OРИЈЕНТАЦИЈА НАЈЗНАМЕНИТИЈИХ СРЕДЊОВЕКОВНИХ ЦРКАВА У АП КОСОВУ И МЕТОХИЈИ (РЕПУБЛИКА СРБИЈА)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "OРИЈЕНТАЦИЈА НАЈЗНАМЕНИТИЈИХ СРЕДЊОВЕКОВНИХ ЦРКАВА У АП КОСОВУ И МЕТОХИЈИ (РЕПУБЛИКА СРБИЈА)"

Transcript

1 Зборник радова конференције Развој астрономије код Срба VII Београд, април 2012, уредник М. С. Димитријевић Публ. Астр. друш. Руђер Бошковић бр. 13, 2014, OРИЈЕНТАЦИЈА НАЈЗНАМЕНИТИЈИХ СРЕДЊОВЕКОВНИХ ЦРКАВА У АП КОСОВУ И МЕТОХИЈИ (РЕПУБЛИКА СРБИЈА) МИЛУТИН ТАДИЋ Универзитет у Београду Географски факултет, Студентски трг 3/III, Београд, Србија, Резиме: Проучавање оријентације храмова посредан је пут до одређених сазнања о нивоу астрономије у доба њиховог настанка. У том смислу, у овом раду анализирана је оријентација уздужних оса седам најзнаменитијих српских средњовековних цркава на простору АП Косовa и Метохије. Ова покрајина је изабрана због велике концентрације српских цркава од којих су четири (Богородица Љевишка и католикони манастира Пећке патријаршије, Дечана и Грачанице) уписане на Листу светске баштине (UNESCO). Од равнодневачког истока знатније одступају осе католикона манастира Студенице Хвостанске, Св. Арханђела и Грачанице. Код све три цркве реч је о наслеђеној оријентацији јер су подигнуте на темељима цркава из преднемањићког времена, с тим да се у прва два случаја ради о диктату терена, док се трећи може повезати са геометријом сунца. Астрономски беспрекорно оријентисани су Богородица Љевишка и католикон манастира Бањска. Ни у једном случају није уочена веза оријентације цркве са изласком сунца на дан који је у црквеном календару посвећен садашњем патрону цркве. 1. УВОД НАЈЗНАМЕНИТИЈЕ ЦРКВЕ У АП КОСОВО И МЕТОХИЈА Непосредним проучавањем средњовековних српских цркава и манастира, њихове архитектуре и фреско композиција, историчари долазе до драгоцених података о владарима и властели, ктиторима тих манастира ко су они, како су изгледали и како су се одевали, да ли су имали потомке, коме су били подчињени и којим областима су владали. На сличан начин, у недостатку писаних извора, као што је на пример Богишићев рукопис 1 (Новаковић, 1884), средњовековни српски манастири и цркве представљају драгоцене материјалне изворе из којих може доћи до одређених 1 Богишићев рукопис рукописни зборник из 15. века пореклом из источне Херцеговине, који по рукопису припада ресавској школи, назван Богишићев по научнику Балтазару Богишићу, који га је чувао у својој збирци. 1067

2 МИЛУТИН ТАДИЋ астрономских сазнања. Свака црква јесте одраз моћи, материјалног богатства и осећаја за лепо њеног ктитора, и истовремено одраз архитектонског образовања протомајстора кога је ктитор ангажовао. А још од античког доба архитектонско образовање укључивало је и основе астрономије, пре свега, просторну оријентацију. Овом приликом биће анализирана оријентација уздужних оса најзнаменитијих цркава на простору Аутономне покрајине Косово и Метохија 2 : Богородице Љевишке у Призрену и католикона манастира Пећке Патријаршије, Грачанице, Високих Дечана, Студенице Хвостанске, Бањске и Св. Арханђела код Призрена (таб 1, сл. 1). Иако је АП КиМ позната као простор велике концентрације српских средњовековних цркава, избор најзнаменитијих било је лако направити јер су све оне (манастири којима припадају) у регистру Републичког завода за заштиту споменика културе уписане као непокретна културна добра од изузетног значаја, а прве четири су уписане и на UNESCO-ву Листу светске баштине под називом Средњовековни споменици на Косову 3. Табела 1. Најзнаменитије цркве у АП Косову и Метохији (ϕ геогр. ширина, λ геогр. дужина, H надморска висина, * споменик на Листи светске баштине) МАНАСТИР (Monastery) Црква (Church) Година почетка градње (Start year) СТУДЕНИЦА ХВОСТАНСКА Успења Пресв. Богородице ПЕЋКА ПАТРИЈАРШИЈА * Св. Апостола Богородица Љевишка * БАЊСКА Св. Стефана ГРАЧАНИЦА * Успења Пресв. Богородице ДЕЧАНИ * Христа Пантократора СВ. АРХАНЂЕЛИ Св. Арханђела Ктитор (Founder) Протомајстор (Master builder)?? Архиепископ Арсеније I? Краљ Стефан Урош II Милутин Никола из Епира Краљ Стефан Урош II Милутин? Краљ Стефан Урош II Милутин? Краљ Стефан Урош III Дечански; Цar Стефан Урош IV Душан Фра Вита из Котора Цar Стефан Урош IV Душан? ϕ λ H 43,766 20, м 42,661 20, м 42,212 20, м 42,972 20, м 42,598 21, м 42,547 20, м 42,201 20, mм У долини реке Valley river Пећке Бистрице Призренске Бистрице Бањске Грачанке Дечанске Бистрице Призренске Бистрице 2 У даљем тексту писано је скраћено, АП КиМ 3 То није одговарајући назив, Косово и Метохија јесу географске регије у АП КиМ, и само се манастири Грачаница и Бањска налазе на Косову, док су остали у Метохији. Исправан назив је средњовековни споменици на Косову и Метохији. 1068

3 OРИЈЕНТАЦИЈА НАЈЗНАМЕНИТИЈИХ СРЕДЊОВЕКОВНИХ ЦРКАВА У АП КОСОВУ И МЕТОХИЈИ С Слика 1: Размештај најзнаменитијих средњовековних цркава и манастира у Републици Србији, са уоквиреним здањима у АП Косово и Метохија. Поменуте цркве су изабране зато што су оне, изузев Студенице Хвостанске и Пећке патријаршије, 4 задужбине три најмоћнија средњовековна српска владара краља Стефана Уроша II Милутина ( ), краља Стефана Уроша III Дечанског ( ) и цара Стефана Уроша IV Душана ( ) који су, знајући да ће те грађевине бити посматране као огледало наручиоца, ангажовали само врсне протомајсторе. 4 Ктитори Пећке патријаршије су четири српска архиепископа: Арсеније I, Никодим, Данило II и Јоаникије. 1069

4 МИЛУТИН ТАДИЋ Слика 2: Карта размештаја најзнаменитијих цркава у АП КиМ у односу на размештај српског становништва ( Политика, ); манастири Дечани (2.1) и Св. Арханђели (2.2.) обезбеђени бодљикавом жицом (фото. С. Пенев, 2009) И на крају, изабране су најзнаменитије цркве са простора АП КиМ и због тога што се комплекс Средњовековни споменици на Косову од године налази и на листи Светске баштине у опасности (UNESCO). Уписан је на ту листу након тзв. мартовског погрома, организованих таласа насиља од 17. до 19. марта током кога је, уз стотине кућа, запаљено и тешко оштећено 35 православних храмова и споменика културе, међу њима Богородица Љевишку и Св. Арханђеле (сл. 2) (Kosovo and Metohija The March Pogrom, 2004). 1070

5 OРИЈЕНТАЦИЈА НАЈЗНАМЕНИТИЈИХ СРЕДЊОВЕКОВНИХ ЦРКАВА У АП КОСОВУ И МЕТОХИЈИ 2. МЕТОД РАДА За сваку од разматраних цркава у АП КиМ (тачка Т 0 ), географске координате (ϕ 0, λ 0 ) и надморска висина (H) одређени су на одговарајућим листовима топографске карте размера 1 : , док су географски азимути (A N ) уздужних оса (сл. 3), са изузетком Богородице Хвостанске измерени на ортофотографијама авионским снимцима у ортографској пројекцији; 5 преузети азимут Богородице Хвостанске (Кораћ, 1976) вероватно је измерен компасом. На основу географских азимута израчунат је отклон уздужне осе (ΔА) од источне тачке хоризонта (сл. 4). За сваку цркву чија оса од тачке истока одступа ± 5 извршена је математичко-географска и топографска анализа по већ разрађеном (провереном) методу (Тадић и Бабић, 2010; Тадић и Петровић, 2011): 1) на одговарајућем листу топографске карте размера 1 : уздужне оса цркве продужена је ка истоку, а зaтим је дуж те линије конструисан природни топографски профил; 2) решен је задатак који гласи израчунати вредност деклинације сунца у тренутку када се оно у привидном дневном кретању над хоризонтом тачке Т 0 (ϕ 0, λ 0 ) нађе у тачки Т (A N, h); 3) на основу деклинације сунца (δ), из астрономских ефемерида одређени су датуми у којима сунце излази над физичким хоризонтом у вертикалу главне осе цркве, по Грегоријанском (ГК) и Слика 3: Према црквеном правилу Јулијанском календару за годину градње (Мирковић, 1966) главна оса цркве треба цркве (ЈК); бити усмерена ка истоку или ка изласку 4) на крају је проверено да ли су сунца (црква Христа Пантократора, Дечани). можда ти датуми у вези са празницима Српске православне цркве који су посвећени патрону цркве. 3. РЕЗУЛТАТИ И ДИСКУСИЈА На сликама 4 и 5 дати су редом резултати мерења азимута уздужних оса свих седам разматраних цркава, тј. отклони тих оса од равнодневачког истока: фотографије цркава (лево) и оријентисани тлоцрти у истом размеру (десно). Упоредо са сликама, почевши са Студеницом Хвостанском, дати су 5 Азимуте на авионским снимцима измерио је С. Анђелић, године. 1071

6 МИЛУТИН ТАДИЋ Слика 4: Оријентација уздужних оса четири знамените средњовековне цркве у АП КиМ (Република Србија). 1072

7 OРИЈЕНТАЦИЈА НАЈЗНАМЕНИТИЈИХ СРЕДЊОВЕКОВНИХ ЦРКАВА У АП КОСОВУ И МЕТОХИЈИ сажети одељци текста о сваком манастиру, са сличним садржајем: географски положај, патрон и ктитор цркве, вероватна година почетка градње, архитектонски стил и тип цркве, додатне напомене. Географски положај манастира у наредним одељцима дат је на основу топографске карте, основни подаци су преузети са сајта САНУ, 6 док су стилска одређења наведена према Слободану Ненадовићу (Ненадовић, 2003). Студеница Хвостанска ( Мала Студеница ) налази се на крајњем северозападном ободу Метохије (Метохијске котлине), десетак километара североисточно од Пећи. Названа је по селу и области у којима се налази. На жалост, манастир није сачуван, остали су само развалине на узвишењу изнад села Студеница. (И поред детаљног описа (Кораћ, 1976), положај манастира тешко је утврдити на топографској карти јер нема одговарајућег картографског знака, а назначена надморска висина 500 м збуњује изохипса 500 м пролази пољем а не падинама изнад села где би требао да се налази манастир.) Католикон, црква Успења Пресв. Богородице (сл. 4.1), подигнут је у трећој деценији 13. века. По архитектонском стилу одговара облицима рашке школе, а по типу спада у групу једнобродних грађевина са куполом. Манастир Пећка патријаршија налази се на северозападном ободу Метохије, око два километра западно од Пећи, пред улазом Пећке Бистрице у Руговску клисуру. Католикон манастира јесте скуп од четири спојене цркве са заједничком припратом (сл. 4.2). Најстарију од њих, цкву Св. Апостола, подигао је архиепископ Арсеније I у трећој деценији XIII века. Припада рашкој градитељској школи. Манастир се од налази Листи светске баштине (UNESCO). Богородица Љевишка (црква Успења Пресв. богородице) (сл. 4.3) налази се у на крајњем југоистоку Метохије, у граду Призрену. Једина је од разматраних цркава која није манастирска: ради се о катедрали коју је краљ Милутин 1306/7. подигао (обновио старију, византијску) за Призренску епископију. По стилској подели, Богородица Љевишка спада у групу цркава уписаног краста комбинованог са базиликом. Краљ је градњу поверио протомајстору Николи који је, претпоставља се, дошао из Епира. Од црква је уписана на Листу светске баштине (UNESCO). Манастир Бањска се налази на северу АП Косово и Метохија, сверозападно од Звечана, у долини истоимене реке, око 4 km узводно од њеног ушћа у Ибар. Манастир је између и себи за гробницу подигао краљ Милутин. Католикон, црква Св. Стефана (сл. 4.4), припада типу једнобродне цркве са куполама, као и скоро све друге цркве Рашке школе. Манастир Грачаница налази се на источном ободу централног дела Косова (Косовске котлине), у истоименом насељу. Основао га је и обновио краљ Милутин у другој деценији 14. века. Католикон Успења Пресв. 6 spomenicikulture.mi.sanu.ac.rs/ 1073

8 МИЛУТИН ТАДИЋ Богородице (сл. 5.1) јесте црква чисто византијског стила (Марковић, 1920). Припада типу двоструког уписаног крста, решењу које је примењено једино код Грачанице, и више нигде, како у српској средњовековној архитектури, тако и у византијској (Ненадовић, 2003). Манастир је уписан на Листу светске баштине (UNESCO). Слика 5: Оријентација уздужних оса три знамените средњовековне цркве у АП КиМ (Република Србија). Манастир Дечани се налази западном ободу Метохије, око два километра западно од Дечана, на месту где Дечанска Бистрица улази у Метохијску котлину. Основао га је себи за гробницу године краљ Стефан Урош Дечански III, а завршио његов син, цар Душан. Краљ је по манастиру остао упамћен као Стефан Дечански, док је сам манастир познат 1074

9 OРИЈЕНТАЦИЈА НАЈЗНАМЕНИТИЈИХ СРЕДЊОВЕКОВНИХ ЦРКАВА У АП КОСОВУ И МЕТОХИЈИ као Високи Дечани због тога што је његов католикон навећа српска грађевина средњег века (Марковић, 1920) (укупна висина католикона, цркве Христа Пантократора, износи 25 м). По архитектонском стилу припада рашкој школи (претежу романски елементи), типу вишебродне цркве са куполама (сл. 5.2). Градња цркве је трајала осам година а протомајстор је био фрањевац Вита из Котора. Дечани су уписани на Листу Светске баштине (UNESCO). Манастир Светих Арханђела налази се на крајњем југоистоку Метохије, у клисури Призренске Бистрице, на око 2,5 км пре улаза те реке у Призрен (у Призренско поље). Манастир је себи за гробницу подигао цар Душан средином 14. века (1343/45). На жалост, манастир није сачуван, остали су само зидови католикона Св. Арханђела (сл. 5.3) и параклиса Св. Николе. Католикон је последњи велики споменик рашке школе, који је уметничке стране превазилази Дечане (Марковић, 1920). По архитектонским својствима припада типу развијеног уписаног крста, а параклис Св. Николе варијанти сажетог уписаног крста. При анализи оријентације изабраних цркава са Простора АП КиМ, треба имати на уму да су сви они, са изузетком католикона Дечана, настали обнављањем некадашњих византијских цркава које су у неким случајевима рушене до темеља, а у неким случајевима делимично уклапане у нову грађевину: у основи Богородице Хвостанске је рановизантијска базилика из 6. века (Јанковић, 1985), Св. Апостоли су настављени на византијску базилику (9-11. век) (Чанак-Медић, 1995), Богородица Љевишка лежи на остацима цркве из 13. века испод које су темељи старије византијске базилике (9-11. век), католикон манастира Грачанице на месту је старе цркве која се налази на темељима још старије базилике (9-11. век) (Јанковић, 1985), испод пода Св. Арханђела нађени су остаци старе византијске цркве, а у Бањској је постојао манастир и пре Милутинове обнове (Марковић, 1920). То су цркве са наслеђеном оријентацијом и када се анализирају одступања њихових оса од равнодневачког истока, проверава се умеће оријентације не протомајстора из немањићког периода, него њихових византијских претходника. Већина разматраних цркава не одступа више од 5,5, с тим да су, са математичко-географског становишта, најтачније оријентисани Богородица Љевишка и католикон манастира Бањска (таб. 2). Знатнија одступања оса од равнодневачког истока установљена су само код католикона манастира Богородице Хвостанске, Грачанице и Св. Арханђела (таб. 2). 1075

10 МИЛУТИН ТАДИЋ Табела 2. Датуми у којима сунце стварно излази у продужетку уздужних оса најзнаменитијих цркава у АП КиМ Излазак сунца (Sun rise) Манастир Monastery Црква Church Отклон осе Axis deviation ГК I ГК II ЈК I ЈК II Студеница Хвостанска Пећка патријаршија Успења Пресв. Богородице 10 SE Св. Апостола 4,5 SE Богородица Љевишка 2 NE Св. Стефана 2 SE NE ,5 NE Покретни празник 31 SE Бањска Грачаница Дечани Св. Арханђели Успења Пресв. Богородице Христа Пантократора Св. Арханђела Дан патрона Patron's day Богородица Хвостанска је подигнута на заравњеном врху купастог гребена, заједно са још два параклиса, северно и јужно од католикона, и свим објектима уобичајним за манастирски комплекс, па се може претпоставити да је протомајстор за 10 закренуо католикон да би унутар манастирских одмбрамебних зидова спаковао све објекте, и то сваки на своје место. Слика 6: Огољели манастирски комплекс манастира Св. Арханђели, поглед са истока (фото С. Темерински):1)католикон Св. Арханђела; 2) трпезарија са кухињом; 3) главни улаз у манастир; 4)параклис Св. Николе; 4) ђелије; 5) болница. 1076

11 OРИЈЕНТАЦИЈА НАЈЗНАМЕНИТИЈИХ СРЕДЊОВЕКОВНИХ ЦРКАВА У АП КОСОВУ И МЕТОХИЈИ Прилагођавање положаја католикона терену, најочитије је код манастира Св. Арханђели (сл. 6). Оса католикона отклоњена је 31 од равнодневачког истока ка SE што се теоретски може повезати са тачком изласка сунца зимског солстицијума. Стварно, манастир се налази у клисури, источни сектор хоризонта је заклоњен, тачке изласка сунца знатно померене ка SE, тако да сунце у том правцу излази већ почетком марта (таб. 2). Мало је пак вероватно да је протомајстор, гледајући излазак сунца над физичким хоризонтом, тих дана обележио главну црквену осу; пре ће бити да је осу цркве извео из равнодневачког правца из практичних разлога. Могао се управљати према тачно оријентисаним темељима претходне византијске цркве чије су трагове открили археолози, а није, него је католикон закренуо да би на скученом простору речне терасе задовољио традиционалну просторну структуру средњовековних српских манастира према којој католикон треба да буде на узвишеном месту, а трпезарија и улаз у манастир насупрот главног улаза у католикон (Поповић, 1994). Још више од равнодневачког истока одступа оса параклиса Св. Николе (50 SE) који је први изграђен, као модел, и прислоњен уз падину стеновитог брда, да би оставио централно место будућем католикону (сл. 6). Слика 7: Тлоцрт католикона Грачанице у мрежи поларне стереографске пројекције небеске сфере: тачка Т јесте тачка пресека вертикала осе цркве и физичког хоризонта, тј. тачка стварног изласка сунца у продужетку црквене осе. 1077

12 МИЛУТИН ТАДИЋ За разлику од Студенице Хвостанске и Св. Арханђела, манастир Грачаница је подигнут на равном и отвореном терену који није диктирао знатан отклон осе (17 NE) византијске цркве која је претходила Милутиновом католикону. Када је рељеф елиминисан као могући узрок, може се активирати претпоставка да је први протомајстор осу цркве усмерио ка излазећем сунцу одређеног дана. На већ описани начин израчунато је да је то у пролеће могао извести 4. маја по Грегоријанском календару, тј. око Ђурђевдана (таб. 2, сл. 7). Ако је био тај дан, можда није случајно изабран можда је св. Ђорђе био патрон првоподигнуте цркве. 4. ЗАКЉУЧАК Најзнаменитије средњовековне цркве у АП КиМ, њих седам (таб. 1), размештене су у пољу географске мреже Δϕ = 46', Δλ = 56', по ободу Косовске и Метохијске котлине, на средњој надморској висини 535 м. Са изузетком Богородице Хвостанске, све се налазе у долинама река, (од којих су три Бистрице Пећка, Дечанска и Призренска). Богородица Хвостанска изузетак је и по томе што једина није владарска задужбина. Све разматране цркве су оријентисане у складу са црквеним правилом усмерене су ка истоку, односно ка изласку сунца. Знатније одступање главне осе од тачке истока постоји код католикона Студенице Хвостанске, Св. Арханђела и Грачанице. Код прва два католикона ради се, највероватније, о диктату терена: у настојању да на скученом простору задовоље устаљени просторни концепт манастира, протомајстори су осу цркава извели из равнодневачког правца (али не и ван источног сектора физичког хоризонта). Католикон манастира Грачаница подигнут је на равном и отвореном терену тако да се отклон може тумачити претпоставком да се протомајстор управљао према излазећем сунцу. Ако је на тај начин усмерио осу цркве, учинио је то око Ђурђевдана. Главне осе остале четири цркве не одступају више од ± 5,5 што се може толерисати када се узму у обзир методе и средства које је користио средњовековни протомајстор, и све захтеве које је морао испунити: није било довољно да темељито уравна терен, да гномоном пажљиво одреди подневачку линију, конструише нормалу на њу (рецимо помоћу громе), угаоницима обележи и ужетом по дијагоналама подеси темена оквирне правоугаоне основе цркве чија је дужина била метара... осим тога морао је утемељити цркву на сигурном месту и на стабилној подлози, са отвореним погледом кроз олтарски прозор (који је својеврсно око цркве), водећи при томе рачуна да католикон заузима централно место и надвишава остале објекте манастирског комплекса, а да западно од њега требају бити трпезарија и главни улаз у манастир. Са математичко-географског и астрономског становишта, тачно су оријентисане две задужбине краља Милутина Богородица Љевишка и црква Св. Стефана, католикон манастира Бањске. (Те две цркве су 1078

13 OРИЈЕНТАЦИЈА НАЈЗНАМЕНИТИЈИХ СРЕДЊОВЕКОВНИХ ЦРКАВА У АП КОСОВУ И МЕТОХИЈИ оријентисане у дословном смислу те речи.) Не зна се ко је био протомајстор цркве Св. Стефана, нити да ли је при оријентацији пратио темеље цркве старијег манастира, док је за Богородицу Љевишку обоје познато: протомајстор је био Никола из Епира који се није бавио оријентацијом с обзиром да је обновио већ оријентисану цркву из 13. века, која је опет ту оријентацију наследила од базилике (9-11. век) на чијим темељима је подигнута. Од седам разматраних цркава, шест њих су подигнуте на местима старијих цркава. Четири цркве Богородица Хвостанска, Богородица Љевишка, црква Св. Апостола Пећке Патријаршије и грачаничка црква Успења Пресв. Богородице верно су наследиле оријентацију цркава чији темељи леже испод њих; са Св. Арханђелима то није случај, док је још неутврђен однос оса цркве Св. Стефана и цркве која јој је претходила. Изворно је оријентисана само највећа српска грађевина средњег века, дечанска црква Христа Пантократора, чији је прoтомајстор, како стоји у натпису на јужном порталу, био Фра Вита, мали брат [фрањевац], протомајстор из Котора, града краљева. Најмоћнији средњовековни српски владари доводили су врсне протомајсторе и из Византије и из јадранског приморја, углавном из Котора, тако да владарске задужбине имају одлике и византијског и романског архитектонског стила. Протомајстори су били наследници римских архитеката који су, осим техничке праксе, имали теоријско образовање које је, уз геометрију, аритметику и физику, укључивало и астрономију. Тако цркве које су саградили представљају не само ремек дела српског и европског градитељства, него и својеврсне монументалне оријентире у простору који сведоче о њиховом астрономском знању. Протомајстори из приморја са собом су доводили екипе које су чинили њихови ученици, разноврсне занатлије и уметници. Природно је да су уговорима обавезивани и да градњи подуче домаће мајсторе. Уз зимске прекиде, радови на једној цркви трајали су и по неколико година (осам година у Дечанима) тако да су српски асистенти имали времена да украду занат, и умеће оријентације. Да је то тако, сведоче касније настале цркве моравске школе, аутохтоно српског архитектонског стила. Литература Јанковић, М.: 1985, Епископије и митрополије Српске цркве у средњем веку, Народна књига и Историјски институт у Београду, Београд. Кораћ, В.: 1976, Студеница Хвостанска, Филозофски факултет и Институт за историју уметности, Београд. Kosovo and Metohija The March Pogrom: 2004, Ed. Jokić B. Beograd: Ministry of Culture of the Republic of Serbia & Museum in Priština (displaced). Манастир Свети Арханђели: 2012, Уред. Никчевић, Р. и др, Светигора, Цетиње. Марковић, В.: 1920, Православно монаштво и манастири у средњовековној Србији, Сремски Карловци. 1079

14 МИЛУТИН ТАДИЋ Мирковић, Л.: 1966, Православна литургика или наука о богослужењу православне источне цркве I, Српски архијерејски синод СПЦ, Београд. Ненадовић, М. С.: 2003, Грађевинска техника у средњовековној Србији, Просвета, Београд Новаковић, С.: 1884, Одломци средњовјековне космографије и географије, Старине ЈАЗУ, XVI, Поповић, С.: 1994, Крст у кругу: архитектура манастира у средњовековној Србији, Републички завод за заштиту споменика културе и Просвета, Београд. Тадић, М., Бабић, С.: 2010, Оријентација Богородичине цркве манастира Студенице, Зборник радова наставника и сарадника Географ. факултета, LVIII, Тадић, М., Петровић, А.: 2011, Мathematical-geographical аnalysis of the orientation of st Јohn s church of the Studenica monastery, Journal of the Geographical Institute Jovan Cvijić 61(1), 1-11 (Available online at Чанак-Медић, М.: 1995, Свети Апостоли у Пећи са дозиданим грађевинама, Архитектура прве половине XIII века II. Уред. Радомир, С. (стр ), Републички завод за заштиту споменика културе, Београд. THE ORIENTATION OF THE MOST FAMOUS MEDIEVAL CHURCHES ON THE TERRITORY OF THE AUTONOMOUS PROVINCE OF KOSOVO-METOHIJA (REPUBLIC OF SERBIA) The article presents the astronomical view of the orientation of seven famous medieval churches on the territory of autonomous province of Kosovo-Metohija. Those Serbian orthodox churches were described by the Institute for the Protection of Cultural Monuments of Republic of Serbia as the immobile goods of exceptional importance (Fig. 1, Tab. 1). Four churches are listed in UNESCO s List of World Heritage, under the mutual (and inappropriate) title Medieval Monuments in Kosovo. They are all except Studenica Hvostanska foundations of the most powerful medieval Serbian rulers, and they are all except The Holy Virgin of Ljevisa the main monastery churches, catholicons. All churches were orientated by the church rule: their main axes lie in the eastern sector of the horizon (horizon sector bounded by the points of the solstice sunrises) (tab. 2). That is why they are not only the masterpieces of European architecture but also the monumental landmarks. The axes of the catholicons of Studenica Hvostanska (Fig. 2.1), St. Archangel (Fig. 5.3) and Gračanica Monastery (Fig. 5.1) deviate notably from the point of the East. First two deviations are probably the consequence of the land relief. The orientation of Gračanica Monastery catholicon can be linked with the Sun geometry (the axis is directed to point when the Sun rises around St. George s Day (Fig. 7). The axes of the other churches deviate from the point of the East within the boundaries of ±5,5 (Tab. 2). It can be tolerated because of the methods and the tools used by medieval architects, and all tasks they had to fulfill. From the astronomical point of view The Holy Virgin of Ljevisa (Fig. 4.3) and the catholicon of the Banjska Monastery (Fig. 4.4) are orientated most accurately. 1080

15 OРИЈЕНТАЦИЈА НАЈЗНАМЕНИТИЈИХ СРЕДЊОВЕКОВНИХ ЦРКАВА У АП КОСОВУ И МЕТОХИЈИ We know who was the main architect of The Holy Virgin of Ljevisa Nicholas from Epirus. But we also know that he did not orientated the church, because it was built on the foundation of the older Byzantine church. Other churches also inherited the orientation, all except Christ Pantocrator Church (Fig. 5.2) which was built and orientated by the Franciscan friar Vita from Kotor. During the organized violence in March 2004 Serbian orthodox churches on the territory of autonomous province of Kosovo-Metohija were destroyed, burned and desecrated (Fig. 2), including The Holy Virgin of Ljevisa from the UNESCO s List of World Heritage. Because of that, all Serbian monuments from that list were also added on the UNES- CO s List of World Heritage in Danger. That is why it is important to write about them continuously. 1081

ЦРКВЕ РАШКЕ ШКОЛЕ МОНУМЕНТАЛНИ ОРИЈЕНТИРИ (математичкогеографски поглед на оријентацију цркава рашке школе)

ЦРКВЕ РАШКЕ ШКОЛЕ МОНУМЕНТАЛНИ ОРИЈЕНТИРИ (математичкогеографски поглед на оријентацију цркава рашке школе) Зборник радова Географски факултет Универзитета у Београду 60 (193-204) Оригинални научни рад УДК 528.283:726.54(497.11) ЦРКВЕ РАШКЕ ШКОЛЕ МОНУМЕНТАЛНИ ОРИЈЕНТИРИ (математичкогеографски поглед на оријентацију

Διαβάστε περισσότερα

MAТЕМАТИЧКОГЕОГРАФСКА АНАЛИЗА ОРИЈЕНТАЦИЈЕ СТУДЕНИЧКЕ ЦРКВЕ СВ. ЈОВАНА

MAТЕМАТИЧКОГЕОГРАФСКА АНАЛИЗА ОРИЈЕНТАЦИЈЕ СТУДЕНИЧКЕ ЦРКВЕ СВ. ЈОВАНА Доступно онлајн на www.gi.sanu.ac.rs Зборник радова Географског института Јован Цвијић САНУ 61(1) (1-10) Оригинални научни рад УДК:910.1:51 MAТЕМАТИЧКОГЕОГРАФСКА АНАЛИЗА ОРИЈЕНТАЦИЈЕ СТУДЕНИЧКЕ ЦРКВЕ СВ.

Διαβάστε περισσότερα

налазе се у диелектрику, релативне диелектричне константе ε r = 2, на међусобном растојању 2 a ( a =1cm

налазе се у диелектрику, релативне диелектричне константе ε r = 2, на међусобном растојању 2 a ( a =1cm 1 Два тачкаста наелектрисања 1 400 p и 100p налазе се у диелектрику релативне диелектричне константе ε на међусобном растојању ( 1cm ) као на слици 1 Одредити силу на наелектрисање 3 100p када се оно нађе:

Διαβάστε περισσότερα

1.2. Сличност троуглова

1.2. Сличност троуглова математик за VIII разред основне школе.2. Сличност троуглова Учили смо и дефиницију подударности два троугла, као и четири правила (теореме) о подударности троуглова. На сличан начин наводимо (без доказа)

Διαβάστε περισσότερα

г) страница aa и пречник 2RR описаног круга правилног шестоугла јесте рац. бр. јесу самерљиве

г) страница aa и пречник 2RR описаног круга правилног шестоугла јесте рац. бр. јесу самерљиве в) дијагонала dd и страница aa квадрата dd = aa aa dd = aa aa = није рац. бр. нису самерљиве г) страница aa и пречник RR описаног круга правилног шестоугла RR = aa aa RR = aa aa = 1 јесте рац. бр. јесу

Διαβάστε περισσότερα

Теорија електричних кола

Теорија електричних кола др Милка Потребић, ванредни професор, Теорија електричних кола, вежбе, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 7. Теорија електричних кола i i i Милка Потребић др Милка Потребић, ванредни професор,

Διαβάστε περισσότερα

6.2. Симетрала дужи. Примена

6.2. Симетрала дужи. Примена 6.2. Симетрала дужи. Примена Дата је дуж АВ (слика 22). Тачка О је средиште дужи АВ, а права је нормална на праву АВ(p) и садржи тачку О. p Слика 22. Права назива се симетрала дужи. Симетрала дужи је права

Διαβάστε περισσότερα

Оријентација старих православних цркава у Републици Србији северно од Саве и Дунава Милутин Тадић, Ивана Нешић

Оријентација старих православних цркава у Републици Србији северно од Саве и Дунава Милутин Тадић, Ивана Нешић ЗБОРНИК РАДОВА Географски факултет Универзитета у Београду: Свеска LXI COLLECTION OF PAPERS Faculty of Geography at the University of Belgrade: Vol. LXI Оријентација старих православних цркава у Републици

Διαβάστε περισσότερα

МАТЕМАТИЧКОГЕОГРАФСКА АНАЛИЗА ОРИЈЕНТАЦИЈЕ ДВЕ РАНОХРИШЋАНСКЕ ЦРКВЕ У СРБИЈИ

МАТЕМАТИЧКОГЕОГРАФСКА АНАЛИЗА ОРИЈЕНТАЦИЈЕ ДВЕ РАНОХРИШЋАНСКЕ ЦРКВЕ У СРБИЈИ Зборник радова Географски факултет Универзитета у Београду 59 (223-230) Оригинални научни рад УДК 528.283:726.54(497.11) МАТЕМАТИЧКОГЕОГРАФСКА АНАЛИЗА ОРИЈЕНТАЦИЈЕ ДВЕ РАНОХРИШЋАНСКЕ ЦРКВЕ У СРБИЈИ Милутин

Διαβάστε περισσότερα

ГЛАСНИК СРПСКОГ ГЕОГРАФСKОГ ДРУШТВА BULLETIN OF THE SERBIAN GEOGRAPHICAL SOCIETY ГОДИНА СВЕСКА XCII- Бр. 1 YEAR 2012 TOME XCII - N о 1

ГЛАСНИК СРПСКОГ ГЕОГРАФСKОГ ДРУШТВА BULLETIN OF THE SERBIAN GEOGRAPHICAL SOCIETY ГОДИНА СВЕСКА XCII- Бр. 1 YEAR 2012 TOME XCII - N о 1 ГЛАСНИК СРПСКОГ ГЕОГРАФСKОГ ДРУШТВА BULLETIN OF THE SERBIAN GEOGRAPHICAL SOCIETY ГОДИНА 2012. СВЕСКА XCII- Бр. 1 YEAR 2012 TOME XCII - N о 1 Оригиналан научни рад UDC: 911.3:27-522.2(497.11) DOI: 10.2298/GSGD1201185T

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ ОБАВЕЗНО ПРОЧИТАТИ ОПШТА УПУТСТВА 1. Сваки

Διαβάστε περισσότερα

Tестирање хипотеза. 5.час. 30. март Боjана Тодић Статистички софтвер март / 10

Tестирање хипотеза. 5.час. 30. март Боjана Тодић Статистички софтвер март / 10 Tестирање хипотеза 5.час 30. март 2016. Боjана Тодић Статистички софтвер 2 30. март 2016. 1 / 10 Монте Карло тест Монте Карло методе су методе код коjих се употребљаваjу низови случаjних броjева за извршење

Διαβάστε περισσότερα

ОРИЈЕНТАЦИЈА БОГОРОДИЧИНЕ ЦРКВЕ МАНАСТИРА СТУДЕНИЦЕ

ОРИЈЕНТАЦИЈА БОГОРОДИЧИНЕ ЦРКВЕ МАНАСТИРА СТУДЕНИЦЕ Зборник радова, св. LVIII, 2010. Collection of the Papers, vol. LVIII, 2010 Оригинални научни рад УДК 528.283:726.71(497.11) Original scientific article Милутин Тадић Саша Бабић ОРИЈЕНТАЦИЈА БОГОРОДИЧИНЕ

Διαβάστε περισσότερα

КРУГ. У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице.

КРУГ. У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице. КРУГ У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице. Архимед (287-212 г.п.н.е.) 6.1. Централни и периферијски угао круга Круг

Διαβάστε περισσότερα

3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни

3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни ТАЧКА. ПРАВА. РАВАН Талес из Милета (624 548. пре н. е.) Еуклид (330 275. пре н. е.) Хилберт Давид (1862 1943) 3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни Настанак геометрије повезује

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 013/014. година ТЕСТ

Διαβάστε περισσότερα

6.5 Површина круга и његових делова

6.5 Површина круга и његових делова 7. Тетива је једнака полупречнику круга. Израчунај дужину мањег одговарајућег лука ако је полупречник 2,5 сm. 8. Географска ширина Београда је α = 44 47'57", а полупречник Земље 6 370 km. Израчунај удаљеност

Διαβάστε περισσότερα

6.1. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре

6.1. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре 0 6.. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре У обичном говору се често каже да су неки предмети симетрични. Примери таквих објеката, предмета, геометријских

Διαβάστε περισσότερα

2. Наставни колоквијум Задаци за вежбање ОЈЛЕРОВА МЕТОДА

2. Наставни колоквијум Задаци за вежбање ОЈЛЕРОВА МЕТОДА . колоквијум. Наставни колоквијум Задаци за вежбање У свим задацима се приликом рачунања добија само по једна вредност. Одступање појединачне вредности од тачне вредности је апсолутна грешка. Вредност

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Тест Математика Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 00/0. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

предмет МЕХАНИКА 1 Студијски програми ИНДУСТРИЈСКО ИНЖЕЊЕРСТВО ДРУМСКИ САОБРАЋАЈ II ПРЕДАВАЊЕ УСЛОВИ РАВНОТЕЖЕ СИСТЕМА СУЧЕЉНИХ СИЛА

предмет МЕХАНИКА 1 Студијски програми ИНДУСТРИЈСКО ИНЖЕЊЕРСТВО ДРУМСКИ САОБРАЋАЈ II ПРЕДАВАЊЕ УСЛОВИ РАВНОТЕЖЕ СИСТЕМА СУЧЕЉНИХ СИЛА Висока техничка школа струковних студија у Нишу предмет МЕХАНИКА 1 Студијски програми ИНДУСТРИЈСКО ИНЖЕЊЕРСТВО ДРУМСКИ САОБРАЋАЈ II ПРЕДАВАЊЕ УСЛОВИ РАВНОТЕЖЕ СИСТЕМА СУЧЕЉНИХ СИЛА Садржај предавања: Систем

Διαβάστε περισσότερα

Предмет: Задатак 4: Слика 1.0

Предмет: Задатак 4: Слика 1.0 Лист/листова: 1/1 Задатак 4: Задатак 4.1.1. Слика 1.0 x 1 = x 0 + x x = v x t v x = v cos θ y 1 = y 0 + y y = v y t v y = v sin θ θ 1 = θ 0 + θ θ = ω t θ 1 = θ 0 + ω t x 1 = x 0 + v cos θ t y 1 = y 0 +

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ПРОБНИ ЗАВРШНИ ИСПИТ школска 016/017. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ПРЕГЛЕДАЊЕ

Διαβάστε περισσότερα

10.3. Запремина праве купе

10.3. Запремина праве купе 0. Развијени омотач купе је исечак чији је централни угао 60, а тетива која одговара том углу је t. Изрази површину омотача те купе у функцији од t. 0.. Запремина праве купе. Израчунај запремину ваљка

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 014/01. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

TAЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА

TAЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА TЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА Два тачкаста наелектрисања оптерећена количинама електрицитета и налазе се у вакууму као што је приказано на слици Одредити: а) Вектор јачине електростатичког поља у тачки А; б) Електрични

Διαβάστε περισσότερα

Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама r и ϕ.

Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама r и ϕ. VI Савијање кружних плоча Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама и ϕ слика 61 Диференцијална једначина савијања кружне плоче је: ( ϕ) 1 1 w 1 w 1 w Z, + + + + ϕ ϕ K Пресечне

Διαβάστε περισσότερα

7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ

7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ 7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ 7.1. ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ху = n (n N) Диофантова једначина ху = n (n N) има увек решења у скупу природних (а и целих) бројева и њено решавање није проблем,

Διαβάστε περισσότερα

b) Израз за угиб дате плоче, ако се користи само први члан реда усвојеног решења, је:

b) Израз за угиб дате плоче, ако се користи само први члан реда усвојеног решења, је: Пример 1. III Савијање правоугаоних плоча За правоугаону плочу, приказану на слици, одредити: a) израз за угиб, b) вредност угиба и пресечних сила у тачки 1 ако се користи само први члан реда усвојеног

Διαβάστε περισσότερα

Први корак у дефинисању случајне променљиве је. дефинисање и исписивање свих могућих eлементарних догађаја.

Први корак у дефинисању случајне променљиве је. дефинисање и исписивање свих могућих eлементарних догађаја. СЛУЧАЈНА ПРОМЕНЉИВА Једнодимензионална случајна променљива X је пресликавање у коме се сваки елементарни догађај из простора елементарних догађаја S пресликава у вредност са бројне праве Први корак у дефинисању

Διαβάστε περισσότερα

Вектори vs. скалари. Векторске величине се описују интензитетом и правцем. Примери: Померај, брзина, убрзање, сила.

Вектори vs. скалари. Векторске величине се описују интензитетом и правцем. Примери: Померај, брзина, убрзање, сила. Вектори 1 Вектори vs. скалари Векторске величине се описују интензитетом и правцем Примери: Померај, брзина, убрзање, сила. Скаларне величине су комплетно описане само интензитетом Примери: Температура,

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 01/01. година ТЕСТ

Διαβάστε περισσότερα

СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ

СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ 8.. Линеарна једначина с две непознате Упознали смо појам линеарног израза са једном непознатом. Изрази x + 4; (x 4) + 5; x; су линеарни изрази. Слично, линеарни

Διαβάστε περισσότερα

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ предмет: ОСНОВИ МЕХАНИКЕ студијски програм: ЗАШТИТА ЖИВОТНЕ СРЕДИНЕ И ПРОСТОРНО ПЛАНИРАЊЕ ПРЕДАВАЊЕ БРОЈ 2. Садржај предавања: Систем сучељних сила у равни

Διαβάστε περισσότερα

Примена првог извода функције

Примена првог извода функције Примена првог извода функције 1. Одреди дужине страница два квадрата тако да њихов збир буде 14 а збир површина тих квадрата минималан. Ре: x + y = 14, P(x, y) = x + y, P(x) = x + 14 x, P (x) = 4x 8 Први

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 011/01. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

ОБЛАСТИ: 1) Тачка 2) Права 3) Криве другог реда

ОБЛАСТИ: 1) Тачка 2) Права 3) Криве другог реда ОБЛАСТИ: ) Тачка ) Права Jov@soft - Март 0. ) Тачка Тачка је дефинисана (одређена) у Декартовом координатном систему са своје две коодринате. Примери: М(5, ) или М(-, 7) или М(,; -5) Jov@soft - Март 0.

Διαβάστε περισσότερα

Теорија електричних кола

Теорија електричних кола Др Милка Потребић, ванредни професор, Теорија електричних кола, вежбе, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 7. Теорија електричних кола Милка Потребић Др Милка Потребић, ванредни професор,

Διαβάστε περισσότερα

Анализа Петријевих мрежа

Анализа Петријевих мрежа Анализа Петријевих мрежа Анализа Петријевих мрежа Мере се: Својства Петријевих мрежа: Досежљивост (Reachability) Проблем досежљивости се састоји у испитивању да ли се може достићи неко, жељено или нежељено,

Διαβάστε περισσότερα

Слика 1. Слика 1.2 Слика 1.1

Слика 1. Слика 1.2 Слика 1.1 За случај трожичног вода приказаног на слици одредити: а Вектор магнетне индукције у тачкама А ( и ( б Вектор подужне силе на проводник са струјом Систем се налази у вакууму Познато је: Слика Слика Слика

Διαβάστε περισσότερα

7.3. Површина правилне пирамиде. Површина правилне четворостране пирамиде

7.3. Површина правилне пирамиде. Површина правилне четворостране пирамиде математик за VIII разред основне школе 4. Прво наћи дужину апотеме. Како је = 17 cm то је тражена површина P = 18+ 4^cm = ^4+ cm. 14. Основа четворостране пирамиде је ромб чије су дијагонале d 1 = 16 cm,

Διαβάστε περισσότερα

Аксиоме припадања. Никола Томовић 152/2011

Аксиоме припадања. Никола Томовић 152/2011 Аксиоме припадања Никола Томовић 152/2011 Павле Васић 104/2011 1 Шта је тачка? Шта је права? Шта је раван? Да бисмо се бавили геометријом (и не само геометријом), морамо увести основне појмове и полазна

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ ОБАВЕЗНО ПРОЧИТАТИ ОПШТА УПУТСТВА 1. Сваки

Διαβάστε περισσότερα

6.3. Паралелограми. Упознајмо још нека својства паралелограма: ABD BCD (УСУ), одакле је: а = c и b = d. Сл. 23

6.3. Паралелограми. Упознајмо још нека својства паралелограма: ABD BCD (УСУ), одакле је: а = c и b = d. Сл. 23 6.3. Паралелограми 27. 1) Нацртај паралелограм чији је један угао 120. 2) Израчунај остале углове тог четвороугла. 28. Дат је паралелограм (сл. 23), при чему је 0 < < 90 ; c и. c 4 2 β Сл. 23 1 3 Упознајмо

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 0/06. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

I Тачка 1. Растојање две тачке: 2. Средина дужи y ( ) ( ) 2. II Права 1. Једначина прамена правих 2. Једначина праве кроз две тачке ( )

I Тачка 1. Растојање две тачке: 2. Средина дужи y ( ) ( ) 2. II Права 1. Једначина прамена правих 2. Једначина праве кроз две тачке ( ) Шт треба знати пре почетка решавања задатака? АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА У РАВНИ I Тачка. Растојање две тачке:. Средина дужи + ( ) ( ) + S + S и. Деоба дужи у односу λ: 4. Површина троугла + λ + λ C + λ и P

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2011/2012. година ТЕСТ 3 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

ТРАПЕЗ РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ. Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце

ТРАПЕЗ РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ. Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ ТРАПЕЗ Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце Ментор :Криста Ђокић, наставник математике Власотинце, 2011. године Трапез

Διαβάστε περισσότερα

4.4. Паралелне праве, сечица. Углови које оне одређују. Углови са паралелним крацима

4.4. Паралелне праве, сечица. Углови које оне одређују. Углови са паралелним крацима 50. Нацртај било које унакрсне углове. Преношењем утврди однос унакрсних углова. Какво тврђење из тога следи? 51. Нацртај угао чија је мера 60, а затим нацртај њему унакрсни угао. Колика је мера тог угла?

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2010/2011. година ТЕСТ 3 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

4. Троугао. (II део) 4.1. Појам подударности. Основна правила подударности троуглова

4. Троугао. (II део) 4.1. Појам подударности. Основна правила подударности троуглова 4 Троугао (II део) Хилберт Давид, немачки математичар и логичар Велики углед у свету Хилберту је донело дело Основи геометрије (1899), у коме излаже еуклидску геометрију на аксиоматски начин Хилберт Давид

Διαβάστε περισσότερα

8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х 2 + у 2 = z 2

8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х 2 + у 2 = z 2 8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х + у = z Један од најзанимљивијих проблема теорије бројева свакако је проблем Питагориних бројева, тј. питање решења Питагорине Диофантове једначине. Питагориним бројевима или

Διαβάστε περισσότερα

ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ПРЕГЛЕДАЊЕ

ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ПРЕГЛЕДАЊЕ Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ ЗА УЧЕНИКЕ СА ПОСЕБНИМ СПОСОБНОСТИМА ЗА ИНФОРМАТИКУ

Διαβάστε περισσότερα

Нивелмански инструмент (нивелир) - конструкција и саставни делови, испитивање и ректификација нивелира, мерење висинских разлика техничким нивелманом

Нивелмански инструмент (нивелир) - конструкција и саставни делови, испитивање и ректификација нивелира, мерење висинских разлика техничким нивелманом висинских техничким нивелманом Страна 1 Радна секција: 1.. 3. 4. 5. 6. Задатак 1. За нивелмански инструмент нивелир са компензатором серијски број испитати услове за мерење висинских : 1) Проверити правилност

Διαβάστε περισσότερα

Писмени испит из Теорије површинских носача. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама.

Писмени испит из Теорије површинских носача. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама. Београд, 24. јануар 2012. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама. dpl = 0.2 m P= 30 kn/m Линијско оптерећење се мења по синусном закону: 2. За плочу

Διαβάστε περισσότερα

ЗАШТИТА ПОДАТАКА Шифровање јавним кључем и хеш функције. Diffie-Hellman размена кључева

ЗАШТИТА ПОДАТАКА Шифровање јавним кључем и хеш функције. Diffie-Hellman размена кључева ЗАШТИТА ПОДАТАКА Шифровање јавним кључем и хеш функције Diffie-Hellman размена кључева Преглед Биће објашњено: Diffie-Hellman размена кључева 2/13 Diffie-Hellman размена кључева први алгоритам са јавним

Διαβάστε περισσότερα

ПОВРШИНа ЧЕТВОРОУГЛОВА И ТРОУГЛОВА

ПОВРШИНа ЧЕТВОРОУГЛОВА И ТРОУГЛОВА ПОВРШИНа ЧЕТВОРОУГЛОВА И ТРОУГЛОВА 1. Допуни шта недостаје: а) 5m = dm = cm = mm; б) 6dm = m = cm = mm; в) 7cm = m = dm = mm. ПОЈАМ ПОВРШИНЕ. Допуни шта недостаје: а) 10m = dm = cm = mm ; б) 500dm = a

Διαβάστε περισσότερα

Математика Тест 3 Кључ за оцењивање

Математика Тест 3 Кључ за оцењивање Математика Тест 3 Кључ за оцењивање ОПШТЕ УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ Кључ за оцењивање дефинише начин на који се оцењује сваки поједини задатак. У општим упутствима за оцењивање дефинисане су оне ситуације

Διαβάστε περισσότερα

ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА. k, k 0), осна и централна симетрија и сл. 2, x 0. У претходном примеру неке функције су линеарне а неке то нису.

ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА. k, k 0), осна и централна симетрија и сл. 2, x 0. У претходном примеру неке функције су линеарне а неке то нису. ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА 5.. Функција = a + b Функционалне зависности су веома значајне и са њиховим применама често се сусрећемо. Тако, већ су нам познате директна и обрнута пропорционалност ( = k; = k, k ),

Διαβάστε περισσότερα

2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван

2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван 2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван Човек је за своје потребе градио куће, школе, путеве и др. Слика 1. Слика 2. Основа тих зграда је често правоугаоник или сложенија фигура (слика 3). Слика 3.

Διαβάστε περισσότερα

(од 4. до 155. стране) (од 4. до 73. стране) ДРУГИ, ТРЕЋИ И ЧЕТВРТИ РАЗРЕД - Европа и свет у другој половини 19. и почетком 20.

(од 4. до 155. стране) (од 4. до 73. стране) ДРУГИ, ТРЕЋИ И ЧЕТВРТИ РАЗРЕД - Европа и свет у другој половини 19. и почетком 20. Драгољуб М. Кочић, Историја за први разред средњих стручних школа, Завод за уџбенике Београд, 2007. година * Напомена: Ученици треба да се припремају за из уџбеника обајвљених од 2007 (треће, прерађено

Διαβάστε περισσότερα

Упутство за избор домаћих задатака

Упутство за избор домаћих задатака Упутство за избор домаћих задатака Студент од изабраних задатака области Математике 2: Комбинаторика, Вероватноћа и статистика бира по 20 задатака. Студент може бирати задатке помоћу програмског пакета

Διαβάστε περισσότερα

Универзитет у Београду, Саобраћајни факултет Предмет: Паркирање. 1. вежба

Универзитет у Београду, Саобраћајни факултет Предмет: Паркирање. 1. вежба Универзитет у Београду, Саобраћајни факултет Предмет: Паркирање ОРГАНИЗАЦИЈА ПАРКИРАЛИШТА 1. вежба Место за паркирање (паркинг место) Део простора намењен, технички опремљен и уређен за паркирање једног

Διαβάστε περισσότερα

5.2. Имплицитни облик линеарне функције

5.2. Имплицитни облик линеарне функције математикa за VIII разред основне школе 0 Слика 6 8. Нацртај график функције: ) =- ; ) =,5; 3) = 0. 9. Нацртај график функције и испитај њен знак: ) = - ; ) = 0,5 + ; 3) =-- ; ) = + 0,75; 5) = 0,5 +. 0.

Διαβάστε περισσότερα

Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске

Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске слика. У свакој тачки посматране средње површи, у општем случају, постоје два компонентална померања: v - померање у правцу тангенте на меридијалну

Διαβάστε περισσότερα

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2017/18. бр. LII-3

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2017/18. бр. LII-3 МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 07/8. бр. LII- РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА ИЛИ РЕШЕЊА ЗАДАТАКА ИЗ РУБРИКЕ ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ . III разред. Обим правоугаоника је 6cm + 4cm = cm + 8cm = 0cm. Обим троугла је 7cm + 5cm + cm =

Διαβάστε περισσότερα

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x,

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x, РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x, Већи број: 1 : 4x + 1, (4 бода) Њихов збир: 1 : 5x + 1, Збир умањен за остатак: : 5x = 55, 55 : 5 = 11; 11 4 = ; + 1 = 45; : x = 11. Дакле, први број је 45

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Решавање линеарних једначина с једном непознатом

2.3. Решавање линеарних једначина с једном непознатом . Решимо једначину 5. ( * ) + 5 + Провера: + 5 + 0 5 + 5 +. + 0. Број је решење дате једначине... Реши једначину: ) +,5 ) + ) - ) - -.. Да ли су следеће једначине еквивалентне? Провери решавањем. ) - 0

Διαβάστε περισσότερα

1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1

1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1 1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1 Метод разликовања случајева је један од најексплоатисанијих метода за решавање математичких проблема. У теорији Диофантових једначина он није свемогућ, али је сигурно

Διαβάστε περισσότερα

Површине неких равних фигура

Површине неких равних фигура Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија http://www.pmf.ni.ac.rs/mii Математика и информатика 3() (5), -6 Површине неких равних фигура Жарко Ђурић Париске комуне 4-/8, Врање zarkocr@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

L кплп (Калем у кплу прпстпперипдичне струје)

L кплп (Калем у кплу прпстпперипдичне струје) L кплп (Калем у кплу прпстпперипдичне струје) i L u=? За коло са слике кроз калем ппзнате позната простопериодична струја: индуктивности L претпоставићемо да протиче i=i m sin(ωt + ψ). Услед променљиве

Διαβάστε περισσότερα

ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ПРЕГЛЕДАЊЕ

ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ПРЕГЛЕДАЊЕ Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ ЗА УЧЕНИКЕ СА ПОСЕБНИМ СПОСОБНОСТИМА ЗА ИНФОРМАТИКУ

Διαβάστε περισσότερα

Анђела Гавриловић (Институт за историју уметности, Филозофски факултет, Београд)

Анђела Гавриловић (Институт за историју уметности, Филозофски факултет, Београд) Ni{ i Vizantija XV 289 Анђела Гавриловић (Институт за историју уметности, Филозофски факултет, Београд) О РАЗЛОЗИМА СЛИКАЊА ХЕРУВИМÂ У ПОТКУПОЛНОМ ПРОСТОРУ ЦРКВЕ БОГОРОДИЦЕ ОДИГИТРИЈЕ У ПЕЋКОЈ ПАТРИЈАРШИЈИ

Διαβάστε περισσότερα

2. EЛЕМЕНТАРНЕ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ

2. EЛЕМЕНТАРНЕ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ 2. EЛЕМЕНТАРНЕ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ 2.1. МАТЕМАТИЧКИ РЕБУСИ Најједноставније Диофантове једначине су математички ребуси. Метод разликовања случајева код ових проблема се показује плодоносним, јер је раздвајање

Διαβάστε περισσότερα

Слика бр.1 Површина лежишта

Слика бр.1 Површина лежишта . Конвенционалне методе процене.. Параметри за процену рудних резерви... Површина лежишта Површине лежишта ограничавају се спајањем тачака у којима је истражним радом утврђен контакт руде са јаловином.

Διαβάστε περισσότερα

Штампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике, 1. део, Електростатика

Штампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике, 1. део, Електростатика Штампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике део Страна пасус први ред треба да гласи У четвртом делу колима променљивих струја Штампарске грешке у четвртом издању уџбеника Основи електротехнике

Διαβάστε περισσότερα

Факултет организационих наука Центар за пословно одлучивање. PROMETHEE (Preference Ranking Organization Method for Enrichment Evaluation)

Факултет организационих наука Центар за пословно одлучивање. PROMETHEE (Preference Ranking Organization Method for Enrichment Evaluation) Факултет организационих наука Центар за пословно одлучивање PROMETHEE (Preference Ranking Organization Method for Enrichment Evaluation) Студија случаја D-Sight Консултантске услуге за Изградња брзе пруге

Διαβάστε περισσότερα

АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА. - удаљеност између двије тачке. 1 x2

АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА. - удаљеност између двије тачке. 1 x2 АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА d AB x x y - удаљеност између двије тачке y x x x y s, y y s - координате средишта дужи x x y x, y y - подјела дужи у заданом односу x x x y y y xt, yt - координате тежишта троугла

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 016/017. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

ПРАВНИ СТАТУС ПОСЕДА ЦРКАВА И МАНАСТИРА НА КОСОВУ И МЕТОХИЈИ ПОСЛЕ ДРУГОГ СВЕТСКОГ РАТА

ПРАВНИ СТАТУС ПОСЕДА ЦРКАВА И МАНАСТИРА НА КОСОВУ И МЕТОХИЈИ ПОСЛЕ ДРУГОГ СВЕТСКОГ РАТА БАШТИНА, Приштина Лепосавић, св. 35, 2013 УДК 338.246.025.88:[2-735:347.23(497.115)"1945/1999" Игор ВУКОЊАНСКИ* ПРАВНИ СТАТУС ПОСЕДА ЦРКАВА И МАНАСТИРА НА КОСОВУ И МЕТОХИЈИ ПОСЛЕ ДРУГОГ СВЕТСКОГ РАТА Апстракт:

Διαβάστε περισσότερα

Copyright 2016, Лука Мичета Слика Краљ Милутин на насловној страни Олгица Стефановић. Copyright овог издања 2016, ЛАГУНА

Copyright 2016, Лука Мичета Слика Краљ Милутин на насловној страни Олгица Стефановић. Copyright овог издања 2016, ЛАГУНА Copyright 2016, Лука Мичета Слика Краљ Милутин на насловној страни Олгица Стефановић Copyright овог издања 2016, ЛАГУНА Kupovinom knjige sa FSC oznakom pomažete razvoj projekta odgovornog korišćenja šumskih

Διαβάστε περισσότερα

ТАНГЕНТА. *Кружница дели раван на две области, једну, спољашњу која је неограничена и унутрашњу која је ограничена(кружницом).

ТАНГЕНТА. *Кружница дели раван на две области, једну, спољашњу која је неограничена и унутрашњу која је ограничена(кружницом). СЕЧИЦА(СЕКАНТА) ЦЕНТАР ПОЛУПРЕЧНИК ТАНГЕНТА *КРУЖНИЦА ЈЕ затворена крива линија која има особину да су све њене тачке једнако удаљене од једне сталне тачке која се зове ЦЕНТАР КРУЖНИЦЕ. *Дуж(OA=r) која

Διαβάστε περισσότερα

Живојин Андрејић *1. Центар за митолошке студије Србије, Рача

Живојин Андрејић *1. Центар за митолошке студије Србије, Рача Саборност 5 (2011) Α Ω 181 205 УДК 271.222(497.11)-523.6-135 726.54:271.2(497.11) Живојин Андрејић *1 Центар за митолошке студије Србије, Рача Висока теолошка и идејна осмишљеност оријентације, архитектуре

Διαβάστε περισσότερα

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА Београд, 21.06.2014. За штап приказан на слици одредити најмању вредност критичног оптерећења P cr користећи приближан поступак линеаризоване теорије другог реда и: а) и један елемент, слика 1, б) два

Διαβάστε περισσότερα

Количина топлоте и топлотна равнотежа

Количина топлоте и топлотна равнотежа Количина топлоте и топлотна равнотежа Топлота и количина топлоте Топлота је један од видова енергије тела. Енергија коју тело прими или отпушта у топлотним процесима назива се количина топлоте. Количина

Διαβάστε περισσότερα

6.1. Појам и основни елементи. Углови четвороугла. Централна симетрија. Врсте четвороуглова. B Сл. 1

6.1. Појам и основни елементи. Углови четвороугла. Централна симетрија. Врсте четвороуглова. B Сл. 1 6. Четвороугао 6.1. Појам и основни елементи. Углови четвороугла. Централна симетрија. Врсте четвороуглова А Сл. 1 А На приложеним сликама сигурно уочаваш геометријске фигуре које су ти познате (троугао,

Διαβάστε περισσότερα

Динамика. Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе:

Динамика. Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе: Њутнови закони 1 Динамика Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе: када су објекти довољно велики (>димензија атома) када се крећу брзином много мањом

Διαβάστε περισσότερα

Писмени испит из Метода коначних елемената

Писмени испит из Метода коначних елемената Београд,.0.07.. За приказани билинеарни коначни елемент (Q8) одредити вектор чворног оптерећења услед задатог линијског оптерећења p. Користити природни координатни систем (ξ,η).. На слици је приказан

Διαβάστε περισσότερα

61. У правоуглом троуглу АВС на слици, унутрашњи угао код темена А је Угао

61. У правоуглом троуглу АВС на слици, унутрашњи угао код темена А је Угао ЗАДАЦИ ЗА САМОСТАЛНИ РАД Задаци за самостлни рад намењени су првенствено ученицима који се припремају за полагање завршног испита из математике на крају обавезног основног образовања. Задаци су одабрани

Διαβάστε περισσότερα

Семинарски рад из линеарне алгебре

Семинарски рад из линеарне алгебре Универзитет у Београду Машински факултет Докторске студије Милош Живановић дипл. инж. Семинарски рад из линеарне алгебре Београд, 6 Линеарна алгебра семинарски рад Дата је матрица: Задатак: a) Одредити

Διαβάστε περισσότερα

F( x) НЕОДРЕЂЕНИ ИНТЕГРАЛ

F( x) НЕОДРЕЂЕНИ ИНТЕГРАЛ НЕОДРЕЂЕНИ ИНТЕГРАЛ Штa треба знати пре почетка решавања задатака? Дефиниција: Интеграл једне функције је функција чији је извод функција којој тражимо интеграл (подинтегрална функција). Значи: f d F F

Διαβάστε περισσότερα

ОД ИСТОГ АУТОРА: Сулејман, Хурем и Срби Повратак краља Стефан Немања Стефан Дечански Дух побуне

ОД ИСТОГ АУТОРА: Сулејман, Хурем и Срби Повратак краља Стефан Немања Стефан Дечански Дух побуне ОД ИСТОГ АУТОРА: Сулејман, Хурем и Срби Повратак краља Стефан Немања Стефан Дечански Дух побуне Copyright 2015, Лука Мичета Copyright овог издања 2015, ЛАГУНА Сенима блисtавоg dуховника pроtојереја-сtаврофора,

Διαβάστε περισσότερα

У к у п н о :

У к у п н о : ГОДИШЊИ (ГЛОБАЛНИ) ПЛАН РАДА НАСТАВНИКА Наставни предмет: ФИЗИКА Разред: Седми Ред.број Н А С Т А В Н А Т Е М А / О Б Л А С Т Број часова по теми Број часова за остале обраду типове часова 1. КРЕТАЊЕ И

Διαβάστε περισσότερα

Copyright 2017, Лука Мичета Copyright овог издања 2017, ЛАГУНА

Copyright 2017, Лука Мичета Copyright овог издања 2017, ЛАГУНА ОД ИСТОГ АУТОРА: Сулејман, Хурем и Срби Повратак краља Стефан Немања Стефан Дечански Дух побуне Стефан Првовенчани Деспот Стефан Лазаревић Душан Силни Краљ Милутин Copyright 2017, Лука Мичета Copyright

Διαβάστε περισσότερα

МИОДРАГ МАРКОВИЋ, СВЕТИ НИКИТА КОД СКОПЉА. ЗАДУЖБИНА КРАЉА МИЛУТИНА

МИОДРАГ МАРКОВИЋ, СВЕТИ НИКИТА КОД СКОПЉА. ЗАДУЖБИНА КРАЉА МИЛУТИНА ПРИКАЗИ др Анђела Ђ. Гавриловић МИОДРАГ МАРКОВИЋ, СВЕТИ НИКИТА КОД СКОПЉА. ЗАДУЖБИНА КРАЉА МИЛУТИНА, Београд 2015: Службени гласник: Институт за историју уметности; 375 страница текста, 96 фотографија

Διαβάστε περισσότερα

I Наставни план - ЗЛАТАР

I Наставни план - ЗЛАТАР I Наставни план - ЗЛААР I РАЗРЕД II РАЗРЕД III РАЗРЕД УКУО недељно годишње недељно годишње недељно годишње годишње Σ А1: ОАЕЗНИ ОПШЕОРАЗОНИ ПРЕДМЕИ 2 5 25 5 2 1. Српски језик и књижевност 2 2 4 2 2 1.1

Διαβάστε περισσότερα

Универзитет у Крагујевцу Факултет за машинство и грађевинарство у Краљеву Катедра за основне машинске конструкције и технологије материјала

Универзитет у Крагујевцу Факултет за машинство и грађевинарство у Краљеву Катедра за основне машинске конструкције и технологије материјала Теоријски део: Вежба број ТЕРМИЈСКА AНАЛИЗА. Термијска анализа је поступак који је 903.год. увео G. Tamman за добијање криве хлађења(загревања). Овај поступак заснива се на принципу промене топлотног садржаја

Διαβάστε περισσότερα

Михаило М. Бошковић, професор НОВO У МАТЕМАТИЦИ

Михаило М. Бошковић, професор НОВO У МАТЕМАТИЦИ Мајци Душанки Михаило М. Бошковић, професор НОВO У МАТЕМАТИЦИ подела угла на три једнака дела подела угла на n једнаких делова конструкција сваког правилног многоугла уз помоћ једног шестара и једног лењира

Διαβάστε περισσότερα

ТРЕЋЕ ОТВОРЕНО ПРВЕНСТВО СРБИЈЕ У РЕШАВАЊУ ОПТИМИЗАТОРА 29. НОВЕМБАР ДЕЦЕМБАР ГОДИНЕ

ТРЕЋЕ ОТВОРЕНО ПРВЕНСТВО СРБИЈЕ У РЕШАВАЊУ ОПТИМИЗАТОРА 29. НОВЕМБАР ДЕЦЕМБАР ГОДИНЕ ТРЕЋЕ ОТВОРЕНО ПРВЕНСТВО СРБИЈЕ У РЕШАВАЊУ ОПТИМИЗАТОРА 29. НОВЕМБАР - 12. ДЕЦЕМБАР 2010. ГОДИНЕ http://puzzleserbia.com/ ДРУГА НЕДЕЉА (6.12. - 12.12.) 7. СУДОКУ АЈНЦ 8. ПЕНТОМИНО УКРШТЕНИЦА 9. ШАХОВСКЕ

Διαβάστε περισσότερα

ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ 2 (13Е013ЕП2) октобар 2016.

ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ 2 (13Е013ЕП2) октобар 2016. ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ (3Е03ЕП) октобар 06.. Батерија напона B = 00 пуни се преко трофазног полууправљивог мосног исправљача, који је повезан на мрежу 3x380, 50 Hz преко трансформатора у спрези y, са преносним

Διαβάστε περισσότερα