 indexy sú dané rovnakou cyklickou zámenou 1 2, 2 3 a 3 1 v oboch členoch. 3) Napokon v tretej zložke (x y) 3 = x 1 y 2 x 2 y 1 indexy sú dané v oboch členoch opäť cyklickou zámenou (2 3, 3 1 a 1 2). Geometrický význam vektorového súčinu. Uvažujme dva vektory v (12)- rovine: cos α cos β x = x sin α, y = y sin β. 0 0 Ich vektorový súčin x y je vektor orientovaný v smere osi 3 (lebo je kolmý ako na osi 1 aj 2): x y = x y 0 0, sin ϕ kde ϕ = β α je uhol zovretý oboma vektormi. Jeho veľkosť je súčin dĺžok oboch vektorov vynásobený absolútnou hodnotou sínusu zovretého uhla: x y = x y sin ϕ. 43
44 Toto je práve plocha rovnobežníka vytvoreného oboma vektormi. Pre vektorový súčin prvkov štandardnej bázy platí e 1 e 2 = e 3, e 2 e 3 = e 1, e 3 e 1 = e 2. Tieto vzťahy sa zvyknú kompaktne zapisovať takto: e i e j = ε ijk e k, (73) kde ε ijk je Levi-Civitov symbol epsilon definovaný ako (i) ε 123 = 1 a ďalšie hodnoty symbolu plynú z toho, že (ii) ε ijk mení znamienko pri výmene ľubovoľných dvoch indexov: ε ijk = ε jik = ε ikj = ε kji. Evidentne ε ijk = 0, ak aspoň dva indexy sú rovnaké, ak indexy i, j, k, sú navzájom rôzne, potom ε ijk = ±1 (znamienko ľahko plynie z pravidiel (i) a (ii)). Zmiešaný súčin a viacnásobné súčiny Zmiešaný súčin troch vektorov 3 a = a i e i, b = i=1 je reálne číslo definované vzťahom: 3 b j e j, c = j=1 3 c k e k, k=1 a. (b c) = a i b j c k e i. (e j e k ) i=1 j=1 k=1 = a i b j c k ε ijk. i=1 j=1 k=1 44
45 Posledná formula je priamym dôsledkom (73). Zmiešaný súčin troch vektorov má názorný geometrický význam: a. (b c) je objem rovnobežnostena určeného vektormi a, b a c. Dvojnásobný vektorový súčin vektorov a, b a c je vektor definový ako: a (b c) = b (a. c) c (a. b). Vzorec sa ľahko zapamätá ako formula "bac mínus cab". Je priamym dôsledkom užitočnej identity: 3 ε ijk ε ilm = δ jl δ km δ jm δ kl. i=1 Spojením oboch predchádzajúcich vzorcov dostaneme formulu: (a b). (c d) = (a. c) (b. d) (a. d) (b. c). Lineárne zobrazenia a matice Zobrazenie vektorov x = x 1 x 2 x = x 1 x 2. (74) x 3 x 3 tvaru x 1 A 11 x 1 + A 12 x 2 + A 13 x 3 = x 1, x 2 A 21 x 1 + A 22 x 2 + A 23 x 3 = x 1, x 3 A 31 x 1 + A 32 x 2 + A 33 x 3 = x 2, (75) 45
46 nazveme lineárnym zobrazením vo V 3 zadaným pomocou 3 3 reálnej matice: A 11, A 12, A 13 A = A 21, A 22, A 23, A ij R. (76) A 31, A 32, A 33 Ak definujeme násobenie 3 3 matice A a 3-zložkového vektora (stĺpca) x ako A 11, A 12, A 13 A 21, A 22, A 23 A 31, A 32, A 33 x 1 x 2 x 3 potom rovnica (77) dá sa stručne zapísať takto: A 11 x 1 + A 12 x 2 + A 13 x 3 A 21 x 1 + A 22 x 2 + A 23 x 3, (77) A 31 x 1 + A 32 x 2 + A 33 x 3 A x = x. (78) Ľubovoľný prvok matice A môžme opäť vyjadriť pomocou jej maticových prvkov v štandardnej báze (72): A ij = e i. (A e j ), i, j = 1, 2, 3. (79) Algebra matíc. Množina 3 3 matíc je algebra, lebo sú v nej definované dve operácie: (i) Lineárna kombinácia a A + b B dvoch matíc A a B s prvkami A ij resp. B ij, i, j = 1, 2, 3, je definovaná ako matica s prvkami a A ij + b B ij, i, j = 1, 2, 3. Vzhľadom k takto zavedenej lineárnej kombinácii matice tvoria vektorový (lineárny) priestor, v ktorom úlohu počiatku hrá nulová matica O s nulovými prvkami O ij = 0, i j = 1, 2, 3. 46
47 (ii) Súčin A B matice A s maticou B je definovaný ako matica A B s prvkami 3 (A B) ij = A ik B kj k=1 = A i1 B 1j + A i2 B 2j + A i3 B 3j, i j = 1, 2, 3. (80) Poznamejme, že maticový súčin je asociatíny: A (B C) = (A B) C A B C. Transponovaná matica A t k matici A s prvkami A ij je matica s prvkami A t ij = A ij, i, j = 1, 2, 3. V matici A t riadky a stĺpce matice A sú navzájom vymenené: A t matica je otočená okolo hlavnej diagonály matice A. Pre transpozíciu súčinu matíc platí: (A B) t = B t A t. Ľahko potom možno ukázať, že skalárny súčin spĺňa nasledujúcu identitu: x. (A y) = (A t x). y. (81) Dokázať sa to dá jednoducho priamym dosadením: x. (A y) = x i ( A ij y j ) = x i A ij y j i=1 j=1 i=1 j=1 = 3 3 ( j=1 i=1 A t ji x i ) y j = (A t x). y. Špeciálne pre symetrickú maticu máme: x. (A y) = (A x). y. Jednotková matica I je matica s prvkami I ij = δ ij, t.j. δ ii = 1 na diagonále a δ ij = 0 pre i j, mimo nej. Jednotková matica hrá úlohu "jednotky" v maticovom súčine: I A = A I = A. Inverzná matica a determinant matice. Hovoríme, že matica A je regulárna (invertibilná), ak k nej existuje inverzná matica A 1, pre ktorú platí: 47
48 A A 1 = A 1 A = I. Pokiaľ matice A a B sú invertibilné, ich súčin je invertibilný a platí: (A B) 1 = B 1 A 1. Determinant matice je reálne číslo priradené matici A predpisom A 11, A 12, A det A A 21, A 22, A 23 = ε ijk A 1i A 2j A 3k. (82) i=1 j=1 k=1 A 31, A 32, A 33 V poslednom výraze vystupuje vyššie zavedený úplne antisymetrický symbol ε ijk. A: Determinant má nasledujúce vlastnosti: (i) Determinant transponovanej matice A t je rovný determinantu matice det A t = det A. (83) (ii) Determinat zmení znamienko, ak vymeníme ľubovoľné dva riadky (stĺpce). (iii) Determinat sa nezmení, ak k niektorému riadku (stĺpcu) pripočítame ľubovoľnú lineárnu kombináciu ostatných riadkov (stĺpcov). (iv) Determinant súčinu dvoch matíc sa rovná súčinu ich determinantov: det (A B) = det A det B. (v) Matica A je invertibilná práve vtedy, keď det A 0. Prvky inverznej matice A 1 sú dané formulou: kde A ij (A 1 ) ij = ( 1)i+j det A det A ji, (84) je 2 2 matica, ktorú dostaneme z matice A vynechaním i-teho riadku a j-teho stĺpca (pozor na vymenené indexy i a j na pravej strane). 48
49 Dôkaz (iv) vyplýva z definícií súčinu matíc a determinantu; podobne vlastnosť (v) vyplýva z definícií 2 2 a 3 3 determinantov (oba dôkazy sú zdĺhavé). Zápis priamok a rovín v priestore. Parametrický zápis. Priamka. Body priamky p prechádzajúcej bodom x 0 v smere vektora a 0 sú zadané pomocou jedného reálneho parametra t takto: p : x = at + x 0, (85) Ak zavedieme nový parameter t = a t, rovnicu priamky môžeme prepísať takto: x = n t + x 0, t R, (86) kde n = a 1 a je vektor jednotkovej dĺžky v smere priamky. Rovina. Body roviny R určenej dvojicou lineárne nezávislých vektorov a 1 a a 2 a prechádzajúcou bodom x 0 sú zadané dvojicou reálnych parametrov t 1 a t 2 takto: R : x = a 1 t 1 + a 2 t 2 + x 0. (87) Namiesto vektorov a 1 a a 2 môžme zaviesť ortonormálnu dvojicu e 1 a e 2 Schmidtovým-Grammovým ortonormalizačným procesom: (i) Položíme e 1 = a 1 1 a 1 a druhý vektor hľadáme v tvare e 2 = b (a 2 c e 1). (ii) Z podmienky 0 = e 1. e 2 = b (e 1. a 2 c) 49
50 určíme c = e 1. a 2. Nakoniec, b sa určí z normalizačnej podmienky: 1 = e 2 2 = b 2, (a 2 c e 1) 2 = b 2, ( a 2 2 c 2 ). Pretože a 1 a a 2 sú lineárne nezávislé, a 2 c e takže b bude existovať. Body roviny môžeme vyjadriť aj pomocou ortonormálnych vektorov e 1 a e 2: R : x = e 1 t 1 + e 2 t 2 + x 0. (88) Vzťah medzi dvojicami parametrov t 1, t 2 a t 1, t 2 plynie z ortonormalizačného procesu (skúste si ho odvodiť). Zápis pomocou rovnice. Rovina. Rovinu R prechádzajúcu bodom x 0 tiež môžme zadať pomocou jednej rovnice: m. (x x 0 ) = 0, (89) kde m je vektor jednotkovej dĺžky kolmý na rovinu. Po vynásobení číslom b > 0 túto rovnicu môžeme prepísať do všeobecnejšieho tvaru b. x + c = 0, (90) kde b = b m a c = b m.x 0. Ak je rovina zadaná v parametrickom tvare (87) pomocou dvojice lineárne nezávislých vektorov a 1 a a 2, potom vektor b je úmerný a 1 a 2 : b a 1 a 2. Jednotkový vektor m kolmý na rovinu je daný ako b = a 1 a 2 a 1 a 2 = e 1 e 2 e 3. 50
51 Vektory e i, i = 1, 2, 3, tvoria ortonormálnu bázu vo V 3 : e i.e j = δ ij (inú ako je štandardná báza). Dve roviny zadané rovnicami R 1 : b 1. x + c 1 = 0, R 2 : b 2. y + c 2 = 0, sú nerovnobežné a pretínajú sa ak vektory b 1 a b 2 sú lineárne nezávislé. Priamka. Priamku p v trojrozmernom priestore môžeme zadať ako priesečník dvoch nerovnobežných rovín prechádzajúcich tým istým bodom x 0 : body x p sú riešením sústavy rovníc b 1. (x x 0 ) = 0, b 2. (x x 0 ) = 0. Ľahko sa možno presvedčiť (priamym dosadením), že v parametrickom tvare priamka p je daná buď ako p : x = a t + x 0, a = b 1 b 2, alebo pomocou smerového vektora n jednotkovej dĺžky p : x = nt + x 0, kde n = b 1 b 2 b 1 b 2, t = t a. Príklad. Nech rovina R je zadaná rovnicou m. x + c = 0, (91) 51
52 kde m je vektor jednotkovej dĺžky kolmý na rovinu. Určite vzdialenosť bodu Q = [q 1 ; q 2 ; q 3 ] od roviny. Riešenie: Priamka p kolmá na rovinu R a prechádzajúca bodom Q je v parametrickom tvare daná ako p : x = m t + q, (92) kde q je vektor s koncovým bodom Q (jeho zložky sú q 1, q 2, q 3 ). Dosadením (92) do (91) dostaneme rovnicu pre hodnotu parametra t, zodpovedajúcu bodu P priamky p, v ktorom priamka p pretína rovinu R: t + m. q + c = 0. Jej riešenie t = m. q c dosadíme do (92) a výsledný vektor označíme ako p: p = q m (c + m. q), Koncový bod P vektora p odpovedá práve prieniku priamky a roviny. Vzdialenosť bodu Q od roviny R je rovná d = d(q, P ) = q p = c + m. q. Sústavy lineárnych rovníc V tejto časti sa budeme zaujímať o riešenie sústavy troch lineárnych algebraických rovníc A 11 x 1 + A 12 x 2 + A 13 x 3 = b 1, A 21 x 1 + A 22 x 2 + A 23 x 3 = b 2, 52
53 A 31 x 1 + A 32 x 2 + A 33 x 3 = b 3, (93) pre neznáme x 1, x 2, x 3. Čísla b 1, b 2, b 3 označujú pravú stranu sústavy rovníc. Ak je pravá strana nulová, hovoríme o homogénnej sústave rovníc; ak je nenulová, sústava sa nazýva nehomogénna. Vo maticovom zápise túto sústavu môžme zapísať ako vektorovú rovnicu: A x = b. (94) Riešenie sústavy pomocou determinantov. (i) Ak D det A 0 sústava má práve jedno riešenie dané formulami: x i = D i D, i = 1, 2, 3, (95) kde D i označuje determinant matice, ktorú dostaneme tak, že v matici A nahradíme i-ty stĺpec zložkami vektora b na pravej strane rovnice. Dôkaz: Vynásobme rovnicu (94) maticou A 1 : x = A 1 b. Ak použijeme vzorec (84) a vyčíslime A 1 b, hneď dostaneme hľadané riešenie (56). (ii) Prípady s D = 0 diskutujeme nižšie. Riešenie sústavy pomocou rozšírenej matice. Sústavu lineárnych algebraických rovníc (93) zapíšeme ako 3 4 rozšírenú maticu (tabuľku čísiel): A 11 A 12 A 13 b 1 (A b) A 21 A 22 A 23 b 2. (96) A 31 A 32 A 33 b 3 53
54 Jedná sa o maximálne úsporný zápis sústavy (93). Neznáme x 1, x 2 a x 3 explicitne nevypisujeme, vieme ale že: x i vynásobíme i-ty stĺpec a všetky stĺpce sčítame, súčty jednotlivých riadkov sa rovnajú príslušným členom v poslednom (štvrtom) stĺpci rozšírenej matice. Veta: Sústava lineárnych algebraických rovníc popísaných rozšírenou maticou (A b) má riešenie práve vtedy, keď počet lineárne nezávislých riadkov matice sústavy A sa rovná počtu lineárne nezávislých riadkov rozšírenej matice (A b). Komentár: (i) Ak všetky (tri) riadky A aj (A b) sú lineárne nezávislé, tak D = det A 0 a existuje jednoznačné riešenie sústavy dané (95). (ii) Ak matice (A b) a A majú rovnaký počet n = 1, 2 lineárne nezávislých riadkov (takže D = 0), potom sústava sa redukuje na n nezávislých rovníc. Riešení je nekonečne veľa: - pri n = 1 riešenia určujú rovinu, kým - pri n = 2 riešenia určujú priamku. (iii) Ak rozšírená matica (A b) má viac lineárne nezávislých riadkov ako matica A (a tiež D = 0), potom sústava nemá riešenie. Grupa regulárnych matíc Maticu A zobrazenia x A x nazveme regulárnou, ak jej determinant je nenulový: det A 0. 54
x x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότεραMatematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότεραVektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich
Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότερα1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia... 3
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 3 1.3 Základné označenia................................. 3 2 Množiny a zobrazenia
Διαβάστε περισσότεραSúradnicová sústava (karteziánska)
Súradnicová sústava (karteziánska) = sú to na seba kolmé priamky (osi) prechádzajúce jedným bodom, na všetkých osiach sú jednotky rovnakej dĺžky-karteziánska sústava zavedieme ju nasledovne 1. zvolíme
Διαβάστε περισσότεραLineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus
1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry
Katedra matematiky Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická Univerzita v Košiciach Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová, Helena Myšková 005 RECENZOVALI: RNDr. Štefan Schrötter, CSc. RNDr.
Διαβάστε περισσότεραVLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b
VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy matematiky I
Prednáška č. 7 Numerické metódy matematiky I Riešenie sústav lineárnych rovníc ( pokračovanie ) Prednáška č. 7 OBSAH 1. Metóda singulárneho rozkladu (SVD) Úvod SVD štvorcovej matice SVD pre menej rovníc
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότεραSúčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =.
Súčtové vzorce Súčtové vzorce sú goniometrické hodnoty súčtov a rozdielov dvoch uhlov Sem patria aj goniometrické hodnoty dvojnásobného a polovičného uhla a pridám aj súčet a rozdiel goniometrických funkcií
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότεραAnalytická geometria
Analytická geometria Analytická geometria je oblasť matematiky, v ktorej sa študujú geometrické útvary a vzťahy medzi nimi pomocou ich analytických vyjadrení. Praktický význam analytického vyjadrenia je
Διαβάστε περισσότεραPREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
Διαβάστε περισσότερα2 Základy vektorového počtu
21 2 Základy vektorového počtu Fyzikálne veličíny sa dajú rozdeliť do dvoch skupín. Prvú skupinu fyzikálnych veličín tvoria tie, pre ktorých jednoznačné určenie postačí poznať veľkosť danej fyzikálnej
Διαβάστε περισσότεραÚvod 2 Predhovor... 2 Sylaby a literatúra... 2 Označenia... 2
Obsah Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Označenia Euklidovské vektorové priestory 3 Skalárny súčin 3 Gram-Schmidtov ortogonalizačný proces 8 Kvadratické formy 6 Definícia a základné vlastnosti 6 Kanonický
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότεραLineárne kódy. Ján Karabáš. Kódovanie ZS 13/14 KM FPV UMB. J. Karabáš (FPV UMB) Lineárne kódy Kodo ZS 13/14 1 / 19
Lineárne kódy Ján Karabáš KM FPV UMB Kódovanie ZS 13/14 J. Karabáš (FPV UMB) Lineárne kódy Kodo ZS 13/14 1 / 19 Algebraické štruktúry Grupy Grupa je algebraická štruktúra G = (G;, 1, e), spolu s binárnou
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I. Doc. RNDr. Michal Šabo, CSc
MATEMATIKA I Doc. RNDr. Michal Šabo, CSc 2 Obsah Predhovor 5 2 VYBRANÉ STATE Z ALGEBRY 2. Úvod................................... 2.2 Reálne n-rozmerné vektory...................... 2.3 Matice..................................
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότεραAFINNÉ TRANSFORMÁCIE
AFINNÉ TRANSFORMÁCIE Definícia0..Zobrazenie f: R n R m sanazývaafinné,ak zachováva kolinearitu(t.j. priamka sa zobrazí buď na priamku alebo na jeden bod), zachovávadeliacipomer(t.j.akprekolineárnebody
Διαβάστε περισσότερα23. Zhodné zobrazenia
23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické substitúcie
Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať
Διαβάστε περισσότερα1 Polynómy a racionálne funkcie Základy Polynómy Cvičenia Racionálne funkcie... 17
Obsah 1 Polynómy a racionálne funkcie 3 11 Základy 3 1 Polynómy 7 11 Cvičenia 13 13 Racionálne funkcie 17 131 Cvičenia 19 Lineárna algebra 3 1 Matice 3 11 Matice - základné vlastnosti 3 1 Cvičenia 6 Sústavy
Διαβάστε περισσότεραJán Buša Štefan Schrötter
Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότεραVzorové príklady s riešeniami k lineárnej algebre a geometrie pre aplikovaných informatikov k písomke
Vzorové príklady s riešeniami k lineárnej algebre a geometrie pre aplikovaných informatikov k písomke 23.5.26 Príklad č. Riešte sústavu Bx = r (B r) 2 3 4 2 3 4 6 8 8 2 (B r) = 6 9 2 6 3 9 2 3 4 2 3 2
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότεραG. Monoszová, Analytická geometria 2 - Kapitola III
text obsahuje znenia viet, ktoré budeme dokazovat na prednáškach text je doplnený aj o množstvo poznámok, ich ciel om je dopomôct študentom k lepšiemu pochopeniu pojmov aj súvislostí medzi nimi text je
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické funkcie
Goniometrické funkcie Oblúková miera Goniometrické funkcie sú funkcie, ktoré sa používajú pri meraní uhlov (Goniometria Meranie Uhla). Pri týchto funkciách sa uvažuje o veľkostiach uhlov udaných v oblúkovej
Διαβάστε περισσότεραUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vektorové prostory. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vektorové prostory študenti MFF 15. augusta 2008 1 9 Vektorové priestory Požiadavky Základné vlastnosti vektorových priestorov, podpriestorov generovania,
Διαβάστε περισσότερα1. POLIA A VEKTOROVÉ PRIESTORY. V tejto kapitole zavedieme dva druhy algebraických štruktúr, ktoré budú hrať v celom
1. POLIA A VEKTOROVÉ PRIESTORY V tejto kapitole zavedieme dva druhy algebraických štruktúr, ktoré budú hrať v celom ďalšom výklade kľúčovú úlohu, a dokážeme o nich niekoľko jednoduchých základných tvrdení.
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I ZBIERKA ÚLOH
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STAVEBNÁ FAKULTA ÚSTAV TECHNOLÓGIÍ, EKONOMIKY A MANAŽMENTU V STAVEBNÍCTVE KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY RNDr. Pavol PURCZ, PhD. Mgr. Adriana ŠUGÁROVÁ MATEMATIKA I ZBIERKA
Διαβάστε περισσότεραRiešenie sústavy lineárnych rovníc. Priame metódy.
Riešenie sústavy lineárnych rovníc. Priame metódy. Ing. Gabriel Okša, CSc. Matematický ústav Slovenská akadémia vied Bratislava Stavebná fakulta STU G. Okša: Priame metódy 1/16 Obsah 1 Základy 2 Systémy
Διαβάστε περισσότερα(IP3) (f, g) = (g, f) (symetria), (IP4) (f, f) > 0 pre f 0 (kladná definitnosť). Z podmienok (IP1) (IP4) sa ľahko dokážu rovnosti:
Hilbertove priestory Veľké množstvo aplikácií majú lineárne normované priestory, v ktorých norma je odvodená od skalárneho (vnútorného) súčinu, podobne ako v bežnom trojrozmernom euklidovskom priestore.
Διαβάστε περισσότερα15. Matlab Lineárna algebra
1 Portál pre odborné publikovanie ISSN 1338-0087 15. Matlab Lineárna algebra Blaho Michal MATLAB/Comsol 18.09.2009 Matlab pracuje s dátami vo forme vektorov a matíc. Základnej práci s vektormi a maticami
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότεραObyčajné diferenciálne rovnice
(ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú
Διαβάστε περισσότεραPríklady na precvičovanie Fourierove rady
Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru
Διαβάστε περισσότεραIntegrovanie racionálnych funkcií
Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA. Martin Kalina
MATEMATIKA Martin Kalina Slovenská technická univerzita v Bratislave Všetky práva vyhradené. Nijaká časť textu nesmie byť použitá na ďalšie šírenie akoukoľvek formou bez predchádzajúceho súhlasu autorov
Διαβάστε περισσότερα2. prednáška. Teória množín I. množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin
2. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Verzia: 27. 9. 2009 Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi
Διαβάστε περισσότερα1. Komplexné čísla. Doteraz ste pracovali s číslami, ktoré pochádzali z nasledovných množín:
1. Komplexné čísla Po preštudovaní danej kapitoly by ste mali byť shopní: poznať použitie a význam komplexnýh čísel v elektrikýh obvodoh rozumieť pojmom reálna a imaginárna časť, imaginárna jednotka, veľkosť,
Διαβάστε περισσότεραFunkcie komplexnej premennej
(prezentácia k prednáške FKP/10) doc. RNDr., PhD. 1 1 ondrej.hutnik@upjs.sk umv.science.upjs.sk/analyza Prednáška 1 16. februára 2016 Podmienky Obsah nepovinná účast (!prelínanie prednášok a cvičení!)
Διαβάστε περισσότεραReálna funkcia reálnej premennej
(ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od
Διαβάστε περισσότεραFunkcie - základné pojmy
Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny
Διαβάστε περισσότερα1-MAT-220 Algebra februára 2012
1-MAT-220 Algebra 1 12. februára 2012 Obsah 1 Grupy 3 1.1 Binárne operácie.................................. 3 1.2 Cayleyho veta.................................... 3 2 Faktorizácia 5 2.1 Relácie ekvivalencie
Διαβάστε περισσότερα3. prednáška. Komplexné čísla
3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet
Διαβάστε περισσότεραNUMERICKÁ MATEMATIKA. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Fakulta elektrotechniky a informatiky
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ NUMERICKÁ MATEMATIKA Fakulta elektrotechniky a informatiky Štefan Berežný Táto publikácia vznikla za finančnej podpory
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITA KOMENSKE HO V BRATISLAVE Fakulta matematiky, fyziky a informatiky. Dua lne c ı sla. Bakala rska pra ca. S tudijny odbor: Matematika
UNIVERZITA KOMENSKE HO V BRATISLAVE Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Dua lne c ı sla Bakala rska pra ca S tudijny odbor: Matematika Vedu ci bakala rskej pra ce: RNDr. Pavel Chalmoviansky, PhD.
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE
Διαβάστε περισσότεραDeliteľnosť a znaky deliteľnosti
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a
Διαβάστε περισσότεραstereometria - študuje geometrické útvary v priestore.
Geometria Geometria (z gréckych slov Geo = zem a metro = miera, t.j. zememeračstvo) je disciplína matematiky prvýkrát spopularizovaná medzi starovekými grékmi Tálesom (okolo 624-547 pred Kr.), ktorý sa
Διαβάστε περισσότερα13. EUKLIDOVSKÉ PRIESTORY
13. EUKLIDOVSKÉ PRIESTORY Naše štúdium vektorových priestorov sa doteraz nieslo prevažne v algebraickom duchu a bolo vedené takmer výlučne algebraickými prostriedkami. Geometria bola v tomto poňatí zredukovaná
Διαβάστε περισσότεραDIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c)
Prírodovedecká fakulta Univerzity P. J. Šafárika v Košiciach Božena Mihalíková, Ivan Mojsej Strana 1 z 43 DIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c) 1 Obyčajné diferenciálne rovnice 3 1.1 Úlohy
Διαβάστε περισσότερα4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti
4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme
Διαβάστε περισσότεραPrirodzené čísla. Kardinálne čísla
Prirodzené čísla Doteraz sme sa vždy uspokojili s tým, že sme pod množinou prirodzených čísel rozumeli množinu N = { 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10,11,12, } Túto množinu sme chápali intuitívne a presne sme ju
Διαβάστε περισσότεραPageRank algoritmus. Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky
Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky PageRank algoritmus Bakalárska práca Študijný program: Informatika Študijný odbor: 9.2.1 Informatika Školiace pracovisko: Katedra
Διαβάστε περισσότεραCieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie,
Kapitola Riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie, keď charakteritická rovnica má rôzne
Διαβάστε περισσότεραTREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT. k predmetu Matematika pre
TREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT k predmetu Matematika pre 2. ročník SOŠ v Strážskom, študijný odbor 3760 6 00 prevádzka a ekonomika dopravy Operačný program: Vzdelávanie Programové obdobie:
Διαβάστε περισσότερα16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh
16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh Kružnica k so stredom S a polomerom r nazývame množinou všetkých bodov X v rovine, ktoré majú od pevného bodu S konštantnú vzdialenosť /SX/ = r, kde r (patri)
Διαβάστε περισσότεραDefinícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.
Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [
Διαβάστε περισσότεραZákladné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií
Ma-Go-2-T List Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií RNDr. Marián Macko U: Predstav si, že ti zadám hodnotu jednej z goniometrických funkcií. Napríklad sin x = 0,6. Vedel by si určiť
Διαβάστε περισσότεραALGEBRA. Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov
ALGEBRA Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov Definícia Množinu považujeme za určenú, ak vieme o ľubovoľnom objekte rozhodnúť, či je alebo nie je prvkom množiny. Množinu určujeme
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICKÁ OLYMPIÁDA
S MATEMATICÁ OLYMPIÁDA skmo.sk 2008/2009 58. ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO. Nech n je kladné celé číslo a a,..., a k (k 2) sú navzájom rôzne celé čísla z množiny {,..., n} také, že n
Διαβάστε περισσότεραZÁKLADNÉ GEOMETRICKÉ TELESÁ. Hranolová plocha Hranolový priestor Hranol
II. ZÁKLADNÉ GEOMETRICKÉ TELESÁ Hranolová plocha Hranolový priestor Hranol Definícia II.1 Nech P n je ľubovoľný n-uholník v rovine α a l je priamka rôznobežná s rovinou α. Hranolová plocha - množina bodov
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Διαβάστε περισσότερα1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy
1. Rovnice, nerovnice a ich sústavy Osah Pojmy: rovnica, nerovnica, sústava rovníc, sústava nerovníc a ich riešenie, koeficient, koreň, koreňový činiteľ, diskriminant, doplnenie do štvorca, úprava na súčin,
Διαβάστε περισσότερα1 Úvod Sylabyaliteratúra Základnéoznačenia... 3
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Sylabyaliteratúra.... 3 1.2 Základnéoznačenia.... 3 2 Množiny a zobrazenia 4 2.1 Dôkazy... 4 2.1.1 Základnétypydôkazov... 4 2.1.2 Matematickáindukcia... 4 2.1.3 Drobnéradyakodokazovať....
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICKÁ ANALÝZA 1
UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH Prírodovedecká fakulta Ústav matematických vied Božena Mihalíková, Ján Ohriska MATEMATICKÁ ANALÝZA Vysokoškolský učebný text Košice, 202 202 doc. RNDr. Božena
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach. Zbierka riešených a neriešených úloh. z matematiky. pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach
Technická univerzita v Košiciach Zbierka riešených a neriešených úloh z matematiky pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach Martin Bača Ján Buša Andrea Feňovčíková Zuzana Kimáková Denisa Olekšáková Štefan
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE. Funkcia základné pojmy. Graf funkcie
FUNKCIE Funkcia základné pojm. Graf funkcie V prai sa často stretávame so skúmaním závislosti veľkosti niektorých veličín od veľkosti iných veličín, napríklad dĺžka kružnice l závisí od jej priemeru d
Διαβάστε περισσότερα4 Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti
Reálna unkcia reálnej premennej a jej vlastnosti Táto kapitola je venovaná štúdiu reálnej unkcie jednej reálnej premennej. Pojem unkcie patrí medzi základné pojmy v matematike. Je to vlastne matematický
Διαβάστε περισσότερα1. Trojuholník - definícia
1. Trojuholník - definícia Trojuholník ABC sa nazýva množina takých bodov, ktoré ležia súčasne v polrovinách ABC, BCA a CAB, kde body A, B, C sú body neležiace na jednej priamke.. Označenie základných
Διαβάστε περισσότεραKontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.
Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,
Διαβάστε περισσότεραMetodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH
Διαβάστε περισσότεραp(α 1 ) = u 1. p(α n ) = u n. Definícia (modulárna reprezentácia polynómu). Zobrazenie
1. Rychlá Fourierová transformácia Budeme značiť teleso T a ω jeho prvok. Veta 1.1 (o interpolácií). Nech α 0, α 1,..., α n sú po dvoch rôzne prvky telesa T[x]. Potom pre každé u 0, u 1,..., u n T existuje
Διαβάστε περισσότεραDerivácia funkcie. Pravidlá derivovania výrazov obsahujúcich operácie. Derivácie elementárnych funkcií
Derivácia funkcie Derivácia funkcie je jeden z najužitočnejších nástrojov, ktoré používame v matematike a jej aplikáciách v ďalších odboroch. Stručne zhrnieme základné informácie o deriváciách. Podrobnejšie
Διαβάστε περισσότεραMini minimaliz acia an BUˇ Koˇ sice 2011
Mini minimalizácia Ján BUŠA Košice 2011 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Noname, CSc. Doc. RNDr. Emanname, PhD. Prvé vydanie Za odbornú stránku učebného textu zodpovedá autor. Rukopis neprešiel redakčnou ani jazykovou
Διαβάστε περισσότερα3. kapitola. Axiomatická formulácia modálnej logiky Vzťah medzi syntaxou a sémantikou. priesvitka 1
3. kapitola Axiomatická formulácia modálnej logiky Vzťah medzi syntaxou a sémantikou priesvitka 1 Axiomatická výstavba modálnej logiky Cieľom tejto prednášky je ukázať axiomatickú výstavbu rôznych verzií
Διαβάστε περισσότερα