Prednáška Fourierove rady. Matematická analýza pre fyzikov IV. Jozef Kise lák

Transcript

1 Prednáška Fourierove rady Základná myšlienka: Nech x Haφ 1,φ 2,...,φ n,... je ortonormálny systém v H, dá sa tento prvok rozvinút do radu x=c 1 φ 1 + c 2 φ ,c n φ n +...? Ako nájdeme c i, i=1, 2,...? Vynásobme obe strany skalárne funkciouφ i, potom x,φ i =c 1 φ 1,φ i +c 2 φ 2,φ i +...,c n φ n,φ i + =c i, i=1, 2,... Pokial nepovieme inak, hovoríme o konvergencii v priestore H v klasickom zmysle, tj. o konvergencii v norme =,. Definícia Súčet prvých n členov Fourierovho radu prvku x podl a systému{x n } n N nazývame čiastočný súčet Fourierovho radu prvku x a označujeme ho S n (x). Teda S n (x) := n c k x k. k=1 Pri kovergencii Fourierovho radu prvku x budeme teda hovorit o konvergencii čiastočných súčtov tohto Fourierovho radu (v danej norme, teda S n (x) x 0). 97

2 Veta (O jednoznačnosti). Nech{x n } n N je ortogonálny systém v H. Ak rad c n x n konverguje k x, potom koeficienty c n sú určené vzt ahom c n = x,x n x n 2 Definícia nazývame n-tým Fou- Ak{x n } n N je ortogonálny systém v H, potom číslo c n = x,x n x n 2 rierovým koeficientom prvku x podl a tohto systému a rad nazývame Fourierovým radom prvku x. x, x n x n 2 x n Poznámka Z vety o jednoznačnosti vyplýva, že Fourierov rad l ubovol ného prvku x konverguje a je zároveň Fourierovým radom svojho súčtu y. Nedokázali sme ale, že tento Fourierovov rad prvku x konverguje práve k tomuto prvku. Vo všeobecnosti to ani nie je pravda, vid nasledujúci príklad, kde y x. Taktiež nie je každý rad c n x n Fourierovým radom nejakého prvku x. Príklad Systém{sin nx}, n N je ortogonálny v H=L 2 (0, 2π), ale Fourierov rad funkcie f (x)=cos x je podl a totho systému rad samých núl a teda k f nekonverguje. Zhrnieme si teda otvorené otázky. 1. Konverguje v H Fourierov rad každého prvku x H? 2. Kedy konverguje Fourierov rad prvku x Hk tomuto prvku? 3. Kedy pre každé x Hkonverguje Fourierov rad prvku x Hk tomuto prvku? 4. Aké musia byt koeficienty c n, aby rad c n x n konvergoval v H? 98

3 Najpr uvedieme tvrdenie, ktoré hovorí o vyjadrení blízkosti čiastočných súčtov Fourierovho radu daného prvku x. Veta (Besselova identita). Platí S n (x) x 2 = x 2 n c k 2 x k 2. k=1 Poznámka Ortogonálna množina funkcií{x 1,...,x n } generuje lineárny podpriestor priestoru H. Funkcia (prvok) x vo všeobecnosti v tomto podpriestore neleží. Ak uvážime Besselovmu identitu, je vidiet, že n-tý čiastočný súcet Fourierovho radu funkcie x je vlastne jej kolmým priemetom do podpriestoru tvoreného množinou funkcií{x 1,...,x n }. Nasledujúca veta hovorí, že zo všetkých možných čiastočných súčtov má najmenšiu odchýlku od daného prvku x práve čiastočný súčet jeho Fourierovho radu. Veta Pre l ubovol né T n = n a k x k a pre S n (x) z platí k=1 S n (x) x T n x, pričom rovnost nastáva práve pre T n = S n (x), 99

4 Veta (Besselova nerovnost ). Pre x Hplatí (i) x 2 c n 2 x n 2, (ii) rad (iii) rad c n 2 x n 2 konverguje, lim n c n x n =0, c n x n konverguje v H. Z vety o jednoznačnosti okamžite vyplýva nasledujúce tvrdenie. Veta (Parsevalova rovnost ). Fourierov rad prvku x konverguje k tomuto prvku práve vtedy, ak platí x 2 = c n 2 x n 2. Prečo vlastne neudávame len rovnost už vo vete 6.1.9? Lebo Besselova nerovnost platí všeobecnejšie v l ubovol nom Hilbertovom priestore, kde si zvolíme nejaký ortogonálny systém, podl a ktorého funkciu rozvíjame. V prípade, že tento systém je úplný, dostávame analogickú Parsevalovu rovnost. Uvedieme tvrdenie, ktoré nám dáva odpoved na otázky č. 1,4. Veta (Rieszova-Fisherova). Rad a n x n konverguje (v H) ak konverguje rad a n 2 x n 2. Ak je táto podmienka splnená, potom je rad a n x n Fourierovým radom svojho súčtu. Odpoved na otázku 3 súvisí s bohatost ou systému{x n, n N} - hovoríme o úplnosti daného systému. Odpoved na otázku č. 2 je zrejme tá, že prvok x musí byt z lineárneho obalu systému{x n } n N. 100

5 Veta Nasledujúce podmienky sú ekvivalentné: I.{x n } n N je úplný. II. Pre každé x Hplatí Parsevalova rovnost. III. Pre každé x Hjeho Fourierov rad podl a systému{x n } n N konverguje k x. IV. Množina všetkých lineárnych kombinácií konečne vel a prvkov zo systému {x n } n N je hustá v H. Veta Nech{x n } n N je úplný ortogonálny systém vl 2 w(a, b) a{y n } n N je úplný ortogonálny systém vl 2 w(c, d). Potom{x n y m } n,m N je úplný ortogonálny systém vl 2 w((a, b) (c, d)) Trigonometrické rady Myšlienka konštrukcie Fourierových trigonometrických radov je založená na snahe aproximovat reálne funkcie reálnej premennej pomocou trigonometrických funkcií sin a cos. Našim ciel om bude vyjasnenie podmienok pre funkciu f, definovanú na intervale ( π,π), ktoré zaručia jej rozvinutie do radu. a (a n cos nx+b n sin nx), (6.1) kde a n, b n C. Taktiež nás zaujíma charakter konvergencie takejto rady. Ak si označíme čiastočný súčet rozvoja funkcie f ako s 0 (x; f )= a 0 2, s p(x; f )= a p (a n cos nx+b n sin nx), p N, 101

6 potom môžeme (pomocou známych vzorcov) čiastočný súčet zapísat pomocou pričom p c n e inx, p N 0, n= p Rad teda formálne zapisujeme aj v tvare c 0 = a 0 2, c n= a n ib n, c n = a n+ ib n, n N. 2 2 Poznámka n= c n e inx. (6.2) V niektorej literatúre sa stretávame s Fourierovým radom (polynómom) v tvare P 0 n 2 + P k cos (kωx+φ k ), k=1 kdeω>0 aφ k ( π,π], k=1,...,n. Je to kvôli fyzikálnej interpretácii zložiek, tj. číslo P 0 2 je stacionárna a P k cos (kωx+φ k ) je k-ta harmonická zložka rozloženého signálu, kde P k, resp.φ k je amplitúda, resp. počiatočná fáza k-tej harmonickej zložky. Veta (O jednoznačnosti). Nech f L 1 ( π,π) a nech rad (6.1) resp. (6.2) konverguje rovnomerne na [ π,π] k f. Potom platí: a n = 1 π b n = 1 π π π π π f (x) cos nx dx, n N 0, f (x) sin nx dx, n N, (6.3) resp. (6.4) c n = 1 2π π π f (x)e inx dx, n Z. (6.5) 102

7 Poznámka Ked že pre čísla a n, b n a c n z predchádzajúcej vety platia vzájomné vzt ahy, tak čiastočné súčty oboch radov sú rovnaké. Fourierove koeficienty rozvoja funkcie f L 1 ( π,π) nezávisia na hodnotách funkcie f na množine nulovej miery. Ked že systém goniometrických funkcií, podl a ktorého rozvíjame danú funkciu, sú 2π periodické, sú také aj čiastočné súčty radu a ak existuje aj súčet tohto radu. Preto sa možno obmedzit na skúmanie takýchto funkcií. Prejdeme k skúmaniu bodovej resp. rovnomernej konvergencie Fourierových radoch. V praxi sa často stretávame s funkciami (a ich deriváciami), ktoré tvoria nasledujúcu triedu funkcií. Definícia Hovoríme, že funkcia f je po častiach spojité na intervale [a, b], akk existujú body a= x 0 < x 1 < < x n 1 < x n = b tak, že na intervaloch (x i 1, x i ), i=1,...,n je f spojitá a v týchto bodoch existujú vlastné jednostranné limity. Symbolom C a 2π budeme označovat množinu 2π periodických funkcií (na R), ktoré sú na intervale [a, a+2π], a Rpo častiach spojité. Problém Prečo platí, že ak f, f C a 2π potom je f aj zl1 (a, a+2π) L 2 (a, a+2π)? Označme si Fourierov rad funkcie f ako s(x; f ) podl a systému goniometrických funkcií. Potom platí nasledujúce tvrdenie o bodovej konvergencii, ktoré hovorí, že pre rozmuné funkcie konverguje Fourierov rad danej funkcie v každom bode a v bodoch spojitosti k funkčnej hodnote tejto funkcie. 103

8 Veta Nech je f, f C a 2π, potom pre každé x Rje s(x; f )= 1 2 ( lim t x 0 f (t)+ lim t x + 0 ) f (t). Navyše je táto konvergencia rovnomerná na uzavretých podintervaloch intervalu, kde je f spojitá a ak je f C(R), tak aj na celomr. Dôsledok Ak je f, f C π 2π f na [ π,π] a f ( π)= f (π), potom jej Fourierov rad konverguje rovnomerne k Ak chceme rady derivovat po členoch ( napr. pri riešení rovníc matematickej fyziky), potrebujeme vo všeobecnosti rovnomernú konvergenciu a príslušnú hladkost danej funkcie. V tomto prípade nám stačí hladkost derivácií funkcie f po častiach. Veta (Derivovanie po členoch). Nech f (k 1) C(R) je 2π periodická a f (k), f (k+1) C a 2π, k 0 nar, potom pre s=0, 1,...,k rady n s ( a n + b n ), n= n s c n, konvergujú. Navyše Fourierov rad funkcie f k nej konverguje rovnomerne na R a je možné ho k-krát derivovat po členoch, pričom tieto rady kovergujú rovnomerne na R. Poznámka Je dobré si uvedomit, že rady vytvorené z derivácií členov Fourierovho radu funkcie f sú Fourierovými radmi derivácií tejto funkcie, lebo z periodičnosti f je c 0 = 0 pre f (s), s>0. 104

9 (a) Periodické predĺženie funkcie f (x)=sgn x (def. na intervale π,π.) (b) f (x)= 4 π n=0 sin (2n+1)x 2n+1 Obr. 6.1: Fourierov rad periodickej funkcie. Veta (Integrovanie po členoch). Nech je f C π 2π a π f (x) dx=0, potom je funkcia F(x)= x f (x) dx aj jej derivácia π 0 z C π 2π a je spojitá nar. Navyše Fourierov rad funkcie f k nej konverguje rovnomerne naraje rovný radu, ktorý dostaneme integráciou po členoch od 0 do x. Poznámka Podmienka π f (x) dx=0 nám zaručí, že aj F je 2π periodická. Ak nie je splnená π táto podmienka, potom F(x) := x f (t) dt a 0 x už je 2π periodická. 0 2 Definícia Periodickým predĺžením funkcie f C a 2π, a Rbudeme nazývat funkciu f (x)= f (x), f (x 2kπ), 1 ( 2 ) lim f (t)+ lim f (t) t a t a + ak x (a, a+2π), ak x (a+2kπ, a+2(k+1)π), k Z,, ak x=a+2kπ, k Z. Podobne sa dá definovat periodické predĺženie na intervale inej dĺžky. Zavedieme si aj nové typy predĺžení, ktoré majú dobré vlastnosti. 105

10 Definícia (Ne)párnym periodickým predĺžením funkcie f C 0 π budeme nazývat funkciu f, ktorá vznikne tak, že najprv predĺžime f na [ π,π] : f ( x)= f (x), x [ π, 0],tj. (ne)párne, a potom túto funkciu rozšírime periodicky na celér. 106